{"schemaVersion":"1.0.0","importedOn":"2026-10-28","count":100,"grading":{"mode":"self-review","rated":false},"rightsStatus":"permission-review-required","assetBase":"Resolve local asset paths against the app origin. Original PDF layouts and local figures are available alongside the source text.","problems":[{"id":"ipho-2025-t1","importedOn":"2026-10-28","language":"en","sources":[{"url":"https://www.ipho2025.fr/sujets-officiels-ipho-france-2025","kind":"statement"},{"url":"/ipho/2025-t1-solutions.pdf","kind":"solution"}],"statement":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/ipho-2025-t1-statement/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/ipho-2025-t1-statement/page-1.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2025-t1-statement/page-2.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2025-t1-statement/page-3.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2025-t1-statement/page-4.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2025-t1-statement/page-5.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2025-t1-statement/page-6.webp","width":982,"height":1389}],"text":"Theory\nQ1-1\nEnglish (Official)\nHydrogen and galaxies (10 points)\nThis problem aims to study the peculiar physics of galaxies, such as their dynamics and structure. In\nparticular, we explain how to measure the mass distribution of our galaxy from the inside. For this we\nwill focus on hydrogen, its main constituent.\nThroughout this problem we will only use ħ, defined as ħ = ℎ/2𝜋.\nPart A - Introduction\nBohr model\nWe assume that the hydrogen atom consists of a non-relativistic electron, with mass 𝑚𝑒, orbiting a fixed\nproton. Throughout this part, we assume its motion is on a circular orbit.\nA.1\nDetermine the electron's velocity 𝑣in a circular orbit of radius 𝑟.\n0.2pt\nIn the Bohr model, we assume the magnitude of the electron's angular momentum 𝐿is quantized, 𝐿= 𝑛ħ\nwhere 𝑛> 0 is an integer. We define 𝛼=\n𝑒2\n4𝜋𝜀0ħ𝑐≈7.27×10−3.\nA.2\nShow that the radius of each orbit is given by 𝑟𝑛= 𝑛2𝑟1, where 𝑟1 is called the\nBohr radius. Express 𝑟1 in terms of 𝛼, 𝑚𝑒, 𝑐and ħ and calculate its numerical\nvalue with 3 digits. Express 𝑣1, the velocity on the orbit of radius 𝑟1, in terms of\n𝛼and 𝑐.\n0.5pt\nA.3\nDetermine the electron's mechanical energy 𝐸𝑛on an orbit of radius 𝑟𝑛in terms\nof 𝑒, 𝜀0, 𝑟1 and 𝑛. Determine 𝐸1 in the ground state in terms of 𝛼, 𝑚𝑒and 𝑐.\nCompute its numerical value in eV.\n0.5pt\nHydrogen fine and hyperfine structures\nThe rare spontaneous inversion of the electron's spin causes a photon to be emitted on average once\nper 10 million years per hydrogen atom. This emission serves as a hydrogen tracer in the universe and is\nthus fundamental in astrophysics. We will study the transition responsible for this emission in two steps.\nFirst, consider the interaction between the electron spin and the relative motion of the electron and the\nproton. Working in the electron's frame of reference, the proton orbits the electron at a distance 𝑟1. This\nproduces a magnetic field −→\n𝐵1.\nA.4\nDetermine the magnitude 𝐵1 of −→\n𝐵1 at the position of the electron in terms of 𝜇0,\n𝑒, 𝛼, 𝑐and 𝑟1.\n0.5pt\nSecond, the electron spin creates a magnetic moment −→\nℳ𝑠. Its magnitude is roughly ℳ𝑠=\n𝑒\n𝑚𝑒ħ. The fine\n(F) structure is related to the energy difference 𝛥𝐸F between an electron with a magnetic moment −→\nℳ𝑠\nparallel to −→\n𝐵1 and that of an electron with −→\nℳ𝑠anti-parallel to −→\n𝐵1. Similarly, the hyperfine (HF) structure is\nrelated to the energy difference 𝛥𝐸HF, due to the interaction between parallel and anti-parallel magnetic\nmoments of the electron and the proton. It is known to be approximately 𝛥𝐸HF ≃3.72 𝑚𝑒\n𝑚𝑝𝛥𝐸F where 𝑚𝑝is\nthe proton mass.\n\nTheory\nQ1-2\nEnglish (Official)\nA.5\nExpress 𝛥𝐸F as a function of 𝛼and 𝐸1.\nExpress the wavelength 𝜆HF of a photon emitted during a transition between\nthe two states of the hyperfine structure and give its numerical value with two\ndigits.\n0.5pt\nPart B - Rotation curves of galaxies\nData\n• Kiloparsec: 1kpc = 3.09×1019 m\n• Solar mass : 1M⊙= 1.99×1030 kg\nWe consider a spherical galaxy centered around a fixed point 𝑂. At any point 𝑃, let 𝜌= 𝜌(𝑃) be the\nvolumetric mass density and 𝜑= 𝜑(𝑃) the associated gravitational potential (i.e. potential energy per\nunit mass). Both 𝜌and 𝜑depend only on 𝑟= ‖\n−−→\n𝑂𝑃‖. The motion of a mass 𝑚located at 𝑃, due to the field\n𝜑, is restricted to a plane containing 𝑂.\nB.1\nIn the case of a circular orbit, determine the velocity 𝑣𝑐of an object on a circular\norbit passing through 𝑃in terms of 𝑟and 𝑑𝜑\n𝑑𝑟.\n0.2pt\nFig. 1(A) is a picture of the spiral galaxy NGC 6946 in the visible band (from the 0.8m Schulman Telescope\nat the Mount Lemmon Sky Center in Arizona). The little ellipses in Fig. 1(B) show experimental measure-\nments of 𝑣𝑐for this galaxy. The central region (𝑟< 1kpc) is named the bulge. In this region, the mass\ndistribution is roughly homogeneous. The red curve is a prediction for 𝑣𝑐if the system were homoge-\nneous in the bulge and keplerian (𝜑(𝑟) = −𝛽/𝑟with 𝛽> 0) outside it, i.e. considering that the total mass\nof the galaxy is concentrated in the bulge.\nFig. 1: NGC 6946 galaxy: Picture (A) and rotation curve (B).\nB.2\nDeduce the mass 𝑀𝑏of the bulge of NGC 6946 from the red rotation curve in\nFig. 1(B), in solar mass units.\n0.5pt\nComparing the keplerian model and the experimental data makes astronomers confident that part of\nthe mass is invisible in the picture. They thus suppose that the galaxy's actual mass density is given by\n\nTheory\nQ1-3\nEnglish (Official)\n𝜌𝑚(𝑟) =\n𝐶𝑚\n𝑟2𝑚+𝑟2\n(1)\nwhere 𝐶𝑚> 0 and 𝑟𝑚> 0 are constants.\nB.3\nShow that the velocity profile 𝑣𝑐,𝑚(𝑟), corresponding to the mass density in Eq.\n1, can be written 𝑣𝑐,𝑚(𝑟) = 𝑘1 −\n𝑘2⋅arctan( 𝑟\n𝑟𝑚)\n𝑟\n. Express 𝑘1 and 𝑘2 in terms of 𝐶𝑚, 𝑟𝑚\nand 𝐺.\n( Hints: \n𝑟\n0\n𝑥2\n𝑎2 +𝑥2 𝑑𝑥= 𝑟−𝑎arctan(𝑟/𝑎), and: arctan(𝑥) ≃𝑥−𝑥3/3 for 𝑥≪1. )\n \nSimplify 𝑣𝑐,𝑚(𝑟) when 𝑟≪𝑟𝑚and when 𝑟≫𝑟𝑚.\nShow that if 𝑟≫𝑟𝑚, the mass 𝑀𝑚(𝑟) embedded in a sphere of radius 𝑟with the\nmass density given by Eq. 1 simplifies and depends only on 𝐶𝑚and 𝑟.\nEstimate the mass of the galaxy NGC 6946 actually present in the picture in Fig.\n1(A).\n1.8pt\nPart C - Mass distribution in our galaxy\nFor a spiral galaxy, the model for Eq. 1 is modified and one usually considers the gravitational potential\nis given by 𝜑𝐺(𝑟,𝑧) = 𝜑0 ln⒧𝑟\n𝑟0\n⒭exp⎡\n⎣\n−⒧𝑧\n𝑧0\n⒭\n2⎤\n⎦\n, where 𝑧is the distance to the galactic plane (defined by 𝑧= 0\n), and 𝑟< 𝑟0 is now the axial radius and 𝜑0 > 0 a constant to be determined. 𝑟0 and 𝑧0 are constant values.\nC.1\nFind the equation of motion on 𝑧for the vertical motion of a point mass 𝑚\nin such a potential, assuming 𝑟is constant. Show that, if 𝑟< 𝑟0, the galactic\nplane is a stable equilibrium state by giving the angular frequency 𝜔0 of small\noscillations around it.\n0.5pt\nFrom here on, we set 𝑧= 0.\nC.2\nIdentify the regime, either 𝑟≫𝑟𝑚or 𝑟≪𝑟𝑚, in which the model of Eq. 1 recovers\na potential of the form 𝜑𝐺(𝑟,0) with a suitable definition of 𝜑0.\nUnder this condition 𝑣𝑐(𝑟) no longer depends on 𝑟. Express it in terms of 𝜑0.\n0.6pt\nTherefore, outside the bulge the velocity modulus 𝑣𝑐does not depend on the distance to the galactic\ncenter. We will use this fact, as astronomers do, to measure the galaxy's mass distribution from the\ninside.\nAll galactic objects considered here for astronomical observations, such as stars or nebulae, are primarily\ncomposed of hydrogen. Outside the bulge, we assume that they rotate on circular orbits around the\ngalactic center 𝐶. 𝑆is the sun's position and 𝐸that of a given galactic object emitting in the hydrogen\nspectrum. In the galactic plane, we consider a line of sight 𝑆𝐸corresponding to the orientation of an\nobservation, on the unit vector 𝑢𝑣(see Fig. 2).\n\nTheory\nQ1-4\nEnglish (Official)\nFig. 2: Geometry of the measurement\nLet ℓbe the galactic longitude, measuring the angle between 𝑆𝐶and the 𝑆𝐸. The sun's velocity on its\ncircular orbit of radius 𝑅⊙= 8.00kpc is denoted −→\n𝑣⊙. A galactic object in 𝐸orbits on another circle of radius\n𝑅at velocity −→\n𝑣𝐸. Using a Doppler effect on the previously studied 21cm line, one can obtain the relative\nradial velocity 𝑣𝑟𝐸/𝑆of the emitter 𝐸with respect to the sun 𝑆: it is the projection of⃗𝑣𝐸−⃗𝑣⊙on the line of\nsight.\nC.3\nDetermine 𝑣𝑟𝐸/𝑆in terms of ℓ, 𝑅, 𝑅⊙and 𝑣⊙. Then, express 𝑅in terms of 𝑅⊙, 𝑣⊙,\nℓand 𝑣𝑟𝐸/𝑆.\n0.7pt\nUsing a radio telescope, we make observations in the plane of our galaxy toward a longitude ℓ= 30°. The\nfrequency band used contains the 21cm line, whose frequency is 𝑓0 = 1.42GHz. The results are reported\nin Fig. 3.\nFig. 3: Electromagnetic signal as a function of the frequency shift, measured in the radio\nfrequency band at ℓ= 30° using EU-HOU RadioAstronomy\n\nTheory\nQ1-5\nEnglish (Official)\nC.4\nIn our galaxy, 𝑣⊙= 220km ⋅s−1. Determine the values of the relative radial ve-\nlocity (with 3 significant digits) and the distance from the galactic center (with\n2 significant digits) of the 3 sources observed in Fig. 3. Distances should be\nexpressed as multiples of 𝑅⊙.\n0.6pt\nC.5\nOn the top view of our galaxy (in the answer box), indicate the positions of the\nsources observed in Fig. 3.\nWhat could be deduced from repeated measurements changing ℓ?\n0.6pt\nPart D - Tully-Fisher relation and MOND theory\nThe flat external velocity curve of NGC 6946 in Fig. 1 is a common property of spiral galaxies, as can\nbe seen in Fig. 4 (left). Plotting the external constant velocity value 𝑣𝑐,∞as a function of the measured\ntotal mass 𝑀tot of each galaxy gives an interesting correlation called the Tully-Fischer relation, see Fig. 4\n(right).\nNGC 3621\nNGC 5055\nNGC 2903\nNGC 7321\nNGC 3521\nNGC 2841\nlog    ( M    / M   )\ntot\nlog   ( v     / 1 km/s )\nc,1\nv     \nc,1\nSpiral galaxies\nfrom different surveys\nTully Fischer Relation\n¯\n10\n10\nFig. 4. Left: Rotation curves for typical spiral galaxies - Right: log10(𝑀tot) as a function of\nlog10(𝑣𝑐,∞) on linear scales. Colored dots correspond to different galaxies and different sur-\nveys. The green line is the Tully-Fischer relation which is in very good agreement with the best\nfit line of the data (in black).\nD.1\nAssuming that the radius 𝑅of a galaxy doesn't depend on its mass, show that\nthe model of Eq. 1 (part B) gives a relation of the form 𝑀tot = 𝜂𝑣𝛾\n𝑐,∞where 𝛾and\n𝜂should be specified.\nCompare this expression to the Tully-Fischer relation by computing 𝛾𝑇𝐹.\n0.4pt\nIn the extremely low acceleration regime, of the order of 𝑎0 = 10−10 m ⋅s−2, the MOdified Newtonian Dy-\nnamics (MOND) theory suggests that one can modify Newton's second law using −→\n𝐹= 𝑚𝜇⒧𝑎\n𝑎0\n⒭−→\n𝑎where\n𝑎= ‖−→\n𝑎‖ is the modulus of the acceleration and the 𝜇function is defined by 𝜇(𝑥) =\n𝑥\n1+𝑥.\n\nTheory\nQ1-6\nEnglish (Official)\nD.2\nUsing data for NGC 6946 in Fig. 1, estimate, within Newton's theory, the mod-\nulus of the acceleration 𝑎𝑚of a mass in the outer regions of NGC 6946.\n0.2pt\nD.3\nLet 𝑚be a mass on a circular orbit of radius 𝑟with velocity 𝑣𝑐,∞in the gravity\nfield of a fixed mass 𝑀.\nWithin the MOND theory, with 𝑎≪𝑎0, determine the Tully-Fischer exponent.\nUsing data for NGC 6946 and/or Tully-Fischer law, calculate 𝑎0 to show that\nMOND operates in the correct regime.\n0.8pt\nD.4\nConsidering relevant cases, determine 𝑣𝑐(𝑟) for all values of 𝑟in the MOND the-\nory in the case of a gravitational field due to a homogeneously distributed mass\n𝑀with radius 𝑅𝑏.\n0.9pt\n","shared":false,"sourcePages":[1,2,3,4,5,6]},"solution":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/ipho-2025-t1-solution/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/ipho-2025-t1-solution/page-1.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2025-t1-solution/page-2.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2025-t1-solution/page-3.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2025-t1-solution/page-4.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2025-t1-solution/page-5.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2025-t1-solution/page-6.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2025-t1-solution/page-7.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2025-t1-solution/page-8.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2025-t1-solution/page-9.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2025-t1-solution/page-10.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2025-t1-solution/page-11.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2025-t1-solution/page-12.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2025-t1-solution/page-13.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2025-t1-solution/page-14.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2025-t1-solution/page-15.webp","width":982,"height":1389}],"text":"Theory\nQ1-1\nEnglish (Official)\nHydrogen and galaxies (10 points)\nThis problem aims to study the peculiar physics of galaxies, such as their dynamics and structure. In\nparticular, we explain how to measure the mass distribution of our galaxy from the inside. For this we\nwill focus on hydrogen, its main constituent.\nThroughout this problem we will only use ħ, defined as ħ = ℎ/2𝜋.\nPart A - Introduction\nBohr model\nWe assume that the hydrogen atom consists of a non-relativistic electron, with mass 𝑚𝑒, orbiting a fixed\nproton. Throughout this part, we assume its motion is on a circular orbit.\nA.1\nDetermine the electron's velocity 𝑣in a circular orbit of radius 𝑟.\n0.2pt\nSOLUTION:\nNewton's second law on the electron in the electrical field of the proton for a circular orbit and projected\non −→\n𝑢𝑟: −𝑚𝑒\n𝑣2\n𝑟= −\n𝑒2\n4𝜋𝜀0𝑟2 hence 𝑣= \n𝑒2\n4𝜋𝜀0𝑚𝑒𝑟\nMarking Scheme\nA.1.1 : Using Newton's second law\n0.1\nA.1.2 : Expression of the velocity\n0.1\nIn the Bohr model, we assume the magnitude of the electron's angular momentum 𝐿is quantized, 𝐿= 𝑛ħ\nwhere 𝑛> 0 is an integer. We define 𝛼=\n𝑒2\n4𝜋𝜀0ħ𝑐≈7.27×10−3.\nA.2\nShow that the radius of each orbit is given by 𝑟𝑛= 𝑛2𝑟1, where 𝑟1 is called the\nBohr radius. Express 𝑟1 in terms of 𝛼, 𝑚𝑒, 𝑐and ħ and calculate its numerical\nvalue with 3 digits. Express 𝑣1, the velocity on the orbit of radius 𝑟1, in terms of\n𝛼and 𝑐.\n0.5pt\nSOLUTION:\nIf the norm 𝐿of the angular momentum is quantified, for a circular orbit of radius 𝑟𝑛it is 𝐿= 𝑚𝑒𝑟𝑛𝑣𝑛= 𝑛ħ.\nIn the previous question, we have already obtained a relation between 𝑟and 𝑣that can be used for 𝑟𝑛\nand 𝑣𝑛and gives 𝑣𝑛= \n𝑒2\n4𝜋𝜖0𝑚𝑒𝑟𝑛= \n𝛼ħ𝑐\n𝑚𝑒𝑟𝑛. Then using the quantifed expression we get 𝑟𝑛=\n𝑛ħ\n𝑚𝑒𝑣𝑛= 𝑛ħ\n𝑚𝑒\n𝑚𝑒𝑟𝑛\n𝛼ħ𝑐\nthus 𝑟𝑛=\nħ𝑛2\n𝛼𝑚𝑒𝑐and then 𝑟1 =\nħ\n𝛼𝑚𝑒𝑐. For the numerical value we previously compute 𝛼= 7.27 × 10−3 and\nthen 𝑟1 = 5.31×10−11 m . For the velocity, we get 𝑚𝑒𝑣2\n1 =\n𝑒2\n4𝜋𝜀0𝑟1 = 𝑒2𝑚𝑒𝑣1\n4𝜋𝜀0ħ and then 𝑣1 =\n𝑒2\n4𝜋𝜀0ħ = 𝛼𝑐.\nMarker Scheme\n\nTheory\nQ1-2\nEnglish (Official)\nA.2.1 : Expression of 𝑟𝑛\n0.1\nA.2.2 : Expression of 𝑟1\n0.1\nA.2.3 : Numerical value for 𝑟1\n0.1\nA.2.4 : Expression of 𝑣1\n0.2\nA.3\nDetermine the electron's mechanical energy 𝐸𝑛on an orbit of radius 𝑟𝑛in terms\nof 𝑒, 𝜀0, 𝑟1 and 𝑛. Determine 𝐸1 in the ground state in terms of 𝛼, 𝑚𝑒and 𝑐.\nCompute its numerical value in eV.\n0.5pt\nSOLUTION:\nThe mechanical energy is 𝐸𝑛= 1\n2𝑚𝑒𝑣2\n𝑛−\n𝑒2\n4𝜋𝜀0𝑟𝑛= −\n𝑒2\n8𝜋𝜀0𝑟𝑛, hence 𝐸𝑛= −\n𝑒2\n8𝜋𝜀0𝑛2𝑟1\nthen for the ground state\n𝐸1 = −\n𝑒2\n8𝜋𝜀0𝑟1 . Using the expression of 𝛼, we get the beautiful formula 𝐸1 = −1\n2𝛼2𝑚𝑒𝑐2 . The numerical\nvalue is 𝐸1 = −2.17×10−18 J which corresponds to 𝐸1 = −13.6 eV .\nMarker Scheme\nA.3.1 : Expression for 𝐸𝑛\n0.2\nA.3.2 : Expression for 𝐸1 with 𝛼\n0.2\nA.3.3 : Numerical value for 𝐸1\n0.1\nHydrogen fine and hyperfine structures\nThe rare spontaneous inversion of the electron's spin causes a photon to be emitted on average once\nper 10 million years per hydrogen atom. This emission serves as a hydrogen tracer in the universe and is\nthus fundamental in astrophysics. We will study the transition responsible for this emission in two steps.\nFirst, consider the interaction between the electron spin and the relative motion of the electron and the\nproton. Working in the electron's frame of reference, the proton orbits the electron at a distance 𝑟1. This\nproduces a magnetic field −→\n𝐵1.\nA.4\nDetermine the magnitude 𝐵1 of −→\n𝐵1 at the position of the electron in terms of 𝜇0,\n𝑒, 𝛼, 𝑐and 𝑟1.\n0.5pt\nSOLUTION:\nThe period of the motion is : 𝑇= 2𝜋𝑟1\n𝑣1\n.\nThe current 𝑖corresponding to the orbit of the proton is 𝑖= 𝑒\n𝑇hence 𝑖= 𝑒𝑣1\n2𝜋𝑟1 =\n𝑒𝛼𝑐\n2𝜋𝑟1 .\nThe magnetic field created by a loop with current 𝑖and radius 𝑅is : 𝐵= 𝜇0𝑖\n2𝑅, which here gives 𝐵1 = 𝜇0𝑒𝛼𝑐\n4𝜋𝑟2\n1\n.\nMarker Scheme\n\nTheory\nQ1-3\nEnglish (Official)\nA.4.1 : Expression for the period\n0.1\nA.4.2 : Expression for the current\n0.2\nA.4.3 : General expression for 𝐵\n0.1\nA.4.4 : Inject 𝑖into 𝐵\n0.1\nSecond, the electron spin creates a magnetic moment −→\nℳ𝑠. Its magnitude is roughly ℳ𝑠=\n𝑒\n𝑚𝑒ħ. The fine\n(F) structure is related to the energy difference 𝛥𝐸F between an electron with a magnetic moment −→\nℳ𝑠\nparallel to −→\n𝐵1 and that of an electron with −→\nℳ𝑠anti-parallel to −→\n𝐵1. Similarly, the hyperfine (HF) structure is\nrelated to the energy difference 𝛥𝐸HF, due to the interaction between parallel and anti-parallel magnetic\nmoments of the electron and the proton. It is known to be approximately 𝛥𝐸HF ≃3.72 𝑚𝑒\n𝑚𝑝𝛥𝐸F where 𝑚𝑝is\nthe proton mass.\nA.5\nExpress 𝛥𝐸F as a function of 𝛼and 𝐸1.\nExpress the wavelength 𝜆HF of a photon emitted during a transition between\nthe two states of the hyperfine structure and give its numerical value with two\ndigits.\n0.5pt\nSOLUTION:\nThe potential energy corresponding to the interaction between the spin magnetic moment −→\nℳ𝑠and the\nnuclear magnetic field : 𝐸𝑝= −−→\nℳ𝑠⋅−→\n𝐵1\nThe difference 𝛥𝐸F between the energy of two electrons with a spin parallel and antiparallel to −→\n𝐵1\nis then 𝛥𝐸F = 2ℳ𝑠𝐵1 . Using previous expressions one finds: 𝛥𝐸F = 2 𝑒\n𝑚𝑒ħ𝐵1 = 2 𝑒\n𝑚𝑒ħ 𝜇0𝑒𝛼𝑐\n4𝜋𝑟2\n1\nwhich writes\n𝛥𝐸F = −4𝛼2𝐸1 hence 𝛥𝐸HF = −3.72 𝑚𝑒\n𝑚𝑝4𝛼2𝐸1.\nThe wavelength of the photon corresponding to this transition is then ℎ𝑐\n𝜆HF = 𝛥𝐸HF = −3.72. 𝑚𝑒\n𝑚𝑝4𝛼2𝐸1 hence\n𝜆HF = −\nℎ𝑐\n3.72. 𝑚𝑒\n𝑚𝑝4𝛼2𝐸1 whose value is 𝜆HF = 21 cm .\nMarker Sheme\nA.5.1 : Expression for the potential energy\n0.1\nA.5.2 : Expression for 𝛥𝐸F\n0.1\nA.5.3 : Expression for 𝛥𝐸HF in term of 𝛼\n0.1\nA.5.4 : Expression for 𝜆HF\n0.1\nA.5.5 : Numerical value for 𝜆HF\n0.1\nPart B - Rotation curves of galaxies\nData\n• Kiloparsec: 1kpc = 3.09×1019 m\n• Solar mass : 1M⊙= 1.99×1030 kg\n\nTheory\nQ1-4\nEnglish (Official)\nWe consider a spherical galaxy centered around a fixed point 𝑂. At any point 𝑃, let 𝜌= 𝜌(𝑃) be the\nvolumetric mass density and 𝜑= 𝜑(𝑃) the associated gravitational potential (i.e. potential energy per\nunit mass). Both 𝜌and 𝜑depend only on 𝑟= ‖\n−−→\n𝑂𝑃‖. The motion of a mass 𝑚located at 𝑃, due to the field\n𝜑, is restricted to a plane containing 𝑂.\nB.1\nIn the case of a circular orbit, determine the velocity 𝑣𝑐of an object on a circular\norbit passing through 𝑃in terms of 𝑟and 𝑑𝜑\n𝑑𝑟.\n0.2pt\nSOLUTION:\nThe force created by the potential is −→\n𝐹= −−→\n∇(𝑚𝜑(𝑟)) = −𝑚𝑑𝜑\n𝑑𝑟\n−→\n𝑢𝑟. Newton's second law for a circular orbit\nthen gives 𝑚𝑣2𝑐\n𝑟= 𝑚𝑑𝜑\n𝑑𝑟hence 𝑣𝑐= 𝑟𝑑𝜑\n𝑑𝑟.\nSOLUTION:\nB.1.1 : Using Newton's second law\n0.1\nB.1.2 : Expression for the velocity.\n0.1\nFig. 1(A) is a picture of the spiral galaxy NGC 6946 in the visible band (from the 0.8m Schulman Telescope\nat the Mount Lemmon Sky Center in Arizona). The little ellipses in Fig. 1(B) show experimental measure-\nments of 𝑣𝑐for this galaxy. The central region (𝑟< 1kpc) is named the bulge. In this region, the mass\ndistribution is roughly homogeneous. The red curve is a prediction for 𝑣𝑐if the system were homoge-\nneous in the bulge and keplerian (𝜑(𝑟) = −𝛽/𝑟with 𝛽> 0) outside it, i.e. considering that the total mass\nof the galaxy is concentrated in the bulge.\nFig. 1: NGC 6946 galaxy: Picture (A) and rotation curve (B).\nB.2\nDeduce the mass 𝑀𝑏of the bulge of NGC 6946 from the red rotation curve in\nFig. 1(B), in solar mass units.\n0.5pt\nSOLUTION:\nEither by Gauss's theorem 4𝜋𝑟2𝑔(𝑟) = −4𝜋𝐺𝑀int(𝑟) , then one gets 𝑔(𝑟) = 𝐺𝑀int(𝑟)/𝑟2\n:::::::::::::::::\n𝑔(𝑟) = −𝐺𝑀int(𝑟)/𝑟2.\nor one knows the law 𝑔(𝑟) = 𝐺𝑀/𝑟2\n:::::::::::::\n𝑔(𝑟) = −𝐺𝑀/𝑟2\n: and intuits that one can use the interior mass\n\nTheory\nQ1-5\nEnglish (Official)\n𝑔(𝑟) = 𝐺𝑀int(𝑟)/𝑟2\n:::::::::::::::::\n𝑔(𝑟) = −𝐺𝑀int(𝑟)/𝑟2\nIf there is almost no more mass after the bulge radius 𝑟𝑏\nthen if 𝑟> 𝑟𝑏, 𝑀int(𝑟) = 𝑀𝑏and⃗𝑔(𝑟> 𝑟𝑏) = −𝐺𝑀𝑏\n𝑟2⃗𝑢𝑟. But⃗𝑔= −𝑑𝜑\n𝑑𝑟⃗𝑢𝑟.\nThis gives 𝑣𝑐(𝑟> 𝑟𝑏) = \n𝐺𝑀𝑏\n𝑟.\nOne can then deduce that if the velocity is given only by the bulge, at a given distance 𝑅we\nmust have\n𝑀𝑏= 𝑣2\n𝑐𝑅/𝐺.\nOn the red curve we can read 𝑣𝑐= 20 km ⋅s−1 at 𝑅= 10 kpc hence\n𝑀𝑏= 𝑣2𝑐𝑅\n𝐺≃4.108×3.1020\n6,7.10−11\n≃1,8.1039 kg so that 𝑀𝑏≃9.108𝑀⊙.\nMarker Scheme\nB.2.1 : 𝑔(𝑟) = 𝐺𝑀int(𝑟)/𝑟2\n:::::::::::::::::\n𝑔(𝑟) = −𝐺𝑀int(𝑟)/𝑟2\n:via Gauss'\nTheorem or another method resulting in an equivalent\nresult.\n0.1\nB.2.2 : Expression for⃗𝑔(𝑟> 𝑟𝑏)\n0.1\nB.2.3 : Expression for 𝑀𝑏\n0.1\nB.2.4 : Taking the right value of 𝑣𝑐in the figure\n0.1\nB.2.5 : Numerical value for 𝑀𝑏with a tolerance of ±25%\n0.1\nComparing the keplerian model and the experimental data makes astronomers confident that part of\nthe mass is invisible in the picture. They thus suppose that the galaxy's actual mass density is given by\n𝜌𝑚(𝑟) =\n𝐶𝑚\n𝑟2𝑚+𝑟2\n(1)\nwhere 𝐶𝑚> 0 and 𝑟𝑚> 0 are constants.\nB.3\nShow that the velocity profile 𝑣𝑐,𝑚(𝑟), corresponding to the mass density in Eq.\n1, can be written 𝑣𝑐,𝑚(𝑟) = 𝑘1 −\n𝑘2⋅arctan( 𝑟\n𝑟𝑚)\n𝑟\n. Express 𝑘1 and 𝑘2 in terms of 𝐶𝑚, 𝑟𝑚\nand 𝐺.\n( Hints: \n𝑟\n0\n𝑥2\n𝑎2 +𝑥2 𝑑𝑥= 𝑟−𝑎arctan(𝑟/𝑎), and: arctan(𝑥) ≃𝑥−𝑥3/3 for 𝑥≪1. )\n \nSimplify 𝑣𝑐,𝑚(𝑟) when 𝑟≪𝑟𝑚and when 𝑟≫𝑟𝑚.\nShow that if 𝑟≫𝑟𝑚, the mass 𝑀𝑚(𝑟) embedded in a sphere of radius 𝑟with the\nmass density given by Eq. 1 simplifies and depends only on 𝐶𝑚and 𝑟.\nEstimate the mass of the galaxy NGC 6946 actually present in the picture in Fig.\n1(A).\n1.8pt\nSOLUTION:\nOn the one hand, writing Gauss' theorem on a sphere of radius 𝑟gives ∫−→\n𝑔(𝑟)⋅−→\n𝑑𝑆= 4𝜋𝑟2𝑔(𝑟) = −4𝜋𝐺𝑀int\nand thus 𝑔(𝑟) = 𝐺𝑀int(𝑟)/𝑟2\n:::::::::::::::::\n𝑔(𝑟) = −𝐺𝑀int(𝑟)/𝑟2. As long as this final formula is given it doesn't matter the\nmethod.\nBut, on the other hand 𝑀int = ∫\n𝑟\n0 4𝜋𝑥2𝜌(𝑥)𝑑𝑥= 4𝜋𝐶𝑚𝑟−𝑟𝑚arctan⒧𝑟\n𝑟𝑚⒭hence\n\nTheory\nQ1-6\nEnglish (Official)\n𝑔𝑚(𝑟) = −\n4𝜋𝐶𝑚𝐺𝑟−𝑟𝑚arctan⒧𝑟\n𝑟𝑚⒭\n𝑟2\n(2)\nBut as −𝑚\n𝑣2𝑐,𝑚\n𝑟\n= −𝑚𝑔𝑚(𝑟)::::::::::::::::\n−𝑚\n𝑣2𝑐,𝑚\n𝑟\n= 𝑚𝑔𝑚(𝑟) we finally get 𝑣𝑐,𝑚= √𝑟𝑔𝑚(𝑟) ::::::::::::::\n𝑣𝑐,𝑚= √−𝑟𝑔𝑚(𝑟):wich writes\n𝑣𝑐,𝑚=\n\n\n\n⎷\n4𝜋𝐶𝑚𝐺𝑟−𝑟𝑚arctan⒧𝑟\n𝑟𝑚⒭\n𝑟\n(3)\nOne can then read 𝑘1 = 4𝜋𝐶𝑚𝐺and 𝑘2 = 4𝜋𝐶𝑚𝐺𝑟𝑚\nTwo regime could be considered:\n• if 𝑟≪𝑟𝑚, a third order Taylor expansion of arctan gives 𝑣𝑐,𝑚≃\n4𝜋𝐶𝑚𝐺𝑟2\n3𝑟2𝑚\n,\n• and if 𝑟≫𝑟𝑚then arctan⒧𝑟\n𝑟𝑚⒭≃𝜋/2 and 𝑣𝑐,𝑚≃√4𝜋𝐶𝑚𝐺.\nThe function 𝑣𝑐,𝑚(𝑟) is vanishing when 𝑟→0 and is asymptotically constant with value √4𝜋𝐶𝑚𝐺when\n𝑟→+∞: this corresponds to the observational curve for the galaxy considered (black circles on the right\npart of figure 1(B). A natural interpretation for 𝑟𝑚is the typical radius beyond which the circular velocity\nis constant. On this picture one can read 𝑣𝑐≃160km⋅s−1 for the constant value of 𝑣𝑐,𝑚after 𝑟𝑚, then one\ncan deduce 𝐶𝑚=\n𝑣2𝑐\n4𝜋𝐺≃\n(1,6.105)2\n4𝜋×6.67.10−11 ≃3.1019 kg⋅m−1. The mass embedded in a sphere of radius 𝑟is given by\n𝑀int = ∫\n𝑟\n0 4𝜋𝑥2𝜌𝑚(𝑥)𝑑𝑥= 4𝜋𝐶𝑚𝑟−𝑟𝑚arctan⒧𝑟\n𝑟𝑚⒭which reduces to 𝑀int ≃4𝜋𝐶𝑚𝑟if 𝑟≫𝑟𝑚. In the picture we\nhave a radius 𝑅= 9kpc = 2.27 × 1020 m of the galaxy, then a mass 𝑀inthefigure ≃4𝜋𝐶𝑚𝑅≃1041 kg ≃1011 M⊙.\nThis mass corresponds to more than ten times the value of the mass actually visible in this picture : this\nis the dark matter concept.\nMarker Scheme\nB.3.1 : 𝑔(𝑟) = 𝐺𝑀int(𝑟)/𝑟2 via Gauss' Theorem or another\nmethod resulting in an equivalent result.\n0.2\nB.3.2 : Interior mass\n0.3\nB.3.3. : Expression for 𝑔(𝑟)\n0.1\nB.3.4 : Using Newton's second law\n0.1\nB.3.5 : Expression for 𝑘1\n0.1\nB.3.6 : Expression for 𝑘2\n0.1\nB.3.7 : Simplification for 𝑣𝑐in the case 𝑟≪𝑟𝑚\n0.2\nB.3.8 : Simplification for 𝑣𝑐in the case 𝑟≫𝑟𝑚\n0.2\nB.3.9 : Value of 𝐶𝑚\n0.2\nB.3.10 : Expression for 𝑀𝑚in the case 𝑟≫𝑟𝑚\n0.2\nB.3.11 : Mass in the figure (good if nearest power of ten)\n0.1\nPart C - Mass distribution in our galaxy\nFor a spiral galaxy, the model for Eq. 1 is modified and one usually considers the gravitational potential\n\nTheory\nQ1-7\nEnglish (Official)\nis given by 𝜑𝐺(𝑟,𝑧) = 𝜑0 ln⒧𝑟\n𝑟0\n⒭exp⎡\n⎣\n−⒧𝑧\n𝑧0\n⒭\n2⎤\n⎦\n, where 𝑧is the distance to the galactic plane (defined by 𝑧= 0\n), and 𝑟< 𝑟0 is now the axial radius and 𝜑0 > 0 a constant to be determined. 𝑟0 and 𝑧0 are constant values.\nC.1\nFind the equation of motion on 𝑧for the vertical motion of a point mass 𝑚\nin such a potential, assuming 𝑟is constant. Show that, if 𝑟< 𝑟0, the galactic\nplane is a stable equilibrium state by giving the angular frequency 𝜔0 of small\noscillations around it.\n0.5pt\nSOLUTION:\nThe equation of motion is given by Newton's second law 𝑚−→\n𝑎= −→\n𝐹= −𝑚−→\n∇𝜑, projected on −→\n𝑢𝑧, it gives\n𝑚̈𝑧= −𝑚𝜕𝜑\n𝜕𝑧. Using the given potential we havë 𝑧= 2𝑧\n𝑧2\n0 𝜑0 ln⒧𝑟\n𝑟0 ⒭exp−⒧𝑧\n𝑧0 ⒭\n2\n. Near the galactic plane (\n𝑧= 0 ) the exponential is equal to 1 and can be simplified to givë 𝑧≃2𝑧\n𝑧2\n0 𝜑0 ln⒧𝑟\n𝑟0 ⒭. If 𝑟< 𝑟0 the ln is negative\nand the equation of motion is of the form̈ 𝑧≃−𝜔2\n0𝑧with 𝜔0 = \n2𝜑0\n𝑧2\n0\n|ln⒧𝑟\n𝑟0 ⒭| . This proves that 𝑧is oscillating\naround 𝑧= 0 and that the motion is stable.\nMarker Scheme\nC.1.1 : Newton's second law, or equivalent method\n0.1\nC.1.2 : Projection on the z axis\n0.1\nC.1.3 : Equation of motion\n0.1\nC.1.4 : Equation near the galactic plane\n0.1\nC.1.5 : Expression for 𝜔0\n0.1\nFrom here on, we set 𝑧= 0.\nC.2\nIdentify the regime, either 𝑟≫𝑟𝑚or 𝑟≪𝑟𝑚, in which the model of Eq. 1 recovers\na potential of the form 𝜑𝐺(𝑟,0) with a suitable definition of 𝜑0.\nUnder this condition 𝑣𝑐(𝑟) no longer depends on 𝑟. Express it in terms of 𝜑0.\n0.6pt\nSOLUTION:\nUsing the density given by equation (1) in part B, we have obtained\n𝑔𝑚(𝑟) = −\n4𝜋𝐶𝑚𝐺𝑟−𝑟𝑚arctan⒧𝑟\n𝑟𝑚⒭\n𝑟2\n(4)\nHence, considering 𝑟≫𝑟𝑚, one can simplify this relation to 𝑔𝑚(𝑟) ≃−4𝜋𝐶𝑚𝐺\n𝑟\n. The gravitational potential\ncan be obtained by integration, we then have : 𝜑(𝑟) = +4𝜋𝐶𝑚𝐺ln(𝑟)+cst . The constant can be found by\ncorrectly choosing the origin of the potential. This potential corresponds to: 𝜑𝐺(𝑟,𝑧= 0) = 𝜑0 ln⒧𝑟\n𝑟0 ⒭with\n𝜑0 = +4𝜋𝐶𝑚𝐺. In that case, the equation of motion in the galactic plane gives −𝑚𝑣2𝑐\n𝑟= −𝑚𝑔𝑚(𝑟) which\nwrites 𝑣𝑐= √𝑟𝑔𝑚(𝑟) = √4𝜋𝐶𝑚𝐺, so that 𝑣𝑐= √𝜑0 .\n\nTheory\nQ1-8\nEnglish (Official)\nMarker Scheme\nC2.1 : Condition for simplication 𝑟≫𝑟𝑚\n0.1\nC2.2 : Expression for 𝜑(𝑟)\n0.2\nC2.3 : Identification of 𝜑0\n0.1\nC2.4 : Newton's second law\n0.1\nC2.5 : Expression for 𝑣𝑐\n0.1\nTherefore, outside the bulge the velocity modulus 𝑣𝑐does not depend on the distance to the galactic\ncenter. We will use this fact, as astronomers do, to measure the galaxy's mass distribution from the\ninside.\nAll galactic objects considered here for astronomical observations, such as stars or nebulae, are primarily\ncomposed of hydrogen. Outside the bulge, we assume that they rotate on circular orbits around the\ngalactic center 𝐶. 𝑆is the sun's position and 𝐸that of a given galactic object emitting in the hydrogen\nspectrum. In the galactic plane, we consider a line of sight 𝑆𝐸corresponding to the orientation of an\nobservation, on the unit vector 𝑢𝑣(see Fig. 2).\nFig. 2: Geometry of the measurement\nLet ℓbe the galactic longitude, measuring the angle between 𝑆𝐶and the 𝑆𝐸. The sun's velocity on its\ncircular orbit of radius 𝑅⊙= 8.00kpc is denoted −→\n𝑣⊙. A galactic object in 𝐸orbits on another circle of radius\n𝑅at velocity −→\n𝑣𝐸. Using a Doppler effect on the previously studied 21cm line, one can obtain the relative\nradial velocity 𝑣𝑟𝐸/𝑆of the emitter 𝐸with respect to the sun 𝑆: it is the projection of⃗𝑣𝐸−⃗𝑣⊙on the line of\nsight.\nC.3\nDetermine 𝑣𝑟𝐸/𝑆in terms of ℓ, 𝑅, 𝑅⊙and 𝑣⊙. Then, express 𝑅in terms of 𝑅⊙, 𝑣⊙,\nℓand 𝑣𝑟𝐸/𝑆.\n0.7pt\n\nTheory\nQ1-9\nEnglish (Official)\nSOLUTION:\nWe have −→\n𝑆𝑠= 𝑣⊙sin(𝛼) 𝑢𝑣\nand −→\n𝐸𝑒= 𝑣𝐸cos(𝛽) 𝑢𝑣.\nIn the right triangle 𝑆𝑠𝑆𝑣the sum of angles gives\n\n⒧−→\n𝑆𝑠,−−→\n𝑆𝑆𝑣⒭= 𝜋\n2 −𝛼, but, as⃗𝑣⊙is perpendicular to the radius 𝐶𝑆, we also have\n\n⒧−→\n𝑆𝑠,−−→\n𝑆𝑆𝑣⒭= 𝜋\n2 −ℓ: then 𝛼= ℓ.\nOn the other side, we have 𝐶𝑇= 𝑅⊙sin(ℓ) = 𝑅sin( 𝜋\n2 −𝛽), which gives cos(𝛽) = 𝑅⊙\n𝑅sin(ℓ) . Merging all of\nthese results and taking into account that 𝑣𝐸= 𝑣⊙and that⃗𝑣𝑟𝐸/𝑆= −→\n𝐸𝑒−−→\n𝑆𝑠we have 𝑣𝑟𝐸/𝑆= 𝑣⊙⒧𝑅⊙\n𝑅−1⒭sin(ℓ)\nand finally 𝑅=\n𝑅⊙\n1+\n𝑣𝑟𝐸/𝑆\n𝑣⊙sin(ℓ)\n.\nMarker Scheme\nC3.1 : Expression for −→\n𝑆𝑠\n0.1\nC3.2 : Expression for −→\n𝐸𝑒\n0.1\nC3.3 : 𝛼= ℓ\n0.1\nC3.4 : Expression for cos(𝛽)\n0.1\nC3.5 : Expression for 𝑣𝑟,𝐸/𝑆\n0.2\nC3.6 : Expression for 𝑅\n0.1\nUsing a radio telescope, we make observations in the plane of our galaxy toward a longitude ℓ= 30°. The\nfrequency band used contains the 21cm line, whose frequency is 𝑓0 = 1.42GHz. The results are reported\nin Fig. 3.\nFig. 3: Electromagnetic signal as a function of the frequency shift, measured in the radio\nfrequency band at ℓ= 30° using EU-HOU RadioAstronomy\nC.4\nIn our galaxy, 𝑣⊙= 220km ⋅s−1. Determine the values of the relative radial ve-\nlocity (with 3 significant digits) and the distance from the galactic center (with\n2 significant digits) of the 3 sources observed in Fig. 3. Distances should be\nexpressed as multiples of 𝑅⊙.\n0.6pt\nSOLUTION:\n\nTheory\nQ1-10\nEnglish (Official)\nIn Fig. 3 one can measure the 3 frequency shifts ( 𝑓−𝑓0 ) corresponding to each peak : 𝛥𝑓1 = 0.03 MHz ,\n𝛥𝑓2 = 0.15 MHz and 𝑓3 = 0.26 MHz. One can then compute the relative Doppler velocity using 𝑣𝑟,𝑖= 𝑐𝛥𝑓𝑖/𝑓0\n, with 𝑓0 = 1420 MHz one gets\n•\n𝑣𝑟,1 = 6.33 km⋅s−1\n•\n𝑣𝑟,2 = 31.7 km⋅s−1\n•\n𝑣𝑟,3 = 54.9 km⋅s−1\nAs peaks are placed on grid points, the tolerance in the value is due to fact that candidates could use\n𝑐= 3.00×108 m/s in the place of the 9 digits given in the formulary.\nThe corresponding distances from the galactic center are then obtained using the relation 𝑅𝑖=\n𝑅⊙\n1+\n𝑣𝑟,𝑖\n𝑣⊙sinℓ\n,\nwith ℓ= 30° we obtain :\n•\n𝑅1 = 0.95𝑅⊙\n•\n𝑅2 = 0.78𝑅⊙\n•\n𝑅3 = 0.67𝑅⊙\nMarker Scheme\nC4.1 : Doppler formula for 𝑣𝑟\n0.1\nC4.2 : Getting the 3 numerical values for 𝛥𝑓\n0.2\nC4.3 : Numerical values of the 3 velocities (±0.01 km⋅s−1)\n0.2\nC4.4 : Numerical values of the 3 distances (±0.01𝑅⊙)\n0.1\nC.5\nOn the top view of our galaxy (in the answer box), indicate the positions of the\nsources observed in Fig. 3.\nWhat could be deduced from repeated measurements changing ℓ?\n0.6pt\nSOLUTION:\nAs indicated on the figure below, the right line of sight could be obtained geometrically (i.e. without\nprotractor) : using the 15° grid graduation one can going back from 30° from the perpendicular line to\nCS, we then obtain a radius which perpendicular to the line of sight, in other words as sin(30°)=0.5 the\nline of sight is passing by S and is tangenting the circle of radius CS/2.\nDrawing the circles or radius , and , the line of sight with from we get 2 possible intersection for each\npeak : a near one and a far one. We plot only the nearest for each source on the answer figure.\n\nTheory\nQ1-11\nEnglish (Official)\n.\n.\nR3\nR2\n.\nR1\n.\n`=30°\n.\n30°\nThe far intersections for each source is much further away and hence is likely less intense. Astronomers\ncould also use the variation in the radio signal when they slowly vary the longitude to determine the\nright position of the actual source. A continuous variation of ℓin the interval [0,2𝜋] makes hydrogen\nsources appear in the galaxy, as the galaxy is essentially composed of hydrogen, one can trace its mass\ndistribution : i.e. the spiral structure.\nMarker Scheme\nC5.1 : Getting the right line of sight\n0.1\nC5.2 : Drawing for the 3 circles\n0.2\nC5.3 : Drawing for the 3 points\n0.2\nC5.4 : Deduction\n0.1\nPart D - Tully-Fisher relation and MOND theory\nThe flat external velocity curve of NGC 6946 in Fig. 1 is a common property of spiral galaxies, as can\nbe seen in Fig. 4 (left). Plotting the external constant velocity value 𝑣𝑐,∞as a function of the measured\ntotal mass 𝑀tot of each galaxy gives an interesting correlation called the Tully-Fischer relation, see Fig. 4\n(right).\n\nTheory\nQ1-12\nEnglish (Official)\nNGC 3621\nNGC 5055\nNGC 2903\nNGC 7321\nNGC 3521\nNGC 2841\nlog    ( M    / M   )\ntot\nlog   ( v     / 1 km/s )\nc,1\nv     \nc,1\nSpiral galaxies\nfrom different surveys\nTully Fischer Relation\n¯\n10\n10\nFig. 4. Left: Rotation curves for typical spiral galaxies - Right: log10(𝑀tot) as a function of\nlog10(𝑣𝑐,∞) on linear scales. Colored dots correspond to different galaxies and different sur-\nveys. The green line is the Tully-Fischer relation which is in very good agreement with the best\nfit line of the data (in black).\nD.1\nAssuming that the radius 𝑅of a galaxy doesn't depend on its mass, show that\nthe model of Eq. 1 (part B) gives a relation of the form 𝑀tot = 𝜂𝑣𝛾\n𝑐,∞where 𝛾and\n𝜂should be specified.\nCompare this expression to the Tully-Fischer relation by computing 𝛾𝑇𝐹.\n0.4pt\nSOLUTION:\nWe have obtained 𝑣2\n𝑐,∞= 4𝜋𝐶𝑚𝐺and for a galaxy of radius 𝑅, we have 𝑀tot ≃4𝜋𝐶𝑚𝑅. This gives 𝐶𝑚= 𝑀tot\n4𝜋𝑅\nand 𝑣2\n𝑐,∞= 4𝜋𝑀tot\n4𝜋𝑅𝐺. This relation is of the expected form 𝑀tot = 𝜂𝑣𝛾\n𝑐,∞with 𝛾= 2 and 𝜂= 𝑅/𝐺. Analysing\nthe data we get the power law exponent of the Tully-Fisher relation as 𝛾𝑇𝐹≃\n12−9\n2.6−1.8 = 3.75 : the dark\nmatter model from part B is not able to reproduce this law.\nMarker Scheme\nD1.1 : Recall for 𝑣𝑐,∞\n0.1\nD1.2 : Expression for 𝜂\n0.1\nD1.3 : Expression for 𝛾\n0.1\nD1.4 : Numerical value for 𝛾𝑇𝐹(correct if it is between 3.5\nand 4)\n0.1\nIn the extremely low acceleration regime, of the order of 𝑎0 = 10−10 m ⋅s−2, the MOdified Newtonian Dy-\nnamics (MOND) theory suggests that one can modify Newton's second law using −→\n𝐹= 𝑚𝜇⒧𝑎\n𝑎0\n⒭−→\n𝑎where\n𝑎= ‖−→\n𝑎‖ is the modulus of the acceleration and the 𝜇function is defined by 𝜇(𝑥) =\n𝑥\n1+𝑥.\n\nTheory\nQ1-13\nEnglish (Official)\nD.2\nUsing data for NGC 6946 in Fig. 1, estimate, within Newton's theory, the mod-\nulus of the acceleration 𝑎𝑚of a mass in the outer regions of NGC 6946.\n0.2pt\nSOLUTION:\nConsidering that outer orbits are circular, the corresponding acceleration for a test mass 𝑚is radial and\ngiven in newtonian theory by 𝑎𝑚≃𝑣2\n𝑐/𝑅. In the case of NGC 6946, the value of the velocity is roughly\nconstant and equal to 𝑣𝑐= 160km ⋅s−1 as far 𝑅> 5 kpc. For this smallest distance from the center, the\nacceleration is 𝑎𝑚= (1.6.105)2\n5.3.1019 ≃1.5×10−10 m⋅s−2 , this value is the maximal acceleration to which as star is\nsubmitted in the outer regions of this galaxy. It corresponds to the MOND regime.\nMarker Scheme\nD2.1 : Expression for 𝑎𝑚\n0.1\nD2.2 : Numerical value for 𝑎𝑚(good nearest power of ten)\n0.1\nD.3\nLet 𝑚be a mass on a circular orbit of radius 𝑟with velocity 𝑣𝑐,∞in the gravity\nfield of a fixed mass 𝑀.\nWithin the MOND theory, with 𝑎≪𝑎0, determine the Tully-Fischer exponent.\nUsing data for NGC 6946 and/or Tully-Fischer law, calculate 𝑎0 to show that\nMOND operates in the correct regime.\n0.8pt\nSOLUTION:\nIf 𝑥= 𝑎/𝑎0 ≪1, then 𝜇(𝑥≪1) ≃𝑥and MOND theory gives −→\n𝐹= 𝑚𝑎\n𝑎0\n−→\n𝑎. Considering a gravitational inter-\naction between 𝑀and 𝑚we then have for the radial component of the modified Newton's second Law\n𝐺𝑀\n𝑟2 𝑚= 𝑚𝑎2\n𝑎0 . The radial acceleration on a circular orbit of radius 𝑟is always given by 𝑎= 𝑣2\n𝑐,∞/𝑟, the mod-\nified second law writes now 𝐺𝑀\n𝑟2 =\n𝑣4𝑐,∞\n𝑟2𝑎0 which gives 𝑣𝑐,∞= (𝑎0𝐺𝑀)1/4 , and thus 𝑀=\n1\n𝑎0𝐺𝑣4\n𝑐,∞. Considering\nthe notation from D.1, this is a power law relation with 𝛾MOND = 4 in accordance with the Tully-Fischer\nrelation.\nFor the NGC 6946 galaxy, we read 𝑣𝑐,∞= 160km⋅s−1 thus log10 ⒧\n𝑣𝑐,∞\n1km⋅s−1 ⒭= 2.2 and one can read the corre-\nsponding total mass by the Tully-Fischer relation as log(𝑀tot/𝑀⊙) = 10.5 thus 𝑀tot = 2.1040,5 kg. One can\nobtain similar numbers using experimental data on the curve of Fig. 4. Introducing these values in the\nrelation 𝑎0 =\n𝑣4𝑐,∞\n𝐺𝑀tot it gives 𝑎0 = 1.5×10−10 m⋅s−2 as expected.\nMarker Scheme\n\nTheory\nQ1-14\nEnglish (Official)\nD3.1 : Considering the hypothesis 𝑎≪𝑎0\n0.1\nD3.2 : Newton's second law\n0.1\nD3.3 : Expression for 𝑣𝑐,∞\n0.1\nD3.4 : Numerical value for 𝛾𝑀𝑂𝑁𝐷\n0.1\nD3.5 : Numerical value for log10(𝑣𝑐,∞/1km/s)\n0.1\nD3.6 : Numerical value for log10(𝑀)\n0.1\nD3.7 : Expression for 𝑎0\n0.1\nD3.8 : Numerical value for 𝑎0 (good if nearest power of ten)\n0.1\nD.4\nConsidering relevant cases, determine 𝑣𝑐(𝑟) for all values of 𝑟in the MOND the-\nory in the case of a gravitational field due to a homogeneously distributed mass\n𝑀with radius 𝑅𝑏.\n0.9pt\nSOLUTION:\nTaking the full formula for 𝜇, the modified second law with circular velocity 𝑣𝑐at radius 𝑟writes now\n𝒢(𝑟)𝑚= −𝑚\n𝑣2\n𝑓\n𝑎0𝑟\n1+\n𝑣2\n𝑓\n𝑎0𝑟\n𝑣2\n𝑓\n𝑟where 𝒢(𝑟) is the gravitational field of the homogeneous ball of mass 𝑀and with\nradius 𝑅𝑏. This field can be deduced from Gauss' theorem it is\n𝒢(𝑟) =\n⎧\n⎨\n⎩\n−𝐺𝑀/𝑟2\nif\n𝑟> 𝑅𝑏\n−𝐺𝑀𝑟/𝑅3\n𝑏\nif\n𝑟≤𝑅𝑏\n(5)\nOutside the ball : 𝑟> 𝑅𝑏. After a small reorganisation, 𝑣𝑐appears to be solution of the biquadratic equa-\ntion 𝑣4\n𝑐−𝐺𝑀\n𝑟𝑣2\n𝑐−𝑎0𝐺𝑀= 0 . The positive root of this equation is\n𝑣𝑐(𝑟) =\n\n\n\n⎷\n𝐺𝑀\n2𝑟\n⎛\n⎝\n1+1+ 4𝑎0𝑟2\n𝐺𝑀\n⎞\n⎠\nwhich is valid only if 𝑟> 𝑅𝑏\n(6)\nWhen 𝑟→∞, 𝑣𝑐is asymptotically constant and 𝑀→\n𝑣4𝑐,∞\n𝑎0𝐺\nwhich is the Tully-Fisher relation. Inside the ball\n: 𝑟≤𝑅𝑏. With a similar reorganisation, 𝑣𝑐appears now to be solution of another biquadratic equation\nwhich is 𝑣4\n𝑐−𝐺𝑀\n𝑟⒧𝑟\n𝑅𝑏⒭\n3 𝑣2\n𝑐−𝑎0𝐺𝑀⒧𝑟\n𝑅𝑏⒭\n3 = 0 . The positive solution is now\n𝑣𝑐(𝑟) =\n\n\n\n⎷\n𝐺𝑀\n2𝑟⒧𝑟\n𝑅𝑏\n⒭\n3 ⎡\n⎣\n1+1+ 4𝑎0𝑟2\n𝐺𝑀⒧𝑅𝑏\n𝑟⒭\n3⎤\n⎦\nwhich is valid only if 𝑟≤𝑅𝑏\n(7)\nWhen 𝑟→0, we recover 𝑣𝑐→0 as in the experimental data.\nMarker Scheme\n\nTheory\nQ1-15\nEnglish (Official)\nD4.1 : Modified second law\n0.1\nD4.2 : Gravitational field in the case 𝑟> 𝑅𝑏\n0.1\nD4.3 : Gravitational field in the case 𝑟< 𝑅𝑏\n0.1\nD4.4 : Bi-quadratic equation in the case 𝑟> 𝑅𝑏\n0.1\nD4.5 : Expression for 𝑣𝑐in the case 𝑟> 𝑅𝑏\n0.1\nD4.6 : Behaviour in the limit 𝑟→∞\n0.1\nD4.7 : Bi-quadractic equation for 𝑟< 𝑅𝑏\n0.1\nD4.8 : Expression for 𝑣𝑐when 𝑟< 𝑅𝑏\n0.1\nD4.9 : Behaviour when 𝑟→0\n0.1\n","shared":false,"sourcePages":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15]}},{"id":"ipho-2025-t2","importedOn":"2026-10-28","language":"en","sources":[{"url":"https://www.ipho2025.fr/sujets-officiels-ipho-france-2025","kind":"statement"},{"url":"/ipho/2025-t2-solutions.pdf","kind":"solution"}],"statement":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/ipho-2025-t2-statement/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/ipho-2025-t2-statement/page-1.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2025-t2-statement/page-2.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2025-t2-statement/page-3.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2025-t2-statement/page-4.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2025-t2-statement/page-5.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2025-t2-statement/page-6.webp","width":982,"height":1389}],"text":"Theory\nQ2-1\nEnglish (Official)\nCox's Timepiece (10 points)\nIn 1765, British clockmaker James Cox invented a clock whose only source of energy is the fluctuations\nin atmospheric pressure. Cox's clock used two vessels containing mercury. Changes in atmospheric\npressure caused mercury to move between the vessels, and the two vessels to move relative to each\nother. This movement acted as an energy source for the actual clock.\nWe propose an analysis of this device. Throughout,\nwe assume that\n• the Earth's gravitational field −→\n𝑔= −𝑔−→\n𝑢𝑧is uni-\nform with 𝑔= 9.8m⋅s−2 and −→\n𝑢𝑧a unit vector;\n• all liquids are incompressible and their density\nis denoted 𝜌;\n• no surface tension effects will be considered;\n• the variations of atmospheric pressure with al-\ntitude are neglected;\n• the surrounding temperature 𝑇a is uniform\nand all transformations are isothermal.\nFig. 1. Artistic view of Cox's clock 1\nPart A - Pulling on a submerged tube\nWe first consider a bath of water that occupies the semi-infinite space 𝑧≤0. The air above it is at a\npressure 𝑃a = 𝑃0. A cylindrical vertical tube of length 𝐻= 1m, cross-sectional area 𝑆= 10cm2 and mass\n𝑚= 0.5kg is dipped into the bath. The bottom end of the tube is open, and the top end of the tube is\nclosed. We denote ℎthe altitude of the top of the tube and 𝑧ℓthat of the water inside the tube. The\nthickness of the tube walls is neglected.\na\n−→\n𝑔\n•\n−→\n𝐹\n𝐻\n𝑧\n−\nℎ= 𝑧ℓ= 0\nb\n•\n−→\n𝐹\n𝑧\n−\n0\n−\nℎ= 𝑧ℓ\nc\n•\n−→\n𝐹\n𝑧\n−\n0\n−\n𝑧ℓ\n−\nℎ\nFig. 2. Sketch of the tube in different configurations\n\nTheory\nQ2-2\nEnglish (Official)\nWe start from the situation where the tube in Fig. 2 contains no gas and its top is at the bath level: in\nother words, ℎ= 0 and 𝑧ℓ= 0 (case a). The tube is then slowly lifted until its bottom end reaches the bath\nlevel. The pulling force exerted on the tube is denoted −→\n𝐹= 𝐹−→\n𝑢𝑧.\nA.1\nFor the configuration shown in Fig. 2 (case b), express the pressure 𝑃w in the\nwater at the top of the tube. Also express the force −→\n𝐹necessary to maintain the\ntube at this position. Expressions must be written in terms of 𝑃0, 𝜌, 𝑚, 𝑆, ℎ, 𝑔\nand −→\n𝑢𝑧.\n0.2pt\nThree experiments are performed. In each, the tube is lifted from the initial state shown in Fig. 2(a)\nunder the conditions specified in Table 1.\nExperiment\nLiquid\n𝑇a (°C)\n𝜌(kg⋅m−3)\n𝑃sat (Pa)\n1\nWater\n20\n1.00 × 103\n2.34 × 103\n2\nWater\n80\n0.97 × 103\n47.4 × 103\n3\nWater\n99\n0.96 × 103\n99.8 × 103\nTable 1. Experimental conditions and numerical values of physical quantities for each experiment\n(𝑃sat designates the saturated vapour pressure of the pure fluid)\nIn each case, we study the evolution of the force 𝐹that must be applied in order to maintain the tube\nin equilibrium at an altitude ℎ, the external pressure being fixed at 𝑃a = 𝑃0 = 1.000×105 Pa. Two different\nbehaviours are possible\nBehaviour A\n0\nℎ\n𝐹\n𝐹0\n|\n𝐻\n−\n𝐹max\nBehaviour B\n0\nℎ\n𝐹\n𝐹0\n|\n𝐻\n−\n𝐹max\n|\nℎ⋆\nA.2\nFor each experiment, complete the table in the answer sheet to indicate the ex-\npected behaviour and the numerical values for 𝐹max and for ℎ⋆(when pertinent),\nwhere 𝐹max and ℎ⋆are defined in the figures illustrating the two behaviours.\n0.8pt\nWhen we replace the water with liquid mercury (whose properties are given below), behaviour B is ob-\nserved.\nLiquid\n𝑇a (°C)\n𝜌(kg⋅m−3)\n𝑃sat (Pa)\nMercury\n20\n13.5 × 103\n0.163\n\nTheory\nQ2-3\nEnglish (Official)\nA.3\nExpress the relative error, denoted 𝜀, committed when we evaluate the maximal\nforce 𝐹max neglecting 𝑃sat compared to 𝑃0. Give the numerical value of 𝜀.\n0.3pt\nPart B - Two-part barometric tube\nFrom now on, we work with mercury (density\n𝜌= 13.5 × 103 kg⋅m−3) at the ambient tempera-\nture 𝑇a = 20°C and we take 𝑃sat = 0.\nLet us consider a tube with a reservoir on top,\nmodeled as two superposed cylinders of differ-\nent dimensions, as shown in Fig. 3.\n• the bottom part (still called the tube)\nhas cross-sectional area 𝑆t and height\n𝐻t = 80cm ;\n• the\ntop\npart\n(called\nthe\nbulb)\nhas\ncross-sectional area 𝑆b > 𝑆t and height\n𝐻b = 20cm.\nThis two-part tube is dipped into a semi-infinite\nliquid bath.\n•\n𝑧\n−\n0\n−\nℎt\n𝐻t = 80cm\n𝐻b = 20cm\n−\n𝑧ℓ\n−→\n𝑔\n−→\n𝐹\nFig. 3. Sketch of the two-part barometric tube\nAs in Part A, the system is prepared such that the tube contains no air. We identify the vertical position\nof the tube by the altitude ℎt of the junction between the tube and the bulb. The height of the column\nof mercury is again denoted 𝑧ℓ. The force −→\n𝐹that must be exerted to maintain the tube in equilibrium in\nthe configuration shown in Fig. 3 can now be written as\n−→\n𝐹= ⒧𝑚tb +𝑚add⒭𝑔−→\n𝑢𝑧\n(1)\nwhere 𝑚tb is the total mass of the two-part tube (when empty of mercury).\nB.1\nOn the answer sheet, color the area corresponding to the volume of liquid mer-\ncury that is responsible for the term 𝑚add appearing in equation (1).\n0.3pt\nThe mass 𝑚add depends both on the height ℎt and the atmospheric pressure 𝑃a. For the next question,\nassume that the atmospheric pressure is fixed at 𝑃a = 𝑃0 = 1.000×105 Pa. Starting from the situation where\nthe system is completely submerged, the tube is slowly lifted until its base is flush with the liquid bath.\nB.2\nSketch the evolution of the mass 𝑚add as a function of ℎt for ℎt ∈−𝐻b,𝐻t. On\nthe graph, provide the expression for the slopes of the different segments, as\nwell as the ℎt analytical value of any angular points, in terms of 𝑃0, 𝜌, 𝑔, 𝑆b, 𝑆t,\n𝐻b and 𝐻t.\n1.4pt\n\nTheory\nQ2-4\nEnglish (Official)\nAs the system is lifted while 𝑃a = 𝑃0 = 105 Pa, we stop when the free surface of the liquid is in the middle\nof the bulb. The value of ℎt is fixed and then we observe variations in the mass 𝑚add due to variations in\nthe atmospheric pressure described by\n𝑃a (𝑡) = 𝑃0 +𝑃1 (𝑡)\n(2)\nwhere 𝑃0 designates the average value and 𝑃1 is a perturbative term. We model 𝑃1 by a periodic triangular\nfunction of amplitude 𝐴= 5×102 Pa and period 𝜏1 of 1 week.\n0\n𝑡\n𝑃1 (𝑡)\n−\n−𝐴\n−\n𝐴\n𝜏1\nFig. 4. Simplified model of the perturbative term 𝑃1 (𝑡)\nB.3\nGiven that 𝑆t = 5cm2 and 𝑆b = 200cm2, express the amplitude 𝛥𝑚add of the varia-\ntions of the mass 𝑚add over time, then give its numerical value. Assume that the\nliquid surface always stays in the bulb.\n0.3pt\nPart C - Cox's timepiece\nThe real mechanism developed by Cox is complex (Fig. 5). We study a simplified version, depicted in Fig.\n6, and described below\n• a cylindrical bottom cistern containing a mercury bath ;\n• a two-part barometric tube identical to that studied in part B, which is still completely emptied of\nany air, is dipped into the bath ;\n• the cistern and the two-part tube are each suspended by a cable. Both cables (assumed to be\ninextensible and of negligible mass) pass through a system of ideal pullies and finish attached to\neither side of the same mass 𝑀, which can slide on a horizontal surface ;\n• the total volume of liquid mercury contained in the system is 𝑉ℓ= 5L.\nThe height, cross-section and masses of each part are given in Table 2. The position of mass 𝑀is ref-\nerenced by the coordinate 𝑥of its center of mass. We consider solid friction between the horizontal\nsupport and the mass 𝑀, without distinction between static and dynamic coefficients; the magnitude of\nthis force when sliding occurs is denoted 𝐹s.\nTwo stops limit the displacement of the mass 𝑀such that −𝑋≤𝑥≤𝑋(with 𝑋> 0). Assume that the value\nof 𝑋guarantees that\n• the bottom of the two-part tube never touches the bottom of the cistern nor comes out of the liquid\nbath;\n• the altitude 𝑧ℓof the mercury column is always in the upper bulb.\n\nTheory\nQ2-5\nEnglish (Official)\nFig. 5. Real Cox's timepiece 2 (without\nmercury)\n𝑀\n𝑥\n𝑥\n|\n𝑋\n|\n−𝑋\n•\n•\n•\n•\n•\n•\n•\n•\n•\n−→\n𝑔\nliquid mercury\n1\n2\n2′\nFig. 6. Sketch of the system modeling the timepiece\nReference\nName\nHeight\nCross section area\nEmpty mass\n1\ncistern\n𝐻c = 30cm\n𝑆c = 210cm2\n𝑚c\n2\ntubular part of the\nbarometric tube\n𝐻t = 80cm\n𝑆t = 5cm2\ntotal mass of\nthe barometric\ntube : 𝑚tb\n2′\nbulb of the\nbarometric tube\n𝐻b = 20cm\n𝑆b = 200cm2\nTable 2. Dimensions and notations for the model system\nThe system evolves in contact with the atmosphere, whose pressure fluctuates as in Fig. 4 (still with\namplitude 𝐴= 5 × 102 Pa and period 𝜏1 = 1week). At the start 𝑡= 0, the mass 𝑀is at rest at 𝑥= 0 and the\ntensions exerted by the two cables on either side of the mass 𝑀are in balance while 𝑃1 (0) = 0. We define\n𝜉= 𝑆b +𝑆c −𝑆t\n𝑆b 𝑆c\n𝐹s\n𝐴≃𝑆b +𝑆c\n𝑆b 𝑆c\n𝐹s\n𝐴\n(3)\nwhere the last expression uses that 𝑆t ≪𝑆b, 𝑆c (which we will assume is valid until the end of the problem).\nC.1\nDetermine the threshold 𝜉⋆such that 𝑀remains indefinitely at rest when 𝜉> 𝜉⋆.\n1pt\n\nTheory\nQ2-6\nEnglish (Official)\nFor the next question only, suppose that the mass 𝑀is temporarily blocked at 𝑥= 𝑋.\nC.2\nGive an expression for the total tension force −→\n𝑇= 𝑇−→\n𝑢𝑥acting on the mass 𝑀\ndue to the tension in two cables at this position, when 𝑃1 = 0, in terms of 𝜌, 𝑔, 𝑋\nand pertinent cross-sections.\n1pt\nWhen 𝜉< 𝜉⋆, starting again from 𝑥= 0 and 𝑃1 = 0, two different behaviours can be observed for 𝑡≥0. To\ndistinguish them, we need to introduce another parameter\n𝜆= 2⒧𝑆b −𝑆t⒭\n𝑆b\n𝜌𝑔𝑋\n𝐴\n≃2𝜌𝑔𝑋\n𝐴\n(4)\nC.3\nComplete the table in the answer sheet to indicate the condition under which\neach regime is obtained. Conditions must be expressed as inequalities on 𝜉\nand/or 𝜆. In addition, sketch the variations of 𝑥(𝑡)/𝑋for 𝑡∈0, 3𝜏1that are con-\nsistent with the variations of 𝑃1 (𝑡)/𝐴already present. Specification of remarkable\npoints coordinates is not required.\n2pt\nIn the real Cox's timepiece, energy provided by the mechanism is stored using a system of ratchets\nand used to raise a counterweight, like in a traditional clock. In the simplified model studied here, the\nenergy recovered by the clock corresponds to the energy dissipated by the friction force exerted by the\nhorizontal surface on the mass 𝑀. From now on, we assume that the system is dimensioned such that\nto work in the regime that allows the clock to recuperate energy. We also assume that the permanent\nregime is established. We denote 𝑊the energy dissipated by the solid friction force during a period 𝜏1,\nwhich can be expressed only in terms of 𝐹s and 𝑋.\nAll else equal, 𝐹s and 𝑋can be adjusted to maximize the energy 𝑊; we denote 𝐹⋆\ns and 𝑋⋆their respective\nvalues in the optimal situation.\nC.4\nConsidering 𝑆b ≃𝑆c and 𝑆t ≪𝑆b, determine the expressions for 𝐹⋆\ns and 𝑋⋆as\nfunctions of 𝜌, 𝑔, 𝑆c and 𝐴. Express the corresponding maximum energy 𝑊⋆,\nthen calculate its numerical value with 𝐴= 5×102 Pa.\n1pt\nWe denote 𝑊⋆\npr the work of atmospheric pressure forces received by the system in the optimal situation\nduring a period 𝜏1.\nC.5\nExpress 𝑊⋆\npr, then calculate the ratio 𝑊⋆/𝑊⋆\npr. It could be useful to represent the\nevolution of the system in a (𝑃,𝑉) diagram, where 𝑉is the system's volume.\n1.7pt\nCredits:\n[1]: Bruno Vacaro;\n[2]: Victoria and Albert Museum, London. \n","shared":false,"sourcePages":[1,2,3,4,5,6]},"solution":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/ipho-2025-t2-solution/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/ipho-2025-t2-solution/page-1.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2025-t2-solution/page-2.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2025-t2-solution/page-3.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2025-t2-solution/page-4.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2025-t2-solution/page-5.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2025-t2-solution/page-6.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2025-t2-solution/page-7.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2025-t2-solution/page-8.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2025-t2-solution/page-9.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2025-t2-solution/page-10.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2025-t2-solution/page-11.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2025-t2-solution/page-12.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2025-t2-solution/page-13.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2025-t2-solution/page-14.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2025-t2-solution/page-15.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2025-t2-solution/page-16.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2025-t2-solution/page-17.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2025-t2-solution/page-18.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2025-t2-solution/page-19.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2025-t2-solution/page-20.webp","width":982,"height":1389}],"text":"Theory\nQ2-1\nEnglish (Official)\nCox's Timepiece (10 points)\nIn 1765, British clockmaker James Cox invented a clock whose only source of energy is the fluctuations\nin atmospheric pressure. Cox's clock used two vessels containing mercury. Changes in atmospheric\npressure caused mercury to move between the vessels, and the two vessels to move relative to each\nother. This movement acted as an energy source for the actual clock.\nWe propose an analysis of this device. Throughout,\nwe assume that\n• the Earth's gravitational field −→\n𝑔= −𝑔−→\n𝑢𝑧is uni-\nform with 𝑔= 9.8m⋅s−2 and −→\n𝑢𝑧a unit vector;\n• all liquids are incompressible and their density\nis denoted 𝜌;\n• no surface tension effects will be considered;\n• the variations of atmospheric pressure with al-\ntitude are neglected;\n• the surrounding temperature 𝑇a is uniform\nand all transformations are isothermal.\nFig. 1. Artistic view of Cox's clock 1\nPart A - Pulling on a submerged tube\nWe first consider a bath of water that occupies the semi-infinite space 𝑧≤0. The air above it is at a\npressure 𝑃a = 𝑃0. A cylindrical vertical tube of length 𝐻= 1m, cross-sectional area 𝑆= 10cm2 and mass\n𝑚= 0.5kg is dipped into the bath. The bottom end of the tube is open, and the top end of the tube is\nclosed. We denote ℎthe altitude of the top of the tube and 𝑧ℓthat of the water inside the tube. The\nthickness of the tube walls is neglected.\na\n−→\n𝑔\n•\n−→\n𝐹\n𝐻\n𝑧\n−\nℎ= 𝑧ℓ= 0\nb\n•\n−→\n𝐹\n𝑧\n−\n0\n−\nℎ= 𝑧ℓ\nc\n•\n−→\n𝐹\n𝑧\n−\n0\n−\n𝑧ℓ\n−\nℎ\nFig. 2. Sketch of the tube in different configurations\n\nTheory\nQ2-2\nEnglish (Official)\nWe start from the situation where the tube in Fig. 2 contains no gas and its top is at the bath level: in\nother words, ℎ= 0 and 𝑧ℓ= 0 (case a). The tube is then slowly lifted until its bottom end reaches the bath\nlevel. The pulling force exerted on the tube is denoted −→\n𝐹= 𝐹−→\n𝑢𝑧.\nA.1\nFor the configuration shown in Fig. 2 (case b), express the pressure 𝑃w in the\nwater at the top of the tube. Also express the force −→\n𝐹necessary to maintain the\ntube at this position. Expressions must be written in terms of 𝑃0, 𝜌, 𝑚, 𝑆, ℎ, 𝑔\nand −→\n𝑢𝑧.\n0.2pt\nSOLUTION:\nAccording to the hydrostatic law, one has\n𝑃w = 𝑃a −𝜌𝑔ℎ= 𝑃0 −𝜌𝑔ℎ\nIn the configuration shown in Fig. 2 (case b), the tube is submitted to three forces: its weight, the resul-\ntant of the pressure forces and the force exerted by the operator. Thus, at equilibrium, one has\n−→\n0 = 𝑚−→\n𝑔+⒧𝑃w −𝑃0⒭𝑆−→\n𝑢𝑧+−→\n𝐹\nwhich leads to\n−→\n𝐹= −𝑚+𝜌𝑆ℎ−→\n𝑔= 𝑚+𝜌𝑆ℎ𝑔−→\n𝑢𝑧\nMARKING SCHEME:\nExpression of 𝑃w (as a function of 𝑃a or 𝑃0)\n0.1\nExpression of −→\n𝐹\n0.1\nThree experiments are performed. In each, the tube is lifted from the initial state shown in Fig. 2(a)\nunder the conditions specified in Table 1.\nExperiment\nLiquid\n𝑇a (°C)\n𝜌(kg⋅m−3)\n𝑃sat (Pa)\n1\nWater\n20\n1.00 × 103\n2.34 × 103\n2\nWater\n80\n0.97 × 103\n47.4 × 103\n3\nWater\n99\n0.96 × 103\n99.8 × 103\nTable 1. Experimental conditions and numerical values of physical quantities for each experiment\n(𝑃sat designates the saturated vapour pressure of the pure fluid)\nIn each case, we study the evolution of the force 𝐹that must be applied in order to maintain the tube\nin equilibrium at an altitude ℎ, the external pressure being fixed at 𝑃a = 𝑃0 = 1.000×105 Pa. Two different\nbehaviours are possible\n\nTheory\nQ2-3\nEnglish (Official)\nBehaviour A\n0\nℎ\n𝐹\n𝐹0\n|\n𝐻\n−\n𝐹max\nBehaviour B\n0\nℎ\n𝐹\n𝐹0\n|\n𝐻\n−\n𝐹max\n|\nℎ⋆\nA.2\nFor each experiment, complete the table in the answer sheet to indicate the ex-\npected behaviour and the numerical values for 𝐹max and for ℎ⋆(when pertinent),\nwhere 𝐹max and ℎ⋆are defined in the figures illustrating the two behaviours.\n0.8pt\nSOLUTION:\nPhysically, the altitude ℎ⋆corresponds to the threshold at which saturated vapour appears in the tube.\nThis altitude can be expressed using the hydrostatic law, writing\n𝑃w = 𝑃0 −𝜌𝑔ℎ⋆= 𝑃sat ⒧𝑇a⒭.\nOne can find\nℎ⋆= 𝑃0 −𝑃sat ⒧𝑇a⒭\n𝜌𝑔\n,\nand calculate its numerical value for each experiment. If the value obtained is higher than 𝐻, behaviour\nA is observed; otherwise, behaviour B is observed. According to the previous question, the force 𝐹is\nrelated to ℎby\n𝐹= 𝑚+𝜌𝑆ℎ𝑔\nwhich leads to\n𝐹max =\n⎧⎪\n⎨\n⎪⎩\n𝑚+𝜌𝑆𝐻𝑔\nfor behaviour A\n𝑚+𝜌𝑆ℎ⋆𝑔\nfor behaviour B\nOne can deduce the following predictions:\nExperiment\nBehaviour (A or B ?)\nℎ⋆(cm)\n𝐹max (N)\n1\nA\n14.7\n2\nA\n14.4\n3\nB\n2.1\n5.1\n\nTheory\nQ2-4\nEnglish (Official)\nMARKING SCHEME:\nAll behaviours are correct (*all or nothing*): A/A/B\n0.2\nExperiment 1: Numerical value of 𝐹max in 14.6,15(N)\n0.1\nExperiment 2: Numerical value of 𝐹max in 14,14.5(N)\n0.1\nExperiment 3: Numerical value of ℎ⋆in 2,2.2(cm) (0.1 pt if\nonly literal expression is correct)\n0.2\nExperiment 3: Numerical value of 𝐹max in 5,5.2(N) (0.1 pt if\nonly literal expression is correct)\n0.2\nWhen we replace the water with liquid mercury (whose properties are given below), behaviour B is ob-\nserved.\nLiquid\n𝑇a (°C)\n𝜌(kg⋅m−3)\n𝑃sat (Pa)\nMercury\n20\n13.5 × 103\n0.163\nA.3\nExpress the relative error, denoted 𝜀, committed when we evaluate the maximal\nforce 𝐹max neglecting 𝑃sat compared to 𝑃0. Give the numerical value of 𝜀.\n0.3pt\nSOLUTION:\nFor behaviour B, the expression of 𝐹max previously obtained can be reformulated as\n𝐹max = 𝑚𝑔+⒧𝑃0 −𝑃sat⒭𝑆\nNeglecting the saturated vapour pressure compared to the atmospheric pressure, one obtains\n𝐹max ≃𝑚𝑔+𝑃0 𝑆\nThus, the relative error 𝜀is given by\n𝜀=\n𝑃sat\n𝑃0 +𝑚𝑔/𝑆≃1.6×10−6\nMARKING SCHEME:\nLiteral expression of 𝜀(with or without 𝑃sat in denominator)\n0.2\nNumerical value of 𝜀in 1,2×10−6\n0.1\nPart B - Two-part barometric tube\n\nTheory\nQ2-5\nEnglish (Official)\nFrom now on, we work with mercury (density\n𝜌= 13.5 × 103 kg⋅m−3) at the ambient tempera-\nture 𝑇a = 20°C and we take 𝑃sat = 0.\nLet us consider a tube with a reservoir on top,\nmodeled as two superposed cylinders of differ-\nent dimensions, as shown in Fig. 3.\n• the bottom part (still called the tube)\nhas cross-sectional area 𝑆t and height\n𝐻t = 80cm ;\n• the\ntop\npart\n(called\nthe\nbulb)\nhas\ncross-sectional area 𝑆b > 𝑆t and height\n𝐻b = 20cm.\nThis two-part tube is dipped into a semi-infinite\nliquid bath.\n•\n𝑧\n−\n0\n−\nℎt\n𝐻t = 80cm\n𝐻b = 20cm\n−\n𝑧ℓ\n−→\n𝑔\n−→\n𝐹\nFig. 3. Sketch of the two-part barometric tube\nAs in Part A, the system is prepared such that the tube contains no air. We identify the vertical position\nof the tube by the altitude ℎt of the junction between the tube and the bulb. The height of the column\nof mercury is again denoted 𝑧ℓ. The force −→\n𝐹that must be exerted to maintain the tube in equilibrium in\nthe configuration shown in Fig. 3 can now be written as\n−→\n𝐹= ⒧𝑚tb +𝑚add⒭𝑔−→\n𝑢𝑧\n(1)\nwhere 𝑚tb is the total mass of the two-part tube (when empty of mercury).\nB.1\nOn the answer sheet, color the area corresponding to the volume of liquid mer-\ncury that is responsible for the term 𝑚add appearing in equation (1).\n0.3pt\nSOLUTION:\nBy adapting the reasoning used at part A, one can deduce that the mass 𝑚add corresponds to the liquid\nmass in the two-part tube which is above the outside surface of the liquid bath, as shown below.\n𝑧\n−\n0\n−\n𝑧ℓ\n𝑚add\n\nTheory\nQ2-6\nEnglish (Official)\nMARKING SCHEME:\nColoring of the correct area (0.1 pt only if a correct\nexpression of 𝑚add is provided but the colored area is\nincorrect)\n0.3\nThe mass 𝑚add depends both on the height ℎt and the atmospheric pressure 𝑃a. For the next question,\nassume that the atmospheric pressure is fixed at 𝑃a = 𝑃0 = 1.000×105 Pa. Starting from the situation where\nthe system is completely submerged, the tube is slowly lifted until its base is flush with the liquid bath.\nB.2\nSketch the evolution of the mass 𝑚add as a function of ℎt for ℎt ∈−𝐻b,𝐻t. On\nthe graph, provide the expression for the slopes of the different segments, as\nwell as the ℎt analytical value of any angular points, in terms of 𝑃0, 𝜌, 𝑔, 𝑆b, 𝑆t,\n𝐻b and 𝐻t.\n1.4pt\nSOLUTION:\nUsing the same reasoning as in question A2, one can determine that saturated vapour appears in the\ntwo-part barometric tube when the altitude of the liquid column in the tube reaches the critical value\n𝑧⋆\nℓ= 𝑃0 −𝑃sat\n𝜌𝑔\n= 𝑃0\n𝜌𝑔= 76cm\ntaking 𝑃sat = 0. Combining this result with that of the previous question, one obtains the following graph:\nℎt\n𝑚add\n0\n|\n−𝐻b\n|\n𝑧⋆\nℓ−𝐻b\n(= 56cm)\n|\n𝑧⋆\nℓ\n(= 76cm)\n|\n𝐻t\nslope : 𝜌𝑆b\nslope : 𝜌𝑆t\nslope : −𝜌⒧𝑆b −𝑆t⒭\nslope : 0\nMARKING SCHEME:\n\nTheory\nQ2-7\nEnglish (Official)\nQualitative aspect: Graph with 4 straight pieces (0.1pt only if\nthere are 3 pieces; 0 else)\n0.2\nQualitative aspect: For the 1st & 2nd pieces, the slopes are\npositive *and* the slope of 2nd piece is less than that of 1st\n(*all or nothing*)\n0.2\nQualitative aspect: The 3rd piece has a negative slope\n0.2\nQualitative aspect: The 4th piece has a null slope\n0.2\nExpressions of the two first slopes (*all or nothing*)\n0.1\nExpression of the negative slope\n0.2\nℎt analytical values of the 3 intermediate angular points\n(0.1pt per value)\n0.3\nAs the system is lifted while 𝑃a = 𝑃0 = 105 Pa, we stop when the free surface of the liquid is in the middle\nof the bulb. The value of ℎt is fixed and then we observe variations in the mass 𝑚add due to variations in\nthe atmospheric pressure described by\n𝑃a (𝑡) = 𝑃0 +𝑃1 (𝑡)\n(2)\nwhere 𝑃0 designates the average value and 𝑃1 is a perturbative term. We model 𝑃1 by a periodic triangular\nfunction of amplitude 𝐴= 5×102 Pa and period 𝜏1 of 1 week.\n0\n𝑡\n𝑃1 (𝑡)\n−\n−𝐴\n−\n𝐴\n𝜏1\nFig. 4. Simplified model of the perturbative term 𝑃1 (𝑡)\nB.3\nGiven that 𝑆t = 5cm2 and 𝑆b = 200cm2, express the amplitude 𝛥𝑚add of the varia-\ntions of the mass 𝑚add over time, then give its numerical value. Assume that the\nliquid surface always stays in the bulb.\n0.3pt\nSOLUTION:\nBy neglecting the saturated vapour pressure in the bulb, the altitude 𝑧ℓof the free surface of the liquid\nin the tube is given by\n𝑧ℓ(𝑡) = 𝑃a (𝑡)\n𝜌𝑔\n= 𝑃0\n𝜌𝑔+ 𝑃1 (𝑡)\n𝜌𝑔=\nℎt + 𝐻b\n2\n\nmean value 𝑧ℓ,0\n+\n𝑃1 (𝑡)\n𝜌𝑔\n\nperturbative term\nwhich leads to\n\nTheory\nQ2-8\nEnglish (Official)\n𝑚add (𝑡) = 𝜌𝑆t ℎt +𝑆b ⒧𝑧ℓ(𝑡)−ℎt⒭= 𝜌𝑆t ℎt +𝑆b ⒧𝑧ℓ,0 −ℎt⒭+ 𝑆b 𝑃1 (𝑡)\n𝑔\nThe first term gives the mean value of the mass 𝑚add (𝑡), while the last term characterizes its temporal\nvariations. One can deduce the magnitude\n𝛥𝑚add = 𝑆b 𝐴\n𝑔\n≃1kg\nMARKING SCHEME:\nLiteral expression of 𝛥𝑚add\n0.2\nNumerical value *with unit*, in 1kg,1.1kg\n0.1\nPart C - Cox's timepiece\nThe real mechanism developed by Cox is complex (Fig. 5). We study a simplified version, depicted in Fig.\n6, and described below\n• a cylindrical bottom cistern containing a mercury bath ;\n• a two-part barometric tube identical to that studied in part B, which is still completely emptied of\nany air, is dipped into the bath ;\n• the cistern and the two-part tube are each suspended by a cable. Both cables (assumed to be\ninextensible and of negligible mass) pass through a system of ideal pullies and finish attached to\neither side of the same mass 𝑀, which can slide on a horizontal surface ;\n• the total volume of liquid mercury contained in the system is 𝑉ℓ= 5L.\nThe height, cross-section and masses of each part are given in Table 2. The position of mass 𝑀is ref-\nerenced by the coordinate 𝑥of its center of mass. We consider solid friction between the horizontal\nsupport and the mass 𝑀, without distinction between static and dynamic coefficients; the magnitude of\nthis force when sliding occurs is denoted 𝐹s.\nTwo stops limit the displacement of the mass 𝑀such that −𝑋≤𝑥≤𝑋(with 𝑋> 0). Assume that the value\nof 𝑋guarantees that\n• the bottom of the two-part tube never touches the bottom of the cistern nor comes out of the liquid\nbath;\n• the altitude 𝑧ℓof the mercury column is always in the upper bulb.\n\nTheory\nQ2-9\nEnglish (Official)\nFig. 5. Real Cox's timepiece 2 (without\nmercury)\n𝑀\n𝑥\n𝑥\n|\n𝑋\n|\n−𝑋\n•\n•\n•\n•\n•\n•\n•\n•\n•\n−→\n𝑔\nliquid mercury\n1\n2\n2′\nFig. 6. Sketch of the system modeling the timepiece\nReference\nName\nHeight\nCross section area\nEmpty mass\n1\ncistern\n𝐻c = 30cm\n𝑆c = 210cm2\n𝑚c\n2\ntubular part of the\nbarometric tube\n𝐻t = 80cm\n𝑆t = 5cm2\ntotal mass of\nthe barometric\ntube : 𝑚tb\n2′\nbulb of the\nbarometric tube\n𝐻b = 20cm\n𝑆b = 200cm2\nTable 2. Dimensions and notations for the model system\nThe system evolves in contact with the atmosphere, whose pressure fluctuates as in Fig. 4 (still with\namplitude 𝐴= 5 × 102 Pa and period 𝜏1 = 1week). At the start 𝑡= 0, the mass 𝑀is at rest at 𝑥= 0 and the\ntensions exerted by the two cables on either side of the mass 𝑀are in balance while 𝑃1 (0) = 0. We define\n𝜉= 𝑆b +𝑆c −𝑆t\n𝑆b 𝑆c\n𝐹s\n𝐴≃𝑆b +𝑆c\n𝑆b 𝑆c\n𝐹s\n𝐴\n(3)\nwhere the last expression uses that 𝑆t ≪𝑆b, 𝑆c (which we will assume is valid until the end of the problem).\nC.1\nDetermine the threshold 𝜉⋆such that 𝑀remains indefinitely at rest when 𝜉> 𝜉⋆.\n1pt\n\nTheory\nQ2-10\nEnglish (Official)\nSOLUTION:\nConsider the case in which the mass 𝑀stays at rest at 𝑥= 0. At the start 𝑡= 0, the tensions exerted\nby the two cables on either side of the mass 𝑀are in balance: the force 𝐹0 required to suspend the\nbarometric tube (with the fluid it contains) is equal to that required to suspend the cistern (with the fluid\nit contains). When the atmospheric pressure increases from 𝑃a = 𝑃0, the fluid rises in the barometric tube\nwhile it descends in the cistern. As a result, the added mass in the tube increases, while the added mass\nin the cistern decreases. We denote 𝑚1,tb and 𝑚1,c the (algebraic) variation of the apparent masses of\neach container. Thus, the tensions exerted by the two cables can be written:\n• 𝐹0 +𝑚1,tb 𝑔−→\n𝑢𝑥for the cable on the right, suspending the tube;\n• −𝐹0 +𝑚1,c 𝑔−→\n𝑢𝑥for the cable on the left, suspending the cistern.\nAccording to the principle of mass conservation, one can immediately state that 𝑚1,tb = −𝑚1,c. Subse-\nquently, we choose to keep only 𝑚1,c in the expressions (but all the calculations can be carried out while\nkeeping 𝑚1,tb).\n𝑀\n𝑥\n|\n0\n•\n•\n•\n•\n•\n−𝐹0 −→\n𝑢𝑥\n•\n•\n•\n•\n•\n+𝐹0 −→\n𝑢𝑥\n•\n𝑀\n𝑥\n•\n−→\n𝑅t\n|\n0\n•\n•\n•\n•\n•\n−⒧𝐹0 +𝑚1,c 𝑔⒭−→\n𝑢𝑥\n•\n•\n•\n•\n•\n+ ⒧𝐹0 +𝑚1,tb 𝑔⒭−→\n𝑢𝑥\n•\n−→\n𝑔\n𝛥𝑧ℓ,0 = 𝑃0\n𝜌𝑔\n𝛿b\n𝛿c\n𝛥𝑧ℓ(𝑡) = 𝑃a\n𝜌𝑔(𝑡)\nWhen 𝑃a = 𝑃0\nWhen 𝑃a increases\nThe friction force between the support and the mass 𝑀needed to maintain the equilibrium is therefore\ngiven by\n\nTheory\nQ2-11\nEnglish (Official)\n−→\n𝑅t = −𝐹0 −𝑚1,c 𝑔−→\n𝑢𝑥+𝐹0 +𝑚1,c 𝑔−→\n𝑢𝑥= 2𝑚1,c 𝑔−→\n𝑢𝑥\nIn addition, according to the sketch above (where displacements 𝛿b and 𝛿c are algebraic), we have\n𝑚1,c = 𝜌𝑆c 𝛿c.\nIt is now necessary to determine 𝛿c. One can use\n• the hydrostatic law :\n𝛿b −𝛿c = 𝑃1\n𝜌𝑔\n• the conservation of the total volume/mass of mercury :\n𝑆b 𝛿b = −𝑆c −𝑆t𝛿c ≃−𝑆c 𝛿c\n(given that\n𝑆t ≪𝑆b,𝑆c)\nSolving the system formed by those equations, one finds\n𝛿c = −\n𝑆b\n𝑆b +𝑆c −𝑆t\n𝑃1\n𝜌𝑔≃−\n𝑆b\n𝑆b +𝑆c\n𝑃1\n𝜌𝑔\nwhich finally yields\n−→\n𝑅t = −\n2𝑆b 𝑆c\n𝑆b +𝑆c −𝑆t\n𝑃1 −→\n𝑢𝑥≃−2𝑆b 𝑆c\n𝑆b +𝑆c\n𝑃1 −→\n𝑢𝑥\nWith the triangular model for 𝑃1 (𝑡), the maximum static friction force is obtained when 𝑃1 = ±𝐴. There-\nfore, according to the Coulomb's law of friction, the mass 𝑀stays at rest if and only if\n2𝑆b 𝑆c\n𝑆b +𝑆c −𝑆t\n𝐴< 𝐹s\nThis inequality can be rewritten as\n2 < 𝑆b +𝑆c −𝑆t\n𝑆b 𝑆c\n𝐹s\n𝐴= 𝜉\nwhich allows us to identify\n𝜉⋆= 2\nMARKING SCHEME:\n\nTheory\nQ2-12\nEnglish (Official)\nIntroduction of geometric parameters to locate the positions\nof the fluid surfaces in each vessel\n0.1\nExpression of mass or volume variation of fluid in at least\none of the vessels, in terms of those geometric parameters\n(with or without using 𝑆t ≪𝑆b,𝑆c)\n0.1\nPhysical law: Conservation of the total mass/volume\n0.2\nPhysical law: Expression of barometric difference of heights\nbetween the two surfaces\n0.2\nPhysical law: Expression of the friction force at equilibrium\n(with or without using 𝑆t ≪𝑆b,𝑆c)\n0.1\nPhysical law: Use of Coulomb's law in sticky situation\n0.1\nConclusion: Obtaining 𝜉⋆\n0.2\nFor the next question only, suppose that the mass 𝑀is temporarily blocked at 𝑥= 𝑋.\nC.2\nGive an expression for the total tension force −→\n𝑇= 𝑇−→\n𝑢𝑥acting on the mass 𝑀\ndue to the tension in two cables at this position, when 𝑃1 = 0, in terms of 𝜌, 𝑔, 𝑋\nand pertinent cross-sections.\n1pt\nSOLUTION:\nLet us compare the configurations of the system when 𝑥= 0 and when 𝑥= 𝑋.\n\nTheory\nQ2-13\nEnglish (Official)\n𝑀\n𝑥\n|\n0\n•\n•\n•\n•\n•\n−𝐹0 −→\n𝑢𝑥\n•\n•\n•\n•\n•\n+𝐹0 −→\n𝑢𝑥\n•\n𝑀\n𝑥\n|\n0\n|\n𝑋\n•\n•\n•\n•\n•\n−⒧𝐹0 +𝑚1,c 𝑔⒭−→\n𝑢𝑥\n•\n•\n•\n•\n•\n+ ⒧𝐹0 +𝑚1,tb 𝑔⒭−→\n𝑢𝑥\n•\n−→\n𝑔\n𝛥𝑧ℓ,0 = 𝑃0\n𝜌𝑔\n𝛿b\n−𝑋\n𝛿c\n𝑋\n𝛥𝑧ℓ,0\nAt 𝑥= 0\nAt 𝑥= 𝑋\nAssuming that the atmospheric pressure is temporarily fixed at 𝑃0, the difference 𝛥𝑧ℓof fluid heights be-\ntween the cistern and the barometric tube is the same in both configurations. It is given by 𝛥𝑧ℓ,0 = 𝑃0/𝜌𝑔\nand leads to\n𝛿b = 𝛿c\nThe total volume/mass of mercury is also conserved. This conservation can be expressed by the equation\n⒧𝑆c −𝑆t⒭𝛿c −⒧𝑆c +𝑆t⒭𝑋\n\nvolume of mercury\nalgebraically won by the cistern\n+\n𝑆b ⒧𝛿b +𝑋⒭\n\nvolume of mercury\nalgebraically won by the bulb\n= 0\nwhich can be reformulated as\n𝑆b 𝛿b +⒧𝑆c −𝑆t⒭𝛿c = ⒧𝑆c −𝑆b +𝑆t⒭𝑋\nOne obtains\n\nTheory\nQ2-14\nEnglish (Official)\n𝛿b = 𝛿c = 𝑆c −𝑆b +𝑆t\n𝑆b +𝑆c −𝑆t\n𝑋\nThus, the supplementary added mass in the cistern is given by\n𝑚1,c = 𝜌𝑆c ⒧𝛿c −𝑋⒭= −𝜌2𝑆c ⒧𝑆b −𝑆t⒭\n𝑆c +𝑆b −𝑆t\n𝑋≃−2𝑆b 𝑆c\n𝑆b +𝑆c\n𝜌𝑋\nand, as explained in C1, we still have 𝑚1,tb = −𝑚1,c.\nFinally, according to the sketch, one obtain the resultant tension force −→\n𝑇= ⒧𝑚1,tb −𝑚1,c⒭𝑔−→\n𝑢𝑥= −2𝑚1,c 𝑔−→\n𝑢𝑥,\nthat is\n−→\n𝑇= 4𝑆c ⒧𝑆b −𝑆t⒭\n𝑆b +𝑆c −𝑆t\n𝜌𝑔𝑋−→\n𝑢𝑥≃4𝑆b 𝑆c\n𝑆b +𝑆c\n𝜌𝑔𝑋−→\n𝑢𝑥\nMARKING SCHEME:\nIntroduction of geometric parameters to locate the positions\nof the fluid surfaces in each vessel\n0.1\nExpressions of mass or volume variations of fluid in one of\nthe vessels in terms of 𝑋and those geometric parameters\n(with or without using 𝑆t ≪𝑆b,𝑆c)\n0.3\nPhysical law: Conservation of the total mass/volume\n0.2\nPhysical law: Expression of barometric difference of heights\nbetween the two surfaces\n0.2\nExpression of the total tension force −→\n𝑇(with or without using\n𝑆t ≪𝑆b,𝑆c)\n0.2\nWhen 𝜉< 𝜉⋆, starting again from 𝑥= 0 and 𝑃1 = 0, two different behaviours can be observed for 𝑡≥0. To\ndistinguish them, we need to introduce another parameter\n𝜆= 2⒧𝑆b −𝑆t⒭\n𝑆b\n𝜌𝑔𝑋\n𝐴\n≃2𝜌𝑔𝑋\n𝐴\n(4)\nC.3\nComplete the table in the answer sheet to indicate the condition under which\neach regime is obtained. Conditions must be expressed as inequalities on 𝜉\nand/or 𝜆. In addition, sketch the variations of 𝑥(𝑡)/𝑋for 𝑡∈0, 3𝜏1that are con-\nsistent with the variations of 𝑃1 (𝑡)/𝐴already present. Specification of remarkable\npoints coordinates is not required.\n2pt\nSOLUTION:\nWhen 𝜉< 𝜉⋆, there necessarily exists an instant from which the mass 𝑀begins to sweep on the right.\nFrom there, the mass 𝑀is continuously accelerated by the total tension −→\n𝑇until it is blocked by the stop\nat 𝑥= 𝑋. According to Fig. 5, one can assume that 𝑋is of the order of a few centimeters, so the time\n\nTheory\nQ2-15\nEnglish (Official)\nneeded to switch between the two positions 𝑥= 0 and 𝑥= 𝑋can reasonably be neglected in front of the\nperiod 𝜏1.\nOnce blocked at 𝑥= 𝑋, the resultant tension −→\n𝑇can be determined by generalizing the reasoning carried\nout in the two previous questions. One obtains the following equations:\n• hydrostatic law :\n𝛿b −𝛿c = 𝑃1\n𝜌𝑔\n• conservation of the volume/mass :\n𝑆b 𝛿b +⒧𝑆c −𝑆t⒭𝛿c = ⒧𝑆c −𝑆b +𝑆t⒭𝑋\nThe resolution of this system gives\n𝛿c = 𝑆c −𝑆b +𝑆t\n𝑆b +𝑆c −𝑆t\n𝑋−\n𝑆b\n𝑆b +𝑆c −𝑆t\n𝑃1\n𝜌𝑔\nfrom which we deduce the perturbative added mass\n𝑚1,c = 𝜌𝑆c ⒧𝛿c −𝑋⒭= −𝜌2𝑆c ⒧𝑆b −𝑆t⒭\n𝑆b +𝑆c −𝑆t\n𝑋+\n𝑆b 𝑆c\n𝑆b +𝑆c −𝑆t\n𝑃1\n𝜌𝑔= −𝑚1,tb\nThen finally\n−→\n𝑇= −2𝑚1,c 𝑔−→\n𝑢𝑥= 4𝑆c ⒧𝑆b −𝑆t⒭\n𝑆b +𝑆c −𝑆t\n𝜌𝑔𝑋+\n2𝑆b 𝑆c\n𝑆b +𝑆c −𝑆t\n𝑃1−→\n𝑢𝑥\nAccording to Coulomb's law of friction, the mass 𝑀will stay at rest at the position 𝑥= 𝑋while −→\n𝑇⋅−→\n𝑢𝑥> −𝐹s.\nWith the model adopted for 𝑃1 (𝑡), this condition is always satisfied if\n4𝑆c ⒧𝑆b −𝑆t⒭\n𝑆b +𝑆c −𝑆t\n𝜌𝑔𝑋−\n2𝑆b 𝑆c\n𝑆b +𝑆c −𝑆t\n𝐴> −𝐹𝑠\nHence, using the parameters 𝜉and 𝜆, one can identify the two possible regimes :\n• Regime 1 :\n𝜉+2𝜆> 2\n(once at 𝑥= 𝑋, the mass 𝑀stays indefinitely at rest)\n0\n𝑡\n𝑥(𝑡)/𝑋\n−\n−1\n−\n1\n|\n𝜏1\n|\n2𝜏1\n|\n3𝜏1\n• Regime 2 :\n𝜉+ 2𝜆< 2\n(once at 𝑥= 𝑋, the mass 𝑀will periodically sweep between the two\nstops)\n\nTheory\nQ2-16\nEnglish (Official)\n0\n𝑡\n𝑥(𝑡)/𝑋\n−\n−1\n−\n1\n|\n𝜏1\n|\n2𝜏1\n|\n3𝜏1\nMARKING SCHEME:\nExpression for −→\n𝑇in the general case, containing both 𝑃1and\n𝑋terms.\n0.2\nAt least one inequality is correct (without considering strict\nor large)\n0.2\nBoth inequalities are correct (without considering strict or\nlarge)\n0.1\nGlobal appearance of *both* graphs: one seems to show an\naperiodic behaviour, the other a periodic behaviour (*all or\nnothing*)\n0.2\nGlobal appearance: each graph is in accordance with the\ncorrect sign of obtained inequality (focus on symbols > / <,\nwithout considering if the inequality is strict or large)\n0.2\nEither graph 1 or 2 shows: A first switch from 𝑥= 0 to 𝑥= 𝑋\nthat begins somewhere in the interval 𝑡∈⒧0, 𝜏1\n4 \n0.2\nEither graph 1 or 2 shows: The switch is instantaneous\n0.2\nGraph in aperiodic regime: 𝑥= 𝑋for all times after the first\nswitch\n0.1\nGraph in periodic regime: the behaviour is periodic with\nperiod 𝜏1(except for the first switch)\n0.1\nGraph in periodic regime: the positive and negative parts of\nthe graph are similar\n0.2\nGraph in periodic regime: 𝑥(𝑡)/𝑋is described by a\nrectangular function, of magnitude 1 and duty cycle 50% in\nsteady state\n0.2\nGraph in periodic regime: the first step at 𝑥= 𝑋last longer\nthan others\n0.1\nIn the real Cox's timepiece, energy provided by the mechanism is stored using a system of ratchets\nand used to raise a counterweight, like in a traditional clock. In the simplified model studied here, the\nenergy recovered by the clock corresponds to the energy dissipated by the friction force exerted by the\nhorizontal surface on the mass 𝑀. From now on, we assume that the system is dimensioned such that\nto work in the regime that allows the clock to recuperate energy. We also assume that the permanent\nregime is established. We denote 𝑊the energy dissipated by the solid friction force during a period 𝜏1,\nwhich can be expressed only in terms of 𝐹s and 𝑋.\n\nTheory\nQ2-17\nEnglish (Official)\nAll else equal, 𝐹s and 𝑋can be adjusted to maximize the energy 𝑊; we denote 𝐹⋆\ns and 𝑋⋆their respective\nvalues in the optimal situation.\nC.4\nConsidering 𝑆b ≃𝑆c and 𝑆t ≪𝑆b, determine the expressions for 𝐹⋆\ns and 𝑋⋆as\nfunctions of 𝜌, 𝑔, 𝑆c and 𝐴. Express the corresponding maximum energy 𝑊⋆,\nthen calculate its numerical value with 𝐴= 5×102 Pa.\n1pt\nSOLUTION:\nDuring a period, there is one motion to the left and one to the right. The total length of the displacement\nis 4𝑋. The total work 𝑊of the friction force is thus 𝑊= 4𝐹S 𝑋.\nWe have to optimize this quantity with the constraint 𝜉+2𝜆≤2, which can also be written as\n2𝜌𝑔𝑋\n𝐴\n+ 𝐹s\n𝑆c 𝐴≤1\nThe optimum is obtained at the limit of the condition, when 𝐹S = 𝑆c ⒧𝐴−2𝜌𝑔𝑋⒭.\nThe work is then\n𝑊= 4𝑋𝑆c ⒧𝐴−2𝜌𝑔𝑋⒭. It is maximal for\n𝑋⋆=\n𝐴\n4𝜌𝑔\nand\n𝐹⋆\ns = 𝐴𝑆c\n2\nleading to the following optimal work\n𝑊⋆= 𝐴2 𝑆c\n2𝜌𝑔≃20mJ\nMARKING SCHEME:\nStarting point: 𝑊= 4𝐹s 𝑋\n0.2\nOptimization: 𝜉+2𝜆= 2 or equivalent 𝐹s = 𝑆c⒧𝐴−2𝑔𝑋⒭\n0.3\nExpression of 𝑋⋆\n0.1\nExpression of 𝐹⋆\ns\n0.1\nExpression of 𝑊⋆\n0.2\nNumerical value for 𝑊⋆*with unit*: in [19mJ,21mJ]\n0.1\nWe denote 𝑊⋆\npr the work of atmospheric pressure forces received by the system in the optimal situation\nduring a period 𝜏1.\nC.5\nExpress 𝑊⋆\npr, then calculate the ratio 𝑊⋆/𝑊⋆\npr. It could be useful to represent the\nevolution of the system in a (𝑃,𝑉) diagram, where 𝑉is the system's volume.\n1.7pt\nSOLUTION:\nThe variations of pressure and of the vessel's position lead to fluid transfer between the cistern and\nthe two-part tube. As a consequence, the total volume 𝑉(𝑡) occupied by the system in the atmosphere\nchanges and can be denoted\n\nTheory\nQ2-18\nEnglish (Official)\n𝑉(𝑡) = 𝑉0 +𝑉1(𝑡)\nwhere 𝑉0 is the volume in the initial state (when 𝑥= 0 and 𝑃a = 𝑃0) whereas 𝑉1(𝑡) is a perturbation term.\nPhysically, 𝑉1 corresponds to the change of the volume of liquid in the cistern, and is thus given by\n𝑉1 = 𝑚1,c\n𝜌\nwhere 𝑚1,c has already been expressed in C3 (just replace 𝑋with 𝑥(𝑡)). Given that 𝑆b ≃𝑆c and 𝑆t is ne-\nglected, one obtains in any state\n𝑉1(𝑡) = −𝑆c 𝑥(𝑡)+ 𝑃1(𝑡)\n2𝜌𝑔= −𝑆c 𝑋\n𝑥(𝑡)\n𝑋\n+ 1\n𝜆\n𝑃1(𝑡)\n𝐴\n\nOver one period, the work of atmospheric pressure forces received by the system is defined as\n𝑊pr = \n1 period −𝑃a d𝑉= −\n1 period 𝑃1 d𝑉1\nand can thus be identified to the area of the cycle described by the system in a ⒧𝑃1,𝑉1⒭diagram.\nConsidering the optimal situation determined in the previous question, one observes the following be-\nhaviour once in steady state\n0\n𝑡\n-1\n1\n𝑃1 (𝑡)/𝐴\n0\n𝑡\n-1\n1\n𝑥(𝑡)/𝑋⋆\n1\n2\n3\n4\n1\nState\n𝑃1\n𝑥\n𝑉1\n1\n𝐴\n𝑋⋆\n−3𝑆c 𝑋⋆\n2\n−𝐴\n𝑋⋆\n𝑆c 𝑋⋆\n3\n−𝐴\n−𝑋⋆\n3𝑆c 𝑋⋆\n4\n𝐴\n−𝑋⋆\n−𝑆c 𝑋⋆\nTherefore, one can draw the following cycle in a ⒧𝑃1,𝑉1⒭diagram\n\nTheory\nQ2-19\nEnglish (Official)\n𝑃1\n𝑉1\n0\n−𝐴\n−\n−𝐴\n|\n𝑆c 𝑋⋆\n|\n−𝑆c 𝑋⋆\n|\n3𝑆c 𝑋⋆\n|\n−3𝑆c 𝑋⋆\n1\n2\n3\n4\nThe work of the pressure force is the surface area inside this parallelogram, that is the product of its base\n2𝑆c 𝑋⋆by its height 2𝐴. As a consequence\n𝑊⋆\npr = 4𝑆c 𝑋⋆𝐴= 𝑆c 𝐴2\n𝜌𝑔\nand\n𝑊⋆\n𝑊⋆\npr\n= 1\n2\nMARKING SCHEME:\nPhysical analysis: In the optimal case, the mass 𝑀switches\nbetween the two positions 𝑥= ±𝑋when 𝑃1 = ±𝐴\n0.1\nPhysical analysis: During a period, the system describes a\ncycle formed of 2 iso-𝑥and 2 iso-𝑃transformations (sketch\nof cycle, or a table or any other pertinent description)\n0.2\nPhysical analysis: Correct sequence of the successive states\nand/or direction of the cycle using 𝑥and 𝑃\n0.2\nGeneral expression of the volume of the system in an (𝑃,𝑥)\nstate: 𝑉= −𝑆c 𝑥+ 𝑃1\n2𝜌𝑔+Cste\n0.3\nExpressions of the volume in the 4 states of the cycle:\n−3𝑆c𝑋⋆⟶𝑆c𝑋⋆⟶3𝑆c𝑋⋆⟶−𝑆c𝑋⋆(*all or nothing*)\n0.2\nMethod used to calculate the work of atmospheric pressure\nforces: 𝑊pr = −\n1 period 𝑃a d𝑉(explicit integral or area of the\ncycle in (𝑃,𝑉) diagram or other pertinent method)\n0.2\nObtaining 𝑊⋆\npr = 4𝑆c 𝑋⋆𝐴= 𝑆c 𝐴2\n𝜌𝑔\n0.2\nFinal result: 𝑊⋆\n𝑊⋆\npr\n= 1\n2\n0.3\n\nTheory\nQ2-20\nEnglish (Official)\nCredits:\n[1]: Bruno Vacaro;\n[2]: Victoria and Albert Museum, London. \n","shared":false,"sourcePages":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20]}},{"id":"ipho-2025-t3","importedOn":"2026-10-28","language":"en","sources":[{"url":"https://www.ipho2025.fr/sujets-officiels-ipho-france-2025","kind":"statement"},{"url":"/ipho/2025-t3-solutions.pdf","kind":"solution"}],"statement":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/ipho-2025-t3-statement/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/ipho-2025-t3-statement/page-1.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2025-t3-statement/page-2.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2025-t3-statement/page-3.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2025-t3-statement/page-4.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2025-t3-statement/page-5.webp","width":982,"height":1389}],"text":"Theory\nQ3-1\nEnglish (Official)\nChampagne! (10 points)\nWarning: Excessive alcohol consumption is harmful to health and drinking alcohol below legal age is\nprohibited.\nChampagne is a French sparkling wine. Fermentation of sugars produces\ncarbon dioxide (CO2) in the bottle. The molar concentration of CO2 in the\nliquid phase 𝑐ℓand the partial pressure 𝑃CO2 in the gas phase are related\nby 𝑐ℓ= 𝑘H𝑃CO2, known as Henry's law and where 𝑘H is called Henry's con-\nstant.\nData\n• Surface tension of champagne 𝜎= 47×10−3 J⋅m−2\n• Density of the liquid 𝜌ℓ= 1.0×103 kg⋅m−3\n• Henry's constant at 𝑇0 = 20°C, 𝑘H(20°C) = 3.3×10−4 mol⋅m−3 ⋅Pa−1\n• Henry's constant at 𝑇0 = 6°C, 𝑘H(6°C) = 5.4×10−4 mol⋅m−3 ⋅Pa−1\n• Atmospheric pressure 𝑃0 = 1bar = 1.0×105 Pa\n• Gases are ideal with an adiabatic coefficient 𝛾= 1.3\nFig.\n1.\nA glass filled with\nchampagne.\nPart A. Nucleation, growth and rise of bubbles\nImmediately after opening a bottle of champagne at temperature 𝑇0 = 20°C , we fill a glass. The pressure\nin the liquid is 𝑃0 and its temperature stays constant at 𝑇0. The concentration 𝑐ℓof dissolved CO2 exceeds\nthe equilibrium concentration and we study the nucleation of a CO2 bubble. We note 𝑎its radius and 𝑃b\nits inner pressure.\nA.1\nExpress the pressure 𝑃b in terms of 𝑃0, 𝑎and 𝜎.\n0.2pt\nIn the liquid, the concentration of dissolved CO2 depends on the distance to the bubble. At long distance\nwe recover the value 𝑐ℓand we note 𝑐b the concentration close to the bubble surface. According to\nHenry's law, 𝑐b = 𝑘H𝑃b. We furthermore assume in all the problem that bubbles contain only CO2.\nSince 𝑐ℓ≠𝑐b, CO2 molecules diffuse from areas of high to low concentration. We assume also that any\nmolecule from the liquid phase reaching the bubble surface is transferred to the vapour.\nA.2\nExpress the critical radius 𝑎c above which a bubble is expected to grow in terms\nof 𝑃0,𝜎,𝑐ℓand 𝑐0 where 𝑐0 = 𝑘H𝑃0. Calculate numerically 𝑎c for 𝑐ℓ= 4𝑐0.\n0.5pt\nIn practice, bubbles mainly grow from pre-existing gas cavities. Consider then a bubble with initial radius\n𝑎0 ≈40µm. The number of moles of CO2 transferred at the bubble's surface per unit area and time is noted\n𝑗. Two models are possible for 𝑗.\n• model (1) 𝑗= 𝐷\n𝑎(𝑐ℓ−𝑐b) where 𝐷is the diffusion coefficient of CO2 in the liquid.\n• model (2) 𝑗= 𝐾(𝑐ℓ−𝑐b) where 𝐾is a constant here.\nExperimentally, the bubble radius 𝑎(𝑡) is found to depend on time as shown in Fig. 2. Here 𝑐ℓ≈4𝑐0, and\nsince bubbles are large enough to be visible, the excess pressure due to surface tension can be neglected\nand 𝑃b ≈𝑃0.\n\nTheory\nQ3-2\nEnglish (Official)\nA.3\nExpress the number of CO2 moles in the bubble 𝑛c in terms of 𝑎,𝑃0,𝑇0 and ideal\ngas constant 𝑅. Find 𝑎(𝑡) for both models. Indicate which model explains the\nexperimental results in Fig. 2. Depending on your answer, calculate numeri-\ncally 𝐾or 𝐷.\n1.2pt\nFig. 2. Time evolution of CO2 bubble radius in a glass of champagne (adapted from [1]).\nEventually bubbles detach from the bottom of the glass and continue to grow while rising. Fig. 3. shows\na train of bubbles. The bubbles of the train have the same initial radius and are emitted at a constant\nfrequency 𝑓b = 20Hz.\n𝑧⃗\n𝑢𝑧\n1 mm⃗\n𝑔0\nFig. 3. A train of bubbles. The photo is rotated horizontally for the page layout (adapted from\n[1]).\nFor the range of velocities studied here, the drag force 𝐹on a bubble of radius 𝑎moving at velocity 𝑣in a\nliquid of dynamic viscosity 𝜂is given by Stokes' law 𝐹= 6𝜋𝜂𝑎𝑣. Measurements show that at any moment\nin time, the bubble can be assumed to be travelling at its terminal velocity.\nA.4\nGive the expression of the main forces exerted on a vertically rising bubble.\nObtain the expression of 𝑣(𝑎). Give a numerical estimate of 𝜂using 𝜌ℓ, 𝑔0 and\nquantities measured on Fig. 3.\n0.8pt\nThe quasi-stationary growth of bubbles with rate 𝑞𝑎= d𝑎\nd𝑡still applies during bubble rise.\nA.5\nExpress the radius 𝑎𝐻ℓof a bubble reaching the free surface in terms of height\ntravelled 𝐻ℓ, growth rate 𝑞𝑎= d𝑎\nd𝑡, and any constants you may need. Assume\n𝑎𝐻ℓ≫𝑎0 and 𝑞𝑎constant, and give the numerical value of 𝑎𝐻ℓwith 𝐻ℓ= 10cm\nand 𝑞𝑎corresponding to Fig. 2.\n0.5pt\n\nTheory\nQ3-3\nEnglish (Official)\nThere are 𝑁b nucleation sites of bubbles. Assume that the bubbles are nucleated at a constant frequency\n𝑓b at the bottom of a glass of champagne (height 𝐻ℓfor a volume 𝑉ℓ), with 𝑎0 still negligible. Neglect\ndiffusion of CO2 at the free surface.\nA.6\nWrite the differential equation for 𝑐ℓ(𝑡). Obtain from this equation the charac-\nteristic time 𝜏for the decay of the concentration of dissolved CO2 in the liquid.\n1.1pt\nPart B. Acoustic emission of a bursting bubble\nSmall bubbles are nearly spherical as they reach the free surface. Once the liquid film separating the\nbubble from the air thins out sufficiently, a circular hole of radius 𝑟forms in the film and, driven by\nsurface tension, opens very quickly (Fig. 4. left). The hole opens at constant speed 𝑣f (Fig. 4. right). The\nfilm outside the rim remains still, with constant thickness ℎ.\n𝑟𝑐\n𝑎\n𝐴\n(1)\n(2)\n(3)\n(𝛼)\nℎ⃗\n𝑣f\n(𝛽)\n𝐴\n𝑟(𝑡)\n(𝛾)\n(𝛿)⃗\n𝑣f\n𝑣f d𝑡\n𝑅m\nℎ\n𝑟(𝑡)\n𝑧\n𝐴\n𝑣f d𝑡\n𝐴\n𝑟(𝑡)\nFig. 4. (Left) (𝛼) Bubble at the surface: (1) liquid, (2) air at pressure 𝑃0 and (3), CO2 at pressure\n𝑃b, (𝛽) and (𝛾) retraction of the liquid film, where the rim is in dark blue, (𝛿) bubble collapse.\n(Right) Retraction of the liquid film at time 𝑡. Top: sketch of the pierced film seen from above.\nBottom: cross-section of the rim and the retracting film. During d𝑡the rim accumulates nearby\nliquid (dotted).\nDue to dissipative processes, only half of the difference of the surface energy between 𝑡and 𝑡+d𝑡of the\nrim and the accumulated liquid is transformed into kinetic energy. We further assume that the variation\nof the surface of the rim is negligible compared to that of the film.\nB.1\nExpress 𝑣f in terms of 𝜌ℓ,𝜎and ℎ.\n1.1pt\n\nTheory\nQ3-4\nEnglish (Official)\n𝑚P\n𝑆\n𝑧\n𝑃(𝑡)\n𝑧\n0\n𝑃0\n𝑎\n2𝑟\nFig. 5. (Left) a Helmholtz resonator. (Right) a bubble as\nan oscillator.\nWhen the film bursts, it releases internal\npressure and emits a sound. We model\nthis acoustic emission by a Helmholtz res-\nonator: a cavity open to the atmosphere\nat 𝑃0 through a bottleneck aperture of\narea 𝑆(Fig. 5. left). In the neck, a mass\n𝑚p makes small amplitude position oscil-\nlations due to the pressure forces it expe-\nriences as the gas in the cavity expands\nor compresses adiabatically.\nThe grav-\nity force on 𝑚p is negligible compared to\npressure forces. Let 𝑉0 be the volume of\ngas under the mass 𝑚p for 𝑃= 𝑃0 as 𝑧= 0.\nB.2\nExpress the frequency of oscillation 𝑓0 of 𝑚p. Hint: for 𝜀≪1, (1+𝜀)𝛼≈1+𝛼𝜀.\n1.1pt\nThe Helmholtz model may be used for a bubble of radius 𝑎. 𝑉0 is the volume of the closed bubble. From\nlitterature, the mass of the equivalent of the piston is 𝑚𝑝= 8𝜌𝑔𝑟3/3 where 𝑟is the radius of the circular\naperture and 𝜌𝑔= 1.8kg⋅m−3 is the density of the gas (Fig. 5. right). During the bursting process, 𝑟goes\nfrom 0 to 𝑟c, given by 𝑟c = 2\n√3\n𝑎2\n𝜌ℓ𝑔0\n𝜎. At the same time, the frequency of emitted sound increases until\na maximum value of 40kHz and the bursting time is 𝑡𝑏= 3×10−2 ms.\nB.3\nFind the radius 𝑎and the thickness ℎof the champagne film separating the\nbubble from the atmosphere.\n1.1pt\nPart C. Popping champagne\nIn a bottle, the total quantity of CO2 is 𝑛T = 0.2mol, either dissolved in the volume 𝑉L = 750mL of liquid\nchampagne, or as a gas in the volume 𝑉G = 25mL under the cork (Fig. 6. left). 𝑉G contains only CO2.\nThe equilibrium between both CO2 phases follows Henry's Law. We suppose that the fast gaseous CO2\nexpansion when the bottle is opened, is adiabatic and reversible. Ambient temperature 𝑇0 and pressure\n𝑃0 = 1bar are constant.\n𝑑\n𝑃0\n𝑃i, 𝑉G\n𝑐ℓ= 𝑘H𝑃i\n𝑉L\nℓ0\n}(4)\n}(3)\n}\n(2)\n}\n(1)\n}\nFig. 6. Left: traditional bottleneck: (1) surrounding air, (2) cork stopper, (3) headspace, (4)\nliquid champagne. Right: Two phenomena observed while opening the bottle at two different\ntemperatures (adapted from [2]).\n\nTheory\nQ3-5\nEnglish (Official)\nC.1\nGive the numerical value of the pressure 𝑃i of gaseous CO2 in the bottle for\n𝑇0 = 6°C and 𝑇0 = 20°C.\n0.4pt\nAnother step of champagne production (not described here) leads to the following values of 𝑃𝑖that we\nwill use for the next questions: 𝑃i = 4.69bar at 𝑇0 = 6°C and 𝑃i = 7.45bar at 𝑇0 = 20°C.\nDuring bottle opening, two different phenomena can be observed, depending on 𝑇0 (Fig. 6. right).\n• either a blue fog appears, due to the formation of solid CO2 crystals (but water condensation is\ninhibited);\n• or a grey-white fog appears, due to water vapor condensation in the air surrounding the bottleneck.\nIn this latter case, there is no formation of CO2 solid crystals.\nThe saturated vapor pressure 𝑃CO2\nsat\nfor the CO2 solid/gas transition follows : log10 ⒧𝑃CO2\nsat\n𝑃0\n⒭= 𝐴−\n𝐵\n𝑇+𝐶with\n𝑇in K, 𝐴= 6.81, 𝐵= 1.30×103 K and 𝐶= −3.49K.\nC.2\nGive the numerical value 𝑇f of the CO2 gas at the end of the expansion, after\nopening a bottle, if 𝑇0 = 6°C and if 𝑇0 = 20°C, if no phase transition occured.\nChoose which statements are true (several statements possible):\n1. At 𝑇0 = 6°C a grey-white fog appears while opening the bottle.\n2. At 𝑇0 = 6°C a blue fog appears while opening the bottle.\n3. At 𝑇0 = 20°C a grey-white fog appears while opening the bottle.\n4. At 𝑇0 = 20°C a blue fog appears while opening the bottle.\n0.7pt\nDuring bottle opening, the cork stopper pops out. We now determine the maximum height 𝐻c it reaches.\nAssume that the friction force 𝐹due to the bottleneck on the cork stopper is 𝐹= 𝛼𝐴where 𝐴is the area\nof contact and 𝛼is a constant to determine. Initially, the pressure force slightly overcomes the friction\nforce. The cork's mass is 𝑚= 10g, its diameter 𝑑= 1.8cm and the length of the cylindrical part initially\nstuck in the bottleneck is ℓ0 = 2.5cm. Once the cork has left the bottleneck, you can neglect the net\npressure force.\nC.3\nGive the numerical value of 𝐻c if the external temperature is 𝑇0 = 6°C.\n1.3pt\n[1] Liger-Belair et al, Am. J. Enol. Vitic., Vol. 50, No. 3 (1999).\n[2] Liger-Belair et al., Sc. Reports 7, 10938 (2017).\n","shared":false,"sourcePages":[1,2,3,4,5]},"solution":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/ipho-2025-t3-solution/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/ipho-2025-t3-solution/page-1.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2025-t3-solution/page-2.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2025-t3-solution/page-3.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2025-t3-solution/page-4.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2025-t3-solution/page-5.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2025-t3-solution/page-6.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2025-t3-solution/page-7.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2025-t3-solution/page-8.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2025-t3-solution/page-9.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2025-t3-solution/page-10.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2025-t3-solution/page-11.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2025-t3-solution/page-12.webp","width":982,"height":1389}],"text":"Theory\nQ3-1\nEnglish (Official)\nChampagne! (10 points)\nWarning: Excessive alcohol consumption is harmful to health and drinking alcohol below legal age is\nprohibited.\nChampagne is a French sparkling wine. Fermentation of sugars produces\ncarbon dioxide (CO2) in the bottle. The molar concentration of CO2 in the\nliquid phase 𝑐ℓand the partial pressure 𝑃CO2 in the gas phase are related\nby 𝑐ℓ= 𝑘H𝑃CO2, known as Henry's law and where 𝑘H is called Henry's con-\nstant.\nData\n• Surface tension of champagne 𝜎= 47×10−3 J⋅m−2\n• Density of the liquid 𝜌ℓ= 1.0×103 kg⋅m−3\n• Henry's constant at 𝑇0 = 20°C, 𝑘H(20°C) = 3.3×10−4 mol⋅m−3 ⋅Pa−1\n• Henry's constant at 𝑇0 = 6°C, 𝑘H(6°C) = 5.4×10−4 mol⋅m−3 ⋅Pa−1\n• Atmospheric pressure 𝑃0 = 1bar = 1.0×105 Pa\n• Gases are ideal with an adiabatic coefficient 𝛾= 1.3\nFig.\n1.\nA glass filled with\nchampagne.\nPart A. Nucleation, growth and rise of bubbles\nImmediately after opening a bottle of champagne at temperature 𝑇0 = 20°C , we fill a glass. The pressure\nin the liquid is 𝑃0 and its temperature stays constant at 𝑇0. The concentration 𝑐ℓof dissolved CO2 exceeds\nthe equilibrium concentration and we study the nucleation of a CO2 bubble. We note 𝑎its radius and 𝑃b\nits inner pressure.\nA.1\nExpress the pressure 𝑃b in terms of 𝑃0, 𝑎and 𝜎.\n0.2pt\nSOLUTION:\nA.1. Laplace's law: 𝑃b = 𝑃0 + 2𝜎\n𝑎\n0.2\nIn the liquid, the concentration of dissolved CO2 depends on the distance to the bubble. At long distance\nwe recover the value 𝑐ℓand we note 𝑐b the concentration close to the bubble surface. According to\nHenry's law, 𝑐b = 𝑘H𝑃b. We furthermore assume in all the problem that bubbles contain only CO2.\nSince 𝑐ℓ≠𝑐b, CO2 molecules diffuse from areas of high to low concentration. We assume also that any\nmolecule from the liquid phase reaching the bubble surface is transferred to the vapour.\nA.2\nExpress the critical radius 𝑎c above which a bubble is expected to grow in terms\nof 𝑃0,𝜎,𝑐ℓand 𝑐0 where 𝑐0 = 𝑘H𝑃0. Calculate numerically 𝑎c for 𝑐ℓ= 4𝑐0.\n0.5pt\nSOLUTION:\nA.2.1. 𝑎c is so 𝑐ℓ= 𝑐b\nA.2.2. 𝑐b = 𝑘H𝑃b = 𝑘H(𝑃0 + 2𝜎\n𝑎) and 𝑐0 = 𝑘H𝑃0 so 𝑎c =\n2𝜎\n𝑃0(𝑐ℓ/𝑐0 −1)\n\nTheory\nQ3-2\nEnglish (Official)\nA.2.3. 𝑎c = 0.3µm\nA.2.1. comparison (equality 𝑐b = 𝑐ℓor inequality 𝑐b ≤𝑐ℓ)\n0.1\nA.2.2. exact expression 𝑎c =\n2𝜎\n𝑃0(𝑐ℓ/𝑐0 −1)\n0.2\nA.2.3. numerical value 𝑎c = 0.3µm\n0.2\nIn practice, bubbles mainly grow from pre-existing gas cavities. Consider then a bubble with initial radius\n𝑎0 ≈40µm. The number of moles of CO2 transferred at the bubble's surface per unit area and time is noted\n𝑗. Two models are possible for 𝑗.\n• model (1) 𝑗= 𝐷\n𝑎(𝑐ℓ−𝑐b) where 𝐷is the diffusion coefficient of CO2 in the liquid.\n• model (2) 𝑗= 𝐾(𝑐ℓ−𝑐b) where 𝐾is a constant here.\nExperimentally, the bubble radius 𝑎(𝑡) is found to depend on time as shown in Fig. 2. Here 𝑐ℓ≈4𝑐0, and\nsince bubbles are large enough to be visible, the excess pressure due to surface tension can be neglected\nand 𝑃b ≈𝑃0.\nA.3\nExpress the number of CO2 moles in the bubble 𝑛c in terms of 𝑎,𝑃0,𝑇0 and ideal\ngas constant 𝑅. Find 𝑎(𝑡) for both models. Indicate which model explains the\nexperimental results in Fig. 2. Depending on your answer, calculate numeri-\ncally 𝐾or 𝐷.\n1.2pt\nFig. 2. Time evolution of CO2 bubble radius in a glass of champagne (adapted from [1]).\nSOLUTION:\nA.3.1. The number of moles of CO2 (ideal gas) inside the bubble is 𝑛c = 4\n3𝜋𝑎3 𝑃0\n𝑅𝑇0\nA.3.2. Equation : balance of CO2 in the bubble\nA.3.3 d𝑛c\nd𝑡= 4𝜋𝑎2 d𝑎\nd𝑡\n𝑃0\n𝑅𝑇= 𝑗4𝜋𝑎2 ⇒d𝑎\nd𝑡= 𝑗𝑅𝑇\n𝑃0\nA.3.4. Model 1: d𝑎\nd𝑡= 𝐷𝑅𝑇\n𝑎𝑃0 (𝑐ℓ−𝑐0) so 𝑎2 = 𝑎2\n0 + 2𝐷𝑅𝑇0\n𝑃0\n(𝑐ℓ−𝑐0)𝑡\n\nTheory\nQ3-3\nEnglish (Official)\nA.3.5. Model 2: d𝑎\nd𝑡= 𝐾𝑅𝑇0\n𝑃0 (𝑐ℓ−𝑐0) so 𝑎= 𝑎0 + 𝐾𝑅𝑇0\n𝑃0 (𝑐ℓ−𝑐0)𝑡\nA.3.6. Experimental data : d𝑎\nd𝑡is constant: model 2\nA.3.7 Slope of the experimental data :̇ 𝑎≈150/0.62 ≈0.24mm⋅s−1\nA.3.8 𝐾= 1.0×10−4 m⋅s−1\nA.3.1. 𝑛c = 4\n3𝜋𝑎3 𝑃0\n𝑅𝑇0\n0.1\nA.3.2. any equation that that can be interpreted as a\nparticule balance\n0.1\nA.3.3. equation betweeṅ 𝑎(oṙ 𝑛c) and 𝑗\n0.2\nA.3.4. model 1 𝑎exact with 𝑎0 present\n0.2\nA.3.5. model 2 𝑎exact with 𝑎0 present\n0.2\nA.3.6. model 2\n0.1\nA.3.7. value of the slope: total mark only if d𝑎\nd𝑡is in range\n[210−250]µm⋅s−1\n0.1\nA.3.8. any value of 𝐾in range [0.9−1.1]×10−4m⋅s−1\n0.2\nEventually bubbles detach from the bottom of the glass and continue to grow while rising. Fig. 3. shows\na train of bubbles. The bubbles of the train have the same initial radius and are emitted at a constant\nfrequency 𝑓b = 20Hz.\n𝑧⃗\n𝑢𝑧\n1 mm⃗\n𝑔0\nFig. 3. A train of bubbles. The photo is rotated horizontally for the page layout (adapted from\n[1]).\nFor the range of velocities studied here, the drag force 𝐹on a bubble of radius 𝑎moving at velocity 𝑣in a\nliquid of dynamic viscosity 𝜂is given by Stokes' law 𝐹= 6𝜋𝜂𝑎𝑣. Measurements show that at any moment\nin time, the bubble can be assumed to be travelling at its terminal velocity.\nA.4\nGive the expression of the main forces exerted on a vertically rising bubble.\nObtain the expression of 𝑣(𝑎). Give a numerical estimate of 𝜂using 𝜌ℓ, 𝑔0 and\nquantities measured on Fig. 3.\n0.8pt\nSOLUTION:\nA.4.1. Main forces: buoyancy 4\n3𝜋𝑎3𝜌ℓ𝑔0 , drag force 6𝜋𝜂𝑎𝑣, weight is negligible:\n𝜌CO2\n𝜌ℓ\n=\n𝑃𝑒𝑀CO2\n𝑅𝑇𝜌ℓ\n≈10−3 :\n𝑚b ≪𝑚ℓ\nA.4.2.\nSimplified equation is a balance between buoyancy and drag force\n4\n3𝜋𝑎3𝜌ℓ𝑔0 = 6𝜋𝜂𝑎𝑣so\n𝑣= 2\n9𝜂𝑎2𝜌ℓ𝑔0.\nA.4.3. Time between two bubbles: 𝛥𝑡= 1/𝑓b\n\nTheory\nQ3-4\nEnglish (Official)\nA.4.4. Using 𝜂= 2𝜌ℓ𝑔0\n9\n× 𝑎2\n𝑣for the penultimate bubble ( 𝑛−1 ) with 𝑎𝑛−1 ≈0.19mm\nA.4.5. 𝑣(𝑡𝑛−1) = 𝑧(𝑡𝑛)−𝑧(𝑡𝑛−2)\n2×𝑓−1\nb\n= 4.5cm⋅s−1\nA.4.6. 𝜂≈2×10−3 Pa⋅s\nA.4.1. Expression of main forces (gravity force present or\nabsent): fullmark\n0.1\nA.4.2. expression 𝑣= 2\n9𝜂𝑎2𝜌ℓ𝑔0 (full mark on this point with or\nwithout the gravity force)\n0.2\nA.4.3. taking account of the time during two positions\n𝛥𝑡= 1/𝑓b = 5×10−2 s\n0.1\nA.4.4. full mark for one coherent value of the radius\nmeasured on Fig.3.\nlast bubble in [0.20−0.30]mm\npenultimate bubble : radius in [0.16−0.24]mm\nantepenultimate bubble : radius in [0.14−0.22]mm\n0.1\nA.4.5. full mark for one coherent value of the velocity\nmeasured on Fig.3.\nlast bubble 𝑣∈[4.3,4.8]cm⋅s−1\npenultimate bubble 𝑣∈[4.2,4.6]cm⋅s−1\nantepenultimate bubble 𝑣∈[3.7−4.2]cm⋅s−1\n0.1\nA.4.6. full mark for any value or 𝜂in range [1.0−4.0]10−3 Pa⋅s\n0.2\nThe quasi-stationary growth of bubbles with rate 𝑞𝑎= d𝑎\nd𝑡still applies during bubble rise.\nA.5\nExpress the radius 𝑎𝐻ℓof a bubble reaching the free surface in terms of height\ntravelled 𝐻ℓ, growth rate 𝑞𝑎= d𝑎\nd𝑡, and any constants you may need. Assume\n𝑎𝐻ℓ≫𝑎0 and 𝑞𝑎constant, and give the numerical value of 𝑎𝐻ℓwith 𝐻ℓ= 10cm\nand 𝑞𝑎corresponding to Fig. 2.\n0.5pt\nSOLUTION:\nA.5.1. 𝑣= d𝑧\nd𝑡= 2𝜌ℓ𝑔0\n9𝜂𝑎2 and d𝑎\nd𝑡= 𝑞𝑎so d𝑧\nd𝑎= 2𝜌ℓ𝑔0\n9𝑞𝑎𝜂𝑎2\nNeglecting 𝑎(𝑧= 0), 𝑧= 2𝜌ℓ𝑔0\n27𝑞𝑎𝜂𝑎3 so 𝑎𝐻ℓ= ⒧27𝑞𝑎𝜂𝐻ℓ\n2𝜌ℓ𝑔0\n⒭\n1/3\nA.5.2. 𝑎𝐻ℓ= 3.9×10−4 m for 𝜂= 2.0×10−3 Pa⋅s\nA.5.1. 𝑎𝐻ℓ= ⒧27𝑞𝑎𝜂𝐻ℓ\n2𝜌ℓ𝑔0\n⒭\n1/3\n0.3\nA.5.2. full mark if 𝑎𝐻ℓ∈[0.36−0.49]mm\n0.2\nThere are 𝑁b nucleation sites of bubbles. Assume that the bubbles are nucleated at a constant frequency\n\nTheory\nQ3-5\nEnglish (Official)\n𝑓b at the bottom of a glass of champagne (height 𝐻ℓfor a volume 𝑉ℓ), with 𝑎0 still negligible. Neglect\ndiffusion of CO2 at the free surface.\nA.6\nWrite the differential equation for 𝑐ℓ(𝑡). Obtain from this equation the charac-\nteristic time 𝜏for the decay of the concentration of dissolved CO2 in the liquid.\n1.1pt\nSOLUTION:\nA.6.1 The rate of bubbles reaching the free surface by unit time is 𝑁b𝑓b\nA.6.2. So the volume of CO2 released per unit time at the free surface is:\nd𝑉\nd𝑡= 4\n3𝜋𝑎3\n𝐻ℓ𝑁b𝑓b\nA.6.3. According to A.5, d𝑉\nd𝑡= 18𝜋𝑁b𝑓b𝜂𝐻ℓ\n𝜌ℓ𝑔0\n𝑞𝑎\nA.6.4. With 𝑞𝑎= d𝑎\nd𝑡= 𝑅𝑇0\n𝑃0 𝐾(𝑐ℓ−𝑐0) according to A3.\nA.6.5. In the bubble, 𝑐b ≈𝑐0. Using the ideal gas law, the total number 𝑛of CO2 moles in 𝑉ℓverifies:\nd𝑛\nd𝑡= −𝑃0\n𝑅𝑇0\nd𝑉\nd𝑡= −18𝜋𝑁b𝑓b𝜂𝐾𝐻ℓ\n𝜌ℓ𝑔0\n(𝑐ℓ−𝑐0)\nWith 𝑐ℓ= 𝑛\n𝑉ℓ\n, we get a first order linear ODE d𝑐ℓ\nd𝑡= 1\n𝑉ℓ\nd𝑛\nd𝑡= −18𝜋𝑁b𝑓b𝜂𝐾𝐻ℓ\n𝜌ℓ𝑔𝑉ℓ\n(𝑐ℓ−𝑐0)\nA.6.6. Exponential decay with characteristic time: 𝜏=\n𝜌ℓ𝑔𝑉ℓ\n18𝜋𝑁b𝑓b𝜂𝐾𝐻ℓ\nA.6.1. Correct count of bubbles reaching the free surface by\nunit time: 𝑁b𝑓b\n0.1\nA.6.2. Balance at the free surface: d𝑉\nd𝑡= 4\n3𝜋𝑎𝐻ℓ\n3𝑁b𝑓b\n0.2\nA.6.3. Exact expression of d𝑉\nd𝑡= 18𝜋𝑁b𝑓b𝜂𝐻ℓ\n𝜌ℓ𝑔0\n𝑞𝑎using A.5.\n0.1\nA.6.4. 𝑞𝑎= d𝑎\nd𝑡= 𝑅𝑇0\n𝑃0 𝐾(𝑐ℓ−𝑐0)\n0.2\nA.6.5. First order linear differential equation\nd𝑐ℓ\nd𝑡+ 18𝜋𝑁b𝑓b𝜂𝐾𝐻ℓ\n𝜌ℓ𝑔0𝑉ℓ\n(𝑐ℓ−𝑐0) = 0. If an homogeneous mistake\nhas been made at a previous task, but the differential\nequation is first order and coherent, fullmark.\n0.3\nA.6.6. Exponential decay with characteristic time:\n𝜏=\n𝜌ℓ𝑔0𝑉ℓ\n18𝜋𝑁b𝑓b𝜂𝐾𝐻ℓ\nfull mark if the numerical coefficient is\nabsent or different of 1/18𝜋(reasonable solution)\n0.2\nPart B. Acoustic emission of a bursting bubble\nSmall bubbles are nearly spherical as they reach the free surface. Once the liquid film separating the\nbubble from the air thins out sufficiently, a circular hole of radius 𝑟forms in the film and, driven by\nsurface tension, opens very quickly (Fig. 4. left). The hole opens at constant speed 𝑣f (Fig. 4. right). The\nfilm outside the rim remains still, with constant thickness ℎ.\n\nTheory\nQ3-6\nEnglish (Official)\n𝑟𝑐\n𝑎\n𝐴\n(1)\n(2)\n(3)\n(𝛼)\nℎ⃗\n𝑣f\n(𝛽)\n𝐴\n𝑟(𝑡)\n(𝛾)\n(𝛿)⃗\n𝑣f\n𝑣f d𝑡\n𝑅m\nℎ\n𝑟(𝑡)\n𝑧\n𝐴\n𝑣f d𝑡\n𝐴\n𝑟(𝑡)\nFig. 4. (Left) (𝛼) Bubble at the surface: (1) liquid, (2) air at pressure 𝑃0 and (3), CO2 at pressure\n𝑃b, (𝛽) and (𝛾) retraction of the liquid film, where the rim is in dark blue, (𝛿) bubble collapse.\n(Right) Retraction of the liquid film at time 𝑡. Top: sketch of the pierced film seen from above.\nBottom: cross-section of the rim and the retracting film. During d𝑡the rim accumulates nearby\nliquid (dotted).\nDue to dissipative processes, only half of the difference of the surface energy between 𝑡and 𝑡+d𝑡of the\nrim and the accumulated liquid is transformed into kinetic energy. We further assume that the variation\nof the surface of the rim is negligible compared to that of the film.\nB.1\nExpress 𝑣f in terms of 𝜌ℓ,𝜎and ℎ.\n1.1pt\nSOLUTION:\nB.1.1.\nand 1.2.\nVariation of kinetic energy:\nsystem :\nthe rim (perimeter ℓ= 2𝜋𝑟) and the vol-\nume 𝛿𝒱= ℎℓd𝑡= ℎ2𝜋𝑟𝑣𝑓d𝑡::::::::::::::::::::::\n𝛿𝒱= ℎℓ𝑣𝑓d𝑡= ℎ2𝜋𝑟𝑣𝑓d𝑡:\nduring 𝑑𝑡the volume 𝛿𝒱get a kinetic energy\n𝑑𝐸𝑐= 1\n2𝜌ℓ𝛿𝒱𝑣2\n𝑓= 1\n2𝜌ℓℎℓ𝑣𝑓d𝑡= 𝜋𝑟𝜌ℓℎ𝑣𝑓d𝑡:::::::::::::::::::::::::::::::::::::\n𝑑𝐸𝑐= 1\n2𝜌ℓ𝛿𝒱𝑣2\n𝑓= 1\n2𝜌ℓℎℓ𝑣3\n𝑓d𝑡= 𝜋𝑟𝜌ℓℎ𝑣3\n𝑓d𝑡.\nB.1.3. surface tension energy: 𝐸𝑠= 𝜎𝑆for a surface 𝑆\nB.1.4. 𝛿𝐸𝑠= −2𝜎ℓ𝑣𝑓d𝑡= −4𝜎𝜋𝑟𝑣𝑓d𝑡.\nB.1.5. Kinetic energy theorem: the lost energy is 𝛿𝐸𝑠/2 < 0 so d𝐸𝑐+𝛿𝐸𝑠= 𝛿𝐸𝑠/2\nB.1.6. 𝑣𝑓= √2𝜎/𝜌ℓℎ\nIf partial answer: 𝑣𝑓= √𝜎/𝜌ℓℎobtained only by dimensional analysis: 0.2 pt to the question\n\nTheory\nQ3-7\nEnglish (Official)\nB.1.1. Any expression of kinetic energy\n0.1\nB.1.2. Variation of kinetic energy (differential or finite\nvariation accepted)\n0.2\nB.1.3. Expression of a surface energy or a variation.\n0.1\nB.1.4. Exact expression of 𝛿𝐸𝑠\n0.3\nB.1.5. Kinetic energy balance (without sign mistake). If the\ncandidate forget the energy loss, it is treated as a small\nmistake (-0.1pt)\n0.2\nB.1.6. exact expression of 𝑣𝑓\n0.2\n𝑚P\n𝑆\n𝑧\n𝑃(𝑡)\n𝑧\n0\n𝑃0\n𝑎\n2𝑟\nFig. 5. (Left) a Helmholtz resonator. (Right) a bubble as\nan oscillator.\nWhen the film bursts, it releases internal\npressure and emits a sound. We model\nthis acoustic emission by a Helmholtz res-\nonator: a cavity open to the atmosphere\nat 𝑃0 through a bottleneck aperture of\narea 𝑆(Fig. 5. left). In the neck, a mass\n𝑚p makes small amplitude position oscil-\nlations due to the pressure forces it expe-\nriences as the gas in the cavity expands\nor compresses adiabatically.\nThe grav-\nity force on 𝑚p is negligible compared to\npressure forces. Let 𝑉0 be the volume of\ngas under the mass 𝑚p for 𝑃= 𝑃0 as 𝑧= 0.\nB.2\nExpress the frequency of oscillation 𝑓0 of 𝑚p. Hint: for 𝜀≪1, (1+𝜀)𝛼≈1+𝛼𝜀.\n1.1pt\nSOLUTION:\nB.2.1. Pressure forces on 𝑚𝑝: 𝐹𝑧= 𝑃(𝑡)𝑆−𝑃0𝑆\nB.2.2. Volume 𝑉(𝑡) = 𝑉0 +𝑆𝑧\nB.2.3. Adiabatic and reversible compression for an ideal gas: 𝑃𝑉(𝑡)𝛾= 𝑃0𝑉𝛾\n0 so 𝑃(𝑡) = 𝑃0 ⒧\n𝑉0\n𝑉0 +𝑆𝑧⒭\n𝛾\n= 𝑃0 ⒧\n1\n1+𝑆𝑧/𝑉0\n⒭\n𝛾\nB.2.4. Approximation: 𝑃(𝑡) ≈𝑃0(1−𝛾𝑆𝑧\n𝑉0 )\nB.2.5. Pressure force: 𝐹𝑧= −𝛾𝑆2𝑃0\n𝑧\n𝑉0\nB.2.6. Newton's 2nd law: 𝑚𝑝̈𝑧= −𝛾𝑆2𝑃0\n𝑧\n𝑉0\nso 𝑚𝑝̈𝑧+𝛾𝑆2𝑃0\n𝑧\n𝑉0 = 0\nB.2.7. Harmonic oscillator of angular frequency 𝜔2\n0 = 𝑆2 𝑃0𝛾\n𝑚𝑝𝑉0\nB.2.8. 𝑓0 = 1\n2𝜋\n\n\n⎷\n𝑆2𝑃0𝛾\n𝑚𝑝𝑉0\n\nTheory\nQ3-8\nEnglish (Official)\nB.2.1. Pressure force with 𝑃0\n0.1\nB.2.2. Expression of volume 𝑉(𝑡)\n0.1\nB.2.3. Expression of 𝑃(𝑡) with adiabatic reversible process for\nan ideal gas\n0.2\nB.2.4. Approximate pressure\n0.2\nB.2.5. Exact linearized pressure force\n0.1\nB.2.6. Law of motion\n0.1\nB.2.7. Harmonic oscillator, angular frequency\n0.2\nB.2.8. Expression of 𝑓0\n0.1\nThe Helmholtz model may be used for a bubble of radius 𝑎. 𝑉0 is the volume of the closed bubble. From\nlitterature, the mass of the equivalent of the piston is 𝑚𝑝= 8𝜌𝑔𝑟3/3 where 𝑟is the radius of the circular\naperture and 𝜌𝑔= 1.8kg⋅m−3 is the density of the gas (Fig. 5. right). During the bursting process, 𝑟goes\nfrom 0 to 𝑟c, given by 𝑟c = 2\n√3\n𝑎2\n𝜌ℓ𝑔0\n𝜎. At the same time, the frequency of emitted sound increases until\na maximum value of 40kHz and the bursting time is 𝑡𝑏= 3×10−2 ms.\nB.3\nFind the radius 𝑎and the thickness ℎof the champagne film separating the\nbubble from the atmosphere.\n1.1pt\nSOLUTION:\nDetermination of 𝑎\nB.3.1. The maximal value of 𝑓0 is 𝑓0 = 40kHz is obtained for 𝑟= 𝑟𝑐\nB.3.2. Exact expression of 𝑓0 with 𝑚= 8𝑟3\n3 𝜌𝑔and 𝑆= 𝜋𝑟2\n𝑐: 𝑓0 = 1\n2𝜋\n\n\n⎷\n3𝑟𝑐𝜋2𝑃0𝛾\n8𝜌𝑔𝑉0\nso 𝑓0 = 1\n2𝜋\n𝛾𝑃0\n𝜌𝑔\n3√3𝜋\n16𝑎\n𝜌ℓ𝑔0\n𝜎\nor 𝑎= 3√3\n64𝜋\n𝛾𝑃0\n𝜌𝑔𝑓2\n0\n\n𝜌ℓ𝑔0\n𝜎\nB.3.3. 𝑎= 0.53mm\nDetermination of ℎ\nB.3.4. 𝑟c = 2\n√3\n𝑎2\n𝜌ℓ𝑔0\n𝜎\nand 𝑟𝑐= 0.15mm so 𝑣𝑓= 𝑟𝑐\n𝑡𝑏\n= 5.0m⋅s−1\nB.3.5. ℎ= 2𝜎\n𝜌ℓ𝑣2\n𝑓\n= 3𝑡2\nb\n2𝑎4\n\n\n⎷\n𝜎3\n𝜌3\nℓ𝑔0\n:::::::::::::::::\nℎ= 2𝜎\n𝜌ℓ𝑣2\n𝑓\n= 3𝑡2\nb𝜎2\n2𝑎4𝜌2\nℓ𝑔0\n:\nB.3.6. Numerical value ℎ= 3.7µm\n\nTheory\nQ3-9\nEnglish (Official)\nB.3.1. Use of 𝑟𝑐for 𝑓0\n0.1\nB.3.2. Exact expression of 𝑓0 in terms of 𝑎,𝜌𝑔,𝜎,𝑔0,𝜌ℓ,𝑃0 or\nexpression of 𝑎\n0.3\nB.3.3. Exact numerical value between 0.5mm and 0.6mm\n0.2\nB.3.4. Relationship between 𝑡𝑏,𝑣f and 𝑟𝑐or 𝑎\n0.2\nB.3.5. Expression of ℎin terms of 𝜎,𝜌ℓand 𝑣𝑓(or 𝑎and 𝑡b)\n0.1\nB.3.6. Numerical value ℎ= 3.7µm\n0.2\nPart C. Popping champagne\nIn a bottle, the total quantity of CO2 is 𝑛T = 0.2mol, either dissolved in the volume 𝑉L = 750mL of liquid\nchampagne, or as a gas in the volume 𝑉G = 25mL under the cork (Fig. 6. left). 𝑉G contains only CO2.\nThe equilibrium between both CO2 phases follows Henry's Law. We suppose that the fast gaseous CO2\nexpansion when the bottle is opened, is adiabatic and reversible. Ambient temperature 𝑇0 and pressure\n𝑃0 = 1bar are constant.\n𝑑\n𝑃0\n𝑃i, 𝑉G\n𝑐ℓ= 𝑘H𝑃i\n𝑉L\nℓ0\n}(4)\n}(3)\n}\n(2)\n}\n(1)\n}\nFig. 6. Left: traditional bottleneck: (1) surrounding air, (2) cork stopper, (3) headspace, (4)\nliquid champagne. Right: Two phenomena observed while opening the bottle at two different\ntemperatures (adapted from [2]).\nC.1\nGive the numerical value of the pressure 𝑃i of gaseous CO2 in the bottle for\n𝑇0 = 6°C and 𝑇0 = 20°C.\n0.4pt\nSOLUTION:\nC.1.1. Conservation of CO2 molecules: 𝑛𝑇= 𝑛𝑉+𝑛𝐿= 𝑛𝑉+𝑘𝐻(𝑇0)𝑃𝑖𝑉𝐿\nC.1.2. Ideal gas law: 𝑛𝑉= 𝑃𝑖𝑉𝐺\n𝑅𝑇0\n𝑃𝑖=\n𝑛𝑇\n𝑉𝐿𝑘𝐻(𝑇0)+ 𝑉𝐺\n𝑅𝑇0\n=\n𝑛𝑇𝑅𝑇0\n𝑉𝐺\n1+𝑅𝑇0 𝑘𝐻(𝑇0) 𝑉𝐿\n𝑉𝐺\nC.1.3. For 𝑇0 = 6°C: 𝑃𝑖= 4.81bar\n\nTheory\nQ3-10\nEnglish (Official)\nC.1.4. For 𝑇0 = 20°C: 𝑃𝑖= 7.76bar\nC.1.1. Conservation of CO2 molecules\n0.1\nC.1.2. Litteral expression of 𝑃𝑖\n0.1\nC.1.3. For 𝑇0 = 6°C : 𝑃𝑖= 4.81bar\n0.1\nC.1.4. For 𝑇0 = 20°C : 𝑃𝑖= 7.76bar\n0.1\nAnother step of champagne production (not described here) leads to the following values of 𝑃𝑖that we\nwill use for the next questions: 𝑃i = 4.69bar at 𝑇0 = 6°C and 𝑃i = 7.45bar at 𝑇0 = 20°C.\nDuring bottle opening, two different phenomena can be observed, depending on 𝑇0 (Fig. 6. right).\n• either a blue fog appears, due to the formation of solid CO2 crystals (but water condensation is\ninhibited);\n• or a grey-white fog appears, due to water vapor condensation in the air surrounding the bottleneck.\nIn this latter case, there is no formation of CO2 solid crystals.\nThe saturated vapor pressure 𝑃CO2\nsat\nfor the CO2 solid/gas transition follows : log10 ⒧𝑃CO2\nsat\n𝑃0\n⒭= 𝐴−\n𝐵\n𝑇+𝐶with\n𝑇in K, 𝐴= 6.81, 𝐵= 1.30×103 K and 𝐶= −3.49K.\nC.2\nGive the numerical value 𝑇f of the CO2 gas at the end of the expansion, after\nopening a bottle, if 𝑇0 = 6°C and if 𝑇0 = 20°C, if no phase transition occured.\nChoose which statements are true (several statements possible):\n1. At 𝑇0 = 6°C a grey-white fog appears while opening the bottle.\n2. At 𝑇0 = 6°C a blue fog appears while opening the bottle.\n3. At 𝑇0 = 20°C a grey-white fog appears while opening the bottle.\n4. At 𝑇0 = 20°C a blue fog appears while opening the bottle.\n0.7pt\nSOLUTION:\nC.2.1. The adiabatic reversible expansion goes from 𝑃𝑖to 𝑃0.\nC.2.2. 𝑇𝑓= 𝑇0 ⒧𝑃𝑖\n𝑃0\n⒭\n(1/𝛾)−1\nC.2.3. For 𝑇0 = 6°C: 𝑃𝑖= 4.69bar and 𝑇𝑓= 195.3K = −77.8°C.\nC.2.4. For 𝑇0 = 20°C: 𝑃𝑖= 7.45bar and 𝑇𝑓= 184.3K = −88.8°C.\nC.2.5. First method: comparison 𝑃sat(𝑇𝑓) and 𝑃𝑓= 𝑃0.\nSecond method: evaluation of the transition temperature at 𝑃0 and comparison with 𝑇𝑓.\nC.2.6. First method: 𝑃CO2\nsat (𝑇𝑓= 6°C) = 1.07bar > 𝑃0 . As the solid-liquid frontier has a positive slope in 𝑃,𝑇\nstate-diagram, the final state of CO2 is gaseous. 𝑃CO2\nsat (𝑇𝑓= 20°C) = 0.41bar < 𝑃0 . As the solid-gas frontier\nhas a positive slope in 𝑃,𝑇state-diagram, the final gaseous state hypothesis is inconsistent and a phase\ntransition has occured in the latter case.\nSecond method: 𝑇𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠=\n𝐵\n𝐴−log10 ⒧𝑃0\n𝑃0\n⒭\n−𝐶. 𝑇𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠= 194.4K = −78.8°C. For 𝑇0 = 6°C: 𝑇𝑓= 195.3K > 𝑇𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠; the\nfinal state of CO2 is gaseous. For 𝑇0 = 20°C: 𝑇𝑓= 184.3K < 𝑇𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠; the final gaseous state hypothesis is\n\nTheory\nQ3-11\nEnglish (Official)\ninconsistent and a phase transition has occured.\nC.2.7. The true statements are: 1 and 4.\nC.2.1. Final pressure of the expansion.\n0.1\nC.2.2. Litteral expression of 𝑇𝑓.\n0.1\nC.2.3. For 𝑇0 = 6°C: 𝑃𝑖= 4.69bar and 𝑇𝑓= 195.3K ;\n0.1\nC.2.4. For 𝑇0 = 20°C: 𝑃𝑖= 7.45bar and 𝑇𝑓= 184.3K;\n0.1\nC.2.5. Idea of comparison between 𝑃sat and 𝑃0 or evaluation\nof the transition temperature at 𝑃0 and idea of comparison\nwith 𝑇𝑓.\n0.1\nC.2.6. Numerical comparison.\n0.1\nC.2.7. True statements (all or nothing).\n0.1\nDuring bottle opening, the cork stopper pops out. We now determine the maximum height 𝐻c it reaches.\nAssume that the friction force 𝐹due to the bottleneck on the cork stopper is 𝐹= 𝛼𝐴where 𝐴is the area\nof contact and 𝛼is a constant to determine. Initially, the pressure force slightly overcomes the friction\nforce. The cork's mass is 𝑚= 10g, its diameter 𝑑= 1.8cm and the length of the cylindrical part initially\nstuck in the bottleneck is ℓ0 = 2.5cm. Once the cork has left the bottleneck, you can neglect the net\npressure force.\nC.3\nGive the numerical value of 𝐻c if the external temperature is 𝑇0 = 6°C.\n1.3pt\nSOLUTION:\nC.3.1. Let us evaluate the work of the friction force. −→\n𝐹= −𝛼.𝜋𝑑(𝑙0 −𝑧)−→\n𝑢𝑧. Initially, this force slightly com-\npensates the pressure force: 𝐹= 𝜋𝛼𝑑ℓ0 = 𝜋𝑑2\n4 (𝑃𝑖−𝑃0) so 𝛼= (𝑃𝑖−𝑃0) 𝑑\n4ℓ0\nC.3.2. −→\n𝐹= −(𝑃𝑖−𝑃0)𝜋𝑑2 (ℓ0 −𝑧)\n4ℓ0\n−→\n𝑢𝑧The total work is therefore: 𝑊𝑓= −𝛼𝜋𝑑ℓ2\n0\n2 = −(𝑃𝑖−𝑃0)𝜋𝑑2\n8\nℓ0\nC.3.3. and C.3.4. Work of the internal pressure force:\nFirst method: the variation of internal energy of the gas is:\n𝛥𝑈𝑔= 𝑛𝑉𝑅\n𝛾−1 (𝑇𝑓−𝑇0) = 𝑛𝑉𝑅\n𝛾−1 𝑇0\n⎛\n⎝\n1\n⒧1+ 𝜋𝑑2ℓ0\n4𝑉𝐺⒭\n𝛾−1 −1\n⎞\n⎠\n= 𝑃𝑖𝑉𝐺\n𝛾−1\n⎛\n⎝\n1\n⒧1+ 𝜋𝑑2ℓ0\n4𝑉𝐺⒭\n(𝛾−1) −1\n⎞\n⎠\nAs its expansion is adiabatic: 𝛥𝑈𝑔= 𝑊cork→CO2 = −𝑊CO2→cork The cork stopper receives therefore a work\nfrom this gas equals to −𝛥𝑈𝑔.\n𝑊CO2→cork = 𝑃𝑖𝑉𝐺\n𝛾−1\n⎛\n⎝\n1−\n1\n⒧1+ 𝜋𝑑2ℓ0\n4𝑉𝐺⒭\n(𝛾−1)\n⎞\n⎠\nSecond method: let us write 𝑃the internal pressure during the expansion. The work received by the cork\nis:\n𝑊CO2→cork = ∫\n𝑉𝐹\n𝑉𝐺𝑃𝑑𝑉, where 𝑉𝐹= 𝑉𝐺+ 𝜋𝑑2ℓ0\n4\nand 𝑃0𝑉𝛾\n𝐹= 𝑃𝑖𝑉𝛾\n𝐺.\n\nTheory\nQ3-12\nEnglish (Official)\nThe integration leads to the same result.\nC.3.5. The work due to the external pressure 𝑃0 is: 𝑊𝑒= −𝑃0.𝜋𝑑2\n4 ℓ0\nC.3.6. Energy balance. The cork stopper has an initial kinetic energy: 𝐸𝑐= −𝛥𝑈𝑔+𝑊𝑓+𝑊𝑒\n(The work of the weight is negligible and should not be taken into account).\nAt 𝑇0 = 6°C: 𝑃𝑖= 4.69bar . 𝑊𝑓= −1.17J; 𝑊𝑒= −0.64J; 𝛥𝑈𝑔= −2.57J; 𝐸𝑐= 0.76J\nC.3.7. The maximum height reached by the cork stopper is therefore: 𝐻𝑐= 𝐸𝑐\n𝑚𝑔0\n=\n−𝛥𝑈𝑔+𝑊𝑓+𝑊𝑒\n𝑚𝑔0\n.\nC.3.8. 𝐻𝑐= 7.7m\n \nIf the candidates assumed a constant pressure 𝑃𝑖for the gaseous CO2 during its expansion, they would\nfind a work done by CO2on the cork equal to: 𝑃𝑖(𝜋ℓ0𝑑2/4) = 3 J instead of 2.56J and finally 𝐻𝑐= 12m. The\ndifference is not negligible!\nC.3.1. Correct expression of 𝛼(all or nothing).\nIf 𝛼is not correct (contribution of 𝑃0 forgotten for example),\n0 point but the following items are evaluated with this\nuncorrect 𝛼.\n0.2\nC.3.2. Expression of the friction work (all or nothing)\n \n0.2\nC.3.3. Consequences of the adiabatic reversible expansion\n(1st principle with 𝑄= 0 or 𝑃𝑉𝛾= 𝑃𝑖𝑉𝛾\n𝐺)\n0.1\nC.3.4. Exact expression of the work (all or nothing)\nPartial points : if 𝑃is considered constant during the\nexpansion, 0 point for C.3.4. but all points for the following\nitems if coherent with the incorrect work expression.\n0.3\nC.3.5. Work due to external pressure correct.\nIf this item is forgotten by the candidate, 0 point.\n0.1\nC.3.6. Correct 𝐸𝑐with the 3 contributions (even if errors in\nthe writing of the contributions).\nIf the candidate has forgotten the contribution of the\nexternal pressure, 0 point.\n0.1\nC.3.7. Correct energy balance during the free flight or use of\nNewton's second law.\n0.2:::\n0.1\nC.3.8. Correct numerical value of 𝐻𝑐.\nIf the candidate has forgotten the contribution of the\nexternal pressure in C.3.5 but 𝐻𝑐is coherent, fullmark.\n0.2\n[1] Liger-Belair et al, Am. J. Enol. Vitic., Vol. 50, No. 3 (1999).\n[2] Liger-Belair et al., Sc. Reports 7, 10938 (2017).\n","shared":false,"sourcePages":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12]}},{"id":"ipho-2024-t1","importedOn":"2026-10-28","language":"ru","sources":[{"url":"https://pho.rs/p/4174","kind":"statement"},{"url":"https://pho.rs/p/4174/s","kind":"solution"}],"statement":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"em","children":[{"type":"text","text":"В 2021 году Сюкуро Манабэ и Клаус Хассельман получили половину Нобелевской премии по физике за работу по моделированию климата Земли и точное предсказание глобального потепления, вызванного промышленной деятельностью человека. В этой задаче мы рассмотрим простую модель глобального потепления, вызванного парниковым эффектом. Парниковые газы изменяют оптические свойства земной атмосферы, пропуская или поглощая инфракрасное излучение Земли, что приводит к повышению средней температуры планеты."}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Все тела при различных температурах испускают тепловое излучение. Величина $u(\\lambda, T) \\,\\mathrm du$ есть мощность теплового излучения с единицы площади тела при температуре $T$ в интервале длин волн от $\\lambda$ до $\\lambda + \\mathrm d \\lambda$. Согласно формуле Планка для излучения черного тела:\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n $$u(\\lambda, T) = \\frac{2 \\pi h c^2}{\\lambda^5} \\frac{1}{\\exp \\left( \\dfrac{hc}{\\lambda k_B T} \\right) -1 },$$\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n где $hc=1.24 \\cdot 10^3~эВ \\cdot нм$ и $k_B=8.62 \\cdot 10^{-5}~эВ \\cdot К$. Длина волны, соответствующая максимуму $u(\\lambda, T)$, находится из выражения $\\lambda_{\\max}T = b$  (закон смещения Вина). Можно показать, что $b={hc}/{x_\\text{m}k_B}$, где $x_\\text{m}$ — некоторая безразмерная величина, которая является ненулевым корнем уравнения $f(x)=0$. Вам потребуется найти функцию $f(x)$  в одном из пунктов. Полная мощность излучения с единицы площади черного тела во всех длинах волн определяется законом Стефана — Больцмана как $U(T)=\\sigma T^4$, где $\\sigma = 5.67 \\cdot 10^{-8}~Вт /(м^2 \\cdot К^4)$. Более того, согласно закону излучения Кирхгофа, при тепловом равновесии тело, поглощающее определенную долю падающего излучения на определенной длине волны, будет излучать такую же долю излучения черного тела на этой же длине волны.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n В этой задаче считайте, что Солнце является абсолютно чёрным телом со средней температурой его поверхности $T_S=5.77 \\cdot 10^3~К$. Радиус Солнца $R_S=6.96 \\cdot 10^8~м$, среднее расстояние между Землей и Солнцем составляет $d=1.50 \\cdot 10^{11}~м$. Обозначим спектральную мощность излучения Солнца на единицу площади Земли, нормальной к направлению излучения, как $\\tilde{u}_S (\\lambda)$. Интеграл от этой величины по всем длинам волн \n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n В этой задаче предполагается, что Земля находится в тепловом равновесии и имеет одинаковую температуру во всех точках своей поверхности.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Во всех пунктах задачи выражайте искомую величину в общем виде через величины, приведенные в условии, а затем находите её численное значение с точностью до трёх значащих цифр. Необходимые единицы измерения указаны в листах ответов.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть A. Земля как черное тело (3 балла)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n В этой части рассмотрим поверхность Земли как черное тело и пренебрежем земной атмосферой.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Найдите солнечную постоянную $S_0$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Найдите температуру Земли $T_E$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.40"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Найдите функцию $f(x)$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A4\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.40"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Вычислите значение $x_{\\text{m}}$ и используя это значение $x_{\\text{m}}$ найдите значение $b$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A5\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Найдите $\\lambda_{\\max}$ для Солнца и для Земли.\t\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n На рисунке 1 показаны функции $\\gamma \\tilde{u}_S (\\lambda)$ и $u(\\lambda, T_E)$, где $\\gamma$ — некоторый безразмерный коэффициент, роль которого — отмасштабировать $\\tilde{u}_S (\\lambda)$ так, чтобы две функции имели одинаковый максимум.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A6\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.80"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Найдите $\\gamma$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/02843b9afb6d0e0d0c83.webp","alt":"ipho-2024-t1 statement: original source diagram 1"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 1. График зависимости $u(\\lambda, T_E)$ (красный, справа) и $\\gamma \\tilde{u}_S (\\lambda)$ (синий, слева) от $\\lambda$"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть B. Парниковый эффект (7 баллов)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tВ этой части мы рассмотрим простую модель, в которой земная атмосфера моделируется как тонкий слой на небольшом расстоянии над поверхностью Земли, так что разницей между площадью слоя атмосферы и площадью поверхности Земли можно пренебречь (см. рис. 2). В дальнейшем будем считать, что основная часть теплового излучения Земли и Солнца испускается на длинах волн, близких к $\\lambda_{\\max }$ для каждого из них. Также предположим, что слой атмосферы отражает часть $r_{\\mathrm{A}}=0.255$ "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"видимого и ультрафиолетового"}]},{"type":"text","text":" излучения, падающего сверху или снизу, и полностью пропускает остальное. Предположим, что атмосфера совсем не отражает "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"инфракрасное "}]},{"type":"text","text":"излучение, однако поглощает часть $\\varepsilon$ "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"инфракрасного "}]},{"type":"text","text":"излучения и пропускает остальную часть. Такое поведение, известное как парниковый эффект, изменяет среднюю температуру Земли. Поверхность Земли отражает часть $r_{\\mathrm{E}}$ "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"видимого и ультрафиолетового"}]},{"type":"text","text":" излучения и поглощает остальную часть этого излучения и всё "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"инфракрасное "}]},{"type":"text","text":"излучение.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/9248d413ac0542d8e818.webp","alt":"ipho-2024-t1 statement: original source diagram 2"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 2. Тепловые потоки между Землей и атмосферой"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Предположим, что $\\varepsilon=1$ и $r_E=0$. Найдите температуру Земли $T_E$ и температуру атмосферы $T_A$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Теперь предположим, что $r_E \\ne 0$. В этом случае система «Земля + атмосфера» отражает некоторую другую долю солнечного излучения, называемую «альбедо» и обозначаемую $\\alpha$.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Найдите альбедо $\\alpha$ через $r_E$ и $r_A$. Рассчитайте его численное значение при $r_E = 0.102$ (и $r_A = 0.255$).\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"element","tag":"ul","children":[{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Выразите температуру Земли через $\\sigma$, $\\alpha$, $S_0$, и $\\varepsilon$."}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Используя приведенные данные и рассчитанное альбедо, найдите численное значение $\\varepsilon$, которое приводит к нынешней средней температуре Земли $T_E=288~К$."}]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B4\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.80"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Найдите $\\mathrm dT_E/\\mathrm d \\varepsilon$ и вычислите, на сколько увеличится температура Земли, если $\\varepsilon$ увеличится на один процент.\t\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Предположим, что $T_A=245~К$ и $T_E=288~К$. Эти значения получены из реальных данных и могут отличаться от результатов, которые вы получили в предыдущих пунктах. Теперь предположим, что  имеет место нерадиационный (например, конвективный) тепловой поток $J_{NR}= k (T_E - T_A)$ от Земли к атмосфере, где $k$ — постоянная величина. Величина $J_{NR}$ — это передаваемая мощность с единицы площади.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B5\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Выразите $\\varepsilon$ и $k$ через $T_E$, $T_A$, $\\sigma$, $\\alpha$ и $S_0$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B6\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"element","tag":"ul","children":[{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Дифференцируя по $\\varepsilon$ выражения, полученные в пункте "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"B5"}]},{"type":"text","text":", получите два уравнения, в которые входят $\\mathrm dT_A/\\mathrm d \\varepsilon$ и $\\mathrm dT_E/\\mathrm d \\varepsilon$."}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Используя эти уравнения, найдите численное значение изменения температуры Земли в результате увеличения значения $\\varepsilon$ на один процент."}]}]}]}]}]}]}],"text":"В 2021 году Сюкуро Манабэ и Клаус Хассельман получили половину Нобелевской премии по физике за работу по моделированию климата Земли и точное предсказание глобального потепления, вызванного промышленной деятельностью человека. В этой задаче мы рассмотрим простую модель глобального потепления, вызванного парниковым эффектом. Парниковые газы изменяют оптические свойства земной атмосферы, пропуская или поглощая инфракрасное излучение Земли, что приводит к повышению средней температуры планеты. Все тела при различных температурах испускают тепловое излучение. Величина $u(\\lambda, T) \\,\\mathrm du$ есть мощность теплового излучения с единицы площади тела при температуре $T$ в интервале длин волн от $\\lambda$ до $\\lambda + \\mathrm d \\lambda$. Согласно формуле Планка для излучения черного тела: $$u(\\lambda, T) = \\frac{2 \\pi h c^2}{\\lambda^5} \\frac{1}{\\exp \\left( \\dfrac{hc}{\\lambda k_B T} \\right) -1 },$$ где $hc=1.24 \\cdot 10^3~эВ \\cdot нм$ и $k_B=8.62 \\cdot 10^{-5}~эВ \\cdot К$. Длина волны, соответствующая максимуму $u(\\lambda, T)$, находится из выражения $\\lambda_{\\max}T = b$  (закон смещения Вина). Можно показать, что $b={hc}/{x_\\text{m}k_B}$, где $x_\\text{m}$ — некоторая безразмерная величина, которая является ненулевым корнем уравнения $f(x)=0$. Вам потребуется найти функцию $f(x)$  в одном из пунктов. Полная мощность излучения с единицы площади черного тела во всех длинах волн определяется законом Стефана — Больцмана как $U(T)=\\sigma T^4$, где $\\sigma = 5.67 \\cdot 10^{-8}~Вт /(м^2 \\cdot К^4)$. Более того, согласно закону излучения Кирхгофа, при тепловом равновесии тело, поглощающее определенную долю падающего излучения на определенной длине волны, будет излучать такую же долю излучения черного тела на этой же длине волны. В этой задаче считайте, что Солнце является абсолютно чёрным телом со средней температурой его поверхности $T_S=5.77 \\cdot 10^3~К$. Радиус Солнца $R_S=6.96 \\cdot 10^8~м$, среднее расстояние между Землей и Солнцем составляет $d=1.50 \\cdot 10^{11}~м$. Обозначим спектральную мощность излучения Солнца на единицу площади Земли, нормальной к направлению излучения, как $\\tilde{u}_S (\\lambda)$. Интеграл от этой величины по всем длинам волн В этой задаче предполагается, что Земля находится в тепловом равновесии и имеет одинаковую температуру во всех точках своей поверхности. Во всех пунктах задачи выражайте искомую величину в общем виде через величины, приведенные в условии, а затем находите её численное значение с точностью до трёх значащих цифр. Необходимые единицы измерения указаны в листах ответов. Часть A. Земля как черное тело (3 балла) В этой части рассмотрим поверхность Земли как черное тело и пренебрежем земной атмосферой. A1 0.60 Найдите солнечную постоянную $S_0$. A2 0.60 Найдите температуру Земли $T_E$. A3 0.40 Найдите функцию $f(x)$. A4 0.40 Вычислите значение $x_{\\text{m}}$ и используя это значение $x_{\\text{m}}$ найдите значение $b$. A5 0.20 Найдите $\\lambda_{\\max}$ для Солнца и для Земли. На рисунке 1 показаны функции $\\gamma \\tilde{u}_S (\\lambda)$ и $u(\\lambda, T_E)$, где $\\gamma$ — некоторый безразмерный коэффициент, роль которого — отмасштабировать $\\tilde{u}_S (\\lambda)$ так, чтобы две функции имели одинаковый максимум. A6 0.80 Найдите $\\gamma$. Рис. 1. График зависимости $u(\\lambda, T_E)$ (красный, справа) и $\\gamma \\tilde{u}_S (\\lambda)$ (синий, слева) от $\\lambda$ Часть B. Парниковый эффект (7 баллов) В этой части мы рассмотрим простую модель, в которой земная атмосфера моделируется как тонкий слой на небольшом расстоянии над поверхностью Земли, так что разницей между площадью слоя атмосферы и площадью поверхности Земли можно пренебречь (см. рис. 2). В дальнейшем будем считать, что основная часть теплового излучения Земли и Солнца испускается на длинах волн, близких к $\\lambda_{\\max }$ для каждого из них. Также предположим, что слой атмосферы отражает часть $r_{\\mathrm{A}}=0.255$ видимого и ультрафиолетового излучения, падающего сверху или снизу, и полностью пропускает остальное. Предположим, что атмосфера совсем не отражает инфракрасное излучение, однако поглощает часть $\\varepsilon$ инфракрасного излучения и пропускает остальную часть. Такое поведение, известное как парниковый эффект, изменяет среднюю температуру Земли. Поверхность Земли отражает часть $r_{\\mathrm{E}}$ видимого и ультрафиолетового излучения и поглощает остальную часть этого излучения и всё инфракрасное излучение. Рис. 2. Тепловые потоки между Землей и атмосферой B1 1.00 Предположим, что $\\varepsilon=1$ и $r_E=0$. Найдите температуру Земли $T_E$ и температуру атмосферы $T_A$. Теперь предположим, что $r_E \\ne 0$. В этом случае система «Земля + атмосфера» отражает некоторую другую долю солнечного излучения, называемую «альбедо» и обозначаемую $\\alpha$. B2 1.60 Найдите альбедо $\\alpha$ через $r_E$ и $r_A$. Рассчитайте его численное значение при $r_E = 0.102$ (и $r_A = 0.255$). B3 1.00 Выразите температуру Земли через $\\sigma$, $\\alpha$, $S_0$, и $\\varepsilon$. Используя приведенные данные и рассчитанное альбедо, найдите численное значение $\\varepsilon$, которое приводит к нынешней средней температуре Земли $T_E=288~К$. B4 0.80 Найдите $\\mathrm dT_E/\\mathrm d \\varepsilon$ и вычислите, на сколько увеличится температура Земли, если $\\varepsilon$ увеличится на один процент. Предположим, что $T_A=245~К$ и $T_E=288~К$. Эти значения получены из реальных данных и могут отличаться от результатов, которые вы получили в предыдущих пунктах. Теперь предположим, что  имеет место нерадиационный (например, конвективный) тепловой поток $J_{NR}= k (T_E - T_A)$ от Земли к атмосфере, где $k$ — постоянная величина. Величина $J_{NR}$ — это передаваемая мощность с единицы площади. B5 1.60 Выразите $\\varepsilon$ и $k$ через $T_E$, $T_A$, $\\sigma$, $\\alpha$ и $S_0$. B6 1.00 Дифференцируя по $\\varepsilon$ выражения, полученные в пункте B5 , получите два уравнения, в которые входят $\\mathrm dT_A/\\mathrm d \\varepsilon$ и $\\mathrm dT_E/\\mathrm d \\varepsilon$. Используя эти уравнения, найдите численное значение изменения температуры Земли в результате увеличения значения $\\varepsilon$ на один процент.\n","figures":["/corpus/figures/02843b9afb6d0e0d0c83.webp","/corpus/figures/9248d413ac0542d8e818.webp"],"shared":false},"solution":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Найдите солнечную постоянную $S_0$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Вся энергия, излучаемая с поверхности Солнца, достигнет сферы радиуса $d$, следовательно:$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\begin{aligned}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"& \\sigma T_{{S}}^{4} \\cdot\\left(4 \\pi R_{{S}}^{2}\\right)=\\left(4 \\pi d^{2}\\right) \\cdot S_{0}, \\\\"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"& S_{0}=\\sigma T_{{S}}^{4} \\cdot\\left(\\frac{R_{{S}}}{d}\\right)^{2}=5.67 \\cdot 10^{-8}~ \\frac{{Вт}}{{м}^{2} \\cdot{К}^{4}} \\cdot\\left(5.77 \\cdot 10^{3} {~К}\\right)^{4} \\cdot\\left(\\frac{6.96 \\cdot 10^{8} {~м}}{1.5 \\cdot 10^{11} {~м}}\\right)^{2}=1.35 \\cdot10^{3} ~\\frac{{Вт}}{{м}^{2}}."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\end{aligned}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"S_{0}=\\sigma T_{\\mathrm{S}}^{4} \\cdot\\left(\\frac{R_{\\mathrm{S}}}{d}\\right)^{2}=1.35 \\cdot10^{3} ~\\dfrac{Вт}{м^2}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Найдите температуру Земли $T_E$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Предполагается, что Земля находится в тепловом равновесии. Поэтому энергия, получаемая ею в единицу времени, должна быть равна энергии, излучаемой ею в единицу времени. Сечение Земли, перехватывающее солнечное излучение на этом расстоянии, имеет площадь $\\pi R_{\\mathrm{E}}^{2}$, но Земля излучает тепло из всех точек своей поверхности площадью $4 \\pi R_{\\mathrm{E}}^{2}$, поэтому:$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\pi R_{\\mathrm{E}}^{2} \\cdot S_{0}=4 \\pi R_{\\mathrm{E}}^{2} \\sigma T_{\\mathrm{E}}^{4} \\implies T_{\\mathrm{E}}=\\left(\\frac{S_{0}}{4 \\sigma}\\right)^{\\frac{1}{4}}=278 {~К}."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$T_{\\mathrm{E}}=\\left(\\frac{S_{0}}{4 \\sigma}\\right)^{\\frac{1}{4}}=\\sqrt{\\frac{R_{\\mathrm{S}}}{2 d}} T_{\\mathrm{S}}=278 {~К}$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.40"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Найдите функцию $f(x)$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Излучение максимально на той длине волны, для которой производная $u$ по $\\lambda$ равна нулю:$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\begin{gathered}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\frac{\\mathrm d u}{\\mathrm d \\lambda}=\\frac{2 \\pi h c^{2}}{\\lambda^{6}} \\cdot \\frac{1}{\\exp \\left(\\frac{h c}{\\lambda k_{\\mathrm{B}} T}\\right)-1} \\cdot\\left[-5+\\frac{h c}{\\lambda k_{\\mathrm{B}} T} \\frac{\\exp \\left(\\frac{h c}{\\lambda k_{\\mathrm{B}} T}\\right)}{\\exp \\left(\\frac{h c}{\\lambda k_{\\mathrm{B}} T}\\right)-1}\\right] \\\\"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\left.\\frac{\\mathrm d u}{\\mathrm d \\lambda}\\right|_{\\lambda=\\lambda_{\\mathrm{m}}}=0 \\quad \\Rightarrow \\quad \\frac{h c}{\\lambda_{\\mathrm{m}} k_{\\mathrm{B}} T} \\frac{\\exp \\left(\\frac{h c}{\\lambda_{\\mathrm{m}} k_{\\mathrm{B}} T}\\right)}{\\exp \\left(\\frac{h c}{\\lambda_{\\mathrm{m}} K_{\\mathrm{B}} T}\\right)-1}=5."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\end{gathered}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Определяя $x_{\\mathrm{m}} \\equiv \\frac{h c}{\\lambda_{\\mathrm{m}} k_{\\mathrm{B}} T}$ мы получим следующее трансцендентное уравнение:$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"5\\left(1-e^{-x_{\\mathrm{m}}}\\right)-x_{\\mathrm{m}}=0."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"f(x)=5\\left(1-e^{-x}\\right)-x"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A4\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.40"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Вычислите значение $x_{\\text{m}}$ и используя это значение $x_{\\text{m}}$ найдите значение $b$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Первое предположение – $x_{\\mathrm{m}}^{(1)}=5$. Многократно подставляя $x_{\\mathrm{m}}$, мы можем продолжить следующим образом:$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\begin{gathered}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"x_{\\mathrm{m}}^{(2)}=5\\left(1-e^{-5}\\right)=4.97, \\\\"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"x_{\\mathrm{m}}^{(3)}=5\\left(1-e^{-4.97}\\right)=4.97."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\end{gathered}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Дальнейшие итерации не изменяют значение $x_{\\mathrm{m}}$ до трех значащих цифр, так что:$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\lambda_{\\mathrm{m}} T=\\frac{h c}{x_{\\mathrm{m}} k_{\\mathrm{B}}}=b=1240~ {эВ} \\cdot {нм} \\cdot \\frac{1}{4.97 \\cdot 8.62 \\cdot 10^{-5} ~эВ \\cdot К^{-1}}=2.89 \\cdot10^{6} {~нм} \\cdot {К}."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"x_{\\mathrm{m}}=\\{4.96,4.97\\}, \\quad b=[2.89,2.90] \\cdot 10^{6} {~нм} \\cdot {К}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A5\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Найдите $\\lambda_{\\max}$ для Солнца и для Земли.\t\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Используя закон смещения Вина и постоянную $b$, полученную в предыдущей части, мы можем рассчитать длину волны, на которой излучение Солнца и Земли достигает своего максимума:$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\begin{gathered}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\lambda_{\\max }^{\\operatorname{Sun}}=\\frac{b}{T_{\\mathrm{S}}}=\\frac{2.89 \\cdot10^{6} {~нм} \\cdot {К}}{5.77 \\cdot10^{3} {~К}}=[5.01,5.02] \\cdot 10^{2} {~нм}, \\\\"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\lambda_{\\max }^{\\mathrm{Earth}}=\\frac{b}{T_{\\mathrm{E}}}=\\frac{2.89 \\cdot10^{6} {~нм} \\cdot {К}}{278 {~К}}=1.04 \\cdot10^{4} {~нм}."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\end{gathered}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$\\lambda_{\\max }^{\\text {Sun }}=[5.01,5.02] \\cdot 10^{2} {~нм},  \\quad \\lambda_{\\max }^{\\text {Earth }}=1.04 \\cdot 10^{4} {~нм}$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A6\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.80"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Найдите $\\gamma$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Из диаграммы хорошо видно, что $\\gamma \\tilde{u}_{\\mathrm{S}}\\left(\\lambda_{\\max }^{\\mathrm{S}}\\right)=u\\left(\\lambda_{\\max }^{\\mathrm{Earrh}}, T_{\\mathrm{E}}\\right)$, поэтому мы имеем:$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\begin{gathered}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\tilde{u}_{\\mathrm{S}}\\left(\\lambda_{\\max }^{\\operatorname{Sun}}\\right)=\\left(\\frac{R_{\\mathrm{S}}}{d}\\right)^{2} \\frac{2 \\pi h c^{2}}{\\left(\\lambda_{\\max }^{\\text {Sun }}\\right)^{5}} \\frac{1}{\\exp \\left(\\frac{h c}{\\lambda_{\\max }^{\\text {Sun }} k_{\\mathrm{B}} T_{\\mathrm{S}}}\\right)-1}=\\left(\\frac{R_{\\mathrm{S}}}{d}\\right)^{2} \\frac{2 \\pi h c^{2}}{\\left(\\lambda_{\\max }^{\\text {Sun }}\\right)^{5}} \\frac{1}{\\exp \\left(\\frac{h c}{k_{\\mathrm{B}} b}\\right)-1}, \\\\"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"u\\left(\\lambda_{\\max }^{\\text {Earth }}, T_{\\mathrm{E}}\\right)=\\frac{2 \\pi h c^{2}}{\\left(\\lambda_{\\max }^{\\text {Earth }}\\right)^{5}} \\frac{1}{\\exp \\left(\\frac{h c}{\\lambda_{\\max }^{\\text {Earth }} k_{\\mathrm{B}} T_{\\mathrm{E}}}\\right)-1}=\\frac{2 \\pi h c^{2}}{\\left(\\lambda_{\\max }^{\\text {Earth }}\\right)^{5}} \\frac{1}{\\exp \\left(\\frac{h c}{k_{\\mathrm{B}} b}\\right)-1}."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\end{gathered}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Разделив эти две величины, мы получим:\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\gamma=\\left(\\frac{d}{R_{\\mathrm{S}}}\\right)^{2} \\cdot\\left(\\frac{T_{\\mathrm{E}}}{T_{\\mathrm{S}}}\\right)^{5}=\\left(\\frac{d}{R_{\\mathrm{S}}}\\right)^{2} \\cdot\\left(\\frac{\\lambda_{\\max }^{\\mathrm{Sun}}}{\\lambda_{\\max }^{\\max }} \\right)^5 =[1.20,1.21] \\cdot10^{-2}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Предположим, что $\\varepsilon=1$ и $r_E=0$. Найдите температуру Земли $T_E$ и температуру атмосферы $T_A$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Земля и ее атмосфера находятся в тепловом равновесии, поэтому можно написать уравнение, которое в котором равны входная и выходная мощности. Для Земли:$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\left(\\pi R_{\\mathrm{E}}^{2}\\right)\\left(1-r_{\\mathrm{A}}\\right) S_{0}+\\left(4 \\pi R_{\\mathrm{E}}^{2}\\right) \\sigma T_{\\mathrm{A}}^{4}=\\left(4 \\pi R_{\\mathrm{E}}^{2}\\right) \\sigma T_{\\mathrm{E}}^{4},"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$для атмосферы:$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\left(4 \\pi R_{\\mathrm{E}}^{2}\\right) \\sigma T_{\\mathrm{E}}^{4}=2\\left(4 \\pi R_{\\mathrm{E}}^{2}\\right) \\sigma T_{\\mathrm{A}}^{4}."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Обратите внимание, что коэффициент $2$ в правой части уравнения обусловлен тем, что атмосфера излучает тепло с обеих сторон (сверху и снизу). Исключив $T_{E}$ из этих двух соотношений, получим:\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"T_{\\mathrm{A}}=\\left(\\frac{\\left(1-r_{\\mathrm{A}}\\right) \\frac{s_{0}}{4}}{\\sigma}\\right)^{{1}/{4}}=2.58 \\cdot10^{2} {~К},\\quad "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"T_{\\mathrm{E}}=\\left(\\frac{\\left(1-r_{\\mathrm{A}}\\right) \\frac{s_{0}}{2}}{\\sigma}\\right)^{{1}/{4}}=3.07 \\cdot10^{2} {~К}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Найдите альбедо $\\alpha$ через $r_E$ и $r_A$. Рассчитайте его численное значение при $r_E = 0.102$ (и $r_A = 0.255$).\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Как видно на рисунке, доля $\\left(1-r_{\\mathrm{A}}\\right)$ солнечного излучения достигает поверхности Земли после прохождения атмосферы. Часть $r_{\\mathrm{E}}$ этого света отражается обратно и попадает в атмосферу, где часть $r_{\\mathrm{A}}$ отражается и возвращается к поверхности Земли. Этот процесс повторяется до бесконечности, и сумма мощностей, переданных во всех этих случаях, определяет альбедо. Обозначив мощность, возвращаемую в космос после $n$ отражений, через $\\tilde{S}_{n}$, мы будем иметь $\\tilde{S}_{0}=r_{\\mathrm{A}} S_{0}$ и оставшаяся мощность, т.е. $\\left(1-r_{\\mathrm{A}}\\right) S_{0}$, достигает поверхности Земли. От этой мощности, $\\left(1-r_{\\mathrm{A}}\\right) r_{\\mathrm{E}} S_{0}$ отражается, и часть ее $1-r_{\\mathrm{A}}$ передается через атмосферу в космос, следовательно:$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\tilde{S}_{1}=\\left(1-r_{\\mathrm{A}}\\right)^{2} r_{\\mathrm{E}} S_{0}=\\frac{\\left(1-r_{\\mathrm{A}}\\right)^{2}}{r_{\\mathrm{A}}} r_{\\mathrm{E}} \\tilde{S}_{0}."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Мощность, отраженная атмосферой обратно на Землю после $(n-1)$ отражений, равна $\\tilde{S}_{n-1}\\left(\\frac{r_{\\mathrm{A}}}{1-\\mathrm{r}_{\\mathrm{A}}}\\right)$, из которых доля $r_{\\mathrm{E}}$ снова отправляется обратно в атмосферу при $n$-том отражении, а атмосфера позволяет доле $1-r_{\\mathrm{A}}$ этой отраженной мощности уйти в пространство, таким образом:$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\tilde{S}_{n}=\\frac{\\tilde{S}_{n-1}}{1-r_{\\mathrm{A}}} r_{\\mathrm{A}} r_{\\mathrm{E}} \\cdot\\left(1-r_{\\mathrm{A}}\\right)=r_{\\mathrm{A}} r_{\\mathrm{E}} \\tilde{S}_{n-1}=\\left(r_{\\mathrm{A}} r_{\\mathrm{E}}\\right)^{n-1} \\tilde{S}_{1}."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Сложив все эти члены, можно получить мощность, возвращаемую на единицу площади системой Земля–атмосфера:$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\begin{gathered}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\tilde{S}=\\sum_{n=0}^{\\infty} \\tilde{S}_{n}=\\tilde{S}_{0}+\\tilde{S}_{1} \\sum_{n=1}^{\\infty}\\left(r_{\\mathrm{A}} r_{\\mathrm{E}}\\right)^{n-1}=r_{\\mathrm{A}} S_{0}+\\left(1-r_{\\mathrm{A}}\\right)^{2} r_{\\mathrm{E}} S_{0} \\cdot \\frac{1}{1-r_{\\mathrm{A}} r_{\\mathrm{E}}} \\\\"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"=\\left[r_{\\mathrm{A}}+\\frac{\\left.\\left(1-r_{\\mathrm{A}}\\right)^{2} r_{\\mathrm{E}}\\right]}{1-r_{\\mathrm{A}} r_{\\mathrm{E}}}\\right] \\cdot S_{0}."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\end{gathered}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Разделив на солнечную постоянную, мы получим значение альбедо:$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\alpha=\\frac{\\tilde{S}}{S_{0}}=r_{\\mathrm{A}}+\\frac{\\left(1-r_{\\mathrm{A}}\\right)^{2} r_{\\mathrm{E}}}{1-r_{\\mathrm{A}} r_{\\mathrm{E}}}=3.13 \\cdot10^{-1}."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[\\alpha=r_{\\mathrm{A}}+\\frac{\\left(1-r_{\\mathrm{A}}\\right)^{2} r_{\\mathrm{E}}}{1-r_{\\mathrm{A}} r_{\\mathrm{E}}}=3.13 \\cdot10^{-1}\\]\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"element","tag":"ul","children":[{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Выразите температуру Земли через $\\sigma$, $\\alpha$, $S_0$, и $\\varepsilon$."}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Используя приведенные данные и рассчитанное альбедо, найдите численное значение $\\varepsilon$, которое приводит к нынешней средней температуре Земли $T_E=288~К$."}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Тепловое равновесие требует, чтобы входная и выходная мощности были равны как для Земли, так и для атмосферы, с той лишь разницей, что Земля поглощает теперь долю $1-\\alpha$ солнечного излучения. Таким образом, для Земли:$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\left(4 \\pi R_{\\mathrm{E}}^{2}\\right) \\varepsilon \\sigma T_{\\mathrm{A}}^{4}+\\left(\\pi R_{\\mathrm{E}}^{2}\\right)(1-\\alpha) S_{0}=\\left(4 \\pi R_{\\mathrm{E}}^{2}\\right) \\sigma T_{\\mathrm{E}}^{4}."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$для атмосферы:$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\begin{gathered}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\left(4 \\pi R_{\\mathrm{E}}^{2}\\right) \\varepsilon \\sigma T_{\\mathrm{E}}^{4}=2\\left(4 \\pi R_{\\mathrm{E}}^{2}\\right) \\varepsilon \\sigma T_{\\mathrm{A}}^{4}, \\\\"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"T_{\\mathrm{E}}=\\left[\\frac{(1-\\alpha)}{2 \\sigma(2-\\varepsilon)} S_{0}\\right]^{{1}/{4}}, \\quad T_{\\mathrm{A}}=\\left(\\frac{T_{\\mathrm{E}}^{4}}{2}\\right)^{{1}/{4}}."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\end{gathered}$$$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\varepsilon=\\frac{\\left[\\sigma T_{\\mathrm{E}}^{4}-\\frac{(1-\\alpha)}{4} S_{0}\\right]}{\\sigma T_{\\mathrm{A}}^{4}}=2 \\frac{\\left[\\sigma T_{\\mathrm{E}}^{4}-\\frac{(1-\\alpha)}{4} S_{0}\\right]}{\\sigma T_{\\mathrm{E}}^{4}}=[8.07,8.11] \\cdot 10^{-1}."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[T_{\\mathrm{E}}=\\left[\\frac{(1-\\alpha)}{2 \\sigma(2-\\varepsilon)} S_{0}\\right]^{{1}/{4}},"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\quad \\varepsilon=[8.07,8.11] \\cdot10^{-1}\\]\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B4\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.80"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Найдите $\\mathrm dT_E/\\mathrm d \\varepsilon$ и вычислите, на сколько увеличится температура Земли, если $\\varepsilon$ увеличится на один процент.\t\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n $$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\begin{gathered}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\frac{\\mathrm d T_{\\mathrm{E}}}{\\mathrm d \\varepsilon}=\\frac{1}{4}\\left[\\frac{(1-\\alpha) S_{0}}{2 \\sigma(2-\\varepsilon)}\\right]^{{1}/{4}} \\frac{1}{(2-\\varepsilon)}, \\\\"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\mathrm d T_{\\mathrm{E}}=\\frac{\\mathrm d T_{\\mathrm{E}}}{\\mathrm d \\varepsilon} \\varepsilon \\frac{\\mathrm d \\varepsilon}{\\varepsilon}=\\left[\\frac{4 \\sigma T_{\\mathrm{E}}^{4}}{(1-\\alpha) S_{0}}-1\\right] \\frac{T_{\\mathrm{E}}}{4} \\cdot0.01=[4.87,4.92] \\cdot10^{-1}."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\end{gathered}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[\\frac{\\mathrm d T_{\\mathrm{E}}}{\\mathrm d \\varepsilon}=\\frac{1}{4}\\left[\\frac{(1-\\alpha) S_{0}}{2 \\sigma(2-\\varepsilon)}\\right]^{{1}/{4}} \\frac{1}{(2-\\varepsilon)},\\quad \\delta T_{\\mathrm{E}}=[4.87,4.92] \\cdot 10^{-1} {~К}\\]\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B5\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Выразите $\\varepsilon$ и $k$ через $T_E$, $T_A$, $\\sigma$, $\\alpha$ и $S_0$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tУравнения для теплового равновесия аналогичны уравнениям пункта "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"B3"}]},{"type":"text","text":", только нужно добавить нерадиационный тепловой ток. Для Земли:$$ \\left(\\pi R_{\\mathrm{E}}^{2}\\right)(1-\\alpha) S_{0}+\\left(4 \\pi R_{\\mathrm{E}}^{2}\\right) \\varepsilon \\sigma T_{\\mathrm{A}}^{4}=\\left(4 \\pi R_{\\mathrm{E}}^{2}\\right) \\sigma T_{\\mathrm{E}}^{4}+\\left(4 \\pi R_{\\mathrm{E}}^{2}\\right) k\\left(T_{\\mathrm{E}}-T_{\\mathrm{A}}\\right), $$для атмосферы:$$ \\left(4 \\pi R_{\\mathrm{E}}^{2}\\right) \\varepsilon \\sigma T_{\\mathrm{E}}^{4}+\\left(4 \\pi R_{\\mathrm{E}}^{2}\\right) k\\left(T_{\\mathrm{E}}-T_{\\mathrm{A}}\\right)=2\\left(4 \\pi R_{\\mathrm{E}}^{2}\\right) \\varepsilon \\sigma T_{\\mathrm{A}}^{4}. $$После вычислений:$$ \\begin{gathered} \\varepsilon=\\frac{\\sigma T_{\\mathrm{E}}^{4}-(1-\\alpha) \\frac{S_{0}}{4}}{\\sigma\\left(T_{\\mathrm{E}}^{4}-T_{\\mathrm{A}}^{4}\\right)}=[8.47,8.52] \\cdot 10^{-1}, \\\\ k=\\frac{\\varepsilon \\sigma\\left(2 T_{\\mathrm{A}}^{4}-T_{\\mathrm{E}}^{4}\\right)}{T_{\\mathrm{E}}-T_{\\mathrm{A}}}=\\frac{\\left(2 T_{\\mathrm{A}}^{4}-T_{\\mathrm{E}}^{4}\\right) \\cdot\\left[\\sigma T_{\\mathrm{E}}^{4}-(1-\\alpha) \\frac{S_{0}}{4}\\right]}{\\left(T_{\\mathrm{E}}^{4}-T_{\\mathrm{A}}^{4}\\right) \\cdot\\left(T_{\\mathrm{E}}-T_{\\mathrm{A}}\\right)}=[3.57,3.66] \\cdot 10^{-1}{~Вт} / {м}^{2} \\cdot{К}. \\end{gathered} $$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n \\[\\varepsilon=\\frac{\\sigma T_{\\mathrm{E}}^{4}-(1-\\alpha) \\frac{S_{0}}{4}}{\\sigma\\left(T_{\\mathrm{E}}^{4}-T_{\\mathrm{A}}^{4}\\right)},"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\quad k=\\frac{\\left(2 T_{\\mathrm{A}}^{4}-T_{\\mathrm{E}}^{4}\\right) \\cdot\\left[\\sigma T_{\\mathrm{E}}^{4}-(1-\\alpha) \\frac{S_{0}}{4}\\right]}{\\left(T_{\\mathrm{E}}^{4}-T_{\\mathrm{A}}^{4}\\right) \\cdot\\left(T_{\\mathrm{E}}-T_{\\mathrm{A}}\\right)} =[3.57,3.66] \\cdot 10^{-1} { Вт} / {м}^{2} \\cdot{К}\\]\n\n                "}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B6\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"element","tag":"ul","children":[{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Дифференцируя по $\\varepsilon$ выражения, полученные в пункте "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"B5"}]},{"type":"text","text":", получите два уравнения, в которые входят $\\mathrm dT_A/\\mathrm d \\varepsilon$ и $\\mathrm dT_E/\\mathrm d \\varepsilon$."}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Используя эти уравнения, найдите численное значение изменения температуры Земли в результате увеличения значения $\\varepsilon$ на один процент."}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tЧтобы найти изменение температур Земли и атмосферы в терминах $\\varepsilon$ и $k$, мы берем логарифм обеих сторон отношений, прежде чем взять производную:$$ \\begin{gathered} \\ln \\varepsilon=\\ln \\left[\\sigma T_{\\mathrm{E}}^{4}-(1-\\alpha) \\frac{S_{0}}{4}\\right]-\\ln \\sigma-\\ln \\left(T_{\\mathrm{E}}^{4}-T_{\\mathrm{A}}^{4}\\right), \\\\ \\ln k=\\ln \\varepsilon+\\ln \\sigma+\\ln \\left(2 T_{\\mathrm{A}}^{4}-T_{\\mathrm{E}}^{4}\\right)-\\ln \\left(T_{\\mathrm{E}}-T_{\\mathrm{A}}\\right), \\\\~\\\\ \\frac{1}{\\varepsilon}=\\frac{4 \\sigma T_{\\mathrm{E}}^{3} \\frac{\\mathrm d T_{\\mathrm{E}}}{\\mathrm d \\varepsilon}}{\\sigma T_{\\mathrm{E}}^{4}-(1-\\alpha) \\frac{S_{0}}{4}}-\\frac{4 T_{\\mathrm{E}}^{3} \\frac{\\mathrm d T_{\\mathrm{E}}}{\\mathrm d \\varepsilon}-4 T_{\\mathrm{A}}^{3} \\frac{\\mathrm d T_{\\mathrm{A}}}{\\mathrm d \\varepsilon}}{T_{\\mathrm{E}}^{4}-T_{\\mathrm{A}}^{4}}, \\\\~\\\\ 0=\\frac{1}{\\varepsilon}+\\frac{8 T_{\\mathrm{A}}^3 \\frac{\\mathrm d T_{\\mathrm{A}}}{\\mathrm d \\varepsilon}-4 T_{\\mathrm{E}}^3 \\frac{\\mathrm d T_{\\mathrm{E}}}{\\mathrm d \\varepsilon}}{2 T_{\\mathrm{A}}^4-T_{\\mathrm{E}}^4}-\\frac{\\frac{\\mathrm d T_{\\mathrm{E}}}{\\mathrm d \\varepsilon}-\\frac{\\mathrm d T_{\\mathrm{A}}}{\\mathrm d \\epsilon}}{T_{\\mathrm{E}}-T_{\\mathrm{A}}},\\\\~\\\\ \\varepsilon\\left[\\frac{1}{T_{\\mathrm{E}}-T_{\\mathrm{A}}}+\\frac{4 T_{\\mathrm{E}}^{3}}{2 T_{\\mathrm{A}}^{4}-T_{\\mathrm{E}}^{4}}\\right] \\frac{\\mathrm d T_{\\mathrm{E}}}{\\mathrm d \\varepsilon}=1+\\varepsilon\\left[\\frac{8 T_{\\mathrm{A}}^{3}}{2 T_{\\mathrm{A}}^{4}-T_{\\mathrm{E}}^{4}}+\\frac{1}{T_{\\mathrm{E}}-T_{\\mathrm{A}}}\\right] \\frac{\\mathrm d T_{\\mathrm{A}}}{\\mathrm d \\varepsilon},\\\\~\\\\ 1+\\varepsilon\\left[\\frac{4 T_{\\mathrm{E}}^3}{T_{\\mathrm{E}}^4-T_{\\mathrm{A}}^4}-\\frac{4 \\sigma T_{\\mathrm{E}}^3}{\\sigma T_{\\mathrm{E}}^4-(1-\\alpha) \\frac{S_0}{4}}\\right] \\frac{\\mathrm d T_{\\mathrm{E}}}{\\mathrm d \\varepsilon}=\\frac{4 T_{\\mathrm{A}}^3}{T_{\\mathrm{E}}^4-T_{\\mathrm{A}}^4} \\varepsilon \\frac{\\mathrm d T_{\\mathrm{A}}}{\\mathrm d \\varepsilon}. \\end{gathered} $$Решив этот набор линейных уравнений и подставив $\\varepsilon$ в "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"B5"}]},{"type":"text","text":", мы получим:\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[\\left\\{\\begin{array}{c}\\varepsilon\\left[\\frac{1}{T_{\\mathrm{E}}-T_{\\mathrm{A}}}+\\frac{4 T_{\\mathrm{E}}^{3}}{2 T_{\\mathrm{A}}^{4}-T_{\\mathrm{E}}^{4}}\\right] \\frac{\\mathrm d T_{\\mathrm{E}}}{\\mathrm d \\varepsilon}=1+\\varepsilon\\left[\\frac{8 T_{\\mathrm{A}}^{3}}{2 T_{\\mathrm{A}}^{4}-T_{\\mathrm{E}}^{4}}+\\frac{1}{T_{\\mathrm{E}}-T_{\\mathrm{A}}}\\right] \\frac{\\mathrm d T_{\\mathrm{A}}}{\\mathrm d \\varepsilon} \\\\ 1+\\varepsilon\\left[\\frac{4 T_{\\mathrm{E}}^{3}}{T_{\\mathrm{E}}^{4}-T_{\\mathrm{A}}^{4}}-\\frac{4 \\sigma T_{\\mathrm{E}}^{3}}{\\sigma T_{\\mathrm{E}}^{4}-(1-\\alpha) \\frac{S_{0}}{4}}\\right] \\frac{\\mathrm d T_{\\mathrm{E}}}{\\mathrm d \\varepsilon}=\\frac{4 T_{\\mathrm{A}}^{3}}{T_{\\mathrm{E}}^{4}-T_{\\mathrm{A}}^{4}} \\varepsilon \\frac{\\mathrm d T_{\\mathrm{A}}}{\\mathrm d \\varepsilon}\\end{array}\\right. \\\\~\\\\\\delta T_{\\mathrm{E}}=[5.21,5.28] \\cdot10^{-1} {~К}\\]\n\n                    "}]}]}]}],"text":"A1 0.60 Найдите солнечную постоянную $S_0$. Вся энергия, излучаемая с поверхности Солнца, достигнет сферы радиуса $d$, следовательно:$$ \\begin{aligned} & \\sigma T_{{S}}^{4} \\cdot\\left(4 \\pi R_{{S}}^{2}\\right)=\\left(4 \\pi d^{2}\\right) \\cdot S_{0}, \\\\ & S_{0}=\\sigma T_{{S}}^{4} \\cdot\\left(\\frac{R_{{S}}}{d}\\right)^{2}=5.67 \\cdot 10^{-8}~ \\frac{{Вт}}{{м}^{2} \\cdot{К}^{4}} \\cdot\\left(5.77 \\cdot 10^{3} {~К}\\right)^{4} \\cdot\\left(\\frac{6.96 \\cdot 10^{8} {~м}}{1.5 \\cdot 10^{11} {~м}}\\right)^{2}=1.35 \\cdot10^{3} ~\\frac{{Вт}}{{м}^{2}}. \\end{aligned} $$ Ответ: \n                    \n $$ S_{0}=\\sigma T_{\\mathrm{S}}^{4} \\cdot\\left(\\frac{R_{\\mathrm{S}}}{d}\\right)^{2}=1.35 \\cdot10^{3} ~\\dfrac{Вт}{м^2} $$\nA2 0.60 Найдите температуру Земли $T_E$. Предполагается, что Земля находится в тепловом равновесии. Поэтому энергия, получаемая ею в единицу времени, должна быть равна энергии, излучаемой ею в единицу времени. Сечение Земли, перехватывающее солнечное излучение на этом расстоянии, имеет площадь $\\pi R_{\\mathrm{E}}^{2}$, но Земля излучает тепло из всех точек своей поверхности площадью $4 \\pi R_{\\mathrm{E}}^{2}$, поэтому:$$ \\pi R_{\\mathrm{E}}^{2} \\cdot S_{0}=4 \\pi R_{\\mathrm{E}}^{2} \\sigma T_{\\mathrm{E}}^{4} \\implies T_{\\mathrm{E}}=\\left(\\frac{S_{0}}{4 \\sigma}\\right)^{\\frac{1}{4}}=278 {~К}. $$ Ответ: \n                    \n $$T_{\\mathrm{E}}=\\left(\\frac{S_{0}}{4 \\sigma}\\right)^{\\frac{1}{4}}=\\sqrt{\\frac{R_{\\mathrm{S}}}{2 d}} T_{\\mathrm{S}}=278 {~К}$$\nA3 0.40 Найдите функцию $f(x)$. Излучение максимально на той длине волны, для которой производная $u$ по $\\lambda$ равна нулю:$$ \\begin{gathered} \\frac{\\mathrm d u}{\\mathrm d \\lambda}=\\frac{2 \\pi h c^{2}}{\\lambda^{6}} \\cdot \\frac{1}{\\exp \\left(\\frac{h c}{\\lambda k_{\\mathrm{B}} T}\\right)-1} \\cdot\\left[-5+\\frac{h c}{\\lambda k_{\\mathrm{B}} T} \\frac{\\exp \\left(\\frac{h c}{\\lambda k_{\\mathrm{B}} T}\\right)}{\\exp \\left(\\frac{h c}{\\lambda k_{\\mathrm{B}} T}\\right)-1}\\right] \\\\ \\left.\\frac{\\mathrm d u}{\\mathrm d \\lambda}\\right|_{\\lambda=\\lambda_{\\mathrm{m}}}=0 \\quad \\Rightarrow \\quad \\frac{h c}{\\lambda_{\\mathrm{m}} k_{\\mathrm{B}} T} \\frac{\\exp \\left(\\frac{h c}{\\lambda_{\\mathrm{m}} k_{\\mathrm{B}} T}\\right)}{\\exp \\left(\\frac{h c}{\\lambda_{\\mathrm{m}} K_{\\mathrm{B}} T}\\right)-1}=5. \\end{gathered} $$Определяя $x_{\\mathrm{m}} \\equiv \\frac{h c}{\\lambda_{\\mathrm{m}} k_{\\mathrm{B}} T}$ мы получим следующее трансцендентное уравнение:$$ 5\\left(1-e^{-x_{\\mathrm{m}}}\\right)-x_{\\mathrm{m}}=0. $$ Ответ: \n                    \n $$ f(x)=5\\left(1-e^{-x}\\right)-x $$\nA4 0.40 Вычислите значение $x_{\\text{m}}$ и используя это значение $x_{\\text{m}}$ найдите значение $b$. Первое предположение – $x_{\\mathrm{m}}^{(1)}=5$. Многократно подставляя $x_{\\mathrm{m}}$, мы можем продолжить следующим образом:$$ \\begin{gathered} x_{\\mathrm{m}}^{(2)}=5\\left(1-e^{-5}\\right)=4.97, \\\\ x_{\\mathrm{m}}^{(3)}=5\\left(1-e^{-4.97}\\right)=4.97. \\end{gathered} $$Дальнейшие итерации не изменяют значение $x_{\\mathrm{m}}$ до трех значащих цифр, так что:$$ \\lambda_{\\mathrm{m}} T=\\frac{h c}{x_{\\mathrm{m}} k_{\\mathrm{B}}}=b=1240~ {эВ} \\cdot {нм} \\cdot \\frac{1}{4.97 \\cdot 8.62 \\cdot 10^{-5} ~эВ \\cdot К^{-1}}=2.89 \\cdot10^{6} {~нм} \\cdot {К}. $$ Ответ: \n                    \n $$ x_{\\mathrm{m}}=\\{4.96,4.97\\}, \\quad b=[2.89,2.90] \\cdot 10^{6} {~нм} \\cdot {К} $$\nA5 0.20 Найдите $\\lambda_{\\max}$ для Солнца и для Земли. Используя закон смещения Вина и постоянную $b$, полученную в предыдущей части, мы можем рассчитать длину волны, на которой излучение Солнца и Земли достигает своего максимума:$$ \\begin{gathered} \\lambda_{\\max }^{\\operatorname{Sun}}=\\frac{b}{T_{\\mathrm{S}}}=\\frac{2.89 \\cdot10^{6} {~нм} \\cdot {К}}{5.77 \\cdot10^{3} {~К}}=[5.01,5.02] \\cdot 10^{2} {~нм}, \\\\ \\lambda_{\\max }^{\\mathrm{Earth}}=\\frac{b}{T_{\\mathrm{E}}}=\\frac{2.89 \\cdot10^{6} {~нм} \\cdot {К}}{278 {~К}}=1.04 \\cdot10^{4} {~нм}. \\end{gathered} $$ Ответ: \n                    \n $$\\lambda_{\\max }^{\\text {Sun }}=[5.01,5.02] \\cdot 10^{2} {~нм},  \\quad \\lambda_{\\max }^{\\text {Earth }}=1.04 \\cdot 10^{4} {~нм}$$\nA6 0.80 Найдите $\\gamma$. Из диаграммы хорошо видно, что $\\gamma \\tilde{u}_{\\mathrm{S}}\\left(\\lambda_{\\max }^{\\mathrm{S}}\\right)=u\\left(\\lambda_{\\max }^{\\mathrm{Earrh}}, T_{\\mathrm{E}}\\right)$, поэтому мы имеем:$$ \\begin{gathered} \\tilde{u}_{\\mathrm{S}}\\left(\\lambda_{\\max }^{\\operatorname{Sun}}\\right)=\\left(\\frac{R_{\\mathrm{S}}}{d}\\right)^{2} \\frac{2 \\pi h c^{2}}{\\left(\\lambda_{\\max }^{\\text {Sun }}\\right)^{5}} \\frac{1}{\\exp \\left(\\frac{h c}{\\lambda_{\\max }^{\\text {Sun }} k_{\\mathrm{B}} T_{\\mathrm{S}}}\\right)-1}=\\left(\\frac{R_{\\mathrm{S}}}{d}\\right)^{2} \\frac{2 \\pi h c^{2}}{\\left(\\lambda_{\\max }^{\\text {Sun }}\\right)^{5}} \\frac{1}{\\exp \\left(\\frac{h c}{k_{\\mathrm{B}} b}\\right)-1}, \\\\ u\\left(\\lambda_{\\max }^{\\text {Earth }}, T_{\\mathrm{E}}\\right)=\\frac{2 \\pi h c^{2}}{\\left(\\lambda_{\\max }^{\\text {Earth }}\\right)^{5}} \\frac{1}{\\exp \\left(\\frac{h c}{\\lambda_{\\max }^{\\text {Earth }} k_{\\mathrm{B}} T_{\\mathrm{E}}}\\right)-1}=\\frac{2 \\pi h c^{2}}{\\left(\\lambda_{\\max }^{\\text {Earth }}\\right)^{5}} \\frac{1}{\\exp \\left(\\frac{h c}{k_{\\mathrm{B}} b}\\right)-1}. \\end{gathered} $$Разделив эти две величины, мы получим: Ответ: \n                    \n $$ \\gamma=\\left(\\frac{d}{R_{\\mathrm{S}}}\\right)^{2} \\cdot\\left(\\frac{T_{\\mathrm{E}}}{T_{\\mathrm{S}}}\\right)^{5}=\\left(\\frac{d}{R_{\\mathrm{S}}}\\right)^{2} \\cdot\\left(\\frac{\\lambda_{\\max }^{\\mathrm{Sun}}}{\\lambda_{\\max }^{\\max }} \\right)^5 =[1.20,1.21] \\cdot10^{-2} $$\nB1 1.00 Предположим, что $\\varepsilon=1$ и $r_E=0$. Найдите температуру Земли $T_E$ и температуру атмосферы $T_A$. Земля и ее атмосфера находятся в тепловом равновесии, поэтому можно написать уравнение, которое в котором равны входная и выходная мощности. Для Земли:$$ \\left(\\pi R_{\\mathrm{E}}^{2}\\right)\\left(1-r_{\\mathrm{A}}\\right) S_{0}+\\left(4 \\pi R_{\\mathrm{E}}^{2}\\right) \\sigma T_{\\mathrm{A}}^{4}=\\left(4 \\pi R_{\\mathrm{E}}^{2}\\right) \\sigma T_{\\mathrm{E}}^{4}, $$для атмосферы:$$ \\left(4 \\pi R_{\\mathrm{E}}^{2}\\right) \\sigma T_{\\mathrm{E}}^{4}=2\\left(4 \\pi R_{\\mathrm{E}}^{2}\\right) \\sigma T_{\\mathrm{A}}^{4}. $$Обратите внимание, что коэффициент $2$ в правой части уравнения обусловлен тем, что атмосфера излучает тепло с обеих сторон (сверху и снизу). Исключив $T_{E}$ из этих двух соотношений, получим: Ответ: \n                    \n $$ T_{\\mathrm{A}}=\\left(\\frac{\\left(1-r_{\\mathrm{A}}\\right) \\frac{s_{0}}{4}}{\\sigma}\\right)^{{1}/{4}}=2.58 \\cdot10^{2} {~К},\\quad T_{\\mathrm{E}}=\\left(\\frac{\\left(1-r_{\\mathrm{A}}\\right) \\frac{s_{0}}{2}}{\\sigma}\\right)^{{1}/{4}}=3.07 \\cdot10^{2} {~К} $$\nB2 1.60 Найдите альбедо $\\alpha$ через $r_E$ и $r_A$. Рассчитайте его численное значение при $r_E = 0.102$ (и $r_A = 0.255$). Как видно на рисунке, доля $\\left(1-r_{\\mathrm{A}}\\right)$ солнечного излучения достигает поверхности Земли после прохождения атмосферы. Часть $r_{\\mathrm{E}}$ этого света отражается обратно и попадает в атмосферу, где часть $r_{\\mathrm{A}}$ отражается и возвращается к поверхности Земли. Этот процесс повторяется до бесконечности, и сумма мощностей, переданных во всех этих случаях, определяет альбедо. Обозначив мощность, возвращаемую в космос после $n$ отражений, через $\\tilde{S}_{n}$, мы будем иметь $\\tilde{S}_{0}=r_{\\mathrm{A}} S_{0}$ и оставшаяся мощность, т.е. $\\left(1-r_{\\mathrm{A}}\\right) S_{0}$, достигает поверхности Земли. От этой мощности, $\\left(1-r_{\\mathrm{A}}\\right) r_{\\mathrm{E}} S_{0}$ отражается, и часть ее $1-r_{\\mathrm{A}}$ передается через атмосферу в космос, следовательно:$$ \\tilde{S}_{1}=\\left(1-r_{\\mathrm{A}}\\right)^{2} r_{\\mathrm{E}} S_{0}=\\frac{\\left(1-r_{\\mathrm{A}}\\right)^{2}}{r_{\\mathrm{A}}} r_{\\mathrm{E}} \\tilde{S}_{0}. $$Мощность, отраженная атмосферой обратно на Землю после $(n-1)$ отражений, равна $\\tilde{S}_{n-1}\\left(\\frac{r_{\\mathrm{A}}}{1-\\mathrm{r}_{\\mathrm{A}}}\\right)$, из которых доля $r_{\\mathrm{E}}$ снова отправляется обратно в атмосферу при $n$-том отражении, а атмосфера позволяет доле $1-r_{\\mathrm{A}}$ этой отраженной мощности уйти в пространство, таким образом:$$ \\tilde{S}_{n}=\\frac{\\tilde{S}_{n-1}}{1-r_{\\mathrm{A}}} r_{\\mathrm{A}} r_{\\mathrm{E}} \\cdot\\left(1-r_{\\mathrm{A}}\\right)=r_{\\mathrm{A}} r_{\\mathrm{E}} \\tilde{S}_{n-1}=\\left(r_{\\mathrm{A}} r_{\\mathrm{E}}\\right)^{n-1} \\tilde{S}_{1}. $$Сложив все эти члены, можно получить мощность, возвращаемую на единицу площади системой Земля–атмосфера:$$ \\begin{gathered} \\tilde{S}=\\sum_{n=0}^{\\infty} \\tilde{S}_{n}=\\tilde{S}_{0}+\\tilde{S}_{1} \\sum_{n=1}^{\\infty}\\left(r_{\\mathrm{A}} r_{\\mathrm{E}}\\right)^{n-1}=r_{\\mathrm{A}} S_{0}+\\left(1-r_{\\mathrm{A}}\\right)^{2} r_{\\mathrm{E}} S_{0} \\cdot \\frac{1}{1-r_{\\mathrm{A}} r_{\\mathrm{E}}} \\\\ =\\left[r_{\\mathrm{A}}+\\frac{\\left.\\left(1-r_{\\mathrm{A}}\\right)^{2} r_{\\mathrm{E}}\\right]}{1-r_{\\mathrm{A}} r_{\\mathrm{E}}}\\right] \\cdot S_{0}. \\end{gathered} $$Разделив на солнечную постоянную, мы получим значение альбедо:$$ \\alpha=\\frac{\\tilde{S}}{S_{0}}=r_{\\mathrm{A}}+\\frac{\\left(1-r_{\\mathrm{A}}\\right)^{2} r_{\\mathrm{E}}}{1-r_{\\mathrm{A}} r_{\\mathrm{E}}}=3.13 \\cdot10^{-1}. $$ Ответ: \n                    \n \\[\\alpha=r_{\\mathrm{A}}+\\frac{\\left(1-r_{\\mathrm{A}}\\right)^{2} r_{\\mathrm{E}}}{1-r_{\\mathrm{A}} r_{\\mathrm{E}}}=3.13 \\cdot10^{-1}\\]\nB3 1.00 Выразите температуру Земли через $\\sigma$, $\\alpha$, $S_0$, и $\\varepsilon$. Используя приведенные данные и рассчитанное альбедо, найдите численное значение $\\varepsilon$, которое приводит к нынешней средней температуре Земли $T_E=288~К$. Тепловое равновесие требует, чтобы входная и выходная мощности были равны как для Земли, так и для атмосферы, с той лишь разницей, что Земля поглощает теперь долю $1-\\alpha$ солнечного излучения. Таким образом, для Земли:$$ \\left(4 \\pi R_{\\mathrm{E}}^{2}\\right) \\varepsilon \\sigma T_{\\mathrm{A}}^{4}+\\left(\\pi R_{\\mathrm{E}}^{2}\\right)(1-\\alpha) S_{0}=\\left(4 \\pi R_{\\mathrm{E}}^{2}\\right) \\sigma T_{\\mathrm{E}}^{4}. $$для атмосферы:$$ \\begin{gathered} \\left(4 \\pi R_{\\mathrm{E}}^{2}\\right) \\varepsilon \\sigma T_{\\mathrm{E}}^{4}=2\\left(4 \\pi R_{\\mathrm{E}}^{2}\\right) \\varepsilon \\sigma T_{\\mathrm{A}}^{4}, \\\\ T_{\\mathrm{E}}=\\left[\\frac{(1-\\alpha)}{2 \\sigma(2-\\varepsilon)} S_{0}\\right]^{{1}/{4}}, \\quad T_{\\mathrm{A}}=\\left(\\frac{T_{\\mathrm{E}}^{4}}{2}\\right)^{{1}/{4}}. \\end{gathered}$$$$ \\varepsilon=\\frac{\\left[\\sigma T_{\\mathrm{E}}^{4}-\\frac{(1-\\alpha)}{4} S_{0}\\right]}{\\sigma T_{\\mathrm{A}}^{4}}=2 \\frac{\\left[\\sigma T_{\\mathrm{E}}^{4}-\\frac{(1-\\alpha)}{4} S_{0}\\right]}{\\sigma T_{\\mathrm{E}}^{4}}=[8.07,8.11] \\cdot 10^{-1}. $$ Ответ: \n                    \n \\[T_{\\mathrm{E}}=\\left[\\frac{(1-\\alpha)}{2 \\sigma(2-\\varepsilon)} S_{0}\\right]^{{1}/{4}}, \\quad \\varepsilon=[8.07,8.11] \\cdot10^{-1}\\]\nB4 0.80 Найдите $\\mathrm dT_E/\\mathrm d \\varepsilon$ и вычислите, на сколько увеличится температура Земли, если $\\varepsilon$ увеличится на один процент. $$ \\begin{gathered} \\frac{\\mathrm d T_{\\mathrm{E}}}{\\mathrm d \\varepsilon}=\\frac{1}{4}\\left[\\frac{(1-\\alpha) S_{0}}{2 \\sigma(2-\\varepsilon)}\\right]^{{1}/{4}} \\frac{1}{(2-\\varepsilon)}, \\\\ \\mathrm d T_{\\mathrm{E}}=\\frac{\\mathrm d T_{\\mathrm{E}}}{\\mathrm d \\varepsilon} \\varepsilon \\frac{\\mathrm d \\varepsilon}{\\varepsilon}=\\left[\\frac{4 \\sigma T_{\\mathrm{E}}^{4}}{(1-\\alpha) S_{0}}-1\\right] \\frac{T_{\\mathrm{E}}}{4} \\cdot0.01=[4.87,4.92] \\cdot10^{-1}. \\end{gathered} $$ Ответ: \n                    \n \\[\\frac{\\mathrm d T_{\\mathrm{E}}}{\\mathrm d \\varepsilon}=\\frac{1}{4}\\left[\\frac{(1-\\alpha) S_{0}}{2 \\sigma(2-\\varepsilon)}\\right]^{{1}/{4}} \\frac{1}{(2-\\varepsilon)},\\quad \\delta T_{\\mathrm{E}}=[4.87,4.92] \\cdot 10^{-1} {~К}\\]\nB5 1.60 Выразите $\\varepsilon$ и $k$ через $T_E$, $T_A$, $\\sigma$, $\\alpha$ и $S_0$. Уравнения для теплового равновесия аналогичны уравнениям пункта B3 , только нужно добавить нерадиационный тепловой ток. Для Земли:$$ \\left(\\pi R_{\\mathrm{E}}^{2}\\right)(1-\\alpha) S_{0}+\\left(4 \\pi R_{\\mathrm{E}}^{2}\\right) \\varepsilon \\sigma T_{\\mathrm{A}}^{4}=\\left(4 \\pi R_{\\mathrm{E}}^{2}\\right) \\sigma T_{\\mathrm{E}}^{4}+\\left(4 \\pi R_{\\mathrm{E}}^{2}\\right) k\\left(T_{\\mathrm{E}}-T_{\\mathrm{A}}\\right), $$для атмосферы:$$ \\left(4 \\pi R_{\\mathrm{E}}^{2}\\right) \\varepsilon \\sigma T_{\\mathrm{E}}^{4}+\\left(4 \\pi R_{\\mathrm{E}}^{2}\\right) k\\left(T_{\\mathrm{E}}-T_{\\mathrm{A}}\\right)=2\\left(4 \\pi R_{\\mathrm{E}}^{2}\\right) \\varepsilon \\sigma T_{\\mathrm{A}}^{4}. $$После вычислений:$$ \\begin{gathered} \\varepsilon=\\frac{\\sigma T_{\\mathrm{E}}^{4}-(1-\\alpha) \\frac{S_{0}}{4}}{\\sigma\\left(T_{\\mathrm{E}}^{4}-T_{\\mathrm{A}}^{4}\\right)}=[8.47,8.52] \\cdot 10^{-1}, \\\\ k=\\frac{\\varepsilon \\sigma\\left(2 T_{\\mathrm{A}}^{4}-T_{\\mathrm{E}}^{4}\\right)}{T_{\\mathrm{E}}-T_{\\mathrm{A}}}=\\frac{\\left(2 T_{\\mathrm{A}}^{4}-T_{\\mathrm{E}}^{4}\\right) \\cdot\\left[\\sigma T_{\\mathrm{E}}^{4}-(1-\\alpha) \\frac{S_{0}}{4}\\right]}{\\left(T_{\\mathrm{E}}^{4}-T_{\\mathrm{A}}^{4}\\right) \\cdot\\left(T_{\\mathrm{E}}-T_{\\mathrm{A}}\\right)}=[3.57,3.66] \\cdot 10^{-1}{~Вт} / {м}^{2} \\cdot{К}. \\end{gathered} $$ \\[\\varepsilon=\\frac{\\sigma T_{\\mathrm{E}}^{4}-(1-\\alpha) \\frac{S_{0}}{4}}{\\sigma\\left(T_{\\mathrm{E}}^{4}-T_{\\mathrm{A}}^{4}\\right)}, \\quad k=\\frac{\\left(2 T_{\\mathrm{A}}^{4}-T_{\\mathrm{E}}^{4}\\right) \\cdot\\left[\\sigma T_{\\mathrm{E}}^{4}-(1-\\alpha) \\frac{S_{0}}{4}\\right]}{\\left(T_{\\mathrm{E}}^{4}-T_{\\mathrm{A}}^{4}\\right) \\cdot\\left(T_{\\mathrm{E}}-T_{\\mathrm{A}}\\right)} =[3.57,3.66] \\cdot 10^{-1} { Вт} / {м}^{2} \\cdot{К}\\]\nB6 1.00 Дифференцируя по $\\varepsilon$ выражения, полученные в пункте B5 , получите два уравнения, в которые входят $\\mathrm dT_A/\\mathrm d \\varepsilon$ и $\\mathrm dT_E/\\mathrm d \\varepsilon$. Используя эти уравнения, найдите численное значение изменения температуры Земли в результате увеличения значения $\\varepsilon$ на один процент. Чтобы найти изменение температур Земли и атмосферы в терминах $\\varepsilon$ и $k$, мы берем логарифм обеих сторон отношений, прежде чем взять производную:$$ \\begin{gathered} \\ln \\varepsilon=\\ln \\left[\\sigma T_{\\mathrm{E}}^{4}-(1-\\alpha) \\frac{S_{0}}{4}\\right]-\\ln \\sigma-\\ln \\left(T_{\\mathrm{E}}^{4}-T_{\\mathrm{A}}^{4}\\right), \\\\ \\ln k=\\ln \\varepsilon+\\ln \\sigma+\\ln \\left(2 T_{\\mathrm{A}}^{4}-T_{\\mathrm{E}}^{4}\\right)-\\ln \\left(T_{\\mathrm{E}}-T_{\\mathrm{A}}\\right), \\\\~\\\\ \\frac{1}{\\varepsilon}=\\frac{4 \\sigma T_{\\mathrm{E}}^{3} \\frac{\\mathrm d T_{\\mathrm{E}}}{\\mathrm d \\varepsilon}}{\\sigma T_{\\mathrm{E}}^{4}-(1-\\alpha) \\frac{S_{0}}{4}}-\\frac{4 T_{\\mathrm{E}}^{3} \\frac{\\mathrm d T_{\\mathrm{E}}}{\\mathrm d \\varepsilon}-4 T_{\\mathrm{A}}^{3} \\frac{\\mathrm d T_{\\mathrm{A}}}{\\mathrm d \\varepsilon}}{T_{\\mathrm{E}}^{4}-T_{\\mathrm{A}}^{4}}, \\\\~\\\\ 0=\\frac{1}{\\varepsilon}+\\frac{8 T_{\\mathrm{A}}^3 \\frac{\\mathrm d T_{\\mathrm{A}}}{\\mathrm d \\varepsilon}-4 T_{\\mathrm{E}}^3 \\frac{\\mathrm d T_{\\mathrm{E}}}{\\mathrm d \\varepsilon}}{2 T_{\\mathrm{A}}^4-T_{\\mathrm{E}}^4}-\\frac{\\frac{\\mathrm d T_{\\mathrm{E}}}{\\mathrm d \\varepsilon}-\\frac{\\mathrm d T_{\\mathrm{A}}}{\\mathrm d \\epsilon}}{T_{\\mathrm{E}}-T_{\\mathrm{A}}},\\\\~\\\\ \\varepsilon\\left[\\frac{1}{T_{\\mathrm{E}}-T_{\\mathrm{A}}}+\\frac{4 T_{\\mathrm{E}}^{3}}{2 T_{\\mathrm{A}}^{4}-T_{\\mathrm{E}}^{4}}\\right] \\frac{\\mathrm d T_{\\mathrm{E}}}{\\mathrm d \\varepsilon}=1+\\varepsilon\\left[\\frac{8 T_{\\mathrm{A}}^{3}}{2 T_{\\mathrm{A}}^{4}-T_{\\mathrm{E}}^{4}}+\\frac{1}{T_{\\mathrm{E}}-T_{\\mathrm{A}}}\\right] \\frac{\\mathrm d T_{\\mathrm{A}}}{\\mathrm d \\varepsilon},\\\\~\\\\ 1+\\varepsilon\\left[\\frac{4 T_{\\mathrm{E}}^3}{T_{\\mathrm{E}}^4-T_{\\mathrm{A}}^4}-\\frac{4 \\sigma T_{\\mathrm{E}}^3}{\\sigma T_{\\mathrm{E}}^4-(1-\\alpha) \\frac{S_0}{4}}\\right] \\frac{\\mathrm d T_{\\mathrm{E}}}{\\mathrm d \\varepsilon}=\\frac{4 T_{\\mathrm{A}}^3}{T_{\\mathrm{E}}^4-T_{\\mathrm{A}}^4} \\varepsilon \\frac{\\mathrm d T_{\\mathrm{A}}}{\\mathrm d \\varepsilon}. \\end{gathered} $$Решив этот набор линейных уравнений и подставив $\\varepsilon$ в B5 , мы получим: Ответ: \n                    \n \\[\\left\\{\\begin{array}{c}\\varepsilon\\left[\\frac{1}{T_{\\mathrm{E}}-T_{\\mathrm{A}}}+\\frac{4 T_{\\mathrm{E}}^{3}}{2 T_{\\mathrm{A}}^{4}-T_{\\mathrm{E}}^{4}}\\right] \\frac{\\mathrm d T_{\\mathrm{E}}}{\\mathrm d \\varepsilon}=1+\\varepsilon\\left[\\frac{8 T_{\\mathrm{A}}^{3}}{2 T_{\\mathrm{A}}^{4}-T_{\\mathrm{E}}^{4}}+\\frac{1}{T_{\\mathrm{E}}-T_{\\mathrm{A}}}\\right] \\frac{\\mathrm d T_{\\mathrm{A}}}{\\mathrm d \\varepsilon} \\\\ 1+\\varepsilon\\left[\\frac{4 T_{\\mathrm{E}}^{3}}{T_{\\mathrm{E}}^{4}-T_{\\mathrm{A}}^{4}}-\\frac{4 \\sigma T_{\\mathrm{E}}^{3}}{\\sigma T_{\\mathrm{E}}^{4}-(1-\\alpha) \\frac{S_{0}}{4}}\\right] \\frac{\\mathrm d T_{\\mathrm{E}}}{\\mathrm d \\varepsilon}=\\frac{4 T_{\\mathrm{A}}^{3}}{T_{\\mathrm{E}}^{4}-T_{\\mathrm{A}}^{4}} \\varepsilon \\frac{\\mathrm d T_{\\mathrm{A}}}{\\mathrm d \\varepsilon}\\end{array}\\right. \\\\~\\\\\\delta T_{\\mathrm{E}}=[5.21,5.28] \\cdot10^{-1} {~К}\\]","figures":[],"shared":false}},{"id":"ipho-2024-t2","importedOn":"2026-10-28","language":"ru","sources":[{"url":"https://pho.rs/p/4176","kind":"statement"},{"url":"https://pho.rs/p/4176/s","kind":"solution"}],"statement":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"em","children":[{"type":"text","text":"В последние десятилетия удержание и охлаждение атомов и ионов стали увлекательной темой для физиков, а за работы в этой области было присуждено несколько Нобелевских премий. В первой части этого вопроса мы рассмотрим технику захвата ионов, известную как «ловушка Пауля». За эту работу Вольфганг Пауль и Ханс Дехмельт получили половину Нобелевской премии по физике 1989 года. Далее мы исследуем технику доплеровского охлаждения – одну из работ, упомянутых в пресс-релизе Нобелевской премии по физике 1997 года, присужденной Стивену Чу, Клоду Коэн-Таннуджи и Уильяму Дэниелу Филлипсу «за разработку методов охлаждения и удержания атомов с помощью лазерного излучения»."}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть A. Ловушка Пауля (5.6 балла)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tИзвестно, что с помощью электростатических полей невозможно создать устойчивое равновесие для заряженной частицы. Поэтому для создания точки стабильного равновесия для ионов требуются более сложные методы. Одной из таких методик является ловушка Пауля."},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Рассмотрим равномерно заряженное кольцо с линейной плотностью положительного заряда $\\lambda$ и радиусом $R$. Положительный точечный заряд $Q$ с массой $m$ помещен в центр кольца."}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/86e7c79465d79eaa9cfe.webp","alt":"ipho-2024-t2 statement: original source diagram 1"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 1. Равномерно заряженное кольцо с линейной плотностью положительного заряда $\\lambda$ и радиусом $R$; начало системы координат находится в центре кольца.\n"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.50"}]}]},{"type":"element","tag":"ul","children":[{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Используя декартовы координаты $(x, y, z)$ , получите электрическое поле кольца в окрестности его центра с точностью до первого порядка по $x/R$, $y/R$, и $z/R$."}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Найдите частоту малых колебаний заряженной частицы около центра кольца в направлениях, для которых существует устойчивое равновесие."}]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Для создания динамического равновесия мы применим переменные поля. Плотность заряда зависит от времени как $\\lambda=\\lambda_{0}+u \\cos \\Omega t$. Переменные $\\lambda_{0}, u$, и $\\Omega$ заданы. Эффектами излучения пренебрегайте. Уравнение движения для малых смещений от центра кольца вдоль оси $z$ будет иметь вид:\\begin{equation*}\\ddot{z}=\\left(+k^{2}+a \\Omega^{2} \\cos \\Omega t\\right) z .\\tag{1}\\end{equation*}"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.40"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Выразите $a$ и $k$ через известные параметры.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Для получения приближенного решения уравнения $(1)$ сделайте следующие упрощающие предположения: $a \\ll 1, \\Omega \\gg k$ и $a \\Omega^{2} \\gg k^{2}$. В таких предположениях решение уравнения разбивается на два слагаемых: $z(t)=p(t)+q(t)$, где $p(t)$ - медленно меняющаяся компонента и $q(t)$ - быстро осциллирующая компонента с малой амплитудой и со средним значением, равным нулю. Другими словами, $p(t)$ может быть принято за константу в течении нескольких колебаний $q(t)$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/60f0c697c7968b0e0a7b.webp","alt":"ipho-2024-t2 statement: original source diagram 2"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 2. Типичное решение уравнения движения заряженной частицы: $p(t)$ дает общее движение, а $q(t)$ представляет собой маленькие колебания вокруг этой траектории. В эллипсе справа -- увеличенная часть этой траектории.\n"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.80"}]}]},{"type":"element","tag":"ul","children":[{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Используя приведённые выше предположения, составьте уравнение для $q(t)$. Используйте $a$, $\\Omega$ и $p$."}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Найдите такое решение этого уравнения, чтобы оно удовлетворяло указанным выше свойствам."}]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A4\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.50"}]}]},{"type":"element","tag":"ul","children":[{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Усредните эффект быстро осциллирующей компоненты и получите эффективное уравнение на $p(t)$."}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Найдите условие устойчивости равновесия."}]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Пусть $\\lambda_0 = 8\\cdot 10^{-9}~ \\text{Кл}/\\text{м}$ и $R = 10~ \\text{см}$. Будем удерживать однократно ионизированный атом в раз более тяжелый, чем атом водорода.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A5\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.40"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Вычислите $k$. Оцените наименьшую частоту, необходимую для стабилизации движения этого иона, если $a=0.04$. Используйте числовые значения, приведенные в конце задачи.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть В. Доплеровское охлаждение (4.4 балла)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Иногда возникает необходимость охладить попавший в ловушку атом или ион. Предположим, что захваченный атом с массой $m$ имеет два энергетических уровня с разностью энергий $E_{0}=\\hbar \\omega_{\\mathrm{A}}$. Электроны на нижнем уровне могут поглотить фотон и перейти на более высокий уровень, но через время $\\tau$ они вернутся на нижний уровень и испустят фотон с частотой, вероятнее всего лежащей в пределах $\\left[\\omega_{\\mathrm{A}}-\\Gamma, \\omega_{\\mathrm{A}}+\\Gamma\\right]$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Используя принцип неопределенности Гейзенберга, найдите $\\Gamma$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n По тем же причинам, атом также может поглощать фотоны с угловой частотой лазерного излучения $\\omega_{\\mathrm{L}}$, находящейся в интервале $\\left[\\omega_{A}-\\Gamma, \\omega_{A}+\\Gamma\\right]$. Будем считать, что $\\omega_{\\mathrm{L}}$ немного меньше, чем $\\omega_{\\mathrm{A}}$. Для нашего устройства зависимость количества поглощенных фотонов в единицу времени в системе отсчета атома от частоты падающих фотонов приведена на рисунке 3. Поглощенный фотон затем переизлучается в случайном направлении. Чтобы упростить задачу, мы рассмотрим ее в одном измерении, то есть предположим, что атомы могут двигаться только в направлении $x$, а лазерный свет светит на них только слева и справа. В системе отсчета атомов свет имеет бо́льшую или меньшую частоту, обусловленную движением атомов. Поскольку скорость $v$ атомов очень мала, мы рассматриваем только члены порядка $v / c$ и игнорируем все члены более высокого порядка. Более того, выполняется условие $m \\gg \\hbar \\omega_{\\mathrm{A}} / c^{2}$, а значит скорость атома почти не меняется после поглощения фотона. Кроме того, изменение частоты из-за эффекта Доплера настолько мало по сравнению с $\\omega_{\\mathrm{A}}-\\omega_{\\mathrm{L}}$, что функция для $s$ на приведенном ниже графике может быть аппроксимирована линейной:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"s(\\omega)=s_{\\mathrm{L}}+\\alpha\\left(\\omega-\\omega_{\\mathrm{L}}\\right)"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$где $s$ – число поглощенных фотонов в единицу времени, $s_{\\mathrm{L}}$ – значение $s$ для $\\omega=\\omega_{\\mathrm{L}}$, и $\\alpha$ – наклон графика в точке $\\omega_{L}$. Частота переизлученного фотона почти равна частоте падающего фотона и в нашем приближении их можно положить равными. Фотон переизлучается равновероятно в положительном и отрицательном направлении оси $x$. Обратите внимание, что мы рассматриваем процесс в системе отсчета атома."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/3c0eac70ae625da0e397.webp","alt":"ipho-2024-t2 statement: original source diagram 3"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Риc. 3. Поглощённые в единицу времени фотоны в зависимости от частоты; частота, соответствующая разности энергий между двумя атомными уровнями, обозначена символом $\\omega_{\\mathrm{A}}$, а чуть меньшая частота лазера обозначена как $\\omega_{\\mathrm{L}}$\n"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.70"}]}]},{"type":"element","tag":"ul","children":[{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Атом в ловушке в лабораторной системе отсчета имеет скорость $v=v_{\\mathrm{x}}$. В системе отсчета атома вычислите скорости поглощения фотонов, падающих с каждого из двух направлений, (обозначенные $s_{+}$ и $s_{-}$) и получаемый импульс в единицу времени в каждом направлении (обозначается $\\pi_{+}$и $\\pi_{-}$)."}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Определите эффективную силу, действующую на атом в лабораторной системе отсчёта, как функцию от $v, k_{\\mathrm{L}}={\\omega_{\\mathrm{L}}} / c, \\hbar$, и $\\alpha$. Считайте, что $s_{\\mathrm{L}} \\ll \\alpha \\omega_{\\mathrm{L}}$."}]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Мы хотим найти самую низкую температуру, которая может быть достигнута с помощью этого метода. Предположим, что скорость конкретного атома уменьшилась ровно до нуля, и в этот момент он поглощает фотон (падающий с любого из двух направлений), а затем переизлучает фотон с почти той же частотой случайным образом в любом из двух направлений. Предположим, что этот процесс происходит один раз в $\\tau$ единиц времени.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Рассматривая импульс атома после такого процесса для двух возможных исходов, вычислите среднюю мощность, поглощаемую атомом в таких процессах.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B4\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.80"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tИспользуя выражение для силы, найденное в пункте "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"B2"}]},{"type":"text","text":", вычислите мощность потерь. Затем вычислите среднее значение $v^2$ в равновесии. Используя знания из кинетической теории газов, определите температуру атомов.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B5\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.40"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Оцените эту температуру для атома, который в 100 раз тяжелее атома"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"водорода. Числовые значения $\\omega_L = 2\\cdot 10^{16}~ {\\text{рад}}/{с}$, $\\tau = 5 \\cdot 10^{-9}~ с$ и $\\alpha = 4$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"ul","children":[{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Масса атома водорода: $m_{\\mathrm{H}}=1.674 \\cdot 10^{-27}~кг$"}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Заряд электрона: $e=1.602 \\cdot 10^{-19}~Кл$"}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Диэлектрическая проницаемость вакуума: $\\varepsilon_{0}=8.854 \\cdot 10^{-12} ~Ф/м$"}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Постоянная Больцмана: $k_{\\mathrm{B}}=1.381 \\cdot 10^{-23}~Дж/К$"}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Постоянная Планка: $\\hbar=1.055 \\cdot 10^{-34}~Дж\\cdot с$"}]}]}]}]}]}]}],"text":"В последние десятилетия удержание и охлаждение атомов и ионов стали увлекательной темой для физиков, а за работы в этой области было присуждено несколько Нобелевских премий. В первой части этого вопроса мы рассмотрим технику захвата ионов, известную как «ловушка Пауля». За эту работу Вольфганг Пауль и Ханс Дехмельт получили половину Нобелевской премии по физике 1989 года. Далее мы исследуем технику доплеровского охлаждения – одну из работ, упомянутых в пресс-релизе Нобелевской премии по физике 1997 года, присужденной Стивену Чу, Клоду Коэн-Таннуджи и Уильяму Дэниелу Филлипсу «за разработку методов охлаждения и удержания атомов с помощью лазерного излучения». Часть A. Ловушка Пауля (5.6 балла) Известно, что с помощью электростатических полей невозможно создать устойчивое равновесие для заряженной частицы. Поэтому для создания точки стабильного равновесия для ионов требуются более сложные методы. Одной из таких методик является ловушка Пауля. Рассмотрим равномерно заряженное кольцо с линейной плотностью положительного заряда $\\lambda$ и радиусом $R$. Положительный точечный заряд $Q$ с массой $m$ помещен в центр кольца. Рис. 1. Равномерно заряженное кольцо с линейной плотностью положительного заряда $\\lambda$ и радиусом $R$; начало системы координат находится в центре кольца. A1 1.50 Используя декартовы координаты $(x, y, z)$ , получите электрическое поле кольца в окрестности его центра с точностью до первого порядка по $x/R$, $y/R$, и $z/R$. Найдите частоту малых колебаний заряженной частицы около центра кольца в направлениях, для которых существует устойчивое равновесие. Для создания динамического равновесия мы применим переменные поля. Плотность заряда зависит от времени как $\\lambda=\\lambda_{0}+u \\cos \\Omega t$. Переменные $\\lambda_{0}, u$, и $\\Omega$ заданы. Эффектами излучения пренебрегайте. Уравнение движения для малых смещений от центра кольца вдоль оси $z$ будет иметь вид:\\begin{equation*}\\ddot{z}=\\left(+k^{2}+a \\Omega^{2} \\cos \\Omega t\\right) z .\\tag{1}\\end{equation*} A2 0.40 Выразите $a$ и $k$ через известные параметры. Для получения приближенного решения уравнения $(1)$ сделайте следующие упрощающие предположения: $a \\ll 1, \\Omega \\gg k$ и $a \\Omega^{2} \\gg k^{2}$. В таких предположениях решение уравнения разбивается на два слагаемых: $z(t)=p(t)+q(t)$, где $p(t)$ - медленно меняющаяся компонента и $q(t)$ - быстро осциллирующая компонента с малой амплитудой и со средним значением, равным нулю. Другими словами, $p(t)$ может быть принято за константу в течении нескольких колебаний $q(t)$. Рис. 2. Типичное решение уравнения движения заряженной частицы: $p(t)$ дает общее движение, а $q(t)$ представляет собой маленькие колебания вокруг этой траектории. В эллипсе справа -- увеличенная часть этой траектории. A3 1.80 Используя приведённые выше предположения, составьте уравнение для $q(t)$. Используйте $a$, $\\Omega$ и $p$. Найдите такое решение этого уравнения, чтобы оно удовлетворяло указанным выше свойствам. A4 1.50 Усредните эффект быстро осциллирующей компоненты и получите эффективное уравнение на $p(t)$. Найдите условие устойчивости равновесия. Пусть $\\lambda_0 = 8\\cdot 10^{-9}~ \\text{Кл}/\\text{м}$ и $R = 10~ \\text{см}$. Будем удерживать однократно ионизированный атом в раз более тяжелый, чем атом водорода. A5 0.40 Вычислите $k$. Оцените наименьшую частоту, необходимую для стабилизации движения этого иона, если $a=0.04$. Используйте числовые значения, приведенные в конце задачи. Часть В. Доплеровское охлаждение (4.4 балла) Иногда возникает необходимость охладить попавший в ловушку атом или ион. Предположим, что захваченный атом с массой $m$ имеет два энергетических уровня с разностью энергий $E_{0}=\\hbar \\omega_{\\mathrm{A}}$. Электроны на нижнем уровне могут поглотить фотон и перейти на более высокий уровень, но через время $\\tau$ они вернутся на нижний уровень и испустят фотон с частотой, вероятнее всего лежащей в пределах $\\left[\\omega_{\\mathrm{A}}-\\Gamma, \\omega_{\\mathrm{A}}+\\Gamma\\right]$. B1 0.50 Используя принцип неопределенности Гейзенберга, найдите $\\Gamma$. По тем же причинам, атом также может поглощать фотоны с угловой частотой лазерного излучения $\\omega_{\\mathrm{L}}$, находящейся в интервале $\\left[\\omega_{A}-\\Gamma, \\omega_{A}+\\Gamma\\right]$. Будем считать, что $\\omega_{\\mathrm{L}}$ немного меньше, чем $\\omega_{\\mathrm{A}}$. Для нашего устройства зависимость количества поглощенных фотонов в единицу времени в системе отсчета атома от частоты падающих фотонов приведена на рисунке 3. Поглощенный фотон затем переизлучается в случайном направлении. Чтобы упростить задачу, мы рассмотрим ее в одном измерении, то есть предположим, что атомы могут двигаться только в направлении $x$, а лазерный свет светит на них только слева и справа. В системе отсчета атомов свет имеет бо́льшую или меньшую частоту, обусловленную движением атомов. Поскольку скорость $v$ атомов очень мала, мы рассматриваем только члены порядка $v / c$ и игнорируем все члены более высокого порядка. Более того, выполняется условие $m \\gg \\hbar \\omega_{\\mathrm{A}} / c^{2}$, а значит скорость атома почти не меняется после поглощения фотона. Кроме того, изменение частоты из-за эффекта Доплера настолько мало по сравнению с $\\omega_{\\mathrm{A}}-\\omega_{\\mathrm{L}}$, что функция для $s$ на приведенном ниже графике может быть аппроксимирована линейной: $$ s(\\omega)=s_{\\mathrm{L}}+\\alpha\\left(\\omega-\\omega_{\\mathrm{L}}\\right) $$где $s$ – число поглощенных фотонов в единицу времени, $s_{\\mathrm{L}}$ – значение $s$ для $\\omega=\\omega_{\\mathrm{L}}$, и $\\alpha$ – наклон графика в точке $\\omega_{L}$. Частота переизлученного фотона почти равна частоте падающего фотона и в нашем приближении их можно положить равными. Фотон переизлучается равновероятно в положительном и отрицательном направлении оси $x$. Обратите внимание, что мы рассматриваем процесс в системе отсчета атома. Риc. 3. Поглощённые в единицу времени фотоны в зависимости от частоты; частота, соответствующая разности энергий между двумя атомными уровнями, обозначена символом $\\omega_{\\mathrm{A}}$, а чуть меньшая частота лазера обозначена как $\\omega_{\\mathrm{L}}$ B2 1.70 Атом в ловушке в лабораторной системе отсчета имеет скорость $v=v_{\\mathrm{x}}$. В системе отсчета атома вычислите скорости поглощения фотонов, падающих с каждого из двух направлений, (обозначенные $s_{+}$ и $s_{-}$) и получаемый импульс в единицу времени в каждом направлении (обозначается $\\pi_{+}$и $\\pi_{-}$). Определите эффективную силу, действующую на атом в лабораторной системе отсчёта, как функцию от $v, k_{\\mathrm{L}}={\\omega_{\\mathrm{L}}} / c, \\hbar$, и $\\alpha$. Считайте, что $s_{\\mathrm{L}} \\ll \\alpha \\omega_{\\mathrm{L}}$. Мы хотим найти самую низкую температуру, которая может быть достигнута с помощью этого метода. Предположим, что скорость конкретного атома уменьшилась ровно до нуля, и в этот момент он поглощает фотон (падающий с любого из двух направлений), а затем переизлучает фотон с почти той же частотой случайным образом в любом из двух направлений. Предположим, что этот процесс происходит один раз в $\\tau$ единиц времени. B3 1.00 Рассматривая импульс атома после такого процесса для двух возможных исходов, вычислите среднюю мощность, поглощаемую атомом в таких процессах. B4 0.80 Используя выражение для силы, найденное в пункте B2 , вычислите мощность потерь. Затем вычислите среднее значение $v^2$ в равновесии. Используя знания из кинетической теории газов, определите температуру атомов. B5 0.40 Оцените эту температуру для атома, который в 100 раз тяжелее атома водорода. Числовые значения $\\omega_L = 2\\cdot 10^{16}~ {\\text{рад}}/{с}$, $\\tau = 5 \\cdot 10^{-9}~ с$ и $\\alpha = 4$. Масса атома водорода: $m_{\\mathrm{H}}=1.674 \\cdot 10^{-27}~кг$ Заряд электрона: $e=1.602 \\cdot 10^{-19}~Кл$ Диэлектрическая проницаемость вакуума: $\\varepsilon_{0}=8.854 \\cdot 10^{-12} ~Ф/м$ Постоянная Больцмана: $k_{\\mathrm{B}}=1.381 \\cdot 10^{-23}~Дж/К$ Постоянная Планка: $\\hbar=1.055 \\cdot 10^{-34}~Дж\\cdot с$\n","figures":["/corpus/figures/86e7c79465d79eaa9cfe.webp","/corpus/figures/60f0c697c7968b0e0a7b.webp","/corpus/figures/3c0eac70ae625da0e397.webp"],"shared":false},"solution":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.50"}]}]},{"type":"element","tag":"ul","children":[{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Используя декартовы координаты $(x, y, z)$ , получите электрическое поле кольца в окрестности его центра с точностью до первого порядка по $x/R$, $y/R$, и $z/R$."}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Найдите частоту малых колебаний заряженной частицы около центра кольца в направлениях, для которых существует устойчивое равновесие."}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Благодаря симметрии, на оси $z$ единственная ненулевая составляющая электрического поля будет направлена вдоль $z$, то есть:$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\vec{E}(0,0, z)=E_{z}(0,0, z) \\hat{z}=\\hat{z} \\int \\frac{\\mathrm d q}{4 \\pi \\varepsilon_{0}} \\frac{1}{\\left(R^{2}+z^{2}\\right)} \\cdot\\frac{z}{\\left(R^{2}+z^{2}\\right)^{{1}/{2}}}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Элемент $\\mathrm d q$ равен $\\lambda R\\,\\mathrm d \\phi$, где $\\phi$ – угол с осью $x$. Таким образом:$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"E(0,0, z)=\\hat{z} \\int \\frac{\\lambda R \\,\\mathrm d \\phi}{4 \\pi \\varepsilon_{0}} \\frac{z}{\\left(z^{2}+R^{2}\\right)^{{3}/{2}}}=\\hat{z} \\frac{\\lambda R}{2 \\varepsilon_{0}} \\frac{z}{\\left(z^{2}+R^{2}\\right)^{{3}/{2}}}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$При $z \\ll R$ это может быть записано как:$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"E_{z}(0,0, z)=\\frac{\\lambda R}{2 \\varepsilon_{0}} \\frac{z}{R^{3}}=\\frac{\\lambda z}{2 \\varepsilon_{0} R^{2}}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Очень близко к оси $z$ мы можем записать:$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"E_{z}(x, y, z)=E_{z}(0,0, z)+\\left.x \\frac{\\partial E_{z}}{\\partial x}\\right|_{(0,0, z)}+\\left.y \\frac{\\partial E_{z}}{\\partial y}\\right|_{(0,0, z)}+O\\left(x^{2}, y^{2}, z^{2}\\right)"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Поскольку нет разницы между $x$ и $-x$ или $y$ и $-y$, получается, что $\\frac{\\partial E_{z}}{\\partial x}=\\frac{\\partial E_{z}}{\\partial y}=0$. Таким образом, для первого порядка по $x$, $y$ и $z$ мы имеем:$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"E_{z}(x, y, z)=\\frac{\\lambda z}{2 \\varepsilon_{0} R^{2}}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Рассмотрим поверхность в форме симметричного цилиндра, симметричного относительно оси $z$. Пусть радиус цилиндра равен $\\rho$, а его высота равна $2 z$, и оба эти параметра являются малыми величинами. По теореме Гаусса мы имеем:$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"0=\\frac{Q_{i n}}{\\varepsilon_{0}}=\\oint \\vec{E} \\cdot\\mathrm d \\vec{S}=\\int_{S_{1}} \\vec{E} \\cdot \\mathrm d \\vec{S}+\\int_{S_{2}} \\vec{E} \\cdot \\mathrm d \\vec{S}+\\int_{S_{3}} \\vec{E} \\cdot\\mathrm d \\vec{S}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Интеграция по $S_{1}$ и $S_{2}$ дает:$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\int_{S_{1}} \\vec{E} \\cdot \\mathrm d \\vec{S}=\\int_{S_{2}} \\vec{E} \\cdot\\mathrm d \\vec{S}=\\pi \\rho^{2} \\cdot \\frac{\\lambda z}{2 \\varepsilon_{0} R^{2}}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Интегрирование по $S_{3}$ требует нахождения $\\rho$-компоненты, для которой мы можем написать следующее разложение:$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"E_{\\rho}(z, \\rho, \\phi)=E_{\\rho}(0, \\rho, \\phi)+\\left.z \\frac{\\partial E_{\\rho}}{\\partial z}\\right|_{(0, \\rho, \\phi)}+O\\left(z^{2}\\right)"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Так как $0=\\left.\\frac{\\partial E_{\\rho}}{\\partial z}\\right|_{(0, \\rho, \\phi)}$ из симметрии между $z$ и $-z$, то $E_{\\rho}(z, \\rho, \\phi)=E_{\\rho}(0, \\rho, \\phi)$ вплоть до первого порядка. Осевая симметрия также подразумевает $\\frac{\\partial E_{\\rho}}{\\partial \\phi}=0$. Следовательно:$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\int_{S_{3}} \\vec{E} \\cdot\\mathrm d \\vec{S}=E_{\\rho}(0, \\rho, 0) \\cdot2 z \\cdot 2 \\pi \\rho"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$По теореме Гаусса:$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"0=E_{\\rho} \\cdot 4 \\pi z \\rho+2 \\pi \\rho^{2} \\frac{\\lambda z}{2 \\varepsilon_{0} R^{2}}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Следовательно, $E_{\\rho}$ будет равна:$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"E_{\\rho}=-\\frac{\\lambda \\rho}{4 \\varepsilon_{0} R^{2}}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$В цилиндрических координатах мы будем иметь:$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\vec{E}(\\rho, \\phi, z)=-\\frac{\\lambda \\rho}{4 \\varepsilon_{0} R^{2}} \\hat{\\rho}+\\frac{\\lambda z}{2 \\varepsilon_{0} R^{2}} \\hat{z}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$В декартовых координатах:$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\vec{E}(x, y, z)=\\frac{\\lambda}{4 \\varepsilon_{0} R^{2}}(-x,-y, 2 z)"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Поскольку кольцо заряжено положительно, равновесие в направлениях $x$ и $y$ устойчиво, в то время как равновесие в направлении $z$ неустойчиво. Уравнения движения в направлениях $x$ и $y$ имеют вид:$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\begin{aligned}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"& m \\ddot{x}=q E_{x}=-\\frac{q \\lambda}{4 \\varepsilon_{0} R^{2}} x \\\\"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"& m \\ddot{y}=q E_{y}=-\\frac{q \\lambda}{4 \\varepsilon_{0} R^{2}} y"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\end{aligned}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Следовательно, частоты малых колебаний равны:$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\omega_{x}^{2}=\\omega_{y}^{2}=\\frac{q \\lambda}{4 \\varepsilon_{0} R^{2} m}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[\\vec{E}(x, y, z)=\\frac{-\\lambda x}{4 \\varepsilon_{0} R^{2}} \\hat{x}+\\frac{-\\lambda y}{4 \\varepsilon_{0} R^{2}} \\hat{y}+\\frac{\\lambda z}{2 \\varepsilon_{0} R^{2}} \\hat{z}\\\\~\\\\\\omega_{x}=\\omega_{y}=\\sqrt{\\frac{Q \\lambda}{4 \\varepsilon_{0} R^{2} m}}\\]\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.40"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Выразите $a$ и $k$ через известные параметры.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Сила в направлении $z$ равна:$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"F_{z}=q E_{z}=\\frac{Q \\lambda z}{2 \\varepsilon_{0} R^{2}}=\\frac{Q}{2 \\varepsilon_{0} R^{2}} \\lambda_{0} z+\\frac{Q u}{2 \\varepsilon_{0} R^{2}} \\cos \\Omega t z"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Таким образом, уравнение движения может быть записано в виде:$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\ddot{z}=\\left(\\frac{Q \\lambda_{0}}{2 \\varepsilon_{0} R^{2} m}+\\frac{Q u}{2 \\varepsilon_{0} R^{2} m} \\cos \\Omega t\\right) z"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Следовательно:\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"k=\\sqrt{\\frac{Q \\lambda_{0}}{2 \\varepsilon_{0} R^{2} m}},\\quad a=\\frac{Q u}{2 \\varepsilon_{0} R^{2} m \\Omega^{2}}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.80"}]}]},{"type":"element","tag":"ul","children":[{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Используя приведённые выше предположения, составьте уравнение для $q(t)$. Используйте $a$, $\\Omega$ и $p$."}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Найдите такое решение этого уравнения, чтобы оно удовлетворяло указанным выше свойствам."}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\t$$ z=p(t)+q(t)\\implies \\ddot{p}+\\ddot{q}=\\left(k^{2}+a \\Omega^{2} \\cos \\Omega t\\right)(p+q) $$"},{"type":"element","tag":"ol","children":[{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Мы предполагаем, что $p$ почти постоянна, $\\ddot{p} \\simeq 0$."}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Согласно предположениям $k^{2} \\ll a \\Omega^{2}$ и $q \\ll p$ мы можем пренебречь $k^{2}$ в первом члене правой части уравнения и $q$ во втором члене."}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Следовательно, уравнение движения можно упростить следующим образом: $$ \\ddot{q}=p a \\Omega^{2} \\cos \\Omega t .$$ Поскольку мы предположили, что $p$ – константа, вторая производная от $q$ прямо пропорциональна $\\cos \\Omega t$, что дает: $$ q=-p a \\cos \\Omega t+c_{1} t+c_{2} $$ Поскольку предполагается, что $q$ остается малым, $c_{1}$ должно быть равно нулю. Также $c_{2}=0$, потому что среднее значение $q$ должно оставаться нулевым. Поэтому: $$ q=-p a \\cos \\Omega t $$"}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[\\ddot{q}(t)=p a \\Omega^{2} \\cos \\Omega t,\\quad q(t)=-p a \\cos \\Omega t\\]\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A4\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.50"}]}]},{"type":"element","tag":"ul","children":[{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Усредните эффект быстро осциллирующей компоненты и получите эффективное уравнение на $p(t)$."}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Найдите условие устойчивости равновесия."}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Используя результат для $q$, уравнение движения для $p$ принимает вид:$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\ddot{p}+p a \\Omega^{2} \\cos \\Omega t=\\left(k^{2}+a \\Omega^{2} \\cos \\Omega t\\right)(p-a p \\cos \\Omega t)"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Отсюда:$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\ddot{p}=k^{2} p-a k^{2} p \\cos \\Omega t-a^{2} \\Omega^{2} p \\cos ^{2} \\Omega t"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Усредняя по одному периоду, получим:$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\langle\\cos \\Omega t\\rangle=0 , \\quad \\left\\langle\\cos ^{2} \\Omega t\\right\\rangle=\\frac{1}{2}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$и$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\ddot{p}=\\left(k^{2}-\\frac{a^{2} \\Omega^{2}}{2}\\right) p"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Для того чтобы движение было устойчивым, выражение внутри скобок должно быть отрицательным, т.е.$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\frac{a^{2} \\Omega^{2}}{2}>k^{2} \\implies\\Omega>\\sqrt{2} \\frac{k}{a}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[\\ddot{p}(t)=\\left(k^{2}-\\frac{a^{2} \\Omega^{2}}{2}\\right) p,\\quad \\Omega>\\sqrt{2} \\frac{k}{a}\\]\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A5\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.40"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Вычислите $k$. Оцените наименьшую частоту, необходимую для стабилизации движения этого иона, если $a=0.04$. Используйте числовые значения, приведенные в конце задачи.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n С учетом приведенных данных имеем:$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\begin{gathered}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"k=\\sqrt{\\frac{Q \\lambda_{0}}{2 \\varepsilon_{0} R^{2} m}}=2 \\cdot 10^{5} ~рад/с ,\\quad a=0.04 \\quad \\implies\\quad "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\end{gathered}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n \\[\\Omega_{\\min }=7 \\cdot10^{6} ~рад/с\\]\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n что находится в диапазоне радиоволн.\n\n                "}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Используя принцип неопределенности Гейзенберга, найдите $\\Gamma$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Из принципа неопределенности мы знаем:$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\Delta E \\cdot\\Delta t \\simeq \\hbar"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Здесь $\\Delta t$ – время $\\tau$ и $\\Delta E=\\hbar \\Delta \\omega$. Таким образом:$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\hbar \\Delta \\omega \\cdot\\tau \\simeq \\hbar \\implies \\Delta \\omega \\simeq \\frac{1}{\\tau}=\\Gamma"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[\\Gamma=\\dfrac{1}{\\tau}\\]\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.70"}]}]},{"type":"element","tag":"ul","children":[{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Атом в ловушке в лабораторной системе отсчета имеет скорость $v=v_{\\mathrm{x}}$. В системе отсчета атома вычислите скорости поглощения фотонов, падающих с каждого из двух направлений, (обозначенные $s_{+}$ и $s_{-}$) и получаемый импульс в единицу времени в каждом направлении (обозначается $\\pi_{+}$и $\\pi_{-}$)."}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Определите эффективную силу, действующую на атом в лабораторной системе отсчёта, как функцию от $v, k_{\\mathrm{L}}={\\omega_{\\mathrm{L}}} / c, \\hbar$, и $\\alpha$. Считайте, что $s_{\\mathrm{L}} \\ll \\alpha \\omega_{\\mathrm{L}}$."}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tОбозначим скорости прямых и обратных столкновений через $s_{+}$ и $s_{-}$ соответственно. Будем работать в системе отсчета атома. Пренебрегая членами порядка $\\frac{v^{2}}{c^{2}}$, вклад эффекта Доплера можно записать как: $$ \\omega^{\\prime}=\\omega\\left(1+\\frac{v}{c}\\right) $$ Если скорость атома направлена в положительном $x$-направлении, получится: $$ \\begin{aligned} & \\omega_{+}=\\omega_{\\mathrm{L}}\\left(1+\\frac{v}{c}\\right) \\\\ & \\omega_{-}=\\omega_{\\mathrm{L}}\\left(1-\\frac{v}{c}\\right) \\end{aligned} $$ Итак: $$ \\begin{aligned} & s_{+}=s_{\\mathrm{L}}+\\alpha\\left(\\omega_{\\mathrm{L}}\\left(1+\\frac{v}{c}\\right)-\\omega_{\\mathrm{L}}\\right)=s_{\\mathrm{L}}+\\alpha \\omega_{\\mathrm{L}} \\frac{v}{c} \\\\ & s_{-}=s_{\\mathrm{L}}+\\alpha\\left(\\omega_{\\mathrm{L}}\\left(1-\\frac{v}{c}\\right)-\\omega_{\\mathrm{L}}\\right)=s_{\\mathrm{L}}-\\alpha \\omega_{\\mathrm{L}} \\frac{v}{c} \\end{aligned} $$В единицу времени атому от встречных фотонов передаётся импульс: $$ \\pi_{+}=s_{+} \\cdot\\left(-\\hbar k_{+}\\right) $$ От обратных фотонов:$$ \\pi_{-}=s_{-} \\cdot\\left(+\\hbar k_{-}\\right) $$ где $k_{ \\pm}=\\frac{\\hbar \\omega_{ \\pm}}{c}$."},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Суммарный передаваемый атому импульс: $$ \\pi_{+}+\\pi_{-}=-2 \\hbar k_{\\mathrm{L}} \\frac{v}{c} \\omega_{\\mathrm{L}} \\alpha\\left(1+\\frac{s_{\\mathrm{L}}}{\\alpha \\omega_{\\mathrm{L}}}\\right) $$ В приближении $s_{\\mathrm{L}} \\ll \\alpha \\omega_{\\mathrm{L}}$ получаем: $$ \\pi_{+}+\\pi_{-}=-2 \\hbar k_{\\mathrm{L}} \\frac{v}{c} \\omega_{\\mathrm{L}} \\alpha $$ Поскольку атом тяжелый, его скорость почти не меняется после поглощения фотона. Поэтому эффект отдачи почти не будет влиять на частоту переизлученного фотона, а значит, в среднем не будет и передачи импульса атому в процессе переизлучения."}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Приведенное выше выражение, по сути, и есть сила. Поскольку $v > 0$, получим: $$ F=-\\left(2 \\alpha \\hbar k_{\\mathrm{L}}^{2}\\right) v $$ Тот же результат имеет место при $v < 0$. Этот результат получен в системе отсчета атома. Однако, поскольку мы сохранили только первый порядок в $v / c$, тот же результат имеет место и в лаборатории истеме отсчета: $$ F=-\\left(2 \\alpha \\hbar k_{\\mathrm{L}}^{2}\\right) v $$"}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[s_{+}=s_{L}+\\alpha \\omega_{\\mathrm{L}} \\frac{v}{c},\\quad s_{-}=s_{L}-\\alpha \\omega_{\\mathrm{L}} \\frac{v}{c} \\\\ \\\\"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":" \\pi_{+}=s_{+} \\cdot\\left(-\\hbar k_{+}\\right) ,\\quad \\pi_{-}=s_{-} \\cdot\\left(+\\hbar k_{-}\\right) \\\\ "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\\\ F=-\\left(2 \\alpha \\hbar k_{\\mathrm{L}}^{2}\\right) v"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\]\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Рассматривая импульс атома после такого процесса для двух возможных исходов, вычислите среднюю мощность, поглощаемую атомом в таких процессах.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tИмпульс атома до столкновения равен нулю. После столкновения он будет равен (при условии, что импульс фотона направлен в направлении $x$): $$ P_{1}=\\hbar k_{\\mathrm{L}} $$ После переизлучения фотона мы будет два равновероятных исхода для конечного импульса:"},{"type":"element","tag":"ol","children":[{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"фотон испускается в положительном направлении $x$, и импульс атома становится нулевым;"}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"фотон испускается в отрицательном направлении $x$, и импульс атома становится равным $P_{\\mathrm{f}}=+2 \\hbar k_{\\mathrm{L}}$."}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Таким образом, средняя конечная энергия равна: $$ \\left\\langle E_{\\mathrm{f}}\\right\\rangle=\\left\\langle\\frac{P_{\\mathrm{f}}^{2}}{2 m}\\right\\rangle=\\frac{1}{2} \\cdot 0+\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{4 \\hbar^{2} k_{\\mathrm{L}}^{2}}{2 m}=\\frac{\\hbar^{2} k_{\\mathrm{L}}^{2}}{m} $$ Этот процесс происходит за время $\\tau$. Таким образом, входная мощность (мощность, полученная атомом в результате этого процесса) равна:"}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"P_{\\mathrm{in}}=\\frac{\\hbar^{2} k_{\\mathrm{L}}^{2}}{m \\tau}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B4\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.80"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tИспользуя выражение для силы, найденное в пункте "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"B2"}]},{"type":"text","text":", вычислите мощность потерь. Затем вычислите среднее значение $v^2$ в равновесии. Используя знания из кинетической теории газов, определите температуру атомов.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Выходная мощность (мощность, теряемая атомом при столкновении с лазерными фотонами) может быть записана как:$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"P_{\\text {out }}=F \\cdot v=-2 \\alpha \\hbar k_{\\mathrm{L}}^{2} v^{2}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$В равновесии мы должны иметь:$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"P_{\\text {out }}+P_{\\text {in }}=0 \\implies\\frac{\\hbar^{2} k_{\\mathrm{L}}^{2}}{m \\tau}=2 \\alpha \\hbar k_{\\mathrm{L}}^{2} \\overline{v^{2}} \\implies\\overline{v^{2}}=\\frac{\\hbar \\Gamma}{2 \\alpha m}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$А температура этой системы равна:$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\frac{1}{2} m \\overline{v^{2}}=\\frac{1}{2} k_{\\mathrm{B}} T \\implies T=\\frac{\\hbar \\Gamma}{2 \\alpha k_{\\mathrm{B}}}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[P_{\\text {out }}=-2 \\alpha \\hbar k_{\\mathrm{L}}^{2} v^{2},\\quad \\overline{v^{2}}=\\frac{\\hbar \\Gamma}{2 \\alpha m},\\quad"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"T=\\frac{\\hbar \\Gamma}{2 \\alpha k_{\\mathrm{B}}}\\]\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B5\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.40"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Оцените эту температуру для атома, который в 100 раз тяжелее атома"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"водорода. Числовые значения $\\omega_L = 2\\cdot 10^{16}~ {\\text{рад}}/{с}$, $\\tau = 5 \\cdot 10^{-9}~ с$ и $\\alpha = 4$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Учитывая приведенные данные:$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"T=\\frac{1.055 \\cdot 10^{-34} ~Дж\\cdot с}{2 \\cdot 4 \\cdot 1.381 \\cdot 10^{-23} {~Дж} / {К} \\cdot5 \\cdot 10^{9} {~с}}=2 \\cdot10^{-4} {~К}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[T=2 \\cdot10^{-4} {~К}\\]\n\n                    "}]}]}]}],"text":"A1 1.50 Используя декартовы координаты $(x, y, z)$ , получите электрическое поле кольца в окрестности его центра с точностью до первого порядка по $x/R$, $y/R$, и $z/R$. Найдите частоту малых колебаний заряженной частицы около центра кольца в направлениях, для которых существует устойчивое равновесие. Благодаря симметрии, на оси $z$ единственная ненулевая составляющая электрического поля будет направлена вдоль $z$, то есть:$$ \\vec{E}(0,0, z)=E_{z}(0,0, z) \\hat{z}=\\hat{z} \\int \\frac{\\mathrm d q}{4 \\pi \\varepsilon_{0}} \\frac{1}{\\left(R^{2}+z^{2}\\right)} \\cdot\\frac{z}{\\left(R^{2}+z^{2}\\right)^{{1}/{2}}} $$Элемент $\\mathrm d q$ равен $\\lambda R\\,\\mathrm d \\phi$, где $\\phi$ – угол с осью $x$. Таким образом:$$ E(0,0, z)=\\hat{z} \\int \\frac{\\lambda R \\,\\mathrm d \\phi}{4 \\pi \\varepsilon_{0}} \\frac{z}{\\left(z^{2}+R^{2}\\right)^{{3}/{2}}}=\\hat{z} \\frac{\\lambda R}{2 \\varepsilon_{0}} \\frac{z}{\\left(z^{2}+R^{2}\\right)^{{3}/{2}}} $$При $z \\ll R$ это может быть записано как:$$ E_{z}(0,0, z)=\\frac{\\lambda R}{2 \\varepsilon_{0}} \\frac{z}{R^{3}}=\\frac{\\lambda z}{2 \\varepsilon_{0} R^{2}} $$Очень близко к оси $z$ мы можем записать:$$ E_{z}(x, y, z)=E_{z}(0,0, z)+\\left.x \\frac{\\partial E_{z}}{\\partial x}\\right|_{(0,0, z)}+\\left.y \\frac{\\partial E_{z}}{\\partial y}\\right|_{(0,0, z)}+O\\left(x^{2}, y^{2}, z^{2}\\right) $$Поскольку нет разницы между $x$ и $-x$ или $y$ и $-y$, получается, что $\\frac{\\partial E_{z}}{\\partial x}=\\frac{\\partial E_{z}}{\\partial y}=0$. Таким образом, для первого порядка по $x$, $y$ и $z$ мы имеем:$$ E_{z}(x, y, z)=\\frac{\\lambda z}{2 \\varepsilon_{0} R^{2}} $$Рассмотрим поверхность в форме симметричного цилиндра, симметричного относительно оси $z$. Пусть радиус цилиндра равен $\\rho$, а его высота равна $2 z$, и оба эти параметра являются малыми величинами. По теореме Гаусса мы имеем:$$ 0=\\frac{Q_{i n}}{\\varepsilon_{0}}=\\oint \\vec{E} \\cdot\\mathrm d \\vec{S}=\\int_{S_{1}} \\vec{E} \\cdot \\mathrm d \\vec{S}+\\int_{S_{2}} \\vec{E} \\cdot \\mathrm d \\vec{S}+\\int_{S_{3}} \\vec{E} \\cdot\\mathrm d \\vec{S} $$Интеграция по $S_{1}$ и $S_{2}$ дает:$$ \\int_{S_{1}} \\vec{E} \\cdot \\mathrm d \\vec{S}=\\int_{S_{2}} \\vec{E} \\cdot\\mathrm d \\vec{S}=\\pi \\rho^{2} \\cdot \\frac{\\lambda z}{2 \\varepsilon_{0} R^{2}} $$Интегрирование по $S_{3}$ требует нахождения $\\rho$-компоненты, для которой мы можем написать следующее разложение:$$ E_{\\rho}(z, \\rho, \\phi)=E_{\\rho}(0, \\rho, \\phi)+\\left.z \\frac{\\partial E_{\\rho}}{\\partial z}\\right|_{(0, \\rho, \\phi)}+O\\left(z^{2}\\right) $$Так как $0=\\left.\\frac{\\partial E_{\\rho}}{\\partial z}\\right|_{(0, \\rho, \\phi)}$ из симметрии между $z$ и $-z$, то $E_{\\rho}(z, \\rho, \\phi)=E_{\\rho}(0, \\rho, \\phi)$ вплоть до первого порядка. Осевая симметрия также подразумевает $\\frac{\\partial E_{\\rho}}{\\partial \\phi}=0$. Следовательно:$$ \\int_{S_{3}} \\vec{E} \\cdot\\mathrm d \\vec{S}=E_{\\rho}(0, \\rho, 0) \\cdot2 z \\cdot 2 \\pi \\rho $$По теореме Гаусса:$$ 0=E_{\\rho} \\cdot 4 \\pi z \\rho+2 \\pi \\rho^{2} \\frac{\\lambda z}{2 \\varepsilon_{0} R^{2}} $$Следовательно, $E_{\\rho}$ будет равна:$$ E_{\\rho}=-\\frac{\\lambda \\rho}{4 \\varepsilon_{0} R^{2}} $$В цилиндрических координатах мы будем иметь:$$ \\vec{E}(\\rho, \\phi, z)=-\\frac{\\lambda \\rho}{4 \\varepsilon_{0} R^{2}} \\hat{\\rho}+\\frac{\\lambda z}{2 \\varepsilon_{0} R^{2}} \\hat{z} $$В декартовых координатах:$$ \\vec{E}(x, y, z)=\\frac{\\lambda}{4 \\varepsilon_{0} R^{2}}(-x,-y, 2 z) $$Поскольку кольцо заряжено положительно, равновесие в направлениях $x$ и $y$ устойчиво, в то время как равновесие в направлении $z$ неустойчиво. Уравнения движения в направлениях $x$ и $y$ имеют вид:$$ \\begin{aligned} & m \\ddot{x}=q E_{x}=-\\frac{q \\lambda}{4 \\varepsilon_{0} R^{2}} x \\\\ & m \\ddot{y}=q E_{y}=-\\frac{q \\lambda}{4 \\varepsilon_{0} R^{2}} y \\end{aligned} $$Следовательно, частоты малых колебаний равны:$$ \\omega_{x}^{2}=\\omega_{y}^{2}=\\frac{q \\lambda}{4 \\varepsilon_{0} R^{2} m} $$ Ответ: \n                    \n \\[\\vec{E}(x, y, z)=\\frac{-\\lambda x}{4 \\varepsilon_{0} R^{2}} \\hat{x}+\\frac{-\\lambda y}{4 \\varepsilon_{0} R^{2}} \\hat{y}+\\frac{\\lambda z}{2 \\varepsilon_{0} R^{2}} \\hat{z}\\\\~\\\\\\omega_{x}=\\omega_{y}=\\sqrt{\\frac{Q \\lambda}{4 \\varepsilon_{0} R^{2} m}}\\]\nA2 0.40 Выразите $a$ и $k$ через известные параметры. Сила в направлении $z$ равна:$$ F_{z}=q E_{z}=\\frac{Q \\lambda z}{2 \\varepsilon_{0} R^{2}}=\\frac{Q}{2 \\varepsilon_{0} R^{2}} \\lambda_{0} z+\\frac{Q u}{2 \\varepsilon_{0} R^{2}} \\cos \\Omega t z $$Таким образом, уравнение движения может быть записано в виде:$$ \\ddot{z}=\\left(\\frac{Q \\lambda_{0}}{2 \\varepsilon_{0} R^{2} m}+\\frac{Q u}{2 \\varepsilon_{0} R^{2} m} \\cos \\Omega t\\right) z $$Следовательно: Ответ: \n                    \n $$ k=\\sqrt{\\frac{Q \\lambda_{0}}{2 \\varepsilon_{0} R^{2} m}},\\quad a=\\frac{Q u}{2 \\varepsilon_{0} R^{2} m \\Omega^{2}} $$\nA3 1.80 Используя приведённые выше предположения, составьте уравнение для $q(t)$. Используйте $a$, $\\Omega$ и $p$. Найдите такое решение этого уравнения, чтобы оно удовлетворяло указанным выше свойствам. $$ z=p(t)+q(t)\\implies \\ddot{p}+\\ddot{q}=\\left(k^{2}+a \\Omega^{2} \\cos \\Omega t\\right)(p+q) $$ Мы предполагаем, что $p$ почти постоянна, $\\ddot{p} \\simeq 0$. Согласно предположениям $k^{2} \\ll a \\Omega^{2}$ и $q \\ll p$ мы можем пренебречь $k^{2}$ в первом члене правой части уравнения и $q$ во втором члене. Следовательно, уравнение движения можно упростить следующим образом: $$ \\ddot{q}=p a \\Omega^{2} \\cos \\Omega t .$$ Поскольку мы предположили, что $p$ – константа, вторая производная от $q$ прямо пропорциональна $\\cos \\Omega t$, что дает: $$ q=-p a \\cos \\Omega t+c_{1} t+c_{2} $$ Поскольку предполагается, что $q$ остается малым, $c_{1}$ должно быть равно нулю. Также $c_{2}=0$, потому что среднее значение $q$ должно оставаться нулевым. Поэтому: $$ q=-p a \\cos \\Omega t $$ Ответ: \n                    \n \\[\\ddot{q}(t)=p a \\Omega^{2} \\cos \\Omega t,\\quad q(t)=-p a \\cos \\Omega t\\]\nA4 1.50 Усредните эффект быстро осциллирующей компоненты и получите эффективное уравнение на $p(t)$. Найдите условие устойчивости равновесия. Используя результат для $q$, уравнение движения для $p$ принимает вид:$$ \\ddot{p}+p a \\Omega^{2} \\cos \\Omega t=\\left(k^{2}+a \\Omega^{2} \\cos \\Omega t\\right)(p-a p \\cos \\Omega t) $$Отсюда:$$ \\ddot{p}=k^{2} p-a k^{2} p \\cos \\Omega t-a^{2} \\Omega^{2} p \\cos ^{2} \\Omega t $$Усредняя по одному периоду, получим:$$ \\langle\\cos \\Omega t\\rangle=0 , \\quad \\left\\langle\\cos ^{2} \\Omega t\\right\\rangle=\\frac{1}{2} $$и$$ \\ddot{p}=\\left(k^{2}-\\frac{a^{2} \\Omega^{2}}{2}\\right) p $$Для того чтобы движение было устойчивым, выражение внутри скобок должно быть отрицательным, т.е.$$ \\frac{a^{2} \\Omega^{2}}{2}>k^{2} \\implies\\Omega>\\sqrt{2} \\frac{k}{a} $$ Ответ: \n                    \n \\[\\ddot{p}(t)=\\left(k^{2}-\\frac{a^{2} \\Omega^{2}}{2}\\right) p,\\quad \\Omega>\\sqrt{2} \\frac{k}{a}\\]\nA5 0.40 Вычислите $k$. Оцените наименьшую частоту, необходимую для стабилизации движения этого иона, если $a=0.04$. Используйте числовые значения, приведенные в конце задачи. С учетом приведенных данных имеем:$$ \\begin{gathered} k=\\sqrt{\\frac{Q \\lambda_{0}}{2 \\varepsilon_{0} R^{2} m}}=2 \\cdot 10^{5} ~рад/с ,\\quad a=0.04 \\quad \\implies\\quad \\end{gathered} $$ \\[\\Omega_{\\min }=7 \\cdot10^{6} ~рад/с\\] что находится в диапазоне радиоволн.\nB1 0.50 Используя принцип неопределенности Гейзенберга, найдите $\\Gamma$. Из принципа неопределенности мы знаем:$$ \\Delta E \\cdot\\Delta t \\simeq \\hbar $$Здесь $\\Delta t$ – время $\\tau$ и $\\Delta E=\\hbar \\Delta \\omega$. Таким образом:$$ \\hbar \\Delta \\omega \\cdot\\tau \\simeq \\hbar \\implies \\Delta \\omega \\simeq \\frac{1}{\\tau}=\\Gamma $$ Ответ: \n                    \n \\[\\Gamma=\\dfrac{1}{\\tau}\\]\nB2 1.70 Атом в ловушке в лабораторной системе отсчета имеет скорость $v=v_{\\mathrm{x}}$. В системе отсчета атома вычислите скорости поглощения фотонов, падающих с каждого из двух направлений, (обозначенные $s_{+}$ и $s_{-}$) и получаемый импульс в единицу времени в каждом направлении (обозначается $\\pi_{+}$и $\\pi_{-}$). Определите эффективную силу, действующую на атом в лабораторной системе отсчёта, как функцию от $v, k_{\\mathrm{L}}={\\omega_{\\mathrm{L}}} / c, \\hbar$, и $\\alpha$. Считайте, что $s_{\\mathrm{L}} \\ll \\alpha \\omega_{\\mathrm{L}}$. Обозначим скорости прямых и обратных столкновений через $s_{+}$ и $s_{-}$ соответственно. Будем работать в системе отсчета атома. Пренебрегая членами порядка $\\frac{v^{2}}{c^{2}}$, вклад эффекта Доплера можно записать как: $$ \\omega^{\\prime}=\\omega\\left(1+\\frac{v}{c}\\right) $$ Если скорость атома направлена в положительном $x$-направлении, получится: $$ \\begin{aligned} & \\omega_{+}=\\omega_{\\mathrm{L}}\\left(1+\\frac{v}{c}\\right) \\\\ & \\omega_{-}=\\omega_{\\mathrm{L}}\\left(1-\\frac{v}{c}\\right) \\end{aligned} $$ Итак: $$ \\begin{aligned} & s_{+}=s_{\\mathrm{L}}+\\alpha\\left(\\omega_{\\mathrm{L}}\\left(1+\\frac{v}{c}\\right)-\\omega_{\\mathrm{L}}\\right)=s_{\\mathrm{L}}+\\alpha \\omega_{\\mathrm{L}} \\frac{v}{c} \\\\ & s_{-}=s_{\\mathrm{L}}+\\alpha\\left(\\omega_{\\mathrm{L}}\\left(1-\\frac{v}{c}\\right)-\\omega_{\\mathrm{L}}\\right)=s_{\\mathrm{L}}-\\alpha \\omega_{\\mathrm{L}} \\frac{v}{c} \\end{aligned} $$В единицу времени атому от встречных фотонов передаётся импульс: $$ \\pi_{+}=s_{+} \\cdot\\left(-\\hbar k_{+}\\right) $$ От обратных фотонов:$$ \\pi_{-}=s_{-} \\cdot\\left(+\\hbar k_{-}\\right) $$ где $k_{ \\pm}=\\frac{\\hbar \\omega_{ \\pm}}{c}$. Суммарный передаваемый атому импульс: $$ \\pi_{+}+\\pi_{-}=-2 \\hbar k_{\\mathrm{L}} \\frac{v}{c} \\omega_{\\mathrm{L}} \\alpha\\left(1+\\frac{s_{\\mathrm{L}}}{\\alpha \\omega_{\\mathrm{L}}}\\right) $$ В приближении $s_{\\mathrm{L}} \\ll \\alpha \\omega_{\\mathrm{L}}$ получаем: $$ \\pi_{+}+\\pi_{-}=-2 \\hbar k_{\\mathrm{L}} \\frac{v}{c} \\omega_{\\mathrm{L}} \\alpha $$ Поскольку атом тяжелый, его скорость почти не меняется после поглощения фотона. Поэтому эффект отдачи почти не будет влиять на частоту переизлученного фотона, а значит, в среднем не будет и передачи импульса атому в процессе переизлучения. Приведенное выше выражение, по сути, и есть сила. Поскольку $v > 0$, получим: $$ F=-\\left(2 \\alpha \\hbar k_{\\mathrm{L}}^{2}\\right) v $$ Тот же результат имеет место при $v < 0$. Этот результат получен в системе отсчета атома. Однако, поскольку мы сохранили только первый порядок в $v / c$, тот же результат имеет место и в лаборатории истеме отсчета: $$ F=-\\left(2 \\alpha \\hbar k_{\\mathrm{L}}^{2}\\right) v $$ Ответ: \n                    \n \\[s_{+}=s_{L}+\\alpha \\omega_{\\mathrm{L}} \\frac{v}{c},\\quad s_{-}=s_{L}-\\alpha \\omega_{\\mathrm{L}} \\frac{v}{c} \\\\ \\\\ \\pi_{+}=s_{+} \\cdot\\left(-\\hbar k_{+}\\right) ,\\quad \\pi_{-}=s_{-} \\cdot\\left(+\\hbar k_{-}\\right) \\\\ \\\\ F=-\\left(2 \\alpha \\hbar k_{\\mathrm{L}}^{2}\\right) v \\]\nB3 1.00 Рассматривая импульс атома после такого процесса для двух возможных исходов, вычислите среднюю мощность, поглощаемую атомом в таких процессах. Импульс атома до столкновения равен нулю. После столкновения он будет равен (при условии, что импульс фотона направлен в направлении $x$): $$ P_{1}=\\hbar k_{\\mathrm{L}} $$ После переизлучения фотона мы будет два равновероятных исхода для конечного импульса: фотон испускается в положительном направлении $x$, и импульс атома становится нулевым; фотон испускается в отрицательном направлении $x$, и импульс атома становится равным $P_{\\mathrm{f}}=+2 \\hbar k_{\\mathrm{L}}$. Таким образом, средняя конечная энергия равна: $$ \\left\\langle E_{\\mathrm{f}}\\right\\rangle=\\left\\langle\\frac{P_{\\mathrm{f}}^{2}}{2 m}\\right\\rangle=\\frac{1}{2} \\cdot 0+\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{4 \\hbar^{2} k_{\\mathrm{L}}^{2}}{2 m}=\\frac{\\hbar^{2} k_{\\mathrm{L}}^{2}}{m} $$ Этот процесс происходит за время $\\tau$. Таким образом, входная мощность (мощность, полученная атомом в результате этого процесса) равна: Ответ: \n                    \n $$ P_{\\mathrm{in}}=\\frac{\\hbar^{2} k_{\\mathrm{L}}^{2}}{m \\tau} $$\nB4 0.80 Используя выражение для силы, найденное в пункте B2 , вычислите мощность потерь. Затем вычислите среднее значение $v^2$ в равновесии. Используя знания из кинетической теории газов, определите температуру атомов. Выходная мощность (мощность, теряемая атомом при столкновении с лазерными фотонами) может быть записана как:$$ P_{\\text {out }}=F \\cdot v=-2 \\alpha \\hbar k_{\\mathrm{L}}^{2} v^{2} $$В равновесии мы должны иметь:$$ P_{\\text {out }}+P_{\\text {in }}=0 \\implies\\frac{\\hbar^{2} k_{\\mathrm{L}}^{2}}{m \\tau}=2 \\alpha \\hbar k_{\\mathrm{L}}^{2} \\overline{v^{2}} \\implies\\overline{v^{2}}=\\frac{\\hbar \\Gamma}{2 \\alpha m} $$А температура этой системы равна:$$ \\frac{1}{2} m \\overline{v^{2}}=\\frac{1}{2} k_{\\mathrm{B}} T \\implies T=\\frac{\\hbar \\Gamma}{2 \\alpha k_{\\mathrm{B}}} $$ Ответ: \n                    \n \\[P_{\\text {out }}=-2 \\alpha \\hbar k_{\\mathrm{L}}^{2} v^{2},\\quad \\overline{v^{2}}=\\frac{\\hbar \\Gamma}{2 \\alpha m},\\quad T=\\frac{\\hbar \\Gamma}{2 \\alpha k_{\\mathrm{B}}}\\]\nB5 0.40 Оцените эту температуру для атома, который в 100 раз тяжелее атома водорода. Числовые значения $\\omega_L = 2\\cdot 10^{16}~ {\\text{рад}}/{с}$, $\\tau = 5 \\cdot 10^{-9}~ с$ и $\\alpha = 4$. Учитывая приведенные данные:$$ T=\\frac{1.055 \\cdot 10^{-34} ~Дж\\cdot с}{2 \\cdot 4 \\cdot 1.381 \\cdot 10^{-23} {~Дж} / {К} \\cdot5 \\cdot 10^{9} {~с}}=2 \\cdot10^{-4} {~К} $$ Ответ: \n                    \n \\[T=2 \\cdot10^{-4} {~К}\\]","figures":[],"shared":false}},{"id":"ipho-2024-t3","importedOn":"2026-10-28","language":"ru","sources":[{"url":"https://pho.rs/p/4175","kind":"statement"},{"url":"https://pho.rs/p/4175/s","kind":"solution"}],"statement":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"em","children":[{"type":"text","text":"Большое число наблюдаемых звезд являются двойными. В двойной звезде одна или обе компоненты могут быть нейтронными звёздами, вращающимися с большой угловой скоростью и излучающими электромагнитные волны. Такие звёзды называются пульсарами. Иногда звезда-компаньон теряет своё вещество, которое в виде газа постепенно падает на нейтронную звезду и приводит к увеличению её массы (рис. 1-(a)). Таким образом, нейтронная звезда постепенно поглощает свою звезду-компаньона, из-за чего её сравнивают с черной вдовой — самкой паука, которая после спаривания съедает самца. В результате нагрева газа, падающего на «чёрную вдову», возникает наблюдаемое излучение. Самые тяжёлые нейтронные звезды зачастую оказываются «чёрными вдовами» и служат для учёных естественными лабораториями для проверки фундаментальных законов физики. На рисунке 1-(b) показано изображение компаньона нейтронной звезды PSR J2215+5135, полученное 3.4-метровым оптическим телескопом Иранской национальной обсерватории. На этом изображении нейтронная звезда не видна, а видимый свет излучается её компаньоном."}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/4d04bdb8bc51e5892805.webp","alt":"ipho-2024-t3 statement: original source diagram 1"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 1-(a). Падение газов звезды-компаньона на нейтронную звезду"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/dd5a8477b5fc8f7b01fc.webp","alt":"ipho-2024-t3 statement: original source diagram 2"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 1-(b). Компаньон нейтронной звезды PSR J2215+5135"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть A. Двойная система (5 баллов)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Рассмотрим простую модель, в которой «чёрная вдова» и её звезда-компаньон представлены двумя точечными массами $M_1$ и $M_2$, движущимися по круговой орбите вокруг общего центра масс. Чтобы исследовать динамику этой системы, перейдём во вращающуюся систему отсчёта, в которой оба тела неподвижны. Примем центр масс за начало координат. Предположим, что тела лежат на оси $x$ по разные стороны от начала координат на расстоянии $a$ друг от друга, и масса $M_1$ лежит на отрицательной полуоси. В произвольной точке $(x,y)$ в плоскости орбиты эффективный потенциал $varphi(x,y)$ единичной пробной массы равен сумме гравитационных потенциалов двух точечных масс и центробежного потенциала.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Выразите $\\varphi(x,y)$ через $M_1$, $M_2$, $G$ и $a$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.70"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Предполагая, что $M_1 > M_2$, постройте качественный график функции $\\varphi(x,0)$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tПусть $M_2 = M_1/3$ ("},{"type":"element","tag":"em","children":[{"type":"text","text":"только в пункте"}]},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"A3"}]},{"type":"text","text":"), и звезда $M_2$ окружена разреженным газом. Масса этого газа мала по сравнению с массами звёзд, поэтому его гравитационным влиянием можно пренебречь. Если газовое облако превысит некоторый критический размер, газ начнёт перетекать на $M_1$. Предположим, что перетекание начинается в точке $x=x_0$ на оси $x$.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n С помощью калькулятора вычислите значение $x_0/a$ с точностью до двух значащих цифр.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Пусть период вращения звезд вокруг центра масс равен$P$, а газ течёт от $M_2$ к $M_1$ с очень малой скоростью $\\mathrm dM_1/\\mathrm dt= \\beta$. Скорость перетекания настолько мала, что в течение одного периода вращения расстояние между звёздами можно считать постоянным. При этом на бóльших масштабах времени расстояние между компонентами меняется, но движение компонент остается круговым.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A4\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Выразите скорость изменения величин $a$ и $P$ через $\\beta$, $M_1$, $M_2$, $G$, и $a$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Газ, отделяющийся от $M_2$, образует диск, вращающийся вокруг $M_1$, в котором газ нагревается за счет трения (рис. 1-(a)). Теряя энергию, газ по спирали медленно перемещается к центру диска и, наконец, падает на $M_1$. В равновесном состоянии масса перемещается с постоянной скоростью $\\beta$ от $M_2$ к диску и от диска к $M_1$. При этом нагретый диск испускает тепловое излучение как абсолютно чёрное тело. Поскольку диск формируется очень близко к нейтронной звезде, гравитационным влиянием $M_2$ при рассмотрении диска можно пренебречь. Пренебрегите также теплоёмкостью газа.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A5\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Определите температуру диска на расстоянии $r$ от центра звезды $M_1$. Выразите ответ через $r$, $\\beta$, $M_1$, $G$ и $\\sigma$ (постоянная Стефана–Больцмана).\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n В бинарной системе PSR J2215+5135 масса нейтронной звезды составляет $M_\\mathrm{NS} = 2 . 27 M_\\odot$, а масса звезды-компаньона – $M_\\mathrm S = 0 . 33 M_\\odot$, где $M_\\odot = 1.98\\cdot10^{30}~кг$ – масса Солнца. Период вращения составляет $P = 4 . 14~ ч$, постоянная Стефана–Больцмана $\\sigma= 5 . 67 \\cdot 10^{ - 8}~ Вт/ м^ 2 \\cdot К ^4$, а гравитационная постоянная $G= 6 . 67 \\cdot 10 ^{- 11}~ м^ 3 /кг \\cdot с ^2 $. Предположим, что скорость потока массы к нейтронной звезде составляет $\\beta = \\dot M_\\mathrm{ NS }= 9 \\cdot 10 ^{- 10}~ M_\\odot / год$.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A6\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Вычислите температуру диска на расстоянии $r=a/10$. Ответ приведите в кельвинах.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Предположим, что после внезапного взрыва звезда $M_1$ выбрасывает часть своей массы из двойной системы с очень большой скоростью, и её масса становится равной $M'_1$. Пусть после взрыва относительная скорость движения $M'_1$ и $M_2$ равна $v'$.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A7\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.70"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n При каком максимальном значении $v'$ двойная система останется гравитационно связанной после взрыва? Какому минимальному значению $M'_1$ это соответствует, если разлёт вещества после взрыва происходил изотропно? Выразите ответы через $M'_1$, $M_2$, $G$ и $a$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть B. Анализ устойчивости звезды (5 баллов)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"В этой части мы исследуем устойчивость одиночной звезды. Рассмотрим звезду, состоящую из вещества с уравнением состояния $p=K\\rho^\\gamma$ где $K$ и $\\gamma$ – некоторые постоянные. Обозначим давление и плотность на расстоянии "}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Выразите ускорение свободного падения $g(r)$ на малом расстоянии от центра звезды через $r$ и постоянные $G$ и $\\rho_c$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Выведите дифференциальное уравнение, описывающее равновесное распределение $\\rho(r)$. Запишите его в следующей форме:\\[\\frac{\\mathrm d}{\\mathrm dr}\\left[h_1(\\rho,r)\\frac{\\mathrm d\\rho}{\\mathrm dr}\\right]+h_2(r)\\rho=0.\\]Найдите функции $h_1$ и $h_2$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.40"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n С помощью метода размерностей получите выражение для величины $r_0=G^lp_c^m\\rho_c^n$ с размерностью длины.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B4\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.30"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Перепишите дифференциальное уравнение, полученное в пункте B2, в следующем виде:\\[\\frac{\\mathrm d}{\\mathrm dx}\\left[A_1(u,x)\\frac{\\mathrm du}{\\mathrm dx}\\right]+A_2(x)u(x)=0,\\] где $x=r/r_0$ и $u=\\rho/\\rho_c$. Найдите функции $A_1(u,x)$ и $A_2(x)$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B5\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n При $\\gamma=2$ это уравнение можно решить точно, если ввести $u(x)=f(x)/x$. Найдите $f(x)$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n На рисунке 2 ниже приведён график зависимости $\\mathrm du/\\mathrm d x$ от $x$ для некоторой звезды.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/db81ed3dfed54f84ca55.webp","alt":"ipho-2024-t3 statement: original source diagram 3"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 2. График $\\mathrm du/\\mathrm d x(x)$"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B6\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.80"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Рассматривая график в окрестности точки $x=0$, вычислите $\\gamma$ с точностью до 3 значащих цифр. Для снятия данных с графика вы можете использовать выданную линейку.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Чтобы исследовать устойчивость звезды, предположим, что она немного отклоняется от своего равновесного состояния: сферическая оболочка, которая находилась в равновесии на расстоянии $r$ от центра, теперь имеет радиус $\\tilde r$. Аналогично величины $g$, $p$, и $\\rho$ становятся равны $\\tilde g$, $\\tilde p$, и $\\tilde \\rho$ соответственно. Для простоты будем рассматривать только малые $r$ вблизи центра звезды, для которых можно считать $\\tilde r=r(1+\\varepsilon t)$, где $\\varepsilon t\\ll1$.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B7\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.90"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Выразите $\\tilde \\rho$ и $\\tilde g$ через $\\rho$ и $g$ с точностью до первого порядка по $\\varepsilon$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B8\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Используя второй закон Ньютона для элемента вещества на равновесном расстоянии $r$, выразите $\\mathrm d^2\\tilde r/\\mathrm dt^2$ через $\\tilde g$, $\\tilde \\rho$, $K$, $\\gamma$ и $\\partial\\tilde\\rho/\\partial\\tilde r$. (Под $\\partial\\tilde\\rho/\\partial\\tilde r$ подразумевается производную $\\tilde\\rho$ по $\\tilde r$ при постоянном $t$.)\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B9\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Получите выражение для $\\mathrm d^2\\varepsilon/\\mathrm dt^2$. Выразите ответ через $\\varepsilon$ и константы, данные в условии задачи. Найдите минимальное значение $\\gamma$, при котором равновесие звезды будет устойчиво, а также получите выражение для угловой частоты колебаний звезды.\n\n                \n                "}]}]}]}]}],"text":"Большое число наблюдаемых звезд являются двойными. В двойной звезде одна или обе компоненты могут быть нейтронными звёздами, вращающимися с большой угловой скоростью и излучающими электромагнитные волны. Такие звёзды называются пульсарами. Иногда звезда-компаньон теряет своё вещество, которое в виде газа постепенно падает на нейтронную звезду и приводит к увеличению её массы (рис. 1-(a)). Таким образом, нейтронная звезда постепенно поглощает свою звезду-компаньона, из-за чего её сравнивают с черной вдовой — самкой паука, которая после спаривания съедает самца. В результате нагрева газа, падающего на «чёрную вдову», возникает наблюдаемое излучение. Самые тяжёлые нейтронные звезды зачастую оказываются «чёрными вдовами» и служат для учёных естественными лабораториями для проверки фундаментальных законов физики. На рисунке 1-(b) показано изображение компаньона нейтронной звезды PSR J2215+5135, полученное 3.4-метровым оптическим телескопом Иранской национальной обсерватории. На этом изображении нейтронная звезда не видна, а видимый свет излучается её компаньоном. Рис. 1-(a). Падение газов звезды-компаньона на нейтронную звезду Рис. 1-(b). Компаньон нейтронной звезды PSR J2215+5135 Часть A. Двойная система (5 баллов) Рассмотрим простую модель, в которой «чёрная вдова» и её звезда-компаньон представлены двумя точечными массами $M_1$ и $M_2$, движущимися по круговой орбите вокруг общего центра масс. Чтобы исследовать динамику этой системы, перейдём во вращающуюся систему отсчёта, в которой оба тела неподвижны. Примем центр масс за начало координат. Предположим, что тела лежат на оси $x$ по разные стороны от начала координат на расстоянии $a$ друг от друга, и масса $M_1$ лежит на отрицательной полуоси. В произвольной точке $(x,y)$ в плоскости орбиты эффективный потенциал $varphi(x,y)$ единичной пробной массы равен сумме гравитационных потенциалов двух точечных масс и центробежного потенциала. A1 1.00 Выразите $\\varphi(x,y)$ через $M_1$, $M_2$, $G$ и $a$. A2 0.70 Предполагая, что $M_1 > M_2$, постройте качественный график функции $\\varphi(x,0)$. Пусть $M_2 = M_1/3$ ( только в пункте A3 ), и звезда $M_2$ окружена разреженным газом. Масса этого газа мала по сравнению с массами звёзд, поэтому его гравитационным влиянием можно пренебречь. Если газовое облако превысит некоторый критический размер, газ начнёт перетекать на $M_1$. Предположим, что перетекание начинается в точке $x=x_0$ на оси $x$. A3 0.50 С помощью калькулятора вычислите значение $x_0/a$ с точностью до двух значащих цифр. Пусть период вращения звезд вокруг центра масс равен$P$, а газ течёт от $M_2$ к $M_1$ с очень малой скоростью $\\mathrm dM_1/\\mathrm dt= \\beta$. Скорость перетекания настолько мала, что в течение одного периода вращения расстояние между звёздами можно считать постоянным. При этом на бóльших масштабах времени расстояние между компонентами меняется, но движение компонент остается круговым. A4 0.60 Выразите скорость изменения величин $a$ и $P$ через $\\beta$, $M_1$, $M_2$, $G$, и $a$. Газ, отделяющийся от $M_2$, образует диск, вращающийся вокруг $M_1$, в котором газ нагревается за счет трения (рис. 1-(a)). Теряя энергию, газ по спирали медленно перемещается к центру диска и, наконец, падает на $M_1$. В равновесном состоянии масса перемещается с постоянной скоростью $\\beta$ от $M_2$ к диску и от диска к $M_1$. При этом нагретый диск испускает тепловое излучение как абсолютно чёрное тело. Поскольку диск формируется очень близко к нейтронной звезде, гравитационным влиянием $M_2$ при рассмотрении диска можно пренебречь. Пренебрегите также теплоёмкостью газа. A5 1.00 Определите температуру диска на расстоянии $r$ от центра звезды $M_1$. Выразите ответ через $r$, $\\beta$, $M_1$, $G$ и $\\sigma$ (постоянная Стефана–Больцмана). В бинарной системе PSR J2215+5135 масса нейтронной звезды составляет $M_\\mathrm{NS} = 2 . 27 M_\\odot$, а масса звезды-компаньона – $M_\\mathrm S = 0 . 33 M_\\odot$, где $M_\\odot = 1.98\\cdot10^{30}~кг$ – масса Солнца. Период вращения составляет $P = 4 . 14~ ч$, постоянная Стефана–Больцмана $\\sigma= 5 . 67 \\cdot 10^{ - 8}~ Вт/ м^ 2 \\cdot К ^4$, а гравитационная постоянная $G= 6 . 67 \\cdot 10 ^{- 11}~ м^ 3 /кг \\cdot с ^2 $. Предположим, что скорость потока массы к нейтронной звезде составляет $\\beta = \\dot M_\\mathrm{ NS }= 9 \\cdot 10 ^{- 10}~ M_\\odot / год$. A6 0.50 Вычислите температуру диска на расстоянии $r=a/10$. Ответ приведите в кельвинах. Предположим, что после внезапного взрыва звезда $M_1$ выбрасывает часть своей массы из двойной системы с очень большой скоростью, и её масса становится равной $M'_1$. Пусть после взрыва относительная скорость движения $M'_1$ и $M_2$ равна $v'$. A7 0.70 При каком максимальном значении $v'$ двойная система останется гравитационно связанной после взрыва? Какому минимальному значению $M'_1$ это соответствует, если разлёт вещества после взрыва происходил изотропно? Выразите ответы через $M'_1$, $M_2$, $G$ и $a$. Часть B. Анализ устойчивости звезды (5 баллов) В этой части мы исследуем устойчивость одиночной звезды. Рассмотрим звезду, состоящую из вещества с уравнением состояния $p=K\\rho^\\gamma$ где $K$ и $\\gamma$ – некоторые постоянные. Обозначим давление и плотность на расстоянии B1 0.20 Выразите ускорение свободного падения $g(r)$ на малом расстоянии от центра звезды через $r$ и постоянные $G$ и $\\rho_c$. B2 0.60 Выведите дифференциальное уравнение, описывающее равновесное распределение $\\rho(r)$. Запишите его в следующей форме:\\[\\frac{\\mathrm d}{\\mathrm dr}\\left[h_1(\\rho,r)\\frac{\\mathrm d\\rho}{\\mathrm dr}\\right]+h_2(r)\\rho=0.\\]Найдите функции $h_1$ и $h_2$. B3 0.40 С помощью метода размерностей получите выражение для величины $r_0=G^lp_c^m\\rho_c^n$ с размерностью длины. B4 0.30 Перепишите дифференциальное уравнение, полученное в пункте B2, в следующем виде:\\[\\frac{\\mathrm d}{\\mathrm dx}\\left[A_1(u,x)\\frac{\\mathrm du}{\\mathrm dx}\\right]+A_2(x)u(x)=0,\\] где $x=r/r_0$ и $u=\\rho/\\rho_c$. Найдите функции $A_1(u,x)$ и $A_2(x)$. B5 0.60 При $\\gamma=2$ это уравнение можно решить точно, если ввести $u(x)=f(x)/x$. Найдите $f(x)$. На рисунке 2 ниже приведён график зависимости $\\mathrm du/\\mathrm d x$ от $x$ для некоторой звезды. Рис. 2. График $\\mathrm du/\\mathrm d x(x)$ B6 0.80 Рассматривая график в окрестности точки $x=0$, вычислите $\\gamma$ с точностью до 3 значащих цифр. Для снятия данных с графика вы можете использовать выданную линейку. Чтобы исследовать устойчивость звезды, предположим, что она немного отклоняется от своего равновесного состояния: сферическая оболочка, которая находилась в равновесии на расстоянии $r$ от центра, теперь имеет радиус $\\tilde r$. Аналогично величины $g$, $p$, и $\\rho$ становятся равны $\\tilde g$, $\\tilde p$, и $\\tilde \\rho$ соответственно. Для простоты будем рассматривать только малые $r$ вблизи центра звезды, для которых можно считать $\\tilde r=r(1+\\varepsilon t)$, где $\\varepsilon t\\ll1$. B7 0.90 Выразите $\\tilde \\rho$ и $\\tilde g$ через $\\rho$ и $g$ с точностью до первого порядка по $\\varepsilon$. B8 0.60 Используя второй закон Ньютона для элемента вещества на равновесном расстоянии $r$, выразите $\\mathrm d^2\\tilde r/\\mathrm dt^2$ через $\\tilde g$, $\\tilde \\rho$, $K$, $\\gamma$ и $\\partial\\tilde\\rho/\\partial\\tilde r$. (Под $\\partial\\tilde\\rho/\\partial\\tilde r$ подразумевается производную $\\tilde\\rho$ по $\\tilde r$ при постоянном $t$.) B9 0.60 Получите выражение для $\\mathrm d^2\\varepsilon/\\mathrm dt^2$. Выразите ответ через $\\varepsilon$ и константы, данные в условии задачи. Найдите минимальное значение $\\gamma$, при котором равновесие звезды будет устойчиво, а также получите выражение для угловой частоты колебаний звезды.\n","figures":["/corpus/figures/4d04bdb8bc51e5892805.webp","/corpus/figures/dd5a8477b5fc8f7b01fc.webp","/corpus/figures/db81ed3dfed54f84ca55.webp"],"shared":false},"solution":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Выразите $\\varphi(x,y)$ через $M_1$, $M_2$, $G$ и $a$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Обозначим за $a_{1}$ и $a_{2}$ расстояния от центра масс до $M_{1}$ и $M_{2}$ соответственно, тогда:$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\left\\{\\begin{array}{c}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"M_{1} a_{1}=M_{2} a_{2} \\\\"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"a_{1}+a_{2}=a"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\end{array} \\right.\\implies \\left\\{\\begin{array}{c}a_{1}=\\dfrac{M_{2}}{M} a\\\\ a_{2}=\\dfrac{M_{1}}{M} a\\end{array}\\right."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Здесь $M=M_{1}+M_{2}$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Во вращающейся системе отсчёта центробежный потенциал равен:$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\begin{gathered}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"U=-\\frac{1}{2} \\omega^{2} r^{2}, \\quad \\omega=\\sqrt{\\frac{G M}{a^{3}}} \\implies\\\\"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\varphi(x, y)=-\\frac{G M_{1}}{\\sqrt{\\left(x+a_{1}\\right)^{2}+y^{2}}}-\\frac{G M_{2}}{\\sqrt{\\left(x-a_{2}\\right)^{2}+y^{2}}}-\\frac{1}{2} \\omega^{2}\\left(x^{2}+y^{2}\\right) \\implies\\\\"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\varphi(x, y)=-\\frac{G M_{1}}{\\sqrt{\\left(x+\\frac{M_{2}}{M} a\\right)^{2}+y^{2}}}-\\frac{G M_{2}}{\\sqrt{\\left(x-\\frac{M_{1}}{M} a\\right)^{2}+y^{2}}}-\\frac{1}{2} \\frac{G M}{a^{3}}\\left(x^{2}+y^{2}\\right)"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\end{gathered}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[\\varphi(x, y)=-\\frac{G M_{1}}{\\sqrt{\\left(x+\\frac{M_{2}}{\\left(M_{1}+M_{2}\\right)} a\\right)^{2}+y^{2}}}-\\frac{G M_{2}}{\\sqrt{\\left(x-\\frac{M_{1}}{\\left(M_{1}+M_{2}\\right)} a\\right)^{2}+y^{2}}}-\\frac{1}{2} \\frac{G\\left(M_{1}+M_{2}\\right)}{a^{3}}\\left(x^{2}+y^{2}\\right)\\]\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.70"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Предполагая, что $M_1 > M_2$, постройте качественный график функции $\\varphi(x,0)$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"При $y=0$ получим:$$ \\varphi(x, 0)=-\\frac{G M_{1}}{\\left|x+\\frac{M_{2}}{M} a\\right|}-\\frac{G M_{2}}{\\left|x-\\frac{M_{1}}{M} a\\right|}-\\frac{1}{2} \\frac{G M}{a^{3}} x^{2}. $$На качественном рисунке должно быть отображено следующее:"}]},{"type":"element","tag":"ol","children":[{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"У функции есть две вертикальные асимптоты при $x=-a_{1}$ и $x=a_{2}$, и она стремится к $-\\infty$ в окрестности этих асимптот."}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"У функции есть три максимума (также известные, как "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"точки Лагранжа"}]},{"type":"text","text":")."}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Функция стремится $-\\infty$ при $x \\rightarrow \\pm \\infty$."}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n\n\n\n    \n        \n            "},{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/e32372c654009d0886e1.webp","alt":"ipho-2024-t3 solution: original source diagram 1"}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n С помощью калькулятора вычислите значение $x_0/a$ с точностью до двух значащих цифр.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Обозначим $\\bar{x}=x / a$. Нам необходимо найти координату центральной точки Лагранжа $\\bar{x}_{0}$ (между $\\bar{x}=0$ и $\\bar{x}=0.75$), численно решив уравнение $\\dfrac{d \\varphi}{d \\bar{x}}\\left(\\bar{x}_{0}\\right)=0$. Перепишем результат предыдущего пункта в виде$$ \\varphi(\\bar{x}, 0)=\\frac{G M}{a}\\left[-\\frac{\\dfrac{3}{4}}{\\left(\\bar{x}+\\dfrac{1}{4}\\right)}+\\frac{\\dfrac{1}{4}}{\\left(\\bar{x}-\\frac{3}{4}\\right)}-\\frac{1}{2} \\bar{x}^{2}\\right]. $$Решим численно уравнение $f\\left(\\bar{x}_{0}\\right)=0$, где $f(\\bar{x})=\\dfrac{a}{G M} \\dfrac{d \\varphi}{d \\bar{x}}$. Это можно делать разными способами. Авторский способ основывается на бинарном поиске корня:"}]},{"type":"element","tag":"ol","children":[{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"$f(0)>0$ и $f(0.5)<0$, поэтому ответ лежит на отрезке $[0,0.5]$."}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Так как $f\\left(\\bar{x}_{0}=0.25\\right)>0$, корень лежит в диапазоне $0.25<\\bar{x}_{0}<0.5$."}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Продолжим процесс, пока не получим гарантированно 2 значащих цифры ответа:$$ \\begin{aligned}& f(0.375)<0 \\implies \\cdots \\implies 0.358<\\bar{x}_{0}<0.361 \\\\ & \\implies f(0.360)>0 \\implies0.360<\\bar{x}_{0}<0.361 \\implies\\end{aligned} $$"}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[ \\frac{x_{0}}{a}\\approx 0.36 \\]\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A4\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Выразите скорость изменения величин $a$ и $P$ через $\\beta$, $M_1$, $M_2$, $G$, и $a$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Момент импульса системы равен:$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"J=\\mu a V=\\mu a^{2} \\omega=\\frac{M_{1} M_{2}}{M} a^{2} \\sqrt{\\frac{G M}{a^{3}}}=\\sqrt{\\frac{G M_{1}^{2} M_{2}^{2}}{M} a},"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$где $\\mu$ – приведённая масса системы, а $V$ – относительная скорость движения двух тел. Прологарифмируем:$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\ln J=\\frac{1}{2}\\left[\\ln \\frac{G}{M}+2 \\ln M_{1}+2 \\ln M_{2}+\\ln a\\right]."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Возьмём производную по времени:$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\frac{\\dot J}{J}=\\frac{\\dot{M}_{1}}{M_{1}}+\\frac{\\dot{M}_{2}}{M_{2}}+\\frac{1}{2} \\frac{\\dot{a}}{a}=0."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$(здесь учтено, что суммарная масса системы постоянная, $\\dot{M}_{1}+\\dot{M}_{2}=0$). Таким образом:$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\frac{\\dot{a}}{a}=-2 \\frac{\\dot{M}_{1}}{M_{1}}\\left(1-\\frac{M_{1}}{M_{2}}\\right) \\implies "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[\\dot{a}=-2 \\beta a\\left(\\frac{1}{M_{1}}-\\frac{1}{M_{2}}\\right)\\]\n\n                    "}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Для периода:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"P=2 \\pi \\sqrt{\\frac{a^{3}}{G M}} \\rightarrow \\frac{\\dot{P}}{P}=\\frac{3}{2} \\frac{\\dot{a}}{a}=-3 \\frac{\\dot{M}_{1}}{M_{1}}\\left(1-\\frac{M_{1}}{M_{2}}\\right) \\implies"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[\\dot{P}=-6 \\pi \\sqrt{\\frac{a^{3}}{G M}} \\beta\\left(\\frac{1}{M_{1}}-\\frac{1}{M_{2}}\\right)\\]\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A5\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Определите температуру диска на расстоянии $r$ от центра звезды $M_1$. Выразите ответ через $r$, $\\beta$, $M_1$, $G$ и $\\sigma$ (постоянная Стефана–Больцмана).\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Рассмотрим тонкий кольцевой участок диска в внутренним радиусом $r$ и внешним радиусом $r+d r$. В силу медленного падения вещества на звезду в этот диск попадает энергия $-\\dfrac{G M_{1} \\beta}{2 r}+\\dfrac{G M_{1} \\beta}{2 r^{2}} d r$, а покидает его энергия $-\\dfrac{G M_{1} \\beta}{2 r}$. Остаток энергии $\\dfrac{G M_{1} \\beta}{2 r} d r$ покидает кольцо в виде излучения. Тогда запишем:$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"d P=\\frac{G M_{1} \\beta}{2 r^{2}} d r=\\sigma T^{4} 2(2 \\pi r d r)=4 \\pi \\sigma T^{4} d r "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[T=\\left(\\frac{G M_{1} \\beta}{8 \\pi \\sigma r^{3}}\\right)^{\\frac{1}{4}}\\]\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A6\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Вычислите температуру диска на расстоянии $r=a/10$. Ответ приведите в кельвинах.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Поскольку $P=2 \\pi \\sqrt{\\dfrac{a^{3}}{G M}}$, расстояние между телами будет равно:$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"a=\\left[\\frac{P^{2} G\\left(M_{\\mathrm{S}}+M_{\\mathrm{NS}}\\right)}{4 \\pi^{2}}\\right]^{\\frac{1}{3}}."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Тогда температура диска на расстоянии $a/10$ будет даваться выражением:$$T=\\left(\\frac{G M_{\\mathrm{NS}} \\beta}{8 \\pi \\sigma r^{3}}\\right)^{\\frac{1}{4}}=\\left(\\frac{500 \\pi M_{\\mathrm{NS}} \\beta}{\\sigma P^{2}\\left(M_{\\mathrm{S}}+M_{\\mathrm{NS}}\\right)}\\right)^{\\frac{1}{4}}=9 \\cdot 10^{3} \\mathrm{~K}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$T=9 \\cdot 10^{3} \\mathrm{~K}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A7\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.70"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n При каком максимальном значении $v'$ двойная система останется гравитационно связанной после взрыва? Какому минимальному значению $M'_1$ это соответствует, если разлёт вещества после взрыва происходил изотропно? Выразите ответы через $M'_1$, $M_2$, $G$ и $a$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Чтобы система осталась гравитационно связанной, её полная механическая энергия должна быть отрицательной:$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"E^{\\prime}=\\frac{1}{2} \\mu^{\\prime} v^{\\prime 2}-\\frac{G M_{1}^{\\prime} M_{2}}{a}<0 \\implies"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[v^{\\prime}<\\sqrt{\\frac{2 G\\left(M_{1}^{\\prime}+M_{2}\\right)}{a}}\\]\n\n                    "}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n При изотропном взрыве $v^{\\prime}=v=\\sqrt{\\dfrac{G M}{a}}$, поэтому:$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\sqrt{\\frac{G\\left(M_{1}+M_{2}\\right)}{a}}<\\sqrt{\\frac{2 G\\left(M_{1}^{\\prime}+M_{2}\\right)}{a}}\\implies"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\frac{M_{1}-M_{2}}{2} < M_{1}^{\\prime}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Выразите ускорение свободного падения $g(r)$ на малом расстоянии от центра звезды через $r$ и постоянные $G$ и $\\rho_c$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Из закона всемирного тяготения:$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"g=-\\frac{4 \\pi G \\int_{0}^{r} r^{\\prime 2} \\rho d r^{\\prime}}{r^{2}} \\stackrel{\\rho \\cong \\rho_{c}}{=}-\\frac{4 \\pi G \\rho_{\\mathrm{c}} r}{3}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[g=-\\frac{4 \\pi G \\rho_{\\mathrm{c}} r}{3}\\]\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Выведите дифференциальное уравнение, описывающее равновесное распределение $\\rho(r)$. Запишите его в следующей форме:\\[\\frac{\\mathrm d}{\\mathrm dr}\\left[h_1(\\rho,r)\\frac{\\mathrm d\\rho}{\\mathrm dr}\\right]+h_2(r)\\rho=0.\\]Найдите функции $h_1$ и $h_2$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Условие равновесия участка вещества площадью $A$ и толщиной $\\Delta r$, находящемся на расстоянии от $r$ до $r+\\Delta r$, имеет вид:$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\vec{F}=-\\frac{G M(\\vec{r}) \\rho}{r^{2}} \\mathrm{~A} \\Delta r-\\Delta p A=0."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Здесь $M(r)$ – масса вещества звезды, находящаяся внутри сферы радиусом $r$. При $\\Delta r\\to0$ получаем:$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\frac{G \\rho}{r^{2}}\\left(\\int 4 \\pi r^{\\prime 2} \\rho\\left(r^{\\prime}\\right) d r^{\\prime}\\right)=-\\frac{d p(r)}{d r}=-K \\gamma \\rho^{\\gamma-1} \\frac{d \\rho}{d r}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Домножим обе части уравнения на $\\dfrac{r^{2}}{4 \\pi G \\rho}$ и возьмём производную:$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\frac{d}{d r}\\left[r^{2} \\rho^{\\gamma-2} \\frac{d \\rho}{d r}\\right]+\\frac{4 \\pi G r^{2}}{K \\gamma} \\rho(r)=0"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[h_{1}(\\rho, r)=r^{2} \\rho^{\\gamma-2},\\qquad h_{2}(r)=\\frac{4 \\pi G r^{2}}{K \\gamma}\\]\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.40"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n С помощью метода размерностей получите выражение для величины $r_0=G^lp_c^m\\rho_c^n$ с размерностью длины.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Используем метод размерностей:$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\begin{aligned}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"& {\\left[\\rho_{\\mathrm{c}}\\right]=M L^{-3}, \\quad\\left[p_{\\mathrm{c}}\\right]=M L^{-1} T^{-2}, \\quad[G]=M^{-1} L^{3} T^{-2}} \\\\"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"& {\\left[G^{l} p_{\\mathrm{c}}^{m} \\rho_{\\mathrm{c}}^{n}\\right]=\\left(M^{-1} L^{3} T^{-2}\\right)^{l}\\left(M L^{-1} T^{-2}\\right)^{m}\\left(M L^{-3}\\right)^{n}=L} \\\\"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"& \\left\\{\\begin{array} { c } "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"{ - l + n + m = 0 } \\\\"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"{ 3 l - 3 n - m = 1 } \\\\"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"{ - 2 l - 2 m = 0 }"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\end{array} \\implies\\left\\{\\begin{array}{l}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"l=-\\dfrac{1}{2} \\\\"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"m=\\dfrac{1}{2} \\\\"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"n=-1"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\end{array} \\implies \\right.\\right."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\end{aligned}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[r_{0}=G^{-\\frac{1}{2}} p_{\\mathrm{c}}^{\\frac{1}{2}} \\rho_{\\mathrm{c}}^{-1}\\]\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B4\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.30"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Перепишите дифференциальное уравнение, полученное в пункте B2, в следующем виде:\\[\\frac{\\mathrm d}{\\mathrm dx}\\left[A_1(u,x)\\frac{\\mathrm du}{\\mathrm dx}\\right]+A_2(x)u(x)=0,\\] где $x=r/r_0$ и $u=\\rho/\\rho_c$. Найдите функции $A_1(u,x)$ и $A_2(x)$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n $$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\begin{gathered}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\frac{K \\gamma \\rho_{c}^{\\gamma-1}}{4 \\pi G r_{0}^{2} x^{2}} \\frac{d}{d x}\\left[x^{2} u^{\\gamma-2} \\frac{d u}{d x}\\right]=-\\rho_{\\mathrm{c}} u(r) \\implies\\\\"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\frac{K \\gamma \\rho_{\\mathrm{c}}^{\\gamma-2}}{4 \\pi G r_{0}^{2} x^{2}} \\frac{d}{d x}\\left[x^{2} u^{\\gamma-2} \\frac{d u}{d x}\\right]=\\frac{\\gamma}{4 \\pi x^{2}} \\frac{d}{d x}\\left[x^{2} u^{\\gamma-2} \\frac{d u}{d x}\\right]=-u \\implies\\\\"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\frac{d}{d x}\\left[x^{2} u^{\\gamma-2} \\frac{d u}{d x}\\right]+\\frac{4 \\pi x^{2}}{\\gamma} u=0."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\end{gathered}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[A_{1}(u, x)=x^{2} u^{\\gamma-2} ,\\qquad  A_{2}(x)=\\frac{4 \\pi x^{2}}{\\gamma}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\]\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B5\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n При $\\gamma=2$ это уравнение можно решить точно, если ввести $u(x)=f(x)/x$. Найдите $f(x)$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n При $\\gamma=2$ уравнение заметно упрощается:$$\\frac{d}{d x}\\left[x^{2} \\frac{d u}{d x}\\right]=-2 \\pi x^{2} u(x) \\implies f^{\\prime \\prime}(x)=-2 \\pi f(x) "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$С учётом граничных условий ($f(x)\\approx x$ при $x\\to 0$, так как $u(x\\to0)\\to 1$):\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[ f(x)=\\frac{\\sin (\\sqrt{2 \\pi} x)}{\\sqrt{2 \\pi}}\\]\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B6\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.80"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Рассматривая график в окрестности точки $x=0$, вычислите $\\gamma$ с точностью до 3 значащих цифр. Для снятия данных с графика вы можете использовать выданную линейку.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Рассмотрим общее уравнение в окрестности нуля:$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\begin{gathered}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\frac{d^{2} u}{d x^{2}}+\\frac{(\\gamma-2)}{u}\\left(\\frac{d u}{d x}\\right)^{2}+\\frac{2}{x}\\left(\\frac{d u}{d x}\\right)+\\frac{4 \\pi}{\\gamma} u^{3-\\gamma}=0 \\\\"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"u^{\\prime}(0)=0, \\quad \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{u^{\\prime}(x)}{x}=u^{\\prime \\prime}(0) \\\\"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"u^{\\prime \\prime}(0)+2 u^{\\prime \\prime}(0)+\\frac{4 \\pi}{\\gamma}=0 \\quad \\rightarrow \\quad \\gamma=-\\frac{4 \\pi}{3 u^{\\prime \\prime}(0)} \\implies\\end{gathered}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[\\gamma \\in[1.64,1.70]\\]\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B7\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.90"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Выразите $\\tilde \\rho$ и $\\tilde g$ через $\\rho$ и $g$ с точностью до первого порядка по $\\varepsilon$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Для нахождения плотности запишем:$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\begin{gathered}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"M(r)=\\int_{0}^{\\tilde{r}(r, t)} 4 \\pi r^{\\prime 2} \\tilde{\\rho}\\left(r^{\\prime}, t\\right) d r^{\\prime}=\\int_{0}^{r} 4 \\pi r^{\\prime 2} \\rho\\left(r^{\\prime}\\right) d r^{\\prime} \\implies\\\\"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"4 \\pi r^{2} \\rho(r)=4 \\pi \\tilde{r}^{2} \\tilde{\\rho}(\\tilde{r}, t) \\frac{\\partial \\tilde{r}}{\\partial r} \\implies \\frac{\\tilde{\\rho}}{\\rho}=\\frac{r^{2}}{\\tilde{r}^{2}}\\left(\\frac{\\partial \\tilde{r}}{\\partial r}\\right)^{-1}=(1+\\epsilon)^{-3} \\cong 1-3 \\epsilon\\implies"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\end{gathered}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[\\tilde{\\rho} =\\rho(1-3 \\epsilon)\\]\n\n                    "}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Для ускорения свободного падения:\\[\\frac{\\tilde{g}}{g}=\\dfrac{\\dfrac{G M}{\\tilde{r}^{2}}}{\\dfrac{G M}{r^{2}}}=\\dfrac{\\dfrac{1}{\\tilde{r}^{2}}}{\\dfrac{1}{r^{2}}}=(1+\\epsilon)^{-2} \\cong 1-2 \\epsilon\\implies\\]\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[\\tilde{g} = g(1-2 \\epsilon)\\]\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B8\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Используя второй закон Ньютона для элемента вещества на равновесном расстоянии $r$, выразите $\\mathrm d^2\\tilde r/\\mathrm dt^2$ через $\\tilde g$, $\\tilde \\rho$, $K$, $\\gamma$ и $\\partial\\tilde\\rho/\\partial\\tilde r$. (Под $\\partial\\tilde\\rho/\\partial\\tilde r$ подразумевается производную $\\tilde\\rho$ по $\\tilde r$ при постоянном $t$.)\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Из второго закона Ньютона:$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\frac{\\partial \\tilde{p}}{\\partial \\tilde{r}}=\\tilde{\\rho}(\\tilde{g}-\\ddot{\\tilde{r}})."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Используя уравнение состояния вещества звезды$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\tilde{p}=K \\tilde{\\rho}^{\\gamma},"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$получим:$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\ddot{\\tilde{r}}=\\tilde{g}-\\dfrac{\\left(\\dfrac{\\partial \\tilde{p}}{\\partial \\tilde{r}}\\right)}{\\tilde{\\rho}}=\\tilde{g}-K \\gamma \\tilde{\\rho}^{\\gamma-2} \\frac{\\partial \\tilde{\\rho}}{\\partial \\tilde{r}}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[\\frac{d^{2} \\tilde{r}}{d t^{2}}=\\tilde{g}-K \\gamma \\tilde{\\rho}^{\\gamma-2} \\frac{\\partial \\tilde{\\rho}}{\\partial \\tilde{r}}\\]\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B9\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Получите выражение для $\\mathrm d^2\\varepsilon/\\mathrm dt^2$. Выразите ответ через $\\varepsilon$ и константы, данные в условии задачи. Найдите минимальное значение $\\gamma$, при котором равновесие звезды будет устойчиво, а также получите выражение для угловой частоты колебаний звезды.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tОбъединяя результаты пунктов "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"B7 "}]},{"type":"text","text":"и "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"B8"}]},{"type":"text","text":", получаем:$$ \\begin{gathered} \\frac{d^{2} \\tilde{r}}{d t^{2}}=\\ddot{\\tilde{r}}=\\tilde{g}-K \\gamma \\tilde{\\rho}^{\\gamma-2} \\frac{\\partial \\tilde{\\rho}}{\\partial \\tilde{r}}=g(1-2 \\epsilon)-K \\gamma \\rho^{\\gamma-2} \\frac{\\partial \\rho}{\\partial r}\\left(\\frac{(1-3 \\epsilon)^{\\gamma-1}}{(1+\\epsilon)}\\right) =\\\\ =g(1-2 \\epsilon)-K \\gamma \\rho^{\\gamma-2} \\frac{\\partial \\rho}{\\partial r}(1-3(\\gamma-1) \\epsilon-\\epsilon) \\end{gathered} $$Условие равновесия вещества на расстоянии $r$ от центра звезды:$$ g-K \\gamma \\rho^{\\gamma-2} \\frac{\\partial \\rho}{\\partial r}=0 \\implies K \\gamma \\rho^{\\gamma-2} \\frac{\\partial \\rho}{\\partial r}=g .$$ Отсюда: $$ \\ddot{\\tilde{r}}=r \\ddot{\\epsilon}=g(1-2 \\epsilon)-g(1-3(\\gamma-1) \\epsilon-\\epsilon)=g(3 \\gamma-4) \\epsilon \\implies\\\\  \\ddot{\\epsilon}=\\frac{g}{r}(3 \\gamma-4) \\epsilon \\implies $$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[\\ddot{\\epsilon}=-\\frac{4 \\pi G \\rho_{\\mathrm{c}}}{3}(3 \\gamma-4) \\epsilon \\]\n\n                    "}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Условие устойчивости звезды: $$ 3 \\gamma-4>0 \\implies  $$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[\\gamma>\\frac{4}{3}\\]\n\n                    "}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Наконец, угловая скорость колебаний звезды:\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$ \\omega=\\sqrt{\\frac{4 \\pi G \\rho_{\\mathrm{c}}}{3}(3 \\gamma-4)} $$\n\n                    "}]}]}]}],"text":"A1 1.00 Выразите $\\varphi(x,y)$ через $M_1$, $M_2$, $G$ и $a$. Обозначим за $a_{1}$ и $a_{2}$ расстояния от центра масс до $M_{1}$ и $M_{2}$ соответственно, тогда:$$ \\left\\{\\begin{array}{c} M_{1} a_{1}=M_{2} a_{2} \\\\ a_{1}+a_{2}=a \\end{array} \\right.\\implies \\left\\{\\begin{array}{c}a_{1}=\\dfrac{M_{2}}{M} a\\\\ a_{2}=\\dfrac{M_{1}}{M} a\\end{array}\\right. $$Здесь $M=M_{1}+M_{2}$. Во вращающейся системе отсчёта центробежный потенциал равен:$$ \\begin{gathered} U=-\\frac{1}{2} \\omega^{2} r^{2}, \\quad \\omega=\\sqrt{\\frac{G M}{a^{3}}} \\implies\\\\ \\varphi(x, y)=-\\frac{G M_{1}}{\\sqrt{\\left(x+a_{1}\\right)^{2}+y^{2}}}-\\frac{G M_{2}}{\\sqrt{\\left(x-a_{2}\\right)^{2}+y^{2}}}-\\frac{1}{2} \\omega^{2}\\left(x^{2}+y^{2}\\right) \\implies\\\\ \\varphi(x, y)=-\\frac{G M_{1}}{\\sqrt{\\left(x+\\frac{M_{2}}{M} a\\right)^{2}+y^{2}}}-\\frac{G M_{2}}{\\sqrt{\\left(x-\\frac{M_{1}}{M} a\\right)^{2}+y^{2}}}-\\frac{1}{2} \\frac{G M}{a^{3}}\\left(x^{2}+y^{2}\\right) \\end{gathered} $$ Ответ: \n                    \n \\[\\varphi(x, y)=-\\frac{G M_{1}}{\\sqrt{\\left(x+\\frac{M_{2}}{\\left(M_{1}+M_{2}\\right)} a\\right)^{2}+y^{2}}}-\\frac{G M_{2}}{\\sqrt{\\left(x-\\frac{M_{1}}{\\left(M_{1}+M_{2}\\right)} a\\right)^{2}+y^{2}}}-\\frac{1}{2} \\frac{G\\left(M_{1}+M_{2}\\right)}{a^{3}}\\left(x^{2}+y^{2}\\right)\\]\nA2 0.70 Предполагая, что $M_1 > M_2$, постройте качественный график функции $\\varphi(x,0)$. При $y=0$ получим:$$ \\varphi(x, 0)=-\\frac{G M_{1}}{\\left|x+\\frac{M_{2}}{M} a\\right|}-\\frac{G M_{2}}{\\left|x-\\frac{M_{1}}{M} a\\right|}-\\frac{1}{2} \\frac{G M}{a^{3}} x^{2}. $$На качественном рисунке должно быть отображено следующее: У функции есть две вертикальные асимптоты при $x=-a_{1}$ и $x=a_{2}$, и она стремится к $-\\infty$ в окрестности этих асимптот. У функции есть три максимума (также известные, как точки Лагранжа ). Функция стремится $-\\infty$ при $x \\rightarrow \\pm \\infty$. Ответ:\nA3 0.50 С помощью калькулятора вычислите значение $x_0/a$ с точностью до двух значащих цифр. Обозначим $\\bar{x}=x / a$. Нам необходимо найти координату центральной точки Лагранжа $\\bar{x}_{0}$ (между $\\bar{x}=0$ и $\\bar{x}=0.75$), численно решив уравнение $\\dfrac{d \\varphi}{d \\bar{x}}\\left(\\bar{x}_{0}\\right)=0$. Перепишем результат предыдущего пункта в виде$$ \\varphi(\\bar{x}, 0)=\\frac{G M}{a}\\left[-\\frac{\\dfrac{3}{4}}{\\left(\\bar{x}+\\dfrac{1}{4}\\right)}+\\frac{\\dfrac{1}{4}}{\\left(\\bar{x}-\\frac{3}{4}\\right)}-\\frac{1}{2} \\bar{x}^{2}\\right]. $$Решим численно уравнение $f\\left(\\bar{x}_{0}\\right)=0$, где $f(\\bar{x})=\\dfrac{a}{G M} \\dfrac{d \\varphi}{d \\bar{x}}$. Это можно делать разными способами. Авторский способ основывается на бинарном поиске корня: $f(0)>0$ и $f(0.5)<0$, поэтому ответ лежит на отрезке $[0,0.5]$. Так как $f\\left(\\bar{x}_{0}=0.25\\right)>0$, корень лежит в диапазоне $0.25<\\bar{x}_{0}<0.5$. Продолжим процесс, пока не получим гарантированно 2 значащих цифры ответа:$$ \\begin{aligned}& f(0.375)<0 \\implies \\cdots \\implies 0.358<\\bar{x}_{0}<0.361 \\\\ & \\implies f(0.360)>0 \\implies0.360<\\bar{x}_{0}<0.361 \\implies\\end{aligned} $$ Ответ: \n                    \n \\[ \\frac{x_{0}}{a}\\approx 0.36 \\]\nA4 0.60 Выразите скорость изменения величин $a$ и $P$ через $\\beta$, $M_1$, $M_2$, $G$, и $a$. Момент импульса системы равен:$$ J=\\mu a V=\\mu a^{2} \\omega=\\frac{M_{1} M_{2}}{M} a^{2} \\sqrt{\\frac{G M}{a^{3}}}=\\sqrt{\\frac{G M_{1}^{2} M_{2}^{2}}{M} a}, $$где $\\mu$ – приведённая масса системы, а $V$ – относительная скорость движения двух тел. Прологарифмируем:$$ \\ln J=\\frac{1}{2}\\left[\\ln \\frac{G}{M}+2 \\ln M_{1}+2 \\ln M_{2}+\\ln a\\right]. $$Возьмём производную по времени:$$ \\frac{\\dot J}{J}=\\frac{\\dot{M}_{1}}{M_{1}}+\\frac{\\dot{M}_{2}}{M_{2}}+\\frac{1}{2} \\frac{\\dot{a}}{a}=0. $$(здесь учтено, что суммарная масса системы постоянная, $\\dot{M}_{1}+\\dot{M}_{2}=0$). Таким образом:$$ \\frac{\\dot{a}}{a}=-2 \\frac{\\dot{M}_{1}}{M_{1}}\\left(1-\\frac{M_{1}}{M_{2}}\\right) \\implies $$ Ответ: \n                    \n \\[\\dot{a}=-2 \\beta a\\left(\\frac{1}{M_{1}}-\\frac{1}{M_{2}}\\right)\\] Для периода: $$ P=2 \\pi \\sqrt{\\frac{a^{3}}{G M}} \\rightarrow \\frac{\\dot{P}}{P}=\\frac{3}{2} \\frac{\\dot{a}}{a}=-3 \\frac{\\dot{M}_{1}}{M_{1}}\\left(1-\\frac{M_{1}}{M_{2}}\\right) \\implies $$ Ответ: \n                    \n \\[\\dot{P}=-6 \\pi \\sqrt{\\frac{a^{3}}{G M}} \\beta\\left(\\frac{1}{M_{1}}-\\frac{1}{M_{2}}\\right)\\]\nA5 1.00 Определите температуру диска на расстоянии $r$ от центра звезды $M_1$. Выразите ответ через $r$, $\\beta$, $M_1$, $G$ и $\\sigma$ (постоянная Стефана–Больцмана). Рассмотрим тонкий кольцевой участок диска в внутренним радиусом $r$ и внешним радиусом $r+d r$. В силу медленного падения вещества на звезду в этот диск попадает энергия $-\\dfrac{G M_{1} \\beta}{2 r}+\\dfrac{G M_{1} \\beta}{2 r^{2}} d r$, а покидает его энергия $-\\dfrac{G M_{1} \\beta}{2 r}$. Остаток энергии $\\dfrac{G M_{1} \\beta}{2 r} d r$ покидает кольцо в виде излучения. Тогда запишем:$$ d P=\\frac{G M_{1} \\beta}{2 r^{2}} d r=\\sigma T^{4} 2(2 \\pi r d r)=4 \\pi \\sigma T^{4} d r $$ Ответ: \n                    \n \\[T=\\left(\\frac{G M_{1} \\beta}{8 \\pi \\sigma r^{3}}\\right)^{\\frac{1}{4}}\\]\nA6 0.50 Вычислите температуру диска на расстоянии $r=a/10$. Ответ приведите в кельвинах. Поскольку $P=2 \\pi \\sqrt{\\dfrac{a^{3}}{G M}}$, расстояние между телами будет равно:$$ a=\\left[\\frac{P^{2} G\\left(M_{\\mathrm{S}}+M_{\\mathrm{NS}}\\right)}{4 \\pi^{2}}\\right]^{\\frac{1}{3}}. $$Тогда температура диска на расстоянии $a/10$ будет даваться выражением:$$T=\\left(\\frac{G M_{\\mathrm{NS}} \\beta}{8 \\pi \\sigma r^{3}}\\right)^{\\frac{1}{4}}=\\left(\\frac{500 \\pi M_{\\mathrm{NS}} \\beta}{\\sigma P^{2}\\left(M_{\\mathrm{S}}+M_{\\mathrm{NS}}\\right)}\\right)^{\\frac{1}{4}}=9 \\cdot 10^{3} \\mathrm{~K} $$ Ответ: \n                    \n $$T=9 \\cdot 10^{3} \\mathrm{~K} $$\nA7 0.70 При каком максимальном значении $v'$ двойная система останется гравитационно связанной после взрыва? Какому минимальному значению $M'_1$ это соответствует, если разлёт вещества после взрыва происходил изотропно? Выразите ответы через $M'_1$, $M_2$, $G$ и $a$. Чтобы система осталась гравитационно связанной, её полная механическая энергия должна быть отрицательной:$$ E^{\\prime}=\\frac{1}{2} \\mu^{\\prime} v^{\\prime 2}-\\frac{G M_{1}^{\\prime} M_{2}}{a}<0 \\implies $$ Ответ: \n                    \n \\[v^{\\prime}<\\sqrt{\\frac{2 G\\left(M_{1}^{\\prime}+M_{2}\\right)}{a}}\\] При изотропном взрыве $v^{\\prime}=v=\\sqrt{\\dfrac{G M}{a}}$, поэтому:$$ \\sqrt{\\frac{G\\left(M_{1}+M_{2}\\right)}{a}}<\\sqrt{\\frac{2 G\\left(M_{1}^{\\prime}+M_{2}\\right)}{a}}\\implies $$ Ответ: \n                    \n $$ \\frac{M_{1}-M_{2}}{2} < M_{1}^{\\prime} $$\nB1 0.20 Выразите ускорение свободного падения $g(r)$ на малом расстоянии от центра звезды через $r$ и постоянные $G$ и $\\rho_c$. Из закона всемирного тяготения:$$ g=-\\frac{4 \\pi G \\int_{0}^{r} r^{\\prime 2} \\rho d r^{\\prime}}{r^{2}} \\stackrel{\\rho \\cong \\rho_{c}}{=}-\\frac{4 \\pi G \\rho_{\\mathrm{c}} r}{3} $$ Ответ: \n                    \n \\[g=-\\frac{4 \\pi G \\rho_{\\mathrm{c}} r}{3}\\]\nB2 0.60 Выведите дифференциальное уравнение, описывающее равновесное распределение $\\rho(r)$. Запишите его в следующей форме:\\[\\frac{\\mathrm d}{\\mathrm dr}\\left[h_1(\\rho,r)\\frac{\\mathrm d\\rho}{\\mathrm dr}\\right]+h_2(r)\\rho=0.\\]Найдите функции $h_1$ и $h_2$. Условие равновесия участка вещества площадью $A$ и толщиной $\\Delta r$, находящемся на расстоянии от $r$ до $r+\\Delta r$, имеет вид:$$ \\vec{F}=-\\frac{G M(\\vec{r}) \\rho}{r^{2}} \\mathrm{~A} \\Delta r-\\Delta p A=0. $$Здесь $M(r)$ – масса вещества звезды, находящаяся внутри сферы радиусом $r$. При $\\Delta r\\to0$ получаем:$$ \\frac{G \\rho}{r^{2}}\\left(\\int 4 \\pi r^{\\prime 2} \\rho\\left(r^{\\prime}\\right) d r^{\\prime}\\right)=-\\frac{d p(r)}{d r}=-K \\gamma \\rho^{\\gamma-1} \\frac{d \\rho}{d r} $$Домножим обе части уравнения на $\\dfrac{r^{2}}{4 \\pi G \\rho}$ и возьмём производную:$$ \\frac{d}{d r}\\left[r^{2} \\rho^{\\gamma-2} \\frac{d \\rho}{d r}\\right]+\\frac{4 \\pi G r^{2}}{K \\gamma} \\rho(r)=0 $$ Ответ: \n                    \n \\[h_{1}(\\rho, r)=r^{2} \\rho^{\\gamma-2},\\qquad h_{2}(r)=\\frac{4 \\pi G r^{2}}{K \\gamma}\\]\nB3 0.40 С помощью метода размерностей получите выражение для величины $r_0=G^lp_c^m\\rho_c^n$ с размерностью длины. Используем метод размерностей:$$ \\begin{aligned} & {\\left[\\rho_{\\mathrm{c}}\\right]=M L^{-3}, \\quad\\left[p_{\\mathrm{c}}\\right]=M L^{-1} T^{-2}, \\quad[G]=M^{-1} L^{3} T^{-2}} \\\\ & {\\left[G^{l} p_{\\mathrm{c}}^{m} \\rho_{\\mathrm{c}}^{n}\\right]=\\left(M^{-1} L^{3} T^{-2}\\right)^{l}\\left(M L^{-1} T^{-2}\\right)^{m}\\left(M L^{-3}\\right)^{n}=L} \\\\ & \\left\\{\\begin{array} { c } { - l + n + m = 0 } \\\\ { 3 l - 3 n - m = 1 } \\\\ { - 2 l - 2 m = 0 } \\end{array} \\implies\\left\\{\\begin{array}{l} l=-\\dfrac{1}{2} \\\\ m=\\dfrac{1}{2} \\\\ n=-1 \\end{array} \\implies \\right.\\right. \\end{aligned} $$ Ответ: \n                    \n \\[r_{0}=G^{-\\frac{1}{2}} p_{\\mathrm{c}}^{\\frac{1}{2}} \\rho_{\\mathrm{c}}^{-1}\\]\nB4 0.30 Перепишите дифференциальное уравнение, полученное в пункте B2, в следующем виде:\\[\\frac{\\mathrm d}{\\mathrm dx}\\left[A_1(u,x)\\frac{\\mathrm du}{\\mathrm dx}\\right]+A_2(x)u(x)=0,\\] где $x=r/r_0$ и $u=\\rho/\\rho_c$. Найдите функции $A_1(u,x)$ и $A_2(x)$. $$ \\begin{gathered} \\frac{K \\gamma \\rho_{c}^{\\gamma-1}}{4 \\pi G r_{0}^{2} x^{2}} \\frac{d}{d x}\\left[x^{2} u^{\\gamma-2} \\frac{d u}{d x}\\right]=-\\rho_{\\mathrm{c}} u(r) \\implies\\\\ \\frac{K \\gamma \\rho_{\\mathrm{c}}^{\\gamma-2}}{4 \\pi G r_{0}^{2} x^{2}} \\frac{d}{d x}\\left[x^{2} u^{\\gamma-2} \\frac{d u}{d x}\\right]=\\frac{\\gamma}{4 \\pi x^{2}} \\frac{d}{d x}\\left[x^{2} u^{\\gamma-2} \\frac{d u}{d x}\\right]=-u \\implies\\\\ \\frac{d}{d x}\\left[x^{2} u^{\\gamma-2} \\frac{d u}{d x}\\right]+\\frac{4 \\pi x^{2}}{\\gamma} u=0. \\end{gathered} $$ Ответ: \n                    \n \\[A_{1}(u, x)=x^{2} u^{\\gamma-2} ,\\qquad  A_{2}(x)=\\frac{4 \\pi x^{2}}{\\gamma} \\]\nB5 0.60 При $\\gamma=2$ это уравнение можно решить точно, если ввести $u(x)=f(x)/x$. Найдите $f(x)$. При $\\gamma=2$ уравнение заметно упрощается:$$\\frac{d}{d x}\\left[x^{2} \\frac{d u}{d x}\\right]=-2 \\pi x^{2} u(x) \\implies f^{\\prime \\prime}(x)=-2 \\pi f(x) $$С учётом граничных условий ($f(x)\\approx x$ при $x\\to 0$, так как $u(x\\to0)\\to 1$): Ответ: \n                    \n \\[ f(x)=\\frac{\\sin (\\sqrt{2 \\pi} x)}{\\sqrt{2 \\pi}}\\]\nB6 0.80 Рассматривая график в окрестности точки $x=0$, вычислите $\\gamma$ с точностью до 3 значащих цифр. Для снятия данных с графика вы можете использовать выданную линейку. Рассмотрим общее уравнение в окрестности нуля:$$ \\begin{gathered} \\frac{d^{2} u}{d x^{2}}+\\frac{(\\gamma-2)}{u}\\left(\\frac{d u}{d x}\\right)^{2}+\\frac{2}{x}\\left(\\frac{d u}{d x}\\right)+\\frac{4 \\pi}{\\gamma} u^{3-\\gamma}=0 \\\\ u^{\\prime}(0)=0, \\quad \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{u^{\\prime}(x)}{x}=u^{\\prime \\prime}(0) \\\\ u^{\\prime \\prime}(0)+2 u^{\\prime \\prime}(0)+\\frac{4 \\pi}{\\gamma}=0 \\quad \\rightarrow \\quad \\gamma=-\\frac{4 \\pi}{3 u^{\\prime \\prime}(0)} \\implies\\end{gathered} $$ Ответ: \n                    \n \\[\\gamma \\in[1.64,1.70]\\]\nB7 0.90 Выразите $\\tilde \\rho$ и $\\tilde g$ через $\\rho$ и $g$ с точностью до первого порядка по $\\varepsilon$. Для нахождения плотности запишем:$$ \\begin{gathered} M(r)=\\int_{0}^{\\tilde{r}(r, t)} 4 \\pi r^{\\prime 2} \\tilde{\\rho}\\left(r^{\\prime}, t\\right) d r^{\\prime}=\\int_{0}^{r} 4 \\pi r^{\\prime 2} \\rho\\left(r^{\\prime}\\right) d r^{\\prime} \\implies\\\\ 4 \\pi r^{2} \\rho(r)=4 \\pi \\tilde{r}^{2} \\tilde{\\rho}(\\tilde{r}, t) \\frac{\\partial \\tilde{r}}{\\partial r} \\implies \\frac{\\tilde{\\rho}}{\\rho}=\\frac{r^{2}}{\\tilde{r}^{2}}\\left(\\frac{\\partial \\tilde{r}}{\\partial r}\\right)^{-1}=(1+\\epsilon)^{-3} \\cong 1-3 \\epsilon\\implies \\end{gathered} $$ Ответ: \n                    \n \\[\\tilde{\\rho} =\\rho(1-3 \\epsilon)\\] Для ускорения свободного падения:\\[\\frac{\\tilde{g}}{g}=\\dfrac{\\dfrac{G M}{\\tilde{r}^{2}}}{\\dfrac{G M}{r^{2}}}=\\dfrac{\\dfrac{1}{\\tilde{r}^{2}}}{\\dfrac{1}{r^{2}}}=(1+\\epsilon)^{-2} \\cong 1-2 \\epsilon\\implies\\] Ответ: \n                    \n \\[\\tilde{g} = g(1-2 \\epsilon)\\]\nB8 0.60 Используя второй закон Ньютона для элемента вещества на равновесном расстоянии $r$, выразите $\\mathrm d^2\\tilde r/\\mathrm dt^2$ через $\\tilde g$, $\\tilde \\rho$, $K$, $\\gamma$ и $\\partial\\tilde\\rho/\\partial\\tilde r$. (Под $\\partial\\tilde\\rho/\\partial\\tilde r$ подразумевается производную $\\tilde\\rho$ по $\\tilde r$ при постоянном $t$.) Из второго закона Ньютона:$$ \\frac{\\partial \\tilde{p}}{\\partial \\tilde{r}}=\\tilde{\\rho}(\\tilde{g}-\\ddot{\\tilde{r}}). $$Используя уравнение состояния вещества звезды$$ \\tilde{p}=K \\tilde{\\rho}^{\\gamma}, $$получим:$$ \\ddot{\\tilde{r}}=\\tilde{g}-\\dfrac{\\left(\\dfrac{\\partial \\tilde{p}}{\\partial \\tilde{r}}\\right)}{\\tilde{\\rho}}=\\tilde{g}-K \\gamma \\tilde{\\rho}^{\\gamma-2} \\frac{\\partial \\tilde{\\rho}}{\\partial \\tilde{r}} $$ Ответ: \n                    \n \\[\\frac{d^{2} \\tilde{r}}{d t^{2}}=\\tilde{g}-K \\gamma \\tilde{\\rho}^{\\gamma-2} \\frac{\\partial \\tilde{\\rho}}{\\partial \\tilde{r}}\\]\nB9 0.60 Получите выражение для $\\mathrm d^2\\varepsilon/\\mathrm dt^2$. Выразите ответ через $\\varepsilon$ и константы, данные в условии задачи. Найдите минимальное значение $\\gamma$, при котором равновесие звезды будет устойчиво, а также получите выражение для угловой частоты колебаний звезды. Объединяя результаты пунктов B7 и B8 , получаем:$$ \\begin{gathered} \\frac{d^{2} \\tilde{r}}{d t^{2}}=\\ddot{\\tilde{r}}=\\tilde{g}-K \\gamma \\tilde{\\rho}^{\\gamma-2} \\frac{\\partial \\tilde{\\rho}}{\\partial \\tilde{r}}=g(1-2 \\epsilon)-K \\gamma \\rho^{\\gamma-2} \\frac{\\partial \\rho}{\\partial r}\\left(\\frac{(1-3 \\epsilon)^{\\gamma-1}}{(1+\\epsilon)}\\right) =\\\\ =g(1-2 \\epsilon)-K \\gamma \\rho^{\\gamma-2} \\frac{\\partial \\rho}{\\partial r}(1-3(\\gamma-1) \\epsilon-\\epsilon) \\end{gathered} $$Условие равновесия вещества на расстоянии $r$ от центра звезды:$$ g-K \\gamma \\rho^{\\gamma-2} \\frac{\\partial \\rho}{\\partial r}=0 \\implies K \\gamma \\rho^{\\gamma-2} \\frac{\\partial \\rho}{\\partial r}=g .$$ Отсюда: $$ \\ddot{\\tilde{r}}=r \\ddot{\\epsilon}=g(1-2 \\epsilon)-g(1-3(\\gamma-1) \\epsilon-\\epsilon)=g(3 \\gamma-4) \\epsilon \\implies\\\\  \\ddot{\\epsilon}=\\frac{g}{r}(3 \\gamma-4) \\epsilon \\implies $$ Ответ: \n                    \n \\[\\ddot{\\epsilon}=-\\frac{4 \\pi G \\rho_{\\mathrm{c}}}{3}(3 \\gamma-4) \\epsilon \\] Условие устойчивости звезды: $$ 3 \\gamma-4>0 \\implies  $$ Ответ: \n                    \n \\[\\gamma>\\frac{4}{3}\\] Наконец, угловая скорость колебаний звезды: Ответ: \n                    \n $$ \\omega=\\sqrt{\\frac{4 \\pi G \\rho_{\\mathrm{c}}}{3}(3 \\gamma-4)} $$","figures":["/corpus/figures/e32372c654009d0886e1.webp"],"shared":false}},{"id":"ipho-2023-t1","importedOn":"2026-10-28","language":"ru","sources":[{"url":"https://pho.rs/p/3709","kind":"statement"},{"url":"https://pho.rs/p/3709/s","kind":"solution"}],"statement":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"text","text":"\n                        \n                        \n Наука о коллоидных системах полезна для определения свойств частиц почвы, так как основная ее часть может быть рассмотрена как коллоидные частицы микрометрового размера. Например, броуновское движение (случайное движение коллоидных частиц) может быть использовано для измерения размера частицы.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть A. Движение коллоидных частиц (1.6 балла)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Рассмотрим одномерное броуновское движение коллоидной частицы массой $M$. Уравнение движения для скорости частицы $v(t)$ выглядит следующим образом:\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n \\[M\\dot{v} =-\\gamma v( t) +F( t) + F_\\text{ext}(t),\\tag{1}\\]\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n где $\\gamma$ — коэффициент, характеризующий сопротивление, $F(t)$ – сила, возникающая из-за случайных столкновений с молекулами воды, $F_\\text{ext}(t)$ — внешняя сила. В Части A мы считаем, что $F_\\text{ext}(t) = 0$.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.80"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Рассмотрим ситуацию, когда молекула воды сталкивается с частицей в момент времени $t=t_0$ и передаёт импульс $I_0$. После столкновения $F(t) = 0$. Если скорость до столкновения $v(t) = 0$, то после столкновения $v(t) = v_0 e^{-( t-t_{0})/\\tau}$ для времён $t > t_0$. Найдите $v_0$ и $\\tau$, используя $I_0$ и необходимые параметры из выражения (1).\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n В следующем пункте вы можете выражать ответы через $\\tau$.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.80"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n На самом деле происходит множество столкновений молекул воды с частицей, одно за другим. Столкновение с номером $i$ передаёт импульс $I_i$ и происходит в момент времени $t_i$. Найдите $v(t)$ при условии, что $v(0) = 0$. Явно укажите неравенство для $t_i$, которое должно быть выполнено для заданного $t$. В листе ответов не обязательно указывать данный диапазон в выражении для $v(t)$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть B. Эффективное уравнение движения (1.8 балла)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Предыдущие результаты показывают, что скорости частицы $v(t)$ и $v(t')$ могут рассматриваться как некоррелированные случайные величины при условии $|t-t'|\\gg \\tau$. Исходя из этого, для описания одномерного броуновского движения можно предложить модель случайных изменений скорости в каждый временной интервал $\\delta~(\\gg \\tau)$, то есть,"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\[v( t) =v_{n} \\quad ( t_{n-1} < t\\leq t_{n}),\\tag{2}\\]где $t_n =n\\delta~( n=0,1,2,\\cdots)$ и $v_n$ — случайная величина. Эта случайная величина удовлетворяет условию"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\[\\langle v_{n} \\rangle = 0, \\quad \\langle v_{n} v_{m} \\rangle =\\begin{cases} C & ( n=m), \\\\ 0 & ( n\\neq m), \\end{cases}\\tag{3}\\]где параметр $C$ зависит от $\\delta$. Здесь $\\langle X \\rangle$ обозначает среднее значение величины $X$. Другими словами, если выбрать случайную величину $X$ бесконечное количество раз, то среднее значение этой выборки будет $\\langle X \\rangle$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Рассмотрим смещение частицы $\\Delta x(t) = x(t) - x(0)$ для $t = N\\delta$ где $N$ некоторое целое число.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Найдите $\\langle\\Delta x(t)\\rangle$ и $\\langle\\Delta x(t)^2\\rangle$, результат выразите через $C$, $\\delta$, и $t$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.80"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Величина $\\langle\\Delta x(t)^2\\rangle$ называется среднеквадратичное смещение (mean square displacement, MSD). Эта величина наблюдается в случае броуновского движения и в предельном случае $\\delta\\rightarrow0$. Можно показать, что $C\\propto\\delta^{\\alpha}$ и $\\langle\\Delta x(t)^2\\rangle \\propto t^\\beta$. Найдите численные значения $\\alpha$ и $\\beta$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть C. Электрофорез (2.7 балла)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Электрофорез — перенос заряженных частиц в электрическом поле. Взвесь коллоидных частиц массой $M$ и зарядом $Q~(>0)$ помещается в узкий канал с поперечным сечением $A$ (рис. 1(a)). Мы пренебрегаем взаимодействием между частицами, влиянием стенок, жидкости, и ионов в ней, и гравитацией.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/e94f1f0a2a104f62d13c.webp","alt":"ipho-2023-t1 statement: original source diagram 1"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 1: Иллюстрации для части C."}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Если приложить однородное электрическое поле напряженностью $E$ в направлении оси $x$, частицы сдвигаются и их концентрация $n(x)$ (количество частиц на единицу объёма) становится неоднородной (рис. 1(b)). Если затем электрическое поле $E$ убрать, то неоднородность со временем пропадает. Это происходит из-за броуновского движения частиц. Если $n(x)$ неоднородна, то количество частиц переходящих слева направо и справа налево отличается (рис. 1(c)). Это приводит к наличию потока частиц $J_D(x)$. Последняя величина есть среднее количество частиц, которые имеют координату $x$ и движутся вдоль оси $x$, деленное на площадь поперечного сечения и интервал времени. Поток удовлетворяет соотношению"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\[J_{D}( x) = -D\\frac{dn}{dx}(x),\\tag{4}\\]где $D$ — коэффициент диффузии.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Для простоты предположим, что одна половина частиц имеет скорость $+v$, а вторая половина имеет скорость $-v$. Пусть $N_+(x_0)$ количество частиц имеющих скорость $+v$, которые пересекают плоскость $x_0$ слева направо через единичную площадь в единицу времени. Частицы со скоростями $+v$, которые пересекут плоскость \\(x_0 \\) за временной интервал $\\delta$, находятся в тёмной области (рис. 1(c)). Так как величина  $\\delta$ мала, получаем что "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$n(x) \\simeq n(x_0) + (x-x_0) \\frac{dn}{dx}(x_0)$$в этой области.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Найдите $N_+(x_0)$, выразите через $v,\\:\\delta,\\:n(x_0)$, и $\\frac{dn}{dx}(x_0)$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Определим $N_-(x_0)$ по аналогии с $N_+(x_0)$ для скоростей $-v$. Выражение для полного потока $J_D(x_0) = \\langle N_+(x_0) - N_-(x_0) \\rangle$. Согласно выражению (3), $\\langle v^2 \\rangle = C.$\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.70"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Найдите $J_D(x_0)$, при необходимости выразите через $C,\\:\\delta,\\:n(x_0)$, и $\\frac{dn}{dx}(x_0)$. Используя это и выражение (4), выразите $D$ через $C$ и $\\delta$. Также найдите $\\langle\\Delta x(t)^2\\rangle$ через $D$ и $t$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Далее рассмотрим явления, связанные с осмотическим давлением $\\Pi$. Оно находится по формуле $\\Pi =\\frac{n}{N_{A}} RT=nk T$, где $N_A$ — постоянная Авогадро, $R$ — универсальная газовая постоянная, $T$ — температура, $k = \\frac{R}{N_A}$ — постоянная Больцмана. Рассмотрим неоднородную концентрацию, которая образовалась под действием электрического поля $E$ (рис. 1(b)). Так как $n(x)$ зависит от $x$, то и $\\Pi(x)$ тоже. Сила из-за $\\Pi(x)$ и $\\Pi(x+\\Delta x)$ должна быть уравновешена силой электрического поля $E$, действующей на частицы (рис. 2). Здесь мы рассматриваем малый интервал $\\Delta x$, поэтому внутри этого интервала можно считать $n(x)$ постоянным, тогда как $n(x+\\Delta x) - n(x) \\simeq \\Delta x \\frac{dn}{dx}(x)$.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/2af9565adb130d468f7d.webp","alt":"ipho-2023-t1 statement: original source diagram 2"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 2: Равенство сил."}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Выразите $\\frac{dn}{dx}(x)$ через $n(x)$, $T$, $Q$, $E$, и $k$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Теперь рассмотрим условие баланса потоков. Кроме потока $J_D(x)$ из-за броуновского движения, присутствует поток $J_Q(x)$ из-за наличия электрического поля. Он выражается как"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\[ J_Q(x) = n(x) u,\\tag{5} \\]где $u$ — установившаяся скорость частиц, движущихся под действием поля.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C4\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Для определения $u$, будем использовать выражение (1), в котором $F_\\text{ext}(t) = QE$. Так как $v(t)$ флуктуирует, будем рассматривать $\\langle v(t)\\rangle$. Считая что $\\langle v(0)\\rangle=0$ и используя $\\langle F(t)\\rangle =0$, найдите $\\langle v(t)\\rangle$ и получите $u = \\lim_{t\\to\\infty} \\langle v(t) \\rangle$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C5\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Условие баланса потоков записывается как \\(J_D(x) + J_Q(x) = 0\\). Выразите коэффициент диффузии \\(D\\) через \\(k\\), \\(\\gamma\\), и \\(T\\).\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть D. Среднеквадратичное смещение (2.4 балла)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Предположим, что мы наблюдаем в воде броуновское движение отдельной сферической коллоидной частицы радиусом $a=5.0~мкм$. Рисунок 3 показывается гистограмму смещений $\\Delta x$, измеренных вдоль оси $x$ каждые $\\Delta t=60~с$. Коэффициент, характеризующий сопротивления вычисляется как $\\gamma =6\\pi a\\eta$, где $\\eta=8.9\\times10^{-4}\\:\\text{Па}\\cdot \\text{с}$ — вязкость воды. Температура $T=25~\\mathrm{^\\circ C}$.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/675430f4a6692f71aafd.webp","alt":"ipho-2023-t1 statement: original source diagram 3"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 3: Гистограмма для смещений."}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"figure","children":[{"type":"element","tag":"table","children":[{"type":"element","tag":"tbody","children":[{"type":"element","tag":"tr","children":[{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$\\Delta x, ~мкм$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$-10$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$-9$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$-8$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$-7$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$-6$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$-5$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$-4$"}]}]},{"type":"element","tag":"tr","children":[{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$N_\\mathrm{count}$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$0$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$0$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$0$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$2$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$4$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$11$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$15$"}]}]},{"type":"element","tag":"tr","children":[{"type":"element","tag":"td","children":[]},{"type":"element","tag":"td","children":[]},{"type":"element","tag":"td","children":[]},{"type":"element","tag":"td","children":[]},{"type":"element","tag":"td","children":[]},{"type":"element","tag":"td","children":[]},{"type":"element","tag":"td","children":[]},{"type":"element","tag":"td","children":[]}]},{"type":"element","tag":"tr","children":[{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$\\Delta x, ~мкм$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$-10$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$-9$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$-8$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$-7$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$-6$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$-5$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$-4$"}]}]},{"type":"element","tag":"tr","children":[{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$N_\\mathrm{count}$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$0$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$0$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$0$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$2$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$4$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$11$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$15$"}]}]},{"type":"element","tag":"tr","children":[{"type":"element","tag":"td","children":[]},{"type":"element","tag":"td","children":[]},{"type":"element","tag":"td","children":[]},{"type":"element","tag":"td","children":[]},{"type":"element","tag":"td","children":[]},{"type":"element","tag":"td","children":[]},{"type":"element","tag":"td","children":[]},{"type":"element","tag":"td","children":[]}]},{"type":"element","tag":"tr","children":[{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$\\Delta x, ~мкм$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$-10$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$-9$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$-8$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$-7$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$-6$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$-5$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$-4$"}]}]},{"type":"element","tag":"tr","children":[{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$N_\\mathrm{count}$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$0$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$0$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$0$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$2$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$4$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$11$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$15$"}]}]}]}]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            D1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Оцените значение $N_A$ с точностью до двух значащих цифр, не используя тот факт, что это постоянная Авогадро. Используйте данные рис. 3. Универсальная газовая постоянная $R=8.31~Дж/(К\\cdot моль)$. Не используйте значение постоянной Больцмана $k$ из таблицы констант. Имейте ввиду, что вы можете получить значение постоянной Авогадро, отличное от табличного.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Теперь мы расширим модель из части B так, чтобы она описывала движение частиц с зарядом $Q$ в электрическом поле $E$. Скорость частицы $v(t)$, рассматриваемая в выражении (2), должна быть заменена на $v(t) = u + v_n ~(t_{n-1} < t \\leq t_n)$, где $v_n$ удовлетворяет выражению (3) и $u$ есть установившееся скорость из выражения (5).\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            D2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.80"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Выразите среднеквадратичное смещение $\\langle\\Delta x(t)^2\\rangle$ через $u$, $D$, и $t$. Получите приближенные степенные выражения для маленьких $t$ и больших $t$. Кроме того, получите характерное время $t_{*}$, при котором происходит изменение. Нарисуйте качественный график зависимости среднеквадратичного смещения от времени в логарифмических координатах. Укажите на нём положение $t_{*}$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Рассмотрим теперь плавающего микроба (Рис. 4(a)). Для упрощения будем использовать одномерное движение (Fig.4(b)). Считаем, что это сферические частицы радиуса $a$. Микроб плавает со скоростью либо $+u_0$, либо $-u_0$, знак выбирается случайно, через интервал времени $\\delta_0$, корреляция отсутствует. Наблюдаемое движение есть комбинация смещения из-за активного перемещения микроба и смещения из-за броуновского движения.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/9bb62f8e06a0f815b8e9.webp","alt":"ipho-2023-t1 statement: original source diagram 4"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 4: (a) Движение микроба. (b)  Одномерное движение микроба."}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/ab4d647dba4ff816b2ee.webp","alt":"ipho-2023-t1 statement: original source diagram 5"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 5: Среднеквадратичное смещение  микроба."}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            D3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Рисунок 5 показывает среднеквадратичное смещение \\(\\langle\\Delta x(t)^2\\rangle\\) микроба. Для маленьких, больших и промежуточных \\(t\\) выполняются разные степенные законы. Получите эти выражения для каждого временного диапазона. Выразите выражения через \\(D, u_0, \\delta_0\\) и \\(t\\).\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть E. Очистка воды (1.5 балла)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n В этой части обсуждается очистка воды от коллоидных частиц почвы при помощи добавления электролитов с целью коагуляции (слипания). Частицы почвы взаимодействуют друг с другом Ван-дер-Ваальсовыми и электростатическими силами. Последние включают в себя как поверхностные заряды, так и окружающие их заряды противоположного знака (такие заряды называются противоионы, а получившийся слой зарядов – двойной электрический слой; рис. 6(a)). В результате, потенциальная энергия взаимодействия между частицами на расстоянии $d$ (рис. 6(b)) равна\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n \\[ U(d) = -\\frac{A}{d} + \\frac{B\\epsilon ( k T)^2}{q^2} e^{-d / \\lambda},\\tag{6} \\]\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tгде $A$ и $B$ — положительные константы, $\\epsilon$ — диэлектрическая проницаемость воды, $\\lambda$ — толщина двойного электрического слоя. Считая, что заряды ионов $\\pm q$, верно выражение\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n \\[ \\lambda =\\sqrt{\\frac{\\epsilon k T }{2N_{A}q^{2} c}},\\tag{7}\\]где $c$ — молярная концентрация ионов.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/7bee5a3049088500dfd8.webp","alt":"ipho-2023-t1 statement: original source diagram 6"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 6: (a) Поверхностный заряд коллоидной частицы и противоионы. (b) Определение расстояния $d$."}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            E1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Добавление хлорида натрия ($\\mathrm{NaCl}$) в суспензию приводит к коагуляции коллоидных частиц. Определите минимальную концентрацию $c$ хлорида натрия, необходимую для коагуляции. Достаточно рассмотреть две частицы в отсутствие тепловых флуктуаций, то есть $F(t)=0$ в выражении (1). Считайте, что для данного потенциала конечная скорость достигается мгновенно.\n\n                \n                "}]}]}]}]}],"text":"Наука о коллоидных системах полезна для определения свойств частиц почвы, так как основная ее часть может быть рассмотрена как коллоидные частицы микрометрового размера. Например, броуновское движение (случайное движение коллоидных частиц) может быть использовано для измерения размера частицы. Часть A. Движение коллоидных частиц (1.6 балла) Рассмотрим одномерное броуновское движение коллоидной частицы массой $M$. Уравнение движения для скорости частицы $v(t)$ выглядит следующим образом: \\[M\\dot{v} =-\\gamma v( t) +F( t) + F_\\text{ext}(t),\\tag{1}\\] где $\\gamma$ — коэффициент, характеризующий сопротивление, $F(t)$ – сила, возникающая из-за случайных столкновений с молекулами воды, $F_\\text{ext}(t)$ — внешняя сила. В Части A мы считаем, что $F_\\text{ext}(t) = 0$. A1 0.80 Рассмотрим ситуацию, когда молекула воды сталкивается с частицей в момент времени $t=t_0$ и передаёт импульс $I_0$. После столкновения $F(t) = 0$. Если скорость до столкновения $v(t) = 0$, то после столкновения $v(t) = v_0 e^{-( t-t_{0})/\\tau}$ для времён $t > t_0$. Найдите $v_0$ и $\\tau$, используя $I_0$ и необходимые параметры из выражения (1). В следующем пункте вы можете выражать ответы через $\\tau$. A2 0.80 На самом деле происходит множество столкновений молекул воды с частицей, одно за другим. Столкновение с номером $i$ передаёт импульс $I_i$ и происходит в момент времени $t_i$. Найдите $v(t)$ при условии, что $v(0) = 0$. Явно укажите неравенство для $t_i$, которое должно быть выполнено для заданного $t$. В листе ответов не обязательно указывать данный диапазон в выражении для $v(t)$. Часть B. Эффективное уравнение движения (1.8 балла) Предыдущие результаты показывают, что скорости частицы $v(t)$ и $v(t')$ могут рассматриваться как некоррелированные случайные величины при условии $|t-t'|\\gg \\tau$. Исходя из этого, для описания одномерного броуновского движения можно предложить модель случайных изменений скорости в каждый временной интервал $\\delta~(\\gg \\tau)$, то есть, \\[v( t) =v_{n} \\quad ( t_{n-1} < t\\leq t_{n}),\\tag{2}\\]где $t_n =n\\delta~( n=0,1,2,\\cdots)$ и $v_n$ — случайная величина. Эта случайная величина удовлетворяет условию \\[\\langle v_{n} \\rangle = 0, \\quad \\langle v_{n} v_{m} \\rangle =\\begin{cases} C & ( n=m), \\\\ 0 & ( n\\neq m), \\end{cases}\\tag{3}\\]где параметр $C$ зависит от $\\delta$. Здесь $\\langle X \\rangle$ обозначает среднее значение величины $X$. Другими словами, если выбрать случайную величину $X$ бесконечное количество раз, то среднее значение этой выборки будет $\\langle X \\rangle$. Рассмотрим смещение частицы $\\Delta x(t) = x(t) - x(0)$ для $t = N\\delta$ где $N$ некоторое целое число. B1 1.00 Найдите $\\langle\\Delta x(t)\\rangle$ и $\\langle\\Delta x(t)^2\\rangle$, результат выразите через $C$, $\\delta$, и $t$. B2 0.80 Величина $\\langle\\Delta x(t)^2\\rangle$ называется среднеквадратичное смещение (mean square displacement, MSD). Эта величина наблюдается в случае броуновского движения и в предельном случае $\\delta\\rightarrow0$. Можно показать, что $C\\propto\\delta^{\\alpha}$ и $\\langle\\Delta x(t)^2\\rangle \\propto t^\\beta$. Найдите численные значения $\\alpha$ и $\\beta$. Часть C. Электрофорез (2.7 балла) Электрофорез — перенос заряженных частиц в электрическом поле. Взвесь коллоидных частиц массой $M$ и зарядом $Q~(>0)$ помещается в узкий канал с поперечным сечением $A$ (рис. 1(a)). Мы пренебрегаем взаимодействием между частицами, влиянием стенок, жидкости, и ионов в ней, и гравитацией. Рис. 1: Иллюстрации для части C. Если приложить однородное электрическое поле напряженностью $E$ в направлении оси $x$, частицы сдвигаются и их концентрация $n(x)$ (количество частиц на единицу объёма) становится неоднородной (рис. 1(b)). Если затем электрическое поле $E$ убрать, то неоднородность со временем пропадает. Это происходит из-за броуновского движения частиц. Если $n(x)$ неоднородна, то количество частиц переходящих слева направо и справа налево отличается (рис. 1(c)). Это приводит к наличию потока частиц $J_D(x)$. Последняя величина есть среднее количество частиц, которые имеют координату $x$ и движутся вдоль оси $x$, деленное на площадь поперечного сечения и интервал времени. Поток удовлетворяет соотношению \\[J_{D}( x) = -D\\frac{dn}{dx}(x),\\tag{4}\\]где $D$ — коэффициент диффузии. Для простоты предположим, что одна половина частиц имеет скорость $+v$, а вторая половина имеет скорость $-v$. Пусть $N_+(x_0)$ количество частиц имеющих скорость $+v$, которые пересекают плоскость $x_0$ слева направо через единичную площадь в единицу времени. Частицы со скоростями $+v$, которые пересекут плоскость \\(x_0 \\) за временной интервал $\\delta$, находятся в тёмной области (рис. 1(c)). Так как величина  $\\delta$ мала, получаем что $$n(x) \\simeq n(x_0) + (x-x_0) \\frac{dn}{dx}(x_0)$$в этой области. C1 0.50 Найдите $N_+(x_0)$, выразите через $v,\\:\\delta,\\:n(x_0)$, и $\\frac{dn}{dx}(x_0)$. Определим $N_-(x_0)$ по аналогии с $N_+(x_0)$ для скоростей $-v$. Выражение для полного потока $J_D(x_0) = \\langle N_+(x_0) - N_-(x_0) \\rangle$. Согласно выражению (3), $\\langle v^2 \\rangle = C.$ C2 0.70 Найдите $J_D(x_0)$, при необходимости выразите через $C,\\:\\delta,\\:n(x_0)$, и $\\frac{dn}{dx}(x_0)$. Используя это и выражение (4), выразите $D$ через $C$ и $\\delta$. Также найдите $\\langle\\Delta x(t)^2\\rangle$ через $D$ и $t$. Далее рассмотрим явления, связанные с осмотическим давлением $\\Pi$. Оно находится по формуле $\\Pi =\\frac{n}{N_{A}} RT=nk T$, где $N_A$ — постоянная Авогадро, $R$ — универсальная газовая постоянная, $T$ — температура, $k = \\frac{R}{N_A}$ — постоянная Больцмана. Рассмотрим неоднородную концентрацию, которая образовалась под действием электрического поля $E$ (рис. 1(b)). Так как $n(x)$ зависит от $x$, то и $\\Pi(x)$ тоже. Сила из-за $\\Pi(x)$ и $\\Pi(x+\\Delta x)$ должна быть уравновешена силой электрического поля $E$, действующей на частицы (рис. 2). Здесь мы рассматриваем малый интервал $\\Delta x$, поэтому внутри этого интервала можно считать $n(x)$ постоянным, тогда как $n(x+\\Delta x) - n(x) \\simeq \\Delta x \\frac{dn}{dx}(x)$. Рис. 2: Равенство сил. C3 0.50 Выразите $\\frac{dn}{dx}(x)$ через $n(x)$, $T$, $Q$, $E$, и $k$. Теперь рассмотрим условие баланса потоков. Кроме потока $J_D(x)$ из-за броуновского движения, присутствует поток $J_Q(x)$ из-за наличия электрического поля. Он выражается как \\[ J_Q(x) = n(x) u,\\tag{5} \\]где $u$ — установившаяся скорость частиц, движущихся под действием поля. C4 0.50 Для определения $u$, будем использовать выражение (1), в котором $F_\\text{ext}(t) = QE$. Так как $v(t)$ флуктуирует, будем рассматривать $\\langle v(t)\\rangle$. Считая что $\\langle v(0)\\rangle=0$ и используя $\\langle F(t)\\rangle =0$, найдите $\\langle v(t)\\rangle$ и получите $u = \\lim_{t\\to\\infty} \\langle v(t) \\rangle$. C5 0.50 Условие баланса потоков записывается как \\(J_D(x) + J_Q(x) = 0\\). Выразите коэффициент диффузии \\(D\\) через \\(k\\), \\(\\gamma\\), и \\(T\\). Часть D. Среднеквадратичное смещение (2.4 балла) Предположим, что мы наблюдаем в воде броуновское движение отдельной сферической коллоидной частицы радиусом $a=5.0~мкм$. Рисунок 3 показывается гистограмму смещений $\\Delta x$, измеренных вдоль оси $x$ каждые $\\Delta t=60~с$. Коэффициент, характеризующий сопротивления вычисляется как $\\gamma =6\\pi a\\eta$, где $\\eta=8.9\\times10^{-4}\\:\\text{Па}\\cdot \\text{с}$ — вязкость воды. Температура $T=25~\\mathrm{^\\circ C}$. Рис. 3: Гистограмма для смещений. $\\Delta x, ~мкм$ $-10$ $-9$ $-8$ $-7$ $-6$ $-5$ $-4$ $N_\\mathrm{count}$ $0$ $0$ $0$ $2$ $4$ $11$ $15$ $\\Delta x, ~мкм$ $-10$ $-9$ $-8$ $-7$ $-6$ $-5$ $-4$ $N_\\mathrm{count}$ $0$ $0$ $0$ $2$ $4$ $11$ $15$ $\\Delta x, ~мкм$ $-10$ $-9$ $-8$ $-7$ $-6$ $-5$ $-4$ $N_\\mathrm{count}$ $0$ $0$ $0$ $2$ $4$ $11$ $15$ D1 1.00 Оцените значение $N_A$ с точностью до двух значащих цифр, не используя тот факт, что это постоянная Авогадро. Используйте данные рис. 3. Универсальная газовая постоянная $R=8.31~Дж/(К\\cdot моль)$. Не используйте значение постоянной Больцмана $k$ из таблицы констант. Имейте ввиду, что вы можете получить значение постоянной Авогадро, отличное от табличного. Теперь мы расширим модель из части B так, чтобы она описывала движение частиц с зарядом $Q$ в электрическом поле $E$. Скорость частицы $v(t)$, рассматриваемая в выражении (2), должна быть заменена на $v(t) = u + v_n ~(t_{n-1} < t \\leq t_n)$, где $v_n$ удовлетворяет выражению (3) и $u$ есть установившееся скорость из выражения (5). D2 0.80 Выразите среднеквадратичное смещение $\\langle\\Delta x(t)^2\\rangle$ через $u$, $D$, и $t$. Получите приближенные степенные выражения для маленьких $t$ и больших $t$. Кроме того, получите характерное время $t_{*}$, при котором происходит изменение. Нарисуйте качественный график зависимости среднеквадратичного смещения от времени в логарифмических координатах. Укажите на нём положение $t_{*}$. Рассмотрим теперь плавающего микроба (Рис. 4(a)). Для упрощения будем использовать одномерное движение (Fig.4(b)). Считаем, что это сферические частицы радиуса $a$. Микроб плавает со скоростью либо $+u_0$, либо $-u_0$, знак выбирается случайно, через интервал времени $\\delta_0$, корреляция отсутствует. Наблюдаемое движение есть комбинация смещения из-за активного перемещения микроба и смещения из-за броуновского движения. Рис. 4: (a) Движение микроба. (b)  Одномерное движение микроба. Рис. 5: Среднеквадратичное смещение  микроба. D3 0.60 Рисунок 5 показывает среднеквадратичное смещение \\(\\langle\\Delta x(t)^2\\rangle\\) микроба. Для маленьких, больших и промежуточных \\(t\\) выполняются разные степенные законы. Получите эти выражения для каждого временного диапазона. Выразите выражения через \\(D, u_0, \\delta_0\\) и \\(t\\). Часть E. Очистка воды (1.5 балла) В этой части обсуждается очистка воды от коллоидных частиц почвы при помощи добавления электролитов с целью коагуляции (слипания). Частицы почвы взаимодействуют друг с другом Ван-дер-Ваальсовыми и электростатическими силами. Последние включают в себя как поверхностные заряды, так и окружающие их заряды противоположного знака (такие заряды называются противоионы, а получившийся слой зарядов – двойной электрический слой; рис. 6(a)). В результате, потенциальная энергия взаимодействия между частицами на расстоянии $d$ (рис. 6(b)) равна \\[ U(d) = -\\frac{A}{d} + \\frac{B\\epsilon ( k T)^2}{q^2} e^{-d / \\lambda},\\tag{6} \\] где $A$ и $B$ — положительные константы, $\\epsilon$ — диэлектрическая проницаемость воды, $\\lambda$ — толщина двойного электрического слоя. Считая, что заряды ионов $\\pm q$, верно выражение \\[ \\lambda =\\sqrt{\\frac{\\epsilon k T }{2N_{A}q^{2} c}},\\tag{7}\\]где $c$ — молярная концентрация ионов. Рис. 6: (a) Поверхностный заряд коллоидной частицы и противоионы. (b) Определение расстояния $d$. E1 1.50 Добавление хлорида натрия ($\\mathrm{NaCl}$) в суспензию приводит к коагуляции коллоидных частиц. Определите минимальную концентрацию $c$ хлорида натрия, необходимую для коагуляции. Достаточно рассмотреть две частицы в отсутствие тепловых флуктуаций, то есть $F(t)=0$ в выражении (1). Считайте, что для данного потенциала конечная скорость достигается мгновенно.\n","figures":["/corpus/figures/e94f1f0a2a104f62d13c.webp","/corpus/figures/2af9565adb130d468f7d.webp","/corpus/figures/675430f4a6692f71aafd.webp","/corpus/figures/9bb62f8e06a0f815b8e9.webp","/corpus/figures/ab4d647dba4ff816b2ee.webp","/corpus/figures/7bee5a3049088500dfd8.webp"],"shared":false},"solution":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.80"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Рассмотрим ситуацию, когда молекула воды сталкивается с частицей в момент времени $t=t_0$ и передаёт импульс $I_0$. После столкновения $F(t) = 0$. Если скорость до столкновения $v(t) = 0$, то после столкновения $v(t) = v_0 e^{-( t-t_{0})/\\tau}$ для времён $t > t_0$. Найдите $v_0$ и $\\tau$, используя $I_0$ и необходимые параметры из выражения (1).\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n За счет начального импульса $I_0$ частица приобретает скорость $v_0 = I_0/M$, далее движение описывается уравнением "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"M\\dot{v} = - \\gamma v,"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$откуда "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"v = v_0 = "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                "}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.80"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n На самом деле происходит множество столкновений молекул воды с частицей, одно за другим. Столкновение с номером $i$ передаёт импульс $I_i$ и происходит в момент времени $t_i$. Найдите $v(t)$ при условии, что $v(0) = 0$. Явно укажите неравенство для $t_i$, которое должно быть выполнено для заданного $t$. В листе ответов не обязательно указывать данный диапазон в выражении для $v(t)$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Найдите $\\langle\\Delta x(t)\\rangle$ и $\\langle\\Delta x(t)^2\\rangle$, результат выразите через $C$, $\\delta$, и $t$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.80"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Величина $\\langle\\Delta x(t)^2\\rangle$ называется среднеквадратичное смещение (mean square displacement, MSD). Эта величина наблюдается в случае броуновского движения и в предельном случае $\\delta\\rightarrow0$. Можно показать, что $C\\propto\\delta^{\\alpha}$ и $\\langle\\Delta x(t)^2\\rangle \\propto t^\\beta$. Найдите численные значения $\\alpha$ и $\\beta$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Найдите $N_+(x_0)$, выразите через $v,\\:\\delta,\\:n(x_0)$, и $\\frac{dn}{dx}(x_0)$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.70"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Найдите $J_D(x_0)$, при необходимости выразите через $C,\\:\\delta,\\:n(x_0)$, и $\\frac{dn}{dx}(x_0)$. Используя это и выражение (4), выразите $D$ через $C$ и $\\delta$. Также найдите $\\langle\\Delta x(t)^2\\rangle$ через $D$ и $t$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Выразите $\\frac{dn}{dx}(x)$ через $n(x)$, $T$, $Q$, $E$, и $k$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C4\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Для определения $u$, будем использовать выражение (1), в котором $F_\\text{ext}(t) = QE$. Так как $v(t)$ флуктуирует, будем рассматривать $\\langle v(t)\\rangle$. Считая что $\\langle v(0)\\rangle=0$ и используя $\\langle F(t)\\rangle =0$, найдите $\\langle v(t)\\rangle$ и получите $u = \\lim_{t\\to\\infty} \\langle v(t) \\rangle$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C5\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Условие баланса потоков записывается как \\(J_D(x) + J_Q(x) = 0\\). Выразите коэффициент диффузии \\(D\\) через \\(k\\), \\(\\gamma\\), и \\(T\\).\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                D1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Оцените значение $N_A$ с точностью до двух значащих цифр, не используя тот факт, что это постоянная Авогадро. Используйте данные рис. 3. Универсальная газовая постоянная $R=8.31~Дж/(К\\cdot моль)$. Не используйте значение постоянной Больцмана $k$ из таблицы констант. Имейте ввиду, что вы можете получить значение постоянной Авогадро, отличное от табличного.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                D2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.80"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Выразите среднеквадратичное смещение $\\langle\\Delta x(t)^2\\rangle$ через $u$, $D$, и $t$. Получите приближенные степенные выражения для маленьких $t$ и больших $t$. Кроме того, получите характерное время $t_{*}$, при котором происходит изменение. Нарисуйте качественный график зависимости среднеквадратичного смещения от времени в логарифмических координатах. Укажите на нём положение $t_{*}$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                D3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Рисунок 5 показывает среднеквадратичное смещение \\(\\langle\\Delta x(t)^2\\rangle\\) микроба. Для маленьких, больших и промежуточных \\(t\\) выполняются разные степенные законы. Получите эти выражения для каждого временного диапазона. Выразите выражения через \\(D, u_0, \\delta_0\\) и \\(t\\).\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                E1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Добавление хлорида натрия ($\\mathrm{NaCl}$) в суспензию приводит к коагуляции коллоидных частиц. Определите минимальную концентрацию $c$ хлорида натрия, необходимую для коагуляции. Достаточно рассмотреть две частицы в отсутствие тепловых флуктуаций, то есть $F(t)=0$ в выражении (1). Считайте, что для данного потенциала конечная скорость достигается мгновенно.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]}]}],"text":"A1 0.80 Рассмотрим ситуацию, когда молекула воды сталкивается с частицей в момент времени $t=t_0$ и передаёт импульс $I_0$. После столкновения $F(t) = 0$. Если скорость до столкновения $v(t) = 0$, то после столкновения $v(t) = v_0 e^{-( t-t_{0})/\\tau}$ для времён $t > t_0$. Найдите $v_0$ и $\\tau$, используя $I_0$ и необходимые параметры из выражения (1). За счет начального импульса $I_0$ частица приобретает скорость $v_0 = I_0/M$, далее движение описывается уравнением $$ M\\dot{v} = - \\gamma v, $$откуда $$ v = v_0 = $$\nA2 0.80 На самом деле происходит множество столкновений молекул воды с частицей, одно за другим. Столкновение с номером $i$ передаёт импульс $I_i$ и происходит в момент времени $t_i$. Найдите $v(t)$ при условии, что $v(0) = 0$. Явно укажите неравенство для $t_i$, которое должно быть выполнено для заданного $t$. В листе ответов не обязательно указывать данный диапазон в выражении для $v(t)$.\nB1 1.00 Найдите $\\langle\\Delta x(t)\\rangle$ и $\\langle\\Delta x(t)^2\\rangle$, результат выразите через $C$, $\\delta$, и $t$.\nB2 0.80 Величина $\\langle\\Delta x(t)^2\\rangle$ называется среднеквадратичное смещение (mean square displacement, MSD). Эта величина наблюдается в случае броуновского движения и в предельном случае $\\delta\\rightarrow0$. Можно показать, что $C\\propto\\delta^{\\alpha}$ и $\\langle\\Delta x(t)^2\\rangle \\propto t^\\beta$. Найдите численные значения $\\alpha$ и $\\beta$.\nC1 0.50 Найдите $N_+(x_0)$, выразите через $v,\\:\\delta,\\:n(x_0)$, и $\\frac{dn}{dx}(x_0)$.\nC2 0.70 Найдите $J_D(x_0)$, при необходимости выразите через $C,\\:\\delta,\\:n(x_0)$, и $\\frac{dn}{dx}(x_0)$. Используя это и выражение (4), выразите $D$ через $C$ и $\\delta$. Также найдите $\\langle\\Delta x(t)^2\\rangle$ через $D$ и $t$.\nC3 0.50 Выразите $\\frac{dn}{dx}(x)$ через $n(x)$, $T$, $Q$, $E$, и $k$.\nC4 0.50 Для определения $u$, будем использовать выражение (1), в котором $F_\\text{ext}(t) = QE$. Так как $v(t)$ флуктуирует, будем рассматривать $\\langle v(t)\\rangle$. Считая что $\\langle v(0)\\rangle=0$ и используя $\\langle F(t)\\rangle =0$, найдите $\\langle v(t)\\rangle$ и получите $u = \\lim_{t\\to\\infty} \\langle v(t) \\rangle$.\nC5 0.50 Условие баланса потоков записывается как \\(J_D(x) + J_Q(x) = 0\\). Выразите коэффициент диффузии \\(D\\) через \\(k\\), \\(\\gamma\\), и \\(T\\).\nD1 1.00 Оцените значение $N_A$ с точностью до двух значащих цифр, не используя тот факт, что это постоянная Авогадро. Используйте данные рис. 3. Универсальная газовая постоянная $R=8.31~Дж/(К\\cdot моль)$. Не используйте значение постоянной Больцмана $k$ из таблицы констант. Имейте ввиду, что вы можете получить значение постоянной Авогадро, отличное от табличного.\nD2 0.80 Выразите среднеквадратичное смещение $\\langle\\Delta x(t)^2\\rangle$ через $u$, $D$, и $t$. Получите приближенные степенные выражения для маленьких $t$ и больших $t$. Кроме того, получите характерное время $t_{*}$, при котором происходит изменение. Нарисуйте качественный график зависимости среднеквадратичного смещения от времени в логарифмических координатах. Укажите на нём положение $t_{*}$.\nD3 0.60 Рисунок 5 показывает среднеквадратичное смещение \\(\\langle\\Delta x(t)^2\\rangle\\) микроба. Для маленьких, больших и промежуточных \\(t\\) выполняются разные степенные законы. Получите эти выражения для каждого временного диапазона. Выразите выражения через \\(D, u_0, \\delta_0\\) и \\(t\\).\nE1 1.50 Добавление хлорида натрия ($\\mathrm{NaCl}$) в суспензию приводит к коагуляции коллоидных частиц. Определите минимальную концентрацию $c$ хлорида натрия, необходимую для коагуляции. Достаточно рассмотреть две частицы в отсутствие тепловых флуктуаций, то есть $F(t)=0$ в выражении (1). Считайте, что для данного потенциала конечная скорость достигается мгновенно.","figures":[],"shared":false}},{"id":"ipho-2023-t2","importedOn":"2026-10-28","language":"ru","sources":[{"url":"https://pho.rs/p/3734","kind":"statement"},{"url":"https://pho.rs/p/3734/s","kind":"solution"}],"statement":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"text","text":"\n                        \n                        \n Мы обсудим стабильность тяжелых ядер и оценим массу нейтронных звезд теоретически и из экспериментальных данных.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть A. Масса и стабильность ядер (2.5 балла)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Энергия покоя ядра $m(Z,N) c^2$, состоящего из $Z$ протонов и $N$ нейтронов, меньше суммы энергий покоя протонов и нейтронов, далее будем называть их нуклонами, на энергию связи $B(Z,N)$. Здесь $c$ — скорость света в вакууме. Игнорируя малые поправки, мы можем приблизить энергию связи суммой объемного вклада с коэффициентом $a_V$, поверхностного вклада с коэффициентом $a_S$, электростатической (кулоновской) энергии с коэффициентом $a_C$, и симметричного слагаемого с коэффициентом $a_{\\rm sym}$ следующим образом.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n \\[m(Z,N) c^2 = A m_N c^2 - B(Z,N) ,\\qquad     B(Z,N) = a_V A - a_S A^{2/3} - a_C \\frac{Z^2}{A^{1/3}}  - a_{\\mathrm{sym}} \\frac{(N-Z)^2}{A},\\tag{1}\\]\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n где $A=Z+N$ — массовое число, $m_N$ — масса нуклона. При вычислениях, используйте $a_V \\approx 15.8 \\;МэВ$, $a_S \\approx 17.8 \\;МэВ$, $a_C \\approx 0.711 \\;МэВ$, и $a_{\\rm sym} \\approx 23.7 \\;МэВ$ (МэВ = $10^6$ электронвольт).\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.90"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n При условии $Z=N$, определите значение $A$, при котором энергия связи на один нуклон $B/A$ максимальна.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.90"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Если $A$ постоянно, зарядовое число наиболее стабильного атома $Z^\\ast$ можно определить, максимизируя $B(Z,A-Z)$. При $A=197$ вычислите $Z^\\ast$, используя уравнение (1).\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.70"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Ядро с большим $A$ может разделиться на более легкие ядра (деление ядер – fission), чтобы минимизировать общую энергию покоя. Для простоты мы рассмотрим только один способ деления, при котором ядро с параметрами $(Z, N)$ распадается на два одинаковых ядра $(Z/2, N/2)$. Это возможно, если выполняется следующее соотношение между энергиями"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$m(Z,N) c^2 > 2m(Z/2,N/2) c^2 ,$$Пусть это соотношение записано в виде"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Z^2/A > C_{\\rm fission} \\frac{a_S}{a_C} ,$$получите $C_{\\rm fission}$ с двумя значащими цифрами.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть B. Нейтронная звезда как гигантское ядро (1.5 балла)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Очень тяжелые ядра с массовым числом $A>A_c$, где $A_c$ — пороговое значение, могут оставаться стабильными относительно распада при достаточно большой гравитационной энергии связи.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Будем считать, что $N=A$ и $Z=0$ при достаточно больших $A$ и уравнение (1) продолжает выполняться, если добавить к нему гравитационную энергию связи. Гравитационная энергия связи"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$B_{\\rm grav} = \\frac{3}{5}\\frac{GM^2}{R},$$где $M=m_N A$ – масса ядра, $R=R_0 A^{1/3}$ с коэффициентом $R_0 \\simeq 1.1\\times 10^{-15}\\;м = 1.1\\;фм$ — радиус ядра."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Для гравитационной энергии связи $B_{\\rm grav}=a_{\\rm grav} A^{5/3}$, получите коэффициент $a_{\\rm grav}$ в МэВ с одной значащей цифрой. Затем, игнорируя поверхностный вклад в энергию, оцените $A_c$ с одной значащей цифрой. При вычислениях используйте $m_N c^2 \\simeq 939\\;МэВ$ и $G=\\hbar c/M_P^2$, где $M_P c^2\\simeq 1.22 \\times 10^{22}\\;МэВ$ и $\\hbar c \\simeq 197\\;МэВ\\cdot фм$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть C. Нейтронная звезда в двойной системе (6.0 баллов)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tНекоторые нейтронные звезды являются пульсарами, испускающими электромагнитные волны, которые мы для простоты будем называть светом, с постоянным периодом. Нейтронные звезды часто образуют двойные системы с белыми карликами. Рассмотрим конфигурацию звезд, показанную на рисунке 1. Импульс света от нейтронной звезды "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"N"}]},{"type":"text","text":" движется к Земле "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"E"}]},{"type":"text","text":" и проходит мимо белого карлика "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"W"}]},{"type":"text","text":" (White Dwarf) в двойной системе. Проводя измерения с этими импульсами, можно точно определить массу "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"W, "}]},{"type":"text","text":"как это объясняется дальше, с помощью чего можно оценить массу "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"N"}]},{"type":"text","text":".\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/bfd7a380cff730e92ea7.webp","alt":"ipho-2023-t2 statement: original source diagram 1"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рисунок 1: Конфигурация с осью $x$ вдоль линии, соединяющей N и E. (a) при $x_N < 0$ и (b) при $x_N > 0$."}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tКак показано на рисунке ниже, поместим двое одинаковых неподвижных часов в положения I и II, назовем их часы-I и часы-II, разность высот этих часов $\\Delta h (>0)$, ускорение свободного падения $g$ постоянно. Также будем рассматривать такие же свободно падающие часы-F."},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Будем считать, что изначально наблюдатель находится с часами-$F$ и расположен на той же высоте, что и часы-I, его начальная скорость равна нулю. Поскольку часы одинаковы, при измерении они дают одинаковые промежутки времени $\\Delta\\tau_F = \\Delta\\tau_{\\rm I}$. Затем часы-$F$ начинают свободно падать. Будем работать в свободно падающей системе отсчета F, которую будем считать инерциальной. В этой системе отсчета часы-II пролетают мимо часов-F со скоростью $v$, так что величину замедления времени часов-II можно определить с помощью преобразований Лоренца. Тогда для F, пока проходит время $\\Delta\\tau_{\\rm I}$ по часам-F, по часам-II проходит время $\\Delta\\tau_{\\rm II}$."}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Выразите $\\Delta\\tau_{\\rm II}$ через $\\Delta\\tau_{\\rm I}$ с точностью до членов первого порядка по $\\Delta\\phi/c^2$, где $\\Delta\\phi=g\\Delta h$ — разность гравитационных потенциалов, т.е. гравитационных энергий, приходящихся на единичную массу."}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/9688bc01ac01bcbd7725.webp","alt":"ipho-2023-t2 statement: original source diagram 2"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Схема мысленного эксперимента."}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.80"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tЕсли гравитационный потенциал равен $\\phi$, замедление времени приводит к изменению эффективной скорости света $c_{\\rm eff}$, измеряемой наблюдателем, находящимся на бесконечности. Если $\\phi(r=\\infty)=0$, эффективная скорость света $c_{\\rm eff}$ с точностью до членов первого порядка по $\\phi/c^2$ равна$$c_{\\rm eff} \\approx \\left( 1 + \\frac{2\\phi}{c^2} \\right)\\, c$$ с учетом эффектов изменения длины, которые не рассматривалось в C1. При этом луч света можно с достаточной точностью приблизить прямой."},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Как показано на рисунке 1(a), выберем ось $x$ вдоль направления распространения света от нейтронной звезды "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"N"}]},{"type":"text","text":" к Земле "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"E"}]},{"type":"text","text":" и поместим начало координат $x=0$ в точке, где белый карлик "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"W"}]},{"type":"text","text":" ближе всего к световому лучу. Пусть $x_N \\,(<0)$ — $x$-координата "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"N"}]},{"type":"text","text":", $x_E\\, (>0)$ — координата "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"E"}]},{"type":"text","text":", и $d$ — расстояние между "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"W"}]},{"type":"text","text":" и световым лучом."}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Найдите изменение времени распространения света $\\Delta t$ от "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"N"}]},{"type":"text","text":" к "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"E"}]},{"type":"text","text":", вызванное белым карликом массы $M_{WD}$ и упростите полученный ответ, пренебрегая членами высших порядков по следующим малым параметрам: $d/|x_N| \\ll 1$, $d/x_E \\ll 1$, и $GM_{WD}/(c^2 d) \\ll 1$. Если потребуется, используйте следующую формулу."}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"$$\\int \\frac{dx}{\\sqrt{x^2+d^2}} = \\frac{1}{2}\\ln\\biggl(\\frac{\\sqrt{x^2+d^2}+x}{\\sqrt{x^2+d^2}-x}\\biggr) + C.$$"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.80"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tКак показано ниже, в двойной системе "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"N"}]},{"type":"text","text":" и "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"W"}]},{"type":"text","text":" движутся по круговым орбитам вокруг центра масс $G$ в плоскости орбиты. Пусть $\\varepsilon$ угол наклонения орбиты, измеряемый между плоскостью орбиты и линией, направленной к "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"E"}]},{"type":"text","text":" от $G$, $L$ — расстояние между "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"N"}]},{"type":"text","text":" и "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"W"}]},{"type":"text","text":", $M_{\\text{WD}}$ – масса белого карлика. Далее будем считать $\\varepsilon \\ll 1$.Мы наблюдаем световые импульсы, распространяющиеся от "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"N"}]},{"type":"text","text":" к "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"E"}]},{"type":"text","text":" далеко от "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"N"}]},{"type":"text","text":". Путь света к "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"E"}]},{"type":"text","text":" меняется со временем с изменением конфигурации "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"N"}]},{"type":"text","text":" и "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"W."}]},{"type":"text","text":" Время задержки светового импульса на пути до "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"E"}]},{"type":"text","text":" достигает максимального значения $\\Delta t_{\\rm max}$ при $x_N \\simeq -L$ и достигает минимального значения $\\Delta t_{\\rm min}$ при $x_N \\simeq L$ (см. конфигурацию на рис. 1(b)). Вычислите $\\Delta t_{\\rm max} - \\Delta t_{\\rm min}$ в упрощенной форме, пренебрегая высшими порядками малых параметров, указанных в C2. Заметим, что вклады в задержку от звездных объектов, отличных от "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"W,"}]},{"type":"text","text":" сокращаются при вычислении разности $\\Delta t_{\\rm max} - \\Delta t_{\\rm min}$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/9cee541a941071eaacbc.webp","alt":"ipho-2023-t2 statement: original source diagram 3"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Двойная звездная система."}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C4\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.80"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n На графике показана зависимость наблюдаемого времени задержки от орбитальной фазы $\\varphi$ для двойной звездной системы с $L \\approx 6\\times 10^6\\,км$ и"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$\\cos\\varepsilon \\approx 0.99989$. Оцените $M_{\\text{WD}}$ в единицах солнечной массы $M_{\\odot}$ и приведите значение $M_{\\rm WD} / M_{\\odot}$ с одной значащей цифрой. Вы можете использовать приближенное значение $GM_{\\odot}/c^3 \\approx 5\\, мкс$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/84f7e07cd7c6f993d713.webp","alt":"ipho-2023-t2 statement: original source diagram 4"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Наблюдаемое время задержки $\\Delta t$ как функция орбитальной фазы $\\varphi$ (см. рисунок в части C3), задающей положение N и W на орбите."}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C5\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.40"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n В двойной системе нейтронных звезд, звезды теряют энергию и момент импульса за счет излучения гравитационных волн и в конце концов сталкиваются и объединяются. Для простоты будем рассматривать только движение по окружности с радиусом $R$ и угловой скоростью $\\omega$, тогда формула $\\omega = \\chi R^p$ выполняется для некоторой постоянной $\\chi$ , которая не зависит ни от $\\omega$, ни от $R$, если не учитывать релятивистские эффекты. Определите значение $p$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C6\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Амплитуда гравитационной волны от двойной системы из C.5 пропорциональна $R^2 \\omega^2$. Рисунки ниже качественно показывают зависимости гравитационных волн от времени перед столкновением двух звезд. Выберите наиболее подходящую зависимость из (a) - (d).\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/34b8976a69af5e4bfe6b.webp","alt":"ipho-2023-t2 statement: original source diagram 5"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Наблюдаемая зависимость от времени для гравитационных волн."}]}]}]}]}]}],"text":"Мы обсудим стабильность тяжелых ядер и оценим массу нейтронных звезд теоретически и из экспериментальных данных. Часть A. Масса и стабильность ядер (2.5 балла) Энергия покоя ядра $m(Z,N) c^2$, состоящего из $Z$ протонов и $N$ нейтронов, меньше суммы энергий покоя протонов и нейтронов, далее будем называть их нуклонами, на энергию связи $B(Z,N)$. Здесь $c$ — скорость света в вакууме. Игнорируя малые поправки, мы можем приблизить энергию связи суммой объемного вклада с коэффициентом $a_V$, поверхностного вклада с коэффициентом $a_S$, электростатической (кулоновской) энергии с коэффициентом $a_C$, и симметричного слагаемого с коэффициентом $a_{\\rm sym}$ следующим образом. \\[m(Z,N) c^2 = A m_N c^2 - B(Z,N) ,\\qquad     B(Z,N) = a_V A - a_S A^{2/3} - a_C \\frac{Z^2}{A^{1/3}}  - a_{\\mathrm{sym}} \\frac{(N-Z)^2}{A},\\tag{1}\\] где $A=Z+N$ — массовое число, $m_N$ — масса нуклона. При вычислениях, используйте $a_V \\approx 15.8 \\;МэВ$, $a_S \\approx 17.8 \\;МэВ$, $a_C \\approx 0.711 \\;МэВ$, и $a_{\\rm sym} \\approx 23.7 \\;МэВ$ (МэВ = $10^6$ электронвольт). A1 0.90 При условии $Z=N$, определите значение $A$, при котором энергия связи на один нуклон $B/A$ максимальна. A2 0.90 Если $A$ постоянно, зарядовое число наиболее стабильного атома $Z^\\ast$ можно определить, максимизируя $B(Z,A-Z)$. При $A=197$ вычислите $Z^\\ast$, используя уравнение (1). A3 0.70 Ядро с большим $A$ может разделиться на более легкие ядра (деление ядер – fission), чтобы минимизировать общую энергию покоя. Для простоты мы рассмотрим только один способ деления, при котором ядро с параметрами $(Z, N)$ распадается на два одинаковых ядра $(Z/2, N/2)$. Это возможно, если выполняется следующее соотношение между энергиями $$m(Z,N) c^2 > 2m(Z/2,N/2) c^2 ,$$Пусть это соотношение записано в виде $$Z^2/A > C_{\\rm fission} \\frac{a_S}{a_C} ,$$получите $C_{\\rm fission}$ с двумя значащими цифрами. Часть B. Нейтронная звезда как гигантское ядро (1.5 балла) Очень тяжелые ядра с массовым числом $A>A_c$, где $A_c$ — пороговое значение, могут оставаться стабильными относительно распада при достаточно большой гравитационной энергии связи. B1 1.50 Будем считать, что $N=A$ и $Z=0$ при достаточно больших $A$ и уравнение (1) продолжает выполняться, если добавить к нему гравитационную энергию связи. Гравитационная энергия связи $$B_{\\rm grav} = \\frac{3}{5}\\frac{GM^2}{R},$$где $M=m_N A$ – масса ядра, $R=R_0 A^{1/3}$ с коэффициентом $R_0 \\simeq 1.1\\times 10^{-15}\\;м = 1.1\\;фм$ — радиус ядра. Для гравитационной энергии связи $B_{\\rm grav}=a_{\\rm grav} A^{5/3}$, получите коэффициент $a_{\\rm grav}$ в МэВ с одной значащей цифрой. Затем, игнорируя поверхностный вклад в энергию, оцените $A_c$ с одной значащей цифрой. При вычислениях используйте $m_N c^2 \\simeq 939\\;МэВ$ и $G=\\hbar c/M_P^2$, где $M_P c^2\\simeq 1.22 \\times 10^{22}\\;МэВ$ и $\\hbar c \\simeq 197\\;МэВ\\cdot фм$. Часть C. Нейтронная звезда в двойной системе (6.0 баллов) Некоторые нейтронные звезды являются пульсарами, испускающими электромагнитные волны, которые мы для простоты будем называть светом, с постоянным периодом. Нейтронные звезды часто образуют двойные системы с белыми карликами. Рассмотрим конфигурацию звезд, показанную на рисунке 1. Импульс света от нейтронной звезды N движется к Земле E и проходит мимо белого карлика W (White Dwarf) в двойной системе. Проводя измерения с этими импульсами, можно точно определить массу W, как это объясняется дальше, с помощью чего можно оценить массу N . Рисунок 1: Конфигурация с осью $x$ вдоль линии, соединяющей N и E. (a) при $x_N < 0$ и (b) при $x_N > 0$. C1 1.00 Как показано на рисунке ниже, поместим двое одинаковых неподвижных часов в положения I и II, назовем их часы-I и часы-II, разность высот этих часов $\\Delta h (>0)$, ускорение свободного падения $g$ постоянно. Также будем рассматривать такие же свободно падающие часы-F. Будем считать, что изначально наблюдатель находится с часами-$F$ и расположен на той же высоте, что и часы-I, его начальная скорость равна нулю. Поскольку часы одинаковы, при измерении они дают одинаковые промежутки времени $\\Delta\\tau_F = \\Delta\\tau_{\\rm I}$. Затем часы-$F$ начинают свободно падать. Будем работать в свободно падающей системе отсчета F, которую будем считать инерциальной. В этой системе отсчета часы-II пролетают мимо часов-F со скоростью $v$, так что величину замедления времени часов-II можно определить с помощью преобразований Лоренца. Тогда для F, пока проходит время $\\Delta\\tau_{\\rm I}$ по часам-F, по часам-II проходит время $\\Delta\\tau_{\\rm II}$. Выразите $\\Delta\\tau_{\\rm II}$ через $\\Delta\\tau_{\\rm I}$ с точностью до членов первого порядка по $\\Delta\\phi/c^2$, где $\\Delta\\phi=g\\Delta h$ — разность гравитационных потенциалов, т.е. гравитационных энергий, приходящихся на единичную массу. Схема мысленного эксперимента. C2 1.80 Если гравитационный потенциал равен $\\phi$, замедление времени приводит к изменению эффективной скорости света $c_{\\rm eff}$, измеряемой наблюдателем, находящимся на бесконечности. Если $\\phi(r=\\infty)=0$, эффективная скорость света $c_{\\rm eff}$ с точностью до членов первого порядка по $\\phi/c^2$ равна$$c_{\\rm eff} \\approx \\left( 1 + \\frac{2\\phi}{c^2} \\right)\\, c$$ с учетом эффектов изменения длины, которые не рассматривалось в C1. При этом луч света можно с достаточной точностью приблизить прямой. Как показано на рисунке 1(a), выберем ось $x$ вдоль направления распространения света от нейтронной звезды N к Земле E и поместим начало координат $x=0$ в точке, где белый карлик W ближе всего к световому лучу. Пусть $x_N \\,(<0)$ — $x$-координата N , $x_E\\, (>0)$ — координата E , и $d$ — расстояние между W и световым лучом. Найдите изменение времени распространения света $\\Delta t$ от N к E , вызванное белым карликом массы $M_{WD}$ и упростите полученный ответ, пренебрегая членами высших порядков по следующим малым параметрам: $d/|x_N| \\ll 1$, $d/x_E \\ll 1$, и $GM_{WD}/(c^2 d) \\ll 1$. Если потребуется, используйте следующую формулу. $$\\int \\frac{dx}{\\sqrt{x^2+d^2}} = \\frac{1}{2}\\ln\\biggl(\\frac{\\sqrt{x^2+d^2}+x}{\\sqrt{x^2+d^2}-x}\\biggr) + C.$$ C3 1.80 Как показано ниже, в двойной системе N и W движутся по круговым орбитам вокруг центра масс $G$ в плоскости орбиты. Пусть $\\varepsilon$ угол наклонения орбиты, измеряемый между плоскостью орбиты и линией, направленной к E от $G$, $L$ — расстояние между N и W , $M_{\\text{WD}}$ – масса белого карлика. Далее будем считать $\\varepsilon \\ll 1$.Мы наблюдаем световые импульсы, распространяющиеся от N к E далеко от N . Путь света к E меняется со временем с изменением конфигурации N и W. Время задержки светового импульса на пути до E достигает максимального значения $\\Delta t_{\\rm max}$ при $x_N \\simeq -L$ и достигает минимального значения $\\Delta t_{\\rm min}$ при $x_N \\simeq L$ (см. конфигурацию на рис. 1(b)). Вычислите $\\Delta t_{\\rm max} - \\Delta t_{\\rm min}$ в упрощенной форме, пренебрегая высшими порядками малых параметров, указанных в C2. Заметим, что вклады в задержку от звездных объектов, отличных от W, сокращаются при вычислении разности $\\Delta t_{\\rm max} - \\Delta t_{\\rm min}$. Двойная звездная система. C4 0.80 На графике показана зависимость наблюдаемого времени задержки от орбитальной фазы $\\varphi$ для двойной звездной системы с $L \\approx 6\\times 10^6\\,км$ и $\\cos\\varepsilon \\approx 0.99989$. Оцените $M_{\\text{WD}}$ в единицах солнечной массы $M_{\\odot}$ и приведите значение $M_{\\rm WD} / M_{\\odot}$ с одной значащей цифрой. Вы можете использовать приближенное значение $GM_{\\odot}/c^3 \\approx 5\\, мкс$. Наблюдаемое время задержки $\\Delta t$ как функция орбитальной фазы $\\varphi$ (см. рисунок в части C3), задающей положение N и W на орбите. C5 0.40 В двойной системе нейтронных звезд, звезды теряют энергию и момент импульса за счет излучения гравитационных волн и в конце концов сталкиваются и объединяются. Для простоты будем рассматривать только движение по окружности с радиусом $R$ и угловой скоростью $\\omega$, тогда формула $\\omega = \\chi R^p$ выполняется для некоторой постоянной $\\chi$ , которая не зависит ни от $\\omega$, ни от $R$, если не учитывать релятивистские эффекты. Определите значение $p$. C6 0.20 Амплитуда гравитационной волны от двойной системы из C.5 пропорциональна $R^2 \\omega^2$. Рисунки ниже качественно показывают зависимости гравитационных волн от времени перед столкновением двух звезд. Выберите наиболее подходящую зависимость из (a) - (d). Наблюдаемая зависимость от времени для гравитационных волн.\n","figures":["/corpus/figures/bfd7a380cff730e92ea7.webp","/corpus/figures/9688bc01ac01bcbd7725.webp","/corpus/figures/9cee541a941071eaacbc.webp","/corpus/figures/84f7e07cd7c6f993d713.webp","/corpus/figures/34b8976a69af5e4bfe6b.webp"],"shared":false},"solution":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.90"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n При условии $Z=N$, определите значение $A$, при котором энергия связи на один нуклон $B/A$ максимальна.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Запишем выражение для энергии связи на один нуклон:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\frac{B}{A} = a_V - a_S A^{-1/3} - \\frac{a_C}{4} A^{2/3}."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Для того, чтобы найти максимум, продифференцируем по $A$ и приравняем производную к нулю:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\frac{d}{dA} \\left( \\frac{B}{A} \\right) = \\frac{a_S}{3} A^{-4/3} - \\frac{a_C}{6} A^{-1/3} =0,"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$откуда"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"A = \\frac{2 a_S}{a_C}."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Окончательный численный ответ нужно округлить с учетом того, что $A$ – целое число.\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"A = \\frac{2 a_S}{a_C} =  50."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.90"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Если $A$ постоянно, зарядовое число наиболее стабильного атома $Z^\\ast$ можно определить, максимизируя $B(Z,A-Z)$. При $A=197$ вычислите $Z^\\ast$, используя уравнение (1).\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n При фиксированном $A$ энергия связи в зависимости от $Z$ имеет вид"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"B = a_V A - a_S A^{2/3} - a_c \\frac{Z^2}{A^{1/3}} - a_{sym} \\frac{(2 Z - A)^2}{A}."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Дифференцируя по $Z$, найдем "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"- 2 a_c \\frac{Z}{A} - 4 a_{sym} \\frac{2 Z^* - A}{A} = 0, "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$откуда "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Z^* = \\frac{1}{1 + (a_C/4 a_{sym}) A^{2/3}} \\frac{A}{2}."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$При нахождении численного значения нужно учесть, что значение $Z^*$ целое и из двух соседних целых значений выбрать то, для которого энергия больше.\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Z^* = \\frac{1}{1 + (a_C/4 a_{sym}) A^{2/3}} \\frac{A}{2} = 79"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.70"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Ядро с большим $A$ может разделиться на более легкие ядра (деление ядер – fission), чтобы минимизировать общую энергию покоя. Для простоты мы рассмотрим только один способ деления, при котором ядро с параметрами $(Z, N)$ распадается на два одинаковых ядра $(Z/2, N/2)$. Это возможно, если выполняется следующее соотношение между энергиями"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$m(Z,N) c^2 > 2m(Z/2,N/2) c^2 ,$$Пусть это соотношение записано в виде"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Z^2/A > C_{\\rm fission} \\frac{a_S}{a_C} ,$$получите $C_{\\rm fission}$ с двумя значащими цифрами.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Перепишем соотношение между энергиями через энергии связи:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"B(Z, N) < 2B(Z/2, N/2)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Подставляя формулу для энергии связи, получим"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"a_V A- a_S A^{2/3} -  a_C \\frac{Z^2}{A^{1/3}} - a_{sym} \\frac{(N - Z)^2}{A} < 2 \\left( \\frac{a_V}{2} A  - \\frac{a_S}{2^{2/3} }A^{2/3} - \\frac{a_C}{ 2^{5/3}} \\frac{Z^2}{A^{1/3}} - \\frac{a_{sym}}{2} \\frac{(Z - N)^2}{A}\\right)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Слагаемые с $a_V$  и $a_{sym}$ сокращаются, остается"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"a_c \\frac{Z^2}{A^{1/3}}(1 - 2^{-2/3}) >a_s A^{2/3}( 2^{1/3} -1),"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\frac{Z^2}{A} > \\frac{2^{1/3}-1}{1 - 2^{-2/3}} \\frac{a_S}{a_C}."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"C_{fission} = \\frac{2^{1/3}-1}{1 - 2^{-2/3}} = 0.70"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Будем считать, что $N=A$ и $Z=0$ при достаточно больших $A$ и уравнение (1) продолжает выполняться, если добавить к нему гравитационную энергию связи. Гравитационная энергия связи"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$B_{\\rm grav} = \\frac{3}{5}\\frac{GM^2}{R},$$где $M=m_N A$ – масса ядра, $R=R_0 A^{1/3}$ с коэффициентом $R_0 \\simeq 1.1\\times 10^{-15}\\;м = 1.1\\;фм$ — радиус ядра."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Для гравитационной энергии связи $B_{\\rm grav}=a_{\\rm grav} A^{5/3}$, получите коэффициент $a_{\\rm grav}$ в МэВ с одной значащей цифрой. Затем, игнорируя поверхностный вклад в энергию, оцените $A_c$ с одной значащей цифрой. При вычислениях используйте $m_N c^2 \\simeq 939\\;МэВ$ и $G=\\hbar c/M_P^2$, где $M_P c^2\\simeq 1.22 \\times 10^{22}\\;МэВ$ и $\\hbar c \\simeq 197\\;МэВ\\cdot фм$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Гравитационная энергия шара радиуса $R$, массы $M$ с постоянной плотностью равна"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"U = - \\frac{3 G M^2}{5 R}."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Тогда энергия связи $B_{grav} = - U$, подставляя формулы для радиуса и массы получим"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"B_{grav} = \\frac{3 G m_N^2 A^2}{5 R_0 A^{1/3}} = a_{grav}A^{5/3},"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$где "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"a_{grav} = \\frac{3}{5} \\frac{G m_N^2}{R_0}."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Используя формулу для гравитационной постоянной, выраженной через массу Планка $M_P$, получим"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"a_{grav} = \\frac{3}{5} \\frac{\\hbar c}{R_0} \\frac{m_N^2}{M_P^2} = 6 \\times 10^{-37}~\\text{МэВ}."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Энергия связи нейтронной звезды с учетом объемной и симметрийной энергии"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"B = a_V A - a_{sym} A + a_{grav}A^{5/3}."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Для того, чтобы нейтронная звезда не распалась, нужно, чтобы энергия связи была положительной, поэтому"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"a_{grav} A^{5/3} \\ge (a_{sym} - a_V) A, \\quad A \\ge \\left( \\frac{a_{sym} - a_V}{a_{grav}}\\right)^{3/2}."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Тогда критическое значение"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"A_c =  \\left( \\frac{a_{sym} - a_V}{a_{grav}}\\right)^{3/2} = 4 \\times 10^{55}."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"a_{grav} = \\frac{3}{5} \\frac{\\hbar c}{R_0} \\frac{m_N^2}{M_P^2} = 6 \\times 10^{-37}~\\text{МэВ}, \\quad A_c =  \\left( \\frac{a_{sym} - a_V}{a_{grav}}\\right)^{3/2} = 4 \\times 10^{55}."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tКак показано на рисунке ниже, поместим двое одинаковых неподвижных часов в положения I и II, назовем их часы-I и часы-II, разность высот этих часов $\\Delta h (>0)$, ускорение свободного падения $g$ постоянно. Также будем рассматривать такие же свободно падающие часы-F."},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Будем считать, что изначально наблюдатель находится с часами-$F$ и расположен на той же высоте, что и часы-I, его начальная скорость равна нулю. Поскольку часы одинаковы, при измерении они дают одинаковые промежутки времени $\\Delta\\tau_F = \\Delta\\tau_{\\rm I}$. Затем часы-$F$ начинают свободно падать. Будем работать в свободно падающей системе отсчета F, которую будем считать инерциальной. В этой системе отсчета часы-II пролетают мимо часов-F со скоростью $v$, так что величину замедления времени часов-II можно определить с помощью преобразований Лоренца. Тогда для F, пока проходит время $\\Delta\\tau_{\\rm I}$ по часам-F, по часам-II проходит время $\\Delta\\tau_{\\rm II}$."}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Выразите $\\Delta\\tau_{\\rm II}$ через $\\Delta\\tau_{\\rm I}$ с точностью до членов первого порядка по $\\Delta\\phi/c^2$, где $\\Delta\\phi=g\\Delta h$ — разность гравитационных потенциалов, т.е. гравитационных энергий, приходящихся на единичную массу."}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Скорость падающих часов в момент пролета мимо нижних часов II найдем из закона сохранения энергии"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\frac{m v^2}{2} = m \\Delta \\varphi, \\; v^2  = 2 \\Delta \\varphi."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Поскольку в условии указано, что замедление времени можно получить, считая часы II пролетающими со скоростью $v$ мимо падающих часов, для времени получаем"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\Delta \\tau_{II} = \\Delta \\tau_F \\sqrt{1 - \\frac{v^2}{c^2}}= \\Delta \\tau_I \\sqrt{1 - \\frac{2 \\Delta \\phi}{c^2}} \\approx \\Delta \\tau_I \\left( 1 - \\frac{\\Delta \\phi}{c^2}\\right)"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\Delta \\tau_{II} \\approx \\Delta \\tau_I \\left( 1 - \\frac{\\Delta \\phi}{c^2}\\right)"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Отметим, что с точки зрения общей теории относительности приведенный выше вывод формулы для замедления времени некорректен. Действительно, в слабом гравитационном поле интервал задается соотношением"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"ds^2  = c^2 \\left( 1 + \\frac{2 \\varphi}{c^2}\\right) dt^2 - \\left( 1- \\frac{2 \\varphi}{c^2}\\right)dx^2."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Будем считать, что ускорение свободного падения направлено вдоль оси $x$, начало координат находится в точке первых часов, а потенциал $\\phi (x = 0) = 0$. Тогда зависимость потенциала от координат имеет вид $\\phi = - g x$. Движение часов нерелятивистское, поэтому $x = g t^2/2$.  Поэтому показания свободно падающих часов"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"d\\tau_F^2 = ds^2/c^2 = \\left(1 - \\frac{2 g}{c^2} \\frac{g t^2}{2} \\right) dt^2 - \\frac{v^2}{c^2} dt^2 = dt^2 \\left( 1 - \\frac{2 g^2 t^2}{c^2}\\right)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Видим, что показания падающих часов не совпадают с показаниями неподвижных часов I, которые находятся в точке $x = 0$, для которых $dx = 0$, а значит $d\\tau_I = dt$. Для вторых часов $d\\tau _{II} = \\sqrt{1 - \\frac{2 \\Delta \\phi}{c^2}}dt$ (это и есть правильный ответ для замедления времени, полученных из общей теории относительности, он следует напрямую из выражения для интервала). Показания падающих часов можно найти, интегрируя выражение для $d \\tau_F$, "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\Delta \\tau_F = \\int_0^{t_0} dt \\left( 1 - \\frac{ g^2 t^2}{c^2}\\right) = t_0 \\left(1 - \\frac{ g^2 t^2_0}{3 c^2} \\right),"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$где время движения $t_0 = \\sqrt{2h/g} = \\Delta \\tau_I$, и окончательно"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\Delta \\tau _F = \\Delta \\tau_I \\left(1 - \\frac{2 g h}{3 c^2} \\right)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Этот ответ в 2 раза меньше, чем если бы мы учитывали только замедление времени за счет скорости (по формулам специальной теории относительности).\n\n                "}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.80"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tЕсли гравитационный потенциал равен $\\phi$, замедление времени приводит к изменению эффективной скорости света $c_{\\rm eff}$, измеряемой наблюдателем, находящимся на бесконечности. Если $\\phi(r=\\infty)=0$, эффективная скорость света $c_{\\rm eff}$ с точностью до членов первого порядка по $\\phi/c^2$ равна$$c_{\\rm eff} \\approx \\left( 1 + \\frac{2\\phi}{c^2} \\right)\\, c$$ с учетом эффектов изменения длины, которые не рассматривалось в C1. При этом луч света можно с достаточной точностью приблизить прямой."},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Как показано на рисунке 1(a), выберем ось $x$ вдоль направления распространения света от нейтронной звезды "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"N"}]},{"type":"text","text":" к Земле "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"E"}]},{"type":"text","text":" и поместим начало координат $x=0$ в точке, где белый карлик "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"W"}]},{"type":"text","text":" ближе всего к световому лучу. Пусть $x_N \\,(<0)$ — $x$-координата "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"N"}]},{"type":"text","text":", $x_E\\, (>0)$ — координата "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"E"}]},{"type":"text","text":", и $d$ — расстояние между "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"W"}]},{"type":"text","text":" и световым лучом."}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Найдите изменение времени распространения света $\\Delta t$ от "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"N"}]},{"type":"text","text":" к "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"E"}]},{"type":"text","text":", вызванное белым карликом массы $M_{WD}$ и упростите полученный ответ, пренебрегая членами высших порядков по следующим малым параметрам: $d/|x_N| \\ll 1$, $d/x_E \\ll 1$, и $GM_{WD}/(c^2 d) \\ll 1$. Если потребуется, используйте следующую формулу."}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"$$\\int \\frac{dx}{\\sqrt{x^2+d^2}} = \\frac{1}{2}\\ln\\biggl(\\frac{\\sqrt{x^2+d^2}+x}{\\sqrt{x^2+d^2}-x}\\biggr) + C.$$"}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Пусть $c_{eff}(x)$ – эффективная скорость света в точке с координатой $x$, а значит время движения "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"t = \\int_{x_N}^{x_E} \\frac{dx}{c_{eff}(x)}."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Гравитационный потенциал в точке с координатой $x$ равен"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\phi = -\\frac{G M_{WD}}{\\sqrt{x^2 + d^2}}."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Тогда эффективная скорость света"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"c_{eff} = c \\left( 1 - \\frac{2 G M_{WD}}{c^2\\sqrt{x^2 + d^2}}\\right)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Тогда время"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"t =  \\int_{x_N}^{x_E} \\frac{dx}{c \\left( 1 - \\frac{2 G M_{WD}}{c^2\\sqrt{x^2 + d^2}}\\right)} \\approx"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\frac{1}{c}  \\int_{x_N}^{x_E} dx \\left( 1 + \\frac{2 G M_{WD}}{c^2\\sqrt{x^2 + d^2}} \\right)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Первое слагаемое под интегралом задает время движения без учета гравитационного поля, поэтому время задержки"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\Delta t = \\frac{1}{c}   \\int_{x_N}^{x_E} dx \\frac{2 G M_{WD}}{c^2\\sqrt{x^2 + d^2}}."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Используя интеграл из условия, получим"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\Delta t = \\frac{2 G M_{WD}}{c^3} \\left.\\frac{1}{2} \\ln \\frac{\\sqrt{x^2  + d^2} + x}{\\sqrt{x^2  + d^2} - x}\\right|_{x_N}^{x_E} =  \\frac{ G M_{WD}}{c^3} \\ln \\left( \\frac{\\sqrt{x^2_E  + d^2} + x_E}{\\sqrt{x^2_E  + d^2} - x_E} \\frac{\\sqrt{x^2_N  + d^2} - x_N}{\\sqrt{x^2_N  + d^2} + x_N}\\right)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$С учетом знаков ($x_N < 0$, $x_E > 0$)  и неравенств $|x_N|, x_E \\gg d$ упростим выражения под знаком логарифма:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\sqrt{x_E^2 + d^2} + x_E \\approx 2 x_E, \\quad \\sqrt{x_E^2 + d^2} -  x_E \\approx \\frac{d^2}{2 x_E}. "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\sqrt{x_N^2 + d^2} + x_N \\approx \\frac{d^2}{2 |x_N|}, \\quad \\sqrt{x_N^2 + d^2} -  x_N \\approx 2 |x_N|. "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Тогда окончательно получим"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\Delta t =  \\frac{ G M_{WD}}{c^3} \\ln \\left( \\frac{2 x_E }{d^2/(2 x_E )} \\frac{2 |x_N|}{d^2 /(2 |x_N|)}\\right) = \\frac{ G M_{WD}}{c^3} \\ln \\frac{16 |x_N|^2 x_E^2}{d^4} = \\frac{2 G M_{WD}}{c^3} \\ln \\frac{4 |x_N| x_E}{d^2}."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\Delta t =  \\frac{2 G M_{WD}}{c^3} \\ln \\frac{4 |x_N| x_E}{d^2}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.80"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tКак показано ниже, в двойной системе "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"N"}]},{"type":"text","text":" и "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"W"}]},{"type":"text","text":" движутся по круговым орбитам вокруг центра масс $G$ в плоскости орбиты. Пусть $\\varepsilon$ угол наклонения орбиты, измеряемый между плоскостью орбиты и линией, направленной к "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"E"}]},{"type":"text","text":" от $G$, $L$ — расстояние между "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"N"}]},{"type":"text","text":" и "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"W"}]},{"type":"text","text":", $M_{\\text{WD}}$ – масса белого карлика. Далее будем считать $\\varepsilon \\ll 1$.Мы наблюдаем световые импульсы, распространяющиеся от "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"N"}]},{"type":"text","text":" к "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"E"}]},{"type":"text","text":" далеко от "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"N"}]},{"type":"text","text":". Путь света к "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"E"}]},{"type":"text","text":" меняется со временем с изменением конфигурации "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"N"}]},{"type":"text","text":" и "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"W."}]},{"type":"text","text":" Время задержки светового импульса на пути до "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"E"}]},{"type":"text","text":" достигает максимального значения $\\Delta t_{\\rm max}$ при $x_N \\simeq -L$ и достигает минимального значения $\\Delta t_{\\rm min}$ при $x_N \\simeq L$ (см. конфигурацию на рис. 1(b)). Вычислите $\\Delta t_{\\rm max} - \\Delta t_{\\rm min}$ в упрощенной форме, пренебрегая высшими порядками малых параметров, указанных в C2. Заметим, что вклады в задержку от звездных объектов, отличных от "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"W,"}]},{"type":"text","text":" сокращаются при вычислении разности $\\Delta t_{\\rm max} - \\Delta t_{\\rm min}$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Полученный в предыдущем пункте ответ применим в случае, когда $x_N < 0$. Задержка максимальна, когда $x_N \\approx - L$, поэтому"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\Delta t_{max} = \\frac{2 G M_{WD}}{c^3} \\ln \\frac{4 L  x_E}{d^2}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$ Когда нейтронная звезда находится по другую сторону от белого карлика, задержка времени  минимальна при $x_N = L$  и  равна"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\Delta t_{min}  = "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\frac{ G M_{WD}}{c^3} \\ln \\left(\\frac{2 x_E }{d^2/(2 x_E )}\\frac{d^2/(2L)}{2L}\\right) = \\frac{ G M_{WD}}{c^3} \\ln \\frac{x_E^2}{L^2} =  \\frac{2 G M_{WD}}{c^3} \\ln \\frac{x_E}{L}."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Отсюда разность максимального и минимального времен задержки"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\Delta t_{max} - \\Delta t_{min} =  \\frac{2 G M_{WD}}{c^3}\\ln \\frac{4 L^2}{d^2} = \\frac{4 G M_{WD}}{c^3} \\ln \\frac{2 L}{d}."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Минимальное расстояние от белого карлика до траектории света $d = L \\sin \\varepsilon \\approx L \\varepsilon$.\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\Delta t_{max} - \\Delta t_{min} =  \\frac{4 G M_{WD}}{c^3} \\ln \\frac{2 }{\\varepsilon}."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C4\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.80"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n На графике показана зависимость наблюдаемого времени задержки от орбитальной фазы $\\varphi$ для двойной звездной системы с $L \\approx 6\\times 10^6\\,км$ и"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$\\cos\\varepsilon \\approx 0.99989$. Оцените $M_{\\text{WD}}$ в единицах солнечной массы $M_{\\odot}$ и приведите значение $M_{\\rm WD} / M_{\\odot}$ с одной значащей цифрой. Вы можете использовать приближенное значение $GM_{\\odot}/c^3 \\approx 5\\, мкс$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Поскольку рассматриваемый угол мал, $cos \\varepsilon = 1- \\varepsilon^2/2$, откуда "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$\\varepsilon^2 = 2 \\times (1 - 0.99988) = 0.00022$. Из графика в условии видим $\\Delta t_{max} - \\Delta t_{min} = 50~\\text{мкс}$. Из результатов предыдущего пункта получим"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\frac{\\Delta t_{max} - \\Delta t_{min}}{G M_{\\odot}/c^3} = 2 \\frac{M_{WD}}{M_{\\odot}}\\ln \\frac{4}{\\varepsilon^2} \\approx 10, "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$откуда отношение масс"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\frac{M_{WD}}{M_{\\odot}} = \\frac{5}{ \\ln (4/\\varepsilon^2)} \\approx 0.5."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\frac{M_{WD}}{M_{\\odot}} \\approx 0.5"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C5\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.40"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n В двойной системе нейтронных звезд, звезды теряют энергию и момент импульса за счет излучения гравитационных волн и в конце концов сталкиваются и объединяются. Для простоты будем рассматривать только движение по окружности с радиусом $R$ и угловой скоростью $\\omega$, тогда формула $\\omega = \\chi R^p$ выполняется для некоторой постоянной $\\chi$ , которая не зависит ни от $\\omega$, ни от $R$, если не учитывать релятивистские эффекты. Определите значение $p$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n При движении по окружности $\\mu v^2/R = G m_1 m_2/R^2$ ($\\mu = m_1 m_2/(m_1 + m_2)$ – приведенная масса). Отсюда угловая скорость "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\\omega = \\frac{v}{R} = \\sqrt{ \\frac{G(m_1 + m_2)}{R^3}}, $$то есть $\\omega \\sim R^{-3/2}$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"p = - \\frac{3}{2}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C6\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Амплитуда гравитационной волны от двойной системы из C.5 пропорциональна $R^2 \\omega^2$. Рисунки ниже качественно показывают зависимости гравитационных волн от времени перед столкновением двух звезд. Выберите наиболее подходящую зависимость из (a) - (d).\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n При излучении гравитационных волн двойная система теряет энергию, которая равна $- Gm_1m_2/(2R)$, расстояние между звездами уменьшается, а частота вращения возрастает. Значит частота излучаемых волн также возрастает. Мощность излучения пропорциональна"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"P \\sim R^2 \\omega^2 \\sim R^2 R^{-3} \\sim \\frac{1}{R},"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$ "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"поэтому мощность излучения возрастает. Этим двум условиям удовлетворяет зависимость (b).\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n Зависимость (b)\n\n                    "}]}]}]}],"text":"A1 0.90 При условии $Z=N$, определите значение $A$, при котором энергия связи на один нуклон $B/A$ максимальна. Запишем выражение для энергии связи на один нуклон: $$ \\frac{B}{A} = a_V - a_S A^{-1/3} - \\frac{a_C}{4} A^{2/3}. $$Для того, чтобы найти максимум, продифференцируем по $A$ и приравняем производную к нулю: $$ \\frac{d}{dA} \\left( \\frac{B}{A} \\right) = \\frac{a_S}{3} A^{-4/3} - \\frac{a_C}{6} A^{-1/3} =0, $$откуда $$ A = \\frac{2 a_S}{a_C}. $$Окончательный численный ответ нужно округлить с учетом того, что $A$ – целое число. Ответ: \n                    \n $$ A = \\frac{2 a_S}{a_C} =  50. $$\nA2 0.90 Если $A$ постоянно, зарядовое число наиболее стабильного атома $Z^\\ast$ можно определить, максимизируя $B(Z,A-Z)$. При $A=197$ вычислите $Z^\\ast$, используя уравнение (1). При фиксированном $A$ энергия связи в зависимости от $Z$ имеет вид $$ B = a_V A - a_S A^{2/3} - a_c \\frac{Z^2}{A^{1/3}} - a_{sym} \\frac{(2 Z - A)^2}{A}. $$Дифференцируя по $Z$, найдем $$ - 2 a_c \\frac{Z}{A} - 4 a_{sym} \\frac{2 Z^* - A}{A} = 0, $$откуда $$ Z^* = \\frac{1}{1 + (a_C/4 a_{sym}) A^{2/3}} \\frac{A}{2}. $$При нахождении численного значения нужно учесть, что значение $Z^*$ целое и из двух соседних целых значений выбрать то, для которого энергия больше. Ответ: \n                    \n $$ Z^* = \\frac{1}{1 + (a_C/4 a_{sym}) A^{2/3}} \\frac{A}{2} = 79 $$\nA3 0.70 Ядро с большим $A$ может разделиться на более легкие ядра (деление ядер – fission), чтобы минимизировать общую энергию покоя. Для простоты мы рассмотрим только один способ деления, при котором ядро с параметрами $(Z, N)$ распадается на два одинаковых ядра $(Z/2, N/2)$. Это возможно, если выполняется следующее соотношение между энергиями $$m(Z,N) c^2 > 2m(Z/2,N/2) c^2 ,$$Пусть это соотношение записано в виде $$Z^2/A > C_{\\rm fission} \\frac{a_S}{a_C} ,$$получите $C_{\\rm fission}$ с двумя значащими цифрами. Перепишем соотношение между энергиями через энергии связи: $$ B(Z, N) < 2B(Z/2, N/2). $$Подставляя формулу для энергии связи, получим $$ a_V A- a_S A^{2/3} -  a_C \\frac{Z^2}{A^{1/3}} - a_{sym} \\frac{(N - Z)^2}{A} < 2 \\left( \\frac{a_V}{2} A  - \\frac{a_S}{2^{2/3} }A^{2/3} - \\frac{a_C}{ 2^{5/3}} \\frac{Z^2}{A^{1/3}} - \\frac{a_{sym}}{2} \\frac{(Z - N)^2}{A}\\right). $$Слагаемые с $a_V$  и $a_{sym}$ сокращаются, остается $$ a_c \\frac{Z^2}{A^{1/3}}(1 - 2^{-2/3}) >a_s A^{2/3}( 2^{1/3} -1), $$$$ \\frac{Z^2}{A} > \\frac{2^{1/3}-1}{1 - 2^{-2/3}} \\frac{a_S}{a_C}. $$ Ответ: \n                    \n $$ C_{fission} = \\frac{2^{1/3}-1}{1 - 2^{-2/3}} = 0.70 $$\nB1 1.50 Будем считать, что $N=A$ и $Z=0$ при достаточно больших $A$ и уравнение (1) продолжает выполняться, если добавить к нему гравитационную энергию связи. Гравитационная энергия связи $$B_{\\rm grav} = \\frac{3}{5}\\frac{GM^2}{R},$$где $M=m_N A$ – масса ядра, $R=R_0 A^{1/3}$ с коэффициентом $R_0 \\simeq 1.1\\times 10^{-15}\\;м = 1.1\\;фм$ — радиус ядра. Для гравитационной энергии связи $B_{\\rm grav}=a_{\\rm grav} A^{5/3}$, получите коэффициент $a_{\\rm grav}$ в МэВ с одной значащей цифрой. Затем, игнорируя поверхностный вклад в энергию, оцените $A_c$ с одной значащей цифрой. При вычислениях используйте $m_N c^2 \\simeq 939\\;МэВ$ и $G=\\hbar c/M_P^2$, где $M_P c^2\\simeq 1.22 \\times 10^{22}\\;МэВ$ и $\\hbar c \\simeq 197\\;МэВ\\cdot фм$. Гравитационная энергия шара радиуса $R$, массы $M$ с постоянной плотностью равна $$ U = - \\frac{3 G M^2}{5 R}. $$Тогда энергия связи $B_{grav} = - U$, подставляя формулы для радиуса и массы получим $$ B_{grav} = \\frac{3 G m_N^2 A^2}{5 R_0 A^{1/3}} = a_{grav}A^{5/3}, $$где $$ a_{grav} = \\frac{3}{5} \\frac{G m_N^2}{R_0}. $$Используя формулу для гравитационной постоянной, выраженной через массу Планка $M_P$, получим $$ a_{grav} = \\frac{3}{5} \\frac{\\hbar c}{R_0} \\frac{m_N^2}{M_P^2} = 6 \\times 10^{-37}~\\text{МэВ}. $$Энергия связи нейтронной звезды с учетом объемной и симметрийной энергии $$ B = a_V A - a_{sym} A + a_{grav}A^{5/3}. $$Для того, чтобы нейтронная звезда не распалась, нужно, чтобы энергия связи была положительной, поэтому $$ a_{grav} A^{5/3} \\ge (a_{sym} - a_V) A, \\quad A \\ge \\left( \\frac{a_{sym} - a_V}{a_{grav}}\\right)^{3/2}. $$Тогда критическое значение $$ A_c =  \\left( \\frac{a_{sym} - a_V}{a_{grav}}\\right)^{3/2} = 4 \\times 10^{55}. $$ Ответ: \n                    \n $$ a_{grav} = \\frac{3}{5} \\frac{\\hbar c}{R_0} \\frac{m_N^2}{M_P^2} = 6 \\times 10^{-37}~\\text{МэВ}, \\quad A_c =  \\left( \\frac{a_{sym} - a_V}{a_{grav}}\\right)^{3/2} = 4 \\times 10^{55}. $$\nC1 1.00 Как показано на рисунке ниже, поместим двое одинаковых неподвижных часов в положения I и II, назовем их часы-I и часы-II, разность высот этих часов $\\Delta h (>0)$, ускорение свободного падения $g$ постоянно. Также будем рассматривать такие же свободно падающие часы-F. Будем считать, что изначально наблюдатель находится с часами-$F$ и расположен на той же высоте, что и часы-I, его начальная скорость равна нулю. Поскольку часы одинаковы, при измерении они дают одинаковые промежутки времени $\\Delta\\tau_F = \\Delta\\tau_{\\rm I}$. Затем часы-$F$ начинают свободно падать. Будем работать в свободно падающей системе отсчета F, которую будем считать инерциальной. В этой системе отсчета часы-II пролетают мимо часов-F со скоростью $v$, так что величину замедления времени часов-II можно определить с помощью преобразований Лоренца. Тогда для F, пока проходит время $\\Delta\\tau_{\\rm I}$ по часам-F, по часам-II проходит время $\\Delta\\tau_{\\rm II}$. Выразите $\\Delta\\tau_{\\rm II}$ через $\\Delta\\tau_{\\rm I}$ с точностью до членов первого порядка по $\\Delta\\phi/c^2$, где $\\Delta\\phi=g\\Delta h$ — разность гравитационных потенциалов, т.е. гравитационных энергий, приходящихся на единичную массу. Скорость падающих часов в момент пролета мимо нижних часов II найдем из закона сохранения энергии $$ \\frac{m v^2}{2} = m \\Delta \\varphi, \\; v^2  = 2 \\Delta \\varphi. $$Поскольку в условии указано, что замедление времени можно получить, считая часы II пролетающими со скоростью $v$ мимо падающих часов, для времени получаем $$ \\Delta \\tau_{II} = \\Delta \\tau_F \\sqrt{1 - \\frac{v^2}{c^2}}= \\Delta \\tau_I \\sqrt{1 - \\frac{2 \\Delta \\phi}{c^2}} \\approx \\Delta \\tau_I \\left( 1 - \\frac{\\Delta \\phi}{c^2}\\right) $$ Ответ: \n                    \n $$ \\Delta \\tau_{II} \\approx \\Delta \\tau_I \\left( 1 - \\frac{\\Delta \\phi}{c^2}\\right) $$ Отметим, что с точки зрения общей теории относительности приведенный выше вывод формулы для замедления времени некорректен. Действительно, в слабом гравитационном поле интервал задается соотношением $$ ds^2  = c^2 \\left( 1 + \\frac{2 \\varphi}{c^2}\\right) dt^2 - \\left( 1- \\frac{2 \\varphi}{c^2}\\right)dx^2. $$Будем считать, что ускорение свободного падения направлено вдоль оси $x$, начало координат находится в точке первых часов, а потенциал $\\phi (x = 0) = 0$. Тогда зависимость потенциала от координат имеет вид $\\phi = - g x$. Движение часов нерелятивистское, поэтому $x = g t^2/2$.  Поэтому показания свободно падающих часов $$ d\\tau_F^2 = ds^2/c^2 = \\left(1 - \\frac{2 g}{c^2} \\frac{g t^2}{2} \\right) dt^2 - \\frac{v^2}{c^2} dt^2 = dt^2 \\left( 1 - \\frac{2 g^2 t^2}{c^2}\\right). $$Видим, что показания падающих часов не совпадают с показаниями неподвижных часов I, которые находятся в точке $x = 0$, для которых $dx = 0$, а значит $d\\tau_I = dt$. Для вторых часов $d\\tau _{II} = \\sqrt{1 - \\frac{2 \\Delta \\phi}{c^2}}dt$ (это и есть правильный ответ для замедления времени, полученных из общей теории относительности, он следует напрямую из выражения для интервала). Показания падающих часов можно найти, интегрируя выражение для $d \\tau_F$, $$ \\Delta \\tau_F = \\int_0^{t_0} dt \\left( 1 - \\frac{ g^2 t^2}{c^2}\\right) = t_0 \\left(1 - \\frac{ g^2 t^2_0}{3 c^2} \\right), $$где время движения $t_0 = \\sqrt{2h/g} = \\Delta \\tau_I$, и окончательно $$ \\Delta \\tau _F = \\Delta \\tau_I \\left(1 - \\frac{2 g h}{3 c^2} \\right). $$Этот ответ в 2 раза меньше, чем если бы мы учитывали только замедление времени за счет скорости (по формулам специальной теории относительности).\nC2 1.80 Если гравитационный потенциал равен $\\phi$, замедление времени приводит к изменению эффективной скорости света $c_{\\rm eff}$, измеряемой наблюдателем, находящимся на бесконечности. Если $\\phi(r=\\infty)=0$, эффективная скорость света $c_{\\rm eff}$ с точностью до членов первого порядка по $\\phi/c^2$ равна$$c_{\\rm eff} \\approx \\left( 1 + \\frac{2\\phi}{c^2} \\right)\\, c$$ с учетом эффектов изменения длины, которые не рассматривалось в C1. При этом луч света можно с достаточной точностью приблизить прямой. Как показано на рисунке 1(a), выберем ось $x$ вдоль направления распространения света от нейтронной звезды N к Земле E и поместим начало координат $x=0$ в точке, где белый карлик W ближе всего к световому лучу. Пусть $x_N \\,(<0)$ — $x$-координата N , $x_E\\, (>0)$ — координата E , и $d$ — расстояние между W и световым лучом. Найдите изменение времени распространения света $\\Delta t$ от N к E , вызванное белым карликом массы $M_{WD}$ и упростите полученный ответ, пренебрегая членами высших порядков по следующим малым параметрам: $d/|x_N| \\ll 1$, $d/x_E \\ll 1$, и $GM_{WD}/(c^2 d) \\ll 1$. Если потребуется, используйте следующую формулу. $$\\int \\frac{dx}{\\sqrt{x^2+d^2}} = \\frac{1}{2}\\ln\\biggl(\\frac{\\sqrt{x^2+d^2}+x}{\\sqrt{x^2+d^2}-x}\\biggr) + C.$$ Пусть $c_{eff}(x)$ – эффективная скорость света в точке с координатой $x$, а значит время движения $$ t = \\int_{x_N}^{x_E} \\frac{dx}{c_{eff}(x)}. $$Гравитационный потенциал в точке с координатой $x$ равен $$ \\phi = -\\frac{G M_{WD}}{\\sqrt{x^2 + d^2}}. $$Тогда эффективная скорость света $$ c_{eff} = c \\left( 1 - \\frac{2 G M_{WD}}{c^2\\sqrt{x^2 + d^2}}\\right). $$Тогда время $$ t =  \\int_{x_N}^{x_E} \\frac{dx}{c \\left( 1 - \\frac{2 G M_{WD}}{c^2\\sqrt{x^2 + d^2}}\\right)} \\approx \\frac{1}{c}  \\int_{x_N}^{x_E} dx \\left( 1 + \\frac{2 G M_{WD}}{c^2\\sqrt{x^2 + d^2}} \\right). $$Первое слагаемое под интегралом задает время движения без учета гравитационного поля, поэтому время задержки $$ \\Delta t = \\frac{1}{c}   \\int_{x_N}^{x_E} dx \\frac{2 G M_{WD}}{c^2\\sqrt{x^2 + d^2}}. $$Используя интеграл из условия, получим $$ \\Delta t = \\frac{2 G M_{WD}}{c^3} \\left.\\frac{1}{2} \\ln \\frac{\\sqrt{x^2  + d^2} + x}{\\sqrt{x^2  + d^2} - x}\\right|_{x_N}^{x_E} =  \\frac{ G M_{WD}}{c^3} \\ln \\left( \\frac{\\sqrt{x^2_E  + d^2} + x_E}{\\sqrt{x^2_E  + d^2} - x_E} \\frac{\\sqrt{x^2_N  + d^2} - x_N}{\\sqrt{x^2_N  + d^2} + x_N}\\right). $$С учетом знаков ($x_N < 0$, $x_E > 0$)  и неравенств $|x_N|, x_E \\gg d$ упростим выражения под знаком логарифма: $$ \\sqrt{x_E^2 + d^2} + x_E \\approx 2 x_E, \\quad \\sqrt{x_E^2 + d^2} -  x_E \\approx \\frac{d^2}{2 x_E}. $$$$ \\sqrt{x_N^2 + d^2} + x_N \\approx \\frac{d^2}{2 |x_N|}, \\quad \\sqrt{x_N^2 + d^2} -  x_N \\approx 2 |x_N|. $$Тогда окончательно получим $$ \\Delta t =  \\frac{ G M_{WD}}{c^3} \\ln \\left( \\frac{2 x_E }{d^2/(2 x_E )} \\frac{2 |x_N|}{d^2 /(2 |x_N|)}\\right) = \\frac{ G M_{WD}}{c^3} \\ln \\frac{16 |x_N|^2 x_E^2}{d^4} = \\frac{2 G M_{WD}}{c^3} \\ln \\frac{4 |x_N| x_E}{d^2}. $$ Ответ: \n                    \n $$ \\Delta t =  \\frac{2 G M_{WD}}{c^3} \\ln \\frac{4 |x_N| x_E}{d^2} $$\nC3 1.80 Как показано ниже, в двойной системе N и W движутся по круговым орбитам вокруг центра масс $G$ в плоскости орбиты. Пусть $\\varepsilon$ угол наклонения орбиты, измеряемый между плоскостью орбиты и линией, направленной к E от $G$, $L$ — расстояние между N и W , $M_{\\text{WD}}$ – масса белого карлика. Далее будем считать $\\varepsilon \\ll 1$.Мы наблюдаем световые импульсы, распространяющиеся от N к E далеко от N . Путь света к E меняется со временем с изменением конфигурации N и W. Время задержки светового импульса на пути до E достигает максимального значения $\\Delta t_{\\rm max}$ при $x_N \\simeq -L$ и достигает минимального значения $\\Delta t_{\\rm min}$ при $x_N \\simeq L$ (см. конфигурацию на рис. 1(b)). Вычислите $\\Delta t_{\\rm max} - \\Delta t_{\\rm min}$ в упрощенной форме, пренебрегая высшими порядками малых параметров, указанных в C2. Заметим, что вклады в задержку от звездных объектов, отличных от W, сокращаются при вычислении разности $\\Delta t_{\\rm max} - \\Delta t_{\\rm min}$. Полученный в предыдущем пункте ответ применим в случае, когда $x_N < 0$. Задержка максимальна, когда $x_N \\approx - L$, поэтому $$ \\Delta t_{max} = \\frac{2 G M_{WD}}{c^3} \\ln \\frac{4 L  x_E}{d^2} $$ Когда нейтронная звезда находится по другую сторону от белого карлика, задержка времени  минимальна при $x_N = L$  и  равна $$ \\Delta t_{min}  = \\frac{ G M_{WD}}{c^3} \\ln \\left(\\frac{2 x_E }{d^2/(2 x_E )}\\frac{d^2/(2L)}{2L}\\right) = \\frac{ G M_{WD}}{c^3} \\ln \\frac{x_E^2}{L^2} =  \\frac{2 G M_{WD}}{c^3} \\ln \\frac{x_E}{L}. $$Отсюда разность максимального и минимального времен задержки $$ \\Delta t_{max} - \\Delta t_{min} =  \\frac{2 G M_{WD}}{c^3}\\ln \\frac{4 L^2}{d^2} = \\frac{4 G M_{WD}}{c^3} \\ln \\frac{2 L}{d}. $$Минимальное расстояние от белого карлика до траектории света $d = L \\sin \\varepsilon \\approx L \\varepsilon$. Ответ: \n                    \n $$ \\Delta t_{max} - \\Delta t_{min} =  \\frac{4 G M_{WD}}{c^3} \\ln \\frac{2 }{\\varepsilon}. $$\nC4 0.80 На графике показана зависимость наблюдаемого времени задержки от орбитальной фазы $\\varphi$ для двойной звездной системы с $L \\approx 6\\times 10^6\\,км$ и $\\cos\\varepsilon \\approx 0.99989$. Оцените $M_{\\text{WD}}$ в единицах солнечной массы $M_{\\odot}$ и приведите значение $M_{\\rm WD} / M_{\\odot}$ с одной значащей цифрой. Вы можете использовать приближенное значение $GM_{\\odot}/c^3 \\approx 5\\, мкс$. Поскольку рассматриваемый угол мал, $cos \\varepsilon = 1- \\varepsilon^2/2$, откуда $\\varepsilon^2 = 2 \\times (1 - 0.99988) = 0.00022$. Из графика в условии видим $\\Delta t_{max} - \\Delta t_{min} = 50~\\text{мкс}$. Из результатов предыдущего пункта получим $$ \\frac{\\Delta t_{max} - \\Delta t_{min}}{G M_{\\odot}/c^3} = 2 \\frac{M_{WD}}{M_{\\odot}}\\ln \\frac{4}{\\varepsilon^2} \\approx 10, $$откуда отношение масс $$ \\frac{M_{WD}}{M_{\\odot}} = \\frac{5}{ \\ln (4/\\varepsilon^2)} \\approx 0.5. $$ Ответ: \n                    \n $$ \\frac{M_{WD}}{M_{\\odot}} \\approx 0.5 $$\nC5 0.40 В двойной системе нейтронных звезд, звезды теряют энергию и момент импульса за счет излучения гравитационных волн и в конце концов сталкиваются и объединяются. Для простоты будем рассматривать только движение по окружности с радиусом $R$ и угловой скоростью $\\omega$, тогда формула $\\omega = \\chi R^p$ выполняется для некоторой постоянной $\\chi$ , которая не зависит ни от $\\omega$, ни от $R$, если не учитывать релятивистские эффекты. Определите значение $p$. При движении по окружности $\\mu v^2/R = G m_1 m_2/R^2$ ($\\mu = m_1 m_2/(m_1 + m_2)$ – приведенная масса). Отсюда угловая скорость $$\\omega = \\frac{v}{R} = \\sqrt{ \\frac{G(m_1 + m_2)}{R^3}}, $$то есть $\\omega \\sim R^{-3/2}$ Ответ: \n                    \n $$ p = - \\frac{3}{2} $$\nC6 0.20 Амплитуда гравитационной волны от двойной системы из C.5 пропорциональна $R^2 \\omega^2$. Рисунки ниже качественно показывают зависимости гравитационных волн от времени перед столкновением двух звезд. Выберите наиболее подходящую зависимость из (a) - (d). При излучении гравитационных волн двойная система теряет энергию, которая равна $- Gm_1m_2/(2R)$, расстояние между звездами уменьшается, а частота вращения возрастает. Значит частота излучаемых волн также возрастает. Мощность излучения пропорциональна $$ P \\sim R^2 \\omega^2 \\sim R^2 R^{-3} \\sim \\frac{1}{R}, $$ поэтому мощность излучения возрастает. Этим двум условиям удовлетворяет зависимость (b). Ответ: \n                    \n Зависимость (b)","figures":[],"shared":false}},{"id":"ipho-2023-t3","importedOn":"2026-10-28","language":"ru","sources":[{"url":"https://pho.rs/p/3708","kind":"statement"},{"url":"https://pho.rs/p/3708/s","kind":"solution"}],"statement":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"text","text":"\n                        \n                        \n В данной задаче мы рассмотрим явления, вызванные взаимодействием воды и предметов, связанным с поверхностным натяжением. В части A изучается движение, а части B и C посвящены статике.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n При необходимости Вы можете использовать факт, что если функция $y(x)$ удовлетворяет дифференциальному уравнению $y''(x)=a y(x)$ ($a$ — положительная постоянная), общее решение этого уравнения будет $y(x)=Ae^{\\sqrt{a}x}+B e^{-\\sqrt{a}x}$, где $A$ и $B$ – произвольные постоянные.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Слияние капель воды (2.0 балла)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Как показано на рис. 1, мы рассматриваем две стационарные сферические капли воды на поверхности из абсолютно несмачиваемого материала.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Первоначально находящиеся рядом две сферические капли воды с одинаковыми радиусами помещены на поверхность; затем эти две капли сливаются после касания друг друга и образуют большую сферическую каплю воды, которая неожиданно подпрыгивает.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 2.00"}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Радиусы $a$ обеих капель воды перед слиянием равны $100~ \\text{мкм}$. Плотность воды $\\rho$ равна $1.00 \\times 10^3 \\text{~кг} / \\text{м}^3$. Коэффициент поверхностного натяжения $\\gamma$ равен $7.27 \\times 10^{-2} \\text{~Дж} / \\text{м}^2$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Доля $k$ от $\\Delta E$ (изменения поверхностной энергии), преобразуется в кинетическую энергию подпрыгивающей капли воды. Определите начальную скорость подпрыгивания, $v$, слившейся капли воды с точностью до двух значащих цифр при следующих предположениях:"}]},{"type":"element","tag":"ul","children":[{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"$k=0.06$"}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"В процессе слияния объём воды не изменяется."}]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/8c4d8fe228126abeca50.webp","alt":"ipho-2023-t3 statement: original source diagram 1"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 1. Слияние двух капель воды и подпрыгивание слитой капли."}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть B. Вертикальная пластина (4.5 балла)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Плоская пластина вертикально погружена в воду. На рисунках 2(a) и 2(b) соответственно показаны формы поверхности воды в случаях смачиваемой и несмачиваемой пластин. Пренебрегайте толщиной пластины.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Поверхность пластины совпадает с плоскостью \\(yz\\), а горизонтальная поверхность воды далеко от пластины совпадает с плоскостью \\(xy\\). Форма поверхности не зависит от координаты \\(y\\). Пусть \\(\\theta (x)\\) --- угол между поверхностью воды и горизонтальной плоскостью в точке \\((x, z)\\) на поверхности воды в плоскости \\(xz\\). Здесь \\(\\theta (x)\\) измеряется по отношению к положительному направлению оси \\(x\\) и вращение против часовой стрелки считается положительным. Пусть \\(\\theta (x)\\) равен \\(\\theta_0\\) в точке контакта пластины с поверхностью воды (\\(x=0\\)). Далее \\(\\theta_0\\) не меняется вследствие свойств материала пластин.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Плотность воды $\\rho$ постоянна и коэффициент поверхностного натяжения $\\gamma$ одинаков. Ускорение свободного падения обозначим через $g$. Атмосферное давление $P_0$ предполагается всегда неизменным. Определим форму поверхности воды в несколько шагов. Заметьте, что коэффициент поверхностного натяжения измеряется в $\\text{Дж}/\\text{м}^2$ или $\\text{Н}/\\text{м}$.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/80257a7938f4cd936f49.webp","alt":"ipho-2023-t3 statement: original source diagram 2"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 2. Вертикально погруженные в воду пластины. (a) смачиваемая пластина;\n\n(b) несмачиваемая пластина."}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Рассмотрим смачиваемую пластину, как показано на рис. 2(a). Атмосферное давление $P_0$ считается всегда постоянным. Заметим, что давление воды $P$, удовлетворяет неравенствам $P < P_0$ для $z > 0$ и $P = P_0$ для $z = 0$. Выразите $P$ от $z$ через $\\rho$, $g$, $z$, и $P_0$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.80"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Рассмотрим выделенный объем воды, изображение которого затенено на рис. 3(a). Его сечение плоскостью $xz$ показано в виде заштрихованной области на рис. 3(b). Пусть $z_1$ и $z_2$ соответственно будут координаты левого и правого краев границы (поверхность воды) между объемом воды и воздухом."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Получите горизонтальную компоненту (компоненту $x$ ) силы, $f_x$, которая действует на выделенный объем воды из-за давления, на единицу длины вдоль оси $y$, выразив её через $\\rho$, $g$, $z_1$, and $z_2$. Заметьте, что атмосферное давление $P_0$ не создаёт горизонтальной силы на этот объем воды.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/831bd53ceab564afcd0f.webp","alt":"ipho-2023-t3 statement: original source diagram 3"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 3. Выделенный объем воды на ее поверхности. (a) вид в изометрии, (b) вид в разрезе."}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.80"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Поверхностное натяжение, действующее на объем воды, уравновешивается силой $f_x$, которая обсуждалась в B2. Обозначим соответственно за $\\theta_1$ и $\\theta_2$ углы между поверхностью воды и горизонтальной плоскостью на левом и правом краях. Выразите $f_x$ через $\\gamma$, $\\theta_1$, и $\\theta_2$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B4\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.80"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Следующее уравнение выполняется в произвольной точке $(x, z)$ на поверхности воды$$\\frac{1}{2}\\left( \\frac{z}{\\ell}\\right) ^{a}+\\cos\\theta(x)=\\operatorname{const}.$$Определите показатель степени $a$ и выразите постоянную $\\ell$ через $\\gamma$ и $\\rho$. Заметьте, что это уравнение выполняется независимо от того, является пластина смачиваемой или несмачиваемой.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B5\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n В уравнении (1), раздел B.4, мы предполагаем, что изменения положения поверхности воды небольшие. Разложите $\\cos\\theta(x)$ по $z' (x)$ до второго порядка. Затем, дифференцируя полученное уравнение по $x$, получите дифференциальное уравнение которому удовлетворяет $z(x)$. Решите это дифференциальное уравнение и определите $z(x)$ при $x\\geq 0$ , выразив его через $\\operatorname{tg}\\theta_0$ и $\\ell$. Заметьте, что вертикальные направления на рисунках 2 и 3 увеличены для большей наглядности и они не удовлетворяют условию $|z'(x)|\\ll1$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть C. Взаимодействие двух стержней (3.5 балла)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Одинаковые стержни A и B, сделанные из одинакового материала и плавающие параллельно друг другу на поверхности воды находятся на одинаковом расстоянии от оси y (рис. 4).\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/fc95198bfb7c77e6e93e.webp","alt":"ipho-2023-t3 statement: original source diagram 4"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 4: Два стержня A и B, плавающие на поверхности воды."}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Как показано на рис. 5, обозначим координаты по оси $z$ за $z_{\\rm{a}}$ и $z_{\\rm{b}}$в точках контактов между стержнем B и поверхностью воды, а также соответствующие углы обозначим за $\\theta_{\\rm{a}}$ и $\\theta_{\\rm{b}}$. Определите горизонтальную компоненту силы, $F_x$, действующей на стержень B на единицу длины вдоль оси $y$, выразив её через $\\theta_{\\rm{a}}$, $\\theta_{\\rm{b}}$, $z_{\\rm{a}}$, $z_{\\rm{b}}$, $\\rho$, $g$, и $\\gamma$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/1c0f0fde8ad042e4f1e2.webp","alt":"ipho-2023-t3 statement: original source diagram 5"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 5: Вертикальное сечение двух стержней, плавающих на поверхности воды."}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Определим координату $z$ поверхности воды $z_0$, в средней точке между двумя стержнями в плоскости $xz$. Выразите силу $F_x$, полученную в пункте C1, не используя $\\theta_{\\rm{a}}$, $\\theta_{\\rm{b}}$, $z_{\\rm{a}}$, и $z_{\\rm{b}}$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Пусть $x_{\\rm{a}}$ — координата $x$ точки контакта поверхности воды и стержня B слева от стержня. Используя дифференциальное уравнение, полученное в разделе B4, выразите координату уровня воды $z_0$ в точке посередине между этими двумя стержнями A и B через $x_{\\rm{a}}$ и $z_{\\rm{a}}$. Вы можете использовать постоянную $\\ell$, введённую в разделе B4.\n\n                \n                "}]}]}]}]}],"text":"В данной задаче мы рассмотрим явления, вызванные взаимодействием воды и предметов, связанным с поверхностным натяжением. В части A изучается движение, а части B и C посвящены статике. При необходимости Вы можете использовать факт, что если функция $y(x)$ удовлетворяет дифференциальному уравнению $y''(x)=a y(x)$ ($a$ — положительная постоянная), общее решение этого уравнения будет $y(x)=Ae^{\\sqrt{a}x}+B e^{-\\sqrt{a}x}$, где $A$ и $B$ – произвольные постоянные. Слияние капель воды (2.0 балла) Как показано на рис. 1, мы рассматриваем две стационарные сферические капли воды на поверхности из абсолютно несмачиваемого материала. Первоначально находящиеся рядом две сферические капли воды с одинаковыми радиусами помещены на поверхность; затем эти две капли сливаются после касания друг друга и образуют большую сферическую каплю воды, которая неожиданно подпрыгивает. A1 2.00 Радиусы $a$ обеих капель воды перед слиянием равны $100~ \\text{мкм}$. Плотность воды $\\rho$ равна $1.00 \\times 10^3 \\text{~кг} / \\text{м}^3$. Коэффициент поверхностного натяжения $\\gamma$ равен $7.27 \\times 10^{-2} \\text{~Дж} / \\text{м}^2$. Доля $k$ от $\\Delta E$ (изменения поверхностной энергии), преобразуется в кинетическую энергию подпрыгивающей капли воды. Определите начальную скорость подпрыгивания, $v$, слившейся капли воды с точностью до двух значащих цифр при следующих предположениях: $k=0.06$ В процессе слияния объём воды не изменяется. Рис. 1. Слияние двух капель воды и подпрыгивание слитой капли. Часть B. Вертикальная пластина (4.5 балла) Плоская пластина вертикально погружена в воду. На рисунках 2(a) и 2(b) соответственно показаны формы поверхности воды в случаях смачиваемой и несмачиваемой пластин. Пренебрегайте толщиной пластины. Поверхность пластины совпадает с плоскостью \\(yz\\), а горизонтальная поверхность воды далеко от пластины совпадает с плоскостью \\(xy\\). Форма поверхности не зависит от координаты \\(y\\). Пусть \\(\\theta (x)\\) --- угол между поверхностью воды и горизонтальной плоскостью в точке \\((x, z)\\) на поверхности воды в плоскости \\(xz\\). Здесь \\(\\theta (x)\\) измеряется по отношению к положительному направлению оси \\(x\\) и вращение против часовой стрелки считается положительным. Пусть \\(\\theta (x)\\) равен \\(\\theta_0\\) в точке контакта пластины с поверхностью воды (\\(x=0\\)). Далее \\(\\theta_0\\) не меняется вследствие свойств материала пластин. Плотность воды $\\rho$ постоянна и коэффициент поверхностного натяжения $\\gamma$ одинаков. Ускорение свободного падения обозначим через $g$. Атмосферное давление $P_0$ предполагается всегда неизменным. Определим форму поверхности воды в несколько шагов. Заметьте, что коэффициент поверхностного натяжения измеряется в $\\text{Дж}/\\text{м}^2$ или $\\text{Н}/\\text{м}$. Рис. 2. Вертикально погруженные в воду пластины. (a) смачиваемая пластина;\n\n(b) несмачиваемая пластина. B1 0.60 Рассмотрим смачиваемую пластину, как показано на рис. 2(a). Атмосферное давление $P_0$ считается всегда постоянным. Заметим, что давление воды $P$, удовлетворяет неравенствам $P < P_0$ для $z > 0$ и $P = P_0$ для $z = 0$. Выразите $P$ от $z$ через $\\rho$, $g$, $z$, и $P_0$. B2 0.80 Рассмотрим выделенный объем воды, изображение которого затенено на рис. 3(a). Его сечение плоскостью $xz$ показано в виде заштрихованной области на рис. 3(b). Пусть $z_1$ и $z_2$ соответственно будут координаты левого и правого краев границы (поверхность воды) между объемом воды и воздухом. Получите горизонтальную компоненту (компоненту $x$ ) силы, $f_x$, которая действует на выделенный объем воды из-за давления, на единицу длины вдоль оси $y$, выразив её через $\\rho$, $g$, $z_1$, and $z_2$. Заметьте, что атмосферное давление $P_0$ не создаёт горизонтальной силы на этот объем воды. Рис. 3. Выделенный объем воды на ее поверхности. (a) вид в изометрии, (b) вид в разрезе. B3 0.80 Поверхностное натяжение, действующее на объем воды, уравновешивается силой $f_x$, которая обсуждалась в B2. Обозначим соответственно за $\\theta_1$ и $\\theta_2$ углы между поверхностью воды и горизонтальной плоскостью на левом и правом краях. Выразите $f_x$ через $\\gamma$, $\\theta_1$, и $\\theta_2$. B4 0.80 Следующее уравнение выполняется в произвольной точке $(x, z)$ на поверхности воды$$\\frac{1}{2}\\left( \\frac{z}{\\ell}\\right) ^{a}+\\cos\\theta(x)=\\operatorname{const}.$$Определите показатель степени $a$ и выразите постоянную $\\ell$ через $\\gamma$ и $\\rho$. Заметьте, что это уравнение выполняется независимо от того, является пластина смачиваемой или несмачиваемой. B5 1.50 В уравнении (1), раздел B.4, мы предполагаем, что изменения положения поверхности воды небольшие. Разложите $\\cos\\theta(x)$ по $z' (x)$ до второго порядка. Затем, дифференцируя полученное уравнение по $x$, получите дифференциальное уравнение которому удовлетворяет $z(x)$. Решите это дифференциальное уравнение и определите $z(x)$ при $x\\geq 0$ , выразив его через $\\operatorname{tg}\\theta_0$ и $\\ell$. Заметьте, что вертикальные направления на рисунках 2 и 3 увеличены для большей наглядности и они не удовлетворяют условию $|z'(x)|\\ll1$. Часть C. Взаимодействие двух стержней (3.5 балла) Одинаковые стержни A и B, сделанные из одинакового материала и плавающие параллельно друг другу на поверхности воды находятся на одинаковом расстоянии от оси y (рис. 4). Рис. 4: Два стержня A и B, плавающие на поверхности воды. C1 1.00 Как показано на рис. 5, обозначим координаты по оси $z$ за $z_{\\rm{a}}$ и $z_{\\rm{b}}$в точках контактов между стержнем B и поверхностью воды, а также соответствующие углы обозначим за $\\theta_{\\rm{a}}$ и $\\theta_{\\rm{b}}$. Определите горизонтальную компоненту силы, $F_x$, действующей на стержень B на единицу длины вдоль оси $y$, выразив её через $\\theta_{\\rm{a}}$, $\\theta_{\\rm{b}}$, $z_{\\rm{a}}$, $z_{\\rm{b}}$, $\\rho$, $g$, и $\\gamma$. Рис. 5: Вертикальное сечение двух стержней, плавающих на поверхности воды. C2 1.50 Определим координату $z$ поверхности воды $z_0$, в средней точке между двумя стержнями в плоскости $xz$. Выразите силу $F_x$, полученную в пункте C1, не используя $\\theta_{\\rm{a}}$, $\\theta_{\\rm{b}}$, $z_{\\rm{a}}$, и $z_{\\rm{b}}$. C3 1.00 Пусть $x_{\\rm{a}}$ — координата $x$ точки контакта поверхности воды и стержня B слева от стержня. Используя дифференциальное уравнение, полученное в разделе B4, выразите координату уровня воды $z_0$ в точке посередине между этими двумя стержнями A и B через $x_{\\rm{a}}$ и $z_{\\rm{a}}$. Вы можете использовать постоянную $\\ell$, введённую в разделе B4.\n","figures":["/corpus/figures/8c4d8fe228126abeca50.webp","/corpus/figures/80257a7938f4cd936f49.webp","/corpus/figures/831bd53ceab564afcd0f.webp","/corpus/figures/fc95198bfb7c77e6e93e.webp","/corpus/figures/1c0f0fde8ad042e4f1e2.webp"],"shared":false},"solution":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 2.00"}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Радиусы $a$ обеих капель воды перед слиянием равны $100~ \\text{мкм}$. Плотность воды $\\rho$ равна $1.00 \\times 10^3 \\text{~кг} / \\text{м}^3$. Коэффициент поверхностного натяжения $\\gamma$ равен $7.27 \\times 10^{-2} \\text{~Дж} / \\text{м}^2$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Доля $k$ от $\\Delta E$ (изменения поверхностной энергии), преобразуется в кинетическую энергию подпрыгивающей капли воды. Определите начальную скорость подпрыгивания, $v$, слившейся капли воды с точностью до двух значащих цифр при следующих предположениях:"}]},{"type":"element","tag":"ul","children":[{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"$k=0.06$"}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"В процессе слияния объём воды не изменяется."}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Поверхностная энергия каждой из капель до объединения"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"E = 4\\pi \\gamma a^2."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$При объединении объем капель сохраняется, поэтому конечный радиус капли $a_1$ можно найти из соотношения"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\frac{4 \\pi}{3} a_1^3 = 2 \\frac{4 \\pi}{3}a^3, \\quad a_1 = 2^{1/3}a. "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Тогда изменение поверхностной энергии"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\Delta E =  2\\times 4 \\pi \\gamma a^2  - 4\\pi \\gamma a_1^2 =   (2 - 2^{2/3}) 4 \\pi \\gamma a^2."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$С учетом того, что в кинетическую энергию переходит доля $k$ всей поверхностной энергии, для скорости получим"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\frac{M v^2}{2} = k \\Delta E,"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$где масса капли после слияния"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"M = 2 \\frac{4\\pi}{3} \\rho a^3 = \\frac{8\\pi}{3} \\rho a^3.  "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Отсюда скорость"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"v = \\sqrt{\\frac{2 k \\Delta E}{M}} = \\sqrt{3(2 - 2^{2/3})\\frac{k \\gamma}{\\rho a}} = 0.23~\\text{м}/\\text{с}."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"v= \\sqrt{3(2 - 2^{2/3})\\frac{k \\gamma}{\\rho a}} = 0.23~\\text{м}/\\text{с}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Рассмотрим смачиваемую пластину, как показано на рис. 2(a). Атмосферное давление $P_0$ считается всегда постоянным. Заметим, что давление воды $P$, удовлетворяет неравенствам $P < P_0$ для $z > 0$ и $P = P_0$ для $z = 0$. Выразите $P$ от $z$ через $\\rho$, $g$, $z$, и $P_0$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"P = P_0  - \\rho g z"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.80"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Рассмотрим выделенный объем воды, изображение которого затенено на рис. 3(a). Его сечение плоскостью $xz$ показано в виде заштрихованной области на рис. 3(b). Пусть $z_1$ и $z_2$ соответственно будут координаты левого и правого краев границы (поверхность воды) между объемом воды и воздухом."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Получите горизонтальную компоненту (компоненту $x$ ) силы, $f_x$, которая действует на выделенный объем воды из-за давления, на единицу длины вдоль оси $y$, выразив её через $\\rho$, $g$, $z_1$, and $z_2$. Заметьте, что атмосферное давление $P_0$ не создаёт горизонтальной силы на этот объем воды.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Постоянное атмосферное давление не создает никакой горизонтальной силы на выделенный объем, сила возникает только за счет избыточного давления воды. Она равна (на единицу длины)"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"f_x = \\int_{z_2}^{z_1} (- \\rho g z) dz = \\frac{1}{2} \\rho g (z_2^2 - z_1^2)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"f_x= \\frac{1}{2} \\rho g (z_2^2 - z_1^2)"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.80"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Поверхностное натяжение, действующее на объем воды, уравновешивается силой $f_x$, которая обсуждалась в B2. Обозначим соответственно за $\\theta_1$ и $\\theta_2$ углы между поверхностью воды и горизонтальной плоскостью на левом и правом краях. Выразите $f_x$ через $\\gamma$, $\\theta_1$, и $\\theta_2$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Обратим внимание, что здесь нужна не сила поверхностного натяжения, действующая на заданный объем воды, а выражение силы давления воды $f_x$ через силы поверхностного натяжения в состоянии равновесия. Это важно для правильного выбора знаков.\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"f_x = \\gamma \\cos \\theta_1 - \\gamma \\cos \\theta_2"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B4\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.80"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Следующее уравнение выполняется в произвольной точке $(x, z)$ на поверхности воды$$\\frac{1}{2}\\left( \\frac{z}{\\ell}\\right) ^{a}+\\cos\\theta(x)=\\operatorname{const}.$$Определите показатель степени $a$ и выразите постоянную $\\ell$ через $\\gamma$ и $\\rho$. Заметьте, что это уравнение выполняется независимо от того, является пластина смачиваемой или несмачиваемой.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Условие равновесия имеет вид"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"f_x =  \\frac{1}{2} \\rho g (z_2^2 - z_1^2)  = \\gamma \\cos \\theta_1 - \\gamma \\cos \\theta_2,"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$откуда "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\frac{1}{2}\\rho g z_1^2 + \\gamma \\cos \\theta_1 = \\frac{1}{2}\\rho g z_2^2 + \\gamma \\cos \\theta_2."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Разделив на $\\gamma$, получим"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\frac{1}{2} \\frac{z^2}{\\gamma/(\\rho g)} + \\cos \\theta(x) = const"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"a = 2, \\quad l = \\sqrt{\\frac{\\gamma}{\\rho g}}."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B5\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n В уравнении (1), раздел B.4, мы предполагаем, что изменения положения поверхности воды небольшие. Разложите $\\cos\\theta(x)$ по $z' (x)$ до второго порядка. Затем, дифференцируя полученное уравнение по $x$, получите дифференциальное уравнение которому удовлетворяет $z(x)$. Решите это дифференциальное уравнение и определите $z(x)$ при $x\\geq 0$ , выразив его через $\\operatorname{tg}\\theta_0$ и $\\ell$. Заметьте, что вертикальные направления на рисунках 2 и 3 увеличены для большей наглядности и они не удовлетворяют условию $|z'(x)|\\ll1$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Производная функции $z(x)$ задает тангенс угла поверхности с горизонталью:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\tan\\theta (x) = z'(x),"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$откуда"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\cos \\theta = \\frac{1}{\\sqrt{1 + z^{\\prime 2}}} \\approx 1 - \\frac{1}{2} z^{\\prime 2},"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$где мы учли малость производной."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Подставляя это в условие из предыдущего пункта, получим"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\frac{1}{2} \\frac{z^2}{l^2}  + 1 - \\frac{1}{2} z^{\\prime 2} = const,"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":" \\frac{z^2}{l^2} - z^{\\prime 2} = const."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Продифференцировав, найдем уравнение на форму поверхности"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"z'' = \\frac{z}{l^2},"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$его общее решение"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"z = Ae^{x/l} + B e^{- x/l}."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$На большом расстоянии до стенки $z (\\infty) = 0$, поэтому коэффициент перед растущей экспонентой $A = 0$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Второй коэффициент найдем из значения угла $\\theta_0$ вблизи стенки,"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\tan \\theta_0 =  z'(0) = - B/l, \\quad B = - l \\tan \\theta_0."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$ \n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"z = - l \\tan \\theta_0  e^{- x/l}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Как показано на рис. 5, обозначим координаты по оси $z$ за $z_{\\rm{a}}$ и $z_{\\rm{b}}$в точках контактов между стержнем B и поверхностью воды, а также соответствующие углы обозначим за $\\theta_{\\rm{a}}$ и $\\theta_{\\rm{b}}$. Определите горизонтальную компоненту силы, $F_x$, действующей на стержень B на единицу длины вдоль оси $y$, выразив её через $\\theta_{\\rm{a}}$, $\\theta_{\\rm{b}}$, $z_{\\rm{a}}$, $z_{\\rm{b}}$, $\\rho$, $g$, и $\\gamma$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Используем результаты пунктов B2 и B3. В отличие от пункта B3 здесь нужна именно сила поверхностного натяжения, которая действует на выделенный объем. Вклад силы поверхностного натяжения"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"F_{surf} = \\gamma (\\cos \\theta_b - \\cos \\theta_a)"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$ можно записать сразу."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Для вычисления силы давления разобьем цилиндр на левую и правую части, координата нижней точки цилиндра $z_{bottom}$,  тогда сила давления"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"F = \\int_{z_{bottom}}^{z_a} (- \\rho g z) dz - \\int_{z_{bottom}}^{z_b} (- \\rho g z) dz = \\int _{z_a}^{z_b} \\rho g z \\, dz= "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\frac{1}{2} \\rho g (z_b^2 - z_a^2)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/1ec28b691b41e28dc228.webp","alt":"ipho-2023-t3 solution: original source diagram 1"}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Докажем также, что горизонтальная составляющая силы давления зависит только от уровня воды, но не от формы объекта. Для этого заметим, что в некоторой точке $s$ сила давления направлена перпендикулярно поверхности и равна (на единицу длины)"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"d\\vec{F}= - P \\vec{n}  ds = (- P_0 + \\rho g z)\\vec{n} ds"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$где $\\vec{n}$ – единичный вектор нормали к поверхности, $ds$ – длина выбранного участка поверхности. Горизонтальная составляющая вектора $\\vec{n} ds = dx$, поэтому горизонтальная составляющая силы"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"dF_x=-P_0 dz + \\rho g z dz."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Интегрируя это выражение по поверхности, получим требуемый результат. Вклад постоянного давления $P_0$ сокращается, поскольку оно действует на всю поверхность цилиндра (а не только на погруженную в воду).\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"F_x = \\frac{1}{2} \\rho g (z_b^2 - z_a^2) + \\gamma (\\cos \\theta_b - \\cos \\theta_a)"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Определим координату $z$ поверхности воды $z_0$, в средней точке между двумя стержнями в плоскости $xz$. Выразите силу $F_x$, полученную в пункте C1, не используя $\\theta_{\\rm{a}}$, $\\theta_{\\rm{b}}$, $z_{\\rm{a}}$, и $z_{\\rm{b}}$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Используя граничные условия (на большом расстоянии справа $z = 0$, и поверхность горизонтальна, в центре $z = z_0$, поверхность также горизонтальна), а также уравнение из B4, найдем "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\frac{1}{2} \\rho g z_a^2 + \\gamma \\cos \\theta_a  = \\frac{1}{2} \\rho g z_0^2 + \\gamma "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$из условия в центре, из условия на бесконечности"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\frac{1}{2} \\rho g z_b^2 + \\gamma \\cos \\theta_b  = \\gamma."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Подставляя это в выражение для силы, получим"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"F = - \\frac{1}{2} \\rho g z_0^2"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Пусть $x_{\\rm{a}}$ — координата $x$ точки контакта поверхности воды и стержня B слева от стержня. Используя дифференциальное уравнение, полученное в разделе B4, выразите координату уровня воды $z_0$ в точке посередине между этими двумя стержнями A и B через $x_{\\rm{a}}$ и $z_{\\rm{a}}$. Вы можете использовать постоянную $\\ell$, введённую в разделе B4.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Общее решение для $z(x)$ между цилиндрами"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"z(x) = A e^{x/l} + B e^{-x/l}."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Из условий в центре $z(0) = z_0$, $z'(0) = 0$ получим"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"A + B = z_0 , \\quad A = B,"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$поэтому"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"A = B = \\frac{z_0}{2}."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Тогда"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"z(x) = \\frac{z_0}{2} \\left( e^{x/l} +  e^{-x/l}\\right) = z_0 \\cosh \\frac{x}{l}, \\quad z_a = z_0 \\cosh \\frac{x_a}{l}."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"z_0 = \\frac{z_a}{\\cosh (x_a/l)} = \\frac{2 z_a}{e^{x_a/l} +e^{-x_a/l} }"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]}],"text":"A1 2.00 Радиусы $a$ обеих капель воды перед слиянием равны $100~ \\text{мкм}$. Плотность воды $\\rho$ равна $1.00 \\times 10^3 \\text{~кг} / \\text{м}^3$. Коэффициент поверхностного натяжения $\\gamma$ равен $7.27 \\times 10^{-2} \\text{~Дж} / \\text{м}^2$. Доля $k$ от $\\Delta E$ (изменения поверхностной энергии), преобразуется в кинетическую энергию подпрыгивающей капли воды. Определите начальную скорость подпрыгивания, $v$, слившейся капли воды с точностью до двух значащих цифр при следующих предположениях: $k=0.06$ В процессе слияния объём воды не изменяется. Поверхностная энергия каждой из капель до объединения $$ E = 4\\pi \\gamma a^2. $$При объединении объем капель сохраняется, поэтому конечный радиус капли $a_1$ можно найти из соотношения $$ \\frac{4 \\pi}{3} a_1^3 = 2 \\frac{4 \\pi}{3}a^3, \\quad a_1 = 2^{1/3}a. $$Тогда изменение поверхностной энергии $$ \\Delta E =  2\\times 4 \\pi \\gamma a^2  - 4\\pi \\gamma a_1^2 =   (2 - 2^{2/3}) 4 \\pi \\gamma a^2. $$С учетом того, что в кинетическую энергию переходит доля $k$ всей поверхностной энергии, для скорости получим $$ \\frac{M v^2}{2} = k \\Delta E, $$где масса капли после слияния $$ M = 2 \\frac{4\\pi}{3} \\rho a^3 = \\frac{8\\pi}{3} \\rho a^3. $$Отсюда скорость $$ v = \\sqrt{\\frac{2 k \\Delta E}{M}} = \\sqrt{3(2 - 2^{2/3})\\frac{k \\gamma}{\\rho a}} = 0.23~\\text{м}/\\text{с}. $$ Ответ: \n                    \n $$ v= \\sqrt{3(2 - 2^{2/3})\\frac{k \\gamma}{\\rho a}} = 0.23~\\text{м}/\\text{с} $$\nB1 0.60 Рассмотрим смачиваемую пластину, как показано на рис. 2(a). Атмосферное давление $P_0$ считается всегда постоянным. Заметим, что давление воды $P$, удовлетворяет неравенствам $P < P_0$ для $z > 0$ и $P = P_0$ для $z = 0$. Выразите $P$ от $z$ через $\\rho$, $g$, $z$, и $P_0$. Ответ: \n                    \n $$ P = P_0  - \\rho g z $$\nB2 0.80 Рассмотрим выделенный объем воды, изображение которого затенено на рис. 3(a). Его сечение плоскостью $xz$ показано в виде заштрихованной области на рис. 3(b). Пусть $z_1$ и $z_2$ соответственно будут координаты левого и правого краев границы (поверхность воды) между объемом воды и воздухом. Получите горизонтальную компоненту (компоненту $x$ ) силы, $f_x$, которая действует на выделенный объем воды из-за давления, на единицу длины вдоль оси $y$, выразив её через $\\rho$, $g$, $z_1$, and $z_2$. Заметьте, что атмосферное давление $P_0$ не создаёт горизонтальной силы на этот объем воды. Постоянное атмосферное давление не создает никакой горизонтальной силы на выделенный объем, сила возникает только за счет избыточного давления воды. Она равна (на единицу длины) $$ f_x = \\int_{z_2}^{z_1} (- \\rho g z) dz = \\frac{1}{2} \\rho g (z_2^2 - z_1^2). $$ Ответ: \n                    \n $$ f_x= \\frac{1}{2} \\rho g (z_2^2 - z_1^2) $$\nB3 0.80 Поверхностное натяжение, действующее на объем воды, уравновешивается силой $f_x$, которая обсуждалась в B2. Обозначим соответственно за $\\theta_1$ и $\\theta_2$ углы между поверхностью воды и горизонтальной плоскостью на левом и правом краях. Выразите $f_x$ через $\\gamma$, $\\theta_1$, и $\\theta_2$. Обратим внимание, что здесь нужна не сила поверхностного натяжения, действующая на заданный объем воды, а выражение силы давления воды $f_x$ через силы поверхностного натяжения в состоянии равновесия. Это важно для правильного выбора знаков. Ответ: \n                    \n $$ f_x = \\gamma \\cos \\theta_1 - \\gamma \\cos \\theta_2 $$\nB4 0.80 Следующее уравнение выполняется в произвольной точке $(x, z)$ на поверхности воды$$\\frac{1}{2}\\left( \\frac{z}{\\ell}\\right) ^{a}+\\cos\\theta(x)=\\operatorname{const}.$$Определите показатель степени $a$ и выразите постоянную $\\ell$ через $\\gamma$ и $\\rho$. Заметьте, что это уравнение выполняется независимо от того, является пластина смачиваемой или несмачиваемой. Условие равновесия имеет вид $$ f_x =  \\frac{1}{2} \\rho g (z_2^2 - z_1^2)  = \\gamma \\cos \\theta_1 - \\gamma \\cos \\theta_2, $$откуда $$ \\frac{1}{2}\\rho g z_1^2 + \\gamma \\cos \\theta_1 = \\frac{1}{2}\\rho g z_2^2 + \\gamma \\cos \\theta_2. $$Разделив на $\\gamma$, получим $$ \\frac{1}{2} \\frac{z^2}{\\gamma/(\\rho g)} + \\cos \\theta(x) = const $$ Ответ: \n                    \n $$ a = 2, \\quad l = \\sqrt{\\frac{\\gamma}{\\rho g}}. $$\nB5 1.50 В уравнении (1), раздел B.4, мы предполагаем, что изменения положения поверхности воды небольшие. Разложите $\\cos\\theta(x)$ по $z' (x)$ до второго порядка. Затем, дифференцируя полученное уравнение по $x$, получите дифференциальное уравнение которому удовлетворяет $z(x)$. Решите это дифференциальное уравнение и определите $z(x)$ при $x\\geq 0$ , выразив его через $\\operatorname{tg}\\theta_0$ и $\\ell$. Заметьте, что вертикальные направления на рисунках 2 и 3 увеличены для большей наглядности и они не удовлетворяют условию $|z'(x)|\\ll1$. Производная функции $z(x)$ задает тангенс угла поверхности с горизонталью: $$ \\tan\\theta (x) = z'(x), $$откуда $$ \\cos \\theta = \\frac{1}{\\sqrt{1 + z^{\\prime 2}}} \\approx 1 - \\frac{1}{2} z^{\\prime 2}, $$где мы учли малость производной. Подставляя это в условие из предыдущего пункта, получим $$ \\frac{1}{2} \\frac{z^2}{l^2}  + 1 - \\frac{1}{2} z^{\\prime 2} = const, $$$$ \\frac{z^2}{l^2} - z^{\\prime 2} = const. $$Продифференцировав, найдем уравнение на форму поверхности $$ z'' = \\frac{z}{l^2}, $$его общее решение $$ z = Ae^{x/l} + B e^{- x/l}. $$На большом расстоянии до стенки $z (\\infty) = 0$, поэтому коэффициент перед растущей экспонентой $A = 0$. Второй коэффициент найдем из значения угла $\\theta_0$ вблизи стенки, $$ \\tan \\theta_0 =  z'(0) = - B/l, \\quad B = - l \\tan \\theta_0. $$ Ответ: \n                    \n $$ z = - l \\tan \\theta_0  e^{- x/l} $$\nC1 1.00 Как показано на рис. 5, обозначим координаты по оси $z$ за $z_{\\rm{a}}$ и $z_{\\rm{b}}$в точках контактов между стержнем B и поверхностью воды, а также соответствующие углы обозначим за $\\theta_{\\rm{a}}$ и $\\theta_{\\rm{b}}$. Определите горизонтальную компоненту силы, $F_x$, действующей на стержень B на единицу длины вдоль оси $y$, выразив её через $\\theta_{\\rm{a}}$, $\\theta_{\\rm{b}}$, $z_{\\rm{a}}$, $z_{\\rm{b}}$, $\\rho$, $g$, и $\\gamma$. Используем результаты пунктов B2 и B3. В отличие от пункта B3 здесь нужна именно сила поверхностного натяжения, которая действует на выделенный объем. Вклад силы поверхностного натяжения $$ F_{surf} = \\gamma (\\cos \\theta_b - \\cos \\theta_a) $$ можно записать сразу. Для вычисления силы давления разобьем цилиндр на левую и правую части, координата нижней точки цилиндра $z_{bottom}$,  тогда сила давления $$ F = \\int_{z_{bottom}}^{z_a} (- \\rho g z) dz - \\int_{z_{bottom}}^{z_b} (- \\rho g z) dz = \\int _{z_a}^{z_b} \\rho g z \\, dz= \\frac{1}{2} \\rho g (z_b^2 - z_a^2). $$ Докажем также, что горизонтальная составляющая силы давления зависит только от уровня воды, но не от формы объекта. Для этого заметим, что в некоторой точке $s$ сила давления направлена перпендикулярно поверхности и равна (на единицу длины) $$ d\\vec{F}= - P \\vec{n}  ds = (- P_0 + \\rho g z)\\vec{n} ds $$где $\\vec{n}$ – единичный вектор нормали к поверхности, $ds$ – длина выбранного участка поверхности. Горизонтальная составляющая вектора $\\vec{n} ds = dx$, поэтому горизонтальная составляющая силы $$ dF_x=-P_0 dz + \\rho g z dz. $$Интегрируя это выражение по поверхности, получим требуемый результат. Вклад постоянного давления $P_0$ сокращается, поскольку оно действует на всю поверхность цилиндра (а не только на погруженную в воду). Ответ: \n                    \n $$ F_x = \\frac{1}{2} \\rho g (z_b^2 - z_a^2) + \\gamma (\\cos \\theta_b - \\cos \\theta_a) $$\nC2 1.50 Определим координату $z$ поверхности воды $z_0$, в средней точке между двумя стержнями в плоскости $xz$. Выразите силу $F_x$, полученную в пункте C1, не используя $\\theta_{\\rm{a}}$, $\\theta_{\\rm{b}}$, $z_{\\rm{a}}$, и $z_{\\rm{b}}$. Используя граничные условия (на большом расстоянии справа $z = 0$, и поверхность горизонтальна, в центре $z = z_0$, поверхность также горизонтальна), а также уравнение из B4, найдем $$ \\frac{1}{2} \\rho g z_a^2 + \\gamma \\cos \\theta_a  = \\frac{1}{2} \\rho g z_0^2 + \\gamma $$из условия в центре, из условия на бесконечности $$ \\frac{1}{2} \\rho g z_b^2 + \\gamma \\cos \\theta_b  = \\gamma. $$Подставляя это в выражение для силы, получим Ответ: \n                    \n $$ F = - \\frac{1}{2} \\rho g z_0^2 $$\nC3 1.00 Пусть $x_{\\rm{a}}$ — координата $x$ точки контакта поверхности воды и стержня B слева от стержня. Используя дифференциальное уравнение, полученное в разделе B4, выразите координату уровня воды $z_0$ в точке посередине между этими двумя стержнями A и B через $x_{\\rm{a}}$ и $z_{\\rm{a}}$. Вы можете использовать постоянную $\\ell$, введённую в разделе B4. Общее решение для $z(x)$ между цилиндрами $$ z(x) = A e^{x/l} + B e^{-x/l}. $$Из условий в центре $z(0) = z_0$, $z'(0) = 0$ получим $$ A + B = z_0 , \\quad A = B, $$поэтому $$ A = B = \\frac{z_0}{2}. $$Тогда $$ z(x) = \\frac{z_0}{2} \\left( e^{x/l} +  e^{-x/l}\\right) = z_0 \\cosh \\frac{x}{l}, \\quad z_a = z_0 \\cosh \\frac{x_a}{l}. $$ Ответ: \n                    \n $$ z_0 = \\frac{z_a}{\\cosh (x_a/l)} = \\frac{2 z_a}{e^{x_a/l} +e^{-x_a/l} } $$","figures":["/corpus/figures/1ec28b691b41e28dc228.webp"],"shared":false}},{"id":"ipho-2021-t1","importedOn":"2026-10-28","language":"ru","sources":[{"url":"https://pho.rs/p/382","kind":"statement"},{"url":"https://pho.rs/p/382/s","kind":"solution"}],"statement":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"text","text":"\n                        \n                        \n\n\n\n\tЭта задача состоит из двух независимых задач про недра планет. Эффекты кривизны поверхности планеты не учитывайте. Вам может понадобиться формула: $$(1+x)^{\\varepsilon}\\approx1+\\varepsilon x,\\,\\,\\mathrm{где} \\:|x|\\ll1.$$\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть A. Срединно-океанический хребет (5 баллов)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tРассмотрим большой сосуд с водой (water), который находится в однородном гравитационном поле с ускорением свободного падения $g$. Две прямоугольные параллельные друг другу вертикальные пластины вставлены в сосуд так, что никакая жидкость не может входить или выходить из зазора между торцами пластин и стенками сосуда. Каждая пластина погружена в воду на глубину $h$ (рис. 1). Размер пластин по оси $y$ равен $w$. Плотность воды $\\rho_0$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/e6db510cfe9946eb53b7.webp","alt":"ipho-2021-t1 statement: original source diagram 1"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 1."}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tМасло (oil) плотности $\\rho_{\\mathrm{oil}}\\:(\\rho_{\\mathrm{oil}}<\\rho_{0})$ заливается в пространство между пластинами до тех пор, пока нижняя граница масла не достигнет нижнего края пластин. Считайте, что пластины и стенки сосуда достаточно высоки, чтобы масло не переливалось через них. Поверхностным натяжением и перемешиванием жидкостей можно пренебречь."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.80"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tЧему равна $x$-компонента $F_x$ полной силы, действующей на правую пластину? Укажите величину и направление."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tНа рис. 2 показано поперечное сечение срединно-океанического хребта. Он состоит из трёх слоев: мантии (mantle), коры (crust) и воды (water). Мантия состоит из породы, которую на геологических временных масштабах можно считать текучей, а, значит можно считать жидкостью в рамках задачи. Толщина коры (твердые породы) намного меньше характерного масштаба длины в $x$-направлении, следовательно, кора ведет себя как свободно изгибаемая пластина. С высокой точностью такой гребень можно смоделировать как двумерную систему без каких-либо изменений переменных вдоль оси $y$, которая перпендикулярна плоскости рис. 2. Любая длина в этой задаче намного меньше чем длина гребня $L$ (вдоль оси $y$)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tВ центре хребта толщина коры равна нулю. По мере увеличения горизонтального расстояния $x$ от центра толщина коры становится больше и равна $D$ при $x\\rightarrow\\infty$. Соответственно, дно океана опускается на $h$ ниже вершины хребта O. В вершине хребта разместим начало координат (рис. 2). Плотность воды $\\rho_0$, её температура $T_0$, плотность мантии $\\rho_1$, её температура $T_1$постоянны во времени и пространстве. Температура коры $T$ постоянна во времени и зависит от координат."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tМатериал земной коры расширяется линейно с температурой $T$: $$l(T)=l_{1} \\left[1-k_{l} (T_{1}-T)\\ /(T_{1}-T_{0})\\right],$$ где $ l $ — длина куска материала земной коры, $l_{1}$ — его длина при температуре $T_1$, $k_l$ — постоянный коэффициент теплового расширения, приведённый к разности температур."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/0349daf83b3eec4f014b.webp","alt":"ipho-2021-t1 statement: original source diagram 2"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 2."}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tСчитая, что материал коры изотропен, найдите, как плотность коры $\\rho$ зависит от ее температуры $T$. Предполагая, что $|k_l|\\ll1$, напишите свой ответ в приблизительной форме."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\\rho(T)\\approx\\rho_1 \\left[1+k\\frac{T_1-T}{T_1-T_0}\\right],$$где члены порядка $k_l^2$ и выше не учитываются. Определите константу $k$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tИзвестно, что $k>0$. Теплопроводность коры равна $\\kappa$ и постоянна. Как следствие, достаточно далеко от оси хребта температура коры линейно зависит от глубины."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.10"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tПредполагая, что мантия и вода ведут себя как несжимаемые жидкости при гидростатическом равновесии, выразите толщину земной коры $D$ на достаточно большом расстоянии через $h$, $\\rho_0$, $\\rho_1$, и $k$. Любым движением материала можно пренебречь."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A4\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tНайдите (оставив только наибольшее по $k$ слагаемое) итоговую горизонтальную силу $F$, действующую на правую ($x>0$) достаточно длинную часть коры через $\\rho_0$, $\\rho_1$, $h$, $L$, $k$ и $g$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tПредположим, что кора оказалась внезапно термически изолирована от остальной части Земли. В результате теплопроводности температуры верхней и нижней поверхностей коры становятся ближе друг к другу до наступления теплового равновесия. Удельная теплоемкость коры постоянна и равна $c$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A5\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.90"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tИспользуя метод размерностей или анализ по порядку величины, оцените характерное время $\\tau$, за которое разница между температурами верхней и нижней поверхностями земной коры на достаточно большом расстоянии от оси хребта приблизится к нулю. Можно считать, что $\\tau$ не зависит от двух начальных температур поверхностей коры."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть B. Сейсмические волны в слоистой среде (5 баллов)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tПредположим, что короткое землетрясение произошло на поверхности некоторой планеты. Сейсмические волны создаются линейным источником, расположенным в $z=x=0$, Здесь $x$ — горизонтальная координата и $z$ — глубина под поверхностью (рис. 3). Предполагается, что источник сейсмических волн гораздо длиннее, чем любая другая рассматриваемая длина, в данном вопросе."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tВ результате землетрясения однородный поток так называемых продольных P-волн испускается по всем направлениям в плоскости $x$-$z$, которые имеют положительную составляющую вдоль оси $z$. Так как теория распространения волн в твердой среде достаточно сложна, в данной задаче пренебрегается всеми другими волнами, возникающими при землетрясении. Скорость P-волны $v$ в коре зависит от глубины $z$ по закону $v=v_0(1+z/z_0)$, где $v_0$ — скорость на поверхности и $z_0$ — известная положительная константа."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/513a93dd59129e5a0790.webp","alt":"ipho-2021-t1 statement: original source diagram 3"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 3."}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tРассмотрим одиночный луч, испущенный землетрясением, который образует начальный угол $0<\\theta_0<\\pi/2$ с осью $z$ и распространяется в плоскости $x$-$z$.Чему равна горизонтальная координата $x_1(\\theta_0)\\ne0$, при которой этот луч может быть обнаружен на поверхности планеты? Известно, что путь луча представляет собой дугу окружности. Запишите ответ в виде $x_1(\\theta_0)=A \\cdot \\text{ctg}(b\\theta_0)$, где $A$ и $b$ — постоянные, которые нужно найти."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tЕсли вы не смогли найти $A$ и $b$, в последующем используйте как известную приведённую выше формулу $x_1(\\theta_0)=A\\cdot \\text{ctg}(b\\theta_0)$. Предположим, что полная энергия на единицу длины источника, выделенная в виде P-волн в коре при землетрясении, равна $E$. Предположим, что волны полностью поглощаются, когда они достигают поверхности планеты снизу."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tНайдите, как плотность энергии на единицу площади $\\varepsilon(x)$, поглощённая поверхностью, зависит от расстояния вдоль поверхности $x$. Нарисуйте качественный график $\\varepsilon(x)$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tТеперь предположим, что волны полностью отражаются от поверхности. Вообразим прибор, расположенный в $z=x=0$ и имеющий ту же геометрию, что и ранее рассмотренный источник землетрясения. Прибор способен испускать P-волны с любым угловым распределением. Его настроили на испускание сигнала в пределах небольшого начального угла с вертикалью: $[\\theta_0-\\frac{1}{2}\\delta\\theta_0,\\theta_0+\\frac{1}{2}\\delta\\theta_0],$ где $0<\\theta_0<\\pi/2$, $\\delta\\theta_0\\ll1$ и $\\delta\\theta_0\\ll\\theta_0$.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 2.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tНа каком расстоянии $x_{\\max}$ от источника вдоль поверхности находится самая дальняя точка, которую не сможет достичь сигнал? Запишите ответ через $\\theta_0$, $\\delta\\theta_0$ и другие константы, приведённые выше."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]}],"text":"Эта задача состоит из двух независимых задач про недра планет. Эффекты кривизны поверхности планеты не учитывайте. Вам может понадобиться формула: $$(1+x)^{\\varepsilon}\\approx1+\\varepsilon x,\\,\\,\\mathrm{где} \\:|x|\\ll1.$$ Часть A. Срединно-океанический хребет (5 баллов) Рассмотрим большой сосуд с водой (water), который находится в однородном гравитационном поле с ускорением свободного падения $g$. Две прямоугольные параллельные друг другу вертикальные пластины вставлены в сосуд так, что никакая жидкость не может входить или выходить из зазора между торцами пластин и стенками сосуда. Каждая пластина погружена в воду на глубину $h$ (рис. 1). Размер пластин по оси $y$ равен $w$. Плотность воды $\\rho_0$. Рис. 1. Масло (oil) плотности $\\rho_{\\mathrm{oil}}\\:(\\rho_{\\mathrm{oil}}<\\rho_{0})$ заливается в пространство между пластинами до тех пор, пока нижняя граница масла не достигнет нижнего края пластин. Считайте, что пластины и стенки сосуда достаточно высоки, чтобы масло не переливалось через них. Поверхностным натяжением и перемешиванием жидкостей можно пренебречь. A1 0.80 Чему равна $x$-компонента $F_x$ полной силы, действующей на правую пластину? Укажите величину и направление. На рис. 2 показано поперечное сечение срединно-океанического хребта. Он состоит из трёх слоев: мантии (mantle), коры (crust) и воды (water). Мантия состоит из породы, которую на геологических временных масштабах можно считать текучей, а, значит можно считать жидкостью в рамках задачи. Толщина коры (твердые породы) намного меньше характерного масштаба длины в $x$-направлении, следовательно, кора ведет себя как свободно изгибаемая пластина. С высокой точностью такой гребень можно смоделировать как двумерную систему без каких-либо изменений переменных вдоль оси $y$, которая перпендикулярна плоскости рис. 2. Любая длина в этой задаче намного меньше чем длина гребня $L$ (вдоль оси $y$). В центре хребта толщина коры равна нулю. По мере увеличения горизонтального расстояния $x$ от центра толщина коры становится больше и равна $D$ при $x\\rightarrow\\infty$. Соответственно, дно океана опускается на $h$ ниже вершины хребта O. В вершине хребта разместим начало координат (рис. 2). Плотность воды $\\rho_0$, её температура $T_0$, плотность мантии $\\rho_1$, её температура $T_1$постоянны во времени и пространстве. Температура коры $T$ постоянна во времени и зависит от координат. Материал земной коры расширяется линейно с температурой $T$: $$l(T)=l_{1} \\left[1-k_{l} (T_{1}-T)\\ /(T_{1}-T_{0})\\right],$$ где $ l $ — длина куска материала земной коры, $l_{1}$ — его длина при температуре $T_1$, $k_l$ — постоянный коэффициент теплового расширения, приведённый к разности температур. Рис. 2. A2 0.60 Считая, что материал коры изотропен, найдите, как плотность коры $\\rho$ зависит от ее температуры $T$. Предполагая, что $|k_l|\\ll1$, напишите свой ответ в приблизительной форме. $$\\rho(T)\\approx\\rho_1 \\left[1+k\\frac{T_1-T}{T_1-T_0}\\right],$$где члены порядка $k_l^2$ и выше не учитываются. Определите константу $k$. Известно, что $k>0$. Теплопроводность коры равна $\\kappa$ и постоянна. Как следствие, достаточно далеко от оси хребта температура коры линейно зависит от глубины. A3 1.10 Предполагая, что мантия и вода ведут себя как несжимаемые жидкости при гидростатическом равновесии, выразите толщину земной коры $D$ на достаточно большом расстоянии через $h$, $\\rho_0$, $\\rho_1$, и $k$. Любым движением материала можно пренебречь. A4 1.60 Найдите (оставив только наибольшее по $k$ слагаемое) итоговую горизонтальную силу $F$, действующую на правую ($x>0$) достаточно длинную часть коры через $\\rho_0$, $\\rho_1$, $h$, $L$, $k$ и $g$. Предположим, что кора оказалась внезапно термически изолирована от остальной части Земли. В результате теплопроводности температуры верхней и нижней поверхностей коры становятся ближе друг к другу до наступления теплового равновесия. Удельная теплоемкость коры постоянна и равна $c$. A5 0.90 Используя метод размерностей или анализ по порядку величины, оцените характерное время $\\tau$, за которое разница между температурами верхней и нижней поверхностями земной коры на достаточно большом расстоянии от оси хребта приблизится к нулю. Можно считать, что $\\tau$ не зависит от двух начальных температур поверхностей коры. Часть B. Сейсмические волны в слоистой среде (5 баллов) Предположим, что короткое землетрясение произошло на поверхности некоторой планеты. Сейсмические волны создаются линейным источником, расположенным в $z=x=0$, Здесь $x$ — горизонтальная координата и $z$ — глубина под поверхностью (рис. 3). Предполагается, что источник сейсмических волн гораздо длиннее, чем любая другая рассматриваемая длина, в данном вопросе. В результате землетрясения однородный поток так называемых продольных P-волн испускается по всем направлениям в плоскости $x$-$z$, которые имеют положительную составляющую вдоль оси $z$. Так как теория распространения волн в твердой среде достаточно сложна, в данной задаче пренебрегается всеми другими волнами, возникающими при землетрясении. Скорость P-волны $v$ в коре зависит от глубины $z$ по закону $v=v_0(1+z/z_0)$, где $v_0$ — скорость на поверхности и $z_0$ — известная положительная константа. Рис. 3. B1 1.50 Рассмотрим одиночный луч, испущенный землетрясением, который образует начальный угол $0<\\theta_0<\\pi/2$ с осью $z$ и распространяется в плоскости $x$-$z$.Чему равна горизонтальная координата $x_1(\\theta_0)\\ne0$, при которой этот луч может быть обнаружен на поверхности планеты? Известно, что путь луча представляет собой дугу окружности. Запишите ответ в виде $x_1(\\theta_0)=A \\cdot \\text{ctg}(b\\theta_0)$, где $A$ и $b$ — постоянные, которые нужно найти. Если вы не смогли найти $A$ и $b$, в последующем используйте как известную приведённую выше формулу $x_1(\\theta_0)=A\\cdot \\text{ctg}(b\\theta_0)$. Предположим, что полная энергия на единицу длины источника, выделенная в виде P-волн в коре при землетрясении, равна $E$. Предположим, что волны полностью поглощаются, когда они достигают поверхности планеты снизу. B2 1.50 Найдите, как плотность энергии на единицу площади $\\varepsilon(x)$, поглощённая поверхностью, зависит от расстояния вдоль поверхности $x$. Нарисуйте качественный график $\\varepsilon(x)$. Теперь предположим, что волны полностью отражаются от поверхности. Вообразим прибор, расположенный в $z=x=0$ и имеющий ту же геометрию, что и ранее рассмотренный источник землетрясения. Прибор способен испускать P-волны с любым угловым распределением. Его настроили на испускание сигнала в пределах небольшого начального угла с вертикалью: $[\\theta_0-\\frac{1}{2}\\delta\\theta_0,\\theta_0+\\frac{1}{2}\\delta\\theta_0],$ где $0<\\theta_0<\\pi/2$, $\\delta\\theta_0\\ll1$ и $\\delta\\theta_0\\ll\\theta_0$. B3 2.00 На каком расстоянии $x_{\\max}$ от источника вдоль поверхности находится самая дальняя точка, которую не сможет достичь сигнал? Запишите ответ через $\\theta_0$, $\\delta\\theta_0$ и другие константы, приведённые выше.\n","figures":["/corpus/figures/e6db510cfe9946eb53b7.webp","/corpus/figures/0349daf83b3eec4f014b.webp","/corpus/figures/513a93dd59129e5a0790.webp"],"shared":false},"solution":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.80"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tЧему равна $x$-компонента $F_x$ полной силы, действующей на правую пластину? Укажите величину и направление."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/6f4bacc7269a624f1e14.webp","alt":"ipho-2021-t1 solution: original source diagram 1"}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Обозначим высоту столба нефти $h^{\\prime}$, тогда давление на глубине $h$ под поверхностью воды будет равно $p_{h}=\\rho_{0} g h=\\rho_{\\text {oil }} g h^{\\prime}$, откуда $h^{\\prime}=\\frac{\\rho_{0}}{\\rho_{\\text {oil }}} h$. Суммарная горизонтальная сила давления на пластину $F_{x}=F_{1}-F_{0}$, где сила давления нефти $F_{1}=\\frac{\\rho_{\\text {oil }} h^{\\prime}}{2} \\cdot h^{\\prime} w$, а воды – $F_{0}=\\frac{\\rho_{0} g h}{2} \\cdot h w$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Объединяя эти уравнения, получаем:\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"F_{x}=\\left(\\frac{\\rho_{0}}{\\rho_{\\text {oil }}}-1\\right) \\frac{\\rho_{0} g h^{2} w}{2}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Эта сила действует направо.\n\n                "}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tСчитая, что материал коры изотропен, найдите, как плотность коры $\\rho$ зависит от ее температуры $T$. Предполагая, что $|k_l|\\ll1$, напишите свой ответ в приблизительной форме."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\\rho(T)\\approx\\rho_1 \\left[1+k\\frac{T_1-T}{T_1-T_0}\\right],$$где члены порядка $k_l^2$ и выше не учитываются. Определите константу $k$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Рассмотрим прямоугольный участок коры. Поскольку соотношение $l(T)=l_{1}\\left[1-k_{l}\\left(T_{1}-T\\right) /\\left(T_{1}-T_{0}\\right)\\right]$ справедливо вдоль каждой из трёх осей, аналогичное соотношение для объёма $V$ имеет вид$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"V=V_{1}\\left(1-k_{l} \\frac{T_{1}-T}{T_{1}-T_{0}}\\right)^{3}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$где $V_{1}$ – объём при $T=T_{1}$. Если масса этого элемента равна $m$, плотность будет равна$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\rho(T)=\\frac{m}{V}=\\frac{m}{V_{1}}\\left(1-k_{l} \\frac{T_{1}-T}{T_{1}-T_{0}}\\right)^{-3}=\\rho_{1}\\left(1-k_{l} \\frac{T_{1}-T}{T_{1}-T_{0}}\\right)^{-3}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$При $k_{l} \\ll 1$ это выражение можно переписать в виде\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\rho(T) \\approx \\rho_{1}\\left(1+3 k_{l} \\frac{T_{1}-T}{T_{1}-T_{0}}\\right)"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n т.е. $k=3 k_{l}$.\n\n                "}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.10"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tПредполагая, что мантия и вода ведут себя как несжимаемые жидкости при гидростатическом равновесии, выразите толщину земной коры $D$ на достаточно большом расстоянии через $h$, $\\rho_0$, $\\rho_1$, и $k$. Любым движением материала можно пренебречь."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Поскольку мантия ведёт себя как жидкость в гидростатическом равновесии, давление $p(x, z)$ при $z=h+D$ должно быть одинаковым при любых $x$. Следовательно, $$ p(0, h+D)=p(\\infty, h+D) $$ аналогично должно быть $$ p(0,0)=p(\\infty, 0) $$ Таким образом, изменение давления между $z=0$ и $z=\\infty$ должно быть одинаковым между $x=0$ и $x=\\infty$. В середине хребта $$ p(0, h+D)-p(0,0)=\\rho_{1} g(h+D) $$ вдалеке от него $$ p(\\infty, h+D)-p(\\infty, 0)=\\rho_{0} g h+\\int\\limits_{h}^{h+D} \\rho(T(\\infty, z)) g \\mathrm{~d} z $$ Поскольку температура коры на расстоянии $x=\\infty$ линейно зависит от высоты, с учётом граничных условий должно быть $$ T(\\infty, z)=T_{0}+\\left(T_{1}-T_{0}\\right) \\frac{z-h}{D} $$ Подставляя выражение для плотности, получаем наконец$$ \\rho_{1} g(h+D)=\\rho_{0} g h+\\int\\limits_{h}^{h+D} \\rho_{1}\\left(1+k \\frac{T_{1}-T_{0}-\\left(T_{1}-T_{0}\\right) \\frac{z-h}{D}}{T_{1}-T_{0}}\\right) g \\mathrm{~d} z $$ откуда\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"D=\\frac{2}{k}\\left(1-\\frac{\\rho_{0}}{\\rho_{1}}\\right) h"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A4\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tНайдите (оставив только наибольшее по $k$ слагаемое) итоговую горизонтальную силу $F$, действующую на правую ($x>0$) достаточно длинную часть коры через $\\rho_0$, $\\rho_1$, $h$, $L$, $k$ и $g$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Суммарная горизонтальная сила, действующая на половину хребта, равна разности сил давлений, действующих на кору в $x=0$ и $x=\\infty$: $$ F=L \\int\\limits_{0}^{h+D} p(0, z) \\mathrm{d} z-L \\int\\limits_{0}^{h} p(\\infty, z) . $$ Давление при $x=0$ равно$$ p(0, z)=p(0,0)+\\rho_{1} g z $$ а на большом расстоянии$$ p(\\infty, z)=p(\\infty, 0)+\\rho_{0} g z $$ Таким образом, $$ F=L \\int\\limits_{0}^{h+D}\\left(p(0,0)+\\rho_{1} g z\\right) \\mathrm{d} z-L \\int\\limits_{0}^{h}\\left(p(\\infty, 0)+\\rho_{0} g z\\right) \\mathrm{d} z $$ С учётом $p(0,0)=p(\\infty, 0)$, в результате интегрирования получаем: $$ F=L p(0,0) D+L \\rho_{1} g \\frac{(h+D)^{2}}{2}-L \\rho_{0} g \\frac{h^{2}}{2} $$ Так как $k \\ll 1$ и $D \\propto k^{-1}$, в первом приближении останется только слагаемое с $D^{2} \\propto k^{-2}$. Подставляя результат предыдущего пункта, получим:\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"F \\approx \\frac{2 g L h^{2}\\left(\\rho_{1}-\\rho_{0}\\right)^{2}}{k^{2} \\rho_{1}}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A5\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.90"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tИспользуя метод размерностей или анализ по порядку величины, оцените характерное время $\\tau$, за которое разница между температурами верхней и нижней поверхностями земной коры на достаточно большом расстоянии от оси хребта приблизится к нулю. Можно считать, что $\\tau$ не зависит от двух начальных температур поверхностей коры."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Решение 1. Метод размерностей и немного математики"}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tХарактерное время $\\tau$ может зависеть только от плотности $\\rho_{1}$, теплоёмкости $c$, теплопроводностиy $\\kappa$ и толщины коры $D$. Таким образом,$$ \\tau=A \\rho_{1}^{\\alpha} c^{\\beta} \\kappa^{\\gamma} D^{\\delta} $$ где $A$ – безразмерная постоянная. Показатели степени $\\alpha-\\delta$ можно найти простым методов размерностей."},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Введём следующие обозначения для размерностей: $\\mathrm L$ – длина, $\\mathrm M$ – масса, $\\mathrm T$ – время и $\\Theta$ – температура. Тогда $\\tau$, $\\rho_{1}$, $c$, $\\kappa$ и $D$ будут иметь размерности $\\mathrm{T}$, $\\mathrm{ML}^{-3}$, $\\mathrm{~L}^{2} \\mathrm{~T}^{-2} \\Theta^{-1}$, $\\mathrm{MLT}^{-3} \\Theta^{-1}$ и $\\mathrm{L}$ соответственно. Отсюда получаем систему уравнений:$$ \\left\\{\\begin{array}{l} 0=-3 \\alpha+2 \\beta+\\gamma+\\delta \\\\ 0=\\alpha+\\gamma \\\\ 1=-2 \\beta-3 \\gamma \\\\ 0=-\\beta-\\gamma \\end{array}\\right. $$ Её решение – $\\alpha=\\beta=1$, $\\gamma=-1$, $\\delta=2$. Итого:"}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\tau=A \\frac{c \\rho_{1} D^{2}}{\\kappa}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Решение 2. Метод размерностей и немного физики"}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tРассмотрим участок коры площадью $S$. Через этот участок должна пройти теплота порядка $Q \\sim c \\rho_{1} S D \\Delta T$, где $\\Delta T=T_{1}-T_{0}$. С другой стороны, для теплопроводности справедливо $\\kappa \\frac{\\Delta T}{D} \\sim \\frac{Q}{S \\tau}$."},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Отсюда $c \\rho_{1} S D \\Delta T \\sim S \\tau \\kappa \\frac{\\Delta T}{D}$, т.е. $\\tau$ не зависит от $\\Delta T$ и равно $$ \\tau \\sim \\frac{c \\rho_{1} D^{2}}{\\kappa} $$"}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tРассмотрим одиночный луч, испущенный землетрясением, который образует начальный угол $0<\\theta_0<\\pi/2$ с осью $z$ и распространяется в плоскости $x$-$z$.Чему равна горизонтальная координата $x_1(\\theta_0)\\ne0$, при которой этот луч может быть обнаружен на поверхности планеты? Известно, что путь луча представляет собой дугу окружности. Запишите ответ в виде $x_1(\\theta_0)=A \\cdot \\text{ctg}(b\\theta_0)$, где $A$ и $b$ — постоянные, которые нужно найти."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Для волн, испущенных землетрясением, справедлив закон Снеллиуса:$$ n(0) \\sin \\theta_{0}=n(z) \\sin \\theta $$ где показатель преломления $$ n(z)=\\frac{c}{v(z)}=\\frac{c}{v_{0}\\left(1+\\frac{z}{z_{0}}\\right)} $$ Здесь $c$ – скорость волн в среде с показателем преломления $n=1$. Отсюда $$ v_{0}\\left(1+\\frac{z}{z_{0}}\\right) \\sin \\theta_{0}=v_{0} \\sin \\theta $$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Решение 1"}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/fa6fb72ed9243c5ad39f.webp","alt":"ipho-2021-t1 solution: original source diagram 2"}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Поскольку траектория представляет собой дугу окружности, а при $\\theta=\\frac{\\pi}{2}$, $z=R-R \\sin \\theta_{0}$, закон Снеллиуса должен иметь вид:$$ \\left(1+\\frac{R-R \\sin \\theta_{0}}{z_{0}}\\right) \\sin \\theta_{0}=1 $$ то есть радиус окружности $R=\\frac{z_{0}}{\\sin \\theta_{0}}$. Таким образом $$ x_{1}\\left(\\theta_{0}\\right)=2 R \\cos \\theta_{0} $$ откуда\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"x_{1}\\left(\\theta_{0}\\right)=2 z_{0} \\cot \\theta_{0}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n т.е. $A=2 z_{0}$ и $b=1$.\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Решение 2"}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tПродифференцируем уравнение $v_{0}\\left(1+\\frac{z}{z_{0}}\\right) \\sin \\theta_{0}=v_{0} \\sin \\theta$:$$ \\frac{\\mathrm{d} z}{z_{0}} \\sin \\theta_{0}=\\cos \\theta \\mathrm{d} \\theta $$ Участок траектории луча длиной $\\mathrm{d} l$ соответствует вертикальное смещение$$ \\mathrm{d} z=\\mathrm{d} l \\cos \\theta $$ откуда $$ \\mathrm{d} l=\\frac{z_{0}}{\\sin \\theta_{0}} \\mathrm{~d} \\theta $$ Это уравнение дуги окружности радиусом $R=\\frac{z_{0}}{\\sin \\theta_{0}}$"},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Ответ для $x_1(\\theta_0)$ можно получить и явным интегрированием. Для этого заметим, что $$ \\cot \\theta=\\frac{\\mathrm{d} z}{\\mathrm{~d} x}=\\frac{\\mathrm{d} z}{\\mathrm{~d} \\theta} \\frac{\\mathrm{~d} \\theta}{\\mathrm{~d} x} $$ Используя закон Снеллиуса, получим$$ \\cot \\theta=\\frac{z_{0} \\cos \\theta}{\\sin \\theta_{0}} \\frac{\\mathrm{~d} \\theta}{\\mathrm{~d} x} $$Интегрируем: $$ x_{1}=-\\frac{z_{0}}{\\sin \\theta_{0}} \\int\\limits_{\\text {start }}^{\\text {end }} d \\cos \\theta=\\frac{2 z_{0} \\cos \\theta_{0}}{\\sin \\theta_{0}} $$При интегрировании учтено, что в конечной точке своей траектории луч движется под углом $\\cos \\theta=-\\cos \\theta_{0}$."}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tНайдите, как плотность энергии на единицу площади $\\varepsilon(x)$, поглощённая поверхностью, зависит от расстояния вдоль поверхности $x$. Нарисуйте качественный график $\\varepsilon(x)$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n В двумерном случае волны, излученные в диапазоне углов $\\left[\\theta_{0}, \\theta_{0}+\\mathrm{d} \\theta_{0}\\right)$, переносят энергию $\\frac{E}{\\pi} \\,\\mathrm{d} \\theta_{0}$. С другой стороны, волны, приходящие в интервал $[x, x+\\mathrm{d} x)$ приносят энергию $\\varepsilon\\, \\mathrm{d} x$. Следовательно, $$ \\varepsilon=\\frac{E}{\\pi}\\left|\\frac{\\mathrm{~d} \\theta_{0}}{\\mathrm{~d} x}\\right| $$ Используя результат предыдущего пункта, получаем $$ \\frac{\\mathrm{d} x}{\\mathrm{~d} \\theta_{0}}=-\\frac{A b}{\\sin ^{2}\\left(b \\theta_{0}\\right)}=-A b\\left(1+\\cot ^{2}\\left(b \\theta_{0}\\right)\\right)=-\\frac{b\\left(A^{2}+x^{2}\\right)}{A} $$ Таким образом,\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\varepsilon(x)=\\frac{E A}{\\pi b\\left(A^{2}+x^{2}\\right)}=\\frac{2 E z_{0}}{\\pi\\left(4 z_{0}^{2}+x^{2}\\right)}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n\n\n\n    \n        \n            "},{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/69d559c51fdd4c167529.webp","alt":"ipho-2021-t1 solution: original source diagram 3"}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 2.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tНа каком расстоянии $x_{\\max}$ от источника вдоль поверхности находится самая дальняя точка, которую не сможет достичь сигнал? Запишите ответ через $\\theta_0$, $\\delta\\theta_0$ и другие константы, приведённые выше."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tВведём $x_{-}=x_{1}\\left(\\theta_{0}-\\frac{\\delta \\theta_{0}}{2}\\right)$ и $x_{+}=x_{1}\\left(\\theta_{0}+\\frac{\\delta \\theta_{0}}{2}\\right)$. С точностью до первого порядка по $\\delta \\theta_{0}$, $x_{-} \\approx x_{+} \\approx x_{1}\\left(\\theta_{0}\\right)$. С каждым отражением сигнала область по горизонтали между крайними точками, в которых отражается сигнал, увеличивается на $\\left|x_{+}-x_{-}\\right|=x_{-}-x_{+}$. При движении вдоль оси $x$ эта область увеличивается, пока не начнёт пересекаться с другими такими же. Это происходит примерно после$$ N \\approx \\frac{x_{1}\\left(\\theta_{0}\\right)}{x_{-}-x_{+}} $$отражений."},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Сигнал начинает накладываться на себя же на расстоянии $x_{\\max }=N x_{1}\\left(\\theta_{0}\\right)$. Отсюда:$$ x_{\\max }=\\frac{x_{1}\\left(\\theta_{0}\\right)^{2}}{x_{1}\\left(\\theta_{0}-\\frac{\\delta \\theta_{0}}{2}\\right)-x_{1}\\left(\\theta_{0}+\\frac{\\delta \\theta_{0}}{2}\\right)} $$ При $\\delta \\theta_{0} \\ll \\theta_{0}$ можно приближенно записать $$ x_{1}\\left(\\theta_{0}-\\frac{\\delta \\theta_{0}}{2}\\right)-x_{1}\\left(\\theta_{0}+\\frac{\\delta \\theta_{0}}{2}\\right) \\approx-\\frac{\\mathrm{d} x_{1}\\left(\\theta_{0}\\right)}{\\mathrm{d} \\theta_{0}} \\delta \\theta_{0}=\\frac{A b}{\\sin ^{2}\\left(b \\theta_{0}\\right)} \\delta \\theta_{0} $$ Подставляя выражение для $x_{1}\\left(\\theta_{0}\\right)$, получаем наконец:"}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"x_{\\max }=\\frac{A \\cos ^{2}\\left(b \\theta_{0}\\right)}{b \\delta \\theta_{0}}=\\frac{2 z_{0} \\cos ^{2} \\theta_{0}}{\\delta \\theta_{0}}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]}],"text":"A1 0.80 Чему равна $x$-компонента $F_x$ полной силы, действующей на правую пластину? Укажите величину и направление. Обозначим высоту столба нефти $h^{\\prime}$, тогда давление на глубине $h$ под поверхностью воды будет равно $p_{h}=\\rho_{0} g h=\\rho_{\\text {oil }} g h^{\\prime}$, откуда $h^{\\prime}=\\frac{\\rho_{0}}{\\rho_{\\text {oil }}} h$. Суммарная горизонтальная сила давления на пластину $F_{x}=F_{1}-F_{0}$, где сила давления нефти $F_{1}=\\frac{\\rho_{\\text {oil }} h^{\\prime}}{2} \\cdot h^{\\prime} w$, а воды – $F_{0}=\\frac{\\rho_{0} g h}{2} \\cdot h w$. Объединяя эти уравнения, получаем: Ответ: \n                    \n $$ F_{x}=\\left(\\frac{\\rho_{0}}{\\rho_{\\text {oil }}}-1\\right) \\frac{\\rho_{0} g h^{2} w}{2} $$ Эта сила действует направо.\nA2 0.60 Считая, что материал коры изотропен, найдите, как плотность коры $\\rho$ зависит от ее температуры $T$. Предполагая, что $|k_l|\\ll1$, напишите свой ответ в приблизительной форме. $$\\rho(T)\\approx\\rho_1 \\left[1+k\\frac{T_1-T}{T_1-T_0}\\right],$$где члены порядка $k_l^2$ и выше не учитываются. Определите константу $k$. Рассмотрим прямоугольный участок коры. Поскольку соотношение $l(T)=l_{1}\\left[1-k_{l}\\left(T_{1}-T\\right) /\\left(T_{1}-T_{0}\\right)\\right]$ справедливо вдоль каждой из трёх осей, аналогичное соотношение для объёма $V$ имеет вид$$ V=V_{1}\\left(1-k_{l} \\frac{T_{1}-T}{T_{1}-T_{0}}\\right)^{3} $$где $V_{1}$ – объём при $T=T_{1}$. Если масса этого элемента равна $m$, плотность будет равна$$ \\rho(T)=\\frac{m}{V}=\\frac{m}{V_{1}}\\left(1-k_{l} \\frac{T_{1}-T}{T_{1}-T_{0}}\\right)^{-3}=\\rho_{1}\\left(1-k_{l} \\frac{T_{1}-T}{T_{1}-T_{0}}\\right)^{-3} $$При $k_{l} \\ll 1$ это выражение можно переписать в виде Ответ: \n                    \n $$ \\rho(T) \\approx \\rho_{1}\\left(1+3 k_{l} \\frac{T_{1}-T}{T_{1}-T_{0}}\\right) $$ т.е. $k=3 k_{l}$.\nA3 1.10 Предполагая, что мантия и вода ведут себя как несжимаемые жидкости при гидростатическом равновесии, выразите толщину земной коры $D$ на достаточно большом расстоянии через $h$, $\\rho_0$, $\\rho_1$, и $k$. Любым движением материала можно пренебречь. Поскольку мантия ведёт себя как жидкость в гидростатическом равновесии, давление $p(x, z)$ при $z=h+D$ должно быть одинаковым при любых $x$. Следовательно, $$ p(0, h+D)=p(\\infty, h+D) $$ аналогично должно быть $$ p(0,0)=p(\\infty, 0) $$ Таким образом, изменение давления между $z=0$ и $z=\\infty$ должно быть одинаковым между $x=0$ и $x=\\infty$. В середине хребта $$ p(0, h+D)-p(0,0)=\\rho_{1} g(h+D) $$ вдалеке от него $$ p(\\infty, h+D)-p(\\infty, 0)=\\rho_{0} g h+\\int\\limits_{h}^{h+D} \\rho(T(\\infty, z)) g \\mathrm{~d} z $$ Поскольку температура коры на расстоянии $x=\\infty$ линейно зависит от высоты, с учётом граничных условий должно быть $$ T(\\infty, z)=T_{0}+\\left(T_{1}-T_{0}\\right) \\frac{z-h}{D} $$ Подставляя выражение для плотности, получаем наконец$$ \\rho_{1} g(h+D)=\\rho_{0} g h+\\int\\limits_{h}^{h+D} \\rho_{1}\\left(1+k \\frac{T_{1}-T_{0}-\\left(T_{1}-T_{0}\\right) \\frac{z-h}{D}}{T_{1}-T_{0}}\\right) g \\mathrm{~d} z $$ откуда Ответ: \n                    \n $$ D=\\frac{2}{k}\\left(1-\\frac{\\rho_{0}}{\\rho_{1}}\\right) h $$\nA4 1.60 Найдите (оставив только наибольшее по $k$ слагаемое) итоговую горизонтальную силу $F$, действующую на правую ($x>0$) достаточно длинную часть коры через $\\rho_0$, $\\rho_1$, $h$, $L$, $k$ и $g$. Суммарная горизонтальная сила, действующая на половину хребта, равна разности сил давлений, действующих на кору в $x=0$ и $x=\\infty$: $$ F=L \\int\\limits_{0}^{h+D} p(0, z) \\mathrm{d} z-L \\int\\limits_{0}^{h} p(\\infty, z) . $$ Давление при $x=0$ равно$$ p(0, z)=p(0,0)+\\rho_{1} g z $$ а на большом расстоянии$$ p(\\infty, z)=p(\\infty, 0)+\\rho_{0} g z $$ Таким образом, $$ F=L \\int\\limits_{0}^{h+D}\\left(p(0,0)+\\rho_{1} g z\\right) \\mathrm{d} z-L \\int\\limits_{0}^{h}\\left(p(\\infty, 0)+\\rho_{0} g z\\right) \\mathrm{d} z $$ С учётом $p(0,0)=p(\\infty, 0)$, в результате интегрирования получаем: $$ F=L p(0,0) D+L \\rho_{1} g \\frac{(h+D)^{2}}{2}-L \\rho_{0} g \\frac{h^{2}}{2} $$ Так как $k \\ll 1$ и $D \\propto k^{-1}$, в первом приближении останется только слагаемое с $D^{2} \\propto k^{-2}$. Подставляя результат предыдущего пункта, получим: Ответ: \n                    \n $$ F \\approx \\frac{2 g L h^{2}\\left(\\rho_{1}-\\rho_{0}\\right)^{2}}{k^{2} \\rho_{1}} $$\nA5 0.90 Используя метод размерностей или анализ по порядку величины, оцените характерное время $\\tau$, за которое разница между температурами верхней и нижней поверхностями земной коры на достаточно большом расстоянии от оси хребта приблизится к нулю. Можно считать, что $\\tau$ не зависит от двух начальных температур поверхностей коры. Решение 1. Метод размерностей и немного математики Характерное время $\\tau$ может зависеть только от плотности $\\rho_{1}$, теплоёмкости $c$, теплопроводностиy $\\kappa$ и толщины коры $D$. Таким образом,$$ \\tau=A \\rho_{1}^{\\alpha} c^{\\beta} \\kappa^{\\gamma} D^{\\delta} $$ где $A$ – безразмерная постоянная. Показатели степени $\\alpha-\\delta$ можно найти простым методов размерностей. Введём следующие обозначения для размерностей: $\\mathrm L$ – длина, $\\mathrm M$ – масса, $\\mathrm T$ – время и $\\Theta$ – температура. Тогда $\\tau$, $\\rho_{1}$, $c$, $\\kappa$ и $D$ будут иметь размерности $\\mathrm{T}$, $\\mathrm{ML}^{-3}$, $\\mathrm{~L}^{2} \\mathrm{~T}^{-2} \\Theta^{-1}$, $\\mathrm{MLT}^{-3} \\Theta^{-1}$ и $\\mathrm{L}$ соответственно. Отсюда получаем систему уравнений:$$ \\left\\{\\begin{array}{l} 0=-3 \\alpha+2 \\beta+\\gamma+\\delta \\\\ 0=\\alpha+\\gamma \\\\ 1=-2 \\beta-3 \\gamma \\\\ 0=-\\beta-\\gamma \\end{array}\\right. $$ Её решение – $\\alpha=\\beta=1$, $\\gamma=-1$, $\\delta=2$. Итого: Ответ: \n                    \n $$ \\tau=A \\frac{c \\rho_{1} D^{2}}{\\kappa} $$ Решение 2. Метод размерностей и немного физики Рассмотрим участок коры площадью $S$. Через этот участок должна пройти теплота порядка $Q \\sim c \\rho_{1} S D \\Delta T$, где $\\Delta T=T_{1}-T_{0}$. С другой стороны, для теплопроводности справедливо $\\kappa \\frac{\\Delta T}{D} \\sim \\frac{Q}{S \\tau}$. Отсюда $c \\rho_{1} S D \\Delta T \\sim S \\tau \\kappa \\frac{\\Delta T}{D}$, т.е. $\\tau$ не зависит от $\\Delta T$ и равно $$ \\tau \\sim \\frac{c \\rho_{1} D^{2}}{\\kappa} $$\nB1 1.50 Рассмотрим одиночный луч, испущенный землетрясением, который образует начальный угол $0<\\theta_0<\\pi/2$ с осью $z$ и распространяется в плоскости $x$-$z$.Чему равна горизонтальная координата $x_1(\\theta_0)\\ne0$, при которой этот луч может быть обнаружен на поверхности планеты? Известно, что путь луча представляет собой дугу окружности. Запишите ответ в виде $x_1(\\theta_0)=A \\cdot \\text{ctg}(b\\theta_0)$, где $A$ и $b$ — постоянные, которые нужно найти. Для волн, испущенных землетрясением, справедлив закон Снеллиуса:$$ n(0) \\sin \\theta_{0}=n(z) \\sin \\theta $$ где показатель преломления $$ n(z)=\\frac{c}{v(z)}=\\frac{c}{v_{0}\\left(1+\\frac{z}{z_{0}}\\right)} $$ Здесь $c$ – скорость волн в среде с показателем преломления $n=1$. Отсюда $$ v_{0}\\left(1+\\frac{z}{z_{0}}\\right) \\sin \\theta_{0}=v_{0} \\sin \\theta $$ Решение 1 Поскольку траектория представляет собой дугу окружности, а при $\\theta=\\frac{\\pi}{2}$, $z=R-R \\sin \\theta_{0}$, закон Снеллиуса должен иметь вид:$$ \\left(1+\\frac{R-R \\sin \\theta_{0}}{z_{0}}\\right) \\sin \\theta_{0}=1 $$ то есть радиус окружности $R=\\frac{z_{0}}{\\sin \\theta_{0}}$. Таким образом $$ x_{1}\\left(\\theta_{0}\\right)=2 R \\cos \\theta_{0} $$ откуда Ответ: \n                    \n $$ x_{1}\\left(\\theta_{0}\\right)=2 z_{0} \\cot \\theta_{0} $$ т.е. $A=2 z_{0}$ и $b=1$. Решение 2 Продифференцируем уравнение $v_{0}\\left(1+\\frac{z}{z_{0}}\\right) \\sin \\theta_{0}=v_{0} \\sin \\theta$:$$ \\frac{\\mathrm{d} z}{z_{0}} \\sin \\theta_{0}=\\cos \\theta \\mathrm{d} \\theta $$ Участок траектории луча длиной $\\mathrm{d} l$ соответствует вертикальное смещение$$ \\mathrm{d} z=\\mathrm{d} l \\cos \\theta $$ откуда $$ \\mathrm{d} l=\\frac{z_{0}}{\\sin \\theta_{0}} \\mathrm{~d} \\theta $$ Это уравнение дуги окружности радиусом $R=\\frac{z_{0}}{\\sin \\theta_{0}}$ Ответ для $x_1(\\theta_0)$ можно получить и явным интегрированием. Для этого заметим, что $$ \\cot \\theta=\\frac{\\mathrm{d} z}{\\mathrm{~d} x}=\\frac{\\mathrm{d} z}{\\mathrm{~d} \\theta} \\frac{\\mathrm{~d} \\theta}{\\mathrm{~d} x} $$ Используя закон Снеллиуса, получим$$ \\cot \\theta=\\frac{z_{0} \\cos \\theta}{\\sin \\theta_{0}} \\frac{\\mathrm{~d} \\theta}{\\mathrm{~d} x} $$Интегрируем: $$ x_{1}=-\\frac{z_{0}}{\\sin \\theta_{0}} \\int\\limits_{\\text {start }}^{\\text {end }} d \\cos \\theta=\\frac{2 z_{0} \\cos \\theta_{0}}{\\sin \\theta_{0}} $$При интегрировании учтено, что в конечной точке своей траектории луч движется под углом $\\cos \\theta=-\\cos \\theta_{0}$.\nB2 1.50 Найдите, как плотность энергии на единицу площади $\\varepsilon(x)$, поглощённая поверхностью, зависит от расстояния вдоль поверхности $x$. Нарисуйте качественный график $\\varepsilon(x)$. В двумерном случае волны, излученные в диапазоне углов $\\left[\\theta_{0}, \\theta_{0}+\\mathrm{d} \\theta_{0}\\right)$, переносят энергию $\\frac{E}{\\pi} \\,\\mathrm{d} \\theta_{0}$. С другой стороны, волны, приходящие в интервал $[x, x+\\mathrm{d} x)$ приносят энергию $\\varepsilon\\, \\mathrm{d} x$. Следовательно, $$ \\varepsilon=\\frac{E}{\\pi}\\left|\\frac{\\mathrm{~d} \\theta_{0}}{\\mathrm{~d} x}\\right| $$ Используя результат предыдущего пункта, получаем $$ \\frac{\\mathrm{d} x}{\\mathrm{~d} \\theta_{0}}=-\\frac{A b}{\\sin ^{2}\\left(b \\theta_{0}\\right)}=-A b\\left(1+\\cot ^{2}\\left(b \\theta_{0}\\right)\\right)=-\\frac{b\\left(A^{2}+x^{2}\\right)}{A} $$ Таким образом, Ответ: \n                    \n $$ \\varepsilon(x)=\\frac{E A}{\\pi b\\left(A^{2}+x^{2}\\right)}=\\frac{2 E z_{0}}{\\pi\\left(4 z_{0}^{2}+x^{2}\\right)} $$ Ответ:\nB3 2.00 На каком расстоянии $x_{\\max}$ от источника вдоль поверхности находится самая дальняя точка, которую не сможет достичь сигнал? Запишите ответ через $\\theta_0$, $\\delta\\theta_0$ и другие константы, приведённые выше. Введём $x_{-}=x_{1}\\left(\\theta_{0}-\\frac{\\delta \\theta_{0}}{2}\\right)$ и $x_{+}=x_{1}\\left(\\theta_{0}+\\frac{\\delta \\theta_{0}}{2}\\right)$. С точностью до первого порядка по $\\delta \\theta_{0}$, $x_{-} \\approx x_{+} \\approx x_{1}\\left(\\theta_{0}\\right)$. С каждым отражением сигнала область по горизонтали между крайними точками, в которых отражается сигнал, увеличивается на $\\left|x_{+}-x_{-}\\right|=x_{-}-x_{+}$. При движении вдоль оси $x$ эта область увеличивается, пока не начнёт пересекаться с другими такими же. Это происходит примерно после$$ N \\approx \\frac{x_{1}\\left(\\theta_{0}\\right)}{x_{-}-x_{+}} $$отражений. Сигнал начинает накладываться на себя же на расстоянии $x_{\\max }=N x_{1}\\left(\\theta_{0}\\right)$. Отсюда:$$ x_{\\max }=\\frac{x_{1}\\left(\\theta_{0}\\right)^{2}}{x_{1}\\left(\\theta_{0}-\\frac{\\delta \\theta_{0}}{2}\\right)-x_{1}\\left(\\theta_{0}+\\frac{\\delta \\theta_{0}}{2}\\right)} $$ При $\\delta \\theta_{0} \\ll \\theta_{0}$ можно приближенно записать $$ x_{1}\\left(\\theta_{0}-\\frac{\\delta \\theta_{0}}{2}\\right)-x_{1}\\left(\\theta_{0}+\\frac{\\delta \\theta_{0}}{2}\\right) \\approx-\\frac{\\mathrm{d} x_{1}\\left(\\theta_{0}\\right)}{\\mathrm{d} \\theta_{0}} \\delta \\theta_{0}=\\frac{A b}{\\sin ^{2}\\left(b \\theta_{0}\\right)} \\delta \\theta_{0} $$ Подставляя выражение для $x_{1}\\left(\\theta_{0}\\right)$, получаем наконец: Ответ: \n                    \n $$ x_{\\max }=\\frac{A \\cos ^{2}\\left(b \\theta_{0}\\right)}{b \\delta \\theta_{0}}=\\frac{2 z_{0} \\cos ^{2} \\theta_{0}}{\\delta \\theta_{0}} $$","figures":["/corpus/figures/6f4bacc7269a624f1e14.webp","/corpus/figures/fa6fb72ed9243c5ad39f.webp","/corpus/figures/69d559c51fdd4c167529.webp"],"shared":false}},{"id":"ipho-2021-t2","importedOn":"2026-10-28","language":"ru","sources":[{"url":"https://pho.rs/p/383","kind":"statement"},{"url":"https://pho.rs/p/383/s","kind":"solution"}],"statement":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"text","text":"\n                        \n                        \n Металлическое кольцо радиуса $R$ и толщины $2a\\ll R$ равномерно заряжено зарядом $q$. Кольцо представляет собой тороид. В частях A, B, C и E следует пренебречь его толщиной. Кольцо лежит в плоскости $xy$, ось $z$ перпендикулярна плоскости кольца (см. Рис. 1). В частях A и B может пригодиться следующее разложение в ряд Тейлора:\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/b41804ac6b69369ec348.webp","alt":"ipho-2021-t2 statement: original source diagram 1"}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть A. Потенциал на оси кольца (1 балл)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.30"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Рассчитайте электростатический потенциал $\\Phi(z)$ на оси кольца в точке A на расстоянии $z$ от его центра (см. рис. 1).\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.40"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Предполагая $z\\ll R$, найдите потенциал $\\Phi(z)$ в виде разложения в ряд до первого, зависящего от $z$, члена.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Электрон (его масса $m$, заряд $-e$) расположили в точке A (см. рис. 1, $z\\ll R$). Рассчитайте силу, действующую на электрон. Какой знак должен иметь заряд кольца $q$, чтобы возникли колебания? Смещение электрона не меняет распределение заряда по кольцу.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A4\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.10"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Определите циклическую частоту $\\omega$ этих гармонических колебаний.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть B. Потенциал в плоскости кольца (1.7 балла)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Теперь рассмотрим распределение потенциала $\\Phi(r)$ в плоскости кольца ($z=0$) при $r\\ll R$ (как в точке B на рис. 1). Разложение потенциала до первой ненулевой степени $r$ имеет вид $\\Phi\\approx q(\\alpha+\\beta r^2)$.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Выразите $\\beta$. Вы могли бы использовать разложение Тейлора, приведенное выше.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Электрон расположили в точке B (см. рис. 1, $r\\ll R$). Рассчитайте силу, действующую на электрон. Какой знак должен иметь заряд кольца $q$, чтобы возникли гармонические колебания? Смещение электрона не меняет распределение заряда по кольцу.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть C. Фокусное расстояние идеальной линзы: мгновенная зарядка (2.3 балла)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Экспериментатор Глюкас разрабатывает электростатическую линзу для фокусировки электронов. Он располагает кольцо перпендикулярно оси $z$ (см. рис. 2). Глюкас также конструирует источник, который генерирует пакеты (маленькие группы) нерелятивистских электронов. Кинетическая энергия электрона $E=mv^2/2$, ($v$ – скорость). При этом можно точно контролировать моменты времени, когда электроны вылетают из источника.\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Заряд кольца нулевой почти всегда, и становится равным $q$, когда электроны находятся на расстоянии менее $d/2\\:(d\\ll R)$ от плоскости кольца (заштрихованная область на рис. 2 – «активная область»).\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"В этой части задачи предполагается, что Глюкас способен обеспечить мгновенную зарядку и мгновенную разрядку кольца, а электрическое поле мгновенно возникает в пространстве.\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Магнитными полями, а также изменением $z$-компоненты скорости электронов следует пренебречь. Движущиеся электроны не влияют на распределение заряда по кольцу.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/f91cfffc4e8aa34732f9.webp","alt":"ipho-2021-t2 statement: original source diagram 2"}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.30"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Предположим, что пакет электронов изначально летит параллельно оси $z$ на расстоянии $r$ ($r\\ll R$) от нее.\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Определите фокусное расстояние $f$ линзы ($f\\gg d$). Выразите ответ с использованием константы $\\beta$ из пункта B.1 и других известных величин. Знак заряда $q$ таков, что линза работает как собирающая.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Предположим теперь, что точечный источник электронов расположен на оси $z$ на расстоянии $b>f$ от центра кольца. Из этой точки вылетают электроны под углами не более $\\gamma \\ll 1$ к оси $z$."},{"type":"element","tag":"strong","children":[]},{"type":"text","text":"Линза собирает их в некоторой точке на расстоянии $c$ от центра кольца.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.80"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Найдите $c$. Выразите ответ с использованием константы $\\beta$ из пункта B.1 и других известных величин.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Выполняется ли формула тонкой линзы $\\frac{1}{b}+\\frac{1}{c}=\\frac{1}{f}$ для линзы Глюка? Покажите это непосредственным расчетом величины $1/b + 1/c$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть D. Емкость кольца (3 балла)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Рассмотренная модель линзы была идеализированной, и считалось, что кольцо заряжается мгновенно. В действительности это не так, потому что у кольца есть конечная емкость $C$.\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Вам могут пригодиться следующие интегралы:\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n $$\\int \\frac{\\mathrm{d} x}{\\sin x}=-\\ln \\left|\\frac{\\cos x+1}{\\sin x}\\right|+ \\mathrm{const}$$\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n и\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n $$\\int \\frac{\\mathrm{d} x}{\\sqrt{1+x^{2}}}=\\ln \\left|x+\\sqrt{1+x^{2}}\\right|+ \\mathrm{const}$$\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            D1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 2.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Вычислите емкость $C$ кольца. Считайте, что ширина кольца $2a$, причем $a\\ll R$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Рассмотрим следующую модель. Когда электроны достигают «активной области», кольцо подключают к источнику напряжения $V_0$ (рис. 3). Когда электроны покидают «активную область», кольцо заземляют. Сопротивление проводов равно $R_0$, а сопротивлением кольца можно пренебречь.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/514334492f81a8a7febb.webp","alt":"ipho-2021-t2 statement: original source diagram 3"}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            D2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Найдите, как зависит заряд кольца $q(t)$ от времени. Постройте схематический график этой зависимости. В момент времени $t=0$ электроны находятся в плоскости кольца.\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"В некоторый момент времени заряд кольца $q(t)$ достигает значения $q_0$, модуль которого максимален. Найдите это  значение $q_0$. Емкость кольца $C$ (вам не нужно использовать значение из D.1).\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Примечание: полярность подключения на рисунке 3 показана только в качестве примера. Подключение источника напряжения должно быть выбрано таким образом, чтобы линза работала как собирающая.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть Е. Фокусное расстояние реальной линзы: не мгновенная зарядка (2 балла)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n В этой части задачи рассматривается более реалистичная модель линзы. Толщиной кольца $2a$ можно пренебречь. Перед тем как электроны достигают «активной области» они движутся параллельно оси $z$. Зарядку кольца больше нельзя считать мгновенной.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            E1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.70"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Найдите фокусное расстояние $f$ линзы. Считайте, что $f/v\\gg R_0C$, но $d/v$ и $R_0C$ одного порядка. Выразите ответ с использованием константы $\\beta$ из части B и других известных величин.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            E2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.30"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Можно заметить, что ответ для $f$ в предыдущем пункте похож на ответ, полученный в части C. Нужно только заменить значение заряда $q$ некоторым «эффективным» зарядом $q_\\mathrm{eff}$. Выразите $q_\\mathrm{eff}$ через заданные в задаче величины.\n\n                \n                "}]}]}]}]}],"text":"Металлическое кольцо радиуса $R$ и толщины $2a\\ll R$ равномерно заряжено зарядом $q$. Кольцо представляет собой тороид. В частях A, B, C и E следует пренебречь его толщиной. Кольцо лежит в плоскости $xy$, ось $z$ перпендикулярна плоскости кольца (см. Рис. 1). В частях A и B может пригодиться следующее разложение в ряд Тейлора: Часть A. Потенциал на оси кольца (1 балл) A1 0.30 Рассчитайте электростатический потенциал $\\Phi(z)$ на оси кольца в точке A на расстоянии $z$ от его центра (см. рис. 1). A2 0.40 Предполагая $z\\ll R$, найдите потенциал $\\Phi(z)$ в виде разложения в ряд до первого, зависящего от $z$, члена. A3 0.20 Электрон (его масса $m$, заряд $-e$) расположили в точке A (см. рис. 1, $z\\ll R$). Рассчитайте силу, действующую на электрон. Какой знак должен иметь заряд кольца $q$, чтобы возникли колебания? Смещение электрона не меняет распределение заряда по кольцу. A4 0.10 Определите циклическую частоту $\\omega$ этих гармонических колебаний. Часть B. Потенциал в плоскости кольца (1.7 балла) Теперь рассмотрим распределение потенциала $\\Phi(r)$ в плоскости кольца ($z=0$) при $r\\ll R$ (как в точке B на рис. 1). Разложение потенциала до первой ненулевой степени $r$ имеет вид $\\Phi\\approx q(\\alpha+\\beta r^2)$. B1 1.50 Выразите $\\beta$. Вы могли бы использовать разложение Тейлора, приведенное выше. B2 0.20 Электрон расположили в точке B (см. рис. 1, $r\\ll R$). Рассчитайте силу, действующую на электрон. Какой знак должен иметь заряд кольца $q$, чтобы возникли гармонические колебания? Смещение электрона не меняет распределение заряда по кольцу. Часть C. Фокусное расстояние идеальной линзы: мгновенная зарядка (2.3 балла) Экспериментатор Глюкас разрабатывает электростатическую линзу для фокусировки электронов. Он располагает кольцо перпендикулярно оси $z$ (см. рис. 2). Глюкас также конструирует источник, который генерирует пакеты (маленькие группы) нерелятивистских электронов. Кинетическая энергия электрона $E=mv^2/2$, ($v$ – скорость). При этом можно точно контролировать моменты времени, когда электроны вылетают из источника. Заряд кольца нулевой почти всегда, и становится равным $q$, когда электроны находятся на расстоянии менее $d/2\\:(d\\ll R)$ от плоскости кольца (заштрихованная область на рис. 2 – «активная область»). В этой части задачи предполагается, что Глюкас способен обеспечить мгновенную зарядку и мгновенную разрядку кольца, а электрическое поле мгновенно возникает в пространстве. Магнитными полями, а также изменением $z$-компоненты скорости электронов следует пренебречь. Движущиеся электроны не влияют на распределение заряда по кольцу. C1 1.30 Предположим, что пакет электронов изначально летит параллельно оси $z$ на расстоянии $r$ ($r\\ll R$) от нее. Определите фокусное расстояние $f$ линзы ($f\\gg d$). Выразите ответ с использованием константы $\\beta$ из пункта B.1 и других известных величин. Знак заряда $q$ таков, что линза работает как собирающая. Предположим теперь, что точечный источник электронов расположен на оси $z$ на расстоянии $b>f$ от центра кольца. Из этой точки вылетают электроны под углами не более $\\gamma \\ll 1$ к оси $z$. Линза собирает их в некоторой точке на расстоянии $c$ от центра кольца. C2 0.80 Найдите $c$. Выразите ответ с использованием константы $\\beta$ из пункта B.1 и других известных величин. C3 0.20 Выполняется ли формула тонкой линзы $\\frac{1}{b}+\\frac{1}{c}=\\frac{1}{f}$ для линзы Глюка? Покажите это непосредственным расчетом величины $1/b + 1/c$. Часть D. Емкость кольца (3 балла) Рассмотренная модель линзы была идеализированной, и считалось, что кольцо заряжается мгновенно. В действительности это не так, потому что у кольца есть конечная емкость $C$. Вам могут пригодиться следующие интегралы: $$\\int \\frac{\\mathrm{d} x}{\\sin x}=-\\ln \\left|\\frac{\\cos x+1}{\\sin x}\\right|+ \\mathrm{const}$$ и $$\\int \\frac{\\mathrm{d} x}{\\sqrt{1+x^{2}}}=\\ln \\left|x+\\sqrt{1+x^{2}}\\right|+ \\mathrm{const}$$ D1 2.00 Вычислите емкость $C$ кольца. Считайте, что ширина кольца $2a$, причем $a\\ll R$. Рассмотрим следующую модель. Когда электроны достигают «активной области», кольцо подключают к источнику напряжения $V_0$ (рис. 3). Когда электроны покидают «активную область», кольцо заземляют. Сопротивление проводов равно $R_0$, а сопротивлением кольца можно пренебречь. D2 1.00 Найдите, как зависит заряд кольца $q(t)$ от времени. Постройте схематический график этой зависимости. В момент времени $t=0$ электроны находятся в плоскости кольца. В некоторый момент времени заряд кольца $q(t)$ достигает значения $q_0$, модуль которого максимален. Найдите это  значение $q_0$. Емкость кольца $C$ (вам не нужно использовать значение из D.1). Примечание: полярность подключения на рисунке 3 показана только в качестве примера. Подключение источника напряжения должно быть выбрано таким образом, чтобы линза работала как собирающая. Часть Е. Фокусное расстояние реальной линзы: не мгновенная зарядка (2 балла) В этой части задачи рассматривается более реалистичная модель линзы. Толщиной кольца $2a$ можно пренебречь. Перед тем как электроны достигают «активной области» они движутся параллельно оси $z$. Зарядку кольца больше нельзя считать мгновенной. E1 1.70 Найдите фокусное расстояние $f$ линзы. Считайте, что $f/v\\gg R_0C$, но $d/v$ и $R_0C$ одного порядка. Выразите ответ с использованием константы $\\beta$ из части B и других известных величин. E2 0.30 Можно заметить, что ответ для $f$ в предыдущем пункте похож на ответ, полученный в части C. Нужно только заменить значение заряда $q$ некоторым «эффективным» зарядом $q_\\mathrm{eff}$. Выразите $q_\\mathrm{eff}$ через заданные в задаче величины.\n","figures":["/corpus/figures/b41804ac6b69369ec348.webp","/corpus/figures/f91cfffc4e8aa34732f9.webp","/corpus/figures/514334492f81a8a7febb.webp"],"shared":false},"solution":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.30"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Рассчитайте электростатический потенциал $\\Phi(z)$ на оси кольца в точке A на расстоянии $z$ от его центра (см. рис. 1).\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Посчитаем потенциал от элементарного участка кольца с линейной плотностью заряда $\\lambda=\\cfrac{q}{2\\pi R}$ длиной $Rd\\alpha$:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"d\\Phi=\\cfrac{1}{4\\pi\\varepsilon_0}\\cdot\\cfrac{\\lambda Rd\\alpha}{\\sqrt{R^2+z^2}}{.}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Воспользуемся тем, что расстояние от точки $\\mathrm{A}$ до любой точки кольца одинаковое{.}$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Тогда окончательно получаем:\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$\\Phi(z)=\\frac{q}{4 \\pi \\varepsilon_{0}} \\frac{1}{\\sqrt{R^{2}+z^{2}}}{.}$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.40"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Предполагая $z\\ll R$, найдите потенциал $\\Phi(z)$ в виде разложения в ряд до первого, зависящего от $z$, члена.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Преобразуем полученное в предыдущем пункте выражение к виду:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\Phi(z)=\\frac{q}{4 \\pi R\\varepsilon_{0}} \\frac{1}{\\sqrt{1+(z/R)^{2}}}{.}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$И пользуясь тем, что $z/R\\ll1{,}$ получим окончательный ответ:\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$\\Phi(z) \\approx \\frac{q}{4 \\pi \\varepsilon_{0} R}\\left(1-\\frac{z^{2}}{2 R^{2}}\\right)$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Электрон (его масса $m$, заряд $-e$) расположили в точке A (см. рис. 1, $z\\ll R$). Рассчитайте силу, действующую на электрон. Какой знак должен иметь заряд кольца $q$, чтобы возникли колебания? Смещение электрона не меняет распределение заряда по кольцу.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Запишем выражение для потенциальной энергии электрона: $V=-e\\Phi{.}$ Из потенциальной энергии получим требуемую силу:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$F(z)=-\\cfrac{dV(z)}{dz}=e\\cfrac{d\\Phi}{dz}=-\\cfrac{qe}{4\\pi\\varepsilon_0R^3}z{.}$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$F=-\\cfrac{qe}{4\\pi\\varepsilon_0R^3}z$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A4\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.10"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Определите циклическую частоту $\\omega$ этих гармонических колебаний.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Запишем уравнение движение:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"m\\ddot{z}+\\cfrac{qe}{4\\pi\\varepsilon_0R^3}z=0{.}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Получили уравнение колебаний, откуда находим частоту."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n $$\\omega=\\sqrt{\\cfrac{qe}{4\\pi\\varepsilon_0R^3}}$$\n\n                "}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Выразите $\\beta$. Вы могли бы использовать разложение Тейлора, приведенное выше.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n $\\textbf{Метод1:}$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"\n        \n             Разобьем кольцо на элементарные участки с линейной зарядом $dq=\\cfrac{qd\\varphi}{2\\pi }$ длиной $Rd\\varphi$. Пусть $OB=r{,} OC=R{,}$ тогда $BC=\\sqrt{R^2+r^2-2Rr\\cos{\\varphi}}{.}$ Найдем вклад в потенциал точки $B$ от этого элементарного участка."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"d\\Phi=\\cfrac{1}{4\\pi\\varepsilon_0}\\cdot\\cfrac{\\lambda Rd\\varphi}{\\sqrt{R^2+r^2-2Rr\\cos{\\varphi}}}=\\frac{1}{4 \\pi \\varepsilon_{0}} \\frac{\\lambda \\mathrm{d} \\phi}{\\sqrt{1+\\frac{r^{2}}{R^{2}}-2 \\frac{r}{R} \\cos \\phi}}{.}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$        \n        "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/8501d2f6291dd5bcb729.webp","alt":"ipho-2021-t2 solution: original source diagram 1"}]}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Разложим $d\\Phi$ в ряд Тейлора, используя $r/R\\ll1{:}$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"d\\Phi\\approx\\frac{\\lambda \\mathrm{d} \\phi}{4 \\pi \\varepsilon_{0}} \\left[1-\\cfrac{1}{2}\\left(\\cfrac{r^2}{R^2}-2\\cfrac{r}{R}\\cos{\\varphi}\\right)+\\cfrac{3}{8}\\left(\\cfrac{r^2}{R^2}-2\\cfrac{r}{R}\\cos{\\varphi}\\right)^2\\right]="},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$ "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"= \\frac{\\lambda \\mathrm{d} \\phi}{4 \\pi \\varepsilon_{0}}\\left[1+\\frac{r}{R} \\cos \\phi+\\frac{r^{2}}{R^{2}}\\left(\\frac{3}{2} \\cos ^{2} \\phi-\\frac{1}{2}\\right)\\right]{.}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Проинтегрируем выражение для потенциала: "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\\Phi(r)=\\int_0^{2\\pi}\\frac{\\lambda \\mathrm{d} \\phi}{4 \\pi \\varepsilon_{0}}\\left[1+\\frac{r}{R} \\cos \\phi+\\frac{r^{2}}{R^{2}}\\left(\\frac{3}{2} \\cos ^{2} \\phi-\\frac{1}{2}\\right)\\right]=\\cfrac{q}{4\\pi\\varepsilon_0R}\\left(1+\\cfrac{r^2}{4R^2}\\right){.}$$Отсюда получаем $\\beta:$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n  $$\\beta=\\frac{1}{16 \\pi \\varepsilon_{0} R^{3}}{.}$$\n\n                    "}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n $\\textbf{Метод 2:}$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"\n        \n             Запишем выражение для потенциала в точке, смещенной на $r$ в плоскости кольца и на $z$ по вертикали:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\Phi(z, r)=\\frac{q}{4 \\pi \\varepsilon_{0} R}\\left(1-\\frac{z^{2}}{2 R^{2}}\\right)+q \\beta r^{2}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Отсюда найдем выражения для радиальной напряженности и напряженности вдоль $z{.}$ "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"E_r(z,r)=-2q\\beta r{;}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"E_z(z,r)=\\cfrac{q}{4\\pi\\varepsilon_0R^3}z{.}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Запишем теорему Гаусса для цилиндра радиуса $r$ c образующей $2z{.}$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$\\int_{\\text{дно}}\\vec{E}\\cdot d\\vec{S}+\\int_{\\text{бок}}\\vec{E}\\cdot d\\vec{S}=0$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Отсюда получаем: "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\cfrac{qzr^2}{2\\varepsilon_0R^3}-8\\pi q\\beta r^2z=0{.}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$И окончательно:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/f32ce85f741838da73cc.webp","alt":"ipho-2021-t2 solution: original source diagram 2"}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n  $$\\beta=\\frac{1}{16 \\pi \\varepsilon_{0} R^{3}}{.}$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Электрон расположили в точке B (см. рис. 1, $r\\ll R$). Рассчитайте силу, действующую на электрон. Какой знак должен иметь заряд кольца $q$, чтобы возникли гармонические колебания? Смещение электрона не меняет распределение заряда по кольцу.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Найдем силу с помощью производной потенциальной энергии: $F=-\\cfrac{dV}{dr}=\\cfrac{d\\Phi}{dr}e{.}$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n $$F=\\cfrac{qe}{8\\pi\\varepsilon_0R^3}r{.}$$\n\n                "}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.30"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Предположим, что пакет электронов изначально летит параллельно оси $z$ на расстоянии $r$ ($r\\ll R$) от нее.\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Определите фокусное расстояние $f$ линзы ($f\\gg d$). Выразите ответ с использованием константы $\\beta$ из пункта B.1 и других известных величин. Знак заряда $q$ таков, что линза работает как собирающая.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Рассмотрим электрон, обладающий скоростью $v=\\sqrt{\\cfrac{2E}{m}}$ и находящийся на расстоянии $r$ от  \"оптической оси\". Электрон преодолеет активную область за время "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"t=\\cfrac{d}{v}{.}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Запишем уравнение движение электрона и определим радиальную скорость по прошествии времени $t$:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$m\\ddot{r}=2eq\\beta r{,}$$$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"v_r=\\ddot{r}\\cdot t=\\cfrac{2eq\\beta r}{m}\\cdot\\cfrac{d}{v}<0{.}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Линза будет фокусировать электроны, если $q<0{.}$ В таком случае найдем время достижения оптической оси:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"t^{\\prime}=\\frac{r}{\\left|v_{r}\\right|}=-\\frac{m v}{2 e q \\beta d}{.}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$ "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"За время $t^{\\prime}$ электрон по оси $z$ пройдет $f{:}$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"f=t^{\\prime}v=-\\frac{m v^2}{2 e q \\beta d}=-\\frac{E}{e q d \\beta}{.}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$f=-\\frac{E}{e q d \\beta}$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.80"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Найдите $c$. Выразите ответ с использованием константы $\\beta$ из пункта B.1 и других известных величин.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"\n        \n             Рассмотрим электрон, выпущенный под углом $\\gamma$ к оптической оси. Его начальная скорость в проекции на радиальную ось и ось $z$ равна соответственно "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\begin{cases}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"v_{r ; 0}=v \\sin \\gamma \\approx v \\gamma \\approx v \\frac{r}{b}{,}\\\\"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"v_{z; 0}=v \\cos \\gamma \\approx v{.}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\end{cases}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/55473a2886c0981b9fcd.webp","alt":"ipho-2021-t2 solution: original source diagram 3"}]}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n После прохождения активной области его радиальная компонента поменяет свое значение и будет равна:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"v_r=v\\cfrac{r}{b}+\\cfrac{2eq\\beta r}{m}\\cfrac{d}{v}{,}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$где первый член положительный, а второй отрицательный (так как $q<0$).\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Если электрон достигает оптической оси после прохождения активной зоны, то $v_r<0{.}$ Тогда время, необходимое для достижения оптической оси:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$t^{\\prime}=\\cfrac{r}{|v_r|}=-\\frac{1}{\\frac{2 e q \\beta}{m} \\frac{d}{v}+\\frac{v}{b}}{.}$$За это время электрон пройдет в проекции на ось $z{:}$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"c=t^{\\prime}v=-\\frac{1}{\\frac{e q \\beta d}{E}+\\frac{1}{b}}$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n $$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"c=-\\frac{1}{\\frac{e q \\beta d}{E}+\\frac{1}{b}}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                "}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Выполняется ли формула тонкой линзы $\\frac{1}{b}+\\frac{1}{c}=\\frac{1}{f}$ для линзы Глюка? Покажите это непосредственным расчетом величины $1/b + 1/c$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Из $\\mathrm{C2}$ получаем "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\cfrac{1}{b}+\\cfrac{1}{c}=-\\cfrac{eq\\beta d}{E}{.}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Сопоставляя  это выражение с $\\mathrm{C1}$, получаем, что формула тонкой линзы выполнена.\n\n                "}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                D1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 2.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Вычислите емкость $C$ кольца. Считайте, что ширина кольца $2a$, причем $a\\ll R$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"\n        \n             Разобьем кольцо на две части. И будем считать потенциал как сумму потенциалов от этих частей. Первая часть это маленький участок с угловым размером $2\\alpha$, причем $\\alpha R\\gg a$, а второй это оставшееся кольцо. "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Так как мы выбрали $\\alpha\\ll1$, то можно пренебречь закруглением кольца. Посчитаем потенциал от этого участка:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\Phi_{1}=2 \\frac{1}{4 \\pi \\varepsilon_{0}} \\frac{q}{2 \\pi R} \\int_{0}^{\\alpha R} \\frac{\\mathrm{d} x}{\\sqrt{x^{2}+a^{2}}}=\\\\"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"=\\cfrac{q}{4\\pi^2\\varepsilon_0R}\\int_{0}^{\\alpha R/a} \\frac{\\mathrm{d} y}{\\sqrt{y^{2}+1}}=\\cfrac{q}{4\\pi^2\\varepsilon_0R}\\ln{\\left(\\cfrac{\\alpha R}{a}+\\sqrt{\\cfrac{(\\alpha R)^2}{a^2}+1}\\right)}\\approx \\frac{q}{4 \\pi^{2} \\varepsilon_{0} R} \\ln \\left(\\frac{2 \\alpha R}{a}\\right){.}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$  "},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/e12992b2be15cec1c598.webp","alt":"ipho-2021-t2 solution: original source diagram 4"}]}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"\n        \n             Теперь найдем потенциал от второго участка кольца. Здесь мы можем не учитывать толщину $a$. Используя теорему косинусов, получаем, что $KL=2R\\sin{\\cfrac{\\varphi}{2}}{.}$ Тогда потенциал $\\Phi_2$ определяется выражением:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\Phi_{2}=2 \\frac{q}{2 \\pi} \\frac{1}{4 \\pi \\varepsilon_{0}} \\int_{\\alpha}^{\\pi} \\frac{\\mathrm{d} \\varphi}{2 R \\sin \\frac{\\varphi}{2}}=\\cfrac{q}{4\\pi^2\\varepsilon_0R}\\int_{\\alpha/2}^{\\pi/2}\\cfrac{dcos{y}}{cos^2{y}-1}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\Phi_2=\\cfrac{q}{4\\pi^2\\varepsilon_0R}\\ln{\\cfrac{1+\\cos{\\alpha/2}}{\\sin{\\alpha/2}}}\\approx \\frac{q}{4 \\pi^{2} \\varepsilon_{0} R} \\ln \\left(\\frac{4}{\\alpha}\\right){.}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/e2247594e36c009bb849.webp","alt":"ipho-2021-t2 solution: original source diagram 5"}]}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Находим окончательный ответ для $\\Phi:$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\Phi=\\Phi_1+\\Phi_2=\\cfrac{q}{4\\pi^2\\varepsilon_0R}\\ln{\\cfrac{8R}{a}}{.}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\Phi=\\cfrac{q}{4\\pi^2\\varepsilon_0R}\\ln{\\cfrac{8R}{a}}{.}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                D2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Найдите, как зависит заряд кольца $q(t)$ от времени. Постройте схематический график этой зависимости. В момент времени $t=0$ электроны находятся в плоскости кольца.\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"В некоторый момент времени заряд кольца $q(t)$ достигает значения $q_0$, модуль которого максимален. Найдите это  значение $q_0$. Емкость кольца $C$ (вам не нужно использовать значение из D.1).\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Примечание: полярность подключения на рисунке 3 показана только в качестве примера. Подключение источника напряжения должно быть выбрано таким образом, чтобы линза работала как собирающая.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n При заряде кольца $q(t)$ падение напряжения на кольце $-q/C,$ на резисторе $-R_0dq/dt.$ Тогда  в промежутке времени $-d / 2 v < t < d / 2 v:$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\frac{q(t)}{C}+R_{0} \\frac{\\mathrm{d} q}{\\mathrm{~d} t}=V_{0}{.}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Интегрируя это уравнение и подставляя граничные условия, получаем:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"q(t)=C V_{0}\\left(1-\\mathrm{e}^{-\\frac{d}{2 v R_{0} C}} \\mathrm{e}^{-\\frac{t}{R_{0} C}}\\right){.}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Заряд достигает максимального значения в момент времени $t=d/2v{.}$ И значение $q_0:$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"q_{0}=C V_{0}\\left(1-\\mathrm{e}^{-\\frac{d}{v R_{0} C}}\\right){.}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$После $t=d/2v$ уравнение на $q$ принимает вид:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\frac{q(t)}{C}+R_{0} \\frac{\\mathrm{d} q}{\\mathrm{~d} t}=0{.}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Снова интегрируя и подставляя граничные условия, получаем зависимость $q(t)$ для $t>d/2v$:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$q(t)=C V_{0}\\left(\\mathrm{e}^{\\frac{d}{2 v R_{0} C}}-\\mathrm{e}^{-\\frac{d}{2 v R_{0} C}}\\right) \\mathrm{e}^{-\\frac{t}{R C}}{.}$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Итак, "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\begin{equation*}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"q(t) = "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":" \\begin{cases}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"   0 &\\text{при $t<-\\cfrac{d}{2v}$}\\\\"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"   C V_{0}\\left(1-\\mathrm{e}^{-\\frac{d}{2 v R_{0} C}} \\mathrm{e}^{-\\frac{t}{R_{0} C}}\\right) &\\text{при $-\\cfrac{d}{2v} < t < \\cfrac{d}{2v}$}\\\\"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"  C V_{0}\\left(\\mathrm{e}^{\\frac{d}{2 v R_{0} C}}-\\mathrm{e}^{-\\frac{d}{2 v R_{0} C}}\\right) \\mathrm{e}^{-\\frac{t}{R C}} &\\text{при $t>\\cfrac{d}{2v}$}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":" \\end{cases}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\end{equation*}\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/cabba6a6b43cef256b24.webp","alt":"ipho-2021-t2 solution: original source diagram 6"}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                E1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.70"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Найдите фокусное расстояние $f$ линзы. Считайте, что $f/v\\gg R_0C$, но $d/v$ и $R_0C$ одного порядка. Выразите ответ с использованием константы $\\beta$ из части B и других известных величин.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Аналогично $\\mathrm{C1}$, запишем уравнение движение: "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"m \\ddot{r}=2 e q(t) \\beta r{,}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$но здесь $q$ зависит от времени."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Введем замену $\\eta=2e\\beta/m$ и уравнение движение примет вид:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\ddot{r}=\\eta q(t) r{.}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Так как $f/v\\gg R_0C$, то за время зарядки-разрядки положение электрона в радиальном направлении существенно не меняется. Тогда  $v_r$ можно получить интегрированием $\\ddot{r}$:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"v_{r}=\\eta r \\int_{-d /(2 v)}^{\\infty} q(t) \\mathrm{d} t{.}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Разобьем интеграл на два участка интегрирования: от $-d/2v$ до $d/2v$  и от $d/2v$ до $\\infty$:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"v_{r}=\\eta r \\int_{-d /(2 v)}^{d/2v} q(t) \\mathrm{d} t+\\eta r \\int_{d /(2 v)}^{\\infty} q(t) \\mathrm{d} t{,}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Используя замены $d/v=t_0, RC_0=\\tau, CV_0=Q_0$, получаем:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"v_{r}=Q_{0}\\left(t_{0}-\\tau\\left[1-\\mathrm{e}^{-t_{0} / \\tau}\\right]\\right)+Q_{0} \\tau\\left[1-\\mathrm{e}^{-t_{0} / \\tau}\\right]{.}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Окончательное выражение для $v_r{:}$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"v_{r}=\\frac{2 e \\beta C V_{0} d r}{m v}{.}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$И, аналогично части $\\mathrm{C}$ фокусное расстояние $f{:}$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"f=-\\frac{E}{e C V_{0} d \\beta}{.}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                E2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.30"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Можно заметить, что ответ для $f$ в предыдущем пункте похож на ответ, полученный в части C. Нужно только заменить значение заряда $q$ некоторым «эффективным» зарядом $q_\\mathrm{eff}$. Выразите $q_\\mathrm{eff}$ через заданные в задаче величины.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Сопоставляя $f=-E/(eCV_0d\\beta)$ с $f=-E/(eqd\\beta)$ из части $\\mathrm{C}$, получаем:\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n $$q_{eff}=CV_0{.}$$\n\n                "}]}]}],"text":"A1 0.30 Рассчитайте электростатический потенциал $\\Phi(z)$ на оси кольца в точке A на расстоянии $z$ от его центра (см. рис. 1). Посчитаем потенциал от элементарного участка кольца с линейной плотностью заряда $\\lambda=\\cfrac{q}{2\\pi R}$ длиной $Rd\\alpha$: $$ d\\Phi=\\cfrac{1}{4\\pi\\varepsilon_0}\\cdot\\cfrac{\\lambda Rd\\alpha}{\\sqrt{R^2+z^2}}{.} $$Воспользуемся тем, что расстояние от точки $\\mathrm{A}$ до любой точки кольца одинаковое{.}$ Тогда окончательно получаем: Ответ: \n                    \n $$\\Phi(z)=\\frac{q}{4 \\pi \\varepsilon_{0}} \\frac{1}{\\sqrt{R^{2}+z^{2}}}{.}$$\nA2 0.40 Предполагая $z\\ll R$, найдите потенциал $\\Phi(z)$ в виде разложения в ряд до первого, зависящего от $z$, члена. Преобразуем полученное в предыдущем пункте выражение к виду: $$ \\Phi(z)=\\frac{q}{4 \\pi R\\varepsilon_{0}} \\frac{1}{\\sqrt{1+(z/R)^{2}}}{.} $$И пользуясь тем, что $z/R\\ll1{,}$ получим окончательный ответ: Ответ: \n                    \n $$\\Phi(z) \\approx \\frac{q}{4 \\pi \\varepsilon_{0} R}\\left(1-\\frac{z^{2}}{2 R^{2}}\\right)$$\nA3 0.20 Электрон (его масса $m$, заряд $-e$) расположили в точке A (см. рис. 1, $z\\ll R$). Рассчитайте силу, действующую на электрон. Какой знак должен иметь заряд кольца $q$, чтобы возникли колебания? Смещение электрона не меняет распределение заряда по кольцу. Запишем выражение для потенциальной энергии электрона: $V=-e\\Phi{.}$ Из потенциальной энергии получим требуемую силу: $$F(z)=-\\cfrac{dV(z)}{dz}=e\\cfrac{d\\Phi}{dz}=-\\cfrac{qe}{4\\pi\\varepsilon_0R^3}z{.}$$ Ответ: \n                    \n $$F=-\\cfrac{qe}{4\\pi\\varepsilon_0R^3}z$$\nA4 0.10 Определите циклическую частоту $\\omega$ этих гармонических колебаний. Запишем уравнение движение: $$ m\\ddot{z}+\\cfrac{qe}{4\\pi\\varepsilon_0R^3}z=0{.} $$Получили уравнение колебаний, откуда находим частоту. $$\\omega=\\sqrt{\\cfrac{qe}{4\\pi\\varepsilon_0R^3}}$$\nB1 1.50 Выразите $\\beta$. Вы могли бы использовать разложение Тейлора, приведенное выше. $\\textbf{Метод1:}$ Разобьем кольцо на элементарные участки с линейной зарядом $dq=\\cfrac{qd\\varphi}{2\\pi }$ длиной $Rd\\varphi$. Пусть $OB=r{,} OC=R{,}$ тогда $BC=\\sqrt{R^2+r^2-2Rr\\cos{\\varphi}}{.}$ Найдем вклад в потенциал точки $B$ от этого элементарного участка. $$ d\\Phi=\\cfrac{1}{4\\pi\\varepsilon_0}\\cdot\\cfrac{\\lambda Rd\\varphi}{\\sqrt{R^2+r^2-2Rr\\cos{\\varphi}}}=\\frac{1}{4 \\pi \\varepsilon_{0}} \\frac{\\lambda \\mathrm{d} \\phi}{\\sqrt{1+\\frac{r^{2}}{R^{2}}-2 \\frac{r}{R} \\cos \\phi}}{.} $$ Разложим $d\\Phi$ в ряд Тейлора, используя $r/R\\ll1{:}$ $$ d\\Phi\\approx\\frac{\\lambda \\mathrm{d} \\phi}{4 \\pi \\varepsilon_{0}} \\left[1-\\cfrac{1}{2}\\left(\\cfrac{r^2}{R^2}-2\\cfrac{r}{R}\\cos{\\varphi}\\right)+\\cfrac{3}{8}\\left(\\cfrac{r^2}{R^2}-2\\cfrac{r}{R}\\cos{\\varphi}\\right)^2\\right]= $$ $$ = \\frac{\\lambda \\mathrm{d} \\phi}{4 \\pi \\varepsilon_{0}}\\left[1+\\frac{r}{R} \\cos \\phi+\\frac{r^{2}}{R^{2}}\\left(\\frac{3}{2} \\cos ^{2} \\phi-\\frac{1}{2}\\right)\\right]{.} $$ Проинтегрируем выражение для потенциала: $$\\Phi(r)=\\int_0^{2\\pi}\\frac{\\lambda \\mathrm{d} \\phi}{4 \\pi \\varepsilon_{0}}\\left[1+\\frac{r}{R} \\cos \\phi+\\frac{r^{2}}{R^{2}}\\left(\\frac{3}{2} \\cos ^{2} \\phi-\\frac{1}{2}\\right)\\right]=\\cfrac{q}{4\\pi\\varepsilon_0R}\\left(1+\\cfrac{r^2}{4R^2}\\right){.}$$Отсюда получаем $\\beta:$ Ответ: \n                    \n  $$\\beta=\\frac{1}{16 \\pi \\varepsilon_{0} R^{3}}{.}$$ $\\textbf{Метод 2:}$ Запишем выражение для потенциала в точке, смещенной на $r$ в плоскости кольца и на $z$ по вертикали: $$ \\Phi(z, r)=\\frac{q}{4 \\pi \\varepsilon_{0} R}\\left(1-\\frac{z^{2}}{2 R^{2}}\\right)+q \\beta r^{2} $$Отсюда найдем выражения для радиальной напряженности и напряженности вдоль $z{.}$ $$ E_r(z,r)=-2q\\beta r{;} $$$$ E_z(z,r)=\\cfrac{q}{4\\pi\\varepsilon_0R^3}z{.} $$Запишем теорему Гаусса для цилиндра радиуса $r$ c образующей $2z{.}$ $\\int_{\\text{дно}}\\vec{E}\\cdot d\\vec{S}+\\int_{\\text{бок}}\\vec{E}\\cdot d\\vec{S}=0$ Отсюда получаем: $$ \\cfrac{qzr^2}{2\\varepsilon_0R^3}-8\\pi q\\beta r^2z=0{.} $$И окончательно: Ответ: \n                    \n  $$\\beta=\\frac{1}{16 \\pi \\varepsilon_{0} R^{3}}{.}$$\nB2 0.20 Электрон расположили в точке B (см. рис. 1, $r\\ll R$). Рассчитайте силу, действующую на электрон. Какой знак должен иметь заряд кольца $q$, чтобы возникли гармонические колебания? Смещение электрона не меняет распределение заряда по кольцу. Найдем силу с помощью производной потенциальной энергии: $F=-\\cfrac{dV}{dr}=\\cfrac{d\\Phi}{dr}e{.}$ $$F=\\cfrac{qe}{8\\pi\\varepsilon_0R^3}r{.}$$\nC1 1.30 Предположим, что пакет электронов изначально летит параллельно оси $z$ на расстоянии $r$ ($r\\ll R$) от нее. Определите фокусное расстояние $f$ линзы ($f\\gg d$). Выразите ответ с использованием константы $\\beta$ из пункта B.1 и других известных величин. Знак заряда $q$ таков, что линза работает как собирающая. Рассмотрим электрон, обладающий скоростью $v=\\sqrt{\\cfrac{2E}{m}}$ и находящийся на расстоянии $r$ от  \"оптической оси\". Электрон преодолеет активную область за время $$ t=\\cfrac{d}{v}{.} $$Запишем уравнение движение электрона и определим радиальную скорость по прошествии времени $t$: $$m\\ddot{r}=2eq\\beta r{,}$$$$ v_r=\\ddot{r}\\cdot t=\\cfrac{2eq\\beta r}{m}\\cdot\\cfrac{d}{v}<0{.} $$Линза будет фокусировать электроны, если $q<0{.}$ В таком случае найдем время достижения оптической оси: $$ t^{\\prime}=\\frac{r}{\\left|v_{r}\\right|}=-\\frac{m v}{2 e q \\beta d}{.} $$ За время $t^{\\prime}$ электрон по оси $z$ пройдет $f{:}$ $$ f=t^{\\prime}v=-\\frac{m v^2}{2 e q \\beta d}=-\\frac{E}{e q d \\beta}{.} $$ Ответ: \n                    \n $$f=-\\frac{E}{e q d \\beta}$$\nC2 0.80 Найдите $c$. Выразите ответ с использованием константы $\\beta$ из пункта B.1 и других известных величин. Рассмотрим электрон, выпущенный под углом $\\gamma$ к оптической оси. Его начальная скорость в проекции на радиальную ось и ось $z$ равна соответственно $$ \\begin{cases} v_{r ; 0}=v \\sin \\gamma \\approx v \\gamma \\approx v \\frac{r}{b}{,}\\\\ v_{z; 0}=v \\cos \\gamma \\approx v{.} \\end{cases} $$ После прохождения активной области его радиальная компонента поменяет свое значение и будет равна: $$ v_r=v\\cfrac{r}{b}+\\cfrac{2eq\\beta r}{m}\\cfrac{d}{v}{,} $$где первый член положительный, а второй отрицательный (так как $q<0$). Если электрон достигает оптической оси после прохождения активной зоны, то $v_r<0{.}$ Тогда время, необходимое для достижения оптической оси: $$t^{\\prime}=\\cfrac{r}{|v_r|}=-\\frac{1}{\\frac{2 e q \\beta}{m} \\frac{d}{v}+\\frac{v}{b}}{.}$$За это время электрон пройдет в проекции на ось $z{:}$ $$ c=t^{\\prime}v=-\\frac{1}{\\frac{e q \\beta d}{E}+\\frac{1}{b}}$$ $$ c=-\\frac{1}{\\frac{e q \\beta d}{E}+\\frac{1}{b}} $$\nC3 0.20 Выполняется ли формула тонкой линзы $\\frac{1}{b}+\\frac{1}{c}=\\frac{1}{f}$ для линзы Глюка? Покажите это непосредственным расчетом величины $1/b + 1/c$. Из $\\mathrm{C2}$ получаем $$ \\cfrac{1}{b}+\\cfrac{1}{c}=-\\cfrac{eq\\beta d}{E}{.} $$Сопоставляя  это выражение с $\\mathrm{C1}$, получаем, что формула тонкой линзы выполнена.\nD1 2.00 Вычислите емкость $C$ кольца. Считайте, что ширина кольца $2a$, причем $a\\ll R$. Разобьем кольцо на две части. И будем считать потенциал как сумму потенциалов от этих частей. Первая часть это маленький участок с угловым размером $2\\alpha$, причем $\\alpha R\\gg a$, а второй это оставшееся кольцо. Так как мы выбрали $\\alpha\\ll1$, то можно пренебречь закруглением кольца. Посчитаем потенциал от этого участка: $$ \\Phi_{1}=2 \\frac{1}{4 \\pi \\varepsilon_{0}} \\frac{q}{2 \\pi R} \\int_{0}^{\\alpha R} \\frac{\\mathrm{d} x}{\\sqrt{x^{2}+a^{2}}}=\\\\ =\\cfrac{q}{4\\pi^2\\varepsilon_0R}\\int_{0}^{\\alpha R/a} \\frac{\\mathrm{d} y}{\\sqrt{y^{2}+1}}=\\cfrac{q}{4\\pi^2\\varepsilon_0R}\\ln{\\left(\\cfrac{\\alpha R}{a}+\\sqrt{\\cfrac{(\\alpha R)^2}{a^2}+1}\\right)}\\approx \\frac{q}{4 \\pi^{2} \\varepsilon_{0} R} \\ln \\left(\\frac{2 \\alpha R}{a}\\right){.} $$ Теперь найдем потенциал от второго участка кольца. Здесь мы можем не учитывать толщину $a$. Используя теорему косинусов, получаем, что $KL=2R\\sin{\\cfrac{\\varphi}{2}}{.}$ Тогда потенциал $\\Phi_2$ определяется выражением: $$ \\Phi_{2}=2 \\frac{q}{2 \\pi} \\frac{1}{4 \\pi \\varepsilon_{0}} \\int_{\\alpha}^{\\pi} \\frac{\\mathrm{d} \\varphi}{2 R \\sin \\frac{\\varphi}{2}}=\\cfrac{q}{4\\pi^2\\varepsilon_0R}\\int_{\\alpha/2}^{\\pi/2}\\cfrac{dcos{y}}{cos^2{y}-1} $$$$ \\Phi_2=\\cfrac{q}{4\\pi^2\\varepsilon_0R}\\ln{\\cfrac{1+\\cos{\\alpha/2}}{\\sin{\\alpha/2}}}\\approx \\frac{q}{4 \\pi^{2} \\varepsilon_{0} R} \\ln \\left(\\frac{4}{\\alpha}\\right){.} $$ Находим окончательный ответ для $\\Phi:$ $$ \\Phi=\\Phi_1+\\Phi_2=\\cfrac{q}{4\\pi^2\\varepsilon_0R}\\ln{\\cfrac{8R}{a}}{.} $$ Ответ: \n                    \n $$ \\Phi=\\cfrac{q}{4\\pi^2\\varepsilon_0R}\\ln{\\cfrac{8R}{a}}{.} $$\nD2 1.00 Найдите, как зависит заряд кольца $q(t)$ от времени. Постройте схематический график этой зависимости. В момент времени $t=0$ электроны находятся в плоскости кольца. В некоторый момент времени заряд кольца $q(t)$ достигает значения $q_0$, модуль которого максимален. Найдите это  значение $q_0$. Емкость кольца $C$ (вам не нужно использовать значение из D.1). Примечание: полярность подключения на рисунке 3 показана только в качестве примера. Подключение источника напряжения должно быть выбрано таким образом, чтобы линза работала как собирающая. При заряде кольца $q(t)$ падение напряжения на кольце $-q/C,$ на резисторе $-R_0dq/dt.$ Тогда  в промежутке времени $-d / 2 v < t < d / 2 v:$ $$ \\frac{q(t)}{C}+R_{0} \\frac{\\mathrm{d} q}{\\mathrm{~d} t}=V_{0}{.} $$Интегрируя это уравнение и подставляя граничные условия, получаем: $$ q(t)=C V_{0}\\left(1-\\mathrm{e}^{-\\frac{d}{2 v R_{0} C}} \\mathrm{e}^{-\\frac{t}{R_{0} C}}\\right){.} $$Заряд достигает максимального значения в момент времени $t=d/2v{.}$ И значение $q_0:$ $$ q_{0}=C V_{0}\\left(1-\\mathrm{e}^{-\\frac{d}{v R_{0} C}}\\right){.} $$После $t=d/2v$ уравнение на $q$ принимает вид: $$ \\frac{q(t)}{C}+R_{0} \\frac{\\mathrm{d} q}{\\mathrm{~d} t}=0{.} $$Снова интегрируя и подставляя граничные условия, получаем зависимость $q(t)$ для $t>d/2v$: $$q(t)=C V_{0}\\left(\\mathrm{e}^{\\frac{d}{2 v R_{0} C}}-\\mathrm{e}^{-\\frac{d}{2 v R_{0} C}}\\right) \\mathrm{e}^{-\\frac{t}{R C}}{.}$$ Итак, \\begin{equation*} q(t) = \\begin{cases} 0 &\\text{при $t<-\\cfrac{d}{2v}$}\\\\ C V_{0}\\left(1-\\mathrm{e}^{-\\frac{d}{2 v R_{0} C}} \\mathrm{e}^{-\\frac{t}{R_{0} C}}\\right) &\\text{при $-\\cfrac{d}{2v} < t < \\cfrac{d}{2v}$}\\\\ C V_{0}\\left(\\mathrm{e}^{\\frac{d}{2 v R_{0} C}}-\\mathrm{e}^{-\\frac{d}{2 v R_{0} C}}\\right) \\mathrm{e}^{-\\frac{t}{R C}} &\\text{при $t>\\cfrac{d}{2v}$} \\end{cases} \\end{equation*}\nE1 1.70 Найдите фокусное расстояние $f$ линзы. Считайте, что $f/v\\gg R_0C$, но $d/v$ и $R_0C$ одного порядка. Выразите ответ с использованием константы $\\beta$ из части B и других известных величин. Аналогично $\\mathrm{C1}$, запишем уравнение движение: $$ m \\ddot{r}=2 e q(t) \\beta r{,} $$но здесь $q$ зависит от времени. Введем замену $\\eta=2e\\beta/m$ и уравнение движение примет вид: $$ \\ddot{r}=\\eta q(t) r{.} $$Так как $f/v\\gg R_0C$, то за время зарядки-разрядки положение электрона в радиальном направлении существенно не меняется. Тогда  $v_r$ можно получить интегрированием $\\ddot{r}$: $$ v_{r}=\\eta r \\int_{-d /(2 v)}^{\\infty} q(t) \\mathrm{d} t{.} $$Разобьем интеграл на два участка интегрирования: от $-d/2v$ до $d/2v$  и от $d/2v$ до $\\infty$: $$ v_{r}=\\eta r \\int_{-d /(2 v)}^{d/2v} q(t) \\mathrm{d} t+\\eta r \\int_{d /(2 v)}^{\\infty} q(t) \\mathrm{d} t{,} $$Используя замены $d/v=t_0, RC_0=\\tau, CV_0=Q_0$, получаем: $$ v_{r}=Q_{0}\\left(t_{0}-\\tau\\left[1-\\mathrm{e}^{-t_{0} / \\tau}\\right]\\right)+Q_{0} \\tau\\left[1-\\mathrm{e}^{-t_{0} / \\tau}\\right]{.} $$Окончательное выражение для $v_r{:}$ $$ v_{r}=\\frac{2 e \\beta C V_{0} d r}{m v}{.} $$И, аналогично части $\\mathrm{C}$ фокусное расстояние $f{:}$ Ответ: \n                    \n $$ f=-\\frac{E}{e C V_{0} d \\beta}{.} $$\nE2 0.30 Можно заметить, что ответ для $f$ в предыдущем пункте похож на ответ, полученный в части C. Нужно только заменить значение заряда $q$ некоторым «эффективным» зарядом $q_\\mathrm{eff}$. Выразите $q_\\mathrm{eff}$ через заданные в задаче величины. Сопоставляя $f=-E/(eCV_0d\\beta)$ с $f=-E/(eqd\\beta)$ из части $\\mathrm{C}$, получаем: $$q_{eff}=CV_0{.}$$","figures":["/corpus/figures/8501d2f6291dd5bcb729.webp","/corpus/figures/f32ce85f741838da73cc.webp","/corpus/figures/55473a2886c0981b9fcd.webp","/corpus/figures/e12992b2be15cec1c598.webp","/corpus/figures/e2247594e36c009bb849.webp","/corpus/figures/cabba6a6b43cef256b24.webp"],"shared":false}},{"id":"ipho-2019-t1","importedOn":"2026-10-28","language":"en","sources":[{"url":"https://www.ipho-new.org/download/1314/","kind":"statement","archiveMember":"1-Th1-Th3-Questions.pdf"},{"url":"https://www.ipho-new.org/download/1314/","kind":"solution","archiveMember":"3-Th1-Th3-Solutions.pdf"}],"statement":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/ipho-2019-t1-statement/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/ipho-2019-t1-statement/page-1.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2019-t1-statement/page-2.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2019-t1-statement/page-3.webp","width":982,"height":1389}],"text":"Theory\nQ1-1\nEnglish (Official)\nZero-length springs and slinky coils\nA zero effective length spring (ZLS) is a spring for which the force is proportional to the spring's length,\n𝐹= 𝑘𝐿for 𝐿> 𝐿0 where 𝐿0 is the minimal length of the spring as well as its unstretched length. Figure\n1 shows the relation between the force 𝐹and the spring length 𝐿for a ZLS, where the slope of the line\nis the spring constant 𝑘.\nFigure 1: the relation between the force 𝐹and the spring length 𝐿\nA ZLS is useful in seismography and allows very accurate measurement of changes in the gravitational\nacceleration 𝑔. Here, we shall consider a homogenous ZLS, whose weight 𝑀𝑔exceeds 𝑘𝐿0. We define a\ncorresponding dimensionless ratio, 𝛼= 𝑘𝐿0/𝑀𝑔< 1 to characterize the relative softness of the spring.\nThe toy known as “slinky” may be (but not necessarily) such a ZLS.\nPart A: Statics (3.0 points)\nA.1\nConsider a segment of length Δℓof the unstretched ZLS spring which is then\nstretched by a force 𝐹, under weightless conditions. What is the length Δ𝑦of\nthis segment as a function of 𝐹, Δℓand the parameters of the spring?\n0.5pt\nA.2\nFor a segment of length Δℓ, calculate the work Δ𝑊required to stretch it from\nits original length Δℓto a length Δ𝑦.\n0.5pt\nThroughout this question, we will denote a point on the spring by its distance 0 ≤ℓ≤𝐿0 from the bottom\nof the spring when it is unstretched. In particular, for every point on the spring, ℓremains unchanged\nas the spring stretches.\nA.3\nSuppose that we hang the spring by its top end, so that it stretches under its\nown weight. What is the total length 𝐻of the suspended spring in equilibrium?\nExpress your answers in terms of 𝐿0 and 𝛼.\n2.0pt\nPart B: Dynamics (5.5 points)\nExperiments show that when the spring is hung at rest and then released, it gradually contracts from\nthe top, while the lower part remains stationary (see Figure 2). As time advances, the contracting part\nmoves as a solid chunk and accumulates additional turns of the spring, while the stationary part becomes\nshorter. Every point on the spring begins to move only when the moving part reaches it. The bottom end\n\nTheory\nQ1-2\nEnglish (Official)\nof the spring starts moving only when the spring is fully collapsed and reaches its unstretched length\n𝐿0. After that, the contracted spring continues falling straight downwards, without tumbling, as a rigid\nbody under the influence of gravity.\nFigure 2: Left: a sequence of pictures taken during the free fall of slinky. Right: the moving\npart I and the stationary part II during the free fall of the spring.\nIn the remaining parts of the question, you are asked to base your solution on this described model. You\nmay neglect air resistance, but you are not allowed to neglect 𝐿0.\nB.1\nCalculate the time 𝑡𝑐it takes from the moment the spring is released, until it\nfully collapses back to its minimal length 𝐿0. Express your answer in terms of\n𝐿0, 𝑔and 𝛼.\nCompute the numerical value of 𝑡𝑐for a spring with 𝑘= 1.02 N/m, 𝐿0 = 0.055m\nand 𝑀= 0.201 kg, while taking 𝑔to be 9.80 m/s2.\n2.5pt\n\nTheory\nQ1-3\nEnglish (Official)\nB.2\nIn this task ℓis used to denote the coordinate of the boundary between parts I\n(in figure 2, the moving part) and II (the stationary part). At a certain moment,\nwhile a stationary part still exists its mass is 𝑚(ℓ) =\nℓ\n𝐿0 𝑀, and the moving part\nmoves with uniform instantaneous velocity 𝑣𝐼(ℓ). Show that at this moment\n(while there exists a stationary part) the velocity of the moving part is 𝑣𝐼(ℓ) =\n√\n𝐴ℓ+ 𝐵. Express the constants 𝐴and 𝐵in terms of 𝐿0, 𝑔and 𝛼.\n2.5pt\nB.3\nBased on B.2, find the minimum speed 𝑣min of the moving part of the spring in\nthe course of its motion, after its release and before it hits the ground. Express\nyour answer in terms of 𝐿0, 𝛼, 𝐴and 𝐵.\n0.5pt\nPart C: Energetics (1.5 points)\nC.1\nCalculate the amount of mechanical energy 𝑄that was lost by generating heat,\nfrom the moment the spring is released until just before the spring hits the\nground. Express your answer in terms of 𝐿0, 𝑀, 𝑔and 𝛼.\n1.5pt\n","shared":false,"sourcePages":[1,2,3]},"solution":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/ipho-2019-t1-solution-split/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/ipho-2019-t1-solution-split/page-1.webp","width":1010,"height":1307},{"src":"/corpus/documents/ipho-2019-t1-solution-split/page-2.webp","width":1010,"height":1307},{"src":"/corpus/documents/ipho-2019-t1-solution-split/page-3.webp","width":1010,"height":1307},{"src":"/corpus/documents/ipho-2019-t1-solution-split/page-4.webp","width":1010,"height":1307}],"text":"      Theory IPhO 2019 \n \nQ1-1 \n \n \n \n \n \nS1-1 \n \nZero-length springs and slinky coils – Solution \nPart A: Statics \nA.1 The force 𝐹 causes the spring to change its length from 𝐿0 to 𝐿. Since equal parts of the \nspring are extended to equal lengths, we get: \nΔ𝑦\nΔ𝑙=\n𝐿\n𝐿0 →Δ𝑦=\n𝐿\n𝐿0 Δ𝑙. \nSince 𝐿= max {\n𝐹\n𝑘, 𝐿0}, we get Δ𝑦= max⁡{\n𝐹\n𝑘𝐿0 Δ𝑙, Δ𝑙}. From this result we see that any piece of \nlength Δ𝑙 the spring behaves as a ZLS with spring constant 𝑘∗= 𝑘\n𝐿0\nΔ𝑙. \n \nA.2 Let us compute the work of the force. From Task A.1: 𝑑𝑊= 𝐹(𝑥)𝑑𝑥=\n𝑘𝐿0\nΔ𝑙𝑥𝑑𝑥. \nHence, Δ𝑊= ∫\n𝑘𝐿0\nΔ𝑙𝑥𝑑𝑥\nΔ𝑦\nΔ𝑙\n=\n𝑘𝐿0\nΔ𝑙\n𝑥2\n2 |\nΔ𝑙\nΔ𝑦\n=\n𝑘𝐿0\n2Δ𝑙(Δ𝑦2 −Δ𝑙2)⁡⁡. \n \nA.3. At every point along the statically hanging spring the weight of the mass below is balanced \nby the tension from above. This implies that at the bottom of the spring there is a section of \nlength 𝑙0 whose turns are still touching each other, as their weight is insufficient to exceed the \nthreshold force 𝑘𝐿0 to pull them apart. The length 𝑙0 can be derived from the equation: \n𝑙0\n𝐿0 𝑀𝑔= 𝑘𝐿0, hence 𝑙0 =\n𝑘𝐿02\n𝑀𝑔= 𝛼𝐿0.  \n \nFor 𝑙> 𝑙0, a segment of the unstretched spring between 𝑙 and 𝑙+ d𝑙 feels a weight of \n𝑙\n𝐿0 𝑀𝑔 \nfrom beneath, which causes its length to stretch from d𝑙 to 𝑑𝑦=\n𝐹\n𝑘𝐿0 𝑑𝑙=\n𝑙\n𝐿0 𝑀𝑔\n𝑑𝑙\n𝑘𝐿0 =\n𝑀𝑔\n𝑘𝐿02 𝑙𝑑𝑙=\n𝑙\n𝑙0 𝑑𝑙 . \nIntegration of the last expression over the stretched region, up to the point 𝐿0, gives its height \nwhen the spring is stretched \n𝐻= 𝑙0 + ∫𝑙\n𝑙0\n𝑑𝑙\n𝐿0\n𝑙0\n= 𝑙0 + 𝑙2\n2𝑙0\n|\n𝑙0\n𝐿0\n= 𝑙0 + 1\n2𝑙0\n(𝐿0\n2 −𝑙0\n2) = 𝐿0\n2\n2𝑙0\n+ 𝑙0\n2 = 𝐿0\n2 (𝛼+ 1\n𝛼)⁡ \n \n\n      Theory IPhO 2019 \n \nQ1-1 \n \n \n \n \n \nS1-2 \n \nPart B: Dynamics \nB.1. From Task A.3 we have 𝐻(𝑙) =\n𝑙2\n2𝑙0 +\n𝑙0\n2. We now calculate the position of the center of \nmass of the suspended spring. The contribution of the unstretched section of height 𝑙0 at the \nbottom, having a mass of \n𝑙0\n𝐿0 𝑀= 𝛼𝑀, is 𝛼𝑀\n𝑙0\n2. The position of the center of mass is obtained by \nsumming the contributions of its elements: \n𝐻𝑐𝑚= 1\n𝑀[𝑙0\n2 𝛼𝑀+ ∫𝐻(𝑙)𝑑𝑚\n𝐿0\n𝑙0\n] = 1\n𝑀[𝛼𝐿0\n2 𝛼𝑀+ ∫( 𝑙2\n2𝑙0\n+ 𝑙0\n2) 𝑀𝑑𝑙\n𝐿0\n⁡\n𝐿0\n𝑙0\n]\n= 𝛼2𝐿0\n2\n+ 1\n𝐿0\n[ 𝑙3\n6𝑙0\n+ 𝑙0\n2 𝑙]\n𝑙0\n𝐿0\n= 𝛼2𝐿0\n2\n+ 1\n𝐿0\n[𝐿0\n3 −𝑙0\n3\n6𝑙0\n+ 𝑙0\n2 (𝐿0 −𝑙0)] \nWhere we have used 𝑑𝑚=\n𝑑𝑙\n𝐿0 𝑀. Substituting 𝑙0 = 𝛼𝐿0 yields \n𝐻𝑐𝑚= 𝐿0 [ 1\n6𝛼−𝛼2\n6 + 𝛼\n2] \nWhen the spring is contracted to its free length 𝐿0, its center of mass is located at \n𝐿0\n2 . From the \nfalling of the center of mass at acceleration 𝑔 we get:  \n𝑔\n2 𝑡𝑐\n2 = 𝐻𝑐𝑚−𝐿0\n2 = 𝐿0 [ 1\n6𝛼−𝛼2\n6 + 𝛼\n2 −1\n2] = 𝐿0\n6𝛼(1 −𝛼)3 \nHence,  𝑡𝑐= √\n𝐿0\n3𝑔𝛼(1 −𝛼)3. \n \nFor 𝑘= 1.02 N/m, 𝐿0 = 0.055 m, 𝑀= 0.201 kg, and 𝑔= 9.80 m/s2, we have⁡𝛼= 0.0285, and \n𝑡𝑐= 0.245⁡s. \n \nB.2. The moving top section of the spring is pulled down by its own weight, 𝑚𝑡𝑜𝑝𝑔= 𝑀𝑔\n(𝐿0−𝑙)\n𝐿0 ⁡ \nand also by the tension in the spring below, which is equal to the weight 𝑀𝑔𝑙/𝐿0 of the \nstationary section of the spring. Thus, the moving top section experiences a constant force 𝐹=\n𝑀𝑔 throughout its whole fall. Another way to see that, is that a total force of 𝑀𝑔 is exerted on \nthe spring, but only the moving part experiences it. Let’s calculate the position of the center of \nmass at equilibrium of the upper part, i.e., all points with 𝑙′ > 𝑙  for some 𝑙> 𝑙0. From part A, \n\n      Theory IPhO 2019 \n \nQ1-1 \n \n \n \n \n \nS1-3 \n \nthe position of a small portion \n'l\n with coordinate 'l is: 𝐻(𝑙′) =\n𝑙′2\n2𝑙0 +\n𝑙0\n2 and the center of \nmass of this part is: \n𝐻𝑐𝑚−𝑢𝑝𝑝𝑒𝑟−𝑖=\n𝐿0\n𝑀(𝐿0 −𝑙) ∫𝐻(𝑙′)𝑑𝑚\n𝐿0\n𝑙\n=\n𝐿0\n𝑀(𝐿0 −𝑙) ∫(𝑙′2\n2𝑙0\n+ 𝑙0\n2) 𝑑𝑚\n𝐿0\n𝑙\n=\n𝐿0\n𝑀(𝐿0 −𝑙) ∫(𝑙′2\n2𝑙0\n+ 𝑙0\n2) 𝑀𝑑𝑙′\n𝐿0\n⁡\n𝐿0\n𝑙\n=\n1\n(𝐿0 −𝑙) ∫(𝑙′2\n2𝑙0\n+ 𝑙0\n2) 𝑑𝑙′⁡\n𝐿0\n𝑙\n=\n1\n(𝐿0 −𝑙) [𝑙′3\n6𝑙0\n+ 𝑙0𝑙′\n2 ]\n𝑙\n𝐿_0\n= 𝐿0\n2 + 𝐿0𝑙+ 𝑙2\n6𝑙0\n+ 𝑙0\n2 \nThe position of the upper part of CM when it contracts to a length 𝐿0 −𝑙 is 𝐻𝑐𝑚−𝑢𝑝𝑝𝑒𝑟−𝑓=\n𝑙2\n2𝑙0 +\n𝑙0\n2 +\n1\n2 (𝐿0 −𝑙). The change in the CM during the contraction process is: Δ𝐻𝑐𝑚−𝑢𝑝𝑝𝑒𝑟=\n𝐻𝑐𝑚−𝑢𝑝𝑝𝑒𝑟−𝑖−𝐻𝑐𝑚−𝑢𝑝𝑝𝑒𝑟−𝑓=\n𝐿02+𝐿0𝑙−2𝑙2\n6𝑙0\n−\n1\n2 (𝐿0 −𝑙) =\n(𝐿0−𝑙)(𝐿0+2𝑙)\n6𝑙0\n−\n1\n2 (𝐿0 −𝑙). \nThe acceleration of the CM of the upper part is  𝑎𝐶𝑀=\n𝐹𝐿0\n𝑀(𝐿0−𝑙) =\n𝑔𝐿0\n𝐿0−𝑙.   \nFrom the work energy theorem we get the equation 𝑣𝑢𝑝𝑝𝑒𝑟−𝑓\n2\n= 2𝑎𝐶𝑀Δ𝐻𝑐𝑚−𝑢𝑝𝑝𝑒𝑟, hence \n𝑣𝑢𝑝𝑝𝑒𝑟−𝑓\n2\n= 2 𝑔𝐿0\n𝐿0 −𝑙[\n(𝐿0 −𝑙)(𝐿0 + 2𝑙)\n6𝛼𝐿0\n−1\n2 (𝐿0 −𝑙)] = 2𝑔[𝐿0 + 2𝑙\n6𝛼\n−1\n2 𝐿0]\n= 2𝑔\n3𝛼𝑙+ ( 1\n3𝛼−1) 𝑔𝐿0 \nTherefore, 𝐴=\n2𝑔\n3𝛼 and 𝐵= (\n1\n3𝛼−1) 𝑔𝐿0. \nNote that for 𝑙= 𝐿0, we have ⁡𝑣𝑢𝑝𝑝𝑒𝑟−𝑓\n2\n= 𝐿0𝑔\n1−𝛼\n𝛼 and for 𝑙= 𝑙0 = 𝛼𝐿0, we get ⁡𝑣𝑢𝑝𝑝𝑒𝑟−𝑓\n2\n=\n𝐿0𝑔\n1−𝛼\n3𝛼 , hence, the moment we release the spring its velocity is finite (not zero, the meaning is \nthat it accumulate this velocity in time that is much shorter than the contracting time \nct ) and it \ndecreases to \n1\n√3 of the initial value when 𝑙= 𝑙0. \n \nB.3. Note that even though the center of mass of the spring accelerates downwards constantly, \nthe moving top section actually decelerates, while the position of the center of mass moves \ndown the spring. The speed of the top section 𝑣(𝑙), calculated in Task B2, decreases and \n\n      Theory IPhO 2019 \n \nQ1-1 \n \n \n \n \n \nS1-4 \n \napproaches the  value  √𝐴𝛼𝐿0 + 𝐵 immediately before it attaches to the bottom section of \nheight 𝑙0 = 𝛼𝐿0, which was unstretched and at rest. Once the moving top section attaches to \nthe resting bottom section, its momentum is shared between both sections, so the speed \nfurther decreases just before the whole spring starts accelerating downwards as a single mass. \nThus, the minimum speed is that of the whole spring immediately after its full collapse. From \nmomentum conservation, we have \n𝑀𝑣𝑚𝑖𝑛= 𝑚𝑡𝑜𝑝𝑣(𝑙0) = 𝑀(1 −𝑙0\n𝐿0\n) √𝐴𝛼𝐿0 + 𝐵 \n𝑣𝑚𝑖𝑛= (1 −𝛼)√𝐴𝛼𝐿0 + 𝐵 \nPart C: Energetics \nC.1. From the moment the spring is released, the acceleration of its center of mass is governed \nby the external force 𝑀𝑔 and therefore the gravitational potential energy of the spring is fully \nconverted into the kinetic energy of the center of mass of the spring, which just before hitting \nthe ground is equal to the kinetic energy of the spring. \nAll that is left is the elastic energy stored in the spring, which is converted into heat, sound, etc. \nTo calculate it, we consider the elastic energy stored in a segment 𝑑ℎ of the stretched spring, \nwhich when unstretched lies between 𝑙 and 𝑙+ d𝑙, using the result of Task A.2, Δ𝑊=\n𝑘𝐿0\n2Δ𝑙(Δ𝑙2\n2 −Δ𝑙2), by choosing Δ𝑙= 𝑑𝑙 and Δ𝑙2 = 𝑑𝑦, and using 𝑑𝑦=\n𝑙\n𝑙0 𝑑𝑙 (which was obtained \nin Task A.3), we get: \n𝑑𝑊=\n𝑘𝐿0\n2 (\n𝑙2\n𝑙02 −1) 𝑑𝑙. Integrating from 𝑙0 to 𝐿0 we find \n𝑊= ∫𝑘𝐿0\n2 (𝑙2\n𝑙0\n2 −1) 𝑑𝑙\n𝐿0\n𝑙0\n= 𝑘𝐿0\n2 [ 𝑙3\n3𝑙0\n2 −𝑙]\n𝑙0\n𝐿0\n= 𝑘𝐿0\n2 (𝐿0\n3 −𝑙0\n3\n3𝑙0\n2\n−(𝐿0 −𝑙0))\n= 𝑘𝐿0\n2\n2 (1 −𝛼3⁡\n3𝛼2\n−(1 −𝛼)) = 𝑘𝐿0\n2\n6𝛼2 (1 −𝛼)2(2𝛼+ 1)\n= 𝑀𝑔𝐿0\n(1 −𝛼)2(2𝛼+ 1)\n6𝛼\n \n","shared":false,"sourcePages":[1,2,3,4]}},{"id":"ipho-2019-t2","importedOn":"2026-10-28","language":"en","sources":[{"url":"https://www.ipho-new.org/download/1314/","kind":"statement","archiveMember":"1-Th1-Th3-Questions.pdf"},{"url":"https://www.ipho-new.org/download/1314/","kind":"solution","archiveMember":"3-Th1-Th3-Solutions.pdf"}],"statement":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/ipho-2019-t2-statement/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/ipho-2019-t2-statement/page-1.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2019-t2-statement/page-2.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2019-t2-statement/page-3.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2019-t2-statement/page-4.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2019-t2-statement/page-5.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2019-t2-statement/page-6.webp","width":982,"height":1389}],"text":"Theory\nQ2-1\nEnglish (Official)\nThe Physics of a Microwave Oven\nThis question discusses the generation of microwave radiation in a microwave oven, and its use to heat\nup food. The microwave radiation is generated in a device called “magnetron”. Part A concerns the\noperation of the magnetron, while part B deals with the absorption of microwave radiation in food.\nFigure 1\nPart A: The structure and operation of a magnetron (6.6 points)\nA magnetron is a device for the generation of microwave radiation, either in pulses (for radar applica-\ntions), or continuously (e.g., in a microwave oven). The magnetron has a mode of self-amplifying oscil-\nlations. Supplying the magnetron with static (non-alternating) voltage quickly excites this mode. The\nmicrowave radiation thus created is transmitted out of the magnetron.\nA typical microwave oven magnetron consists of a solid copper cylindrical cathode (with radius 𝑎) and a\nsurrounding anode (with radius 𝑏). The latter has the shape of a thick cylindrical shell into which cylindri-\ncal cavities are drilled. These cavities are known as “resonators”. One of the resonators is coupled to an\nantenna which will transmit the microwave energy out; we will ignore the antenna in the following. All\ninternal spaces are in vacuum. We will consider a typical magnetron with eight resonators, as depicted\nin Figure 1(a). The three-dimensional structure of a single resonator is shown in Figure 1(b). As indi-\ncated there, each of the eight cavities behaves as an inductor-capacitor (LC) resonator, with operating\nfrequency 𝑓= 2.45 GHz.\nA static uniform magnetic field is applied along the magnetron's longitudinal axis, pointing out of the\npage in Figure 1(a). In addition, a constant voltage is applied between the anode (positive potential) and\nthe cathode (negative potential). Electrons emitted from the cathode reach the anode and charge it,\nsuch that they excite an oscillation mode in which the sign of the charge is opposite between every two\n\nTheory\nQ2-2\nEnglish (Official)\nadjacent resonators. The oscillation of the cavities amplify these oscillations.\nThe process described above creates an alternating electric field with the aforementioned frequency\n𝑓= 2.45 GHz (blue lines in Figure 1(a); the static field is not plotted) in the space between the cathode\nand the anode, in addition to the static field caused by the applied constant voltage. In the steady state,\nthe typical amplitude of the alternating electric field between the anode and the cathode is approximately\n1\n3 of the static electric field there. The electron motion in the space between the cathode and the anode\nis affected by both the static and the alternating parts of the field. This causes electrons that reach the\nanode to transfer about 80% of the energy they acquire from the static field into the alternating field.\nA minority of the ejected electrons returns to the cathode and releases additional electrons, further\namplifying the alternating field.\nEach resonator can be thought of as a capacitor and an inductor, see Figure 1(b). The capacitance mainly\narises from the planar parts of the resonator surface, while the inductance stems from the cylindrical\npart. Assume that the current in the resonator flows uniformly very close to the surface of its cylindrical\ncavity, and that the strength of the magnetic field generated by this current is 0.6 times that of an ideal\ninfinite solenoid. The various lengths defining the resonator geometry are given in Figure 1(b). The\nvacuum permittivity and permeability are 𝜀0 = 8.85 ⋅10−12 F\nm and 𝜇0 = 4𝜋⋅10−7 H\nm, respectively.\nA.1\nUse the above data to estimate the frequency 𝑓est of a single resonator. (Your\nresult may differ from the actual value, 𝑓= 2.45 GHz. Use the actual value in\nthe remainder of the question.)\n0.4pt\nTask A.2 below does not deal with the magnetron itself, but helps to introduce some of the relevant\nphysics. Consider an electron moving in free space under the influence of a uniform electric field directed\nalong the negative 𝑦axis,⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐸= −𝐸0̂𝑦, and a uniform magnetic field directed along the positive 𝑧axis,⃗⃗⃗⃗⃗⃗\n𝐵= 𝐵0̂𝑧(𝐸0 and 𝐵0 are positive;̂ 𝑥,̂ 𝑦,̂ 𝑧are unit vectors oriented in the conventional manner). Let us\ndenote the electron velocity at time 𝑡by⃗𝑢(𝑡). The drift velocity⃗⃗⃗⃗𝑢𝐷of the electron is defined as its average\nvelocity. We denote by 𝑚and −𝑒the mass and charge of the electron, respectively.\nA.2\nIn each of the following two cases, find⃗⃗⃗⃗𝑢𝐷. In addition, draw in the Answer\nSheet the electron's trajectory (in the lab frame) during the time interval 0 < 𝑡<\n4𝜋𝑚\n𝑒𝐵0 if:\n1. at 𝑡= 0 the electron velocity is⃗⃗⃗⃗𝑢(0) = (3𝐸0/𝐵0)̂𝑥,\n2. at 𝑡= 0 the electron velocity is⃗⃗⃗⃗𝑢(0) = −(3𝐸0/𝐵0)̂𝑥.\n1.5pt\nWe now resume our discussion of the magnetron. The distance between the cathode and the anode is\n15mm. Assume that, due to the aforementioned energy loss to the alternating fields, the maximal kinetic\nenergy of each electron does not exceed 𝐾max = 800 eV. The static magnetic field strength is 𝐵0 = 0.3 T.\nThe electron mass and charge are 𝑚= 9.1 ⋅10−31 kg and −𝑒= −1.6 ⋅10−19 C, respectively.\nA.3\nNumerically estimate the maximal radius 𝑟of the electron motion trajectory in\nthe reference frame in which this motion is approximately circular, considering\nthis reference frame as approximately inertial.\n0.4pt\n\nTheory\nQ2-3\nEnglish (Official)\nFigure 2\nA.4\nFigure 2 depicts the alternating electric field lines between the anode and the\ncathode at a given moment in time (the static field is not plotted). Indicate in\nthe Answer Sheet which of the electrons positioned at A,B,C,D and E will drift\ntowards the anode, which will drift towards the cathode and which will drift at\na direction perpendicular to the radius at that moment.\n1.2pt\nFigure 3\nFigure 3 depicts the alternating electric field lines between the anode and the cathode (the static field is\nnot plotted) at a given moment in time. The positions of six electrons at that moment are denoted by A,\nB, C, D, E and F. All electrons are at the same distance from the cathode.\n\nTheory\nQ2-4\nEnglish (Official)\nA.5\nConsider the situation shown in Figure 3. For each of the six electron pairs AB,\nAC, BC, DE, DF, EF, indicate in the Answer Sheet whether their drift will cause\nthe angle between their position vectors (measured from the cathode’s center\nO) to increase or decrease at that moment.\n1.2pt\nFigure 4\nThe pattern you have discovered in Task A.5 acts as a focusing mechanism, concentrating the electrons\nin the space between the cathode and anode into spokes. Figure 4 depicts one such spoke, denoted by\nS.\nA.6\nDepict in the Answer Sheet the other spokes at that moment. Indicate by arrows\ntheir direction of rotation, and calculate their average angular velocity 𝜔𝑠.\n0.8pt\nMake the approximation that the total electric field half-way between the cathode and the anode is equal\nto its average static value along a radial line from the cathode to the anode, and that the spokes are\napproximately radial in that region. The cathode and anode radii (𝑎and 𝑏, respectively) are defined in\nFigure 4.\nA.7\nFind an approximate expression for the static voltage 𝑉0 required for operating\nthe magnetron in the manner described. (The expression you will find gives\nan approximation for the minimal value required for the magnetron operation;\nthe optimal voltage is somewhat higher.)\n1.1pt\nPart B: The interaction of microwave radiation with water molecules (3.4 points)\nThis part deals with the usage of microwave radiation (radiated by the magnetron antenna into the food\nchamber) for cooking, that is, heating up a lossy dielectric material such as water, either pure or salty\n\nTheory\nQ2-5\nEnglish (Official)\n(which is our model for, say, soup).\nAn electric dipole is a configuration of two equal and opposite electric charges 𝑞and −𝑞a small distance\n𝑑apart. The electric dipole vector points from the negative to the positive charge, and its magnitude is\n𝑝= 𝑞𝑑.\nA time-dependent electric field⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐸(𝑡) = 𝐸(𝑡)̂𝑥is applied on a single dipole of moment⃗𝑝(𝑡) with constant\nmagnitude 𝑝0 = |⃗𝑝(𝑡)|. The angle between the dipole and the electric field is 𝜃(𝑡).\nB.1\nWrite expressions for both the magnitude of the torque 𝜏(𝑡) applied by the elec-\ntric field on the dipole and the power 𝐻𝑖(𝑡) delivered by the field to the dipole,\nin terms of 𝑝0, 𝐸(𝑡), 𝜃(𝑡) and their derivatives.\n0.5pt\nWater molecules are polar, hence can be treated as electric dipoles. Due to the strong hydrogen bonds\nbetween water molecules in liquid water, one cannot treat them as independent dipoles. Rather, one\nshould refer to the polarization vector⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑃(𝑡), which is the dipole moment density (average dipole moment\nper unit volume of an ensemble of water molecules). The polarization⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑃(𝑡) is parallel to the local applied\nalternating electric field (of the microwave radiation),⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐸(𝑡), and oscillates in time with an amplitude that\nis proportional to the amplitude of the local alternating electric field, but with a phase lag 𝛿.\nThe local alternating electric field at a given location inside the water is⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐸(𝑡) = 𝐸0 sin(𝜔𝑡)̂𝑥, where 𝜔= 2𝜋𝑓,\ngiving rise to polarization⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑃(𝑡) = 𝛽𝜀0𝐸0 sin(𝜔𝑡−𝛿)̂𝑥, where the dimensionless constant 𝛽is a property of\nwater.\nB.2\nFind an expression for the time-averaged power ⟨𝐻(𝑡)⟩per unit volume ab-\nsorbed by the water.\nThe time-average for a time dependent periodic variable 𝑓(𝑡) over its period 𝑇\nis defined as:\n⟨𝑓(𝑡)⟩= 1\n𝑇\n𝑡0+𝑇\n∫\n𝑡0\n𝑓(𝑡) d𝑡.\n(1)\n0.5pt\nLet us now consider the propagation of the radiation through the water. The relative dielectric constant\nof water (at the electromagnetic field frequency) is 𝜀𝑟, and the corresponding index of refraction of water\nis 𝑛= √𝜀𝑟. The momentary energy density of the electric field is given by 1\n2𝜀𝑟𝜀0𝐸2. The time-averaged\nenergy density of the electric and magnetic fields are equal.\nB.3\nLet us denote the time-averaged radiation energy flux density by 𝐼(𝑧) (average\nradiation power flow per unit area). Here 𝑧is the depth of penetration into\nthe water, and the radiation propagates in the 𝑧direction. Find an expression\nfor the dependence of the flux density 𝐼(𝑧) on 𝑧. The flux density at the water\nsurface, 𝐼(0), may appear in your result.\n1.1pt\nThe phase lag 𝛿is the result of the interaction between the water molecules. It depends on the dimen-\nsionless dielectric loss coefficient 𝜀ℓand the relative dielectric constant 𝜀𝑟(both of which depend on\nthe radiation angular frequency 𝜔and the temperature) via the relation tan 𝛿= 𝜀ℓ/𝜀𝑟. When 𝛿is small\nenough, the electric field at penetration depth 𝑧into the water is given by:⃗⃗⃗⃗⃗⃗\n𝐸(𝑧, 𝑡) =⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐸0𝑒−1\n2 𝑛𝑘0𝑧tan 𝛿sin (𝑛𝑘0𝑧−𝜔𝑡)\n(2)\nwhere 𝑘0 = 𝜔/𝑐and 𝑐= 3.0 ⋅108 𝑚𝑠is the speed of light in vacuum.\n\nTheory\nQ2-6\nEnglish (Official)\nB.4\nEmploy the approximation tan 𝛿≈sin 𝛿and find an expression for the coeffi-\ncient 𝛽defined in Task B.2 in terms of the other parameters.\n0.6pt\nFigure 5. The arrows indicate the variation with temperature across the curves from 0∘C to\n100∘C.\nFigure 5 depicts 𝜀ℓ(blue) and 𝜀𝑟(red) for both pure water (solid lines) and a dilute solution of salt in water\n(dashed lines) as functions of wavelength or frequency, at several different temperatures. The angular\nfrequency 𝜔= 2𝜋⋅2.45 ⋅109 s−1 is indicated by a bold vertical line. Below we will consider microwave\nradiation at this frequency only.\nB.5\nUse Figure 5 to address the following questions:\n1. For water at 20∘C, find the penetration depth 𝑧1/2 at which the power per\nunit volume is reduced to half of its value at 𝑧= 0.\n2. Indicate in the Answer Sheet whether the penetration depth of the mi-\ncrowave radiation into water increases, decreases or remains the same\nwith temperature.\n3. Indicate in the Answer Sheet whether the penetration depth of the mi-\ncrowave radiation into soup (dilute salt solution) increases, decreases or\nremains the same with temperature.\n0.7pt\n","shared":false,"sourcePages":[4,5,6,7,8,9]},"solution":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/ipho-2019-t2-solution-split/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/ipho-2019-t2-solution-split/page-1.webp","width":1010,"height":1307},{"src":"/corpus/documents/ipho-2019-t2-solution-split/page-2.webp","width":1010,"height":1307},{"src":"/corpus/documents/ipho-2019-t2-solution-split/page-3.webp","width":1010,"height":1307},{"src":"/corpus/documents/ipho-2019-t2-solution-split/page-4.webp","width":1010,"height":1307},{"src":"/corpus/documents/ipho-2019-t2-solution-split/page-5.webp","width":1010,"height":1307}],"text":"      Theory IPhO 2019 \n \nQ1-1 \n \n \n \n \n \nS2-1 \n \nThe Physics of a Microwave Oven – Solution  \nPart A: The structure and operation of a magnetron \nA.1. The frequency of an LC circuit is 𝑓= 𝜔/2𝜋= 1/(2𝜋√𝐿𝐶). If the total electric current \nflowing along the boundary of the cavity is 𝐼, it generates a magnetic field whose magnitude (by \nthe assumptions of the question) is 0.6𝜇0𝐼/ℎ, and a total magnetic flux equal to 𝜋𝑅2 ×\n0.6𝜇0𝐼/ℎ, hence the inductance of the resonator is 𝐿= 0.6𝜋𝜇0𝑅2/ℎ. Approximating the \ncapacitor as a plate capacitor, its capacitance is 𝐶= 𝜀0𝑙ℎ/𝑑. Putting everything together, we \nfind \n8\n9\n2\n3\n0\n0\n1\n1\n1\n1\n1 3 10\n1\n2.0 10\n2\n2\n0.6\n2\n0.6\n2\n7 10\n3.6\nest\nh\nd\nc\nd\nf\nR\nlh\nR\nl\nLC\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n \nHz  \nA.2. Denoting the electron velocity by 𝑢⃗ (𝑡), in this case the total force applied on it is \n𝐹 = −𝑒(−𝐸0𝑦̂ + 𝑢⃗ (𝑡) × 𝐵0𝑧̂). \nLet us write 𝑢⃗ (𝑡) = 𝑢⃗ 𝐷+ 𝑢⃗ ′(𝑡), with 𝑢⃗ 𝐷= (−𝐸0/𝐵0)𝑥̂̂  being the drift velocity of a charged \nparticle in the crossed electric and magnetic fields (the velocity at which the electric and \nmagnetic forces cancel each other exactly). Then 𝐹 = −𝑒𝑢⃗ ′(𝑡) × 𝐵0𝑧̂. Thus, in a frame moving \nat the drift velocity 𝑢⃗ 𝐷, the electron trajectory is a circle with constant-magnitude velocity  𝑢′ =\n|𝑢⃗ ′(𝑡)|, and radius 𝑟= 𝑚𝑢′/𝑒𝐵0. In the lab frame this circular motion is superimposed upon \nthe drift at the constant velocity 𝑢⃗ 𝐷. Hence: \n1. For 𝑢⃗ (0) = (3𝐸0/𝐵0)𝑥̂̂ we find 𝑢′ = 4𝐸0/𝐵0 and 𝑟= 4𝑚𝐸0/𝑒𝐵0\n2. \n2. For 𝑢⃗ (0) = −(3𝐸0/𝐵0)𝑥̂̂ we find 𝑢′ = 2𝐸0/𝐵0 and 𝑟= 2𝑚𝐸0/𝑒𝐵0\n2. \nThis information, together with the independence of the period of the circular motion on 𝑢′ \nallows us to plot the electron trajectory in both cases (green and red, for cases 1 and 2, \nrespectively): \n \n \n \n \n\n      Theory IPhO 2019 \n \nQ1-1 \n \n \n \n \n \nS2-2 \n \n \nA.3. The velocity of the electron in a frame of reference where the motion is approximately \ncircular is '\nu . From A.2 we get that \nmax\n'\nD\nu\nu\nv\n\n\n and \nmin\n'\nD\nu\nu\nv\n\n\n, hence \nmax\nmin\nmax\n'\n(\n) / 2\nu\nv\nv\nv\n\n\n\n.  \nThe radius of the circular motion of the electron in this frame is \n0\nmax\n0\n'/\n/\nr\nmu eB\nmv\neB\n\n\n. The \nmaximal velocity is that corresponding to a kinetic energy, 𝐾max = 𝑚𝑣max\n2 /2, of 800 eV. \nSubstituting we find \n31\n4\n19\n2\n1\n2\n1\n2 9.1 10\n800\n3.18 10\nm\n0.3mm\n0.3\n1.6 10\nm\neV\nmV\nr\neB\nm\nB\ne\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n.  \nSince this maximal radius is much smaller than the distance between the anode and the \ncathode, we may ignore the circular component of the electronic motion, and approximate it as \npure drift. \nA.4. As just explained, we may approximate the electron motion as pure drift. In task A.2 we \nhave found that the direction of the drift \nvelocity 𝑢⃗ 𝐷 is in the direction of the vector 𝐸⃗ ×\n𝐵⃗ . Since we are interested in radial component \nof the drift velocity, the only contribution is from \nthe azimuthal component of the electric field. \nThe static electric field has no azimuthal \ncomponent, hence the drift in the radial \ndirection results solely from the azimuthal \ncomponent of the alternating electric field. \nWhat we have to check is if the azimuthal \ncomponent points clockwise or \ncounterclockwise. From the direction of the field \nlines it is easy to see (attached figure) that in \npoints A and B the azimuthal component \npointing clockwise therefore the electrons there drift towards the cathode, while for points C, D \nand E the azimuthal component points counterclockwise and the electrons there drift toward \nthe anode. \nperpendicular to the \nradius\n \ntoward the cathode \ntoward the \nanode \nPoint\n \n \nX\n \n \nA\n \n \nX\n \n \nB\n \nA \nB \nC \nD \nE \n\n      Theory IPhO 2019 \n \nQ1-1 \n \n \n \n \n \nS2-3 \n \n \n \nX\n \nC\n \n \n \nX\n \nD\n \n \n \nX\n \nE\n \n \nA.5. In this task we need to consider the azimuthal component of the drift velocity, which \nresults from the radial component of the electric field. Since all points are at the same distance \nfrom the anode, all electrons experience the same static electric field. Hence only the radial \ncomponent of the alternating field determines whether the angle between the electrons’ \nposition vectors would increase or decrease: If the radial component of the alternating field \npoints inwards (towards the cathode), the azimuthal drift velocity will be positive \n(counterclockwise) and vice versa. Hence the electrons at A, B and C drift closer to each other in \nterms of angles, while those at D, E and F drift away from each other. \nindeterminate\n \nangle increases \nangle decreases \npoints \n \n \nX\n \nAB\n \n \n \nX\n \nBC\n \n \n \nX\n \nCA\n \n \nX\n \n \nDE\n \n \nX\n \n \nEF\n \n \nX\n \n \nDF\n \nA.6. Spokes will be created only in the regions \nwhere focusing occurs. By the result of the \nprevious task, there are four spokes, as indicated \nin the attached Figure. \nThe electron drift sets the spokes in a \ncounterclockwise rotation. The frequency of the \nalternating field is 𝑓= 2.45 GHz. By the time the \nalternating field flipped its sign (half a period), \neach spoke moves to the next cavity, \ncorresponding to an angle of 𝜋/4. Therefore, the \nangular velocity of each spoke is  \n𝜔=\n𝜋\n4 /\n𝑇\n2 =\n𝜋\n2 𝑓= 3.85 ⋅109𝑟𝑎𝑑/𝑠. Each spoke \nperforms a full rotation around the magnetron \nafter four periods of the alternating field. \n\n      Theory IPhO 2019 \n \nQ1-1 \n \n \n \n \n \nS2-4 \n \nA.7. The magnitude of the electric field in the region considered, 𝑟= (𝑏+ 𝑎)/2, is the \nmagnitude of the static field, that is, 𝐸= 𝑉0/(𝑏−𝑎), giving rise to an azimuthal drift velocity of \nmagnitude 𝑢𝐷= 𝐸/𝐵0 = 𝑉0/[𝐵0(𝑏−𝑎)]. Equating 𝑢𝐷/𝑟 with the angular velocity found in the \nprevious task we find \n2\n2\n0\n0(\n) / 4\nV\nfB b\na\n\n\n\n \nPart B: The interaction of microwave radiation with water molecules \nB.1. The torque at time 𝑡 is given by 𝜏(𝑡) = −𝑞𝑑sin[𝜃(𝑡)]𝐸(𝑡) = −𝑝0sin[𝜃(𝑡)]𝐸(𝑡), hence the \ninstantaneous power delivered to the dipole by the electric field is \n\n\n0\n0\n( )\n( )\n( ) ( )\n( )sin ( ) ( )\n( )\ncos ( )\n( )\nx\ni\nd\ndp t\nH t\nt\nt\np E t\nt\nt\nE t\np\nt\nE t\ndt\ndt\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n \nB.2. Since the average dipole density (hence the average of each molecular dipole) is parallel to \nthe field, the absorbed power density is (angular brackets, 〈⋯〉, denote average over time) \n\n\n0\n0\n0\n0\n2\n2\n2\n0\n0\n0\n0\n0\n0\n( )\nsin(\n)\nsin(\n)\nsin(\n)\nsin(\n)cos(\n)\n0.5\nsin\nsin(2\n)\n0.5\nsin\nx\nf\nf\nf\nf\nf\nf\nf\nf\nf\ndP\nd\nH t\nE\nt\nE\nt\nE\nt\ndt\ndt\nE\nt\nt\nE\nt\nE\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n \nB.3. The energy density of the electromagnetic field at penetration depth 𝑧, which is twice the \nelectric energy density, is 2 × 𝜀𝑟𝜀0〈𝐸2(𝑧, 𝑡)〉/2 = 𝜀𝑟𝜀0𝐸0\n2(𝑧)〈sin2(𝜔𝑡)〉= 𝜀𝑟𝜀0𝐸0\n2(𝑧)/2. \nTherefore, the time-averaged flux density at depth 𝑧 is: \n𝐼(𝑧) = 1\n2 𝜀𝑟𝜀0𝐸0\n2(𝑧) × 𝑐\n𝑛= 1\n2 √𝜀𝑟𝜀0𝑐𝐸0\n2(𝑧), \nwhere 𝑐 is the speed of light in vacuum. 𝐼 decreases with 𝑧 due to the absorbed power \ncalculated in the previous task we find \n𝑑𝐼(𝑧)\n𝑑𝑧\n= −1\n2 𝛽𝜀0𝜔𝐸0\n2(𝑧)sin𝛿= −𝛽𝜔sin𝛿\n𝑐√𝜀𝑟\n𝐼(𝑧), \nhence 𝐼(𝑧) = 𝐼(0) exp[−𝑧𝛽𝜔sin𝛿/(𝑐√𝜀𝑟)]. \nB.4. Similarly to the previous task, the energy flux corresponding to the given field is \n𝐼(𝑧) = √𝜀𝑟𝜀0𝑐〈𝐸2(𝑧, 𝑡)〉= 1\n2 √𝜀𝑟𝜀0𝑐𝐸0\n2𝑒−𝑧𝜔√𝜀𝑟tan 𝛿/𝑐. \nEquating the argument of the exponent in the last expression with the result of the previous \ntask, and using the given approximation tan 𝛿≈sin 𝛿 leads to 𝛽= 𝜀𝑟. \n\n      Theory IPhO 2019 \n \nQ1-1 \n \n \n \n \n \nS2-5 \n \nB.5. \n1. Using previous results, the radiation power per unit area is reduced to half of its 𝑧= 0 value \nat 𝑧1/2 = 𝑐ln 2 /(𝜔√𝜀𝑟tan 𝛿) = 𝑐√𝜀𝑟ln 2 /(𝜔𝜀𝑙). From the given graph, at the given \nfrequency 𝜀𝑟≈78 and 𝜀𝑙≈10, hence 𝑧1/2 ≈12 mm. \nWe have just found that the penetration depth is proportional to √𝜀𝑟/𝜀𝑙. From the given graph \nwe thus find that: \n2. Heating up pure water (continuous lines) decreases 𝜀𝑙 much more significantly than the \ncorresponding decrease of √𝜀𝑟 at the given frequency. Thus, the penetration depth of pure \nwater increases with temperature, allowing deeper penetration of the microwave radiation and \nheating up the water inner regions. \n3. On the contrary, for a soup (dilute salt solution, dashed lines) 𝜀𝑙 at the given frequency \nincreases with temperature while 𝜀𝑟 decreases. Thus, the absorption rate increases with \ntemperature, the penetration depth decreases, and less microwave radiation reaches its inner \nregions. \nmaterial \n𝑧1/2increases with \ntemp. \n𝑧1/2 decreases with \ntemp. \n𝑧1/2remains the same \nwater \nX \n \n \nsoup \n \nX \n \n \n","shared":false,"sourcePages":[5,6,7,8,9]}},{"id":"ipho-2019-t3","importedOn":"2026-10-28","language":"en","sources":[{"url":"https://www.ipho-new.org/download/1314/","kind":"statement","archiveMember":"1-Th1-Th3-Questions.pdf"},{"url":"https://www.ipho-new.org/download/1314/","kind":"solution","archiveMember":"3-Th1-Th3-Solutions.pdf"}],"statement":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/ipho-2019-t3-statement/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/ipho-2019-t3-statement/page-1.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2019-t3-statement/page-2.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2019-t3-statement/page-3.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2019-t3-statement/page-4.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2019-t3-statement/page-5.webp","width":982,"height":1389}],"text":"Theory\nQ3-1\nEnglish (Official)\nThermoacoustic Engine\nA thermoacoustic engine is a device that converts heat into acoustic power, or sound waves - a form of\nmechanical work. Like many other heat machines, it can be operated in reverse to become a refrigerator,\nusing sound to pump heat from a cold to a hot reservoir. The high operating frequencies reduce heat\nconduction and eliminate the need for any working chamber confinement. Unlike many other engine\ntypes, the thermoacoustic engine has no moving parts except the working fluid itself.\nThe efficiencies of thermoacoustic machines are typically lower than other engine types, but they have\nadvantages in set up and maintenance costs. This creates opportunities for renewable energy applica-\ntions, such as solar-thermal power plants and utilization of waste heat. Our analysis will focus on the\ncreation of acoustic energy within the system, ignoring the extraction or conversion for powering exter-\nnal devices.\nPart A: Sound wave in a closed tube (3.7 points)\nConsider a thermally insulating tube of length 𝐿and cross-sectional area 𝑆, whose axis lies along the 𝑥\ndirection. The two ends of the tube are located at 𝑥= 0 and 𝑥= 𝐿. The tube is filled with an ideal gas\nand is sealed on both ends. At equilibrium, the gas has temperature 𝑇0, pressure 𝑝0 and mass density\n𝜌0. Assume that viscosity can be ignored and that the gas motion is only in the 𝑥direction. The gas\nproperties are uniform in the perpendicular 𝑦and 𝑧directions.\nFigure 1\nA.1\nWhen a standing sound wave forms, the gas elements oscillate in the 𝑥direction\nwith angular frequency 𝜔. The amplitude of the oscillations depends on each\nelement’s equilibrium position 𝑥along the tube. The longitudinal displacement\nof each gas element from its equilibrium position 𝑥is given by\n𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑎sin(𝑘𝑥) cos(𝜔𝑡) = 𝑢1(𝑥) cos(𝜔𝑡)\n(1)\n(please note the 𝑢here describes the displacement of a gas element)\n \nwhere 𝑎≪𝐿is a positive constant, 𝑘= 2𝜋/𝜆is the wavenumber and 𝜆is the\nwavelength. What is the maximum possible wavelength 𝜆max in this system?\n0.3pt\nWe will assume throughout the question an oscillation mode of 𝜆= 𝜆max.\nNow, consider a narrow parcel of gas, located at rest between 𝑥and 𝑥+ Δ𝑥(Δ𝑥≪𝐿). As a result of the\ndisplacement wave of Task A.1, the parcel oscillates along the 𝑥axis and undergoes a change in volume\nand other thermodynamic properties.\nThroughout the following tasks assume all these changes to the thermodynamic properties to be small\ncompared to the unperturbed values.\n\nTheory\nQ3-2\nEnglish (Official)\nA.2\nThe parcel volume 𝑉(𝑥, 𝑡) oscillates around the equilibrium value of 𝑉0 = 𝑆Δ𝑥\nand has the form\n𝑉(𝑥, 𝑡) = 𝑉0 + 𝑉1(𝑥) cos(𝜔𝑡).\n(2)\nObtain an expression for 𝑉1(𝑥) in terms of 𝑉0, 𝑎, 𝑘and 𝑥.\n0.5pt\nA.3\nAssume that the total pressure of the gas, as a result of the sound wave, takes\nthe approximate form\n𝑝(𝑥, 𝑡) = 𝑝0 −𝑝1(𝑥) cos(𝜔𝑡).\n(3)\nConsidering the forces acting on the parcel of gas, compute the amplitude 𝑝1(𝑥)\nof the pressure oscillation to leading order, in terms of the position 𝑥, the equi-\nlibrium density 𝜌0, the displacement amplitude 𝑎and the wave parameters 𝑘\nand 𝜔.\n0.7pt\nAt acoustic frequencies, the thermal conductivity of the gas can be neglected. We will treat the expansion\nand contraction of gas parcels as purely adiabatic, satisfying the relation 𝑝𝑉𝛾= const, where 𝛾is the\nadiabatic constant.\nA.4\nUse the relation above and the results of the previous tasks to obtain an expres-\nsion for the speed of sound waves 𝑐= 𝜔/𝑘in the tube, to first order. Express\nyour answer in terms of 𝑝0, 𝜌0 and the adiabatic constant 𝛾.\n0.3pt\nA.5\nThe change in the gas temperature due to the adiabatic expansion and contrac-\ntion, as a result of the sound wave, takes the form:\n𝑇(𝑥, 𝑡) = 𝑇0 −𝑇1(𝑥) cos(𝜔𝑡).\n(4)\nCompute the amplitude 𝑇1(𝑥) of the temperature oscillations in terms of 𝑇0, 𝛾,\n𝑎, 𝑘and 𝑥.\n0.7pt\nA.6\nFor the purpose of this task only, we assume a weak thermal interaction be-\ntween the tube and the gas. As a result, the standing sound wave remains\nalmost unchanged, but the gas can exchange a small amount of heat with the\ntube. The heating due to viscosity can be neglected.\nFor each of the points in Figure 2 (A, C at the edges of the tube, B at the center)\nstate whether the temperature of the tube at that point will increase, decrease\nor remain the same over a long time.\n1.2pt\nFigure 2\n\nTheory\nQ3-3\nEnglish (Official)\nPart B: Sound wave amplification induced by external thermal contact (6.3 points)\nA stack of thin well-spaced solid plates is placed inside the tube. The plates of the stack are aligned in\nparallel to the tube axis, so as not to obstruct the flow of gas along the tube. The center of the stack is\npositioned at 𝑥0 = 𝐿/4, and spans a width of ℓ≪𝐿along the tube axis, filling its entire cross section.\nThe right and left edges of the stack are held at temperature difference 𝜏. The left edge of the stack, at\n𝑥𝐻= 𝑥0 −ℓ/2, is held by an external thermal reservoir at temperature 𝑇𝐻= 𝑇0 + 𝜏/2, and at the same\ntime, its right edge, at 𝑥𝐶= 𝑥0 + ℓ/2, is held at a temperature 𝑇𝐶= 𝑇0 −𝜏/2.\nThe plate stack allows a slight longitudinal heat flow to maintain a constant temperature gradient be-\ntween its edges, such that 𝑇plate(𝑥) = 𝑇0 −𝑥−𝑥0\nℓ\n𝜏.\nFigure 3. A sketch of the system. (A) and (B) denote the hot and cold heat reservoirs respec-\ntively. (D) denotes the stack.\nTo analyze the effect of the thermal contact between the plate stack and the gas on the sound waves in\nthe tube, make the following assumptions:\n• As in the previous part, all changes to the thermodynamic properties are small compared to the\nunperturbed values.\n• The system operates in the fundamental standing-wave mode of the longest possible wavelength.\nIt is only slightly modified by the presence of the plate stack.\n• The stack is much shorter than the wavelength ℓ≪𝜆max, and can be positioned far enough from\nboth displacement and pressure nodes, so that the displacement 𝑢(𝑥, 𝑡) ≈𝑢(𝑥0, 𝑡) and the pressure\n𝑝(𝑥, 𝑡) ≈𝑝(𝑥0, 𝑡) may be considered uniform over the entire length of the stack.\n• We may neglect any edge effects, caused by the parcels moving in and out of the stack.\n• The temperature difference between the ends of the plate stack, i.e. between the hot and the cold\nreservoirs, is small compared to the absolute temperature: 𝜏≪𝑇0.\n• Heat conduction through the stack, through the gas, and along the tube are all negligible. The only\nsignificant sources of heat transfer are convection due to the motion of the gas and conduction\nbetween the gas and the stack.\n\nTheory\nQ3-4\nEnglish (Official)\nB.1\nConsider a specific parcel of gas in the region of the stack, originally at 𝑥0 = 𝐿/4.\nAs the parcel moves within the stack, the local temperature of the nearby part\nof the stack changes as follows:\n𝑇env(𝑡) = 𝑇0 −𝑇st cos(𝜔𝑡).\n(5)\nExpress 𝑇st in terms of 𝑎, 𝜏and ℓ.\n0.4pt\nB.2\nAbove which critical temperature difference 𝜏cr will the gas be conveying heat\nfrom the hot reservoir to the cold one? Express 𝜏cr in terms of 𝑇0, 𝛾, 𝑘and ℓ.\n1.0pt\nB.3\nObtain the general approximate expression for the heat flow 𝑑𝑄\n𝑑𝑡into a small\nparcel of gas as a linear function of its volume and pressure change rates. Ex-\npress your answer in terms of the rate of volume change 𝑑𝑉\n𝑑𝑡, the rate of pressure\nchange 𝑑𝑝\n𝑑𝑡, the unperturbed equilibrium values of parcel pressure and volume\n𝑝0 ,𝑉0 and the adiabatic index 𝛾. (You may use the expression for the molar heat\ncapacity at constant volume 𝑐𝑣=\n𝑅\n𝛾−1, where 𝑅is the gas constant.)\n0.8pt\nThe limited heat flow rate between the parcel and the stack causes a phase difference between the\npressure and volume oscillations of the parcel. We will see how this generates work.\nLet the heat flux into the parcel from the stack be proportional to the temperature difference between\nthe parcel and the neighboring element of the stack, given approximately by 𝑑𝑄\n𝑑𝑡= −𝛽𝑉0(𝑇st−𝑇1) cos(𝜔𝑡).\nHere 𝑇1 and 𝑇st are the temperature oscillation amplitudes of the gas parcel and the neighbouring stack\nfrom Tasks A.5 and B.1, respectively, and 𝛽> 0 is a constant. Assume that at the machine’s operating\nfrequencies, the change in gas temperature as a result of this heat flow is insignificant compared to both\n𝑇1 and 𝑇st.\nB.4\nIn order to calculate work, we will consider a change to the volume of the mov-\ning parcel as a result of the thermal contact with the stack. Let us write the\npressure and the volume of the parcel under the stack’s influence in the form:\n𝑝= 𝑝0 + 𝑝𝑎sin(𝜔𝑡) −𝑝𝑏cos(𝜔𝑡),\n𝑉= 𝑉0 + 𝑉𝑎sin(𝜔𝑡) + 𝑉𝑏cos(𝜔𝑡).\n(6)\nGiven 𝑝𝑎and 𝑝𝑏, find the coefficients 𝑉𝑎and 𝑉𝑏. Express your answer in terms of\n𝑝𝑎, 𝑝𝑏, 𝑝0, 𝑉0, 𝛾, 𝜏, 𝜏cr, 𝛽, 𝜔, 𝑎and ℓ.\n1.9pt\nB.5\nObtain an approximate expression for the acoustic work per unit volume 𝑤pro-\nduced by the gas parcel over one cycle. Integrate over the volume of the stack\nto obtain the total work 𝑊tot generated by the gas over one cycle. Express 𝑊tot\nin terms of 𝛾, 𝜏, 𝜏cr, 𝛽, 𝜔, 𝑎, 𝑘and 𝑆.\n0.8pt\n\nTheory\nQ3-5\nEnglish (Official)\nB.6\nObtain an approximate expression for the heat 𝑄tot transported from the left\nside of the plane 𝑥= 𝑥0 to the right, over a cycle. Express your answer in terms\nof 𝜏, 𝜏cr, 𝛽, 𝜔, 𝑎, 𝑆, ℓ.\n(Hint: you may use the formula 𝑗= 𝑄𝑑𝑢\n𝑑𝑡for the heat current due convection.)\n0.8pt\nB.7\nFind the efficiency 𝜂of the thermoacoustic engine. The efficiency is defined as\nthe ratio of the generated acoustic work to the heat drawn from the hot reser-\nvoir. Express your answer in terms of the temperature difference 𝜏between\nthe hot and the cold reservoir, the critical temperature difference 𝜏cr and the\nCarnot efficiency 𝜂𝑐= 1 −𝑇𝐶/𝑇𝐻.\n0.6pt\n","shared":false,"sourcePages":[10,11,12,13,14]},"solution":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/ipho-2019-t3-solution-split/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/ipho-2019-t3-solution-split/page-1.webp","width":1010,"height":1307},{"src":"/corpus/documents/ipho-2019-t3-solution-split/page-2.webp","width":1010,"height":1307},{"src":"/corpus/documents/ipho-2019-t3-solution-split/page-3.webp","width":1010,"height":1307}],"text":"      Theory IPhO 2019 \n \nQ1-1 \n \n \n \n \n \nS3-1 \n \nThermoacoustic engine – Solution \nPart A: Sound wave in a closed tube \nA.1. The boundary conditions are: 𝑢(0, 𝑡) = 𝑢(𝐿, 𝑡) = 0. As a result, sin (\n2𝜋\n𝜆𝐿) = 0, so we get \n𝜆max = 2𝐿. \nA.2. We get \n𝑉(𝑥, 𝑡) = 𝑆⋅(Δ𝑥+ 𝑢(𝑥+ Δ𝑥, 𝑡) −𝑢(𝑥, 𝑡)) = 𝑆Δ𝑥⋅(1 + 𝑢′) = 𝑉0 + 𝑉0𝑢′. \nThus, \n𝑉(𝑥, 𝑡) = 𝑉0 + 𝑎𝑘𝑉0 cos(𝑘𝑥) cos(𝜔𝑡)      \n ⇒       𝑉1(𝑥) = 𝑎𝑘𝑉0 cos(𝑘𝑥). \nA.3. We use Newton’s Second Law 𝜌0𝑢̈ = −𝑝′ to deduce 𝑝′ = −𝜌0𝑢̈ = 𝜌0𝑎𝜔2 sin(𝑘𝑥)cos (𝜔𝑡), \nso that \n𝑝(𝑥, 𝑡) = 𝑝0 −𝑎\n𝜔2\n𝑘𝜌0cos (𝑘𝑥)cos (𝜔𝑡)      \n ⇒       𝑝1(𝑥) = 𝑎\n𝜔2\n𝑘𝜌0cos (𝑘𝑥). \nA.4. Using 𝑎≪𝐿, we obtain \n𝑝1(𝑥)\n𝑝0\n= 𝛾\n𝑉1(𝑥)\n𝑉0 . As a result, \n𝜌0\n𝑝0\n𝜔2\n𝑘= 𝛾⋅𝑘, and 𝑐= √\n𝛾𝑝0\n𝜌0 . \nA.5. The relative change in 𝑇(𝑥, 𝑡) is the sum of the relative changes in 𝑉(𝑥, 𝑡) and 𝑝(𝑥, 𝑡). As a \nresult, \n𝑇1(𝑥) =\n𝑇0\n𝑝0 𝑝1(𝑥) −\n𝑇0\n𝑉0 𝑉1(𝑥) = (𝛾−1) 𝑇0\n𝑉0 𝑉1(𝑥) = 𝑎𝑘(𝛾−1)𝑇0 cos(𝑘𝑥). \nA.6. The movement of the gas parcels inside the tube conveys heat along its boundary. To \ndetermine the direction of the convection, we combining the result of Task A.5 and the \nexpression (1) for 𝑢(𝑥, 𝑡). We see that when 0 < 𝑥<\n𝐿\n2, the gas is colder when the displacement \n𝑢(𝑥, 𝑡) is positive. Likewise, when \n𝐿\n2 < 𝑥< 𝐿, the gas is colder when the displacement 𝑢(𝑥, 𝑡) is \nnegative. Hence, heat flows into the gas near the point B, cooling it down, and out of the gas near \nthe points A and C, heating them up. \nPart B: Sound wave amplification induced by external thermal contact \nB.1. We get \n𝑇env(𝑡) = 𝑇plate(𝑥0 + 𝑢(𝑥0, 𝑡)) = 𝑇0 −\n𝜏\nℓ⋅𝑢(𝑥0, 𝑡), \n\n      Theory IPhO 2019 \n \nQ1-1 \n \n \n \n \n \nS3-2 \n \nso that: \n𝑇st =\n𝑎𝜏\nℓsin(𝑘𝑥0) =\n𝑎𝜏\nℓ√2. \nB.2. The gas will convey heat from the hot reservoir to the cold one if the parcels are colder than \nthe environment when 𝑢(𝑥0, 𝑡) < 0, and hotter when 𝑢(𝑥0, 𝑡) > 0. This occurs precisely if \n𝑇st > 𝑇1. \nPlugging in the results of Tasks A.5 and B.1, we get \n𝑎𝜏cr\nℓsin(𝑘𝑥0) = 𝑎𝑘(𝛾−1)𝑇0 cos(𝑘𝑥0)     \n ⇒       𝜏cr = 𝑘ℓ(𝛾−1)𝑇0. \nB.3. Using the first law of thermodynamics, we get \n𝑑𝑄\n𝑑𝑡=\n𝑑𝐸\n𝑑𝑡+ 𝑝\n𝑑𝑉\n𝑑𝑡. \nPlugging in the relation 𝐸=\n1\n𝛾−1 𝑝𝑉, we see that: \n𝑑𝑄\n𝑑𝑡=\n1\n𝛾−1\n𝑑\n𝑑𝑡(𝑝𝑉) + 𝑝\n𝑑𝑉\n𝑑𝑡=\n1\n𝛾−1 𝑉\n𝑑𝑝\n𝑑𝑡+\n𝛾\n𝛾−1 𝑝\n𝑑𝑉\n𝑑𝑡≈\n1\n𝛾−1 𝑉0\n𝑑𝑝\n𝑑𝑡+\n𝛾\n𝛾−1 𝑝0\n𝑑𝑉\n𝑑𝑡. \nB.4. We plug the expression for \n𝑑𝑄\n𝑑𝑡 into the result of Task B.3. This gives: \n1\n𝛾−1 𝑉0\n𝑑𝑝\n𝑑𝑡+\n𝛾\n𝛾−1 𝑝0\n𝑑𝑉\n𝑑𝑡= 𝛽𝑉0(𝑇st −𝑇1) ⋅cos (𝜔𝑡). \nWe now plug in the data given in equation (6), and get (by considering terms with cos (𝜔𝑡) and \nsin (𝜔𝑡) separately): \n1\n𝛾−1 𝑉0𝑝𝑎𝜔+\n𝛾\n𝛾−1 𝑝0𝑉𝑎𝜔= 𝛽𝑉0(𝑇st −𝑇1) \n1\n𝛾−1 𝑉0𝑝𝑏𝜔−\n𝛾\n𝛾−1 𝑝0𝑉𝑏𝜔= 0 \nand thus, we can already express 𝑉𝑏 as \n𝑉𝑏=\n1\n𝛾𝑝𝑏⋅\n𝑉0\n𝑝0. \nFor 𝑉𝑎, we plug in the results of Tasks B.1 and B.2, \n𝑇st −𝑇1 =\n𝑎\nℓ√2 (𝜏−𝜏cr), \n\n      Theory IPhO 2019 \n \nQ1-1 \n \n \n \n \n \nS3-3 \n \ngiving: \n𝑉𝑎= (−\n1\n𝛾𝑝𝑎−\n𝛾−1\n𝛾\n𝛽\n𝜔\n𝑎\nℓ√2 (𝜏−𝜏cr)) ⋅\n𝑉0\n𝑝0. \nB.5. We want to integrate the mechanical work generated, ∫𝑝𝑑𝑉, and averaging the result over \na long time. To do this, we substitute our expressions (6) for the perturbed 𝑝 and 𝑉. Since the \naverage of cos (𝜔𝑡)sin (𝜔𝑡) is 0, and that of sin2(𝜔𝑡) and cos2(𝜔𝑡) is \n1\n2, we get: \n𝑉0\n𝑆ℓ𝑊tot = −𝜋⋅(𝑝𝑎𝑉𝑏+ 𝑝𝑏𝑉𝑎). \nUsing the result of B.4, we get \n𝑉0\n𝑆ℓ𝑊tot =\n𝜋\n𝜔⋅\n𝛾−1\n𝛾𝛽\n𝑎\nℓ√2 (𝜏−𝜏cr) ⋅𝑉0\n𝑝𝑏\n𝑝0. \nTo leading order, 𝑝𝑏 is the unperturbed wave 𝑝𝑏≈𝑝1(𝑥0) = 𝑎\n𝜔2\n𝑘𝜌0 cos(𝑘𝑥0) = 𝑎𝑘𝛾𝑝0\n1\n√2. \nSimplifying, we get \n𝑊tot =\n𝜋\n𝜔𝑆⋅\n𝛾−1\n𝛾𝛽\n𝑎\n√2 (𝜏−𝜏cr) ⋅\n𝑝𝑏\n𝑝0 =\n𝜋\n2𝜔(𝛾−1)𝛽(𝜏−𝜏cr)𝑘𝑎2𝑆. \nB.6. We want to compute the amount of heat convection over one cycle. This means that we \nneed to take the amount of heat moving in or out of the parcel, and weigh it by the position of \nthe parcel at that time. Thus, the total heat conveyed by the parcel, integrated along a cycle, is: \n𝑄tot =\n1\nΔ𝑥∫\n𝑑𝑄\n𝑑𝑡𝑢⋅𝑑𝑡. \nThis expression can be computed to leading order using \n𝑑𝑄\n𝑑𝑡= 𝛽𝑉0(𝑇st −𝑇1) ⋅cos (𝜔𝑡) and the \nunperturbed displacement 𝑢(𝑥0, 𝑡) =\n𝑎\n√2 cos (𝜔𝑡). This gives \n𝑄tot =\n𝜋\n𝜔𝛽𝑉0(𝑇st −𝑇1) 𝑎\n√2 =\n𝜋\n𝜔𝛽𝑉0 ⋅\n𝑎\nℓ√2 (𝜏−𝜏cr) ⋅\n𝑎\n√2 =\n𝜋\n2𝜔𝛽(𝜏−𝜏cr) 𝑎2𝑆\nℓ. \nB.7. Dividing the results of Tasks B.5 and B.6, we obtain the expression: \n𝜂=\n𝑊tot\n𝑄tot = (𝛾−1)𝑘ℓ=\n𝜏cr\n𝑇0 =\n𝜏cr\n𝜏⋅\n𝜏\n𝑇0 =\n𝜏cr\n𝜏⋅𝜂𝑐. \n \n","shared":false,"sourcePages":[10,11,12]}},{"id":"ipho-2018-t1","importedOn":"2026-10-28","language":"en","sources":[{"url":"https://www.ipho-new.org/download/678/","kind":"statement","archiveMember":"IPhO2018-Portugal/Experiment/Theory/Theory 1/SE1-IPhO2018.pdf"},{"url":"https://www.ipho-new.org/download/678/","kind":"solution","archiveMember":"IPhO2018-Portugal/Experiment/Theory/Theory 1/ST1-IPhO2018.pdf"}],"statement":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/ipho-2018-t1-statement/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/ipho-2018-t1-statement/page-1.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2018-t1-statement/page-2.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2018-t1-statement/page-3.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2018-t1-statement/page-4.webp","width":982,"height":1389}],"text":"Theory\nQ1-1\nEnglish (Official)\nLIGO-GW150914 (10 points)\nIn 2015, the gravitational-wave observatory LIGO detected, for the first time, the passing of gravitational\nwaves (GW) through Earth. This event, named GW150914, was triggered by waves produced by two black\nholes that were orbiting on quasi-circular orbits. This problem will make you estimate some physical\nparameters of the system, from the properties of the detected signal.\nPart A: Newtonian (conservative) orbits (3.0 points)\nA.1\nConsider a system of two stars with masses 𝑀1, 𝑀2, at locations⃗𝑟1,⃗𝑟2, res-\npectively, with respect to the center-of-mass of the system, that is,\n𝑀1⃗𝑟1 + 𝑀2⃗𝑟2 = 0 .\n(1)\nThe stars are isolated from the rest of the Universe and moving at non-\nrelativistic velocities. Using Newton's laws, the acceleration vector of mass 𝑀1\ncan be expressed as\nd2⃗𝑟1\nd𝑡2 = −𝛼⃗𝑟1\n𝑟𝑛\n1\n,\n(2)\nwhere 𝑟1 = |⃗𝑟1|, 𝑟2 = |⃗𝑟2|. Find 𝑛∈ℕand 𝛼= 𝛼(𝐺, 𝑀1, 𝑀2), where 𝐺is Newton's\nconstant [𝐺≃6.67 × 10−11N m2 kg−2].\n1.0pt\nA.2\nThe total energy of the 2-mass system, in circular orbits, can be expressed as:\n𝐸= 𝐴(𝜇, Ω, 𝐿) −𝐺𝑀𝜇\n𝐿\n,\n(3)\nwhere\n𝜇≡\n𝑀1𝑀2\n𝑀1 + 𝑀2\n,\n𝑀≡𝑀1 + 𝑀2 ,\n(4)\nare the reduced mass and total mass of the system, Ω is the angular velocity of\neach mass and 𝐿is the total separation 𝐿= 𝑟1 + 𝑟2. Obtain the explicit form of\nthe term 𝐴(𝜇, Ω, 𝐿).\n1.0pt\nA.3\nEquation 3 can be simplified to 𝐸= 𝛽𝐺𝑀𝜇\n𝐿. Determine the number 𝛽.\n1.0pt\nPart B: Introducing relativistic dissipation (7.0 points)\nThe correct theory of gravity, General Relativity, was formulated by Einstein in 1915, and predicts that\ngravity travels with the speed of light. The messengers carrying information about the interaction are\ncalled GWs. GWs are emitted whenever masses are accelerated, making the system of masses lose\nenergy.\nConsider a system of two point-like particles, isolated from the rest of the Universe. Einstein proved that\nfor small enough velocities the emitted GWs: 1) have a frequency which is twice as large as the orbital\nfrequency; 2) can be characterized by a luminosity, i.e. emitted power 𝒫, which is dominated by Einstein's\n\nTheory\nQ1-2\nEnglish (Official)\nquadrupole formula,\n𝒫= 𝐺\n5𝑐5\n3\n∑\n𝑖=1\n3\n∑\n𝑗=1\n(d3𝑄𝑖𝑗\nd𝑡3 ) (d3𝑄𝑖𝑗\nd𝑡3 ) .\n(5)\nHere, 𝑐is the velocity of light 𝑐≃3 × 108 m/s. For a system of 2 pointlike particles orbiting on the 𝑥−𝑦\nplane, 𝑄𝑖𝑗is the following table (𝑖, 𝑗label the row/column number)\n𝑄11 =\n2\n∑\n𝐴=1\n𝑀𝐴\n3\n(2𝑥2\n𝐴−𝑦2\n𝐴) ,\n𝑄22 =\n2\n∑\n𝐴=1\n𝑀𝐴\n3\n(2𝑦2\n𝐴−𝑥2\n𝐴) ,\n𝑄33 = −\n2\n∑\n𝐴=1\n𝑀𝐴\n3 (𝑥2\n𝐴+ 𝑦2\n𝐴) ,\n(6)\n𝑄12 = 𝑄21 =\n2\n∑\n𝐴=1\n𝑀𝐴𝑥𝐴𝑦𝐴,\n(7)\nand 𝑄𝑖𝑗= 0 for all other possibilities. Here, (𝑥𝐴, 𝑦𝐴) is the position of mass A in the center-of-mass frame.\nB.1\nFor the circular orbits described in A.2 the components of 𝑄𝑖𝑗can be expressed\nas a function of time 𝑡as:\n𝑄𝑖𝑖= 𝜇𝐿2\n2\n(𝑎𝑖+ 𝑏𝑖cos 𝑘𝑡) ,\n𝑄𝑖𝑗\n𝑖≠𝑗\n= 𝜇𝐿2\n2\n𝑐𝑖𝑗sin 𝑘𝑡.\n(8)\nDetermine 𝑘in terms of Ω and the numerical values of the constants 𝑎𝑖, 𝑏𝑖, 𝑐𝑖𝑗.\n1.0pt\nB.2\nCompute the power 𝒫emitted in gravitational waves for that system, and ob-\ntain:\n𝒫= 𝜉𝐺\n𝑐5 𝜇2𝐿4Ω6 .\n(9)\nWhat is the number 𝜉? [If you could not obtain 𝜉, use 𝜉= 6.4 in the following.]\n1.0pt\nB.3\nIn the absence of GW emission the two masses will orbit on a fixed circular orbit\nindefinitely. However, the emission of GWs causes the system to lose energy\nand to slowly evolve towards smaller circular orbits. Obtain that the rate of\nchange dΩ\nd𝑡of the orbital angular velocity takes the form\n(dΩ\nd𝑡)\n3\n= (3𝜉)3 Ω11\n𝑐15 (𝐺𝑀c)5 ,\n(10)\nwhere 𝑀c is called the chirp mass. Obtain 𝑀c as a function of 𝑀and 𝜇. This\nmass determines the increase in frequency during the orbital decay. [The name\n\"chirp\" is inspired by the high pitch sound (increasing frequency) produced by\nsmall birds.]\n1.0pt\n\nTheory\nQ1-3\nEnglish (Official)\nB.4\nUsing the information provided above, relate the orbital angular velocity Ω with\nthe GW frequency 𝑓GW. Knowing that, for any smooth function 𝐹(𝑡) and 𝑎≠1,\nd𝐹(𝑡)\nd𝑡\n= 𝜒𝐹(𝑡)𝑎\n⇒\n𝐹(𝑡)1−𝑎= 𝜒(1 −𝑎)(𝑡−𝑡0) ,\n(11)\nwhere 𝜒is a constant and 𝑡0 is an integration constant, show that (10) implies\nthat the GW frequency is\n𝑓−8/3\nGW\n= 8𝜋8/3𝜉(𝐺𝑀𝑐\n𝑐3\n)\n(2/3)+𝑝\n(𝑡0 −𝑡)2−𝑝\n(12)\nand determine the constant 𝑝.\n2.0pt\nOn September 14, 2015 GW150914 was registered by the LIGO detectors, consisting of two L-shaped\narms, each 4 km long. These arms changed by a relative length according to Fig. 1. The arms of the\ndetector respond linearly to a passing gravitational wave, and the response pattern mimics the wave.\nThis wave was created by two black holes on quasi-circular orbits; the loss of energy through gravita-\ntional radiation caused the orbit to shrink and the black holes to eventually collide. The collision point\ncorresponds, roughly, to the peak of the signal after point D, in Fig. 1.\nFigure 1. Strain, i.e. relative variation of the size of each arm, at the LIGO detector H1. The\nhorizontal axis is time, and the points A, B, C, D correspond to 𝑡= 0.000, 0.009, 0.034, 0.040\nseconds, respectively.\nB.5\nFrom the figure, estimate 𝑓GW(𝑡) at\n𝑡AB = 𝑡B + 𝑡A\n2\nand\n𝑡CD = 𝑡D + 𝑡C\n2\n.\n(13)\nAssuming that (12) is valid all the way until the collision (which strictly speaking\nis not true) and that the two objects have equal mass, estimate the chirp mass,\n𝑀𝑐, and total mass of the system, in terms of solar masses 𝑀⊙≃2 × 1030 kg.\n1.0pt\nB.6\nEstimate the minimal orbital separation between the two objects at 𝑡CD. Hence\nestimate a maximum size for each object, 𝑅max. Obtain 𝑅⊙/𝑅max to compare\nthis size with the radius of our Sun, 𝑅⊙≃7 × 105 km. Estimate also their orbital\nlinear velocity at the same instant, 𝑣col, comparing it with the speed of light,\n𝑣col/𝑐.\n1.0pt\n\nTheory\nQ1-4\nEnglish (Official)\nConclude that these are extremely fast moving, extremely compact objects indeed!\n","shared":false,"sourcePages":[1,2,3,4]},"solution":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/ipho-2018-t1-solution/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/ipho-2018-t1-solution/page-1.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2018-t1-solution/page-2.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2018-t1-solution/page-3.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2018-t1-solution/page-4.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2018-t1-solution/page-5.webp","width":982,"height":1389}],"text":"Confidential\nSolutions to Theory Problem 1\nLIGO-GW150914\n(V. Cardoso, C. Herdeiro)\nJuly 15, 2018\nv6.0\n\nConfidential\nTheory\nEnglish (UK)\nST1-1\nGW150914 (10 points)\nPart A. Newtonian (conservative) orbits (3.0 points)\nA.1 Apply Newton’s law to mass 𝑀1:\n𝑀1\nd2⃗𝑟1\nd𝑡2 = 𝐺𝑀1𝑀2\n|⃗𝑟2 −⃗𝑟1|2⃗\n𝑟2 −⃗𝑟1\n|⃗𝑟2 −⃗𝑟1| .\n(1)\nUse, from eq. (1) of the question sheet⃗\n𝑟2 = −𝑀1\n𝑀2⃗\n𝑟1 ,\n(2)\nin eq. (1) above, to obtain\nd2⃗𝑟1\nd𝑡2 = −\n𝐺𝑀3\n2\n(𝑀1 + 𝑀2)2𝑟2\n1⃗\n𝑟1\n𝑟1\n.\n(3)\nA.1\n𝑛= 3,\n𝛼=\n𝐺𝑀3\n2\n(𝑀1 + 𝑀2)2 .\n1.0pt\nA.2 The total energy of the system is the sum of the two kinetic energies plus the gravitational poten-\ntial energy. For circular motions, the linear velocity of each of the masses reads\n|⃗𝑣1| = 𝑟1Ω ,\n|⃗𝑣2| = 𝑟2Ω ,\n(4)\nThus, the total energy is\n𝐸= 1\n2(𝑀1𝑟2\n1 + 𝑀2𝑟2\n2)Ω2 −𝐺𝑀1𝑀2\n𝐿\n,\n(5)\nNow,\n(𝑀1𝑟1 −𝑀2𝑟2)2 = 0\n⇒\n𝑀1𝑟2\n1 + 𝑀2𝑟2\n2 = 𝜇𝐿2 .\n(6)\nThus,\n𝐸= 1\n2𝜇𝐿2Ω2 −𝐺𝑀𝜇\n𝐿\n.\n(7)\nA.2\n𝐴(𝜇, Ω, 𝐿) = 1\n2𝜇𝐿2Ω2 .\n1.0pt\nA.3 Energy (3) of the question sheet can be interpreted as describing a system of a mass 𝜇in a cir-\ncular orbit with angular velocity Ω, radius 𝐿, around a mass 𝑀(at rest). Equating the gravitational\nacceleration to the centripetal acceleration:\n𝐺𝑀\n𝐿2 = Ω2𝐿.\n(8)\nThis is indeed Kepler’s third law (for circular orbits). Then, from (7),\n𝐸= −1\n2𝐺𝑀𝜇\n𝐿\n.\n(9)\nA.3\n𝛽= −1\n2 .\n1.0pt\n\nConfidential\nTheory\nEnglish (UK)\nST1-2\nPart B - Introducing relativistic dissipation (7.0 points)\nB.1 Some simple trigonometry for the 𝑥, 𝑦motion of the masses (in an appropriate Cartesian system)\nyields:\n(𝑥1, 𝑦1) = 𝑟1(cos(Ω𝑡), sin(Ω𝑡)) ,\n(𝑥2, 𝑦2) = −𝑟2(cos(Ω𝑡), sin(Ω𝑡)) .\n(10)\nThen,\n𝑄𝑖𝑗= 𝑀1𝑟2\n1 + 𝑀2𝑟2\n2\n2\n⎛\n⎜\n⎜\n⎜\n⎝\n4\n3 cos2(Ω𝑡) −2\n3 sin2(Ω𝑡)\n2 sin(Ω𝑡) cos(Ω𝑡)\n0\n2 sin(Ω𝑡) cos(Ω𝑡)\n4\n3 sin2(Ω𝑡) −2\n3 cos2(Ω𝑡)\n0\n0\n0\n−2\n3\n⎞\n⎟\n⎟\n⎟\n⎠\n,\n(11)\nor, using some simple trigonometry and (6),\n𝑄𝑖𝑗= 𝜇𝐿2\n2\n⎛\n⎜\n⎜\n⎜\n⎝\n1\n3 + cos 2Ω𝑡\nsin 2Ω𝑡\n0\nsin 2Ω𝑡\n1\n3 −cos 2Ω𝑡\n0\n0\n0\n−2\n3\n⎞\n⎟\n⎟\n⎟\n⎠\n.\n(12)\nB.1\n𝑘= 2Ω ,\n𝑎1 = 𝑎2 = 1\n3 , 𝑎3 = −2\n3 ,\n𝑏1 = 1, 𝑏2 = −1, 𝑏3 = 0 , 𝑐12 = 𝑐21 = 1, 𝑐𝑖𝑗\notherwise\n=\n0 .\n1.0pt\nB.2 First take the derivatives:\nd3𝑄𝑖𝑗\nd𝑡3\n= 4Ω3𝜇𝐿2 ⎛\n⎜\n⎜\n⎜\n⎝\nsin 2Ω𝑡\n−cos 2Ω𝑡\n0\n−cos 2Ω𝑡\n−sin 2Ω𝑡\n0\n0\n0\n0\n⎞\n⎟\n⎟\n⎟\n⎠\n.\n(13)\nThen perform the sum:\nd𝐸\nd𝑡= 𝐺\n5𝑐5 (4Ω3𝜇𝐿2)2[2 sin2(2Ω𝑡) + 2 cos2(2Ω𝑡)] = 32\n5\n𝐺\n𝑐5 𝜇2𝐿4Ω6 .\n(14)\nB.2\n𝜉= 32\n5 .\n1.0pt\nB.3 Now we assume a sequency of Keplerian orbits, with decreasing energy, which is being taken\nfrom the system by the GWs.\nFirst, from (9), differentiating with respect to time,\nd𝐸\nd𝑡= 𝐺𝑀𝜇\n2𝐿2\nd𝐿\nd𝑡,\n(15)\nSince this loss of energy is due to GWs, we equate it with (minus) the luminosity of GWs, given by (14)\n𝐺𝑀𝜇\n2𝐿2\nd𝐿\nd𝑡= −32\n5\n𝐺\n𝑐5 𝜇2𝐿4Ω6 .\n(16)\nWe can eliminate the 𝐿and d𝐿/d𝑡dependence in this equation in terms of Ω and dΩ/d𝑡, by using\nKepler’s third law (8), which relates:\n𝐿3 = 𝐺𝑀\nΩ2 ,\nd𝐿\nd𝑡= −2\n3\n𝐿\nΩ\ndΩ\nd𝑡.\n(17)\n\nConfidential\nTheory\nEnglish (UK)\nST1-3\nSubstituting in (16), we obtain:\n(dΩ\nd𝑡)\n3\n= (96\n5 )\n3 Ω11\n𝑐15 𝐺5𝜇3𝑀2 ≡(96\n5 )\n3 Ω11\n𝑐15 (𝐺𝑀c)5 .\n(18)\nB.3\n𝑀c = (𝜇3𝑀2)1/5 .\n1.0pt\nB.4 Angular and cycle frequencies are related as Ω = 2𝜋𝑓. From the information provided above: GWs\nhave a frequency which is twice as large as the orbital frequency, we have\nΩ\n2𝜋= 𝑓GW\n2\n.\n(19)\nFormula (10) of the question sheet has the form\ndΩ\nd𝑡= 𝜒Ω11/3 ,\n𝜒≡96\n5\n(𝐺𝑀c)5/3\n𝑐5\n.\n(20)\nThus, from (11) of the question sheet\nΩ(𝑡)−8/3 = 8\n3𝜒(𝑡0 −𝑡) ,\n(21)\nor, using (20) and the definition of 𝜒gives\n𝑓−8/3\nGW (𝑡) = (8𝜋)8/3\n5\n(𝐺𝑀c\n𝑐3 )\n5/3\n(𝑡0 −𝑡) .\n(22)\nB.4\n𝑝= 1 .\n2.0pt\nB.5 From the figure, we consider the two Δ𝑡’s as half periods. Thus, the (cycle) GW frequency is 𝑓GW =\n1/(2Δ𝑡). Then, the four given points allow us to compute the frequency at the mean time of the two\nintervals as\n𝑡AB\n𝑡CD\n𝑡(s)\n0.0045\n0.037\n𝑓GW (Hz)\n(2 × 0.009)−1\n(2 × 0.006)−1\nNow, using (22) we have two pairs of (𝑓GW,𝑡) values for two unknowns (𝑡0,𝑀c). Expressing (22) for both\n𝑡AB and 𝑡CD and dividing the two equations we obtain:\n𝑡0 = 𝐴𝑡CD −𝑡AB\n𝐴−1\n,\n𝐴≡(𝑓GW(𝑡AB)\n𝑓GW(𝑡CD))\n−8/3\n.\n(23)\nReplacing by the numerical values, 𝐴≃2.95 and 𝑡0 ≃0.054 s. Now we can use (22) for either of the\ntwo values 𝑡AB or 𝑡CD and determine 𝑀c. One obtains for the chirp mass\n𝑀c ≃6 × 1031 kg ≃30 × 𝑀⊙.\n(24)\nThus, the total mass 𝑀is\n𝑀= 43/5𝑀c ≃69 × 𝑀⊙.\n(25)\nThis result is actually remarkably close to the best estimates using the full theory of General Relativity!\n[Even though the actual objects do not have precisely equal masses and the theory we have just used\nis not valid very close to the collision.]\n\nConfidential\nTheory\nEnglish (UK)\nST1-4\nB.5\n𝑀c ≃30 × 𝑀⊙,\n𝑀≃69 × 𝑀⊙.\n1.0pt\nB.6 From (8), Kepler’s law states that 𝐿= (𝐺𝑀/Ω2)1/3. The second pair of points highlighted in the\nplot correspond to the cycle prior to merger. Thus, we use (19) to obtain the orbital angular velocity\nat 𝑡CD:\nΩ𝑡CD ∼2.6 × 102 rad/s .\n(26)\nThen, using the total mass (25) we find\n𝐿∼5 × 102 km .\n(27)\nThus, these objects have a maximum radius of 𝑅max ∼250 km. Hence they have over 30 times more\nmass and,\n𝑅⊙\n𝑅max\n∼3 × 103\n(28)\nthey are 3000 times smaller than the Sun and!\nTheir linear velocity is\n𝑣col = 𝐿\n2 Ω ≃7 × 104 km/s .\n(29)\nThey are moving at over 20% of the velocity of light!\nB.6\n𝐿collision ∼5 × 102 km ,\n𝑅⊙\n𝑅max\n∼3 × 103 ,\n𝑣col\n𝑐\n∼0.2 .\n1.0pt\n","shared":false,"sourcePages":[1,2,3,4,5]}},{"id":"ipho-2018-t2","importedOn":"2026-10-28","language":"en","sources":[{"url":"https://www.ipho-new.org/download/678/","kind":"statement","archiveMember":"IPhO2018-Portugal/Experiment/Theory/Theory 2/TRANSLATION_T2_Q_Official_english.pdf"},{"url":"https://www.ipho-new.org/download/678/","kind":"solution","archiveMember":"IPhO2018-Portugal/Experiment/Theory/Theory 2/ST2-IPhO2018.pdf"}],"statement":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/ipho-2018-t2-statement/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/ipho-2018-t2-statement/page-1.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2018-t2-statement/page-2.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2018-t2-statement/page-3.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2018-t2-statement/page-4.webp","width":982,"height":1389}],"text":"Theory\nQ2-1\nEnglish (Official)\nWhere is the neutrino? (10 points)\nWhen two protons collide with a very high energy at the Large Hadron Collider (LHC), several particles\nmay be produced as a result of that collision, such as electrons, muons, neutrinos, quarks, and their\nrespective anti-particles. Most of these particles can be detected by the particle detector surrounding\nthe collision point. For example, quarks undergo a process called hadronisation in which they become a\nshower of subatomic particles, called \"jet''. In addition, the high magnetic field present in the detectors\nallows even very energetic charged particles to curve enough for their momentum to be determined.\nThe ATLAS detector uses a superconducting solenoid system that produces a constant and uniform 2.00\nTesla magnetic field in the inner part of the detector, surrounding the collision point. Charged particles\nwith momenta below a certain value will be curved so strongly that they will loop repeatedly in the field\nand most likely not be measured. Due to its nature, the neutrino is not detected at all, as it escapes\nthrough the detector without interacting.\nData: Electron rest mass, 𝑚= 9.11 × 10−31 kg; Elementary charge, 𝑒= 1.60 × 10−19 C;\nSpeed of light, 𝑐= 3.00 × 108 m s−1; Vacuum permittivity, 𝜖0 = 8.85 × 10−12 F m−1\nPart A. ATLAS Detector physics (4.0 points)\nA.1\nDerive an expression for the cyclotron radius, 𝑟, of the circular trajectory of an\nelectron acted upon by a magnetic force perpendicular to its velocity, and ex-\npress that radius as a function of its kinetic energy, 𝐾; charge modulus, 𝑒; mass,\n𝑚; and magnetic field, 𝐵. Assume that the electron is a non-relativistic classical\nparticle.\n0.5pt\nElectrons produced inside the ATLAS detector must be treated relativistically. However, the formula for\nthe cyclotron radius also holds for relativistic motion when the relativistic momentum is considered.\nA.2\nCalculate the minimum value of the momentum of an electron that allows it to\nescape the inner part of the detector in the radial direction. The inner part of\nthe detector has a cylindrical shape with a radius of 1.1 meters, and the electron\nis produced in the collision point exactly in the center of the cylinder. Express\nyour answer in MeV/𝑐.\n0.5pt\nWhen accelerated perpendicularly to the velocity, relativistic particles of charge 𝑒and rest mass 𝑚emitt\nelectromagnetic radiation, called synchrotron radiation. The emitted power is given by\n𝑃= 𝑒2𝑎2𝛾4\n6𝜋𝜖0𝑐3\nwhere 𝑎is the acceleration and 𝛾= [1 −(𝑣/𝑐)2]−1/2.\nA.3\nA particle is called ultrarelativistic when its speed is very close to the speed of\nlight. For an ultrarelativistic particle the emitted power can be expressed as:\n𝑃= 𝜉\n𝑒4\n𝜖0𝑚𝑘𝑐𝑛𝐸2𝐵2 ,\nwhere 𝜉is a real number, 𝑛, 𝑘are integers, 𝐸is the energy of the charged par-\nticle and 𝐵is the magnetic field. Find 𝜉, 𝑛and 𝑘.\n1.0pt\n\nTheory\nQ2-2\nEnglish (Official)\nA.4\nIn the ultrarelativistic limit, the energy of the electron as a function of time is:\n𝐸(𝑡) =\n𝐸0\n1 + 𝛼𝐸0𝑡,\nwhere 𝐸0 is the initial energy of the electron. Find 𝛼as a function of 𝑒, 𝑐, 𝐵, 𝜖0\nand 𝑚.\n1.0pt\nA.5\nConsider an electron produced at the collision point along the radial direction\nwith an energy of 100 GeV. Estimate the amount of energy that is lost due to\nsynchrotron radiation until the electron escapes the inner part of the detector?\nExpress your answer in MeV.\n0.5pt\nA.6\nFind an expression for the cyclotron frequency of the electron as a function of\ntime in the ultrarelativistic limit.\n0.5pt\nPart B. Finding the neutrino (6.0 points)\nThe collision between the two protons shown in Figure 1 leads to the production of a top quark (𝑡) and\nan anti-top quark (̄𝑡), the heaviest elementary particles ever detected. The top quark decays into a 𝑊+\nboson and a bottom quark (𝑏), while the anti-top quark decays into a 𝑊−boson and an anti-bottom quark\n(̄𝑏). In the case depicted in Figure 1, the 𝑊+ boson decays into a anti-muon (𝜇+) and a neutrino (𝜈), and\nthe 𝑊−boson decays into a quark and an anti-quark. The task of this problem is to reconstruct the full\nmomentum of the neutrino using the momenta of some detected particles. For simplicity, all particles\nand jets in this problem will be considered massless, except for the top quark and W± bosons.\nThe momenta of the top quark decay products can be determined from the experiment (see Table),\nexcept for the neutrino momentum component along the (𝑧-axis). The total linear momentum of the\nfinal state particles caught by the detector is only zero on the transverse plane (𝑥𝑦plane), and not along\nthe collision line (𝑧-axis). As such, one can find the transverse momentum of the neutrino from the\nmissing momentum in the transverse plane.\nOn June 4, 2015, the ATLAS experiment at the LHC recorded a proton-proton collision at 00:21:24 GMT+1\nlike the one represented in Figure 1.\n\nTheory\nQ2-3\nEnglish (Official)\nFigure 1. Schematic representation of the ATLAS detector coordinate system (left) and proton-proton\ncollision (right).\nThe linear momenta of the three final-state particles coming from the top quark decay, including the\nneutrino, is presented below for each component.\nParticle\n𝑝𝑥(GeV/𝑐)\n𝑝𝑦(GeV/𝑐)\n𝑝𝑧(GeV/𝑐)\nanti-muon (𝜇+)\n−24.7\n−24.9\n−12.4\njet 1 (𝑗1)\n−14.2\n+50.1\n+94.1\nneutrino (𝜈)\n−104.1\n+5.3\n---\nB.1\nFind an equation which relates the square of the 𝑊+ boson mass, 𝑚2\nW, with\nthe neutrino and anti-muon momentum components presented in the table\nabove. Express your answer in terms of the neutrino and anti-muon transverse\nmomentum,⃗\n𝑝(𝜈)\nT\n= 𝑝(𝜈)\n𝑥̂\n𝚤+ 𝑝(𝜈)\n𝑦̂\n𝚥and⃗𝑝(𝜇)\nT\n= 𝑝(𝜇)\n𝑥̂\n𝚤+ 𝑝(𝜇)\n𝑦̂\n𝚥,\nand their 𝑧-axis momentum components, 𝑝(𝜇)\n𝑧\nand 𝑝(𝜈)\n𝑧\n.\n1.5pt\nB.2\nAssuming a 𝑊+ boson mass of 𝑚W = 80.4 GeV/𝑐2 calculate the two possible so-\nlutions for the neutrino momentum along the 𝑧-axis, 𝑝(𝜈)\n𝑧\n. Express your answer\nin GeV/c.\n1.5pt\nB.3\nCalculate the top quark mass for each one of the two previous solutions. Ex-\npress your answer in GeV/𝑐2.\n[If you did not obtain the two solutions in B.2, use\n𝑝(𝜈)\n𝑧\n= 70 GeV/𝑐\nand 𝑝(𝜈)\n𝑧\n= −180 GeV/𝑐.]\n1.0pt\nThe normalised number of collision events for the measurement of the top quark mass (as determined\n\nTheory\nQ2-4\nEnglish (Official)\nfrom the experiment), has two components: the so-called \"signal\" (corresponding to the decay of\ntop quarks) and \"background\" (corresponding to events from other processes that do not include top\nquarks). Experimental data include both processes, see Fig. 2.\nFigure 2. Top quark mass distribution as determined from the experiment, i.e. the normalised\nnumber of events plotted against the top quark mass. The dots correspond to the data. The\ndashed line corresponds to the \"signal\" and the shade to the \"background\".\nB.4\nAccording to the top quark mass distribution, which one of the two previous\nsolutions is more likely to be the right one? Estimate the probability for the\nmost likely solution.\n1.0pt\nB.5\nCalculate the distance traveled by the top quark before decaying, using the\nmost likely solution.\nAssume the top quark has a mean lifetime at rest of\n5 × 10−25 s.\n1.0pt\n","shared":false,"sourcePages":[1,2,3,4]},"solution":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/ipho-2018-t2-solution/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/ipho-2018-t2-solution/page-1.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2018-t2-solution/page-2.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2018-t2-solution/page-3.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2018-t2-solution/page-4.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2018-t2-solution/page-5.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2018-t2-solution/page-6.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2018-t2-solution/page-7.webp","width":982,"height":1389}],"text":"Confidential\nSolutions to Theory Problem 2\nWhere is the neutrino?\n(Miguel C N Fiolhais and António Onofre)\nJuly 24, 2018\nv1.2\n\nConfidential\nTheory\nEnglish (UK)\nST2-1\nWhere is the neutrino? (10 points)\nPart A. ATLAS Detector physics (4.0 points)\nA.1\nThe magnetic force is the centripetal force:\n𝑚𝑣2\n𝑟= 𝑒𝑣𝐵⇒𝑟= 𝑚𝑣\n𝑒𝐵.\nFirst express the velocity in terms of the kinetic energy,\n𝐾= 1\n2𝑚𝑣2 ⇒𝑣= √2𝐾\n𝑚,\nand then insert it in the expression above for the radius to get\nA.1\n𝑟=\n√\n2𝐾𝑚\n𝑒𝐵\n.\n0.5pt\nA.2\nThe radius of the circular motion of a charged particle in the presence of a uniform magnetic field is\ngiven by,\n𝑟= 𝑚𝑣\n𝑒𝐵.\nThis formula is valid in the relativistic scenario if the mass correction, 𝑚→𝛾𝑚is included:\n𝑟= 𝛾𝑚𝑣\n𝑒𝐵= 𝑝\n𝑒𝐵⇒𝑝= 𝑟𝑒𝐵.\nNote that the radius of the circular motion is half the radius of the inner part of the detector. One obtains\n[1 MeV/𝑐= 5.34 × 10−22 m kg s−1]\nA.2\n𝑝= 330 MeV/𝑐.\n0.5pt\nA.3\nThe acceleration for the particle is 𝑎= 𝑒𝑣𝐵\n𝛾𝑚∼𝑒𝑐𝐵\n𝛾𝑚, in the ultrarelativistic limit. Then,\n𝑃=\n𝑒4𝑐2𝛾4𝐵2\n6𝜋𝜖0𝑐3𝛾2𝑚2 = 𝑒4𝛾2𝑐4𝐵2\n6𝜋𝜖0𝑐5𝑚2 .\nSince 𝐸= 𝛾𝑚𝑐2 we can obtain 𝛾2𝑐4 = 𝐸2\n𝑚2 and, finally,\n\nConfidential\nTheory\nEnglish (UK)\nST2-2\n𝑃=\n𝑒4\n6𝜋𝜖0𝑚4𝑐5 𝐸2𝐵2.\nTherefore,\nA.3\n𝜉= 1\n6𝜋,\n𝑛= 5 and 𝑘= 4.\n1.0pt\nA.4\nThe power emitted by the particle is given by,\n𝑃= −d𝐸\nd𝑡=\n𝑒4\n6𝜋𝜖0𝑚4𝑐5 𝐸2𝐵2 .\nThe energy of the particle as a function of time can be calculated from\n∫\n𝐸(𝑡)\n𝐸0\n1\n𝐸2 d𝐸= −∫\n𝑡\n0\n𝑒4\n6𝜋𝜖0𝑚4𝑐5 𝐵2d𝑡,\nwhere 𝐸(0) = 𝐸0. This leads to,\n1\n𝐸(𝑡) −1\n𝐸0\n=\n𝑒4𝐵2\n6𝜋𝜖0𝑚4𝑐5 𝑡\n⇒\n𝐸(𝑡) =\n𝐸0\n1 + 𝛼𝐸0𝑡,\nwith\nA.4\n𝛼=\n𝑒4𝐵2\n6𝜋𝜖0𝑚4𝑐5 .\n1.0pt\nA.5\nIf the initial energy of the electron is 100 GeV, the radius of curvature is extremely large (𝑟=\n𝐸\n𝑒𝐵𝑐≈167 m).\nTherefore, in approximation, one can consider the electron is moving in the inner part of the ATLAS\ndetector along a straight line. The time of flight of the electron is 𝑡= 𝑅/𝑐, where 𝑅= 1.1 m is the radius\nof the inner part of the detector. The total energy lost due to synchrotron radiation is,\nΔ𝐸= 𝐸(𝑅/𝑐) −𝐸0 =\n𝐸0\n1 + 𝛼𝐸0\n𝑅\n𝑐\n−𝐸0 ≈−𝛼𝐸2\n0\n𝑅\n𝑐\nand\nA.5\nΔ𝐸= −56 MeV .\n0.5pt\n\nConfidential\nTheory\nEnglish (UK)\nST2-3\nA.6\nIn the ultrarelativistic limit, 𝑣≈𝑐and 𝐸≈𝑝𝑐. The cyclotron frequency is,\n𝜔(𝑡) =\n𝑐\n𝑟(𝑡) = 𝑒𝑐𝐵\n𝑝(𝑡) = 𝑒𝑐2𝐵\n𝐸(𝑡)\nA.6\n𝜔(𝑡) = 𝑒𝑐2𝐵\n𝐸0\n(1 +\n𝑒4𝐵2\n6𝜋𝜖0𝑚4𝑐5 𝐸0𝑡) .\n0.5pt\n\nConfidential\nTheory\nEnglish (UK)\nST2-4\nPart B. Finding the neutrino (6.0 points)\nB.1\nSince the 𝑊+ boson decays into an anti-muon and a neutrino, one can use principles of conservation\nof energy and linear momentum to calculate the unknown 𝑝(𝜈)\nz\nof the neutrino. Moreover, the anti-\nmuon and the neutrino can be considered massless, which implies that the magnitude of their momenta\n(times 𝑐) and their energies are the same. Therefore, the conservation of linear momentum can be ex-\npressed as⃗\n𝑝(𝑊)\n=⃗\n𝑝(𝜇) +⃗𝑝(𝜈) ,\nand the conservation of energy as,\n𝐸(𝑊)\n=\n𝑐𝑝(𝜇) + 𝑐𝑝(𝜈) .\nIn addition, one can also relate the energy and the momentum of the 𝑊+ boson through its mass,\n𝑚2\n𝑊= (𝐸(𝑊))2/𝑐4 −(𝑝(𝑊))2/𝑐2\nwhich leads to a quadratic equation on 𝑝(𝜈)\n𝑧\n,\n𝑚2\n𝑊\n=\n[(𝑝(𝜇) + 𝑝(𝜈))2 −(⃗𝑝(𝜇) +⃗𝑝(𝜈))2] /𝑐2\n=\n(2𝑝(𝜇)𝑝(𝜈) −2⃗𝑝(𝜇) ⋅⃗𝑝(𝜈)) /𝑐2\nB.1\n𝑚2\n𝑊= 1\n𝑐2 (2𝑝(𝜇)√(𝑝(𝜈)\nT )2 + (𝑝(𝜈)\n𝑧)2 −2⃗𝑝(𝜇)\nT\n⋅⃗𝑝(𝜈)\nT\n−2𝑝(𝜇)\n𝑧𝑝(𝜈)\n𝑧) .\n1.5pt\nB.2\nThe numerical substitution directly in the answer of B.1, using\n𝑝(𝜇) = 37.2 GeV/𝑐\n𝑚2\n𝑊𝑐2 = 6464.2 (GeV/𝑐)2\n𝑝(𝜈) 2\nT\n= 10 864.9 (GeV/𝑐)2⃗\n𝑝(𝜇)\nT\n⋅⃗𝑝(𝜈)\nT\n= 2439.3(GeV/𝑐)2\n𝑝(𝜇)\n𝑧\n= −12.4 GeV/𝑐,\nleads to\n6464.2 = 74.4√10 864.9 + 𝑝(𝜈) 2\n𝑧\n−4878.6 + 24.8𝑝(𝜈) .\nThis is a quadratic equation, equivalent to\n0.88889 𝑝(𝜈) 2\n𝑧\n+ 101.64 𝑝(𝜈)\n𝑧\n−12378 = 0\nwhose solutions are:\n\nConfidential\nTheory\nEnglish (UK)\nST2-5\nB.2\n𝑝(𝜈)\n𝑧\n= 74.0 GeV/𝑐\nor\n𝑝(𝜈)\n𝑧\n= −188.3 GeV/𝑐.\n1.5pt\nThe general solution of the equation above in B.1 leads to\n𝑝(𝜈)\n𝑧\n=\n2⃗𝑝(𝜇)\nT\n⋅⃗𝑝(𝜈)\nT\n𝑝(𝜇)\n𝑧\n+ 𝑚2\n𝑊𝑐2𝑝(𝜇)\n𝑧\n2(𝑝(𝜇)\nT )2\n±\n𝑝(𝜇) √−4(𝑝(𝜇)\nT )2(𝑝(𝜈)\nT )2 + 4(⃗𝑝(𝜇)\nT\n⋅⃗𝑝(𝜈)\nT\n)2 + 4⃗𝑝(𝜇)\nT\n⋅⃗𝑝(𝜈)\nT\n𝑚2\n𝑊𝑐2 + 𝑚4\n𝑊𝑐4\n2(𝑝(𝜇)\nT )2\nNumerical substitution leads to the above mentioned values for 𝑝(𝜈)\n𝑧.\nB.3\nThe final state particles of the top quark decay are the anti-muon, the neutrino and jet 1. Since the\nneutrino is now fully reconstructed the energy and linear momentum of the top quark can be calculated\nas,\n𝐸(t)\n=\n𝑐𝑝(𝜇) + 𝑐𝑝(𝜈) + 𝑐𝑝(𝑗1)⃗\n𝑝(t)\n=⃗\n𝑝(𝜇) +⃗𝑝(𝜈) +⃗𝑝(𝑗1) .\nThe top quark mass is,\n𝑚t\n=\n√(𝐸(t))2/𝑐4 −(⃗𝑝(t))2/𝑐2\n=\n𝑐−1√(𝑝(𝜇) + 𝑝(𝜈) + 𝑝(𝑗1))\n2 −(⃗𝑝(𝜇) +⃗𝑝(𝜈) +⃗𝑝(𝑗1))\n2 .\nThe substitution of values leads to two possible masses:\nB.3\n𝑚t = 169.3 GeV/𝑐2\nor\n𝑚t = 311.2 GeV/𝑐2\n1.0pt\nB.4\nAccording to the frequency distribution for signal (dashed line), the probability of the 𝑚t = 169.3 GeV/𝑐2\nsolution is roughly 0.1 while the probability of the 𝑚t = 311.2 GeV/c2 solution is below 0.01. Therefore,\nB.4\nThe most likely candidate is the 𝑚t = 169.3 GeV/c2 solution.\n1.0pt\n\nConfidential\nTheory\nEnglish (UK)\nST2-6\nB.5\nThe top quark energy for the most likely candidate is 𝐸(t) = 𝑐𝑝(𝜇) + 𝑐𝑝(𝜈) + 𝑐𝑝(𝑗1) = 272.6 GeV .\n𝑑= 𝑣𝑡= 𝑣𝛾𝑡0 = 𝑝(t)\n𝑚t\n𝑡0 = 𝑐𝑡0√𝐸(t)2\n𝑚2\nt 𝑐4 −1 .\nB.5\n𝑑= 2 × 10−16 m .\n1.0pt\n","shared":false,"sourcePages":[1,2,3,4,5,6,7]}},{"id":"ipho-2018-t3","importedOn":"2026-10-28","language":"en","sources":[{"url":"https://www.ipho-new.org/download/678/","kind":"statement","archiveMember":"IPhO2018-Portugal/Experiment/Theory/Theory 3/TRANSLATION_T3_Q_Official_english.pdf"},{"url":"https://www.ipho-new.org/download/678/","kind":"solution","archiveMember":"IPhO2018-Portugal/Experiment/Theory/Theory 3/ST3-IPhO2018.pdf"}],"statement":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/ipho-2018-t3-statement/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/ipho-2018-t3-statement/page-1.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2018-t3-statement/page-2.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2018-t3-statement/page-3.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2018-t3-statement/page-4.webp","width":982,"height":1389}],"text":"Theory\nQ3-1\nEnglish (Official)\nPhysics of Live Systems (10 points)\nData: Normal atmospheric pressure, 𝑃0 = 1.013 × 105 Pa = 760 mmHg\nPart A. The physics of blood flow (4.5 points)\nIn this part you will analyse two simplified models of blood flow in vessels.\nBlood vessels are approximately cylindrical in shape, and it is known that for a steady, non turbulent flow\nof an incompressible fluid in a rigid cylinder, the difference in pressure of the fluid at the two ends of the\ncylinder is given by\nΔ𝑃= 8ℓ𝜂\n𝜋𝑟4 𝑄,\n(1)\nwhere ℓand 𝑟are the length and radius of the cylinder, 𝜂is the fluid viscosity and 𝑄is the volumetric flow\nrate, i.e. the fluid volume that passes the cylinder cross section per unit time. This expression is often\nable to provide the correct order of magnitude for the pressure difference in a vessel, even without taking\ninto account the pulsatile flow, the vessel's compressibility and irregular shape, and the fact that blood\nis not a simple fluid but a mixture of cells and plasma. Moreover, this expression has the same form as\nOhm's law, with the volumetric flow rate being interpreted as a current, the difference in pressure as a\nvoltage, and the factor 𝑅= 8ℓ𝜂\n𝜋𝑟4 as a resistance.\nConsider for example the symmetrical network of arterioles (small arteries) depicted in Figure 1 that\ndelivers blood to the capillary bed of a tissue. In this network, at each bifurcation a vessel is divided in\ntwo identical vessels. However, the vessels of higher levels are thinner and shorter: consider that the\nradii and lengths of vessels in two consecutive levels, 𝑖and 𝑖+ 1, are related by 𝑟𝑖+1 = 𝑟𝑖/21/3 and by\nℓ𝑖+1 = ℓ𝑖/21/3.\nFigure 1. Network of arterioles.\n\nTheory\nQ3-2\nEnglish (Official)\nA.1\nObtain an expression for the volumetric flow rate, 𝑄𝑖, in a vessel at any level 𝑖,\nas a function of the total number of levels 𝑁, of the viscosity 𝜂, of the radius 𝑟0\nand length ℓ0 of the first vessel, and of the difference Δ𝑃= 𝑃0 −𝑃cap between\nthe pressure at the arteriole at level 0, 𝑃0, and the pressure at the capillary bed,\n𝑃cap.\n1.3pt\nA.2\nCalculate the numerical value of the volumetric flow rate 𝑄0 of the arteriole\nat level 0, if its radius is 6.0 × 10−5 m and its length is 2.0 × 10−3 m. Consider\nthat the pressure at the arteriole inlet is 55 mmHg and the vessel network has\n𝑁= 6 levels linking this arteriole to the capillary bed at the pressure 30 mmHg.\nConsider that the blood viscosity is 𝜂= 3.5 × 10−3 kg m−1 s−1. Express your\nresult in ml/h.\n0.5pt\nA blood vessel as an LCR circuit\nThe approximation of rigid cylindrical vessels falls short for several reasons. It is particularly important\nto include the time dependent flow and to take into account the change in vessel diameter that occurs\nwhen the pressure varies during a blood pumping cycle done by the heart. Moreover, it is observed that\nin the larger vessels the blood pressure varies significantly during a cycle, while in the smaller vessels\nthe amplitude of the oscillations in pressure is much smaller, and the flow is almost time independent.\nWhen the pressure increases in a single elastic vessel, there will be an increase in its diameter, thus\npermitting to store more fluid in the vessel, and to deliver it when the pressure drops. For this reason, the\nelastic behaviour of the vessel can be simulated by adding a capacitor to our initial description. Moreover,\nwhen taking into account the time dependent blood flow rate, one has to consider the inertia of the fluid,\nproportional to its density 𝜌= 1.05 × 103 kg m−3. This inertia can be described by an inductance in our\nmodel. In Figure 2 we represent the equivalent circuit for a single vessel in this model. The equivalent\ncapacitance and inductance are given by\n𝐶= 3ℓ𝜋𝑟3\n2𝐸ℎ\nand 𝐿= 9ℓ𝜌\n4𝜋𝑟2 ,\n(2)\nrespectively, where ℎis the width of the vessel wall and 𝐸is the artery Young's modulus, a coefficient\nthat describes the alteration in size of the vessel tissue when a force is applied. The Young's modulus\nhas units of pressure and is on the order of 𝐸= 0.06 MPa for arterioles.\nFigure 2. Equivalent electric circuit for a single vessel.\n\nTheory\nQ3-3\nEnglish (Official)\nA.3\nObtain, in the stationary regime, the pressure amplitude at the vessel outlet,\n𝑃out, as a function of the pressure amplitude at the inlet, 𝑃in, the equivalent re-\nsistance, 𝑅, inductance, 𝐿and capacitance, 𝐶, for a flow with angular frequency\n𝜔. Establish the condition between 𝜂, 𝜌, 𝐸, ℎ, 𝑟and ℓso that, for low frequencies,\nthe pressure oscillation amplitude at the outlet is smaller than that of 𝑃in.\n2.0pt\nA.4\nFor the vessel network in A.2 estimate the maximum arteriole wall thickness\nℎso that the condition established in A.3 is satisfied (consider that ℎis level\nindependent).\n0.7pt\nPart B. Tumour growth (5.5 points)\nTumour growth is a very complex process where biological mechanisms such as cell proliferation and\nnatural selection are intertwined with physics. In this problem we will consider a simplified model of\ntumour growth that addresses the increase in pressure commonly observed in solid tumors.\nConsider a group of normal cells forming a tissue surrounded by an inextensible basement membrane,\nwhich forces the tissue to maintain always the same form: a sphere of radius 𝑅(Figure 3).\nFigure 3. Simplified tumour.\nInitially the tissue does not have residual stresses, i.e. the pressure at every point is equal to the atmo-\nspheric pressure.\nAt time 𝑡= 0, a tumour starts growing at the centre of this sphere and, as it grows, the pressure inside\nthe tissue increases. Consider that both tissues (normal, N, and tumour, T) are compressible such that\ntheir densities, 𝜌N and 𝜌T, increase linearly with pressure:\n𝜌N = 𝜌0 (1 + 𝑝\n𝐾N\n) ,\n𝜌T = 𝜌0 (1 + 𝑝\n𝐾T\n) ,\n(3)\nwhere 𝜌0 is the rest tissue density, 𝑝is the pressure difference to the atmospheric pressure and 𝐾N , 𝐾T\nare the compressibility moduli (bulk moduli) of the normal and tumour tissues, respectively. In general,\ntumours are stiffer and so they have a higher bulk modulus.\n\nTheory\nQ3-4\nEnglish (Official)\nB.1\nThe mass of normal cells is not altered while the tumour is growing. Obtain\nthe ratio between the tumour volume and the total tissue volume, 𝑣= 𝑉T/𝑉,\nas a function of the ratio between the tumour mass (𝑀T) and the normal tissue\nmass (𝑀N), 𝜇= 𝑀T/𝑀N and the ratio of the bulk moduli, 𝜅= 𝐾N/𝐾T.\n1.0pt\nHyperthermia is sometimes used together with chemotherapy and radiotherapy in the treatment of can-\ncer. In hyperthermia the cancer cells are selectively heated from the normal human body temperature,\n37 oC, to temperatures above 43 oC, inducing their death. Researchers are currently developing carbon\nnanotubes covered with special proteins capable of binding to tumour cells. When the tissue is irradi-\nated with near-infrared radiation, the nanotubes absorb it in a much greater extent than the surrounding\ntissues and therefore can be selectively heated as well as the tumour cells to which they are attached.\nConsider that the tumour, the normal cells and the surrounding tissue have a constant thermal conduc-\ntivity 𝑘, i.e. in the geometry of this problem, the energy that crosses a spherical surface of radius 𝑟per\nunit time and per unit area is equal to 𝑘times the derivative of the temperature with respect to 𝑟. The\nnanotubes are uniformly distributed in the tumour volume and are able to deliver a power 𝒫of thermal\nenergy per unit volume. Assume that the temperature is equal to the normal human body temperature\nvery far away from the tumour.\nB.2\nObtain, for the stationary state, the temperature at the centre of the tumour as\na function of 𝒫, 𝑘, the human body temperature and the tumour radius, 𝑅T.\n1.7pt\nB.3\nObtain the minimum power per unit volume, 𝒫min, needed to heat up all tumour\ncells in a tumour with 5.0 cm radius to a temperature larger than 43.0 oC. Take\nthe thermal conductivity of the tissue to be equal to 𝑘= 0.60 W K−1m−1.\n0.5pt\nConsider that the tumour is irrigated by a vessel network with a branched structure like in question A.1.\nAs the tumour grows, when its pressure 𝑝becomes larger than the pressure 𝑃cap at the thinnest vessels,\nthe radii of these vessels will decrease by a small amount 𝛿𝑟. If this pressure reaches a critical value 𝑝c\n(which would correspond to a radius decrease of 𝛿𝑟c), the thinnest vessels would collapse, compromising\nseriously the irrigation to the tumour. The pressure and the radius change can be related by the following\nphenomenological relation:\n𝑝\n𝑃cap\n−1 = ( 𝑝c\n𝑃cap\n−1) (2 −𝛿𝑟\n𝛿𝑟c\n) 𝛿𝑟\n𝛿𝑟c\n.\n(4)\nConsider that just the smallest vessels (of level 𝑁−1) have their radius altered when the tumour increases\nits pressure.\nB.4\nIn the linear regime (i.e. consider that 𝑝−𝑃cap is very small), express the rela-\ntive drop in the flow rate, 𝛿𝑄𝑁−1\n𝑄𝑁−1 , in these thinnest vessels, as a function of the\ntumour volume ratio 𝑣= 𝑉T/𝑉and 𝐾𝑁, 𝑁, 𝑝c, 𝛿𝑟c, 𝑟𝑁−1, 𝑃cap.\n2.3pt\n","shared":false,"sourcePages":[1,2,3,4]},"solution":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/ipho-2018-t3-solution/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/ipho-2018-t3-solution/page-1.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2018-t3-solution/page-2.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2018-t3-solution/page-3.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2018-t3-solution/page-4.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2018-t3-solution/page-5.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2018-t3-solution/page-6.webp","width":982,"height":1389}],"text":"Confidential\nSolutions to Theory Problem 3\nPhysics of Live Systems\n(Rui Travasso, Lucília Brito)\nJuly 24, 2018\nv1.0\n\nConfidential\nTheory\nEnglish (UK)\nST3-1\nPhysics of Live Systems (10 points)\nPart A. The physics of blood flow (4.5 points)\nA.1\nSince the vessel network is symmetrical, the flow in a vessel of level 𝑖+ 1 is half the flow in a vessel of\nlevel 𝑖.\nIn this way, we can sum the pressure differences in all levels:\nΔ𝑃=\n𝑁−1\n∑\n𝑖=0\n𝑄𝑖𝑅𝑖= 𝑄0\n𝑁−1\n∑\n𝑖=0\n𝑅𝑖\n2𝑖.\nIntroducing the radii dependences yields\nΔ𝑃= 𝑄0\n𝑁−1\n∑\n𝑖=0\n8ℓ𝑖𝜂\n2𝑖𝜋𝑟4\n𝑖\n= 𝑄0\n8ℓ0𝜂\n𝜋𝑟4\n0\n𝑁−1\n∑\n𝑖=0\n24𝑖/3\n2𝑖2𝑖/3 = 𝑄0𝑁8ℓ0𝜂\n𝜋𝑟4\n0\n.\nTherefore\n𝑄0 = Δ𝑃𝜋𝑟4\n0\n8𝑁ℓ0𝜂.\nHence, the flow rate for a vessel network in level 𝑖is\nA.1\n𝑄𝑖= Δ𝑃\n𝜋𝑟4\n0\n2𝑖+3𝑁ℓ0𝜂.\n1.3pt\nA.2\nReplace values in the formula and change units appropriately\n𝑄0\n=\nΔ𝑃𝜋𝑟4\n0\n8𝑁ℓ0𝜂=\n=\n(55 −30) × 1.013 × 105 × 3.1415 × (6.0 × 10−5)4\n760 × 48 × 2.0 × 10−3 × 3.5 × 10−3\n= 4.0 × 10−10 m3/s\nto obtain the final value in the requested unites:\nA.2\n𝑄0 ≃1.5 mℓ/h .\n0.5pt\n\nConfidential\nTheory\nEnglish (UK)\nST3-2\nA.3\nThe current is given by\n𝐼=\n𝑃ine𝑖𝜔𝑡\n𝑅+ 𝑖𝜔𝐿+\n1\n𝑖𝜔𝐶\n.\nThe pressure difference in the capacitor is\n𝑃oute𝑖(𝜔𝑡+𝜙) =\n𝑃ine𝑖𝜔𝑡\n𝑅+ 𝑖𝜔𝐿+\n1\n𝑖𝜔𝐶\n1\n𝑖𝜔𝐶=\n𝑃ine𝑖𝜔𝑡\n𝑖𝜔𝐶𝑅−𝜔2𝐿𝐶+ 1 .\nThe amplitude is\n𝑃out =\n𝑃in\n√(1 −𝜔2𝐿𝐶)2 + 𝜔2𝐶2𝑅2 .\nTo be smaller than 𝑃in, for 𝜔→0:\n(1 −𝜔2𝐿𝐶)2 + 𝜔2𝐶2𝑅2 > 1 ⟺−2𝐶𝐿+ 𝐶2𝑅2 > 0 .\nReplacing the expressions for 𝐿, 𝐶, and 𝑅we get:\n64𝜂2ℓ2\n3𝐸ℎ𝑟3𝜌> 1 .\nA.3\n𝑃out =\n𝑃in\n√(1 −𝜔2𝐿𝐶)2 + 𝜔2𝐶2𝑅2 .\nCondition:\n64𝜂2ℓ2\n3𝐸ℎ𝑟3𝜌> 1 .\n2.0pt\nAlternative way to obtain 𝑃out:\nThe amplitude of the current in the equivalent circuit is 𝐼0 = 𝑃in\n𝑍, where\n𝑍= √𝑅2 + (𝜔𝐿−1\n𝜔𝐶)\n2\nis the modulus of the impedance. Hence, the voltage amplitude in the capacitor is\n𝑃out =\n1\n𝜔𝐶× 𝐼0 =\n𝑃in\n√𝜔2𝐶2𝑅2 + (𝜔2𝐿𝐶−1)2 .\nA.4\nThe previous condition can also be expressed as\nℎ< 64𝜂2ℓ2\n3𝐸𝑟3𝜌.\nFor the network referred to in A.2\nℎ<\n64𝜂2ℓ2\n0 × 2𝑖\n3 × 22𝑖/3𝐸𝑟3\n0𝜌=\n64 × (3.5 × 10−3)2 × (2.0 × 10−3)2\n3 × 0.06 × 106 × (6.0 × 10−5)3 × 1.05 × 103 × 2𝑖/3 = 7.7 × 10−5 × 2𝑖/3 .\n\nConfidential\nTheory\nEnglish (UK)\nST3-3\nFor 𝑖= 0, in the worse case scenario,\nℎmax = 7.7 × 10−5 × 20 = 7.7 × 10−5 m\nThis value is certainly observed in these vessels since their radius range from 18 𝜇m to 60 𝜇m. A wall\nwidth smaller than 80 𝜇m is certainly reasonable.\nA.4\nMaximum ℎ= 8 × 10−5 m\n0.7pt\nPart B. Tumor growth (5.5 points)\nB.1\nThe expressions for the masses of tumour and normal tissue are written as:\n⎧\n{\n⎨\n{\n⎩\n𝑀T = 𝑉T𝜌T = 𝑉T𝜌0(1 +\n𝑝\n𝐾T )\n𝑀N = 𝑉𝜌0 = (𝑉−𝑉T)𝜌0(1 +\n𝑝\n𝐾N )\nThe pressure, 𝑝, can be expressed as\n𝑝= 𝑀T 𝐾T\n𝑉T 𝜌0\n−𝐾T\nand, then, used in the equation for 𝑀N:\n𝑀N = (𝑉−𝑉T) 𝑀N\n𝑉\n[(1 −𝐾T\n𝐾N\n) + 𝑀T 𝑉𝐾T\n𝑉T 𝑀N 𝐾N\n]\nSimplifying and rearranging the terms, the equation for 𝑣becomes\n(1 −𝜅) 𝑣2 −(1 + 𝜇) 𝑣+ 𝜇= 0 ,\nfor which the solution is (the other solution of the quadratic equation is not physically relevant since does\nnot lead to 𝑣= 0 for 𝜇= 0)\nB.1\n𝑣= 1 + 𝜇−√(1 + 𝜇)2 −4𝜇(1 −𝜅)\n2(1 −𝜅)\n.\n1.0pt\nB.2\nFor 𝑟< 𝑅T, the conservation of energy implies that\n4𝜋𝑟2(−𝑘)d𝑇\nd𝑟= 𝒫4\n3𝜋𝑟3 .\n\nConfidential\nTheory\nEnglish (UK)\nST3-4\nTherefore, the temperature difference to 37 oC = 310.15 K, Δ𝑇(𝑟), is given by\nΔ𝑇(𝑟) = −𝒫𝑟2\n6𝑘+ 𝐶,\nwhere 𝐶is a constant.\nFor 𝑟> 𝑅T, the conservation of energy implies that\n4𝜋𝑟2(−𝑘)d𝑇\nd𝑟= 𝒫4\n3𝜋𝑅3\nT .\nTherefore, the temperature difference to 37 oC is\nΔ𝑇(𝑟) = 𝒫𝑅3\nT\n3𝑘𝑟.\nIn this case there is no constant, since very far away the increase in temperature is zero.\nMatching the two solutions at 𝑟= 𝑅T gives\n𝐶= 𝒫𝑅2\nT\n2𝑘.\nTherefore the temperature at the centre of the tumour, in SI units, is\nB.2\nTemperature: 310.15 + 𝒫𝑅2\nT\n2𝑘.\n1.7pt\nB.3\nThe increase in temperature at the tumour surface (the lower temperature in the tumour) is\nΔ𝑇(𝑅T) = 𝒫𝑅2\nT\n3𝑘.\nThis increase should be equal to 6.0 K. Therefore,\n𝒫= 3Δ𝑇𝑘\n𝑅2\nT\n= 3 × 6 × 0.6\n0.052\n= 4.3 kW/m3.\nB.3\n𝒫min = 4.3 kW/m3.\n0.5pt\nB.4\nWe can relate 𝛿𝑟with the pressure in the tumour, using the relation given in the text up to leading order\nin 𝑝−𝑃cap: 𝛿𝑟=\n𝑝−𝑃cap\n2(𝑝c−𝑃cap) 𝛿𝑟c . Therefore, if 𝑝−𝑃cap is very small, also it is 𝛿𝑟.\nThe pressure can be related with the volume. We know that\n𝑀N\n𝑉N\n=\n𝜌0𝑉\n𝑉−𝑉T\n=\n𝜌0\n1 −𝑣= 𝜌0 (1 +\n𝑝\n𝐾N\n) .\n\nConfidential\nTheory\nEnglish (UK)\nST3-5\nAnd so 𝑝= 𝐾N𝑣\n1−𝑣.\nWhen the thinner vessels are narrower, the flow rate in the main vessel is altered:\nΔ𝑃= (𝑄0 + 𝛿𝑄0)\n𝑁−1\n∑\n𝑖=0\n8ℓ𝑖𝜂\n2𝑖𝜋𝑟4\n𝑖\n= (𝑄0 + 𝛿𝑄0)8ℓ0𝜂\n𝜋𝑟4\n0\n⎛\n⎜\n⎜\n⎝\n𝑁−2\n∑\n𝑖=0\n24𝑖/3\n2𝑖2𝑖/3 +\n24(𝑁−1)/3\n2𝑁−12(𝑁−1)/3 (1 −\n𝛿𝑟\n𝑟0/2(𝑁−1)/3 )\n4\n⎞\n⎟\n⎟\n⎠\n⟹Δ𝑃≃(𝑄0 + 𝛿𝑄0) Δ𝑃\n𝑁𝑄0\n(𝑁−1 + 1 + 4 𝛿𝑟\n𝑟𝑁−1\n)\nNoting that 𝛿𝑄𝑁−1\n𝑄𝑁−1 = 𝛿𝑄0\n𝑄0 , we obtain\n1 + 𝛿𝑄𝑁−1\n𝑄𝑁−1\n=\n1\n1 +\n4 𝛿𝑟\n𝑁𝑟𝑁−1\n≃1 −\n4 𝛿𝑟\n𝑁𝑟𝑁−1\n.\nAnd so:\n𝛿𝑄𝑁−1\n𝑄𝑁−1\n≃−4\n𝑁\n𝛿𝑟\n𝑟𝑁−1\n.\nPutting all together\nB.4\n𝛿𝑄𝑁−1\n𝑄𝑁−1\n≃−2\n𝑁\n𝐾N𝑣−(1 −𝑣)𝑃cap\n(1 −𝑣)(𝑝c −𝑃cap)\n𝛿𝑟c\n𝑟𝑁−1\n.\n2.3pt\n","shared":false,"sourcePages":[1,2,3,4,5,6]}},{"id":"ipho-2008-t1","importedOn":"2026-10-28","language":"en","sources":[{"url":"https://www.ipho-new.org/download/558/","kind":"statement","archiveMember":"2008/IPhO_2008_Theory_1_Problem.pdf"},{"url":"https://www.ipho-new.org/download/558/","kind":"solution","archiveMember":"2008/IPhO_2008_Theory_1_Solution.pdf"}],"statement":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/ipho-2008-t1-statement/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/ipho-2008-t1-statement/page-1.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2008-t1-statement/page-2.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2008-t1-statement/page-3.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2008-t1-statement/page-4.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2008-t1-statement/page-5.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2008-t1-statement/page-6.webp","width":982,"height":1389}],"text":"                 39th International Physics Olympiad - Hanoi - Vietnam - 2008                                   \n                                Theoretical Problem No. 1 \n                            \nWATER-POWERED RICE-POUNDING MORTAR \n \nA. Introduction  \n \nRice is the main staple food of most people in Vietnam. To make white rice from \npaddy rice, one needs separate of the husk (a process called \"hulling\") and separate the \nbran layer (\"milling\"). The hilly parts of northern Vietnam are abundant with water \nstreams, and people living there use water-powered rice-pounding mortar for bran layer \nseparation. Figure 1 shows one of such mortars., Figure 2 shows how it works.  \n                    \nB. Design and operation \n1. Design.  \nThe rice-pounding mortar shown in Figure 1 has the following parts: \n \nThe mortar, basically a wooden container for rice. \n \nThe lever, which is a tree trunk with one larger end and one smaller end. It can rotate \naround a horizontal axis. A pestle is attached perpendicularly to the lever at the smaller \nend. The length of the pestle is such that it touches the rice in the mortar when the lever \nlies horizontally. The larger end of the lever is carved hollow to form a bucket. The shape \nof the bucket is crucial for the mortar's operation. \n \n2. Modes of operation \n \nThe mortar has two modes. \n  Working mode. In this mode, the mortar goes through an operation cycle illustrated in \nFigure 2.  \n \nThe rice-pounding function comes from the work that is transferred from the pestle to \nthe rice during stage f) of Figure 2. If, for some reason, the pestle never touches the rice, \nwe say that the mortar is not working. \n \nRest mode with the lever lifted up. During stage c) of the operation cycle (Figure 2), \nas the tilt angle α increases, the amount of water in the bucket decreases. At one \nparticular moment in time, the amount of water is just enough to counterbalance the \nweight of the lever. Denote the tilting angle at this instant by β . If the lever is kept at \nangle β and the initial angular velocity is zero, then the lever will remain at this \nposition forever. This is the rest mode with the lever lifted up. The stability of this \nposition depends on the flow rate of water into the bucket, Φ . If \n exceeds some \nvalue \nΦ\n2\nΦ\n, then this rest mode is stable, and the mortar cannot be in the working mode. \nIn other words, \n is the minimal flow rate for the mortar not to work. \n2\nΦ\n \n \n1\n\n                 39th International Physics Olympiad - Hanoi - Vietnam - 2008                                   \n                                Theoretical Problem No. 1 \n                            \n \n \n \n \n \n \n \nA water-powered rice-pounding mortar \nFigure 1 \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n2\n\n                 39th International Physics Olympiad - Hanoi - Vietnam - 2008                                   \n                                Theoretical Problem No. 1 \n                            \nOPERATION CYCLE OF A WATER-POWERED RICE-POUNDING MORTAR \n \nα = β \nα1\nα 2 \nα 0 \nFigure 2 \na) \nb) \nc) \nd) \ne) \nf) \na) At the beginning there is no water in \nthe bucket, the pestle rests on the mortar. \nWater flows into the bucket with a small \nrate, but for some time the lever remains \nin the horizontal position. \n \nb) At some moment the amount of water \nis enough to lift the lever up. Due to the \ntilt, water rushes to the farther side of the \nbucket, tilting the lever more quickly. \nWater starts to flow out at \n1\nα\nα\n=\n. \n \nc) As the angle α increases, water \nstarts to flow out. At some particular tilt \nangle, α\nβ\n=\n, the total torque is zero. \n \nd) α\n continues \nincreasing, \nwater \ncontinues to flow out until no water \nremains in the bucket. \n \ne) α keeps increasing because of \ninertia. Due to the shape of the bucket, \nwater \nfalls \ninto \nthe \nbucket \nbut \nimmediately flows out. The inertial \nmotion of the lever continues until α \nreaches the maximal value \n0\nα . \n \nf) With no water in the bucket, the \nweight of the lever pulls it back to the \ninitial horizontal position. The pestle \ngives the mortar (with rice inside) a \npound and a new cycle begins. \n \n \n3\n\n                 39th International Physics Olympiad - Hanoi - Vietnam - 2008                                   \n                                Theoretical Problem No. 1 \n                            \nC. The problem  \n  \n \nConsider a water-powered rice-pounding mortar with the following parameters \n(Figure 3) \nThe mass of the lever (including the pestle but without water) is M = 30 kg,  \n \n \nThe center of mass of the lever is G.. The lever rotates around the axis T \n(projected onto the point T on the figure). \n \n \nThe moment of inertia of the lever around T is I = 12 kg⋅m2. \nWhen there is water in the bucket, the mass of water is denoted as \n, the center \nof mass of the water body is denoted as N. \nm\n \n \nThe tilt angle of the lever with respect to the horizontal axis is α .   \n \n \nThe main length measurements of the mortar and the bucket are as in Figure 3. \n \nNeglect friction at the rotation axis and the force due to water falling onto the bucket. \nIn this problem, we make an approximation that the water surface is always horizontal. \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \nPestle\na =20cm \nL = 74 cm \nγ =300 \nh= 12 cm \nb =15cm \n8 cm \nMortar \n    \nBucket \nT\nN \nG \nLever\n \n \nFigure 3  Design and dimensions of the rice-pounding mortar \n \n \n1. The structure of the mortar \nAt the beginning, the bucket is empty, and the lever lies horizontally. Then water flows \ninto the bucket until the lever starts rotating. The amount of water in the bucket at this \nmoment is \n1.0 kg.  \nm =\n1.1. Determine the distance from the center of mass G of the lever to the rotation  \naxis T. It is known that GT is horizontal when the bucket is empty. \n \n1.2. Water starts flowing out of the bucket when the angle between the lever and the \nhorizontal axis reaches \n1\nα . The bucket is completely empty when this angle is \n2\nα . \nDetermine \n1\nα and\n2\nα .  \n \n1.3. Let \n( )\nμ α be the total torque (relative to the axis T) which comes from the \n \n4\n\n                 39th International Physics Olympiad - Hanoi - Vietnam - 2008                                   \n                                Theoretical Problem No. 1 \n                            \nweight of the lever and the water in the bucket. \n( )\nμ α is zero when α\nβ\n=\n. Determine \nβ and the mass \nof water in the bucket at this instant.  \n1\nm\n \n2. Parameters of the working mode \n Let water flow into the bucket with a flow rate Φ which is constant and small. The \namount of water flowing into the bucket when the lever is in motion is negligible.  In \nthis part, neglect the change of the moment of inertia during the working cycle. \n \n2.1. Sketch a graph of the torque μ as a function of the angle α , \n( )\nμ α , during \none operation cycle. Write down explicitly the values of \n( )\nμ α at angle α1, α2, and    \nα = 0. \n \n2.2. From the graph found in section 2.1., discuss and give the geometric \ninterpretation of the value of the total energy \n produced by \ntotal\nW\n( )\nμ α and the work \n that is transferred from the pestle to the rice. \npounding\nW\n \n2.3. From the graph representing μ versus α , estimate \n0\nα\n and \n (assume \nthe kinetic energy of water flowing into the bucket and out of the bucket is negligible.) \nYou may replace curve lines by zigzag lines, if it simplifies the calculation. \npounding\nW\n \n3. The rest mode \n  Let water flow into the bucket with a constant rate Φ , but one cannot neglect the \namount of water flowing into the bucket during the motion of the lever. \n \n3.1. Assuming the bucket is always overflown with water, \n \n \n3.1.1. Sketch a graph of the torque μ as a function of the angle α in the \nvicinity of α\nβ\n=\n. To which kind of equilibrium does the position α\nβ\n=\n of the lever \nbelong? \n \n \n3.1.2. Find the analytic form of the torque \n( )\nμ α as a function of \nα\nΔ\n when \nα\nβ\n=\n+ Δα , and \nα\nΔ\n is small. \n \n \n3.1.3. Write down the equation of motion of the lever, which moves with zero \ninitial velocity from the position α\nβ\nα\n=\n+ Δ\n ( α\nΔ\n is small). Show that the motion is, \nwith good accuracy, harmonic oscillation. Compute the period τ . \n \n5\n\n                 39th International Physics Olympiad - Hanoi - Vietnam - 2008                                   \n                                Theoretical Problem No. 1 \n                            \n \n3.2. At a given \n, the bucket is overflown with water at all times only if the lever \nmoves sufficiently slowly. There is an upper limit on the amplitude of harmonic \noscillation, which depends on \n. Determine the minimal value \nΦ\nΦ\n1\nΦ of \n (in kg/s) so \nthat the lever can make a harmonic oscillator motion with amplitude 1\nΦ\no.   \n \n3.3. Assume that \n is sufficiently large so that during the free motion of the lever \nwhen the tilting angle decreases from \nΦ\n2\nα to\n1\nα the bucket is always overflown with \nwater. However, if \n is too large the mortar cannot operate. Assuming that the motion \nof the lever is that of a harmonic oscillator, estimate the minimal flow rate \n for the \nrice-pounding mortar to not work.  \nΦ\n2\nΦ\n \n \n6\n","shared":false,"sourcePages":[1,2,3,4,5,6]},"solution":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/ipho-2008-t1-solution/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/ipho-2008-t1-solution/page-1.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2008-t1-solution/page-2.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2008-t1-solution/page-3.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2008-t1-solution/page-4.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2008-t1-solution/page-5.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2008-t1-solution/page-6.webp","width":982,"height":1389}],"text":"                     39th International Physics Olympiad - Hanoi - Vietnam - 2008 \n                                                             \n                              Theoretical Problem No. 1 /Solution  \n  \n \n1\n3\n−\n=\n=\n \nSolution \n \n1. The structure of the mortar \n \n1.1. Calculating the distance TG \nThe volume of water in the bucket is V\n. The length of the \nbottom of the bucket is \n. \n3\n3\n1000cm\n10\nm\n0\n0\n60\n0 74\n0 12\n60\nm\n0 5322m\ntan\n( .\n.\ntan\n)\n.\nd\nL\nh\n=\n−\n=\n−\n=\n(as the initial data are given with two significant digits, we shall keep only two \nsignificant digits in the final answer, but we keep more digits in the intermediate steps). \nThe height \n of the water layer in the bucket is calculated from the formula: \nc\n2\n1/ 2\nb\n0\n(\n2 3 / )\ntan60\n2\n3\nc\nd\nV\nd\nV\nbcd\nb\nc\nc\n+\n−\n=\n+\n⇒\n=\n \n \nInserting numerical values for \n, \n and \n, we find \nb\nd\n0.01228m\nc =\nV\n. \nWhen the lever lies horizontally, the distance, on the horizontal axis, between the rotation \naxis and the center of mass of water N, is \no\nTH\n60\n0 4714m\n2\n4 tan\n.\nd\nc\na\n≈\n+\n+\n=\n, and \n(see the figure below). \nTG\n(\n/\n)TH\n0.01571m\nm M\n=\n=\n \nH                     T  \nN \n \n \nK \nR \nS \nP \n \n \n \n \nAnswer: \n. \nTG\n0.016m\n=\n \nα1\nα2\n \n1.2. Calculating the values of \n and \n. \nα1\n  When the lever tilts with angle \n, water level is at the edge of the bucket. At that \npoint the water volume is \n. Assume \n3\n3\n10\nm\n−\nPQ\nd\n<\n. From geometry \n, \nfrom which P\n. The assumption \nPQ/ 2\nV\nhb\n=\n×\nPQ\nd\n<\nQ\n0.1111m\n=\nis obviously satisfied \n(\n). \n0.5322m\nd =\nQS=\nPQ+ 3\ntan\n/\n/(\n).\nh\nh\nh\nα1 =\nα1\nTo compute the angle \n, we note that \n From this \nwe find \n. \no\n20.6\nα1 =\n\n                     39th International Physics Olympiad - Hanoi - Vietnam - 2008 \n                                                             \n                              Theoretical Problem No. 1 /Solution  \n  \n \n2\nWhen the tilt angle is \n, the bucket is empty: \n. \no\n30\no\n30\nα2 =\n                                                                   G \n                                            h                 T    \n \nR               N            \n                             Q \n                   P \nI\nS \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \nβ\n \n1.3. Determining the tilt angle \n of the lever and the amount of water in the bucket \n \nm\nμ\nwhen the total torque \n on the lever is equal to zero \n(m)\nx\n=\n \nDenote \nPQ\n. \nThe \namount \nof \nwater \nin \nthe \nbucket \nis \nwater\n9 (kg)\n2\nxhb\nm\nx\nρ\n=\n=\n.  \nμ = 0\n \n when the torque coming from the water in the bucket cancels out the torque \ncoming from the weight of the lever. The cross section of the water in the bucket is the \ntriangle PQR in the figure. The center of mass N of water is located at 2/3 of the meridian \nRI, therefore NTG lies on a straight line. Then: \nTN\nTG\nmg\nMg\n×\n=\n×\n or \nTN\nTG\n30 0.1571\n0.4714\nm\nM\n×\n=\n×\n=\n×\n=\n  \n \n \n \n \n(1)  \nCalculating \n from x then substitute (1) : \nTN\n2\nTN\n(\n3\n)\n0.94\n0.08 3\n0.8014\n3\n2\n3\n3\nx\nx\nx\nL\na\nh\n=\n+\n−\n+\n=\n−\n−\n=\n−\n \nwhich implies \n  \n \n \n(2) \n2\nTN\n9 (0.8014\n/3)\n3\n7.213\nm\nx\nx\nx\n×\n=\n−\n= −\n+\nx\nx\nSo we find an equation for \n: \n    \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n(3) \n2\n3\n7.213\n0.4714\nx\nx\n−\n+\n=\n2.337\nx =\n0.06723\nx =\nx\nThe solutions to (3) are \nand \n. Since \n has to be smaller than \n0.5322, we have to take \n and m\nx\n0\n0.06723\nx\nx\n=\n=\n0\n9\n0.6051kg\n=\n=\n.    \n0 4362\n3\ntan\n.\nh\nx\nh\nβ =\n=\n+\no\n7\nβ = 23.5\n, or  \n.  \nAnswer: \n and \n. \no\nβ = 23.6\n0.61kg\nm =\n \n2. Parameters of the working mode \n\n                     39th International Physics Olympiad - Hanoi - Vietnam - 2008 \n                                                             \n                              Theoretical Problem No. 1 /Solution  \n  \n \n3\n)t\nα(\n)t\nμ(\n \n2.1.Graphs of μ α\n( )\n during one operation cycle.  \n, \n, and\nμ\nα = 0\n \nInitially when there is no water in the bucket, \n, \n has the largest magnitude \nequal to \n. Our convention will be that \nthe sign of this torque is negative as it tends to decrease \nTG\n30 9.81 0.01571\n4.624N m\ngM ×\n=\n×\n×\n=\n⋅\nα . \nAs water flows into the bucket, the torque coming from the water (which carries \npositive sign) makes μ\nμ\n increase until \n is slightly positive, when the lever starts to \nlift up. From that moment, by assumption, the amount of water in the bucket is constant. \n \nThe lever tilts so the center of mass of water moves away from the rotation axis, \nleading to an increase of μ , which reaches maximum when water is just about to \noverflow the edge of the bucket. At this moment \n.  \no\n20.6\nα\nα1\n=\n=\n \nA simple calculation shows that \n \n \n. \nSI\nSP\nPQ/ 2\n0.12 1.732\n0.1111/ 2\n0.2634m\n=\n+\n=\n×\n+\n=\n2\nTN\n0.20\n0.74\nSI\n0.7644m\n3\n=\n+\n−\n=\n \n \n. \n   \n \no\nmax\n1 0 TN\n30 TG\n20.6\n( .\n) cos\ng\nμ\n=\n×\n−\n×\n \n \n    =\no\n1 0 0 7644\n30 0 01571\n9 81\n20 6\n2 690 N m\n( .\n.\n.\n)\n.\ncos\n.\n.\n×\n−\n×\n×\n×\n=\n⋅\n.  \nmax\n2.7 N m\nμ\n=\n⋅\n. \nTherefore \n \nAs the bucket tilts further, the amount of water in the bucket decreases, and when \nμ\nα\nβ\n=\nμ = 0\n, \n. Due to inertia, α keeps increasing and \n keeps decreasing. The \nbucket \nis \nempty \nwhen \no\nα = 30\nμ\n, \nwhen \n equals  \n. After that \no\n30\nTG\n30\n4 0N m\ncos\n.\ng\n−\n×\n×\n×\n= −\n⋅\nα keeps increasing due to inertia to \nTG\n2\nN m\ncos\ncos\ngM\nμ\nα\nα\n0\n= −\n= −4.6\n⋅\nα0 (\n0\n), then quickly decreases to 0 \n(\n2N m\nμ = −4.6\n⋅\n).  \n)t\nα(\n( )t\nμ\nμ α\n( )\n \nOn this basis we can sketch the graphs of \n, \n, and \n as in the figure \nbelow \n \n \n \n \n \n \n \n\n                     39th International Physics Olympiad - Hanoi - Vietnam - 2008 \n                                                             \n                              Theoretical Problem No. 1 /Solution  \n  \n \n4\n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n is dW\nd\nμ α\nα\n=\n( )\nμ α\n( )\n \n2.2. The infinitesimal work produced by the torque \n. The \nenergy obtained by the lever during one cycle due to the action of \n-4.0 N.m                           C \n-4.6 N.m  F \nO                           E   α \nB    30o     α0 \n     μ \n2.7 N.m                A \n20.6o \n 23.6o \n-4.6 cosα0 N.m                           D \nμ α\n( ) is \n( )\nW\nd\nμ α\nα\n= ∫v\n, which is the area limited by the line μ α\n( ) . Therefore \n is equal \nto the area enclosed by the curve\ntotal\nW\nμ α\n( )\n (OABCDFO) on the graph \n. \n   The work that the lever transfers to the mortar is the energy the lever receives as it \nmoves from the position \npounding\nW\no\nα\nα\n=\nα = 0\n to the horizontal position \n. We have \n \nμ α\n( )\nequals to the area of (OEDFO) on the graph \n. It is equal to \n0\n0\nTG\n4 6\nsin\n. sin\ngM\nα\nα\n×\n×\n=\n  (J).  \n0\nα\n  2.3. The magnitudes of \n can be estimated from the fact that at point D the energy \nof the lever is zero. We have   \narea (OABO) = area (BEDCB) \nApproximating OABO by a triangle, and BEDCB by a trapezoid, we obtain:  \n23.6\n2.7\n(1/ 2)\n4.0 [(\n23.6)\n(\n30)] (1/ 2)\nα\nα\n0\n0\n×\n×\n=\n×\n−\n+\n−\n×\n, \nwhich implies \n. From this we find  \no\n34.7\nα0 =\n0\n34 76\nTG\n.\ncos\nMg\nd\nα α\n−\n×\n×\n∫\npounding\nW\n =\n \no\n4 62\n34 7\n2 63\n.\nsin\n.\n.\n×\n=\n= area (OEDFO) = \n\n                     39th International Physics Olympiad - Hanoi - Vietnam - 2008 \n                                                             \n                              Theoretical Problem No. 1 /Solution  \n  \n \n5\nThus we find \n J. \npounding\n2.6\nW\n≈\nμ \nβ                 α\n3. The rest mode \n \n3.1. \n \n \n3.1.1. The bucket is always overflown \nwith water. The two branches of μ α\n( ) in the \nvicinity \nof \nα\nβ\n=\n corresponding \nto \nincreasing and decreasing α coincide with \neach other. \nα\nβ\n=\n \nThe graph implies that \n is a stable \nequilibrium of the mortar.  \nμ\nα\nβ\nα\n=\n+ Δ\n \n \n3.1.2. Find the expression for the torque \n when the tilt angle is \n \n( α\nΔ\n is small ). \n \nThe mass of water in bucket when the lever tilts with angle α is \n0\n1\n1\nPQ\n30\ntan\ntan\nh\nα\n⎛\n=\n−\n⎜⎝\n⎠\n⎞\n⎟\n(1/ 2)\nPQ\nm\nbh\nρ\n=\n, where \n. A simple calculation shows that \nwhen α\nβ\nβ\nα\n+ Δ\n increases from \n to \n, the mass of water increases by \n2\n2\n2\n2\n2\n2\nsin\nsin\nbh\nbh\nm\nρ\nρ\nα\nα\nα\nβ\nΔ\n= −\nΔ\n≈−\nΔ\nμ\n. The torque \n acting on the lever when the tilt \nis \nm\nΔ\nβ\nα\n+ Δ\n equals the torque due to \n.  \n(\n)\nTN\ncos\nm\ng\nμ\nβ\nα\n= Δ\n×\n×\n×\n+ Δ\n \nWe have\n. TN is found from the equilibrium \ncondition of the lever at tilting angle β :   \n \n. \nTN\nTG /\n30 0.01571/0.605\n0.779m\nM\nm\n=\n×\n=\n×\n=\nN m\nN m\nμ\nα\nα\n= −47.2×Δ\n⋅\n≈−47× Δ\n⋅\n. \n   \nWe find at the end \n   \n3.1.3. Equation of motion of the lever \n2\n2\nd\nI dt\nα\nμ =\n \n where μ\nα\n= −47×Δ\n, α\nβ\nα\n=\n+ Δ\n, and \n is the sum of moments \nof inertia of the lever and of the water in bucket relative to the axis T. Here \n is not \nconstant the amount of water in the bucket depends on \nI\nI\nα\nΔ\nα . When \n is small, one can \nconsider the amount and the shape of water in the bucket to be constant, so \n is \napproximatey a constant. Consider water in bucket as a material point with mass 0.6 kg, a \nsimple calculation gives \n. We \nhave \nI\n2\n2\n12\n0.6 0.78\n12.36\n12.4 kgm\nI =\n+\n×\n=\n≈\n2\n2\n47\n12.4\nd\ndt\nα\nα\nΔ\n−\n× Δ\n=\n×\n. That is the equation for a harmonic oscillator with period  \n\n                     39th International Physics Olympiad - Hanoi - Vietnam - 2008 \n                                                             \n                              Theoretical Problem No. 1 /Solution  \n  \n \n6\n12.4\n2\n3\n47\nτ\nπ\n=\n= .227 . The answer is therefore\n2s\nτ = 3.\n. \nα\nβ\n=\n \n3.2. Harmonic oscillation of lever (around \n) when bucket is always overflown. \nAssume the lever oscillate harmonically with amplitude \nα0\nΔ\n around α\nβ\n=\n. At time \n, \n0\nt =\nα\nΔ\n= 0 , the bucket is overflown. At time \n the tilt changes by \ndt\ndα . We are \ninterested in the case dα < 0, i.e., the motion of lever is in the direction of decreasing \nα , and one needs to add more water to overflow the bucket. The equation of motion is: \n0\n2\nsin(\n/ )\nt\nα\nα\nπ\nΔ\n= −Δ\nτ\ndt\n0 2\n2\n(\n)\n(\n/ )cos(\n/ )\nd\nd\nt\nα\nα\nα\nπ τ\nπ\nτ\nΔ\n=\n= −Δ\n, therefore \n. \n \nFor the bucket to be overflown, during this time the amount of water falling to the \nbucket should be at least  \n2\n2\n0\n2\n2\n2\n2\n2\n2\ncos\nsin\nsin\nbh\ndt\nbh\nt\ndm\nd\nα π\nρ\nρ\nπ\nα\nτ\nβ\nτ\nβ\nΔ\n⎛\n⎞\n= −\n=\n⎜⎝\n⎠⎟ ; \nis \nmaximum at \n,  \ndm\n2\n0\n0\n2\nsin\nbh\ndm\ndt\nπ\nρ α\nτ\nβ\nΔ\n=\n0\nt =\n. \n \nThe amount of water falling to the bucket is related to flow rate \n; \n, \n0\ndm\ndt\n= Φ\nΦ\n2\n0\n2\nsin\nbh\nπ\nρ α\nτ\nβ\nΔ\nΦ =\ntherefore \n.  \n \nAn overflown bucket is the necessary condition for harmonic oscillations of the lever, \ntherefore the condition for the lever to have harmonic oscillations with ampltude \n or \no1\n2π/360rad is \n with  \n1\nΦ ≥Φ\n2\n1\n2\n2\n0 2309kg/s\n360\n.\nsin\nbh\nπ\nρ π\nτ\nβ\nΦ =\n=\n \n \n \n \n \n  \n \nSo \n. \n0.23kg/s\n1\nΦ =\n \n \n3.3 Determination of \n \n2\nΦ\n \nIf the bucket remains overflown when the tilt decreases to \n,\no\n20.6\n then the amount of \nwater in bucket should reach 1 kg at this time, and the lever oscillate harmonically with \namplitude equal \no\no\n20.6\n3o\n23.6 −\n=\n3\n1\nΦ\n. The flow should exceed \n, therefore  \n \n \n \n. \n3 0.23\n.7kg/s\n2\nΦ = ×\n≈0\n \nThis is the minimal flow rate for the rice-pounding mortar not to work. \n","shared":false,"sourcePages":[1,2,3,4,5,6]}},{"id":"ipho-2017-t2","importedOn":"2026-10-28","language":"en","sources":[{"url":"https://www.ipho-new.org/download/674/","kind":"statement","archiveMember":"Theory-Indonesia2017/Problems T2.pdf"},{"url":"https://www.ipho-new.org/download/674/","kind":"solution","archiveMember":"Theory-Indonesia2017/Solution n Marking Scheme T2.pdf"}],"statement":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/ipho-2017-t2-statement/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/ipho-2017-t2-statement/page-1.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2017-t2-statement/page-2.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2017-t2-statement/page-3.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2017-t2-statement/page-4.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2017-t2-statement/page-5.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2017-t2-statement/page-6.webp","width":982,"height":1389}],"text":"Theory\nEnglish (Official)\nT2\npage 1 of 6\nmm\nTm\nmw\nTw\n\nTheory\nEnglish (Official)\nT2\npage 2 of 6\n \n \ncVw\ncVm\nve\np\nm\nV\np m\nV\nκ\nMw\nP\nS\nP\nS\nP\n\nTheory\nEnglish (Official)\nT2\npage 3 of 6\n\nTheory\nEnglish (Official)\nT2\npage 4 of 6\n \nP\nP\nP\no\nP\nz\nv(z) =\n+ az\nv0\na\np = sin θ(z)/v(z)\nθ(z)\np\np v0\na\nT\nz\nvi\nδzi\nT\ni\nv1\nv2\nv3\np\nδz1\nδz2\nδz3\n\nTheory\nEnglish (Official)\nT2\npage 5 of 6\nλL/2\nL ≫λ\nh\n\nTheory\nEnglish (Official)\nT2\npage 6 of 6\nd\nρ\nd0\nA0\n","shared":false,"sourcePages":[1,2,3,4,5,6]},"solution":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/ipho-2017-t2-solution/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/ipho-2017-t2-solution/page-1.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2017-t2-solution/page-2.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2017-t2-solution/page-3.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2017-t2-solution/page-4.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2017-t2-solution/page-5.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2017-t2-solution/page-6.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2017-t2-solution/page-7.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2017-t2-solution/page-8.webp","width":982,"height":1389}],"text":"Solutions/ \nMarking Scheme \nT2 \n \nPage 1 of 8 \nEarthquake, Volcano and Tsunami \nA. Merapi Volcano Eruption \nQuestion \nAnswer \nMarks \nA.1 \nUsing Black’s Principle the equilibrium temperature can be obtained  ݉\n௪ܿ௩௪ሺܶ௘െܶ\n௪ሻ൅݉\n௠ܿ௩௠ሺܶ௘െܶ\n௠ሻൌ0 \nThus,  ܶ\n௘ൌ݉\n௪ܿ௩௪ܶ௪൅݉\n௠ܿ௩௠ܶ௠݉\n௪ܿ௩௪൅݉\n௠ܿ௩௠\n \n0.5 pts \nA.2 \nFor ideal gas, \ne\ne\ne\np v\nRT\n\n , thus \n݌௘ൌܴݒ௘݉\n௪ܿ௩௪ܶ௪൅݉\n௠ܿ௩௠ܶ௠݉\n௪ܿ௩௪൅݉\n௠ܿ௩௠\n \n \n0.3 pts \nA.3 \nThe relative velocity \nrel\nu\n  can be expressed as  \nݑ௥௘௟ൌߢ݌ఈܸ\nఉ݉\nఊ \nwhere ߢ is a dimensionless constant. \nUsing dimensional analysis, one can obtain that \nܮܶି\nଵൌܯఈାఊܮିఈାଷఉܶି\nଶఈ \nߙ൅ߛൌ0 \nെߙ൅3ߚൌ1 \nെ2ߙൌെ1 \nTherefore  \nݑ௥௘௟ൌߢ݌ଵ/ଶܸ\nଵ/ଶ݉ି\nଵ/ଶ \n0.5 pts \nTotal score  1.3 pts \n \n\nSolutions/ \nMarking Scheme \nT2 \n \nPage 2 of 8 \nB. The Yogyakarta Earthquake \n \nQuestion \nAnswer \nMarks \nB.1 \nFrom the given seismogram, fig. 2 \n \nOne can see that the P‐wave arrived at 22:54:045 or (4.5 – 5.5)  \nseconds after the earthquake occurred at the hypocenter. \n0.3 \npts \n0.5 \npts \nSince the horizontal distance from the epicenter to the seismic station \nin Gamping is 22.5 km, and the depth of the hypocenter is 15 km, the \ndistance from the hypocenter to the station is  \n \n0.1 \npts \nTherefore, the P‐wave velocity is \nݒ௉ൌ27.04 Km\n4.7 s\nൌ5.75 Km/s \n \n0.1 \npts \n \n \n \n2\n2\n22.5\n15 km\n27.04 km\n\n\n\nSolutions/ \nMarking Scheme \nT2 \n \nPage 3 of 8 \nQuestion \nAnswer \nMarks \nB.2 \nDirect wave: \n2\n2\ndirect\n1\n1\n500\n15\n502.021 s\n86.9 s\n5.753\nSR\nt\nv\nv\n\n\n\n\n\n  \n0.2 \npts \n0.6 \npts \nAs in the case of an optical wave, the Snell’s law is also applicable to \nthe seismic wave. \n \nIllustration for the traveling seismic Wave \nReflected wave: \nreflected\n1\n1\nSC\nCR\nt\nv\nv\n\n\n  \n500\ncos\ncos\n500\ncot\n45\nSC\nCR\n\n\n\n\n\n\n\n  \nreflected\n1\n45\n87.3 s\nsin\nt\nv\n\n\n\n   \n0.4 \npts \n \n \n \n\nSolutions/ \nMarking Scheme \nT2 \n \nPage 4 of 8 \nQuestion \nAnswer \nMarks \nB.3 \nVelocity of P‐wave on the mantle. The fastest wave crossing the mantle \nis that propagating along the upperpart of the mantle. From the figure \non refracted wave, we obtain that \n2\n1\n1\n1\n2\n2\n2\nsin\n1 ;      sin\n;     cos\n1\nv\nv\nv\nv\nv\nv\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n  \n1\n2\n1\n15\n15\n30\ncos\n;   \n km;    \n km\ncos\ncos\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n  \n\n\n3\n1\n2\n500\nsin\n500\n45tan\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n  \n0.4 \npts\n1.2 \npts\nThe total travel time: \n3\n1\n2\n1\n2\n1\n2\n2\n45\n500\n45tan\ncos\nx\nx\nx\nt\nv\nv\nv\nv\nv\n\n\n\n\n\n\n\n\n  \n1\n2\n2\ncos\n45\n500\ncos\n45\nsin\nt\nu\nu\nu\n\n\n\n\n\n\n  \nwhere \n1\n1\n1\nu\nv\n\n  and \n2\n2\n1\nu\nv\n\n. Arranging the equation, we get \n\n\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n1\n500\n45\n2 500\n45 \n0\nu\nt\nu\nt\nu\n\n\n\n\n\n  \nwhose solution is \n\n\n2\n2\n2\n2\n2\n1\n1\n1\n2\n2\n2\n2\n1\n500\n45\n45\n500\n45\ntv\nv\nt v\nv\nt v\n\n\n\n\n\n  \n0.5 \npts\n \nFrom the seismogram, we know that the fastest wave arrived at \nDenpasar station at 22:55:15, which is \n75 s\nt \n from the origin time of \nthe earthquake in Yogyakarta. Thus  \n2\n7.1 km/s\nv \n \n0.3 \npts\n \n \n\nSolutions/ \nMarking Scheme \nT2 \n \nPage 5 of 8 \n \nQuestion \nAnswer \nMarks \nB.4 \nBy using Snell’s law and defining \nsin\np\nv\n\n\n  and \n1\nu\nv\n\n, we obtain \n0\n(0)sin\n( )sin ;        sin\n( )\np\np\nu\nu z\nu z\n\n\n\n\n\n\n  \n0.2 \npts\n1.4 \npts\nwhere \n( )\n1 ( )\nu z\nv z\n\n  and \n0\n  is  the  initial  angle  of  the  seismic  wave \ndirection. \n2\nsin\n;           \ncos\n1\n( )\n( )\ndx\np\ndz\np\nds\nu z\nds\nu z\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n  \n\n\n\n\n1 2\n2\n2\n1 2\n2\n2\ndx\ndx ds\np\nu\np\nu\np\ndz\nds dz\nu u\np\n\n\n\n\n\n  \n\n\n2\n1\n1 2\n2\n2\n \nz\nz\np\nx\ndz\nu\np\n\n\n\n  \n0.5 \npts\n \nIllustration for the direction of wave \nThe distance X is equal to twice the distance from epicenter to the turning \npoint. The turning point is the point when \n. Thus \n0\n0\n1\n1\n( )\n;     \nt\nt\nt\npv\np\nu z\nz\nv\naz\nap\n\n\n\n\n\n   \n\n\n2\n2\n2\n2\n0\n0\n0\n2\n2 1 2\n0\n0\n(\n)\n2\n2\n1\n(\n)\n1\n(1\n(\n) )\ntz\np v\naz\nX\ndz\np v\naz\np v\np v\naz\nap\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n   \n0.7 \npts\n \n \n \n90\n\n\n\nSolutions/ \nMarking Scheme \nT2 \n \nPage 6 of 8 \nQuestion \nAnswer \nMarks \nB.5 \nFor the travel time, \n;     \n( ).\n( )\nds\ndt\ndt\nu z\nv z\nds\n\n\n \nThus \n2\n2\n2 1 2\n(\n)\ndt\ndt ds\nu\ndz\nds dz\nu\np\n\n\n\n  \nand therefore \n   \n1.0 \npts \n1.0 \npts \nB.6 \nThe total travel time from the source to the Denpasar can be calculated \nusing previous relation \n\n\n2\n1 2\n2\n2\n0\n( )\n( )\n2\n( )\ntz\nu\nz\nT p\ndz\nu\nz\np\n\n\n\n  \nWhich is valid for a continuous  ( )\nu z . For a simplified stacked of \nhomogeneous layers (Figure F), the integral equation became a \nsummation \n\n\n2\n1 2\n2\n2\n( )\n2\nN\ni\ni\ni\ni\nu\nz\nT p\nu\np\n\n\n\n\n  \n0.6 \npts \n1.0 \npts ܶ\nሺ݌ሻൌ2\nݑଵ\nଶ∆ݖଵ\nሺݑଵ\nଶെ݌ଶሻ\nଵ\nଶ\n൅2\nݑଶ\nଶ∆ݖଶ\nሺݑଶ\nଶെ݌ଶሻ\nଵ\nଶ\n൅2\nݑଷ\nଶ∆ݖଷ\nሺݑଷ\nଶെ݌ଶሻ\nଵ\nଶ\n \nൌ\n2 ൈሺ0.1504ሻଶൈ6\nሺ0.1504ଶെ0.143ଶሻ\nଵ\nଶ\n൅2 ൈሺ0.1435ሻଶൈ9\nሺ0.1435ଶെ0.143ଶሻ\nଵ\nଶ\n൅2 ൈሺ0.1431ሻଶൈ15\nሺ0.1431ଶെ0.143ଶሻ\nଵ\nଶ\n \nൌ151.64 second \nNote that the actual travel time from the epicenter to Denpasar is 75 \nseconds. By varying the parameters of velocity and depth up to suitable \nvalue of observed travel time, physicist can know Earth structure. \n0.4 \npts \nTotal score\n5.7 \npts \n \n2\n2\n2 1 2\n2\n2 1 2\n0\n0\n0\n0\n1\n1\n2\n2\n(\n)\n(\n)\n(1\n(\n) )\n\n\n\n\n\n\n\n\nt\nt\nz\nz\nu\nT\ndz\ndz\nv\naz\nu\np\np\nv\naz\n\nSolutions/ \nMarking Scheme \nT2 \n \nPage 7 of 8 \nC. Java Tsunami \nQuestion \nAnswer \nMarks \nC.1 \nThe center of mass of the raised ocean water with respect to the ocean \nsurface is h/2.  Thus \nܧ௉ൌ݄\nଶߩߣܮ݃\n4\n \nwhere ρ is the ocean water density. \n0.5 \npts\n0.5 \npts\nC.2 \nConsidering a shallow ocean wave in Fig. 5, the whole water (from the \nsurface until the ocean floor) can be considered to be moving due to the \nwave motion. The potential energy is equal to the kinetic energy. \n1\n4 ߩߣ݄\nଶܮ݃\nൌ1\n4 ߩ݀ܮߣܷ\nଶ \nWhere \n2\nx\n\n\n  and U   is the horizontal speed of the water component. \nThe water component that was in the upper part ݄ܮ\nఒ\nଶ  should be equal to \nthe  one  that  moves  horizontally  for  a  half  of  period  of  time ߬\n2\nൗ,  i.e. ݄\nܮߣ2\n⁄\nൌ݀\nܮܷ߬\n2\n⁄ . \nThus we have ܷ\nൌ݄\nߣ߬݀ \n \n0.7 \npts\n1.2 \npts\nAccordingly, \n  ߬ൌ\nఒ\nඥ௚ௗ \nThus \nݒൌߣ߬ൌඥ݃݀\n \n0.5 \npts\nC.3 \nUsing the argument that the wave energy density is proportional to its \namplitude ܧൌ݇\nܣଶ with ܣ is amplitude and ݇ is a proportional constant \nBecause the energy flux is conserve, then  \nܧݒܽ\nൌܧ଴ݒ଴ܽ  for an area ܽ where the wave flow though. \nThen,  ݇\nܣଶඥ݃݀\nൌ݇\nܣ଴\nଶඥ݃݀\n଴  \nܣൌܣ଴൬݀\n଴݀൰\nଵ\nସ\n \n(Therefore  the  tsunami  wave  will  increase  its  amplitude  and  become \nnarrower as it approaches the beach). \n1.3 \npts\n1.3 \npts\nTotal score\n3.0 \npts\n\nSolutions/ \nMarking Scheme \nT2 \n \nPage 8 of 8 \nTotal Score for Problem T2: \nSection A :  \n1.3 points \nSection B : \n5.7 points \nSection C : \n3.0 points \nTotal : 10 points \n","shared":false,"sourcePages":[1,2,3,4,5,6,7,8]}},{"id":"ipho-2017-t3","importedOn":"2026-10-28","language":"en","sources":[{"url":"https://www.ipho-new.org/download/674/","kind":"statement","archiveMember":"Theory-Indonesia2017/Problems T3.pdf"},{"url":"https://www.ipho-new.org/download/674/","kind":"solution","archiveMember":"Theory-Indonesia2017/Solution n Marking Scheme T3.pdf"}],"statement":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/ipho-2017-t3-statement/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/ipho-2017-t3-statement/page-1.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2017-t3-statement/page-2.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2017-t3-statement/page-3.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2017-t3-statement/page-4.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2017-t3-statement/page-5.webp","width":982,"height":1389}],"text":"Theory\nEnglish (Official)\nT3\npage 1 of 5\n \n \nρ\nRs\nR(t)\na(t)\nR(t) = a(t)Rs\n=\nρ(t) −\n( )\na˙\na\n2\nA1\nkc2\n(t)\nR2\nsa2\nk\nc\n\nTheory\nEnglish (Official)\nT3\npage 2 of 5\n \nhere \n denotes the pressure on the\nsphere.\n \n \nA1\nρ(t)c2\n+\n(ρ + (\n))\n= 0\nρ˙\nA2\np\nc2\na˙\na\np\nA2\np = p(ρ)\np(t)/\n= wρ(t)\nc2\nw\nH = /a\na˙\nt0 ρ0 H0 a0\n= 1\na0\nw\nk = 0\na(t)\na(t = 0) = 0\n= 1\na0\nk\nk = +1\nk = 0\nk = −1\nΩ = ρ/ρc\n=\n/\nρcc2\nH 2 A1\nA1\n\nTheory\nEnglish (Official)\nT3\npage 3 of 5\n \n \nk\nΩ H a\nR0\nΩ\nk = +1 k = 0\nk = −1\n(Ω(t) −1)\n.\n(Ω(t) −1)\n(Ω(t) −1) ≪1\n( > 0)\na¨\n(d(aH\n/dt < 0)\n)−1\n \nϵ = −\n/\nH˙ H 2\nϵ < 1\nϵ < 1\nϵ = 1\nN\ndN = d ln a = Hdt\nN = 0\nϕ(t)\n+ 3H\n= −\nϕ¨\nϕ˙\nV ′\nV = V(ϕ)\n=\nV ′\n∂V\n∂ϕ\n\nTheory\nEnglish (Official)\nT3\npage 4 of 5\n=\n[\n+ V]\nH2\n1\n3M 2\npl\n1\n2 ϕ˙ 2\nMpl\nV\n/2\nϕ˙ 2\nϕ¨\nϵ\n= δ + ϵ\nηV\nδ = −/(H )\nϕ¨\nϕ˙\nϵ\nηV dN/dϕ\nV(ϕ)\nV ′\nV ″\n\nTheory\nEnglish (Official)\nT3\npage 5 of 5\n \nns\n±\nr\nr = 16ϵ\n= 1 + 2\n−6ϵ\nns\nηV\nϕ = ϕstart\nV(ϕ) = Λ4\n(\n)\nϕ\nMpl\nn\nn\nΛ\nϕend\nr\nns\nn\nn\nr\nns\nN\n","shared":false,"sourcePages":[1,2,3,4,5]},"solution":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/ipho-2017-t3-solution/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/ipho-2017-t3-solution/page-1.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2017-t3-solution/page-2.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2017-t3-solution/page-3.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2017-t3-solution/page-4.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2017-t3-solution/page-5.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2017-t3-solution/page-6.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2017-t3-solution/page-7.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2017-t3-solution/page-8.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2017-t3-solution/page-9.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2017-t3-solution/page-10.webp","width":982,"height":1389}],"text":"Solutions/ \nMarking Scheme \n \n \nT3 \n \nPage 1 of 10 \nCosmic Inflation \nA. Expansion of Universe \nQuestion A.1 \nAnswer \nMarks \nFor any test mass ݉\n on the boundary of the sphere,  ܴ݉\nሷሺݐሻൌെܩ݉\nܯ௦/ܴ\nଶሺݐሻ\n  (A.1.1) \nwhere ܯ௦ is mass portion inside the sphere \n0.2 \nMultiplying equation (A.1.1) with ܴሶand integrating it gives \nනܴሶܴ݀\nሶ݀\nݐ ݀ݐൌ1\n2  ܴሶଶൌ ܩܯ௦ܴ൅ܣ  \nwhere ܣ is a integration constant \n0.6\nTaking ܯ௦ൌ\nସ\nଷߨܴ\nଷሺݐሻߩሺݐሻ, and  ܴሶൌܽሶܴ\n௦ \n0.2 \n൬ܽܽሶ൰\nଶ\nൌ8ߨܩ\n3\nߩሺݐሻ൅\n2ܣܴ\n௦ଶܽ\nଶሺݐሻ \n0.2 \nTherefore, we have ܣଵൌ଼\nగீ\nଷ \n0.1 \nTotal \n1.3 \n \n \n \n \n \n \n \nQuestion A.2 \nAnswer \nMarks \n\nSolutions/ \nMarking Scheme \n \n \nT3 \n \nPage 2 of 10 \nThe  2nd  Friedmann  equation  can  be  obtained  from  the  1st law  of \nthermodynamics  : ݀\nܧൌെ݌ܸ݀\n൅݀ܳ\n. \n0.1\nFor adiabatic processes ݀ܧ൅݌ܸ݀\nൌ0 and its time derivative is ܧሶ൅݌ ܸሶൌ\n0.  \n0.1 \nFor the sphere  ܸሶൌܸ\n ሺ3 ܽሶ/ܽሻ  \n0.1 \nIts total energy  is ܧൌߩሺݐሻܸሺݐሻܿ\nଶ  \n0.2 \nTherefore  ܧሶൌቀߩሶ൅3 \n௔ሶ\n௔ቁܸܿ\nଶ  \n0.1 \nIt yields  \nߩሶ൅3 ቀߩ൅݌ܿ\nଶቁܽሶܽൌ0 \n0.2 \nTherefore, we have ܣଶൌ3. \n0.1 \nTotal \n0.9 \n \n\nSolutions/ \nMarking Scheme \n \n \nT3 \n \nPage 3 of 10 \nQuestion A.3 \nAnswer \nMarks \nInterpreting ߩሺݐሻܿଶ as total energy density, and substituting  \n௣ሺ௧ሻ\n௖మൌݓ ߩሺݐሻ  \nin to the 2nd Friedmann equation yields: \nߩሶ൅3 ߩሺ1 ൅ݓሻܽሶܽൌ0 \n0.1 \nߩ∝ܽି\nଷሺ௪ାଵሻ \n0.2 \n(i) In case of radiation, photon as example, the energy is given by ܧ௥ൌ݄\nߥൌ݄ܿ\n/ߣ then its energy density ߩ௥ൌ\nாೝ\n௏∝ܽି\nସ so that ݓ௥ൌ\nଵ\nଷ \n0.3 \n(ii) In case of nonrelativistic matter, its energy density nearly ߩ௠≃\n௠బ௖మ\n௏\n∝ܽି\nଷ since dominant energy comes from its rest energy ݉\n଴ܿ\nଶ, so that ݓ௠ൌ\n0 \n0.3 \n(iii) For a constant energy density, let say ߳ஃൌ constant, ߳ஃ∝ܽ\n଴ so that \nݓஃൌെ1. \n0.3 \nTotal \n1.2 \n \n\nSolutions/ \nMarking Scheme \n \n \nT3 \n \nPage 4 of 10 \nQuestion A.4 \nAnswer \nMarks \n(i) In case of ݇\nൌ0, for radiation  we have ߩ௥ܽ\nସൌconstant. So by comparing \nthe parameters values with their present value,  ߩ௥ሺݐሻܽ\nସሺݐሻൌߩ௥଴ܽ\n଴\nସ,  \nቀ\n௔ሶ\n௔ቁ\nଶ\nൌ଼\nగீ\nଷ ߩ௥଴ቀ\n௔బ\n௔ቁ\nସ\n.    \n׬ܽ ݀ܽ\nൌ\nଵ\nଶܽ\nଶ൅ܭൌቀ଼\nగீ\nଷ\nߩ௥଴ܽ\n଴\nସቁ\nభ\nమݐ.  \n0.2 \nBecause ܽሺݐൌ0ሻൌ0, ܭൌ0, thenܽ\nሺݐሻൌሺ2ሻ\nభ\nమ ቀ଼\n గீ\nଷ ߩ௥଴ܽ\n଴\nସቁ\nభ\nర ݐ\nభ\nమൌሺ2ܪ଴ሻ\nభ\nమ ݐ భ\nమ . \nwhere ܪ଴ൌቀ଼\nగீ\nଷ ߩ௥଴ቁ\nభ\nమ\n after taking ܽ଴ൌ1. \n0.2\n(ii)  for  non‐relativistic  matter  domination,  using  ߩ௠ሺݐሻܽ\nଷሺݐሻൌߩ௠଴ܽ\n଴\nଷ,    and \nsimilar way  we will get ܽ\nሺݐሻൌቀ\nଷ\nଶቁ\nమ\nయ ቀ଼\n గீ\nଷ ߩ௠଴ܽ\n଴\nସቁ\nభ\nయ ݐ\nమ\nయൌቀ\nଷுబ\nଶቁ\nమ\nయ ݐ\nమ\nయ. \nwhere ܪ଴ൌቀ଼\nగீ\nଷ\nߩ௠଴ቁ\nభ\nమ\n. \n0.4\n(iii) for constant energy density,  \nlnܽ\nൌܪ଴ݐ൅ܭ′ \nWhere ܭ′ is integration constant and ܪ଴ൌቀ଼\n గீ\nଷ ߩஃቁ\nభ\nమ.  Taking condition ܽ\n଴ൌ\n1,  \nln ൬ܽܽ\n଴\n൰ൌܪ଴ሺݐെݐ଴ሻ ܽ\nሺݐሻൌ݁\nுబሺ௧ି௧బሻ \n0.4 \nTotal \n1.2 \n \n\nSolutions/ \nMarking Scheme \n \n \nT3 \n \nPage 5 of 10 \nQuestion A.5 \nAnswer \nMarks \nCondition for critical energy condition: \nߩ௖ሺݐሻൌ3ܪଶ\n8ߨܩ \nFriedmann equation can be written as \nܪଶሺݐሻൌܪଶሺtሻΩሺtሻെ݇ܿ\nଶܴ\n଴\nଶܽ\nଶሺݐሻ \nቀ\nோబమ\nୡమቁܽ\nଶܪଶሺΩ െ1ሻൌ݇\n                                   (A.5.1) \n0.1 \nTotal \n0.1 \n \n      Question A.6 \nAnswer \nMarks \nBecause  ቀ\nோబమ\nୡమቁܽ\nଶܪଶ ൐0,  then ݇\nൌ൅1  corresponds  to  Ω ൐1, ݇\nൌെ1 \ncorresponds to Ω ൏1 and ݇\nൌ0 corresponds to Ω ൌ1 \n0.3 \nTotal \n0.3 \n \n\nSolutions/ \nMarking Scheme \n \n \nT3 \n \nPage 6 of 10 \nB.  Motivation To Introduce Inflation Phase and Its General Conditions \nQuestion B.1 \nAnswer \nMarks \nEquation (A.5.1) shows that \nሺΩ െ1ሻൌ\n௞௖మ\nோబమ \nଵ\n௔ሶమ .  \n0.1\nIn a universe dominated by non‐relativistic matter or radiation, scale factor can \nbe  written  as  a  function  of  time  as ܽ\nൌܽ\n଴ቀ\n௧\n௧బቁ\n௣\n  where  ݌൏1  (݌ൌ \nଵ\nଶ  for \nradiation and ݌ൌ\nଶ\nଷ for non‐relativistic matter ) \n0.2 \nሺΩ െ1ሻൌ݇෨ݐଶሺଵି௣ሻ \n0.2 \nTotal \n0.5 \nQuestion B.2 \nAnswer \nMarks \nFor a period dominated by constant energy provides the solution ܽሺݐሻൌ݁\nு௧ so \nthat ܽሶൌܪ݁\nு௧ \n0.1 \nሺΩ െ1ሻൌ݇ܪଶݐି\nଶு௧ \n0.2 \nTotal \n0.3 \n \n\nSolutions/ \nMarking Scheme \n \n \nT3 \n \nPage 7 of 10 \nQuestion B.3 \nAnswer \nMarks \nInflation period can be generated by constant energy period, therefore it is a \nphase where ݓൌെ1 so that ݌ൌݓߩܿଶൌെߩܿଶ (negative pressure). \n0.2 \nDifferentiating Friedmann equation leads to ܽ\nሶଶൌ8ߨܩ\n3 ߩܽ\nଶെ݇ܿ\nଶܴ\n଴\nଶ \n2ܽሶܽሷൌ ଼\nగீ\nଷ ሺߩሶܽ\nଶ൅2ߩܽ ܽሶሻൌ଼\nగீ\nଷ ሺെ3 ቀߩ൅\n௣\n௖మቁܽܽ\nሶ൅2ߩܽܽ\nሶሻ. ܽ\nሷܽൌെ4ߨܩ\n3\nሺߩ൅3݌ܿ\nଶሻ \n0.4 \nSo that because during inflation ݌ൌെߩܿଶ, it is equivalent with condition  ܽሷ൐\n0 (accelerated expansion) \n0.1 \nAs  a  result,   ܽሷ ൌ݀\nሺܽሶሻ/݀ݐ   ൌ݀\nሺܪܽሻ/݀ݐ൐0  or ݀\nሺܪܽሻିଵ/݀ݐ൏0  (shrinking \nHubble radius). \n0.2\nTotal \n0.9 \n \nQuestion B.4 \nAnswer \nMarks \nInflation condition can be written as \nௗሺ௔ுሻషభ\nௗ௧\n൏0, with ܪൌܽሶ/ܽ as such ݀\nሺܽܪሻିଵ݀\nݐ\nൌെܽሶܪ൅ܽ\nܪሶ\nሺܽܪሻଶ\nൌെ1ܽሺ1 െ߳ሻ൏0 ⟹߳\n൏1 \n0.2 \nTotal \n0.2 \n \n \n \n\nSolutions/ \nMarking Scheme \n \n \nT3 \n \nPage 8 of 10 \nC.  Inflation Generated by Homogenously Distributed Matter \n \nQuestion C.1 \nAnswer \nMarks \nDifferentiating  equations (4)  and employing equation 4 we can get \n2ܪܪሶൌ\nଵ\nଷெ೛೗\nమቂ߶ሶ߶ሷ൅ቀ\nడ௏\nడథቁ߶ሶቃൌ\nଵ\nଷெ೛೗\nమሾെ3ܪ ߶ሶଶሿ  \nܪሶൌെ1\n2\n߶ሶଶ\nܯ௣௟\nଶ \n0.3 \nTherefore  ߳ൌ\nଵ\nଶ\nథሶమ\nெ೛೗\nమுమ \n0.1 \nThe  inflation  can  occur  when  the  potential  energy  dominates  the  particle’s \nenergy ሺ߶ሶଶ≪ܸ\n)  such that ܪଶൎܸ\n/ሺ3ܯ௣௟\nଶሻ. \n0.2 \nSlow‐roll approximation:    3ܪ߶ሶൎെܸ′ \n0.1 \nImplies ߳\nൎ\nெ೛೗\nమ\nଶቀ\n௏ᇲ\n௏ቁ\nଶ\n                                             (C.1.1) \n0.3 \nwe also have \n3ܪሶ߶ሶ൅3ܪ߶ሷൌെܸ\nᇱᇱ߶ሶ \nߜ ൌെ\nథሷ\nுథሶൌ\n௏ᇲᇲ\nଷுమെ߳  \nTherefore \nߟ௏ൎܯ௉௟\nଶ௏ᇲᇲ\n௏                                              (C.1.2) \n0.4 \ndܰ\nൌܪ ݀ݐൌቀ\nு\nథሶቁ݀߶ൎെ\nଵ\nெ೛೗\nమሺܸ/ܸ′ሻ݀\n߶                    (C.1.3) \nௗே\nௗథൎ െ\nଵ\nெ೛೗\nమሺܸ/ܸ′ሻ \n0.3 \nTotal \n1.7 \n \n\nSolutions/ \nMarking Scheme \n \n \nT3 \n \nPage 9 of 10 \nD. \nInflation with A Simple Potential  \n \nQuestion D.1 \nAnswer \nMarks \nInflation ends at ߳ൌ1. Using ܸሺ߶ሻൌΛସ൫߶/ܯ௣௟൯\n௡ yields ߳\nൌ\nܯ௣௟\nଶ\n2 ൤݊߶end\n൨\nଶ\nൌ1 ⟹߶௘௡ௗൌ݊\n√2\nܯ௣௟ \n0.5 \nTotal \n0.5 \n \n \n \n \nQuestion D.2 \nAnswer \nMarks \nFrom equations (C.1.1), (C.1.2) and (C.1.3) we can obtain ܰ\nൌെቈ߶\nܯ௣௟\n቉\nଶ1\n2݊\n൅ߚ \nwhere ߚ is a integration constant. As ܰ\nൌ0 at ߶௘௡ௗ then ߚൌ\n௡\nସ. ܰ\nൌെቈ߶\nܯ௣௟\n቉\nଶ1\n2݊\n൅݊4 \n0.2 \nߟ௏ൌ݊\nሺ݊\nെ1ሻ൤ܯ௣௟\n߶൨\nଶ\nൌ2ሺ݊\nെ1ሻ݊\nെ4ܰ\n \n0.2\nߝൌ݊\nଶ\n2 ൤ܯ௣௟\n߶൨\nଶ\nൌ݊݊\nെ4ܰ \n0.2 \nso that \nݎൌ16ߝൌ\n16݊݊\nെ4ܰ \n0.1 \n\nSolutions/ \nMarking Scheme \n \n \nT3 \n \nPage 10 of 10 ݊\n௦ൌ1 ൅2ߟ௏െ6߳ൌ1 െ2ሺ݊\n൅2ሻ\nሺ݊\nെ4ܰሻ \n0.1 \nTo obtain the observational constraint ݊\n௦ൌ0.968  we need  ݊\nൌെ5.93 which \nis inconsistent with the condition ݎ൏0.12.  There is no a closest integer ݊ that \ncan  obtains  ݎ൏0.12.  As  example,  for ݊\nൌെ6  leads  a  contradiction  0 ൏\nሺെ0.27ሻ and for ݊\nൌെ5 leads a contradiction 0 ൏ሺെ0.2ሻ.  \n  \n0.1 \nTotal \n0.9 \n \n \n \n","shared":false,"sourcePages":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]}},{"id":"ipho-2016-t2","importedOn":"2026-10-28","language":"ru","sources":[{"url":"https://www.ipho-new.org/download/671/","kind":"statement","urls":["https://pho.rs/p/3204"],"note":"The official year bundle omits these questions; both mechanics sections are imported together from the Russian mirror."},{"url":"https://www.ipho-new.org/download/671/","kind":"solution","urls":["https://pho.rs/p/3204/s"],"note":"The official year bundle omits these questions; both mechanics sections are imported together from the Russian mirror."}],"statement":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Введение"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tБистабильные нелинейные полупроводниковые элементы (например, тиристоры) широко используются в электронике в качестве переключателей и генераторов электромагнитных колебаний. С помощью тиристоров обычно управляют переменными токами в силовой электронике, например преобразуют мегаваттные переменные токи в постоянные. Бистабильные элементы также могут быть модельными системами для изучения самоорганизации в физике (это рассматривается в части "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"B "}]},{"type":"text","text":"этой задачи), в биологии (часть "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"C"}]},{"type":"text","text":") и в других областях современной нелинейной динамики."},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"В этой задаче мы изучим неустойчивости и нетривиальные динамические свойства электрических цепей, содержащих элементы с нелинейными вольт-амперными характеристиками. Мы также рассмотрим возможные применения подобных схем в электронике и в моделировании биологических систем."}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть А. Стационарные состояния и неустойчивости (3.0 балла)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n На рисунке 1 показана так называемая S-образная вольт-амперная характеристика нелинейного элемента $\\mathrm X$. В диапазоне напряжений между $U_\\mathrm h = 4.00~В$ (удерживаемое напряжение) и $U_\\mathrm{th} = 10.0~В$ (пороговое напряжение) эта вольт-амперная характеристика многозначна. График на рисунке 1 является ломанной (каждая ветвь представляет собой отрезок). Если верхнюю ветвь графика продлить, то она пройдет через начало координат. Это приближение хорошо описывает реальные тиристоры.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/20fdec1789454ef8a1ec.webp","alt":"ipho-2016-t2 statement: original source diagram 1"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 1. Вольт-амперная характеристика нелинейного элемента $\\mathrm X$"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.40"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n С помощью графика определите сопротивление $R_{\\text{on}}$ элемента $\\mathrm X$ на верхней ветви вольт-амперной характеристики и $R_{\\text{off}}$ на нижней ветви соответственно. Средняя ветвь описывается уравнением"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\begin{equation}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"    I = I_0 - \\frac{U}{R_{\\text{int}}}."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\end{equation}Найдите значения параметров $I_0$ и $R_{\\text{int}}$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Элемент $\\mathrm X$ соединен последовательно (рисунок 2) с резистором $R$, катушкой индуктивности $L$ и идеальным источником напряжения $\\mathcal{E}$. Если электрическая цепь находится в стационарном состоянии, то сила тока постоянна во времени, $I(t) = \\text{const}$.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/eec18663d57599ab8b3b.webp","alt":"ipho-2016-t2 statement: original source diagram 2"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 2. Электрическая цепь с элементом $\\mathrm X$, резистором $R$, катушкой индуктивности $L$ и источником напряжения $\\mathcal{E}$"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Сколько возможных стационарных состояний может иметь электрическая цепь, изображенная на рисунке 2, при некотором заданном значении $\\mathcal{E}$ и при $R = 3.00~\\Omega$? Каким будет ответ при $R = 1.00~\\Omega$?\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Пусть в электрической цепи, показанной на рисунке 2, $R = 3.00~\\Omega$, $L = 1.00~мкГн$ и $\\mathcal{E} = 15.0~В$. Определите значения сила тока $I_{\\text{stationary}}$ и напряжения $V_{\\text{stationary}}$ на нелинейном элементе $X$ в стационарном состоянии.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Пусть электрическая цепь на рисунке 2 находится в стационарном состоянии с $I(t) = I_{\\text{stationary}}$. Стационарное состояние называется устойчивым, если после небольшого изменения тока (увеличения или уменьшения) значение тока возвращается к стационарному состоянию. Однако, если система продолжает уходить от стационарного состояния, то оно называется неустойчивым.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A4\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tИспользуйте численные значения заданные в "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"А3 "}]},{"type":"text","text":"и изучите стабильность стационарного состояния с $I(t) = I_{\\text{stationary}}$. Является ли стационарное состояние устойчивым или неустойчивым?\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Бистабильные нелинейные элементы в физике: радиопередатчик (5.0 баллов)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n В этой части мы исследуем новую схему электрической цепи (рисунок 3). Нелинейный элемент $\\mathrm X$ соединен с конденсатором емкостью $C = 1.00~мкФ$ параллельно. Этот блок включен последовательно с резистором $R = 3.00~\\Omega$ и идеальным источником постоянного напряжения $\\mathcal{E} = 15.0~В$. Оказывается, что в этой цепи возникают колебания. За время одного периода колебаний свойства элемента $\\mathrm X$ «перескакивают» по вольт-амперной характеристике с одной ветви на другую.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/3a48567a99d4ffabf126.webp","alt":"ipho-2016-t2 statement: original source diagram 3"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 3. Электрическая цепь, состоящая из элемента $\\mathrm X$, конденсатора $C$, резистора $R$ и источника напряжения $\\mathcal{E}$"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.80"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Нарисуйте цикл одного колебания на вольт-амперной характеристике, в том числе, укажите направление колебания (по часовой или против часовой стрелки). Обоснуйте свой ответ с помощью уравнений и схем.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.90"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Найдите формулы для времён $t_1$ и $t_2$, в течение которых система находится на каждой из ветвей вольт-амперной характеристики во время периода колебаний. Определите их численные значения. Найдите численное значение периода колебаний $T$, полагая, что временем, необходимым для скачкообразного перехода между ветвями вольт-амперной характеристики, можно пренебречь.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.70"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Оцените среднюю мощность $P$, рассеянную нелинейным элементом в течение одного колебания. Достаточно привести порядок величины.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tЭлектрическая цепь, показанная на рисунке 3, может использоваться для создания радиопередатчика. Для этого элемент $\\mathrm X$ подключается к одному из концов антенны длины $s$. Антенна – это длинный прямой провод. Противоположный конец провода свободный. В антенне образуется стоячая электромагнитная волна. Скорость электромагнитной волны в антенне такая же, как и в вакууме. Передатчик настроен на основную гармонику системы с периодом $T$ (из пункта "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"B2"}]},{"type":"text","text":").\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B4\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Каково оптимальное значение $s$, если считать, что оно не может быть больше $1~ км$?\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть C. Бистабильные нелинейные элементы в биологии: нейристор (2.0 балла)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tВ этой части задачи мы рассмотрим применение бистабильных нелинейных элементов к моделированию биологических процессов. Нейрон в человеческом мозге обладает следующим свойством: при возбуждении внешним сигналом он совершает одно колебание, а затем возвращается в исходное состояние. Эта свойство называется возбудимостью. Благодаря этому свойству импульсы могут распространяться в сети связанных нейронов, которые образуют нервные системы. Полупроводниковый чип, предназначенный для имитации возбудимости и распространения импульса, называется нейристором."},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Попробуем смоделировать простой нейристор, используя электрическую схему с исследованным ранее нелинейным элементом $\\mathrm X$. Для этого напряжение $\\mathcal{E}$ в схеме на рисунке 3 уменьшается до $\\mathcal{E}' = 12.0~В$. Колебания прекращаются и система переходит в свое стационарное состояние. Затем напряжение быстро увеличивается до $\\mathcal{E} = 15.0~В$ и спустя некоторое время $\\tau$ ($\\tau < T$) возвращается обратно к $\\mathcal{E}'$ (рисунок 4). Оказывается, что есть некоторое критическое значение $\\tau_{crit}$, такое, что поведение системы качественно отличается при $\\tau < \\tau_{crit}$ при $\\tau > \\tau_{crit}$."}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/199c25224f808851d189.webp","alt":"ipho-2016-t2 statement: original source diagram 4"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 4. Напряжение источника как функция времени"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Схематически нарисуйте графики временной зависимости тока $I_\\mathrm X(t)$ через нелинейный элемент $\\mathrm X$ для $\\tau < \\tau_{\\text{crit}}$ и для $\\tau > \\tau_{\\text{crit}}$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Найдите выражение для критического времени $\\tau_{\\text{crit}}$ и его численное значение, при котором происходит изменение поведения системы.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Является ли схема нейристором при $\\tau = 1.00 \\cdot 10^{-6}~с$?\n\n                \n                "}]}]}]}]}],"figures":["/corpus/figures/20fdec1789454ef8a1ec.webp","/corpus/figures/eec18663d57599ab8b3b.webp","/corpus/figures/3a48567a99d4ffabf126.webp","/corpus/figures/199c25224f808851d189.webp"],"text":"Введение Бистабильные нелинейные полупроводниковые элементы (например, тиристоры) широко используются в электронике в качестве переключателей и генераторов электромагнитных колебаний. С помощью тиристоров обычно управляют переменными токами в силовой электронике, например преобразуют мегаваттные переменные токи в постоянные. Бистабильные элементы также могут быть модельными системами для изучения самоорганизации в физике (это рассматривается в части B этой задачи), в биологии (часть C ) и в других областях современной нелинейной динамики. В этой задаче мы изучим неустойчивости и нетривиальные динамические свойства электрических цепей, содержащих элементы с нелинейными вольт-амперными характеристиками. Мы также рассмотрим возможные применения подобных схем в электронике и в моделировании биологических систем. Часть А. Стационарные состояния и неустойчивости (3.0 балла) На рисунке 1 показана так называемая S-образная вольт-амперная характеристика нелинейного элемента $\\mathrm X$. В диапазоне напряжений между $U_\\mathrm h = 4.00~В$ (удерживаемое напряжение) и $U_\\mathrm{th} = 10.0~В$ (пороговое напряжение) эта вольт-амперная характеристика многозначна. График на рисунке 1 является ломанной (каждая ветвь представляет собой отрезок). Если верхнюю ветвь графика продлить, то она пройдет через начало координат. Это приближение хорошо описывает реальные тиристоры. Рис. 1. Вольт-амперная характеристика нелинейного элемента $\\mathrm X$ A1 0.40 С помощью графика определите сопротивление $R_{\\text{on}}$ элемента $\\mathrm X$ на верхней ветви вольт-амперной характеристики и $R_{\\text{off}}$ на нижней ветви соответственно. Средняя ветвь описывается уравнением \\begin{equation} I = I_0 - \\frac{U}{R_{\\text{int}}}. \\end{equation}Найдите значения параметров $I_0$ и $R_{\\text{int}}$. Элемент $\\mathrm X$ соединен последовательно (рисунок 2) с резистором $R$, катушкой индуктивности $L$ и идеальным источником напряжения $\\mathcal{E}$. Если электрическая цепь находится в стационарном состоянии, то сила тока постоянна во времени, $I(t) = \\text{const}$. Рис. 2. Электрическая цепь с элементом $\\mathrm X$, резистором $R$, катушкой индуктивности $L$ и источником напряжения $\\mathcal{E}$ A2 1.00 Сколько возможных стационарных состояний может иметь электрическая цепь, изображенная на рисунке 2, при некотором заданном значении $\\mathcal{E}$ и при $R = 3.00~\\Omega$? Каким будет ответ при $R = 1.00~\\Omega$? A3 0.60 Пусть в электрической цепи, показанной на рисунке 2, $R = 3.00~\\Omega$, $L = 1.00~мкГн$ и $\\mathcal{E} = 15.0~В$. Определите значения сила тока $I_{\\text{stationary}}$ и напряжения $V_{\\text{stationary}}$ на нелинейном элементе $X$ в стационарном состоянии. Пусть электрическая цепь на рисунке 2 находится в стационарном состоянии с $I(t) = I_{\\text{stationary}}$. Стационарное состояние называется устойчивым, если после небольшого изменения тока (увеличения или уменьшения) значение тока возвращается к стационарному состоянию. Однако, если система продолжает уходить от стационарного состояния, то оно называется неустойчивым. A4 1.00 Используйте численные значения заданные в А3 и изучите стабильность стационарного состояния с $I(t) = I_{\\text{stationary}}$. Является ли стационарное состояние устойчивым или неустойчивым? Бистабильные нелинейные элементы в физике: радиопередатчик (5.0 баллов) В этой части мы исследуем новую схему электрической цепи (рисунок 3). Нелинейный элемент $\\mathrm X$ соединен с конденсатором емкостью $C = 1.00~мкФ$ параллельно. Этот блок включен последовательно с резистором $R = 3.00~\\Omega$ и идеальным источником постоянного напряжения $\\mathcal{E} = 15.0~В$. Оказывается, что в этой цепи возникают колебания. За время одного периода колебаний свойства элемента $\\mathrm X$ «перескакивают» по вольт-амперной характеристике с одной ветви на другую. Рис. 3. Электрическая цепь, состоящая из элемента $\\mathrm X$, конденсатора $C$, резистора $R$ и источника напряжения $\\mathcal{E}$ B1 1.80 Нарисуйте цикл одного колебания на вольт-амперной характеристике, в том числе, укажите направление колебания (по часовой или против часовой стрелки). Обоснуйте свой ответ с помощью уравнений и схем. B2 1.90 Найдите формулы для времён $t_1$ и $t_2$, в течение которых система находится на каждой из ветвей вольт-амперной характеристики во время периода колебаний. Определите их численные значения. Найдите численное значение периода колебаний $T$, полагая, что временем, необходимым для скачкообразного перехода между ветвями вольт-амперной характеристики, можно пренебречь. B3 0.70 Оцените среднюю мощность $P$, рассеянную нелинейным элементом в течение одного колебания. Достаточно привести порядок величины. Электрическая цепь, показанная на рисунке 3, может использоваться для создания радиопередатчика. Для этого элемент $\\mathrm X$ подключается к одному из концов антенны длины $s$. Антенна – это длинный прямой провод. Противоположный конец провода свободный. В антенне образуется стоячая электромагнитная волна. Скорость электромагнитной волны в антенне такая же, как и в вакууме. Передатчик настроен на основную гармонику системы с периодом $T$ (из пункта B2 ). B4 0.60 Каково оптимальное значение $s$, если считать, что оно не может быть больше $1~ км$? Часть C. Бистабильные нелинейные элементы в биологии: нейристор (2.0 балла) В этой части задачи мы рассмотрим применение бистабильных нелинейных элементов к моделированию биологических процессов. Нейрон в человеческом мозге обладает следующим свойством: при возбуждении внешним сигналом он совершает одно колебание, а затем возвращается в исходное состояние. Эта свойство называется возбудимостью. Благодаря этому свойству импульсы могут распространяться в сети связанных нейронов, которые образуют нервные системы. Полупроводниковый чип, предназначенный для имитации возбудимости и распространения импульса, называется нейристором. Попробуем смоделировать простой нейристор, используя электрическую схему с исследованным ранее нелинейным элементом $\\mathrm X$. Для этого напряжение $\\mathcal{E}$ в схеме на рисунке 3 уменьшается до $\\mathcal{E}' = 12.0~В$. Колебания прекращаются и система переходит в свое стационарное состояние. Затем напряжение быстро увеличивается до $\\mathcal{E} = 15.0~В$ и спустя некоторое время $\\tau$ ($\\tau < T$) возвращается обратно к $\\mathcal{E}'$ (рисунок 4). Оказывается, что есть некоторое критическое значение $\\tau_{crit}$, такое, что поведение системы качественно отличается при $\\tau < \\tau_{crit}$ при $\\tau > \\tau_{crit}$. Рис. 4. Напряжение источника как функция времени C1 1.20 Схематически нарисуйте графики временной зависимости тока $I_\\mathrm X(t)$ через нелинейный элемент $\\mathrm X$ для $\\tau < \\tau_{\\text{crit}}$ и для $\\tau > \\tau_{\\text{crit}}$. C2 0.60 Найдите выражение для критического времени $\\tau_{\\text{crit}}$ и его численное значение, при котором происходит изменение поведения системы. C3 0.20 Является ли схема нейристором при $\\tau = 1.00 \\cdot 10^{-6}~с$?\n","shared":false},"solution":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.40"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n С помощью графика определите сопротивление $R_{\\text{on}}$ элемента $\\mathrm X$ на верхней ветви вольт-амперной характеристики и $R_{\\text{off}}$ на нижней ветви соответственно. Средняя ветвь описывается уравнением"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\begin{equation}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"    I = I_0 - \\frac{U}{R_{\\text{int}}}."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\end{equation}Найдите значения параметров $I_0$ и $R_{\\text{int}}$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Снимаем значения с ВАХ:\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $R_{\\text{off}} = 10.0 \\, \\Omega$, $R_{\\text{on}} = 1.00 \\, \\Omega$, $R_{\\text{int}} = 2.00 \\, \\Omega$, $I_0 = 6.00~А$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Сколько возможных стационарных состояний может иметь электрическая цепь, изображенная на рисунке 2, при некотором заданном значении $\\mathcal{E}$ и при $R = 3.00~\\Omega$? Каким будет ответ при $R = 1.00~\\Omega$?\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Закон Кирхгофа для цепи:\\[\\mathcal E=IR+U.\\]Тогда в стационарном состоянии напряжение $U$ на нелинейном элементе и ток через него связаны как:\\[I=\\frac{\\mathcal E-U}{R}.\\]Стационарные состояния определяются пересечением этой зависимости с ВАХ нелинейного элемента."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"При $R=3.00~\\Omega$ может существовать только одно пересечение этих кривых.\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n При $R=3.00~\\Omega$ – одно стационарное состояние\n\n                    "}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n При $R=1.00~\\Omega$ при разных значениях ЭДС могут быть 1, 2 или 3 пересечения.\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n При $R=1.00~\\Omega$ – 1, 2 или 3 стационарных состояния\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Пусть в электрической цепи, показанной на рисунке 2, $R = 3.00~\\Omega$, $L = 1.00~мкГн$ и $\\mathcal{E} = 15.0~В$. Определите значения сила тока $I_{\\text{stationary}}$ и напряжения $V_{\\text{stationary}}$ на нелинейном элементе $X$ в стационарном состоянии.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Стационарное состояние находится на промежуточной ветви ВАХ, поэтому координаты точки пересечения можно найти как:\\[I_\\mathrm{stationary}=\\frac{\\mathcal E-R_\\mathrm{int}I_0}{R-R_\\mathrm{int}}=3.00~А,\\quad U_\\mathrm{stationary}=R_\\mathrm{int}(I_0-I_\\mathrm{stationary})=6.00~В.\\]\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[I_\\mathrm{stationary}=3.00~А,\\quad U_\\mathrm{stationary}=6.00~В\\]\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A4\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tИспользуйте численные значения заданные в "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"А3 "}]},{"type":"text","text":"и изучите стабильность стационарного состояния с $I(t) = I_{\\text{stationary}}$. Является ли стационарное состояние устойчивым или неустойчивым?\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Второй закон Кирхгофа для цепи в нестационарном состоянии:\\[\\mathcal E=IR+U_\\mathrm X+L\\frac{\\mathrm dI}{\\mathrm dt}=IR+(I_0-I)R_\\mathrm{int}+L\\frac{\\mathrm dI}{\\mathrm dt}\\implies \\\\\\implies L\\frac{\\mathrm dI}{\\mathrm dt}=\\mathcal E-I_0R_\\mathrm{int}-(R-R_\\mathrm{int})I=-(R-R_\\mathrm{int})(I-I_\\mathrm{stationary}).\\]Таким образом, ток будет экспоненциально релаксировать к стационарному значению, а значит состояние будет устойчивым.\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n Стационарное состояние устойчиво\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.80"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Нарисуйте цикл одного колебания на вольт-амперной характеристике, в том числе, укажите направление колебания (по часовой или против часовой стрелки). Обоснуйте свой ответ с помощью уравнений и схем.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n\n\n\n    \n        \n            "},{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/1069536dd9677bd186c9.webp","alt":"ipho-2016-t2 solution: original source diagram 1"}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.90"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Найдите формулы для времён $t_1$ и $t_2$, в течение которых система находится на каждой из ветвей вольт-амперной характеристики во время периода колебаний. Определите их численные значения. Найдите численное значение периода колебаний $T$, полагая, что временем, необходимым для скачкообразного перехода между ветвями вольт-амперной характеристики, можно пренебречь.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Что на верхней, что на нижней ветке ВАХ цепь ведёт аналогично $RC$-контуру с конденсатором ёмкостью $C$ и резистором с сопротивлением $\\dfrac{R_\\mathrm{on/off}R}{R_\\mathrm{on/off}+R}$ и источником напряжения с ЭДС:\\[U_\\mathrm{on/off}=\\frac{R_\\mathrm{on/off}}{R_\\mathrm{on/off}+R}\\mathcal E.\\]Таким образом, зависимость напряжения от времени на каждой из ветвей будет задаваться выражением:\\[U_\\mathrm X(t)=U_\\mathrm{on/off}+(U_\\mathrm{th/h}-U_\\mathrm{on/off})\\exp\\left[-\\dfrac{R_\\mathrm{on/off}+R}{R_\\mathrm{on/off}RC}t\\right].\\]Отсюда можно найти время, которое система провела на нижней ветви:\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[t_\\mathrm{off}=\\dfrac{R_\\mathrm{off}R}{R_\\mathrm{off}+R}C\\ln\\frac{U_\\mathrm{off}-U_\\mathrm h}{U_\\mathrm{off}-U_\\mathrm{th}}=3.71\\cdot10^{-6}~с\\]\n\n                    "}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n А также время, которое система провела на верхней ветви:\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[t_\\mathrm{on}=\\dfrac{R_\\mathrm{on}R}{R_\\mathrm{on}+R}C\\ln\\frac{U_\\mathrm{th}-U_\\mathrm {on}}{U_\\mathrm{h}-U_\\mathrm{on}}=2.41\\cdot10^{-6}~с\\]\n\n                    "}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Период равен сумме этих времён:\\[T=t_\\mathrm{on}+t_{\\mathrm{off}}=6.12\\cdot10^{-6}~с\\]\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[T=6.12\\cdot10^{-6}~с\\]\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.70"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Оцените среднюю мощность $P$, рассеянную нелинейным элементом в течение одного колебания. Достаточно привести порядок величины.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Поскольку напряжение на нижней ветви ВАХ намного меньше напряжения на верхней, в рамках оценки можно пренебречь потерями энергии на нижней ветви. При этом на верхней ветви потери можно примерно оценить, исходя из среднего арифметического напряжений $U_\\mathrm h$ и $U_\\mathrm{th}$:\\[E=\\frac{1}{R_\\mathrm{on}}\\left(\\frac{U_\\mathrm h+U_\\mathrm{th}}2\\right)^2t_\\mathrm{on}=1.18\\cdot10^{-4}~Дж.\\]Таким образом, мощность будет равна:\\[P\\sim\\frac{E}{T}=19.3~Вт\\]\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[P\\sim20~Вт\\]\n\n                    "}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"Примечание."}]},{"type":"text","text":" Точный расчёт даёт ответ:\\[P=17.29~Вт,\\]поэтому приведённая оценка довольно близка к правде.\n\n                "}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B4\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Каково оптимальное значение $s$, если считать, что оно не может быть больше $1~ км$?\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Длина радиоволны равна $\\lambda=cT=1.82\\cdot10^3~м$. Оптимальную длину имеет антенна длиной $\\left(\\dfrac k2-\\dfrac14\\right)\\lambda,~k\\in\\mathbb N$ (на границе антенны – узел тока, в начале – пучность). Единственное оптимальное значение меньше $1~км$ – это $\\lambda/4=459~м$.\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[\\lambda=459~м\\]\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Схематически нарисуйте графики временной зависимости тока $I_\\mathrm X(t)$ через нелинейный элемент $\\mathrm X$ для $\\tau < \\tau_{\\text{crit}}$ и для $\\tau > \\tau_{\\text{crit}}$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"При $\\tilde{\\mathcal E}=12.0~В$ стационарное состояние нелинейного элемента будет находиться на нижней ветви ВАХ. Равновесное напряжение будет равно:\\[\\tilde U=\\frac{R_{\\mathrm{off}}}{R+R_\\mathrm{off}}\\tilde{\\mathcal E}=9.23~В.\\]Когда напряжение возрастает до $\\mathcal E=15.0~В$, система движется вдоль нижней ветви ВАХ в сторону увеличения напряжения."}]},{"type":"element","tag":"ul","children":[{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Если система не достигает $U_\\mathrm{th}$ с моменту $\\tau$, она возвращается в исходное состояние по нижней ветви."}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Если система достигает $U_\\mathrm{th}$ до момента $\\tau$, она перескакивает на верхнюю ветвь ВАХ. Пока система находится на верхней ветви ВАХ, напряжение успевает вернуться к исходному (т.к. $\\tau < T$), и система возвращается в стационарное состояние, сделав одно колебание."}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n\n\n\n    \n        \n            "},{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/ad5fb3ac2c8ee9aee2e5.webp","alt":"ipho-2016-t2 solution: original source diagram 2"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"1. Система приближается к новому стационарному состоянию.$\\\\$2. Система возвращается в исходное состояние."}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n\n\n\n    \n        \n            "},{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/36a5dd983251d82944c0.webp","alt":"ipho-2016-t2 solution: original source diagram 3"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"3. Система приближается к новому стационарному состоянию.$\\\\$4. Система при напряжении $U_\\mathrm{th}$ перескакивает на верхнюю ветвь ВАХ до момента времени $t_0+\\tau$.$\\\\$5. Система движется по верхней ветви ВАХ в сторону уменьшения напряжения.$\\\\$6. Система перепрыгивает на нижнюю ветвь ВАХ в точку с напряжением $U_\\mathrm h$, меньшим стационарного.$\\\\$7. Система возвращается в исходное состояние."}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Найдите выражение для критического времени $\\tau_{\\text{crit}}$ и его численное значение, при котором происходит изменение поведения системы.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Время, которое требуется системе для достижения критического напряжения $U_\\mathrm{th}$:\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[\\tau_\\mathrm{crit}=\\frac{R_\\mathrm{off}R}{R_\\mathrm{off}+R}C\\ln\\frac{U_\\mathrm{off}-\\tilde U}{U_\\mathrm{off}-U_\\mathrm{th}}=9.36\\cdot10^{-7}~с\\]\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Является ли схема нейристором при $\\tau = 1.00 \\cdot 10^{-6}~с$?\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Поскольку $\\tau > \\tau_\\mathrm{crit}$, система совершит колебание, то есть будет вести себя как нейристор.\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n Да, система является нейристором\n\n                    "}]}]}]}],"figures":["/corpus/figures/1069536dd9677bd186c9.webp","/corpus/figures/ad5fb3ac2c8ee9aee2e5.webp","/corpus/figures/36a5dd983251d82944c0.webp"],"text":"A1 0.40 С помощью графика определите сопротивление $R_{\\text{on}}$ элемента $\\mathrm X$ на верхней ветви вольт-амперной характеристики и $R_{\\text{off}}$ на нижней ветви соответственно. Средняя ветвь описывается уравнением \\begin{equation} I = I_0 - \\frac{U}{R_{\\text{int}}}. \\end{equation}Найдите значения параметров $I_0$ и $R_{\\text{int}}$. Снимаем значения с ВАХ: Ответ: \n                    \n $R_{\\text{off}} = 10.0 \\, \\Omega$, $R_{\\text{on}} = 1.00 \\, \\Omega$, $R_{\\text{int}} = 2.00 \\, \\Omega$, $I_0 = 6.00~А$\nA2 1.00 Сколько возможных стационарных состояний может иметь электрическая цепь, изображенная на рисунке 2, при некотором заданном значении $\\mathcal{E}$ и при $R = 3.00~\\Omega$? Каким будет ответ при $R = 1.00~\\Omega$? Закон Кирхгофа для цепи:\\[\\mathcal E=IR+U.\\]Тогда в стационарном состоянии напряжение $U$ на нелинейном элементе и ток через него связаны как:\\[I=\\frac{\\mathcal E-U}{R}.\\]Стационарные состояния определяются пересечением этой зависимости с ВАХ нелинейного элемента. При $R=3.00~\\Omega$ может существовать только одно пересечение этих кривых. Ответ: \n                    \n При $R=3.00~\\Omega$ – одно стационарное состояние При $R=1.00~\\Omega$ при разных значениях ЭДС могут быть 1, 2 или 3 пересечения. Ответ: \n                    \n При $R=1.00~\\Omega$ – 1, 2 или 3 стационарных состояния\nA3 0.60 Пусть в электрической цепи, показанной на рисунке 2, $R = 3.00~\\Omega$, $L = 1.00~мкГн$ и $\\mathcal{E} = 15.0~В$. Определите значения сила тока $I_{\\text{stationary}}$ и напряжения $V_{\\text{stationary}}$ на нелинейном элементе $X$ в стационарном состоянии. Стационарное состояние находится на промежуточной ветви ВАХ, поэтому координаты точки пересечения можно найти как:\\[I_\\mathrm{stationary}=\\frac{\\mathcal E-R_\\mathrm{int}I_0}{R-R_\\mathrm{int}}=3.00~А,\\quad U_\\mathrm{stationary}=R_\\mathrm{int}(I_0-I_\\mathrm{stationary})=6.00~В.\\] Ответ: \n                    \n \\[I_\\mathrm{stationary}=3.00~А,\\quad U_\\mathrm{stationary}=6.00~В\\]\nA4 1.00 Используйте численные значения заданные в А3 и изучите стабильность стационарного состояния с $I(t) = I_{\\text{stationary}}$. Является ли стационарное состояние устойчивым или неустойчивым? Второй закон Кирхгофа для цепи в нестационарном состоянии:\\[\\mathcal E=IR+U_\\mathrm X+L\\frac{\\mathrm dI}{\\mathrm dt}=IR+(I_0-I)R_\\mathrm{int}+L\\frac{\\mathrm dI}{\\mathrm dt}\\implies \\\\\\implies L\\frac{\\mathrm dI}{\\mathrm dt}=\\mathcal E-I_0R_\\mathrm{int}-(R-R_\\mathrm{int})I=-(R-R_\\mathrm{int})(I-I_\\mathrm{stationary}).\\]Таким образом, ток будет экспоненциально релаксировать к стационарному значению, а значит состояние будет устойчивым. Ответ: \n                    \n Стационарное состояние устойчиво\nB1 1.80 Нарисуйте цикл одного колебания на вольт-амперной характеристике, в том числе, укажите направление колебания (по часовой или против часовой стрелки). Обоснуйте свой ответ с помощью уравнений и схем. Ответ:\nB2 1.90 Найдите формулы для времён $t_1$ и $t_2$, в течение которых система находится на каждой из ветвей вольт-амперной характеристики во время периода колебаний. Определите их численные значения. Найдите численное значение периода колебаний $T$, полагая, что временем, необходимым для скачкообразного перехода между ветвями вольт-амперной характеристики, можно пренебречь. Что на верхней, что на нижней ветке ВАХ цепь ведёт аналогично $RC$-контуру с конденсатором ёмкостью $C$ и резистором с сопротивлением $\\dfrac{R_\\mathrm{on/off}R}{R_\\mathrm{on/off}+R}$ и источником напряжения с ЭДС:\\[U_\\mathrm{on/off}=\\frac{R_\\mathrm{on/off}}{R_\\mathrm{on/off}+R}\\mathcal E.\\]Таким образом, зависимость напряжения от времени на каждой из ветвей будет задаваться выражением:\\[U_\\mathrm X(t)=U_\\mathrm{on/off}+(U_\\mathrm{th/h}-U_\\mathrm{on/off})\\exp\\left[-\\dfrac{R_\\mathrm{on/off}+R}{R_\\mathrm{on/off}RC}t\\right].\\]Отсюда можно найти время, которое система провела на нижней ветви: Ответ: \n                    \n \\[t_\\mathrm{off}=\\dfrac{R_\\mathrm{off}R}{R_\\mathrm{off}+R}C\\ln\\frac{U_\\mathrm{off}-U_\\mathrm h}{U_\\mathrm{off}-U_\\mathrm{th}}=3.71\\cdot10^{-6}~с\\] А также время, которое система провела на верхней ветви: Ответ: \n                    \n \\[t_\\mathrm{on}=\\dfrac{R_\\mathrm{on}R}{R_\\mathrm{on}+R}C\\ln\\frac{U_\\mathrm{th}-U_\\mathrm {on}}{U_\\mathrm{h}-U_\\mathrm{on}}=2.41\\cdot10^{-6}~с\\] Период равен сумме этих времён:\\[T=t_\\mathrm{on}+t_{\\mathrm{off}}=6.12\\cdot10^{-6}~с\\] Ответ: \n                    \n \\[T=6.12\\cdot10^{-6}~с\\]\nB3 0.70 Оцените среднюю мощность $P$, рассеянную нелинейным элементом в течение одного колебания. Достаточно привести порядок величины. Поскольку напряжение на нижней ветви ВАХ намного меньше напряжения на верхней, в рамках оценки можно пренебречь потерями энергии на нижней ветви. При этом на верхней ветви потери можно примерно оценить, исходя из среднего арифметического напряжений $U_\\mathrm h$ и $U_\\mathrm{th}$:\\[E=\\frac{1}{R_\\mathrm{on}}\\left(\\frac{U_\\mathrm h+U_\\mathrm{th}}2\\right)^2t_\\mathrm{on}=1.18\\cdot10^{-4}~Дж.\\]Таким образом, мощность будет равна:\\[P\\sim\\frac{E}{T}=19.3~Вт\\] Ответ: \n                    \n \\[P\\sim20~Вт\\] Примечание. Точный расчёт даёт ответ:\\[P=17.29~Вт,\\]поэтому приведённая оценка довольно близка к правде.\nB4 0.60 Каково оптимальное значение $s$, если считать, что оно не может быть больше $1~ км$? Длина радиоволны равна $\\lambda=cT=1.82\\cdot10^3~м$. Оптимальную длину имеет антенна длиной $\\left(\\dfrac k2-\\dfrac14\\right)\\lambda,~k\\in\\mathbb N$ (на границе антенны – узел тока, в начале – пучность). Единственное оптимальное значение меньше $1~км$ – это $\\lambda/4=459~м$. Ответ: \n                    \n \\[\\lambda=459~м\\]\nC1 1.20 Схематически нарисуйте графики временной зависимости тока $I_\\mathrm X(t)$ через нелинейный элемент $\\mathrm X$ для $\\tau < \\tau_{\\text{crit}}$ и для $\\tau > \\tau_{\\text{crit}}$. При $\\tilde{\\mathcal E}=12.0~В$ стационарное состояние нелинейного элемента будет находиться на нижней ветви ВАХ. Равновесное напряжение будет равно:\\[\\tilde U=\\frac{R_{\\mathrm{off}}}{R+R_\\mathrm{off}}\\tilde{\\mathcal E}=9.23~В.\\]Когда напряжение возрастает до $\\mathcal E=15.0~В$, система движется вдоль нижней ветви ВАХ в сторону увеличения напряжения. Если система не достигает $U_\\mathrm{th}$ с моменту $\\tau$, она возвращается в исходное состояние по нижней ветви. Если система достигает $U_\\mathrm{th}$ до момента $\\tau$, она перескакивает на верхнюю ветвь ВАХ. Пока система находится на верхней ветви ВАХ, напряжение успевает вернуться к исходному (т.к. $\\tau < T$), и система возвращается в стационарное состояние, сделав одно колебание. Ответ: 1. Система приближается к новому стационарному состоянию.$\\\\$2. Система возвращается в исходное состояние. Ответ: 3. Система приближается к новому стационарному состоянию.$\\\\$4. Система при напряжении $U_\\mathrm{th}$ перескакивает на верхнюю ветвь ВАХ до момента времени $t_0+\\tau$.$\\\\$5. Система движется по верхней ветви ВАХ в сторону уменьшения напряжения.$\\\\$6. Система перепрыгивает на нижнюю ветвь ВАХ в точку с напряжением $U_\\mathrm h$, меньшим стационарного.$\\\\$7. Система возвращается в исходное состояние.\nC2 0.60 Найдите выражение для критического времени $\\tau_{\\text{crit}}$ и его численное значение, при котором происходит изменение поведения системы. Время, которое требуется системе для достижения критического напряжения $U_\\mathrm{th}$: Ответ: \n                    \n \\[\\tau_\\mathrm{crit}=\\frac{R_\\mathrm{off}R}{R_\\mathrm{off}+R}C\\ln\\frac{U_\\mathrm{off}-\\tilde U}{U_\\mathrm{off}-U_\\mathrm{th}}=9.36\\cdot10^{-7}~с\\]\nC3 0.20 Является ли схема нейристором при $\\tau = 1.00 \\cdot 10^{-6}~с$? Поскольку $\\tau > \\tau_\\mathrm{crit}$, система совершит колебание, то есть будет вести себя как нейристор. Ответ: \n                    \n Да, система является нейристором","shared":false}},{"id":"ipho-2005-t1","importedOn":"2026-10-28","language":"en","sources":[{"url":"https://www.ipho-new.org/download/549/","kind":"statement","archiveMember":"2005/IPhO_2005_Theo_question 1(pdf).pdf"},{"url":"https://www.ipho-new.org/download/549/","kind":"solution","archiveMember":"2005/IPhO_2005_Theo_solution 1(pdf).pdf"}],"statement":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/ipho-2005-t1-statement/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/ipho-2005-t1-statement/page-1.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2005-t1-statement/page-2.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2005-t1-statement/page-3.webp","width":982,"height":1389}],"text":"36th International Physics Olympiad. Salamanca (España) 2005 \n \nTh 1   Page 1 of 3 \nR.S.E.F. \nv\n∆\n0\nv \n0r\nF-1 \nm\n \nTh 1     AN ILL FATED SATELLITE \n \n \nThe most frequent orbital manoeuvres performed by spacecraft \nconsist of velocity variations along the direction of flight, namely \naccelerations to reach higher orbits or brakings done to initiate re-entering in \nthe atmosphere. In this problem we will study the orbital variations when the \nengine thrust is applied in a radial direction.  \nTo obtain numerical values use: Earth radius \nm\n10\n37\n6\n6\n⋅\n= .\nRT\n, \nEarth surface gravity \n2\nm/s\n81\n9.\ng =\n, and take the length of the sidereal day \nto be \nh\n0\n24\n0\n.\nT =\n. \nWe consider a geosynchronous1 communications satellite of mass m \nplaced in an equatorial circular orbit of radius \n0r . These satellites have an \n“apogee engine” which provides the tangential thrusts needed to reach the \nfinal orbit. \nMarks are indicated at the beginning of each subquestion, in parenthesis. \n \nQuestion 1 \n1.1 \n(0.3) Compute the numerical value of 0r . \n1.2 \n(0.3+0.1) Give the analytical expression of the velocity \n0\nv of the satellite as a function of g, \nT\nR , and \n0r , and \ncalculate its numerical value. \n1.3 \n(0.4+0.4) Obtain the expressions of its angular momentum \n0\nL and mechanical energy \n0\nE , as functions of \n0\nv , m, g \nand \nT\nR . \nOnce this geosynchronous circular orbit has been reached (see Figure F-1), the satellite \nhas been stabilised in the desired location, and is being readied to do its work, an error by the \nground controllers causes the apogee engine to be fired again. The thrust happens to be \ndirected towards the Earth and, despite the quick reaction of the ground crew to shut the \nengine off, an unwanted velocity variation \nv\n∆\n is imparted on the satellite. We characterize \nthis boost by the parameter \n0\nv\n/\nv\n∆\nβ =\n. The duration of the engine burn is always negligible \nwith respect to any other orbital times, so that it can be considered as instantaneous.  \n \nQuestion 2 \nSuppose \n1\n<\nβ\n. \n2.1 \n(0.4+0.5) Determine the parameters of the new orbit2, semi-latus-rectum l and eccentricity ε , in terms of 0r and β.  \n2.2 \n(1.0) Calculate the angle α between the major axis of the new orbit and the position vector at the accidental misfire. \n2.3 \n(1.0+0.2) Give the analytical expressions of the perigee \nmin\nr\n and apogee \nmax\nr\n distances to the Earth centre, as \nfunctions of 0r and β , and calculate their numerical values for \n4\n/\n1\n=\nβ\n. \n2.4 \n(0.5+0.2) Determine the period of the new orbit, T, as a function of \n0\nT and β, and calculate its numerical value for \n4\n/\n1\n=\nβ\n. \n                                                          \n1 Its revolution period is \n0\nT . \n2 See the “hint”. \nImage: ESA \n\n36th International Physics Olympiad. Salamanca (España) 2005 \n \nTh 1   Page 2 of 3 \nR.S.E.F. \n \n \nQuestion 3 \n3.1 \n(0.5) Calculate the minimum boost parameter, \nesc\nβ\n, needed for the satellite to escape Earth gravity. \n3.2 \n(1.0) Determine in this case the closest approach of the satellite to the Earth centre in the new trajectory, \nmin\nr′\n, as a \nfunction of 0r . \n \nQuestion 4 \nSuppose \nesc\nβ\nβ >\n. \n4.1 \n(1.0) Determine the residual velocity at the infinity, \n∞\nv , as a function of \n0\nv \nand β. \n4.2 \n(1.0) Obtain the “impact parameter” b of the asymptotic escape direction in \nterms of 0r and β. (See Figure F-2). \n4.3 \n(1.0+0.2) Determine the angle φ of the asymptotic escape direction in terms of \nβ. Calculate its numerical value for \nesc\nβ\nβ\n2\n3\n=\n . \n \n \n \n \nHINT \n \nUnder the action of central forces obeying the inverse-square law, bodies follow \ntrajectories described by ellipses, parabolas or hyperbolas. In the approximation m << M \nthe gravitating mass M is at one of the focuses. Taking the origin at this focus, the general \npolar equation of these curves can be written as (see Figure F-3) \n  \n( )\nθ\nε\nθ\ncos\nl\nr\n−\n=\n1\n   \n \n \nwhere l is a positive constant named the semi-latus-rectum and ε  is the eccentricity of the \ncurve. In terms of constants of motion: \n  \n2\n2\nm\nM\nG\nL\nl =\n \n  and \n2\n/\n1\n3\n2\n2\n2\n2\n1\n⎟\n⎟\n⎠\n⎞\n⎜\n⎜\n⎝\n⎛\n+\n=\nm\nM\nG\nL\nE\nε\n \nwhere G is the Newton constant, L is the modulus of the angular momentum of the orbiting mass, with respect to the origin, and E is its  \nmechanical energy, with zero potential energy at infinity. \n \nWe may have the following cases: \n \ni) \nIf \n1\n0\n<\n≤ε\n, the  curve is an ellipse (circumference for \n0\n=\nε\n).  \nii) \nIf \n1\n=\nε\n, the curve is a parabola. \niii) \nIf \n1\n>\nε\n, the curve is a hyperbola.  \nm \nM \nθ\nr \nF-3 \nφ \nv\n∆\n0\nv \n∞\nv\nb\n0r \nF-2 \n\n36th International Physics Olympiad. Salamanca (España) 2005 \n \nTh 1   Page 3 of 3 \nR.S.E.F. \n \nCOUNTRY CODE \nSTUDENT CODE \nPAGE NUMBER \nTOTAL No OF PAGES \n \n \n \n \n \n \n \nTh 1     ANSWER SHEET \n \n \n \nQuestion \nBasic formulas and \nideas used \nAnalytical results \nNumerical results \nMarking \nguideline \n1.1 \n \n \n=\n0r\n \n0.3 \n1.2 \n \n=\n0\nv\n \n=\n0\nv\n \n0.4 \n1.3 \n \n=\n0\nL\n \n \n=\n0\nE\n \n \n0.4 \n \n0.4 \n2.1 \n \n \n=\nl\n \n=\nε\n \n \n0.4 \n0.5 \n2.2 \n \n \n=\nα\n \n1.0 \n2.3 \n \n=\n=\nmin\nmax\nr\nr\n \n=\n=\nmin\nmax\nr\nr\n \n1.2 \n \n2.4 \n \n=\nT\n \n=\nT\n \n0.7 \n3.1 \n \n \n=\nesc\nβ\n \n0.5 \n3.2 \n \n=\n′min\nr\n \n \n1.0 \n4.1 \n \n=\n∞\nv\n \n \n1.0 \n4.2 \n \n=\nb\n \n \n1.0 \n4.3 \n \n=\nφ\n \n=\nφ\n \n1.2 \n \n \n","shared":false,"sourcePages":[1,2,3]},"solution":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/ipho-2005-t1-solution/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/ipho-2005-t1-solution/page-1.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2005-t1-solution/page-2.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2005-t1-solution/page-3.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2005-t1-solution/page-4.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2005-t1-solution/page-5.webp","width":982,"height":1389}],"text":"36th International Physics Olympiad. Salamanca (España) 2005 \n \nTh 1 Solution    Page 1 of 5 \nR.S.E.F. \n \nTh1     AN ILL FATED SATELLITE \nSOLUTION \n \n1.1 and 1.2 \n \n⎪⎪\n⎪\n⎩\n⎪⎪\n⎪\n⎨\n⎧\n⋅\n=\n⇒\n=\n⋅\n=\n⇒\n⎟⎟\n⎠\n⎞\n⎜⎜\n⎝\n⎛\n=\n⇒\n⎪\n⎪\n⎪\n⎪\n⎭\n⎪⎪\n⎪\n⎪\n⎬\n⎫\n=\n=\n=\nm/s\n10\n07\n3\nm\n10\n22\n4\n4\n2\n3\n0\n0\n0\n7\n0\n3\n1\n2\n2\n0\n2\n0\n2\n0\n0\n0\n0\n2\n0\n2\n0\n.\nv\nr\ng\nR\nv\n.\nr\nT\nR\ng\nr\nR\nGM\ng\nT\nr\nv\nr\nv\nm\nr\nm\nM\nG\nT\n/\nT\nT\nT\nT\nπ\nπ\n \n1.3 \n \n⇒\n=\n=\n0\n2\n0\n2\n0\n0\n0\nv\nm\nv\nR\ng\nv\nm\nr\nL\nT\n0\n2\n0\nv\nR\ng\nm\nL\nT\n=\n \n \n⇒\n−\n=\n−\n=\n−\n=\n2\n0\n2\n0\n0\n2\n2\n0\n0\n2\n0\n0\n2\n1\n2\n1\n2\n1\nmv\nmv\nr\nm\nR\ng\nmv\nr\nm\nM\nG\nmv\nE\nT\nT\n2\n0\n0\n2\n1 mv\nE\n−\n=\n \n2.1 \n \n \nThe value of the semi-latus-rectum l is obtained taking into account that the orbital angular momentum is the same \nin both orbits. That is \n \n \n⇒\n=\n=\n=\n=\n0\n2\n0\n2\n2\n2\n2\n0\n4\n2\n2\n2\n2\n0\n1\nr\nv\nR\ng\nm\nR\ng\nv\nR\ng\nm\nm\nM\nG\nL\nl\nT\nT\nT\nT\n0r\nl =\n \n \nThe eccentricity value is \n \n \n3\n2\n2\n2\n0\n2\n2\n1\nm\nM\nG\nL\nE\nT\n+\n=\nε\n \nwhere E is the new satellite mechanical energy \n \n \n(\n)\n2\n0\n2\n0\n2\n0\n2\n2\n0\n2\n1\n2\n1\n2\n1\n2\n1\nmv\nv\nm\nE\nv\nm\nr\nm\nM\nG\nv\nv\nm\nE\nT\n−\n∆\n=\n+\n∆\n=\n−\n∆\n+\n=\n \nthat is  \n \n \n(\n)1\n2\n1\n1\n2\n1\n2\n2\n0\n2\n0\n2\n2\n0\n−\n=\n⎟⎟\n⎠\n⎞\n⎜⎜\n⎝\n⎛\n−\n=\nβ\n∆\nmv\nv\nv\nmv\nE\n \nCombining both, one gets    \nβ\nε =\n \n \nThis is an elliptical trajectory because\n1\n<\n= β\nε\n. \n \n \n\n36th International Physics Olympiad. Salamanca (España) 2005 \n \nTh 1 Solution    Page 2 of 5 \nR.S.E.F. \n2.2 \n \nThe initial and final orbits cross at P, where the satellite engine fired instantaneously (see Figure 4). At this point \n \n \n(\n)\n⇒\n−\n=\n=\n=\nα\nβ\nα\nθ\ncos\n1\n0\n0\nr\nr\nr\n2\nπ\nα =\n \n2.3 \n \nFrom the trajectory expression one immediately obtains that \nthe maximum and minimum values of r correspond to \n0\n=\nθ\n and  \nπ\nθ =\n respectively (see Figure 4).  Hence, they are given by \n \n \nε\n−\n= 1\nl\nrmax\nε\n+\n= 1\nl\nrmin\n \nthat is \n \n \nβ\n−\n= 1\n0\nmax\nr\nr\n    and \nβ\n+\n= 1\n0\nmin\nr\nr\n \n \nFor\n4\n/\n1\n=\nβ\n, one gets \n \n \nm\n10\n38\n3\nm;\n10\n63\n5\n7\n7\n⋅\n=\n⋅\n=\n.\nr\n.\nr\nmin\nmax\n \nThe distances max\nr\n and min\nr\n can also be obtained from mechanical energy and angular momentum conservation, \ntaking into account that rr and vr are orthogonal at apogee and at perigee  \n \n(\n)\nr\nv\nm\nv\nmgR\nL\nr\nm\ngR\nmv\nmv\nE\nT\nT\n=\n=\n−\n=\n−\n=\n0\n2\n0\n2\n2\n2\n2\n0\n2\n1\n1\n2\n1\nβ\n \nWhat remains of them, after eliminating v, is a second-degree equation whose solutions are max\nr\n and min\nr\n. \n2.4 \n \nBy the Third Kepler Law, the period T in the new orbit satisfies that \n \n \n3\n0\n2\n0\n3\n2\nr\nT\na\nT\n=\n  \nwhere a, the semi-major axis of the ellipse, is given by \n \n \n2\n0\n1\n2\nβ\n−\n=\n+\n=\nr\nr\nr\na\nmin\nmax\n \n \nTherefore \n \n \n(\n)\n2\n/\n3\n2\n0 1\n−\n−\n=\nβ\nT\nT\n   \n \n \n \nFor β = 1/4 \nh\n4\n26\n16\n15\n2\n3\n0\n.\nT\nT\n/\n=\n⎟\n⎠\n⎞\n⎜\n⎝\n⎛\n=\n−\n \n2\nπ\nα =\n \nmin\nr\nmax\nr\nvr\n∆\n \n0\nvr\nP \n0r\nFigure 4 \n\n36th International Physics Olympiad. Salamanca (España) 2005 \n \nTh 1 Solution    Page 3 of 5 \nR.S.E.F. \n3.1 \n \nOnly if the satellite follows an open trajectory it can escape from the Earth gravity attraction. Then, the orbit \neccentricity has to be equal or larger than one. The minimum boost corresponds to a parabolic trajectory, with ε = 1 \n \n \nβ\nε =\n \n⇒ \n1\n=\nesc\nβ\n \n \nThis can also be obtained by using that the total satellite energy has to be zero to reach infinity (Ep = 0) without \nresidual velocity (Ek = 0) \n \n \n(\n)\n0\n1\n2\n1\n2\n2\n0\n=\n−\n=\nesc\nmv\nE\nβ\n ⇒ \n1\n=\nesc\nβ\n \n \nThis also arises from \n∞\n=\nT\n or from \n∞\n=\nmax\nr\n. \n3.2 \n \nDue to \n1\n=\n=\nesc\nβ\nε\n, the polar parabola equation is  \n \n \nθ\ncos\n1−\n=\nl\nr\n \nwhere the semi-latus-rectum continues to be \n0r\nl =\n. The minimum Earth - satellite distance corresponds to \nπ\nθ =\n, where \n \n \n \n2\n0r\nrmin =\n′\n \n \n \nThis also arises from energy conservation (for E = 0) and from the equality between the angular momenta (L0) at the \ninitial point P and at maximum approximation, where  rr and vr are orthogonal. \n4.1 \n \nIf the satellite escapes to infinity with residual velocity\n∞\nv , by energy conservation \n \n \n(\n)\n2\n2\n2\n0\n2\n1\n1\n2\n1\n∞\n=\n−\n=\nmv\nmv\nE\nβ\n \n⇒ \n \n \n(\n)\n2\n/\n1\n2\n0\n1\n−\n=\n∞\nβ\nv\nv\n \n4.2 \n \nAs \n1\n=\n>\n=\nesc\nβ\nβ\nε\n the satellite trajectory will be a hyperbola. \n \nThe satellite angular momentum is the same at P than at the point \nwhere its residual velocity is \n∞\nv (Figure 5), thus \n \n \nb\nv\nm\nr\nv\nm\n∞\n=\n0\n0\n \n \nSo \n \n \n⇒\n=\n∞\nv\nv\nr\nb\n0\n0\n(\n)\n2\n/\n1\n2\n0\n1\n−\n−\n=\nβ\nr\nb\n \n \n \nφ \nv\n∆\n \n0\nv \n∞\nv\nAsymptote \nAsymptote \nb \nFigure 5 \nasym\nθ\nasym\nθ\nasym\nθ\n0r\nP \n\n36th International Physics Olympiad. Salamanca (España) 2005 \n \nTh 1 Solution    Page 4 of 5 \nR.S.E.F. \n4.3  \n \nThe angle between each asymptote and the hyperbola axis is that appearing in its polar equation in the limit\n∞\n→\nr\n. \nThis is the angle for which the equation denominator vanishes  \n \n \n⇒\n=\n−\n0\ncos\n1\nasym\nθ\nβ\n⎟⎟\n⎠\n⎞\n⎜⎜\n⎝\n⎛\n=\n−\nβ\nθ\n1\ncos 1\nasym\n \n \nAccording to Figure 5  \n \n \n⇒\n+\n=\nasym\nθ\nπ\nφ\n2\n⎟⎟\n⎠\n⎞\n⎜⎜\n⎝\n⎛\n+\n=\n−\nβ\nπ\nφ\n1\ncos\n2\n1\n \n \nFor   \n2\n3\n2\n3\n=\n=\nesc\nβ\nβ\n,  one gets    \nrad\n41\n2\n138\n.\nº =\n=\nφ\n \n\n36th International Physics Olympiad. Salamanca (España) 2005 \n \nTh 1 Solution    Page 5 of 5 \nR.S.E.F. \n \n \nTh 1     ANSWER SHEET \n \n \n \n \nQuestion \nBasic formulas and     \nideas used \nAnalytical results \nNumerical results \nMarking \nguideline \n1.1 \n \nm\n10\n22\n.4\n7\n0\n⋅\n=\nr\n \n0.3 \n1.2 \n2\n0\n0\n0\n0\n2\n0\n2\n0\n2\nT\nT\nT\nR\nGM\ng\nT\nr\nv\nr\nv\nm\nr\nm\nM\nG\n=\n=\n=\nπ\n \n0\n0\nr\ng\nR\nv\nT\n=\n \nm/s\n10\n07\n.3\n3\n0\n⋅\n=\nv\n \n0.3 + 0.1 \n \n1.3 \nr\nMm\nG\nmv\nE\nv\nr\nm\nL\n−\n=\n×\n=\n2\n2\n1\nr\nr\nr\n \n0\n2\n0\nv\nmgR\nL\nT\n=\n \n2\n0\n0\n2\n1 mv\nE\n−\n=\n \n \n0.4 \n \n0.4 \n2.1 \n \n0r\nl =\n \nβ\nε =\n \n \n0.4 \n0.5 \n2.2 \n \nHint on the conical curves \n \n2\nπ\nα =\n \n1.0 \n \n2.3 \nResults of 2.1,  or \nconservation of E and L \nβ\nβ\n+\n=\n−\n=\n1\n1\n0\n0\nr\nr\nr\nr\nmin\nmax\n \nm\n10\n38\n.3\nm\n10\n63\n.5\n7\nmin\n7\nmax\n⋅\n=\n⋅\n=\nr\nr\n \n1.0 + 0.2 \n \n2.4 \nThird Kepler's Law \n(\n)\n2\n/\n3\n2\n0 1\n−\n−\n=\nβ\nT\nT\n \nh\n4.\n26\n=\nT\n \n0.5 + 0.2 \n3.1 \nε = 1,  E = 0,  T = ∞  or \n rmax = ∞ \n \n1\n=\nesc\nβ\n \n0.5 \n3.2 \nε = 1 and results of 2.1 \n2\n0r\nrmin =\n′\n \n \n1.0 \n4.1 \nConservation of E \n(\n)\n2\n/\n1\n2\n0\n1\n−\n=\n∞\nβ\nv\nv\n \n \n1.0 \n4.2 \nConservation of L \n(\n)\n2\n/\n1\n2\n0\n1\n−\n−\n=\nβ\nr\nb\n \n \n1.0 \n4.3 \nHint on the conical curves \n⎟⎟\n⎠\n⎞\n⎜⎜\n⎝\n⎛\n+\n=\n−\nβ\nπ\nφ\n1\ncos\n2\n1\n \nrad\n41\n.2\nº\n138 =\n=\nφ\n \n1.0 + 0.2 \n \n \n \n","shared":false,"sourcePages":[1,2,3,4,5]}},{"id":"ipho-2015-t1","importedOn":"2026-10-28","language":"en","sources":[{"url":"https://www.ipho-new.org/download/668/","kind":"statement"},{"url":"https://www.ipho-new.org/download/668/","kind":"solution"}],"statement":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/ipho-2015-t1-statement/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/ipho-2015-t1-statement/page-1.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2015-t1-statement/page-2.webp","width":982,"height":1389}],"text":" \n \nPage 1 of 2 \nT-1 \nQ \n \nParticles from the Sun1 \n(Total Marks: 10) \n \nPhotons from the surface of the Sun and neutrinos from its core can tell us about solar temperatures and also \nconfirm that the Sun shines because of nuclear reactions. \nThroughout this problem, take the mass of the Sun to be                , its radius,         \n     , its luminosity (radiation energy emitted per unit time),               , and the Earth-Sun \ndistance,               . \nNote: \n   ∫       ( \n   \n  )              \n    ∫        (  \n    \n    \n  )              \n     ∫        (  \n     \n     \n    \n  )              \n \nA Radiation from the sun : \n \nA1 \nAssume that the Sun radiates like a perfect blackbody. Use this fact to calculate the temperature,   , of the \nsolar surface. \n0.3 \n \nThe spectrum of solar radiation can be approximated well by the Wien distribution law. Accordingly, the \nsolar energy incident on any surface on the Earth per unit time per unit frequency interval,     , is given by \n        \n \n  \n \n   \n                   \nwhere   is the frequency and    is the area of the surface normal to the direction of the incident radiation. \nNow, consider a solar cell which consists of a thin disc of semiconducting material of area,  , placed \nperpendicular to the direction of the Sun’  rays. \n \nA2 \nUsing the Wien approximation, express the total radiated solar power,    , incident on the surface of the \nsolar cell, in terms of  ,   ,   ,    and the fundamental constants  ,  ,   . \n0.3 \nA3 \nExpress the number of photons,      , per unit time per unit frequency interval incident on the surface of \nthe solar cell in terms of  ,   ,   ,   ,   and the fundamental constants  ,  ,   . \n0.2 \n \nTh         du          r  l  f  h    l r   ll h     “b  d    ”  f    r y,   . We assume the following \nmodel.  Every photon of energy      excites an electron across the band gap. This electron contributes an \nenergy,   , as the useful output energy, and any extra energy is dissipated as heat (not converted to useful \nenergy). \n \nA4 \nDefine             where       . Express the useful output power of the cell,   u , in terms of   ,  , \n  ,   ,    and the fundamental constants  ,  ,   . \n1.0 \nA5 \nExpress the efficiency,  , of this solar cell in terms of    . \n0.2 \nA6 \nMake a qualitative sketch of   versus   . The values at       and       should be clearly shown. What \nis the slope of       at       and      ? \n1.0 \nA7 \nLet    be the value of     for which   is maximum. Obtain the cubic equation that gives   . Estimate the \nvalue of    within an accuracy of       . Hence calculate      . \n1.0 \nA8 \nThe band gap of pure silicon is           . Calculate the efficiency,    , of a silicon solar cell using this \nvalue. \n0.2 \n                                                 \n1 Amol Dighe (TIFR), Anwesh Mazumdar (HBCSE-TIFR) and  Vijay A. Singh  (ex-National Coordinator, Science Olympiads) \nwere the principal authors of this problem. The contributions of the Academic Committee, Academic Development Group and the \nInternational Board are gratefully acknowledged. \n\n \n \nPage 2 of 2 \nT-1 \nQ \nIn the late nineteenth century, Kelvin and Helmholtz (KH) proposed a hypothesis to explain how the Sun \nshines. They postulated that starting as a very large cloud of matter of mass,   , and negligible density, the \nSun has been shrinking continuously. The shining of the Sun would then be due to the release of \ngravitational potential energy through this slow contraction. \nA9 \nLet us assume that the density of matter is uniform inside the Sun. Find the total gravitational potential \nenergy,  , of the Sun at present, in terms of G,    and   . \n0.3 \nA10 Estimate the maximum possible time,     (in years), for which the Sun could have been shining, according \nto the KH hypothesis. Assume that the luminosity of the Sun has been constant throughout this period. \n0.5 \n \nThe     calculated above does not match the age of the solar system estimated from studies of meteorites. \nThis shows that the energy source of the Sun cannot be purely gravitational. \n \nB Neutrinos from the Sun : \nIn 1938, Hans Bethe proposed that nuclear fusion of hydrogen into helium in the core of the Sun is the source \nof its energy. The net nuclear reaction is: \n                 \n \n \n \nTh  “ l   r     u r    ”,   , produced in this reaction may be taken to be massless. They escape  the Sun \nand their detection  on the  Earth  confirms  the  occurrence  of  nuclear  reactions  inside the  Sun. Energy carried \naway by the neutrinos can be neglected in this problem. \n \nB1 \nCalculate the flux density,   , of the number of neutrinos arriving at the Earth, in units of          The \nenergy released in the above reaction is               . Assume that the energy radiated by the Sun is \nentirely due to this reaction.  \n0.6 \n \nTravelling from the core of the Sun to the Earth, some of the electron neutrinos,   , are converted to other \ntypes of neutrinos,   . The efficiency of the detector for detecting    is 1/6 of its efficiency for detecting   . \nIf there is no neutrino conversion, we expect to detect an average of    neutrinos in a year. However, due to \nthe conversion, an average of    neutrinos (   and    combined) are actually detected per year. \n \nB2 \nIn terms of     and   , calculate what fraction,   , of    is converted to   . \n0.4 \n \nIn order to detect neutrinos, large detectors filled with water are constructed. Although the interactions of \nneutrinos with matter are very rare, occasionally they knock out electrons from water molecules in the \ndetector. These energetic electrons move through water at high speeds, emitting electromagnetic radiation \nin the process. As long as the speed of such an electron is greater than the speed of light in water (refractive \nindex,  ), this radiation, called Cherenkov radiation, is emitted in the shape of a cone. \n \nB3 \nAssume that an electron knocked out by a neutrino loses energy at a constant rate of   per unit time, while it \ntravels through water. If this electron emits Cherenkov radiation for a time,   , determine the energy \nimparted to this electron (     r  d  by the neutrino, in terms of  ,   , n,    and  . (Assume the electron to \nbe at rest before its interaction with the neutrino.) \n2.0 \n \nThe fusion of H into He inside the Sun takes place in several steps. Nucleus of \n  \n \n (rest mass,    ) is \nproduced in one of these intermediate steps. Subsequently, it can absorb an electron, producing \na   \n \nnucleus (rest mass,     <    ) and emitting a   . The corresponding nuclear reaction is: \n        \n       \n \n \n \n \n \nWhen a Be nucleus                      is at rest and absorbs an electron also at rest, the emitted \nneutrino has energy                . However, the    nuclei are in random thermal motion due to the \ntemperature    at the core of the Sun, and act as moving neutrino sources. As a result, the energy of emitted \nneutrinos fluctuates with a root mean square (rms) value      . \n \nB4 \nIf      =           , calculate the rms speed of the Be nuclei,    , and hence estimate   . (Hint:       \ndepends on the rms value of the component of velocity along the line of sight). \n2.0 \n \n","shared":false,"sourcePages":[1,2]},"solution":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/ipho-2015-t1-solution/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/ipho-2015-t1-solution/page-1.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2015-t1-solution/page-2.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2015-t1-solution/page-3.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2015-t1-solution/page-4.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2015-t1-solution/page-5.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2015-t1-solution/page-6.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2015-t1-solution/page-7.webp","width":982,"height":1389}],"text":"Theoretical Task 1 (T-1) : Solutions\n1 of 7\nParticles from the Sun1\nPhotons from the surface of the Sun and neutrinos from its core can tell us about solar temperatures\nand also confirm that the Sun shines because of nuclear reactions.\nThroughout this problem, take the mass of the Sun to be M⊙= 2.00 × 1030 kg, its radius, R⊙=\n7.00 × 108 m, its luminosity (radiation energy emitted per unit time), L⊙= 3.85 × 1026 W, and the\nEarth-Sun distance, d⊙= 1.50 × 1011 m.\nNote:\n(i)\nZ\nxeaxdx =\n\u0012x\na −1\na2\n\u0013\neax + constant\n(ii)\nZ\nx2eaxdx =\n\u0012x2\na −2x\na2 + 2\na3\n\u0013\neax + constant\n(iii)\nZ\nx3eaxdx =\n\u0012x3\na −3x2\na2 + 6x\na3 −6\na4\n\u0013\neax + constant\nA. Radiation from the Sun :\n(A1) Assume that the Sun radiates like a perfect blackbody. Use this fact to calculate the temperature,\nTs , of the solar surface.\n[0.3]\nSolution:\nStefan’s law: L⊙= (4πR2\n⊙)(σT 4\ns )\nTs =\n\u0012\nL⊙\n4πR2\n⊙σ\n\u00131/4\n= 5.76 × 103 K\nThe spectrum of solar radiation can be approximated well by the Wien distribution law. Accordingly,\nthe solar energy incident on any surface on the Earth per unit time per unit frequency interval, u(ν),\nis given by\nu(ν) = A R2\n⊙\nd2\n⊙\n2πh\nc2 ν3 exp(−hν/kBTs),\nwhere A is the area of the surface normal to the direction of the incident radiation.\nNow, consider a solar cell which consists of a thin disc of semiconducting material of area, A, placed\nperpendicular to the direction of the Sun’s rays.\n(A2) Using the Wien approximation, express the total power, Pin, incident on the surface of the solar\ncell, in terms of A, R⊙, d⊙, Ts and the fundamental constants c, h, kB.\n[0.3]\n1Amol Dighe (TIFR), Anwesh Mazumdar (HBCSE-TIFR) and Vijay A. Singh (ex-National Coordinator, Science\nOlympiads) were the principal authors of this problem. The contributions of the Academic Committee, Academic De-\nvelopment Group and the International Board are gratefully acknowledged.\n\nTheoretical Task 1 (T-1) : Solutions\n2 of 7\nSolution:\nPin =\nZ ∞\n0\nu(ν)dν =\nZ ∞\n0\nA R2\n⊙\nd2\n⊙\n2πh\nc2 ν3 exp(−hν/kBTs)dν\nLet x = hν\nkBTs\n. Then, ν = kBTs\nh x\ndν = kBTs\nh dx.\nPin = 2πhAR2\n⊙\nc2d2\n⊙\n(kBTs)4\nh4\nZ ∞\n0\nx3e−xdx = 2πk4\nB\nc2h3 Ts\n4 A R2\n⊙\nd2\n⊙\n· 6 = 12πk4\nB\nc2h3 Ts\n4 A R2\n⊙\nd2\n⊙\n(A3) Express the number of photons, nγ(ν), per unit time per unit frequency interval incident on the\nsurface of the solar cell in terms of A, R⊙, d⊙, Ts ν and the fundamental constants c, h, kB.\n[0.2]\nSolution:\nnγ(ν)\n=\nu(ν)\nhν\n=\nA R2\n⊙\nd2\n⊙\n2π\nc2 ν2 exp(−hν/kBTs)\nThe semiconducting material of the solar cell has a “band gap” of energy, Eg. We assume the follow-\ning model. Every photon of energy E ≥Eg excites an electron across the band gap. This electron\ncontributes an energy, Eg , as the useful output energy, and any extra energy is dissipated as heat (not\nconverted to useful energy).\n(A4) Define xg = hνg/kBTs where Eg = hνg. Express the useful output power of the cell, Pout, in\nterms of xg, A, R⊙, d⊙, Ts and the fundamental constants c, h, kB.\n[1.0]\nSolution:\nThe useful power output is the useful energy quantum per photon, Eg ≡hνg, multiplied by\nthe number of photons with energy, E ≥Eg.\nPout\n=\nhνg\nZ ∞\nνg\nnγ(ν)dν\n=\nhνg A R2\n⊙\nd2\n⊙\n2π\nc2\nZ ∞\nνg\nν2 exp(−hν/kBTs)dν\n=\nkBTsxg A R2\n⊙\nd2\n⊙\n2π\nc2\n\u0012kBTs\nh\n\u00133 Z ∞\nxg\nx2e−xdx\n=\n2πk4\nB\nc2h3 Ts\n4 A R2\n⊙\nd2\n⊙\nxg(x2\ng + 2xg + 2)e−xg\n(A5) Express the efficiency, η, of this solar cell in terms of xg.\n[0.2]\n\nTheoretical Task 1 (T-1) : Solutions\n3 of 7\nSolution:\nEfficiency η = Pout\nPin\n= xg\n6 (x2\ng + 2xg + 2)e−xg\n(A6) Make a qualitative sketch of η versus xg. The values at xg = 0 and xg →∞should be clearly\nshown. What is the slope of η(xg) at xg = 0 and xg →∞?\n[1.0]\nSolution:\nη = 1\n6 (x3\ng + 2x2\ng + 2xg)e−xg\nPut limiting values, η(0) = 0\nη(∞) = 0.\nSince the polynomial has all positive coefficients, it increases monotonically; the exponential\nfunction decreases monotonically. Therefore, η has only one maximum.\ndη\ndxg\n= 1\n6(−x3\ng + x2\ng + 2xg + 2)e−xg\ndη\ndxg\n\f\f\f\f\nxg=0\n= 1\n3\ndη\ndxg\n\f\f\f\f\nxg→∞\n= 0\nxg\nη\n(A7) Let x0 be the value of xg for which η is maximum. Obtain the cubic equation that gives x0.\nEstimate the value of x0 within an accuracy of ±0.25. Hence calculate η(x0).\n[1.0]\nSolution:\nThe maximum will be for dη\ndxg\n= 1\n6(−x3\ng + x2\ng + 2xg + 2)e−xg = 0\n⇒p(xg) ≡x3\ng −x2\ng −2xg −2 = 0\nA Numerical Solution by the Bisection Method:\nNow,\np(0)\n=\n−2\np(1)\n=\n−4\np(2)\n=\n−2\np(3)\n=\n10\n⇒\n2 < x0 < 3\np(2.5)\n=\n2.375\n⇒\n2 < x0 < 2.5\np(2.25)\n=\n−0.171\n⇒\n2.25 < x0 < 2.5\nThe approximate value of xg where η is maximum is x0 = 2.27.\n\nTheoretical Task 1 (T-1) : Solutions\n4 of 7\nAlternative methods leading to the same result are acceptable.\nη(2.27) = 0.457\n(A8) The band gap of pure silicon is Eg = 1.11 eV. Calculate the efficiency, ηSi, of a silicon solar cell\nusing this value.\n[0.2]\nSolution:\nxg = 1.11 × 1.60 × 10−19\n1.38 × 10−23 × 5763 = 2.23\nηSi = xg\n6 (x2\ng + 2xg + 2)e−xg = 0.457\nIn the late nineteenth century, Kelvin and Helmholtz (KH) proposed a hypothesis to explain how the\nSun shines. They postulated that starting as a very large cloud of matter of mass, M⊙, and negligible\ndensity, the Sun has been shrinking continuously. The shining of the Sun would then be due to the\nrelease of gravitational energy through this slow contraction.\n(A9) Let us assume that the density of matter is uniform inside the Sun. Find the total gravitational\npotential energy, Ω, of the Sun at present, in terms of G, M⊙and R⊙.\n[0.3]\nSolution:\nThe total gravitational potential energy of the Sun: Ω= −\nZ M⊙\n0\nGm dm\nr\nFor constant density, ρ = 3M⊙\n4πR3\n⊙\nm = 4\n3πr3ρ\ndm = 4πr2ρdr\nΩ= −\nZ R⊙\n0\nG\n\u00124\n3πr3ρ\n\u0013 \u00004πr2ρ\n\u0001 dr\nr = −16π2Gρ2\n3\nR5\n⊙\n5\n= −3\n5\nGM 2\n⊙\nR⊙\n(A10) Estimate the maximum possible time τKH (in years), for which the Sun could have been shin-\ning, according to the KH hypothesis. Assume that the luminosity of the Sun has been constant\nthroughout this period.\n[0.5]\nSolution:\nτKH = −Ω\nL⊙\nτKH = 3GM 2\n⊙\n5R⊙L⊙\n= 1.88 × 107years\nThe τKH calculated above does not match the age of the solar system estimated from studies of mete-\norites. This shows that the energy source of the Sun cannot be purely gravitational.\n\nTheoretical Task 1 (T-1) : Solutions\n5 of 7\nB. Neutrinos from the Sun:\nIn 1938, Hans Bethe proposed that nuclear fusion of hydrogen into helium in the core of the Sun is\nthe source of its energy. The net nuclear reaction is:\n41H −→4He + 2e+ + 2νe\nThe “electron neutrinos”, νe, produced in this reaction may be taken to be massless. They escape the\nSun and their detection on Earth confirms the occurrence of nuclear reactions inside the Sun. Energy\ncarried away by the neutrinos can be neglected in this problem.\n(B1) Calculate the flux density, Φν, of the number of neutrinos arriving at the Earth, in units of\nm−2 s−1. The energy released in the above reaction is ∆E = 4.0 × 10−12 J. Assume that the\nenergy radiated by the Sun is almost entirely due to this reaction.\n[0.6]\nSolution:\n4.0 × 10−12 J ↔2ν\n⇒Φν =\nL⊙\n4πd2\n⊙δE × 2 =\n3.85 × 1026\n4π × (1.50 × 1011)2 × 4.0 × 10−12 × 2 = 6.8 × 1014 m−2 s−1.\nTravelling from the core of the Sun to the Earth, some of the electron neutrinos, νe, are converted to\nother types of neutrinos, νx. The efficiency of the detector for detecting νx is 1/6th of its efficiency\nfor detecting νe. If there is no neutrino conversion, we expect to detect an average of N1 neutrinos in\na year. However, due to the conversion, an average of N2 neutrinos (νe and νx combined) are actually\ndetected per year.\n(B2) In terms of N1 and N2, calculate what fraction, f, of νe is converted to νx.\n[0.4]\nSolution:\nN1\n=\nϵN0\nNe\n=\nϵN0(1 −f)\nNx\n=\nϵN0f/6\nN2\n=\nNe + Nx\nOR\n(1 −f)N1 + f\n6N1 = N2\n⇒f = 6\n5\n\u0012\n1 −N2\nN1\n\u0013\n\nTheoretical Task 1 (T-1) : Solutions\n6 of 7\nIn order to detect neutrinos, large detectors filled with water are constructed. Although the interactions\nof neutrinos with matter are very rare, occasionally they knock out electrons from water molecules in\nthe detector. These energetic electrons move through water at high speeds, emitting electromagnetic\nradiation in the process. As long as the speed of such an electron is greater than the speed of light\nin water (refractive index, n), this radiation, called Cherenkov radiation, is emitted in the shape of a\ncone.\n(B3) Assume that an electron knocked out by a neutrino loses energy at a constant rate of α per\nunit time, while it travels through water. If this electron emits Cherenkov radiation for a time\n∆t, determine the energy imparted to this electron (Eimparted) by the neutrino, in terms of\nα, ∆t, n, me, c. (Assume the electron to be at rest before its interaction with the neutrino.)\n[2.0]\nSolution:\nWhen the electron stops emitting Cherenkov radiation, its speed has reduced to vstop = c/n.\nIts total energy at this time is\nEstop =\nmec2\nq\n1 −v2\nstop/c2 =\nnmec2\n√\nn2 −1\nThe energy of the electron when it was knocked out is\nEstart = α∆t + nmec2\n√\nn2 −1\nBefore interacting, the energy of the electron was equal to mec2.\nThus, the energy imparted by the neutrino is\nEimparted = Estart −mec2 = α∆t +\n\u0012\nn\n√\nn2 −1 −1\n\u0013\nmec2\nThe fusion of H into He inside the Sun takes place in several steps. Nucleus of 7Be (rest mass, mBe)\nis produced in one of these intermediate steps. Subsequently, it can absorb an electron, producing a\n7Li nucleus (rest mass mLi < mBe) and emitting a νe. The corresponding nuclear reaction is:\n7Be + e−−→7Li + νe .\nWhen a Be nucleus (mBe = 11.65×10−27 kg) is at rest and absorbs an electron also at rest, the emitted\nneutrino has energy Eν = 1.44 × 10−13 J. However, the Be nuclei are in random thermal motion due\nto the temperature Tc at the core of the Sun, and act as moving neutrino sources. As a result, the\nenergy of emitted neutrinos fluctuates with a root mean square value ∆Erms.\n(B4) If ∆Erms = 5.54 × 10−17 J, calculate the rms speed of the Be nuclei, VBe and hence estimate Tc.\n(Hint: ∆Erms depends on the rms value of the component of velocity along the line of sight.)\n[2.0]\n\nTheoretical Task 1 (T-1) : Solutions\n7 of 7\nSolution:\nMoving 7Be nuclei give rise to Doppler effect for neutrinos. Since the fractional change\nin energy (∆Erms/Eν ∼10−4) is small, the Doppler shift may be considered in the non-\nrelativistic limit (a relativistic treatment gives almost same answer). Taking the line of sight\nalong the z-direction,\n∆Erms\nEν\n=\nvz,rms\nc\n=\n3.85 × 10−4\n= 1\n√\n3\nVBe\nc\n⇒VBe =\n√\n3 × 3.85 × 10−4 × 3.00 × 108 m s−1 = 2.01 × 105 m s−1.\nThe average temperature is obtained by equating the average kinetic energy to the thermal\nenergy.\n1\n2mBeV 2\nBe = 3\n2kBTc\n⇒\nTc = 1.13 × 107 K\n","shared":false,"sourcePages":[1,2,3,4,5,6,7]}},{"id":"ipho-2015-t2","importedOn":"2026-10-28","language":"en","sources":[{"url":"https://www.ipho-new.org/download/668/","kind":"statement","archiveMember":"IPhO2015- Mumbai/Theory/T2-Questions.pdf"},{"url":"https://www.ipho-new.org/download/668/","kind":"solution","archiveMember":"IPhO2015- Mumbai/Theory/T2-Solutions.pdf"}],"statement":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/ipho-2015-t2-statement/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/ipho-2015-t2-statement/page-1.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2015-t2-statement/page-2.webp","width":982,"height":1389}],"text":" \n \nPage 1 of 2 \nT-2 \nQ \n \nThe Extremum Principle1 \n(Total Marks: 10) \nA The Extremum Principle in Mechanics \nConsider a horizontal frictionless     plane shown in Fig. 1. It is \ndivided into two regions, I and II, by a line AB satisfying the \nequation     . The potential energy of a point particle of mass   in \nregion I is     while it is      in region II. The particle is sent \nfrom the origin O with speed    along a line making an angle    with \nthe x-axis. It reaches point P in region II traveling with speed    along a \nline that makes an angle    with the x-axis. Ignore gravity and \nrelativistic effects in this entire task T-2 (all parts). \n \nA1 \nObtain an expression for    in terms of  ,    and   . \n0.2 \nA2 \nExpress    in terms of   ,   and   . \n0.3 \n \nWe define a quantity called action    ∫      , where    is the infinitesimal length along the trajectory \nof a particle of mass   moving with speed     . The integral is taken over the path. As an example, for a \nparticle moving with constant speed   on a circular path of radius  , the action   for one revolution will be \n     . For a particle with constant energy  , it can be shown that of all the possible trajectories between \ntwo fixed points, the actual trajectory is the one on which   defined above is an extremum (minimum or \nmaximum). Historically this is known as the Principle of Least Action (PLA). \n \nA3 \nPLA implies that the trajectory of a particle moving between two fixed points in a region of constant \npotential will be a straight line. Let the two fixed points   and   in Fig. 1 have coordinates       and \n        respectively and the boundary point where the particle transits from region I to region II have \ncoordinates         Note that    is fixed and the action depends on the coordinate   only.  State the \nexpression for the action     . Use PLA to obtain the relationship between       and these coordinates. \n1.0 \nB The Extremum Principle in Optics \nA light ray travels from medium I to medium II with refractive indices \n   and    respectively. The two media are separated by a line parallel to \nthe x-axis. The light ray makes an angle    with the y-axis in medium I \nand    in medium II (see Fig. 2). To obtain the trajectory of the ray, we \nmake use of another extremum (minimum or maximum) principle known \nas Fermat’s principle of least time.  \n \nB1 \nThe principle states that between two fixed points, a light ray moves along a path such that time taken \nbetween the two points is an extremum. Derive the relation between        and        on the basis of \nFermat’s principle. \n0.5 \n \nShown in Fig. 3 is a schematic sketch of the path of a laser beam incident \nhorizontally on a solution of sugar in which the concentration of sugar \ndecreases with height. As a consequence, the refractive index of the \nsolution also decreases with height. \n \n \nB2 \nAssume that the refractive index      depends only on  . Use the equation obtained in B1 to obtain the \nexpression for the slope       of the beam’s path in terms of refractive index    at     and     . \n1.5 \nB3 \nThe laser beam is directed horizontally from the origin       into the sugar solution at a height    from the \nbottom of the tank as shown in figure 3. Take            where    and   are positive constants. \nObtain an expression for   in terms of   and related quantities for the actual trajectory of the laser beam. \n1.2 \n                                                 \n1 Manoj Harbola (IIT-Kanpur) and Vijay A. Singh  (ex-National Coordinator, Science Olympiads) were the principal \nauthors of this problem. The contributions of the Academic Committee, Academic Development Group and the \nInternational Board are gratefully acknowledged. \nFigure 2 \nFigure 1 \nFigure 3: Tank of Sugar Solution \n  \n𝜃  \n𝑦 \n𝑥  \n𝑥 \n× \nI \nII \nA \n𝛼 \nB \n𝜃  \n  \n𝑉   \n𝑉 𝑉  \n 𝑥   𝑦   \n      \n𝑥 \n𝑦 \n  \n𝜃  \n𝑦 \n𝑥  \n𝑥 \n× \nI \nII \nA \n𝛼 \nB \n𝜃  \n  \n𝑉   \n𝑉 𝑉  \n  \n 𝑥  𝑦   \n𝑖 \n𝑖  \n𝑛  \n𝑛  \n𝛼 \n𝑦 \n𝑥 \n  \nI \nII \n\n \n \nPage 2 of 2 \nT-2 \nQ \nYou may use: ∫                     constant,  where           \n⁄\n   or \n    ∫\n  \n√       (  √    )           \nB4 \nObtain the value of   , the point where the beam meets the bottom of the tank. Take         cm, \n       ,         cm   (1 cm = 10-2 m). \n0.8 \n \nC The Extremum Principle and the Wave Nature of Matter \nWe now explore the connection between the PLA and the wave nature of a moving particle. For this we \nassume that a particle moving from   to   can take all possible trajectories and we will seek a trajectory \nthat depends on the constructive interference of de Broglie waves. \n \nC1 \nAs the particle moves along its trajectory by an infinitesimal distance   , relate the change    in the phase \nof its de Broglie wave to the change    in the action and the Planck constant. \n0.6 \nC2 \nRecall the problem from part A where the particle traverses from \n  to   (see Fig. 4). Let an opaque partition be placed at the \nboundary AB between the two regions. There is a small opening \nCD of width   in AB such that            and     . \n \nConsider two extreme paths  C  and  D  such that  C  lies on \nthe classical trajectory discussed in part A. Obtain the phase \ndifference      between the two paths to first order. \n1.2 \nD Matter Wave Interference \nConsider an electron gun at   which directs a collimated beam of \nelectrons to a narrow slit at   in the opaque partition A B  at \n       such that     is a straight line.   is a point on the screen \nat       (see Fig. 5). The speed in I is          ×    m s   \nand           . The potential in II is such that speed    \n      ×    m s  . The distance       is           \n(           ). Ignore electron-electron interaction. \n \nD1 \nIf the electrons at   have been accelerated from rest, calculate the accelerating potential   . \n0.3 \nD2 \nAnother identical slit   is made in the partition A B  at a distance of        nm ( nm     m) below slit \n  (Fig. 5). If the phase difference between de Broglie waves arriving at P through the slits F and G is    , \ncalculate  . \n0.8 \nD3 \nWhat is the smallest distance    from P at which null (zero) electron detection maybe expected on the \nscreen? [Note: you may find the approximation                       useful] \n1.2 \nD4 \nThe beam has a square cross section of      ×      and the setup is 2 m long. What should be the \nminimum flux density Imin (number of electrons per unit normal area per unit time) if, on an average, there \nis at least one electron in the setup at a given time? \n0.4 \n \nFigure 4 \nFigure 5 \nA \nB \nI \nII   \nC \nD \nCD d \n 𝑥  𝑦   \n𝑉 𝑉  \n𝑉   \n  \n𝑦 \n𝑥 \n𝑥  \n𝑦 \n \n𝑥 \n𝑥  \n𝑥  \nI \nII\nA  \nB  \n    \n  \n  \n215.00 nm \n  \n250 mm \n","shared":false,"sourcePages":[1,2]},"solution":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/ipho-2015-t2-solution/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/ipho-2015-t2-solution/page-1.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2015-t2-solution/page-2.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2015-t2-solution/page-3.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2015-t2-solution/page-4.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2015-t2-solution/page-5.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2015-t2-solution/page-6.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2015-t2-solution/page-7.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2015-t2-solution/page-8.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2015-t2-solution/page-9.webp","width":982,"height":1389}],"text":"Theoretical Task 2 (T-2) : Solutions\n1 of 9\nThe Extremum Principle1\nA. The Extremum Principle in Mechanics\nConsider a horizontal frictionless x-y plane\nshown in Fig. 1. It is divided into two regions,\nI and II, by a line AB satisfying the equation\nx = x1. The potential energy of a point parti-\ncle of mass m in region I is V = 0 while it is\nV = V0 in region II. The particle is sent from\nthe origin O with speed v1 along a line making\nan angle θ1 with the x-axis. It reaches point P\nin region II traveling with speed v2 along a line\nthat makes an angle θ2 with the x−axis. Ignore\ngravity and relativistic effects in this entire task\nT-2 (all parts).\nFigure 1\n(A1) Obtain an expression for v2 in terms of m, v1 and V0 .\n[0.2]\nSolution:\nFrom the principle of Conservation of Mechanical Energy\n1\n2mv2\n1 = 1\n2mv2\n2 + V0\nv2 = (v2\n1 −2V0\nm )1/2\n(A2) Express v2 in terms of v1, θ1 and θ2.\n[0.3]\nSolution:\nAt the boundary there is an impulsive force (∝dV/dx) in the −x direction. Hence\nonly the velocity component in the x−direction v1x suffers change . The component in\nthe y−direction remains unchanged. Therefore\nv1y = v2y\nv1 sin θ1 = v2 sin θ2\nWe define a quantity called action A = m\nR\nv(s) ds, where ds is the infinitesimal length along\nthe trajectory of a particle of mass m moving with speed v(s). The integral is taken over the\npath. As an example. for a particle moving with constant speed v on a circular path of radius\nR, the action A for one revolution will be 2πmRv. For a particle with constant energy E, it can\nbe shown that of all the possible trajectories between two fixed points, the actual trajectory is\nthe one on which A defined above is an extremum (minimum or maximum). Historically this\nis known as the Principle of Least Action (PLA).\n1Manoj Harbola (IIT-Kanpur) and Vijay A. Singh (ex-National Coordinator, Science Olympiads) were the\nprincipal authors of this problem. The contributions of the Academic Committee, Academic Development Group\nand the International Board are gratefully acknowledged.\n\nTheoretical Task 2 (T-2): Solutions\n2 of 9\n(A3) PLA implies that the trajectory of a particle moving between two fixed points in a region\nof constant potential will be a straight line. Let the two fixed points O and P in Fig. 1\nhave coordinates (0,0) and (x0,y0) respectively and the boundary point where the particle\ntransits from region I to region II have coordinates (x1,α). Note x1 is fixed and the action\ndepends on the coordinate α only. State the expression for the action A(α). Use PLA to\nobtain the the relationship between v1/v2 and these coordinates.\n[1.0]\nSolution:\nBy definition A(α) from O to P is\nA(α) = mv1\nq\nx2\n1 + α2 + mv2\np\n(x0 −x1)2 + (y0 −α)2\nDifferentiating w.r.t. α and setting the derivative of A(α) to zero\nv1α\n(x2\n1 + α2)1/2 −\nv2(y0 −α)\n[(x0 −x1)2 + (y0 −α)2]1/2 = 0\n∴v1\nv2\n=\n(y0 −α) (x2\n1 + α2)1/2\nα [(x0 −x1)2 + (y0 −α)2]1/2\nNote this is the same as A2, namely v1 sin θ1 = v2 sin θ2.\nB. The Extremum Principle in Optics\nA light ray travels from medium I to medium\nII with refractive indices n1 and n2 respectively.\nThe two media are separated by a line parallel\nto the x-axis. The light ray makes an angle i1\nwith the y-axis in medium I and i2 in medium II\n(see Fig. 2). To obtain the trajectory of the ray,\nwe make use of another extremum (minimum or\nmaximum) principle known as Fermat’s princi-\nple of least time.\nFigure 2\n(B1) The principle states that between two fixed points, a light ray moves along a path such\nthat the time taken between the two points is an extremum. Derive the relation between\nsin i1 and sin i2 on the basis of Fermat’s principle.\n[0.5]\nSolution:\nThe speed of light in medium I is c/n1 and in medium II is c/n2,\nwhere c is the speed of light in vacuum. Let the two media be separated\nby the fixed line y = y1. Then time T(α) for light to travel from origin\n(0,0) and (x0,y0) is\nT(α) = n1(\nq\ny2\n1 + α2)/c + n2(\np\n(x0 −α)2 + (y0 −y1)2)/c\n\nTheoretical Task 2 (T-2): Solutions\n3 of 9\nDifferentiating w.r.t. α and setting the derivative of T(α) to zero\nn1α\n(y2\n1 + α2)1/2 −\nn2(y0 −α)\n[(x0 −α)2 + (y0 −y1)2]1/2 = 0\n∴\nn1 sin i1 = n2 sin i2\n[Note: Derivation is similar to A3. This is Snell’s law.]\nShown in Fig. 3 is a schematic sketch of the\npath of a laser beam incident horizontally on\na solution of sugar in which the concentration\nof sugar decreases with height.\nAs a conse-\nquence, the refractive index of the solution also\ndecreases with height.\nFigure 3\n(B2) Assume that the refractive index n(y) depends only on y. Use the equation obtained in B1\nto obtain the expresssion for the slope dy/dx of the beam’s path in terms of n0 at y = 0\nand n(y).\n[1.5]\nSolution:\nFrom Snell’s law n0 sin i0 = n(y) sin i\nThen,\ndy\ndx = −cot i\nn0 sin i0 =\nn(y)\nr\n1 + (dy\ndx)2\ndy\ndx = −\ns\u0012 n(y)\nn0 sin i0\n\u00132\n−1\n(B3) The laser beam is directed horizontally from the origin (0,0) into the sugar solution at a\nheight y0 from the bottom of the tank as shown. Take n(y) = n0 −ky where n0 and k\nare positive constants. Obtain an expression for x in terms of y and related quantities.\nYou may use:\nR\nsec θdθ = ln(sec θ + tan θ) + constant sec θ = 1/ cos θ or\nR\ndx\n√\nx2−1 =\nln(x +\n√\nx2 −1) + constant.\n[1.2]\nSolution:\nZ\ndy\nr\n( n0 −ky\nn0 sin i0\n)2 −1\n= −\nZ\ndx\nNote i0 = 90o so sin i0 = 1.\n\nTheoretical Task 2 (T-2): Solutions\n4 of 9\nMethod I We employ the substitution\nξ = n0 −ky\nn0\nZ dξ(−n0\nk )\np\nξ2 −1\n= −\nZ\ndx\nLet ξ = sec θ. Then\nn0\nk ln(sec θ + tan θ) = x + c\nOr METHOD II\nWe employ the substition\nξ = n0 −ky\nn0\nZ dξ(−n0\nk )\np\nξ2 −1\n= −\nZ\ndx\n−n0\nk ln\n \nn0 −ky\nn0\n+\nr\n(n0 −ky\nn0\n)2 −1\n!\n= −x + c\nNow continuing\nConsidering the substitutions and boundary condition, x = 0 for y = 0 we obtain that\nthe constant c = 0.\nHence we obtain the following trajectory:\nx = n0\nk ln\n \nn0 −ky\nn0\n+\nr\n(n0 −ky\nn0\n)2 −1\n!\n(B4) Obtain the value of x0, the point where the beam meets the bottom of the tank. Take y0\n= 10.0 cm, n0 = 1.50, k = 0.050 cm−1 (1 cm = 10−2 m).\n[0.8]\nSolution:\nGiven y0 = 10.0 cm.\nn0 = 1.50\nk = 0.050 cm−1\nFrom (B3)\nx0 = n0\nk ln\n\n\n\u0012n0 −ky\nn0\n\u0013\n+\n \u0012n0 −ky\nn0\n\u00132\n−1\n!1/2\n\nHere y = −y0\n\nTheoretical Task 2 (T-2): Solutions\n5 of 9\nx0 = n0\nk ln\n\"\n(n0 + ky0)\nn0\n+\n\u0012(n0 + ky0)2\nn2\n0\n−1\n\u00131/2#\n= 30 ln\n\n2\n1.5 +\n \u0012 2\n1.5\n\u00132\n−1\n!1/2\n\n= 30 ln\n\"\n4\n3 +\n\u00127\n9\n\u00131/2#\n= 30 ln\n\u00144\n3 + 0.88\n\u0015\n= 24.0 cm\nC. The Extremum Principle and the Wave Nature of Matter\nWe now explore between the PLA and the wave nature of a moving particle.\nFor this we\nassume that a particle moving from O to P can take all possible trajectories and we will seek\na trajectory that depends on the constructive interference of de Broglie waves.\n(C1) As the particle moves along its trajectory by an infinitesimal distance ∆s, relate the change\n∆φ in the phase of its de Broglie wave to the change ∆A in the action and the Planck\nconstant.\n[0.6]\nSolution:\nFrom the de Broglie hypothesis\nλ →λdB = h/mv\nwhere λ is the de Broglie wavelength and the other symbols have their usual meaning\n∆φ = 2π\nλ ∆s\n= 2π\nh mv∆s\n= 2π∆A\nh\n\nTheoretical Task 2 (T-2): Solutions\n6 of 9\n(C2) Recall the problem from part A where the particle\ntraverses from O to P (see Fig. 4). Let an opaque\npartition be placed at the boundary AB between the\ntwo regions. There is a small opening CD of width\nd in AB such that d ≪(x0 −x1) and d ≪x1.\nConsider two extreme paths OCP and ODP such\nthat OCP lies on the classical trajectory discussed in\npart A. Obtain the phase difference ∆φCD between\nthe two paths to first order.\nFigure 4\n[1.2]\nSolution:\nO\ny\nx\nx 1\nF\nθ\nθ\n1\n2\nE\nA\nB\nD\nC\nII\nI\nP\nConsider the extreme trajectories OCP and ODP of (C1)\nThe geometrical path difference is ED in region I and CF in region II.\nThis implies (note: d ≪(x0 −x1) and d ≪x1)\n∆φCD = 2πd sin θ1\nλ1\n−2πd sin θ2\nλ2\n∆φCD = 2πmv1d sin θ1\nh\n−2πmv2d sin θ2\nh\n= 2πmd\nh (v1 sin θ1 −v2 sin θ2)\n= 0\n(from A2 or B1)\nThus near the clasical path there is invariably constructive interference.\n\nTheoretical Task 2 (T-2): Solutions\n7 of 9\nD. Matter Wave Interference\nConsider an electron gun at O which di-\nrects a collimated beam of electrons to a\nnarrow slit at F in the opaque partition\nA1B1 at x = x1 such that OFP is a straight\nline. P is a point on the screen at x = x0\n(see Fig. 5). The speed in I is v1 = 2.0000\n× 107 m s−1 and θ = 10.0000◦. The poten-\ntial in region II is such that the speed v2 =\n1.9900 × 107 m s−1. The distance x0 −x1\nis 250.00 mm (1 mm = 10−3 m). Ignore\nelectron-electron interaction.\nFigure 5\n(D1) If the electrons at O have been accelerated from rest, calculate the accelerating potential\nU1.\n[0.3]\nSolution:\nqU1 = 1\n2 mv2\n= 9.11 × 10−31 × 4 × 1014\n2\nJ\n= 2 × 9.11 × 10−17J\n= 2 × 9.11 × 10−17\n1.6 × 10−19\neV\n= 1.139 × 103 eV\n(⋍1100 eV )\nU1 = 1.139 × 103 V\n(D2) Another identical slit G is made in the partition A1B1 at a distance of 215.00 nm (1 nm\n= 10−9 m) below slit F (Fig. 5). If the phase difference between de Broglie waves ariving\nat P from F and G is 2 π β, calculate β.\n[0.8]\nSolution: Phase difference at P is\n∆φP = 2πd sin θ\nλ1\n−2πd sin θ\nλ2\n= 2π(v1 −v2)md\nh sin 10◦= 2πβ\nβ = 5.13\n\nTheoretical Task 2 (T-2): Solutions\n8 of 9\n(D3) What is is the smallest distance ∆y from P at which null (zero) electron detection maybe\nexpected on the screen? [Note: you may find the approximation sin(θ + ∆θ) ≈sin θ +\n∆θ cos θ useful]\n[1.2]\nSolution:\nB\ny\nx\nx\nO\n1\nG\nF\n215 nm\nP\nI\n1\nII\nA1\nFrom previous part for null (zero) electron detection ∆φ = 5.5 × 2π\n∴mv1\nd sin θ\nh\n−mv2d sin(θ + ∆θ)\nh\n= 5.5\nsin(θ + ∆θ)\n=\nmv1d sin θ\nh\n−5.5\nmv2d\nh\n=\nv1\nv2\nsin θ −h\nm\n5.5\nv2d\n=\n2\n1.99 sin 10◦−\n5.5\n1374.78 × 1.99 × 107 × ×2.15 × 10−7\n=\n0.174521 −0.000935\nThis yields ∆θ = −0.0036◦\nThe closest distance to P is\n∆y\n=\n(x0 −x1)(tan(θ + ∆θ) −tan θ)\n=\n250(tan 9.9964 −tan 10)\n=\n−0.0162mm\n=\n−16.2µ m\nThe negative sign means that the closest minimum is below P.\nApproximate Calculation for θ and ∆y\nUsing the approximation sin(θ + ∆θ) ≈sin θ + ∆θ cos θ\nThe phase difference of 5.5 × 2π gives\nmv1\nd sin 10◦\nh\n−mv2\nd(sin 10◦+ ∆θ cos 10◦)\nh\n= 5.5\nFrom solution of the previous part\nmv1\nd sin 10◦\nh\n−mv2\ndsin10◦\nh\n= 5.13\n\nTheoretical Task 2 (T-2): Solutions\n9 of 9\nTherefore\nmv2\nd∆θ cos 10◦\nh\n= 0.3700\nThis yields ∆θ ≈0.0036◦\n∆y = −0.0162 mm = −16.2µm as before\n(D4) The electron beam has a square cross section of 500 nm × 500 nm and the setup is 2 m\nlong. What should be the minimum beam flux density Imin (number of electrons per unit\nnormal area per unit time) if, on an average, there is at least one electron in the setup at\na given time?\n[0.4]\nSolution: The product of the speed of the electrons and number of electron per unit\nvolume on an average yields the intensity.\nThus N = 1 = Intensity × Area × Length/ Electron Speed\n= Imin × 0.25 × 10−12 × 2/2 × 107\nThis gives Imin = 4× 1019 m−2 s−1\nR. Bach, D. Pope, Sy-H Liou and H. Batelaan, New J. of Physics Vol. 15, 033018 (2013).\n","shared":false,"sourcePages":[1,2,3,4,5,6,7,8,9]}},{"id":"ipho-2015-t3","importedOn":"2026-10-28","language":"en","sources":[{"url":"https://www.ipho-new.org/download/668/","kind":"statement","archiveMember":"IPhO2015- Mumbai/Theory/T3-Questions.pdf"},{"url":"https://www.ipho-new.org/download/668/","kind":"solution","archiveMember":"IPhO2015- Mumbai/Theory/T3-Solutions.pdf"}],"statement":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/ipho-2015-t3-statement/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/ipho-2015-t3-statement/page-1.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2015-t3-statement/page-2.webp","width":982,"height":1389}],"text":" \n \nPage 1 of 2 \nT-3 \nQ \n \nThe Design of a Nuclear Reactor1 \n(Total Marks: 10)\n \n \nUranium occurs in nature as UO2 with only 0.720% of the uranium atoms being 235U. Neutron induced \nfission occurs readily in 235U with the emission of 2-3 fission neutrons having high kinetic energy. This \nfission probability will increase if the neutrons inducing fission have low kinetic energy. So by reducing the \nkinetic energy of the fission neutrons, one can induce a chain of fissions in other 235U nuclei. This forms the \nbasis of the power generating nuclear reactor (NR). \nA typical NR consists of a cylindrical tank of height H and radius R filled with a material called moderator. \nCylindrical tubes, called fuel channels, each containing a cluster of cylindrical fuel pins of natural UO2 in \nsolid form of height H, are kept axially in a square array. Fission neutrons, coming outward from a fuel \nchannel, collide with the moderator, losing energy and reach the surrounding fuel channels with low enough \nenergy to cause fission (Figs I-III). Heat generated from fission in the pin is transmitted to a coolant fluid \nflowing along its length. In the current problem we shall study some of the physics behind the (A) Fuel Pin, \n(B) Moderator and (C) NR of cylindrical geometry. \n \n \n \nA Fuel Pin \nData \nfor UO2 \n1. Molecular weight Mw = 0.270 kg mol-1 \n2. Density ρ = 1.060×104 kg m-3 \n3. Melting point Tm = 3.138×103 K \n4. Thermal conductivity λ = 3.280 W m-1 K-1 \n \nA1 \nConsider the following fission reaction of a stationary 235U after it absorbs a neutron of negligible kinetic \nenergy. \n235U + 1n    →     94Zr + 140Ce + 2 1n +    \nEstimate    (in MeV) the total fission energy released. The nuclear masses are: m(235U) = 235.044 u; \nm(94Zr) = 93.9063 u; m(140Ce) = 139.905 u; m(1n) = 1.00867  u and 1 u = 931.502 MeV c-2. Ignore charge \nimbalance. \n0.8 \nA2 \nEstimate N the number of 235U atoms per unit volume in natural UO2. \n0.5 \nA3 \nAssume that the neutron flux density, φ = 2.000×1018 m-2 s-1 on the fuel is uniform. The fission cross-\nsection (effective area of the target nucleus) of a 235U nucleus is σf  = 5.400×10-26 m2.   If 80.00% of the \nfission energy is available as heat, estimate Q (in W m-3), the rate of heat production in the pin per unit \nvolume. 1MeV = 1.602×10-13 J \n1.2 \nA4 \nThe steady-state temperature difference between the center (Tc) and the surface (Ts) of the pin can be \nexpressed as Tc−Ts = k F(Q,a,λ), where k = 1 ∕ 4 is a dimensionless constant and a is the radius of the pin. \nObtain F(Q,a,λ) by dimensional analysis. Note that λ is the thermal conductivity of UO2. \n0.5 \n                                                 \n1 Joseph   Amal  Nathan  (BARC) and  Vijay A. Singh  (ex-National Coordinator, Science Olympiads) were the \nprincipal authors of this problem. The contributions of the Academic Committee, Academic Development Group and \nthe International Board are gratefully acknowledged. \nSchematic sketch of the \nNuclear Reactor (NR) \nFig-I: Enlarged view of a fuel \nchannel (1-Fuel Pins) \nFig-II: A view of the NR \n(2-Fuel Channels) \nFig-III: Top view of NR \n(3-Square \nArrangement \nof \nFuel Channels and 4-Typical \nNeutron Paths).  \nOnly components relevant to \nthe problem are shown (e.g. \ncontrol rods and coolant are \nnot shown). \nFig-I \nFig-II \nFig-III \n\n \n \nPage 2 of 2 \nT-3 \nQ \nA5 \nThe desired temperature of the coolant is 5.770×102 K. Estimate the upper limit au on the radius a of the \npin. \n1.0 \n \nB The Moderator \nConsider the two dimensional elastic collision between a neutron of mass 1 u and a moderator atom of mass \nA u. Before collision all the moderator atoms are considered at rest in the laboratory frame (LF). Let   ⃗⃗⃗⃗  and \n  ⃗⃗⃗⃗  be the velocities of the neutron before and after collision respectively in the LF. Let   ⃗⃗⃗⃗⃗  be the velocity \nof the center of mass (CM) frame relative to LF and θ be the neutron scattering angle in the CM frame.  All \nthe particles involved in collisions are moving at nonrelativistic speeds. \n \nB1 \nThe collision in LF is shown schematically, where θL is the scattering angle (Fig-IV). Sketch the collision \nschematically in CM frame. Label the particle velocities for 1, 2 and 3 in terms of   ⃗⃗⃗⃗ ,   ⃗⃗⃗⃗  and   ⃗⃗⃗⃗⃗ . Indicate \nthe scattering angle θ. \n \n1.0 \nB2 \nObtain v and V, the speeds of the neutron and moderator atom in the CM frame after collision, in terms of A \nand   . \n1.0 \nB3 \nDerive an expression for G(α, θ) = Ea ∕ Eb , where Eb and Ea are the kinetic energies of the neutron, in the \nLF, before and after the collision respectively and                     . \n1.0 \nB4 \nAssume that the above expression holds for D2O molecule. Calculate the maximum possible fractional \nenergy loss       \n     \n   of the neutron for the D2O (20 u) moderator. \n0.5 \n \nC \n \nThe Nuclear Reactor \nTo operate the NR at any constant neutron flux ψ (steady state), the leakage of neutrons has to be \ncompensated by an excess production of neutrons in the reactor.  For a reactor in cylindrical geometry the \nleakage rate is k1 [(2.405 ∕ R)2 + (π ∕ H)2] ψ and the excess production rate is k2 ψ. The constants k1 and k2 \ndepend on the material properties of the NR. \n \nC1 \nConsider a NR with k1 = 1.021×10-2 m and k2 = 8.787×10-3 m-1. Noting that for a fixed volume the leakage \nrate is to be minimized for efficient fuel utilization, obtain the dimensions of the NR in the steady state. \n1.5 \nC2 \nThe fuel channels are in a square arrangement (Fig-III) with the nearest neighbour distance 0.286 m. The \neffective radius of a fuel channel (if it were solid) is 3.617×10-2 m. Estimate the number of fuel channels Fn \nin the reactor and the mass M of UO2 required to operate the NR in steady state. \n1.0 \n \nCollision in the Laboratory Frame \n1-Neutron before collision  \n2-Neutron after collision \n3-Moderator Atom before collision \n4-Moderator Atom after collision \n1\n3\nFig-IV \n2\n4\n  ⃗⃗⃗⃗  \n  ⃗⃗⃗⃗  \nθL \n","shared":false,"sourcePages":[1,2]},"solution":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/ipho-2015-t3-solution/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/ipho-2015-t3-solution/page-1.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2015-t3-solution/page-2.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2015-t3-solution/page-3.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2015-t3-solution/page-4.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2015-t3-solution/page-5.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2015-t3-solution/page-6.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2015-t3-solution/page-7.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2015-t3-solution/page-8.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2015-t3-solution/page-9.webp","width":982,"height":1389}],"text":"Theoretical Task 3 (T-3) : Solutions\n1 of 9\nThe Design of a Nuclear Reactor1\nUranium occurs in nature as UO2 with only 0.720% of the uranium atoms being 235U. Neutron\ninduced fission occurs readily in 235U with the emission of 2-3 fission neutrons having high\nkinetic energy. This fission probability will increase if the neutrons inducing fission have low\nkinetic energy. So by reducing the kinetic energy of the fission neutrons, one can induce a chain\nof fissions in other 235U nuclei. This forms the basis of the power generating nuclear reactor\n(NR).\nA typical NR consists of a cylindrical tank of height H and radius R filled with a material called\nmoderator. Cylindrical tubes, called fuel channels, each containing a cluster of cylindrical fuel\npins of natural UO2 in solid form of height H, are kept axially in a square array. Fission\nneutrons, coming outward from a fuel channel, collide with the moderator, losing energy, and\nreach the surrounding fuel channels with low enough energy to cause fission (Figs I-III). Heat\ngenerated from fission in the pin is transmitted to a coolant fluid flowing along its length. In\nthe current problem we shall study some of the physics behind the (A) Fuel Pin, (B) Moderator\nand (C) NR of cylindrical geometry.\n      \n \nSchematic sketch of the \nNuclear Reactor (NR) \nFig-I: Enlarged view of a \nfuel channel (1-Fuel Pins) \nFig-II: A view of the NR \n(2-Fuel Channels) \nFig-III: Top view of NR \n(3-Square Arrangement of \nFuel \nChannels \nand \n4-Typical Neutron Paths).  \nOnly components relevant \nto the problem are shown \n(e.g. control rods and \ncoolant are not shown). \nFig-I \nFig-II \nFig-III \nA. Fuel Pin\nData for UO2\n1. Molecular weight Mw=0.270 kg mol−1\n2. Density ρ=1.060×104 kg m−3\n3. Melting point Tm=3.138×103 K\n4. Thermal conductivity λ=3.280 W m−1 K−1\nA1 Consider the following fission reaction of a stationary 235U after it absorbs a neutron of\nnegligible kinetic energy.\n235U +1 n −→94 Zr +140 Ce + 2 1n + ∆E\n1Joseph Amal Nathan (BARC) and Vijay A. Singh (ex-National Coordinator, Science Olympiads) were the\nprincipal authors of this problem. The contributions of the Academic Committee, Academic Development Group\nand the International Board are gratefully acknowledged.\n\nTheoretical Task 3 (T-3) : Solutions\n2 of 9\nEstimate ∆E (in MeV) the total fission energy released. The nuclear masses are: m(235U)\n= 235.044 u; m(94Zr) = 93.9063 u; m(140Ce) = 139.905 u; m(1n) = 1.00867 u and 1 u =\n931.502 MeV c−2. Ignore charge imbalance.\n[0.8]\nSolution: ∆E = 208.684 MeV\nDetailed solution: The energy released during the transformation is\n∆E = [m(235U) + m(1n) −m(94Zr) −m(140Ce) −2m(1n)]c2\nSince the data is supplied in terms of unified atomic masses (u), we have\n∆E = [m(235U) −m(94Zr) −m(140Ce) −m(1n)]c2\n= 208.684 MeV [Acceptable Range (208.000 to 209.000)]\nfrom the given data.\nA2 Estimate N the number of 235U atoms per unit volume in natural UO2.\n[0.5]\nSolution: N = 1.702 × 1026 m−3\nDetailed solution: The number of UO2 molecules per m3 of the fuel N1 is given\nin the terms of its density ρ, the Avogadro number NA and the average molecular\nweight Mw as\nN1 = ρNA\nMw\n= 10600 × 6.022 × 1023\n0.270\n= 2.364 × 1028 m−3\nEach molecule of UO2 contains one uranium atom.\nSince only 0.72% of these are\n235U,\nN = 0.0072× N1\n= 1.702 × 1026 m−3 [Acceptable Range (1.650 to 1.750)]\nA3 Assume that the neutron flux φ = 2.000 × 1018 m−2 s−1 on the fuel is uniform. The fission\ncross-section (effective area of the target nucleus) of a 235U nucleus is σf = 5.400 ×10−26\nm2. If 80.00% of the fission energy is available as heat, estimate Q (in W m−3) the rate of\nheat production in the pin per unit volume. 1MeV = 1.602 ×10−13 J.\n[1.2]\nSolution: Q = 4.917 × 108 W/m3\nDetailed solution: It is given that 80% of the fission energy is available as heat\nthus the heat energy available per fission Ef is from a-(i)\nEf = 0.8 × 208.7 MeV\n= 166.96 MeV\n= 2.675 × 10−11 J\nThe total cross-section per unit volume is N × σf. Thus the heat produced per unit\n\nTheoretical Task 3 (T-3) : Solutions\n3 of 9\nvolume per unit time Q is\nQ = N × σf × φ × Ef\n= (1.702 × 1026) × (5.4 × 10−26) × (2 × 1018) × (2.675 × 10−11) W/m3\n= 4.917 × 108 W/m3 [Acceptable Range (4.800 to 5.000)]\nA4 The steady-state temperature difference between the center (Tc) and the surface (Ts) of the\npin can be expressed as Tc −Ts = kF(Q, a, λ) where k = 1/4 is a dimensionless constant\nand a is the radius of the pin. Obtain F(Q, a, λ) by dimensional analysis.\n[0.5]\nSolution: Tc −Ts = Qa2\n4λ .\nDetailed solution: The dimensions of Tc −Ts is temperature.\nWe write this as\nTc −Ts = [K]. Once can similarly write down the dimensions of Q, a and λ. Equating\nthe temperature to powers of Q, a and λ, one could state the following dimensional\nequation:\nK = Qαaβλγ\n= [ML−1T −3] α [L] β [ML1T −3K−1] γ\nThis yields the following algebraic equations\nγ = -1 equating powers of temperature\nα + γ = 0 equating powers of mass or time. From the previous equation we get α = 1\nNext −α + β + γ = 0 equating powers of length. This yields β = 2.\nThus we obtain Tc −Ts = Qa2\n4λ where we insert the dimensionless factor 1/4 as sug-\ngested in the problem. No penalty if the factor 1/4 is not written.\nNote: Same credit for alternate ways of obtaining α, β, γ.\nA5 The desired temperature of the coolant is 5.770 ×102 K. Estimate the upper limit au on\nthe radius a of the pin.\n[1.0]\nSolution: au = 8.267 × 10−3 m.\nDetailed solution: The melting point of UO2 is 3138 K and the maximum tempera-\nture of the coolant is 577 K. This sets a limit on the maximum permissible temperature\n(Tc −Ts) to be less than (3138 - 577 = 2561 K) to avoid “meltdown”. Thus one may\ntake a maximum of (Tc −Ts) = 2561 K.\nNoting that λ = 3.28 W/m - K, we have\na2\nu = 2561 × 4 × 3.28\n4.917 × 108\nWhere we have used the value of Q from A2. This yields au ⋍8.267 × 10−3 m. So\nau = 8.267 × 10−3 m constitutes an upper limit on the radius of the fuel pin.\nNote: The Tarapur 3 & 4 NR in Western India has a fuel pin radius of 6.090 × 10−3\nm.\n\nTheoretical Task 3 (T-3) : Solutions\n4 of 9\nB. The Moderator\nConsider the two dimensional elastic collision between a neutron of mass 1 u and a moderator\natom of mass A u.\nBefore collision all the moderator atoms are considered at rest in the\nlaboratory frame (LF). Let −→\nvb and −→\nva be the velocities of the neutron before and after collision\nrespectively in the LF. Let −→\nvm be the velocity of the center of mass (CM) frame relative to LF\nand θ be the neutron scattering angle in the CM frame. All the particles involved in collisions\nare moving at non-relativistic speeds\nB1 The collision in LF is shown schematically with θL as the scattering angle (Fig-IV). Sketch\nthe collision schematically in CM frame. Label the particle velocities for 1, 2 and 3 in\nterms of −→\nvb, −→\nva and −→\nvm. Indicate the scattering angle θ.\n[1.0]\nCollision in the Laboratory Frame \n1-Neutron before collision \n2-Neutron after collision \n3-Moderator Atom before collision \n4-Moderator Atom after collision \nFig-IV \nav\nbv\n1\n2\n3\n4\nL\n\nSolution:\n     \nLaboratory Frame \nCenter of Mass Frame \nav\nbv\n1\n2\n3\n4\nL\n\nm\nb\nv\nv\n\n\nm\na\nv\nv\n\n\nm\nv\n\n\nB2 Obtain v and V , the speeds of the neutron and the moderator atom in the CM frame after\nthe collision, in terms of A and vb.\n[1.0]\nSolution: Detailed solution: Before the collision in the CM frame (vb −vm) and\nvm will be magnitude of the velocities of the neutron and moderator atom respectively.\nFrom momentum conservation in the CM frame, vb −vm = Avm gives vm =\nvb\nA+1.\nAfter the collision, let v and V be magnitude of the velocities of neutron and moderator\natom respectively in the CM frame. From conservation laws,\nv = AV\nand\n1\n2(vb −vm)2 + 1\n2Av2\nm = 1\n2v2 + 1\n2AV 2.(→[0.2 + 0.2])\n\nTheoretical Task 3 (T-3) : Solutions\n5 of 9\nSolving gives v =\nAvb\nA+1 and V =\nvb\nA+1. (OR) From definition of center of mass frame\nvm =\nvb\nA+1. Before the collision in the CM frame vb −vm =\nAvb\nA+1 and vm will be mag-\nnitude of the velocities of the neutron and moderator atom respectively. In elastic\ncollision the particles are scattered in the opposite direction in the CM frame and so\nthe speeds remain same v = Avb\nA+1 and V =\nvb\nA+1 (→[0.2 + 0.1]).\nNote: Alternative solutions are worked out in the end and will get appropriate weigh-\ntage.\nB3 Derive an expression for G(α, θ) = Ea/Eb, where Eb and Ea are the kinetic energies of the\nneutron, in the LF, before and after the collision respectively, and α ≡[(A −1)/(A + 1)]2,\n[1.0]\nSolution:\nG(α, θ) = Ea\nEb\n= A2 + 2A cos θ + 1\n(A + 1)2\n= 1\n2 [(1 + α) + (1 −α) cos θ] .\nDetailed solution: Since −→\nva = −→v + −→\nvm, v2\na = v2 + v2\nm + 2vvm cos θ (→[0.3]). Substi-\ntuting the values of v and vm, v2\na =\nA2v2\nb\n(A+1)2 +\nv2\nb\n(A+1)2 +\n2Av2\nb\n(A+1)2 cos θ (→[0.2]), so\nv2\na\nv2\nb\n= Ea\nEb\n= A2 + 2A cos θ + 1\n(A + 1)2\n.\nG(α, θ)\n=\nA2 + 1\n(A + 1)2 +\n2A\n(A + 1)2 cos θ = 1\n2 [(1 + α) + (1 −α) cos θ] .\nAlternate form\n=\n1 −(1 −α)(1 −cos θ)\n2\n.\nNote: Alternative solutions are worked out in the end and will get appropriate weigh-\ntage.\nB4 Assume that the above expression holds for D2O molecule. Calculate the maximum pos-\nsible fractional energy loss fl ≡Eb−Ea\nEb\nof the neutron for the D2O (20 u) moderator.\n[0.5]\nSolution: fl = 0.181\nDetailed solution: The maximum energy loss will be when the collision is head\non ie., Ea will be minimum for the scattering angle θ = π.\nSo Ea = Emin = αEb.\nFor D2O, α = 0.819 and maximum fractional loss\n\u0010\nEb−Emin\nEb\n\u0011\n= 1 −α = 0.181. [Ac-\nceptable Range (0.170 to 0.190)]\n\nTheoretical Task 3 (T-3) : Solutions\n6 of 9\nC. The Nuclear Reactor\nTo operate the NR at any constant neutron flux Ψ (steady state), the leakage of neutrons has to\nbe compensated by an excess production of neutrons in the reactor. For a reactor in cylindrical\ngeometry the leakage rate is k1\nh\u0000 2.405\nR\n\u00012 +\n\u0000 π\nH\n\u00012i\nΨ and the excess production rate is k2Ψ. The\nconstants k1 and k2 depend on the material properties of the NR.\nC1 Consider a NR with k1 = 1.021×10−2 m and k2 = 8.787×10−3 m−1. Noting that for a\nfixed volume the leakage rate is to be minimized for efficient fuel utilisation obtain the\ndimensions of the NR in the steady state.\n[1.5]\nSolution: R = 3.175 m, H = 5.866 m.\nDetailed solution: For constant volume V = πR2H,\nd\ndH\n\"\u00122.405\nR\n\u00132\n+\n\u0010 π\nH\n\u00112\n#\n= 0,\nd\ndH\n\u00142.4052πH\nV\n+ π2\nH2\n\u0015\n= 2.4052π\nV\n−2 π2\nH3 = 0,\ngives\n\u0000 2.405\nR\n\u00012 = 2\n\u0000 π\nH\n\u00012.\nFor steady state,\n1.021 × 10−2\n\"\u00122.405\nR\n\u00132\n+\n\u0010 π\nH\n\u00112\n#\nΨ = 8.787 × 10−3 Ψ.\nHence H = 5.866 m [Acceptable Range (5.870 to 5.890)]\nR = 3.175 m [Acceptable Range (3.170 to 3.180)].\nAlternative Non-Calculus Method to Optimize\nMinimisation of the expression\n\u00122.405\nR\n\u00132\n+\n\u0010 π\nH\n\u00112\n, for a fixed volume V =\nπR2H:\nSubstituting for R2 in terms of V, H we get 2.4052πH\nV\n+ π2\nH2,\nwhich can be written as, 2.4052πH\n2V\n+ 2.4052πH\n2V\n+ π2\nH2.\nSince all the terms are positive applying AMGM inequality for three positive terms we\nget\n2.4052πH\n2V\n+ 2.4052πH\n2V\n+ π2\nH2\n3\n≥\n3\nr\n2.4052πH\n2V\n× 2.4052πH\n2V\n× π2\nH2 =\n3\nr\n2.4054π4\n4V 2\n.\n\nTheoretical Task 3 (T-3) : Solutions\n7 of 9\nThe RHS is a constant.\nThe LHS is always greater or equal to this constant im-\nplies that this is the minimum value the LHS can achieve. The minimum is achieved\nwhen all the three positive terms are equal, which gives the condition 2.4052πH\n2V\n=\nπ2\nH2 ⇒\n\u00122.405\nR\n\u00132\n= 2\n\u0010 π\nH\n\u00112\n.\nFor steady state,\n1.021 × 10−2\n\"\u00122.405\nR\n\u00132\n+\n\u0010 π\nH\n\u00112\n#\nΨ = 8.787 × 10−3 Ψ.\nHence H = 5.866 m [Acceptable Range (5.870 to 5.890)]\nR = 3.175 m [Acceptable Range (3.170 to 3.180)].\nNote: Putting the condition in the RHS gives the minimum as π2\nH2. From the condi-\ntion we get π3\nH3 = 2.4052π2\n2V\n⇒π2\nH2 =\n3\nr\n2.4054π4\n4V 2\n.\nNote: The radius and height of the Tarapur 3 & 4 NR in Western India is 3.192 m and\n5.940 m respectively.\nC2 The fuel channels are in a square arrangement (Fig-III) with nearest neighbour distance\n0.286 m. The effective radius of a fuel channel (if it were solid) is 3.617×10−2 m. Estimate\nthe number of fuel channels Fn in the reactor and the mass M of UO2 required to operate\nthe NR in steady state.\n[1.0]\nSolution: Fn = 387 and M = 9.892 × 104kg.\nDetailed solution: Since the fuel channels are in square pitch of 0.286 m, the ef-\nfective area per channel is 0.2862 m2 = 8.180 × 10−2 m2.\nThe cross-sectional area of the core is πR2 = 3.142 × (3.175)2 = 31.67 m2, so the\nmaximum number of fuel channels that can be accommodated in the cylinder is the\ninteger part of\n31.67\n0.0818 = 387.\nMass of the fuel=387×Volume of the rod×density\n= 387 × (π × 0.036172 × 5.866) × 10600 = 9.892 × 104kg.\nFn = 387 [Acceptable Range (380 to 394)]\nM = 9.892 × 104kg [Acceptable Range (9.000 to 10.00)]\nNote 1: (Not part of grading) The total volume of the fuel is 387 × (π × 0.036172 ×\n5.866) = 9.332 m3. If the reactor works at 12.5 % efficieny then using the result of\na-(iii) we have that the power output of the reactor is 9.332 × 4.917 × 108 × 0.125 =\n\nTheoretical Task 3 (T-3) : Solutions\n8 of 9\n573 MW.\nNote 2: The Tarapur 3 & 4 NR in Western India has 392 channels and the mass of the\nfuel in it is 10.15 ×104 kg. It produces 540 MW of power.\nAlternative Solutions to sub-parts B2 and B3: Let σ be the scattering angle of the\nModerator atom in the LF, taken clockwise with respect to the initial direction of the neutron\nbefore collision. Let U be the speed of the Moderator atom, in the LF, after collision. From\nmomentum and kinetic conservation in LF we have\nvb\n=\nva cos θL + AU cos σ,\n(1)\n0\n=\nva sin θL −AU sin σ,\n(2)\n1\n2v2\nb\n=\n1\n2AU 2 + 1\n2v2\na.\n(3)\nSquaring and adding eq(1) and (2) to eliminate σ and from eq(3) we get\nA2U 2\n=\nv2\na + v2\nb −2vavb cos θL,\nA2U 2\n=\nAv2\nb −Av2\na,\n(4)\nwhich gives\n2vavb cos θL = (A + 1)v2\na −(A −1)v2\nb.\n(5)\n(ii) Let v be the speed of the neutron after collision in the COMF. From definition of center\nof mass frame vm =\nvb\nA + 1.\nva sin θL and va cos θL are the perpendicular and parallel components of va, in the LF, resolved\nalong the initial direction of the neutron before collision. Transforming these to the COMF\ngives va sin θL and va cos θL −vm as the perpendicular and parallel components of v. Substitut-\ning for vm and for 2vavb cos θL from eq(5) in v =\np\nv2\na sin2 θL + v2\na cos2 θL + v2\nm −2vavm cos θL\nand simplifying gives v =\nAvb\nA + 1. Squaring the components of v to eliminate θL gives v2\na =\nv2 + v2\nm + 2vvm cos θ. Substituting for v and vm and simplifying gives,\nv2\na\nv2\nb\n= Ea\nEb\n= A2 + 2A cos θ + 1\n(A + 1)2\n.\nG(α, θ) = Ea\nEb\n= A2 + 1\n(A + 1)2 +\n2A\n(A + 1)2 cos θ = 1\n2 [(1 + α) + (1 −α) cos θ] .\n(OR)\n(iii) From definition of center of mass frame vm =\nvb\nA + 1. After the collision, let v and V\nbe magnitude of the velocities of neutron and moderator atom respectively in the COMF.\nFrom conservation laws in the COMF,\nv = AV\nand\n1\n2(vb −vm)2 + 1\n2Av2\nm = 1\n2v2 + 1\n2AV 2.\nSolving gives v = Avb\nA+1 and V =\nvb\nA+1. We also have v cos θ = va cos θL −vm, substituting for vm\nand for va cos θL from eq(5) and simplifying gives\nv2\na\nv2\nb\n= Ea\nEb\n= A2 + 2A cos θ + 1\n(A + 1)2\n.\n\nTheoretical Task 3 (T-3) : Solutions\n9 of 9\nG(α, θ) = Ea\nEb\n= A2 + 1\n(A + 1)2 +\n2A\n(A + 1)2 cos θ = 1\n2 [(1 + α) + (1 −α) cos θ] .\n(OR)\n(iv) From definition of center of mass frame vm =\nvb\nA + 1. After the collision, let v and V\nbe magnitude of the velocities of neutron and moderator atom respectively in the CM frame.\nFrom conservation laws in the CM frame,\nv = AV\nand\n1\n2(vb −vm)2 + 1\n2Av2\nm = 1\n2v2 + 1\n2AV 2.\nSolving gives v =\nAvb\nA+1 and V =\nvb\nA+1. U sin σ and U cos σ are the perpendicular and parallel\ncomponents of U, in the LF, resolved along the initial direction of the neutron before collision.\nTransforming these to the COMF gives U sin σ and −U cos σ + vm as the perpendicular and\nparallel components of V . So we get U 2 = V 2 sin2 θ+V 2 cos2 θ+v2\nm−2V vm cos θ. Since V = vm\nwe get U 2 = 2v2\nm(1 −cos θ). Substituting for U from eq(4) and simplifying gives\nv2\na\nv2\nb\n= Ea\nEb\n= A2 + 2A cos θ + 1\n(A + 1)2\n.\nG(α, θ) = Ea\nEb\n= A2 + 1\n(A + 1)2 +\n2A\n(A + 1)2 cos θ = 1\n2 [(1 + α) + (1 −α) cos θ] .\nNote: We have va =\n√\nA2 + 2A cos θ + 1\nA + 1\nvb. Substituting for va, v, vm in v cos θ = va cos θL−vm\ngives the relation between θL and θ,\ncos θL =\nA cos θ + 1\n√\nA2 + 2A cos θ + 1.\nTreating the above equation as quadratic in cos θ gives,\ncos θ = −sin2 θL ± cos θL\np\nA2 −sin2 θL\nA\n.\nFor θL = 0◦the root with the negative sign gives θ = 180◦which is not correct so,\ncos θ = cos θL\np\nA2 −sin2 θL −sin2 θL\nA\n.\nSubstituting the above expression for cos θ in the expression for v2\na\nv2\nb\ngives an expression in terms\nof cos θL\nv2\na\nv2\nb\n= Ea\nEb\n= A2 + 2 cos θL\np\nA2 −sin2 θL + cos 2θL\n(A + 1)2\n.\n","shared":false,"sourcePages":[1,2,3,4,5,6,7,8,9]}},{"id":"ipho-2016-t1","importedOn":"2026-10-28","language":"ru","sources":[{"url":"https://www.ipho-new.org/download/671/","kind":"statement","urls":["https://pho.rs/p/3152","https://pho.rs/p/3412"],"note":"The official year bundle omits these questions; both mechanics sections are imported together from the Russian mirror."},{"url":"https://www.ipho-new.org/download/671/","kind":"solution","urls":["https://pho.rs/p/3152/s","https://pho.rs/p/3412/s"],"note":"The official year bundle omits these questions; both mechanics sections are imported together from the Russian mirror."}],"statement":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"text","text":"\n                        \n                        \n\n\n\n\tРасмотрим твердый деревянный цилиндр радиуса $r_1$ и толщиной $h_1$. Где-то внутри деревянного цилиндра древесина заменена на металлический диск радиуса $r_2$ и толщиной $h_2$. Металлический диск установлен так, что его ось симметрии $B$ параллельна оси симметрии $S$ деревянного цилиндра. Диск находится на одинаковых расстояниях от верхнего и нижнего оснований деревянного цилиндра. Обозначим расстояние между осями $S$ и $B$ как $d$. Плотность древесины $\\rho_1$, плотность металла $\\rho_2 > \\rho_1$. Суммарная масса деревянного цилиндра c металлическим диском равна $M$. В этом задании поместим деревянный цилиндр на плоскость так, что он может свободно вращаться направо-налево. На рис. 1 показаны виды цилиндра с торца и сверху. "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Цель этого задания — определить размеры и место расположения металлического диска. "}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Считайте, что следующие величины заданы:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\\begin{equation*} r_1, \\,\\, h_1, \\,\\, \\rho_1, \\,\\, \\rho_2, \\,\\, M, \\,\\, g. \\quad \\quad (1) \\end{equation*} Цель — определить $r_2$, $h_2$ и $d$ путем косвенных измерений."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/92503c11af3c293cd234.webp","alt":"ipho-2016-t1 statement: original source diagram 1"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 1.\n\na) вид с торца цилиндра\n\nb) вид сверху"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tРасстояние между центром масс всей системы $C$ и осью симметрии деревянного цилиндра $S$ равно $b$. Для того, чтобы определить это расстояние, рассмотрим следующий эксперимент: деревянный цилиндр установлен на горизонтальной плоскости так, что он находится в устойчивом равновесии. Медленно наклоним плоскость на угол $\\Theta$ (см. рис. 2). Из-за наличия трения деревянный цилиндр может свободно вращаться без проскальзывания. Он чуть-чуть скатится вниз, а затем придет в состояние устойчивого равновесия после поворота на угол $\\phi$, который можно измерить."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/6cd474f0468a9ad41562.webp","alt":"ipho-2016-t1 statement: original source diagram 2"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 2. Цилиндр на наклонной плоскости"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.80"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tПолучите выражение для $b$ как функцию величин $(1)$, угла $\\phi$ и угла наклона плоскости $\\Theta$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tС этого момента считаем, что величина $b$ известна."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/6cf9e38a1a39face89c9.webp","alt":"ipho-2016-t1 statement: original source diagram 3"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 3. Подвешенная система"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tТеперь мы хотим измерить момент инерции $I_S$ системы относительно оси симметрии $S$. Для этого закрепим деревянный цилиндр за его ось симметрии с помощью жесткого стержня. Затем повернем его относительно положения равновесия на небольшой угол $\\varphi$ и отпустим его. Схема эксперимента показана на рис. 3. Окажется, что $\\varphi$ меняется периодически с периодом $T$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tПолучите уравнение движения, используя $\\varphi$ в качестве переменной. Выразите момент инерции цилиндра $I_S$ относительно его оси симметрии $S$ через $T$, $b$ и известные величины $(1)$. Считайте, что отклонение от положения равновесия невелико, так что угол $\\varphi$ можно считать малым."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tИспользуя результаты измерений из пунктов "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"A1 "}]},{"type":"text","text":"и"},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":" A2,"}]},{"type":"text","text":" определим геометрические размеры металлического диска и его положение внутри деревянного цилиндра.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.40"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tПолучите выражение для расстояния $d$ как функцию $b$ и величин $(1)$. Вы можете также включить в ваше выражение в качестве переменных $r_2$ и $h_2$, т.к. они будут вычислены в пункте "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"A5."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A4\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.70"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tПолучите выражение для момента инерции $I_S$ как функцию $b$ и известных величин $(1)$. Вы можете также включить в ваше выражение в качестве переменных $r_2$ и $h_2$, т.к. они будут вычислены в пункте "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"A5."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A5\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.10"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tИспользуя полученные выше результаты, запишите выражения для $h_2$ и $r_2$ через $b$, $T$ и известные величины $(1)$. Вы можете выразить $h_2$ как функцию $r_2$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"text","text":"\n                        \n                        \n\n\n\n\tАлиса — космонавт, она живет на космической станции. Космическая станция представляет собой гигантское колесо радиуса $R$, которое вращается вокруг своей оси, тем самым создавая для космонавтов искусственную гравитацию. Космонавты живут на внутренней стороне обода колеса. Силой гравитационного притяжения космической станции и кривизной пола можно пренебречь."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tС какой циклической частотой $\\omega_{ss}$ должна вращаться станция, чтобы космонавты испытывали такое же ускорение свободного падения $g_E$, как на поверхности Земли?"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tАлиса поспорила со своим другом — космонавтом Бобом. Боб не верит в то, что они действительно живут на космической станции и утверждает, что они находятся на Земле. Алиса хочет с помощью физики доказать Бобу, что они живут на вращающейся космической станции. Для этого она прикрепила груз массы $m$ к пружине с жёсткостью $k$ и заставила её колебаться. Груз колеблется только в вертикальном направлении и не может перемещаться в горизонтальном направлении."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tПолагая, что ускорение свободного падения на Земле постоянно и равно $g_E$, чему будет равна циклическая частота колебаний $\\omega_E$, измеренная человеком на Земле?"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tКакую циклическую частоту $\\omega$ измерит Алиса на космической станции?"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tАлиса считает, что ее опыт доказывает, что они находятся на вращающейся космической станции. Боб по-прежнему сомневается. Он утверждает, что если принять во внимание изменение силы притяжения по мере поднятия над поверхностью Земли, получится то же самое. "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"В дальнейших заданиях мы изучим вопрос, прав ли Боб."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/ddcff4ebfc327f714000.webp","alt":"ipho-2016-t1 statement: original source diagram 1"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 4. Космическая станция"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B4\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.80"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tПолучите выражение для ускорения свободного падения $g_E(h)$ для небольших высот $h$ над поверхностью Земли и вычислите циклическую частоту колебаний $\\tilde{\\omega}_E$ колеблющегося груза (достаточно использовать линейное приближение). Обозначьте радиус Земли за $R_E$. Вращением Земли можно пренебречь."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tРазумеется, для данной космической станции Алиса обнаружила, что пружинный маятник колеблется с той частотой, которую предсказал Боб."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B5\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.30"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tДля какого радиуса космической станции $R$ частота колебаний $\\omega$ совпадает с частотой колебаний $\\tilde{\\omega}_E$ на поверхности Земли? Выразите свой ответ через $R_E$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tРаздраженная упрямством Боба, Алиса решила провести эксперимент, чтобы доказать свою точку зрения. Для этого она залезла на башню высотой $H$ от пола и уронила груз. Этот эксперимент можно рассматривать во вращающейся системе координат, а также в инерциальной системе координат. "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"В равномерно вращающейся системе координат на космонавтов действует фиктивная сила $\\vec{F}_C$, называемая силой Кориолиса. Сила $\\vec{F}_C$, действующая на объект массой $m$, движущийся со скоростью $\\vec{v}$ в системе координат, вращающейся с постоянной циклической частотой $\\vec{\\omega}_{ss}$ определяется выражением: \\begin{equation} \\vec{F}_C = 2 m \\vec{v} \\times \\vec{\\omega}_{ss}. \\end{equation} Вы можете использовать это выражение в скалярном виде: \\begin{equation} F_C = 2 m v \\omega_{ss} \\sin \\phi, \\end{equation} где $\\phi$ — угол между скоростью и осью вращения. Сила перпендикулярна как скорости $v$, так и оси вращения. Знак силы определяется правилом правой руки, но в дальнейшем вы можете свободно выбрать его по своему усмотрению."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B6\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.10"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tВычислите горизонтальную скорость $v_x$ и горизонтальное смещение $d_x$ (относительно пола башни в направлении, перпендикулярном башне) груза в момент времени, когда он ударится о пол. Можете считать, что высота $H$ башни мала, так что ускорение, измеренное космонавтами, постоянно во время падения. Также вы можете считать, что $d_x \\ll H$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tДля получения хороших результатов Алиса решила провести этот опыт, используя гораздо более высокую башню, чем раньше. К её удивлению, масса упала на пол около основания башни, т.е. $d_x = 0$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B7\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.30"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tНайдите минимальную высоту башни, для которой может произойти, что $d_x = 0$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tАлиса хочет предпринять последнюю попытку убедить Боба. Она хочет использовать свой пружинный маятник, чтобы показать влияние силы Кориолиса. Для этого она переделала установку: прикрепила пружину к кольцу, которое может свободно скользить по горизонтальному стержню вдоль оси $x$ без трения. Сама пружина колеблется в направлении $y$. Стержень параллелен полу и перпендикулярен оси вращения космической станции. Плоскость $xy$ таким образом перпендикулярна оси вращения, а ось $y$ направлена к центру вращения станции."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/1b819813d86abff36d36.webp","alt":"ipho-2016-t1 statement: original source diagram 2"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 5. Установка"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B8\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.70"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tАлиса потянула груз на расстояние $d$ вниз от положения равновесия $x = 0$, $y=0$, а затем отпустила (рис. 5). "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Приведите алгебраические выражения для $x(t)$ и $y(t)$. Величину $\\omega_{ss} d$ можно считать малой. Можно пренебречь силой Кориолиса для движения вдоль оси $y$. "}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Нарисуйте схематично траекторию ($x(t)$, $y(t)$), отметив все характерные особенности, в частности, амплитуду."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tАлиса и Боб продолжают спорить."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]}],"figures":["/corpus/figures/92503c11af3c293cd234.webp","/corpus/figures/6cd474f0468a9ad41562.webp","/corpus/figures/6cf9e38a1a39face89c9.webp","/corpus/figures/ddcff4ebfc327f714000.webp","/corpus/figures/1b819813d86abff36d36.webp"],"text":"Расмотрим твердый деревянный цилиндр радиуса $r_1$ и толщиной $h_1$. Где-то внутри деревянного цилиндра древесина заменена на металлический диск радиуса $r_2$ и толщиной $h_2$. Металлический диск установлен так, что его ось симметрии $B$ параллельна оси симметрии $S$ деревянного цилиндра. Диск находится на одинаковых расстояниях от верхнего и нижнего оснований деревянного цилиндра. Обозначим расстояние между осями $S$ и $B$ как $d$. Плотность древесины $\\rho_1$, плотность металла $\\rho_2 > \\rho_1$. Суммарная масса деревянного цилиндра c металлическим диском равна $M$. В этом задании поместим деревянный цилиндр на плоскость так, что он может свободно вращаться направо-налево. На рис. 1 показаны виды цилиндра с торца и сверху. Цель этого задания — определить размеры и место расположения металлического диска. Считайте, что следующие величины заданы: \\begin{equation*} r_1, \\,\\, h_1, \\,\\, \\rho_1, \\,\\, \\rho_2, \\,\\, M, \\,\\, g. \\quad \\quad (1) \\end{equation*} Цель — определить $r_2$, $h_2$ и $d$ путем косвенных измерений. Рис. 1.\n\na) вид с торца цилиндра\n\nb) вид сверху Расстояние между центром масс всей системы $C$ и осью симметрии деревянного цилиндра $S$ равно $b$. Для того, чтобы определить это расстояние, рассмотрим следующий эксперимент: деревянный цилиндр установлен на горизонтальной плоскости так, что он находится в устойчивом равновесии. Медленно наклоним плоскость на угол $\\Theta$ (см. рис. 2). Из-за наличия трения деревянный цилиндр может свободно вращаться без проскальзывания. Он чуть-чуть скатится вниз, а затем придет в состояние устойчивого равновесия после поворота на угол $\\phi$, который можно измерить. Рис. 2. Цилиндр на наклонной плоскости A1 0.80 Получите выражение для $b$ как функцию величин $(1)$, угла $\\phi$ и угла наклона плоскости $\\Theta$. С этого момента считаем, что величина $b$ известна. Рис. 3. Подвешенная система Теперь мы хотим измерить момент инерции $I_S$ системы относительно оси симметрии $S$. Для этого закрепим деревянный цилиндр за его ось симметрии с помощью жесткого стержня. Затем повернем его относительно положения равновесия на небольшой угол $\\varphi$ и отпустим его. Схема эксперимента показана на рис. 3. Окажется, что $\\varphi$ меняется периодически с периодом $T$. A2 0.50 Получите уравнение движения, используя $\\varphi$ в качестве переменной. Выразите момент инерции цилиндра $I_S$ относительно его оси симметрии $S$ через $T$, $b$ и известные величины $(1)$. Считайте, что отклонение от положения равновесия невелико, так что угол $\\varphi$ можно считать малым. Используя результаты измерений из пунктов A1 и A2, определим геометрические размеры металлического диска и его положение внутри деревянного цилиндра. A3 0.40 Получите выражение для расстояния $d$ как функцию $b$ и величин $(1)$. Вы можете также включить в ваше выражение в качестве переменных $r_2$ и $h_2$, т.к. они будут вычислены в пункте A5. A4 0.70 Получите выражение для момента инерции $I_S$ как функцию $b$ и известных величин $(1)$. Вы можете также включить в ваше выражение в качестве переменных $r_2$ и $h_2$, т.к. они будут вычислены в пункте A5. A5 1.10 Используя полученные выше результаты, запишите выражения для $h_2$ и $r_2$ через $b$, $T$ и известные величины $(1)$. Вы можете выразить $h_2$ как функцию $r_2$.\n\nАлиса — космонавт, она живет на космической станции. Космическая станция представляет собой гигантское колесо радиуса $R$, которое вращается вокруг своей оси, тем самым создавая для космонавтов искусственную гравитацию. Космонавты живут на внутренней стороне обода колеса. Силой гравитационного притяжения космической станции и кривизной пола можно пренебречь. B1 0.50 С какой циклической частотой $\\omega_{ss}$ должна вращаться станция, чтобы космонавты испытывали такое же ускорение свободного падения $g_E$, как на поверхности Земли? Алиса поспорила со своим другом — космонавтом Бобом. Боб не верит в то, что они действительно живут на космической станции и утверждает, что они находятся на Земле. Алиса хочет с помощью физики доказать Бобу, что они живут на вращающейся космической станции. Для этого она прикрепила груз массы $m$ к пружине с жёсткостью $k$ и заставила её колебаться. Груз колеблется только в вертикальном направлении и не может перемещаться в горизонтальном направлении. B2 0.20 Полагая, что ускорение свободного падения на Земле постоянно и равно $g_E$, чему будет равна циклическая частота колебаний $\\omega_E$, измеренная человеком на Земле? B3 0.60 Какую циклическую частоту $\\omega$ измерит Алиса на космической станции? Алиса считает, что ее опыт доказывает, что они находятся на вращающейся космической станции. Боб по-прежнему сомневается. Он утверждает, что если принять во внимание изменение силы притяжения по мере поднятия над поверхностью Земли, получится то же самое. В дальнейших заданиях мы изучим вопрос, прав ли Боб. Рис. 4. Космическая станция B4 0.80 Получите выражение для ускорения свободного падения $g_E(h)$ для небольших высот $h$ над поверхностью Земли и вычислите циклическую частоту колебаний $\\tilde{\\omega}_E$ колеблющегося груза (достаточно использовать линейное приближение). Обозначьте радиус Земли за $R_E$. Вращением Земли можно пренебречь. Разумеется, для данной космической станции Алиса обнаружила, что пружинный маятник колеблется с той частотой, которую предсказал Боб. B5 0.30 Для какого радиуса космической станции $R$ частота колебаний $\\omega$ совпадает с частотой колебаний $\\tilde{\\omega}_E$ на поверхности Земли? Выразите свой ответ через $R_E$. Раздраженная упрямством Боба, Алиса решила провести эксперимент, чтобы доказать свою точку зрения. Для этого она залезла на башню высотой $H$ от пола и уронила груз. Этот эксперимент можно рассматривать во вращающейся системе координат, а также в инерциальной системе координат. В равномерно вращающейся системе координат на космонавтов действует фиктивная сила $\\vec{F}_C$, называемая силой Кориолиса. Сила $\\vec{F}_C$, действующая на объект массой $m$, движущийся со скоростью $\\vec{v}$ в системе координат, вращающейся с постоянной циклической частотой $\\vec{\\omega}_{ss}$ определяется выражением: \\begin{equation} \\vec{F}_C = 2 m \\vec{v} \\times \\vec{\\omega}_{ss}. \\end{equation} Вы можете использовать это выражение в скалярном виде: \\begin{equation} F_C = 2 m v \\omega_{ss} \\sin \\phi, \\end{equation} где $\\phi$ — угол между скоростью и осью вращения. Сила перпендикулярна как скорости $v$, так и оси вращения. Знак силы определяется правилом правой руки, но в дальнейшем вы можете свободно выбрать его по своему усмотрению. B6 1.10 Вычислите горизонтальную скорость $v_x$ и горизонтальное смещение $d_x$ (относительно пола башни в направлении, перпендикулярном башне) груза в момент времени, когда он ударится о пол. Можете считать, что высота $H$ башни мала, так что ускорение, измеренное космонавтами, постоянно во время падения. Также вы можете считать, что $d_x \\ll H$. Для получения хороших результатов Алиса решила провести этот опыт, используя гораздо более высокую башню, чем раньше. К её удивлению, масса упала на пол около основания башни, т.е. $d_x = 0$. B7 1.30 Найдите минимальную высоту башни, для которой может произойти, что $d_x = 0$. Алиса хочет предпринять последнюю попытку убедить Боба. Она хочет использовать свой пружинный маятник, чтобы показать влияние силы Кориолиса. Для этого она переделала установку: прикрепила пружину к кольцу, которое может свободно скользить по горизонтальному стержню вдоль оси $x$ без трения. Сама пружина колеблется в направлении $y$. Стержень параллелен полу и перпендикулярен оси вращения космической станции. Плоскость $xy$ таким образом перпендикулярна оси вращения, а ось $y$ направлена к центру вращения станции. Рис. 5. Установка B8 1.70 Алиса потянула груз на расстояние $d$ вниз от положения равновесия $x = 0$, $y=0$, а затем отпустила (рис. 5). Приведите алгебраические выражения для $x(t)$ и $y(t)$. Величину $\\omega_{ss} d$ можно считать малой. Можно пренебречь силой Кориолиса для движения вдоль оси $y$. Нарисуйте схематично траекторию ($x(t)$, $y(t)$), отметив все характерные особенности, в частности, амплитуду. Алиса и Боб продолжают спорить.\n","shared":false},"solution":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.80"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tПолучите выражение для $b$ как функцию величин $(1)$, угла $\\phi$ и угла наклона плоскости $\\Theta$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tПолучите уравнение движения, используя $\\varphi$ в качестве переменной. Выразите момент инерции цилиндра $I_S$ относительно его оси симметрии $S$ через $T$, $b$ и известные величины $(1)$. Считайте, что отклонение от положения равновесия невелико, так что угол $\\varphi$ можно считать малым."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.40"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tПолучите выражение для расстояния $d$ как функцию $b$ и величин $(1)$. Вы можете также включить в ваше выражение в качестве переменных $r_2$ и $h_2$, т.к. они будут вычислены в пункте "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"A5."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A4\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.70"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tПолучите выражение для момента инерции $I_S$ как функцию $b$ и известных величин $(1)$. Вы можете также включить в ваше выражение в качестве переменных $r_2$ и $h_2$, т.к. они будут вычислены в пункте "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"A5."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A5\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.10"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tИспользуя полученные выше результаты, запишите выражения для $h_2$ и $r_2$ через $b$, $T$ и известные величины $(1)$. Вы можете выразить $h_2$ как функцию $r_2$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tС какой циклической частотой $\\omega_{ss}$ должна вращаться станция, чтобы космонавты испытывали такое же ускорение свободного падения $g_E$, как на поверхности Земли?"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Центробежная сила должна быть равна силе тяжести на Земле:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$F_{ce} = m\\omega_{ss}^2R = mg_E$$откуда:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\\omega_{ss} = \\sqrt{\\frac{g_E}{R}}.$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$\\omega_{ss} = \\sqrt{\\frac{g_E}{R}}$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tПолагая, что ускорение свободного падения на Земле постоянно и равно $g_E$, чему будет равна циклическая частота колебаний $\\omega_E$, измеренная человеком на Земле?"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Для пружинного маятника частота колебаний равна"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\\omega_{ss} = \\sqrt{\\frac{k}{m}}.$$Таким образом, мы можем видеть, что ответ не зависит от $g_E$.\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$\\omega_{ss} = \\sqrt{\\frac{k}{m}}$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tКакую циклическую частоту $\\omega$ измерит Алиса на космической станции?"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Запишем 2 закон Ньютона для груза:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$-k x + m \\omega_{ss}^2 x = m\\ddot x,$$откуда частота колебаний равна:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\\omega = \\sqrt{\\frac{k}{m} - \\omega_{ss}^2}.$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$\\omega = \\sqrt{\\frac{k}{m} - \\omega_{ss}^2}$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B4\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.80"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tПолучите выражение для ускорения свободного падения $g_E(h)$ для небольших высот $h$ над поверхностью Земли и вычислите циклическую частоту колебаний $\\tilde{\\omega}_E$ колеблющегося груза (достаточно использовать линейное приближение). Обозначьте радиус Земли за $R_E$. Вращением Земли можно пренебречь."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Ускорение свободного падения это гравитационна сила, действующая на тело единичной массы, то есть:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$g_E(h) = \\frac{GM}{(R_E + h)^2} \\approx \\frac{GM}{R_E^2} - \\frac{2GMh}{R_E^3} = g_E \\left(1 - \\frac{2h}{R_E^2}\\right)$$Запишем 2 закон Ньютона для груза:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$-kx + 2mg_E\\frac{x}{R_E} = m\\ddot x$$Откуда:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\\tilde\\omega_E = \\sqrt{\\frac{k}{m} - \\frac{2g_E}{R_E}}.$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$\\tilde\\omega_E = \\sqrt{\\frac{k}{m} - \\frac{2g_E}{R_E}}$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B5\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.30"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tДля какого радиуса космической станции $R$ частота колебаний $\\omega$ совпадает с частотой колебаний $\\tilde{\\omega}_E$ на поверхности Земли? Выразите свой ответ через $R_E$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n По условию:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\\omega = \\sqrt{\\frac{k}{m} - \\omega_{ss}^2} = \\tilde\\omega_E = \\sqrt{\\frac{k}{m} - \\frac{2g_E}{R_E}}.$$Тогда:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\\omega_{ss} = \\sqrt{\\frac{2g_E}{R_E}} = \\sqrt{\\frac{g_E}{R}} \\Rightarrow R = \\frac{R_E}{2}.$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$R = \\frac{R_E}{2}$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B6\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.10"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tВычислите горизонтальную скорость $v_x$ и горизонтальное смещение $d_x$ (относительно пола башни в направлении, перпендикулярном башне) груза в момент времени, когда он ударится о пол. Можете считать, что высота $H$ башни мала, так что ускорение, измеренное космонавтами, постоянно во время падения. Также вы можете считать, что $d_x \\ll H$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n $\\textbf{Перворе решение}$ (в неинерциальной системе отсчета):"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Сила Кориолиса, действующая на падающий груз равна"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$F_C(t) = 2m \\omega_{ss}^2 R t \\omega_{ss} = 2m \\omega_{ss}^2 Rt.$$Тогда из второго закона Ньютона:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$m\\ddot x = m \\frac{dv_x}{dt} = 2m \\omega_{ss}^3 Rt.$$Интегрируя предыдущее выражение по врмени получаем:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$v_x(t) = \\int\\limits_0^t 2 \\omega_{ss}^3 R t dt = \\omega_{ss}^3 R t^2.$$Где $t$ это вермя падения груза:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\\frac{gt^2}{2} = \\frac{\\omega_{ss}^2 R t^2}{2} = 2H,$$следовательно"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$v_x = 2H \\omega_{ss}.$$Интегрируем это выражение по вермени:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$d_x(t) = \\int\\limits_0^t \\omega_{ss}^3 R t^2 = \\frac{R \\omega_{ss}^3 t^3}{3}.$$Подставляя значение $t$:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$d_x = \\frac{R \\omega_{ss}^3}{3} \\left(\\frac{2H}{\\omega_{ss}^2 R}\\right)^{3/2} = \\frac{2}{3} \\sqrt{\\frac{2H^3}{R}}.$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$\\textbf{Второе решение}$ (в инерциальной системе отсчета):"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Здесь $\\varphi$ обозначает угол, на который движется масса, а $\\alpha$ $-$ угол, на который поворачиваются астронавты (и башня), когда масса приземляется на пол. Первоначально скорость массы в инерциальной системе отсчета равна $v_x = \\omega_{ss} (R - H)$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Когда масса приземляется, направление оси $OX$ изменяется на $\\varphi$, так что новая горизонтальная составляющая скорости будет равна"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\\omega_{ss} (R - H) \\cos\\varphi$$где $\\cos\\varphi = 1 - H / R$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Переходя к вращающейся системе отсчета, нужно вычесть $\\omega_{ss} R$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Наконец, в системе отсчета астронавтов:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$v_x = - \\omega_{ss} R \\left(1 - \\frac{H}{R} \\right)^2 + \\omega_{ss} R \\approx - \\omega_{ss} R \\left(1 - \\frac{2H}{R} \\right) + \\omega_{ss} R = 2 \\omega_{ss} H.$$(Знак скорости $v_x$ зависит от выбора направления оси $OX$)"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Так как во время \"падения\" груз в инерциальной системе отсчета движется по прямой:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$d_x \\approx R (\\alpha - \\varphi) = R\\left(\\omega_{ss} t - \\arccos\\left(1 - \\frac{H}{R}\\right)\\right)\\\\"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"t = \\frac{\\sqrt{R^2 - (R - H)^2}}{\\omega_{ss} (R - H)}.$$Обозначим $\\xi = H / R$, тогда:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$d_x = R \\left(\\frac{\\sqrt{1 - (1 - \\xi)^2}}{1 - \\xi} - \\arccos(1 - \\xi)\\right)$$Для малых $\\xi$:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$d_x = \\frac{2}{3} \\sqrt{\\frac{2H^3}{R}}.$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$v_x = 2H \\omega_{ss}\\\\"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"d_x = \\frac{2}{3} \\sqrt{\\frac{2H^3}{R}}$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B7\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.30"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tНайдите минимальную высоту башни, для которой может произойти, что $d_x = 0$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Нужно перейти в инерциальную (невращающуюся) систему отсчета. Если масса будет выпущена достаточно близко к центру, ее линейная скорость будет достаточно мала, чтобы космическая станция успела совершить оборот более чем на $2 \\pi$, прежде чем ударится о пол."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Приобретенная скорость после отпускания груза равна:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$v = \\omega_{ss} (R - H).$$Расстояние $d$, которое груз пролетит перед столкновением с змелей равно"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$d = \\sqrt{R^2 - (R - H)^2}.$$Время падения груза равно"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$t = \\frac{d}{v} = \\frac{\\sqrt{R^2 - (R - H)^2}}{\\omega_{ss} (R - H)}.$$Теперь существует несколько возможных способов связать $H$ и угол поворота $\\varphi$ космической станции:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$\\textbf{Первое решение:}$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$t = \\frac{R \\sin\\varphi}{\\omega_{ss} R \\cos\\varphi} = \\frac{\\varphi}{\\omega_{ss}}$$Откуда:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\\varphi = \\tan\\varphi$$Понимаем, что существует бесконечное число решений."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Это уравнение имеет одно тривиальное решение $\\varphi = 0$, следующее решение немного меньше $3\\pi /2$, что"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"соответствует случаю $H > R$ (и, следовательно, неверно). То, которое дает нижнюю границу для $H$, является третьим решением"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\\varphi \\approx \\frac{5 \\pi}{2}$$Уравнение $\\varphi = \\tan\\varphi$ может быть решено графически или численно, чтобы получить близкое значение ($\\varphi = 7,725$), что означает:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\\frac{H}{R} = 1 - \\cos\\varphi \\approx 0{,}871$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$\\frac{H}{R} = 0{,}871$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B8\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.70"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tАлиса потянула груз на расстояние $d$ вниз от положения равновесия $x = 0$, $y=0$, а затем отпустила (рис. 5). "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Приведите алгебраические выражения для $x(t)$ и $y(t)$. Величину $\\omega_{ss} d$ можно считать малой. Можно пренебречь силой Кориолиса для движения вдоль оси $y$. "}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Нарисуйте схематично траекторию ($x(t)$, $y(t)$), отметив все характерные особенности, в частности, амплитуду."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Поймите, что $y(t)$ $-$ это стандартное гармоническое колебание:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$y(t) = A\\cos \\omega t + B$$Из начальных условий получаем значиения $A$ и $B$:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$y(t) = -d\\cos \\omega t,$$тогда проекция $v_y$ на ось $OY$:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$v_y(t) = -d\\omega \\sin\\omega t.$$Сила Кориолиса вдоль оси $OX$ равна"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$F_x(t) = 2m\\omega_{ss} v_y(t) = -2m\\omega_{ss} d\\omega\\sin\\omega t$$Вдоль оси $OX$ движение груза представляет из себя комбинацию гармонических колебаний и поступательного движения:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$x(t) = \\frac{2\\omega_{ss}d}{\\omega} \\sin\\omega t - 2 \\omega_{ss} dt$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n\n\n\n    \n        \n            "},{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/20136aeb2f054573f2b0.webp","alt":"ipho-2016-t1 solution: original source diagram 1"}]}]}]}],"figures":["/corpus/figures/20136aeb2f054573f2b0.webp"],"text":"A1 0.80 Получите выражение для $b$ как функцию величин $(1)$, угла $\\phi$ и угла наклона плоскости $\\Theta$.\nA2 0.50 Получите уравнение движения, используя $\\varphi$ в качестве переменной. Выразите момент инерции цилиндра $I_S$ относительно его оси симметрии $S$ через $T$, $b$ и известные величины $(1)$. Считайте, что отклонение от положения равновесия невелико, так что угол $\\varphi$ можно считать малым.\nA3 0.40 Получите выражение для расстояния $d$ как функцию $b$ и величин $(1)$. Вы можете также включить в ваше выражение в качестве переменных $r_2$ и $h_2$, т.к. они будут вычислены в пункте A5.\nA4 0.70 Получите выражение для момента инерции $I_S$ как функцию $b$ и известных величин $(1)$. Вы можете также включить в ваше выражение в качестве переменных $r_2$ и $h_2$, т.к. они будут вычислены в пункте A5.\nA5 1.10 Используя полученные выше результаты, запишите выражения для $h_2$ и $r_2$ через $b$, $T$ и известные величины $(1)$. Вы можете выразить $h_2$ как функцию $r_2$.\nB1 0.50 С какой циклической частотой $\\omega_{ss}$ должна вращаться станция, чтобы космонавты испытывали такое же ускорение свободного падения $g_E$, как на поверхности Земли? Центробежная сила должна быть равна силе тяжести на Земле: $$F_{ce} = m\\omega_{ss}^2R = mg_E$$откуда: $$\\omega_{ss} = \\sqrt{\\frac{g_E}{R}}.$$ Ответ: \n                    \n $$\\omega_{ss} = \\sqrt{\\frac{g_E}{R}}$$\nB2 0.20 Полагая, что ускорение свободного падения на Земле постоянно и равно $g_E$, чему будет равна циклическая частота колебаний $\\omega_E$, измеренная человеком на Земле? Для пружинного маятника частота колебаний равна $$\\omega_{ss} = \\sqrt{\\frac{k}{m}}.$$Таким образом, мы можем видеть, что ответ не зависит от $g_E$. Ответ: \n                    \n $$\\omega_{ss} = \\sqrt{\\frac{k}{m}}$$\nB3 0.60 Какую циклическую частоту $\\omega$ измерит Алиса на космической станции? Запишем 2 закон Ньютона для груза: $$-k x + m \\omega_{ss}^2 x = m\\ddot x,$$откуда частота колебаний равна: $$\\omega = \\sqrt{\\frac{k}{m} - \\omega_{ss}^2}.$$ Ответ: \n                    \n $$\\omega = \\sqrt{\\frac{k}{m} - \\omega_{ss}^2}$$\nB4 0.80 Получите выражение для ускорения свободного падения $g_E(h)$ для небольших высот $h$ над поверхностью Земли и вычислите циклическую частоту колебаний $\\tilde{\\omega}_E$ колеблющегося груза (достаточно использовать линейное приближение). Обозначьте радиус Земли за $R_E$. Вращением Земли можно пренебречь. Ускорение свободного падения это гравитационна сила, действующая на тело единичной массы, то есть: $$g_E(h) = \\frac{GM}{(R_E + h)^2} \\approx \\frac{GM}{R_E^2} - \\frac{2GMh}{R_E^3} = g_E \\left(1 - \\frac{2h}{R_E^2}\\right)$$Запишем 2 закон Ньютона для груза: $$-kx + 2mg_E\\frac{x}{R_E} = m\\ddot x$$Откуда: $$\\tilde\\omega_E = \\sqrt{\\frac{k}{m} - \\frac{2g_E}{R_E}}.$$ Ответ: \n                    \n $$\\tilde\\omega_E = \\sqrt{\\frac{k}{m} - \\frac{2g_E}{R_E}}$$\nB5 0.30 Для какого радиуса космической станции $R$ частота колебаний $\\omega$ совпадает с частотой колебаний $\\tilde{\\omega}_E$ на поверхности Земли? Выразите свой ответ через $R_E$. По условию: $$\\omega = \\sqrt{\\frac{k}{m} - \\omega_{ss}^2} = \\tilde\\omega_E = \\sqrt{\\frac{k}{m} - \\frac{2g_E}{R_E}}.$$Тогда: $$\\omega_{ss} = \\sqrt{\\frac{2g_E}{R_E}} = \\sqrt{\\frac{g_E}{R}} \\Rightarrow R = \\frac{R_E}{2}.$$ Ответ: \n                    \n $$R = \\frac{R_E}{2}$$\nB6 1.10 Вычислите горизонтальную скорость $v_x$ и горизонтальное смещение $d_x$ (относительно пола башни в направлении, перпендикулярном башне) груза в момент времени, когда он ударится о пол. Можете считать, что высота $H$ башни мала, так что ускорение, измеренное космонавтами, постоянно во время падения. Также вы можете считать, что $d_x \\ll H$. $\\textbf{Перворе решение}$ (в неинерциальной системе отсчета): Сила Кориолиса, действующая на падающий груз равна $$F_C(t) = 2m \\omega_{ss}^2 R t \\omega_{ss} = 2m \\omega_{ss}^2 Rt.$$Тогда из второго закона Ньютона: $$m\\ddot x = m \\frac{dv_x}{dt} = 2m \\omega_{ss}^3 Rt.$$Интегрируя предыдущее выражение по врмени получаем: $$v_x(t) = \\int\\limits_0^t 2 \\omega_{ss}^3 R t dt = \\omega_{ss}^3 R t^2.$$Где $t$ это вермя падения груза: $$\\frac{gt^2}{2} = \\frac{\\omega_{ss}^2 R t^2}{2} = 2H,$$следовательно $$v_x = 2H \\omega_{ss}.$$Интегрируем это выражение по вермени: $$d_x(t) = \\int\\limits_0^t \\omega_{ss}^3 R t^2 = \\frac{R \\omega_{ss}^3 t^3}{3}.$$Подставляя значение $t$: $$d_x = \\frac{R \\omega_{ss}^3}{3} \\left(\\frac{2H}{\\omega_{ss}^2 R}\\right)^{3/2} = \\frac{2}{3} \\sqrt{\\frac{2H^3}{R}}.$$ $\\textbf{Второе решение}$ (в инерциальной системе отсчета): Здесь $\\varphi$ обозначает угол, на который движется масса, а $\\alpha$ $-$ угол, на который поворачиваются астронавты (и башня), когда масса приземляется на пол. Первоначально скорость массы в инерциальной системе отсчета равна $v_x = \\omega_{ss} (R - H)$. Когда масса приземляется, направление оси $OX$ изменяется на $\\varphi$, так что новая горизонтальная составляющая скорости будет равна $$\\omega_{ss} (R - H) \\cos\\varphi$$где $\\cos\\varphi = 1 - H / R$. Переходя к вращающейся системе отсчета, нужно вычесть $\\omega_{ss} R$. Наконец, в системе отсчета астронавтов: $$v_x = - \\omega_{ss} R \\left(1 - \\frac{H}{R} \\right)^2 + \\omega_{ss} R \\approx - \\omega_{ss} R \\left(1 - \\frac{2H}{R} \\right) + \\omega_{ss} R = 2 \\omega_{ss} H.$$(Знак скорости $v_x$ зависит от выбора направления оси $OX$) Так как во время \"падения\" груз в инерциальной системе отсчета движется по прямой: $$d_x \\approx R (\\alpha - \\varphi) = R\\left(\\omega_{ss} t - \\arccos\\left(1 - \\frac{H}{R}\\right)\\right)\\\\ t = \\frac{\\sqrt{R^2 - (R - H)^2}}{\\omega_{ss} (R - H)}.$$Обозначим $\\xi = H / R$, тогда: $$d_x = R \\left(\\frac{\\sqrt{1 - (1 - \\xi)^2}}{1 - \\xi} - \\arccos(1 - \\xi)\\right)$$Для малых $\\xi$: $$d_x = \\frac{2}{3} \\sqrt{\\frac{2H^3}{R}}.$$ Ответ: \n                    \n $$v_x = 2H \\omega_{ss}\\\\ d_x = \\frac{2}{3} \\sqrt{\\frac{2H^3}{R}}$$\nB7 1.30 Найдите минимальную высоту башни, для которой может произойти, что $d_x = 0$. Нужно перейти в инерциальную (невращающуюся) систему отсчета. Если масса будет выпущена достаточно близко к центру, ее линейная скорость будет достаточно мала, чтобы космическая станция успела совершить оборот более чем на $2 \\pi$, прежде чем ударится о пол. Приобретенная скорость после отпускания груза равна: $$v = \\omega_{ss} (R - H).$$Расстояние $d$, которое груз пролетит перед столкновением с змелей равно $$d = \\sqrt{R^2 - (R - H)^2}.$$Время падения груза равно $$t = \\frac{d}{v} = \\frac{\\sqrt{R^2 - (R - H)^2}}{\\omega_{ss} (R - H)}.$$Теперь существует несколько возможных способов связать $H$ и угол поворота $\\varphi$ космической станции: $\\textbf{Первое решение:}$ $$t = \\frac{R \\sin\\varphi}{\\omega_{ss} R \\cos\\varphi} = \\frac{\\varphi}{\\omega_{ss}}$$Откуда: $$\\varphi = \\tan\\varphi$$Понимаем, что существует бесконечное число решений. Это уравнение имеет одно тривиальное решение $\\varphi = 0$, следующее решение немного меньше $3\\pi /2$, что соответствует случаю $H > R$ (и, следовательно, неверно). То, которое дает нижнюю границу для $H$, является третьим решением $$\\varphi \\approx \\frac{5 \\pi}{2}$$Уравнение $\\varphi = \\tan\\varphi$ может быть решено графически или численно, чтобы получить близкое значение ($\\varphi = 7,725$), что означает: $$\\frac{H}{R} = 1 - \\cos\\varphi \\approx 0{,}871$$ Ответ: \n                    \n $$\\frac{H}{R} = 0{,}871$$\nB8 1.70 Алиса потянула груз на расстояние $d$ вниз от положения равновесия $x = 0$, $y=0$, а затем отпустила (рис. 5). Приведите алгебраические выражения для $x(t)$ и $y(t)$. Величину $\\omega_{ss} d$ можно считать малой. Можно пренебречь силой Кориолиса для движения вдоль оси $y$. Нарисуйте схематично траекторию ($x(t)$, $y(t)$), отметив все характерные особенности, в частности, амплитуду. Поймите, что $y(t)$ $-$ это стандартное гармоническое колебание: $$y(t) = A\\cos \\omega t + B$$Из начальных условий получаем значиения $A$ и $B$: $$y(t) = -d\\cos \\omega t,$$тогда проекция $v_y$ на ось $OY$: $$v_y(t) = -d\\omega \\sin\\omega t.$$Сила Кориолиса вдоль оси $OX$ равна $$F_x(t) = 2m\\omega_{ss} v_y(t) = -2m\\omega_{ss} d\\omega\\sin\\omega t$$Вдоль оси $OX$ движение груза представляет из себя комбинацию гармонических колебаний и поступательного движения: $$x(t) = \\frac{2\\omega_{ss}d}{\\omega} \\sin\\omega t - 2 \\omega_{ss} dt$$ Ответ:","shared":false}},{"id":"ipho-2014-t3","importedOn":"2026-10-28","language":"en","sources":[{"url":"https://www.ipho-new.org/download/576/","kind":"statement","archiveMember":"2014/2014_IPhO_Theory_Problem_3.pdf"},{"url":"https://www.ipho-new.org/download/576/","kind":"solution","archiveMember":"2014/2014_IPhO_Solution_to_Theory_Problem_3.pdf"}],"statement":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/ipho-2014-t3-statement/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/ipho-2014-t3-statement/page-1.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2014-t3-statement/page-2.webp","width":982,"height":1389}],"text":"            Theoretical competition. Tuesday, 15 July 2014                      1/2 \n \nProblem3. Simplest model of gas discharge (10 points) \nAn electric current flowing through a gas is called a gas discharge. There are many types of gas \ndischarges including glow discharge in lighting lamps, arc discharge inwelding and the well known spark \ndischarge that occurs between the clouds and the earth in the form of lightning. \nPart А. Non-self-sustained gas discharge (4.8points) \nIn this part of the problem the so-called non-self-sustained gas discharge is studied. To maintain it a \npermanent operationan external ionizer is needed, which creates 𝑍ext pairs of singly ionized ions and free \nelectrons per unit volume and per unit time uniformly in the volume. \nWhen an external ionizer is switched on, the number of electrons and ions starts to grow. Unlimited \nincrease in the number densities of electrons and ions in the gas is prevented by the recombination process in \nwhich a free electron recombineswith an ion to form a neutral atom. The number of recombining \nevents𝑍rec that occurs in the gas per unit volume and per unit time is given by \n𝑍rec = 𝑟𝑛𝑒𝑛𝑖, \nwhere 𝑟 is a constant called the recombination coefficient, and 𝑛𝑒,𝑛𝑖denotethe electron and ion number \ndensities, respectively. \nSuppose that at time 𝑡= 0the external ionizer is switched on and the initial number densities of \nelectrons and ions in the gas are both equal to zero. Then, the electron number density 𝑛𝑒(𝑡) depends on \ntime𝑡as follows: \n𝑛𝑒 𝑡 = 𝑛0 + 𝑎tanh 𝑏𝑡, \nwhere 𝑛0, 𝑎 and 𝑏are some constants, and tanh 𝑥stands for the hyperbolic tangent. \nA1 Find𝑛0, 𝑎, 𝑏and express them in terms of𝑍ext and𝑟.(1.8points) \nAssume that there are two external ionizers available. When the first one is switched on, the electron \nnumber density in the gas reaches its equilibrium value of be 𝑛𝑒1 = 12 ∙1010cm−3. When the second \nexternal ionizer is switched on, the electron number density reaches its equilibrium value of 𝑛𝑒2 = 16 ∙\n1010cm−3. \nA2 Find the electron number density𝑛𝑒at equilibriumwhen both external ionizers are switched on \nsimultaneously.(0.6 points) \nAttention!In what follows it is assumed that the external ionizer is switched on for quite long period \nof time such that all processes have become stationary and do not depend on time. Completely neglect the \nelectric field due the charge carriers. \nAssume that the gas fills in the tube between the two parallel conductive plates of area 𝑆 separated by \nthe distance 𝐿≪ 𝑆 from each other. The voltage 𝑈 is applied across the plates to create an electric field \nbetween them. Assume that the number densities of both kinds of charge carriers remain almost constant \nalong the tube. \nAssumethat both the electrons (denoted by thesubscript𝑒) and the ions (denoted by the subscript𝑖) \nacquire the same ordered speed𝑣due to the electric field strength𝐸 found as \n𝑣= 𝛽𝐸, \nwhere 𝑏isa constant called charge mobility. \nA3 Express the electric current𝐼in the tube in terms of 𝑈, 𝛽, 𝐿, 𝑆, 𝑍ext , 𝑟 and 𝑒whichis the elementary \ncharge.(1.7 points) \nA4 Find the resistivity𝜌gas of the gas at sufficiently small values of the voltage applied and express it in \nterms of𝛽, 𝐿, 𝑍ext , 𝑟 and 𝑒.(0.7 points) \n \n \n \n\n            Theoretical competition. Tuesday, 15 July 2014                      2/2 \n \nPartB. Self-sustained gas discharge (5.2 points) \nIn this part of the problemthe ignition of the self-sustained gas discharge is consideredto show how \nthe electric current in the tube becomes self-maintaining. \nAttention!In the sequel assume that the external ionizer continues to operatewith the same 𝑍ext rate, \nneglect the electric field due to the charge carriers such that the electric field is uniform along the tube, and \nthe recombination can be completely ignored. \nFor the self-sustained gas discharge there are two \nimportant processes not considered above. The first process \nisasecondary electron emission, and the second one isa \nformation of electron avalanche. The secondary electron \nemission occurs when ions hit on the negative electrode, \ncalled a cathode, and the electrons are knocked out of it to \nmove towards the positive electrode, called an anode. The \nratio of the number of the knocked electrons𝑁 𝑒per unit \ntimeto the number of ions𝑁𝑖  hitting the cathode per unit \ntime is called the coefficient of the secondary electron \nemission,𝛾= 𝑁 𝑒/𝑁𝑖 .The \nformation \nof \nthe \nelectron \navalanche isexplained as follows. The electric field accelerates free electrons which acquire enough kinetic \nenergy to ionize the atoms in the gas by hitting them. As a result the number of free electrons moving \ntowards the anodesignificantly increases. This process is described by the Townsend coefficient 𝛼, which \ncharacterizes an increase in the number of electrons𝑑𝑁𝑒due to moving 𝑁𝑒 electrons that have passed the \ndistance𝑑𝑙, i.e. \n𝑑𝑁𝑒\n𝑑𝑙= 𝛼𝑁𝑒. \nThe total current𝐼 in any cross section of the gas tube consists of the ion 𝐼𝑖(𝑥)and the electron𝐼𝑒(𝑥) \ncurrents which, in the steady state, depend on the coordinate 𝑥, shown in the figureabove. The electron \ncurrent 𝐼𝑒(𝑥) varies along the 𝑥-axis according to the formula \n𝐼𝑒 𝑥 = 𝐶1𝑒𝐴1𝑥+ 𝐴2, \nwhere 𝐴1, 𝐴2, 𝐶1 are some constants. \nB1 \nFind𝐴1, 𝐴2and express them in terms of𝑍ext , 𝛼, 𝑒, 𝐿, 𝑆.(2 points) \nThe ion current 𝐼𝑖(𝑥) varies along the 𝑥-axis according to the formula  \n𝐼𝑖 𝑥 = 𝐶2 + 𝐵1𝑒𝐵2𝑥, \nwhere 𝐵1, 𝐵2, 𝐶2 are some constants. \nB2 \nFind𝐵1, 𝐵2and express them in terms of𝑍ext , 𝛼, 𝑒, 𝐿, 𝑆, 𝐶1.(0.6 points) \nB3 \nWrite down the condition for 𝐼𝑖(𝑥)at𝑥= 𝐿.(0.3 points) \nB4 \nWrite down the condition for𝐼𝑖(𝑥)and𝐼𝑒(𝑥)at 𝑥= 0.(0.6 points) \nB5 \nFind the total current𝐼and express it in terms of𝑍ext , 𝛼, 𝛾, 𝑒, 𝐿, 𝑆.Assume that it remains finite  \n(1.2 points) \nLet the Townsend coefficient 𝛼be constant. When the length of the tube turns out greater than some \ncritical value, i.e. 𝐿> 𝐿cr, the external ionizer can be turned off and the discharge becomes self-sustained. \nB6 \nFind𝐿𝑐𝑟and express it in terms of𝑍ext , 𝛼, 𝛾, 𝑒, 𝐿, 𝑆.(0.5 points) \n \n","shared":false,"sourcePages":[1,2]},"solution":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/ipho-2014-t3-solution/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/ipho-2014-t3-solution/page-1.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2014-t3-solution/page-2.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2014-t3-solution/page-3.webp","width":982,"height":1389}],"text":"             Theoretical competition. Tuesday, 15 July 2014                      1/3 \n \nProblem 3. Simplest model of gas discharge \nSolution \nPart А. Non-self-sustained gas discharge \nA1.Let us derive an equation describing the change of the electron number density with time. It is \ndetermined by the two processes; the generation of ion pairs by external ionizer and the recombination of \nelectrons with ions. At ionization process electrons and ions are generated in pairs, and at recombination \nprocessthey disappear in pairs as well.Thus, their concentrations are alwaysequal at any given time, i.e. \n \n \n𝑛 𝑡 = 𝑛𝑒 𝑡 = 𝑛𝑖(𝑡) \n \n \n \n \n \n \n(A1.1). \nThen the equation describing the numberdensityevolution of electrons and ions in time can be written \nas \n \n \n𝑑𝑛(𝑡)\n𝑑𝑡\n= 𝑍𝑒𝑥𝑡−𝑟𝑛(𝑡)2 \n \n \n \n \n \n \n(A1.2). \nIt is easy to show that at𝑡→0 the function tanh 𝑏𝑡→0, therefore, by virtue of the initial condition \n𝑛 0 = 0,one finds \n \n \n𝑛0 = 0 \n \n \n \n \n \n \n \n \n(A1.3). \nSubstituting 𝑛𝑒 𝑡 = 𝑎tanh 𝑏𝑡 in (A1.2) and separating it in the independent functions (hyperbolic, \nor 1 and𝑒𝑥), one gets \n \n \n𝑎= \n𝑍𝑒𝑥𝑡\n𝑟 \n \n \n \n \n \n \n \n \n(A1.4), \n \n \n𝑏= 𝑟𝑍𝑒𝑥𝑡 \n \n \n \n \n \n \n \n \n(A1.5). \nA2.According to equation (A1.4) the number density of electronsat steady-state is expressed in terms of the \nexternal ionizer activity as \n \n \n𝑛𝑒1 = \n𝑍𝑒𝑥𝑡1\n𝑟  \n \n \n \n \n \n \n \n(A2.1), \n \n \n𝑛𝑒2 = \n𝑍𝑒𝑥𝑡2\n𝑟  \n \n \n \n \n \n \n \n(A2.2), \n \n \n𝑛𝑒= \n𝑍𝑒𝑥𝑡1+𝑍𝑒𝑥𝑡2\n𝑟\n \n \n \n \n \n \n \n \n(A2.3). \nThus,the following analogue of the Pythagorean theorem is obtained as \n \n \n𝑛𝑒= 𝑛𝑒1\n2 + 𝑛𝑒2\n2 = 20.0 ∙1010cm−3. \n \n \n \n \n(A2.4) \nA3.In the steady state, the balance equations of electrons and ions in the tube volume take the form \n \n \n \n𝑍𝑒𝑥𝑡𝑆𝐿= 𝑟𝑛𝑒𝑛𝑖𝑆𝐿+\n𝐼𝑒\n𝑒 \n \n \n \n \n \n \n(A3.1), \n \n \n \n𝑍𝑒𝑥𝑡𝑆𝐿= 𝑟𝑛𝑒𝑛𝑖𝑆𝐿+\n𝐼𝑖\n𝑒 \n \n \n \n \n \n \n(A3.2). \nIt follows from equations (A3.1) and (A3.2) that the ion and electron currents are equal, i.e. \n \n \n \n𝐼𝑒= 𝐼𝑖  \n \n \n \n \n \n \n \n \n(A3.3). \nAt the same time the total current in each tube section is the sum of the electron and ion currents \n \n \n \n𝐼= 𝐼𝑒+ 𝐼𝑖 \n \n \n \n \n \n \n \n \n(A3.4). \nBy definition ofthe current density the following relations hold \n \n \n \n𝐼𝑒=\n𝐼\n2 = 𝑒𝑛𝑒𝑣𝑆= 𝑒𝛽𝑛𝑒𝐸𝑆  \n \n \n \n \n \n(A3.5), \n \n \n \n𝐼𝑖=\n𝐼\n2 = 𝑒𝑛𝑖𝑣𝑆= 𝑒𝛽𝑛𝑖𝐸𝑆 \n \n \n \n \n \n \n(A3.6). \nSubstituting (A3.5) and (A3.6) into (A3.1) and (A3.2), the following quadratic equation for the \ncurrent is derived \n \n \n \n𝑍𝑒𝑥𝑡𝑆𝐿= 𝑟𝑆𝐿 \n𝐼\n2𝑒𝛽𝐸𝑆 \n2\n+\n𝐼\n2𝑒  \n \n \n \n \n \n(A3.7). \nThe electric field strength in the gas is equal to \n \n \n \n𝐸=\n𝑈\n𝐿  \n \n \n \n \n \n \n \n \n(A3.8). \nand solution to the quadratic equation (A3.7) takes the form \n \n \n \n𝐼=\n𝑒𝛽2𝑈2𝑆\n𝑟𝐿3\n −1 ± 1 +\n4𝑟𝑍𝑒𝑥𝑡𝐿4\n𝛽2𝑈2  \n \n \n \n \n \n(A3.9). \n\n             Theoretical competition. Tuesday, 15 July 2014                      2/3 \n \nIt is obvious that only positive root does make sense, i.e. \n \n \n \n𝐼=\n𝑒𝛽2𝑈2𝑆\n𝑟𝐿3\n  1 +\n4𝑟𝑍𝑒𝑥𝑡𝐿4\n𝛽2𝑈2\n−1  \n \n \n \n \n \n(A3.10). \nA4.At low voltages (A3.10) simplifies and gives the following expression \n \n \n \n𝐼= 2𝑈𝑒𝛽 \n𝑍𝑒𝑥𝑡\n𝑟\n𝑆\n𝐿. \n \n \n \n \n \n \n \n(A4.1) \nwhich is actually the Ohm law. \nUsing the well-known relation \n \n \n \n𝑅=\n𝑈\n𝐼  \n \n \n \n \n \n \n \n \n(A4.2) \ntogether with \n \n \n \n𝑅= 𝜌\n𝐿\n𝑆 \n \n \n \n \n \n \n \n \n(A4.3), \none gets \n \n \n \n𝜌=\n1\n2𝑒𝛽 \n𝑟\n𝑍𝑒𝑥𝑡  \n \n \n \n \n \n \n \n(A4.4). \nPart B. Self-sustained gas discharge \nB1.Consider a gas layer located between 𝑥and𝑥+ 𝑑𝑥.The rate of change in the electron number inside the \nlayer due to the electric current is givenfor a small time interval 𝑑𝑡 by \n \n \n𝑑𝑁𝑒\n𝐼=\n𝐼𝑒 𝑥+𝑑𝑥 −𝐼𝑒(𝑥)\n𝑒\n𝑑𝑡=\n1\n𝑒\n𝑑𝐼𝑒 𝑥 \n𝑑𝑥\n𝑑𝑥𝑑𝑡. \n \n \n \n \n(B1.1). \nThis change is due to the effect of the external ionization and the electron avalanche formation. \nThe external ionizer creates the following number of electrons in the volume𝑆𝑑𝑥 \n \n \n𝑑𝑁𝑒\n𝑒𝑥𝑡= 𝑍𝑒𝑥𝑡𝑆𝑑𝑥𝑑𝑡  \n \n \n \n \n \n \n(B1.2). \nwhereas the electron avalanche produces the number of electrons found as \n \n \n𝑑𝑁𝑒\n𝑎= 𝛼𝑁𝑒𝑑𝑙= 𝑛𝑒𝑆𝑑𝑥𝑣𝑑𝑡= 𝛼\n𝐼𝑒(𝑥)\n𝑒\n𝑑𝑥𝑑𝑡  \n \n \n \n(B1.3). \nThe balance equationfor the number of electrons is written as \n \n \n𝑑𝑁𝑒\n𝐼= 𝑑𝑁𝑒\n𝑒𝑥𝑡+ 𝑑𝑁𝑒\n𝑎  \n \n \n \n \n \n \n(B1.4), \nwhichresults in the following differential equation for the electron current \n \n \n𝑑𝐼𝑒(𝑥)\n𝑑𝑥\n= 𝑒𝑍𝑒𝑥𝑡𝑆+ 𝛼𝐼𝑒(𝑥) \n \n \n \n \n \n \n(B1.5). \nOn substituting𝐼𝑒 𝑥 = 𝐶1𝑒𝐴1𝑥+ 𝐴2,one derives \n \n \n𝐴1 = 𝛼 \n \n \n \n \n \n \n \n \n(B1.6), \n \n \n𝐴2 = −\n𝑒𝑍𝑒𝑥𝑡𝑆\n𝛼\n  \n \n \n \n \n \n \n \n(B1.7). \nB2.Given the fact that the ions flow in the direction opposite to the electron motion,the balance equationfor \nthe number of ionsis written as \n \n \n𝑑𝑁𝑖\n𝐼= 𝑑𝑁𝑖\n𝑒𝑥𝑡+ 𝑑𝑁𝑖\n𝑎  \n \n \n \n \n \n \n(B2.1), \nwhere \n \n \n𝑑𝑁𝑖\n𝐼=\n𝐼𝑖 𝑥 −𝐼𝑖(𝑥+𝑑𝑥)\n𝑒\n𝑑𝑡= −\n1\n𝑒\n𝑑𝐼𝑖 𝑥 \n𝑑𝑥\n𝑑𝑥𝑑𝑡 \n \n \n \n \n(B2.2). \n \n \n𝑑𝑁𝑖\n𝑒𝑥𝑡= 𝑍𝑒𝑥𝑡𝑆𝑑𝑥𝑑𝑡  \n \n \n \n \n \n \n(B2.3). \n \n \n𝑑𝑁𝑖\n𝑎= 𝛼\n𝐼𝑒(𝑥)\n𝑒\n𝑑𝑥𝑑𝑡  \n \n \n \n \n \n \n(B2.4). \nHence, the following differential equation for the ion current is obtained \n \n \n−\n𝑑𝐼𝑖(𝑥)\n𝑑𝑥\n= 𝑒𝑍𝑒𝑥𝑡𝑆+ 𝛼𝐼𝑒(𝑥).  \n \n \n \n \n \n(B2.5) \nOnsubstituting the previouslyfound electron current together with the ion current,𝐼𝑖 𝑥 = 𝐶2 +\n𝐵1𝑒𝐵2𝑥,yields \n \n \n𝐵1 = −𝐶1 \n \n \n \n \n \n \n \n \n(B2.6), \n \n \n𝐵2 = 𝛼 \n \n \n \n \n \n \n \n \n(B2.7). \nB3.Sincetheionsstartstomovefrom the anode located at𝑥= 𝐿, the following condition holds \n \n \n \n𝐼𝑖 𝐿 = 0 \n \n \n \n \n \n \n \n \n(B3.1). \nB4.By definition of secondary electron emission coefficient the following condition should be imposed  \n \n \n𝐼𝑒 0 = 𝛾𝐼𝑖 0  \n \n \n \n \n \n \n \n(B4.1). \n\n             Theoretical competition. Tuesday, 15 July 2014                      3/3 \n \nB5.Total current in each tube section is the sum of the electron and ion currents: \n𝐼= 𝐼𝑒+ 𝐼𝑖= 𝐶2 −\n𝑒𝑍𝑒𝑥𝑡𝑆\n𝛼\n \n \n \n \n \n \n \n(B5.1). \nAftersubstituting the boundary conditions (B3.1) and (B4.1): \n𝐶2 −𝐶1𝑒𝛼𝐿= 0 \n \n \n \n \n \n \n \n(B5.2) \nand \n𝐶1 −\n𝑒𝑍𝑒𝑥𝑡𝑆\n𝛼\n= 𝛾(𝐶2 −𝐶1) \n \n \n \n \n \n \n(B5.3). \nSolving (B5.2) and (B5.3) one can obtain: \n𝐶2 =\n𝑒𝑍𝑒𝑥𝑡𝑆\n𝛼\n \n1\n𝑒−𝛼𝐿(1+𝛾)−𝛾  \n \n \n \n \n \n \n(B5.4). \nSo the total current: \n𝐼=\n𝑒𝑍𝑒𝑥𝑡𝑆\n𝛼\n \n1\n𝑒−𝛼𝐿(1+𝛾)−𝛾−1   \n \n \n \n \n \n(B5.5). \nB6.When the discharge gap length is increased, the denominator in formula (B5.1) decreases. At that \nmoment, when it turns zero, the electric current in the gas becomes self-sustaining and external ionizer can \nbe turned off. Thus, \n𝐿𝑐𝑟=\n1\n𝛼ln 1 +\n1\n𝛾  \n \n \n \n \n \n \n \n(B6.1). \n \n","shared":false,"sourcePages":[1,2,3]}},{"id":"ipho-2013-t1","importedOn":"2026-10-28","language":"en","sources":[{"url":"https://www.ipho-new.org/download/573/","kind":"statement","archiveMember":"2013/ipho2013-theoretical-problem-1.pdf"},{"url":"https://www.ipho-new.org/download/573/","kind":"solution","archiveMember":"2013/IPhO2013_T1_solution.pdf"}],"statement":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/ipho-2013-t1-statement/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/ipho-2013-t1-statement/page-1.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2013-t1-statement/page-2.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2013-t1-statement/page-3.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2013-t1-statement/page-4.webp","width":982,"height":1389}],"text":"    \n \n   The Maribo Meteorite  \nT1 \n \nPage 1 of 4 \n \nIntroduction \nA meteoroid is a small particle (typically smaller than 1 m) from a comet or an asteroid. A \nmeteoroid that impacts the ground is called a meteorite. \n \nOn the night of 17 January 2009 many people near the Baltic Sea saw the glowing trail or fireball of \na meteoroid falling through the atmosphere of the Earth. In Sweden a surveillance camera recorded \na video of the event, see Fig. 1.1(a). From these pictures and eyewitness accounts it was possible to \nnarrow down the impact area, and six weeks later a meteorite with the mass 0.025 kg was found in \nthe vicinity of the town Maribo in southern Denmark. Measurements on the meteorite, now named \nMaribo, and its orbit in the sky showed interesting results. Its speed when entering the atmosphere \nhad been exceptionally high. Its age,           year, shows that it had been formed shortly after \nthe birth of the solar system. The Maribo meteorite is possibly a part of Comet Encke.  \n \n \nThe speed of Maribo \nThe fireball was moving in westerly direction, heading 285 relative to north, toward the location \nwhere the meteorite was subsequently found, as sketched in Fig. 1.1. The meteorite was found at a \ndistance 195 km from the surveillance camera in the direction 230 relative to north. \n \n1.1 \nUse this and the data in Fig. 1.1 to calculate the average speed of Maribo in the time \ninterval between frames 155 and 161. The curvature of the Earth and the gravitational \nforce on the meteoroid can both be neglected. \n1.3 \n \n \nThrough the atmosphere and melting? \nThe friction from the air on a meteoroid moving in the higher atmosphere depends in a complicated \nway on the shape and velocity of the meteoroid, and on the temperature and density of the atmo-\nsphere. As a reasonable approximation the friction force   in the upper atmosphere is given by the \nexpression           , where   is a constant,      the density of the atmosphere,   the projec-\nted cross-section area of the meteorite, and   its speed.    \n      \nThe following simplifying assumptions are made to analyze the meteoroid: The object entering the \natmosphere was a sphere of mass         , radius          , temperature         , and \nspeed                . The density of the atmosphere is constant (its value 40 km above the \nsurface of the Earth),                     , and the friction coefficient is       . \n  \n1.2a Estimate how long time after entering the atmosphere it takes the meteoroid to have its \nspeed reduced by 10 % from    to        . You can neglect the gravitational force on \nthe meteoroid and assume, that it maintains its mass and shape. \n0.7 \n1.2b Calculate how many times larger the kinetic energy      of the meteoroid entering the \natmosphere is than the energy       necessary for melting it completely (see data sheet). \n0.3 \n \n\n    \n \n   The Maribo Meteorite  \nT1 \n \nPage 2 of 4 \n \n  \n(a) \n \n  \n(b) \nFrame \nTime Azimuth Altitude \n \n155 \n1.46 s \n215 \n19.2 \n \n161 \n2.28 s \n221 \n14.7 \n \nLanding at M \n230 \n 0.0 \n \n(c) \n \nFigure 1.1 (a) Azimuth is the clockwise angular position from north in the horizontal plane, and \naltitude is the angular position above the horizon. A series of frames recorded by the surveillance \ncamera in Sweden, showing the motion of Maribo as a fireball on its way down through the \natmosphere. (b) The data from two frames indicating the time, the direction (azimuth) in degrees, \nas seen by the camera (C), and the height above the horizon (altitude) in degrees. (c) Sketch of the \ndirections of the path (magenta arrow) of Maribo relative to north (N) and of the landing site (M) \nin Denmark as seen by the camera (C). \n \nHeating of Maribo during its fall in the atmosphere \nWhen the stony meteoroid Maribo entered the atmosphere at supersonic speed it appeared as a fire-\nball because the surrounding air was glowing. Nevertheless, only the outermost layer of Maribo was \nheated. Assume that Maribo is a homogenous sphere with density    , specific heat capacity    , \nand thermal conductivity     (for values see the data sheet). Furthermore, when entering the \natmosphere, it had the temperature         . While falling through the atmosphere its surface \ntemperature was constant            due to the air friction, thus gradually heating up the interior.  \n\n    \n \n   The Maribo Meteorite  \nT1 \n \nPage 3 of 4 \n \n     After falling a time   in the atmosphere, an outer shell of Maribo of thickness   will have been \nheated to a temperature significantly larger than   . This thickness can be estimated by dimensional \nanalysis as the simple product of powers of the thermodynamic parameters:        \n     \n     \n .  \n  \n1.3a Determine by dimensional (unit) analysis the value of the four powers  ,  ,  , and  . \n0.6 \n1.3b Calculate the thickness   after a fall time      , and determine the ratio     . \n0.4 \n \nThe age of a meteorite \nThe chemical properties of radioactive elements may be different, so during the crystallization of \nthe minerals in a given meteorite, some minerals will have a high content of a specific radioactive \nelement and others a low content. This difference can be used to determine the age of a meteorite by \nradiometric dating of its radioactive minerals. \n     As a specific example, we study the isotope 87Rb (element no. 37), which decays into the stable \nisotope 87Sr (element no. 38) with a half-life of              year, relative to the stable isotope \n86Sr. At the time of crystallization the ratio 87Sr/86Sr was identical for all minerals, while the ratio \n87Rb/86Sr was different. As time passes on, the amount of 87Rb decreases by decay, while \nconsequently the amount of 87Sr increases. As a result, the ratio 87Sr/86Sr will be different today. In \nFig. 1.2(a), the points on the horizontal line refer to the ratio 87Rb/86Sr in different minerals at the \ntime, when they are crystallized.  \n \nFigure 1.2 (a) The ratio 87Sr/86Sr in different minerals at the time     of crystallization (open \ncircles) and at present time (filled circles). (b) The isochron-line for three different mineral samples \ntaken from a meteorite at present time. \n \n1.4a Write down the decay scheme for the transformation of \n  \n  \n  \n to \n  \n  \n  \n. \n0.3 \n1.4b \nShow that the present-time ratio 87Sr/86Sr plotted versus the present-time ratio 87Rb/86Sr \nin different mineral samples from the same meteorite forms a straight line, the so-called \nisochron-line, with slope      (     ). Here   is the time since the formation of the \nminerals, while   is the decay constant inversely proportional to half-life   . \n0.7 \n1.4c Determine the age    of the meteorite using the isochron-line of Fig. 1.2(b). \n0.4 \n\n    \n \n   The Maribo Meteorite  \nT1 \n \nPage 4 of 4 \n \n \nComet Encke, from which Maribo may originate \nIn its orbit around the Sun, the minimum and maximum distances between comet Encke and the \nSun are                  and                 , respectively. \n \n1.5 Calculate the orbital period        of comet Encke. \n0.6 \n \n \nConsequences of an asteroid impact on Earth \n65 million years ago Earth was hit by a huge asteroid with density                    , radius \n           , and final speed of                 . This impact resulted in the extermination \nof most of the life on Earth and the formation of the enormous Chicxulub Crater. Assume that an \nidentical asteroid would hit Earth today in a completely inelastic collision, and use the fact that the \nmoment of inertia of Earth is 0.83 times that for a homogeneous sphere of the same mass and \nradius. The moment of inertia of a homogeneous sphere with mass   and radius   is \n \n    . \nNeglect any changes in the orbit of the Earth. \n \n1.6a Let the asteroid hit the North Pole. Find the maximum change in angular orientation of \nthe axis of Earth after the impact. \n0.7 \n1.6b Let the asteroid hit the Equator in a radial impact. Find the change       in the duration \nof one revolution of Earth after the impact. \n0.7 \n1.6c Let the asteroid hit the Equator in a tangential impact in the equatorial plane. Find the \nchange       in the duration of one revolution of Earth after the impact. \n0.7 \n \n \nMaximum impact speed \nConsider a celestial body, gravitationally bound in the solar system, which impacts the surface of \nEarth with a speed     . Initially the effect of the gravitational field of the Earth on the body can be \nneglected. Disregard the friction in the atmosphere, the effect of other celestial bodies, and the \nrotation of the Earth. \n \n1.7 Calculate     \n   , the largest possible value of     . \n1.6 \n \n","shared":false,"sourcePages":[1,2,3,4],"appendix":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/ipho-2013-data-sheet/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/ipho-2013-data-sheet/page-1.webp","width":982,"height":1389}],"text":"   \n \n   Data sheet  \nT \n \nPage 1 of 1 \n \n \nData sheet: Table of physical parameters \n \nSpeed of light in vacuum \n                    \nPlanck's constant over    \n                    \nGravitational constant \n                        \nGravitational acceleration \n              \nElementary charge  \n                  \nElectric permittivity of vacuum  \n                            \nElectron mass  \n                    \nAvogadro constant  \n                      \nBoltzmann constant  \n                        \nStony meteorite, specific heat \n                       \nStony meteorite, thermal conductivity \n                   \nStony meteorite, density \n                     \nStony meteorite, melting point \n               \nStony meteorite, specific melting heat  \n                    \nSilver, molar mass  \n                          \nSilver, density  \n                       \nSilver, specific heat capacity \n                         \nWater, molar mass \n                          \nWater, density \n                       \nWater, specific heat capacity \n                          \nWater, heat of vaporization \n                       \nWater, boiling temperature \n                      \nIce, density of glacier \n                       \nSteam, specific heat capacity \n                           \nEarth, mass of the \n                   \nEarth, radius of the  \n                \nSun, mass of the  \n                  \nSun, radius of the \n                \nAverage Sun-Earth distance \n                  \n \n","shared":false,"sourcePages":[1]}},"solution":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/ipho-2013-t1-solution/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/ipho-2013-t1-solution/page-1.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2013-t1-solution/page-2.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2013-t1-solution/page-3.webp","width":982,"height":1389}],"text":"    \n \n   The Maribo Meteorite  \nT1 \n \nPage 1 of 3 \n \nSolutions \n1.1  \n \nTop view: Triangle MBC: |  |       ,                   , and \n         , so                      .  \nThen |  | \n|  |   (    )\n   (    )\n         . \nTriangle DBC: |  |         ,                    ,and         ,  \nso                      . \nThen |  | \n|  |   (    )\n   (    )\n           \nTriangle EBC: |  |         ,                    , and         ,  \nso                      . \nThen |  | \n|  |   (    )\n   (    )\n          . \nTriangle EDC:                   Horizontal distance traveled by \nMaribo:|  | \n|  |   (    )\n   (    )\n          \nSide view: Triangle CDF: |  | |  |   (    )          \nTriangle CEG: |  | |  |   (    )          \nThus vertical distance travelled by Maribo: |  | |  |         . \nTotal distance travelled by Maribo from frame 155 to 161: \n|  | √|  |  (|  | |  |)          . \nThe speed of Maribo is   \n        \n                        \n \n1.3 \n \n1.2a \nNewton's second law:   \n  \n            \n     yields  \n \n      \n        \n \n  \n   . \nBy integration   \n  \n        \n  (\n \n     )\n \n         .  \nAlternative solution: The average force on the meteoroid when the speed decreases from \n   to        can be estimated to              \n  (       ) . Using that the accele-\nration is approximately constant,              \n  (       )    , results in \n   \n       \n   \n       . \n0.7 \nC \nTurned sideview, not to \nscale \nN \nTop \nview  \nFrame 155  \nFrame 161  \nM\nE \nD \nB \nF \nG \nM \n195 km \nC \nB \nD \nE \n\n    \n \n   The Maribo Meteorite  \nT1 \n \nPage 2 of 3 \n \n1.2b     \n      \n \n    \n \n   (      )        \n       \n                 . \n0.3 \n \n1.3a \n[ ] [ ] [   ] [   ]  [   ]  [ ] [      ] [         ]  [           ] , \nso [ ] [  ]   [ ]        [ ]       [ ]    .   \nThus      ,             ,            , and         . \nFrom which (       )  ( \n \n   \n \n   \n \n   \n \n )  and  ( ) √\n    \n      . \n0.6 \n1.3b  (   )  1.6 mm \n \n                         . \n0.4 \n \n1.4a Rb-Sr decay scheme: \n  \n  \n  \n \n   \n  \n  \n \n \n  \n    ̅  \n0.3 \n1.4b \n     ( )      ( )    and Rb Sr:       ( )      ( ) [     ( )      ( )]. \nThus      ( )      ( ) (     )     ( ), and dividing by       we obtain the \nequation of a straight line: \n     ( )\n       \n     ( )\n      (     )\n     ( )\n     . \n0.7 \n1.4c \nSlope:         \n           \n    \n       and     \n  ( )\n \n              .  \n \nSo      (   ) \n  \n  (   )\n  ( )                . \n0.4 \n \n1.5 \nKepler's 3rd law on comet Encke and Earth, with the orbital semi-major axis of Encke \ngiven by   \n \n (         ). Thus         (\n \n  )\n \n                        .  \n0.6 \n  \n1.6a \nFor Earth around its rotation axis:  Angular velocity    \n  \n                  . \nMoment of inertia        \n \n     \n                 .  \nAngular momentum                            .  \nAsteroid:      \n  \n     \n                    and angular momentum  \n                                   .      is perpendicular to   , so by \nconservation angular momentum:     (  )          =          .The axis tilt \n                  (so the North Pole moves             ). \n0.7 \n1.6b \nAt vertical impact       so  (    )  . Thus        (   )   , and since  \n             \n               we obtain                    . The change \nin rotation period is       (\n \n       \n \n  )    \n   \n  \n             . \n0.7 \n1.6c \nAt tangential impact      is parallel to    so         (       )(      ) and \nthus       (\n \n       \n \n  )   (\n      \n        \n \n  )             . \n0.7 \n\n    \n \n   The Maribo Meteorite  \nT1 \n \nPage 3 of 3 \n \n \n \n1.7 \nMaximum impact speed     \n    arises from three contributions:  \n \n(I) The velocity    of the body at distance    (Earth orbit radius) from the Sun, \n   √\n    \n  \n          .  \n(II) The orbital velocity of the Earth,     \n    \n                .  \n(III) Gravitational attraction from the Earth and kinetic energy seen from the Earth:  \n       \n \n (     )    \n   \n   \n \n (    \n   )\n .  \n \nIn conclusion:     \n    √(     )   \n    \n  \n          . \n1.6 \n \n \nTotal \n9.0 \n   \n  \n \n","shared":false,"sourcePages":[1,2,3]}},{"id":"ipho-2013-t2","importedOn":"2026-10-28","language":"en","sources":[{"url":"https://www.ipho-new.org/download/573/","kind":"statement","archiveMember":"2013/ipho2013-theoretical-problem-2.pdf"},{"url":"https://www.ipho-new.org/download/573/","kind":"solution","archiveMember":"2013/IPhO2013_T2_solution.pdf"}],"statement":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/ipho-2013-t2-statement/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/ipho-2013-t2-statement/page-1.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2013-t2-statement/page-2.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2013-t2-statement/page-3.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2013-t2-statement/page-4.webp","width":982,"height":1389}],"text":"   \n \n   Plasmonic Steam Generator  \nT2 \n \nPage 1 of 4 \n \n \nIntroduction  \nIn this problem we study an efficient process of steam production that has been demonstrated to \nwork experimentally. An aqueous solution of spherical nanometer-sized silver spheres \n(nanoparticles) with only about      particles per liter is illuminated by a focused light beam. A \nfraction of the light is absorbed by the nanoparticles, which are heated up and generate steam \nlocally around them without heating up the entire water solution. The steam is released from the \nsystem in the form of escaping steam bubbles. Not all details of the process are well understood at \npresent, but the core process is known to be absorption of light through the so-called collective \nelectron oscillations of the metallic nanoparticles. The device is known as a plasmonic steam \ngenerator. \n \n \n \n \nFigure 2.1 (a) A spherical charge-neutral nanoparticle of radius R placed at the center of the coordinate \nsystem. (b) A sphere with a positive homogeneous charge density   (red), and containing a smaller spherical \ncharge-neutral region (0, yellow) of radius   , with its center displaced by          . (c) The sphere with \npositive charge density   of the nanoparticle silver ions is fixed in the center of the coordinate system. The \ncenter of the spherical region with negative spherical charge density –  (blue) of the electron cloud is \ndisplaced by   , where     .  (d) An external homogeneous electric field          . For time-\ndependent    , the electron cloud moves with velocity         . (e) The rectangular vessel (     ) \ncontaining the aqueous solution of nanoparticles illuminated by monochromatic light propagating along the \n -axis with angular frequency     and intensity  .  \n \n  \nA single spherical silver nanoparticle \nThroughout this problem we consider a spherical silver nanoparticle of radius           and \nwith its center fixed at the origin of the coordinate system, see Fig. 2.1(a). All motions, forces and \ndriving fields are parallel to the horizontal  -axis (with unit vector   ). The nanoparticle contains \nfree (conduction) electrons moving within the whole nanoparticle volume without being bound to \nany silver atom. Each silver atom is a positive ion that has donated one such free electron. \n  \n2.1 \nFind the following quantities: The volume   and mass   of the nanoparticle, the \nnumber   and charge density   of silver ions in the particle, and for the free electrons \ntheir concentration  , their total charge  , and their total mass   . \n0.7 \n \n \n \n \n\n   \n \n   Plasmonic Steam Generator  \nT2 \n \nPage 2 of 4 \n \nThe electric field in a charge-neutral region inside a charged sphere \nFor the rest of the problem assume that the relative dielectric permittivity of all materials is    . \nInside a charged sphere of homogeneous charge density   and radius R is created a small spherical \ncharge-neutral region of radius    by adding the opposite charge density   , with its center displa-\nced by          from the center of the R-sphere, see Fig. 2.1(b).  \n \n2.2 Show that the electric field inside the charge-neutral region is homogenous of the form \n    (    )   , and determine the pre-factor  . \n1.2 \n \nThe restoring force on the displaced electron cloud \nIn the following, we study the collective motion of the free electrons, and therefore model them as a \nsingle negatively charged sphere of homogeneous charge density    with a center position   , \nwhich can move along the x-axis relative to the center of the positively charged sphere (silver ions) \nfixed at the origin of the coordinate system, see Fig. 2.1(c). Assume that an external force      \ndisplaces the electron cloud to a new equilibrium position          with       . Except for \ntiny net charges at opposite ends of the nanoparticle, most of its interior remains charge-neutral.  \n \n2.3 Express in terms of    and n the following two quantities: The restoring force   exerted \non the electron cloud and the work     done on the electron cloud during displacement. \n1.0 \n \n \nThe spherical silver nanoparticle in an external constant electric field \nA nanoparticle is placed in vacuum and influenced by an external force      due to an applied static \nhomogeneous electric field         , which displaces the electron cloud the small distance     , \nwhere       . \n  \n2.4 \nFind the displacement    of the electron cloud in terms of         , and determine the \namount     of electron charge displaced through the yz-plane at the center of the \nnanoparticle in terms of           . \n0.6 \n \nThe equivalent capacitance and inductance of the silver nanoparticle  \nFor both a constant and a time-dependent field   , the nanoparticle can be modeled as an equivalent \nelectric circuit. The equivalent capacitance can be found by relating the work    , done on the \nseparation of charges   , to the energy of a capacitor, carrying charge    . The charge separation \nwill cause a certain equivalent voltage    across the equivalent capacitor. \n \n2.5a Express the systems equivalent capacitance C in terms of    and  , and find its value.  \n0.7 \n2.5b For this capacitance, determine in terms of    and   the equivalent voltage    that \nshould be connected to the equivalent capacitor in order to accumulate the charge   . \n0.4 \n \n\n   \n \n   Plasmonic Steam Generator  \nT2 \n \nPage 3 of 4 \n \nFor a time-dependent field   , the electron cloud moves with velocity        , Fig. 2.1(d). It has \nthe kinetic energy      and forms an electric current   flowing through the fixed yz-plane. The \nkinetic energy of the electron cloud can be attributed to the energy of an equivalent inductor of \ninductance   carrying the current  . \n \n2.6a Express both      and    in terms of the velocity  . \n0.7 \n2.6b Express the equivalent inductance   in terms of particle radius  , the electron charge   \nand mass   , the electron concentration  , and calculate its value. \n0.5 \n  \n \nThe plasmon resonance of the silver nanoparticle  \nFrom the above analysis it follows that the motion, arising from displacing the electron cloud from \nits equilibrium position and then releasing it, can be modeled by an ideal LC-circuit oscillating at \nresonance. This dynamical mode of the electron cloud is known as the plasmon resonance, which \noscillates at the so-called angular plasmon frequency   .  \n \n2.7a Find an expression for the angular plasmon frequency    of the electron cloud in terms \nof the electron charge   and mass   , the electron density  , and the permittivity   . \n0.5 \n2.7b Calculate    in rad/s and the wavelength    in nm of light in vacuum having angular \nfrequency     . \n0.4 \n \n \nThe silver nanoparticle illuminated with light at the plasmon frequency \nIn the rest of the problem, the nanoparticle is illuminated by monochromatic light at the angular \nplasmon frequency    with the incident intensity   \n \n      \n             . As the wavelength \nis large,     , the nanoparticle can be considered as being placed in a homogeneous harmonical-\nly oscillating field          (   )   . Driven by   , the center   ( ) of the electron cloud \noscillates at the same frequency with velocity          and constant amplitude   . This \noscillating electron motion leads to absorption of light. The energy captured by the particle is either \nconverted into Joule heating inside the particle or re-emitted by the particle as scattered light.   \n     Joule heating is caused by random inelastic collisions, where any given free electron once in a \nwhile hits a silver ion and loses its total kinetic energy, which is converted into vibrations of the \nsilver ions (heat). The average time between the collisions is       , where for silver \nnanoparticle we use                .  \n \n2.8a \nFind an expression for the time-averaged Joule heating power       in the nanoparticle \nas well as the time-averaged current squared 〈  〉, which includes explicitly the time-\naveraged velocity squared  〈  〉 of the electron cloud.  \n1.0 \n2.8b \nFind an expression for the equivalent ohmic resistance       in an equivalent resistor-\nmodel of the nanoparticle having the Joule heating power       due to the electron cloud \ncurrent I. Calculate the numerical value of      . \n1.0 \n  \n\n   \n \n   Plasmonic Steam Generator  \nT2 \n \nPage 4 of 4 \n \nThe incident light beam loses some time-averaged power       by scattering on the oscillating elec-\ntron cloud (re-emission).       depends on the scattering source amplitude   , charge  , angular fre-\nquency    and properties of the light (the speed of light   and permittivity    in vacuum). In terms \nof these four variables,       is given by       \n        \n       .  \n  \n2.9 By use of       , find an expression of the equivalent scattering resistance       (in ana-\nlogy with      ) in an equivalent resistor-model, and calculate its value.  \n1.0 \n      \nThe above equivalent circuit elements are combined into an LCR series circuit model of the silver \nnanoparticle, which is driven by a harmonically oscillating equivalent voltage        (   ) \ndetermined by the electric field    of the incident light.  \n \n2.10a \nDerive expressions for the time-averaged power losses        and       involving the \namplitude    of the electric field in the incident light at the plasmon resonance \n    . \n1.2 \n2.10b Calculate the numerical value of   ,      , and      . \n0.3 \n      \nSteam generation by light \nAn aqueous solution of silver nanoparticles is prepared with a concentration                 . \nIt is placed inside a rectangular transparent vessel of size                     and \nilluminated by light at the plasmon frequency with the same intensity               at normal \nincidence as above, see Fig. 2.1(e). The temperature of the water is           and we assume, in \nfair agreement with observations, that in steady state all Joule heating of the nanoparticle goes to \nthe production of steam of temperature           , without raising the temperature of the water.  \n  \nThe thermodynamic efficiency   of the plasmonic steam generator is defined by the power ratio \n           , where      is the power going into the production of steam in the entire vessel, while \n     is the total power of the incoming light that enters the vessel.  \n \nMost of the time any given nanoparticle is surrounded by steam instead of water, and it can thus be \ndescribed as being in vacuum. \n \n2.11a Calculate the total mass per second     of steam produced by the plasmonic steam ge-\nnerator during illumination by light at the plasmon frequency and intensity  . \n0.6 \n2.11b Calculate the numerical value of the thermodynamic efficiency   of the plasmonic \nsteam generator. \n0.2 \n \n \n","shared":false,"sourcePages":[1,2,3,4],"appendix":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/ipho-2013-data-sheet/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/ipho-2013-data-sheet/page-1.webp","width":982,"height":1389}],"text":"   \n \n   Data sheet  \nT \n \nPage 1 of 1 \n \n \nData sheet: Table of physical parameters \n \nSpeed of light in vacuum \n                    \nPlanck's constant over    \n                    \nGravitational constant \n                        \nGravitational acceleration \n              \nElementary charge  \n                  \nElectric permittivity of vacuum  \n                            \nElectron mass  \n                    \nAvogadro constant  \n                      \nBoltzmann constant  \n                        \nStony meteorite, specific heat \n                       \nStony meteorite, thermal conductivity \n                   \nStony meteorite, density \n                     \nStony meteorite, melting point \n               \nStony meteorite, specific melting heat  \n                    \nSilver, molar mass  \n                          \nSilver, density  \n                       \nSilver, specific heat capacity \n                         \nWater, molar mass \n                          \nWater, density \n                       \nWater, specific heat capacity \n                          \nWater, heat of vaporization \n                       \nWater, boiling temperature \n                      \nIce, density of glacier \n                       \nSteam, specific heat capacity \n                           \nEarth, mass of the \n                   \nEarth, radius of the  \n                \nSun, mass of the  \n                  \nSun, radius of the \n                \nAverage Sun-Earth distance \n                  \n \n","shared":false,"sourcePages":[1]}},"solution":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/ipho-2013-t2-solution/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/ipho-2013-t2-solution/page-1.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2013-t2-solution/page-2.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2013-t2-solution/page-3.webp","width":982,"height":1389}],"text":"   \n \n   Plasmonic Steam Generator  \nT2 \n \nPage 1 of 3 \n \n \nSolutions \n \n A single spherical silver nanoparticle \n 2.1 \nVolume of the nanoparticle:   \n \n                  .   \nMass of the nanoparticle:                        . \nNumber of ions in the nanoparticle:     \n \n            .       \nCharge density    \n  \n                 , charge density      . \nElectrons’ concentration   \n \n               .  \nTotal charge of free electrons                  .   \nTotal mass of free electrons                      . \n0.7 \n \nThe electric field in a charge-neutral region inside a charged sphere \n 2.2 \nFor a sphere with radius   and constant charge density  , for any point inside the sphere \ndesignated by radius-vector           ) Gauss's law yields directly           \n \n        , where    is the unit radial vector pointing away from the center of the \nsphere. Thus,     \n \n    .  \nLikewise, inside another sphere of radius    and charge density    the field is      \n  \n      , where    is the radius-vector of the point in the coordinate system with the origin \nin the center of this sphere. \nSuperposition of the two charge configurations gives the setup we want with      \n  . So \n inside the charge-free region |    |    the field is         \n \n     \n  \n           or   \n \n      with pre-factor   \n \n   \n1.2 \n \nThe restoring force on the displaced electron cloud \n2.3 \nWith          and      we have from above that approximately the field induced \ninside the particle is      \n \n     . The number of electrons on the particle’s border that \nproduced      is negligibly smaller than the number of electrons inside the particle, so \n              \n        \n  \n               (note the antiparallel attractive force \nis proportional to the displacement that it is similar to Hooke’s law). \nThe \nwork \ndone \non \nthe \nelectron \ncloud \nto \nshift \nit \nis \n     ∫\n          \n  \n \n \n  (\n  \n         )  \n   \n1.0 \n  \nThe spherical silver nanoparticle in an external constant electric field \n2.4 \nInside the metallic particle in the steady state the electric field must be equal to 0. The \ninduced field (from 2.2 or 2.3) compensates the external field:           , so 0.6 \n\n   \n \n   Plasmonic Steam Generator  \nT2 \n \nPage 2 of 3 \n \n   \n   \n    \n   \n    . \nCharge displaced through the   -plane is the total charge of electrons in the cylinder of \nradius   and height   :                        .  \n   \nThe equivalent capacitance and inductance of the silver nanoparticle  \n2.5a \nThe electric energy     of a capacitor with capacitance   holding charges      is \n    \n   \n   . The energy of such capacitor is equal to the work (see 2.3) done to separate \nthe charges (see 2.4), thus   \n   \n     \n \n                  . \n \n0.7 \n2.5b \nEquivalent scheme for a capacitor reads:       .  Combining charge from (2.4) and \ncapacitance from (2.5a) gives    \n  \n   \n \n     . \n0.4 \n \n2.6a \nThe kinetic energy of the electron cloud is defined as the kinetic energy of one electron \nmultiplied \nby \nthe \nnumber \nof \nelectrons \nin \nthe \ncloud \n     \n \n       \n \n     (\n \n      ).  \nThe current   is the charge of electrons in the cylinder of area     and height     \ndivided by time    (or simply the time derivative of charge    ), thus            . \n0.7 \n2.6b \nThe energy carried by current   in the equivalent circuit with inductance   is   \n \n      \nis, in fact, the kinetic energy of electrons     . Taking the energy and current from \n(2.6a) gives    \n    \n                    .  \n0.5 \n \n The plasmon resonance of the silver nanoparticle  \n2.7a \nFrom the LC-circuit analogy we can directly derive              √          . \nAlternatively it is possible to use the harmonic law of motion in (2.3) and get the same \nresult for the frequency. \n0.5 \n2.7b               rad/s, for light with angular frequency      the wavelength is \n                 . \n0.4 \n \nThe silver nanoparticle illuminated with light at the plasmon frequency \n2.8a \nThe velocity of an electron   \n  \n                    . The time-averaged \nkinetic energy on the electron 〈  〉 〈    \n 〉 \n  \n 〈  〉. During time   each electron \nhits an ion one time. So the energy lost in the whole nanoparticle during time   is \n       〈    \n 〉 \n \n     〈    \n 〉. Time-averaged Joule heating power  \n      \n \n      \n \n    〈  〉(\n \n      ).     \nThe expression for current is taken from (2.6a), squared and averaged \n1.0 \n\n   \n \n   Plasmonic Steam Generator  \nT2 \n \nPage 3 of 3 \n \n〈  〉           〈  〉 (\n  \n  )\n \n〈  〉. \n2.8b \nThe average time between the collisions is       , so each electron oscillates many \ntimes before  it collides with an ion. The oscillating current           \n             produces the heat in the resistance       equal to            〈  〉, \nthat together with results from (2.8a) leads to       \n    \n 〈  〉 \n   \n              . \n1.0 \n  \n2.9 \nFor equivalent scattering resistance        \n     \n〈  〉 and for harmonic oscillations we can \naverage the velocity squared over one period of oscillations, so 〈  〉 \n \n   \n   \n . \nTogether it yields       \n        \n       \n    \n   〈  〉 \n      \n              . \n1.0 \n     \n2.10a \nOhm’s law for a LCR serious circuit is    \n  \n√               (    \n  )\n . At the resonance \nfrequency time-averaged voltage squared is 〈  〉   \n 〈  〉               〈  〉. \nAnd from (2.5b) 〈  〉 \n \n   \n   \n \n     \n , so Ohm’s law results in 〈  〉 \n      \n               . \nThe time-averaged power losses are            〈  〉 \n        \n                 \n     and \n      \n        \n                 \n  \n     \n     〈     〉. \n \n1.2 \n2.10b Starting with the electric field amplitude    √                  , we calculate \n              and              . \n0.3 \n \nSteam generation by light \n2.11a \nTotal number of nanoparticles in the vessel:                       Then the \ntotal time-averaged Joule heating power:                   kW. This power goes \ninto the steam generation:            , with                           \n                              . Thus the mass of steam produced in one second \nis:     \n   \n                      . \n0.6 \n2.11b \nThe power of light incident on the vessel                            \n       , and the power directed for steam production by nanoparticles is given in \n2.11a. Efficiency of the process is   \n   \n      \n       \n        = 0.498. \n0.2 \n \n  \nTotal \n12.0 \n \n","shared":false,"sourcePages":[1,2,3]}},{"id":"ipho-2013-t3","importedOn":"2026-10-28","language":"en","sources":[{"url":"https://www.ipho-new.org/download/573/","kind":"statement","archiveMember":"2013/ipho2013-theoretical-problem-3.pdf"},{"url":"https://www.ipho-new.org/download/573/","kind":"solution","archiveMember":"2013/IPhO2013_T3_solution.pdf"}],"statement":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/ipho-2013-t3-statement/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/ipho-2013-t3-statement/page-1.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2013-t3-statement/page-2.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2013-t3-statement/page-3.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2013-t3-statement/page-4.webp","width":982,"height":1389}],"text":"  \n \n   The Greenlandic Ice Sheet \nT3 \n \nPage 1 of 4 \n \nIntroduction \nThis problem deals with the physics of the Greenlandic ice sheet, the second largest glacier in the \nworld, Fig. 3.1(a). As an idealization, Greenland is modeled as a rectangular island of width    and  \nlength    with the ground at sea level and completely covered by incompressible ice (constant \ndensity     ), see Fig. 3.1(b). The height profile      of the ice sheet does not depend on the  -\ncoordinate and it increases from zero at the coasts      to a maximum height    along the \nmiddle north-south axis (the  -axis), known as the ice divide, see Fig. 3.1(c). \n \n(c) \nFigure 3.1 (a) A map of Greenland showing the extent of the ice sheet (white), the ice-free, coastal regions \n(green), and the surrounding ocean (blue). (b) The crude model of the Greenlandic ice sheet as covering a \nrectangular area in the   -plane with side lengths    and   . The ice divide, the line of maximum ice sheet \nheight    runs along the  -axis. (c) A vertical cut (  -plane) through the ice sheet showing the height \nprofile      (blue line).      is independent of the  -coordinate for       , while it drops abruptly \nto zero at     and     .   The  -axis marks the position of the ice divide. For clarity, the vertical \ndimensions are expanded compared to the horizontal dimensions. The density      of ice is constant. \n  \n\n  \n \n   The Greenlandic Ice Sheet \nT3 \n \nPage 2 of 4 \n \nTwo useful formulas \nIn this problem you can make use of the integral: \n∫√      \n \n \n  \n  \nand the approximation            , valid for |  |  . \n \nThe height profile of the ice sheet \n On short time scales the glacier is an incompressible hydrostatic system with fixed height profile \n    . \n3.1 \nWrite down an expression for the pressure        inside the ice sheet as a function of \nvertical height z above the ground and distance   from the ice divide. Neglect the \natmospheric pressure. \n0.3 \n \nConsider a given vertical slab of the ice sheet in equilibrium, covering a small horizontal base area \n     between   and     , see the red dashed lines in Fig. 3.1(c). The size of    does not matter. \nThe net horizontal force component    on the two vertical sides of the slab, arising from the \ndifference in height on the center-side versus the coastal-side of the slab, is balanced by a friction \nforce             from the ground on the base area     , where           . \n3.2a For a given value of  , show that in the limit     ,            , and determine k 0.9 \n3.2b \nDetermine an expression for the height profile      in terms of     ,  ,  ,    and \ndistance   from the divide. The result will show, that the maximum glacier height    \nscales with the half-width   as        . \n0.8 \n3.2c Determine the exponent    with which the total volume      of the ice sheet scales with \nthe area   of the rectangular island,        . \n0.5 \n  \nA dynamical ice sheet \nOn longer time scale, the ice is a viscous incompressible fluid, which by gravity flows from the \ncenter part to the coast. In this model, the ice maintains its height profile      in a steady state, \nwhere accumulation of ice due to snow fall in the central region is balanced by melting at the coast. \nIn addition to the ice sheet geometry of Fig. 3.1(b) and (c) make the following model assumptions: \n   \n1) Ice flows in the    -plane away from the ice divide (the  -axis). \n2) The accumulation rate   (m/year) in the central region is a constant. \n3) Ice can only leave the glacier by melting near the coasts at     . \n4) The horizontal ( -)component             of the ice-flow velocity is independent of  .  \n5) The vertical   -)component             of the ice-flow velocity is independent of  . \n   \nConsider only the central region | |   close to the middle of the ice sheet, where height \nvariations of the ice sheet are very small and can be neglected altogether, i.e.        .  \n \n3.3 Use mass conservation to find an expression for the horizontal ice-flow velocity       \nin terms of  ,  , and   . \n0.6 \n \n\n  \n \n   The Greenlandic Ice Sheet \nT3 \n \nPage 3 of 4 \n \nFrom the assumption of incompressibility, i.e. the constant density      of the ice, it follows that \nmass conservation implies the following restriction on the ice flow velocity components \n \n   \n      \n      \n \n3.4 Write down an expression for the   dependence of the vertical component       of the \nice-flow velocity. \n0.6 \n  \nA small ice particle with the initial surface position         will, as time passes, flow as part of the \nice sheet along a flow trajectory      in the vertical   -plane.  \n3.5 Derive an expression for such a flow trajectory     . \n0.9 \n \n \nAge and climate indicators in the dynamical ice sheet \nBased on the ice-flow velocity components       and      , one can estimate the age      of the \nice in a specific depth      from the surface of the ice sheet.  \n   \n3.6 Find an expression for the age      of the ice as a function of height   above ground, \nright at the ice divide    .  \n1.0 \n  \n \nAn ice core drilled in the interior of the Greenland ice sheet will penetrate through layers of snow \nfrom the past, and the ice core can be analyzed to reveal past climate changes. One of the best \nindicators is the so-called  \n \n \n  , defined as \n \n \n \n \n  \n          \n    \n         \n \nwhere   [\n \n \n  ] [\n \n \n  ] denotes the relative abundance of the two stable isotopes \n \n \n   and \n \n \n   of \noxygen. The reference      is based on the isotopic composition of the oceans around Equator.  \n \n \nFigure 3.2 (a) Observed relationship between  \n \n \n   in snow versus the mean annual surface temperature  . \n(b) Measurements of  \n \n \n   versus depth      from the surface, taken from an ice core drilled from surface \nto bedrock at a specific place along the Greenlandic ice divide where         m. \n\n  \n \n   The Greenlandic Ice Sheet \nT3 \n \nPage 4 of 4 \n \nObservations from the Greenland ice sheet show that  \n \n \n   in the snow varies approximately \nlinearly with temperature, Fig. 3.2(a). Assuming that this has always been the case,  \n \n \n   retrieved \nfrom an ice core at depth      leads to an estimate of the temperature   near Greenland at the \nage     .  \n \nMeasurements of   \n \n \n   in a 3060 m long Greenlandic ice core show an abrupt change in  \n \n \n   at a \ndepth of 1492 m, Fig. 3.2(b), marking the end of the last ice age. The ice age began 120,000 years \nago, corresponding to a depth of 3040 m, and the current interglacial age began 11,700 years ago, \ncorresponding to a depth of 1492 m. Assume that these two periods can be described by two \ndifferent accumulation rates,     (ice age) and      (interglacial age), respectively. You can assume \n   to be constant throughout these 120,000 years.   \n \n3.7a Determine the accumulation rates     and    . \n0.8 \n3.7b Use the data in Fig. 3.2 to find the temperature change at the transition from the ice age \nto the interglacial age. \n0.2 \n \n \nSea level rise from melting of the Greenland ice sheet \nA complete melting of the Greenlandic ice sheet will cause a sea level rise in the global ocean. As a \ncrude estimate of this sea level rise, one may simply consider a uniform rise throughout a global \nocean with constant area                . \n  \n3.8 \nCalculate the average global sea level rise, which would result from a complete melting \nof the Greenlandic ice sheet, given its present area of                and \n          . \n0.6 \n \nThe massive Greenland ice sheet exerts a gravitational pull on the surrounding ocean. If the ice \nsheet melts, this local high tide is lost and the sea level will drop close to Greenland, an effect \nwhich partially counteracts the sea level rise calculated above. \n \nTo estimate the magnitude of this gravitational pull on the water, the Greenlandic ice sheet is now \nmodeled as a point mass located at the ground level and having the total mass of the Greenlandic ice \nsheet. Copenhagen lies at a distance of 3500 km along the Earth surface from the center of the point \nmass. One may consider the Earth, without the point mass, to be spherically symmetric and having \na global ocean spread out over the entire surface of the Earth of area               . All \neffects of rotation of the Earth may be neglected. \n \n3.9 Within this model, determine the difference            between sea levels in \nCopenhagen (    ) and diametrically opposite to Greenland (    ).  \n1.8 \n \n","shared":false,"sourcePages":[1,2,3,4],"appendix":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/ipho-2013-data-sheet/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/ipho-2013-data-sheet/page-1.webp","width":982,"height":1389}],"text":"   \n \n   Data sheet  \nT \n \nPage 1 of 1 \n \n \nData sheet: Table of physical parameters \n \nSpeed of light in vacuum \n                    \nPlanck's constant over    \n                    \nGravitational constant \n                        \nGravitational acceleration \n              \nElementary charge  \n                  \nElectric permittivity of vacuum  \n                            \nElectron mass  \n                    \nAvogadro constant  \n                      \nBoltzmann constant  \n                        \nStony meteorite, specific heat \n                       \nStony meteorite, thermal conductivity \n                   \nStony meteorite, density \n                     \nStony meteorite, melting point \n               \nStony meteorite, specific melting heat  \n                    \nSilver, molar mass  \n                          \nSilver, density  \n                       \nSilver, specific heat capacity \n                         \nWater, molar mass \n                          \nWater, density \n                       \nWater, specific heat capacity \n                          \nWater, heat of vaporization \n                       \nWater, boiling temperature \n                      \nIce, density of glacier \n                       \nSteam, specific heat capacity \n                           \nEarth, mass of the \n                   \nEarth, radius of the  \n                \nSun, mass of the  \n                  \nSun, radius of the \n                \nAverage Sun-Earth distance \n                  \n \n","shared":false,"sourcePages":[1]}},"solution":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/ipho-2013-t3-solution/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/ipho-2013-t3-solution/page-1.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2013-t3-solution/page-2.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2013-t3-solution/page-3.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2013-t3-solution/page-4.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2013-t3-solution/page-5.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2013-t3-solution/page-6.webp","width":982,"height":1389}],"text":"  \n \n   The Greenlandic Ice Sheet \nT3 \n \nPage 1 of 6 \n \nSolutions \n \n3.1 The pressure is given by the hydrostatic pressure 𝑝(𝑥, 𝑧) = 𝜌ice𝑔(𝐻(𝑥) −𝑧), which is \nzero at the surface. \n0.3 \n \n3.2a \nThe outward force on a vertical slice at a distance 𝑥 from the middle and of a given \nwidth ∆𝑦 is obtained by integrating up the pressure times the area: \n𝐹(𝑥) = ∆𝑦න\n𝜌ice 𝑔 (𝐻(𝑥) −𝑧) d𝑧 \n𝐻(𝑥)\n0\n= 1\n2 ∆𝑦 𝜌ice 𝑔 𝐻(𝑥)2 \nwhich implies that ∆𝐹= 𝐹(𝑥) −𝐹(𝑥+ ∆𝑥) = −\nd𝐹\nd𝑥∆𝑥= −∆𝑦 𝜌ice 𝑔 𝐻(𝑥) d𝐻\nd𝑥∆𝑥. \nThis finally shows that \n𝑆b =\n𝛥𝐹\n∆𝑥∆𝑦= − 𝜌ice 𝑔 𝐻(𝑥) d𝐻\nd𝑥 \nNotice the sign, which must be like this, since 𝑆𝑏 was defined as positive and 𝐻(𝑥) is a \ndecreasing function of 𝑥. \n0.9 \n3.2b \nTo find the height profile, we solve the differential equation for 𝐻(𝑥): \n−\n𝑆b\n 𝜌ice 𝑔= 𝐻(𝑥) d𝐻\nd𝑥= 1\n2\nd\nd𝑥𝐻(𝑥)2 \nwith the boundary condition that 𝐻(𝐿) = 0. This gives the solution: \n𝐻(𝑥) = ඨ2𝑆𝑏𝐿\n𝜌ice 𝑔ඥ1 −𝑥/𝐿 \nWhich gives the maximum height 𝐻m = ට\n2𝑆𝑏𝐿\n𝜌ice 𝑔.  \nAlternatively, dimensional analysis could be used in the following manner. First notice \nthat ℒ= [𝐻m] =ൣ𝜌ice\n𝛼 𝑔𝛽𝜏b\n𝛾𝐿𝛿 ൧. Using that ൣ𝜌𝜌ice൧= ℳℒ−3, [𝑔] = ℒ 𝒯−2, [𝜏𝑏] =\nℳℒ−1 𝒯−2, demands that ℒ= [𝐻m] =ൣ𝜌𝑖\n𝛼𝑔𝛽𝜏𝑏\n𝛾𝐿𝛿൧= ℳ𝛼+𝛾ℒ−3𝛼+𝛽−𝛾+𝛿 𝒯−2𝛽−2𝛾, \nwhich again implies 𝛼+ 𝛾= 0, −3𝛼+ 𝛽−𝛾+ 𝛿= 1, 2𝛽+ 2𝛾= 0. These three \nequations are solved to give 𝛼= 𝛽= −𝛾= 𝛿−1, which shows that \n𝐻m ∝ቆ\n𝑆b\n𝜌𝜌ice𝑔ቇ\n𝛾\n𝐿1−𝛾 \nSince we were informed that  𝐻m ∝√𝐿 , it follows that 𝛾= 1/2. With the boundary \ncondition 𝐻(𝐿) = 0, the solution then take the form  \n𝐻(𝑥) ∝൬𝑆b\n𝜌ice 𝑔൰\n1/2\n√𝐿−𝑥 \nThe proportionality constant of √2 cannot be determined in this approach. \n \n \n0.8 \n\n  \n \n   The Greenlandic Ice Sheet \nT3 \n \nPage 2 of 6 \n \n3.2c \nFor the rectangular Greenland model, the area is equal to 𝐴= 10𝐿2 and the volume is \nfound by integrating up the height profile found in problem 3.2b: \n𝑉G,ice = (5𝐿)2 ∫𝐻(𝑥) d𝑥\n𝐿\n0\n= 10𝐿∫ቀ\n𝜏b 𝐿\n𝜌ice 𝑔ቁ\n1/2\nඥ1 −𝑥/𝐿 d𝑥\n𝐿\n0\n = 10𝐻m𝐿2 ∫√1 −𝑥෤ d𝑥෤\n1\n0\n \n           = 10𝐻m𝐿2 ቂ−\n2\n3 (1 −𝑥෤)3/2ቃ\n0\n1\n =\n20\n3 𝐻m𝐿2 ∝𝐿5/2, \nwhere the last line follows from the fact that 𝐻m ∝√𝐿. Note that the integral need not \nbe carried out to find the scaling with 𝐿. This implies that 𝑉G,ice ∝𝐴𝐺\n5/4 and the wanted \nexponent is 𝛾= 5/4. \n0.5 \n \n \n3.3 \nAccording to the assumption of constant accumulation c the total mass accumulation \nrate from an area of width ∆𝑦 between the ice divide at 𝑥= 0 and some point at 𝑥> 0 \nmust equal the total mass flux through the corresponding vertical cross section at 𝑥. \nThat is: 𝜌𝑐𝑥∆𝑦= 𝜌∆𝑦𝐻m𝑣𝑥(𝑥), from which the velocity is isolated: \n𝑣𝑥(𝑥) = 𝑐𝑥\n𝐻m\n \n0.6 \n \n \n3.4 \nFrom the given relation of incompressibility it follows that \nd𝑣𝑧\nd𝑧= −d𝑣𝑥\nd𝑥= −𝑐\n𝐻m\n \nSolving this differential equation with the initial condition 𝑣𝑧(0) = 0, shows that: \n𝑣𝑧(𝑧) = −𝑐𝑧\n𝐻m\n \n0.6 \n \n \n3.5 \nSolving the two differential equations \nd𝑧\nd𝑡= −𝑐𝑧\n𝐻m\n       and         d𝑥\nd𝑡= 𝑐𝑥\n𝐻m\n \nwith the initial conditions that 𝑧(0) = 𝐻m, and 𝑥(0) = 𝑥𝑖 gives  \n𝑧(𝑡) = 𝐻m e−𝑐𝑡/𝐻m       and         𝑥(𝑡) = 𝑥𝑖 e𝑐𝑡/𝐻m \nThis shows that 𝑧= 𝐻m 𝑥𝑖 /𝑥, meaning that flow lines are hyperbolas in the 𝑥𝑧-plane. \nRather than solving the differential equations, one can also use them to show that \nd\nd𝑡(𝑥𝑧) = d𝑥\nd𝑡𝑧+ 𝑥d𝑧\nd𝑡= 𝑐𝑥\n𝐻m\n𝑧−𝑥𝑐𝑧\n𝐻m\n= 0 \nwhich again implies that 𝑥𝑧= const. Fixing the constant by the initial conditions, again \nleads to the result that 𝑧= 𝐻m𝑥𝑖/𝑥. \n0.9 \n \n3.6 \nAt the ice divide, 𝑥= 0, the flow will be completely vertical, and the 𝑡-dependence of 𝑧 \nfound in 3.5 can be inverted to find 𝜏(𝑧). One finds that 𝜏(𝑧) =\n𝐻m\n𝑐ln ቀ\n𝐻m\n𝑧ቁ. \n1.0 \n \n\n  \n \n   The Greenlandic Ice Sheet \nT3 \n \nPage 3 of 6 \n \n3.7a \nThe present interglacial period extends to a depth of 1492 m, corresponding to 11,700 \nyear. Using the formula for 𝜏(𝑧)from problem 3.6, one finds the following accumulation \nrate for the interglacial: \n𝑐ig =\n𝐻m\n11,700 years ln ൬\n𝐻m\n𝐻m −1492 m൰= 0.1749 m/year. \n \nThe beginning of the ice age 120,000 years ago is identified as the drop in 𝛿\nO\n \n18 in \nfigure 3.2b at a depth of 3040 m. Using the vertical flow velocity found in problem 3.4, \non has \nd𝑧\n𝑧= −\n𝑐\n𝐻m d𝑡, which can be integrated down to a depth of 3040 m, using a \nstepwise constant accumulation rate: \n \n𝐻m ln ൬\n𝐻m\n𝐻m −3040 m൰= −𝐻m න\n1\n𝑧\n𝐻m−3040 m\n𝐻m\nd𝑧 \n \n                                         = න\n𝑐ia d𝑡\n120,000 year\n11,700 year\n+ න\n𝑐ig d𝑡\n11,700 year\n0\n \n                                          = 𝑐ia(120,000 year-11,700 year)+𝑐ig11,700 year \n \nIsolating form this equation leads to 𝑐ia = 0.1232, i.e. far less precipitation than now. \n0.8 \n3.7b Reading off from figure 3.2b:  𝛿\nO\n \n18 changes from −43,5 ‰ to −34,5 ‰. Reading off \nfrom figure 3.2a,  𝑇 then changes from −40 ℃ to −28 ℃. This gives ∆𝑇≈12 ℃. \n0.2 \n \n3.8 \nFrom the area 𝐴G one finds that 𝐿= ඥ𝐴G/10 = 4.14 × 105 m. Inserting numbers in \nthe volume formula found in 3.2c, one finds that: \n𝑉G,ice = 20\n3 𝐿5/2ඨ2𝑆b\n𝜌ice𝑔= 3.45 × 1015 m3 \nThis ice volume must be converted to liquid water volume, by equating the total masses, \ni.e. 𝑉G,wa = 𝑉G,ice\n𝜌ice\n𝜌wa = 3.17 × 1015 m3, which is finally converted to a sea level rise, \nas ℎG,rise =\n𝑉G,wa\n𝐴o\n= 8.79 m. \n0.6 \n \n \n \n\n  \n \n   The Greenlandic Ice Sheet \nT3 \n \nPage 4 of 6 \n \n \n3.\n9 \nFigure 3.S1 Geometry of the ice ball (white circle) with a test mass 𝑚 (small gray circle). \nThe total mass of the ice is \n \n𝑀ice = 𝑉G,ice 𝜌ice = 3.17 × 1018 kg = 5.31 × 10−7𝑚E \n \nThe total gravitational potential felt by a test mass 𝑚 at a certain height ℎ above the surface \nof the Earth, and at a polar angle 𝜃 (cf. figure 3.S1), with respect to a rotated polar axis \ngoing straight through the ice sphere is found by adding that from the Earth with that from \nthe ice: \n𝑈tot = −𝐺𝑚E𝑚\n𝑅E + ℎ−𝐺𝑀ice𝑚\n𝑟\n= −𝑚𝑔𝑅𝐸൬\n1\n1 + ℎ/𝑅𝐸\n+ 𝑀𝑖𝑐𝑒/𝑚𝐸\n𝑟/𝑅𝐸\n൰ \nwhere 𝑔= 𝐺𝑚𝐸/𝑅𝐸\n2. Since ℎ/𝑅E ≪1 one may use the approximation given in the \nproblem, (1 + x)−1 ≈1 −𝑥,  |𝑥| ≪1, to approximate this by \n𝑈tot ≈−𝑚𝑔𝑅𝐸൬1 −ℎ\n𝑅𝐸\n+ 𝑀𝑖𝑐𝑒/𝑚𝐸\n𝑟/𝑅𝐸\n൰. \nIsolating ℎ now shows that ℎ= ℎ0 +\n𝑀𝑖𝑐𝑒/𝑚𝐸\n𝑟/𝑅𝐸\n𝑅𝐸, where ℎ0 = 𝑅𝐸+ 𝑈tot/(𝑚𝑔). Using \nagain that ℎ/𝑅E ≪1, trigonometry shows that 𝑟≈2𝑅E|sin(𝜃/2)|, and one has: \n \nℎ(𝜃) −ℎ0 ≈\n𝑀ice/𝑚E\n2|sin(𝜃/2)| 𝑅𝐸≈\n1.69 m\n|sin(𝜃/2)|. \n \nTo find the magnitude of the effect in Copenhagen, the distance of 3500 km along the \nsurface is used to find the angle 𝜃CPH = (3.5 × 106 m)/𝑅𝐸≈0.549, corresponding to \nℎCPH −ℎ0 ≈6.25 m. Directly opposite to Greenland corresponds to 𝜃= 𝜋, which gives \nℎOPP −ℎ0 ≈1.69 m. The difference is then ℎCPH −ℎOPP ≈4.56 m, where ℎ0 has dropped \nout. \n \n \n \n1.\n6 \n\n  \n \n   The Greenlandic Ice Sheet \nT3 \n \nPage 5 of 6 \n \nFigure 3.S2 Same figure as above, but with the relevant forces depicted and showed again \noutside figure for clarity. The blue dotted line indicates the Earth surface. The blue dashed line \nindicates the local sea level, growing towards Greenland and decreasing towards the south pole. \n \nApproach with forces: \n \nThis problem can also be solved using forces. The basic equations for mechanical \nequilibrium of the test particle is then a simple matter of balancing the two gravitational \nforces, 𝐹⃗𝐸 and 𝐹⃗𝐺, with the reaction force from the Earth, 𝐹⃗𝑅. Given the angles indicated in \nFigure 3.S2, the force balance along locally vertical and horizontal directions, respectively, \nread \n𝐹𝐸+ 𝐹𝐺cos(𝛿) = 𝐹𝑅cos(𝜑) \nand \n𝐹𝐺sin(𝛿) = 𝐹𝑅sin(𝜑) \n \nwhich can be divided to obtain (using that 𝛿= 𝜋/2 −𝜃/2): \n \ntan(𝜑) =\n𝐹𝐺sin(𝛿)\n𝐹𝐸+ 𝐹𝐺cos(𝛿) \n              = 𝐹𝐺\n𝐹𝐸\ncos(𝜃/2)\n1\n1 + (𝐹𝐺/𝐹𝐸)sin(𝜃/2) \n              ≈𝐹𝐺\n𝐹𝐸\ncos(𝜃/2) \n              = 𝑀𝑖𝑐𝑒/𝑚𝐸\n(𝑟/𝑅𝐸)2 cos(𝜃/2) \n              =\n𝑀𝑖𝑐𝑒/𝑚𝐸\n4 sin2(𝜃/2) cos(𝜃/2) \n \nwhere we have plugged in the gravitational forces and the relevant distances. We have also \n\n  \n \n   The Greenlandic Ice Sheet \nT3 \n \nPage 6 of 6 \n \napproximated the fraction, using that  𝑀𝑖𝑐𝑒/𝑚𝐸= 5.31 × 10−7 ≪1, which is only valid \nnot too close to Greenland, i.e. for a certain size of 𝜃.  Since the local sea surface will be \nperpendicular to the reaction force, it is seen from figure 3.S2 that \n \ntan(𝜑) = dℎ\nd𝑥= dℎ\nd𝜃\nd𝜃\nd𝑥= 1\n𝑅𝐸\ndℎ\nd𝜃 \nwhereby \ndℎ\nd𝜃= 𝑅𝐸\n𝑀𝑖𝑐𝑒/𝑚𝐸\n4 sin2(𝜃/2) cos(𝜃/2) \n \nThe difference in sea levels in Copenhagen and opposite to Greenland can now be obtained \nby integrating this expression. That is \n \nℎCPH −ℎOPP = 𝑅𝐸\n𝑀𝑖𝑐𝑒\n𝑚𝐸\nන\ncos(𝜃/2)\n4 sin2(𝜃/2) d𝜃\n𝜃𝐶𝑃𝐻\n𝜋\n \n= 𝑅𝐸\n𝑀𝑖𝑐𝑒\n2 𝑚𝐸\nන\nq−2 d𝑞\nsin(𝜃𝐶𝑃𝐻/2)\n1\n \n= 𝑅𝐸\n𝑀𝑖𝑐𝑒\n2 𝑚𝐸\n൬\n1\nsin(𝜃𝐶𝑃𝐻/2) −1൰ \n \nwhere we have made the substitution 𝑞= sin(𝜃/2). Plugging in the numbers found above, \nwe obtain again ℎCPH −ℎOPP ≈4.56. Note that this solution strategy necessarily involves \nconsideration of tangential force components alongside with the radial components. \n \n \nTotal \n9.0 \n \n","shared":false,"sourcePages":[1,2,3,4,5,6]}},{"id":"ipho-2012-t2","importedOn":"2026-10-28","language":"en","sources":[{"url":"https://www.ipho-new.org/download/570/","kind":"statement","archiveMember":"2012/2012-08-09 IPhO2012_Theoretical_problems.pdf"},{"url":"https://www.ipho-new.org/download/570/","kind":"solution","archiveMember":"2012/2012-08-09 IPO2012 Theory_Solutions_ENG.pdf"}],"statement":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/ipho-2012-t2-statement/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/ipho-2012-t2-statement/page-1.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2012-t2-statement/page-2.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2012-t2-statement/page-3.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2012-t2-statement/page-4.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2012-t2-statement/page-5.webp","width":982,"height":1389}],"text":"The 43rd International Physics Olympiad — Theoretical Competition\nTartu, Estonia — Tuesday, July 17th 2012\n• The examination lasts for 5 hours. There are 3 problems\nworth a total of 30 points. Please note that the point\nvalues of the three theoretical problems are not equal.\n• You must not open the envelope with the prob-\nlems before the sound signal indicating the begin-\nning of competition (three short signals).\n• You are not allowed to leave your working place\nwithout permission.\nIf you need any assistance\n(broken calculator, need to visit a restroom, etc), please\nraise the corresponding flag (“help” or “toilet” with a\nlong handle at your seat) above your seat box walls and\nkeep it raised until an organizer arrives.\n• Your answers must be expressed in terms of those\nquantities, which are highlighted in the problem text,\nand can contain also fundamental constants, if needed.\nSo, if it is written that “the box height is a and the\nwidth - b” then a can be used in the answer, and b can-\nnot be used (unless it is highlighted somewhere else, see\nbelow).\nThose quantities which are highlighted in the\ntext of a subquestion can be used only in the answer to\nthat subquestion; the quantities which are highlighted\nin the introductory text of the Problem (or a Part of a\nProblem), i.e. outside the scope of any subquestion, can\nbe used for all the answers of that Problem (or of that\nProblem Part).\n• Use only the front side of the sheets of paper.\n• For each problem, there are dedicated Solution Sheets\n(see header for the number and pictogramme).\nWrite\nyour solutions onto the appropriate Solution Sheets. For\neach Problem, the Solution Sheets are numbered; use\nthe sheets according to the enumeration. Always mark\nwhich Problem Part and Question you are deal-\ning with. Copy the final answers into the appropriate\nboxes of the Answer Sheets. There are also Draft pa-\npers; use these for writing things which you don’t want\nto be graded. If you have written something what you\ndon’t want to be graded onto the Solution Sheets (such\nas initial and incorrect solutions), cross these out.\n• If you need more paper for a certain problem, please raise\nthe flag “help” and tell an organizer the problem num-\nber; you are given two Solution sheets (you can do this\nmore than once).\n• You should use as little text as possible: try to\nexplain your solution mainly with equations, numbers,\nsymbols and diagrams.\n• The first single sound signal tells you that there are 30\nmin of solving time left; the second double sound signal\nmeans that 5 min is left; the third triple sound signal\nmarks the end of solving time. After the third sound\nsignal you must stop writing immediately. Put all\nthe papers into the envelope at your desk. You are not\nallowed to take any sheet of paper out of the room.\nIf you have finished solving before the final sound signal,\nplease raise your flag.\n— page 1 of 5 —\n\nProblem T1. Focus on sketches (13 points)\nPart A. Ballistics (4.5 points)\nA ball, thrown with an initial speed v0, moves in a homogen-\neous gravitational field in the x-z plane, where the x-axis is\nhorizontal, and the z-axis is vertical and antiparallel to the\nfree fall acceleration g . Neglect the effect of air drag.\ni. (0.8 pts) By adjusting the launching angle for a ball thrown\nwith a fixed initial speed v0 from the origin, targets can be\nhit within the region given by\nz ≤z0 −kx2.\nYou can use this fact without proving it. Find the constants\nz0 and k.\nii. (1.2 pts) The launching point can now be\nfreely selected on the ground level z = 0, and\nthe launching angle can be adjusted as needed.\nThe aim is to hit the topmost point of a spher-\nical building of radius R (see fig.)\nwith the\nminimal initial speed v0. Bouncing offthe roof prior to hitting\nthe target is not allowed.\nSketch qualitatively the shape of\nthe optimal trajectory of the ball (use the designated box on\nthe answer sheet). Note that the marks are given only for the\nsketch.\niii. (2.5 pts) What is the minimal launching speed vmin needed\nto hit the topmost point of a spherical building of radius R ?\nLa Geode, Parc de la Villette, Paris. Photo: katchooo/flickr.com\nPart B. Air flow around a wing (4 points)\nFor this part of the problem, the following information may be\nuseful. For a flow of liquid or gas in a tube along a streamline,\np + ρgh + 1\n2ρv2 = const., assuming that the velocity v is much\nless than the speed of sound. Here ρ is the density, h is the\nheight, g is free fall acceleration and p is hydrostatic pressure.\nStreamlines are defined as the trajectories of fluid particles\n(assuming that the flow pattern is stationary). Note that the\nterm 1\n2ρv2 is called the dynamic pressure.\nIn the fig. shown below, a cross-section of an aircraft wing is\ndepicted together with streamlines of the air flow around the\nwing, as seen in the wing’s reference frame. Assume that (a)\nthe air flow is purely two-dimensional (i.e. that the velocity\nvectors of air lie in the plane of the figure); (b) the stream-\nline pattern is independent of the aircraft speed; (c) there is\nno wind; (d) the dynamic pressure is much smaller than the\natmospheric pressure, p0 = 1.0 × 105 Pa .\nYou can use a ruler to take measurements from the fig. on\nthe answer sheet.\ni. (0.8 pts) If the aircraft’s ground speed is v0 = 100 m/s ,\nwhat is the speed of the air, vP , at the point P (marked in the\nfig.) with respect to the ground?\nii. (1.2 pts) In the case of high relative humidity, as the\nground speed of the aircraft increases over a critical value vcrit,\na stream of water droplets is created behind the wing. The\ndroplets emerge at a certain point Q. Mark the point Q in the\nfig. on the answer sheet. Explain qualitatively (using formulae\nand as little text as possible) how you determined the position\nof Q.\niii. (2.0 pts) Estimate the critical speed vcrit using the follow-\ning data: relative humidity of the air is r = 90% , specific heat\ncapacity of air at constant pressure cp = 1.00 × 103 J/kg · K ,\npressure of saturated water vapour:\npsa = 2.31 kPa\nat\nthe temperature of the unperturbed air\nTa = 293 K\nand\npsb = 2.46 kPa at Tb = 294 K . Depending on your approx-\nimations, you may also need the specific heat capacity of air at\nconstant volume cV = 0.717 × 103 J/kg · K . Note that the rel-\native humidity is defined as the ratio of the vapour pressure to\nthe saturated vapour pressure at the given temperature. Sat-\nurated vapour pressure is defined as the vapour pressure by\nwhich vapour is in equilibrium with the liquid.\n— page 2 of 5 —\n\nPart C. Magnetic straws (4.5 points)\nConsider a cylindrical tube made of a superconducting mater-\nial. The length of the tube is l and the inner radius is r\nwith l ≫r. The centre of the tube coincides with the origin,\nand its axis coincides with the z-axis.\nThere is a magnetic flux Φ through the central cross-section\nof the tube, z = 0, x2 + y2 < r2. A superconductor is a mater-\nial which expels any magnetic field (the field is zero inside the\nmaterial).\ni. (0.8 pts) Sketch five such magnetic field lines, which pass\nthrough the five red dots marked on the axial cross-section of\nthe tube, on the designated diagram on the answer sheet.\nii. (1.2 pts) Find the tension force T along the z-axis in the\nmiddle of the tube (i.e. the force by which two halves of the\ntube, z > 0 and z < 0, interact with each other).\niii. (2.5 pts) Consider another tube, identical and parallel to\nthe first one.\nThe second tube has the same magnetic field but in the oppos-\nite direction and its centre is placed at y = l , x = z = 0 (so\nthat the tubes form opposite sides of a square). Determine the\nmagnetic interaction force F between the two tubes.\n— page 3 of 5 —\n\nProblem T2. Kelvin water dropper (8 points)\nThe following facts about the surface tension may turn out\nto be useful for this problem. For the molecules of a liquid,\nthe positions at the liquid-air interface are less favourable as\ncompared with the positions in the bulk of the liquid. This\ninterface is described by the so-called surface energy, U = σS,\nwhere S is the surface area of the interface and σ is the surface\ntension coefficient of the liquid. Moreover, two fragments of\nthe liquid surface pull each other with a force F = σl, where l\nis the length of a straight line separating the fragments.\nA long metallic pipe with internal diameter d is pointing dir-\nectly downwards. Water is slowly dripping from a nozzle at its\nlower end, see fig. Water can be considered to be electrically\nconducting; its surface tension is σ and its density is ρ . A\ndroplet of radius r hangs below the nozzle. The radius grows\nslowly in time until the droplet separates from the nozzle due\nto the free fall acceleration g . Always assume that d ≪r.\nPart A. Single pipe (4 points)\ni. (1.2 pts) Find the radius rmax of a drop just before it sep-\narates from the nozzle.\nii. (1.2 pts) Relative to the far-away surroundings, the pipe’s\nelectrostatic potential is φ . Find the charge Q of a drop when\nits radius is r .\niii. (1.6 pts) Consider the situation in which r is kept con-\nstant and φ is slowly increased. The droplet becomes unstable\nand breaks into pieces if the hydrostatic pressure inside the\ndroplet becomes smaller than the atmospheric pressure. Find\nthe critical potential φmax at which this will happen.\nPart B. Two pipes (4 points)\nAn apparatus called the “Kelvin water dropper” consists of\ntwo pipes, each identical to the one described in Part A, con-\nnected via a T-junction, see fig. The ends of both pipes are\nat the centres of two cylindrical electrodes (with height L and\ndiameter D with L ≫D ≫r). For both tubes, the dripping\nrate is n droplets per unit time. Droplets fall from height H\ninto conductive bowls underneath the nozzles, cross-connected\nto the electrodes as shown in the diagram. The electrodes are\nconnected via a capacitance C . There is no net charge on\nthe system of bowls and electrodes. Note that the top water\ncontainer is earthed as shown.\nThe first droplet to fall will\nhave some microscopic charge which will cause an imbalance\nbetween the two sides and a small charge separation across the\ncapacitor.\ni. (1.2 pts) Express the absolute value of the charge Q0 of the\ndrops as they separate from the tubes, and at the instant when\nthe capacitor’s charge is q .\nExpress Q0 in terms of rmax\n(from Part A-i) and neglect the effect described in Part A-iii.\nii. (1.5 pts) Find the dependence of q on time t by approx-\nimating it with a continuous function q(t) and assuming that\nq(0) = q0 .\niii. (1.3 pts) The dropper’s functioning can be hindered by\nthe effect shown in Part A-iii.\nIn addition, a limit Umax to\nthe achievable potential between the electrodes is set by the\nelectrostatic push between a droplet and the bowl beneath it.\nFind Umax.\n— page 4 of 5 —\n\nProblem T3. Protostar formation (9 points)\nLet us model the formation of a star as follows. A spherical\ncloud of sparse interstellar gas, initially at rest, starts to col-\nlapse due to its own gravity. The initial radius of the ball is\nr0 and the mass is m . The temperature of the surroundings\n(much sparser than the gas) and the initial temperature of the\ngas is uniformly T0 . The gas may be assumed to be ideal.\nThe average molar mass of the gas is µ and its adiabatic\nindex is γ > 4\n3. Assume that G mµ\nr0 ≫RT0, where R is the\ngas constant and G is the gravitational constant.\ni. (0.8 pts) During much of the collapse, the gas is so transpar-\nent that any heat generated is immediately radiated away, i.e.\nthe ball stays in thermodynamic equilibrium with its surround-\nings. What is the number of times, n, by which the pressure\nincreases when the radius is halved to r1 = 0.5r0 ? Assume\nthat the gas density remains uniform.\nii. (1 pt) Estimate the time t2 needed for the radius to shrink\nfrom r0 to r2 = 0.95r0 . Neglect the change of the gravity field\nat the position of a falling gas particle.\niii. (2.5 pts) Assuming that the pressure remains negligible,\nfind the time tr→0 needed for the ball to collapse from r0 down\nto a much smaller radius, using Kepler’s Laws.\niv. (1.7 pts) At some radius r3 ≪r0, the gas becomes dense\nenough to be opaque to the heat radiation.\nCalculate the\namount of heat Q radiated away during the collapse from the\nradius r0 down to r3.\nv. (1 pt) For radii smaller than r3 you may neglect heat loss\ndue to radiation. Determine how the temperature T of the ball\ndepends on its radius for r < r3.\nvi. (2 pts) Eventually we cannot neglect the effect of the pres-\nsure on the dynamics of the gas and the collapse stops at r = r4\n(with r4 ≪r3 ). However, the radiation loss can still be neg-\nlected and the temperature is not yet high enough to ignite\nnuclear fusion. The pressure of such a protostar is not uniform\nanymore, but rough estimates with inaccurate numerical pre-\nfactors can still be done. Estimate the final radius r4 and the\nrespective temperature T4.\n— page 5 of 5 —\n","shared":true,"sourcePages":[1,2,3,4,5],"initialPage":4},"solution":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/ipho-2012-t2-solution/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/ipho-2012-t2-solution/page-1.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2012-t2-solution/page-2.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2012-t2-solution/page-3.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2012-t2-solution/page-4.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2012-t2-solution/page-5.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2012-t2-solution/page-6.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2012-t2-solution/page-7.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2012-t2-solution/page-8.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2012-t2-solution/page-9.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2012-t2-solution/page-10.webp","width":982,"height":1389}],"text":"Problem T1. Focus on sketches (13 points)\nPart A. Ballistics (4.5 points)\ni. (0.8 pts) When the stone is thrown vertically upwards, it\ncan reach the point x = 0, z = v2\n0/2g (as it follows from the\nenergy conservation law). Comparing this with the inequality\nz ≤z0 −kx2 we conclude that\nz0 = v2\n0/2g.\n[0.3 pts]\nLet us consider the asymptotics z →−∞; the trajectory of\nthe stone is a parabola, and at this limit, the horizontal dis-\nplacement (for the given z) is very sensitive with respect to the\ncurvature of the parabola: the flatter the parabola, the larger\nthe displacement. The parabola has the flattest shape when\nthe stone is thrown horizontally, x = v0t and z = −gt2/2, i.e.\nits trajectory is given by z = −gx2/2v2\n0. Now, let us recall\nthat z ≤z0 −kx2, i.e. −gx2/2v2\n0 ≤z0 −kx2 ⇒k ≤g/2v2\n0.\nNote that k < g/2v2\n0 would imply that there is a gap between\nthe parabolic region z ≤z0 −kx2 and the given trajectory\nz = −gx2/2v2\n0. This trajectory is supposed to be optimal for\nhitting targets far below (z →−∞), so there should be no such\na gap, and hence, we can exclude the option k < g/2v2\n0. This\nleaves us with\nk = g/2v2\n0.\n[0.5 pts]\nii. (1.2 pts) Let us note that the\nstone trajectory is reversible and due\nto the energy conservation law, one\ncan equivalently ask, what is the min-\nimal initial speed needed for a stone\nto be thrown from the topmost point\nof the spherical building down to the\nground without hitting the roof, and what is the respective tra-\njectory. It is easy to understand that the trajectory either needs\nto touch the roof, or start horizontally from the topmost point\nwith the curvature radius equal to R. Indeed, if neither were\nthe case, it would be possible to keep the same throwing angle\nand just reduce the speed a little bit — the stone would still\nreach the ground without hitting the roof. Further, if it were\ntangent at the topmost point, the trajectory wouldn’t touch\nnor intersect the roof anywhere else, because the curvature of\nthe parabola has maximum at its topmost point.\nThen, it\nwould be possible to keep the initial speed constant, and in-\ncrease slightly the throwing angle (from horizontal to slightly\nupwards): the new trajectory wouldn’t be neither tangent at\nthe top nor touch the roof at any other point; now we can re-\nduce the initial speed as we argued previously. So we conclude\nthat the optimal trajectory needs to touch the roof somewhere,\nas shown in Fig.\niii. (2.5 pts) The brute force approach would be writing down\nthe condition that the optimal trajectory intersects with the\nbuilding at two points and touches at one. This would be de-\nscribed by a fourth order algebraic equation and therefore, it is\nnot realistic to accomplish such a solution within a reasonable\ntime frame.\nNote that the interior of the building needs to lie inside the\nregion where the targets can be hit with a stone thrown from\nthe top with initial speed vmin. Indeed, if we can throw over\nthe building, we can hit anything inside by lowering the throw-\ning angle. On the other hand, the boundary of the targetable\nregion needs to touch the building.\nIndeed, if there were a\ngap, it would be possible to hit a target just above the point\nwhere the optimal trajectory touches the building; the traject-\nory through that target wouldn’t touch the building anywhere,\nhence we arrive at a contradiction.\nSo, with v0 corresponding to the optimal trajectory, the tar-\ngetable region touches the building; due to symmetry, overall\nthere are two touching points (for smaller speeds, there would\nbe four, and for larger speeds, there would be none). With the\norigin at the top of the building, the intersection points are\ndefined by the following system of equations:\nx2 + z2 + 2zR = 0, z = v2\n0\n2g −gx2\n2v2\n0\n.\nUpon eliminating z, this becomes a biquadratic equation for x:\nx4\n\u0012 g\n2v2\n0\n\u00132\n+ x2\n\u00121\n2 −gR\nv2\n0\n\u0013\n+\n\u0012v2\n0\n4g + R\n\u0013 v2\n0\ng = 0.\nHence the speed by which the real-valued solutions disappear\ncan be found from the condition that the discriminant vanishes:\n\u00121\n2 −gR\nv2\n0\n\u00132\n= 1\n4 + gR\nv2\n0\n=⇒gR\nv2\n0\n= 2.\nBearing in mind that due to the energy conservation law, at\nthe ground level the squared speed is increased by 4gR. Thus\nwe finally obtain\nvmin =\nq\nv2\n0 + 4gR = 3\nr\ngR\n2 .\nPart B. Mist (4 points)\ni. (0.8 pts) In the plane’s reference frame, along the channel\nbetween two streamlines the volume flux of air (volume flow\nrate) is constant due to continuity.\nThe volume flux is the\nproduct of speed and channel’s cross-section area, which, due\nto the two-dimensional geometry, is proportional to the channel\nwidth and can be measured from the Fig. Due to the absence of\nwind, the unperturbed air’s speed in the plane’s frame is just v0.\nSo, upon measuring the dimensions a = 10 mm and b = 13 mm\n(see Fig), we can write v0a = ub and hence u = v0 a\nb . Since at\npoint P, the streamlines are horizontal where all the velocities\nare parallel, the vector addition is reduced to the scalar addi-\ntion: the air’s ground speed vP = v0 −u = v0(1 −a\nb ) = 23 m/s.\nii. (1.2 pts) Although the dynamic pressure 1\n2ρv2 is relatively\nsmall, it gives rise to some adiabatic expansion and compres-\nsion. In expanding regions the temperature will drop and hence,\nthe pressure of saturated vapours will also drop. If the dew\npoint is reached, a stream of droplets will appear. This process\nwill start in a point where the adiabatic expansion is maximal,\ni.e. where the hydrostatic pressure is minimal and consequently,\nas it follows from the Bernoulli’s law p + 1\n2ρv2 = const, the dy-\nnamic pressure is maximal: in the place where the air speed in\n— page 1 of 5 —\n\nwing’s frame is maximal and the streamline distance minimal.\nSuch a point Q is marked in Fig.\niii. (2 pts) First we need to calculate the dew point for the air\nof given water content (since the relative pressure change will\nbe small, we can ignore the dependence of the dew point on\npressure). The water vapour pressure is pw = psar = 2.08 kPa.\nThe relative change of the pressure of the saturated vapour is\nsmall, so we can linearize its temperature dependence:\npsa −pw\nTa −T\n= psb −psa\nTb −Ta\n=⇒Ta −T = (Tb −Ta)(1 −r)psa\npsb −psa\n;\nnumerically T ≈291.5 K. Further we need to relate the air\nspeed to the temperature. To this end we need to use the en-\nergy conservation law. A convenient ready-to-use form of it is\nprovided by the Bernoulli’s law. Applying this law will give\na good approximation of the reality, but strictly speaking, it\nneeds to be modified to take into account the compressibility\nof air and the associated expansion/contraction work.\nCon-\nsider one mole of air, which has the mass µ and the volume\nV = RT/p. Apparently the process is fast and the air par-\ncels are large, so that heat transfer across the air parcels is\nnegligible. Additionally, the process is subsonic; all together\nwe can conclude that the process is adiabatic. Consider a seg-\nment of a tube formed by the streamlines. Let us denote the\nphysical quantities at its one end by index 1, and at the other\nend — by index 2.\nThen, while one mole of gas flows into\nthe tube at one end, as much flows out at the other end. The\ninflow carries in kinetic energy 1\n2µv2\n1, and the outflow carries\nout 1\n2µv2\n2. The inflowing gas receives work due to the pushing\ngas equal to p1V1 = RT1, the outflowing gas performs work\np2V2 = RT2. Let’s define molar heat capacities CV = µcV and\nCp = µcp. The inflow carries in heat energy CV RT1, and the\noutflow carries out CV RT2. All together, the energy balance\ncan be written as\n1\n2µv2 + CpT = const.\nFrom this we can\neasily express ∆v2\n2 =\n1\nC v2\ncrit( a2\nc2 −1) = cp∆T, where c is the\nstreamline distance at the point Q, and further\nvcrit = c\nr\n2cp∆T\na2 −c2 ≈23 m/s,\nwhere we have used c ≈4.5 mm and ∆T = 1.5 K. Note that\nin reality, the required speed is probably somewhat higher, be-\ncause for a fast condensation, a considerable over-saturation is\nneeded. However, within an order of magnitude, this estimate\nremains valid.\nPart C. Magnetic straws (4.5 points)\ni. (0.8 pts) Due to the superconduct-\ning walls, the magnetic field lines cannot\ncross the walls, so the flux is constant\nalong the tube. For a closed contour in-\nside the tube, there should be no circu-\nlation of the magnetic field, hence the\nfield lines cannot be curved, and the field\nneeds to be homogeneous. The field lines\nclose from outside the tube, similarly to a solenoid.\nii. (1.2 pts) Let us consider the change of the magnetic energy\nwhen the tube is stretched (virtually) by a small amount ∆l.\nNote that the magnetic flux trough the tube is conserved: any\nchange of flux would imply a non-zero electromotive force dΦ\ndt ,\nand for a zero resistivity, an infinite current. So, the induc-\ntion B =\nΦ\nπr2 . The energy density of the magnetic field is\nB2\n2µ0 .\nThus, the change of the magnetic energy is calculated as\n∆W = B2\n2µ0\nπr2∆l =\nΦ2\n2µ0πr2 ∆l.\nThis energy increase is achieved owing to the work done by the\nstretching force, ∆W = T∆l. Hence, the force\nT =\nΦ2\n2µ0πr2 .\niii. (2.5 pts) Let us analyse, what would be the change of\nthe magnetic energy when one of the straws is displaced to a\nsmall distance. The magnetic field inside the tubes will remain\nconstant due to the conservation of magnetic flux, but outside,\nthe magnetic field will be changed.\nThe magnetic field out-\nside the straws is defined by the following condition: there is\nno circulation of⃗B (because there are no currents outside the\nstraws); there are no sources of the field lines, other than the\nendpoints of the straws; each of the endpoints of the straws is\na source of streamlines with a fixed magnetic flux ±Φ. These\nare exactly the same condition as those which define the elec-\ntric field of four charges ±Q. We know that if the distance\nbetween charges is much larger than the geometrical size of\na charge, the charges can be considered as point charges (the\nelectric field near the charges remains almost constant, so that\nthe respective contribution to the change of the overall electric\nfield energy is negligible). Therefore we can conclude that the\nendpoints of the straws can be considered as magnetic point\ncharges. In order to calculate the force between two magnetic\ncharges (magnetic monopoles), we need to establish the corres-\npondence between magnetic and electric quantities.\nFor two electric charges Q separated by a distance a, the\nforce is F =\n1\n4πε0\nQ2\na2 , and at the position of one charge, the elec-\ntric field of the other charge has energy density w =\n1\n32π2ε0\nQ2\na4 ;\nhence we can write F = 8πwa2. This is a universal expression\nfor the force (for the case when the field lines have the same\nshape as in the case of two opposite and equal by modulus elec-\ntric charges) relying only on the energy density, and not related\nto the nature of the field; so we can apply it to the magnetic\n— page 2 of 5 —\n\nfield.\nIndeed, the force can be calculated as a derivative of\nthe full field energy with respect to a virtual displacement of\na field line source (electric or magnetic charge); if the energy\ndensities of two fields are respectively equal at one point, they\nare equal everywhere, and so are equal the full field energies.\nAs it follows from the Gauss law, for a point source of a fixed\nmagnetic flux Φ at a distance a, the induction B =\n1\n4π\nΦ\na2 . So,\nthe energy density w = B2\n2µ0 =\n1\n32π2µ0\nΦ2\na4 , hence\nF =\n1\n4πµ0\nΦ2\na2 .\nFor the two straws, we have four magnetic charges. The lon-\ngitudinal (along a straw axis) forces cancel out (the diagonally\npositioned pairs of same-sign-charges push in opposite direc-\ntions). The normal force is a superposition of the attraction\ndue to the two pairs of opposite charges, F1 =\n1\n4πµ0\nΦ2\nl2 , and\nthe repulsive forces of diagonal pairs, F2 =\n√\n2\n8πµ0\nΦ2\n2l2 . The net\nattractive force will be\nF = 2(F1 −F2) = 4 −\n√\n2\n8πµ0\nΦ2\nl2 .\n— page 3 of 5 —\n\nProblem T2. Kelvin water dropper (8 points)\nPart A. Single pipe (4 points)\ni. (1.2 pts) Let us write the force balance for the droplet.\nSince d ≪r, we can neglect the force π\n4 ∆pd2 due to the excess\npressure ∆p inside the tube. So, the gravity force 4\n3πr3\nmaxρg\nis balanced by the capillary force. When the droplet separates\nfrom the tube, the water surface forms in the vicinity of the\nnozzle a “neck”, which has vertical tangent. In the horizontal\ncross-section of that “neck”, the capillary force is vertical and\ncan be calculated as πσd. So,\nrmax =\n3\ns\n3σd\n4ρg .\nii. (1.2 pts) Since d ≪r, we can neglect the change of the\ndroplet’s capacitance due to the tube. On the one hand, the\ndroplet’s potential is ϕ; on the other hand, it is\n1\n4πε0\nQ\nr . So,\nQ = 4πε0ϕr.\niii. (1.6 pts) Excess pressure inside the droplet is caused by\nthe capillary pressure 2σ/r (increases the inside pressure), and\nby the electrostatic pressure 1\n2ε0E2 = 1\n2ε0ϕ2/r2 (decreases the\npressure). So, the sign of the excess pressure will change, if\n1\n2ε0ϕ2\nmax/r2 = 2σ/r, hence\nϕmax = 2\np\nσr/ε0.\nThe expression for the electrostatic pressure used above can\nbe derived as follows. The electrostatic force acting on a surface\ncharge of density σ and surface area S is given by F = σS · ¯E,\nwhere ¯E is the field at the site without the field created by the\nsurface charge element itself. Note that this force is perpen-\ndicular to the surface, so F/S can be interpreted as a pressure.\nThe surface charge gives rise to a field drop on the surface equal\nto ∆E = σ/ε0 (which follows from the Gauss law); inside the\ndroplet, there is no field due to the conductivity of the droplet:\n¯E −1\n2∆E = 0; outside the droplet, there is field E = ¯E + 1\n2∆E,\ntherefore ¯E = 1\n2E = 1\n2∆E. Bringing everything together, we\nobtain the expression used above.\nNote that alternatively, this expression can be derived by\nconsidering a virtual displacement of a capacitor’s surface and\ncomparing the pressure work p∆V with the change of the elec-\ntrostatic field energy 1\n2ε0E2∆V .\nFinally, the answer to the question can be also derived from\nthe requirement that the mechanical work dA done for an in-\nfinitesimal droplet inflation needs to be zero.\nFrom the en-\nergy conservation law, dW + dWel = σ d(4πr2) + 1\n2ϕ2\nmax dCd,\nwhere the droplet’s capacitance Cd = 4πε0r; the electrical work\ndWel = ϕmaxdq = 4πε0ϕ2\nmaxdr. Putting dW = 0 we obtain an\nequation for ϕmax, which recovers the earlier result.\nPart B. Two pipes (4 points)\ni. (1.2 pts) This is basically the same as Part A-ii, except\nthat the surroundings’ potential is that of the surrounding\nelectrode, −U/2 (where U = q/C is the capacitor’s voltage)\nand droplet has the ground potential (0). As it is not defined\nwhich electrode is the positive one, opposite sign of the po-\ntential may be chosen, if done consistently. Note that since\nthe cylindrical electrode is long, it shields effectively the en-\nvironment’s (ground, wall, etc) potential. So, relative to its\nsurroundings, the droplet’s potential is U/2. Using the result\nof Part A we obtain\nQ = 2πε0Urmax = 2πε0qrmax/C.\nii. (1.5 pts) The sign of the droplet’s charge is the same as\nthat of the capacitor’s opposite plate (which is connected to\nthe farther electrode). So, when the droplet falls into the bowl,\nit will increase the capacitor’s charge by Q:\ndq = 2πε0UrmaxdN = 2πε0rmaxndt q\nC ,\nwhere dN = ndt is the number of droplets which fall during\nthe time dt This is a simple linear differential equation which\nis solved easily to obtain\nq = q0eγt, γ = 2πε0rmaxn\nC\n= πε0n\nC\n3\ns\n6σd\nρg .\niii. (1.3 pts) The droplets can reach the bowls if their mech-\nanical energy mgH (where m is the droplet’s mass) is large\nenough to overcome the electrostatic push: The droplet starts\nat the point where the electric potential is 0, which is the sum of\nthe potential U/2, due to the electrode, and of its self-generated\npotential −U/2. Its motion is not affected by the self-generated\nfield, so it needs to fall from the potential U/2 down to the po-\ntential −U/2, resulting in the change of the electrostatic energy\nequal to UQ ≤mgH, where Q = 2πε0Urmax (see above). So,\nUmax =\nmgH\n2πε0Umaxrmax\n,\n∴Umax =\nr\nHσd\n2ε0rmax\n=\n6\ns\nH3gσ2ρd2\n6ε3\n0\n.\n— page 4 of 5 —\n\nProblem T3. Protostar formation (9 points)\ni. (0.8 pts)\nT = const =⇒pV = const\nV ∝r3\n∴p ∝r−3 =⇒p(r1)\np(r0) = 23 = 8.\nii. (1 pt) During the period considered the pressure is negli-\ngible. Therefore the gas is in free fall. By Gauss’ theorem and\nsymmetry, the gravitational field at any point in the ball is\nequivalent to the one generated when all the mass closer to the\ncenter is compressed into the center. Moreover, while the ball\nhas not yet shrunk much, the field strength on its surface does\nnot change much either.\nThe acceleration of the outermost\nlayer stays approximately constant. Thus,\nt ≈\ns\n2(r0 −r2)\ng\nwhere\ng ≈Gm\nr2\n0\n,\n∴t ≈\nr\n2r2\n0(r0 −r2)\nGm\n=\nr\n0.1r3\n0\nGm .\niii. (2.5 pts) Gravitationally the outer layer of the ball is in-\nfluenced by the rest just as the rest were compressed into a\npoint mass. Therefore we have Keplerian motion: the fall of\nany part of the outer layer consists in a halfperiod of an ultra-\nelliptical orbit. The ellipse is degenerate into a line; its foci are\nat the ends of the line; one focus is at the center of the ball (by\nKepler’s 1st law) and the other one is at r0, see figure (instead\nof a degenerate ellipse, a strongly elliptical ellipse is depicted).\nThe period of the orbit is determined by the longer semiaxis of\nthe ellipse (by Kepler’s 3rd law). The longer semiaxis is r0/2\nand we are interested in half a period. Thus, the answer is\nequal to the halfperiod of a circular orbit of radius r0/2:\n\u0012\n2π\n2tr→0\n\u00132 r0\n2 =\nGm\n(r0/2)2 =⇒tr→0 = π\nr\nr3\n0\n8Gm.\nAlternatively, one may write the energy conservation law\n˙r2\n2 −Gm\nr\n= E (that in turn is obtainable from Newton’s\nII law ¨r = −Gm\nr2 ) with E = −Gm\nr0 , separate the variables\n( dr\ndt = −\nq\n2E + 2Gm\nr\n) and write the integral t = −\nR\ndr\n√\n2E+ 2Gm\nr\n.\nThis integral is probably not calculable during the limitted\ntime given during the Olympiad, but a possible approach can\nbe sketched as follows.\nSubstituting\nq\n2E + 2Gm\nr\n= ξ and\n√\n2E = υ, one gets\nt∞\n4Gm =\nZ ∞\n0\ndξ\n(υ2 −ξ2)2\n=\n1\n4υ3\nZ ∞\n0\n\u0014\nυ\n(υ −ξ)2 +\nυ\n(υ + ξ)2 +\n1\nυ −ξ +\n1\nυ + ξ\n\u0015\ndξ.\nHere (after shifting the variable) one can use\nR dξ\nξ = ln ξ and\nR dξ\nξ2 = −1\nξ, finally getting the same answer as by Kepler’s laws.\niv. (1.7 pts) By Clapeyron–Mendeleyev law,\np = mRT0\nµV\n.\nWork done by gravity to compress the ball is\nW = −\nZ\np dV = −mRT0\nµ\nZ\n4\n3 πr3\n3\n4\n3 πr3\n0\ndV\nV\n= 3mRT0\nµ\nln r0\nr3\n.\nThe temperature stays constant, so the internal energy does not\nchange; hence, according to the 1st law of thermodynamics, the\ncompression work W is the heat radiated.\nv. (1 pt) The collapse continues adiabatically.\npV γ = const =⇒TV γ−1 = const.\n∴T ∝V 1−γ ∝r3−3γ\n∴T = T0\n\u0010r3\nr\n\u00113γ−3\n.\nvi. (2 pts) During the collapse, the gravitational energy is con-\nverted into heat. Since r3 ≫r4, The released gravitational en-\nergy can be estimated as ∆Π = −Gm2(r−1\n4\n−r−1\n3 ) ≈−Gm2/r4\n(exact calculation by integration adds a prefactor 3\n5); the ter-\nminal heat energy is estimated as ∆Q = cV m\nµ (T4 −T0) ≈\ncV m\nµ T4 (the approximation T4 ≫T0 follows from the result\nof the previous question, when combined with r3 ≫r4). So,\n∆Q =\nR\nγ−1\nm\nµ T4 ≈m\nµ RT4. For the temperature T4, we can use\nthe result of the previous question, T4 = T0\n\u0010\nr3\nr4\n\u00113γ−3\n. Since\ninitial full energy was approximately zero, ∆Q + ∆Π ≈0, we\nobtain\nGm2\nr4\n≈m\nµ RT0\n\u0012r3\nr4\n\u00133γ−3\n=⇒r4 ≈r3\n\u0012RT0r3\nµmG\n\u0013\n1\n3γ−4\n.\nTherefore,\nT4 ≈T0\n\u0012RT0r3\nµmG\n\u0013 3γ−3\n4−3γ\n.\nAlternatively, one can obtain the result by approximately\nequating the hydrostatic pressure ρr4 Gm\nr2\n4\nto the gas pressure\np4 = ρ\nµRT4; the result will be exactly the same as given above.\n— page 5 of 5 —\n\nProblem T1. Focus on sketches (13 points)\nPart A. Ballistics (4.5 points)\ni. (0.8 pts)\nz0 = v2\n0/2g\nk = g/2v2\n0\nii. (1.2 pts) The sketch of the trajectory:\niii. (2.5 pts)\nvmin = 3\nr\ngR\n2\n— page 1 of 5 —\n\nPart B. Air flow around a wing (4 points)\ni. (0.8 pts)\nvP = 23 m/s\nii. (1.2 pts) Mark on this fig. the point Q. Use it also for taking measurements (questions i and iii).\nFormulae motivating\nthe choice of point Q:\nav = const\np + 1\n2ρv2 = const\np1−γT γ = const\niii. (2.0 pts)\nFormula: vcrit = c\nr\n2cp∆T\na2 −c2\nNumerical: vcrit ≈23 m/s\n— page 2 of 5 —\n\nPart C. Magnetic straws (4.5 points)\ni. (0.8 pts)\nSketch here five\nmagnetic field lines.\nii. (1.2 pts)\nT =\nΦ2\n2µ0πr2\niii. (2.5 pts)\nF = 4 −\n√\n2\n8πµ0\nΦ2\nl2\n— page 3 of 5 —\n\nProblem T2. Kelvin water dropper (8 points)\nPart A. Single pipe (4 points)\ni. (1.2 pts)\nrmax =\n3\ns\n3σd\n4ρg\nii. (1.2 pts)\nQ = 4πε0ϕr\niii. (1.6 pts)\nϕmax = 2\np\nσr/ε0\nPart B. Two pipes (4 points)\ni. (1.2 pts)\nQ0 = 2πε0qrmax/C\nii. (1.5 pts)\nq(t) = q0eγt, γ = πε0n\nC\n3\ns\n6σd\nρg .\niii. (1.3 pts)\nUmax =\n6\ns\nH3gσ2ρd2\n6ε3\n0\n— page 4 of 5 —\n\nProblem T3. Protostar formation (9 points)\ni. (0.8 pts)\nn = 8\nii. (1 pt)\nt2 ≈\nr\n0.1r3\n0\nGm\niii. (2.5 pts)\ntr→0 = π\nr\nr3\n0\n8Gm\niv. (1.7 pts)\nQ = 3mRT0\nµ\nln r0\nr3\nv. (1 pt)\nT (r) = T0\n\u0010r3\nr\n\u00113γ−3\nvi. (2 pts)\nr4 ≈r3\n\u0012RT0r3\nµmG\n\u0013\n1\n3γ−4\nT4 ≈T0\n\u0012RT0r3\nµmG\n\u0013 3γ−3\n4−3γ\n— page 5 of 5 —\n","shared":true,"sourcePages":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10],"initialPage":4}},{"id":"ipho-2011-t1","importedOn":"2026-10-28","language":"en","sources":[{"url":"https://www.ipho-new.org/download/567/","kind":"statement"},{"url":"https://www.ipho-new.org/download/567/","kind":"solution"}],"statement":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/ipho-2011-t1-statement/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/ipho-2011-t1-statement/page-1.webp","width":1010,"height":1307},{"src":"/corpus/documents/ipho-2011-t1-statement/page-2.webp","width":1010,"height":1307},{"src":"/corpus/documents/ipho-2011-t1-statement/page-3.webp","width":1010,"height":1307}],"text":" \n \n \n \n     Theoretical Competition:    12 July 2011 \nQuestion 1         Page 1 of 3 \n \n \n  \n \n1.  A Three-body Problem and LISA \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \nFIGURE 1 Coplanar orbits of three bodies. \n \n \n1.1 Two gravitating masses M and m are moving in circular orbits of radii R and r , \nrespectively, about their common centre of mass.  Find the angular velocity \n0 of the line \njoining M and m in terms of \n, ,\n,\nR r M m and the universal gravitational constant G .  \n \n[1.5 points] \n \n1.2 A third body of infinitesimal mass \nis placed in a coplanar circular orbit about the same \ncentre of mass so that \n remains stationary relative to both M and m as shown in Figure 1. \nAssume that the infinitesimal mass is not collinear with M and m . Find the values of the \nfollowing parameters in terms of R and r :  \n \n[3.5 points] \n1.2.1 distance from\n to M . \n1.2.2 distance from \n to m . \n1.2.3 distance from \n to the centre of mass. \n \nO \nM \nm \nR \nr \n \n\n \n \n \n \n     Theoretical Competition:    12 July 2011 \nQuestion 1         Page 2 of 3 \n \n \n  \n1.3 Consider the caseM\nm . If \n is now given a small radial perturbation (along O\n), what \nis the angular frequency of oscillation of \n about the unperturbed position in terms of \n0\n? \nAssume that the angular momentum of \n is conserved. \n[3.2 points] \n \nThe Laser Interferometry Space Antenna (LISA) is a group of three identical spacecrafts for \ndetecting low frequency gravitational waves. Each of the spacecrafts is placed at the corners of an \nequilateral triangle as shown in Figure 2 and Figure 3. The sides (or „arms‟) are about 5.0 million \nkilometres long. The LISA constellation is in an earth-like orbit around the Sun trailing the Earth by \n20 .  Each of them moves on a slightly inclined individual orbit around the Sun. Effectively, the \nthree spacecrafts appear to roll about their common centre one revolution per year.  \n \nThey are continuously transmitting and receiving laser signals between each other. Overall, they \ndetect the gravitational waves by measuring tiny changes in the arm lengths using interferometric \nmeans. A collision of massive objects, such as blackholes, in nearby galaxies is an example of the \nsources of gravitational waves. \n \n \n \nFIGURE 2  Illustration of the LISA orbit. The three spacecraft roll about their centre of mass with a \nperiod of 1 year.  Initially, they trail the Earth by 20 . (Picture from D.A. Shaddock, “An Overview \nof the Laser Interferometer Space Antenna”, Publications of the Astronomical Society of Australia, \n2009, 26, pp.128-132.). \n \n \nEarth \n\n \n \n \n \n     Theoretical Competition:    12 July 2011 \nQuestion 1         Page 3 of 3 \n \n \n  \n \nFIGURE 3  Enlarged view of the three spacecrafts trailing the Earth. A, B and \nC are the three spacecrafts at the corners of the equilateral triangle. \n \n \n \n1.4 In the plane containing the three spacecrafts, what is the relative speed of one spacecraft with \nrespect to another?    \n[1.8 point] \n \nEarth \nC \nB \nA \n","shared":false,"sourcePages":[1,2,3]},"solution":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/ipho-2011-t1-solution/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/ipho-2011-t1-solution/page-1.webp","width":1010,"height":1307},{"src":"/corpus/documents/ipho-2011-t1-solution/page-2.webp","width":1010,"height":1307},{"src":"/corpus/documents/ipho-2011-t1-solution/page-3.webp","width":1010,"height":1307},{"src":"/corpus/documents/ipho-2011-t1-solution/page-4.webp","width":1010,"height":1307},{"src":"/corpus/documents/ipho-2011-t1-solution/page-5.webp","width":1010,"height":1307},{"src":"/corpus/documents/ipho-2011-t1-solution/page-6.webp","width":1010,"height":1307},{"src":"/corpus/documents/ipho-2011-t1-solution/page-7.webp","width":1010,"height":1307}],"text":"     Theoretical Competition:    Solution \nQuestion 1         Page 1 of 7 \n \n \n \n1 \n \nI. Solution \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n1.1   Let O be their centre of mass. Hence  \n \n \n \n0\nMR\nmr\n\n\n  \n \n \n \n………………………  (1) \n \n \n \n \n\n\n\n\n2\n0\n2\n2\n0\n2\nGMm\nm\nr\nR\nr\nGMm\nM\nR\nR\nr\n\n\n\n\n\n\n \n \n \n \n………………………  (2) \n \nFrom Eq. (2), or using reduced mass, \n\n\n\n\n2\n0\n3\nG M\nm\nR\nr\n\n\n\n\n \n \n \nHence, \n2\n0\n3\n2\n2\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\nG M\nm\nGM\nGm\nR\nr\nr R\nr\nR R\nr\n. \n………………………………  (3) \n \n \nO \nM \nm \nR \nr \n \n1 \n \nr2 \nr1 \n \n2 \n2 \n1 \n\n     Theoretical Competition:    Solution \nQuestion 1         Page 2 of 7 \n \n \n \n2 \n \n1.2   Since  is infinitesimal, it has no gravitational influences on the motion of neither M nor  \nm . For  to remain stationary relative to both M and m we must have: \n \n\n\n\n\n2\n1\n2\n0\n3\n2\n2\n1\n2\ncos\ncos\nG M\nm\nGM\nGm\nr\nr\nR\nr\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n \n………………………  (4) \n \n \n \n \n1\n2\n2\n2\n1\n2\nsin\nsin\nGM\nGm\nr\nr\n\n\n\n\n\n  \n \n………………………  (5) \n \nSubstituting\n2\n1\nGM\nr\n from Eq. (5) into Eq. (4), and using the identity \n1\n2\n1\n2\n1\n2\nsin\ncos\ncos\nsin\nsin(\n)\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n, we get \n \n \n \n\n\n\n\n1\n2\n1\n3\n2\n2\nsin(\n)\nsin\nM\nm\nm\nr\nR\nr\n\n\n\n\n\n\n\n\n \n \n \n………………………  (6) \nThe distances \n2r and , the angles \n1 and \n2\n are related by two Sine Rule equations  \n \n\n\n1\n1\n1\n2\n1\n2\nsin\nsin\nsin\nsin\nR\nr\nR\nr\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n \n \n \n………………………  (7) \nSubstitute (7) into (6) \n \n\n\n\n\n4\n3\n2\n1\nM\nm\nR\nr\nm\nR\nr\n\n\n\n \n \n \n………………………  (10) \nSince \nm\nR\nM\nm\nR\nr\n\n\n\n,Eq. (10) gives \n \n2r\nR\nr\n\n \n \n \n \n………………………  (11) \nBy substituting \n2\n2\nGm\nr\n from Eq. (5) into Eq. (4), and repeat a similar procedure, we get\n \n1r\nR\nr\n\n\n \n \n \n \n………………………  (12) \n \nAlternatively,   \n\n\n1\n1\nsin\nsin 180\nr\nR\n\n\n\n\n and  \n2\n2\nsin\nsin\nr\nr\n\n\n\n \n \n \n \n1\n2\n2\n2\n1\n1\nsin\nsin\nr\nr\nR\nm\nr\nr\nM\nr\n\n\n\n\n\n\n  \n \n \n \n \nCombining with Eq. (5) gives 1\n2\nr\nr\n\n \n                                 \n\n     Theoretical Competition:    Solution \nQuestion 1         Page 3 of 7 \n \n \n \n3 \n \nHence, it is an equilateral triangle with  \n1\n2\n60\n60\n\n\n\n\n\n \n \n \n \n………………………  (13) \n \nThe distance  is calculated from the Cosine Rule. \n \n \n2\n2\n2\n2\n2\n(\n)\n2 (\n)cos60\nr\nR\nr\nr R\nr\nr\nrR\nR\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n  \n \n………………………  (14) \nAlternative Solution to 1.2 \n \nSince  is infinitesimal, it has no gravitational influences on the motion of neither M nor  \nm .For  to remain stationary relative to both M and m we must have: \n \n\n\n\n\n2\n1\n2\n3\n2\n2\n1\n2\ncos\ncos\nG M\nm\nGM\nGm\nr\nr\nR\nr\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n \n………………………  (4) \n \n \n \n \n1\n2\n2\n2\n1\n2\nsin\nsin\nGM\nGm\nr\nr\n\n\n\n\n\n  \n \n………………………  (5) \n \nNote that  \n \n\n\n1\n1\nsin\nsin 180\nr\nR\n\n\n\n\n \n \n \n \n2\n2\nsin\nsin\nr\nr\n\n\n\n          (see figure) \n \n \n \n1\n2\n2\n2\n1\n1\nsin\nsin\nr\nr\nR\nm\nr\nr\nM\nr\n\n\n\n\n\n\n  \n \n………………………  (6) \n \n \nEquations (5) and (6):  \n \n1\n2\nr\nr\n\n \n \n \n………………………  (7) \n \n \n \n \n \n1\n2\nsin\nsin\nm\nM\n\n\n\n  \n \n………………………  (8) \n \n \n \n \n \n \n1\n2\n\n\n\n \n \n \n………………………  (9) \n \n \nThe equation (4) then becomes: \n \n \n \n\n\n\n\n2\n1\n2\n1\n3\ncos\ncos\nM\nm\nM\nm\nr\nR\nr\n\n\n\n\n\n\n\n  \n………………………  (10)  \nEquations (8) and (10):  \n\n\n\n\n2\n1\n1\n2\n2\n3\nsin\nsin\nr\nM\nm\nM\nR\nr\n\n\n\n\n\n\n\n\n \n………………………  (11)  \nNote that from figure,   \n2\n2\nsin\nsin\nr\n\n\n\n\n \n \n \n………………………  (12)  \n\n     Theoretical Competition:    Solution \nQuestion 1         Page 4 of 7 \n \n \n \n4 \n \n \n1.3 The energy of the mass \nis given by \n \n2\n2\n2\n1\n2\n1\n2\n((\n)\n)\nGM\nGm\nd\nE\nr\nr\ndt\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n                     \n \n………………………..(15) \nSince the perturbation is in the radial direction, angular momentum is conserved \n( 1\n2\nr\nr\nand m\nM ), \n4\n2\n2\n0\n0\n1\n2\n2\n2\n(\n)\nGM\nd\nE\ndt\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n \n \n \n \n………………………..(16) \nSince the energy is conserved,  \n0\ndE\ndt \n \n4\n2\n2\n0\n0\n2\n2\n3\n2\n0\ndE\nGM\nd\nd\nd\nd\ndt\ndt\ndt dt\ndt\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n……………(17) \n \nd\nd\nd\nd\ndt\nd\ndt\ndt\n\n\n\n\n\n\n\n \n \n      …………….(18) \n4\n2\n2\n0\n0\n3\n2\n3\n2\n0\ndE\nGM\nd\nd\nd\nd\ndt\ndt\ndt dt\ndt\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n …………….(19) \nEquations (11) and (12):  \n\n\n\n\n2\n1\n1\n2\n2\n3\nsin\nsin\nr r\nM\nm\nM\nR\nr\n\n\n\n\n\n\n\n \n………………………  (13) \nAlso from figure, \n \n \n\n\n\n\n\n\n2\n2\n2\n2\n2\n1 2\n1\n2\n1\n1\n1\n2\n2\ncos\n2\n1 cos\nR\nr\nr\nrr\nr\nr\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n \n………………  (14) \nEquations (13) and (14):  \n\n\n\n\n2\n1\n2\n1\n2\nsin\nsin\n2 1 cos\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n \n………………………  (15) \n \n \n1\n2\n1\n2\n2\n180\n180\n2\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n    (see figure) \n \n2\n2\n1\n1\ncos\n,\n60 ,\n60\n2\n\n\n\n\n\n\n\n \n \nHence M and m from an equilateral triangle of sides \n\nR\nr\n\n \nDistance  to M is  R\nr\n \nDistance   to m is R\nr\n \nDistance  to O is  \n\n\n2\n2\n2\n2\n3\n2\n2\nR\nr\nR\nR\nr\nR\nRr\nr\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n \n \n \nR \nR \n \n60o \nO \n\n     Theoretical Competition:    Solution \nQuestion 1         Page 5 of 7 \n \n \n \n5 \n \nSince \n0\nd\ndt\n\n, we have  \n4\n2\n2\n0\n0\n3\n2\n3\n2\n0\nGM\nd\ndt\n\n\n\n\n\n\n\n\n or \n4\n2\n2\n0\n0\n2\n3\n3\n2\nd\nGM\ndt\n\n\n\n\n\n\n\n. \n \n \n \n \n \n…………………………(20) \nThe perturbation from \n0\nand\n0\ngives \n0\n0\n1\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nand\n0\n0\n1\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n. \n \nThen  \n4\n2\n2\n2\n0\n0\n0\n0\n3\n3\n2\n2\n0\n3\n3\n0\n0\n0\n0\n2\n(\n)\n1\n1\n1\nd\nd\nGM\ndt\ndt\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n  \n………………(21) \n \nUsing binomial expansion (1\n)\n1\nn\nn\n\n\n\n\n, \n2\n2\n0\n0\n0\n2\n3\n0\n0\n0\n0\n2\n3\n3\n1\n1\n1\nd\nGM\ndt\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n.  \n  \n……………….(22) \nUsing \n\n\n\n\n\n, \n2\n2\n0\n0\n0\n0\n2\n3\n2\n0\n0\n0\n0\n3\n2\n3\n1\n1\nd\nGM\ndt\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n. \n \n \n……………….(23) \nSince \n2\n0\n3\n0\n2GM\n\n\n, \n2\n2\n2\n0\n0\n0\n0\n0\n2\n2\n0\n0\n0\n3\n3\n1\n1\nd\ndt\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n  \n \n \n……………….(24) \n2\n2\n0\n0\n0\n2\n2\n0\n0\n3\n4\nd\ndt\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n \n \n \n \n \n \n……………….(25) \n2\n2\n2\n0\n0\n2\n2\n0\n3\n4\nd\ndt\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n \n \n \n \n \n \n \n……………….(26) \nFrom the figure, \n0\n0 cos30\n\nor \n2\n0\n2\n0\n3\n4\n\n\n\n, \n2\n2\n2\n0\n0\n2\n9\n7\n4\n4\n4\nd\ndt\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n.  \n \n \n \n \n…………….…(27) \n\n     Theoretical Competition:    Solution \nQuestion 1         Page 6 of 7 \n \n \n \n6 \n \nAngular frequency of oscillation is \n0\n7\n2 . \n \nAlternative solution: \nM\nm\n\n gives R\nr\n and \n2\n0\n3\n3\n(\n)\n(\n)\n4\nG M\nM\nGM\nR\nR\nR\n\n\n\n\n\n. The unperturbed radial distance of  is \n3R, so the perturbed radial distance can be represented by \n3R\n\n\n where \n3R\n\n as \nshown in the following figure.  \nUsing Newton’s 2nd law, \n2\n2\n2\n2\n2 3/2\n2\n( 3\n)\n( 3\n)\n( 3\n)\n{\n( 3\n) }\nGM\nd\nR\nR\nR\ndt\nR\nR\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n.    \n(1) \nThe conservation of angular momentum gives \n2\n2\n0( 3 )\n( 3\n)\nR\nR\n\n\n\n\n\n.                                          \n(2) \nManipulate (1) and (2) algebraically, applying \n2\n0\n\n\n and binomial approximation. \n2\n2\n0\n2\n2\n2 3/2\n3\n3\n2\n( 3\n)\n{\n( 3\n) }\n(1\n/\n3 )\nR\nGM\nd\nR\ndt\nR\nR\nR\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n \n2\n2\n0\n2\n2\n3/2\n3\n3\n2\n( 3\n)\n{4\n2 3\n}\n(1\n/\n3 )\nR\nGM\nd\nR\ndt\nR\nR\nR\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n \n2\n2\n0\n3\n2\n3/2\n3\n3\n(1\n/\n3 )\n3\n4\n(1\n3 / 2 )\n(1\n/\n3 )\nR\nGM\nR\nd\nR\nR\ndt\nR\nR\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n \n2\n2\n2\n0\n0\n2\n3 3\n3\n3\n1\n1\n3\n1\n4\n3\n3\nd\nR\nR\nR\ndt\nR\nR\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n \n2\n2\n0\n2\n7\n4\nd\ndt \n\n\n\n\n\n\n\n\n \n \n \n1.4 Relative velocity \n \nLet v = speed of each spacecraft as it moves in circle around the centre O. \nThe relative velocities are denoted by the subscripts A, B and C. \nFor example, \nBA\nv\n is the velocity of B as observed by A. \n \nThe period of circular motion is 1 year \n365 24 60 60\nT \n\n\n\n s. \n \n \n………… (28) \nThe angular frequency \n2\nT\n\n\n \nThe speed \n575 m/s\n2cos30\nL\nv\n\n\n\n\n  \n \n \n \n \n \n………… (29) \n\n     Theoretical Competition:    Solution \nQuestion 1         Page 7 of 7 \n \n \n \n7 \n \n \nThe speed is much less than the speed light  Galilean transformation. \n \nIn Cartesian coordinates, the velocities of B and C (as observed by O) are  \n \n \nFor B, \nˆ\nˆ\ncos60\nsin60\nB\nv\nv\nv\n\n\n\ni\nj \n \nFor C, \nˆ\nˆ\ncos60\nsin60\nC\nv\nv\nv\n\n\n\ni\nj \n \nHence \nBC\nˆ\nˆ\n2 sin60\n3\nv\nv\nv\n\n\nj\nj \nThe speed of B as observed by C  is\n3\n996 m/s\nv \n  \n \n \n \n………… (30) \n \nNotice that the relative velocities for each pair are anti-parallel. \n \nAlternative solution for 1.4 \n \nOne can obtain \nBC\nv\n by considering the rotation about the axis at one of the spacecrafts. \n \n6\nBC\n2\n(5 10 km)\n996 m/s\n365 24 60 60 s\nv\nL\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n \n \nC \nB \nA \nv\nv\nv\nO \nBC\nv\n \nBA\nv\n \nAC\nv\n \nCA\nv\n \nCB\nv\n \nAB\nv\n \nL \nL \nL \nˆj \nˆi \n","shared":false,"sourcePages":[1,2,3,4,5,6,7]}},{"id":"ipho-2010-t1","importedOn":"2026-10-28","language":"en","sources":[{"url":"https://www.ipho-new.org/download/564/","kind":"statement","archiveMember":"2010/IPhO_2010_Theo_Problem 1.pdf"},{"url":"https://www.ipho-new.org/download/564/","kind":"solution","archiveMember":"2010/IPhO_2010_Theo_1_Solution.pdf"}],"statement":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/ipho-2010-t1-statement/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/ipho-2010-t1-statement/page-1.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2010-t1-statement/page-2.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2010-t1-statement/page-3.webp","width":982,"height":1389}],"text":"41st International Physics Olympiad, Croatia – Theoretical Competition, July 19th 2010 \n1/3 \n \n1. Image of a charge in a metallic object \nIntroduction – Method of images \nA point chargeq is placed in the vicinity of a grounded metallic sphere of radius R [see Fig. 1(a)], and \nconsequently a surface charge distribution is induced on the sphere. To calculate the electric field \nand potential from the distribution of the surface charge is a formidable task. However, the \ncalculation can be considerably simplified by using the so called method of images. In this method, \nthe electric field and potential produced by the charge distributed on the sphere can be represented \nas an electric field and potential of a single point charge 'q placed inside the sphere (you do not have \nto prove it). Note: The electric field of this image charge 'q reproduces the electric field and the \npotential only outside the sphere (including its surface).  \n(a) \n \n \n(b) \n \n \n \n \n \nFig 1. (a) A point charge q in the vicinity of a grounded metallic sphere. (b) The electric field of the \ncharge induced on the sphere can be represented as electric field of an image charge 'q . \nTask 1 – The image charge \nThe symmetry of the problem dictates that the charge 'q should be placed on the line connecting the \npoint charge q and the center of the sphere [see Fig. 1(b)]. \na) What is the value of the potential on the sphere? (0.3 points) \nb) Express 'q and the distance 'd of the charge 'q from the center of the sphere, in terms of\nq , d , and  R . (1.9 points) \nc) Find the magnitude of force acting on chargeq . Is the force repulsive? (0.5 points) \nTask 2 – Shielding of an electrostatic field \nConsider a point charge q placed at a distance d from the center of a grounded metallic sphere of \nradius R. We are interested in how the grounded metallic sphere affects the electric field at point A \non the opposite side of the sphere (see Fig. 2). Point A is on the line connecting charge q and the \ncenter of the sphere; its distance from the point charge q is r.  \na) Find the vector of the electric field at point A. (0.6 points) \n\n41st International Physics Olympiad, Croatia – Theoretical Competition, July 19th 2010 \n2/3 \n \nb) For a very large distance \nd\nr \n, find the expression for the electric field by using the \napproximation (1+a)-2 ≈ 1-2a, where \n1\n\na\n. (0.6 points) \nc) In which limit of d does the grounded metallic sphere screen the field of the charge q \ncompletely, such that the electric field at point A is exactly zero? (0.3 points) \n \n \nFig 2. The electric field at point A is partially screened by the grounded sphere.  \nTask 3 – Small oscillations in the electric field of the grounded metallic \nsphere \nA point charge q with mass m is suspended on a thread of length L which is attached to a wall, in the \nvicinity of the grounded metallic sphere. In your considerations, ignore all electrostatic effects of the \nwall. The point charge makes a mathematical pendulum (see Fig. 3). The point at which the thread is \nattached to the wall is at a distancel from the center of the sphere. Assume that the effects of \ngravity are negligible.  \na) Find the magnitude of the electric force acting on the point charge q for a given angle  and  \nindicate the direction in a clear diagram (0.8 points) \nb) Determine the component of this force acting in the direction perpendicular to the thread in \nterms of l , L, R, q and . (0.8 points) \nc) Find the frequency for small oscillations of the pendulum. (1.0 points) \n \nFig 3. A point charge in the vicinity of a grounded sphere oscillates as a pendulum.  \nTask 4 – The electrostatic energy of the system \nFor a distribution of electric charges it is important to know the electrostatic energy of the system. In \nour problem (see Fig. 1a), there is an electrostatic interaction between the external charge q and the \ninduced charges on the sphere, and there is an electrostatic interaction among the induced charges \n\n41st International Physics Olympiad, Croatia – Theoretical Competition, July 19th 2010 \n3/3 \n \non the sphere themselves. In terms of the charge q, radius of the sphere R and the distance d \ndetermine the following electrostatic energies: \na) the electrostatic energy of the interaction between charge q and the induced \ncharges on the sphere; (1.0 points) \nb) the electrostatic energy of the interaction among the induced charges on the \nsphere; (1.2 points) \nc) the total electrostatic energy of the interaction in the system. (1.0 points) \nHint: There are several ways of solving this problem: \n(1) In one of them, you can use the following integral,  \n\n\n\n\n\n\nd\nR\nd\n=\nR\nx\nxdx\n2\n2\n2\n2\n2\n1\n2\n1\n. \n \n(2) In another one, you can use the fact that for a collection of N charges \niq located at points\nN\n,\n=\n,i\nri\n\n1,\n\n, \nthe \nelectrostatic \nenergy \nis \na \nsum \nover \nall \npairs \nof \ncharges: \n.\n4\n1\n2\n1\n1\n1\n0\n\n\n\n\n\n\nN\ni\nN\nj\ni\nj\nj\ni\nj\ni\nr\nr\nq\nq\nV\n\n\n\n  \n","shared":false,"sourcePages":[1,2,3]},"solution":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/ipho-2010-t1-solution/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/ipho-2010-t1-solution/page-1.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2010-t1-solution/page-2.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2010-t1-solution/page-3.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2010-t1-solution/page-4.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2010-t1-solution/page-5.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2010-t1-solution/page-6.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2010-t1-solution/page-7.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2010-t1-solution/page-8.webp","width":982,"height":1389}],"text":"41st international Physics Olympiad, Croatia – Theoretical Competition, July 19th 2010 \n1/8 \n \nSolution - Image of a charge \nSolution of Task 1 \nTask 1a) \nAs the metallic sphere is grounded, its potential vanishes, V=0. \nTask1b) \nLet us consider an arbitrary point B on the surface of the sphere as depicted in Fig. 1.  \n \nFig 1. The potential at point B is zero.  \n \nThe distance of point B from the charge q' is \n \n \n \n(1) \nwhereas the distance of the point B from the charge q is given with the expression \n \n  \n                                       (2)  \nThe electric potential at the point B is  \n \n                                 \n                                          (3) \nThis potential must vanish,  \n \n \n \n                                  \n                                          (4) \n  i.e. its numerical value is 0 V. \n\n41st international Physics Olympiad, Croatia – Theoretical Competition, July 19th 2010 \n2/8 \n \nCombining (1), (2) and (3) we obtain \n \n  \n                          (5) \n \nAs the surface of the sphere must be equipotential, the condition (5) must be satisfied for every \nangle α what leads to the following results \n \n  \n \n                                       (6) \nand \n \n  \n                                       (7) \nBy solving of (6) and (7) we obtain the expression for the distance d' of the charge q' from the center \nof the sphere  \n \n \n \n \n  \n                                       (8) \nand the size of the charge q' \n \n \n \n  \n                                        (9) \n \nTask 1c) \nFinally, the magnitude of force acting on the charge q is  \n\n\n2\n2\n2\n2\n0\n4\n1\nR\nd\nRd\nq\nF\n\n\n \n  \n                                         (10) \nThe force is apparently attractive. \nSolution of Task 2 \nTask 2a) \nThe electric field at the point A amounts to \n\n41st international Physics Olympiad, Croatia – Theoretical Competition, July 19th 2010 \n3/8 \n \n \n  \n \n                                    (11) \n \nTask 2b) \nFor very large distances r we can apply approximate formula (1+a)-2 ≈ 1-2a to the expression (11) \nwhat leads us to \n \n  \n \n                    (12)  \nIn general a grounded metallic sphere cannot completely screen a point charge q at a distance d \n(even in the sense that its electric field would decrease with distance faster than 1/r2) and the \ndominant dependence of the electric field on the distance r is as in standard Coulomb law. \n \nTask 2c) \nIn the limit d → R the electric field at the point A vanishes and the grounded metallic sphere screens \nthe point charge completely.  \n \nSolution of Task 3 \n \nTask 3a) \nLet us consider a configuration as in Fig. 2.  \n \nFig 2. The pendulum formed by a charge near a grounded metallic sphere.  \nThe distance of the charge q from the center of the sphere is \n\n41st international Physics Olympiad, Croatia – Theoretical Competition, July 19th 2010 \n4/8 \n \n \n                                      (13) \nThe magnitude of the electric force acting on the charge q is \n \n \n \n \n                                      (14) \nFrom which we have \n\n\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n0\ncos\n2\ncos\n2\n4\n1\nR\nlL\nL\nl\nlL\nL\nl\nR\nq\nF\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n \n                                      (15) \n \nTask 3b) \nThe direction of the vector of the electric force (17) is described in Fig. 3. \n \nFig 3. The direction of the force F.  \n \nThe angles α and β are related as  \n \n \n                                      (16) \nwhereas for the angle γ the relation γ=α+β is valid. The component of the force perpendicular to the \nthread is F sin γ, that is ,        \n\n\n)\nsin(\ncos\n2\ncos\n2\n4\n1\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n0\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nR\nlL\nL\nl\nlL\nL\nl\nR\nq\nF\n \nwhere \n)\nsin\ncos\n2\narcsin(\n2\n2\n\n\n\nLl\nl\nL\nL\n\n\n\n \n \n \n \n(17) \n \n\n41st international Physics Olympiad, Croatia – Theoretical Competition, July 19th 2010 \n5/8 \n \nTask 3c) \nThe equation of motion of the mathematical pendulum is \n\n\n\nF\nmL\n \n                                      (18) \n \nAs we are interested in small oscillations, the angle  α  is small, i.e. for its value in radians we have α \nmuch smaller than 1. For a small value of argument of trigonometric functions we have approximate \nrelations sin x  ≈ x and cos x ≈ 1-x2/2. So for small oscillations of the pendulum we have \n)\n/(\nL\nl\nL\n\n\n\n   and \n)\n/(\nL\nl\nl\n\n\n\n.                     \nCombining these relations with (13) we obtain \n\n\n0\n1\n4\n1\n2\n2\n2\n2\n0\n2\n2\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nd\nL\nR\nd\nRd\nq\ndt\nd\nmL\n \n(19) \nWhere \nL\nl\nd\n\n\nwhat leads to  \nmL\nRl\nR\nL\nl\nq\nd\nL\nmL\nRd\nR\nd\nq\n1\n4\n)\n(\n1\n1\n4\n0\n2\n2\n0\n2\n2\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n. \n(20) \n \n \nSolution of Task 4 \nFirst we present a solution based on the definition of the electrostatic energy of a collection of \ncharges. \nTask 4a) \nThe total energy of the system can be separated into the electrostatic energy of interaction of the \nexternal charge with the induced charges on the sphere, Eel,1, and the electrostatic energy of mutual \ninteraction of charges on the sphere, Eel,2, i.e. \n \n                                     (21) \n Let there be N charges induced on the sphere. These charges \nj\nq are located at points \nN\nj\nrj\n,\n,1\n,\n\n\n\n on the sphere. We use the definition of the image charge, i.e., the potential on the \nsurface of the sphere from the image charge is identical to the potential arising from the induced \ncharges: \n\n41st international Physics Olympiad, Croatia – Theoretical Competition, July 19th 2010 \n6/8 \n \n\n\n\n\n\nN\nj\nj\nj\nr\nr\nq\nd\nr\nq\n1\n'\n'\n\n\n\n\n, \n   \n (22) \n where ris a vector on the sphere and \n'd\n\ndenotes the vector position of the image charge. When r\ncoincides with some \nir, then we just have \n\n\n\n\n\n\nN\ni\nj\nj\ni\nj\nj\ni\nr\nr\nq\nd\nr\nq\n1\n'\n'\n\n\n\n\n. \n   \n (23) \n \nFrom the requirement that the potential on the surface of the sphere vanishes we have \n0\n'\n'\n\n\n\n\nd\nr\nq\nd\nr\nq\n\n\n\n\n, \n \n                           (24) \nwhere d\n\ndenotes the vector position of the charge q( r is on the sphere).  \nFor the interaction of the external charge with the induced charges on the sphere we have  \n2\n2\n2\n0\n0\n1\n0\n0\n1,\n4\n1\n'\n'\n4\n1\n'\n'\n4\n1\n4\nR\nd\nR\nq\nd\nd\nqq\nd\nd\nqq\nd\nr\nq\nq\nE\nN\ni\ni\ni\nel\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n \n   \n(25) \nHere the first equality is the definition of this energy as the sum of interactions of the charge q with \neach of the induced charges on the surface of the sphere. The second equality follows from (21). \nIn fact, the interaction energy \n1,\nel\nE\n \nfollows directly from the definition of an image charge.  \nTask 4b) \nThe energy of mutual interactions of induced charges on the surface of the sphere is given with \n \n\n41st international Physics Olympiad, Croatia – Theoretical Competition, July 19th 2010 \n7/8 \n \n2\n2\n2\n0\n0\n0\n1\n0\n1\n0\n1\n1\n0\n2\n,\n4\n1\n2\n1\n'\n'\n4\n1\n2\n1\n'\n'\n4\n1\n2\n1\n4\n1\n2\n1\n'\n'\n4\n1\n2\n1\n4\n1\n2\n1\nR\nd\nR\nq\nd\nd\nqq\nd\nd\nqq\nd\nr\nq\nq\nd\nr\nq\nq\nr\nr\nq\nq\nE\nN\ni\ni\ni\nN\ni\ni\ni\nN\ni\nN\ni\nj\nj\nj\ni\nj\ni\nel\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n \n \n \n \n                             (26) \n Here the second line is obtained using (22). From the second line we obtain the third line applying \n(23), whereas from the third line we obtain the fourth using (22) again. \n \nTask 4c) \nCombining expressions (19) and (20) with the quantitative results for the image charge we finally \nobtain the total energy of electrostatic interaction \n2\n2\n2\n0\n4\n1\n2\n1\n)\n(\nR\nd\nR\nq\nd\nEel\n\n\n\n\n \n \n                                        (27) \n \n An alternative solution follows from the definition of work. By knowing the integral \n\n\n\n\n\n\n\nd\nR\nd\nR\nx\nxdx\n2\n2\n2\n2\n2\n1\n2\n1\n \n                                        (28) \nWe can obtain the total energy in the system by calculating the work needed to bring the charge q \nfrom infinity to the distance d from the center of the sphere: \n\n\n2\n2\n2\n0\n2\n2\n2\n2\n0\n4\n1\n2\n1\n4\n1\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\nR\nd\nR\nq\ndx\nR\nx\nRx\nq\nx\nd\nx\nF\nx\nd\nx\nF\nd\nE\nd\nd\nd\nel\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n \n                                        (29) \nThis solves Task 4c).  \nThe electrostatic energy between the charge q and the sphere must be equal to the energy between \nthe charges q and q’ according to the definition of the image charge: \n\n41st international Physics Olympiad, Croatia – Theoretical Competition, July 19th 2010 \n8/8 \n \n2\n2\n2\n0\n0\n1,\n4\n1\n)'\n(\n'\n4\n1\nR\nd\nR\nq\nd\nd\nqq\nEel\n\n\n\n\n\n\n\n \n                                        (30)   \nThis solves Task 4a).  \nFrom this we immediately have that the electrostatic energy among the charges on the sphere is: \n2\n2\n2\n0\n2\n,\n4\n1\n2\n1\nR\nd\nR\nq\nEel\n\n\n\n. \n                                        (31)   \nThis solves Task 4b).  \n \n \n","shared":false,"sourcePages":[1,2,3,4,5,6,7,8]}},{"id":"ipho-2010-t2","importedOn":"2026-10-28","language":"en","sources":[{"url":"https://www.ipho-new.org/download/564/","kind":"statement","archiveMember":"2010/IPhO_2010_Theo_Problem 2.pdf"},{"url":"https://www.ipho-new.org/download/564/","kind":"solution","archiveMember":"2010/IPhO_2010_Theo_2_Solution.pdf"}],"statement":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/ipho-2010-t2-statement/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/ipho-2010-t2-statement/page-1.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2010-t2-statement/page-2.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2010-t2-statement/page-3.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2010-t2-statement/page-4.webp","width":982,"height":1389}],"text":"41st International Physics Olympiad, Croatia – Theoretical competition, July 19th, 2010 \n1/4 \n \n2. Chimney physics \nIntroduction \nGaseous products of burning are released into the atmosphere of temperature TAir through a high \nchimney of cross-section A and height h (see Fig. 1). The solid matter is burned in the furnace which \nis at temperature TSmoke. The volume of gases produced per unit time in the furnace is B.  \nAssume that: \n \nthe velocity of the gases in the furnace is negligibly small \n \nthe density of the gases (smoke) does not differ from that of the air at the same temperature \nand pressure; while in furnace, the gases can be treated as ideal  \n \nthe pressure of the air changes with height in accordance with the hydrostatic law; the \nchange of the density of the air with height is negligible \n \nthe flow of gases fulfills the Bernoulli equation which states that the following quantity is \nconserved in all points of the flow:  \n \n                      , \nwhere ρ is the density of the gas, v(z) is its velocity, p(z) is pressure, and z is the height  \n \nthe change of the density of the gas is negligible throughout the chimney  \nFig 1. Sketch of a chimney of height h with a furnace at temperature TSmoke . \n \nTask 1 \na) What is the minimal height of the chimney needed in order that the chimney functions \nefficiently, so that it can release all of the produced gas into the atmosphere? Express your \n\n41st International Physics Olympiad, Croatia – Theoretical competition, July 19th, 2010 \n2/4 \n \nresult in terms of B, A, TAir, g=9.81m/s2, ΔT=TSmoke-TAir. Important: in all subsequent tasks \nassume that this minimal height is the height of the chimney. (3.5 points) \nb) Assume that two chimneys are built to serve exactly the same purpose. Their cross sections \nare identical, but are designed to work in different parts of the world: one in cold regions, \ndesigned to work at an average atmospheric temperature of -30 oC and the other in warm \nregions, designed to work at an average atmospheric temperature of 30 oC. The temperature \nof the furnace is 400 oC. It was calculated that the height of the chimney designed to work in \ncold regions is 100 m. How high is the other chimney? (0.5 points) \nc) How does the velocity of the gases vary along the height of the chimney? Make a \nsketch/diagram assuming that the chimney cross-section does not change along the height. \nIndicate the point where the gases enter the chimney. (0.6  points) \nd) How does the pressure of the gases vary along the height of the chimney? (0.5  points) \nSolar power plant \n \nThe flow of gases in a chimney can be used to construct a particular kind of solar power plant \n(solar chimney). The idea is illustrated in Fig. 2. The Sun heats the air underneath the collector of \narea S with an open periphery to allow the undisturbed inflow of air (see Fig. 2). As the heated air \nrises through the chimney (thin solid arrows), new cold air enters the collector from its surrounding \n(thick dotted arrows) enabling a continuous flow of air through the power plant. The flow of air \nthrough the chimney powers a turbine, resulting in the production of electrical energy. The energy of \nsolar radiation per unit time per unit of horizontal area of the collector is G. Assume that all that \nenergy can be used to heat the air in the collector (the mass heat capacity of the air is c, and one can \nneglect its dependence on the air temperature).  We define the efficiency of the solar chimney as the \nratio of the kinetic energy of the gas flow and the solar energy absorbed in heating of the air prior to \nits entry into the chimney.  \n\n41st International Physics Olympiad, Croatia – Theoretical competition, July 19th, 2010 \n3/4 \n \n \nFig 2. Sketch of a solar power plant.  \n \nTask 2 \na) What is the efficiency of the solar chimney power plant? (2.0 points) \nb) Make a diagram showing how the efficiency of the chimney changes with its height. (0.4 \npoints) \nManzanares prototype \nThe prototype chimney built in Manzanares, Spain, had a height of 195 m, and a radius 5 m. \nThe collector is circular with diameter of 244 m. The specific heat of the air under typical operational \nconditions of the prototype solar chimney is 1012 J/kg K, the density of the hot air is about 0.9 kg/m3, \nand the typical temperature of the atmosphere TAir = 295 K. In Manzanares, the solar power per unit \nof horizontal surface is typically 150 W/m2 during a sunny day. \nTask 3 \na) What is the efficiency of the prototype power plant? Write down the numerical estimate. \n(0.3 points) \nb) How much power could be produced in the prototype power plant? (0.4 points) \nc) How much energy could the power plant produce during a typical sunny day? (0.3 points) \n\n41st International Physics Olympiad, Croatia – Theoretical competition, July 19th, 2010 \n4/4 \n \nTask 4 \na) How large is the rise in the air temperature as it enters the chimney (warm air) from the \nsurrounding (cold air)? Write the general formula and evaluate it for the prototype chimney. \n(1.0 points) \nb) What is the mass flow rate of air through the system? (0.5 points) \n","shared":false,"sourcePages":[1,2,3,4]},"solution":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/ipho-2010-t2-solution/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/ipho-2010-t2-solution/page-1.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2010-t2-solution/page-2.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2010-t2-solution/page-3.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2010-t2-solution/page-4.webp","width":982,"height":1389}],"text":"41st International Physics Olympiad, Croatia – Theoretical competition, July 19th, 2010 \n1/4 \n \nSolution - Chimney physics \nThis problem was inspired and posed by using the following two references: \n \nW.W. Christie, Chimney design and theory, D. Van Nostrand Company, New York, 1902. \n \nJ. Schlaich, R. Bergermann, W. Schiel, G. Weinrebe, Design of Commercial Solar Updraft \nTower Systems — Utilization of Solar Induced Convective Flows for Power Generation, Journal \nof Solar Energy Engineering 127, 117 (2005). \n \nSolution of Task 1 \na) What is the minimal height of the chimney needed in order that the chimney functions \nefficiently, so that it can release all of the produced gas in the atmosphere? \nLet \n)\n(z\np\ndenote the pressure of air at height z; then, according to one of the assumptions\ngz\np\nz\np\nAir\n\n\n\n)\n0\n(\n)\n(\n, where\n)\n0\n(\np\nis the atmospheric pressure at zero altitude.  \nThroughout the chimney the Bernoulli law applies, that is, we can write  \n.\n)\n(\n)\n(\n2\n1\n2\nconst\nz\np\ngz\nz\nSmoke\nSmoke\nSmoke\n\n\n\n\n\n, \n(1) \nwhere \n)\n(z\npSmoke\nis the pressure of smoke at height z, \nSmoke\n\n is its density, and \n)\n(z\nv\ndenotes the \nvelocity of smoke; here we have used the assumption that the density of smoke does not vary \nthroughout the chimney. Now we apply this equation at two points, (i) in the furnace, that is at point \n\n\n\nz\n, where is a negligibly small positive number, and (ii) at the top of the chimney where\nh\nz \nto obtain: \n)\n(\n)\n(\n)\n(\n2\n1\n2\n\n\n\n\n\n\n\n\nSmoke\nSmoke\nSmoke\nSmoke\np\nh\np\ngh\nh\n (2) \nOn the right hand side we have used the assumption that the velocity of gases in the furnace is \nnegligible (and also\n0\n\n\n\n\ng\nSmoke\n).  \nWe are interested in the minimal height at which the chimney will operate. The pressure of smoke at \nthe top of the chimney has to be equal or larger than the pressure of air at altitude h ; for minimal \nheight of the chimney we have\n)\n(\n)\n(\nh\np\nh\npSmoke\n\n. In the furnace we can use \n)\n0\n(\n)\n(\np\npSmoke\n\n\n. The \nBernoulli law applied in the furnace and at the top of the chimney [Eq. (2)] now reads \n)\n0\n(\n)\n(\n)\n(\n2\n1\n2\np\nh\np\ngh\nh\nSmoke\nSmoke\n\n\n\n\n\n. \n(3) \n From this we get \n\n\n\n\n\n\n\n\n1\n2\n)\n(\nSmoke\nAir\ngh\nh\n\n\n\n. \n(4) \nThe chimney will be efficient if all of its products are released in the atmosphere, i.e.,  \n\n41st International Physics Olympiad, Croatia – Theoretical competition, July 19th, 2010 \n2/4 \n \nA\nB\nh \n)\n(\n\n, \n(5) \nfrom which we have \n1\n1\n2\n1\n2\n2\n\n\nSmoke\nAir\ng\nA\nB\nh\n\n\n. \n(6) \nWe can treat the smoke in the furnace as an ideal gas (which is at atmospheric pressure \n)\n0\n(\np\nand \ntemperature \nSmoke\nT\n). If the air was at the same temperature and pressure it would have the same \ndensity according to our assumptions. We can use this to relate the ratio \nSmoke\nAir \n\n/\nto \nAir\nSmoke T\nT\n/\nthat is,  \nAir\nSmoke\nSmoke\nAir\nT\nT\n\n\n\n, and finally \n(7) \nT\nT\ng\nA\nB\nT\nT\nT\ng\nA\nB\nh\nAir\nAir\nSmoke\nAir\n\n\n\n\n2\n1\n2\n1\n2\n2\n2\n2\n. \n(8) \n For minimal height of the chimney we use the equality sign.  \nb) How high should the chimney in warm regions be? \nm\nh\nT\nT\nT\nT\nT\nT\nh\nh\nSmoke\nSmoke\n145\n)\n30\n(\n;\n)\n30\n(\n)\n30\n(\n)\n30\n(\n)\n30\n(\n)\n30\n(\n)\n30\n(\n\n\n\n\n\n\n\n. \n(9) \n \nc) How does the velocity of the gases vary along the height of the chimney? \nThe velocity is constant,  \nAir\nAir\nSmoke\nSmoke\nAir\nT\nT\ngh\nT\nT\ngh\ngh\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n2\n1\n2\n1\n2\n\n\n\n. \n(10) \nThis can be seen from the equation of continuity \n.\nconst\nAv \n(\nSmoke\n\n is constant). It has a sudden \njump from approximately zero velocity to this constant value when the gases enter the chimney from \nthe furnace. In fact, since the chimney operates at minimal height this constant is equal to B , that is \nA\nB\nv\n/\n\n.  \nd) At some height z, from the Bernoulli equation one gets \ngz\ngh\np\nz\np\nSmoke\nSmoke\nAir\nsmoke\n\n\n\n\n\n\n\n)\n(\n)\n0\n(\n)\n(\n. \n(11) \nThus the pressure of smoke suddenly changes as it enters the chimney from the furnace and acquires \nvelocity. \n\n41st International Physics Olympiad, Croatia – Theoretical competition, July 19th, 2010 \n3/4 \n \nSolution of Task 2 \na) The kinetic energy of the hot air released in a time interval t\n is \nAtm\nHot\nHot\nkin\nT\nT\ngh\nt\nAv\nv\nt\nAv\nE\n\n\n\n\n\n\n\n2\n)\n(\n2\n1\n, \n(12) \nWhere the index “Hot” refer to the hot air heated by the Sun. If we denote the mass of the air that \nexits the chimney in unit time with \nHot\nAv\nw\n\n\n , then the power which corresponds to kinetic \nenergy above is  \nAir\nkin\nT\nT\nwgh\nP\n\n\n. \n(13) \nThis is the maximal power that can be obtained from the kinetic energy of the gas flow.  \nThe Sun power used to heat the air is  \nT\nwc\nGS\nPSun\n\n\n\n. \n(14) \nThe efficiency is evidently \n.\nAtm\nSun\nkin\ncT\ngh\nP\nP\n\n\n\n \n(15) \n \nb) The change is apparently linear. \nSolution of Task 3 \na) The efficiency is \n%\n64\n.0\n0064\n.0\n\n\n\nAtm\ncT\ngh\n\n. \n(16) \nb) The power is \n45\n)\n2\n/\n(\n2\n\n\n\n\n\nD\nG\nGS\nP\nkW. \n(17) \nc) If there are 8 sunny hours per day we get 360kWh.  \nSolution of Task 4 \nThe result can be obtained by expressing the mass flow of air w as \nHot\nAir\nHot\nT\nT\ngh\nA\nAv\nw\n\n\n\n\n\n2\n \n(18) \nT\nc\nGS\nw\n\n\n \n(19) \nwhich yields \n1.9\n)\n2\n(\n3\n/\n1\n2\n2\n2\n2\n2\n\n\n\ngh\nc\nA\nT\nS\nG\nT\nHot\nAtm\n\nK. \n(20) \n\n41st International Physics Olympiad, Croatia – Theoretical competition, July 19th, 2010 \n4/4 \n \nFrom this we get \n760\n\nw\nkg/s. \n(21) \n \n \n","shared":false,"sourcePages":[1,2,3,4]}},{"id":"ipho-2008-t2","importedOn":"2026-10-28","language":"en","sources":[{"url":"https://www.ipho-new.org/download/558/","kind":"statement","archiveMember":"2008/IPhO_2008_Theory_2_Problem.pdf"},{"url":"https://www.ipho-new.org/download/558/","kind":"solution","archiveMember":"2008/IPhO_2008_Theory_2_Solution.pdf"}],"statement":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/ipho-2008-t2-statement/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/ipho-2008-t2-statement/page-1.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2008-t2-statement/page-2.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2008-t2-statement/page-3.webp","width":982,"height":1389}],"text":"                 39th International Physics Olympiad - Hanoi - Vietnam - 2008                                   \n                                Theoretical Problem No. 2   \n                           \nCHERENKOV LIGHT AND RING IMAGING COUNTER \n \n \nLight propagates in vacuum with the speed \n. There is no particle which moves with \na speed higher than \n. However, it is possible that in a transparent medium a particle \nmoves with a speed \n higher than the speed of the light in the same medium \nc\nc\nv\nc\nn\n, where \n is the refraction index of the medium. Experiment (Cherenkov, 1934) and theory \n(Tamm and Frank, 1937) showed that a charged particle, moving with a speed \n in a \ntransparent medium with refractive index \n such that \nn\nv\nn\nc\nn\n>\nv\n, radiates light, called \nCherenkov light, in directions forming \nwith \nthe \ntrajectory \nan \nangle  \n \n1\narccos\nn\nθ\nβ\n=\n   \n \n \n(1) \nθ\nθ\nA\nB \nwhere \nc\nβ = v .  \n1. To establish this fact, consider a particle moving at constant velocity \nc\nn\n>\nv\n on a \nstraight line. It passes A at time 0 and B at time \n. As the problem is symmetric with \nrespect to rotations around AB, it is sufficient to consider light rays in a plane containing \nAB. \n1t\n \nAt any point C between A and B, the particle emits a spherical light wave, which \npropagates with velocity c\nn\n. We define the wave front at a given time \nas the envelope \nof all these spheres at this time.  \nt\n \n1.1. Determine the wave front at time \n and draw its intersection with a plane \ncontaining the trajectory of the particle.  \n1t\n  1.2. Express the angle ϕ between this intersection and the trajectory of the particle \nin terms of \n and \nn\nβ . \n2. Let us consider a beam of particles moving with velocity \nc\nn\n>\nv\n, such that the angle \nθ is small, along a straight line IS. The beam crosses a concave spherical mirror of focal \nlength f and center C, at point S. SC makes with SI a small angle α (see the figure in \nthe Answer Sheet). The particle beam creates a ring image in the focal plane of the mirror. \n \n1\n\n                 39th International Physics Olympiad - Hanoi - Vietnam - 2008                                   \n                                Theoretical Problem No. 2   \n                           \nExplain why with the help of a sketch illustrating this fact. Give the position of the center \nO and the radius \n of the ring image.  \nr\n This set up is used in ring imaging Cherenkov counters (RICH) and the medium which \nthe particle traverses is called the radiator. \nNote: in all questions of the present problem, terms of second order and higher in α \nand θ will be neglected. \n \n3. A beam of particles of known momentum \n10 0 GeV/\n.\np\nc\n=\n consists of three types of \nparticles: protons, kaons and pions, with rest mass \n2\np\n0 94 GeV\n.\n/\nM\nc\n=\n,  \n2\nκ\n0 50 GeV\n.\n/\nM\nc\n=\n and \n2\nπ\n0 14 GeV\n.\n/\nM\nc\n=\n, respectively. Remember that \n and \npc\n2\nMc have the dimension of an energy, and 1 eV is the energy acquired by an electron \nafter being accelerated by a voltage 1 V, and 1 GeV = 109 eV, 1 MeV = 106 eV.  \n \nThe particle beam traverses an air medium (the radiator) under the pressure \n. The \nrefraction index of air depends on the air pressure\naccording to the relation \nwhere a = 2.7×10\nP\nP\n1\nn\na\n= + P\n-4 atm-1\n \n3.1. Calculate for each of the three particle types the minimal value \nof the air \npressure such that they emit Cherenkov light. \nmin\nP\n \n3.2. Calculate the pressure \n1\n2\nP such that the ring image of kaons has a radius equal \nto one half of that corresponding to pions. Calculate the values of \nκ\nθ and \nπ\nθ in this \ncase.  \n \nIs it possible to observe the ring image of protons under this pressure? \n \n \n4. Assume now that the beam is not perfectly monochromatic: the particles momenta are \ndistributed over an interval centered at 10 \n having a half width at half height \n. This makes the ring image broaden, correspondingly \nGeV / c\np\nΔ\nθ distribution has a half \nwidth at half height \nθ\nΔ\n. The pressure of the radiator is \n1\n2\nP determined in 3.2.  \n \n4.1. Calculate \nκ\np\nθ\nΔ\nΔ\n and \nπ\np\nθ\nΔ\nΔ\n, the values taken by \np\nθ\nΔ\nΔ\nin the pions and kaons \ncases. \n \n4.2. When the separation between the two ring images, \nπ\nκ\nθ\nθ\n−\n, is greater than 10 \n \n2\n\n                 39th International Physics Olympiad - Hanoi - Vietnam - 2008                                   \n                                Theoretical Problem No. 2   \n                           \nπ\ntimes the half-width sum \nκ\nθ\nθ\nΔ\n= Δ\n+ Δθ , that is \nπ\nκ\n10\nθ\nθ\nθ\n−\n>\nΔ\n, it is possible to \ndistinguish well the two ring images. Calculate the maximal value of \n such that the \ntwo ring images can still be well distinguished. \np\nΔ\n5. Cherenkov first discovered the effect bearing his name when he was observing a bottle \nof water located near a radioactive source. He saw that the water in the bottle emitted \nlight.  \n \n5.1. Find out the minimal kinetic energy \n of a particle with a rest mass \nmin\nT\nM \nmoving in water, such that it emits Cherenkov light. The index of refraction of water is  \nn = 1.33. \n5.2. The radioactive source used by Cherenkov emits either α particles (i.e. helium \nnuclei) having a rest mass \n2\nα\n3 8 GeV\n.\n/\nM\nc\n=\n or β particles (i.e. electrons) having a \nrest mass \n2\ne\n0 51 MeV\n.\n/\nM\nc\n=\n. Calculate the numerical values of \n for α particles \nand β particles.  \nmin\nT\nKnowing that the kinetic energy of particles emitted by radioactive sources never \nexceeds a few MeV, find out which particles give rise to the radiation observed by \nCherenkov. \n \n6. In the previous sections of the problem, the dependence of the Cherenkov effect on \nwavelength λ has been ignored. We now take into account the fact that the Cherenkov \nradiation of a particle has a broad continuous spectrum including the visible range  \n(wavelengths from 0.4 µm to 0.8 µm). We know also that the index of refraction \n of \nthe radiator decreases linearly by 2% of \nn\n1\nn − whenλ increases over this range.  \n \n6.1. Consider a beam of pions with definite momentum of \n moving in \nair at pressure 6 atm. Find out the angular difference \n10 0 GeV\n.\nc\n/\nδθ associated with the two ends \nof the visible range. \n \n6.2. On this basis, study qualitatively the effect of the dispersion on the ring image of \npions with momentum distributed over an interval centered at \nand \nhaving a half width at half height\n10 GeV /\np\nc\n=\n0 3 GeV\n.\n/\np\nc\nΔ =\n.  \n6.2.1. Calculate the broadening due to dispersion (varying refraction index) and \nthat due to achromaticity of the beam (varying momentum). \n6.2.2. Describe how the color of the ring changes when going from its inner to \nouter edges by checking the appropriate boxes in the Answer Sheet. \n \n3\n","shared":false,"sourcePages":[1,2,3]},"solution":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/ipho-2008-t2-solution/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/ipho-2008-t2-solution/page-1.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2008-t2-solution/page-2.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2008-t2-solution/page-3.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2008-t2-solution/page-4.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2008-t2-solution/page-5.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2008-t2-solution/page-6.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2008-t2-solution/page-7.webp","width":982,"height":1389}],"text":"                     39th International Physics Olympiad - Hanoi - Vietnam - 2008 \n                                                             \n                                 Theoretical Problem No. 2 / Solution \n \n  \n \n1\n \nSolution \n \n \n1. \n \n \n                                                                                 \n                                                                                    \n                           \n \n \n \n                                                                                     \n                                                                                 \nA\nθ\nC\nB\nD\nE\nD’\n \nFigure 1 \n                                           \nLet us consider a plane containing the particle trajectory. At \n, the particle \nposition is at point A. It reaches point B at \n0\nt =\n1\nt\nt\n=\n. According to the Huygens principle, at \nmoment \n, the radiation emitted at A reaches the circle with a radius equal to AD \nand the one emitted at C reaches the circle of radius CE. The radii of the spheres are \nproportional to the distance of their centre to B: \n1\n0\nt\nt\n< <\n(\n)\n(\n)\n1\n1\nCE\n1\nconst\nCB\n/\nc t\nt\nn\nt\nt\nn\nβ\n−\n=\n=\n=\n−\nv\n \nThe spheres are therefore transformed into each other by homothety of vertex B and \ntheir envelope is the cone of summit B and half aperture \n1\n2\nArcsin\nn\nπ\nϕ\nθ\nβ\n=\n=\n−\n, \nwhere θ is the angle made by the light ray CE with the particle trajectory.  \n1.1. The intersection of the wave front with the plane is two straight lines, BD and \nBD'. \n1.2. They make an angle \n1\nArcsin\nn\nϕ\nβ\n=\nwith the particle trajectory.  \n\n                     39th International Physics Olympiad - Hanoi - Vietnam - 2008 \n                                                             \n                                 Theoretical Problem No. 2 / Solution \n \n  \n \n2\n \n2. The construction for finding the ring image of the particles beam is taken in the plane  \ncontaining the trajectory of the particle and the optical axis of the mirror.  \nWe adopt the notations: \nS – the point where the beam crosses the spherical mirror \n \nF – the focus of the spherical mirror  \n \nC – the center of the spherical mirror \n \nIS – the straight-line trajectory of the charged particle making a small angle α with \nthe optical axis of the mirror. \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \nI \nθ\nθ\nC\nF\nO\nM\nN\nS\nα \nA \nP \nQ \nFigure 2 \n \n \nCF = FS = f \n \n \nCO//IS \n \n \nCM//AP \n \n \nCN//AQ \n \n \nn\nFCO\nα\n=\n⇒FO\nf\nα\n=\n×\n \n \n \nn\nn\nMCO\nOCN\nθ\n=\n=\n⇒MO\nf\nθ\n=\n×\n \n \nWe draw a straight line parallel to IS passing through the center C. The line intersects \nthe focal plane at O. We have FO ≈ f × α  . \n \nStarting from C, we draw two lines in both sides of the line CO making with it an \nangle θ. These two lines intersect the focal plane at M and N, respectively. All the rays of \nCherenkov radiation in the plane of the sketch, striking the mirror and being reflected, \n\n                     39th International Physics Olympiad - Hanoi - Vietnam - 2008 \n                                                             \n                                 Theoretical Problem No. 2 / Solution \n \n  \n \n3\nintersect at M or N. \n \nIn three-dimension case, the Cherenkov radiation gives a ring in the focal plane with \nthe center at O (FO ≈ f × α) and with the radius MO ≈ f × θ.  \n \nIn the construction, all the lines are in the plane of the sketch. Exceptionally, the ring \nis illustrated spatially by a dash line.  \n \n3. \n \n3.1. For the Cherenkov effect to occur it is necessary that \nc\nn > v\n , that is  \nmin\nc\nn\n= v\n. \nPutting \n,  we get      \n4\n1\n2 7 10\n.\nn\n−\nζ =\n−=\n×\nP\n \n \n4\nmin\nmin\n1\n2 7 10\n1\n1\n.\nc\nP\nζ\nβ\n−\n=\n×\n=\n−=\n−\nv\n      \n \n \n \n \n \n \n(1)                   \nBecause \n2\n2\n2\n1\n1\nMc\nMc\nMc\nK\nMv\npc\np\nβ\nβ\nβ\n−\n=\n=\n=\n=\n−\n                       (2)                   \nthen K = 0.094 ; 0.05 ; 0.014 for proton, kaon and pion, respectively. \n \nFrom (2) we can express β through K as \n        \n2\n1\n1\nK\nβ =\n+\n           \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n(3)                  \nSince \n for all three kinds of particles we can neglect the terms of order \nhigher than 2 in K . We get \n2\n1\nK <<\n     \n2\n2\n1\n1\n1\n1\n2\n1\nK\nK\nβ\n−\n= −\n≈\n+\n= \n2\n1\n2\nMc\np\n⎛\n⎞\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\n     \n                   (3a) \n    \n2\n2\n1\n1\n1\n1\n1\n2\nK\nK\nβ −=\n+\n−≈\n=\n2\n1\n2\nMc\np\n⎛\n⎞\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\n    \n \n \n \n \n \n \n \n(3b)  \n                            \n \nPutting (3b) into (1), we obtain \n\n                     39th International Physics Olympiad - Hanoi - Vietnam - 2008 \n                                                             \n                                 Theoretical Problem No. 2 / Solution \n \n  \n \n4\n    \n \n2\nmin\n4\n1\n1\n2\n2 7 10\n.\nP\n−\n=\n×\n×\nK\nκ\n                                (4) \n \n \nWe get the following numerical values of the minimal pressure:   \nmin\nP\n= 16 atm      for protons, \nmin\nP\n= 4.6 atm     for kaons, \nmin\nP\n= 0.36 atm     for pions. \n \n3.2. For \nπ\n2\nθ\nθ\n=\n  we have \n      \n    \n \n \n \n \n \n \n \n \n(5)                   \n2\nπ\nκ\nκ\n2\n2\ncos\ncos\ncos\nθ\nθ\nθ\n=\n=\n1\n−\nWe denote  \n     \n2\n2\n1\n1\n1\n1\n2\n1\nK\nK\nε\nβ\n= −\n= −\n≈\n+\n   \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n(6)                   \nFrom (5) we obtain \n      \n2\n2\nπ\nκ\n1\n2\n1\nn\nn\nβ\nβ\n=\n−                          \n \n \n \n \n \n(7)                   \nSubstituting \n1\nβ\nε\n= −\n and \n1\nn\nζ\n= +\n into (7), we get approximately: \n                                           \n      \n(\n)\n2\n2\n2\n2\nκ\nπ\n1\nκ\nπ\n2\n4\n1\n1\n4\n4 0 05\n0 014\n3\n6\n6\n.( .\n)\n( .\n)\nK\nK\nε\nε\nζ\n−\n⎡\n⎤\n=\n=\n−\n=\n−\n⎣\n⎦, \n      \n1\n1\n4\n2\n2\n1\n6 atm\n2 7 10\n.\nP\n−\n=\nζ\n=\n×\n. \n \nThe corresponding value of refraction index is n = 1.00162. We get: \n       \nκ\nθ = 1.6o ;        \n. \no\nπ\nκ\n2\n3 2.\nθ\nθ\n=\n=\nWe do not observe the ring image of protons since \n        \n1\nm\n2\n6atm\n16atm\nin\nP\nP\n=\n<\n=\n for protons. \n \n\n                     39th International Physics Olympiad - Hanoi - Vietnam - 2008 \n                                                             \n                                 Theoretical Problem No. 2 / Solution \n \n  \n \n5\n4. \n \n4.1. \nTaking \nlogarithmic \ndifferentiation \nof \nboth \nsides \nof \nthe \nequation            \n1\ncos\nn\nθ\nβ\n=\n, we obtain \n       sin\ncos\nθ\nθ\nθ\n×Δ\n = \nβ\nβ\nΔ\n    \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n(8)      \n \n                                                     \n \nLogarithmically differentiating equation (3a) gives \n       \n2\n1\np\np\nβ\nβ\nΔ\nΔ\n=\n−\n      \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n(9)                   \n \nCombining (8) and (9), taking into account (3b) and putting approximately \ntanθ\nθ\n=\n, we derive \n       \n2\n2\n1\nK\np\np\nθ\nβ\np\nθ\nβ\nθ\nΔ\n−\n=\n×\n=\nΔ\n      \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n(10)                 \n \n \nWe obtain \n \n-for kaons \n ,\n \nκ\n0 05\n.\nK =\no\nκ\n1 6\n1 6\nrad\n180\n.\n.\nπ\nθ =\n=\n, and so,  \no\nκ\n1\n0 51GeV\n.\n/\np\nc\nθ\nΔ\n=\nΔ\n, \n \n-for \npions\nπ\n0 014\n.\nK =\n, \n, \nand             \no\nπ\n3 2.\nθ =\no\nπ\n1\n0 02 GeV\n.\n/\np\nc\nθ\nΔ\n=\nΔ\n . \n \n4.2.  \nκ\nπ\np\nθ\nθ\nΔ\n+ Δ\n≡\nΔ\n(\n)\no\no\n1\n1\n0 51 0 02\n0 53\nGeV\nGeV\n.\n.\n.\n/\n/\np\nc\nc\nθ\nΔ\n=\n+\n=\nΔ\n. \n \nThe \ncondition \nfor \ntwo \nring \nimages \nto \nbe \ndistinguishable \nis \n. \no\nπ\nκ\n0 1\n0 16\n. (\n)\n.\nθ\nθ\nθ\nΔ\n<\n−\n=\n \nIt follows  \n1\n1 6\n0 3 GeV\n10\n0 53\n.\n.\n/\n.\np\nc\nΔ <\n×\n=\n. \n \n\n                     39th International Physics Olympiad - Hanoi - Vietnam - 2008 \n                                                             \n                                 Theoretical Problem No. 2 / Solution \n \n  \n \n6\n5.  \n \n5.1. The lower limit of β giving rise to Cherenkov effect is \n \n   \n1\n1\n1 33\n.\nn\nβ =\n=\n.                                           \n(11) \n \nThe kinetic energy of a particle having rest mass M and energy E is given by the \nexpression \n       \n2\n2\n2\n2\n2\n2\n1\n1\n1\n1\nMc\nT\nE\nMc\nMc\nMc\nβ\nβ\n⎡\n⎤\n⎢\n⎥\n=\n−\n=\n−\n=\n−\n⎢\n⎥\n−\n−\n⎣\n⎦\n.   \n \n \n(12) \nSubstituting the limiting value (11) of β into (12), we get the minimal kinetic energy of \nthe particle for Cherenkov effect to occur: \n \n \n2\n2\nmin\n2\n1\n1\n0 517\n1\n1\n1 33\n.\n.\nT\nMc\nM\n⎡\n⎤\n⎢\n⎥\n⎢\n⎥\n=\n−\n=\n⎢\n⎥\n⎛\n⎞\n⎢\n⎥\n−⎜\n⎟\n⎢\n⎥\n⎝\n⎠\n⎣\n⎦\nc  \n \n \n \n \n \n(13) \n                                  \n \n5.2.  \n \nFor α particles, \n. \nmin\n0 517\n3 8 GeV\n1 96 GeV\n.\n.\n.\nT\n=\n×\n=\n \nFor electrons,  \n. \nmin\n0 517\n0 51 MeV\n0 264 MeV\n.\n.\n.\nT\n=\n×\n=\n \nSince the kinetic energy of the particles emitted by radioactive source does not \nexceed a few MeV, these are electrons which give rise to Cherenkov radiation in the \nconsidered experiment. \n \n6. For a beam of particles having a definite momentum the dependence of the angle θ \non the refraction index \n of the medium is given by the expression \nn\n     \n1\ncos\nn\nθ\nβ\n=\n  \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n(14) \n              \n \n6.1. Let δθ be the difference of θ between two rings corresponding to two \nwavelengths limiting the visible range, i.e. to wavelengths of 0.4 µm (violet) and     \n0.8 µm (red), respectively. The difference in the refraction indexes at these wavelengths \nis \n(\n)\nv\nr\n0 02\n1\n.\nn\nn\nn\nδ\nn\n−\n=\n=\n−\n. \n    Logarithmically differentiating both sides of equation (14) gives \n\n                     39th International Physics Olympiad - Hanoi - Vietnam - 2008 \n                                                             \n                                 Theoretical Problem No. 2 / Solution \n \n  \n \n7\n        \nsin\ncos\nn\nn\nθ\nδθ\nδ\nθ\n×\n=\n                                      \n(15)        \n \nCorresponding to the pressure of the radiator P = 6 atm we have from 4.2. the values            \nπ\nθ = 3.2o , \n1.00162.  \nn =\n \nPutting approximately tanθ\nθ\n=\n  and  n = 1, we get  \no\n0 033\n.\nn\nδ\nδθ\nθ\n=\n=\n.        \n \n6.2.  \n \n6.2.1. The broadening due to dispersion in terms of half width at half height is, \naccording to (6.1), \no\n1\n0 017\n2\n.\nδθ =\n. \n \n6.2.2. \nThe \nbroadening \ndue \nto \nachromaticity \nis, \nfrom \n4.1., \no\no\n1\n0 02\n0 3 GeV/c\n0 006\nGeV/c\n.\n.\n×\n= .\n, that is three times smaller than above. \n    6.2.3. The color of the ring changes from red to white then blue from the inner \nedge to the outer one. \n  \n \n                                        \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n","shared":false,"sourcePages":[1,2,3,4,5,6,7]}},{"id":"ipho-2007-t2","importedOn":"2026-10-28","language":"en","sources":[{"url":"https://www.ipho-new.org/download/555/","kind":"statement","archiveMember":"2007/IPhO_2007_Theo(Orange)_question.pdf"},{"url":"https://www.ipho-new.org/download/555/","kind":"solution","archiveMember":"2007/IPhO_2007_Theo(Orange)_answer.pdf"}],"statement":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/ipho-2007-t2-statement/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/ipho-2007-t2-statement/page-1.webp","width":1010,"height":1307},{"src":"/corpus/documents/ipho-2007-t2-statement/page-2.webp","width":1010,"height":1307},{"src":"/corpus/documents/ipho-2007-t2-statement/page-3.webp","width":1010,"height":1307},{"src":"/corpus/documents/ipho-2007-t2-statement/page-4.webp","width":1010,"height":1307}],"text":" \n \n \n \n1\nIn this problem we deal with a simplified model of accelerometers designed to activate the safety \nair bags of automobiles during a collision. We would like to build an electromechanical system in \nsuch a way that when the acceleration exceeds a certain limit, one of the electrical parameters of \nthe system such as the voltage at a certain point of the circuit will exceed a threshold and the air \nbag will be activated as a result. \n \nNote: Ignore gravity in this problem. \n \n1 Consider a capacitor with parallel plates as in Figure 1. The area of each plate in the capacitor \nis A and the distance between the two plates is d . The distance between the two plates is \nmuch smaller than the dimensions of the plates. One of these plates is in contact with a wall \nthrough a spring with a spring constant k , and the other plate is fixed. When the distance \nbetween the plates is d the spring is neither compressed nor stretched, in other words no \nforce is exerted on the spring in this state. Assume that the permittivity of the air between the \nplates is that of free vacuum \n0\nε . The capacitance corresponding to this distance between the \nplates of the capacitor is \nd\nA\nC\n0\n0\nε\n=\n. We put charges \nQ\n+\n and \nQ\n−\n on the plates and let \nthe system achieve mechanical equilibrium.  \n \n \nFigure 1 \n \n1.1 \nCalculate the electrical force, \nE\nF , exerted by the plates on each other. \n0.8 \n \n1.2 \nLet x be the displacement of the plate connected to the spring. Find x .  \n0.6 \n \n1.3 \nIn this state, what is the electrical potential difference V between the plates of the \ncapacitor in terms of Q , A , d , k ? \n0.4 \n \n1.4 \nLet C be the capacitance of the capacitor, defined as the ratio of charge to potential \ndifference. Find \n0\nC\nC\n as a function of Q , A , d  and k .  \n0.3 \n \n1.5 \nWhat is the total energy, U , stored in the system in terms of Q , A , d and k ? \n0.6 \n \nFigure 2, shows a mass M which is attached to a conducting plate with negligible mass and also \nto two springs having identical spring constants k .  The conducting plate can move back and \nforth in the space between two fixed conducting plates. All these plates are similar and have the \nsame area A . Thus these three plates constitute two capacitors. As shown in Figure 2, the fixed \nplates are connected to the given potentials V and \nV\n−\n, and the middle plate is connected \nk\nd\n\n \n \n \n \n2\nthrough a two-state switch to the ground. The wire connected to the movable plate does not \ndisturb the motion of the plate and the three plates will always remain parallel. When the whole \ncomplex is not being accelerated, the distance from each fixed plate to the movable plate is \nd which is much smaller than the dimensions of the plates. The thickness of the movable plate \ncan be ignored.  \n \nFigure 2 \n \nThe switch can be in either one of the two states α and β . Assume that the capacitor complex is \nbeing accelerated along with the automobile, and the acceleration is constant. Assume that during \nthis constant acceleration the spring does not oscillate and all components of this complex \ncapacitor are in their equilibrium positions, i.e. they do not move with respect to each other, and \nhence with respect to the automobile.  \nDue to the acceleration, the movable plate will be displaced a certain amount x from the middle \nof the two fixed plates.  \n \n2 Consider the case where the switch is in state α i.e. the movable plate is connected to the \nground through a wire, then \n \n2.1 \nFind the charge on each capacitor as a function of  x . \n0.4 \n \n2.2 \nFind the net electrical force on the movable plate, \nE\nF , as a function of x .  \n0.4 \n \n \n \n \n2.3 \nAssume \nx\nd >>\n and terms of order \n2x can be ignored compared to terms of order \n2\nd . Simplify the answer to the previous part.  \n0.2 \n \n2.4 \nWrite the total force on the movable plate (the sum of the electrical and the spring \nforces) as \nx\nkeff\n−\n and give the form of \neff\nk\n.  \n0.7 \n \n2.5 \nExpress the constant acceleration a as a function of x . \n0.4 \nMovable \nplate \na\nFixed Plate \nFixed Plate \nV \nα \nβ\nS\nC\nV\nM \nk\nk\n\n \n \n \n \n3\n \n \n \n \n \n3 Now assume that the switch is in state β i.e. the movable plate is connected to the ground \nthrough a capacitor, the capacitance of which is \nS\nC (there is no initial charge on the \ncapacitors). If the movable plate is displaced by an amount x from its central position,  \n \n3.1 \nFind \nS\nV the electrical potential difference across the capacitor \nS\nC as a function of \nx . \n1.5 \n \n3.2 \nAgain assume that \nx\nd >>\n and ignore terms of order \n2\nx compared to terms of \norder \n2\nd . Simplify your answer to the previous part. \n0.2 \n \n4 We would like to adjust the parameters in the problem such that the air bag will not be \nactivated in normal braking but opens fast enough during a collision to prevent the driver’s \nhead from colliding with the windshield or the steering wheel. As you have seen in Part 2, the \nforce exerted on the movable plate by the springs and the electrical charges can be \nrepresented as that of a spring with an effective spring constant \neff\nk\n. The whole capacitor \ncomplex is similar to a mass and spring system of mass M and spring constant \neff\nk\n under the \ninfluence of a constant acceleration a , which in this problem is the acceleration of the \nautomobile.  \n \nNote: In this part of the problem, the assumption that the mass and spring are in equilibrium under \na constant acceleration and hence are fixed relative to the automobile, no longer holds.  \n \nIgnore friction and consider the following numerical values for the parameters of the problem: \n \ncm\n0.1\n=\nd\n, \n2\n2 m\n10\n5.2\n−\n×\n=\nA\n, \nN/m\n10\n2.4\n3\n×\n=\nk\n, \n2\n2\n12\n0\n/Nm\nC\n10\n85\n.8\n−\n×\n=\nε\n, \nV\n12\n=\nV\n, \nkg\n15\n.0\n=\nM\n. \n \n4.1 \nUsing this data, find the ratio of the electrical force you calculated in section 2.3 to \nthe force of the springs and show that one can ignore the electrical forces compared \nto the spring forces. \n0.6 \n \nAlthough we did not calculate the electrical forces for the case when the switch is in the state β , \nit can be shown that in this situation, quite similarly, the electrical forces are as small and can be \nignored.  \n \n4.2 \nIf the automobile while traveling with a constant velocity, suddenly brakes with a \nconstant acceleration a , what is the maximum displacement of the movable plate? \nGive your answer in parameter.  \n0.6 \n \nAssume that the switch is in state β and the system has been designed such that when the \nelectrical voltage across the capacitor reaches \nV\n15\n.0\n=\nS\nV\n, the air bag is activated. We would \nlike the air bag not to be activated during normal braking when the automobile’s acceleration is \nless than the acceleration of gravity\n2\n8.9\ns\nm\ng =\n, but be activated otherwise.  \n \n4.3 \nHow much should \nS\nC be for this purpose?   \n0.6 \n \n\n \n \n \n \n4\nWe would like to find out if the air bag will be activated fast enough to prevent the driver’s head \nfrom hitting the windshield or the steering wheel. Assume that as a result of collision, the \nautomobile experiences a deceleration equal to g but the driver’s head keeps moving at a \nconstant speed. \n \n4.4 \nBy estimating the distance between the driver’s head and the steering wheel, find \nthe time 1t it takes before the driver’s head hits the steering wheel.  \n0.8 \n \n4.5 \nFind the time \n2t before the air bag is activated and compare it to 1t . Is the air bag \nactivated in time? Assume that airbag opens instantaneously. \n0.9 \n \n \n \n \n \n","shared":false,"sourcePages":[1,2,3,4]},"solution":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/ipho-2007-t2-solution/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/ipho-2007-t2-solution/page-1.webp","width":1010,"height":1307},{"src":"/corpus/documents/ipho-2007-t2-solution/page-2.webp","width":1010,"height":1307},{"src":"/corpus/documents/ipho-2007-t2-solution/page-3.webp","width":1010,"height":1307},{"src":"/corpus/documents/ipho-2007-t2-solution/page-4.webp","width":1010,"height":1307},{"src":"/corpus/documents/ipho-2007-t2-solution/page-5.webp","width":1010,"height":1307}],"text":"Question “Orange” \n \n1.1) \nFirst of all, we use the Gauss’s law for a single plate to obtain the electric field,  \n0\nε\nσ\n=\nE\n.               (0.2) \nThe density of surface charge for a plate with charge,Q and area, A is \nA\nQ\n=\nσ\n.                (0.2) \nNote that the electric field is resulted by two equivalent parallel plates. Hence the \ncontribution of each plate to the electric field is \nE\n2\n1\n. Force is defined by the electric filed \ntimes the charge, then we have \nForce = \nQ\nE\n2\n1\n= \nA\nQ\n0\n2\n2ε\n   (0.2)+ (0.2) ( The ½  coefficient + the final result) \n \n1.2) \nThe Hook’s law for a spring is \nx\nk\nFm\n−\n=\n.   (0.2) \nIn 1.2 we derived the electric force between two plates is  \nA\nQ\nFe\n0\n2\n2ε\n=\n. \nThe system is stable. The equilibrium condition yields \n \ne\nm\nF\nF =\n,    (0.2) \nk\nA\nQ\nx\n0\n2\n2ε\n=\n⇒\n   (0.2) \n \n1.3) \nThe electric field is constant thus the potential difference, V is given by  \n)\n(\nx\nd\nE\nV\n−\n=\n  \n \n (0.2) \n(Other reasonable approaches are acceptable. For example one may use the definition of \ncapacity to obtainV .)   \nBy substituting the electric field obtained from previous section to the above equation, we \nget, \n\n\n\n\n\n−\n=\nd\nk\nA\nQ\nA\nd\nQ\nV\n0\n2\n0\n2\n1\nε\nε\n                   (0.2) \n \n1.4)  \nC is defined by the ratio of charge to potential difference, then  \nV\nQ\nC =\n .            (0.1)        \n\nUsing the answer to 1.3, we get \n1\n0\n2\n0\n2\n1\n−\n\n\n\n\n\n−\n=\nd\nk\nA\nQ\nC\nC\nε\n          (0.2) \n \n1.5) \nNote that we have both the mechanical energy due to the spring  \n2\n2\n1 kx\nU m =\n,           (0.2)          \nand the electrical energy stored in the capacitor.  \nC\nQ\nU E\n2\n2\n=\n .              (0.2) \nTherefore the total energy stored in the system is \n\n\n\n\n\n−\n=\nd\nk\nA\nQ\nA\nd\nQ\nU\n0\n2\n0\n2\n4\n1\n2\nε\nε\n          (0.2) \n \n2.1) \nFor the given value of x , the amount of charge on each capacitor is \n \nx\nd\nV\nA\nC\nV\nQ\n−\n=\n=\n0\n1\n1\nε\n ,                (0.2) \nx\nd\nV\nA\nC\nV\nQ\n+\n=\n=\n0\n2\n2\nε\n .               (0.2) \n \n2.2) \nNote that we have two capacitors. By using the answer to 1.1 for each capacitor, we get \nA\nQ\nF\n0\n2\n1\n1\n2ε\n=\n, \nA\nQ\nF\n0\n2\n2\n2\n2ε\n=\n. \nAs these two forces are in the opposite directions, the net electric force is  \n2\n1\nF\nF\nFE\n−\n=\n,   (0.2)     \n\n\n\n\n\n\n+\n−\n−\n=\n⇒\n2\n2\n2\n0\n)\n(\n1\n)\n(\n1\n2\nx\nd\nx\nd\nV\nA\nFE\nε\n    (0.2) \n \n2.3) \nIgnoring terms of order \n2\nx in the answer to 2.2., we get     \nx\nd\nV\nA\nFE\n3\n2\n0\n2ε\n=\n          (0.2) \n \n \n2.4) \nThere are two springs placed in series with the same spring constant,k , then the \nmechanical force is \n\nx\nk\nFm\n2\n−\n=\n.     (The coefficient (2) has (0.2)) \nCombining this result with the answer to 2.4 and noticing that these two forces are in the \nopposite directions, we get \nE\nm\nF\nF\nF\n+\n=\n,                  \nx\nd\nV\nA\nk\nF\n\n\n\n\n\n\n−\n−\n=\n⇒\n3\n2\n0\n2\nε\n, (Opposite signs of the \ntwo forces have (0.3)) \n\n\n\n\n\n\n−\n=\n⇒\n3\n2\n0\n2\nd\nV\nA\nk\nkeff\nε\n   (0.2) \n \n2.5) \nBy using the Newtown’s second law, \nma\nF =\n           (0.2) \nand the answer to 2.4, we get \nx\nd\nV\nA\nk\nm\na\n\n\n\n\n\n\n−\n−\n=\n3\n2\n0\n2\nε\n   (0.2) \n \n \n \n \n3.1) \nStarting with Kirchhoff’s laws, for two electrical circuits, we have \n \n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n=\n+\n−\n=\n−\n+\n−\n=\n−\n+\n0\n0\n0\n1\n2\n1\n1\n2\n2\nS\nS\nS\nS\nS\nQ\nQ\nQ\nC\nQ\nV\nC\nQ\nC\nQ\nV\nC\nQ\n  (Each has (0.3), Note: the sings may depend on the specific choice made) \n \nNoting that \ns\nV = \nS\nS\nC\nQ  one obtains  \n2\n2\n0\n2\n2\n0\n2\n2\nx\nd\nd\nA\nC\nx\nd\nx\nA\nV\nV\nS\nS\n−\n+\n−\n=\n⇒\nε\nε\n .    ((0.4) + (0.2): (0.4) for solving the above equations and (0.2) \nfor final result) \n \n\nNote: Students may simplify the above relation using the approximation\n2\n2\nx\nd\n>>\n. It does \nnot matter in this section. \n \n3.2) \nIgnoring terms of order \n2\nx in the answer to 3.1., we get  \n \nd\nA\nC\nd\nx\nA\nV\nV\nS\nS\n0\n2\n0\n2\n2\nε\nε\n+\n=\n .        (0.2) \n \n4.1) \nThe ratio of the electrical force to the mechanical (spring) force is \n3\n2\n0\nd\nk\nV\nA\nF\nF\nm\nE\nε\n=\n , \nPutting the numerical values: \n9\n10\n6.7\n−\n×\n=\nm\nE\nF\nF\n .               ((0.2) + (0.2) + (0.2): (0.2) for order of magnitude, (0.2) for \ntwo significant digits and (0.2) for correct answer (7.6 or 7.5)).  \nAs it is clear from this result, we can ignore the electrical forces compared to the electric \nforce. \n \n \n \n4.2) \nAs seen in the previous section, one may assume that the only force acting on the moving \nplate is due to springs:  \nx\nk\nF\n2\n=\n .     (The concept of equilibrium (0.2)) \nHence in mechanical equilibrium, the displacement of the moving plate is  \nk\nma\nx\n2\n=\n . \nThe maximum displacement is twice this amount, like the mass spring system in a \ngravitational force field, when the mass is let to fall. \nx\nx\n2\nmax =\n    (0.2) \nk\na\nm\nx\n=\nmax\n    (0.2) \n \n4.3) \nAt the acceleration \ng\na =\n,              (0.2) \nThe maximum displacement is \nk\ng\nm\nx\n=\nmax\n. \nMoreover, from the result obtained in 3.2, we have     \n\nd\nA\nC\nd\nx\nA\nV\nV\nS\nS\n0\n2\nmax\n0\n2\n2\nε\nε\n+\n=\n \nThis should be the same value given in the problem,\nV\n15\n.0\n. \n\n\n\n\n\n\n−\n=\n⇒\n1\n2\nmax\n0\nd\nV\nx\nV\nd\nA\nC\nS\nS\nε\n    (0.2) \nF\n10\n0.8\n11\n−\n×\n=\n⇒\nS\nC\n               (0.2) \n \n4.4) \nLet l be the distance between the driver’s head and the steering wheel. It can be \nestimated to be about \nm\nm 1\n4.0\n−\n=\nl\n.            (0.2) \nJust at the time the acceleration begins, the relative velocity of the driver’s head with \nrespect to the automobile is zero. \n \n0\n)\n0\n(\n=\n=\n∆\nt\nv\n,             (0.2) \nthen \n2\n1\n2\n1\nt\ng\n=\nl\n     \ng\nt\nl\n2\n1 =\n⇒\n    (0.2) \ns\nt\n5.0\n3.0\n1\n−\n=\n          (0.2) \n \n4.5) \nThe time 2t is half of period of the harmonic oscillator, hence   \n \n2\n2\nT\nt =\n,            (0.3) \nThe period of harmonic oscillator is simply given by  \nk\nm\nT\n2\n2π\n=\n ,     (0.2) \ntherefore, \ns\nt\n013\n.0\n2 =\n.     (0.2) \n \nAs \n2\n1\nt\nt >\n, the airbag activates in time.                   (0.2) \n","shared":false,"sourcePages":[1,2,3,4,5]}},{"id":"ipho-2009-t1","importedOn":"2026-10-28","language":"en","sources":[{"url":"https://www.ipho-new.org/download/561/","kind":"statement","archiveMember":"2009/IPhO_2009_Theo_Problem 1.pdf"},{"url":"https://www.ipho-new.org/download/561/","kind":"solution","archiveMember":"2009/IPhO_2009_Theo_Solution 1.pdf"}],"statement":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/ipho-2009-t1-statement/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/ipho-2009-t1-statement/page-1.webp","width":1010,"height":1307},{"src":"/corpus/documents/ipho-2009-t1-statement/page-2.webp","width":1010,"height":1307},{"src":"/corpus/documents/ipho-2009-t1-statement/page-3.webp","width":1010,"height":1307},{"src":"/corpus/documents/ipho-2009-t1-statement/page-4.webp","width":1010,"height":1307},{"src":"/corpus/documents/ipho-2009-t1-statement/page-5.webp","width":1010,"height":1307},{"src":"/corpus/documents/ipho-2009-t1-statement/page-6.webp","width":1010,"height":1307},{"src":"/corpus/documents/ipho-2009-t1-statement/page-7.webp","width":1010,"height":1307}],"text":"THEORETICAL PROBLEM No. 1 \n \nEVOLUTION OF THE EARTH-MOON SYSTEM \n \nScientists can determine the distance Earth-Moon with great precision. They achieve \nthis by bouncing a laser beam on special mirrors deposited on the Moon´s surface by \nastronauts in 1969, and measuring the round travel time of the light (see Figure 1). \n \n \n \n \nWith these observations, they have directly measured that the Moon is slowly receding \nfrom the Earth. That is, the Earth-Moon distance is increasing with time. This is \nhappening because due to tidal torques the Earth is transferring angular momentum to \nthe Moon, see Figure 2. In this problem you will derive the basic parameters of the \nphenomenon. \n \n  \nFigure 1. A laser beam sent \nfrom an observatory is used \nto measure accurately the \ndistance between the Earth \nand the Moon. \n\n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n1. Conservation of Angular Momentum. \n \nLet \n1L be the present total angular momentum of the Earth-Moon system. Now, make \nthe following assumptions: i) \n1L is the sum of the rotation of the Earth around its axis \nand the translation of the Moon in its orbit around the Earth only. ii) The Moon’s orbit \nis circular and the Moon can be taken as a point. iii) The Earth’s axis of rotation and the \nMoon’s axis of revolution are parallel. iv) To simplify the calculations, we take the \nmotion to be around the center of the Earth and not the center of mass. Throughout the \nproblem, all moments of inertia, torques and angular momenta are defined around the \naxis of the Earth. v) Ignore the influence of the Sun.  \n \n1a Write down the equation for the present total angular momentum of the \nEarth-Moon system. Set this equation in terms of\nEI , the moment of \ninertia of the Earth; \n1\nE\nω\n, the present angular frequency of the Earth’s \nrotation;\n1\nM\nI\n, the present moment of inertia of the Moon with respect to \nthe Earth´s axis; and \n1\nM\nω\n, the present angular frequency of the Moon’s \norbit. \n0.2 \n \nThis process of transfer of angular momentum will end when the period of rotation of \nthe Earth and the period of revolution of the Moon around the Earth have the same \nduration. At this point the tidal bulges produced by the Moon on the Earth will be \naligned with the line between the Moon and the Earth and the torque will disappear. \n \n \nFigure 2. The Moon’s gravity produces tidal deformations or “bulges” in the Earth. \nBecause of the Earth’s rotation, the line that goes through the bulges is not aligned \nwith the line between the Earth and the Moon. This misalignment produces a torque \nthat transfers angular momentum from the Earth’s rotation to the Moon’s \ntranslation. The drawing is not to scale. \n\n1b Write down the equation for the final total angular momentum \n2\nL of the \nEarth-Moon system. Make the same assumptions as in Question 1a. Set \nthis equation in terms of\nEI , the moment of inertia of the Earth; \n2\nω , the \nfinal angular frequency of the Earth’s rotation and Moon’s translation; \nand\n2\nM\nI\n, the final moment of inertia of the Moon. \n0.2 \n \n \n1c Neglecting the contribution of the Earth´s rotation to the final total \nangular momentum, write down the equation that expresses the angular \nmomentum conservation for this problem. \n0.3 \n \n2. Final Separation and Final Angular Frequency of the Earth-Moon System. \n \nAssume that the gravitational equation for a circular orbit (of the Moon around the \nEarth) is always valid. Neglect the contribution of the Earth´s rotation to the final total \nangular momentum. \n \n2a Write down the gravitational equation for the circular orbit of the Moon \naround the Earth, at the final state, in terms of\nE\nM , \n2\nω , G and the final \nseparation \n2\nD between the Earth and the Moon. \nE\nM is the mass of the \nEarth and G is the gravitational constant. \n0.2 \n \n \n2b Write down the equation for the final separation \n2\nD between the Earth \nand the Moon in terms of the known parameters, \n1L , the total angular \nmomentum of the system, \nE\nM and \nM\nM\n, the masses of the Earth and \nMoon, respectively, and G . \n0.5 \n \n2c Write down the equation for the final angular frequency \n2\nω of the Earth-\nMoon system in terms of the known parameters \n1L , \nE\nM , \nM\nM\n and G . \n0.5 \n \nBelow you will be asked to find the numerical values of \n2\nD and \n2\nω . For this you need \nto know the moment of inertia of the Earth.  \n \n2d Write down the equation for the moment of inertia of the Earth \nEI \nassuming it is a sphere with inner density \niρ from the center to a radius \nir , and with outer density \no\nρ\n from the radius \nir to the surface at a \nradius \nor (see Figure 3).  \n0.5 \n \n \n \n\n  \n \n \n \n Determine the numerical values requested in this problem always to two significant \ndigits. \n \n \n2e Evaluate the moment of inertia of the Earth \nEI , using\n4\n10\n3.1 ×\n=\niρ\nkg m-3, \n6\n10\n5.3 ×\n=\nir\nm, \n3\n10\n0.4 ×\n=\no\nρ\n kg m-3, and \n6\n10\n4.6 ×\n=\nor\nm.  \n0.2 \n \nThe masses of the Earth and Moon are \n24\n10\n0.6 ×\n=\nE\nM\n kg and \n22\n10\n3.7 ×\n=\nM\nM\nkg, \nrespectively. The present separation between the Earth and the Moon is \n8\n1\n10\n8.3 ×\n=\nD\nm. \nThe present angular frequency of the Earth’s rotation is \n5\n1\n10\n3.7\n−\n×\n=\nE\nω\ns-1. The present \nangular frequency of the Moon’s translation around the Earth is\n6\n1\n10\n7.2\n−\n×\n=\nM\nω\ns-1, and \nthe gravitational constant is \n11\n10\n7.6\n−\n×\n=\nG\nm3 kg-1 s-2. \n \n \n2f \nEvaluate the numerical value of the total angular momentum of the \nsystem, \n1L . \n0.2 \n \n \n2g Find the final separation\n2\nD in meters and in units of the present \nseparation\n1\nD . \n0.3 \n \n \n2h Find the final angular frequency \n2\nω in s-1, as well as the final duration of \nthe day in units of present days. \n0.3 \n \n \nFigure 3. The Earth as a sphere \nwith two densities, \niρ and \no\nρ . \n \n\nVerify that the assumption of neglecting the contribution of the Earth´s rotation to the \nfinal total angular momentum is justified by finding the ratio of the final angular \nmomentum of the Earth to that of the Moon. This should be a small quantity. \n \n2i \nFind the ratio of the final angular momentum of the Earth to that of the \nMoon.  \n \n0.2 \n \n3. How much is the Moon receding per year? \n \nNow, you will find how much the Moon is receding from the Earth each year. For this, \nyou will need to know the equation for the torque acting at present on the Moon. \nAssume that the tidal bulges can be approximated by two point masses, each of massm , \nlocated on the surface of the Earth, see Fig. 4. Let θ be the angle between the line that \ngoes through the bulges and the line that joins the centers of the Earth and the Moon.  \n \n \n \n \n \n \n \n3a Find\ncF , the magnitude of the force produced on the Moon by the closest \npoint mass.  \n \n0.4 \n \n \n3b Find\nf\nF , the magnitude of the force produced on the Moon by the farthest  \npoint mass.   \n0.4 \n \nFigure 4.  Schematic diagram to estimate the torque produced on the Moon by the \nbulges on the Earth. The drawing is not to scale. \n\nYou may now evaluate the torques produced by the point masses.  \n \n3c Find the magnitude of\nc\nτ , the torque produced by the closest point mass.  \n0.4 \n \n3d Find the magnitude of\nf\nτ , the torque produced by the farthest point mass. \n0.4 \n \n3e Find the magnitude of the total torque τ produced by the two masses. \nSince \n1\nD\nro <<\n you should approximate your expression to lowest \nsignificant order in \n1\n/ D\nro\n. You may use that \nax\nx a\n+\n≈\n+\n1\n)\n1(\n, if \n1\n<<\nx\n.   \n1.0 \n \n \n3f \nCalculate the numerical value of the total torque τ , taking into account \nthat \no3\n=\nθ\n and that \n16\n10\n6.3\n×\n=\nm\n kg  (note that this mass is of the order \nof \n8\n10−times the mass of the Earth). \n0.5 \n \nSince the torque is the rate of change of angular momentum with time, find the increase \nin the distance Earth-Moon at present, per year. For this step, express the angular \nmomentum of the Moon in terms of \nM\nM\n, \nE\nM , \n1\nD and G only. \n \n3g Find the increase in the distance Earth-Moon at present, per year.  \n1.0 \n \nFinally, estimate how much the length of the day is increasing each year. \n \n3h Find the decrease of \n1\nE\nω\n per year and how much is the length of the day \nat present increasing each year.  \n \n1.0 \n \n4. Where is the energy going? \n \nIn contrast to the angular momentum, that is conserved, the total (rotational plus \ngravitational) energy of the system is not. We will look into this in this last section. \n \n4a Write down an equation for the total (rotational plus gravitational) energy \nof the Earth-Moon system at present, E . Put this equation in terms of\nEI , \n1\nE\nω\n ,  \nM\nM\n, \nE\nM , \n1\nD and G only. \n0.4 \n \n4b Write down an equation for the change in E , \nE\n∆\n, as a function of the \nchanges in  \n1\nD and in \n1\nE\nω\n. Evaluate the numerical value of \nE\n∆\n for a \nyear, using the values of changes in  \n1\nD and in \n1\nE\nω\nfound in questions 3g \nand 3h.  \n0.4 \n\n \nVerify that this loss of energy is consistent with an estimate for the energy dissipated as \nheat in the tides produced by the Moon on the Earth. Assume that the tides rise, on the \naverage by 0.5 m, a layer of water \n=\nh\n  0.5 m deep that covers the surface of the Earth \n(for simplicity assume that all the surface of the Earth is covered with water). This \nhappens twice a day. Further assume that 10% of this gravitational energy is dissipated \nas heat due to viscosity when the water descends. Take the density of water to be \n3\n10\n=\nwater\nρ\n kg m-3, and the gravitational acceleration on the surface of the Earth to be \n8.9\n=\ng\n m s-2. \n \n4c What is the mass of this surface layer of water? \n0.2 \n \n4d Calculate how much energy is dissipated in a year? How does this \ncompare with the energy lost per year by the Earth-Moon system at \npresent?  \n0.3 \n \n \n \n","shared":false,"sourcePages":[1,2,3,4,5,6,7]},"solution":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/ipho-2009-t1-solution/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/ipho-2009-t1-solution/page-1.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2009-t1-solution/page-2.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2009-t1-solution/page-3.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2009-t1-solution/page-4.webp","width":982,"height":1389}],"text":"THEORETICAL PROBLEM No. 1 \n \nEVOLUTION OF THE EARTH-MOON SYSTEM \n \nSOLUTIONS \n \n     1.  Conservation of Angular Momentum \n \n1a \n1\n1\n1\n1\nM\nM\nE\nE\nI\nI\nL\n\n\n\n\n \n0.2 \n \n1b \n2\n2\n2\n2\n\n\nM\nE\nI\nI\nL\n\n\n \n0.2 \n \n \n1c \n1\n2\n2\n1\n1\n1\nL\nI\nI\nI\nM\nM\nM\nE\nE\n\n\n\n\n\n\n \n0.3 \n \n2. Final Separation and Angular Frequency of the Earth-Moon System. \n \n \n2a \nE\nM\nG\nD \n3\n2\n2\n2\n\n \n0.2 \n \n \n2b \n2\n2\n1\n2\nM\nE M\nM\nG\nL\nD \n \n0.5 \n \n \n2c \n3\n1\n3\n2\n2\n2\nL\nM\nM\nG\nM\nE\n\n\n \n0.5 \n \n2d The moment of inertia of the Earth will be the addition of the moment of \ninertia of a sphere with radius \nor and density \no\n and of a sphere with \nradius ir and density\no\ni\n\n\n: \n)]\n(\n[\n3\n4\n5\n2\n5\n5\no\ni\ni\no\no\nE\nr\nr\nI\n\n\n\n\n\n\n\n. \n \n0.5 \n \n \n2e \n37\n5\n5\n10\n0.8\n)]\n(\n[\n3\n4\n5\n2\n\n\n\n\n\no\ni\ni\no\no\nE\nr\nr\nI\n\n\n\n\nkg m2 \n \n0.2 \n \n2f \n34\n1\n1\n1\n1\n10\n4.3 \n\n\n\nM\nM\nE\nE\nI\nI\nL\n\n\n kg m2 s-1 \n0.2 \n \n\n \n2g \n8\n2\n10\n4.5 \n\nD\nm, that is  \n1\n2\n4.1\nD\nD \n \n \n0.3 \n \n2h \n6\n2\n10\n6.1\n\n\n\n\ns-1, that is, a period of 46 days. \n \n0.3 \n \n \n2i \nSince \n32\n2\n10\n3.1 \n\n\nEI\n kg m2 s-1 and\n34\n2\n2\n10\n4.3 \n\n\nM\nI\n kg m2 s-1 , the \napproximation is justified since the final angular momentum of the Earth \nis 1/260 of that of the Moon. \n \n0.2 \n \n3. How much is the Moon receding per year? \n \n \n3a Using the law of cosines, the magnitude of the force produced by the mass \nm closest to the Moon will be: \n)\ncos(\n2\n1\n2\n2\n1\n\no\no\nM\nc\nr\nD\nr\nD\nM\nm\nG\nF\n\n\n\n \n0.4 \n \n3b Using the law of cosines, the magnitude of the force produced by the mass \nm farthest to the Moon will be: \n)\ncos(\n2\n1\n2\n2\n1\n\no\no\nM\nf\nr\nD\nr\nD\nM\nm\nG\nF\n\n\n\n \n0.4 \n \n \n3c Using the law of sines, the torque will be \n2\n/\n3\n1\n2\n2\n1\n1\n0\n2\n/\n1\n1\n2\n2\n1\n1\n0\n)]\ncos(\n2\n[\n)\nsin(\n)]\ncos(\n2\n[\n)\nsin(\n\n\n\n\n\no\no\nM\no\no\nc\nc\nr\nD\nr\nD\nD\nr\nM\nm\nG\nr\nD\nr\nD\nD\nr\nF\n\n\n\n\n\n\n \n \n0.4 \n \n \n3d Using the law of sines, the torque will be \n2\n/\n3\n1\n2\n2\n1\n1\n0\n2\n/\n1\n1\n2\n2\n1\n1\n0\n)]\ncos(\n2\n[\n)\nsin(\n)]\ncos(\n2\n[\n)\nsin(\n\n\n\n\n\no\no\nM\no\no\nf\nf\nr\nD\nr\nD\nD\nr\nM\nm\nG\nr\nD\nr\nD\nD\nr\nF\n\n\n\n\n\n\n \n0.4 \n \n \n3e \n3\n1\n2\n1\n2\n1\n2\n1\n2\n1\n2\n2\n1\n0\n)\ncos(\n)\nsin(\n6\n))\ncos(\n3\n2\n3\n1\n)\ncos(\n3\n2\n3\n1(\n)\nsin(\nD\nr\nM\nm\nG\nD\nr\nD\nr\nD\nr\nD\nr\nD\nr\nM\nm\nG\no\nM\no\no\no\no\nM\nf\nc\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n \n1.0 \n \n \n\n3f \n16\n3\n1\n2\n10\n1.4\n)\ncos(\n)\nsin(\n6\n\n\n\nD\nr\nM\nm\nG\no\nM\n\n\n\nN m \n0.5 \n \n \n3g Since\nE\nM\nM\nG\nD \n3\n1\n2\n1\n\n, we have that the angular momentum of the Moon is \n\n\n2\n/\n1\n1\n2\n/\n1\n3\n1\n2\n1\n1\n1\nE\nM\nE\nM\nM\nM\nM\nG\nD\nM\nD\nM\nG\nD\nM\nI\n\n\n\n\n\n\n\n \nThe torque will be: \n\n\n\n\n\n\nt\nD\nD\nM\nG\nM\nt\nD\nM\nG\nM\nE\nM\nE\nM\n\n\n\n\n\n\n2\n/\n1\n1\n1\n2\n/\n1\n2\n/\n1\n1\n2\n/\n1\n2\n)\n(\n\n \nSo, we have that \n2\n/\n1\n1\n1\n2\n\n\n\n\n\n\n\nE\nM\nM\nG\nD\nM\nt\nD\n\n \nThat for \n7\n10\n1.3 \n\nt\ns = 1 year, gives \n034\n.0\n1 \nD\nm. \nThis is the yearly increase in the Earth-Moon distance. \n1.0 \n \n \n3h We now use that \nt\nI\nE\nE\n\n\n\n\n1\n\n\n \nfrom where we get  \nE\nE\nI\nt\n\n\n\n\n\n1\n \nthat for \n7\n10\n1.3 \n\nt\n s = 1 year gives \n14\n1\n10\n6.1\n\n\n\n\n\nE\n\ns-1.  \nIf \nE\nP is the period of time considered, we have that: \nE\nE\nE\nE\nP\nP\n\n1\n\n\n\n\n \nsince \n4\n10\n64\n.8\n1\n\n\nday\nPE\ns, we get \n5\n10\n9.1\n\n\n\nE\nP\ns. \nThis is the amount of time that the day lengthens in a year.  \n \n1.0 \n \n \n4. Where is the energy going? \n \n \n4a The present total (rotational plus gravitational) energy of the system is: \n1\n2\n1\n2\n1\n2\n1\n2\n1\nD\nM\nM\nG\nI\nI\nE\nM\nE\nM\nM\nE\nE\n\n\n\n\n\n. \nUsing that  \nE\nM\nM\nG\nD \n3\n1\n2\n1\n\n, we get \n0.4 \n\n1\n2\n1\n2\n1\n2\n1\nD\nM\nM\nG\nI\nE\nM\nE\nE\nE\n\n\n\n \n \n4b \n1\n2\n1\n1\n1\n2\n1\nD\nD\nM\nM\nG\nI\nE\nM\nE\nE\nE\nE\n\n\n\n\n\n\n\n, that gives \n19\n10\n0.9\n\n\n\nE\nJ \n0.4 \n \n4c \nwater\no\nwater\nh\nr\nM\n\n\n\n\n\n2\n4\nkg = \n17\n10\n6.2\n\nkg. \n0.2 \n \n \n4d \n19\n1\n10\n3.9\n1.0\n365\n2\n5.0\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\ndays\nday\nm\nM\ng\nE\nwater\nwater\nJ. Then, the \ntwo energy estimates are comparable. \n0.3 \n \n \n \n","shared":false,"sourcePages":[1,2,3,4]}},{"id":"ipho-2005-t2","importedOn":"2026-10-28","language":"en","sources":[{"url":"https://www.ipho-new.org/download/549/","kind":"statement","archiveMember":"2005/IPhO_2005_Theo_question 2(pdf).pdf"},{"url":"https://www.ipho-new.org/download/549/","kind":"solution","archiveMember":"2005/IPhO_2005_Theo_solution 2(pdf).pdf"}],"statement":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/ipho-2005-t2-statement/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/ipho-2005-t2-statement/page-1.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2005-t2-statement/page-2.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2005-t2-statement/page-3.webp","width":982,"height":1389}],"text":"36th International Physics Olympiad. Salamanca (España) 2005 \n \nTh 2   Page 1 of 3 \n \nR.S.E.F. \nTh 2     ABSOLUTE MEASUREMENTS OF ELECTRICAL QUANTITIES \n \nThe technological and scientific transformations underwent during the XIX century produced a compelling need of \nuniversally accepted standards for the electrical quantities. It was thought the new absolute units should only rely on the \nstandards of length, mass and time established after the French Revolution. An intensive experimental work to settle the \nvalues of these units was developed from 1861 until 1912. We propose here three case studies. \nMarks are indicated at the beginning of each subquestion, in parenthesis. \n \n \nDetermination of the ohm (Kelvin) \nA closed circular coil of N turns, radius a and total resistance R is rotated with \nuniform angular velocity ω about a vertical diameter in a horizontal magnetic \nfield\ni\nB\nB\nr\nr\n0\n0 =\n. \n1. (0.5+1.0) Compute the electromotive force ε induced in the coil, and also the \nmean power1 P required for maintaining the coil in motion. Neglect the coil \nself inductance. \nA small magnetic needle is placed at the center of the coil, as shown in Figure F-1. It \nis free to turn slowly around the Z axis in a horizontal plane, but it cannot follow the rapid \nrotation of the coil. \n2. (2.0) Once the stationary regime is reached, the needle will set at a direction making a small angle θ with\n0\nB\nr\n. \nCompute the resistance R of the coil in terms of this angle and the other parameters of the system. \nLord Kelvin used this method in the 1860s to set the absolute standard for the ohm. To avoid the rotating coil, \nLorenz devised an alternative method used by Lord Rayleigh and Ms. Sidgwick, that we analyze in the next paragraphs. \n \nDetermination of the ohm (Rayleigh, Sidgwick). \nThe experimental setup is shown in Figure   \nF-2. It consists of two identical metal disks D and D' \nof radius b mounted on the conducting shaft SS'. A \nmotor rotates the set at an angular velocity ω , which \ncan be adjusted for measuring R. Two identical coils \nC and C' (of radius a and with N turns each) \nsurround the disks. They are connected in such a \nform that the current I flows through them in \nopposite directions. The whole apparatus serves to \nmeasure the resistance R.  \n \n                                                 \n1 The mean value X of a quantity \n( )t\nX\n in a periodic system of period T is  \n( )\n∫\n=\nT\ndt\nt\nX\nT\nX\n0\n1\n \nYou may need one or more of these integrals: \n \n0\n2\n0\n2\n0\n2\n0\ncos\nsin\ncos\nsin\n=\n=\n=\n∫\n∫\n∫\nπ\nπ\nπ\ndx\nx\nx\ndx\nx\ndx\nx\n,   \nπ\nπ\nπ\n=\n=∫\n∫\n2\n0\n2\n2\n0\n2\ncos\nsin\ndx\nx\ndx\nx\n,   and later   \n1\n1\n1\nn\nn\nn\nx dx\nx +\n+\n=\n∫\n \n \nG \nD\n4 \nC\nC'\nS'\nS\nF-2 \nD'\n1 \n2 \nω \nR \nI \n3 \nX \nZ \nF-1\n0\nB\nr \nθ\nω \n\n36th International Physics Olympiad. Salamanca (España) 2005 \n \nTh 2   Page 2 of 3 \n \nR.S.E.F. \n3.  (2.0) Assume that the current I flowing through the coils C and C' creates a uniform magnetic field B around D \nand D', equal to the one at the centre of the coil. Compute1 the electromotive force ε induced between the rims 1 \nand 4, assuming that the distance between the coils is much larger than the radius of the coils and that a >> b. \nThe disks are connected to the circuit by brush contacts at their rims 1 and 4. The galvanometer G detects the flow \nof current through the circuit 1-2-3-4. \n4.  (0.5) The resistance R is measured when G reads zero. Give R in terms of the physical parameters of the system.  \nDetermination of the ampere \nPassing a current through two conductors and measuring the force between them provides an absolute determination \nof the current itself. The “Current Balance” designed by Lord Kelvin in 1882 exploits this method. It consists of six \nidentical single turn coils C1… C6 of radius a, connected in series. As shown in Figure F-3, the fixed coils C1, C3, C4, and \nC6 are on two horizontal planes separated by a small distance 2h. The coils C2 and C5 are carried on balance arms of length \nd, and they are, in equilibrium, equidistant from both planes.  \nThe current I flows through the various coils in such a direction that the magnetic force on C2 is upwards while that \non C5 is downwards. A mass m at a distance x from the fulcrum O is required to restore the balance to the equilibrium \nposition described above when the current flows through the circuit. \n5. (1.0) Compute the force F on C2 due to the magnetic interaction with C1. For simplicity assume that the force per \nunit length is the one corresponding to two long, straight wires carrying parallel currents.  \n6. (1.0) The current I is measured when the balance is in equilibrium. Give the value of I in terms of the physical \nparameters of the system. The dimensions of the apparatus are such that we can neglect the mutual effects of the \ncoils on the left and on the right. \nLet M   be the mass of the balance (except for m and the hanging parts), G its centre of mass and l the distance \n.\nOG \n7. (2.0) The balance equilibrium is stable against deviations producing small changes \nz\nδ\n in the height of C2 and \nz\nδ\n−\n in C5. Compute2 the maximum value \nmax\nz\nδ\n so that the balance still returns towards the equilibrium \nposition when it is released. \n \n                                                 \n2 Consider that the coils centres remain approximately aligned.  \nUse the approximations  \n2\n1\n1\n1\nβ\nβ\nβ\n+\n≈\n±\nm\n  or \n2\n2\n1\n1\n1\nβ\nβ\nm\n≈\n±\n  for  \n1\n<<\nβ\n, and \nθ\nθ\ntan\nsin\n≈\n for small θ. \nx \nm \nd \nC1 \nC2 \nC3 \nh \nh \nF\nF\nF \nF \nd \nO \nG \nC6 \nC5 \nC4 \nl \nF-3 \nI \n\n36th International Physics Olympiad. Salamanca (España) 2005 \n \nTh 2   Page 3 of 3 \n \nR.S.E.F. \nCOUNTRY CODE \nSTUDENT CODE \nPAGE NUMBER \nTOTAL No OF PAGES \n \n \n \n \n \n \nTh 2     ANSWER SHEET \n \n \nQuestion \nBasic formulas used \nAnalytical results \nMarking \nguideline \n \n1 \n \n \nε = \n=\nP\n \n \n1.5 \n \n2 \n \n \nR = \n \n2.0 \n \n3 \n \n \nε = \n \n2.0 \n \n4 \n \n \nR = \n \n0,5 \n \n5 \n \n \nF = \n \n1.0 \n \n6 \n \n \nI = \n \n1.0 \n \n7 \n  \n \n=\nmax\nz\nδ\n \n \n2.0 \n \n","shared":false,"sourcePages":[1,2,3]},"solution":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/ipho-2005-t2-solution/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/ipho-2005-t2-solution/page-1.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2005-t2-solution/page-2.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2005-t2-solution/page-3.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2005-t2-solution/page-4.webp","width":982,"height":1389}],"text":"36th International Physics Olympiad. Salamanca (España) 2005 \n \n \nSolution Th 2   Page 1 of 4 \nR.S.E.F. \nTh 2     ABSOLUTE MEASUREMENTS OF ELECTRICAL QUANTITIES  \nSOLUTION \n \n1. After some time t, the normal to the coil plane makes an angle ω t with the magnetic field \ni\nB\nB\nr\nr\n0\n0 =\n. Then, the \nmagnetic flux through the coil is \n \n \nS\nB\nN\nr\nr\n⋅\n=\n0\nφ\n \nwhere the vector surface S\nr\n is given by \n(\n)j\nt\nit\na\nS\nr\nr\nr\nω\nω\nπ\nsin\ncos\n2\n+\n=\n \nTherefore \nt\nB\na\nN\nω\nπ\nφ\ncos\n0\n2\n=\n \nThe induced electromotive force is  \n \n \n \ndt\ndφ\nε\n−\n=\n \n⇒ \n \nt\nB\na\nN\nω\nω\nπ\nε\nsin\n0\n2\n=\n \nThe instantaneous power is \n=\nP\nε 2 /R , therefore \n \n \n(\n)\nR\nB\na\nN\nP\n2\n2\n0\n2\nω\nπ\n=\n  \nwhere we used  \n2\n1\nsin\n1\nsin\n0\n2\n2\n=\n>=\n<\n∫\nT\ndt\nt\nT\nt\nω\nω\n \n \n2. The total field at the center the coil at the instant t is  \n \n \ni\nt\nB\nB\nB\nr\nr\nr\n+\n=\n0\n \nwhere \ni\nB\nr\n is the magnetic field due to the induced current \n(\n)j\nt\nit\nB\nB\ni\ni\nr\nr\nr\nω\nω\nsin\ncos\n+\n=\n \nwith  \na\nI\nN\nBi\n2\n0\nµ\n=\n \nand \nI = ε / R \nTherefore \nt\nR\nB\na\nN\nBi\nω\nω\nπ\nµ\nsin\n2\n0\n2\n0\n=\n \nThe mean values of its components are \n \n  \nR\nB\na\nN\nt\nR\nB\na\nN\nB\nt\nt\nR\nB\na\nN\nB\niy\nix\n4\nsin\n2\n0\ncos\nsin\n2\n0\n2\n0\n2\n0\n2\n0\n0\n2\n0\nω\nπ\nµ\nω\nω\nπ\nµ\nω\nω\nω\nπ\nµ\n=\n=\n=\n=\n \nAnd the mean value of the total magnetic field is  \n \n  \nj\nR\nB\na\nN\ni\nB\nBt\nr\nr\nr\n4\n0\n2\n0\n0\nω\nπ\nµ\n+\n=\n \nThe needle orients along the mean field, therefore  \n \n  \nR\na\nN\n4\ntan\n2\n0\nω\nπ\nµ\nθ =\n \n \n \n\n36th International Physics Olympiad. Salamanca (España) 2005 \n \n \nSolution Th 2   Page 2 of 4 \nR.S.E.F. \n \nFinally, the resistance of the coil measured by this procedure, in terms of θ , is \n \n  \nθ\nω\nπ\nµ\ntan\n4\n2\n0\na\nN\nR =\n \n3. The force on a unit positive charge in a disk is radial and its modulus is \n \n  \nB\nr\nB\nv\nB\nv\nω\n=\n=\n×\nr\nr\n  \nwhere B is the magnetic field at the center of the coil \n \n  \na\nI\nN\nB\n2\n0\nµ\n=\n \nThen, the electromotive force (e.m.f.) induced on each disk by the magnetic field B is \n \n \n \n∫\n=\n=\n=\nb\nD\nD\nb\nB\ndr\nr\nB\n0\n2\n'\n2\n1\nω\nω\nε\nε\n \n \n \nFinally, the induced e.m.f. between 1 and 4 is ε = εD + ε D'  \n \n  \na\nI\nb\nN\n2\n2\n0\nω\nµ\nε =\n \n \n4. When the reading of G vanishes, \n0\n=\nG\nI\n and Kirchoff laws give an immediate answer. Then we have  \n \n  \nR\nI\n=\nε\n  \n⇒ \na\nb\nN\nR\n2\n2\n0\nω\nµ\n=\n \n \n5. The force per unit length f between two indefinite parallel straight wires separated by a distance h is.  \n \n  \nh\nI\nI\nf\n2\n1\n0\n2π\nµ\n=\n \n \nfor  \nI\nI\nI\n=\n=\n2\n1\n  and length \na\nπ\n2\n, the force F induced on C2 by the neighbor coils C1 is \n \n  \n2\n0\nI\nh\na\nF\nµ\n=\n \n \n6. In equilibrium \n \n  \nd\nF\nx\ng\nm\n4\n=\n  \n \nThen \n \n  \n2\n0\n4\nI\nh\nd\na\nx\ng\nm\nµ\n=\n \n \n(1) \n \nso that \n \n \n  \n2\n1\n0\n4\n/\nd\na\nx\nh\ng\nm\nI\n⎟⎟\n⎠\n⎞\n⎜⎜\n⎝\n⎛\n=\nµ\n \n \n \n\n36th International Physics Olympiad. Salamanca (España) 2005 \n \n \nSolution Th 2   Page 3 of 4 \nR.S.E.F. \n \n7. The balance comes back towards the equilibrium position for a little angular deviation δϕ  if the gravity torques with \nrespect to the fulcrum O are greater than the magnetic torques. \n \n \n \nδϕ\nδ\nδ\nµ\nδϕ\nδϕ\ncos\n1\n1\n2\ncos\nsin\n2\n0\nd\nz\nh\nz\nh\nI\na\nx\ng\nm\nl\nMg\n⎟⎟\n⎠\n⎞\n⎜⎜\n⎝\n⎛\n+\n+\n−\n>\n+\n \nTherefore, using the suggested approximation \n \n \nδϕ\nδ\nµ\nδϕ\nδϕ\ncos\n1\n4\ncos\nsin\n2\n2\n2\n0\n⎟⎟\n⎠\n⎞\n⎜⎜\n⎝\n⎛\n+\n>\n+\nh\nz\nh\nI\nd\na\nx\ng\nm\nl\nMg\n \nTaking into account the equilibrium condition (1), one obtains \n \n \nδϕ\nδ\nδϕ\ncos\nh\nz\nx\ng\nm\nsin\nl\ng\nM\n2\n2\n>\n \n \nFinally, for \nd\nz\nδ\nϕ\nδ\nϕ\nδ\n=\n≈sin\ntan\n \n \n \nd\nx\nm\nh\nl\nM\nz\n2\n<\nδ\n \n⇒ \nd\nx\nm\nh\nl\nM\nz\n2\nmax =\nδ\n \nO \nl \nx \nδϕ\nδϕ\nδ z \nh + δ z \nh - δ z \nh + δ z \nh - δ z \nMg\nmg\nd \nG \n\n36th International Physics Olympiad. Salamanca (España) 2005 \n \n \nSolution Th 2   Page 4 of 4 \nR.S.E.F. \n \n \nTh 2     ANSWER SHEET \n \nQuestion \nBasic formulas and ideas used \nAnalytical results \nMarking \nguideline \n \n1 \n \nR\nP\ndt\nd\nS\nB\nN\n2\n0\nε\nε\nΦ\nΦ\n=\n−\n=\n⋅\n=\nr\nr\n \n(\n)\nR\nB\na\nN\nP\nt\nB\na\nN\n2\nsin\n2\n0\n2\n0\n2\nω\nπ\nω\nω\nπ\nε\n=\n=\n \n0.5 \n1.0 \n \n2 \n \nx\ny\ni\ni\nB\nB\nI\na\nN\nB\nB\nB\nB\n=\n=\n+\n=\nθ\nµ\ntan\n2\n0\n0\nr\nr\nr\n \n \nθ\nω\nπ\nµ\ntan\n4\n2\n0\na\nN\nR =\n \n \n2.0 \n \n3 \n \nr\nv\nB\nv\nE\nω\n=\n×\n=\nr\nr\nr\n \na\nI\nN\nB\n2\n0\nµ\n=\n \n∫\n=\nb\nr\nd\nE\n0\nr\nr\nε\n \n \na\nI\nb\nN\n2\n2\n0\nω\nµ\nε =\n \n \n2.0 \n4 \n \nI\nR\n=\nε\n \n \na\nb\nN\nR\n2\n2\n0\nω\nµ\n=\n \n0,5 \n5 \n \nh\nI\nI\nf\n′\n=\nπ\nµ\n2\n0\n \n \n2\n0\nI\nh\na\nF\nµ\n=\n \n1.0 \n6 \n \nd\nF\nx\ng\nm\n4\n=\n \n  \n2\n1\n0\n4\n/\nd\na\nx\nh\ng\nm\nI\n⎟⎟\n⎠\n⎞\n⎜⎜\n⎝\n⎛\n=\nµ\n \n \n1.0 \n7 \n \nmag\ngrav\nΓ\nΓ\n>\n \n  \nd\nx\nm\nh\nl\nM\nz\n2\nmax =\nδ\n \n \n2.0 \n \n  \n","shared":false,"sourcePages":[1,2,3,4]}},{"id":"ipho-2009-t2","importedOn":"2026-10-28","language":"en","sources":[{"url":"https://www.ipho-new.org/download/561/","kind":"statement","archiveMember":"2009/IPhO_2009_Theo_Problem 2.pdf"},{"url":"https://www.ipho-new.org/download/561/","kind":"solution","archiveMember":"2009/IPhO_2009_Theo_Solution 2.pdf"}],"statement":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/ipho-2009-t2-statement/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/ipho-2009-t2-statement/page-1.webp","width":1010,"height":1307},{"src":"/corpus/documents/ipho-2009-t2-statement/page-2.webp","width":1010,"height":1307},{"src":"/corpus/documents/ipho-2009-t2-statement/page-3.webp","width":1010,"height":1307},{"src":"/corpus/documents/ipho-2009-t2-statement/page-4.webp","width":1010,"height":1307},{"src":"/corpus/documents/ipho-2009-t2-statement/page-5.webp","width":1010,"height":1307},{"src":"/corpus/documents/ipho-2009-t2-statement/page-6.webp","width":1010,"height":1307}],"text":"THEORETICAL PROBLEM 2 \n \nDOPPLER LASER COOLING AND OPTICAL MOLASSES \n \nThe purpose of this problem is to develop a simple theory to understand the so-called \n“laser cooling” and “optical molasses” phenomena. This refers to the cooling of a beam \nof neutral atoms, typically alkaline, by counterpropagating laser beams with the same \nfrequency. This is part of the Physics Nobel Prize awarded to S. Chu, P. Phillips and C. \nCohen-Tannoudji in 1997. \n \n \n \n \nThe image above shows sodium atoms (the bright spot in the center) trapped at the \nintersection of three orthogonal pairs of opposing laser beams. The trapping region is \ncalled “optical molasses” because the dissipative optical force resembles the viscous \ndrag on a body moving through molasses. \n \nIn this problem you will analyze the basic phenomenon of the interaction between a \nphoton incident on an atom and the basis of the dissipative mechanism in one \ndimension. \n \n \nPART I: BASICS OF LASER COOLING \n \nConsider an atom of mass m moving in the +x direction with velocity v. For \nsimplicity, we shall consider the problem to be one-dimensional, namely, we shall \nignore the y and z directions (see figure 1). The atom has two internal energy levels. \nThe energy of the lowest state is considered to be zero and the energy of the excited \nstate to be   hω0, where \nπ\n2\n/\nh\n=\nh\n. The atom is initially in the lowest state. A laser beam \nwith frequency ωL in the laboratory is directed in the −x direction and it is incident on \nthe atom. Quantum mechanically the laser is composed of a large number of photons, \neach with energy   hωL and momentum   −hq. A photon can be absorbed by the atom and \nlater spontaneously emitted; this emission can occur with equal probabilities along the \n+x and −x directions. Since the atom moves at non-relativistic speeds, v /c <<1 (with \nc the speed of light) keep terms up to first order in this quantity only. Consider also \n1\n/\n<<\nmv\nq\nh\n, namely, that the momentum of the atom is much larger than the \n\nmomentum of a single photon. In writing your answers, keep only corrections linear in \neither of the above quantities. \n \n \n \nFig.1 Sketch of an atom of mass m with velocity v in the +x direction, colliding with a \nphoton with energy   hωL and momentum   −hq. The atom has two internal states with \nenergy difference   hω0. \n \nAssume that the laser frequency ωL is tuned such that, as seen by the moving atom, it is \nin resonance with the internal transition of the atom.  Answer the following questions:  \n \n1. Absorption. \n \n1a Write down the resonance condition for the absorption of the photon.  \n0.2 \n \n1b Write down the momentum pat of the atom after absorption, as seen in the \nlaboratory.  \n0.2 \n \n1c Write down the total energy εat of the atom after absorption, as seen in the \nlaboratory. \n0.2 \n \n \n2. Spontaneous emission of a photon in the −x direction. \n \nAt some time after the absorption of the incident photon, the atom may emit a photon in \nthe −x direction.  \n \n2a Write down the energy of the emitted photon, εph, after the emission \nprocess in the −x direction, as seen in the laboratory.  \n0.2 \n \n2b Write down the momentum of the emitted photon pph, after the emission \nprocess in the −x direction, as seen in the laboratory. \n0.2 \n \n\n \n2c Write down the momentum of the atom pat, after the emission process in \nthe −x direction, as seen in the laboratory. \n0.2 \n \n \n2d Write down the total energy of the atom εat, after the emission process in \nthe −x direction, as seen in the laboratory. \n0.2 \n \n \n3. Spontaneous emission of a photon in the +x direction.  \n \nAt some time after the absorption of the incident photon, the atom may instead emit  a \nphoton in the \nx\n+\n direction.  \n \n3a Write down the energy of the emitted photon, εph, after the emission \nprocess in the \nx\n+\n direction, as seen in the laboratory.  \n0.2 \n \n3b Write down the momentum of the emitted photon pph, after the emission \nprocess in the \nx\n+\n direction, as seen in the laboratory. \n0.2 \n \n \n3c Write down the momentum of the atom pat, after the emission process in \nthe \nx\n+\ndirection, as seen in the laboratory. \n0.2 \n \n \n3d Write down the total energy of the atom εat, after the emission process in \nthe \nx\n+\n direction, as seen in the laboratory. \n0.2 \n \n \n4. Average emission after the absorption. \n \nThe spontaneous emission of a photon in the \nx\n−\n or  in the \nx\n+\n directions occurs with \nthe same probability. Taking this into account, answer the following questions. \n \n4a Write down the average energy of an emitted photon, εph, after the \nemission process. \n0.2 \n \n4b Write down the average momentum of an emitted photon pph, after the \nemission process. \n0.2 \n \n \n4c Write down the average total energy of the atom εat, after the emission \nprocess. \n0.2 \n\n \n4d Write down the average momentum of the atom pat, after the emission \nprocess. \n0.2 \n \n5. Energy and momentum transfer. \n \nAssuming a complete one-photon absorption-emission process only, as described \nabove, there is a net average momentum and energy transfer between the laser radiation \nand the atom.  \n \n5a Write down the average energy change ∆ε of the atom after a complete \none-photon absorption-emission process. \n0.2 \n \n \n5b Write down the average momentum change ∆p of the atom after a \ncomplete one-photon absorption-emission process. \n0.2 \n \n6. Energy and momentum transfer by a laser beam along the +x direction. \n \nConsider now that a laser beam of frequency \n′ \nω L is incident on the atom along the +x \ndirection, while the atom moves also in the +x direction with velocity v. Assuming a  \nresonance condition between the internal transition of the atom and the laser beam, as \nseen by the atom, answer the following questions: \n \n6a Write down the average energy change ∆ε of the atom after a complete \none-photon absorption-emission process. \n0.3 \n \n \n6b Write down the average momentum change ∆p of the atom after a \ncomplete one-photon absorption-emission process. \n0.3 \n \n \nPART II: DISSIPATION AND THE FUNDAMENTALS OF OPTICAL \nMOLASSES \n \nNature, however, imposes an inherent uncertainty in quantum processes. Thus, the fact \nthat the atom can spontaneously emit a photon in a finite time after absorption, gives \nas a result that the resonance condition does not have to be obeyed exactly as in the \ndiscussion above. That is, the frequency of the laser beams ωL and \n′ \nω L may have any \nvalue and the absorption-emission process can still occur. These will happen with \ndifferent (quantum) probabilities and, as one should expect, the maximum probability \nis found at the exact resonance condition. On the average, the time elapsed between a \nsingle process of absorption and emission is called the lifetime of the excited energy \nlevel of the atom and it is denoted byΓ−1. \n \nConsider a collection of N atoms at rest in the laboratory frame of reference, and a \n\nlaser beam of frequency ωL incident on them. The atoms absorb and emit \ncontinuously such that there is, on average, Nexc atoms in the excited state (and \ntherefore, N −Nexc atoms in the ground state). A quantum mechanical calculation \nyields the following result:  \nNexc = N\nΩR\n2\nω0 −ωL\n(\n)\n2 + Γ2\n4 + 2ΩR\n2\n \n \nwhere ω0 is the resonance frequency of the atomic transition and ΩR is the so-called \nRabi frequency; ΩR\n2 is proportional to the intensity of the laser beam. As mentioned \nabove, you can see that this number is different from zero even if the resonance \nfrequency ω0 is different from the frequency of the laser beamωL. An alternative way \nof expressing the previous result is that the number of absorption-emission processes \nper unit of time is NexcΓ. \n \n \nConsider the physical situation depicted in Figure 2, in which two counter propagating \nlaser beams with the same but arbitrary frequency ωL are incident on a gas of N \natoms that move in the +x direction with velocityv. \n \n \nFigure 2. Two counter propagating laser beams with the same but arbitrary frequency \nωL are incident on a gas of N atoms that move in the +x direction with velocityv.  \n \n7. Force on the atomic beam by the lasers. \n \n7a With the information found so far, find the force that the lasers exert on \nthe atomic beam. You should assume that \nq\nmv\nh\n>>\n. \n1.5 \n \n8. Low velocity limit. \n \nAssume now that the velocity of the atoms is small enough, such that you can expand \nthe force up to first order in v. \n \n8a Find an expression for the force found in Question (7a), in this limit. \n1.5 \n \nUsing this result, you can find the conditions for speeding up, slowing down, or no \neffect at all on the atoms by the laser radiation. \n \n\n8b Write down the condition to obtain a positive force (speeding up the \natoms). \n0.25 \n \n \n8c Write down the condition to obtain a zero force. \n0.25 \n \n \n8d Write down the condition to obtain a negative force (slowing down the \natoms). \n0.25 \n \n8e Consider now that the atoms are moving with a velocity \nv\n−\n (in the \nx\n−\n \ndirection). Write down the condition to obtain a slowing down force on \nthe atoms. \n0.25 \n \n \n9. Optical molasses. \n \nIn the case of a negative force, one obtains a frictional dissipative force. Assume that \ninitially, at\n0\n=\nt\n, the gas of atoms has velocity \n0v . \n \n9a In the limit of low velocities, find the velocity of the atoms after the laser \nbeams have been on for a timeτ .  \n1.5 \n \n \n9b Assume now that the gas of atoms is in thermal equilibrium at a \ntemperatureT0. Find the temperature T after the laser beams have been \non for a timeτ . \n0.5 \n \nThis model does not allow you to go to arbitrarily low temperatures. \n","shared":false,"sourcePages":[1,2,3,4,5,6]},"solution":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/ipho-2009-t2-solution/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/ipho-2009-t2-solution/page-1.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2009-t2-solution/page-2.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2009-t2-solution/page-3.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2009-t2-solution/page-4.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2009-t2-solution/page-5.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2009-t2-solution/page-6.webp","width":982,"height":1389}],"text":"THEORETICAL PROBLEM 2 \n \nSOLUTION \n \nDOPPLER LASER COOLING AND OPTICAL MOLASSES \n \nThe key to this problem is the Doppler effect (to be precise, the longitudinal Doppler \neffect): The frequency of a monochromatic beam of light detected by an observer \ndepends on its state of motion relative to the emitter, i.e. the observed frequency is \n \n\n\n\n\n\n\n\n\nc\nv\nc\nv\nc\nv\n1\n/\n1\n/\n1\n\n\n\n\n \n \nwhere v is the relative speed of emitter and observer and  the frequency of the \nemitter. The upper-lower signs correspond, respectively, when source and observer \nmove towards or away from each other. The second equality holds in the limit of low \nvelocities (non-relativistic limit). \n \nThe frequency of the laser in the lab is L; 0 is the transition frequency of the atom; \nthe atom moves with speed v towards the incident direction of the laser: \n \nIt is important to point out that the results must be given to first significant order in v /c \nor \nmv\nq/\n\n. \n \nPART I: BASICS OF LASER COOLING \n \n1. Absorption. \n \n1a Write down the resonance condition for the absorption of the photon.  \n\n\n\n\n\nc\nv\nL 1\n0\n\n\n \n0.2 \n \n1b Write down the momentum pat of the atom after absorption, as seen in the \nlaboratory \nc\nmv\nq\np\np\nL\nat\n\n\n\n\n\n\n\n \n0.2 \n \n1c Write down the energy at of the atom after absorption, as seen in the \nlaboratory \n \nL\nat\nat\nmv\nm\np\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n2\n2\n2\n0\n2\n \n0.2 \n \n \n \n \n \n \n\n2. Spontaneous emission in the x direction. \n \n \nFirst, one calculates the energy of the emitted photon, as seen in the lab reference frame. \nOne must be careful to keep the correct order; this is because the velocity of the atom \nchanges after the absorption, however, this is second order correction for the emitted \nfrequency: \n \nm\nq\nv\nv\nc\nv\nph\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n   \n     with \n1\n0\n\n\n \nthus, \nL\nL\nL\nL\nph\nc\nv\nmv\nq\nmc\nq\nmc\nq\nc\nv\nc\nv\nmc\nq\nc\nv\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n     \n1\n     \n1\n     \n \n1\n1\n     \n \n1\n0\n\n\n\n\n \n \n2a Write down the energy of the emitted photon, ph, after the emission \nprocess in the x direction, as seen in the laboratory.  \nL\nph\n\n\n\n\n \n0.2 \n \n2b Write down the momentum of the emitted photon pph, after the emission \nprocess in the x direction, as seen in the laboratory. \nc\np\nL\nph\n/\n\n\n\n\n \n0.2 \n \nUse conservation of momentum (see 1b): \n  \nq\np\np\np\nph\nat\n\n\n\n\n \n \n2c Write down the momentum of the atom pat, after the emission process in \nthe x direction, as seen in the laboratory. \npat p mv \n0.2 \n \n \n2d Write down the energy of the atom at, after the emission process in the \nx direction, as seen in the laboratory. \n \nat p2\n2m mv2\n2 \n0.2 \n \n \n\n3. Spontaneous emission in the x direction. \n \nThe same as in the previous questions, keeping the right order \n \n3a Write down the energy of the emitted photon, ph, after the emission \nprocess in the \nx\n\n direction, as seen in the laboratory. \n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nc\nv\nc\nv\nc\nv\nc\nv\nL\nL\nph\n2\n1\n1\n1\n1\n0\n\n\n\n\n\n\n\n \n0.2 \n \n3b Write down the momentum of the emitted photon pph, after the emission \nprocess in the \nx\n\n direction, as seen in the laboratory. \n\n\n\n\n\nc\nv\nc\np\nL\nph\n2\n1\n\n\n \n0.2 \n \n \n3c Write down the momentum of the atom pat, after the emission process in \nthe \nx\n\ndirection, as seen in the laboratory. \nc\nmv\nc\nv\nc\nq\np\np\nq\np\np\nL\nL\nph\nat\n\n\n\n\n\n\n2\n2\n1\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n \n0.2 \n \n \n3d Write down the energy of the atom at, after the emission process in the \nx\n\n direction, as seen in the laboratory. \n\n\n\n\n\n\nmv\nq\nmv\nm\npat\nat\n\n2\n1\n2\n2\n2\n2\n\n \n0.2 \n \n \n4. Average emission after absorption. \n \nThe spontaneous emission processes occur with equal probabilities in both directions. \n \n4a Write down the average energy of an emitted photon, ph, after the \nemission process. \n\n\n\n\n\n\n\n\n\nc\nv\nL\nph\nph\nph\n1\n2\n1\n2\n1\n\n\n\n\n\n \n0.2 \n \n4b Write down the average momentum of an emitted photon pph, after the \nemission process. \norder\n \nsecond\n    \n0\n2\n1\n2\n1\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nc\nv\nmv\nq\nmv\nc\nv\nc\np\np\np\nL\nph\nph\nph\n\n\n \n0.2 \n \n \n4c Write down the average energy of the atom at, after the emission process. \n\n\n\n\n\n\n\n\n\nmv\nq\nmv\nat\nat\nat\n\n1\n2\n2\n1\n2\n1\n2\n\n\n\n \n0.2 \n\n \n \n4d Write down the average momentum of the atom pat, after the emission \nprocess. \nc\np\np\np\np\nL\nat\nat\nat\n\n\n\n\n\n\n\n\n2\n1\n2\n1\n \n0.2 \n \n \n \n5. Energy and momentum transfer. \n \nAssuming a complete one-photon absorption-emission process only, as described \nabove, there is a net average momentum and energy transfer between the laser and the \natom. \n \n5a Write down the average energy change  of the atom after a complete \none-photon absorption-emission process. \nc\nv\nqv\nL\nbefore\nat\nafter\nat\n\n\n\n\n\n\n2\n1\n2\n1\n\n\n\n\n\n\n\n \n0.2 \n \n \n5b Write down the average momentum change p of the atom after a \ncomplete one-photon absorption-emission process. \nc\nq\np\np\np\nL\nbefore\nat\nafter\nat\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n \n0.2 \n \n6. Energy and momentum transfer by a laser beam along the x direction. \n \n \n6a Write down the average energy change  of the atom after a complete \none-photon absorption-emission process. \nc\nv\nqv\nL\nbefore\nat\nafter\nat\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n2\n1\n2\n1\n \n0.3 \n \n \n6b Write down the average momentum change p of the atom after a \ncomplete one-photon absorption-emission process. \nc\nq\np\np\np\nL\nbefore\nat\nafter\nat\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n \n0.3 \n \n \nPART II: DISSIPATION AND THE FUNDAMENTALS OF OPTICAL \nMOLASSES \n \n \nTwo counterpropagating laser beams with the same but arbitrary frequency L are \nincident on a beam of N atoms that move in the x direction with (average) velocity \nv. \n\n7. Force on the atomic beam by the lasers. \n \nOn the average, the fraction of atoms found in the excited state is given by, \n \nPexc Nexc\nN \nR\n2\n0 L\n\n\n2 2\n4 2R\n2\n \n \nwhere 0 is the resonance frequency of the atoms and R is the so-called Rabi \nfrequency; R\n2 is proportional to the intensity of the laser beam. The lifetime of the \nexcited energy level of the atom is1. \n \nThe force is calculated as the number of absorption-emission cycles, times the \nmomentum exchange in each event, divided by the time of each event. CAREFUL! \nOne must take into account the Doppler shift of each laser, as seen by the atoms: \n \n \n7a With the information found so far, find the force that the lasers exert on \nthe atomic beam. You must assume that \nq\nmv\n\n\n. \nq\nN\nc\nv\nc\nv\nP\np\nN\nP\np\nN\nF\nR\nL\nL\nR\nR\nL\nL\nR\nexc\nexc\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n2\n2\n2\n0\n2\n2\n2\n2\n0\n2\n2\n4\n2\n4\n\n\n\n\n\n\n \n1.5 \n \n8. Low velocity limit. \n \nAssume now the velocity to be small enough in order to expand the force to first order \nin v. \n \n8a Find an expression for the force found in Question (7a), in this limit. \n\n\nv\nq\nN\nF\nL\nR\nL\nR\n)\n(\n2\n4\n4\n0\n2\n2\n2\n2\n0\n2\n2\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n \n1.5 \n \n \n8b Write down the condition to obtain a positive force (speeding up the \natom).   0 L \n0.25 \n \n \n8c Write down the condition to obtain a zero force. \n0 L \n0.25 \n \n \n\n8d Write down the condition to obtain a negative force (slowing down the \natom).  \n0 L … this is the famous rule “tune below resonance for cooling \ndown” \n0.25 \n \n \n8e Consider now that the atoms are moving with a velocity \nv\n (in the \nx\n\n \ndirection). Write down the condition to obtain a slowing down force on \nthe atoms. \n0 L … i.e. independent of the direction motion of the atom. \n0.25 \n \n \n9. Optical molasses \n \nIn the case of a negative force, one obtains a frictional dissipative force. Assume that \ninitially,\n0\n\nt\n, the gas of atoms has velocity \n0v .  \n \n9a In the limit of low velocities, find the velocity of the atoms after the laser \nbeams have been on for a time.  \nF v m dv\ndt v\nv v0et /m\n      can be read from (8a) \n \n1.5 \n \n \n9b Assume now that the gas of atoms is in thermal equilibrium at a \ntemperatureT0. Find the temperature T after the laser beams have been \non for a time. \n \nRecalling that 1\n2 mv2 1\n2 kT in 1 dimension, and using v as the average \nthermal velocity in the equation of (9a), we can write down  \nT T0e2t /m \n0.5 \n \n","shared":false,"sourcePages":[1,2,3,4,5,6]}},{"id":"ipho-2004-t3","importedOn":"2026-10-28","language":"en","sources":[{"url":"https://www.ipho-new.org/download/546/","kind":"statement","archiveMember":"2004/IPhO_2004_Theoretical Question 3.pdf"},{"url":"https://www.ipho-new.org/download/546/","kind":"solution","archiveMember":"2004/IPhO_2004_Theo_solution 3.pdf"}],"statement":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/ipho-2004-t3-statement/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/ipho-2004-t3-statement/page-1.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2004-t3-statement/page-2.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2004-t3-statement/page-3.webp","width":982,"height":1389}],"text":"  Theoretical Question 3  \n \nPage 1/3 \n \n \nTheoretical Question 3 \nAtomic Probe Microscope \n \nAtomic probe microscopes (APMs) are powerful tools in the field of nano-science.  \nThe motion of a cantilever in APM can be detected by a photo-detector monitoring the \nreflected laser beam, as shown in Fig. 3.1. The cantilever can move only in the vertical \ndirection and its displacement z as a function of time t can be described by the \nequation \n \nF\nkz\ndt\ndz\nb\ndt\nz\nd\nm\n=\n+\n+\n2\n2\n, \n \n \n(3.1) \nwhere m is the cantilever mass, \n2\n0\nω\nm\nk =\n is the spring constant of the cantilever, b \nis a small damping coefficient satisfying \n0\n)\n/\n(\n0\n>\n>>\nm\nb\nω\n, and finally F is an \nexternal driving force of the piezoelectric tube. \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \nFigure 3.1 A schematic diagram for a scanning probe microscope (SPM). \nThe inset in the lower right corner represents a simplified mechanical \nmodel to describe the coupling of the piezotube with the cantilever.  \n \n[Part A] \n(a) [1.5 points] When \nt\nF\nF\nω\nsin\n0\n=\n, \n)\n(t\nz\n satisfying Eq. (3.1) can be written as \n)\nsin(\n)\n(\nφ\nω −\n=\nt\nA\nt\nz\n, where \n0\n>\nA\n and \nπ\nφ ≤\n≤\n0\n. Find the expression of the \nVR \nlock-in \namplifier \npiezotube\nF \nVi\ninput\nreference\nsignal \nm \nphase shifter\nR\nV '\nsample  \nk\nm\npiezotube \nF \nk \nlaser \nz=0 \noutput \nVi=c2z\nphoto-detector\nCantilever\n~ \n\n  Theoretical Question 3  \n \nPage 2/3 \n \n \namplitude A and \nφ\ntan\n in terms of \n0\nF , m , ω , \n0\nω , and b . Obtain A and the \nphase φ at the resonance frequency \n0\nω\nω =\n. \n \n(b) [1 point] A lock-in amplifier shown in Fig.3.1 multiplies an input signal by the lock-\nin reference signal, \nt\nV\nV\nR\nR\nω\nsin\n0\n=\n, and then passes only the dc (direct current) \ncomponent of the multiplied signal. Assume that the input signal is given by \n)\nsin(\n0\ni\ni\ni\ni\nt\nV\nV\nφ\nω −\n=\n. Here \n0\nR\nV\n, \n0\niV , \ni\nω , and \niφ are all positive given constants. Find \nthe condition on ω (>0) for a non-vanishing output signal. What is the expression for \nthe magnitude of the non-vanishing dc output signal at this frequency? \n \n(c) [1.5 points] Passing through the phase shifter, the lock-in reference voltage \nt\nV\nV\nR\nR\nω\nsin\n0\n=\n changes to \n)\n2\n/\nsin(\n'\n0\nπ\nω +\n=\nt\nV\nV\nR\nR\n. \nR\nV' , applied to the piezoelectric \ntube, drives the cantilever with a force \nR\nV\nc\nF\n'\n1\n=\n. Then, the photo-detector converts the \ndisplacement of the cantilever, z , into a voltage \nz\nc\nVi\n2\n=\n. Here \n1c and \n2c are \nconstants. Find the expression for the magnitude of the dc output signal at \n0\nω\nω =\n. \n \n(d) [2 points] The small change \nm\n∆\n of the cantilever mass shifts the resonance \nfrequency by \n0\nω\n∆\n. As a result, the phase φ at the original resonance frequency \n0\nω \nshifts by \nφ\n∆\n. Find the mass change \nm\n∆\n corresponding to the phase shift \n1800\n/\nπ\nφ =\n∆\n, which is a typical resolution in phase measurements. The physical \nparameters of the cantilever are given by \n=\nm\n1.0×10-12 kg, \n0.1\n=\nk\nN/m, and \n=\n)\n/\n(\nm\nb\n1.0×103 \ns-1. \nUse \nthe \napproximations \n(\n)\nax\nx\na\n+\n≈\n+\n1\n1\n and \nx\nx\n/\n1\n)\n/2\n(\ntan \n−\n≈\n+\nπ\n when \n1\n|\n|\n<<\nx\n. \n \n[Part B] \nFrom now on let us consider the situation that some forces, besides the driving force \ndiscussed in Part A, act on the cantilever due to the sample as shown in Fig.3.1.  \n \n(e) [1.5 points] Assuming that the additional force \n)\n(h\nf\n depends only on the distance \nh between the cantilever and the sample surface, one can find a new equilibrium \nposition \n0h . Near \n0h\nh =\n, we can write \n)\n(\n)\n(\n)\n(\n0\n3\n0\nh\nh\nc\nh\nf\nh\nf\n−\n+\n≈\n, where \n3c is a \nconstant in h .  Find the new resonance frequency \n0'\nω in terms of \n0\nω , m , and \n3c . \n \n(f) [2.5 points] While scanning the surface by moving the sample horizontally, the tip of \nthe cantilever charged with \ne\nQ\n6\n=\n encounters an electron of charge \ne\nq =\n trapped \n\n  Theoretical Question 3  \n \nPage 3/3 \n \n \n(localized in space) at some distance below the surface. During the scanning around the \nelectron, the maximum shift of the resonance frequency \n0\nω\n∆\n(\n0\n0'\nω\nω −\n=\n) is observed to \nbe much smaller than \n0\nω . Express the distance \n0\nd from the cantilever to the trapped \nelectron at the maximum shift in terms of m , q , Q , \n0\nω , \n0\nω\n∆\n, and the Coulomb \nconstant \nek . Evaluate \n0\nd in nm (1 nm = \n9\n10\n1\n−\n×\nm) for \n20\n0 =\n∆ω\n s-1.  \nThe physical parameters of the cantilever are \n=\nm\n1.0×10-12 kg and \n0.1\n=\nk\nN/m. \nDisregard any polarization effect in both the cantilever tip and the surface. Note that \n9\n0\n10\n0.9\n4\n/\n1\n×\n=\n=\nπε\nek\n N·m2/C2 and \n19\n10\n6.1\n−\n×\n−\n=\ne\n C.  \n \n \n \n \n \n","shared":false,"sourcePages":[1,2,3]},"solution":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/ipho-2004-t3-solution/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/ipho-2004-t3-solution/page-1.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2004-t3-solution/page-2.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2004-t3-solution/page-3.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2004-t3-solution/page-4.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2004-t3-solution/page-5.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/ipho-2004-t3-solution/page-6.webp","width":982,"height":1389}],"text":"  Theoretical Question 3 / Solutions  \nPage 1/6 \n \n \nTheoretical Question 3: Scanning Probe Microscope \n \n1. Answers \n(a) \n2\n2\n2\n2\n2\n0\n2\n0\n)\n(\nω\nω\nω\nb\nm\nF\nA\n+\n−\n=\n and \n)\n(\ntan\n2\n2\n0\n0\nω\nω\nω\nφ\n−\n= m\nb\n.   At \n0\nω\nω =\n, \n0\n0\nω\nb\nF\nA =\n \nand \n2\nπ\nφ =\n.  \n \n(b) A non-vanishing dc component exists only when \ni\nω\nω =\n. \nIn this case the amplitude of the dc signal will be \ni\nR\ni V\nV\nφ\ncos\n2\n1\n0\n0\n. \n \n(c) \n0\n2\n0\n2\n1\n2\nω\nb\nV\nc\nc\nR\n at the resonance frequency \n0\nω . \n \n(d) \n18\n10\n7.1\n−\n×\n=\n∆m\n kg. \n \n(e) \n2\n/\n1\n2\n0\n3\n0\n0\n1\n'\n\n\n\n\n\n−\n=\nω\nω\nω\nm\nc\n. \n \n(f) \n3\n/\n1\n0\n0\n0\n\n\n\n\n\n\n∆\n=\nω\nω\nm\nqQ\nk\nd\ne\n \n=\n0\nd\n41 nm. \n \n\n  Theoretical Question 3 / Solutions  \nPage 2/6 \n \n \n2. Solutions \n \n(a) [1.5 points] \nSubstituting \n)\nsin(\n)\n(\nφ\nω −\n=\nt\nA\nt\nz\n in the equation \nt\nF\nz\nm\ndt\ndz\nb\ndt\nz\nd\nm\nω\nω\nsin\n0\n2\n0\n2\n2\n=\n+\n+\n \nyields, \nt\nA\nF\nt\nm\nt\nb\nt\nm\nω\nφ\nω\nω\nφ\nω\nω\nφ\nω\nω\nsin\n)\nsin(\n)\ncos(\n)\n(\nsin\n0\n2\n0\n2\n=\n−\n+\n−\n+\n−\n−\n. \n \n(a1) \nCollecting terms proportional to \nt\nω\nsin\n and \nt\nω\ncos\n, one obtains \n{\n}\n0\ncos\ncos\nsin\n)\n(\nsin\nsin\ncos\n)\n(\n2\n2\n0\n0\n2\n2\n0\n=\n+\n−\n−\n+\n\n\n−\n+\n−\nt\nb\nm\nt\nA\nF\nb\nm\nω\nφ\nω\nφ\nω\nω\nω\nφ\nω\nφ\nω\nω\n (a2) \nZeroing the each curly square bracket produces  \n)\n(\ntan\n2\n2\n0\nω\nω\nω\nφ\n−\n=\nm\nb\n, \n \n \n \n   (a3) \n2\n2\n2\n2\n2\n0\n2\n0\n)\n(\nω\nω\nω\nb\nm\nF\nA\n+\n−\n=\n. \n \n \n \n(a4) \nAt \n0\nω\nω =\n,  \n0\n0\nω\nb\nF\nA =\n and \n.\n2\nπ\nφ =\n  \n \n \n   (a5) \n(b) [1 point] \nThe multiplied signal is  \n}]\n)\ncos{(\n}\n)\n[cos{(\n2\n1\n)\nsin(\n)\nsin(\n0\n0\n0\n0\ni\ni\ni\ni\nR\ni\nR\ni\ni\ni\nt\nt\nV\nV\nt\nV\nt\nV\nφ\nω\nω\nφ\nω\nω\nω\nφ\nω\n−\n+\n−\n−\n−\n=\n−\n \n \n(b1) \nA non-vanishing dc component exists only when \ni\nω\nω =\n. In this case the amplitude of \nthe dc signal will be  \ni\nR\ni V\nV\nφ\ncos\n2\n1\n0\n0\n.  \n \n \n \n(b2) \n \n(c) [1.5 points] \nSince the lock-in amplifier measures the ac signal of the same frequency with its \nreference signal, the frequency of the piezoelectric tube oscillation, the frequency of the \n\n  Theoretical Question 3 / Solutions  \nPage 3/6 \n \n \ncantilever, and the frequency of the photodiode detector should be same.  The \nmagnitude of the input signal at the resonance is \n0\n0\n2\n1\n0\n0\n2\n0\nω\nω\nb\nV\nc\nc\nb\nF\nc\nV\nR\ni\n=\n=\n.  \n \n \n \n(c1) \nThen, since the phase of the input signal is \n0\n2\n2\n=\n+\n−\nπ\nπ\n at the resonance, \n0\n=\niφ\n and \nthe lock-in amplifier signal is  \n0\n2\n0\n2\n1\n0\n0\n2\n0\ncos\n2\n1\nω\nb\nV\nc\nc\nV\nV\nR\nR\ni\n=\n. \n \n \n   (c2) \n \n(d) [2 points] \nThe original resonance frequency \nm\nk\n=\n0\nω\n is shifted to \n \n\n\n\n\n\n\n∆\n−\n=\n\n\n\n\n\n\n∆\n−\n≅\n\n\n\n\n\n\n∆\n+\n=\n∆\n+\n−\nm\nm\nm\nm\nm\nk\nm\nm\nm\nk\nm\nm\nk\n2\n1\n1\n2\n1\n1\n1\n0\n2\n1\nω\n.  \n(d1) \nThus  \nm\nm\n∆\n−\n=\n∆\n0\n0\n2\n1 ω\nω\n. \n \n \n \n   (d2) \nNear the resonance, by substituting \nφ\nπ\nφ\n∆\n+\n→2\n and \n0\n0\n0\nω\nω\nω\n∆\n+\n→\n in Eq. (a3), the \nchange of the phase due to the small change of \n0\nω (not the change of ω ) is  \n0\n2\ntan\n1\n2\ntan\nω\nφ\nφ\nπ\n∆\n=\n∆\n−\n=\n\n\n\n\n\n\n∆\n+\nm\nb\n. \n \n \n   (d3) \nTherefore,  \nb\nm\n0\n2\ntan\nω\nφ\nφ\n∆\n−\n=\n∆\n≈\n∆\n.  \n \n \n \n (d4)  \nFrom Eqs. (d2) and (d4), \n18\n18\n6\n12\n3\n0\n10\n7.1\n10\n8.1\n1800\n10\n10\n10\n−\n−\n−\n×\n=\n=\n⋅\n=\n∆\n=\n∆\nπ\nπ\nφ\nω\nb\nm\n kg.  (d5) \n \n(e) [1.5 points]  \nIn the presence of interaction, the equation of motion near the new equilibrium position \n0h becomes \n\n  Theoretical Question 3 / Solutions  \nPage 4/6 \n \n \nt\nF\nz\nc\nz\nm\ndt\ndz\nb\ndt\nz\nd\nm\nω\nω\nsin\n0\n3\n2\n0\n2\n2\n=\n−\n+\n+\n \n \n \n(e1) \nwhere we used \nz\nc\nh\nf\nh\nf\n3\n0)\n(\n)\n(\n+\n≈\n with \n0h\nh\nz\n−\n=\n being the displacement from the \nnew equilibrium position \n0h .  Note that the constant term \n)\n(\n0h\nf\n is cancelled at the \nnew equilibrium position. \nThus the original resonance frequency \nm\nk\n=\n0\nω\n will be shifted to \n2\n0\n3\n0\n3\n2\n0\n3\n0\n1\n'\nω\nω\nω\nω\nm\nc\nm\nc\nm\nm\nc\nk\n−\n=\n−\n=\n−\n=\n.   \n \n  (e3) \nHence the resonance frequency shift is given by \n \n\n\n\n\n\n\n−\n−\n=\n∆\n1\n1\n2\n0\n3\n0\n0\nω\nω\nω\nm\nc\n. \n \n \n  (e4) \n \n(f) [2.5 points] \nThe maximum shift occurs when the cantilever is on top of the charge, where the \ninteracting force is given by  \n2\n)\n(\nh\nqQ\nk\nh\nf\ne\n=\n.  \n \n \n   (f1) \nFrom this,  \n3\n0\n3\n2\n0\nd\nqQ\nk\ndh\ndf\nc\ne\nd\nh\n−\n=\n=\n=\n.  \n \n    (f2) \nSince \n0\n0\nω\nω <<\n∆\n, we can approximate Eq. (e4) as \n0\n3\n0\n2 ω\nω\nm\nc\n−\n≈\n∆\n.  \n \n \n \n(f3) \nFrom Eqs. (f2) and (f3), we have \n3\n0\n0\n3\n0\n0\n0\n2\n2\n1\nd\nm\nqQ\nk\nd\nqQ\nk\nm\ne\ne\nω\nω\nω\n=\n\n\n\n\n\n−\n−\n=\n∆\n.  \n \n(f4) \nHere \n19\n10\n6.1\n−\n×\n−\n=\n= e\nq\n Coulomb and \n19\n10\n6.9\n6\n−\n×\n−\n=\n= e\nQ\n Coulomb. Using the \nvalues provided, \n\n  Theoretical Question 3 / Solutions  \nPage 5/6 \n \n \n \n8\n3\n/\n1\n0\n0\n0\n10\n1.4\n−\n×\n=\n\n\n\n\n\n\n∆\n=\nω\nω\nm\nqQ\nk\nd\ne\n m = 41 nm.  \n   (f5) \nThus the trapped electron is 41 nm from the cantilever.  \n\n  Theoretical Question 3 / Solutions  \nPage 6/6 \n \n \n3. Mark Distribution \n \nNo. \nTotal \nPt. \nPartial \nPt. \nContents \n0.7 \nEquations for A and φ (substitution and manipulation) \n0.4 \nCorrect answers for A and φ \n(a) \n1.5 \n0.4 \nA and φ at \n0\nω \n0.4 \nEquation for the multiplied signal \n0.3 \nCondition for the non-vanishing dc output \n(b) \n1.0 \n0.3 \nCorrect answer for the dc output \n0.6 \nRelation between \niV and \nR\nV \n0.4 \nCondition for the maximum dc output \n(c) \n1.5 \n0.5 \nCorrect answer for the magnitude of dc output \n0.5 \nRelation between \nm\n∆\n and \n0\nω\n∆\n \n1.0 \nRelations between \n0\nω\n∆\n (or \nm\n∆\n) and \nφ\n∆\n \n(d) \n2.0 \n0.5 \nCorrect answer (Partial credit of 0.2 for the wrong sign.) \n1.0 \nModification of the equation with \n)\n(h\nf\n and use of a proper \napproximation for the equation \n(e) \n1.5 \n0.5 \nCorrect answer  \n0.5 \nUse of a correct formula of Coulomb force \n0.3 \nEvaluation of \n3c \n0.6 \nUse of the result in (e) for either \n0\nω\n∆\n or \n2\n0\n2\n0'\nω\nω −\n \n0.6 \nExpression for \n0\nd \n(f) \n2.5 \n0.5 \nCorrect answer \nTotal \n10 \n \n \n \n \n \n","shared":false,"sourcePages":[1,2,3,4,5,6]}},{"id":"apho-2025-t1","importedOn":"2026-10-28","language":"ru","sources":[{"url":"https://pho.rs/p/4711","kind":"statement"},{"url":"https://pho.rs/p/4711/s","kind":"solution"}],"statement":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Введение"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Прецессией земной оси называется её вращение вокруг прямой, перпендикулярной плоскости эклиптики (плоскости орбиты Земли). Согласно измерениям древнегреческого астронома Гиппарха, ежегодно земная ось поворачивается примерно на 45'' (угловых секунд), т.е. период прецессии равен 29000 лет. По современным данным период прецессии составляет 25800 лет. В этой задаче вам предлагается исследовать это явление в рамках ньютоновской механики.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"В численных расчётах используйте следующие значения:"}]},{"type":"element","tag":"ul","children":[{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Гравитационная постоянная: $G=6.67\\times10^{-11}~ Н \\cdot м^2/кг^2$"}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Средний радиус Земли: $R=6.371\\times10^6~ м$"}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Масса Земли: $M_E=5.972\\times10^{24}~ кг$"}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Среднее расстояние от Земли до Солнца: $d_{SE}=1.496\\times10^{11}~ м$"}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Масса Солнца: $M_S=1.989\\times10^{30}~ кг$"}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Среднее расстояние от Земли до Луны: $d_{ME}=3.844\\times10^8~ м$"}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Масса Луны: $M_M=7.348\\times10^{22}~ кг$"}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Угол наклона оси вращения Земли: $\\alpha=23.5^{\\circ}$"}]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть А. Форма земной поверхности (1.0 балл)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Моменты сил со стороны Солнца и Луны, действующие на Землю, не равны нулю из-за её не сферической формы, что приводит к прецессии. Главная причина не сферической формы Земли — центробежная сила, вызванная вращением планеты вокруг своей оси. Будем считать Землю каплей жидкости постоянной плотности, форма которой определяется центробежной силой и силой тяжести. В такой модели поверхность Земли является эллипсоидом вращения с полярным радиусом $R_p$ и экваториальным радиусом $R_e$ (см. рис. A.1).\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/9b8b730d9ca201a33c49.webp","alt":"apho-2025-t1 statement: original source diagram 1"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рисунок A.1. Форма Земли (эллипсоид вращения). Указаны полярный и экваториальный радиусы. $\\alpha=23.5^\\circ$ -- угол наклона земной оси с нормалью к плоскости эклиптики."}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Разность экваториального и полярного радиусов $h_\\textrm{max}=R_e-R_p $ гораздо меньше среднего радиуса $R=(R_e+R_p)/2$. С точностью до безразмерного коэффициента $h_\\textrm{max}$ можно выразить через угловую скорость вращения Земли вокруг своей оси $\\omega$, массу Земли $M_E$ и средний радиус $R$:\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n $$h_\\textrm{max}\\propto G^{-1} \\omega^\\beta M_E^\\gamma R^\\delta,$$\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n где $G$ — гравитационная постоянная, $\\beta$, $\\gamma$ и $\\delta$ — числа.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.80"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Определите значения $\\beta$, $\\gamma$ and $\\delta$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Рассчитайте значение $h_\\textrm{max}$, считая безразмерный коэффициент перед выражением выше равным 1.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tНезависимо от значения $h_{\\textrm{max}}$, полученного вами в "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"A.2"}]},{"type":"text","text":", используйте далее экспериментальное значение $h_{\\textrm{max}}=21~км$.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть B. Усреднение гравитационного поля Солнца (3.2 балла)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Чтобы понять, почему момент силы со стороны Солнца на Землю относительно её центра отличен от нуля, рассмотрим рис. B.1 ниже. Разница в расстоянии до Солнца приводит к тому, что сила притяжения $F_1$ отличается от силы $F_2$.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/c356af673060f8bc67f5.webp","alt":"apho-2025-t1 statement: original source diagram 2"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рисунок B.1. Пояснение к вышесказанному. Земля на рисунке слева, Солнце -- справа."}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Величина момента сил, действующих на Землю, непрерывно изменяется в течение года. В положении, показанном на рисунке B.1, момент силы максимален; через четверть года момент силы равен нулю. Через полгода он снова достигает максимума, через три четверти года он вновь обнуляется, и т.д. Так как период прецессии много больше года, эти моменты сил можно с хорошей точностью приблизить их средним значением за год.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Чтобы рассчитать средний момент силы, действующий на Землю со стороны Солнца, определим среднее по времени гравитационное поле, создаваемое Солнцем в окрестности Земли. Его можно рассчитать как поле однородного «солнечного кольца», масса которого равна массе Солнца $M_S$, а радиус равен среднему расстоянию между Солнцем и Землёй $d_{SE}$ (см. рис. B.2).\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/b91d8d435f90e7f092c3.webp","alt":"apho-2025-t1 statement: original source diagram 3"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рисунок B.2. Усреднение по времени эквивалентно равномерному <<размазыванию>> массы Солнца по окружности радиусом $d_{SE}$."}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Введём цилиндрическую систему координат с началом в центре Земли, ось $z$ которой перпендикулярна плоскости эклиптики (плоскости кольца). Ось вращения Земли расположена под углом $\\alpha=23.5^\\circ$ к оси $z$.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Найдите направление и величину гравитационного поля, создаваемого «солнечным кольцом» на оси $z$. Выразите ответ через $M_S$, $d_{SE}$ и координату $z$. Считайте, что $\\vert z \\vert \\ll d_{SE}$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 2.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Найдите направление и величину гравитационного поля, создаваемого «солнечным кольцом» в плоскости эклиптики на расстоянии $r$ от начала координат. Считайте, что $r \\ll d_{SE}$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть C. Момент сил, действующих на Землю (2.6 балла)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tЭта часть посвящена определению момента сил, действующих на Землю на основе результатов "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"Части B"}]},{"type":"text","text":". Считайте Землю однородным твёрдым телом. Учтите также, что эллипсоид вращения можно рассматривать как шар с экваториальным радиусом Земли $R_e$, из которого удалили два сегмента (см. рис. C.1).\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/49f59ae7c8f25cab34fd.webp","alt":"apho-2025-t1 statement: original source diagram 4"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рисунок C.1. Эллипсоид, которым является Земля, можно рассматривать как шар с радиусом $R_e$, у которого удалены два сегмента."}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.80"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Найдите массу $m$ одного из двух сегментов, указанных на рис. C.1. Выразите ответ через $h_\\textrm{max}$, массу Земли $M_E$ и её полярный радиус $R_p$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Можно показать, что момент силы, действующий на удалённые сегменты, равен моменту силы, действующему на две точечные массы $2m/5$, расположенные в точках $A$ и $B$ на концах полярного диаметра (см. рис. C.1).\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.80"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Используя этот факт, найдите момент сил $\\tau$ со стороны «солнечного кольца», действующий на Землю. Выразите ответ через $M_E$, $M_S$, $d_{SE}$, $R$ (средний радиус), $h_{\\textrm{max}}$ и угол $\\alpha$. Считайте, что $h_\\textrm{max}\\ll R$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть D. Угловая скорость прецессии земной оси (2.0 балла)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tОсь вращения Земли "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"очень медленно "}]},{"type":"text","text":"прецессирует вокруг оси $z$, описывая конус.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            D1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.80"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Получите выражение для периода $T_1$ прецессии земной оси. Выразите ответ через $M_S$, $d_{SE}$, угловую скорость $\\omega$ вращения Земли, $h_\\textrm{max}$, $R$ и $\\alpha$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            D2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Вычислите период прецессии $T_1$ в годах.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть E. Влияние Луны (1.2 балла)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tЗначение, полученное в части "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"D"}]},{"type":"text","text":", намного больше реального, потому что до сих пор мы рассматривали только момент сил, создаваемый Солнцем, и пренебрегали влиянием Луны. В этой части считайте, что орбита Луны лежит в плоскости эклиптики, и Луна движется вокруг Земли по круговой орбите радиусом $d_{ME}$. Обозначим массу Луны как $M_M$, а период прецессии в новой модели как $T_2$.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            E1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Во сколько раз ($T_2/T_1 $) изменится период прецессии земной оси, если учесть момент сил, создаваемый Луной? Выразите ответ через $d_{ME}$, $d_{SE}$, $M_S$ и $M_M$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            E2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Подставив численные значения, рассчитайте период прецессии $T_2$ в годах.\n\n                \n                "}]}]}]}]}],"text":"Введение Прецессией земной оси называется её вращение вокруг прямой, перпендикулярной плоскости эклиптики (плоскости орбиты Земли). Согласно измерениям древнегреческого астронома Гиппарха, ежегодно земная ось поворачивается примерно на 45'' (угловых секунд), т.е. период прецессии равен 29000 лет. По современным данным период прецессии составляет 25800 лет. В этой задаче вам предлагается исследовать это явление в рамках ньютоновской механики. В численных расчётах используйте следующие значения: Гравитационная постоянная: $G=6.67\\times10^{-11}~ Н \\cdot м^2/кг^2$ Средний радиус Земли: $R=6.371\\times10^6~ м$ Масса Земли: $M_E=5.972\\times10^{24}~ кг$ Среднее расстояние от Земли до Солнца: $d_{SE}=1.496\\times10^{11}~ м$ Масса Солнца: $M_S=1.989\\times10^{30}~ кг$ Среднее расстояние от Земли до Луны: $d_{ME}=3.844\\times10^8~ м$ Масса Луны: $M_M=7.348\\times10^{22}~ кг$ Угол наклона оси вращения Земли: $\\alpha=23.5^{\\circ}$ Часть А. Форма земной поверхности (1.0 балл) Моменты сил со стороны Солнца и Луны, действующие на Землю, не равны нулю из-за её не сферической формы, что приводит к прецессии. Главная причина не сферической формы Земли — центробежная сила, вызванная вращением планеты вокруг своей оси. Будем считать Землю каплей жидкости постоянной плотности, форма которой определяется центробежной силой и силой тяжести. В такой модели поверхность Земли является эллипсоидом вращения с полярным радиусом $R_p$ и экваториальным радиусом $R_e$ (см. рис. A.1). Рисунок A.1. Форма Земли (эллипсоид вращения). Указаны полярный и экваториальный радиусы. $\\alpha=23.5^\\circ$ -- угол наклона земной оси с нормалью к плоскости эклиптики. Разность экваториального и полярного радиусов $h_\\textrm{max}=R_e-R_p $ гораздо меньше среднего радиуса $R=(R_e+R_p)/2$. С точностью до безразмерного коэффициента $h_\\textrm{max}$ можно выразить через угловую скорость вращения Земли вокруг своей оси $\\omega$, массу Земли $M_E$ и средний радиус $R$: $$h_\\textrm{max}\\propto G^{-1} \\omega^\\beta M_E^\\gamma R^\\delta,$$ где $G$ — гравитационная постоянная, $\\beta$, $\\gamma$ и $\\delta$ — числа. A1 0.80 Определите значения $\\beta$, $\\gamma$ and $\\delta$. A2 0.20 Рассчитайте значение $h_\\textrm{max}$, считая безразмерный коэффициент перед выражением выше равным 1. Независимо от значения $h_{\\textrm{max}}$, полученного вами в A.2 , используйте далее экспериментальное значение $h_{\\textrm{max}}=21~км$. Часть B. Усреднение гравитационного поля Солнца (3.2 балла) Чтобы понять, почему момент силы со стороны Солнца на Землю относительно её центра отличен от нуля, рассмотрим рис. B.1 ниже. Разница в расстоянии до Солнца приводит к тому, что сила притяжения $F_1$ отличается от силы $F_2$. Рисунок B.1. Пояснение к вышесказанному. Земля на рисунке слева, Солнце -- справа. Величина момента сил, действующих на Землю, непрерывно изменяется в течение года. В положении, показанном на рисунке B.1, момент силы максимален; через четверть года момент силы равен нулю. Через полгода он снова достигает максимума, через три четверти года он вновь обнуляется, и т.д. Так как период прецессии много больше года, эти моменты сил можно с хорошей точностью приблизить их средним значением за год. Чтобы рассчитать средний момент силы, действующий на Землю со стороны Солнца, определим среднее по времени гравитационное поле, создаваемое Солнцем в окрестности Земли. Его можно рассчитать как поле однородного «солнечного кольца», масса которого равна массе Солнца $M_S$, а радиус равен среднему расстоянию между Солнцем и Землёй $d_{SE}$ (см. рис. B.2). Рисунок B.2. Усреднение по времени эквивалентно равномерному <<размазыванию>> массы Солнца по окружности радиусом $d_{SE}$. Введём цилиндрическую систему координат с началом в центре Земли, ось $z$ которой перпендикулярна плоскости эклиптики (плоскости кольца). Ось вращения Земли расположена под углом $\\alpha=23.5^\\circ$ к оси $z$. B1 1.00 Найдите направление и величину гравитационного поля, создаваемого «солнечным кольцом» на оси $z$. Выразите ответ через $M_S$, $d_{SE}$ и координату $z$. Считайте, что $\\vert z \\vert \\ll d_{SE}$. B2 2.20 Найдите направление и величину гравитационного поля, создаваемого «солнечным кольцом» в плоскости эклиптики на расстоянии $r$ от начала координат. Считайте, что $r \\ll d_{SE}$. Часть C. Момент сил, действующих на Землю (2.6 балла) Эта часть посвящена определению момента сил, действующих на Землю на основе результатов Части B . Считайте Землю однородным твёрдым телом. Учтите также, что эллипсоид вращения можно рассматривать как шар с экваториальным радиусом Земли $R_e$, из которого удалили два сегмента (см. рис. C.1). Рисунок C.1. Эллипсоид, которым является Земля, можно рассматривать как шар с радиусом $R_e$, у которого удалены два сегмента. C1 0.80 Найдите массу $m$ одного из двух сегментов, указанных на рис. C.1. Выразите ответ через $h_\\textrm{max}$, массу Земли $M_E$ и её полярный радиус $R_p$. Можно показать, что момент силы, действующий на удалённые сегменты, равен моменту силы, действующему на две точечные массы $2m/5$, расположенные в точках $A$ и $B$ на концах полярного диаметра (см. рис. C.1). C2 1.80 Используя этот факт, найдите момент сил $\\tau$ со стороны «солнечного кольца», действующий на Землю. Выразите ответ через $M_E$, $M_S$, $d_{SE}$, $R$ (средний радиус), $h_{\\textrm{max}}$ и угол $\\alpha$. Считайте, что $h_\\textrm{max}\\ll R$. Часть D. Угловая скорость прецессии земной оси (2.0 балла) Ось вращения Земли очень медленно прецессирует вокруг оси $z$, описывая конус. D1 1.80 Получите выражение для периода $T_1$ прецессии земной оси. Выразите ответ через $M_S$, $d_{SE}$, угловую скорость $\\omega$ вращения Земли, $h_\\textrm{max}$, $R$ и $\\alpha$. D2 0.20 Вычислите период прецессии $T_1$ в годах. Часть E. Влияние Луны (1.2 балла) Значение, полученное в части D , намного больше реального, потому что до сих пор мы рассматривали только момент сил, создаваемый Солнцем, и пренебрегали влиянием Луны. В этой части считайте, что орбита Луны лежит в плоскости эклиптики, и Луна движется вокруг Земли по круговой орбите радиусом $d_{ME}$. Обозначим массу Луны как $M_M$, а период прецессии в новой модели как $T_2$. E1 1.00 Во сколько раз ($T_2/T_1 $) изменится период прецессии земной оси, если учесть момент сил, создаваемый Луной? Выразите ответ через $d_{ME}$, $d_{SE}$, $M_S$ и $M_M$. E2 0.20 Подставив численные значения, рассчитайте период прецессии $T_2$ в годах.\n","figures":["/corpus/figures/9b8b730d9ca201a33c49.webp","/corpus/figures/c356af673060f8bc67f5.webp","/corpus/figures/b91d8d435f90e7f092c3.webp","/corpus/figures/49f59ae7c8f25cab34fd.webp"],"shared":false},"solution":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.80"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Определите значения $\\beta$, $\\gamma$ and $\\delta$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tСопоставим размерности величин $h_{\\max }$, $G$, $\\omega$, $M_{E}$ и $R$ произведениям степеней длины $\\mathrm L$, массы $\\mathrm M$ и времени $\\mathrm T$: $$ \\begin{aligned} {\\left[h_{\\max }\\right] } & =\\mathrm{L} \\\\ {[G] } & =\\mathrm{L}^{3} \\mathrm{M}^{-1} \\mathrm{~T}^{-2} \\\\ {[\\omega] } & =\\mathrm{T}^{-1} \\\\ {\\left[M_{E}\\right] } & =\\mathrm{M} \\\\ {[R] } & =\\mathrm{L} \\end{aligned} $$ После подстановки размерностей получим выражение: \\[ L = L^{-3} M^{1} T^{2} \\cdot T^{-\\beta} M^{\\gamma} L^{\\delta} \\] Упрощаем уравнение: \\[ L = L^{\\delta - 3} M^{\\gamma + 1} T^{2 - \\beta} \\] Приравняв показатели степеней для всех трех величин, получим систему уравнений: \\[ \\begin{align*} 1 &= \\delta - 3 \\implies \\delta = 4 \\quad &(1) \\\\ 0 &= \\gamma + 1 \\implies \\gamma = -1 \\quad &(2) \\\\ 0 &= 2 - \\beta \\implies \\beta = 2 \\quad &(3) \\end{align*} \\] Выражаем ответы:\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[\\beta=2,~ \\gamma=-1,~\\delta=4\\]\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Рассчитайте значение $h_\\textrm{max}$, считая безразмерный коэффициент перед выражением выше равным 1.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tСогласно результатам, полученным в предыдущем пункте,  $$ h_{\\max } \\propto \\frac{\\omega^{2} R^{4}}{G M_{E}} $$ Здесь $\\omega=2 \\pi /(24 \\mathrm{~h})=7.27 \\times 10^{-5} {~с}^{-1}$. Считая коэффициент пропорциональности равным единице, получаем:\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[h_{\\text {max }}=21.9 \\mathrm{~км}\\]\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Найдите направление и величину гравитационного поля, создаваемого «солнечным кольцом» на оси $z$. Выразите ответ через $M_S$, $d_{SE}$ и координату $z$. Считайте, что $\\vert z \\vert \\ll d_{SE}$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Первое решение"}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tВыражение для гравитационного потенциала $U$ на оси $z$ имет вид $$ U(z)=-G \\frac{M_{S}}{\\sqrt{z^{2}+d_{S E}^{2}}} $$ Дифференцируя это выражение, находим ускорение свободного падения на оси $z$: $$ g_{z}(z)=-\\frac{\\mathrm{d} U}{\\mathrm{d} z}=-G M_{S} \\frac{z}{\\left(z^{2}+d_{S E}^{2}\\right)^{3 / 2}} $$ В первом приближении по $z$ выражение упрощается до:$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"g_{z}(z) \\approx-\\frac{G M_{S}}{d_{S E}^{3}} z "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Знак минус означает, что $g_z$ направлено к центру Солнца.\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Второе решение"}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tМалый элемент солнечного диска с массой $\\mathrm{d} M$ создает поле $$ \\mathrm{d} g=\\frac{G \\mathrm{~d} M}{z^{2}+d_{S E}^{2}}, $$ система симметрична относительно оси $z$ (см. рис. B.1).\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/354b076aeefef4f1cf7b.webp","alt":"apho-2025-t1 solution: original source diagram 1"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. B.1"}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Поскольку система симметрична, достаточно просуммировать только $z$-компоненты поля, создаваемого малыми элементами: $$ \\mathrm{d} g_{z}=-\\mathrm{d} g \\cos \\theta, $$ где знак минус указывает на направление против оси $z$. Угол $\\theta$ одинаков для всех сегментов кольца, его косинус равен: $$ \\cos \\theta=\\frac{z}{\\sqrt{z^{2}+d_{S E}^{2}}} $$ Используя три предыдущих уравнения и интегрируя по массе кольца, получим точное выражение для поля на оси: $$ g_{z}=-G M_{S} \\frac{z}{\\left(z^{2}+d_{S E}^{2}\\right)^{3 / 2}} $$ Используя соотношение $|z| \\ll d_{S E}$, упрощаем до: $$ g_{z} \\approx-G M_{S} \\frac{z}{d_{S E}^{3}} $$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"g_{z}(z) =-\\frac{G M_{S}}{d_{S E}^{3}} z "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 2.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Найдите направление и величину гравитационного поля, создаваемого «солнечным кольцом» в плоскости эклиптики на расстоянии $r$ от начала координат. Считайте, что $r \\ll d_{SE}$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Первое решение"}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Радиальная составляющая поля $g_{r}$ в плоскости кольца Солнца может быть найдена из теоремы Гаусса (см. рисунок B.2).\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/d41805a06c8414205a1e.webp","alt":"apho-2025-t1 solution: original source diagram 2"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. B.2"}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tПрименим теорему Гаусса для цилиндрической области высотой $2|z|$ и радиусом $r$: $$ g_{r} \\,2 z \\times 2 \\pi r+g_{z} \\, 2 r^{2} \\pi=0 $$ Отсюда получаем$$ g_{r}(r)=-\\frac{r}{2 z} g_{z}(z)=\\frac{G M_{S}}{2 d_{S E}^{3}} r $$ Поле направлено радиально наружу.\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Второе решение"}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Возьмем точку $P$ в плоскости солнечного диска на расстоянии $r$ от центра (см. рис. B.3).\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/48d469fd1fd973d1633e.webp","alt":"apho-2025-t1 solution: original source diagram 3"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. B.3"}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tРасстояние $s$ от малого элемента кольца с угловым размером $\\mathrm{d} \\varphi$, расположенного под углом $\\varphi$ по отношению к радиус-вектору из центра кольца в точку $P$, определяется по теореме косинусов: $$ s=\\sqrt{d_{S E}^{2}+r^{2}-2 d_{S E} r \\cos \\varphi} $$ Гравитационный потенциал в точке $P$, обусловленный малым отрезком, может быть записан как $$ \\mathrm{d} U=-\\frac{G M_{S}}{s} \\frac{\\mathrm{~d} \\varphi}{2 \\pi} $$ поэтому полный потенциал кольца в точке $P$ равен $$ U(r)=-\\frac{G M_{S}}{2 \\pi} \\int_{0}^{2 \\pi}\\left(d_{S E}^{2}+r^{2}-2 d_{S E} r \\cos \\varphi\\right)^{-\\frac{1}{2}} \\mathrm{~d} \\varphi $$ Обезразмерим интеграл: $$ U(r)=-\\frac{G M_{S}}{2 \\pi d_{S E}} \\int_{0}^{2 \\pi}\\left(1+\\frac{r^{2}}{d_{S E}^{2}}-\\frac{2 r \\cos \\varphi}{d_{S E}}\\right)^{-\\frac{1}{2}} \\mathrm{~d} \\varphi $$ Для упрощения интеграла можно воспользоваться тем фактом, что $r \\ll d_{S E}$. Введем величину $$ \\varepsilon=\\frac{r^{2}}{d_{S E}^{2}}-\\frac{2 r \\cos \\varphi}{d_{S E}} ~(\\ll1)$$ и разложим интеграл до второго порядка по $\\varepsilon$: $$ (1+\\varepsilon)^{-\\frac{1}{2}} \\approx 1-\\frac{\\varepsilon}{2}+\\frac{3 \\varepsilon^{2}}{8} $$ Подставив $\\varepsilon$ и сохранив члены до второго порядка по $r / d_{S E}$, получим: $$ (1+\\varepsilon)^{-\\frac{1}{2}} \\approx 1-\\frac{r^{2}}{2 d_{S E}^{2}}+\\frac{r \\cos \\varphi}{d_{S E}}+\\frac{3 r^{2} \\cos ^{2} \\varphi}{2 d_{S E}^{2}} . $$ Третий член в правой части зануляется после интегрирования по $\\varphi$, так что потенциал принимает вид $$ U(r)=-\\frac{G M_{S}}{2 \\pi d_{S E}} \\int_{0}^{2 \\pi}\\left(1-\\frac{r^{2}}{2 d_{S E}^{2}}+\\frac{3 r^{2} \\cos ^{2} \\varphi}{2 d_{S E}^{2}}\\right) \\mathrm{d} \\varphi $$ Используя, что $\\int_{0}^{2 \\pi} \\cos ^{2} \\varphi \\mathrm{~d} \\varphi=\\pi$ (по аналогии с расчетом средней мощности в цепях переменного тока), потенциал можно оценить как: $$ U(r)=-\\frac{G M_{S}}{2 \\pi d_{S E}}\\left(2 \\pi-2 \\pi \\frac{r^{2}}{2 d_{S E}^{2}}+\\frac{3 \\pi r^{2}}{2 d_{S E}^{2}}\\right) . $$ Это можно упростить до $$ U(r)=-\\frac{G M_{S}}{d_{S E}}-\\frac{G M_{S} r^{2}}{4 d_{S E}^{3}} $$ Гравитационное поле – это градиент потенциала со знаком минус: $$ g_{r}(r)=-\\frac{\\mathrm{d} U}{\\mathrm{~d} r}=\\frac{G M_{S}}{2 d_{S E}^{3}} r $$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$ g_{r}(r)=\\frac{G M_{S}}{2 d_{S E}^{3}} r $$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.80"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Найдите массу $m$ одного из двух сегментов, указанных на рис. C.1. Выразите ответ через $h_\\textrm{max}$, массу Земли $M_E$ и её полярный радиус $R_p$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Эллипсоид вращения можно превратить в идеальную сферу радиуса $R_{e}$ (см. рис. C.1.), равномерно растянув его вдоль полярного диаметра в $R_{e} / R_{p}$ раз, так что объем эллипсоида будет равен $$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"V_{\\text {эл }}=\\frac{4 \\pi}{3} R_{e}^{3} \\frac{R_{p}}{R_{e}}=\\frac{4 \\pi}{3} R_{e}^{2} R_{p}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/cbfbdb0d9ecc0e2d5ad6.webp","alt":"apho-2025-t1 solution: original source diagram 4"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. C.1"}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Объем одного сегмента равен:$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"V=\\frac{1}{2}\\left(\\frac{4 \\pi}{3} R_{e}^{3}-\\frac{4 \\pi}{3} R_{e}^{2} R_{p}\\right)=\\frac{2 \\pi}{3} R_{e}^{2} h_{\\max }"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$ Плотность однородной Земли составляет $\\rho=$ $3 M_{E} /\\left(4 \\pi R_{e}^{2} R_{p}\\right)$, поэтому масса одного сегмента\\["},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"m=\\rho V=\\frac{3 M_{E}}{4 \\pi R_{e}^{2} R_{p}} \\frac{2 \\pi}{3} R_{e}^{2} h_{\\max }=\\frac{h_{\\max }}{2 R_{p}} M_{E}\\]\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"m=\\frac{h_{\\max }}{2 R_{p}} M_{E}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.80"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Используя этот факт, найдите момент сил $\\tau$ со стороны «солнечного кольца», действующий на Землю. Выразите ответ через $M_E$, $M_S$, $d_{SE}$, $R$ (средний радиус), $h_{\\textrm{max}}$ и угол $\\alpha$. Считайте, что $h_\\textrm{max}\\ll R$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Момент сил, действующий на идеальную сферу радиуса $R_{e}$, равен нулю в силу симметрии. Из принципа суперпозиции, изложенного в задаче, следует, что момент $\\vec{\\tau}$, действующий на Землю в форме эллипсоида, равен по величине, но противоположен по направлению моменту $\\vec{\\tau}'$, действующему на две эквивалентные точечные массы (каждая массой $2 m / 5$):\\[\\vec{\\tau}=-\\vec{\\tau}'\\]\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/08786671db671facdffd.webp","alt":"apho-2025-t1 solution: original source diagram 5"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. C.2. Силы, действующие на две точечные массы"}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tВеличина момента сил, действующего на точечные массы, равна $$ \\left|\\vec{\\tau}^{\\prime}\\right|=|\\vec{\\tau}|=2 F_{z} R \\sin \\alpha+2 F_{r} R \\cos \\alpha $$ где $$ \\begin{aligned} F_{z} & =\\frac{2}{5} m\\left|g_{z}\\right|=\\frac{2}{5} m G M_{S} \\frac{R \\cos \\alpha}{d_{S E}^{3}} \\\\\\ F_{r} & =\\frac{2}{5} m\\left|g_{r}\\right|=\\frac{2}{5} m G M_{S} \\frac{R \\sin \\alpha}{2 d_{S E}^{3}} \\end{aligned} $$ Подставляя эти силы в выражение для $\\tau^{\\prime}$ и упрощая, получаем: $$ |\\vec{\\tau}|=\\frac{6}{5} \\frac{G m M_{S}}{d_{S E}^{3}} R^{2} \\sin \\alpha \\cos \\alpha $$ Используя результат пункта "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"C1"}]},{"type":"text","text":", это можно записать как $$ |\\vec{\\tau}|=\\frac{3}{5} \\frac{G M_{E} M_{S}}{d_{S E}^{3}} R h_{\\max } \\sin \\alpha \\cos \\alpha $$ Момент сил $\\vec{\\tau}^{\\prime}$ направлен к наблюдателю по нормали к плоскости рисунка C.2, поэтому момент сил $\\vec{\\tau}$, действующий на Землю в форме эллипсоида, направлен от наблюдателя.\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$ |\\vec{\\tau}|=\\frac{3}{5} \\frac{G M_{E} M_{S}}{d_{S E}^{3}} R h_{\\max } \\sin \\alpha \\cos \\alpha $$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                D1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.80"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Получите выражение для периода $T_1$ прецессии земной оси. Выразите ответ через $M_S$, $d_{SE}$, угловую скорость $\\omega$ вращения Земли, $h_\\textrm{max}$, $R$ и $\\alpha$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tМомент сил, действующий на Землю, приводит к изменению вектора ее момента импульса $\\vec{L}$: $$ \\vec{\\tau}=\\frac{\\mathrm{d} \\vec{L}}{\\mathrm{d} t} $$ где $\\vec{L}$ параллелен угловой скорости вращения Земли, а его величина (в предположении однородного распределения масс и пренебрежении несферичностью Земли) определяется как:$$ |\\vec{L}|=\\frac{2}{5} M_{E} R^{2} \\omega $$ Поскольку $\\vec{\\tau}$ (т.е. скорость изменения вектора момента импульса) перпендикулярна $\\vec{L}$, длина $\\vec{L}$ остается постоянной, но его направление меняется, как показано на рисунке D.1. В результате вектор $\\vec{L}$ прецессирует вокруг оси конуса с углом раствора $2\\alpha$.\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/36579eda2042ef235da8.webp","alt":"apho-2025-t1 solution: original source diagram 6"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. D.1"}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tПроводя аналогию с равномерным круговым движением, можем написать уравнение между $L$, его производной по времени и угловой скоростью прецессии: $$ \\left|\\frac{\\mathrm{d} \\vec{L}}{\\mathrm{d} t}\\right|=\\Omega_{1}|\\vec{L}| \\sin \\alpha $$ Из этого уравнения угловая скорость прецессии $\\Omega_{1}$ может быть выражена как: $$ \\Omega_{1}=\\frac{\\tau}{L \\sin \\alpha}=\\frac{\\frac{3}{5} G M_{E} M_{S} R h_{\\max } \\sin \\alpha \\cos \\alpha / d_{S E}^{3}}{\\frac{2}{5} M_{E} R^{2} \\omega \\sin \\alpha}, $$ где был использован предыдущий результат для $\\tau$. После упрощения: $$ \\Omega_{1}=\\frac{3}{2} \\frac{G M_{S} h_{\\max }}{d_{S E}^{3} R \\omega} \\cos \\alpha $$ Отсюда период прецессии: $$ T_{1}=\\frac{2 \\pi}{\\Omega_{1}}=\\frac{4 \\pi}{3} \\frac{d_{S E}^{3} R \\omega}{G M_{S} h_{\\max } \\cos \\alpha} $$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$ T_{1}=\\frac{4 \\pi}{3} \\frac{d_{S E}^{3} R \\omega}{G M_{S} h_{\\max } \\cos \\alpha} $$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                D2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Вычислите период прецессии $T_1$ в годах.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Подставляя численные значения, находим период:\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"T_{1}=80\\,600 \\text { лет}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                E1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Во сколько раз ($T_2/T_1 $) изменится период прецессии земной оси, если учесть момент сил, создаваемый Луной? Выразите ответ через $d_{ME}$, $d_{SE}$, $M_S$ и $M_M$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tКак было показано в части "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"D"}]},{"type":"text","text":", угловая скорость прецессии пропорциональна вращающему моменту, действующему на Землю, который пропорционален величине $M_{S} / d_{S E}^{3}$. Если учесть влияние Луны, то моменты сил, действующие на Землю со стороны Солнца и Луны, складываются, и в результате $$ \\Omega_{2}=\\frac{M_{M} / d_{M E}^{3}+M_{S} / d_{S E}^{3}}{M_{S} / d_{S E}^{3}} \\Omega_{1} $$Отсюда получаем аналогичное выражение для периодов:\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\frac{T_{2}}{T_{1}}=\\frac{M_{S} / d_{S E}^{3}}{M_{M} / d_{M E}^{3}+M_{S} / d_{S E}^{3}}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                E2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Подставив численные значения, рассчитайте период прецессии $T_2$ в годах.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Подставив числа, получаем:\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"T_{2}=25\\,400 \\text { лет}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n что довольно близко к значению, полученному современными методами.\n\n                "}]}]}],"text":"A1 0.80 Определите значения $\\beta$, $\\gamma$ and $\\delta$. Сопоставим размерности величин $h_{\\max }$, $G$, $\\omega$, $M_{E}$ и $R$ произведениям степеней длины $\\mathrm L$, массы $\\mathrm M$ и времени $\\mathrm T$: $$ \\begin{aligned} {\\left[h_{\\max }\\right] } & =\\mathrm{L} \\\\ {[G] } & =\\mathrm{L}^{3} \\mathrm{M}^{-1} \\mathrm{~T}^{-2} \\\\ {[\\omega] } & =\\mathrm{T}^{-1} \\\\ {\\left[M_{E}\\right] } & =\\mathrm{M} \\\\ {[R] } & =\\mathrm{L} \\end{aligned} $$ После подстановки размерностей получим выражение: \\[ L = L^{-3} M^{1} T^{2} \\cdot T^{-\\beta} M^{\\gamma} L^{\\delta} \\] Упрощаем уравнение: \\[ L = L^{\\delta - 3} M^{\\gamma + 1} T^{2 - \\beta} \\] Приравняв показатели степеней для всех трех величин, получим систему уравнений: \\[ \\begin{align*} 1 &= \\delta - 3 \\implies \\delta = 4 \\quad &(1) \\\\ 0 &= \\gamma + 1 \\implies \\gamma = -1 \\quad &(2) \\\\ 0 &= 2 - \\beta \\implies \\beta = 2 \\quad &(3) \\end{align*} \\] Выражаем ответы: Ответ: \n                    \n \\[\\beta=2,~ \\gamma=-1,~\\delta=4\\]\nA2 0.20 Рассчитайте значение $h_\\textrm{max}$, считая безразмерный коэффициент перед выражением выше равным 1. Согласно результатам, полученным в предыдущем пункте,  $$ h_{\\max } \\propto \\frac{\\omega^{2} R^{4}}{G M_{E}} $$ Здесь $\\omega=2 \\pi /(24 \\mathrm{~h})=7.27 \\times 10^{-5} {~с}^{-1}$. Считая коэффициент пропорциональности равным единице, получаем: Ответ: \n                    \n \\[h_{\\text {max }}=21.9 \\mathrm{~км}\\]\nB1 1.00 Найдите направление и величину гравитационного поля, создаваемого «солнечным кольцом» на оси $z$. Выразите ответ через $M_S$, $d_{SE}$ и координату $z$. Считайте, что $\\vert z \\vert \\ll d_{SE}$. Первое решение Выражение для гравитационного потенциала $U$ на оси $z$ имет вид $$ U(z)=-G \\frac{M_{S}}{\\sqrt{z^{2}+d_{S E}^{2}}} $$ Дифференцируя это выражение, находим ускорение свободного падения на оси $z$: $$ g_{z}(z)=-\\frac{\\mathrm{d} U}{\\mathrm{d} z}=-G M_{S} \\frac{z}{\\left(z^{2}+d_{S E}^{2}\\right)^{3 / 2}} $$ В первом приближении по $z$ выражение упрощается до:$$ g_{z}(z) \\approx-\\frac{G M_{S}}{d_{S E}^{3}} z $$Знак минус означает, что $g_z$ направлено к центру Солнца. Второе решение Малый элемент солнечного диска с массой $\\mathrm{d} M$ создает поле $$ \\mathrm{d} g=\\frac{G \\mathrm{~d} M}{z^{2}+d_{S E}^{2}}, $$ система симметрична относительно оси $z$ (см. рис. B.1). Рис. B.1 Поскольку система симметрична, достаточно просуммировать только $z$-компоненты поля, создаваемого малыми элементами: $$ \\mathrm{d} g_{z}=-\\mathrm{d} g \\cos \\theta, $$ где знак минус указывает на направление против оси $z$. Угол $\\theta$ одинаков для всех сегментов кольца, его косинус равен: $$ \\cos \\theta=\\frac{z}{\\sqrt{z^{2}+d_{S E}^{2}}} $$ Используя три предыдущих уравнения и интегрируя по массе кольца, получим точное выражение для поля на оси: $$ g_{z}=-G M_{S} \\frac{z}{\\left(z^{2}+d_{S E}^{2}\\right)^{3 / 2}} $$ Используя соотношение $|z| \\ll d_{S E}$, упрощаем до: $$ g_{z} \\approx-G M_{S} \\frac{z}{d_{S E}^{3}} $$ Ответ: \n                    \n $$ g_{z}(z) =-\\frac{G M_{S}}{d_{S E}^{3}} z $$\nB2 2.20 Найдите направление и величину гравитационного поля, создаваемого «солнечным кольцом» в плоскости эклиптики на расстоянии $r$ от начала координат. Считайте, что $r \\ll d_{SE}$. Первое решение Радиальная составляющая поля $g_{r}$ в плоскости кольца Солнца может быть найдена из теоремы Гаусса (см. рисунок B.2). Рис. B.2 Применим теорему Гаусса для цилиндрической области высотой $2|z|$ и радиусом $r$: $$ g_{r} \\,2 z \\times 2 \\pi r+g_{z} \\, 2 r^{2} \\pi=0 $$ Отсюда получаем$$ g_{r}(r)=-\\frac{r}{2 z} g_{z}(z)=\\frac{G M_{S}}{2 d_{S E}^{3}} r $$ Поле направлено радиально наружу. Второе решение Возьмем точку $P$ в плоскости солнечного диска на расстоянии $r$ от центра (см. рис. B.3). Рис. B.3 Расстояние $s$ от малого элемента кольца с угловым размером $\\mathrm{d} \\varphi$, расположенного под углом $\\varphi$ по отношению к радиус-вектору из центра кольца в точку $P$, определяется по теореме косинусов: $$ s=\\sqrt{d_{S E}^{2}+r^{2}-2 d_{S E} r \\cos \\varphi} $$ Гравитационный потенциал в точке $P$, обусловленный малым отрезком, может быть записан как $$ \\mathrm{d} U=-\\frac{G M_{S}}{s} \\frac{\\mathrm{~d} \\varphi}{2 \\pi} $$ поэтому полный потенциал кольца в точке $P$ равен $$ U(r)=-\\frac{G M_{S}}{2 \\pi} \\int_{0}^{2 \\pi}\\left(d_{S E}^{2}+r^{2}-2 d_{S E} r \\cos \\varphi\\right)^{-\\frac{1}{2}} \\mathrm{~d} \\varphi $$ Обезразмерим интеграл: $$ U(r)=-\\frac{G M_{S}}{2 \\pi d_{S E}} \\int_{0}^{2 \\pi}\\left(1+\\frac{r^{2}}{d_{S E}^{2}}-\\frac{2 r \\cos \\varphi}{d_{S E}}\\right)^{-\\frac{1}{2}} \\mathrm{~d} \\varphi $$ Для упрощения интеграла можно воспользоваться тем фактом, что $r \\ll d_{S E}$. Введем величину $$ \\varepsilon=\\frac{r^{2}}{d_{S E}^{2}}-\\frac{2 r \\cos \\varphi}{d_{S E}} ~(\\ll1)$$ и разложим интеграл до второго порядка по $\\varepsilon$: $$ (1+\\varepsilon)^{-\\frac{1}{2}} \\approx 1-\\frac{\\varepsilon}{2}+\\frac{3 \\varepsilon^{2}}{8} $$ Подставив $\\varepsilon$ и сохранив члены до второго порядка по $r / d_{S E}$, получим: $$ (1+\\varepsilon)^{-\\frac{1}{2}} \\approx 1-\\frac{r^{2}}{2 d_{S E}^{2}}+\\frac{r \\cos \\varphi}{d_{S E}}+\\frac{3 r^{2} \\cos ^{2} \\varphi}{2 d_{S E}^{2}} . $$ Третий член в правой части зануляется после интегрирования по $\\varphi$, так что потенциал принимает вид $$ U(r)=-\\frac{G M_{S}}{2 \\pi d_{S E}} \\int_{0}^{2 \\pi}\\left(1-\\frac{r^{2}}{2 d_{S E}^{2}}+\\frac{3 r^{2} \\cos ^{2} \\varphi}{2 d_{S E}^{2}}\\right) \\mathrm{d} \\varphi $$ Используя, что $\\int_{0}^{2 \\pi} \\cos ^{2} \\varphi \\mathrm{~d} \\varphi=\\pi$ (по аналогии с расчетом средней мощности в цепях переменного тока), потенциал можно оценить как: $$ U(r)=-\\frac{G M_{S}}{2 \\pi d_{S E}}\\left(2 \\pi-2 \\pi \\frac{r^{2}}{2 d_{S E}^{2}}+\\frac{3 \\pi r^{2}}{2 d_{S E}^{2}}\\right) . $$ Это можно упростить до $$ U(r)=-\\frac{G M_{S}}{d_{S E}}-\\frac{G M_{S} r^{2}}{4 d_{S E}^{3}} $$ Гравитационное поле – это градиент потенциала со знаком минус: $$ g_{r}(r)=-\\frac{\\mathrm{d} U}{\\mathrm{~d} r}=\\frac{G M_{S}}{2 d_{S E}^{3}} r $$ Ответ: \n                    \n $$ g_{r}(r)=\\frac{G M_{S}}{2 d_{S E}^{3}} r $$\nC1 0.80 Найдите массу $m$ одного из двух сегментов, указанных на рис. C.1. Выразите ответ через $h_\\textrm{max}$, массу Земли $M_E$ и её полярный радиус $R_p$. Эллипсоид вращения можно превратить в идеальную сферу радиуса $R_{e}$ (см. рис. C.1.), равномерно растянув его вдоль полярного диаметра в $R_{e} / R_{p}$ раз, так что объем эллипсоида будет равен $$ V_{\\text {эл }}=\\frac{4 \\pi}{3} R_{e}^{3} \\frac{R_{p}}{R_{e}}=\\frac{4 \\pi}{3} R_{e}^{2} R_{p} $$ Рис. C.1 Объем одного сегмента равен:$$ V=\\frac{1}{2}\\left(\\frac{4 \\pi}{3} R_{e}^{3}-\\frac{4 \\pi}{3} R_{e}^{2} R_{p}\\right)=\\frac{2 \\pi}{3} R_{e}^{2} h_{\\max } $$ Плотность однородной Земли составляет $\\rho=$ $3 M_{E} /\\left(4 \\pi R_{e}^{2} R_{p}\\right)$, поэтому масса одного сегмента\\[ m=\\rho V=\\frac{3 M_{E}}{4 \\pi R_{e}^{2} R_{p}} \\frac{2 \\pi}{3} R_{e}^{2} h_{\\max }=\\frac{h_{\\max }}{2 R_{p}} M_{E}\\] Ответ: \n                    \n $$ m=\\frac{h_{\\max }}{2 R_{p}} M_{E} $$\nC2 1.80 Используя этот факт, найдите момент сил $\\tau$ со стороны «солнечного кольца», действующий на Землю. Выразите ответ через $M_E$, $M_S$, $d_{SE}$, $R$ (средний радиус), $h_{\\textrm{max}}$ и угол $\\alpha$. Считайте, что $h_\\textrm{max}\\ll R$. Момент сил, действующий на идеальную сферу радиуса $R_{e}$, равен нулю в силу симметрии. Из принципа суперпозиции, изложенного в задаче, следует, что момент $\\vec{\\tau}$, действующий на Землю в форме эллипсоида, равен по величине, но противоположен по направлению моменту $\\vec{\\tau}'$, действующему на две эквивалентные точечные массы (каждая массой $2 m / 5$):\\[\\vec{\\tau}=-\\vec{\\tau}'\\] Рис. C.2. Силы, действующие на две точечные массы Величина момента сил, действующего на точечные массы, равна $$ \\left|\\vec{\\tau}^{\\prime}\\right|=|\\vec{\\tau}|=2 F_{z} R \\sin \\alpha+2 F_{r} R \\cos \\alpha $$ где $$ \\begin{aligned} F_{z} & =\\frac{2}{5} m\\left|g_{z}\\right|=\\frac{2}{5} m G M_{S} \\frac{R \\cos \\alpha}{d_{S E}^{3}} \\\\\\ F_{r} & =\\frac{2}{5} m\\left|g_{r}\\right|=\\frac{2}{5} m G M_{S} \\frac{R \\sin \\alpha}{2 d_{S E}^{3}} \\end{aligned} $$ Подставляя эти силы в выражение для $\\tau^{\\prime}$ и упрощая, получаем: $$ |\\vec{\\tau}|=\\frac{6}{5} \\frac{G m M_{S}}{d_{S E}^{3}} R^{2} \\sin \\alpha \\cos \\alpha $$ Используя результат пункта C1 , это можно записать как $$ |\\vec{\\tau}|=\\frac{3}{5} \\frac{G M_{E} M_{S}}{d_{S E}^{3}} R h_{\\max } \\sin \\alpha \\cos \\alpha $$ Момент сил $\\vec{\\tau}^{\\prime}$ направлен к наблюдателю по нормали к плоскости рисунка C.2, поэтому момент сил $\\vec{\\tau}$, действующий на Землю в форме эллипсоида, направлен от наблюдателя. Ответ: \n                    \n $$ |\\vec{\\tau}|=\\frac{3}{5} \\frac{G M_{E} M_{S}}{d_{S E}^{3}} R h_{\\max } \\sin \\alpha \\cos \\alpha $$\nD1 1.80 Получите выражение для периода $T_1$ прецессии земной оси. Выразите ответ через $M_S$, $d_{SE}$, угловую скорость $\\omega$ вращения Земли, $h_\\textrm{max}$, $R$ и $\\alpha$. Момент сил, действующий на Землю, приводит к изменению вектора ее момента импульса $\\vec{L}$: $$ \\vec{\\tau}=\\frac{\\mathrm{d} \\vec{L}}{\\mathrm{d} t} $$ где $\\vec{L}$ параллелен угловой скорости вращения Земли, а его величина (в предположении однородного распределения масс и пренебрежении несферичностью Земли) определяется как:$$ |\\vec{L}|=\\frac{2}{5} M_{E} R^{2} \\omega $$ Поскольку $\\vec{\\tau}$ (т.е. скорость изменения вектора момента импульса) перпендикулярна $\\vec{L}$, длина $\\vec{L}$ остается постоянной, но его направление меняется, как показано на рисунке D.1. В результате вектор $\\vec{L}$ прецессирует вокруг оси конуса с углом раствора $2\\alpha$. Рис. D.1 Проводя аналогию с равномерным круговым движением, можем написать уравнение между $L$, его производной по времени и угловой скоростью прецессии: $$ \\left|\\frac{\\mathrm{d} \\vec{L}}{\\mathrm{d} t}\\right|=\\Omega_{1}|\\vec{L}| \\sin \\alpha $$ Из этого уравнения угловая скорость прецессии $\\Omega_{1}$ может быть выражена как: $$ \\Omega_{1}=\\frac{\\tau}{L \\sin \\alpha}=\\frac{\\frac{3}{5} G M_{E} M_{S} R h_{\\max } \\sin \\alpha \\cos \\alpha / d_{S E}^{3}}{\\frac{2}{5} M_{E} R^{2} \\omega \\sin \\alpha}, $$ где был использован предыдущий результат для $\\tau$. После упрощения: $$ \\Omega_{1}=\\frac{3}{2} \\frac{G M_{S} h_{\\max }}{d_{S E}^{3} R \\omega} \\cos \\alpha $$ Отсюда период прецессии: $$ T_{1}=\\frac{2 \\pi}{\\Omega_{1}}=\\frac{4 \\pi}{3} \\frac{d_{S E}^{3} R \\omega}{G M_{S} h_{\\max } \\cos \\alpha} $$ Ответ: \n                    \n $$ T_{1}=\\frac{4 \\pi}{3} \\frac{d_{S E}^{3} R \\omega}{G M_{S} h_{\\max } \\cos \\alpha} $$\nD2 0.20 Вычислите период прецессии $T_1$ в годах. Подставляя численные значения, находим период: Ответ: \n                    \n $$ T_{1}=80\\,600 \\text { лет} $$\nE1 1.00 Во сколько раз ($T_2/T_1 $) изменится период прецессии земной оси, если учесть момент сил, создаваемый Луной? Выразите ответ через $d_{ME}$, $d_{SE}$, $M_S$ и $M_M$. Как было показано в части D , угловая скорость прецессии пропорциональна вращающему моменту, действующему на Землю, который пропорционален величине $M_{S} / d_{S E}^{3}$. Если учесть влияние Луны, то моменты сил, действующие на Землю со стороны Солнца и Луны, складываются, и в результате $$ \\Omega_{2}=\\frac{M_{M} / d_{M E}^{3}+M_{S} / d_{S E}^{3}}{M_{S} / d_{S E}^{3}} \\Omega_{1} $$Отсюда получаем аналогичное выражение для периодов: Ответ: \n                    \n $$ \\frac{T_{2}}{T_{1}}=\\frac{M_{S} / d_{S E}^{3}}{M_{M} / d_{M E}^{3}+M_{S} / d_{S E}^{3}} $$\nE2 0.20 Подставив численные значения, рассчитайте период прецессии $T_2$ в годах. Подставив числа, получаем: Ответ: \n                    \n $$ T_{2}=25\\,400 \\text { лет} $$ что довольно близко к значению, полученному современными методами.","figures":["/corpus/figures/354b076aeefef4f1cf7b.webp","/corpus/figures/d41805a06c8414205a1e.webp","/corpus/figures/48d469fd1fd973d1633e.webp","/corpus/figures/cbfbdb0d9ecc0e2d5ad6.webp","/corpus/figures/08786671db671facdffd.webp","/corpus/figures/36579eda2042ef235da8.webp"],"shared":false}},{"id":"apho-2025-t2","importedOn":"2026-10-28","language":"ru","sources":[{"url":"https://pho.rs/p/4712","kind":"statement"},{"url":"https://pho.rs/p/4712/s","kind":"solution"}],"statement":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Введение"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tВ классической физике момент импульса возникает в результате вращения объекта вокруг оси – будь то волчок, вращающаяся планета или электрон в атоме. Однако в квантовой физике элементарные частицы обладают собственным моментом импульса, называемым "},{"type":"element","tag":"em","children":[{"type":"text","text":"спином"}]},{"type":"text","text":". Спин играет важнейшую роль в различных физических явлениях, начиная от свойств материалов, например, магнетизме.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n В этой задаче используется классическое описание спина, что даёт качественно правильные результатам. Задача посвящена изучению физики спиновых систем, спиновым волнам и фазовым переходам в магнетиках с точки зрения статистической физики.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"Полезная информация:"}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"$\\cosh(x)\\equiv \\frac{e^x+e^{-x}}{2} $, $\\sinh(x)\\equiv \\frac{e^x-e^{-x}}{2}$, $\\tanh(x)\\equiv \\frac{\\sinh(x)}{\\cosh(x)} \\approx x-\\frac{1}{3}x^3$ для $|x|\\ll1$"}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Магнитное поле диполя с магнитным моментом $\\vec{\\mu}$ в точке с радиус-вектором $\\vec{r}$, направленным от диполя, равно ($\\mu_0$ – магнитная постоянная):"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n $$\\vec{B}=\\frac{\\mu_0}{4\\pi} \\left(\\frac{3(\\vec{\\mu}\\cdot\\vec{r})\\vec{r}}{r^5}-\\frac{\\vec{\\mu}}{r^3}\\right)$$\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть A. Прецессия и взаимодействие магнитных диполей (1.2 балла)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Рассмотрим кольцо радиусом $R$ с равномерно распределёнными массой $M$ и зарядом $Q>0$. Кольцо вращается с угловой скоростью $\\omega$ вокруг оси, перпендикулярной его плоскости и проходящей через его центр масс.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.30"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tМагнитный момент кольца $\\vec{\\mu}$ связан с его моментом импульса $\\vec{L}$ как $\\vec{\\mu}=\\gamma \\vec{L}$. Выразите постоянную $\\gamma$ (т.е. "},{"type":"element","tag":"em","children":[{"type":"text","text":"гиромагнитное отношение"}]},{"type":"text","text":") для этой системы через $Q$ и $M$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Пусть теперь кольцо находится в однородном магнитном поле $\\vec{B}=B\\hat{z}$, направленным под углом $\\theta$ к угловой скорости $\\vec{\\omega}$, (см. рис. A.1).\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/5a2bf3df6738aab80e88.webp","alt":"apho-2025-t2 statement: original source diagram 1"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рисунок A.1."}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.40"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Выразите угловую частоту $\\omega_L$прецессии момента импульса системы под действием внешнего магнитного поля (так называемую ларморовскую частоту) через $B$ и $\\gamma$. Считайте $\\omega_L$ положительной, если при взгляде с положительного направления оси $z$ вращение происходит против часовой стрелки.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Пусть теперь внешнее магнитное поле отсутствует. На расстоянии $d\\gg R$ от первого кольца располагают ещё одно, магнитный момент $\\vec{\\mu}_2$ которого направлен под углом $\\theta$ к моменту $\\vec{\\mu}_1$, как показано на рис. A.2.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/db0cada8d852b0d2d40d.webp","alt":"apho-2025-t2 statement: original source diagram 2"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рисунок A.2."}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Энергию магнитного взаимодействия двух колец можно записать как $U=J_0 \\vec{L}_1\\cdot \\vec{L}_2$, где $J_0$ – константа, а $\\vec{L}_i$ – момент импульса $i$-го кольца. Выразите $J_0$ через $\\gamma, d$ и физические постоянные.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть B. Спиновые волны (4.5 балла)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tВ этой части исследуется динамика спинов, то есть собственных моментов импульса частиц. Частица со спином обладает магнитным моментом $\\vec{\\mu}$, связанным с моментом импульса $\\vec{S}$ соотношением как в части "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"A.1"}]},{"type":"text","text":", $\\vec{\\mu}=\\gamma \\vec{S}$."},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"В этой части будем учитывать только квантовое взаимодействие спинов, энергия которого так же, как и в "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"части"}]},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"A.3"}]},{"type":"text","text":", оказывается пропорциональна $\\vec{S}_1\\cdot \\vec{S}_2$, однако знак энергии противоположен."}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Рассмотрим очень длинную цепочку частиц со спинами. Эти частицы расположены вдоль оси $x$ на расстоянии $a$ друг от друга, см. рис. B.1. Будем учитывать только энергию взаимодействия ближайших друг к другу спинов, так что выражение для энергии:"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n $$E=-J \\sum_i \\vec{S}_i\\cdot \\vec{S}_{i+1}$$\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n где $J>0$ задает величину взаимодействия, $\\vec{S}_i$ – момент импульса спина $i$, модуль момента импульса $S$. Этот вектор может свободно вращаться во всех направлениях. Обратите внимание, что знак энергии отличается от части A, поскольку взаимодействие полностью квантовое.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/e141cc2eeefef1a11791.webp","alt":"apho-2025-t2 statement: original source diagram 3"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рисунок B.1."}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.30"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Рассмотрим слагаемые, входящие в выражение для энергии взаимодействия и содержащие $\\vec{S}_i$. Эти слагаемые можно совокупно рассматривать как энергию магнитного момента $\\vec{S}_i$ в некотором эффективном внешнем поле $\\vec{B}_{i,\\text{eff}}$. Определите $\\vec{B}_{i,\\text{eff}}$ , выразите ответ через $J$, гиромагнитное отношение $\\gamma$, и другие спиновые моменты импульса $\\vec{S}_j$ (выразите индексы $j$ через $i$).\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.30"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Используя эффективное магнитное поле, выразите производную $i$-го момента импульса $d\\vec{S}_i/dt$ через $J, \\vec{S}_i$, и другие моменты импульса $\\vec{S}_j$ (выразите индексы $j$ через $i$).\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tДалее в "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"части B "}]},{"type":"text","text":"считайте, что все магнитные моменты мало отклоняются от оси $z$, так что верны приближения $S_{i,z}\\approx S$ и $dS_{i,z}/dt\\approx0$ для каждого из спинов, см. рис. B.2. В этом случае решениями уравнений движения для $S_{i,x}$ и $S_{i,y}$ являются бегущие волны с волновым вектором $k$ и циклической частотой $\\omega$.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/9ddaa649a4a318857591.webp","alt":"apho-2025-t2 statement: original source diagram 4"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рисунок B.2."}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 2.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tНайдите соотношение между $\\omega$ и $k$ (то есть дисперсионное соотношение $\\omega(k)$) для спиновых волн. Выразите ответ через $J, S$ и $a$. "},{"type":"element","tag":"em","children":[{"type":"text","text":"Подсказка: "}]},{"type":"text","text":"координата $i$-го спина равна $x=a\\cdot i$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Описанная выше спиновая волна обладает определенной энергией и импульсом. При низких энергиях соотношение между энергией и импульсом такое же, как для классической частицы массы $m_\\text{eff }$.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B4\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Для малых $k$ ($k\\ll1/a$), найдите эффективную массу $m_\\text{eff}$ спиновой волны. Выразите ответ через $J, S, a$ и физические постоянные.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Спиновые волны можно исследовать экспериментально с помощью рассеяния нейтронов. Хотя заряд нейтрона и равен нулю, у него есть спин, взаимодействующий с другими спинами.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B5\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.30"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Пусть изначально все магнитные моменты в цепочке направлены вдоль оси $z$. Нейтрон с малой энергией движется в плоскости $x-y$. Угол падения нейтрона на спиновую цепочку равен $\\theta_{in}$, после рассеяния угол становится $\\theta_{out}$ (см. рис. B.3). Считая, что нейтрон возбуждает одну спиновую волну, определите эффективную массу спиновой волны, выразите ответ через $\\theta_\\text{in}, \\theta_\\text{out}$ и массу нейтрона $m_n$. Изначально спины покоятся.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/6b6a456464dea69a55eb.webp","alt":"apho-2025-t2 statement: original source diagram 5"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рисунок B.3"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть C. Фазовый переход в спиновой цепочке (4.3 балла)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tРассмотрим ту же цепочку, что и в "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"части B"}]},{"type":"text","text":", состоящую из $N$спинов. Пусть теперь каждый вектор спина направлен либо по оси $z$, либо против нее, так что проекция спинового момента импульса имеет вид $S_{i,z} = s_i S$, где $s_i=\\pm 1$, см. рис. C.1. Помимо взаимодействия с ближайшими соседями на спины действует внешнее магнитное поле, направленное вдоль оси $z$, так что энергия системы имеет вид\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n $$E=-\\tilde{J}\\sum_{i} s_i s_{i+1} - h \\sum_{i} s_i.$$\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Здесь $\\tilde{J}\\geq0$, $h$ – постоянная, зависящая от магнитного поля. Спиновая система находится в термодинамическом равновесии при температуре $T$. Краевые эффекты не учитывайте.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/f498c64a58009ddbd6d0.webp","alt":"apho-2025-t2 statement: original source diagram 6"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рисунок C.1."}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Пусть $\\tilde{J}=0$. Найдите отношение вероятности того, что некоторый спин направлен вдоль магнитного поля $p_\\uparrow$, к вероятности того, что он направлен против поля $p_\\downarrow$. Выразите $p_\\uparrow/p_\\downarrow$ через $h$, $T$ и физические постоянные.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Найдите средний спин системы $\\bar{s}\\equiv\\frac{1}{N} \\sum_i s_i$ при $N\\gg 1$, выразите ответ через $T$ и физические постоянные. Нарисуйте график зависимости $\\bar{s}$ от $h$ в пределах от $-h_0$ до $h_0$ для случаев $h_o\\gg k_BT$, $h_o\\approx k_BT$ и $h_o\\ll k_BT$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n В оставшихся пунктах внешнее магнитное поле отсутствует, $h=0$, а $\\tilde{J}>0$.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Чему равна энергия $E_g$ основного состояния системы (состояния с минимальной энергией). Выразите ответ через $\\tilde{J}$ и $N$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Вместо анализа взаимодействий каждого спина с соседями предположим, что каждый спин взаимодействует со средним спином $\\bar{s}$.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C4\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Получите приближенное выражение для энергии в виде суммы по всем спинам"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$E=-\\tilde{J}_{\\text{eff}} \\sum_{i} s_i$$ и выразите $\\tilde{J}_{\\text{eff}}$ через $\\tilde{J}$ и $\\bar{s}$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C5\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tАналогично пункту "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"C.2"}]},{"type":"text","text":", получите уравнение, которому удовлетворяет среднее значение спина $\\bar{s}$. Количество решений этого уравнения зависит от $T$. Найдите критическую температуру $T_c$, при которой количество решений меняется. Выразите ответ через $\\tilde{J}$ и физические постоянные.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C6\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Найдите все возможные значения $\\bar{s}$ при $T\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C7\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Какой магнитной фазе отвечает случай $T>T_c$, а какой $T\n\n                \n                "}]}]}]}]}],"text":"Введение В классической физике момент импульса возникает в результате вращения объекта вокруг оси – будь то волчок, вращающаяся планета или электрон в атоме. Однако в квантовой физике элементарные частицы обладают собственным моментом импульса, называемым спином . Спин играет важнейшую роль в различных физических явлениях, начиная от свойств материалов, например, магнетизме. В этой задаче используется классическое описание спина, что даёт качественно правильные результатам. Задача посвящена изучению физики спиновых систем, спиновым волнам и фазовым переходам в магнетиках с точки зрения статистической физики. Полезная информация: $\\cosh(x)\\equiv \\frac{e^x+e^{-x}}{2} $, $\\sinh(x)\\equiv \\frac{e^x-e^{-x}}{2}$, $\\tanh(x)\\equiv \\frac{\\sinh(x)}{\\cosh(x)} \\approx x-\\frac{1}{3}x^3$ для $|x|\\ll1$ Магнитное поле диполя с магнитным моментом $\\vec{\\mu}$ в точке с радиус-вектором $\\vec{r}$, направленным от диполя, равно ($\\mu_0$ – магнитная постоянная): $$\\vec{B}=\\frac{\\mu_0}{4\\pi} \\left(\\frac{3(\\vec{\\mu}\\cdot\\vec{r})\\vec{r}}{r^5}-\\frac{\\vec{\\mu}}{r^3}\\right)$$ Часть A. Прецессия и взаимодействие магнитных диполей (1.2 балла) Рассмотрим кольцо радиусом $R$ с равномерно распределёнными массой $M$ и зарядом $Q>0$. Кольцо вращается с угловой скоростью $\\omega$ вокруг оси, перпендикулярной его плоскости и проходящей через его центр масс. A1 0.30 Магнитный момент кольца $\\vec{\\mu}$ связан с его моментом импульса $\\vec{L}$ как $\\vec{\\mu}=\\gamma \\vec{L}$. Выразите постоянную $\\gamma$ (т.е. гиромагнитное отношение ) для этой системы через $Q$ и $M$. Пусть теперь кольцо находится в однородном магнитном поле $\\vec{B}=B\\hat{z}$, направленным под углом $\\theta$ к угловой скорости $\\vec{\\omega}$, (см. рис. A.1). Рисунок A.1. A2 0.40 Выразите угловую частоту $\\omega_L$прецессии момента импульса системы под действием внешнего магнитного поля (так называемую ларморовскую частоту) через $B$ и $\\gamma$. Считайте $\\omega_L$ положительной, если при взгляде с положительного направления оси $z$ вращение происходит против часовой стрелки. Пусть теперь внешнее магнитное поле отсутствует. На расстоянии $d\\gg R$ от первого кольца располагают ещё одно, магнитный момент $\\vec{\\mu}_2$ которого направлен под углом $\\theta$ к моменту $\\vec{\\mu}_1$, как показано на рис. A.2. Рисунок A.2. A3 0.50 Энергию магнитного взаимодействия двух колец можно записать как $U=J_0 \\vec{L}_1\\cdot \\vec{L}_2$, где $J_0$ – константа, а $\\vec{L}_i$ – момент импульса $i$-го кольца. Выразите $J_0$ через $\\gamma, d$ и физические постоянные. Часть B. Спиновые волны (4.5 балла) В этой части исследуется динамика спинов, то есть собственных моментов импульса частиц. Частица со спином обладает магнитным моментом $\\vec{\\mu}$, связанным с моментом импульса $\\vec{S}$ соотношением как в части A.1 , $\\vec{\\mu}=\\gamma \\vec{S}$. В этой части будем учитывать только квантовое взаимодействие спинов, энергия которого так же, как и в части A.3 , оказывается пропорциональна $\\vec{S}_1\\cdot \\vec{S}_2$, однако знак энергии противоположен. Рассмотрим очень длинную цепочку частиц со спинами. Эти частицы расположены вдоль оси $x$ на расстоянии $a$ друг от друга, см. рис. B.1. Будем учитывать только энергию взаимодействия ближайших друг к другу спинов, так что выражение для энергии: $$E=-J \\sum_i \\vec{S}_i\\cdot \\vec{S}_{i+1}$$ где $J>0$ задает величину взаимодействия, $\\vec{S}_i$ – момент импульса спина $i$, модуль момента импульса $S$. Этот вектор может свободно вращаться во всех направлениях. Обратите внимание, что знак энергии отличается от части A, поскольку взаимодействие полностью квантовое. Рисунок B.1. B1 0.30 Рассмотрим слагаемые, входящие в выражение для энергии взаимодействия и содержащие $\\vec{S}_i$. Эти слагаемые можно совокупно рассматривать как энергию магнитного момента $\\vec{S}_i$ в некотором эффективном внешнем поле $\\vec{B}_{i,\\text{eff}}$. Определите $\\vec{B}_{i,\\text{eff}}$ , выразите ответ через $J$, гиромагнитное отношение $\\gamma$, и другие спиновые моменты импульса $\\vec{S}_j$ (выразите индексы $j$ через $i$). B2 0.30 Используя эффективное магнитное поле, выразите производную $i$-го момента импульса $d\\vec{S}_i/dt$ через $J, \\vec{S}_i$, и другие моменты импульса $\\vec{S}_j$ (выразите индексы $j$ через $i$). Далее в части B считайте, что все магнитные моменты мало отклоняются от оси $z$, так что верны приближения $S_{i,z}\\approx S$ и $dS_{i,z}/dt\\approx0$ для каждого из спинов, см. рис. B.2. В этом случае решениями уравнений движения для $S_{i,x}$ и $S_{i,y}$ являются бегущие волны с волновым вектором $k$ и циклической частотой $\\omega$. Рисунок B.2. B3 2.00 Найдите соотношение между $\\omega$ и $k$ (то есть дисперсионное соотношение $\\omega(k)$) для спиновых волн. Выразите ответ через $J, S$ и $a$. Подсказка: координата $i$-го спина равна $x=a\\cdot i$. Описанная выше спиновая волна обладает определенной энергией и импульсом. При низких энергиях соотношение между энергией и импульсом такое же, как для классической частицы массы $m_\\text{eff }$. B4 0.60 Для малых $k$ ($k\\ll1/a$), найдите эффективную массу $m_\\text{eff}$ спиновой волны. Выразите ответ через $J, S, a$ и физические постоянные. Спиновые волны можно исследовать экспериментально с помощью рассеяния нейтронов. Хотя заряд нейтрона и равен нулю, у него есть спин, взаимодействующий с другими спинами. B5 1.30 Пусть изначально все магнитные моменты в цепочке направлены вдоль оси $z$. Нейтрон с малой энергией движется в плоскости $x-y$. Угол падения нейтрона на спиновую цепочку равен $\\theta_{in}$, после рассеяния угол становится $\\theta_{out}$ (см. рис. B.3). Считая, что нейтрон возбуждает одну спиновую волну, определите эффективную массу спиновой волны, выразите ответ через $\\theta_\\text{in}, \\theta_\\text{out}$ и массу нейтрона $m_n$. Изначально спины покоятся. Рисунок B.3 Часть C. Фазовый переход в спиновой цепочке (4.3 балла) Рассмотрим ту же цепочку, что и в части B , состоящую из $N$спинов. Пусть теперь каждый вектор спина направлен либо по оси $z$, либо против нее, так что проекция спинового момента импульса имеет вид $S_{i,z} = s_i S$, где $s_i=\\pm 1$, см. рис. C.1. Помимо взаимодействия с ближайшими соседями на спины действует внешнее магнитное поле, направленное вдоль оси $z$, так что энергия системы имеет вид $$E=-\\tilde{J}\\sum_{i} s_i s_{i+1} - h \\sum_{i} s_i.$$ Здесь $\\tilde{J}\\geq0$, $h$ – постоянная, зависящая от магнитного поля. Спиновая система находится в термодинамическом равновесии при температуре $T$. Краевые эффекты не учитывайте. Рисунок C.1. C1 0.50 Пусть $\\tilde{J}=0$. Найдите отношение вероятности того, что некоторый спин направлен вдоль магнитного поля $p_\\uparrow$, к вероятности того, что он направлен против поля $p_\\downarrow$. Выразите $p_\\uparrow/p_\\downarrow$ через $h$, $T$ и физические постоянные. C2 1.00 Найдите средний спин системы $\\bar{s}\\equiv\\frac{1}{N} \\sum_i s_i$ при $N\\gg 1$, выразите ответ через $T$ и физические постоянные. Нарисуйте график зависимости $\\bar{s}$ от $h$ в пределах от $-h_0$ до $h_0$ для случаев $h_o\\gg k_BT$, $h_o\\approx k_BT$ и $h_o\\ll k_BT$. В оставшихся пунктах внешнее магнитное поле отсутствует, $h=0$, а $\\tilde{J}>0$. C3 0.20 Чему равна энергия $E_g$ основного состояния системы (состояния с минимальной энергией). Выразите ответ через $\\tilde{J}$ и $N$. Вместо анализа взаимодействий каждого спина с соседями предположим, что каждый спин взаимодействует со средним спином $\\bar{s}$. C4 0.20 Получите приближенное выражение для энергии в виде суммы по всем спинам $$E=-\\tilde{J}_{\\text{eff}} \\sum_{i} s_i$$ и выразите $\\tilde{J}_{\\text{eff}}$ через $\\tilde{J}$ и $\\bar{s}$. C5 1.20 Аналогично пункту C.2 , получите уравнение, которому удовлетворяет среднее значение спина $\\bar{s}$. Количество решений этого уравнения зависит от $T$. Найдите критическую температуру $T_c$, при которой количество решений меняется. Выразите ответ через $\\tilde{J}$ и физические постоянные. C6 1.00 Найдите все возможные значения $\\bar{s}$ при $T C7 0.20 Какой магнитной фазе отвечает случай $T>T_c$, а какой $T\n","figures":["/corpus/figures/5a2bf3df6738aab80e88.webp","/corpus/figures/db0cada8d852b0d2d40d.webp","/corpus/figures/e141cc2eeefef1a11791.webp","/corpus/figures/9ddaa649a4a318857591.webp","/corpus/figures/6b6a456464dea69a55eb.webp","/corpus/figures/f498c64a58009ddbd6d0.webp"],"shared":false},"solution":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.30"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tМагнитный момент кольца $\\vec{\\mu}$ связан с его моментом импульса $\\vec{L}$ как $\\vec{\\mu}=\\gamma \\vec{L}$. Выразите постоянную $\\gamma$ (т.е. "},{"type":"element","tag":"em","children":[{"type":"text","text":"гиромагнитное отношение"}]},{"type":"text","text":") для этой системы через $Q$ и $M$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Момент импульса кольца, вращающегося вокруг оси симметрии, равен"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\vec{L}=M R^{2} \\vec{\\omega},"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$при этом ток, возникающий из-за вращения, равен $I= Q / T=\\omega Q / 2 \\pi$. Магнитный дипольный момент кольца равен"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\vec{\\mu}=I A \\hat{\\omega}=\\frac{\\omega Q}{2 \\pi} \\pi R^{2} \\hat{\\omega}=\\frac{Q}{2} R^{2} \\vec{\\omega}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Отсюда следует, что"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\vec{\\mu}=\\frac{Q}{2 M} \\vec{L}."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$ "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\gamma = \\frac{Q}{2M}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.40"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Выразите угловую частоту $\\omega_L$прецессии момента импульса системы под действием внешнего магнитного поля (так называемую ларморовскую частоту) через $B$ и $\\gamma$. Считайте $\\omega_L$ положительной, если при взгляде с положительного направления оси $z$ вращение происходит против часовой стрелки.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"\n        \n             Момент сил, действующий на магнитный диполь во внешнем магнитном поле, равен"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\vec{\\tau}=\\vec{\\mu} \\times \\vec{B}=\\frac{d \\vec{L}}{dt}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Изменяется только компонента момента импульса, перпендикулярная  $\\vec{B}$. Пусть она  вращается с угловой скоростью $\\omega_{L}$, тогда"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":" L \\omega_{L} \\sin \\theta=-\\mu B \\sin \\theta"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$откуда получаем"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\omega_{L}=-\\frac{\\mu}{L} B=-\\gamma B."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Также можно подставить в уравнение движения векторное выражение для магнитного момента, в результате получим"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\frac{d\\vec{L}}{dt} = - \\gamma \\vec{B} \\times \\vec{L},"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$откуда вектор угловой скорости"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\vec{\\omega} = - \\gamma \\vec{B},"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$откуда сразу следует ответ – проекция этой угловой скорости на ось $z$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/fe6b48773e838aae7d61.webp","alt":"apho-2025-t2 solution: original source diagram 1"}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\omega_L = - \\gamma B"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Энергию магнитного взаимодействия двух колец можно записать как $U=J_0 \\vec{L}_1\\cdot \\vec{L}_2$, где $J_0$ – константа, а $\\vec{L}_i$ – момент импульса $i$-го кольца. Выразите $J_0$ через $\\gamma, d$ и физические постоянные.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Магнитное поле, создаваемое первым диполем в месте расположения второго диполя"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\vec{B}_{12}=-\\frac{\\mu_{0}}{4 \\pi} \\frac{\\vec{\\mu}_{1}}{d^{3}}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Тогда энергия взаимодействия"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"U=-\\vec{\\mu}_{2} \\cdot \\vec{B}_{12}=-\\frac{\\mu_{0}}{4 \\pi d^{3}} \\mu_{1} \\mu_{2} \\cos (\\pi-\\theta),"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$откуда"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"U=\\frac{\\mu_{0} \\gamma^{2}}{4 \\pi d^{3}} \\vec{L}_{1} \\cdot \\vec{L}_{2},"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"J_0 = \\frac{\\mu_0 \\gamma^2}{4 \\pi d^3}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.30"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Рассмотрим слагаемые, входящие в выражение для энергии взаимодействия и содержащие $\\vec{S}_i$. Эти слагаемые можно совокупно рассматривать как энергию магнитного момента $\\vec{S}_i$ в некотором эффективном внешнем поле $\\vec{B}_{i,\\text{eff}}$. Определите $\\vec{B}_{i,\\text{eff}}$ , выразите ответ через $J$, гиромагнитное отношение $\\gamma$, и другие спиновые моменты импульса $\\vec{S}_j$ (выразите индексы $j$ через $i$).\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Заметим, что $i$-й спин взаимодействует с соседними спинами $i-1$ и $i+1$. Энергия взаимодействия $E_{i}=-J\\left(\\vec{S}_{i-1}+\\vec{S}_{i+1}\\right) \\cdot \\vec{S}_{i}$, что аналогично энергии диполя в магнитном поле $E_{i}=-\\vec{B}_{i} \\cdot \\vec{\\mu}_{i}$. Используя $\\vec{\\mu}_{i}=\\gamma \\vec{S}_{i}$, получаем"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\vec{B}_{i, \\text{eff}}=\\frac{J}{\\gamma}\\left(\\vec{S}_{i-1}+\\vec{S}_{i+1}\\right)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\vec{B}_{i, \\text{eff}} = \\frac{J}{\\gamma}\\left( \\vec{S}_{i-1}+ \\vec{S}_{i+1}\\right)"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.30"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Используя эффективное магнитное поле, выразите производную $i$-го момента импульса $d\\vec{S}_i/dt$ через $J, \\vec{S}_i$, и другие моменты импульса $\\vec{S}_j$ (выразите индексы $j$ через $i$).\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Используя найденное выше выражение для эффективного магнитного поля"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\frac{d\\vec{S}_{i}}{d t}  =\\vec{\\tau}=\\vec{\\mu}_{i} \\times \\vec{B}_{i, \\text { eff }}  =J \\vec{S}_{i} \\times\\left(\\vec{S}_{i-1}+\\vec{S}_{i+1}\\right)"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\frac{d\\vec{S}_{i}}{d t}    =J \\vec{S}_{i} \\times\\left(\\vec{S}_{i-1}+\\vec{S}_{i+1}\\right)"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"em","children":[{"type":"text","text":"Примечание: "}]},{"type":"text","text":"В случае произвольной зависимости энергии взаимодействия $U$ от величины магнитных моментов можно показать, что компоненты эффективное магнитного поля, действующего на $i$-й магнитный момент, равны производным  энергии по соответствующим компонентам магнитного момента, взятым с обратным знаком $$  B_{i, \\text{eff},x} = - \\frac{\\partial U}{\\partial \\mu_{i, x}},\\, B_{i,\\text{eff}, y} = - \\frac{\\partial U}{\\partial \\mu_{i, y}}, \\,B_{i, \\text{eff},z} = - \\frac{\\partial U}{\\partial \\mu_{i, z}},   $$ что также можно записать в векторном виде (по сути производная по вектору определена как вектор, компоненты которого – производные по компонентам вектора) $$ \\vec{B}_{i, \\text{eff}} = - \\frac{\\partial U}{\\partial \\vec{\\mu}_i}. $$ Это соотношение сложно строго доказать элементарными методами. Для качественного объяснения рассмотрим производную энергии по времени $$ \\frac{dU}{dt} = \\sum_i \\frac{\\partial U}{\\partial \\vec{\\mu}_i} \\dot{\\vec{\\mu}}_i  = \\sum_i \\frac{\\partial U}{\\partial \\vec{\\mu}_i} \\left(\\vec\\omega_i \\times\\vec{\\mu}_i \\right),$$ где $\\vec{\\omega}_i$ – угловая скорость $i$-го магнитного момента (совпадающая с угловой скоростью $i$-го спина) С другой стороны из механики мощность сил при вращательном движении  можно выразить через моменты сил $\\vec{\\tau}_i$ и угловые скорости как $$ P = \\sum_i \\vec{\\omega_i} \\cdot \\vec{\\tau}_i  = -  \\frac{dU}{dt} = - \\sum_i \\vec\\omega_i  \\cdot \\left( \\vec\\mu_i  \\times \\frac{\\partial U}{\\partial \\vec{\\mu}_i}\\right).$$ Здесь в последнем равенстве циклически переставлены множители в смещанном произведении. Знак «минус» появляется, поскольку  работа совершается самой системой. Сравнивая эти выражения, можно записать выражение для момента сил $$\\vec\\tau_i = \\vec\\mu_i \\times\\left( - \\frac{\\partial U}{\\partial \\vec{\\mu}_i} \\right).$$ Тогда при приведенном выше определении эффективного магнитного поля получим такое же выражение для момента сил, как и для обычного магнитного поля $$\\vec \\tau_i = \\vec\\mu_i \\times \\vec B_{i, \\text{eff}}. $$ "},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Это рассуждение не является строгим доказательством, поскольку закон сохранения энергии гарантирует только равенство сумм, а не отдельных слагаемых. Однако оно объясняет, почему в отличие от следующей части не нужно делить эффективное поле на 2, чтобы избежать двойного учета энергии взаимодействия каждой пары спинов. "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 2.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tНайдите соотношение между $\\omega$ и $k$ (то есть дисперсионное соотношение $\\omega(k)$) для спиновых волн. Выразите ответ через $J, S$ и $a$. "},{"type":"element","tag":"em","children":[{"type":"text","text":"Подсказка: "}]},{"type":"text","text":"координата $i$-го спина равна $x=a\\cdot i$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Запишем уравнения движения для $x$, $y$ компонент спина:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\begin{align*}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\frac{dS_{i,x}}{dt} &= J\\left[ S_{i, y} (S_{i - 1, z}  + S_{i+1, z}) -  S_{i, z} (S_{i-1, y} + S_{i+ 1,y})\\right] ,\\\\"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\frac{dS_{i,y}}{dt} &= J\\left[ S_{i, z} (S_{i - 1, x}  + S_{i+1, x}) -  S_{i, x} (S_{i-1, z} + S_{i+ 1,z})\\right] ."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\end{align*}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Используя приближение $S_{i, z} \\approx S$ получим"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\begin{align*}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\frac{dS_{i,x}}{dt} &\\approx J S (2 S_{i, y} - S_{i-1,y} - S_{i+1, y}),\\\\"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\frac{dS_{i,y}}{dt} &\\approx - J S (2 S_{i, x} - S_{i-1,x}- S_{i+1, x}) ."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\end{align*}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Будем искать решение в виде комплексных бегущих волн с комплексными амплитудами $A_x, A_y$ (физические решения – вещественные части комплексных), для удобства заменим индекс на $n$:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"S_{n, x} = A_x e^{i k n a - i \\omega t}, \\quad S_{n, y} = A_y e^{i k n a - i \\omega t}."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Подставляя эти решения в уравнения и сокращая на общую экспоненту $e^{ikna -i \\omega t}$, получим"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"- i \\omega A_x  = JS A_y (2 - 2 \\cos ka), \\quad - i \\omega A_y = -  JSA_x(2 - 2 \\cos ka)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Исключая из уравнений отношение амплитуд, найдем (например, перемножив уравнения и сократив на $A_x A_y$)"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\omega^2 = (2JS)^2 (1 - \\cos ka)^2,"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$откуда"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\omega = \\pm 2 JS (1- \\cos ka)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Волны с отрицательным значением частоты распространяются в обратную сторону по отношению к направлению $k$. Найденным значениям частоты отвечает соотношение между комплексными амплитудами колебаний"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"A_x = \\pm i A_x."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Оно означает, что амплитуды колебаний по осям $x$, $y$ совпадают, при этом есть сдвиг по фазе $\\pm \\pi/2$. Это означает, что в спиновой волне каждый спин вращается вокруг оси $z$, образуя с ней постоянный угол. "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"То же решение можно найти сразу в вещественной форме. Для этого предположим, что колебания по оси $x$ имеют вид бегущей волны"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"S_x = \\delta S_x \\cos(k n a - \\omega t)"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$и подставим в уравнение для $S_y$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\begin{align*}\\frac{dS_{y,i}}{dt} &= - JS \\delta S_x (2 \\cos(kna - \\omega t) - \\cos(kna  -\\omega t - ka) - \\cos(kna - \\omega t + ka)) = \\\\"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"&= - 2 JS \\delta S_x (1 - \\cos ka) \\cos(kna - \\omega t). "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\end{align*}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Поскольку производная по времени для $S_{i, y}$ пропорциональная $\\cos(k na - \\omega t)$, решение для $S_y$ ищем в виде"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\begin{align*}S_y& = \\delta S_y \\sin(kna - \\omega t), \\\\"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"- \\omega \\delta S_y \\cos(kna - \\omega t)& = - 2 JS \\delta S_x (1 - \\cos ka) \\cos(kna - \\omega t),"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\end{align*}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"откуда сокращая общий множитель $\\cos(kna  - \\omega t)$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\["},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"- \\omega \\delta S_y = - 2 JS \\delta S_x (1 - \\cos ka). \\tag{1}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\]"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Аналогично из уравнений для $\\delta S_x$ найдем"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\omega \\delta S_x \\sin(k na - \\omega t ) =  JS \\delta S_y ( 2 \\sin(k na -\\omega t) - \\sin(kn a - \\omega t - ka) - \\sin(kn a - \\omega t + ka)),"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$откуда"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\["},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\omega \\delta S_x = 2 JS \\delta S_y (1 - \\cos ka). \\tag{2}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\]"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Из уравнений (1), (2) получаем прежнее значение частоты и соотношение между амплитудами $\\delta S_x = \\pm \\delta S_y$. "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Заметим, что решение можно получить короче, если сразу искать его в виде"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"S_x = \\delta S \\cos(kx - \\omega t), \\quad S_y = \\delta S \\sin(kx - \\omega t),"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$с равными амплитудами и правильным сдвигом фаз. Такой выбор отвечает вращению магнитных моментов с постоянной частотой вокруг оси $z$.\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\omega(k)=2 J S[1-\\cos (k a)]"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n В случае, когда длина волны много больше расстояния между соседними спинами, разностные уравнения можно свести к дифференциальным, для этого будем считать $S_x$ и $S_y$ непрерывными функциями координаты $x$, тогда $S_{n, x} = S_x (na)$ и "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"2 S_{n, x} - S_{n-1, x} -S_{n+1, x} \\approx -  a^2 \\frac{\\partial ^2 S_x}{\\partial x^2},"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$где использовалось $x_{n\\pm 1} = x \\pm a$ и разложение до второго порядка по формуле Тейлора"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"S_{n\\pm 1, x} = S_x(x) \\pm a \\frac{\\partial S_x}{\\partial x} + \\frac{a^2}{2} \\frac{\\partial^2 S}{\\partial x^2}."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Подставляя это разложение (и аналогичное разложение для $S_y$) в уравнения движения, получим"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\frac{\\partial S_x}{\\partial t} = -a^2 JS \\frac{\\partial ^2 S_y}{\\partial x^2}, \\quad \\frac{\\partial S_y}{\\partial t} = a^2 JS \\frac{\\partial ^2 S_x}{\\partial x^2}."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Как и для точных уравнений выше, можно искать решения вида $S_x = A \\cos(kx - \\omega t)$, $S_y = A \\sin(kx - \\omega t)$ или их аналоги в комплексной форме. Иначе можно продифференцировать первое уравнение по времени, и подставить производную из второго уравнения. тогда получим"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\frac{\\partial^2 S_x}{\\partial t^2} = -a^2 JS \\frac{\\partial^3 S_y}{\\partial^2 x \\partial t} = - (a^2 JS)^2 \\frac{\\partial ^4 S_x}{\\partial x^4}."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Подставляя решение в виде косинуса или экспоненты, найдем "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\omega^2 = (a^2 J S)^2 k^4, \\quad \\omega = \\pm JS k^2 a^2,"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$что совпадает с разложением точного ответа при малых значениях $ka$.\n\n                "}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B4\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Для малых $k$ ($k\\ll1/a$), найдите эффективную массу $m_\\text{eff}$ спиновой волны. Выразите ответ через $J, S, a$ и физические постоянные.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Разложим выражение для частоты при малых $k$:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\omega(k) \\approx 2 J S\\left[1-1+\\frac{1}{2}(k a)^{2}\\right]=J S a^{2} k^{2}."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Как и в случае электромагнитных волн, можно считать, что спиновые волны существуют в виде частиц (магнонов). Для них  справедливы такие же соотношения между частотой и энергией, а также импульсом и волновым вектором, как и для других частиц (соотношения де Бройля): "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$E=\\hbar \\omega, \\quad p=\\hbar k. $$ Подстановка даёт"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"E=\\hbar \\omega=\\frac{J S a^{2}}{\\hbar} p^{2} \\equiv \\frac{p^{2}}{2 m_{\\mathrm{эфф}}},"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$где"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"m_{\\mathrm{eff}} =\\frac{\\hbar}{2 J S a^{2}}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B5\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.30"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Пусть изначально все магнитные моменты в цепочке направлены вдоль оси $z$. Нейтрон с малой энергией движется в плоскости $x-y$. Угол падения нейтрона на спиновую цепочку равен $\\theta_{in}$, после рассеяния угол становится $\\theta_{out}$ (см. рис. B.3). Считая, что нейтрон возбуждает одну спиновую волну, определите эффективную массу спиновой волны, выразите ответ через $\\theta_\\text{in}, \\theta_\\text{out}$ и массу нейтрона $m_n$. Изначально спины покоятся.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n При рассеянии нейтрона выполняются законы сохранения энергии и импульса, причем нужно учесть энергию и импульс возбуждаемой спиновой волны. Импульс спиновой волны направлен вдль цепочки, поэтому закон сохранения импульса по оси $y$:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"p_y = p_{\\text{in}} \\cos \\theta_{\\text{in}} = p_{\\text{out}} \\cos \\theta_{\\text{out}},"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$где $p_\\text{in}$, $p_\\text{out}$ – начальный и конечный импульсы нейтрона. "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Из закона сохранения импульса по оси $x$ получаем импульс спиновой волны"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$ "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"p_s = p_\\text{in} \\sin \\theta_\\text{in} - p_\\text{out} \\sin \\theta_\\text{out} = p_y (\\operatorname{tg} \\theta_\\text{in} - \\operatorname{tg} \\theta_\\text{out})."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Из закона сохранения энергии находим энергию спиновой волны"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\begin{align*}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":" E_s = E_\\text{in} - E_\\text{out} &= \\frac{p_\\text{in}^2}{2 m_n} - \\frac{p_\\text{out}^2}{2m_n} =\\\\ \\frac{p_y^2}{2 m_n} \\left(\\frac{1}{\\cos^2 \\theta_\\text{in}} - \\frac{1}{\\cos^2 \\theta_\\text{out}} \\right) &=  \\frac{p_y^2}{2 m_n} \\left(\\operatorname{tg}^2 \\theta_\\text{in} - \\operatorname{tg}^2 \\theta_\\text{out} \\right)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\end{align*}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Отсюда эффективная масса"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"m_\\text{eff} = \\frac{p_s^2}{2 E_s} = \\frac{p_y^2}{p_y^2/m_n} \\cdot \\frac{(\\operatorname{tg}\\theta_\\text{in} - \\operatorname{tg}\\theta_\\text{out})^2}{\\operatorname{tg}^2 \\theta_\\text{in} - \\operatorname{tg}^2 \\theta_\\text{out} }."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Упрощая, получим"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"m_\\text{eff} =  \\frac{\\operatorname{tg}\\theta_\\text{in} - \\operatorname{tg}\\theta_\\text{out}}{\\operatorname{tg}\\theta_\\text{in}+  \\operatorname{tg}\\theta_\\text{out}} m_n= \\frac{\\sin \\left(\\theta_{\\mathrm{in}}-\\theta_{\\mathrm{out}}\\right)}{\\sin \\left(\\theta_{\\mathrm{in}}+\\theta_{\\mathrm{out}}\\right)} m_{n}."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"m_{\\mathrm{eff}}=\\frac{\\sin ^{2}\\left(\\theta_{\\mathrm{in}}-\\theta_{\\mathrm{out}}\\right)}{\\cos ^{2} \\theta_{\\mathrm{out}}-\\cos ^{2} \\theta_{\\mathrm{in}}} m_{n}=\\frac{\\sin \\left(\\theta_{\\mathrm{in}}-\\theta_{\\mathrm{out}}\\right)}{\\sin \\left(\\theta_{\\mathrm{in}}+\\theta_{\\mathrm{out}}\\right)} m_{n}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Пусть $\\tilde{J}=0$. Найдите отношение вероятности того, что некоторый спин направлен вдоль магнитного поля $p_\\uparrow$, к вероятности того, что он направлен против поля $p_\\downarrow$. Выразите $p_\\uparrow/p_\\downarrow$ через $h$, $T$ и физические постоянные.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Согласно распределению  Больцмана вероятность нахождения системы в состоянии с  энергией $\\varepsilon_{i}$ пропорциональна"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"p_{i} \\propto \\exp \\left(-\\frac{\\varepsilon_{i}}{k_{B} T}\\right)"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Для спина вверх ($\\varepsilon_{\\uparrow}=-h s_{\\uparrow}=-h$):"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"p_{\\uparrow} \\sim \\mathrm{e}^{h / k_{B} T},"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$для спина вниз"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"p_{\\downarrow} \\sim \\mathrm{e}^{ - h / k_{B} T}."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Следовательно,"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\frac{p_{\\uparrow}}{p_{\\downarrow}}=\\frac{\\mathrm{e}^{h / k_{B} T}}{\\mathrm{e}^{-h / k_{B} T}}=\\mathrm{e}^{2 h / k_{B} T} "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Найдите средний спин системы $\\bar{s}\\equiv\\frac{1}{N} \\sum_i s_i$ при $N\\gg 1$, выразите ответ через $T$ и физические постоянные. Нарисуйте график зависимости $\\bar{s}$ от $h$ в пределах от $-h_0$ до $h_0$ для случаев $h_o\\gg k_BT$, $h_o\\approx k_BT$ и $h_o\\ll k_BT$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Средняя поляризация (то есть средний спин) системы:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\bar{s}  =\\frac{1}{N} \\sum_{i} s_{i} "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":" =\\frac{1}{N}\\left[N p_{\\uparrow} \\cdot 1+N p_{\\downarrow} \\cdot(-1)\\right] "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":" =p_{\\uparrow}-p_{\\downarrow}."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$где $N p_{\\uparrow}$ и $N p_{\\downarrow}$ – количество спиновых векторов, направленных вверх и вниз соответственно. "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Учитывая нормировку $p_{\\uparrow}+p_{\\downarrow}=1$, находим вероятности"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":" p_{\\uparrow}=\\frac{\\mathrm{e}^{h / k_{B} T}}{\\mathrm{e}^{h / k_{B} T}+\\mathrm{e}^{-h / k_{B} T}},   \\quad p_{\\downarrow}=\\frac{\\mathrm{e}^{-h / k_{B} T}}{\\mathrm{e}^{h / k_{B} T}+\\mathrm{e}^{-h / k_{B} T}}. "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Отсюда получаем"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\begin{equation*}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\bar{s}=\\frac{\\mathrm{e}^{h / k_{B} T}-\\mathrm{e}^{-h / k_{B} T}}{\\mathrm{e}^{h / k_{B} T}+\\mathrm{e}^{-h / k_{B} T}}=\\tanh \\left(\\frac{h}{k_{B} T}\\right)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\end{equation*}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/2b77ab892880f41da39e.webp","alt":"apho-2025-t2 solution: original source diagram 2"}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\begin{equation*}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\bar{s}=\\frac{\\mathrm{e}^{h / k_{B} T}-\\mathrm{e}^{-h / k_{B} T}}{\\mathrm{e}^{h / k_{B} T}+\\mathrm{e}^{-h / k_{B} T}}=\\tanh \\left(\\frac{h}{k_{B} T}\\right) "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\end{equation*}\n\n                    "}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Поскольку энергия спина в магнитном поле имеет вид "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"U_i = - \\vec{\\mu}_i \\vec{B} = - \\gamma S B s_i, "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$величина $h$ выражается через магнитное поле как"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"h = \\gamma S B,"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$то есть прямо пропорциональна полю.\n\n                "}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Чему равна энергия $E_g$ основного состояния системы (состояния с минимальной энергией). Выразите ответ через $\\tilde{J}$ и $N$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Энергия системы минимальна, когда все спины сонаправлены:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\begin{equation*}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"E_{g}=-\\tilde{J} \\sum_{i} 1=-\\tilde{J}(N-1) \\approx-\\tilde{J} N, \\tag{4}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\end{equation*}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"где $N \\gg 1$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\begin{equation*}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"E_{g}\\approx-\\tilde{J} N"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\end{equation*}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C4\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Получите приближенное выражение для энергии в виде суммы по всем спинам"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$E=-\\tilde{J}_{\\text{eff}} \\sum_{i} s_i$$ и выразите $\\tilde{J}_{\\text{eff}}$ через $\\tilde{J}$ и $\\bar{s}$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Каждый спин взаимодействует с $z = 2$ другими спинами, поэтому в рассматриваемом приближении его энергия взаимодействия с соседями равна $- \\tilde{J} z s_i$. Однако при таком подсчете энергия взаимодействия каждой пары спинов учитывается дважды, поэтому полное выражение нужно разделить на 2:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"E=-\\frac{1}{2} \\sum_{i} \\tilde{J} z \\overline{s}s_{i} =-\\tilde{J} \\sum_{i} s_{i} \\bar{s}=-\\tilde{J}_{\\mathrm{eff}} \\sum_{i} s_{i}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"отсюда находим $\\tilde{J}_{\\text {eff }}=\\tilde{J} \\bar{s}$. "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n  \\[\\tilde{J}_{\\text {eff }}=\\tilde{J} \\bar{s}\\]\n\n                    "}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Для одномерной задачи о спиновой цепочки известно точное решение, описывающее поведение среднего спина в зависимости от температуры и внешнего магнитного поля. Из него следует, что при нулевом внешнем поле при $T \\neq 0$ средний магнитный момент всегда равен нулю и фазового перехода не происходит. Поэтому рассматриваемое приближение (называемое теорией среднего поля) к одномерной цепочке неприменимо. Однако анализ нетрудно обобщить на двумерные и трехмерные системы спинов, расположенных в узлах квадратной и кубической решеток соответственно. Если взаимодействие происходит только с ближайшими соседями, то каждый спин взаимодействует с $z = 4$ другими спинами в двумерном случае и с $z = 6$ в трехмерном. Тогда после замены соседних спинов средними значениями энергия примет формально такой же вид, как и в одномерном случае, только с суммированием по всем узлам решетки:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"E=-\\frac{1}{2} \\sum_{i} \\tilde{J} z  \\overline{s} s_{i}, \\quad \\tilde{J}_\\text{eff} = \\frac{z \\tilde{J}}{2} \\overline{s}."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Все дальнейшие вычисление не зависят от расположения спинов и используют только пропорциональность между $\\tilde{J}_\\text{eff}$ и среднего спина $\\overline{s}$. Поэтому полученные далее относительно фазового перехода фактически относятся к многомерным задачам. В них теория среднего поля качественно правильно предсказывает переход системы в ферромагнитное состояние. \n\n                "}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C5\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tАналогично пункту "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"C.2"}]},{"type":"text","text":", получите уравнение, которому удовлетворяет среднее значение спина $\\bar{s}$. Количество решений этого уравнения зависит от $T$. Найдите критическую температуру $T_c$, при которой количество решений меняется. Выразите ответ через $\\tilde{J}$ и физические постоянные.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Найденное выше в  С4 выражение для энергии формально совпадает с энергией системы невзаимодействующих спинов во внешнем поле $h = \\tilde{J}_\\text{eff}$. Поэтому среднее значение спина задается формулой из C2, в которую нужно подставить соответствующее значение $h$. Поскольку $\\tilde{J}_\\text{eff}$ само зависит от среднего спина, в результате получим трасцендентное уравнение на $\\overline{s}$:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":" $$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\bar{s}=\\tanh \\left(\\frac{\\tilde{J}_{\\mathrm{eff}}}{k_{B} T}\\right)=\\tanh \\left(\\frac{\\tilde{J} \\bar{s}}{k_{B} T}\\right)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Поскольку левая и правая части уравнения – нечетные функции $\\overline{s}$, проанализируем сначала случай $\\overline{s}>0 $. График правой части представляет собой выпуклую вверх функцию. Если касательная к нему в начале координат лежит ниже прямой $y = \\overline{s}$, единственная точка пересечения – начало координат. Поэтому уравнение имеет только тривиальное решение $\\overline{s} = 0$. Если же касательная лежит выше прямой, появляется еще одно нетривиальное решение  $\\overline{s} > 0$, а значит и симметричное ему решение $-\\overline{s}$, всего два нетривиальных решения. В критическом случае график гиперболического тангенса касается прямой в начале координат. Используя разложение при малых $\\overline{s}$, запишем условие касания как"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\tanh\\left( \\frac{\\tilde{J} \\overline{s}}{k_B T}\\right) \\approx \\frac{\\tilde{J} \\overline{s}}{k_B T} = \\overline{s},"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$то есть  $T_{c}=\\tilde{J} / k_{B}$.\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/65e15facab36dc966ddf.webp","alt":"apho-2025-t2 solution: original source diagram 3"}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[\\bar{s}=\\tanh \\left(\\frac{\\tilde{J} \\bar{s}}{k_{B} T}\\right),\\quad T_{c}=\\tilde{J} / k_{B}\\]\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C6\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Найдите все возможные значения $\\bar{s}$ при $T\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Вблизи критической температуры средняя поляризация $\\overline{s}$ мала (это подтвердится дальнейшим вычислением). Таким образом, мы можем аппроксимировать трансцендентное уравнение как "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$ "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\bar{s}=\\tanh \\left(\\frac{T_{c}}{T} \\bar{s}\\right)\\approx \\frac{T_{c}}{T} \\bar{s}-\\frac{1}{3}\\left(\\frac{T_{c}}{T} \\bar{s}\\right)^{3} ."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$ "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Мы видим, что $\\bar{s}=0$ по-прежнему является решением. Разделив на $\\bar{s} \\neq 0$, получим "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\bar{s}  = \\pm \\sqrt{3\\left[\\left(\\frac{T}{T_{c}}\\right)^{2}-\\left(\\frac{T}{T_{c}}\\right)^{3}\\right]} "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":" = \\pm \\sqrt{3\\left(\\frac{T}{T_{c}}\\right)^{2}\\left(1-\\frac{T}{T_{c}}\\right)} "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":" \\approx \\pm \\sqrt{3 \\frac{T_{c}-T}{T_{c}},}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$где мы использовали $\\left(T / T_{c}\\right)^{2} \\approx 1$.\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/45c461fce8d3529aaa60.webp","alt":"apho-2025-t2 solution: original source diagram 4"}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[\\bar{s} =0,~ \\pm \\sqrt{3 \\frac{T_{c}-T}{T_{c}}}\\]\n\n                    "}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Пропорциональность среднего спина квадратному корню из отклонения температуры от критической $\\overline{s} \\sim (T_c - T)^{1/2}$ – важное предсказание теории среднего поля. Однако для реальных систем зависимость имеет степенной вид $\\overline{s} \\sim (T_c - T)^{\\alpha}$, где показатель $\\alpha$ зависит от размерности и типа решетки, в которой расположены спины. \n\n                "}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C7\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Какой магнитной фазе отвечает случай $T>T_c$, а какой $T\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Магнитный момент системы пропорционален среднему спину $\\overline{s}$. В отсутствие магнитного поля, когда $T>T_{c}$, существует только одно решение при $\\bar{s}=0$. Значит в системе не возникает спонтанной намагниченности. Однако при включении магнитного поля возникнет намагниченность, направленная по полю (поскольку направление магнитных моментов по полю отвечает меньшей энергии), поэтому система парамагнитна.  С другой стороны, когда $T< T_c$ даже при нулевом поле возможно решение с ненулевой намагниченностью, что означает переход в ферромагнитное состояние.  "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n При $T>T_{c}$ система находится в парамагнитной фазе, при $T< T_c$  – в ферромагнитной.\n\n                    "}]}]}]}],"text":"A1 0.30 Магнитный момент кольца $\\vec{\\mu}$ связан с его моментом импульса $\\vec{L}$ как $\\vec{\\mu}=\\gamma \\vec{L}$. Выразите постоянную $\\gamma$ (т.е. гиромагнитное отношение ) для этой системы через $Q$ и $M$. Момент импульса кольца, вращающегося вокруг оси симметрии, равен $$ \\vec{L}=M R^{2} \\vec{\\omega}, $$при этом ток, возникающий из-за вращения, равен $I= Q / T=\\omega Q / 2 \\pi$. Магнитный дипольный момент кольца равен $$ \\vec{\\mu}=I A \\hat{\\omega}=\\frac{\\omega Q}{2 \\pi} \\pi R^{2} \\hat{\\omega}=\\frac{Q}{2} R^{2} \\vec{\\omega} $$Отсюда следует, что $$ \\vec{\\mu}=\\frac{Q}{2 M} \\vec{L}. $$ Ответ: \n                    \n $$ \\gamma = \\frac{Q}{2M} $$\nA2 0.40 Выразите угловую частоту $\\omega_L$прецессии момента импульса системы под действием внешнего магнитного поля (так называемую ларморовскую частоту) через $B$ и $\\gamma$. Считайте $\\omega_L$ положительной, если при взгляде с положительного направления оси $z$ вращение происходит против часовой стрелки. Момент сил, действующий на магнитный диполь во внешнем магнитном поле, равен $$ \\vec{\\tau}=\\vec{\\mu} \\times \\vec{B}=\\frac{d \\vec{L}}{dt} $$Изменяется только компонента момента импульса, перпендикулярная  $\\vec{B}$. Пусть она  вращается с угловой скоростью $\\omega_{L}$, тогда $$ L \\omega_{L} \\sin \\theta=-\\mu B \\sin \\theta $$откуда получаем $$ \\omega_{L}=-\\frac{\\mu}{L} B=-\\gamma B. $$Также можно подставить в уравнение движения векторное выражение для магнитного момента, в результате получим $$ \\frac{d\\vec{L}}{dt} = - \\gamma \\vec{B} \\times \\vec{L}, $$откуда вектор угловой скорости $$ \\vec{\\omega} = - \\gamma \\vec{B}, $$откуда сразу следует ответ – проекция этой угловой скорости на ось $z$ Ответ: \n                    \n $$ \\omega_L = - \\gamma B $$\nA3 0.50 Энергию магнитного взаимодействия двух колец можно записать как $U=J_0 \\vec{L}_1\\cdot \\vec{L}_2$, где $J_0$ – константа, а $\\vec{L}_i$ – момент импульса $i$-го кольца. Выразите $J_0$ через $\\gamma, d$ и физические постоянные. Магнитное поле, создаваемое первым диполем в месте расположения второго диполя $$ \\vec{B}_{12}=-\\frac{\\mu_{0}}{4 \\pi} \\frac{\\vec{\\mu}_{1}}{d^{3}} $$Тогда энергия взаимодействия $$ U=-\\vec{\\mu}_{2} \\cdot \\vec{B}_{12}=-\\frac{\\mu_{0}}{4 \\pi d^{3}} \\mu_{1} \\mu_{2} \\cos (\\pi-\\theta), $$откуда $$ U=\\frac{\\mu_{0} \\gamma^{2}}{4 \\pi d^{3}} \\vec{L}_{1} \\cdot \\vec{L}_{2}, $$ Ответ: \n                    \n $$ J_0 = \\frac{\\mu_0 \\gamma^2}{4 \\pi d^3} $$\nB1 0.30 Рассмотрим слагаемые, входящие в выражение для энергии взаимодействия и содержащие $\\vec{S}_i$. Эти слагаемые можно совокупно рассматривать как энергию магнитного момента $\\vec{S}_i$ в некотором эффективном внешнем поле $\\vec{B}_{i,\\text{eff}}$. Определите $\\vec{B}_{i,\\text{eff}}$ , выразите ответ через $J$, гиромагнитное отношение $\\gamma$, и другие спиновые моменты импульса $\\vec{S}_j$ (выразите индексы $j$ через $i$). Заметим, что $i$-й спин взаимодействует с соседними спинами $i-1$ и $i+1$. Энергия взаимодействия $E_{i}=-J\\left(\\vec{S}_{i-1}+\\vec{S}_{i+1}\\right) \\cdot \\vec{S}_{i}$, что аналогично энергии диполя в магнитном поле $E_{i}=-\\vec{B}_{i} \\cdot \\vec{\\mu}_{i}$. Используя $\\vec{\\mu}_{i}=\\gamma \\vec{S}_{i}$, получаем $$ \\vec{B}_{i, \\text{eff}}=\\frac{J}{\\gamma}\\left(\\vec{S}_{i-1}+\\vec{S}_{i+1}\\right). $$ Ответ: \n                    \n $$ \\vec{B}_{i, \\text{eff}} = \\frac{J}{\\gamma}\\left( \\vec{S}_{i-1}+ \\vec{S}_{i+1}\\right) $$\nB2 0.30 Используя эффективное магнитное поле, выразите производную $i$-го момента импульса $d\\vec{S}_i/dt$ через $J, \\vec{S}_i$, и другие моменты импульса $\\vec{S}_j$ (выразите индексы $j$ через $i$). Используя найденное выше выражение для эффективного магнитного поля $$ \\frac{d\\vec{S}_{i}}{d t}  =\\vec{\\tau}=\\vec{\\mu}_{i} \\times \\vec{B}_{i, \\text { eff }}  =J \\vec{S}_{i} \\times\\left(\\vec{S}_{i-1}+\\vec{S}_{i+1}\\right) $$ Ответ: \n                    \n $$ \\frac{d\\vec{S}_{i}}{d t}    =J \\vec{S}_{i} \\times\\left(\\vec{S}_{i-1}+\\vec{S}_{i+1}\\right) $$ Примечание: В случае произвольной зависимости энергии взаимодействия $U$ от величины магнитных моментов можно показать, что компоненты эффективное магнитного поля, действующего на $i$-й магнитный момент, равны производным  энергии по соответствующим компонентам магнитного момента, взятым с обратным знаком $$  B_{i, \\text{eff},x} = - \\frac{\\partial U}{\\partial \\mu_{i, x}},\\, B_{i,\\text{eff}, y} = - \\frac{\\partial U}{\\partial \\mu_{i, y}}, \\,B_{i, \\text{eff},z} = - \\frac{\\partial U}{\\partial \\mu_{i, z}},   $$ что также можно записать в векторном виде (по сути производная по вектору определена как вектор, компоненты которого – производные по компонентам вектора) $$ \\vec{B}_{i, \\text{eff}} = - \\frac{\\partial U}{\\partial \\vec{\\mu}_i}. $$ Это соотношение сложно строго доказать элементарными методами. Для качественного объяснения рассмотрим производную энергии по времени $$ \\frac{dU}{dt} = \\sum_i \\frac{\\partial U}{\\partial \\vec{\\mu}_i} \\dot{\\vec{\\mu}}_i  = \\sum_i \\frac{\\partial U}{\\partial \\vec{\\mu}_i} \\left(\\vec\\omega_i \\times\\vec{\\mu}_i \\right),$$ где $\\vec{\\omega}_i$ – угловая скорость $i$-го магнитного момента (совпадающая с угловой скоростью $i$-го спина) С другой стороны из механики мощность сил при вращательном движении  можно выразить через моменты сил $\\vec{\\tau}_i$ и угловые скорости как $$ P = \\sum_i \\vec{\\omega_i} \\cdot \\vec{\\tau}_i  = -  \\frac{dU}{dt} = - \\sum_i \\vec\\omega_i  \\cdot \\left( \\vec\\mu_i  \\times \\frac{\\partial U}{\\partial \\vec{\\mu}_i}\\right).$$ Здесь в последнем равенстве циклически переставлены множители в смещанном произведении. Знак «минус» появляется, поскольку  работа совершается самой системой. Сравнивая эти выражения, можно записать выражение для момента сил $$\\vec\\tau_i = \\vec\\mu_i \\times\\left( - \\frac{\\partial U}{\\partial \\vec{\\mu}_i} \\right).$$ Тогда при приведенном выше определении эффективного магнитного поля получим такое же выражение для момента сил, как и для обычного магнитного поля $$\\vec \\tau_i = \\vec\\mu_i \\times \\vec B_{i, \\text{eff}}. $$ Это рассуждение не является строгим доказательством, поскольку закон сохранения энергии гарантирует только равенство сумм, а не отдельных слагаемых. Однако оно объясняет, почему в отличие от следующей части не нужно делить эффективное поле на 2, чтобы избежать двойного учета энергии взаимодействия каждой пары спинов.\nB3 2.00 Найдите соотношение между $\\omega$ и $k$ (то есть дисперсионное соотношение $\\omega(k)$) для спиновых волн. Выразите ответ через $J, S$ и $a$. Подсказка: координата $i$-го спина равна $x=a\\cdot i$. Запишем уравнения движения для $x$, $y$ компонент спина: \\begin{align*} \\frac{dS_{i,x}}{dt} &= J\\left[ S_{i, y} (S_{i - 1, z}  + S_{i+1, z}) -  S_{i, z} (S_{i-1, y} + S_{i+ 1,y})\\right] ,\\\\ \\frac{dS_{i,y}}{dt} &= J\\left[ S_{i, z} (S_{i - 1, x}  + S_{i+1, x}) -  S_{i, x} (S_{i-1, z} + S_{i+ 1,z})\\right] . \\end{align*} Используя приближение $S_{i, z} \\approx S$ получим \\begin{align*} \\frac{dS_{i,x}}{dt} &\\approx J S (2 S_{i, y} - S_{i-1,y} - S_{i+1, y}),\\\\ \\frac{dS_{i,y}}{dt} &\\approx - J S (2 S_{i, x} - S_{i-1,x}- S_{i+1, x}) . \\end{align*} Будем искать решение в виде комплексных бегущих волн с комплексными амплитудами $A_x, A_y$ (физические решения – вещественные части комплексных), для удобства заменим индекс на $n$: $$ S_{n, x} = A_x e^{i k n a - i \\omega t}, \\quad S_{n, y} = A_y e^{i k n a - i \\omega t}. $$Подставляя эти решения в уравнения и сокращая на общую экспоненту $e^{ikna -i \\omega t}$, получим $$ - i \\omega A_x  = JS A_y (2 - 2 \\cos ka), \\quad - i \\omega A_y = -  JSA_x(2 - 2 \\cos ka). $$Исключая из уравнений отношение амплитуд, найдем (например, перемножив уравнения и сократив на $A_x A_y$) $$ \\omega^2 = (2JS)^2 (1 - \\cos ka)^2, $$откуда $$ \\omega = \\pm 2 JS (1- \\cos ka). $$Волны с отрицательным значением частоты распространяются в обратную сторону по отношению к направлению $k$. Найденным значениям частоты отвечает соотношение между комплексными амплитудами колебаний $$ A_x = \\pm i A_x. $$Оно означает, что амплитуды колебаний по осям $x$, $y$ совпадают, при этом есть сдвиг по фазе $\\pm \\pi/2$. Это означает, что в спиновой волне каждый спин вращается вокруг оси $z$, образуя с ней постоянный угол. То же решение можно найти сразу в вещественной форме. Для этого предположим, что колебания по оси $x$ имеют вид бегущей волны $$ S_x = \\delta S_x \\cos(k n a - \\omega t) $$и подставим в уравнение для $S_y$ \\begin{align*}\\frac{dS_{y,i}}{dt} &= - JS \\delta S_x (2 \\cos(kna - \\omega t) - \\cos(kna  -\\omega t - ka) - \\cos(kna - \\omega t + ka)) = \\\\ &= - 2 JS \\delta S_x (1 - \\cos ka) \\cos(kna - \\omega t). \\end{align*} Поскольку производная по времени для $S_{i, y}$ пропорциональная $\\cos(k na - \\omega t)$, решение для $S_y$ ищем в виде \\begin{align*}S_y& = \\delta S_y \\sin(kna - \\omega t), \\\\ - \\omega \\delta S_y \\cos(kna - \\omega t)& = - 2 JS \\delta S_x (1 - \\cos ka) \\cos(kna - \\omega t), \\end{align*} откуда сокращая общий множитель $\\cos(kna  - \\omega t)$ \\[ - \\omega \\delta S_y = - 2 JS \\delta S_x (1 - \\cos ka). \\tag{1} \\] Аналогично из уравнений для $\\delta S_x$ найдем $$ \\omega \\delta S_x \\sin(k na - \\omega t ) =  JS \\delta S_y ( 2 \\sin(k na -\\omega t) - \\sin(kn a - \\omega t - ka) - \\sin(kn a - \\omega t + ka)), $$откуда \\[ \\omega \\delta S_x = 2 JS \\delta S_y (1 - \\cos ka). \\tag{2} \\] Из уравнений (1), (2) получаем прежнее значение частоты и соотношение между амплитудами $\\delta S_x = \\pm \\delta S_y$. Заметим, что решение можно получить короче, если сразу искать его в виде $$ S_x = \\delta S \\cos(kx - \\omega t), \\quad S_y = \\delta S \\sin(kx - \\omega t), $$с равными амплитудами и правильным сдвигом фаз. Такой выбор отвечает вращению магнитных моментов с постоянной частотой вокруг оси $z$. Ответ: \n                    \n $$ \\omega(k)=2 J S[1-\\cos (k a)] $$ В случае, когда длина волны много больше расстояния между соседними спинами, разностные уравнения можно свести к дифференциальным, для этого будем считать $S_x$ и $S_y$ непрерывными функциями координаты $x$, тогда $S_{n, x} = S_x (na)$ и $$ 2 S_{n, x} - S_{n-1, x} -S_{n+1, x} \\approx -  a^2 \\frac{\\partial ^2 S_x}{\\partial x^2}, $$где использовалось $x_{n\\pm 1} = x \\pm a$ и разложение до второго порядка по формуле Тейлора $$ S_{n\\pm 1, x} = S_x(x) \\pm a \\frac{\\partial S_x}{\\partial x} + \\frac{a^2}{2} \\frac{\\partial^2 S}{\\partial x^2}. $$Подставляя это разложение (и аналогичное разложение для $S_y$) в уравнения движения, получим $$ \\frac{\\partial S_x}{\\partial t} = -a^2 JS \\frac{\\partial ^2 S_y}{\\partial x^2}, \\quad \\frac{\\partial S_y}{\\partial t} = a^2 JS \\frac{\\partial ^2 S_x}{\\partial x^2}. $$Как и для точных уравнений выше, можно искать решения вида $S_x = A \\cos(kx - \\omega t)$, $S_y = A \\sin(kx - \\omega t)$ или их аналоги в комплексной форме. Иначе можно продифференцировать первое уравнение по времени, и подставить производную из второго уравнения. тогда получим $$ \\frac{\\partial^2 S_x}{\\partial t^2} = -a^2 JS \\frac{\\partial^3 S_y}{\\partial^2 x \\partial t} = - (a^2 JS)^2 \\frac{\\partial ^4 S_x}{\\partial x^4}. $$Подставляя решение в виде косинуса или экспоненты, найдем $$ \\omega^2 = (a^2 J S)^2 k^4, \\quad \\omega = \\pm JS k^2 a^2, $$что совпадает с разложением точного ответа при малых значениях $ka$.\nB4 0.60 Для малых $k$ ($k\\ll1/a$), найдите эффективную массу $m_\\text{eff}$ спиновой волны. Выразите ответ через $J, S, a$ и физические постоянные. Разложим выражение для частоты при малых $k$: $$ \\omega(k) \\approx 2 J S\\left[1-1+\\frac{1}{2}(k a)^{2}\\right]=J S a^{2} k^{2}. $$Как и в случае электромагнитных волн, можно считать, что спиновые волны существуют в виде частиц (магнонов). Для них  справедливы такие же соотношения между частотой и энергией, а также импульсом и волновым вектором, как и для других частиц (соотношения де Бройля): $$E=\\hbar \\omega, \\quad p=\\hbar k. $$ Подстановка даёт $$ E=\\hbar \\omega=\\frac{J S a^{2}}{\\hbar} p^{2} \\equiv \\frac{p^{2}}{2 m_{\\mathrm{эфф}}}, $$где Ответ: \n                    \n $$ m_{\\mathrm{eff}} =\\frac{\\hbar}{2 J S a^{2}} $$\nB5 1.30 Пусть изначально все магнитные моменты в цепочке направлены вдоль оси $z$. Нейтрон с малой энергией движется в плоскости $x-y$. Угол падения нейтрона на спиновую цепочку равен $\\theta_{in}$, после рассеяния угол становится $\\theta_{out}$ (см. рис. B.3). Считая, что нейтрон возбуждает одну спиновую волну, определите эффективную массу спиновой волны, выразите ответ через $\\theta_\\text{in}, \\theta_\\text{out}$ и массу нейтрона $m_n$. Изначально спины покоятся. При рассеянии нейтрона выполняются законы сохранения энергии и импульса, причем нужно учесть энергию и импульс возбуждаемой спиновой волны. Импульс спиновой волны направлен вдль цепочки, поэтому закон сохранения импульса по оси $y$: $$ p_y = p_{\\text{in}} \\cos \\theta_{\\text{in}} = p_{\\text{out}} \\cos \\theta_{\\text{out}}, $$где $p_\\text{in}$, $p_\\text{out}$ – начальный и конечный импульсы нейтрона. Из закона сохранения импульса по оси $x$ получаем импульс спиновой волны $$ p_s = p_\\text{in} \\sin \\theta_\\text{in} - p_\\text{out} \\sin \\theta_\\text{out} = p_y (\\operatorname{tg} \\theta_\\text{in} - \\operatorname{tg} \\theta_\\text{out}). $$Из закона сохранения энергии находим энергию спиновой волны \\begin{align*} E_s = E_\\text{in} - E_\\text{out} &= \\frac{p_\\text{in}^2}{2 m_n} - \\frac{p_\\text{out}^2}{2m_n} =\\\\ \\frac{p_y^2}{2 m_n} \\left(\\frac{1}{\\cos^2 \\theta_\\text{in}} - \\frac{1}{\\cos^2 \\theta_\\text{out}} \\right) &=  \\frac{p_y^2}{2 m_n} \\left(\\operatorname{tg}^2 \\theta_\\text{in} - \\operatorname{tg}^2 \\theta_\\text{out} \\right). \\end{align*} Отсюда эффективная масса $$ m_\\text{eff} = \\frac{p_s^2}{2 E_s} = \\frac{p_y^2}{p_y^2/m_n} \\cdot \\frac{(\\operatorname{tg}\\theta_\\text{in} - \\operatorname{tg}\\theta_\\text{out})^2}{\\operatorname{tg}^2 \\theta_\\text{in} - \\operatorname{tg}^2 \\theta_\\text{out} }. $$Упрощая, получим $$ m_\\text{eff} =  \\frac{\\operatorname{tg}\\theta_\\text{in} - \\operatorname{tg}\\theta_\\text{out}}{\\operatorname{tg}\\theta_\\text{in}+  \\operatorname{tg}\\theta_\\text{out}} m_n= \\frac{\\sin \\left(\\theta_{\\mathrm{in}}-\\theta_{\\mathrm{out}}\\right)}{\\sin \\left(\\theta_{\\mathrm{in}}+\\theta_{\\mathrm{out}}\\right)} m_{n}. $$ Ответ: \n                    \n $$ m_{\\mathrm{eff}}=\\frac{\\sin ^{2}\\left(\\theta_{\\mathrm{in}}-\\theta_{\\mathrm{out}}\\right)}{\\cos ^{2} \\theta_{\\mathrm{out}}-\\cos ^{2} \\theta_{\\mathrm{in}}} m_{n}=\\frac{\\sin \\left(\\theta_{\\mathrm{in}}-\\theta_{\\mathrm{out}}\\right)}{\\sin \\left(\\theta_{\\mathrm{in}}+\\theta_{\\mathrm{out}}\\right)} m_{n} $$\nC1 0.50 Пусть $\\tilde{J}=0$. Найдите отношение вероятности того, что некоторый спин направлен вдоль магнитного поля $p_\\uparrow$, к вероятности того, что он направлен против поля $p_\\downarrow$. Выразите $p_\\uparrow/p_\\downarrow$ через $h$, $T$ и физические постоянные. Согласно распределению  Больцмана вероятность нахождения системы в состоянии с  энергией $\\varepsilon_{i}$ пропорциональна $$ p_{i} \\propto \\exp \\left(-\\frac{\\varepsilon_{i}}{k_{B} T}\\right) $$ Для спина вверх ($\\varepsilon_{\\uparrow}=-h s_{\\uparrow}=-h$): $$ p_{\\uparrow} \\sim \\mathrm{e}^{h / k_{B} T}, $$для спина вниз $$ p_{\\downarrow} \\sim \\mathrm{e}^{ - h / k_{B} T}. $$Следовательно, Ответ: \n                    \n $$ \\frac{p_{\\uparrow}}{p_{\\downarrow}}=\\frac{\\mathrm{e}^{h / k_{B} T}}{\\mathrm{e}^{-h / k_{B} T}}=\\mathrm{e}^{2 h / k_{B} T} $$\nC2 1.00 Найдите средний спин системы $\\bar{s}\\equiv\\frac{1}{N} \\sum_i s_i$ при $N\\gg 1$, выразите ответ через $T$ и физические постоянные. Нарисуйте график зависимости $\\bar{s}$ от $h$ в пределах от $-h_0$ до $h_0$ для случаев $h_o\\gg k_BT$, $h_o\\approx k_BT$ и $h_o\\ll k_BT$. Средняя поляризация (то есть средний спин) системы: $$ \\bar{s}  =\\frac{1}{N} \\sum_{i} s_{i} =\\frac{1}{N}\\left[N p_{\\uparrow} \\cdot 1+N p_{\\downarrow} \\cdot(-1)\\right] =p_{\\uparrow}-p_{\\downarrow}. $$где $N p_{\\uparrow}$ и $N p_{\\downarrow}$ – количество спиновых векторов, направленных вверх и вниз соответственно. Учитывая нормировку $p_{\\uparrow}+p_{\\downarrow}=1$, находим вероятности $$ p_{\\uparrow}=\\frac{\\mathrm{e}^{h / k_{B} T}}{\\mathrm{e}^{h / k_{B} T}+\\mathrm{e}^{-h / k_{B} T}},   \\quad p_{\\downarrow}=\\frac{\\mathrm{e}^{-h / k_{B} T}}{\\mathrm{e}^{h / k_{B} T}+\\mathrm{e}^{-h / k_{B} T}}. $$Отсюда получаем \\begin{equation*} \\bar{s}=\\frac{\\mathrm{e}^{h / k_{B} T}-\\mathrm{e}^{-h / k_{B} T}}{\\mathrm{e}^{h / k_{B} T}+\\mathrm{e}^{-h / k_{B} T}}=\\tanh \\left(\\frac{h}{k_{B} T}\\right). \\end{equation*} Ответ: \n                    \n \\begin{equation*} \\bar{s}=\\frac{\\mathrm{e}^{h / k_{B} T}-\\mathrm{e}^{-h / k_{B} T}}{\\mathrm{e}^{h / k_{B} T}+\\mathrm{e}^{-h / k_{B} T}}=\\tanh \\left(\\frac{h}{k_{B} T}\\right) \\end{equation*} Поскольку энергия спина в магнитном поле имеет вид $$ U_i = - \\vec{\\mu}_i \\vec{B} = - \\gamma S B s_i, $$величина $h$ выражается через магнитное поле как $$ h = \\gamma S B, $$то есть прямо пропорциональна полю.\nC3 0.20 Чему равна энергия $E_g$ основного состояния системы (состояния с минимальной энергией). Выразите ответ через $\\tilde{J}$ и $N$. Энергия системы минимальна, когда все спины сонаправлены: \\begin{equation*} E_{g}=-\\tilde{J} \\sum_{i} 1=-\\tilde{J}(N-1) \\approx-\\tilde{J} N, \\tag{4} \\end{equation*} где $N \\gg 1$. Ответ: \n                    \n \\begin{equation*} E_{g}\\approx-\\tilde{J} N \\end{equation*}\nC4 0.20 Получите приближенное выражение для энергии в виде суммы по всем спинам $$E=-\\tilde{J}_{\\text{eff}} \\sum_{i} s_i$$ и выразите $\\tilde{J}_{\\text{eff}}$ через $\\tilde{J}$ и $\\bar{s}$. Каждый спин взаимодействует с $z = 2$ другими спинами, поэтому в рассматриваемом приближении его энергия взаимодействия с соседями равна $- \\tilde{J} z s_i$. Однако при таком подсчете энергия взаимодействия каждой пары спинов учитывается дважды, поэтому полное выражение нужно разделить на 2: $$ E=-\\frac{1}{2} \\sum_{i} \\tilde{J} z \\overline{s}s_{i} =-\\tilde{J} \\sum_{i} s_{i} \\bar{s}=-\\tilde{J}_{\\mathrm{eff}} \\sum_{i} s_{i} $$ отсюда находим $\\tilde{J}_{\\text {eff }}=\\tilde{J} \\bar{s}$. Ответ: \n                    \n  \\[\\tilde{J}_{\\text {eff }}=\\tilde{J} \\bar{s}\\] Для одномерной задачи о спиновой цепочки известно точное решение, описывающее поведение среднего спина в зависимости от температуры и внешнего магнитного поля. Из него следует, что при нулевом внешнем поле при $T \\neq 0$ средний магнитный момент всегда равен нулю и фазового перехода не происходит. Поэтому рассматриваемое приближение (называемое теорией среднего поля) к одномерной цепочке неприменимо. Однако анализ нетрудно обобщить на двумерные и трехмерные системы спинов, расположенных в узлах квадратной и кубической решеток соответственно. Если взаимодействие происходит только с ближайшими соседями, то каждый спин взаимодействует с $z = 4$ другими спинами в двумерном случае и с $z = 6$ в трехмерном. Тогда после замены соседних спинов средними значениями энергия примет формально такой же вид, как и в одномерном случае, только с суммированием по всем узлам решетки: $$ E=-\\frac{1}{2} \\sum_{i} \\tilde{J} z  \\overline{s} s_{i}, \\quad \\tilde{J}_\\text{eff} = \\frac{z \\tilde{J}}{2} \\overline{s}. $$Все дальнейшие вычисление не зависят от расположения спинов и используют только пропорциональность между $\\tilde{J}_\\text{eff}$ и среднего спина $\\overline{s}$. Поэтому полученные далее относительно фазового перехода фактически относятся к многомерным задачам. В них теория среднего поля качественно правильно предсказывает переход системы в ферромагнитное состояние.\nC5 1.20 Аналогично пункту C.2 , получите уравнение, которому удовлетворяет среднее значение спина $\\bar{s}$. Количество решений этого уравнения зависит от $T$. Найдите критическую температуру $T_c$, при которой количество решений меняется. Выразите ответ через $\\tilde{J}$ и физические постоянные. Найденное выше в  С4 выражение для энергии формально совпадает с энергией системы невзаимодействующих спинов во внешнем поле $h = \\tilde{J}_\\text{eff}$. Поэтому среднее значение спина задается формулой из C2, в которую нужно подставить соответствующее значение $h$. Поскольку $\\tilde{J}_\\text{eff}$ само зависит от среднего спина, в результате получим трасцендентное уравнение на $\\overline{s}$: $$ \\bar{s}=\\tanh \\left(\\frac{\\tilde{J}_{\\mathrm{eff}}}{k_{B} T}\\right)=\\tanh \\left(\\frac{\\tilde{J} \\bar{s}}{k_{B} T}\\right). $$ Поскольку левая и правая части уравнения – нечетные функции $\\overline{s}$, проанализируем сначала случай $\\overline{s}>0 $. График правой части представляет собой выпуклую вверх функцию. Если касательная к нему в начале координат лежит ниже прямой $y = \\overline{s}$, единственная точка пересечения – начало координат. Поэтому уравнение имеет только тривиальное решение $\\overline{s} = 0$. Если же касательная лежит выше прямой, появляется еще одно нетривиальное решение  $\\overline{s} > 0$, а значит и симметричное ему решение $-\\overline{s}$, всего два нетривиальных решения. В критическом случае график гиперболического тангенса касается прямой в начале координат. Используя разложение при малых $\\overline{s}$, запишем условие касания как $$ \\tanh\\left( \\frac{\\tilde{J} \\overline{s}}{k_B T}\\right) \\approx \\frac{\\tilde{J} \\overline{s}}{k_B T} = \\overline{s}, $$то есть  $T_{c}=\\tilde{J} / k_{B}$. Ответ: \n                    \n \\[\\bar{s}=\\tanh \\left(\\frac{\\tilde{J} \\bar{s}}{k_{B} T}\\right),\\quad T_{c}=\\tilde{J} / k_{B}\\]\nC6 1.00 Найдите все возможные значения $\\bar{s}$ при $T Вблизи критической температуры средняя поляризация $\\overline{s}$ мала (это подтвердится дальнейшим вычислением). Таким образом, мы можем аппроксимировать трансцендентное уравнение как $$ \\bar{s}=\\tanh \\left(\\frac{T_{c}}{T} \\bar{s}\\right)\\approx \\frac{T_{c}}{T} \\bar{s}-\\frac{1}{3}\\left(\\frac{T_{c}}{T} \\bar{s}\\right)^{3} . $$ Мы видим, что $\\bar{s}=0$ по-прежнему является решением. Разделив на $\\bar{s} \\neq 0$, получим $$ \\bar{s}  = \\pm \\sqrt{3\\left[\\left(\\frac{T}{T_{c}}\\right)^{2}-\\left(\\frac{T}{T_{c}}\\right)^{3}\\right]} = \\pm \\sqrt{3\\left(\\frac{T}{T_{c}}\\right)^{2}\\left(1-\\frac{T}{T_{c}}\\right)} \\approx \\pm \\sqrt{3 \\frac{T_{c}-T}{T_{c}},} $$где мы использовали $\\left(T / T_{c}\\right)^{2} \\approx 1$. Ответ: \n                    \n \\[\\bar{s} =0,~ \\pm \\sqrt{3 \\frac{T_{c}-T}{T_{c}}}\\] Пропорциональность среднего спина квадратному корню из отклонения температуры от критической $\\overline{s} \\sim (T_c - T)^{1/2}$ – важное предсказание теории среднего поля. Однако для реальных систем зависимость имеет степенной вид $\\overline{s} \\sim (T_c - T)^{\\alpha}$, где показатель $\\alpha$ зависит от размерности и типа решетки, в которой расположены спины.\nC7 0.20 Какой магнитной фазе отвечает случай $T>T_c$, а какой $T Магнитный момент системы пропорционален среднему спину $\\overline{s}$. В отсутствие магнитного поля, когда $T>T_{c}$, существует только одно решение при $\\bar{s}=0$. Значит в системе не возникает спонтанной намагниченности. Однако при включении магнитного поля возникнет намагниченность, направленная по полю (поскольку направление магнитных моментов по полю отвечает меньшей энергии), поэтому система парамагнитна.  С другой стороны, когда $T< T_c$ даже при нулевом поле возможно решение с ненулевой намагниченностью, что означает переход в ферромагнитное состояние. Ответ: \n                    \n При $T>T_{c}$ система находится в парамагнитной фазе, при $T< T_c$  – в ферромагнитной.","figures":["/corpus/figures/fe6b48773e838aae7d61.webp","/corpus/figures/2b77ab892880f41da39e.webp","/corpus/figures/65e15facab36dc966ddf.webp","/corpus/figures/45c461fce8d3529aaa60.webp"],"shared":false}},{"id":"apho-2025-t3","importedOn":"2026-10-28","language":"ru","sources":[{"url":"https://pho.rs/p/4713","kind":"statement"},{"url":"https://pho.rs/p/4713/s","kind":"solution"}],"statement":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"text","text":"\n                        \n                        \n\n\n\n\tАтмосфера Земли представляет собой сложную физическую систему. В этой задаче на основе простых моделей рассматриваются некоторые атмосферные явления."},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"В численных расчётах вы можете использовать следующие значения:"}]},{"type":"element","tag":"ul","children":[{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"интенсивность солнечного излучения вблизи поверхности Земли $F_s=1370 ~Вт/м^2$;"}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"молярная масса воды $\\mu_{\\text{H}_2\\text{O}}\\approx18~ г/моль$ и средняя молярная масса воздуха $\\mu_{\\text{air}}\\approx29~ г/моль$;"}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"постоянная Стефана–Больцмана $\\sigma=5.67\\times10^{-8} Вт/(м^2\\cdot К^4)$."}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Считайте, что все газы идеальные, а все молекулы воздуха имеют $5$ степеней свободы. Вы можете использовать значение следующего интеграла:"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n $$\\int_{-\\infty}^\\infty e^{-ax^2/2} \\;dx = \\sqrt{\\frac{2\\pi}{a}}, \\hspace{4mm} a> 0.$$\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть A. Температура поверхности Земли (1.2 балла)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n В этой части задачи исследуется влияние атмосферы на температуру поверхности Земли. Считайте, что Земля и её атмосфера имеют альбедо (отношение отражённой энергии к падающей) $a=0.3$ для солнечного излучения. Вы можете использовать это значение во всех частях этой задачи. Считайте также, что Земля излучает как абсолютно чёрное тело.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Выразите среднюю мощность $P_0$, получаемую системой Земли и атмосферы, через $F_s$, $a$ и радиус Земли $R_E$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.30"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Вычислите равновесную температуру поверхности Земли $T_{g0}$, пренебрегая влиянием атмосферы.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tОтвет из "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"A.2 "}]},{"type":"text","text":"меньше ожидаемого. Рассмотрим теперь дополнительно тонкий слой атмосферы температурой $T_a$, как показано на рис. A.1. Вследствие поглощения атмосфера пропускает долю $t_{\\text{sw}}$ падающего солнечного излучения, долю $t_{\\text{lw}}$ теплового излучения Земли, а излучает как абсолютно чёрное тело.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/e21c64f1445c079b5db9.webp","alt":"apho-2025-t3 statement: original source diagram 1"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рисунок A.1"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.70"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Вычислите равновесную температуру $T_g$ поверхности Земли, если $t_{\\text{sw}}=0.9$ и $t_{\\text{lw}}=0.2$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть B. Спектр поглощения атмосферы (1.8 балла)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Инфракрасное излучение Земли может возбуждать колебательные уровни энергии молекул.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Рассмотрим простую двухатомную молекулу из двух точечных масс $m_A$ и $m_B$, соединенных пружиной с коэффициентом упругости $k$. Найдите угловую частоту её колебаний $\\omega_d$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tСогласно квантовой механике, при поглощении фотона возможен переход только между соседними уровнями энергии. Найдите энергию $E_p$ фотона, который может возбудить колебания, описанные в "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"B.1"}]},{"type":"text","text":". Эффектом отдачи пренебрегите.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Энергия поглощённого фотона может несколько отличаться от разности энергетических уровней в молекуле. Предположим, что в состоянии покоя у рассматриваемой молекулы есть спектральная линия с частотой $f_0$.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Найдите сдвиг частоты $f-f_0$ этой спектральной линии, если молекула движется со скоростью $v$ по направлению к источнику излучения. Считайте, что $|v|\\ll c$, где $c$ – скорость света.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Скорости молекул газа температурой $T$ подчиняются распределению Максвелла. Для молекулы массой $m$ вероятность того, что она движется с одномерной скоростью в диапазоне от $v$ до $v+dv$ по направлению к источнику излучения, равна $p_1(v)dv$, где $p_1(v)$ – плотность вероятности, равная:\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n $$p_1(v)=C \\exp\\left(-\\frac{mv^2}{2k_BT}\\right)$$\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Здесь $C$ – нормировочный множитель, подобранный так, чтобы полная вероятность была равна единице, а $k_B$ – постоянная Больцмана.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B4\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Найдите нормировочный множитель $C$, если скорость $v$ может лежать в диапазоне от $-\\infty$ до $\\infty$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B5\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.30"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Найдите с точностью до нормировочного множителя плотность вероятности $p_2(f)$ найти молекулу со спектральной линией $f_0$, смещённой до $f$ из-за теплового движения. Выразите ответ через $f$, $f_0$, $T$, $m$ и физические постоянные.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B6\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.40"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Постройте качественный график зависимости $p_2(f)$ от $f-f_0$ и определите смещение $f^{\\star}-f_0$, при котором $p_2(f^{\\star})$ составляет долю $1/e$ от своего максимального значения.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть C. Устойчивость атмосферы (2.7 балла)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Рассмотрим небольшую цилиндрическую порцию воздуха на высоте $z$ над поверхностью земли. Давление и плотность воздуха на этой высоте равны $p(z)$ и $\\rho(z)$ соответственно, как показано на рис. C.1. Считайте, что поле тяжести $g$ однородно и направлено вниз, а давление у поверхности Земли равно $p_o$.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/4ebcbef7d04dad32ebbe.webp","alt":"apho-2025-t3 statement: original source diagram 2"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рисунок C.1"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.30"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Выразите производную $dp/dz$ через $g$ и $\\rho(z)$, если атмосфера находится в гидростатическом равновесии.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Выразите $dp/dz$ через $\\mu_{\\text{air}}$, $g$, $p(z)$, температуру $T(z)$ на высоте $z$ и физические константы.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Считая атмосферу изотермической ($T(z)=T$), выразите $p(z)$ через $z$, $\\mu_{\\text{air}}$, $g$, $p_o$, $T$ и физические постоянные.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n В реальной атмосфере температура не постоянна и уменьшается с высотой со скоростью $\\Gamma(z) = -dT/dz$. Рассмотрим небольшую порцию воздуха, адиабатически поднимающуюся в атмосфере и находящуюся в механическом равновесии с окружающей средой.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C4\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Для такой порции выразите скорость уменьшения температуры с высотой $\\Gamma_a$ через молярную теплоёмкость при постоянном давлении $c_p$, $\\mu_{\\text{air}}$ и $g$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Для анализа устойчивости атмосферы рассмотрим смещение небольшой порции воздуха от положения равновесия. Пусть эта порция изначально находилась в равновесии на высоте $z$ при температуре $T$, затем адиабатически переместилась по вертикали на расстояние $\\delta z_0$. Считайте, что в этом процессе давление порции совпадало с давлением окружающего воздуха. Скорость уменьшения температуры $\\Gamma$ с высотой в остальной атмосфере остаётся при этом постоянной. Вязкостью можно пренебречь.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C5\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.40"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Запишите уравнение движения относительно $\\delta z$. При каком условии положение равновесия устойчиво? Найдите угловую частоту $\\omega$ малых колебаний порции воздуха. Выразите ответы через $T$, $\\Gamma$, $g$, $\\mu_{\\text{air}}$ и $c_p$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть D. Влажность (2.7 балла)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Вода составляет небольшую часть атмосферы, но играет важную роль. Она является главным парниковым газом. Фаза воды зависит от её температуры и давления (см. фазовую диаграмму $p-T$ на рис. D.1). Когда давление и температура лежат на кривой насыщения водяного пара, вода может сосуществовать как в жидком, так и в газообразном виде. Наклон этой кривой определяется уравнением Клапейрона–Клаузиуса:\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n $$\\frac{dp_{s}}{dT}=\\frac{\\Delta S}{\\Delta V}$$\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n где $p_s$ – давление насыщенного пара (давление в момент фазового перехода), а $\\Delta S$ и $\\Delta V$ – изменения энтропии и объема этом в фазовом переходе соответственно. Считайте пар идеальным газом.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/adba10451e32a794cd41.webp","alt":"apho-2025-t3 statement: original source diagram 3"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рисунок D.1"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            D1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Выразите $dp_{s}/dT$ на кривой насыщения водяного пара через удельную теплоту парообразования воды $L$, $\\mu_{\\text{H}_2\\text{O}}$, $p_s$, $T$ и физические постоянные.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            D2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Пусть для некоторой температуры $T_o$ известно давление насыщенного пара $p_s=p_{so}$. Выразите $p_s(T)$ через $p_{so}$, $\\mu_{\\text{H}_2\\text{O}}$, $L$, $T$, $T_o$ и физические постоянные.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Рассмотрим теперь \"влажную\" порцию воздуха, которая поднимается адиабатически с начальной температурой $T_i$. Массовая доля пара в этой порции равна $\\phi$. Молярная теплоёмкость воздуха при постоянном давлении равна $c_p$. Универсальная газовая постоянная – $R=8.31$ Дж/(моль$\\cdot$К).\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            D3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 2.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Предположим, что изначально порция воздуха находилась при температуре $T_i=17.0 ^\\circ \\text{C}$ и давлении $p_i=10^5$ Па. Вычислите температуру $T_l$, при которой в ней начнётся конденсация воды, если $\\phi=10^{-2}$. Считайте, что количество воды в рассматриваемой порции остается постоянным во время подъема. Численные значения $L=2460$ кДж/кг и $p_{so}=1.94\\times10^3$ Па при $T_i=17.0^{\\circ}\\text{C}$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть E. Солнечное гало (1.6 балла)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n При подходящих атмосферных условиях вокруг Солнца может появляться яркое кольцо – гало. Оно возникает из-за кристалликов льда, присутствующих в верхних слоях тропосферы. Оказывается, что оно всегда появляется под определенным углом к направлению на Солнце.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/4c0f2ac70ce1c782070a.webp","alt":"apho-2025-t3 statement: original source diagram 4"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рисунок E.1. Фотография гало вокруг Солнца"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/6049b61425e17b79c68f.webp","alt":"apho-2025-t3 statement: original source diagram 5"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рисунок E.2. Путь луча света, проходящего через призму"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            E1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.80"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Рассмотрим треугольную призму с показателем преломления $n$ и углом $\\varphi$ при вершине. На призму падает луч света под углом $\\alpha$, как показано на рис. E.1. Выразите угол отклонения $\\delta$ светового луча после прохождения призмы через $\\alpha$, $n$ и $\\varphi$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Чаще всего гало образуется, когда кристаллики льда имеют форму правильных шестигранных призм. Солнечный свет падает на случайно ориентированные кристаллики и рассеивается в разные стороны. В определенных направлениях интенсивность преломленного света оказывается максимальной, и это определяет угол, под которым видно яркое кольцо.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/6a042b6798864b078e23.webp","alt":"apho-2025-t3 statement: original source diagram 6"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рисунок E.3."}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Рассмотрите шестиугольную ледяную призму, ось которой перпендикулярна направлению распространения солнечных лучей. Пусть луч света проходит через две прямоугольные грани призмы, показанные на рис. E.2. Из-за случайной ориентации кристалликов льда свет может падать на их грани под разными углами падения $\\alpha$.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            E2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Постройте на миллиметровке в листах ответов график зависимости угла отклонения $\\delta$ от угла падения $\\alpha$ в интервале $[20^\\circ,70^\\circ]$ с шагом $5^\\circ$. Показатель преломления льда равен $n=1.31$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            E3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n По графику, построенному в предыдущем пункте, определите, под каким углом гало кажется наиболее ярким по отношению к направлению на Солнце.\n\n                \n                "}]}]}]}]}],"text":"Атмосфера Земли представляет собой сложную физическую систему. В этой задаче на основе простых моделей рассматриваются некоторые атмосферные явления. В численных расчётах вы можете использовать следующие значения: интенсивность солнечного излучения вблизи поверхности Земли $F_s=1370 ~Вт/м^2$; молярная масса воды $\\mu_{\\text{H}_2\\text{O}}\\approx18~ г/моль$ и средняя молярная масса воздуха $\\mu_{\\text{air}}\\approx29~ г/моль$; постоянная Стефана–Больцмана $\\sigma=5.67\\times10^{-8} Вт/(м^2\\cdot К^4)$. Считайте, что все газы идеальные, а все молекулы воздуха имеют $5$ степеней свободы. Вы можете использовать значение следующего интеграла: $$\\int_{-\\infty}^\\infty e^{-ax^2/2} \\;dx = \\sqrt{\\frac{2\\pi}{a}}, \\hspace{4mm} a> 0.$$ Часть A. Температура поверхности Земли (1.2 балла) В этой части задачи исследуется влияние атмосферы на температуру поверхности Земли. Считайте, что Земля и её атмосфера имеют альбедо (отношение отражённой энергии к падающей) $a=0.3$ для солнечного излучения. Вы можете использовать это значение во всех частях этой задачи. Считайте также, что Земля излучает как абсолютно чёрное тело. A1 0.20 Выразите среднюю мощность $P_0$, получаемую системой Земли и атмосферы, через $F_s$, $a$ и радиус Земли $R_E$. A2 0.30 Вычислите равновесную температуру поверхности Земли $T_{g0}$, пренебрегая влиянием атмосферы. Ответ из A.2 меньше ожидаемого. Рассмотрим теперь дополнительно тонкий слой атмосферы температурой $T_a$, как показано на рис. A.1. Вследствие поглощения атмосфера пропускает долю $t_{\\text{sw}}$ падающего солнечного излучения, долю $t_{\\text{lw}}$ теплового излучения Земли, а излучает как абсолютно чёрное тело. Рисунок A.1 A3 0.70 Вычислите равновесную температуру $T_g$ поверхности Земли, если $t_{\\text{sw}}=0.9$ и $t_{\\text{lw}}=0.2$. Часть B. Спектр поглощения атмосферы (1.8 балла) Инфракрасное излучение Земли может возбуждать колебательные уровни энергии молекул. B1 0.50 Рассмотрим простую двухатомную молекулу из двух точечных масс $m_A$ и $m_B$, соединенных пружиной с коэффициентом упругости $k$. Найдите угловую частоту её колебаний $\\omega_d$. B2 0.20 Согласно квантовой механике, при поглощении фотона возможен переход только между соседними уровнями энергии. Найдите энергию $E_p$ фотона, который может возбудить колебания, описанные в B.1 . Эффектом отдачи пренебрегите. Энергия поглощённого фотона может несколько отличаться от разности энергетических уровней в молекуле. Предположим, что в состоянии покоя у рассматриваемой молекулы есть спектральная линия с частотой $f_0$. B3 0.20 Найдите сдвиг частоты $f-f_0$ этой спектральной линии, если молекула движется со скоростью $v$ по направлению к источнику излучения. Считайте, что $|v|\\ll c$, где $c$ – скорость света. Скорости молекул газа температурой $T$ подчиняются распределению Максвелла. Для молекулы массой $m$ вероятность того, что она движется с одномерной скоростью в диапазоне от $v$ до $v+dv$ по направлению к источнику излучения, равна $p_1(v)dv$, где $p_1(v)$ – плотность вероятности, равная: $$p_1(v)=C \\exp\\left(-\\frac{mv^2}{2k_BT}\\right)$$ Здесь $C$ – нормировочный множитель, подобранный так, чтобы полная вероятность была равна единице, а $k_B$ – постоянная Больцмана. B4 0.20 Найдите нормировочный множитель $C$, если скорость $v$ может лежать в диапазоне от $-\\infty$ до $\\infty$. B5 0.30 Найдите с точностью до нормировочного множителя плотность вероятности $p_2(f)$ найти молекулу со спектральной линией $f_0$, смещённой до $f$ из-за теплового движения. Выразите ответ через $f$, $f_0$, $T$, $m$ и физические постоянные. B6 0.40 Постройте качественный график зависимости $p_2(f)$ от $f-f_0$ и определите смещение $f^{\\star}-f_0$, при котором $p_2(f^{\\star})$ составляет долю $1/e$ от своего максимального значения. Часть C. Устойчивость атмосферы (2.7 балла) Рассмотрим небольшую цилиндрическую порцию воздуха на высоте $z$ над поверхностью земли. Давление и плотность воздуха на этой высоте равны $p(z)$ и $\\rho(z)$ соответственно, как показано на рис. C.1. Считайте, что поле тяжести $g$ однородно и направлено вниз, а давление у поверхности Земли равно $p_o$. Рисунок C.1 C1 0.30 Выразите производную $dp/dz$ через $g$ и $\\rho(z)$, если атмосфера находится в гидростатическом равновесии. C2 0.20 Выразите $dp/dz$ через $\\mu_{\\text{air}}$, $g$, $p(z)$, температуру $T(z)$ на высоте $z$ и физические константы. C3 0.20 Считая атмосферу изотермической ($T(z)=T$), выразите $p(z)$ через $z$, $\\mu_{\\text{air}}$, $g$, $p_o$, $T$ и физические постоянные. В реальной атмосфере температура не постоянна и уменьшается с высотой со скоростью $\\Gamma(z) = -dT/dz$. Рассмотрим небольшую порцию воздуха, адиабатически поднимающуюся в атмосфере и находящуюся в механическом равновесии с окружающей средой. C4 0.60 Для такой порции выразите скорость уменьшения температуры с высотой $\\Gamma_a$ через молярную теплоёмкость при постоянном давлении $c_p$, $\\mu_{\\text{air}}$ и $g$. Для анализа устойчивости атмосферы рассмотрим смещение небольшой порции воздуха от положения равновесия. Пусть эта порция изначально находилась в равновесии на высоте $z$ при температуре $T$, затем адиабатически переместилась по вертикали на расстояние $\\delta z_0$. Считайте, что в этом процессе давление порции совпадало с давлением окружающего воздуха. Скорость уменьшения температуры $\\Gamma$ с высотой в остальной атмосфере остаётся при этом постоянной. Вязкостью можно пренебречь. C5 1.40 Запишите уравнение движения относительно $\\delta z$. При каком условии положение равновесия устойчиво? Найдите угловую частоту $\\omega$ малых колебаний порции воздуха. Выразите ответы через $T$, $\\Gamma$, $g$, $\\mu_{\\text{air}}$ и $c_p$. Часть D. Влажность (2.7 балла) Вода составляет небольшую часть атмосферы, но играет важную роль. Она является главным парниковым газом. Фаза воды зависит от её температуры и давления (см. фазовую диаграмму $p-T$ на рис. D.1). Когда давление и температура лежат на кривой насыщения водяного пара, вода может сосуществовать как в жидком, так и в газообразном виде. Наклон этой кривой определяется уравнением Клапейрона–Клаузиуса: $$\\frac{dp_{s}}{dT}=\\frac{\\Delta S}{\\Delta V}$$ где $p_s$ – давление насыщенного пара (давление в момент фазового перехода), а $\\Delta S$ и $\\Delta V$ – изменения энтропии и объема этом в фазовом переходе соответственно. Считайте пар идеальным газом. Рисунок D.1 D1 0.50 Выразите $dp_{s}/dT$ на кривой насыщения водяного пара через удельную теплоту парообразования воды $L$, $\\mu_{\\text{H}_2\\text{O}}$, $p_s$, $T$ и физические постоянные. D2 0.20 Пусть для некоторой температуры $T_o$ известно давление насыщенного пара $p_s=p_{so}$. Выразите $p_s(T)$ через $p_{so}$, $\\mu_{\\text{H}_2\\text{O}}$, $L$, $T$, $T_o$ и физические постоянные. Рассмотрим теперь \"влажную\" порцию воздуха, которая поднимается адиабатически с начальной температурой $T_i$. Массовая доля пара в этой порции равна $\\phi$. Молярная теплоёмкость воздуха при постоянном давлении равна $c_p$. Универсальная газовая постоянная – $R=8.31$ Дж/(моль$\\cdot$К). D3 2.00 Предположим, что изначально порция воздуха находилась при температуре $T_i=17.0 ^\\circ \\text{C}$ и давлении $p_i=10^5$ Па. Вычислите температуру $T_l$, при которой в ней начнётся конденсация воды, если $\\phi=10^{-2}$. Считайте, что количество воды в рассматриваемой порции остается постоянным во время подъема. Численные значения $L=2460$ кДж/кг и $p_{so}=1.94\\times10^3$ Па при $T_i=17.0^{\\circ}\\text{C}$. Часть E. Солнечное гало (1.6 балла) При подходящих атмосферных условиях вокруг Солнца может появляться яркое кольцо – гало. Оно возникает из-за кристалликов льда, присутствующих в верхних слоях тропосферы. Оказывается, что оно всегда появляется под определенным углом к направлению на Солнце. Рисунок E.1. Фотография гало вокруг Солнца Рисунок E.2. Путь луча света, проходящего через призму E1 0.80 Рассмотрим треугольную призму с показателем преломления $n$ и углом $\\varphi$ при вершине. На призму падает луч света под углом $\\alpha$, как показано на рис. E.1. Выразите угол отклонения $\\delta$ светового луча после прохождения призмы через $\\alpha$, $n$ и $\\varphi$. Чаще всего гало образуется, когда кристаллики льда имеют форму правильных шестигранных призм. Солнечный свет падает на случайно ориентированные кристаллики и рассеивается в разные стороны. В определенных направлениях интенсивность преломленного света оказывается максимальной, и это определяет угол, под которым видно яркое кольцо. Рисунок E.3. Рассмотрите шестиугольную ледяную призму, ось которой перпендикулярна направлению распространения солнечных лучей. Пусть луч света проходит через две прямоугольные грани призмы, показанные на рис. E.2. Из-за случайной ориентации кристалликов льда свет может падать на их грани под разными углами падения $\\alpha$. E2 0.60 Постройте на миллиметровке в листах ответов график зависимости угла отклонения $\\delta$ от угла падения $\\alpha$ в интервале $[20^\\circ,70^\\circ]$ с шагом $5^\\circ$. Показатель преломления льда равен $n=1.31$. E3 0.20 По графику, построенному в предыдущем пункте, определите, под каким углом гало кажется наиболее ярким по отношению к направлению на Солнце.\n","figures":["/corpus/figures/e21c64f1445c079b5db9.webp","/corpus/figures/4ebcbef7d04dad32ebbe.webp","/corpus/figures/adba10451e32a794cd41.webp","/corpus/figures/4c0f2ac70ce1c782070a.webp","/corpus/figures/6049b61425e17b79c68f.webp","/corpus/figures/6a042b6798864b078e23.webp"],"shared":false},"solution":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Выразите среднюю мощность $P_0$, получаемую системой Земли и атмосферы, через $F_s$, $a$ и радиус Земли $R_E$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Площадь поперечного сечения Земли $\\pi R_E^2$. С учётом того, что Земля поглощает долю $1-a$ падающего на неё излучения, получаем ответ.\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$P_0 = (1-a) \\pi R_E^2 F_s$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.30"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Вычислите равновесную температуру поверхности Земли $T_{g0}$, пренебрегая влиянием атмосферы.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Мощность излучения чёрного тела согласно закону Стефана-Больцмана $P_{bd} = \\sigma A T^4$, где $\\sigma$ – постоянная Стефана-Больцмана, $A$ – площадь поверхности излучающего тела. В равновесии $P_{bd} = P_0$, так что"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\\sigma (4 \\pi R_E^2) T_{g0}^4 = (1-a) \\pi R_E^2 F_s.$$Отсюда получаем ответ.\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$T_{g0} = \\left( (1 - a) \\frac{F_s}{4\\sigma} \\right)^{1/4} \\approx 255 \\, \\text{К} \\approx -18^{\\circ} \\, \\text{C}$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.70"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Вычислите равновесную температуру $T_g$ поверхности Земли, если $t_{\\text{sw}}=0.9$ и $t_{\\text{lw}}=0.2$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n При наличии атмосферы рассмотрим энергетическое равновесие в двух областях: между поверхностью Земли и атмосферой, а также между атмосферой и внешним пространством. Пусть мощность излучения Земли $P_E$, мощность излучения атмосферы в каждую из сторон (к Земле и наружу) $P_{atmo}$. Тогда"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$P_E = P_{atmo} + t_{sw} P_0 \\\\ t_{lw} P_E + P_{atmo} = P_0$$Решая эту систему и используя $P_E = \\sigma (4\\pi R_E^2)T_g$, получаем ответ.\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$T_g = \\left( \\frac{1 + t_{\\text{sw}}}{1 + t_{\\text{lw}}} \\right)^{1/4} T_{g0} \\approx 286 \\, \\text{K} \\approx 13^\\circ \\, \\text{C}$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Рассмотрим простую двухатомную молекулу из двух точечных масс $m_A$ и $m_B$, соединенных пружиной с коэффициентом упругости $k$. Найдите угловую частоту её колебаний $\\omega_d$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Пусть длина пружины в нерастянутом состоянии равна $l_0$, а $x_A$, $x_B$ – положения частиц $A$ и $B$ соответственно. Уравнение движения каждой частицы под действием силы упругости пружины:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\begin{align*}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\frac{d^2}{dt^2}x_A &= +\\frac{k}{m_A}(\\ell - \\ell_0), \\\\"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\frac{d^2}{dt^2}x_B &= -\\frac{k}{m_B}(\\ell - \\ell_0),"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\end{align*}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"где $\\ell = x_B - x_A$ — мгновенная длина пружины. Вычитая одно уравнение из другого, получаем:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\["},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\frac{d^2}{dt^2}\\ell = -k\\left(\\frac{1}{m_A} + \\frac{1}{m_B}\\right)(\\ell - \\ell_0)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\]"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Это уравнение движения эффективной частицы, прикреплённой к пружине с жёсткостью $k$ и эффективной (приведённой) массой $\\mu$:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\["},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\mu = \\frac{1}{\\frac{1}{m_A} + \\frac{1}{m_B}} = \\frac{m_A m_B}{m_A + m_B}."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\]"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Таким образом, система совершает простое гармоническое колебание с угловой частотой"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\omega_d = \\sqrt{\\frac{k}{\\mu}} = \\sqrt{k\\frac{m_A + m_B}{m_A m_B}}."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tСогласно квантовой механике, при поглощении фотона возможен переход только между соседними уровнями энергии. Найдите энергию $E_p$ фотона, который может возбудить колебания, описанные в "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"B.1"}]},{"type":"text","text":". Эффектом отдачи пренебрегите.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Разность энергий между двумя соседними уровнями квантового гармонического осциллятора равна $\\hbar \\omega$. Следовательно, энергия фотона"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$E = \\hbar \\omega_d$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Найдите сдвиг частоты $f-f_0$ этой спектральной линии, если молекула движется со скоростью $v$ по направлению к источнику излучения. Считайте, что $|v|\\ll c$, где $c$ – скорость света.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Наблюдаемый сдвиг спектральной линии обусловлен эффектом Доплера. Когда источник движется к наблюдателю со скоростью $v$, частота изменяется согласно выражению"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\["},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"f = f_0 \\left( 1 + v/c \\right)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\]"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Таким образом, сдвиг частоты определяется как"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"f - f_0 = \\frac{v}{c} f_0"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B4\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Найдите нормировочный множитель $C$, если скорость $v$ может лежать в диапазоне от $-\\infty$ до $\\infty$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Чтобы найти константу нормировки $C$, потребуем, чтобы полная вероятность равнялась 1. Это приводит к следующему условию:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\int_{-\\infty}^{\\infty} p(v) \\, dv = 1 \\quad \\Rightarrow \\quad C \\int_{-\\infty}^{\\infty} e^{-\\frac{mv^2}{2k_B T}} \\, dv = 1."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Используя приведённую формулу интегрирования, где $x = v$ и $a = \\frac{m}{2k_B T}$, получаем\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"C = \\sqrt{\\frac{m}{2\\pi k_B T}}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B5\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.30"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Найдите с точностью до нормировочного множителя плотность вероятности $p_2(f)$ найти молекулу со спектральной линией $f_0$, смещённой до $f$ из-за теплового движения. Выразите ответ через $f$, $f_0$, $T$, $m$ и физические постоянные.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Используя результат из пункта B4, получаем следующее выражение для скорости молекулы через частоты $f$ и $f_0$:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"v = \\frac{f - f_0}{f_0} c."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Подставляя это в формулу распределения вероятностей, получаем искомый результат. Это даёт распределение вероятности наблюдения молекулы, чья спектральная линия смещена с $f_0$ до $f$.\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"p(f) \\propto \\exp \\left[ -\\frac{mc^2}{2k_B T} \\left( \\frac{f - f_0}{f_0} \\right)^2 \\right]."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B6\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.40"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Постройте качественный график зависимости $p_2(f)$ от $f-f_0$ и определите смещение $f^{\\star}-f_0$, при котором $p_2(f^{\\star})$ составляет долю $1/e$ от своего максимального значения.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Распределение вероятностей $p(f)$ имеет гауссову форму (нормальное распределение) по величине частотного сдвига $f - f_0$.\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n\n\n\n    \n        \n            "},{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/faf3279096cb04f1af61.webp","alt":"apho-2025-t3 solution: original source diagram 1"}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Центр профиля находится в точке $0$, а его значение уменьшается до $1/e$ от максимального, когда показатель экспоненты равен $-1$. Это происходит при выполнении следующего условия:\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"f^* - f_0 = f_0 \\sqrt{\\frac{2k_B T}{mc^2}}."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.30"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Выразите производную $dp/dz$ через $g$ и $\\rho(z)$, если атмосфера находится в гидростатическом равновесии.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Рассмотрим тонкий горизонтальный слой толщиной $dz$ и площадью $S$. Поскольку воздух находится в гидростатическом равновесии, сила тяжести, действующая на него, должна уравновешиваться разностью сил давления:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"p(z)S = p(z + dz)S + \\rho(z)gS\\,dz."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Упрощая и перегруппировывая члены, получаем ответ. Знак «минус» указывает на ожидаемое уменьшение давления с высотой.\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\frac{dp}{dz} = -\\rho(z)g"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Выразите $dp/dz$ через $\\mu_{\\text{air}}$, $g$, $p(z)$, температуру $T(z)$ на высоте $z$ и физические константы.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Рассматривая воздух как идеальный газ, используем уравнение состояния идеального газа, чтобы выразить плотность воздуха через его давление и температуру:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"pV = nRT \\quad \\Rightarrow \\quad p(z)V = \\frac{m}{\\mu_{\\text{air}}} RT(z)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Переписывая это выражение через плотность, получаем:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\rho(z) = \\frac{p(z)\\mu_{\\text{air}}}{RT(z)}."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Теперь подставим выражение для плотности в уравнение, полученное в C1.\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\frac{dp}{dz} = -\\frac{\\mu_{\\text{air}} p(z)}{RT(z)} g."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Считая атмосферу изотермической ($T(z)=T$), выразите $p(z)$ через $z$, $\\mu_{\\text{air}}$, $g$, $p_o$, $T$ и физические постоянные.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Рассматривая изотермическую атмосферу ($T(z) = T$), получаем:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\frac{dp}{p} = -\\frac{\\mu_{\\text{air}}}{RT} g\\,dz."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Интегрируя обе части и учитывая, что давление у Земли равно $p_0$, получаем:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\ln \\left[ \\frac{p(z)}{p_0} \\right] = -\\frac{\\mu_{\\text{air}}}{RT} gz."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Преобразуя, получаем ответ."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"p(z) = p_0 \\exp \\left( - \\frac{\\mu_{\\text{air}}}{RT} gz \\right)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C4\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Для такой порции выразите скорость уменьшения температуры с высотой $\\Gamma_a$ через молярную теплоёмкость при постоянном давлении $c_p$, $\\mu_{\\text{air}}$ и $g$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Поскольку малая порция воздуха перемещается адиабатически, запишем для неё уравнение адиабаты:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"pV^{\\gamma} = \\text{const.},"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$где $\\gamma = c_p/c_V$ – показатель адиабаты, а $c_p$, $c_V$ – молярные теплоёмкости при постоянном давлении и объёме соответственно. Используя уравнение состояния идеального газа, получаем:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"p(T/p)^{\\gamma} = \\text{const.} \\quad \\Rightarrow \\quad p^{1-\\gamma}T^{\\gamma} = \\text{const.}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Взяв производную этого выражения по высоте $z$, находим:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"(1 - \\gamma)p^{-\\gamma}\\frac{dp}{dz}T^{\\gamma} + \\gamma p^{1-\\gamma}T^{\\gamma-1}\\frac{dT}{dz} = 0."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Упрощая и преобразуя для получения выражения для адиабатического градиента температуры:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\frac{dT}{dz} = -\\frac{1 - \\gamma}{\\gamma}\\frac{T(z)}{p(z)}\\frac{dp}{dz}."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Подставляя градиент давления, полученный в C.3:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\frac{dT}{dz} = -\\frac{1 - \\gamma}{\\gamma}\\frac{T(z)}{p(z)} \\left[ -\\frac{p(z)\\mu_{\\text{air}}}{RT(z)} g \\right] = \\frac{1 - \\gamma}{\\gamma} \\frac{\\mu_{\\text{air}}}{R} g."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Используя $\\gamma = c_p/c_V$ и $c_p - c_V = R$, получаем линейное уменьшение температуры с высотой в адиабатической атмосфере:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\frac{dT}{dz} = \\frac{1 - c_p/c_V}{c_p/c_V} \\frac{\\mu_{\\text{air}}}{R} g = -\\frac{\\mu_{\\text{air}}}{c_p} g."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Поскольку $\\Gamma_a = -\\frac{d T}{dz}$, находим\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$\\Gamma_a = \\frac{\\mu_{\\text{air}}}{c_p} g$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C5\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.40"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Запишите уравнение движения относительно $\\delta z$. При каком условии положение равновесия устойчиво? Найдите угловую частоту $\\omega$ малых колебаний порции воздуха. Выразите ответы через $T$, $\\Gamma$, $g$, $\\mu_{\\text{air}}$ и $c_p$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Запишем второй закон Ньютона, учитывая силы Архимеда и тяжести:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\delta m \\frac{d^2 z}{dt^2} = \\rho_a(z) g \\delta V - \\delta m g,"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$где $\\delta m$ – масса объёма воздуха, $\\delta V$ – его объём, $\\rho_a$ – плотность окружающего воздуха. Выразим массу через плотность $\\rho_p$: $\\delta m = \\rho_p \\delta V$. Подстановка и упрощение дают:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\frac{d^2 z}{dt^2} = \\frac{\\rho_a(z + \\delta z) - \\rho_p(z + \\delta z)}{\\rho_p(z + \\delta z)} g."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Учитывая, что давление в объёме равно атмосферному на высоте $z + \\delta z$, получаем $\\rho \\propto 1/T$. Тогда:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\frac{d^2 z}{dt^2} = \\frac{T_p(z + \\delta z) - T_a(z + \\delta z)}{T_a(z + \\delta z)} g."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Используя определение градиента температуры $T(z + \\delta z) = T(z) + \\Gamma \\delta z$, получим:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\frac{d^2 z}{dt^2} = \\frac{T(z) + \\Gamma \\delta z - T(z) - \\Gamma_a \\delta z}{T(z) + \\Gamma_a \\delta z} g."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Упрощая числитель и пренебрегая бесконечно малым членом $\\Gamma_a \\delta z$ в знаменателе:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\frac{d^2 z}{dt^2} = \\frac{\\Gamma - \\Gamma_a}{T} g \\delta z."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Это уравнение гармонического осциллятора с угловой частотой:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\omega = \\sqrt{\\frac{(\\Gamma - \\Gamma_a)g}{T}}."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\omega = \\sqrt{\\frac{\\Gamma_a - \\Gamma}{T}} g = \\sqrt{\\frac{\\mu_{\\text{air}} g / c_p - \\Gamma}{T}} g."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Следовательно, условие устойчивости:\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$\\mu_{\\text{air}} g / c_p > \\Gamma$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                D1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Выразите $dp_{s}/dT$ на кривой насыщения водяного пара через удельную теплоту парообразования воды $L$, $\\mu_{\\text{H}_2\\text{O}}$, $p_s$, $T$ и физические постоянные.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Изменение энтропии при фазовом переходе (испарении) связано с теплотой парообразования. Для массы $m$ жидкой воды: $Q_{\\text{evaporation}} = Lm$. Тогда изменение энтропии:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\Delta S = \\frac{Lm}{T}."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Пренебрежём объёмом жидкости по сравнению с объёмом пара:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\Delta V \\approx V_{\\text{пар}} = \\frac{nRT}{p_s(T)}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$где $p_s(T)$ - давление насыщенного пара при температуре $T$. С учётом соотношения $m = \\mu_{\\mathrm{H_2O}}n$ получаем ответ.\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\frac{dp_s}{dT} = \\frac{\\mu_{\\text{H}_2\\text{O}}Lp_s}{RT^2}."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                D2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Пусть для некоторой температуры $T_o$ известно давление насыщенного пара $p_s=p_{so}$. Выразите $p_s(T)$ через $p_{so}$, $\\mu_{\\text{H}_2\\text{O}}$, $L$, $T$, $T_o$ и физические постоянные.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Разделяя переменные в выражении из D1 и интегрируя, получаем:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\ln \\left[ \\frac{p_s(T)}{p_{so}} \\right] = -\\frac{\\mu_{H_2O}L}{R} \\left( \\frac{1}{T} - \\frac{1}{T_o} \\right)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Строго говоря, $L$ является функцией температуры, но мы предполагаем, что $L=\\text{const.}$ в исследуемом диапазоне температур. Преобразуя, получаем ответ.\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"p_s(T) = p_{so} \\exp \\left[ -\\frac{\\mu_{H_2O}L}{R} \\left( \\frac{1}{T} - \\frac{1}{T_o} \\right) \\right]."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                D3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 2.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Предположим, что изначально порция воздуха находилась при температуре $T_i=17.0 ^\\circ \\text{C}$ и давлении $p_i=10^5$ Па. Вычислите температуру $T_l$, при которой в ней начнётся конденсация воды, если $\\phi=10^{-2}$. Считайте, что количество воды в рассматриваемой порции остается постоянным во время подъема. Численные значения $L=2460$ кДж/кг и $p_{so}=1.94\\times10^3$ Па при $T_i=17.0^{\\circ}\\text{C}$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Конденсация происходит, когда парциальное давление водяного пара внутри воздушного объёма достигает давления насыщения пара при данной температуре. Парциальное давление водяного пара $p_w$ связано с общим давлением объёма $p$:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"p_w = \\frac{n_{\\text{H}_2\\text{O}}}{n_{\\text{возд}}} p = \\frac{m_{\\text{H}_2\\text{O}}/\\mu_{\\text{H}_2\\text{O}}}{m_{\\text{возд}}/\\mu_{\\text{возд}}} p = \\phi \\frac{\\mu_{\\text{возд}}}{\\mu_{\\text{H}_2\\text{O}}} p."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Учитывая, что воздушный объём поднимается адиабатически, $p^{1-\\gamma} T^\\gamma = \\text{const}$, поэтому"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"p(T) = p_i \\left( \\frac{T}{T_i} \\right)^{c_p / R}."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Следовательно, трансцендентное уравнение, которое необходимо решить, имеет вид"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\phi \\frac{\\mu_{\\text{возд}}}{\\mu_{\\text{H}_2\\text{O}}} p_i \\left(\\frac{T_l}{T_i}\\right)^\\frac{c_p}{R} = p_{so} \\exp \\left[-\\frac{\\mu_{\\text{H}_2\\text{O}}L}{R} \\left(\\frac{1}{T_l} - \\frac{1}{T_i}\\right)\\right]."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$После преобразования:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"T_l = \\frac{1}{\\frac{1}{T_i} - \\frac{R}{\\mu_{\\text{H}_2\\text{O}} L} \\ln \\left[\\phi \\frac{\\mu_{\\text{возд}}}{\\mu_{\\text{H}_2\\text{O}}}\\frac{p_i}{p_{so}} \\left(\\frac{T_l}{T_i}\\right)^{c_p/R}\\right]}."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Подставляя численные значения, получаем:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"T_l = \\frac{1000\\,\\text{К}}{3.481 - 0.4695 \\ln \\left( \\frac{T_l}{290.15\\,\\text{К}} \\right)}."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Решая это уравнение любым доступным способом, например, методом простой итерации, получаем ответ.\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$T \\approx 286.8~\\text{K} \\approx 13.7~^\\circ\\text{C}$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                E1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.80"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Рассмотрим треугольную призму с показателем преломления $n$ и углом $\\varphi$ при вершине. На призму падает луч света под углом $\\alpha$, как показано на рис. E.1. Выразите угол отклонения $\\delta$ светового луча после прохождения призмы через $\\alpha$, $n$ и $\\varphi$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"\n        \n             Используя обозначения с рисунка, полный угол отклонения $\\delta$ можно записать как сумму отклонений при двух преломлениях:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\\delta = \\alpha - \\alpha' + \\beta - \\beta'.$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Рассмотрим треугольник с внутренними углами $\\varphi$, $90^\\circ - \\alpha'$ и $90^\\circ - \\beta'$. Поскольку сумма этих углов равна $180^\\circ$, получаем:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\\varphi = \\alpha' + \\beta',$$поэтому $\\delta$ упрощается до:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\\delta = \\alpha + \\beta - \\varphi.$$        \n        "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/c5e217ae6b3f4de46a0e.webp","alt":"apho-2025-t3 solution: original source diagram 2"}]}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Связь между $\\alpha$ и $\\alpha'$ (аналогично между $\\beta$ и $\\beta'$) задаётся законом Снелла:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\frac{\\sin \\alpha}{\\sin \\alpha'} = n, \\quad \\frac{\\sin \\beta}{\\sin \\beta'} = n."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Выразим $\\beta$ через $\\alpha'$:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\sin \\beta = n \\sin \\beta' = n \\sin (\\varphi - \\alpha'),"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Из закона Снелла $\\alpha'$ можно записать как:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\alpha' = \\arcsin \\left( \\frac{\\sin \\alpha}{n} \\right)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Таким образом, $\\beta$ в терминах $\\alpha$ выражается как:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\beta = \\arcsin \\left\\{ n \\sin \\left[ \\varphi - \\arcsin \\left( \\frac{\\sin \\alpha}{n} \\right) \\right] \\right\\}."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Окончательно получаем выражение для $\\delta$.\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\delta = \\alpha + \\arcsin \\left\\{ n \\sin \\left[ \\varphi - \\arcsin \\left( \\frac{\\sin \\alpha}{n} \\right) \\right] \\right\\} - \\varphi."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                E2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Постройте на миллиметровке в листах ответов график зависимости угла отклонения $\\delta$ от угла падения $\\alpha$ в интервале $[20^\\circ,70^\\circ]$ с шагом $5^\\circ$. Показатель преломления льда равен $n=1.31$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"figure","children":[{"type":"element","tag":"table","children":[{"type":"element","tag":"tbody","children":[{"type":"element","tag":"tr","children":[{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$\\alpha, ^\\circ$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"20"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"25"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"30"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"35"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"40"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"45"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"50"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"55"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"60"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"65"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"70"}]}]},{"type":"element","tag":"tr","children":[{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$\\delta, ^\\circ$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"27.5"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"24.6"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"23.0"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"22.2"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"21.8"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"22.0"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"22.5"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"23.4"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"24.7"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"26.5"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"28.7"}]}]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n\n\n\n    \n        \n            "},{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/99dddc16a5446ba19c3a.webp","alt":"apho-2025-t3 solution: original source diagram 3"}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                E3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n По графику, построенному в предыдущем пункте, определите, под каким углом гало кажется наиболее ярким по отношению к направлению на Солнце.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Минимальное значение $\\delta$ составляет около $21.8^\\circ$, именно под таким углом относительно направления на Солнце появляется гало.\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$\\delta = 21.8^\\circ$$\n\n                    "}]}]}]}],"text":"A1 0.20 Выразите среднюю мощность $P_0$, получаемую системой Земли и атмосферы, через $F_s$, $a$ и радиус Земли $R_E$. Площадь поперечного сечения Земли $\\pi R_E^2$. С учётом того, что Земля поглощает долю $1-a$ падающего на неё излучения, получаем ответ. Ответ: \n                    \n $$P_0 = (1-a) \\pi R_E^2 F_s$$\nA2 0.30 Вычислите равновесную температуру поверхности Земли $T_{g0}$, пренебрегая влиянием атмосферы. Мощность излучения чёрного тела согласно закону Стефана-Больцмана $P_{bd} = \\sigma A T^4$, где $\\sigma$ – постоянная Стефана-Больцмана, $A$ – площадь поверхности излучающего тела. В равновесии $P_{bd} = P_0$, так что $$\\sigma (4 \\pi R_E^2) T_{g0}^4 = (1-a) \\pi R_E^2 F_s.$$Отсюда получаем ответ. Ответ: \n                    \n $$T_{g0} = \\left( (1 - a) \\frac{F_s}{4\\sigma} \\right)^{1/4} \\approx 255 \\, \\text{К} \\approx -18^{\\circ} \\, \\text{C}$$\nA3 0.70 Вычислите равновесную температуру $T_g$ поверхности Земли, если $t_{\\text{sw}}=0.9$ и $t_{\\text{lw}}=0.2$. При наличии атмосферы рассмотрим энергетическое равновесие в двух областях: между поверхностью Земли и атмосферой, а также между атмосферой и внешним пространством. Пусть мощность излучения Земли $P_E$, мощность излучения атмосферы в каждую из сторон (к Земле и наружу) $P_{atmo}$. Тогда $$P_E = P_{atmo} + t_{sw} P_0 \\\\ t_{lw} P_E + P_{atmo} = P_0$$Решая эту систему и используя $P_E = \\sigma (4\\pi R_E^2)T_g$, получаем ответ. Ответ: \n                    \n $$T_g = \\left( \\frac{1 + t_{\\text{sw}}}{1 + t_{\\text{lw}}} \\right)^{1/4} T_{g0} \\approx 286 \\, \\text{K} \\approx 13^\\circ \\, \\text{C}$$\nB1 0.50 Рассмотрим простую двухатомную молекулу из двух точечных масс $m_A$ и $m_B$, соединенных пружиной с коэффициентом упругости $k$. Найдите угловую частоту её колебаний $\\omega_d$. Пусть длина пружины в нерастянутом состоянии равна $l_0$, а $x_A$, $x_B$ – положения частиц $A$ и $B$ соответственно. Уравнение движения каждой частицы под действием силы упругости пружины: \\begin{align*} \\frac{d^2}{dt^2}x_A &= +\\frac{k}{m_A}(\\ell - \\ell_0), \\\\ \\frac{d^2}{dt^2}x_B &= -\\frac{k}{m_B}(\\ell - \\ell_0), \\end{align*} где $\\ell = x_B - x_A$ — мгновенная длина пружины. Вычитая одно уравнение из другого, получаем: \\[ \\frac{d^2}{dt^2}\\ell = -k\\left(\\frac{1}{m_A} + \\frac{1}{m_B}\\right)(\\ell - \\ell_0). \\] Это уравнение движения эффективной частицы, прикреплённой к пружине с жёсткостью $k$ и эффективной (приведённой) массой $\\mu$: \\[ \\mu = \\frac{1}{\\frac{1}{m_A} + \\frac{1}{m_B}} = \\frac{m_A m_B}{m_A + m_B}. \\] Таким образом, система совершает простое гармоническое колебание с угловой частотой Ответ: \n                    \n $$ \\omega_d = \\sqrt{\\frac{k}{\\mu}} = \\sqrt{k\\frac{m_A + m_B}{m_A m_B}}. $$\nB2 0.20 Согласно квантовой механике, при поглощении фотона возможен переход только между соседними уровнями энергии. Найдите энергию $E_p$ фотона, который может возбудить колебания, описанные в B.1 . Эффектом отдачи пренебрегите. Разность энергий между двумя соседними уровнями квантового гармонического осциллятора равна $\\hbar \\omega$. Следовательно, энергия фотона Ответ: \n                    \n $$E = \\hbar \\omega_d$$\nB3 0.20 Найдите сдвиг частоты $f-f_0$ этой спектральной линии, если молекула движется со скоростью $v$ по направлению к источнику излучения. Считайте, что $|v|\\ll c$, где $c$ – скорость света. Наблюдаемый сдвиг спектральной линии обусловлен эффектом Доплера. Когда источник движется к наблюдателю со скоростью $v$, частота изменяется согласно выражению \\[ f = f_0 \\left( 1 + v/c \\right). \\] Таким образом, сдвиг частоты определяется как Ответ: \n                    \n $$ f - f_0 = \\frac{v}{c} f_0 $$\nB4 0.20 Найдите нормировочный множитель $C$, если скорость $v$ может лежать в диапазоне от $-\\infty$ до $\\infty$. Чтобы найти константу нормировки $C$, потребуем, чтобы полная вероятность равнялась 1. Это приводит к следующему условию: $$ \\int_{-\\infty}^{\\infty} p(v) \\, dv = 1 \\quad \\Rightarrow \\quad C \\int_{-\\infty}^{\\infty} e^{-\\frac{mv^2}{2k_B T}} \\, dv = 1. $$Используя приведённую формулу интегрирования, где $x = v$ и $a = \\frac{m}{2k_B T}$, получаем Ответ: \n                    \n $$ C = \\sqrt{\\frac{m}{2\\pi k_B T}} $$\nB5 0.30 Найдите с точностью до нормировочного множителя плотность вероятности $p_2(f)$ найти молекулу со спектральной линией $f_0$, смещённой до $f$ из-за теплового движения. Выразите ответ через $f$, $f_0$, $T$, $m$ и физические постоянные. Используя результат из пункта B4, получаем следующее выражение для скорости молекулы через частоты $f$ и $f_0$: $$ v = \\frac{f - f_0}{f_0} c. $$Подставляя это в формулу распределения вероятностей, получаем искомый результат. Это даёт распределение вероятности наблюдения молекулы, чья спектральная линия смещена с $f_0$ до $f$. Ответ: \n                    \n $$ p(f) \\propto \\exp \\left[ -\\frac{mc^2}{2k_B T} \\left( \\frac{f - f_0}{f_0} \\right)^2 \\right]. $$\nB6 0.40 Постройте качественный график зависимости $p_2(f)$ от $f-f_0$ и определите смещение $f^{\\star}-f_0$, при котором $p_2(f^{\\star})$ составляет долю $1/e$ от своего максимального значения. Распределение вероятностей $p(f)$ имеет гауссову форму (нормальное распределение) по величине частотного сдвига $f - f_0$. Ответ: Центр профиля находится в точке $0$, а его значение уменьшается до $1/e$ от максимального, когда показатель экспоненты равен $-1$. Это происходит при выполнении следующего условия: Ответ: \n                    \n $$ f^* - f_0 = f_0 \\sqrt{\\frac{2k_B T}{mc^2}}. $$\nC1 0.30 Выразите производную $dp/dz$ через $g$ и $\\rho(z)$, если атмосфера находится в гидростатическом равновесии. Рассмотрим тонкий горизонтальный слой толщиной $dz$ и площадью $S$. Поскольку воздух находится в гидростатическом равновесии, сила тяжести, действующая на него, должна уравновешиваться разностью сил давления: $$ p(z)S = p(z + dz)S + \\rho(z)gS\\,dz. $$ Упрощая и перегруппировывая члены, получаем ответ. Знак «минус» указывает на ожидаемое уменьшение давления с высотой. Ответ: \n                    \n $$ \\frac{dp}{dz} = -\\rho(z)g $$\nC2 0.20 Выразите $dp/dz$ через $\\mu_{\\text{air}}$, $g$, $p(z)$, температуру $T(z)$ на высоте $z$ и физические константы. Рассматривая воздух как идеальный газ, используем уравнение состояния идеального газа, чтобы выразить плотность воздуха через его давление и температуру: $$ pV = nRT \\quad \\Rightarrow \\quad p(z)V = \\frac{m}{\\mu_{\\text{air}}} RT(z). $$Переписывая это выражение через плотность, получаем: $$ \\rho(z) = \\frac{p(z)\\mu_{\\text{air}}}{RT(z)}. $$Теперь подставим выражение для плотности в уравнение, полученное в C1. Ответ: \n                    \n $$ \\frac{dp}{dz} = -\\frac{\\mu_{\\text{air}} p(z)}{RT(z)} g. $$\nC3 0.20 Считая атмосферу изотермической ($T(z)=T$), выразите $p(z)$ через $z$, $\\mu_{\\text{air}}$, $g$, $p_o$, $T$ и физические постоянные. Рассматривая изотермическую атмосферу ($T(z) = T$), получаем: $$ \\frac{dp}{p} = -\\frac{\\mu_{\\text{air}}}{RT} g\\,dz. $$Интегрируя обе части и учитывая, что давление у Земли равно $p_0$, получаем: $$ \\ln \\left[ \\frac{p(z)}{p_0} \\right] = -\\frac{\\mu_{\\text{air}}}{RT} gz. $$Преобразуя, получаем ответ. Ответ: \n                    \n $$ p(z) = p_0 \\exp \\left( - \\frac{\\mu_{\\text{air}}}{RT} gz \\right). $$\nC4 0.60 Для такой порции выразите скорость уменьшения температуры с высотой $\\Gamma_a$ через молярную теплоёмкость при постоянном давлении $c_p$, $\\mu_{\\text{air}}$ и $g$. Поскольку малая порция воздуха перемещается адиабатически, запишем для неё уравнение адиабаты: $$ pV^{\\gamma} = \\text{const.}, $$где $\\gamma = c_p/c_V$ – показатель адиабаты, а $c_p$, $c_V$ – молярные теплоёмкости при постоянном давлении и объёме соответственно. Используя уравнение состояния идеального газа, получаем: $$ p(T/p)^{\\gamma} = \\text{const.} \\quad \\Rightarrow \\quad p^{1-\\gamma}T^{\\gamma} = \\text{const.} $$Взяв производную этого выражения по высоте $z$, находим: $$ (1 - \\gamma)p^{-\\gamma}\\frac{dp}{dz}T^{\\gamma} + \\gamma p^{1-\\gamma}T^{\\gamma-1}\\frac{dT}{dz} = 0. $$Упрощая и преобразуя для получения выражения для адиабатического градиента температуры: $$ \\frac{dT}{dz} = -\\frac{1 - \\gamma}{\\gamma}\\frac{T(z)}{p(z)}\\frac{dp}{dz}. $$Подставляя градиент давления, полученный в C.3: $$ \\frac{dT}{dz} = -\\frac{1 - \\gamma}{\\gamma}\\frac{T(z)}{p(z)} \\left[ -\\frac{p(z)\\mu_{\\text{air}}}{RT(z)} g \\right] = \\frac{1 - \\gamma}{\\gamma} \\frac{\\mu_{\\text{air}}}{R} g. $$Используя $\\gamma = c_p/c_V$ и $c_p - c_V = R$, получаем линейное уменьшение температуры с высотой в адиабатической атмосфере: $$ \\frac{dT}{dz} = \\frac{1 - c_p/c_V}{c_p/c_V} \\frac{\\mu_{\\text{air}}}{R} g = -\\frac{\\mu_{\\text{air}}}{c_p} g. $$Поскольку $\\Gamma_a = -\\frac{d T}{dz}$, находим Ответ: \n                    \n $$\\Gamma_a = \\frac{\\mu_{\\text{air}}}{c_p} g$$\nC5 1.40 Запишите уравнение движения относительно $\\delta z$. При каком условии положение равновесия устойчиво? Найдите угловую частоту $\\omega$ малых колебаний порции воздуха. Выразите ответы через $T$, $\\Gamma$, $g$, $\\mu_{\\text{air}}$ и $c_p$. Запишем второй закон Ньютона, учитывая силы Архимеда и тяжести: $$ \\delta m \\frac{d^2 z}{dt^2} = \\rho_a(z) g \\delta V - \\delta m g, $$где $\\delta m$ – масса объёма воздуха, $\\delta V$ – его объём, $\\rho_a$ – плотность окружающего воздуха. Выразим массу через плотность $\\rho_p$: $\\delta m = \\rho_p \\delta V$. Подстановка и упрощение дают: $$ \\frac{d^2 z}{dt^2} = \\frac{\\rho_a(z + \\delta z) - \\rho_p(z + \\delta z)}{\\rho_p(z + \\delta z)} g. $$Учитывая, что давление в объёме равно атмосферному на высоте $z + \\delta z$, получаем $\\rho \\propto 1/T$. Тогда: $$ \\frac{d^2 z}{dt^2} = \\frac{T_p(z + \\delta z) - T_a(z + \\delta z)}{T_a(z + \\delta z)} g. $$Используя определение градиента температуры $T(z + \\delta z) = T(z) + \\Gamma \\delta z$, получим: $$ \\frac{d^2 z}{dt^2} = \\frac{T(z) + \\Gamma \\delta z - T(z) - \\Gamma_a \\delta z}{T(z) + \\Gamma_a \\delta z} g. $$Упрощая числитель и пренебрегая бесконечно малым членом $\\Gamma_a \\delta z$ в знаменателе: $$ \\frac{d^2 z}{dt^2} = \\frac{\\Gamma - \\Gamma_a}{T} g \\delta z. $$Это уравнение гармонического осциллятора с угловой частотой: $$ \\omega = \\sqrt{\\frac{(\\Gamma - \\Gamma_a)g}{T}}. $$ Ответ: \n                    \n $$ \\omega = \\sqrt{\\frac{\\Gamma_a - \\Gamma}{T}} g = \\sqrt{\\frac{\\mu_{\\text{air}} g / c_p - \\Gamma}{T}} g. $$ Следовательно, условие устойчивости: Ответ: \n                    \n $$\\mu_{\\text{air}} g / c_p > \\Gamma$$\nD1 0.50 Выразите $dp_{s}/dT$ на кривой насыщения водяного пара через удельную теплоту парообразования воды $L$, $\\mu_{\\text{H}_2\\text{O}}$, $p_s$, $T$ и физические постоянные. Изменение энтропии при фазовом переходе (испарении) связано с теплотой парообразования. Для массы $m$ жидкой воды: $Q_{\\text{evaporation}} = Lm$. Тогда изменение энтропии: $$ \\Delta S = \\frac{Lm}{T}. $$Пренебрежём объёмом жидкости по сравнению с объёмом пара: $$ \\Delta V \\approx V_{\\text{пар}} = \\frac{nRT}{p_s(T)} $$где $p_s(T)$ - давление насыщенного пара при температуре $T$. С учётом соотношения $m = \\mu_{\\mathrm{H_2O}}n$ получаем ответ. Ответ: \n                    \n $$ \\frac{dp_s}{dT} = \\frac{\\mu_{\\text{H}_2\\text{O}}Lp_s}{RT^2}. $$\nD2 0.20 Пусть для некоторой температуры $T_o$ известно давление насыщенного пара $p_s=p_{so}$. Выразите $p_s(T)$ через $p_{so}$, $\\mu_{\\text{H}_2\\text{O}}$, $L$, $T$, $T_o$ и физические постоянные. Разделяя переменные в выражении из D1 и интегрируя, получаем: $$ \\ln \\left[ \\frac{p_s(T)}{p_{so}} \\right] = -\\frac{\\mu_{H_2O}L}{R} \\left( \\frac{1}{T} - \\frac{1}{T_o} \\right). $$Строго говоря, $L$ является функцией температуры, но мы предполагаем, что $L=\\text{const.}$ в исследуемом диапазоне температур. Преобразуя, получаем ответ. Ответ: \n                    \n $$ p_s(T) = p_{so} \\exp \\left[ -\\frac{\\mu_{H_2O}L}{R} \\left( \\frac{1}{T} - \\frac{1}{T_o} \\right) \\right]. $$\nD3 2.00 Предположим, что изначально порция воздуха находилась при температуре $T_i=17.0 ^\\circ \\text{C}$ и давлении $p_i=10^5$ Па. Вычислите температуру $T_l$, при которой в ней начнётся конденсация воды, если $\\phi=10^{-2}$. Считайте, что количество воды в рассматриваемой порции остается постоянным во время подъема. Численные значения $L=2460$ кДж/кг и $p_{so}=1.94\\times10^3$ Па при $T_i=17.0^{\\circ}\\text{C}$. Конденсация происходит, когда парциальное давление водяного пара внутри воздушного объёма достигает давления насыщения пара при данной температуре. Парциальное давление водяного пара $p_w$ связано с общим давлением объёма $p$: $$ p_w = \\frac{n_{\\text{H}_2\\text{O}}}{n_{\\text{возд}}} p = \\frac{m_{\\text{H}_2\\text{O}}/\\mu_{\\text{H}_2\\text{O}}}{m_{\\text{возд}}/\\mu_{\\text{возд}}} p = \\phi \\frac{\\mu_{\\text{возд}}}{\\mu_{\\text{H}_2\\text{O}}} p. $$Учитывая, что воздушный объём поднимается адиабатически, $p^{1-\\gamma} T^\\gamma = \\text{const}$, поэтому $$ p(T) = p_i \\left( \\frac{T}{T_i} \\right)^{c_p / R}. $$Следовательно, трансцендентное уравнение, которое необходимо решить, имеет вид $$ \\phi \\frac{\\mu_{\\text{возд}}}{\\mu_{\\text{H}_2\\text{O}}} p_i \\left(\\frac{T_l}{T_i}\\right)^\\frac{c_p}{R} = p_{so} \\exp \\left[-\\frac{\\mu_{\\text{H}_2\\text{O}}L}{R} \\left(\\frac{1}{T_l} - \\frac{1}{T_i}\\right)\\right]. $$После преобразования: $$ T_l = \\frac{1}{\\frac{1}{T_i} - \\frac{R}{\\mu_{\\text{H}_2\\text{O}} L} \\ln \\left[\\phi \\frac{\\mu_{\\text{возд}}}{\\mu_{\\text{H}_2\\text{O}}}\\frac{p_i}{p_{so}} \\left(\\frac{T_l}{T_i}\\right)^{c_p/R}\\right]}. $$Подставляя численные значения, получаем: $$ T_l = \\frac{1000\\,\\text{К}}{3.481 - 0.4695 \\ln \\left( \\frac{T_l}{290.15\\,\\text{К}} \\right)}. $$Решая это уравнение любым доступным способом, например, методом простой итерации, получаем ответ. Ответ: \n                    \n $$T \\approx 286.8~\\text{K} \\approx 13.7~^\\circ\\text{C}$$\nE1 0.80 Рассмотрим треугольную призму с показателем преломления $n$ и углом $\\varphi$ при вершине. На призму падает луч света под углом $\\alpha$, как показано на рис. E.1. Выразите угол отклонения $\\delta$ светового луча после прохождения призмы через $\\alpha$, $n$ и $\\varphi$. Используя обозначения с рисунка, полный угол отклонения $\\delta$ можно записать как сумму отклонений при двух преломлениях: $$\\delta = \\alpha - \\alpha' + \\beta - \\beta'.$$ Рассмотрим треугольник с внутренними углами $\\varphi$, $90^\\circ - \\alpha'$ и $90^\\circ - \\beta'$. Поскольку сумма этих углов равна $180^\\circ$, получаем: $$\\varphi = \\alpha' + \\beta',$$поэтому $\\delta$ упрощается до: $$\\delta = \\alpha + \\beta - \\varphi.$$ Связь между $\\alpha$ и $\\alpha'$ (аналогично между $\\beta$ и $\\beta'$) задаётся законом Снелла: $$ \\frac{\\sin \\alpha}{\\sin \\alpha'} = n, \\quad \\frac{\\sin \\beta}{\\sin \\beta'} = n. $$Выразим $\\beta$ через $\\alpha'$: $$ \\sin \\beta = n \\sin \\beta' = n \\sin (\\varphi - \\alpha'), $$Из закона Снелла $\\alpha'$ можно записать как: $$ \\alpha' = \\arcsin \\left( \\frac{\\sin \\alpha}{n} \\right). $$Таким образом, $\\beta$ в терминах $\\alpha$ выражается как: $$ \\beta = \\arcsin \\left\\{ n \\sin \\left[ \\varphi - \\arcsin \\left( \\frac{\\sin \\alpha}{n} \\right) \\right] \\right\\}. $$Окончательно получаем выражение для $\\delta$. Ответ: \n                    \n $$ \\delta = \\alpha + \\arcsin \\left\\{ n \\sin \\left[ \\varphi - \\arcsin \\left( \\frac{\\sin \\alpha}{n} \\right) \\right] \\right\\} - \\varphi. $$\nE2 0.60 Постройте на миллиметровке в листах ответов график зависимости угла отклонения $\\delta$ от угла падения $\\alpha$ в интервале $[20^\\circ,70^\\circ]$ с шагом $5^\\circ$. Показатель преломления льда равен $n=1.31$. $\\alpha, ^\\circ$ 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 $\\delta, ^\\circ$ 27.5 24.6 23.0 22.2 21.8 22.0 22.5 23.4 24.7 26.5 28.7 Ответ:\nE3 0.20 По графику, построенному в предыдущем пункте, определите, под каким углом гало кажется наиболее ярким по отношению к направлению на Солнце. Минимальное значение $\\delta$ составляет около $21.8^\\circ$, именно под таким углом относительно направления на Солнце появляется гало. Ответ: \n                    \n $$\\delta = 21.8^\\circ$$","figures":["/corpus/figures/faf3279096cb04f1af61.webp","/corpus/figures/c5e217ae6b3f4de46a0e.webp","/corpus/figures/99dddc16a5446ba19c3a.webp"],"shared":false}},{"id":"apho-2024-t3","importedOn":"2026-10-28","language":"ru","sources":[{"url":"https://pho.rs/p/4071","kind":"statement"},{"url":"https://pho.rs/p/4071/s","kind":"solution"}],"statement":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть A. Видимое движение Луны относительно звезд (1.8 балла)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Луна совершает один оборот вокруг Земли относительно звёзд за $27.3$ дня – период, известный как сидерический месяц. Хотя в телескоп заметить движение Луны легко, при наблюдениях невооружённым глазом на это может потребоваться несколько часов. Известно, что $3600$ угловых секунд $= 60$ угловых минут $= 1$ градус. На сколько градусов / угловых минут / угловых секунд Луна сместится относительно звёзд за:\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.30"}]}]},{"type":"element","tag":"ul","children":[{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Один час?"}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Одну минуту?"}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Одну секунду?"}]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tЗа какое время Луна сместится относительно звёзд на расстояние, равное её диаметру?"},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"Примечание:"}]},{"type":"text","text":" видимый угловой диаметр Луны равен 30 угловым минутам."}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть B. Использование покрытий Луной для точного определения положения радиоисточников в случае 3C 273 (1.8 балла)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tВ конце 1950-х – начале 1960-х годов измерения положения радиоисточников с такой большой точностью были недоступны. Покрытия Луной уже использовались в астрономии, однако Хазард был заинтересован в их применении для определения положения и структуры радиоисточников с точностью до угловой секунды. Поскольку такие измерения делались в системе отсчёта далёких звёзд, источники можно было надёжно идентифицировать. Хазард обратил внимание, что в 1962 и 1963 годах должно произойти несколько покрытий Луной мощного источника класса II, 3C 273."},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Покрытие 5 августа 1962 года наблюдалось на частотах 410 и 136 МГц. Наблюдалось как покрытие Луной, так и повторное появление из-за лунного диска, а результаты измерений указывали на наличие у источника двух компонентов A и B. На "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"Рис. 1"}]},{"type":"text","text":" показаны результаты измерений на частоте 410 МГц во время покрытия (справа) и появления из-за лунного диска (слева)."}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/0315a13001b83c2d827e.webp","alt":"apho-2024-t3 statement: original source diagram 1"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 1. Результаты измерений 5 августа 1962 года на частоте 410 МГц во время покрытия и появления из-за лунного диска, взятые из статьи Hazard et al. (1963). Время отсчитывается справа налево, Луна также движется справа налево. Снизу показаны положения компонентов источника A и B относительно диска Луны во время покрытия и повторного появления."}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tЧто вызывает колебания наблюдаемой интенсивности? "},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"A. Дифракционная картина."}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"B. Неустойчивость в монтировке телескопа."}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"C. Особенности поверхности Луны."}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"D. Атмосферные условия Земли."}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tПочему при повторном появлении источника из-за лунного диска на графике слева отсутствует бугорок от компонента B? Как это помогает в понимании структуры источника?"},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"A. Эти два компонента вращались вокруг Луны."}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"B. Наша линия наблюдения изменилась по отношению к двум компонентам."}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"C. При повторном появлении из-за лунного диска компоненты были выровнены относительно него."}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"D. Временные масштабы физики, лежащей в основе светимости двух компонентов, были достаточно большими, чтобы один из них потускнел."}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tОсновываясь на ваших ответах в пунктах "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"A1 "}]},{"type":"text","text":"и "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"A2"}]},{"type":"text","text":" и данных "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"Рис. 1"}]},{"type":"text","text":", оцените наблюдаемое угловое расстояние между двумя компонентами 3C 273.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть C. Открытие истинной природы 3C 273 (1.8 балла)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tВ 1962 году, в год этих наблюдений, Мартин Шмидт работал над программой оптической идентификации и спектроскопии радиоисточников. Как упоминает Уайтоак, в Калифорнийском техническом институте в этом время считали, что источник 3C 273 представляет собой звезду со странным джетом. Чтобы получить спектр джета, нужно было учесть влияние звезды, находящейся от него на расстоянии нескольких угловых секунд. Мартин Шмидт хотел решить этот вопрос, сначала получив спектр самой звезды. В ночь на 29 декабря ему удалось получить его, и в нём было заметно несколько слабых эмиссионных линий ("},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"Рис. 2"}]},{"type":"text","text":"), не соответствующих известным линиям звёздных спектров. И лишь когда Шмидт решил сравнить странный спектр с бальмеровскими линиями водорода, все стало ясно:\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/88a6de2daf69369787c9.webp","alt":"apho-2024-t3 statement: original source diagram 2"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 2. Спектр 3C 273 в оптическом диапазоне (сверху) и спектр, полученный в лаборатории, для сравнения (снизу)."}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tСравните длины волн линий на "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"Рис. 2"}]},{"type":"text","text":". Основываясь на этом, определите красное смещение $z=\\dfrac{\\lambda-\\lambda_0}{\\lambda_0}$ источника.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Предположим, что красное смещение возникает вследствие гравитации объекта. В этом случае оно будет задаваться выражением $z=\\dfrac{1}{\\sqrt{1-\\dfrac{2GM}{c^2r}}}-1$. Покажите, что куда бы ни был помещён 3C 273 (к примеру, на край Млечного Пути, $r\\sim100~кпк\\approx3\\cdot10^{21}~м$; на край Солнечной системы, $r\\sim100~а.е.\\approx1.5\\cdot10^{13}~м$), его масса была бы достаточной, чтобы разрушить Галактику / Солнечную систему.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Согласно закону Хаббла, чем дальше от Земли находятся галактики, тем быстрее они удаляются от неё. Коэффициент пропорциональности между скоростью галактик и расстоянием до них называется постоянной Хаббла и равен $H=75~\\dfrac{км}{с\\cdot Мпк}$. Если считать, что красное смещение обусловлено расширением Вселенной, оно будет равно $z\\approx \\dfrac{v}{c}$. Вычислите расстояние до объекта. Сравните ответ с размером Млечного Пути.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть D. Светимость радиоисточника 3C 273 (1.8 баллов)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Измеренную спектральную плотность потока энергии 3C 273 можно описать выражением $F_\\nu\\approx25000\\cdot\\nu^{-0.3}~Ян$, где $\\nu$ – частота излучения в Герцах, а единица измерения Янский определяется как $1~Ян=10^{-26}~\\dfrac{Вт}{м^2\\cdot Гц}$. Поскольку источник излучает равномерно в сферу с радиусом, равным расстоянию до Земли, его светимость на единицу частоты задаётся выражением $L_\\nu=4\\pi d^2F_\\nu$.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            D1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tПолучите явное выражение для светимости источника на единицу частоты."},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"Примечание:"}]},{"type":"text","text":" $1~ пк=3.09\\cdot10^{16}~ м$."}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            D2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Вычислите полную светимость источника в радиодиапазоне (т.е. в диапазоне частот от $10^7~  Гц$ до $10^{11}~ Гц$).\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            D3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tКак светимость 3C 273 соотносится со светимостью Солнца $(L_\\mathrm{Sun}=3.82\\cdot10^{26}~ Вт)$ и Млечного Пути $(L_\\mathrm{MW}=1.5\\cdot10^{10} \\cdot L_\\mathrm{Sun})$ в этом же диапазоне частот?\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть E. Источник энергии 3C 273 (1.4 балла)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Как видно, яркость 3C 273 слишком велика не только для одиночной звезды, но и для целой галактики. Следовательно, должен существовать другой механизм, производящий эту энергию, не такой как у звезд.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            E1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.70"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Покажите, что производство энергии нельзя объяснить аннигиляцией материи с антиматерией (например, реакциями $\\mathrm e^++\\mathrm e^-\\to2\\gamma$), поскольку в них создаются  высокоэнергетические рентгеновские лучи, а не излучение в оптическом и радиодиапазонах.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            E2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.70"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tПочти сразу было выдвинуто предположение, что энергия возникает в результате аккреции материи на сверхмассивную чёрную дыру. Проверим, что гравитационной потенциальной энергии будет на это хватать: Пусть сверхмассивная чёрная дыра ежегодно притягивает на свой Шварцшильдовский радиус $\\left(R_\\mathrm s=\\dfrac{2GM}{c^2}\\right)$ одну солнечную массу $(2\\cdot10^{30}~ кг)$. Какую мощность это сможет произвести? Будет ли этого хватать для объяснения результатов пунктов "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"D1"}]},{"type":"text","text":"–"},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"D3"}]},{"type":"text","text":"?\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть F. Современные наблюдения и природа компонентов 3C 273 (1.4 балла)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tСовременные изображения, полученные с помощью различных телескопов (см., к примеру, "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"Рис. 3"}]},{"type":"text","text":"), показывают, что два компонента A и B, обнаруженные во время покрытия Луной, на самом деле представляют собой компактное ядро с чёрной дырой и джет, простирающийся на посчитанное вами ранее расстояние. Считается, что этот джет образуется за счёт ускорения частиц, падающих на чёрную дыру, в сильном магнитном поле. Это похоже на северные сияния, создаваемые ускоряющимися в магнитном поле Земли частицами солнечного ветра, однако происходит на гораздо бóльших масштабах.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/3d2164c06988ade36d96.webp","alt":"apho-2024-t3 statement: original source diagram 3"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 3. Изображение 3C 273 в радиодиапазоне, полученное с помощью телескопа MERLIN."}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Плотность энергии, необходимая для создания такого джета, можно выразить через индукцию магнитного поля как сумму объёмных плотностей энергии частиц $U_\\mathrm e\\propto B^{-3/2}$ и магнитного поля $U_B\\propto B^2$.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            F1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.70"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Покажите, что минимальная суммарная объёмная плотность энергии достигается при $\\dfrac{U_\\mathrm e}{U_B}=\\dfrac{4}{3}$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            F2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.70"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tПредположим, что полная энергия джета 3C 273 равна половине энергии, выделяемой 3C 273 за одну секунду согласно оценкам "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"D1"}]},{"type":"text","text":" и "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"D2"}]},{"type":"text","text":", а объём джета равен $10^{45}~ м^3$. Оцените магнитное поле в джете."},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"Подсказка:"}]},{"type":"text","text":" магнитная проницаемость вакуума равна $4\\pi\\cdot 10^{-7}~ Тл\\cdot м\\cdot А^{-1}$."}]}]}]}]}]}],"text":"Часть A. Видимое движение Луны относительно звезд (1.8 балла) Луна совершает один оборот вокруг Земли относительно звёзд за $27.3$ дня – период, известный как сидерический месяц. Хотя в телескоп заметить движение Луны легко, при наблюдениях невооружённым глазом на это может потребоваться несколько часов. Известно, что $3600$ угловых секунд $= 60$ угловых минут $= 1$ градус. На сколько градусов / угловых минут / угловых секунд Луна сместится относительно звёзд за: A1 1.30 Один час? Одну минуту? Одну секунду? A2 0.50 За какое время Луна сместится относительно звёзд на расстояние, равное её диаметру? Примечание: видимый угловой диаметр Луны равен 30 угловым минутам. Часть B. Использование покрытий Луной для точного определения положения радиоисточников в случае 3C 273 (1.8 балла) В конце 1950-х – начале 1960-х годов измерения положения радиоисточников с такой большой точностью были недоступны. Покрытия Луной уже использовались в астрономии, однако Хазард был заинтересован в их применении для определения положения и структуры радиоисточников с точностью до угловой секунды. Поскольку такие измерения делались в системе отсчёта далёких звёзд, источники можно было надёжно идентифицировать. Хазард обратил внимание, что в 1962 и 1963 годах должно произойти несколько покрытий Луной мощного источника класса II, 3C 273. Покрытие 5 августа 1962 года наблюдалось на частотах 410 и 136 МГц. Наблюдалось как покрытие Луной, так и повторное появление из-за лунного диска, а результаты измерений указывали на наличие у источника двух компонентов A и B. На Рис. 1 показаны результаты измерений на частоте 410 МГц во время покрытия (справа) и появления из-за лунного диска (слева). Рис. 1. Результаты измерений 5 августа 1962 года на частоте 410 МГц во время покрытия и появления из-за лунного диска, взятые из статьи Hazard et al. (1963). Время отсчитывается справа налево, Луна также движется справа налево. Снизу показаны положения компонентов источника A и B относительно диска Луны во время покрытия и повторного появления. B1 0.60 Что вызывает колебания наблюдаемой интенсивности? A. Дифракционная картина. B. Неустойчивость в монтировке телескопа. C. Особенности поверхности Луны. D. Атмосферные условия Земли. B2 0.60 Почему при повторном появлении источника из-за лунного диска на графике слева отсутствует бугорок от компонента B? Как это помогает в понимании структуры источника? A. Эти два компонента вращались вокруг Луны. B. Наша линия наблюдения изменилась по отношению к двум компонентам. C. При повторном появлении из-за лунного диска компоненты были выровнены относительно него. D. Временные масштабы физики, лежащей в основе светимости двух компонентов, были достаточно большими, чтобы один из них потускнел. B3 0.60 Основываясь на ваших ответах в пунктах A1 и A2 и данных Рис. 1 , оцените наблюдаемое угловое расстояние между двумя компонентами 3C 273. Часть C. Открытие истинной природы 3C 273 (1.8 балла) В 1962 году, в год этих наблюдений, Мартин Шмидт работал над программой оптической идентификации и спектроскопии радиоисточников. Как упоминает Уайтоак, в Калифорнийском техническом институте в этом время считали, что источник 3C 273 представляет собой звезду со странным джетом. Чтобы получить спектр джета, нужно было учесть влияние звезды, находящейся от него на расстоянии нескольких угловых секунд. Мартин Шмидт хотел решить этот вопрос, сначала получив спектр самой звезды. В ночь на 29 декабря ему удалось получить его, и в нём было заметно несколько слабых эмиссионных линий ( Рис. 2 ), не соответствующих известным линиям звёздных спектров. И лишь когда Шмидт решил сравнить странный спектр с бальмеровскими линиями водорода, все стало ясно: Рис. 2. Спектр 3C 273 в оптическом диапазоне (сверху) и спектр, полученный в лаборатории, для сравнения (снизу). C1 0.60 Сравните длины волн линий на Рис. 2 . Основываясь на этом, определите красное смещение $z=\\dfrac{\\lambda-\\lambda_0}{\\lambda_0}$ источника. C2 0.60 Предположим, что красное смещение возникает вследствие гравитации объекта. В этом случае оно будет задаваться выражением $z=\\dfrac{1}{\\sqrt{1-\\dfrac{2GM}{c^2r}}}-1$. Покажите, что куда бы ни был помещён 3C 273 (к примеру, на край Млечного Пути, $r\\sim100~кпк\\approx3\\cdot10^{21}~м$; на край Солнечной системы, $r\\sim100~а.е.\\approx1.5\\cdot10^{13}~м$), его масса была бы достаточной, чтобы разрушить Галактику / Солнечную систему. C3 0.60 Согласно закону Хаббла, чем дальше от Земли находятся галактики, тем быстрее они удаляются от неё. Коэффициент пропорциональности между скоростью галактик и расстоянием до них называется постоянной Хаббла и равен $H=75~\\dfrac{км}{с\\cdot Мпк}$. Если считать, что красное смещение обусловлено расширением Вселенной, оно будет равно $z\\approx \\dfrac{v}{c}$. Вычислите расстояние до объекта. Сравните ответ с размером Млечного Пути. Часть D. Светимость радиоисточника 3C 273 (1.8 баллов) Измеренную спектральную плотность потока энергии 3C 273 можно описать выражением $F_\\nu\\approx25000\\cdot\\nu^{-0.3}~Ян$, где $\\nu$ – частота излучения в Герцах, а единица измерения Янский определяется как $1~Ян=10^{-26}~\\dfrac{Вт}{м^2\\cdot Гц}$. Поскольку источник излучает равномерно в сферу с радиусом, равным расстоянию до Земли, его светимость на единицу частоты задаётся выражением $L_\\nu=4\\pi d^2F_\\nu$. D1 0.60 Получите явное выражение для светимости источника на единицу частоты. Примечание: $1~ пк=3.09\\cdot10^{16}~ м$. D2 0.60 Вычислите полную светимость источника в радиодиапазоне (т.е. в диапазоне частот от $10^7~  Гц$ до $10^{11}~ Гц$). D3 0.60 Как светимость 3C 273 соотносится со светимостью Солнца $(L_\\mathrm{Sun}=3.82\\cdot10^{26}~ Вт)$ и Млечного Пути $(L_\\mathrm{MW}=1.5\\cdot10^{10} \\cdot L_\\mathrm{Sun})$ в этом же диапазоне частот? Часть E. Источник энергии 3C 273 (1.4 балла) Как видно, яркость 3C 273 слишком велика не только для одиночной звезды, но и для целой галактики. Следовательно, должен существовать другой механизм, производящий эту энергию, не такой как у звезд. E1 0.70 Покажите, что производство энергии нельзя объяснить аннигиляцией материи с антиматерией (например, реакциями $\\mathrm e^++\\mathrm e^-\\to2\\gamma$), поскольку в них создаются  высокоэнергетические рентгеновские лучи, а не излучение в оптическом и радиодиапазонах. E2 0.70 Почти сразу было выдвинуто предположение, что энергия возникает в результате аккреции материи на сверхмассивную чёрную дыру. Проверим, что гравитационной потенциальной энергии будет на это хватать: Пусть сверхмассивная чёрная дыра ежегодно притягивает на свой Шварцшильдовский радиус $\\left(R_\\mathrm s=\\dfrac{2GM}{c^2}\\right)$ одну солнечную массу $(2\\cdot10^{30}~ кг)$. Какую мощность это сможет произвести? Будет ли этого хватать для объяснения результатов пунктов D1 – D3 ? Часть F. Современные наблюдения и природа компонентов 3C 273 (1.4 балла) Современные изображения, полученные с помощью различных телескопов (см., к примеру, Рис. 3 ), показывают, что два компонента A и B, обнаруженные во время покрытия Луной, на самом деле представляют собой компактное ядро с чёрной дырой и джет, простирающийся на посчитанное вами ранее расстояние. Считается, что этот джет образуется за счёт ускорения частиц, падающих на чёрную дыру, в сильном магнитном поле. Это похоже на северные сияния, создаваемые ускоряющимися в магнитном поле Земли частицами солнечного ветра, однако происходит на гораздо бóльших масштабах. Рис. 3. Изображение 3C 273 в радиодиапазоне, полученное с помощью телескопа MERLIN. Плотность энергии, необходимая для создания такого джета, можно выразить через индукцию магнитного поля как сумму объёмных плотностей энергии частиц $U_\\mathrm e\\propto B^{-3/2}$ и магнитного поля $U_B\\propto B^2$. F1 0.70 Покажите, что минимальная суммарная объёмная плотность энергии достигается при $\\dfrac{U_\\mathrm e}{U_B}=\\dfrac{4}{3}$. F2 0.70 Предположим, что полная энергия джета 3C 273 равна половине энергии, выделяемой 3C 273 за одну секунду согласно оценкам D1 и D2 , а объём джета равен $10^{45}~ м^3$. Оцените магнитное поле в джете. Подсказка: магнитная проницаемость вакуума равна $4\\pi\\cdot 10^{-7}~ Тл\\cdot м\\cdot А^{-1}$.\n","figures":["/corpus/figures/0315a13001b83c2d827e.webp","/corpus/figures/88a6de2daf69369787c9.webp","/corpus/figures/3d2164c06988ade36d96.webp"],"shared":false},"solution":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.30"}]}]},{"type":"element","tag":"ul","children":[{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Один час?"}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Одну минуту?"}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Одну секунду?"}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Угловая скорость движения Луны:\\[\\omega_Л=\\frac{360^\\circ}{27.3~дня}=\\frac{360^\\circ}{655.2~ч}\\approx0.55^\\circ/ч=\\frac{60\\cdot0.55'}{60~мин}=0.55'/мин=\\frac{60\\cdot0.55''}{60~с}=0.55''/с.\\]\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n Таким образом, за час Луна проходит $0.55^\\circ$, за минуту – $0.55'$, а за секунду – $0.55''$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tЗа какое время Луна сместится относительно звёзд на расстояние, равное её диаметру?"},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"Примечание:"}]},{"type":"text","text":" видимый угловой диаметр Луны равен 30 угловым минутам."}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[\\frac{30'}{0.55'/мин}=54.6~мин\\approx55~мин\\]\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tЧто вызывает колебания наблюдаемой интенсивности? "},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"A. Дифракционная картина."}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"B. Неустойчивость в монтировке телескопа."}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"C. Особенности поверхности Луны."}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"D. Атмосферные условия Земли."}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Зависимость интенсивности, показанная на рисунке, – типичная картина для дифракции на полуплоскости (правильный вариант A). Другие варианты не могут объяснить асимметрию и повторяемость картины (B и D) либо описывают эффекты другого масштаба (C).\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n A\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tПочему при повторном появлении источника из-за лунного диска на графике слева отсутствует бугорок от компонента B? Как это помогает в понимании структуры источника?"},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"A. Эти два компонента вращались вокруг Луны."}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"B. Наша линия наблюдения изменилась по отношению к двум компонентам."}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"C. При повторном появлении из-за лунного диска компоненты были выровнены относительно него."}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"D. Временные масштабы физики, лежащей в основе светимости двух компонентов, были достаточно большими, чтобы один из них потускнел."}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Как окажется далее, размеры этих объектов не позволяют какому-либо из них синхронно потускнеть за время покрытия (D), а расстояние до них полностью исключает возможность ответов A и B. Если посмотреть на рисунок 2, можно заметить, что на фотографии при повторном появлении источники находятся на почти одинаковом расстоянии от диска Луны. Правильный ответ – C.\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n C\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tОсновываясь на ваших ответах в пунктах "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"A1 "}]},{"type":"text","text":"и "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"A2"}]},{"type":"text","text":" и данных "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"Рис. 1"}]},{"type":"text","text":", оцените наблюдаемое угловое расстояние между двумя компонентами 3C 273.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Оценим угловое расстояние между двумя компонентами 3C 273. В качестве оценки возьмём время между пиками интенсивности от компонента A и компонента B при покрытии Луной и умножим его на угловую скорость Луны. Получим:\\[\\Delta t\\approx0.8~мин\\implies \\Delta\\varphi={0.8~мин}\\cdot{60\\cdot0.55''/мин}=26''\\approx30''.\\]Любые аргументированные оценки подобного порядка корректны.\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[\\Delta\\varphi\\sim30'\\]\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tСравните длины волн линий на "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"Рис. 2"}]},{"type":"text","text":". Основываясь на этом, определите красное смещение $z=\\dfrac{\\lambda-\\lambda_0}{\\lambda_0}$ источника.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Из рисунка можно получить длины волн:\\[\\mathrm{H\\beta}:\\qquad \\lambda_\\mathrm{3C~273}\\approx 560~ нм,\\qquad \\lambda_\\mathrm{lab}\\approx485~нм\\\\\\mathrm{H\\gamma}:\\qquad \\lambda_\\mathrm{3C~273}\\approx 505~ нм,\\qquad \\lambda_\\mathrm{lab}\\approx440~нм\\\\\\mathrm{H\\delta}:\\qquad \\lambda_\\mathrm{3C~273}\\approx 475 ~нм,\\qquad \\lambda_\\mathrm{lab}\\approx415~нм\\]Отношения длин волн в спектре источника и в лабораторном спектре примерно одинаковые, и из них получается значение красного смещения:\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[z\\approx0.15\\]\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Предположим, что красное смещение возникает вследствие гравитации объекта. В этом случае оно будет задаваться выражением $z=\\dfrac{1}{\\sqrt{1-\\dfrac{2GM}{c^2r}}}-1$. Покажите, что куда бы ни был помещён 3C 273 (к примеру, на край Млечного Пути, $r\\sim100~кпк\\approx3\\cdot10^{21}~м$; на край Солнечной системы, $r\\sim100~а.е.\\approx1.5\\cdot10^{13}~м$), его масса была бы достаточной, чтобы разрушить Галактику / Солнечную систему.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Для того, чтобы показать, что такой объект разрушит гравитационную систему, нужно сравнить любую величину: массы, потенциальные энергии, характерные скорости и т.д. в системе и рядом с объектом. Сравним массы, разрешив уравнение на красное смещение относительно массы:\\[M=\\frac{c^2r}{2G}\\left[1-\\frac{1}{(z+1)^2}\\right].\\]Для Солнечной системы получим:\\[M\\sim10^9M_\\mathrm{Sun}.\\]Для Галактики получим:\\[M\\sim 10^{17}M_\\mathrm{Sun}\\gg M_\\mathrm{MW}.\\]В обоих случаях масса оказывается больше на многие порядки, что означает разрушение систем.\n\n                "}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Согласно закону Хаббла, чем дальше от Земли находятся галактики, тем быстрее они удаляются от неё. Коэффициент пропорциональности между скоростью галактик и расстоянием до них называется постоянной Хаббла и равен $H=75~\\dfrac{км}{с\\cdot Мпк}$. Если считать, что красное смещение обусловлено расширением Вселенной, оно будет равно $z\\approx \\dfrac{v}{c}$. Вычислите расстояние до объекта. Сравните ответ с размером Млечного Пути.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Расстояние до объекта находим по формуле:\\[d=\\frac{v}{H}=\\frac{zc}{H}\\approx 6\\cdot10^2~Мпк\\gg r_\\mathrm {MW}\\] – на несколько порядков больше радиуса Галактики.\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[d\\approx 6\\cdot10^2~Мпк\\]\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                D1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tПолучите явное выражение для светимости источника на единицу частоты."},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"Примечание:"}]},{"type":"text","text":" $1~ пк=3.09\\cdot10^{16}~ м$."}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Подставляем в формулу:\\[L_\\nu=4\\pi d^2F_\\nu\\approx1.1\\cdot10^{30}\\nu^{-0.3}~\\frac{Вт}{Гц}.\\]\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[L_\\nu\\approx1.1\\cdot10^{30}\\nu^{-0.3}~\\frac{Вт}{Гц}\\]\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                D2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Вычислите полную светимость источника в радиодиапазоне (т.е. в диапазоне частот от $10^7~  Гц$ до $10^{11}~ Гц$).\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Интегрируем:\\[L=1.1\\cdot10^{30}\\cdot\\int\\limits_{\\nu_1}^{\\nu_2}\\nu^{-0.3}\\,\\mathrm d\\nu=\\frac{1.1\\cdot10^{30}}{0.7}\\left.\\nu^{0.7}\\right|_{\\nu=10^7}^{10^11}=8\\cdot10^{37}~Вт.\\]\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[L\\approx8\\cdot10^{37}~Вт\\]\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                D3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tКак светимость 3C 273 соотносится со светимостью Солнца $(L_\\mathrm{Sun}=3.82\\cdot10^{26}~ Вт)$ и Млечного Пути $(L_\\mathrm{MW}=1.5\\cdot10^{10} \\cdot L_\\mathrm{Sun})$ в этом же диапазоне частот?\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Отношение светимостей объекта и Солнца:\\[\\frac{L}{L_\\mathrm{Sun}}\\sim 2\\cdot10^{11}\\ggg1.\\]Отношение светимостей объекта и Галактики:\\[\\frac{L}{L_\\mathrm{MW}}\\approx 14\\gg1.\\]Как видно, светимость объекта заметно больше даже светимости Галактики.\n\n                "}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                E1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.70"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Покажите, что производство энергии нельзя объяснить аннигиляцией материи с антиматерией (например, реакциями $\\mathrm e^++\\mathrm e^-\\to2\\gamma$), поскольку в них создаются  высокоэнергетические рентгеновские лучи, а не излучение в оптическом и радиодиапазонах.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Вычислим длину волны и частоту фотонов света, возникающих при аннигиляции электронов и позитронов. Энергия этих фотонов равна энергии покоя электрона, $E_\\gamma=m_ec^2\\approx0.5~МэВ\\approx 8\\cdot10^{-14}~Дж$. Тогда частота этих фотонов:\\[\\nu_\\gamma=\\frac{h}{E_\\gamma}\\approx1.2\\cdot 10^{20}~Гц,\\]а их длина волны:\\[\\lambda=\\frac{c}{\\nu}\\approx2.4~пм.\\]Учитывая, что частота оптических фотонов составляет порядка $10^{15}~Гц$, а радиоволн – порядка $10^7\\ldots10^{11}~Гц$ (их длины волн – $10^{-6}~м$ и $10^{-3}\\ldots10^1~м$ соответственно), производство энергии действительно нельзя объяснить аннигиляцией.\n\n                "}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                E2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.70"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tПочти сразу было выдвинуто предположение, что энергия возникает в результате аккреции материи на сверхмассивную чёрную дыру. Проверим, что гравитационной потенциальной энергии будет на это хватать: Пусть сверхмассивная чёрная дыра ежегодно притягивает на свой Шварцшильдовский радиус $\\left(R_\\mathrm s=\\dfrac{2GM}{c^2}\\right)$ одну солнечную массу $(2\\cdot10^{30}~ кг)$. Какую мощность это сможет произвести? Будет ли этого хватать для объяснения результатов пунктов "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"D1"}]},{"type":"text","text":"–"},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"D3"}]},{"type":"text","text":"?\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Гравитационная потенциальная энергия задаётся выражением:\\[W=-\\frac{GMm}{r}.\\]Подставим радиус Шварцшильда:\\[W=-\\frac{GMmc^2}{2GM}=-\\frac{mc^2}{2}.\\]Следовательно, в результате аккреции должно выделяться примерно:\\[P=\\frac{M_\\mathrm {Sun}c^2}{2\\cdot 1 ~год}\\approx2.9\\cdot10^{39}~\\frac{Дж}{с}.\\]\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[P\\approx2.9\\cdot10^{39}~\\frac{Дж}{с}\\]\n\n                    "}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Это на порядок больше светимости источника 3C 273 в радиодиапазоне, поэтому этой энергии должно хватать.\n\n                "}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                F1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.70"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Покажите, что минимальная суммарная объёмная плотность энергии достигается при $\\dfrac{U_\\mathrm e}{U_B}=\\dfrac{4}{3}$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Объёмную плотность энергии можно записать в виде:\\[u=\\alpha B^{-3/2}+\\beta B^2,\\]где $\\alpha,\\beta > 0$ -- некоторые не зависящие от магнитного поля коэффициенты. Запишем условие минимума плотности энергии:\\[\\frac{\\mathrm du}{\\mathrm dB}=0,\\quad \\frac{\\mathrm d^2u}{\\mathrm dB^2} > 0.\\]Тогда:\\[0=-\\frac{3}{2}\\alpha B^{-5/2}+2\\beta B=-\\frac{3}{2}\\frac{U_\\mathrm e}{B}+2\\frac{U_B}{B}\\implies \\frac{U_\\mathrm e}{U_B}=\\frac{4}{3}.\\]При этом вторая производная:\\[ \\frac{\\mathrm d^2u}{\\mathrm dB^2} =\\frac{5}{2}\\cdot\\frac{3}{2}\\cdot\\frac{U_\\mathrm e}{B^2}+2\\cdot\\frac{U_B}{B^2}=2\\cdot\\left[\\frac{5}{2}+1\\right]\\cdot\\frac{U_B}{B^2}=\\frac{7U_B}{B^2} > 0.\\]Что и требовалось доказать.\n\n                "}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                F2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.70"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tПредположим, что полная энергия джета 3C 273 равна половине энергии, выделяемой 3C 273 за одну секунду согласно оценкам "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"D1"}]},{"type":"text","text":" и "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"D2"}]},{"type":"text","text":", а объём джета равен $10^{45}~ м^3$. Оцените магнитное поле в джете."},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"Подсказка:"}]},{"type":"text","text":" магнитная проницаемость вакуума равна $4\\pi\\cdot 10^{-7}~ Тл\\cdot м\\cdot А^{-1}$."}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Из предыдущего пункта следует, что магнитная энергия составляет $\\dfrac{3}{7}$ доли от общей энергии джета. Таким образом, объёмная плотность магнитной энергии в джете равна:\\[u_B=\\frac{3}{7}\\cdot\\frac{1}{2}\\cdot8\\cdot10^{37}~Вт\\cdot 1~с\\big/10^{45}~м\\approx 2\\cdot10^{-8}~\\frac{Дж}{м^3}.\\]Теоретически плотность магнитной энергии даётся выражением:\\[u_B=\\frac{B^2}{2\\mu_0}\\implies B=\\sqrt{2\\mu_0 u_B}\\approx 2.1\\cdot10^{-7}~Тл.\\]\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[B\\approx 2.1\\cdot10^{-7}~Тл\\]\n\n                    "}]}]}]}],"text":"A1 1.30 Один час? Одну минуту? Одну секунду? Угловая скорость движения Луны:\\[\\omega_Л=\\frac{360^\\circ}{27.3~дня}=\\frac{360^\\circ}{655.2~ч}\\approx0.55^\\circ/ч=\\frac{60\\cdot0.55'}{60~мин}=0.55'/мин=\\frac{60\\cdot0.55''}{60~с}=0.55''/с.\\] Ответ: \n                    \n Таким образом, за час Луна проходит $0.55^\\circ$, за минуту – $0.55'$, а за секунду – $0.55''$\nA2 0.50 За какое время Луна сместится относительно звёзд на расстояние, равное её диаметру? Примечание: видимый угловой диаметр Луны равен 30 угловым минутам. Ответ: \n                    \n \\[\\frac{30'}{0.55'/мин}=54.6~мин\\approx55~мин\\]\nB1 0.60 Что вызывает колебания наблюдаемой интенсивности? A. Дифракционная картина. B. Неустойчивость в монтировке телескопа. C. Особенности поверхности Луны. D. Атмосферные условия Земли. Зависимость интенсивности, показанная на рисунке, – типичная картина для дифракции на полуплоскости (правильный вариант A). Другие варианты не могут объяснить асимметрию и повторяемость картины (B и D) либо описывают эффекты другого масштаба (C). Ответ: \n                    \n A\nB2 0.60 Почему при повторном появлении источника из-за лунного диска на графике слева отсутствует бугорок от компонента B? Как это помогает в понимании структуры источника? A. Эти два компонента вращались вокруг Луны. B. Наша линия наблюдения изменилась по отношению к двум компонентам. C. При повторном появлении из-за лунного диска компоненты были выровнены относительно него. D. Временные масштабы физики, лежащей в основе светимости двух компонентов, были достаточно большими, чтобы один из них потускнел. Как окажется далее, размеры этих объектов не позволяют какому-либо из них синхронно потускнеть за время покрытия (D), а расстояние до них полностью исключает возможность ответов A и B. Если посмотреть на рисунок 2, можно заметить, что на фотографии при повторном появлении источники находятся на почти одинаковом расстоянии от диска Луны. Правильный ответ – C. Ответ: \n                    \n C\nB3 0.60 Основываясь на ваших ответах в пунктах A1 и A2 и данных Рис. 1 , оцените наблюдаемое угловое расстояние между двумя компонентами 3C 273. Оценим угловое расстояние между двумя компонентами 3C 273. В качестве оценки возьмём время между пиками интенсивности от компонента A и компонента B при покрытии Луной и умножим его на угловую скорость Луны. Получим:\\[\\Delta t\\approx0.8~мин\\implies \\Delta\\varphi={0.8~мин}\\cdot{60\\cdot0.55''/мин}=26''\\approx30''.\\]Любые аргументированные оценки подобного порядка корректны. Ответ: \n                    \n \\[\\Delta\\varphi\\sim30'\\]\nC1 0.60 Сравните длины волн линий на Рис. 2 . Основываясь на этом, определите красное смещение $z=\\dfrac{\\lambda-\\lambda_0}{\\lambda_0}$ источника. Из рисунка можно получить длины волн:\\[\\mathrm{H\\beta}:\\qquad \\lambda_\\mathrm{3C~273}\\approx 560~ нм,\\qquad \\lambda_\\mathrm{lab}\\approx485~нм\\\\\\mathrm{H\\gamma}:\\qquad \\lambda_\\mathrm{3C~273}\\approx 505~ нм,\\qquad \\lambda_\\mathrm{lab}\\approx440~нм\\\\\\mathrm{H\\delta}:\\qquad \\lambda_\\mathrm{3C~273}\\approx 475 ~нм,\\qquad \\lambda_\\mathrm{lab}\\approx415~нм\\]Отношения длин волн в спектре источника и в лабораторном спектре примерно одинаковые, и из них получается значение красного смещения: Ответ: \n                    \n \\[z\\approx0.15\\]\nC2 0.60 Предположим, что красное смещение возникает вследствие гравитации объекта. В этом случае оно будет задаваться выражением $z=\\dfrac{1}{\\sqrt{1-\\dfrac{2GM}{c^2r}}}-1$. Покажите, что куда бы ни был помещён 3C 273 (к примеру, на край Млечного Пути, $r\\sim100~кпк\\approx3\\cdot10^{21}~м$; на край Солнечной системы, $r\\sim100~а.е.\\approx1.5\\cdot10^{13}~м$), его масса была бы достаточной, чтобы разрушить Галактику / Солнечную систему. Для того, чтобы показать, что такой объект разрушит гравитационную систему, нужно сравнить любую величину: массы, потенциальные энергии, характерные скорости и т.д. в системе и рядом с объектом. Сравним массы, разрешив уравнение на красное смещение относительно массы:\\[M=\\frac{c^2r}{2G}\\left[1-\\frac{1}{(z+1)^2}\\right].\\]Для Солнечной системы получим:\\[M\\sim10^9M_\\mathrm{Sun}.\\]Для Галактики получим:\\[M\\sim 10^{17}M_\\mathrm{Sun}\\gg M_\\mathrm{MW}.\\]В обоих случаях масса оказывается больше на многие порядки, что означает разрушение систем.\nC3 0.60 Согласно закону Хаббла, чем дальше от Земли находятся галактики, тем быстрее они удаляются от неё. Коэффициент пропорциональности между скоростью галактик и расстоянием до них называется постоянной Хаббла и равен $H=75~\\dfrac{км}{с\\cdot Мпк}$. Если считать, что красное смещение обусловлено расширением Вселенной, оно будет равно $z\\approx \\dfrac{v}{c}$. Вычислите расстояние до объекта. Сравните ответ с размером Млечного Пути. Расстояние до объекта находим по формуле:\\[d=\\frac{v}{H}=\\frac{zc}{H}\\approx 6\\cdot10^2~Мпк\\gg r_\\mathrm {MW}\\] – на несколько порядков больше радиуса Галактики. Ответ: \n                    \n \\[d\\approx 6\\cdot10^2~Мпк\\]\nD1 0.60 Получите явное выражение для светимости источника на единицу частоты. Примечание: $1~ пк=3.09\\cdot10^{16}~ м$. Подставляем в формулу:\\[L_\\nu=4\\pi d^2F_\\nu\\approx1.1\\cdot10^{30}\\nu^{-0.3}~\\frac{Вт}{Гц}.\\] Ответ: \n                    \n \\[L_\\nu\\approx1.1\\cdot10^{30}\\nu^{-0.3}~\\frac{Вт}{Гц}\\]\nD2 0.60 Вычислите полную светимость источника в радиодиапазоне (т.е. в диапазоне частот от $10^7~  Гц$ до $10^{11}~ Гц$). Интегрируем:\\[L=1.1\\cdot10^{30}\\cdot\\int\\limits_{\\nu_1}^{\\nu_2}\\nu^{-0.3}\\,\\mathrm d\\nu=\\frac{1.1\\cdot10^{30}}{0.7}\\left.\\nu^{0.7}\\right|_{\\nu=10^7}^{10^11}=8\\cdot10^{37}~Вт.\\] Ответ: \n                    \n \\[L\\approx8\\cdot10^{37}~Вт\\]\nD3 0.60 Как светимость 3C 273 соотносится со светимостью Солнца $(L_\\mathrm{Sun}=3.82\\cdot10^{26}~ Вт)$ и Млечного Пути $(L_\\mathrm{MW}=1.5\\cdot10^{10} \\cdot L_\\mathrm{Sun})$ в этом же диапазоне частот? Отношение светимостей объекта и Солнца:\\[\\frac{L}{L_\\mathrm{Sun}}\\sim 2\\cdot10^{11}\\ggg1.\\]Отношение светимостей объекта и Галактики:\\[\\frac{L}{L_\\mathrm{MW}}\\approx 14\\gg1.\\]Как видно, светимость объекта заметно больше даже светимости Галактики.\nE1 0.70 Покажите, что производство энергии нельзя объяснить аннигиляцией материи с антиматерией (например, реакциями $\\mathrm e^++\\mathrm e^-\\to2\\gamma$), поскольку в них создаются  высокоэнергетические рентгеновские лучи, а не излучение в оптическом и радиодиапазонах. Вычислим длину волны и частоту фотонов света, возникающих при аннигиляции электронов и позитронов. Энергия этих фотонов равна энергии покоя электрона, $E_\\gamma=m_ec^2\\approx0.5~МэВ\\approx 8\\cdot10^{-14}~Дж$. Тогда частота этих фотонов:\\[\\nu_\\gamma=\\frac{h}{E_\\gamma}\\approx1.2\\cdot 10^{20}~Гц,\\]а их длина волны:\\[\\lambda=\\frac{c}{\\nu}\\approx2.4~пм.\\]Учитывая, что частота оптических фотонов составляет порядка $10^{15}~Гц$, а радиоволн – порядка $10^7\\ldots10^{11}~Гц$ (их длины волн – $10^{-6}~м$ и $10^{-3}\\ldots10^1~м$ соответственно), производство энергии действительно нельзя объяснить аннигиляцией.\nE2 0.70 Почти сразу было выдвинуто предположение, что энергия возникает в результате аккреции материи на сверхмассивную чёрную дыру. Проверим, что гравитационной потенциальной энергии будет на это хватать: Пусть сверхмассивная чёрная дыра ежегодно притягивает на свой Шварцшильдовский радиус $\\left(R_\\mathrm s=\\dfrac{2GM}{c^2}\\right)$ одну солнечную массу $(2\\cdot10^{30}~ кг)$. Какую мощность это сможет произвести? Будет ли этого хватать для объяснения результатов пунктов D1 – D3 ? Гравитационная потенциальная энергия задаётся выражением:\\[W=-\\frac{GMm}{r}.\\]Подставим радиус Шварцшильда:\\[W=-\\frac{GMmc^2}{2GM}=-\\frac{mc^2}{2}.\\]Следовательно, в результате аккреции должно выделяться примерно:\\[P=\\frac{M_\\mathrm {Sun}c^2}{2\\cdot 1 ~год}\\approx2.9\\cdot10^{39}~\\frac{Дж}{с}.\\] Ответ: \n                    \n \\[P\\approx2.9\\cdot10^{39}~\\frac{Дж}{с}\\] Это на порядок больше светимости источника 3C 273 в радиодиапазоне, поэтому этой энергии должно хватать.\nF1 0.70 Покажите, что минимальная суммарная объёмная плотность энергии достигается при $\\dfrac{U_\\mathrm e}{U_B}=\\dfrac{4}{3}$. Объёмную плотность энергии можно записать в виде:\\[u=\\alpha B^{-3/2}+\\beta B^2,\\]где $\\alpha,\\beta > 0$ -- некоторые не зависящие от магнитного поля коэффициенты. Запишем условие минимума плотности энергии:\\[\\frac{\\mathrm du}{\\mathrm dB}=0,\\quad \\frac{\\mathrm d^2u}{\\mathrm dB^2} > 0.\\]Тогда:\\[0=-\\frac{3}{2}\\alpha B^{-5/2}+2\\beta B=-\\frac{3}{2}\\frac{U_\\mathrm e}{B}+2\\frac{U_B}{B}\\implies \\frac{U_\\mathrm e}{U_B}=\\frac{4}{3}.\\]При этом вторая производная:\\[ \\frac{\\mathrm d^2u}{\\mathrm dB^2} =\\frac{5}{2}\\cdot\\frac{3}{2}\\cdot\\frac{U_\\mathrm e}{B^2}+2\\cdot\\frac{U_B}{B^2}=2\\cdot\\left[\\frac{5}{2}+1\\right]\\cdot\\frac{U_B}{B^2}=\\frac{7U_B}{B^2} > 0.\\]Что и требовалось доказать.\nF2 0.70 Предположим, что полная энергия джета 3C 273 равна половине энергии, выделяемой 3C 273 за одну секунду согласно оценкам D1 и D2 , а объём джета равен $10^{45}~ м^3$. Оцените магнитное поле в джете. Подсказка: магнитная проницаемость вакуума равна $4\\pi\\cdot 10^{-7}~ Тл\\cdot м\\cdot А^{-1}$. Из предыдущего пункта следует, что магнитная энергия составляет $\\dfrac{3}{7}$ доли от общей энергии джета. Таким образом, объёмная плотность магнитной энергии в джете равна:\\[u_B=\\frac{3}{7}\\cdot\\frac{1}{2}\\cdot8\\cdot10^{37}~Вт\\cdot 1~с\\big/10^{45}~м\\approx 2\\cdot10^{-8}~\\frac{Дж}{м^3}.\\]Теоретически плотность магнитной энергии даётся выражением:\\[u_B=\\frac{B^2}{2\\mu_0}\\implies B=\\sqrt{2\\mu_0 u_B}\\approx 2.1\\cdot10^{-7}~Тл.\\] Ответ: \n                    \n \\[B\\approx 2.1\\cdot10^{-7}~Тл\\]","figures":[],"shared":false}},{"id":"apho-2023-t1","importedOn":"2026-10-28","language":"ru","sources":[{"url":"https://pho.rs/p/3680","kind":"statement"},{"url":"https://pho.rs/p/3680/s","kind":"solution"}],"statement":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Введение"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/77cfb3a639bb99348685.webp","alt":"apho-2023-t1 statement: original source diagram 1"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 1. Международная космическая станция на орбите"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"В настоящий момент Международная Космическая Станция (сокращённо МКС, англ. ISS — International Space Station) двигается по орбите, близкой к круговой. Минимальное среднее расстояние до Земли при её движении составляет $370~км$, максимальное — $460~км$. Станция двигается в термосфере. Плоскость орбиты составляет угол $\\theta = 51.6^\\circ$ с плоскостью экватора. Траектория станции похожа на спираль с медленно меняющимся расстоянием от неё до поверхности Земли. Изменение данного расстояния за один оборот вокруг Земли незначительно."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Масса МКС составляет $M_s = 4.5 \\cdot 10^5~кг$, общая длина $L_s = 109~м$. Огромные солнечные панели шириной $W_S=73~м$ обеспечивают МКС электрической энергией [Официальный Отчёт NASA (2023)]."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"С учётом всех батарей и других частей, эффективная площадь поперечного сечения станции составляет приблизительно $S \\approx 2.5 \\cdot 10^3~м^2$ [Европейское Космическое Агентство, SDC6-23]."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Снижение орбиты МКС связано с несколькими явлениями, уменьшающими энергию орбитального движения. Основными из них являются:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"ul","children":[{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"сопротивление атмосферы, вызванное частыми столкновениями молекул газа со станцией;"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"сила Ампера, возникающая при движении проводящих частей МКС в магнитном поле Земли;"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"взаимодействие с ионами атомарного кислорода."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\t«... В мае 2008 высота орбиты МКС составляла 350 километров, станция потеряла 4.5 км высоты, а затем с помощью транспортного грузового космического корабля "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"Прогресс М-64 "}]},{"type":"text","text":"была поднята на 5.5 км ...» [https://mod.jsc.nasa.gov].\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/d0c149f856db1536c0c6.webp","alt":"apho-2023-t1 statement: original source diagram 2"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 2. Высота орбиты МКС (км) в период с 1998 по 2019 год"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/69220cb1e3dceb1cc6a7.webp","alt":"apho-2023-t1 statement: original source diagram 3"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 3. Средняя высота орбиты МКС (км) в 2022-2023 годах"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\t«... МКС теряет до 100 м высоты каждый день... » [Данные NASA (2021)]. В 2023 году МКС движется на высоте 410 км, и снижается приблизительно на 70 м в день ($\\sim$ 2 км в месяц). Во время магнитных бурь снижение достигает 300 м. МКС корректирует свою орбиту с помощью своих двигателей, а также двигателей посещающих её аппаратов [Отчёт о МКС (2022)].\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/3130b4e68488dbb70a16.webp","alt":"apho-2023-t1 statement: original source diagram 4"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 4. Площадь сечения МКС при взгляде с различных углов (дм$^2$)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Обозначения и физические постоянные:"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"ul","children":[{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Универсальная газовая постоянная $R=8.31~Дж\\cdot К^{-1} \\cdot моль^{-1}$;"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Число Авогадро $N_A=6.022 \\cdot 10^{23}~моль^{-1}$;"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Молярная масса воздуха $\\mu=0.029~кг\\cdot моль^{-1}$;"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Масса Земли $M_E=5.97 \\cdot 10^{24}~кг$;"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Радиус Земли $R_E=6.38 \\cdot 10^6~м$;"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Гравитационная постоянная $G=6.67 \\cdot 10^{-11}~м^3 \\cdot с^{-2} \\cdot кг^{-1}$;"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Плотность воздуха на поверхности Земли $\\rho_0=1.29~кг/м^3$;"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Ускорение свободного падения на поверхности Земли $g_0=9.81~м\\cdot с^{-2}$;"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Средняя величина магнитного поля Земли $B=5.0 \\cdot 10^{-5}~Тл$;"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Модуль заряда электрона $e=1.60 \\cdot 10^{-19}~Кл$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть A. Уточнённая барометрическая формула (2 балла)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tВоздух в атмосфере состоит по большей части из нейтральных молекул $O_2$ и $N_2$. Воздух подчиняется уравнению Менделеева-Клапейрона: $pV =M/\\mu RT$, где $p$, $V$, $T$, $M$ и $\\mu$ это давление, объём, температура, масса и молярная масса порции газа соответственно, $R$ — универсальная газовая постоянная."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Есть два уравнения для вычисления зависимости давления воздуха от высоты. Первое уравнение применимо к стандартной модели "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"тропосферы "}]},{"type":"text","text":"(высоты $h<100~км$). Оно предполагает изменение температуры с высотой."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Второе уравнение относится к стандартной модели "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"термосферы "}]},{"type":"text","text":"($h>250~км$). В нём температура почти не зависит от высоты. Это уравнение применимо к исследованию движения МКС."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"В этой задаче можно считать давление гидростатическим и изотропным (то есть оно действует одинаково по всем направлениям)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tНайдите зависимость давления $p_h$ от высоты $h$. Зависимость может содержать интегральное выражение. Это уравнение называется основной барометрической формулой."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"Подсказка: "}]},{"type":"text","text":"считайте, что температура и ускорение свободного падения являются функциями $h$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"Примечание 1."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"em","children":[]},{"type":"text","text":"Температура термосферы Земли на высотах $300 - 600~км$ меняется незначительно и в среднем составляет $800 - 900~К$ на солнечной стороне [Данные NASA]. Следовательно, при исследовании полёта МКС мы можем считать $T_h = T = const$. Так как космический корабль проводит почти половину времени полёта с теневой стороны Земли, где температура резко снижается, можно считать, что в среднем на этих высотах температура равна $T = 425~К$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Эта температура также соответствует значению плотности воздуха $\\rho_h \\sim 10^{-12}~кг/м^3$ на высоте $h = 400~км$ [Модель Верхних Слоёв Атмосферы Земли MSISE-90]."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/c0332d29c2c9d8b55a0b.webp","alt":"apho-2023-t1 statement: original source diagram 5"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 5. Термосфера Земли"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.30"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tПолучите стандартную барометрическую формулу: зависимость давления от высоты $p_h^{sta}$, считая, что температура и ускорение свободного падения не зависят от $h$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Рассчитайте величину $h_0 = RT/\\mu g_0$ при $T = 425~К$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tПолучите уточнённую барометрическую формулу: зависимость давления от высоты $p_h^{imp}$, считая, что температура постоянна, а ускорение свободного падения зависит от высоты $h$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"Подсказка: "}]},{"type":"text","text":"для последнего используйте линейное приближение, считая $z_h = h/R_E \\ll 1.$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A4\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.40"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tРассчитайте отношение значений давлений, вычисленных по стандартной и по уточнённой барометрическим формулам при $h = 4.0 \\cdot 10^5~м$. Далее используйте уточнённую формулу.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A5\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tНайдите плотность воздуха $\\rho_h$ и концентрацию нейтральных молекул воздуха $n_h$ на высоте $h$, используя линейное приближение."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть B. Орбитальное замедление и скорость снижения станции (3 балла)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tПусть на станцию массой $M_S$ действует постоянная тормозящая сила $\\vec{F}_{drag}$. В этой части задачи оценивается скорость уменьшения высоты орбиты МКС. Считайте, что изменение высоты $\\mathrm{d}h$ значительно меньше высоты полёта $h$ ($\\mathrm{d}h \\ll h$).\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tНайдите скорость станции $v_h$ и период обращения $\\tau_h$, если станция движется по орбите высотой $h$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tНайдите полную энергию $E_S$ станции, двигающейся по круговой орбите радиусом $R_E + h$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tНа станцию действует некоторая суммарная тормозящая сила $\\vec{F}_{drag}$. В результате МКС замедляется, и высота её орбиты уменьшается на $\\mathrm{d}h$ за малое время $\\mathrm{d}t$. Запишите закон изменения энергии МКС, считая известным значение $F_{drag}$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B4\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tНайдите скорость снижения станции $u_h$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"Подсказка: "}]},{"type":"text","text":"скорость снижения зависит от силы трения, от высоты станции и от её массы."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B5\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tНайдите изменение высоты $H_h$ станции за один оборот вокруг Земли и полное время $T_h$, за которое станция упадёт на поверхность Земли с начальной высоты $h$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"Подсказка: "}]},{"type":"text","text":"используйте соотношения $h_0 \\ll h \\ll R_E$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть С. Сопротивление атмосферы (1 балл)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tСкорость станции $v$ во много раз больше чем средние скорости (сотни $м/с$) теплового движения молекул в атмосфере на высоте $h \\approx 300 - 400~км$, то есть можно считать, что молекулы покоятся перед столкновением с МКС. Для грубой оценки считайте, что после столкновения молекулы приобретают такую же скорость, что и станция."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tНайдите силу сопротивления воздуха $F_{air}$, скорость уменьшения высоты орбиты $u_h^{air}$ и изменение высоты за один оборот $H^{air}_h$ в этом случае."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tНайдите полное время $T_h^{air}$, за которое станция упадёт на поверхность Земли с начальной высоты $h$ из-за сопротивления атмосферы."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"Подсказка: "}]},{"type":"text","text":"используйте соотношения $h_0 \\ll h \\ll R_E$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть D. Учёт атомарного кислорода (1 балл)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tВ термосфере под действием излучения воздух ионизируется (из-за чего, например, возникает «северное сияние»). В отличие от кислорода $O_2$, азот $N_2$ не диссоциирует под действием солнечного излучения, поэтому в верхних слоях атмосферы атомарного азота $N$ гораздо меньше, чем атомарного кислорода $O$. На высотах больше $250~км$ преобладает атомарный кислород $O$. Слои, содержащие электроны и ионы атомов кислорода, возникают на освещенной стороне атмосферы. В этом случае концентрация ионов атомарного кислорода составляет $n_{ion} \\sim 10^{12}~м^{-3}$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            D1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.30"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tНайдите среднюю (за 24 часа) тормозящую силу $F_{ion}$, обусловленную столкновениями с этими частицами. Ночью ионизацией молекул можно пренебречь."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Найдите также плотность ионизированных молекул кислорода $\\rho_{ion}$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            D2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.70"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tНайдите скорость уменьшения высоты орбиты станции $u_h^{ion}$, связанную со взаимодействием с ионами атомарного кислорода. Найдите также изменение высоты за один оборот $H_h^{ion}$ в этом случае."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"Подсказка: "}]},{"type":"text","text":"используйте соотношения $h_0 \\ll h \\ll R_E$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть E. Торможение магнитным полем Земли (2 балла)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tРассмотрим влияние магнитного поля Земли на движение станции. Магнитное поля Земли вблизи поверхности изменяется в диапазоне $(3.5 - 6.5) \\cdot 10^{-5}~Тл$ , среднее значение составляет $B = 5 \\cdot 10^{-5}~Тл$. "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Когда станция движется с большой скоростью в магнитном поле, в её проводящих элементах возникает электрический ток. Электродвижущая сила вызывает перераспределение электрических зарядов в проводящих элементах станции. Электрическое поле вблизи станции приводит к движению заряженных частиц в окружающем её пространстве. Электроны притягиваются к частям станции, у которых положительный потенциал (относительно средней части станции), а ионы притягиваются к частям с отрицательным потенциалом. Электроны и ионы, сталкиваясь с поверхностью станции, стремятся собираться в нейтральные атомы кислорода. Эти электроны, которые движутся по проводящим частям станции, и создают электрический ток. Станция, двигаясь в космосе, «собирает» электроны и ионы из окружающего пространства, сталкиваясь с ними. "}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Для грубой оценки тока, возникающего в проводящих частях станции, считайте, что она «собирает» частицы только с площади, эквивалентной площади поперечного сечения станции $S$. Также считайте, что все ионы и электроны участвуют в создании тока."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            E1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tОцените величину возникающего в проводящих частях станции тока $I_{ind}$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            E2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tПолучите приближённое выражение для тормозящей силы Ампера $F_{ind}$ в направлении, противоположном направлению движению станции."},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Пусть $\\phi$ — угол между магнитным полем Земли $\\vec{B}$, направленным вдоль меридианов, и скоростью МКС $\\vec{v}$. Для простоты считайте, что длина станции $L$ равна корню квадратному из её площади $S$. Кроме того, вместо подсчёта среднего значения $\\sin(\\phi)$ вы можете аппроксимировать его значением $\\sin(\\pi/2 - \\theta)$. Вы можете использовать дискретное число точек для подсчёта среднего значения."}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            E3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.80"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tНайдите скорость снижения станции из-за её взаимодействия с магнитным полем Земли. Найдите также изменение высоты за один оборот $H_h^{ind}$ в этом случае."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"Подсказка: "}]},{"type":"text","text":"используйте соотношение $h \\ll R_E$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть F. Численные расчёты и выводы (1 балл)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            F1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.40"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tРассчитайте необходимые величины и заполните "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"Таблицу 1 "}]},{"type":"text","text":"в листе ответов.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"figure","children":[{"type":"element","tag":"table","children":[{"type":"element","tag":"tbody","children":[{"type":"element","tag":"tr","children":[{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$h,~км$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"$T_h^{air},"}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":" дней$"}]}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$u_{air},~м/день$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$u_{ion},~м/день$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$u_{ind},~м/день$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$\\sum,~м/день$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$u_{ISS},~м/день$"}]}]},{"type":"element","tag":"tr","children":[{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$350$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[]},{"type":"element","tag":"td","children":[]},{"type":"element","tag":"td","children":[]},{"type":"element","tag":"td","children":[]},{"type":"element","tag":"td","children":[]},{"type":"element","tag":"td","children":[]}]},{"type":"element","tag":"tr","children":[{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$375$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[]},{"type":"element","tag":"td","children":[]},{"type":"element","tag":"td","children":[]},{"type":"element","tag":"td","children":[]},{"type":"element","tag":"td","children":[]},{"type":"element","tag":"td","children":[]}]},{"type":"element","tag":"tr","children":[{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$400$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[]},{"type":"element","tag":"td","children":[]},{"type":"element","tag":"td","children":[]},{"type":"element","tag":"td","children":[]},{"type":"element","tag":"td","children":[]},{"type":"element","tag":"td","children":[]}]},{"type":"element","tag":"tr","children":[{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$410$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[]},{"type":"element","tag":"td","children":[]},{"type":"element","tag":"td","children":[]},{"type":"element","tag":"td","children":[]},{"type":"element","tag":"td","children":[]},{"type":"element","tag":"td","children":[]}]}]}]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            F2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.40"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tРассчитайте необходимые величины и заполните "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"Таблицу 2 "}]},{"type":"text","text":"в листе ответов.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"figure","children":[{"type":"element","tag":"table","children":[{"type":"element","tag":"tbody","children":[{"type":"element","tag":"tr","children":[{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$h,~км$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$H_h^{air},~м$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$H_h^{ion},~м$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$H_h^{ind},~м$"}]}]},{"type":"element","tag":"tr","children":[{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$350$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[]},{"type":"element","tag":"td","children":[]},{"type":"element","tag":"td","children":[]}]},{"type":"element","tag":"tr","children":[{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$375$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[]},{"type":"element","tag":"td","children":[]},{"type":"element","tag":"td","children":[]}]},{"type":"element","tag":"tr","children":[{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$400$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[]},{"type":"element","tag":"td","children":[]},{"type":"element","tag":"td","children":[]}]},{"type":"element","tag":"tr","children":[{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$410$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[]},{"type":"element","tag":"td","children":[]},{"type":"element","tag":"td","children":[]}]}]}]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            F3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tМКС обращается по орбите на высотах выше $380~км$. Расположите три рассмотренных эффекта торможения станции в порядке убывания их влияния."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]}],"text":"Введение Рис. 1. Международная космическая станция на орбите В настоящий момент Международная Космическая Станция (сокращённо МКС, англ. ISS — International Space Station) двигается по орбите, близкой к круговой. Минимальное среднее расстояние до Земли при её движении составляет $370~км$, максимальное — $460~км$. Станция двигается в термосфере. Плоскость орбиты составляет угол $\\theta = 51.6^\\circ$ с плоскостью экватора. Траектория станции похожа на спираль с медленно меняющимся расстоянием от неё до поверхности Земли. Изменение данного расстояния за один оборот вокруг Земли незначительно. Масса МКС составляет $M_s = 4.5 \\cdot 10^5~кг$, общая длина $L_s = 109~м$. Огромные солнечные панели шириной $W_S=73~м$ обеспечивают МКС электрической энергией [Официальный Отчёт NASA (2023)]. С учётом всех батарей и других частей, эффективная площадь поперечного сечения станции составляет приблизительно $S \\approx 2.5 \\cdot 10^3~м^2$ [Европейское Космическое Агентство, SDC6-23]. Снижение орбиты МКС связано с несколькими явлениями, уменьшающими энергию орбитального движения. Основными из них являются: сопротивление атмосферы, вызванное частыми столкновениями молекул газа со станцией; сила Ампера, возникающая при движении проводящих частей МКС в магнитном поле Земли; взаимодействие с ионами атомарного кислорода. «... В мае 2008 высота орбиты МКС составляла 350 километров, станция потеряла 4.5 км высоты, а затем с помощью транспортного грузового космического корабля Прогресс М-64 была поднята на 5.5 км ...» [https://mod.jsc.nasa.gov]. Рис. 2. Высота орбиты МКС (км) в период с 1998 по 2019 год Рис. 3. Средняя высота орбиты МКС (км) в 2022-2023 годах «... МКС теряет до 100 м высоты каждый день... » [Данные NASA (2021)]. В 2023 году МКС движется на высоте 410 км, и снижается приблизительно на 70 м в день ($\\sim$ 2 км в месяц). Во время магнитных бурь снижение достигает 300 м. МКС корректирует свою орбиту с помощью своих двигателей, а также двигателей посещающих её аппаратов [Отчёт о МКС (2022)]. Рис. 4. Площадь сечения МКС при взгляде с различных углов (дм$^2$) Обозначения и физические постоянные: Универсальная газовая постоянная $R=8.31~Дж\\cdot К^{-1} \\cdot моль^{-1}$; Число Авогадро $N_A=6.022 \\cdot 10^{23}~моль^{-1}$; Молярная масса воздуха $\\mu=0.029~кг\\cdot моль^{-1}$; Масса Земли $M_E=5.97 \\cdot 10^{24}~кг$; Радиус Земли $R_E=6.38 \\cdot 10^6~м$; Гравитационная постоянная $G=6.67 \\cdot 10^{-11}~м^3 \\cdot с^{-2} \\cdot кг^{-1}$; Плотность воздуха на поверхности Земли $\\rho_0=1.29~кг/м^3$; Ускорение свободного падения на поверхности Земли $g_0=9.81~м\\cdot с^{-2}$; Средняя величина магнитного поля Земли $B=5.0 \\cdot 10^{-5}~Тл$; Модуль заряда электрона $e=1.60 \\cdot 10^{-19}~Кл$. Часть A. Уточнённая барометрическая формула (2 балла) Воздух в атмосфере состоит по большей части из нейтральных молекул $O_2$ и $N_2$. Воздух подчиняется уравнению Менделеева-Клапейрона: $pV =M/\\mu RT$, где $p$, $V$, $T$, $M$ и $\\mu$ это давление, объём, температура, масса и молярная масса порции газа соответственно, $R$ — универсальная газовая постоянная. Есть два уравнения для вычисления зависимости давления воздуха от высоты. Первое уравнение применимо к стандартной модели тропосферы (высоты $h<100~км$). Оно предполагает изменение температуры с высотой. Второе уравнение относится к стандартной модели термосферы ($h>250~км$). В нём температура почти не зависит от высоты. Это уравнение применимо к исследованию движения МКС. В этой задаче можно считать давление гидростатическим и изотропным (то есть оно действует одинаково по всем направлениям). A1 0.50 Найдите зависимость давления $p_h$ от высоты $h$. Зависимость может содержать интегральное выражение. Это уравнение называется основной барометрической формулой. Подсказка: считайте, что температура и ускорение свободного падения являются функциями $h$. Примечание 1. Температура термосферы Земли на высотах $300 - 600~км$ меняется незначительно и в среднем составляет $800 - 900~К$ на солнечной стороне [Данные NASA]. Следовательно, при исследовании полёта МКС мы можем считать $T_h = T = const$. Так как космический корабль проводит почти половину времени полёта с теневой стороны Земли, где температура резко снижается, можно считать, что в среднем на этих высотах температура равна $T = 425~К$. Эта температура также соответствует значению плотности воздуха $\\rho_h \\sim 10^{-12}~кг/м^3$ на высоте $h = 400~км$ [Модель Верхних Слоёв Атмосферы Земли MSISE-90]. Рис. 5. Термосфера Земли A2 0.30 Получите стандартную барометрическую формулу: зависимость давления от высоты $p_h^{sta}$, считая, что температура и ускорение свободного падения не зависят от $h$. Рассчитайте величину $h_0 = RT/\\mu g_0$ при $T = 425~К$. A3 0.60 Получите уточнённую барометрическую формулу: зависимость давления от высоты $p_h^{imp}$, считая, что температура постоянна, а ускорение свободного падения зависит от высоты $h$. Подсказка: для последнего используйте линейное приближение, считая $z_h = h/R_E \\ll 1.$ A4 0.40 Рассчитайте отношение значений давлений, вычисленных по стандартной и по уточнённой барометрическим формулам при $h = 4.0 \\cdot 10^5~м$. Далее используйте уточнённую формулу. A5 0.20 Найдите плотность воздуха $\\rho_h$ и концентрацию нейтральных молекул воздуха $n_h$ на высоте $h$, используя линейное приближение. Часть B. Орбитальное замедление и скорость снижения станции (3 балла) Пусть на станцию массой $M_S$ действует постоянная тормозящая сила $\\vec{F}_{drag}$. В этой части задачи оценивается скорость уменьшения высоты орбиты МКС. Считайте, что изменение высоты $\\mathrm{d}h$ значительно меньше высоты полёта $h$ ($\\mathrm{d}h \\ll h$). B1 0.50 Найдите скорость станции $v_h$ и период обращения $\\tau_h$, если станция движется по орбите высотой $h$. B2 0.50 Найдите полную энергию $E_S$ станции, двигающейся по круговой орбите радиусом $R_E + h$. B3 1.00 На станцию действует некоторая суммарная тормозящая сила $\\vec{F}_{drag}$. В результате МКС замедляется, и высота её орбиты уменьшается на $\\mathrm{d}h$ за малое время $\\mathrm{d}t$. Запишите закон изменения энергии МКС, считая известным значение $F_{drag}$. B4 0.50 Найдите скорость снижения станции $u_h$. Подсказка: скорость снижения зависит от силы трения, от высоты станции и от её массы. B5 0.50 Найдите изменение высоты $H_h$ станции за один оборот вокруг Земли и полное время $T_h$, за которое станция упадёт на поверхность Земли с начальной высоты $h$. Подсказка: используйте соотношения $h_0 \\ll h \\ll R_E$. Часть С. Сопротивление атмосферы (1 балл) Скорость станции $v$ во много раз больше чем средние скорости (сотни $м/с$) теплового движения молекул в атмосфере на высоте $h \\approx 300 - 400~км$, то есть можно считать, что молекулы покоятся перед столкновением с МКС. Для грубой оценки считайте, что после столкновения молекулы приобретают такую же скорость, что и станция. C1 0.50 Найдите силу сопротивления воздуха $F_{air}$, скорость уменьшения высоты орбиты $u_h^{air}$ и изменение высоты за один оборот $H^{air}_h$ в этом случае. C2 0.50 Найдите полное время $T_h^{air}$, за которое станция упадёт на поверхность Земли с начальной высоты $h$ из-за сопротивления атмосферы. Подсказка: используйте соотношения $h_0 \\ll h \\ll R_E$. Часть D. Учёт атомарного кислорода (1 балл) В термосфере под действием излучения воздух ионизируется (из-за чего, например, возникает «северное сияние»). В отличие от кислорода $O_2$, азот $N_2$ не диссоциирует под действием солнечного излучения, поэтому в верхних слоях атмосферы атомарного азота $N$ гораздо меньше, чем атомарного кислорода $O$. На высотах больше $250~км$ преобладает атомарный кислород $O$. Слои, содержащие электроны и ионы атомов кислорода, возникают на освещенной стороне атмосферы. В этом случае концентрация ионов атомарного кислорода составляет $n_{ion} \\sim 10^{12}~м^{-3}$. D1 0.30 Найдите среднюю (за 24 часа) тормозящую силу $F_{ion}$, обусловленную столкновениями с этими частицами. Ночью ионизацией молекул можно пренебречь. Найдите также плотность ионизированных молекул кислорода $\\rho_{ion}$. D2 0.70 Найдите скорость уменьшения высоты орбиты станции $u_h^{ion}$, связанную со взаимодействием с ионами атомарного кислорода. Найдите также изменение высоты за один оборот $H_h^{ion}$ в этом случае. Подсказка: используйте соотношения $h_0 \\ll h \\ll R_E$. Часть E. Торможение магнитным полем Земли (2 балла) Рассмотрим влияние магнитного поля Земли на движение станции. Магнитное поля Земли вблизи поверхности изменяется в диапазоне $(3.5 - 6.5) \\cdot 10^{-5}~Тл$ , среднее значение составляет $B = 5 \\cdot 10^{-5}~Тл$. Когда станция движется с большой скоростью в магнитном поле, в её проводящих элементах возникает электрический ток. Электродвижущая сила вызывает перераспределение электрических зарядов в проводящих элементах станции. Электрическое поле вблизи станции приводит к движению заряженных частиц в окружающем её пространстве. Электроны притягиваются к частям станции, у которых положительный потенциал (относительно средней части станции), а ионы притягиваются к частям с отрицательным потенциалом. Электроны и ионы, сталкиваясь с поверхностью станции, стремятся собираться в нейтральные атомы кислорода. Эти электроны, которые движутся по проводящим частям станции, и создают электрический ток. Станция, двигаясь в космосе, «собирает» электроны и ионы из окружающего пространства, сталкиваясь с ними. Для грубой оценки тока, возникающего в проводящих частях станции, считайте, что она «собирает» частицы только с площади, эквивалентной площади поперечного сечения станции $S$. Также считайте, что все ионы и электроны участвуют в создании тока. E1 0.60 Оцените величину возникающего в проводящих частях станции тока $I_{ind}$. E2 0.60 Получите приближённое выражение для тормозящей силы Ампера $F_{ind}$ в направлении, противоположном направлению движению станции. Пусть $\\phi$ — угол между магнитным полем Земли $\\vec{B}$, направленным вдоль меридианов, и скоростью МКС $\\vec{v}$. Для простоты считайте, что длина станции $L$ равна корню квадратному из её площади $S$. Кроме того, вместо подсчёта среднего значения $\\sin(\\phi)$ вы можете аппроксимировать его значением $\\sin(\\pi/2 - \\theta)$. Вы можете использовать дискретное число точек для подсчёта среднего значения. E3 0.80 Найдите скорость снижения станции из-за её взаимодействия с магнитным полем Земли. Найдите также изменение высоты за один оборот $H_h^{ind}$ в этом случае. Подсказка: используйте соотношение $h \\ll R_E$. Часть F. Численные расчёты и выводы (1 балл) F1 0.40 Рассчитайте необходимые величины и заполните Таблицу 1 в листе ответов. $h,~км$ $T_h^{air}, дней$ $u_{air},~м/день$ $u_{ion},~м/день$ $u_{ind},~м/день$ $\\sum,~м/день$ $u_{ISS},~м/день$ $350$ $375$ $400$ $410$ F2 0.40 Рассчитайте необходимые величины и заполните Таблицу 2 в листе ответов. $h,~км$ $H_h^{air},~м$ $H_h^{ion},~м$ $H_h^{ind},~м$ $350$ $375$ $400$ $410$ F3 0.20 МКС обращается по орбите на высотах выше $380~км$. Расположите три рассмотренных эффекта торможения станции в порядке убывания их влияния.\n","figures":["/corpus/figures/77cfb3a639bb99348685.webp","/corpus/figures/d0c149f856db1536c0c6.webp","/corpus/figures/69220cb1e3dceb1cc6a7.webp","/corpus/figures/3130b4e68488dbb70a16.webp","/corpus/figures/c0332d29c2c9d8b55a0b.webp"],"shared":false},"solution":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tНайдите зависимость давления $p_h$ от высоты $h$. Зависимость может содержать интегральное выражение. Это уравнение называется основной барометрической формулой."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"Подсказка: "}]},{"type":"text","text":"считайте, что температура и ускорение свободного падения являются функциями $h$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Для изменения давления можем записать:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$dp_h = -g_h \\rho_h dh.$$С учётом $\\rho_h = \\frac{\\mu P}{RT}$, получаем"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\\frac{dp_h}{p_h} = -\\frac{g_h \\mu}{RT_h} dh,$$откуда"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$p_h = p_0 \\exp \\left(-\\frac{\\mu}{R} \\int\\limits_0^h \\frac{g_h}{T_h}dh \\right),$$где $p_0$ — давление при $h = 0$.\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$p_h = p_0 \\exp \\left(-\\frac{\\mu}{R} \\int\\limits_0^h \\frac{g_h}{T_h}dh \\right)$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.30"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tПолучите стандартную барометрическую формулу: зависимость давления от высоты $p_h^{sta}$, считая, что температура и ускорение свободного падения не зависят от $h$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Рассчитайте величину $h_0 = RT/\\mu g_0$ при $T = 425~К$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Подставляя в основную барометрическую формулу $g_h = g_0$, $T_h = T$, получаем стандартную барометрическую формулу:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$p_h^{sta} = p_0 \\exp \\left(-\\frac{h}{h_0} \\right), \\qquad h_0 = \\frac{RT}{\\mu g_0} \\approx 12.4~км.$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$p_h^{sta} = p_0 \\exp \\left(-\\frac{h}{h_0} \\right) \\\\ h_0 = \\frac{RT}{\\mu g_0} \\approx 12.4~км$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tПолучите уточнённую барометрическую формулу: зависимость давления от высоты $p_h^{imp}$, считая, что температура постоянна, а ускорение свободного падения зависит от высоты $h$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"Подсказка: "}]},{"type":"text","text":"для последнего используйте линейное приближение, считая $z_h = h/R_E \\ll 1.$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"em","children":[{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"Далее в решении для удобства используется величина $z_h \\equiv \\frac{h}{R_E}$."}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Ускорение свободного падения задаётся формулой:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$g_h = \\frac{G M_E}{R_E^2 (1+z_h)^2} = \\frac{g_0}{(1+z_h)^2}.$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"В линейном приближении"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$g_h \\approx g_0(1-2z_h).$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"С учётом этого получаем"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$p_h^{imp} = p_0 \\exp \\left(-\\frac{\\mu}{RT} \\int\\limits_0^h g_0(1-2z_h) dh \\right) =  p_0 \\exp \\left(-\\frac{h(1-z_h)}{h_0} \\right).$$"}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$p_h^{imp} = p_0 \\exp \\left(-\\frac{h(1-z_h)}{h_0} \\right)$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A4\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.40"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tРассчитайте отношение значений давлений, вычисленных по стандартной и по уточнённой барометрическим формулам при $h = 4.0 \\cdot 10^5~м$. Далее используйте уточнённую формулу.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Найдём отношение полученных барометрических формул:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\\frac{p_h^{imp}}{p_h^{sta}} = \\frac{\\exp \\left(-\\frac{h(1-z_h)}{h_0} \\right)}{ \\exp \\left(-\\frac{h}{h_0} \\right)} = e^{\\frac{h^2}{h_0 R_E}}.$$Для $h = 4.0 \\times 10^5~м$ получим"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\\frac{p_h^{imp}}{p_h^{sta}} \\approx 7.54.$$Отношение получилось значительно большим единицы, что оправдывает использование улучшенной формулы.\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$\\frac{p_h^{imp}}{p_h^{sta}} = e^{\\frac{h^2}{h_0 R_E}} \\approx 7.54$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A5\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tНайдите плотность воздуха $\\rho_h$ и концентрацию нейтральных молекул воздуха $n_h$ на высоте $h$, используя линейное приближение."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n В силу соотношений $\\rho = \\mu P/RT$ и $n = \\rho N_A/\\mu$ получим"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\\rho_h = \\rho_0 \\exp \\left(-\\frac{h(1-z_h)}{h_0} \\right), \\\\ n_h = N_A \\frac{\\rho_0}{\\mu} \\exp \\left(-\\frac{h(1-z_h)}{h_0} \\right).$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$\\rho_h = \\rho_0 \\exp \\left(-\\frac{h(1-z_h)}{h_0} \\right) \\\\ n_h = N_A \\frac{\\rho_0}{\\mu} \\exp \\left(-\\frac{h(1-z_h)}{h_0} \\right)$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tНайдите скорость станции $v_h$ и период обращения $\\tau_h$, если станция движется по орбите высотой $h$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Центробежная сила компенсируется гравитационной. Запишем второй закон Ньютона:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$g_h = \\frac{v_h}{R_E (1+z_h)}, \\quad где \\quad g_h = \\frac{g_0}{(1+z_h)^2}.$$Отсюда получаем искомые величины:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$v_h = \\sqrt{\\frac{g_0 R_E}{1+z_h}}, \\\\ \\tau_h = 2\\pi \\frac{R_E+h}{v_h} = 2\\pi \\sqrt{\\frac{R_E}{g_0}} (1+z_h)^{3/2}.$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$v_h = \\sqrt{\\frac{g_0 R_E}{1+z_h}} \\\\ \\tau_h = 2\\pi \\sqrt{\\frac{R_E}{g_0}} (1+z_h)^{3/2}$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tНайдите полную энергию $E_S$ станции, двигающейся по круговой орбите радиусом $R_E + h$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Полная энергия складывается из кинетической"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$E_{K} = \\frac{M_S \\cdot v_h^2}{2}$$и потенциальной"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$E_{P} = -M_S g_h R_E (1+z_h).$$Подставляя $v_h$ из прошлого пункта получаем выражение для $E_S$:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$E_S = E_K + E_P = -\\frac{M_S g_0 R_E}{2(1+z_h)}.$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$E_S = -\\frac{M_S g_0 R_E}{2(1+z_h)}$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tНа станцию действует некоторая суммарная тормозящая сила $\\vec{F}_{drag}$. В результате МКС замедляется, и высота её орбиты уменьшается на $\\mathrm{d}h$ за малое время $\\mathrm{d}t$. Запишите закон изменения энергии МКС, считая известным значение $F_{drag}$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tРабота тормозящей силы $F_{drag}$ за время $dt$:"},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"$$dA_{drag} = -F_{drag} \\cdot v_h \\cdot dt.$$"}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"При малом "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"уменьшении"}]},{"type":"text","text":" высоты полёта станции $dh$ изменение полной энергии составит:"}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"$$dE_S = -\\frac{M_S g_0}{(1+z_h)^2}dh.$$"}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Тогда закон изменения энергии запишется в виде:"}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"$$dE_S = dA_{drag}, \\\\ \\frac{M_S g_0}{(1+z_h)^2}dh = F_{drag} v_h dt.$$"}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$\\frac{M_S g_0}{2(1+z_h)^2} dh = F_{drag} v_h dt$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B4\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tНайдите скорость снижения станции $u_h$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"Подсказка: "}]},{"type":"text","text":"скорость снижения зависит от силы трения, от высоты станции и от её массы."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n С учетом закона сохранения энергии из прошлого пункта получаем:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$u_h = \\frac{dh}{dt} = \\frac{2F_{drag}}{M_S g_0} v_h (1+z_h)^2 = \\frac{2F_{drag}}{M_S} \\sqrt{\\frac{R_E}{g_0}}(1+z_h)^{3/2}.$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$u_h =  \\frac{2 F_{drag}}{M_S} \\sqrt{\\frac{R_E}{g_0}} (1+z_h)^{3/2}$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B5\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tНайдите изменение высоты $H_h$ станции за один оборот вокруг Земли и полное время $T_h$, за которое станция упадёт на поверхность Земли с начальной высоты $h$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"Подсказка: "}]},{"type":"text","text":"используйте соотношения $h_0 \\ll h \\ll R_E$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Выражение для $H_h$ получаем, используя выражения для $u_h$ и $\\tau_h$:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$H_h = u_h \\tau_h = \\frac{4 \\pi R_E}{M_S g_0} F_{drag} (1+z_h)^3.$$Для нахождения $T_h$ запишем:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$dh = u_h dt = \\frac{2 F_{drag}}{M_S} \\sqrt{\\frac{R_E}{g_0}} (1+z_h)^{3/2} dt,$$откуда "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$dt = \\frac{M_S}{2F_{drag} } \\sqrt{\\frac{g_0}{R_E}} \\frac{dh}{(1+z_h)^{3/2}}, \\\\"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"T_h = \\frac{M_S}{2F_{drag} } \\sqrt{\\frac{g_0}{R_E}} \\int\\limits_0^h \\frac{1}{(1+z_h)^{3/2}} dh. $$Интегрируя, получаем:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$T_h = \\frac{M_S R_E}{F_{drag}} \\sqrt{\\frac{g_0}{R_E}} \\left(1-\\frac{1}{\\sqrt{1+z_h}}\\right).$$С учётом $z_h \\ll 1$, можем использовать приближение"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\\frac{1}{\\sqrt{1+z_h}} \\approx 1-\\frac{z_h}{2}.$$Тогда выражение для $T_h$ принимает вид:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$T_h = \\frac{M_S h}{2F_{drag}} \\sqrt{\\frac{g_0}{R_E}}.$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$T_h = \\frac{M_S R_E}{F_{drag}} \\sqrt{\\frac{g_0}{R_E}} \\left(1-\\frac{1}{\\sqrt{1+z_h}}\\right) \\approx  \\frac{M_S h}{2F_{drag}} \\sqrt{\\frac{g_0}{R_E}}$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tНайдите силу сопротивления воздуха $F_{air}$, скорость уменьшения высоты орбиты $u_h^{air}$ и изменение высоты за один оборот $H^{air}_h$ в этом случае."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Считая, что молекулы до столкновения со станцией покоятся, запишем закон сохранения импульса при столкновении МКС с молекулами общей массой $dm$:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$M_s v_h = M_s (v_h + dv_h) + dm \\cdot  v_h, \\\\"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"M_s \\cdot dv_h = -dm \\cdot v_h.$$За время $dt$ станция сталкивается с молекулами массой $dm = \\rho_h v_h S dt$. Подставим это в полученное ранее выражение:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$M_s \\cdot dv_h =  -\\rho_h v_h^2 S dt, \\\\ F_{air} = \\bigg|M_S \\frac{dv_h} {dt} \\bigg| = \\rho_h v_h^2 S.$$Подставляя $F_{air}$ в выражения для $u_h$ и $H_h$, получаем:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$u_h^{air} = \\frac{2 \\rho_0 S \\sqrt{g_0 R_E^3}}{M_S}(1+z_h)^{1/2} \\cdot \\exp \\left(-\\frac{h(1-z_h)}{h_0} \\right), \\\\"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"H_h^{air}  = \\frac{4 \\pi S R_E^2}{M_S} \\rho_0 \\cdot (1+z_h)^2 \\cdot \\exp  \\left(-\\frac{h(1-z_h)}{h_0} \\right).$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$F_{air} = \\rho_h v_h^2 S \\\\"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"u_h^{air} = \\frac{2 \\rho_0 S \\sqrt{g_0 R_E^3}}{M_S}(1+z_h)^{1/2} \\cdot \\exp \\left(-\\frac{h(1-z_h)}{h_0} \\right) \\\\"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"H_h^{air}  = \\frac{4 \\pi S R_E^2}{M_S} \\rho_0 \\cdot (1+z_h)^2 \\cdot \\exp  \\left(-\\frac{h(1-z_h)}{h_0} \\right)"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tНайдите полное время $T_h^{air}$, за которое станция упадёт на поверхность Земли с начальной высоты $h$ из-за сопротивления атмосферы."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"Подсказка: "}]},{"type":"text","text":"используйте соотношения $h_0 \\ll h \\ll R_E$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tАналогично пункту B5 получаем интегральное выражение для $T_h^{air}$:"},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"$$T_h^{air} = \\frac{M_S}{2 \\rho_0 S \\sqrt{g_0 R_E^3}} \\int\\limits_0^h \\left(1-\\frac{h}{2R_E} \\right) e^{h/h_0} dh.$$"}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Интегрирование дает:"}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"$$T_h^{air} = \\frac{M_S h_0}{2 \\rho_0 S \\sqrt{g_0 R_E^3}} \\left(1-\\frac{h-h_0}{2R_E} \\right) \\cdot e^{h/h_0}.$$"}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"С учётом всех приближений ответ упрощается:"}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"$$T_h^{air} = \\frac{M_S h_0}{2 \\rho_0 S \\sqrt{g_0 R_E^3}} \\cdot e^{h/h_0}.$$"}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"em","children":[{"type":"text","text":"Примечание. "}]},{"type":"text","text":"Приближения можно было использовать уже в интегральной формуле, что существенно упростило бы вычисление интеграла."}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$T_h^{air} = \\frac{M_S h_0}{2 \\rho_0 S \\sqrt{g_0 R_E^3}} \\left(1-\\frac{h-h_0}{2R_E} \\right) \\cdot e^{h/h_0} \\approx \\frac{M_S h_0}{2 \\rho_0 S \\sqrt{g_0 R_E^3}} \\cdot e^{h/h_0}$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                D1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.30"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tНайдите среднюю (за 24 часа) тормозящую силу $F_{ion}$, обусловленную столкновениями с этими частицами. Ночью ионизацией молекул можно пренебречь."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Найдите также плотность ионизированных молекул кислорода $\\rho_{ion}$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Выражение для тормозящей силы со стороны ионов аналогично выражению из пункта С1. Так как станция проводит примерно половину времени с неосвещённой (ночной) стороны Земли, а ночью ионизацией можно пренебречь, выражение для средней силы следующее:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$F_{ion} = \\frac{1}{2} \\rho_{ion} \\cdot S \\cdot v_h^2.$$Плотность ионов выражается через из концентрацию как"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\\rho_{ion} = \\frac{\\mu_{ion}}{N_A} \\cdot n_{ion},$$где $\\mu_{ion} = \\frac{1}{2} \\mu_{O_2}.$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$F_{ion} = \\frac{1}{2} \\rho_{ion} S v_h^2 \\\\"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\rho_{ion} = \\frac{\\mu_{ion}}{N_A} n_{ion}$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                D2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.70"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tНайдите скорость уменьшения высоты орбиты станции $u_h^{ion}$, связанную со взаимодействием с ионами атомарного кислорода. Найдите также изменение высоты за один оборот $H_h^{ion}$ в этом случае."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"Подсказка: "}]},{"type":"text","text":"используйте соотношения $h_0 \\ll h \\ll R_E$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Подставляя $F_{ion}$ в выражения для $u_h$ и $H_h$, получаем:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$u_h^{ion} = \\rho_{ion} \\cdot \\frac{S \\sqrt{g_0 R_E^3}}{M_S}(1+z_h)^{1/2}, \\\\"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"H_h^{ion} = u_h^{ion} \\tau_h = \\frac{2 \\pi S R_E^2 \\rho_{ion}}{M_S}(1+z_h)^2.$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$u_h^{ion} = \\rho_{ion} \\frac{S \\sqrt{g_0 R_E^3}}{M_S}(1+z_h)^{1/2} \\\\"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"H_h^{ion} = u_h^{ion} \\tau_h = \\frac{2 \\pi S R_E^2 \\rho_{ion}}{M_S}(1+z_h)^2$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                E1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tОцените величину возникающего в проводящих частях станции тока $I_{ind}$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n За время $dt$ на станцию попадает $dN$ ионов:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$dN = n_{ion} \\cdot v_h \\cdot S \\cdot dt.$$Возникающий ток:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$I_{ion} \\approx e \\frac{dN}{dt} = e \\cdot S \\cdot n_{ion} \\cdot \\sqrt{\\frac{g_0 R_E}{1+z_h}}.$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$I_{ion} \\approx e \\cdot S \\cdot n_{ion} \\cdot \\sqrt{\\frac{g_0 R_E}{1+z_h}}$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                E2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tПолучите приближённое выражение для тормозящей силы Ампера $F_{ind}$ в направлении, противоположном направлению движению станции."},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Пусть $\\phi$ — угол между магнитным полем Земли $\\vec{B}$, направленным вдоль меридианов, и скоростью МКС $\\vec{v}$. Для простоты считайте, что длина станции $L$ равна корню квадратному из её площади $S$. Кроме того, вместо подсчёта среднего значения $\\sin(\\phi)$ вы можете аппроксимировать его значением $\\sin(\\pi/2 - \\theta)$. Вы можете использовать дискретное число точек для подсчёта среднего значения."}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n В каждый момент времени ток $I_{ion}$ направлен перпендикулярно поверхности земли, а значит и вектору магнитного поля. Модуль силы Ампера, действующей на станцию:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$|F_{amp}| = ILB.$$Тогда, проектируя силу Ампера на ось, сонаправленную со скоростью станции, получим выражение для силы в момент, когда угол между скоростью станции и магнитным полем равен $\\phi$:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$F_{ind}(\\phi) = |F_{amp}| \\sin \\phi= ILB \\sin \\phi.$$Используя $\\left \\langle \\sin \\phi \\right \\rangle = \\sin(\\pi/2-\\theta)$, получим:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\\left \\langle F_{ind}(\\phi) \\right \\rangle = F_{ind} = ILB \\cos \\theta = e \\cdot S^{3/2} \\cdot n_{ion} \\cdot B \\cdot \\cos \\theta \\cdot \\sqrt{\\frac{g_0 R_E}{1+z_h}}.$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$F_{ind} = e \\cdot S^{3/2} \\cdot n_{ion} \\cdot B \\cdot \\cos \\theta \\cdot \\sqrt{\\frac{g_0 R_E}{1+z_h}}$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                E3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.80"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tНайдите скорость снижения станции из-за её взаимодействия с магнитным полем Земли. Найдите также изменение высоты за один оборот $H_h^{ind}$ в этом случае."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"Подсказка: "}]},{"type":"text","text":"используйте соотношение $h \\ll R_E$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Подставляя $F_{ion}$ в выражения для $u_h$ и $H_h$, получаем:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$u_h^{ind} = 2n_{ion} \\frac{eBS^{3/2} R_E \\cos \\theta}{M_S} (1+z_h), \\\\ "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"H_h^{ind} = \\frac{4 \\pi e B (SR_E)^{3/2} \\cos \\theta}{M_S \\sqrt{g_0}} (1+z_h)^{5/2}.$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$u_h^{ind} = 2n_{ion} \\frac{eBS^{3/2} R_E \\cos \\theta}{M_S} (1+z_h) \\\\ "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"H_h^{ind} = \\frac{4 \\pi e B (SR_E)^{3/2} \\cos \\theta}{M_S \\sqrt{g_0}} (1+z_h)^{5/2}$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                F1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.40"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tРассчитайте необходимые величины и заполните "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"Таблицу 1 "}]},{"type":"text","text":"в листе ответов.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Значения столбцов 2-6 считаем по полученным нами ранее формулам, значения столбца 7 оцениваем из графиков, данных в начале задачи.\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n\n \n"},{"type":"element","tag":"figure","children":[{"type":"element","tag":"table","children":[{"type":"element","tag":"tbody","children":[{"type":"element","tag":"tr","children":[{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$h, км$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$T_h^{air}, дней$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$u_{air}, м/день$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$u_{ion}, м/день$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$u_{ind}, м/день$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$\\sum, м/день$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$u_{ISS}, м/день$"}]}]},{"type":"element","tag":"tr","children":[{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"350"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"358"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"171"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"0.67"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"1.3"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"173"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$\\sim 170$ [в 2008]"}]}]},{"type":"element","tag":"tr","children":[{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"375"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"2688"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"28.7"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"0.67"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"1.3"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"30.7"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$-$"}]}]},{"type":"element","tag":"tr","children":[{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"400"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"20181"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"4.9"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"0.67"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"1.3"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"6.9"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$\\le 100$ [в 2021]"}]}]},{"type":"element","tag":"tr","children":[{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"410"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"45205"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"2.4"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"0.67"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"1.3"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"4.4"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$\\le 70$ [в 2022]"}]}]}]}]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                F2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.40"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tРассчитайте необходимые величины и заполните "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"Таблицу 2 "}]},{"type":"text","text":"в листе ответов.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n\n \n"},{"type":"element","tag":"figure","children":[{"type":"element","tag":"table","children":[{"type":"element","tag":"tbody","children":[{"type":"element","tag":"tr","children":[{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$h, км$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$H_h^{air}, м$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$H_h^{ion}, м$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$H_h^{ind}, м$"}]}]},{"type":"element","tag":"tr","children":[{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"350"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"10.6"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"0.04"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"0.08"}]}]},{"type":"element","tag":"tr","children":[{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"375"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"1.8"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"0.04"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"0.08"}]}]},{"type":"element","tag":"tr","children":[{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"400"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"0.31"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"0.04"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"0.08"}]}]},{"type":"element","tag":"tr","children":[{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"410"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"0.15"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"0.04"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"0.08"}]}]}]}]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                F3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tМКС обращается по орбите на высотах выше $380~км$. Расположите три рассмотренных эффекта торможения станции в порядке убывания их влияния."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n На основе значений в таблицах делаем вывод.\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n\n\n\n\t"},{"type":"element","tag":"ol","children":[{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Сопротивление атмосферы"}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Сила Ампера "}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Столкновения с ионизированными молекулами кислорода"}]}]}]}]}]}],"text":"A1 0.50 Найдите зависимость давления $p_h$ от высоты $h$. Зависимость может содержать интегральное выражение. Это уравнение называется основной барометрической формулой. Подсказка: считайте, что температура и ускорение свободного падения являются функциями $h$. Для изменения давления можем записать: $$dp_h = -g_h \\rho_h dh.$$С учётом $\\rho_h = \\frac{\\mu P}{RT}$, получаем $$\\frac{dp_h}{p_h} = -\\frac{g_h \\mu}{RT_h} dh,$$откуда $$p_h = p_0 \\exp \\left(-\\frac{\\mu}{R} \\int\\limits_0^h \\frac{g_h}{T_h}dh \\right),$$где $p_0$ — давление при $h = 0$. Ответ: \n                    \n $$p_h = p_0 \\exp \\left(-\\frac{\\mu}{R} \\int\\limits_0^h \\frac{g_h}{T_h}dh \\right)$$\nA2 0.30 Получите стандартную барометрическую формулу: зависимость давления от высоты $p_h^{sta}$, считая, что температура и ускорение свободного падения не зависят от $h$. Рассчитайте величину $h_0 = RT/\\mu g_0$ при $T = 425~К$. Подставляя в основную барометрическую формулу $g_h = g_0$, $T_h = T$, получаем стандартную барометрическую формулу: $$p_h^{sta} = p_0 \\exp \\left(-\\frac{h}{h_0} \\right), \\qquad h_0 = \\frac{RT}{\\mu g_0} \\approx 12.4~км.$$ Ответ: \n                    \n $$p_h^{sta} = p_0 \\exp \\left(-\\frac{h}{h_0} \\right) \\\\ h_0 = \\frac{RT}{\\mu g_0} \\approx 12.4~км$$\nA3 0.60 Получите уточнённую барометрическую формулу: зависимость давления от высоты $p_h^{imp}$, считая, что температура постоянна, а ускорение свободного падения зависит от высоты $h$. Подсказка: для последнего используйте линейное приближение, считая $z_h = h/R_E \\ll 1.$ Далее в решении для удобства используется величина $z_h \\equiv \\frac{h}{R_E}$. Ускорение свободного падения задаётся формулой: $$g_h = \\frac{G M_E}{R_E^2 (1+z_h)^2} = \\frac{g_0}{(1+z_h)^2}.$$ В линейном приближении $$g_h \\approx g_0(1-2z_h).$$ С учётом этого получаем $$p_h^{imp} = p_0 \\exp \\left(-\\frac{\\mu}{RT} \\int\\limits_0^h g_0(1-2z_h) dh \\right) =  p_0 \\exp \\left(-\\frac{h(1-z_h)}{h_0} \\right).$$ Ответ: \n                    \n $$p_h^{imp} = p_0 \\exp \\left(-\\frac{h(1-z_h)}{h_0} \\right)$$\nA4 0.40 Рассчитайте отношение значений давлений, вычисленных по стандартной и по уточнённой барометрическим формулам при $h = 4.0 \\cdot 10^5~м$. Далее используйте уточнённую формулу. Найдём отношение полученных барометрических формул: $$\\frac{p_h^{imp}}{p_h^{sta}} = \\frac{\\exp \\left(-\\frac{h(1-z_h)}{h_0} \\right)}{ \\exp \\left(-\\frac{h}{h_0} \\right)} = e^{\\frac{h^2}{h_0 R_E}}.$$Для $h = 4.0 \\times 10^5~м$ получим $$\\frac{p_h^{imp}}{p_h^{sta}} \\approx 7.54.$$Отношение получилось значительно большим единицы, что оправдывает использование улучшенной формулы. Ответ: \n                    \n $$\\frac{p_h^{imp}}{p_h^{sta}} = e^{\\frac{h^2}{h_0 R_E}} \\approx 7.54$$\nA5 0.20 Найдите плотность воздуха $\\rho_h$ и концентрацию нейтральных молекул воздуха $n_h$ на высоте $h$, используя линейное приближение. В силу соотношений $\\rho = \\mu P/RT$ и $n = \\rho N_A/\\mu$ получим $$\\rho_h = \\rho_0 \\exp \\left(-\\frac{h(1-z_h)}{h_0} \\right), \\\\ n_h = N_A \\frac{\\rho_0}{\\mu} \\exp \\left(-\\frac{h(1-z_h)}{h_0} \\right).$$ Ответ: \n                    \n $$\\rho_h = \\rho_0 \\exp \\left(-\\frac{h(1-z_h)}{h_0} \\right) \\\\ n_h = N_A \\frac{\\rho_0}{\\mu} \\exp \\left(-\\frac{h(1-z_h)}{h_0} \\right)$$\nB1 0.50 Найдите скорость станции $v_h$ и период обращения $\\tau_h$, если станция движется по орбите высотой $h$. Центробежная сила компенсируется гравитационной. Запишем второй закон Ньютона: $$g_h = \\frac{v_h}{R_E (1+z_h)}, \\quad где \\quad g_h = \\frac{g_0}{(1+z_h)^2}.$$Отсюда получаем искомые величины: $$v_h = \\sqrt{\\frac{g_0 R_E}{1+z_h}}, \\\\ \\tau_h = 2\\pi \\frac{R_E+h}{v_h} = 2\\pi \\sqrt{\\frac{R_E}{g_0}} (1+z_h)^{3/2}.$$ Ответ: \n                    \n $$v_h = \\sqrt{\\frac{g_0 R_E}{1+z_h}} \\\\ \\tau_h = 2\\pi \\sqrt{\\frac{R_E}{g_0}} (1+z_h)^{3/2}$$\nB2 0.50 Найдите полную энергию $E_S$ станции, двигающейся по круговой орбите радиусом $R_E + h$. Полная энергия складывается из кинетической $$E_{K} = \\frac{M_S \\cdot v_h^2}{2}$$и потенциальной $$E_{P} = -M_S g_h R_E (1+z_h).$$Подставляя $v_h$ из прошлого пункта получаем выражение для $E_S$: $$E_S = E_K + E_P = -\\frac{M_S g_0 R_E}{2(1+z_h)}.$$ Ответ: \n                    \n $$E_S = -\\frac{M_S g_0 R_E}{2(1+z_h)}$$\nB3 1.00 На станцию действует некоторая суммарная тормозящая сила $\\vec{F}_{drag}$. В результате МКС замедляется, и высота её орбиты уменьшается на $\\mathrm{d}h$ за малое время $\\mathrm{d}t$. Запишите закон изменения энергии МКС, считая известным значение $F_{drag}$. Работа тормозящей силы $F_{drag}$ за время $dt$: $$dA_{drag} = -F_{drag} \\cdot v_h \\cdot dt.$$ При малом уменьшении высоты полёта станции $dh$ изменение полной энергии составит: $$dE_S = -\\frac{M_S g_0}{(1+z_h)^2}dh.$$ Тогда закон изменения энергии запишется в виде: $$dE_S = dA_{drag}, \\\\ \\frac{M_S g_0}{(1+z_h)^2}dh = F_{drag} v_h dt.$$ Ответ: \n                    \n $$\\frac{M_S g_0}{2(1+z_h)^2} dh = F_{drag} v_h dt$$\nB4 0.50 Найдите скорость снижения станции $u_h$. Подсказка: скорость снижения зависит от силы трения, от высоты станции и от её массы. С учетом закона сохранения энергии из прошлого пункта получаем: $$u_h = \\frac{dh}{dt} = \\frac{2F_{drag}}{M_S g_0} v_h (1+z_h)^2 = \\frac{2F_{drag}}{M_S} \\sqrt{\\frac{R_E}{g_0}}(1+z_h)^{3/2}.$$ Ответ: \n                    \n $$u_h =  \\frac{2 F_{drag}}{M_S} \\sqrt{\\frac{R_E}{g_0}} (1+z_h)^{3/2}$$\nB5 0.50 Найдите изменение высоты $H_h$ станции за один оборот вокруг Земли и полное время $T_h$, за которое станция упадёт на поверхность Земли с начальной высоты $h$. Подсказка: используйте соотношения $h_0 \\ll h \\ll R_E$. Выражение для $H_h$ получаем, используя выражения для $u_h$ и $\\tau_h$: $$H_h = u_h \\tau_h = \\frac{4 \\pi R_E}{M_S g_0} F_{drag} (1+z_h)^3.$$Для нахождения $T_h$ запишем: $$dh = u_h dt = \\frac{2 F_{drag}}{M_S} \\sqrt{\\frac{R_E}{g_0}} (1+z_h)^{3/2} dt,$$откуда $$dt = \\frac{M_S}{2F_{drag} } \\sqrt{\\frac{g_0}{R_E}} \\frac{dh}{(1+z_h)^{3/2}}, \\\\ T_h = \\frac{M_S}{2F_{drag} } \\sqrt{\\frac{g_0}{R_E}} \\int\\limits_0^h \\frac{1}{(1+z_h)^{3/2}} dh. $$Интегрируя, получаем: $$T_h = \\frac{M_S R_E}{F_{drag}} \\sqrt{\\frac{g_0}{R_E}} \\left(1-\\frac{1}{\\sqrt{1+z_h}}\\right).$$С учётом $z_h \\ll 1$, можем использовать приближение $$\\frac{1}{\\sqrt{1+z_h}} \\approx 1-\\frac{z_h}{2}.$$Тогда выражение для $T_h$ принимает вид: $$T_h = \\frac{M_S h}{2F_{drag}} \\sqrt{\\frac{g_0}{R_E}}.$$ Ответ: \n                    \n $$T_h = \\frac{M_S R_E}{F_{drag}} \\sqrt{\\frac{g_0}{R_E}} \\left(1-\\frac{1}{\\sqrt{1+z_h}}\\right) \\approx  \\frac{M_S h}{2F_{drag}} \\sqrt{\\frac{g_0}{R_E}}$$\nC1 0.50 Найдите силу сопротивления воздуха $F_{air}$, скорость уменьшения высоты орбиты $u_h^{air}$ и изменение высоты за один оборот $H^{air}_h$ в этом случае. Считая, что молекулы до столкновения со станцией покоятся, запишем закон сохранения импульса при столкновении МКС с молекулами общей массой $dm$: $$M_s v_h = M_s (v_h + dv_h) + dm \\cdot  v_h, \\\\ M_s \\cdot dv_h = -dm \\cdot v_h.$$За время $dt$ станция сталкивается с молекулами массой $dm = \\rho_h v_h S dt$. Подставим это в полученное ранее выражение: $$M_s \\cdot dv_h =  -\\rho_h v_h^2 S dt, \\\\ F_{air} = \\bigg|M_S \\frac{dv_h} {dt} \\bigg| = \\rho_h v_h^2 S.$$Подставляя $F_{air}$ в выражения для $u_h$ и $H_h$, получаем: $$u_h^{air} = \\frac{2 \\rho_0 S \\sqrt{g_0 R_E^3}}{M_S}(1+z_h)^{1/2} \\cdot \\exp \\left(-\\frac{h(1-z_h)}{h_0} \\right), \\\\ H_h^{air}  = \\frac{4 \\pi S R_E^2}{M_S} \\rho_0 \\cdot (1+z_h)^2 \\cdot \\exp  \\left(-\\frac{h(1-z_h)}{h_0} \\right).$$ Ответ: \n                    \n $$F_{air} = \\rho_h v_h^2 S \\\\ u_h^{air} = \\frac{2 \\rho_0 S \\sqrt{g_0 R_E^3}}{M_S}(1+z_h)^{1/2} \\cdot \\exp \\left(-\\frac{h(1-z_h)}{h_0} \\right) \\\\ H_h^{air}  = \\frac{4 \\pi S R_E^2}{M_S} \\rho_0 \\cdot (1+z_h)^2 \\cdot \\exp  \\left(-\\frac{h(1-z_h)}{h_0} \\right) $$\nC2 0.50 Найдите полное время $T_h^{air}$, за которое станция упадёт на поверхность Земли с начальной высоты $h$ из-за сопротивления атмосферы. Подсказка: используйте соотношения $h_0 \\ll h \\ll R_E$. Аналогично пункту B5 получаем интегральное выражение для $T_h^{air}$: $$T_h^{air} = \\frac{M_S}{2 \\rho_0 S \\sqrt{g_0 R_E^3}} \\int\\limits_0^h \\left(1-\\frac{h}{2R_E} \\right) e^{h/h_0} dh.$$ Интегрирование дает: $$T_h^{air} = \\frac{M_S h_0}{2 \\rho_0 S \\sqrt{g_0 R_E^3}} \\left(1-\\frac{h-h_0}{2R_E} \\right) \\cdot e^{h/h_0}.$$ С учётом всех приближений ответ упрощается: $$T_h^{air} = \\frac{M_S h_0}{2 \\rho_0 S \\sqrt{g_0 R_E^3}} \\cdot e^{h/h_0}.$$ Примечание. Приближения можно было использовать уже в интегральной формуле, что существенно упростило бы вычисление интеграла. Ответ: \n                    \n $$T_h^{air} = \\frac{M_S h_0}{2 \\rho_0 S \\sqrt{g_0 R_E^3}} \\left(1-\\frac{h-h_0}{2R_E} \\right) \\cdot e^{h/h_0} \\approx \\frac{M_S h_0}{2 \\rho_0 S \\sqrt{g_0 R_E^3}} \\cdot e^{h/h_0}$$\nD1 0.30 Найдите среднюю (за 24 часа) тормозящую силу $F_{ion}$, обусловленную столкновениями с этими частицами. Ночью ионизацией молекул можно пренебречь. Найдите также плотность ионизированных молекул кислорода $\\rho_{ion}$. Выражение для тормозящей силы со стороны ионов аналогично выражению из пункта С1. Так как станция проводит примерно половину времени с неосвещённой (ночной) стороны Земли, а ночью ионизацией можно пренебречь, выражение для средней силы следующее: $$F_{ion} = \\frac{1}{2} \\rho_{ion} \\cdot S \\cdot v_h^2.$$Плотность ионов выражается через из концентрацию как $$\\rho_{ion} = \\frac{\\mu_{ion}}{N_A} \\cdot n_{ion},$$где $\\mu_{ion} = \\frac{1}{2} \\mu_{O_2}.$ Ответ: \n                    \n $$F_{ion} = \\frac{1}{2} \\rho_{ion} S v_h^2 \\\\ \\rho_{ion} = \\frac{\\mu_{ion}}{N_A} n_{ion}$$\nD2 0.70 Найдите скорость уменьшения высоты орбиты станции $u_h^{ion}$, связанную со взаимодействием с ионами атомарного кислорода. Найдите также изменение высоты за один оборот $H_h^{ion}$ в этом случае. Подсказка: используйте соотношения $h_0 \\ll h \\ll R_E$. Подставляя $F_{ion}$ в выражения для $u_h$ и $H_h$, получаем: $$u_h^{ion} = \\rho_{ion} \\cdot \\frac{S \\sqrt{g_0 R_E^3}}{M_S}(1+z_h)^{1/2}, \\\\ H_h^{ion} = u_h^{ion} \\tau_h = \\frac{2 \\pi S R_E^2 \\rho_{ion}}{M_S}(1+z_h)^2.$$ Ответ: \n                    \n $$u_h^{ion} = \\rho_{ion} \\frac{S \\sqrt{g_0 R_E^3}}{M_S}(1+z_h)^{1/2} \\\\ H_h^{ion} = u_h^{ion} \\tau_h = \\frac{2 \\pi S R_E^2 \\rho_{ion}}{M_S}(1+z_h)^2$$\nE1 0.60 Оцените величину возникающего в проводящих частях станции тока $I_{ind}$. За время $dt$ на станцию попадает $dN$ ионов: $$dN = n_{ion} \\cdot v_h \\cdot S \\cdot dt.$$Возникающий ток: $$I_{ion} \\approx e \\frac{dN}{dt} = e \\cdot S \\cdot n_{ion} \\cdot \\sqrt{\\frac{g_0 R_E}{1+z_h}}.$$ Ответ: \n                    \n $$I_{ion} \\approx e \\cdot S \\cdot n_{ion} \\cdot \\sqrt{\\frac{g_0 R_E}{1+z_h}}$$\nE2 0.60 Получите приближённое выражение для тормозящей силы Ампера $F_{ind}$ в направлении, противоположном направлению движению станции. Пусть $\\phi$ — угол между магнитным полем Земли $\\vec{B}$, направленным вдоль меридианов, и скоростью МКС $\\vec{v}$. Для простоты считайте, что длина станции $L$ равна корню квадратному из её площади $S$. Кроме того, вместо подсчёта среднего значения $\\sin(\\phi)$ вы можете аппроксимировать его значением $\\sin(\\pi/2 - \\theta)$. Вы можете использовать дискретное число точек для подсчёта среднего значения. В каждый момент времени ток $I_{ion}$ направлен перпендикулярно поверхности земли, а значит и вектору магнитного поля. Модуль силы Ампера, действующей на станцию: $$|F_{amp}| = ILB.$$Тогда, проектируя силу Ампера на ось, сонаправленную со скоростью станции, получим выражение для силы в момент, когда угол между скоростью станции и магнитным полем равен $\\phi$: $$F_{ind}(\\phi) = |F_{amp}| \\sin \\phi= ILB \\sin \\phi.$$Используя $\\left \\langle \\sin \\phi \\right \\rangle = \\sin(\\pi/2-\\theta)$, получим: $$\\left \\langle F_{ind}(\\phi) \\right \\rangle = F_{ind} = ILB \\cos \\theta = e \\cdot S^{3/2} \\cdot n_{ion} \\cdot B \\cdot \\cos \\theta \\cdot \\sqrt{\\frac{g_0 R_E}{1+z_h}}.$$ Ответ: \n                    \n $$F_{ind} = e \\cdot S^{3/2} \\cdot n_{ion} \\cdot B \\cdot \\cos \\theta \\cdot \\sqrt{\\frac{g_0 R_E}{1+z_h}}$$\nE3 0.80 Найдите скорость снижения станции из-за её взаимодействия с магнитным полем Земли. Найдите также изменение высоты за один оборот $H_h^{ind}$ в этом случае. Подсказка: используйте соотношение $h \\ll R_E$. Подставляя $F_{ion}$ в выражения для $u_h$ и $H_h$, получаем: $$u_h^{ind} = 2n_{ion} \\frac{eBS^{3/2} R_E \\cos \\theta}{M_S} (1+z_h), \\\\ H_h^{ind} = \\frac{4 \\pi e B (SR_E)^{3/2} \\cos \\theta}{M_S \\sqrt{g_0}} (1+z_h)^{5/2}.$$ Ответ: \n                    \n $$u_h^{ind} = 2n_{ion} \\frac{eBS^{3/2} R_E \\cos \\theta}{M_S} (1+z_h) \\\\ H_h^{ind} = \\frac{4 \\pi e B (SR_E)^{3/2} \\cos \\theta}{M_S \\sqrt{g_0}} (1+z_h)^{5/2}$$\nF1 0.40 Рассчитайте необходимые величины и заполните Таблицу 1 в листе ответов. Значения столбцов 2-6 считаем по полученным нами ранее формулам, значения столбца 7 оцениваем из графиков, данных в начале задачи. Ответ: $h, км$ $T_h^{air}, дней$ $u_{air}, м/день$ $u_{ion}, м/день$ $u_{ind}, м/день$ $\\sum, м/день$ $u_{ISS}, м/день$ 350 358 171 0.67 1.3 173 $\\sim 170$ [в 2008] 375 2688 28.7 0.67 1.3 30.7 $-$ 400 20181 4.9 0.67 1.3 6.9 $\\le 100$ [в 2021] 410 45205 2.4 0.67 1.3 4.4 $\\le 70$ [в 2022]\nF2 0.40 Рассчитайте необходимые величины и заполните Таблицу 2 в листе ответов. Ответ: $h, км$ $H_h^{air}, м$ $H_h^{ion}, м$ $H_h^{ind}, м$ 350 10.6 0.04 0.08 375 1.8 0.04 0.08 400 0.31 0.04 0.08 410 0.15 0.04 0.08\nF3 0.20 МКС обращается по орбите на высотах выше $380~км$. Расположите три рассмотренных эффекта торможения станции в порядке убывания их влияния. На основе значений в таблицах делаем вывод. Ответ: Сопротивление атмосферы Сила Ампера Столкновения с ионизированными молекулами кислорода","figures":[],"shared":false}},{"id":"apho-2023-t2","importedOn":"2026-10-28","language":"ru","sources":[{"url":"https://pho.rs/p/3681","kind":"statement"},{"url":"https://pho.rs/p/3681/s","kind":"solution"}],"statement":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Введение"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tПринятые обозначения: Длина вектора $\\vec A$ обозначается $A\\equiv|\\vec A|$. $x$-, $y$- и $z$-компоненты вектора обозначаются как $A_x$, $A_y$ и $A_z$ соответственно."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Производная величины по времени обозначается точкой: $\\dot{\\vec A}\\equiv \\mathrm{d}\\vec A/\\mathrm{d}t$, $\\dot A\\equiv \\mathrm{d}A/\\mathrm{d}t$. Единичный вектор в направлении $\\vec A$ обозначается $\\hat A$. Единичные векторы вдоль осей декартовой системы координат, таким образом, — $\\hat x$, $\\hat y$ и $\\hat z$. "}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Определения скалярного и векторного произведений:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"ul","children":[{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"$\\left(\\vec{A} \\cdot \\vec{B}\\right)=\\left(\\vec{B} \\cdot \\vec{A}\\right)=A_x B_x+A_y B_y+A_z B_z=A B \\cos \\theta,$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"$\\left(\\vec{A} \\times \\vec{B}\\right)=-\\left(\\vec{B} \\times \\vec{A}\\right)=\\left(A_y B_z-A_z B_y\\right) \\hat{x}+\\left(A_z B_x-A_x B_z\\right) \\hat{y}+\\left(A_x B_x-A_y B_x\\right) \\hat{z},$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"$|\\vec{A} \\times \\vec{B}|=A B \\sin \\theta,$ где $\\theta$ — угол между $\\vec A$ и $\\vec B$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Тройные произведения векторов:"}]},{"type":"element","tag":"ul","children":[{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"$\\left(\\vec A\\times\\vec B\\right)\\times\\vec C=\\left(\\vec A\\cdot\\vec C\\right)\\vec B-\\left(\\vec B\\cdot\\vec C\\right)\\vec A,$"}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"$\\left(\\vec A\\times\\vec B\\right)\\cdot\\vec C=\\left(\\vec B\\times\\vec C\\right)\\cdot\\vec A=\\left(\\vec C\\times\\vec A\\right)\\cdot\\vec B$."}]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tВекторные произведения очень полезны при описании многих соотношений в физике. "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Например:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"ul","children":[{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"$\\vec v=\\vec\\omega\\times\\vec r$,"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"$\\vec F_{Lorentz}=Q\\vec v\\times\\vec B$, "}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"и зачастую экономят время, позволяя записать три уравнения для компонент векторов в одном."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Постановка задачи"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/aeea944e274ad6da6e73.webp","alt":"apho-2023-t2 statement: original source diagram 1"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 1. Шарик, катящийся без проскальзывания по вращающемуся диску"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tШарик массой $m$ и радиусом $r$ катится без проскальзывания по горизонтальному вращающемуся диску (см. рис. 1). Его масса распределена сферически симметрично, т.е. плотность зависит только от расстояния до центра. Момент инерции шарика $I$. В части "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"B,"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"text","text":"в которой диск вращается свободно, момент инерции диска равен $I_d$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Цель задачи — исследовать движение и траекторию шарика в лабораторной системе отсчёта. При решении задачи считайте диск достаточно большим, и что шарик с него не скатывается. Используются следующие обозначения:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"ul","children":[{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"$\\Omega$ — модуль угловой скорости вращающегося диска,"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"$\\vec\\omega$ — угловая скорость шарика относительно его оси вращения,"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"$\\vec R$ — горизонтальное положение центра шарика относительно оси вращения диска,"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"$\\vec v$ — скорость шарика в точке $\\vec R$ в лабораторной системе отсчёта."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Начальные положение $\\vec R_0\\equiv\\vec R(0)$ и скорость $\\vec v_0\\equiv\\vec v(0)$ шарика, а также угловая скорость диска $\\Omega_0\\equiv\\Omega(0)$ известны."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"В векторных выражениях можно использовать орт $\\hat z$. Если нужно выразить ответ через известные величины, можно использовать $m$, $r$, $I$ и $I_d$. Подставляйте $I$ в общем виде, если не указано иное."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tТакже рекомендуется использовать следующие обозначения: \\[\\alpha=\\frac I{I+mr^2},\\quad\\delta=\\frac{I_d}{mr^2}.\\] Ответы, представляющие собой векторные величины, можно выражать через векторное и скалярное произведения, а также единичные векторы в направлении осей системы координат."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть A. Шарик на диске, вращающемся с постоянной угловой скоростью (1.5 балла)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tРассмотрим сначала простейший случай, когда угловая скорость диска вертикальна и постоянна, т.е. $\\Omega=\\Omega_0$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.10"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tЗаписав кинематическую связь, выразите скорость шарика $\\vec v$ через $\\Omega$, $\\vec\\omega$, $r$ и $\\vec R$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tЗаписав второй закон Ньютона и закон изменения момента импульса относительно центра шарика, выразите ускорение шарика $\\vec a\\equiv\\dot{\\vec v}$ через $\\Omega$, $\\vec v$, $r$, $m$ и $I$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tВыразите скорость $\\vec v$ через $\\Omega$, $\\vec R$, $\\vec v_0$, $\\vec R_0$, $r$, $m$ и $I$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A4\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tЗапишите явное выражение для траектории шарика с начальными условиями $\\vec v_0$ и $\\vec R_0$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A5\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tПусть теперь шарик однороден, т.е. $I=2mr^2/5$. Траектория, найденная в предыдущем пункте, представляет собой круг радиусом $R_t$. Пусть начальные условия подобраны так, что этот радиус равен $R_0$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Каково минимально возможное время, необходимое шарику для того, чтобы его центр приблизился к своему исходному положению на диске (в момент времени $t=0$) на минимальное расстояние? Направление начальной скорости шарика может быть выбрано произвольным образом."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть B. Шарик на свободно вращающемся диске (4.0 балла)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tВ этой части задачи диск может вращаться вокруг оси $z$ без трения. Следовательно, на вращение диска влияет только трение о шарик."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tВыразите скорость $\\vec v$ шарика через $\\vec{v}_0$, $\\Omega$, $\\vec R$, $\\Omega_0$, $\\vec R_0$, $r$, $m$ и $I$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Выразите ускорение $\\dot{\\vec v}$ шарика через $\\Omega$, $\\vec R$, $\\dot\\Omega$, $\\vec{v}$, $r$, $m$ и $I$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tВыразите модуль углового ускорения диска $\\dot\\Omega$ через $\\Omega$, $\\Omega_0$, $\\vec R$, $\\vec R_0$, $\\vec v_0$, $r$, $m$, $I$ и $I_d$. В ответе могут присутствовать величины $\\alpha$ и $\\delta$, определённые в начале задачи."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tВыразите модуль угловой скорости диска $\\Omega$ как функцию $R$, а также $\\Omega_0$, $R_0$, $r$, $m$, $I$ и $I_d$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B4\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.10"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tИз результатов пункта "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"B3 "}]},{"type":"text","text":"получите выражение для максимально возможной $\\Omega$ при заданных $\\Omega_0$ и $R_0$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B5\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 2.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tЗапишите выражение для вертикальной компоненты момента импульса $\\hat zM_z$ всей системы. Некоторые слагаемые в этом выражении — постоянные величины. Вычтя их из $\\hat zM_z$, обозначьте оставшееся выражение как $\\hat zL$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Скорость шарика $\\vec v$, полученную в пункте "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"B1,"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"text","text":"можно записать как сумму постоянного вектора и слагаемого, зависящего от $\\vec R$. Обозначьте этот постоянный вектор как $\\vec c$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Выберем направление оси $x$ вдоль вектора $\\vec{c}$, а направление оси $y$ — вдоль вектора $\\hat z\\times\\vec c$. В этой системе отсчёта выразите $\\Omega$ через $L$, $\\vec R$, $\\vec c$, $\\hat z$, $R^2$, $r$, $m$, $I$ и $I_d$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Добавив к этому результат пункта "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"B3,"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"text","text":"запишите уравнение, связывающее величины $R^2$ и $y$ с помощью $L$, $r$, $m$, $I$, $c$ и $I_d$. Здесь $c$ — модуль $\\vec c$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Подставив $R^2=x^2+y^2$, запишите выражение, содержащее $x$ и $y$, которое описывает некоторую кривую."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Отсюда найдите и перечислите все возможные типы траекторий шарика. При анализе видов траекторий вы можете использовать любые введённые величины."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть C. Шарик на вращающемся диске в магнитном поле (4.5 балла)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tВ этой части задачи рассмотрим шарик, у которого $I=mr^2/10$. Этого можно добиться, если заполнить шарик однородным веществом до половины его радиуса, а оставшуюся часть — пренебрежимо легким веществом."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Более того, будем считать, что поверхность шарика заряжена однородно с плотностью заряда $Q/(4\\pi r^2)$, где $Q$ — суммарный заряд шарика. Вся система находится в однородном магнитном поле $\\vec B$, направленном по оси $\\hat z$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Диск вращается с постоянной угловой скоростью $\\Omega$ так же, как в части"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"A."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/75a821180127a2b52888.webp","alt":"apho-2023-t2 statement: original source diagram 2"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 2. Шарик, катящийся по вращающемуся диску в постоянном магнитном поле $\\vec B$"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tЗапишите второй закон Ньютона и закон изменения момента импульса относительно центра шарика. Выразите момент сил $\\vec\\tau_s$, действующий на шарик из-за его вращения, через $Q$, $r$, $\\vec\\omega$ и $\\vec B$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tУравнение для линейного ускорения представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка на $\\vec R$ вида: \\[\\frac{\\mathrm{d}^2\\vec R}{\\mathrm{d}t^2}-\\gamma \\frac{\\mathrm{d}\\vec R}{\\mathrm{d}t}\\times \\hat z+\\beta \\vec R = 0.\\] Выразите постоянные $\\gamma$ и $\\beta$ через $Q$, $r$, $B$, $I$, $m$, $\\Omega$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tПерейдите от компонент $\\vec R$ к полярным координатам: \\[\\begin{cases} x(t)=\\rho(t)\\cos(\\eta(t)),\\\\y(t)=\\rho(t)\\sin(\\eta(t)),\\end{cases}\\] и получите систему уравнений на $\\rho(t)$ и $\\eta(t)$, эквивалентную уравнению выше."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Далее считайте, что полярный угол $\\eta(t)$ представляет собой некоторую линейную функцию времени. Найдите вид этой функции, считая, что $\\eta(0)=\\eta_0$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Выразите коэффициент $\\beta'$ при $\\rho(t)$ в полученном вами уравнении на $\\rho(t)$ через $\\gamma$ и $\\beta$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Запишите условия, при которых реализуются различные характерные зависимости $\\rho(t)$: гармоническая, экспоненциальная и т.д."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C4\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.90"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tРассмотрим следующие начальные условия для решения, найденного в "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"С3:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"ul","children":[{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"$x(0)=1~м$,"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"$y=0~м$,"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"$v_x(0)=\\dot x|_{t=0}=1~м/с$,"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"$v_y(0)=\\dot y|_{t=0}=-1~м/с$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Для $\\beta'=0$ найдите $\\beta$ и $\\gamma$, соответствующие этим начальным условиям, а также зависимости $x(t)$ и $y(t)$. Найдите отсюда соответствующую $\\Omega$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Схематично изобразите траекторию шарика."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Как заряжена поверхность шарика: положительно или отрицательно? Запишите в листах ответов «$-$» в случае отрицательного и «$+$» в случае положительного заряда."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C5\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tРассмотрим решение, полученное в пункте "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"C4."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"text","text":"Если решение получено правильно, вектор $\\vec R$ должен вращаться."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Получите выражения для изменения энергии системы за время $t$ и за один оборот после $N\\gg1$ оборотов. Членами малыми по сравнению с $N$ можно пренебречь. В этом пункте можно считать, что масса шарика $m=1~кг$, а его радиус $r=1~м$, поэтому $I=1/10~кг\\cdot м^2$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]}]}],"text":"Введение Принятые обозначения: Длина вектора $\\vec A$ обозначается $A\\equiv|\\vec A|$. $x$-, $y$- и $z$-компоненты вектора обозначаются как $A_x$, $A_y$ и $A_z$ соответственно. Производная величины по времени обозначается точкой: $\\dot{\\vec A}\\equiv \\mathrm{d}\\vec A/\\mathrm{d}t$, $\\dot A\\equiv \\mathrm{d}A/\\mathrm{d}t$. Единичный вектор в направлении $\\vec A$ обозначается $\\hat A$. Единичные векторы вдоль осей декартовой системы координат, таким образом, — $\\hat x$, $\\hat y$ и $\\hat z$. Определения скалярного и векторного произведений: $\\left(\\vec{A} \\cdot \\vec{B}\\right)=\\left(\\vec{B} \\cdot \\vec{A}\\right)=A_x B_x+A_y B_y+A_z B_z=A B \\cos \\theta,$ $\\left(\\vec{A} \\times \\vec{B}\\right)=-\\left(\\vec{B} \\times \\vec{A}\\right)=\\left(A_y B_z-A_z B_y\\right) \\hat{x}+\\left(A_z B_x-A_x B_z\\right) \\hat{y}+\\left(A_x B_x-A_y B_x\\right) \\hat{z},$ $|\\vec{A} \\times \\vec{B}|=A B \\sin \\theta,$ где $\\theta$ — угол между $\\vec A$ и $\\vec B$. Тройные произведения векторов: $\\left(\\vec A\\times\\vec B\\right)\\times\\vec C=\\left(\\vec A\\cdot\\vec C\\right)\\vec B-\\left(\\vec B\\cdot\\vec C\\right)\\vec A,$ $\\left(\\vec A\\times\\vec B\\right)\\cdot\\vec C=\\left(\\vec B\\times\\vec C\\right)\\cdot\\vec A=\\left(\\vec C\\times\\vec A\\right)\\cdot\\vec B$. Векторные произведения очень полезны при описании многих соотношений в физике. Например: $\\vec v=\\vec\\omega\\times\\vec r$, $\\vec F_{Lorentz}=Q\\vec v\\times\\vec B$, и зачастую экономят время, позволяя записать три уравнения для компонент векторов в одном. Постановка задачи Рис. 1. Шарик, катящийся без проскальзывания по вращающемуся диску Шарик массой $m$ и радиусом $r$ катится без проскальзывания по горизонтальному вращающемуся диску (см. рис. 1). Его масса распределена сферически симметрично, т.е. плотность зависит только от расстояния до центра. Момент инерции шарика $I$. В части B, в которой диск вращается свободно, момент инерции диска равен $I_d$. Цель задачи — исследовать движение и траекторию шарика в лабораторной системе отсчёта. При решении задачи считайте диск достаточно большим, и что шарик с него не скатывается. Используются следующие обозначения: $\\Omega$ — модуль угловой скорости вращающегося диска, $\\vec\\omega$ — угловая скорость шарика относительно его оси вращения, $\\vec R$ — горизонтальное положение центра шарика относительно оси вращения диска, $\\vec v$ — скорость шарика в точке $\\vec R$ в лабораторной системе отсчёта. Начальные положение $\\vec R_0\\equiv\\vec R(0)$ и скорость $\\vec v_0\\equiv\\vec v(0)$ шарика, а также угловая скорость диска $\\Omega_0\\equiv\\Omega(0)$ известны. В векторных выражениях можно использовать орт $\\hat z$. Если нужно выразить ответ через известные величины, можно использовать $m$, $r$, $I$ и $I_d$. Подставляйте $I$ в общем виде, если не указано иное. Также рекомендуется использовать следующие обозначения: \\[\\alpha=\\frac I{I+mr^2},\\quad\\delta=\\frac{I_d}{mr^2}.\\] Ответы, представляющие собой векторные величины, можно выражать через векторное и скалярное произведения, а также единичные векторы в направлении осей системы координат. Часть A. Шарик на диске, вращающемся с постоянной угловой скоростью (1.5 балла) Рассмотрим сначала простейший случай, когда угловая скорость диска вертикальна и постоянна, т.е. $\\Omega=\\Omega_0$. A1 0.10 Записав кинематическую связь, выразите скорость шарика $\\vec v$ через $\\Omega$, $\\vec\\omega$, $r$ и $\\vec R$. A2 0.20 Записав второй закон Ньютона и закон изменения момента импульса относительно центра шарика, выразите ускорение шарика $\\vec a\\equiv\\dot{\\vec v}$ через $\\Omega$, $\\vec v$, $r$, $m$ и $I$. A3 0.20 Выразите скорость $\\vec v$ через $\\Omega$, $\\vec R$, $\\vec v_0$, $\\vec R_0$, $r$, $m$ и $I$. A4 0.50 Запишите явное выражение для траектории шарика с начальными условиями $\\vec v_0$ и $\\vec R_0$. A5 0.50 Пусть теперь шарик однороден, т.е. $I=2mr^2/5$. Траектория, найденная в предыдущем пункте, представляет собой круг радиусом $R_t$. Пусть начальные условия подобраны так, что этот радиус равен $R_0$. Каково минимально возможное время, необходимое шарику для того, чтобы его центр приблизился к своему исходному положению на диске (в момент времени $t=0$) на минимальное расстояние? Направление начальной скорости шарика может быть выбрано произвольным образом. Часть B. Шарик на свободно вращающемся диске (4.0 балла) В этой части задачи диск может вращаться вокруг оси $z$ без трения. Следовательно, на вращение диска влияет только трение о шарик. B1 0.20 Выразите скорость $\\vec v$ шарика через $\\vec{v}_0$, $\\Omega$, $\\vec R$, $\\Omega_0$, $\\vec R_0$, $r$, $m$ и $I$. Выразите ускорение $\\dot{\\vec v}$ шарика через $\\Omega$, $\\vec R$, $\\dot\\Omega$, $\\vec{v}$, $r$, $m$ и $I$. B2 0.60 Выразите модуль углового ускорения диска $\\dot\\Omega$ через $\\Omega$, $\\Omega_0$, $\\vec R$, $\\vec R_0$, $\\vec v_0$, $r$, $m$, $I$ и $I_d$. В ответе могут присутствовать величины $\\alpha$ и $\\delta$, определённые в начале задачи. B3 0.60 Выразите модуль угловой скорости диска $\\Omega$ как функцию $R$, а также $\\Omega_0$, $R_0$, $r$, $m$, $I$ и $I_d$. B4 0.10 Из результатов пункта B3 получите выражение для максимально возможной $\\Omega$ при заданных $\\Omega_0$ и $R_0$. B5 2.50 Запишите выражение для вертикальной компоненты момента импульса $\\hat zM_z$ всей системы. Некоторые слагаемые в этом выражении — постоянные величины. Вычтя их из $\\hat zM_z$, обозначьте оставшееся выражение как $\\hat zL$. Скорость шарика $\\vec v$, полученную в пункте B1, можно записать как сумму постоянного вектора и слагаемого, зависящего от $\\vec R$. Обозначьте этот постоянный вектор как $\\vec c$. Выберем направление оси $x$ вдоль вектора $\\vec{c}$, а направление оси $y$ — вдоль вектора $\\hat z\\times\\vec c$. В этой системе отсчёта выразите $\\Omega$ через $L$, $\\vec R$, $\\vec c$, $\\hat z$, $R^2$, $r$, $m$, $I$ и $I_d$. Добавив к этому результат пункта B3, запишите уравнение, связывающее величины $R^2$ и $y$ с помощью $L$, $r$, $m$, $I$, $c$ и $I_d$. Здесь $c$ — модуль $\\vec c$. Подставив $R^2=x^2+y^2$, запишите выражение, содержащее $x$ и $y$, которое описывает некоторую кривую. Отсюда найдите и перечислите все возможные типы траекторий шарика. При анализе видов траекторий вы можете использовать любые введённые величины. Часть C. Шарик на вращающемся диске в магнитном поле (4.5 балла) В этой части задачи рассмотрим шарик, у которого $I=mr^2/10$. Этого можно добиться, если заполнить шарик однородным веществом до половины его радиуса, а оставшуюся часть — пренебрежимо легким веществом. Более того, будем считать, что поверхность шарика заряжена однородно с плотностью заряда $Q/(4\\pi r^2)$, где $Q$ — суммарный заряд шарика. Вся система находится в однородном магнитном поле $\\vec B$, направленном по оси $\\hat z$. Диск вращается с постоянной угловой скоростью $\\Omega$ так же, как в части A. Рис. 2. Шарик, катящийся по вращающемуся диску в постоянном магнитном поле $\\vec B$ C1 0.50 Запишите второй закон Ньютона и закон изменения момента импульса относительно центра шарика. Выразите момент сил $\\vec\\tau_s$, действующий на шарик из-за его вращения, через $Q$, $r$, $\\vec\\omega$ и $\\vec B$. C2 0.50 Уравнение для линейного ускорения представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка на $\\vec R$ вида: \\[\\frac{\\mathrm{d}^2\\vec R}{\\mathrm{d}t^2}-\\gamma \\frac{\\mathrm{d}\\vec R}{\\mathrm{d}t}\\times \\hat z+\\beta \\vec R = 0.\\] Выразите постоянные $\\gamma$ и $\\beta$ через $Q$, $r$, $B$, $I$, $m$, $\\Omega$. C3 1.00 Перейдите от компонент $\\vec R$ к полярным координатам: \\[\\begin{cases} x(t)=\\rho(t)\\cos(\\eta(t)),\\\\y(t)=\\rho(t)\\sin(\\eta(t)),\\end{cases}\\] и получите систему уравнений на $\\rho(t)$ и $\\eta(t)$, эквивалентную уравнению выше. Далее считайте, что полярный угол $\\eta(t)$ представляет собой некоторую линейную функцию времени. Найдите вид этой функции, считая, что $\\eta(0)=\\eta_0$. Выразите коэффициент $\\beta'$ при $\\rho(t)$ в полученном вами уравнении на $\\rho(t)$ через $\\gamma$ и $\\beta$. Запишите условия, при которых реализуются различные характерные зависимости $\\rho(t)$: гармоническая, экспоненциальная и т.д. C4 0.90 Рассмотрим следующие начальные условия для решения, найденного в С3: $x(0)=1~м$, $y=0~м$, $v_x(0)=\\dot x|_{t=0}=1~м/с$, $v_y(0)=\\dot y|_{t=0}=-1~м/с$. Для $\\beta'=0$ найдите $\\beta$ и $\\gamma$, соответствующие этим начальным условиям, а также зависимости $x(t)$ и $y(t)$. Найдите отсюда соответствующую $\\Omega$. Схематично изобразите траекторию шарика. Как заряжена поверхность шарика: положительно или отрицательно? Запишите в листах ответов «$-$» в случае отрицательного и «$+$» в случае положительного заряда. C5 1.60 Рассмотрим решение, полученное в пункте C4. Если решение получено правильно, вектор $\\vec R$ должен вращаться. Получите выражения для изменения энергии системы за время $t$ и за один оборот после $N\\gg1$ оборотов. Членами малыми по сравнению с $N$ можно пренебречь. В этом пункте можно считать, что масса шарика $m=1~кг$, а его радиус $r=1~м$, поэтому $I=1/10~кг\\cdot м^2$.\n","figures":["/corpus/figures/aeea944e274ad6da6e73.webp","/corpus/figures/75a821180127a2b52888.webp"],"shared":false},"solution":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.10"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tЗаписав кинематическую связь, выразите скорость шарика $\\vec v$ через $\\Omega$, $\\vec\\omega$, $r$ и $\\vec R$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Во всей задаче будем использовать следующие векторы:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\\vec{r}=-r\\hat{z}\\qquad \\Omega=\\Omega\\hat{z}{.}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Условие отсутствия проскальзывания состоит в равенстве скоростей в точке касания шара и диска. Таким образом:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\\vec{v}+\\bigl[\\vec{\\omega}\\times\\vec{r}\\bigr]=\\bigl[\\vec{\\Omega}\\times\\vec{R}\\bigr]{.}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Подставляя $\\vec{r}$ и $\\vec{\\Omega}$, находим:\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$\\vec{v}=\\bigl[\\vec{\\omega}r+\\Omega\\vec{R}\\times\\hat{z}\\bigr]{.}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tЗаписав второй закон Ньютона и закон изменения момента импульса относительно центра шарика, выразите ускорение шарика $\\vec a\\equiv\\dot{\\vec v}$ через $\\Omega$, $\\vec v$, $r$, $m$ и $I$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Продифференцируем уравнение кинетической связи:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\\dot{\\vec{v}}+\\bigl[\\dot{\\vec{\\omega}}\\times\\vec{r}\\bigr]+\\bigl[\\vec{\\omega}\\times\\dot{\\vec{r}}\\bigr]=\\bigl[\\dot{\\vec{\\Omega}}\\times\\vec{R}\\bigr]+\\bigl[\\vec{\\Omega}\\times\\dot{\\vec{R}}\\bigr]{.}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Для производных $\\vec{v}$, $\\vec{r}$, $\\vec{\\Omega}$ и $\\vec{R}$ имеем:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\\dot{\\vec{v}}=\\vec{a}\\qquad \\dot{\\vec{r}}=0\\qquad \\dot{\\vec{\\Omega}}=0\\qquad \\dot{\\vec{R}}=\\vec{v}{.}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Таким образом:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\\vec{a}+\\bigl[\\dot{\\vec{\\omega}}\\times\\vec{r}\\bigr]=\\bigl[\\vec{\\Omega}\\times\\vec{v}\\bigr]{.}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Пусть $\\vec{F}$ – сила трения, действующая на шар. Запишем теорему о движении центра масс для шара:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\\vec{F}=m\\vec{a}{.}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Из основного уравнения динамики вращательного движения относительно центра масс шара имеем:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$I\\dot{\\vec{\\omega}}=\\bigl[\\vec{r}\\times\\vec{F}\\bigr]\\Rightarrow I\\bigl[\\vec{r}\\times\\dot{\\vec{\\omega}}\\bigr]=\\bigl[\\vec{r}\\times\\bigl[\\vec{r}\\times\\vec{F}\\bigr]\\bigr]=\\vec{r}\\bigl(\\vec{r}\\cdot\\vec{F}\\bigr)-\\vec{F}\\bigl(\\vec{r}\\cdot\\vec{r}\\bigr){.}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Поскольку $\\vec{F}\\perp\\vec{r}$:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\\vec{F}=\\cfrac{I\\bigl[\\dot{\\vec{\\omega}}\\times\\vec{r}\\bigr]}{r^2}{.}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Приравнивая выражения для $\\vec{F}$, находим:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\\bigl[\\dot{\\vec{\\omega}}\\times\\vec{r}\\bigr]=\\cfrac{mr^2\\vec{a}}{I}\\Rightarrow \\vec{a}\\left(1+\\cfrac{mr^2}{I}\\right)=\\bigl[\\vec{\\Omega}\\times\\vec{v}\\bigr]{.}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Таким образом:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\\vec{a}=\\alpha\\bigl[\\vec{\\Omega}\\times\\vec{v}\\bigr]{,}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$или же:\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$\\vec{a}=\\cfrac{I\\bigl[\\Omega\\hat{z}\\times\\vec{v}\\bigr]}{mr^2+I}{.}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tВыразите скорость $\\vec v$ через $\\Omega$, $\\vec R$, $\\vec v_0$, $\\vec R_0$, $r$, $m$ и $I$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Проинтегрируем выражение для ускорения по времени:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\\int\\limits_{0}^t\\vec{a}dt=\\int\\limits_{0}^t\\alpha\\bigl[\\vec{\\Omega}\\times\\vec{v}\\bigr]dt\\Rightarrow \\vec{v}-\\vec{v}_0=\\alpha\\bigl[\\vec{\\Omega}\\times\\vec{R}-\\vec{R}_0\\bigr]{.}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Таким образом:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\\vec{v}=\\vec{v}_0-\\alpha\\bigl[\\vec{\\Omega}\\times\\vec{R}_0\\bigr]+\\alpha\\bigl[\\vec{\\Omega}\\times\\vec{R}\\bigr]{,}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$или же:\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$\\vec{v}=\\vec{v}_0-\\cfrac{I\\bigl[\\Omega\\hat{z}\\times\\vec{R}_0\\bigr]}{mr^2+I}+\\cfrac{I\\bigl[\\Omega\\hat{z}\\times\\vec{R}\\bigr]}{mr^2+I}{.}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A4\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tЗапишите явное выражение для траектории шарика с начальными условиями $\\vec v_0$ и $\\vec R_0$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Поскольку $\\vec{a}\\perp\\vec{v}$ – модуль вектора скорости является постоянным, как и модуль вектор ускорения. Это означает, что траекторией центра шара будет являться окружность."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Пусть $\\vec{R}_c$ – радиус–вектор центра окружности, а $R_t$ – её радиус."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Выражение для радиуса получается легко:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$|\\vec{a}|=\\cfrac{v^2_0}{R_t}=\\alpha\\Omega v_0\\Rightarrow R_t=\\cfrac{v_0}{\\alpha\\Omega}{.}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Определим положение центра окружности. Пусть $\\vec{\\omega}_v=\\alpha\\vec{\\Omega}$ – угловая скорость движения центра шара по окружности. Тогда для скорости $\\vec{v}$ можно записать:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\\vec{v}=\\bigl[\\vec{\\omega}_v\\times\\vec{R}-\\vec{R}_c\\bigr]=\\alpha\\bigl[\\vec{\\Omega}\\times\\vec{R}-\\vec{R}_c\\bigr]=\\vec{v}_0-\\alpha\\bigl[\\vec{\\Omega}\\times\\vec{R}_0\\bigr]+\\alpha\\bigl[\\vec{\\Omega}\\times\\vec{R}\\bigr]{,}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$откуда:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$-\\alpha\\bigl[\\vec{\\Omega}\\times\\vec{R}_c\\bigr]=\\vec{v}_0-\\alpha\\bigl[\\vec{\\Omega}\\times\\vec{R}_0\\bigr]\\Rightarrow -\\alpha\\bigl[\\vec{\\Omega}\\times\\bigl[\\vec{\\Omega}\\times\\vec{R}_c\\bigr]\\bigr]=\\bigl[\\vec{\\Omega}\\times\\vec{v}_0\\bigr]-\\alpha\\bigl[\\vec{\\Omega}\\times\\bigl[\\vec{\\Omega}\\times\\vec{R}_0\\bigr]\\bigr]{.}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Поскольку $\\vec{\\Omega}\\perp\\vec{R}_0{,}\\vec{R}_c$:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\\vec{R}_c=\\vec{R}_0+\\cfrac{\\bigl[\\vec{\\Omega}\\times\\vec{v}_0\\bigr]}{\\alpha\\Omega^2}{.}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Окончательно:\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$R_t=\\left(1+\\cfrac{mr^2}{I}\\right)\\cfrac{v_0}{\\Omega}{.}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$$$\\vec{R}_c=\\vec{R}_0+\\left(1+\\cfrac{mr^2}{I}\\right)\\cfrac{\\bigl[\\hat{z}\\times\\vec{v}_0\\bigr]}{\\Omega}{.}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A5\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tПусть теперь шарик однороден, т.е. $I=2mr^2/5$. Траектория, найденная в предыдущем пункте, представляет собой круг радиусом $R_t$. Пусть начальные условия подобраны так, что этот радиус равен $R_0$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Каково минимально возможное время, необходимое шарику для того, чтобы его центр приблизился к своему исходному положению на диске (в момент времени $t=0$) на минимальное расстояние? Направление начальной скорости шарика может быть выбрано произвольным образом."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Поскольку $I=2mr^2/5$, $\\alpha=2/7$. Тогда двум полным оборотам шара всегда соответствует 7 полных оборотов стола, откуда для времени $t$ находим:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$t=\\cfrac{14\\pi}{\\Omega}{.}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Этот случай реализуется всегда, однако при определённом наборе направлений $\\vec{v}_0$ реализуются и другие случаи. Получим их."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Пусть $\\varphi$ – угловое перемещение центра шара к моменту встречи с пятном контакта. Тогда, поскольку $R_t=R_0$, угловое перемещение стола к этому моменту составит $\\varphi_\\text{ст}=2\\pi-\\varphi+2\\pi k$, где $k\\in{N}$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Записывая выражение для времени двумя способами, получим"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$t=\\cfrac{\\varphi}{\\alpha\\Omega}=\\cfrac{2\\pi(k+1)-\\varphi}{\\Omega}\\Rightarrow \\varphi=\\cfrac{2\\pi\\alpha (k+1)}{\\alpha+1}{.}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Отсюда:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$t=\\cfrac{2\\pi(k+1)}{\\Omega(\\alpha+1)}=\\cfrac{14\\pi(k+1)}{9\\Omega}{.}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Обратим внимание, что ответ, полученный ранее для общего случая, содержится внутри полученного нами сейчас, поэтому:\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$t=\\cfrac{14\\pi(k+1)}{9\\Omega}{.}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tВыразите скорость $\\vec v$ шарика через $\\vec{v}_0$, $\\Omega$, $\\vec R$, $\\Omega_0$, $\\vec R_0$, $r$, $m$ и $I$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Выразите ускорение $\\dot{\\vec v}$ шарика через $\\Omega$, $\\vec R$, $\\dot\\Omega$, $\\vec{v}$, $r$, $m$ и $I$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Воспользуемся решением пункта $\\mathrm{A1}$. Единственное отличие состоит в том, что теперь $\\dot{\\Omega}\\neq 0$:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\\vec{a}+\\bigl[\\dot{\\vec{\\omega}}\\times\\vec{r}\\bigr]=\\cfrac{\\operatorname{d}\\bigl[\\vec{\\Omega}\\times\\vec{R}\\bigr]}{\\operatorname{d}t}=\\bigl[\\vec{\\Omega}\\times\\vec{v}\\bigr]+\\bigl[\\dot{\\vec{\\Omega}}\\times\\vec{R}\\bigr]{.}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Обратим внимание, что теорема о движении центра масс и основное уравнение динамики вращательного движения остаются справедливыми, поэтому:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\\vec{a}+\\bigl[\\dot{\\vec{\\omega}}\\times\\vec{r}\\bigr]=\\cfrac{\\vec{a}}{\\alpha}{.}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Таким образом:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\\vec{a}=\\alpha\\left(\\bigl[\\vec{\\Omega}\\times\\vec{v}\\bigr]+\\bigl[\\dot{\\vec{\\Omega}}\\times\\vec{R}\\bigr]\\right){.}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Интегрируя полученное выражение по времени:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\\vec{v}-\\vec{v}_0=\\alpha\\left(\\bigl[\\vec{\\Omega}\\times\\vec{R}\\bigr]-\\bigl[\\vec{\\Omega}_0\\times\\vec{R}_0\\bigr]\\right){.}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Окончательно:\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$\\dot{\\vec{v}}=\\cfrac{I\\bigl[\\hat{z}\\times \\Omega\\vec{v}+\\dot{\\Omega}\\vec{R}\\bigr]}{mr^2+I}{.}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$$$\\vec{v}=\\cfrac{I\\bigl[\\hat{z}\\times\\Omega\\vec{R}-\\Omega_0\\vec{R}_0\\bigr]}{mr^2+I}+\\vec{v}_0{.}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tВыразите модуль углового ускорения диска $\\dot\\Omega$ через $\\Omega$, $\\Omega_0$, $\\vec R$, $\\vec R_0$, $\\vec v_0$, $r$, $m$, $I$ и $I_d$. В ответе могут присутствовать величины $\\alpha$ и $\\delta$, определённые в начале задачи."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Запишем основное уравнение динамики вращательного движения для диска относительно его центра:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$I_d\\dot{\\vec{\\Omega}}=\\bigl[\\vec{R}\\times -\\vec{F}\\bigr]=m\\bigl[\\vec{a}\\times\\vec{R}\\bigr]{.}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Подставляя выражение для $\\vec{a}$, получим:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$I_d\\dot{\\vec{\\Omega}}=\\alpha m\\left(\\bigl[\\bigl[\\vec{\\Omega}\\times\\vec{v}\\bigr]\\times\\vec{R}\\bigr]+\\bigl[\\bigl[\\dot{\\vec{\\Omega}}\\times\\vec{R}\\bigr]\\times\\vec{R}\\bigr]\\right)=-\\alpha m\\left(\\vec{\\Omega}\\bigl(\\vec{v}\\cdot\\vec{R}\\bigr)+\\dot{\\vec{\\Omega}}R^2\\right){.}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Здесь мы учли, что $\\vec{e}_z\\perp\\vec{R}$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Таким образом:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\\left(I_d+\\alpha mR^2\\right)\\dot{\\vec{\\Omega}}=-\\alpha m\\vec{\\Omega}\\bigl(\\vec{v}\\cdot\\vec{R}\\bigr)\\Rightarrow \\dot{\\vec{\\Omega}}=-\\cfrac{\\alpha\\vec{\\Omega}\\bigl(\\vec{v}\\cdot\\vec{R}\\bigr)/r^2}{\\delta+\\alpha R^2/r^2}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Воспользовавшись выражением для $\\vec{v}$, получим:\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$\\dot{\\Omega}=-\\cfrac{\\alpha\\Omega\\bigl(\\bigl(\\vec{v}_0-\\alpha\\bigl[\\hat{z}\\times\\Omega_0\\vec{R}_0\\bigr]\\bigr)\\cdot\\vec{R}\\bigr)/r^2}{\\delta+\\alpha R^2/r^2}{.}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tВыразите модуль угловой скорости диска $\\Omega$ как функцию $R$, а также $\\Omega_0$, $R_0$, $r$, $m$, $I$ и $I_d$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n В пункте $\\mathrm{B2}$ было получено уравнение с разделяющимися переменными:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\\cfrac{d\\Omega}{\\Omega}=-\\cfrac{1}{2}\\cfrac{d(\\alpha R^2/r^2)}{\\delta+\\alpha R^2/r^2}{.}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Интегрируя, получим:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\\ln\\cfrac{\\Omega}{\\Omega_0}=-\\cfrac{1}{2}\\ln\\cfrac{\\delta+\\alpha R^2/r^2}{\\delta+\\alpha R^2_0/r^2}\\Rightarrow \\Omega=\\Omega_0\\sqrt{\\cfrac{\\delta+\\alpha R^2_0/r^2}{\\delta+\\alpha R^2/r^2}}{.}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Подставляя $\\delta$ и $\\alpha$, получим:\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$\\Omega=\\Omega_0\\sqrt{\\cfrac{\\cfrac{I_d}{mr^2}+\\cfrac{I}{mr^2+I}\\cfrac{R^2_0}{r^2}}{\\cfrac{I_d}{mr^2}+\\cfrac{I}{mr^2+I}\\cfrac{R^2}{r^2}}}{.}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B4\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.10"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tИз результатов пункта "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"B3 "}]},{"type":"text","text":"получите выражение для максимально возможной $\\Omega$ при заданных $\\Omega_0$ и $R_0$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Максимально возможному значению $\\Omega$ соответствует $R=0$:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\\Omega_{max}=\\Omega_0\\sqrt{1+\\cfrac{\\alpha}{\\delta}\\cfrac{R^2_0}{r^2}}{.}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Таким образом:\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$\\Omega_{max}=\\Omega_0\\sqrt{1+\\cfrac{I}{mr^2+I}\\cfrac{mr^2}{I_d}\\cfrac{R^2_0}{r^2}}{.}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B5\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 2.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tЗапишите выражение для вертикальной компоненты момента импульса $\\hat zM_z$ всей системы. Некоторые слагаемые в этом выражении — постоянные величины. Вычтя их из $\\hat zM_z$, обозначьте оставшееся выражение как $\\hat zL$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Скорость шарика $\\vec v$, полученную в пункте "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"B1,"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"text","text":"можно записать как сумму постоянного вектора и слагаемого, зависящего от $\\vec R$. Обозначьте этот постоянный вектор как $\\vec c$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Выберем направление оси $x$ вдоль вектора $\\vec{c}$, а направление оси $y$ — вдоль вектора $\\hat z\\times\\vec c$. В этой системе отсчёта выразите $\\Omega$ через $L$, $\\vec R$, $\\vec c$, $\\hat z$, $R^2$, $r$, $m$, $I$ и $I_d$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Добавив к этому результат пункта "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"B3,"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"text","text":"запишите уравнение, связывающее величины $R^2$ и $y$ с помощью $L$, $r$, $m$, $I$, $c$ и $I_d$. Здесь $c$ — модуль $\\vec c$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Подставив $R^2=x^2+y^2$, запишите выражение, содержащее $x$ и $y$, которое описывает некоторую кривую."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Отсюда найдите и перечислите все возможные типы траекторий шарика. При анализе видов траекторий вы можете использовать любые введённые величины."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Для вертикальной компоненты момента импульса имеем:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\\hat{z}M_z=I_d\\vec{\\Omega}+\\hat{z}m\\bigl[\\vec{R}\\times\\vec{v}\\bigr]_z+I\\omega_z{.}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Из основного уравнения динамики вращательного движения относительно центра масс шара следует, что $\\omega_z=const$, поэтому:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\\hat{z}L=I_d\\vec{\\Omega}+\\hat{z}m\\bigl[\\vec{R}\\times\\vec{v}\\bigr]_z{.}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Для скорости $\\vec{v}$ в соответствии с обозначением для $\\vec{c}$ имеем:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\\vec{v}=\\vec{c}+\\alpha\\bigl[\\vec{\\Omega}\\times\\vec{R}\\bigr]{,}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$откуда с учётом того, что $\\vec{R}\\perp\\vec{\\Omega}$:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\\hat{z}L=\\left(I_d+\\alpha mR^2\\right)\\vec{\\Omega}+m\\bigl[\\vec{R}\\times\\vec{c}\\bigr]{.}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Умножая скалярно на $\\hat{z}$, получим:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$L=(I_d+\\alpha mR^2)\\Omega+m\\hat{z}\\cdot\\bigl[\\vec{R}\\times\\vec{c}\\bigr]{,}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$откуда:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\\Omega=\\cfrac{L-m\\hat{z}\\bigl[\\vec{R}\\times\\vec{c}\\bigr]}{I_d+\\alpha mR^2}{.}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Поскольку система координат $xyz$ образует правую тройку, имеем:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\\Omega=\\cfrac{L+mcy}{I_d+\\alpha mR^2}=\\cfrac{L/(mr^2)+cy/r^2}{\\delta+\\alpha R^2/r^2}=\\Omega_0\\sqrt{\\cfrac{\\delta+\\alpha R^2_0/r^2}{\\delta+\\alpha R^2/r^2}}{.}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Введём обозначения:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$k=\\Omega^2_0(\\delta r^2+\\alpha R^2_0)\\qquad \\lambda=L/m{.}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Возведём последнее выражение в квадрат:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\\lambda^2+2\\lambda cy+c^2y^2=k^2(\\delta r^2+\\alpha R^2)=k(\\delta r^2+\\alpha x^2+\\alpha y^2){,}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$откуда:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\\lambda^2-k\\delta r^2=k\\alpha^2x^2+(k\\alpha-c^2)y^2-2\\lambda cy"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tЗапишите второй закон Ньютона и закон изменения момента импульса относительно центра шарика. Выразите момент сил $\\vec\\tau_s$, действующий на шарик из-за его вращения, через $Q$, $r$, $\\vec\\omega$ и $\\vec B$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Для момента силы Лоренца относительно центра масс шара имеем:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\\vec{\\tau}_s=\\bigl[\\vec{m}\\times\\vec{B}\\bigr]{,}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$где $\\vec{m}$ – магнитный момент шара."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Магнитный момент системы зарядов определяется с помощью соотношения:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\\vec{m}=\\sum_i\\bigl[\\vec{r}_i\\times\\vec{v}_i\\bigr]q_i{.}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$В системе, в которой $q_i\\sim m_i$, где $m_i$ – масса $i-\\text{й}$ частицы, выполняется гиромагнитное соотношение:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\\vec{m}=\\cfrac{\\vec{L}q}{2m}{,}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$поэтому для равномерно заряженной сферы:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\\vec{m}=\\cfrac{I\\vec{\\omega}Q}{2m}=\\cfrac{Qr^2\\vec{\\omega}}{3}{.}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Таким образом:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\\vec{\\tau}_s=\\cfrac{Qr^2\\bigl[\\vec{\\omega}\\times\\vec{B}\\bigr]}{3}{.}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$Тогда теорема о движении центра масс и основное уравнение динамики вращательного движения относительно центра масс шара запишутся следующим образом:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\\begin{cases}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"m\\vec{a}=\\vec{F}+q\\bigl[\\vec{v}\\times\\vec{B}\\bigr]\\\\"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"I\\dot{\\vec{\\omega}}=\\bigl[\\vec{r}\\times\\vec{F}\\bigr]+\\cfrac{Qr^2\\bigl[\\vec{\\omega}\\times\\vec{B}\\bigr]}{3}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\end{cases}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tУравнение для линейного ускорения представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка на $\\vec R$ вида: \\[\\frac{\\mathrm{d}^2\\vec R}{\\mathrm{d}t^2}-\\gamma \\frac{\\mathrm{d}\\vec R}{\\mathrm{d}t}\\times \\hat z+\\beta \\vec R = 0.\\] Выразите постоянные $\\gamma$ и $\\beta$ через $Q$, $r$, $B$, $I$, $m$, $\\Omega$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tПерейдите от компонент $\\vec R$ к полярным координатам: \\[\\begin{cases} x(t)=\\rho(t)\\cos(\\eta(t)),\\\\y(t)=\\rho(t)\\sin(\\eta(t)),\\end{cases}\\] и получите систему уравнений на $\\rho(t)$ и $\\eta(t)$, эквивалентную уравнению выше."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Далее считайте, что полярный угол $\\eta(t)$ представляет собой некоторую линейную функцию времени. Найдите вид этой функции, считая, что $\\eta(0)=\\eta_0$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Выразите коэффициент $\\beta'$ при $\\rho(t)$ в полученном вами уравнении на $\\rho(t)$ через $\\gamma$ и $\\beta$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Запишите условия, при которых реализуются различные характерные зависимости $\\rho(t)$: гармоническая, экспоненциальная и т.д."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C4\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.90"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tРассмотрим следующие начальные условия для решения, найденного в "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"С3:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"ul","children":[{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"$x(0)=1~м$,"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"$y=0~м$,"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"$v_x(0)=\\dot x|_{t=0}=1~м/с$,"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"$v_y(0)=\\dot y|_{t=0}=-1~м/с$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Для $\\beta'=0$ найдите $\\beta$ и $\\gamma$, соответствующие этим начальным условиям, а также зависимости $x(t)$ и $y(t)$. Найдите отсюда соответствующую $\\Omega$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Схематично изобразите траекторию шарика."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Как заряжена поверхность шарика: положительно или отрицательно? Запишите в листах ответов «$-$» в случае отрицательного и «$+$» в случае положительного заряда."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C5\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tРассмотрим решение, полученное в пункте "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"C4."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"text","text":"Если решение получено правильно, вектор $\\vec R$ должен вращаться."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Получите выражения для изменения энергии системы за время $t$ и за один оборот после $N\\gg1$ оборотов. Членами малыми по сравнению с $N$ можно пренебречь. В этом пункте можно считать, что масса шарика $m=1~кг$, а его радиус $r=1~м$, поэтому $I=1/10~кг\\cdot м^2$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]}]}],"text":"A1 0.10 Записав кинематическую связь, выразите скорость шарика $\\vec v$ через $\\Omega$, $\\vec\\omega$, $r$ и $\\vec R$. Во всей задаче будем использовать следующие векторы: $$\\vec{r}=-r\\hat{z}\\qquad \\Omega=\\Omega\\hat{z}{.} $$Условие отсутствия проскальзывания состоит в равенстве скоростей в точке касания шара и диска. Таким образом: $$\\vec{v}+\\bigl[\\vec{\\omega}\\times\\vec{r}\\bigr]=\\bigl[\\vec{\\Omega}\\times\\vec{R}\\bigr]{.} $$Подставляя $\\vec{r}$ и $\\vec{\\Omega}$, находим: Ответ: \n                    \n $$\\vec{v}=\\bigl[\\vec{\\omega}r+\\Omega\\vec{R}\\times\\hat{z}\\bigr]{.} $$\nA2 0.20 Записав второй закон Ньютона и закон изменения момента импульса относительно центра шарика, выразите ускорение шарика $\\vec a\\equiv\\dot{\\vec v}$ через $\\Omega$, $\\vec v$, $r$, $m$ и $I$. Продифференцируем уравнение кинетической связи: $$\\dot{\\vec{v}}+\\bigl[\\dot{\\vec{\\omega}}\\times\\vec{r}\\bigr]+\\bigl[\\vec{\\omega}\\times\\dot{\\vec{r}}\\bigr]=\\bigl[\\dot{\\vec{\\Omega}}\\times\\vec{R}\\bigr]+\\bigl[\\vec{\\Omega}\\times\\dot{\\vec{R}}\\bigr]{.} $$Для производных $\\vec{v}$, $\\vec{r}$, $\\vec{\\Omega}$ и $\\vec{R}$ имеем: $$\\dot{\\vec{v}}=\\vec{a}\\qquad \\dot{\\vec{r}}=0\\qquad \\dot{\\vec{\\Omega}}=0\\qquad \\dot{\\vec{R}}=\\vec{v}{.} $$Таким образом: $$\\vec{a}+\\bigl[\\dot{\\vec{\\omega}}\\times\\vec{r}\\bigr]=\\bigl[\\vec{\\Omega}\\times\\vec{v}\\bigr]{.} $$Пусть $\\vec{F}$ – сила трения, действующая на шар. Запишем теорему о движении центра масс для шара: $$\\vec{F}=m\\vec{a}{.} $$Из основного уравнения динамики вращательного движения относительно центра масс шара имеем: $$I\\dot{\\vec{\\omega}}=\\bigl[\\vec{r}\\times\\vec{F}\\bigr]\\Rightarrow I\\bigl[\\vec{r}\\times\\dot{\\vec{\\omega}}\\bigr]=\\bigl[\\vec{r}\\times\\bigl[\\vec{r}\\times\\vec{F}\\bigr]\\bigr]=\\vec{r}\\bigl(\\vec{r}\\cdot\\vec{F}\\bigr)-\\vec{F}\\bigl(\\vec{r}\\cdot\\vec{r}\\bigr){.} $$Поскольку $\\vec{F}\\perp\\vec{r}$: $$\\vec{F}=\\cfrac{I\\bigl[\\dot{\\vec{\\omega}}\\times\\vec{r}\\bigr]}{r^2}{.} $$Приравнивая выражения для $\\vec{F}$, находим: $$\\bigl[\\dot{\\vec{\\omega}}\\times\\vec{r}\\bigr]=\\cfrac{mr^2\\vec{a}}{I}\\Rightarrow \\vec{a}\\left(1+\\cfrac{mr^2}{I}\\right)=\\bigl[\\vec{\\Omega}\\times\\vec{v}\\bigr]{.} $$Таким образом: $$\\vec{a}=\\alpha\\bigl[\\vec{\\Omega}\\times\\vec{v}\\bigr]{,} $$или же: Ответ: \n                    \n $$\\vec{a}=\\cfrac{I\\bigl[\\Omega\\hat{z}\\times\\vec{v}\\bigr]}{mr^2+I}{.} $$\nA3 0.20 Выразите скорость $\\vec v$ через $\\Omega$, $\\vec R$, $\\vec v_0$, $\\vec R_0$, $r$, $m$ и $I$. Проинтегрируем выражение для ускорения по времени: $$\\int\\limits_{0}^t\\vec{a}dt=\\int\\limits_{0}^t\\alpha\\bigl[\\vec{\\Omega}\\times\\vec{v}\\bigr]dt\\Rightarrow \\vec{v}-\\vec{v}_0=\\alpha\\bigl[\\vec{\\Omega}\\times\\vec{R}-\\vec{R}_0\\bigr]{.} $$Таким образом: $$\\vec{v}=\\vec{v}_0-\\alpha\\bigl[\\vec{\\Omega}\\times\\vec{R}_0\\bigr]+\\alpha\\bigl[\\vec{\\Omega}\\times\\vec{R}\\bigr]{,} $$или же: Ответ: \n                    \n $$\\vec{v}=\\vec{v}_0-\\cfrac{I\\bigl[\\Omega\\hat{z}\\times\\vec{R}_0\\bigr]}{mr^2+I}+\\cfrac{I\\bigl[\\Omega\\hat{z}\\times\\vec{R}\\bigr]}{mr^2+I}{.} $$\nA4 0.50 Запишите явное выражение для траектории шарика с начальными условиями $\\vec v_0$ и $\\vec R_0$. Поскольку $\\vec{a}\\perp\\vec{v}$ – модуль вектора скорости является постоянным, как и модуль вектор ускорения. Это означает, что траекторией центра шара будет являться окружность. Пусть $\\vec{R}_c$ – радиус–вектор центра окружности, а $R_t$ – её радиус. Выражение для радиуса получается легко: $$|\\vec{a}|=\\cfrac{v^2_0}{R_t}=\\alpha\\Omega v_0\\Rightarrow R_t=\\cfrac{v_0}{\\alpha\\Omega}{.} $$Определим положение центра окружности. Пусть $\\vec{\\omega}_v=\\alpha\\vec{\\Omega}$ – угловая скорость движения центра шара по окружности. Тогда для скорости $\\vec{v}$ можно записать: $$\\vec{v}=\\bigl[\\vec{\\omega}_v\\times\\vec{R}-\\vec{R}_c\\bigr]=\\alpha\\bigl[\\vec{\\Omega}\\times\\vec{R}-\\vec{R}_c\\bigr]=\\vec{v}_0-\\alpha\\bigl[\\vec{\\Omega}\\times\\vec{R}_0\\bigr]+\\alpha\\bigl[\\vec{\\Omega}\\times\\vec{R}\\bigr]{,} $$откуда: $$-\\alpha\\bigl[\\vec{\\Omega}\\times\\vec{R}_c\\bigr]=\\vec{v}_0-\\alpha\\bigl[\\vec{\\Omega}\\times\\vec{R}_0\\bigr]\\Rightarrow -\\alpha\\bigl[\\vec{\\Omega}\\times\\bigl[\\vec{\\Omega}\\times\\vec{R}_c\\bigr]\\bigr]=\\bigl[\\vec{\\Omega}\\times\\vec{v}_0\\bigr]-\\alpha\\bigl[\\vec{\\Omega}\\times\\bigl[\\vec{\\Omega}\\times\\vec{R}_0\\bigr]\\bigr]{.} $$Поскольку $\\vec{\\Omega}\\perp\\vec{R}_0{,}\\vec{R}_c$: $$\\vec{R}_c=\\vec{R}_0+\\cfrac{\\bigl[\\vec{\\Omega}\\times\\vec{v}_0\\bigr]}{\\alpha\\Omega^2}{.} $$Окончательно: Ответ: \n                    \n $$R_t=\\left(1+\\cfrac{mr^2}{I}\\right)\\cfrac{v_0}{\\Omega}{.} $$$$\\vec{R}_c=\\vec{R}_0+\\left(1+\\cfrac{mr^2}{I}\\right)\\cfrac{\\bigl[\\hat{z}\\times\\vec{v}_0\\bigr]}{\\Omega}{.} $$\nA5 0.50 Пусть теперь шарик однороден, т.е. $I=2mr^2/5$. Траектория, найденная в предыдущем пункте, представляет собой круг радиусом $R_t$. Пусть начальные условия подобраны так, что этот радиус равен $R_0$. Каково минимально возможное время, необходимое шарику для того, чтобы его центр приблизился к своему исходному положению на диске (в момент времени $t=0$) на минимальное расстояние? Направление начальной скорости шарика может быть выбрано произвольным образом. Поскольку $I=2mr^2/5$, $\\alpha=2/7$. Тогда двум полным оборотам шара всегда соответствует 7 полных оборотов стола, откуда для времени $t$ находим: $$t=\\cfrac{14\\pi}{\\Omega}{.} $$Этот случай реализуется всегда, однако при определённом наборе направлений $\\vec{v}_0$ реализуются и другие случаи. Получим их. Пусть $\\varphi$ – угловое перемещение центра шара к моменту встречи с пятном контакта. Тогда, поскольку $R_t=R_0$, угловое перемещение стола к этому моменту составит $\\varphi_\\text{ст}=2\\pi-\\varphi+2\\pi k$, где $k\\in{N}$. Записывая выражение для времени двумя способами, получим $$t=\\cfrac{\\varphi}{\\alpha\\Omega}=\\cfrac{2\\pi(k+1)-\\varphi}{\\Omega}\\Rightarrow \\varphi=\\cfrac{2\\pi\\alpha (k+1)}{\\alpha+1}{.} $$Отсюда: $$t=\\cfrac{2\\pi(k+1)}{\\Omega(\\alpha+1)}=\\cfrac{14\\pi(k+1)}{9\\Omega}{.} $$Обратим внимание, что ответ, полученный ранее для общего случая, содержится внутри полученного нами сейчас, поэтому: Ответ: \n                    \n $$t=\\cfrac{14\\pi(k+1)}{9\\Omega}{.} $$\nB1 0.20 Выразите скорость $\\vec v$ шарика через $\\vec{v}_0$, $\\Omega$, $\\vec R$, $\\Omega_0$, $\\vec R_0$, $r$, $m$ и $I$. Выразите ускорение $\\dot{\\vec v}$ шарика через $\\Omega$, $\\vec R$, $\\dot\\Omega$, $\\vec{v}$, $r$, $m$ и $I$. Воспользуемся решением пункта $\\mathrm{A1}$. Единственное отличие состоит в том, что теперь $\\dot{\\Omega}\\neq 0$: $$\\vec{a}+\\bigl[\\dot{\\vec{\\omega}}\\times\\vec{r}\\bigr]=\\cfrac{\\operatorname{d}\\bigl[\\vec{\\Omega}\\times\\vec{R}\\bigr]}{\\operatorname{d}t}=\\bigl[\\vec{\\Omega}\\times\\vec{v}\\bigr]+\\bigl[\\dot{\\vec{\\Omega}}\\times\\vec{R}\\bigr]{.} $$Обратим внимание, что теорема о движении центра масс и основное уравнение динамики вращательного движения остаются справедливыми, поэтому: $$\\vec{a}+\\bigl[\\dot{\\vec{\\omega}}\\times\\vec{r}\\bigr]=\\cfrac{\\vec{a}}{\\alpha}{.} $$Таким образом: $$\\vec{a}=\\alpha\\left(\\bigl[\\vec{\\Omega}\\times\\vec{v}\\bigr]+\\bigl[\\dot{\\vec{\\Omega}}\\times\\vec{R}\\bigr]\\right){.} $$Интегрируя полученное выражение по времени: $$\\vec{v}-\\vec{v}_0=\\alpha\\left(\\bigl[\\vec{\\Omega}\\times\\vec{R}\\bigr]-\\bigl[\\vec{\\Omega}_0\\times\\vec{R}_0\\bigr]\\right){.} $$Окончательно: Ответ: \n                    \n $$\\dot{\\vec{v}}=\\cfrac{I\\bigl[\\hat{z}\\times \\Omega\\vec{v}+\\dot{\\Omega}\\vec{R}\\bigr]}{mr^2+I}{.} $$$$\\vec{v}=\\cfrac{I\\bigl[\\hat{z}\\times\\Omega\\vec{R}-\\Omega_0\\vec{R}_0\\bigr]}{mr^2+I}+\\vec{v}_0{.} $$\nB2 0.60 Выразите модуль углового ускорения диска $\\dot\\Omega$ через $\\Omega$, $\\Omega_0$, $\\vec R$, $\\vec R_0$, $\\vec v_0$, $r$, $m$, $I$ и $I_d$. В ответе могут присутствовать величины $\\alpha$ и $\\delta$, определённые в начале задачи. Запишем основное уравнение динамики вращательного движения для диска относительно его центра: $$I_d\\dot{\\vec{\\Omega}}=\\bigl[\\vec{R}\\times -\\vec{F}\\bigr]=m\\bigl[\\vec{a}\\times\\vec{R}\\bigr]{.} $$Подставляя выражение для $\\vec{a}$, получим: $$I_d\\dot{\\vec{\\Omega}}=\\alpha m\\left(\\bigl[\\bigl[\\vec{\\Omega}\\times\\vec{v}\\bigr]\\times\\vec{R}\\bigr]+\\bigl[\\bigl[\\dot{\\vec{\\Omega}}\\times\\vec{R}\\bigr]\\times\\vec{R}\\bigr]\\right)=-\\alpha m\\left(\\vec{\\Omega}\\bigl(\\vec{v}\\cdot\\vec{R}\\bigr)+\\dot{\\vec{\\Omega}}R^2\\right){.} $$Здесь мы учли, что $\\vec{e}_z\\perp\\vec{R}$. Таким образом: $$\\left(I_d+\\alpha mR^2\\right)\\dot{\\vec{\\Omega}}=-\\alpha m\\vec{\\Omega}\\bigl(\\vec{v}\\cdot\\vec{R}\\bigr)\\Rightarrow \\dot{\\vec{\\Omega}}=-\\cfrac{\\alpha\\vec{\\Omega}\\bigl(\\vec{v}\\cdot\\vec{R}\\bigr)/r^2}{\\delta+\\alpha R^2/r^2} $$Воспользовавшись выражением для $\\vec{v}$, получим: Ответ: \n                    \n $$\\dot{\\Omega}=-\\cfrac{\\alpha\\Omega\\bigl(\\bigl(\\vec{v}_0-\\alpha\\bigl[\\hat{z}\\times\\Omega_0\\vec{R}_0\\bigr]\\bigr)\\cdot\\vec{R}\\bigr)/r^2}{\\delta+\\alpha R^2/r^2}{.} $$\nB3 0.60 Выразите модуль угловой скорости диска $\\Omega$ как функцию $R$, а также $\\Omega_0$, $R_0$, $r$, $m$, $I$ и $I_d$. В пункте $\\mathrm{B2}$ было получено уравнение с разделяющимися переменными: $$\\cfrac{d\\Omega}{\\Omega}=-\\cfrac{1}{2}\\cfrac{d(\\alpha R^2/r^2)}{\\delta+\\alpha R^2/r^2}{.} $$Интегрируя, получим: $$\\ln\\cfrac{\\Omega}{\\Omega_0}=-\\cfrac{1}{2}\\ln\\cfrac{\\delta+\\alpha R^2/r^2}{\\delta+\\alpha R^2_0/r^2}\\Rightarrow \\Omega=\\Omega_0\\sqrt{\\cfrac{\\delta+\\alpha R^2_0/r^2}{\\delta+\\alpha R^2/r^2}}{.} $$Подставляя $\\delta$ и $\\alpha$, получим: Ответ: \n                    \n $$\\Omega=\\Omega_0\\sqrt{\\cfrac{\\cfrac{I_d}{mr^2}+\\cfrac{I}{mr^2+I}\\cfrac{R^2_0}{r^2}}{\\cfrac{I_d}{mr^2}+\\cfrac{I}{mr^2+I}\\cfrac{R^2}{r^2}}}{.} $$\nB4 0.10 Из результатов пункта B3 получите выражение для максимально возможной $\\Omega$ при заданных $\\Omega_0$ и $R_0$. Максимально возможному значению $\\Omega$ соответствует $R=0$: $$\\Omega_{max}=\\Omega_0\\sqrt{1+\\cfrac{\\alpha}{\\delta}\\cfrac{R^2_0}{r^2}}{.} $$Таким образом: Ответ: \n                    \n $$\\Omega_{max}=\\Omega_0\\sqrt{1+\\cfrac{I}{mr^2+I}\\cfrac{mr^2}{I_d}\\cfrac{R^2_0}{r^2}}{.} $$\nB5 2.50 Запишите выражение для вертикальной компоненты момента импульса $\\hat zM_z$ всей системы. Некоторые слагаемые в этом выражении — постоянные величины. Вычтя их из $\\hat zM_z$, обозначьте оставшееся выражение как $\\hat zL$. Скорость шарика $\\vec v$, полученную в пункте B1, можно записать как сумму постоянного вектора и слагаемого, зависящего от $\\vec R$. Обозначьте этот постоянный вектор как $\\vec c$. Выберем направление оси $x$ вдоль вектора $\\vec{c}$, а направление оси $y$ — вдоль вектора $\\hat z\\times\\vec c$. В этой системе отсчёта выразите $\\Omega$ через $L$, $\\vec R$, $\\vec c$, $\\hat z$, $R^2$, $r$, $m$, $I$ и $I_d$. Добавив к этому результат пункта B3, запишите уравнение, связывающее величины $R^2$ и $y$ с помощью $L$, $r$, $m$, $I$, $c$ и $I_d$. Здесь $c$ — модуль $\\vec c$. Подставив $R^2=x^2+y^2$, запишите выражение, содержащее $x$ и $y$, которое описывает некоторую кривую. Отсюда найдите и перечислите все возможные типы траекторий шарика. При анализе видов траекторий вы можете использовать любые введённые величины. Для вертикальной компоненты момента импульса имеем: $$\\hat{z}M_z=I_d\\vec{\\Omega}+\\hat{z}m\\bigl[\\vec{R}\\times\\vec{v}\\bigr]_z+I\\omega_z{.} $$Из основного уравнения динамики вращательного движения относительно центра масс шара следует, что $\\omega_z=const$, поэтому: $$\\hat{z}L=I_d\\vec{\\Omega}+\\hat{z}m\\bigl[\\vec{R}\\times\\vec{v}\\bigr]_z{.} $$Для скорости $\\vec{v}$ в соответствии с обозначением для $\\vec{c}$ имеем: $$\\vec{v}=\\vec{c}+\\alpha\\bigl[\\vec{\\Omega}\\times\\vec{R}\\bigr]{,} $$откуда с учётом того, что $\\vec{R}\\perp\\vec{\\Omega}$: $$\\hat{z}L=\\left(I_d+\\alpha mR^2\\right)\\vec{\\Omega}+m\\bigl[\\vec{R}\\times\\vec{c}\\bigr]{.} $$Умножая скалярно на $\\hat{z}$, получим: $$L=(I_d+\\alpha mR^2)\\Omega+m\\hat{z}\\cdot\\bigl[\\vec{R}\\times\\vec{c}\\bigr]{,} $$откуда: $$\\Omega=\\cfrac{L-m\\hat{z}\\bigl[\\vec{R}\\times\\vec{c}\\bigr]}{I_d+\\alpha mR^2}{.} $$Поскольку система координат $xyz$ образует правую тройку, имеем: $$\\Omega=\\cfrac{L+mcy}{I_d+\\alpha mR^2}=\\cfrac{L/(mr^2)+cy/r^2}{\\delta+\\alpha R^2/r^2}=\\Omega_0\\sqrt{\\cfrac{\\delta+\\alpha R^2_0/r^2}{\\delta+\\alpha R^2/r^2}}{.} $$Введём обозначения: $$k=\\Omega^2_0(\\delta r^2+\\alpha R^2_0)\\qquad \\lambda=L/m{.} $$Возведём последнее выражение в квадрат: $$\\lambda^2+2\\lambda cy+c^2y^2=k^2(\\delta r^2+\\alpha R^2)=k(\\delta r^2+\\alpha x^2+\\alpha y^2){,} $$откуда: $$\\lambda^2-k\\delta r^2=k\\alpha^2x^2+(k\\alpha-c^2)y^2-2\\lambda cy $$ Ответ:\nC1 0.50 Запишите второй закон Ньютона и закон изменения момента импульса относительно центра шарика. Выразите момент сил $\\vec\\tau_s$, действующий на шарик из-за его вращения, через $Q$, $r$, $\\vec\\omega$ и $\\vec B$. Для момента силы Лоренца относительно центра масс шара имеем: $$\\vec{\\tau}_s=\\bigl[\\vec{m}\\times\\vec{B}\\bigr]{,} $$где $\\vec{m}$ – магнитный момент шара. Магнитный момент системы зарядов определяется с помощью соотношения: $$\\vec{m}=\\sum_i\\bigl[\\vec{r}_i\\times\\vec{v}_i\\bigr]q_i{.} $$В системе, в которой $q_i\\sim m_i$, где $m_i$ – масса $i-\\text{й}$ частицы, выполняется гиромагнитное соотношение: $$\\vec{m}=\\cfrac{\\vec{L}q}{2m}{,} $$поэтому для равномерно заряженной сферы: $$\\vec{m}=\\cfrac{I\\vec{\\omega}Q}{2m}=\\cfrac{Qr^2\\vec{\\omega}}{3}{.} $$Таким образом: $$\\vec{\\tau}_s=\\cfrac{Qr^2\\bigl[\\vec{\\omega}\\times\\vec{B}\\bigr]}{3}{.} $$Тогда теорема о движении центра масс и основное уравнение динамики вращательного движения относительно центра масс шара запишутся следующим образом: $$\\begin{cases} m\\vec{a}=\\vec{F}+q\\bigl[\\vec{v}\\times\\vec{B}\\bigr]\\\\ I\\dot{\\vec{\\omega}}=\\bigl[\\vec{r}\\times\\vec{F}\\bigr]+\\cfrac{Qr^2\\bigl[\\vec{\\omega}\\times\\vec{B}\\bigr]}{3} \\end{cases} $$ Ответ:\nC2 0.50 Уравнение для линейного ускорения представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка на $\\vec R$ вида: \\[\\frac{\\mathrm{d}^2\\vec R}{\\mathrm{d}t^2}-\\gamma \\frac{\\mathrm{d}\\vec R}{\\mathrm{d}t}\\times \\hat z+\\beta \\vec R = 0.\\] Выразите постоянные $\\gamma$ и $\\beta$ через $Q$, $r$, $B$, $I$, $m$, $\\Omega$.\nC3 1.00 Перейдите от компонент $\\vec R$ к полярным координатам: \\[\\begin{cases} x(t)=\\rho(t)\\cos(\\eta(t)),\\\\y(t)=\\rho(t)\\sin(\\eta(t)),\\end{cases}\\] и получите систему уравнений на $\\rho(t)$ и $\\eta(t)$, эквивалентную уравнению выше. Далее считайте, что полярный угол $\\eta(t)$ представляет собой некоторую линейную функцию времени. Найдите вид этой функции, считая, что $\\eta(0)=\\eta_0$. Выразите коэффициент $\\beta'$ при $\\rho(t)$ в полученном вами уравнении на $\\rho(t)$ через $\\gamma$ и $\\beta$. Запишите условия, при которых реализуются различные характерные зависимости $\\rho(t)$: гармоническая, экспоненциальная и т.д.\nC4 0.90 Рассмотрим следующие начальные условия для решения, найденного в С3: $x(0)=1~м$, $y=0~м$, $v_x(0)=\\dot x|_{t=0}=1~м/с$, $v_y(0)=\\dot y|_{t=0}=-1~м/с$. Для $\\beta'=0$ найдите $\\beta$ и $\\gamma$, соответствующие этим начальным условиям, а также зависимости $x(t)$ и $y(t)$. Найдите отсюда соответствующую $\\Omega$. Схематично изобразите траекторию шарика. Как заряжена поверхность шарика: положительно или отрицательно? Запишите в листах ответов «$-$» в случае отрицательного и «$+$» в случае положительного заряда.\nC5 1.60 Рассмотрим решение, полученное в пункте C4. Если решение получено правильно, вектор $\\vec R$ должен вращаться. Получите выражения для изменения энергии системы за время $t$ и за один оборот после $N\\gg1$ оборотов. Членами малыми по сравнению с $N$ можно пренебречь. В этом пункте можно считать, что масса шарика $m=1~кг$, а его радиус $r=1~м$, поэтому $I=1/10~кг\\cdot м^2$.","figures":[],"shared":false}},{"id":"apho-2011-t2","importedOn":"2026-10-28","language":"ru","sources":[{"url":"https://pho.rs/p/3172","kind":"statement"},{"url":"https://pho.rs/p/3172/s","kind":"solution"}],"statement":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Скрипящая  дверь"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Скрип очень распространен в повседневной жизни, и наблюдается при закрывании дверей, при письме мелом на доске, при игре на скрипке, при ходьбе в новой обуви и других явлениях. Здесь в Израиле, причины обуславливающие скрип, вызывают сильные землетрясения, повторяющиеся один раз в несколько десятилетий. Они происходят недалеко от Мертвого моря, чуть выше самого глубокого из известных разломов в земной коре.\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Физический механизм скрипа кроется в различии между коэффициентом трения покоя и коэффициентом трения скольжения. В данной задаче мы изучим этот механизм применительно к открывающейся двери.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть А. Простейшая модель"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Рассмотрите следующую систему (см. рис. 1):\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"К телу массой $m$ присоединена длинная идеальная пружина с коэффициентом жесткости $k$, другой конец которой тянут с постоянной скоростью $u$. Коэффициент трения покоя и\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"коэффициент трения скольжения о поверхность равны $\\mu_s$\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"и $\\mu_k$, причем $\\mu_k < \\mu_s$.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/ff2e931c9310d30b012a.webp","alt":"apho-2011-t2 statement: original source diagram 1"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Простейшая модель для изучения скрипа"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Эта простейшая модель допускает два различных режима движения:\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"1. Движение всегда сопровождается проскальзыванием. Назовем этот режим чистым скольжением.\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"2.Движение, при котором происходит поочередная смена проскальзывания и покоя относительно поверхности. Это явление назовем прерывистым скольжением. Такое прерывистое скольжение является источником скрипящего звука, с которым мы часто сталкиваемся в повседневной жизни.\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Рассмотрите случай, когда в начальный момент времени, $t = 0$, тело тянут по полу со скоростью $v_0$, и сила упругости пружины уравновешивается силой трения скольжения. Считайте, что $0 < v_0 < u$. При этом удлинение пружины будет периодически изменяться как функция времени $t$.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Найдите период $T_0$ и амплитуду $A$ этих колебаний.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.40"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Изобразите качественно график зависимости удлинения пружины от времени $x(t)$ в интервале $0 < t < 3T_0$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Рассмотрите другой случай, когда в начальный момент времени $t = 0$ тело находится в покое, а начальное удлинение пружины $x$, точно такое же, как в пунктах А1-А2. Изобразите качественный график зависимости скорости тела от времени $v(t)$ относительно поверхности в интервале $0 < t < 3T$, где $T$ - новый период колебаний $x(t)$. Движение направо соответствует положительному знаку скорости $v$. Укажите на вашем графике приблизительное положение горизонтальной линии $v = u$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A4\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Для начальных условий пункта A3, найдите среднее по времени значение удлинения пружины $\\overline{x}$ за один период колебаний.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A5\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 2.40"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Для условий пункта A3, найдите период $T$ колебаний $x(t)$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Режим движения с прерывистым скольжением прекращается при достаточно больших значениях скорости $u$. Давайте рассмотрим один из возможных механизмов для объяснения этого явления.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A6\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 2.40"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Будем считать, что за каждый период колебаний $T$ небольшое количество полной энергии колебаний рассеивается и переходит в тепло. Пусть $\\eta = | \\Delta A / A|$ есть относительная потеря амплитуды за один период при движении в режиме прерывистого скольжения. Полагая $\\eta \\ll 1$, найдите критическую скорость $u_c$, по достижении которой движение с \\textbf{прерывистым скольжением} становится невозможным.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Затухание, рассмотренное в пункте A6, не надо учитывать во второй части этой задачи.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть B. Дверь со скрипом"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Дверная петля представляет собой полый, открытый металлический цилиндр радиуса $r$, высотой $h$ и толщиной стенок $\\Delta r$. Нижнее основание цилиндра находится на металлической опоре, прикрепленной к стене (область контакта – это кольцо радиуса $r$ и толщиной $\\Delta r \\ll r$); см. рис. 2. Коэффициенты трения скольжения и трения покоя между цилиндром и его опорой равны соответственно $\\mu_k$ и $\\mu_s$, причем $\\mu_k < \\mu_s$. Верхнее основание цилиндра жестко прикреплено к двери, которая считается абсолютно твердым телом. Обычно дверь висит на двух или трех петлях, но ее вес падает только на одну петлю – ту, которая и будет скрипеть. Цилиндр этой петли давит на свою металлическую опору с силой, равной весу всей двери, масса которой $M$.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/c0def1a456f3a094d9fb.webp","alt":"apho-2011-t2 statement: original source diagram 2"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Схематический рисунок двери"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/2aac6e81f61d106cbbff.webp","alt":"apho-2011-t2 statement: original source diagram 3"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Деформированный цилиндр"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Цилиндр самой петли не является абсолютно твердым телом, он подвергается деформации сдвига без изменения своей формы, так что вертикальные линейные сегменты становятся наклонными с некоторым маленьким углом $\\alpha$ (см. рисунок 3). Сила упругости, действующая на элемент малой площади $dS$ и обусловленная деформацией сдвига, определяется как:\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\begin{equation*}\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"    dF = G \\alpha dS,\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\end{equation*}где $G$ - модуль сдвига (константа, характеризующая упругие свойства материала). Для расчетов используйте следующие значения $r = 5 \\,мм$, $h = 3 \\,см$, $\\Delta r = 1 \\, мм$, $\\mu_s = 0.75$, $\\mu_k = 0.55$, $G = 8 \\cdot 10^{10} \\,Па$, $M = 30 \\,кг$, $g = 9.8\\, м/с^2$. Используйте приближение $\\Delta r \\ll r$.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Дверь начинают очень медленно поворачивать из состояния покоя. Для маленьких углов поворота двери, получите выражение для коэффициента кручения $\\kappa = \\tau / \\theta$, где $\\tau$ –- вращающий момент, необходимый для поворота двери на угол $\\theta$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n При вращении двери с малой угловой скоростью происходит переход к режиму прерывистого трения, сопровождающийся испусканием звукового импульса – скрипа. Найдите угловую скорость $\\Omega$ двери, при которой частота звука достигает слышимого диапазона с $f = 20$ Гц. Считайте, что частота звуковых колебаний $f_0$, возбуждаемых в стержне при самом скольжении велика, так что $f_0 \\gg f$. Получите аналитический и численный результаты.\n\n                \n                "}]}]}]}]}],"text":"Скрипящая  дверь Скрип очень распространен в повседневной жизни, и наблюдается при закрывании дверей, при письме мелом на доске, при игре на скрипке, при ходьбе в новой обуви и других явлениях. Здесь в Израиле, причины обуславливающие скрип, вызывают сильные землетрясения, повторяющиеся один раз в несколько десятилетий. Они происходят недалеко от Мертвого моря, чуть выше самого глубокого из известных разломов в земной коре. Физический механизм скрипа кроется в различии между коэффициентом трения покоя и коэффициентом трения скольжения. В данной задаче мы изучим этот механизм применительно к открывающейся двери. Часть А. Простейшая модель Рассмотрите следующую систему (см. рис. 1): К телу массой $m$ присоединена длинная идеальная пружина с коэффициентом жесткости $k$, другой конец которой тянут с постоянной скоростью $u$. Коэффициент трения покоя и коэффициент трения скольжения о поверхность равны $\\mu_s$ и $\\mu_k$, причем $\\mu_k < \\mu_s$. Простейшая модель для изучения скрипа Эта простейшая модель допускает два различных режима движения: 1. Движение всегда сопровождается проскальзыванием. Назовем этот режим чистым скольжением. 2.Движение, при котором происходит поочередная смена проскальзывания и покоя относительно поверхности. Это явление назовем прерывистым скольжением. Такое прерывистое скольжение является источником скрипящего звука, с которым мы часто сталкиваемся в повседневной жизни. Рассмотрите случай, когда в начальный момент времени, $t = 0$, тело тянут по полу со скоростью $v_0$, и сила упругости пружины уравновешивается силой трения скольжения. Считайте, что $0 < v_0 < u$. При этом удлинение пружины будет периодически изменяться как функция времени $t$. A1 0.60 Найдите период $T_0$ и амплитуду $A$ этих колебаний. A2 0.40 Изобразите качественно график зависимости удлинения пружины от времени $x(t)$ в интервале $0 < t < 3T_0$. A3 1.20 Рассмотрите другой случай, когда в начальный момент времени $t = 0$ тело находится в покое, а начальное удлинение пружины $x$, точно такое же, как в пунктах А1-А2. Изобразите качественный график зависимости скорости тела от времени $v(t)$ относительно поверхности в интервале $0 < t < 3T$, где $T$ - новый период колебаний $x(t)$. Движение направо соответствует положительному знаку скорости $v$. Укажите на вашем графике приблизительное положение горизонтальной линии $v = u$. A4 0.50 Для начальных условий пункта A3, найдите среднее по времени значение удлинения пружины $\\overline{x}$ за один период колебаний. A5 2.40 Для условий пункта A3, найдите период $T$ колебаний $x(t)$. Режим движения с прерывистым скольжением прекращается при достаточно больших значениях скорости $u$. Давайте рассмотрим один из возможных механизмов для объяснения этого явления. A6 2.40 Будем считать, что за каждый период колебаний $T$ небольшое количество полной энергии колебаний рассеивается и переходит в тепло. Пусть $\\eta = | \\Delta A / A|$ есть относительная потеря амплитуды за один период при движении в режиме прерывистого скольжения. Полагая $\\eta \\ll 1$, найдите критическую скорость $u_c$, по достижении которой движение с \\textbf{прерывистым скольжением} становится невозможным. Затухание, рассмотренное в пункте A6, не надо учитывать во второй части этой задачи. Часть B. Дверь со скрипом Дверная петля представляет собой полый, открытый металлический цилиндр радиуса $r$, высотой $h$ и толщиной стенок $\\Delta r$. Нижнее основание цилиндра находится на металлической опоре, прикрепленной к стене (область контакта – это кольцо радиуса $r$ и толщиной $\\Delta r \\ll r$); см. рис. 2. Коэффициенты трения скольжения и трения покоя между цилиндром и его опорой равны соответственно $\\mu_k$ и $\\mu_s$, причем $\\mu_k < \\mu_s$. Верхнее основание цилиндра жестко прикреплено к двери, которая считается абсолютно твердым телом. Обычно дверь висит на двух или трех петлях, но ее вес падает только на одну петлю – ту, которая и будет скрипеть. Цилиндр этой петли давит на свою металлическую опору с силой, равной весу всей двери, масса которой $M$. Схематический рисунок двери Деформированный цилиндр Цилиндр самой петли не является абсолютно твердым телом, он подвергается деформации сдвига без изменения своей формы, так что вертикальные линейные сегменты становятся наклонными с некоторым маленьким углом $\\alpha$ (см. рисунок 3). Сила упругости, действующая на элемент малой площади $dS$ и обусловленная деформацией сдвига, определяется как: \\begin{equation*} dF = G \\alpha dS, \\end{equation*}где $G$ - модуль сдвига (константа, характеризующая упругие свойства материала). Для расчетов используйте следующие значения $r = 5 \\,мм$, $h = 3 \\,см$, $\\Delta r = 1 \\, мм$, $\\mu_s = 0.75$, $\\mu_k = 0.55$, $G = 8 \\cdot 10^{10} \\,Па$, $M = 30 \\,кг$, $g = 9.8\\, м/с^2$. Используйте приближение $\\Delta r \\ll r$. B1 1.00 Дверь начинают очень медленно поворачивать из состояния покоя. Для маленьких углов поворота двери, получите выражение для коэффициента кручения $\\kappa = \\tau / \\theta$, где $\\tau$ –- вращающий момент, необходимый для поворота двери на угол $\\theta$. B2 1.50 При вращении двери с малой угловой скоростью происходит переход к режиму прерывистого трения, сопровождающийся испусканием звукового импульса – скрипа. Найдите угловую скорость $\\Omega$ двери, при которой частота звука достигает слышимого диапазона с $f = 20$ Гц. Считайте, что частота звуковых колебаний $f_0$, возбуждаемых в стержне при самом скольжении велика, так что $f_0 \\gg f$. Получите аналитический и численный результаты.\n","figures":["/corpus/figures/ff2e931c9310d30b012a.webp","/corpus/figures/c0def1a456f3a094d9fb.webp","/corpus/figures/2aac6e81f61d106cbbff.webp"],"shared":false},"solution":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Найдите период $T_0$ и амплитуду $A$ этих колебаний.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Колебания происходят под действием постоянной силы трения скольжения. Таким образом, это простые гармонические колебания со сдвинутым положением равновесия. Угловая частота колебаний равна:\\[\\omega_0=\\sqrt{k/m}.\\]Таким образом, период колебаний:\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[T_0=\\frac{2\\pi}{\\omega_0}=2\\pi\\sqrt\\frac mk\\]\n\n                    "}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Начальная скорость тела относительно положения равновесия:\\[\\left(\\frac{\\mathrm dx}{\\mathrm dt}\\right)_0=u-v_0.\\]Тогда амплитуда колебаний:\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[A=\\frac1{\\omega_0}\\left(\\frac{\\mathrm dx}{\\mathrm dt}\\right)_0=(u-v_0)\\sqrt\\frac mk\\]\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.40"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Изобразите качественно график зависимости удлинения пружины от времени $x(t)$ в интервале $0 < t < 3T_0$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n График – синусоида, как показано на рисунке ниже:\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n\n\n\n    \n        \n            "},{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/72c2fe966947111b10d3.webp","alt":"apho-2011-t2 solution: original source diagram 1"}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Начальное положение задаётся выражением:\\[x_0=\\frac{\\mu_kmg}{k},\\]оно же является положением равновесия. От участника не требуется явно находить это значение, однако требуется понимание, что оно положительно.\n\n                "}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Рассмотрите другой случай, когда в начальный момент времени $t = 0$ тело находится в покое, а начальное удлинение пружины $x$, точно такое же, как в пунктах А1-А2. Изобразите качественный график зависимости скорости тела от времени $v(t)$ относительно поверхности в интервале $0 < t < 3T$, где $T$ - новый период колебаний $x(t)$. Движение направо соответствует положительному знаку скорости $v$. Укажите на вашем графике приблизительное положение горизонтальной линии $v = u$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tГрафик будет состоять из областей скольжения и застоя. Области скольжения синусоидальные и переходят в горизонтальные области застоя с разрывом первой производной в точках пересечения. Максимумы скорости будут выше прямой $v=u$, поскольку $u$ – "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"средняя"}]},{"type":"text","text":" скорость. Более того, максимумы будут выше $v=2u$, однако этого от участников не требуется.\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n\n\n\n    \n        \n            "},{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/599bb2e9745c058dc4a3.webp","alt":"apho-2011-t2 solution: original source diagram 2"}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A4\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Для начальных условий пункта A3, найдите среднее по времени значение удлинения пружины $\\overline{x}$ за один период колебаний.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n В системе отсчёта дальнего конца пружины положение тела будет равно удлинению пружины $x$ с противоположным знаком. Движение представляет собой колебания в окрестности положения равновесия $x_0$. В областях скольжения движение будет происходить по синусоиде, а в областях застоя – с постоянной скоростью $-u$. Режимы движения меняются в точке, в которой сила упругости уравновешивает силу трения покоя, т.е.:\\[x_s=\\frac{\\mu_smg}{k},\\]а также в точке, симметричной $x_s$ относительно $x_0$.\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/74b713068673c5e54d9f.webp","alt":"apho-2011-t2 solution: original source diagram 3"}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Таким образом, среднее удлинение пружины равно удлинению в положении равновесия:\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[\\bar x=x_0=\\frac{\\mu_kmg}{k}\\]\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A5\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 2.40"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Для условий пункта A3, найдите период $T$ колебаний $x(t)$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n В той же системе отсчёта найдём перемещение тела за время, проведённое в режиме застоя:\\[2(x_s-x_0)=2(\\mu_s-\\mu_k)mg/k.\\]Поскольку скорость тела в этом режиме равна $u$, тело проводит в режиме застоя:\\[t_{stick}=\\frac{2(\\mu_s-\\mu_k)mg}{ku}.\\]Движение в режиме скольжения происходит по синусоиде со смещением $x_0$ и угловой частотой $\\omega_0$. Фаза синусоиды $\\varphi$ в момент перехода в режим скольжения задаётся отношением положения и скорости тела относительно $x_0$:\\[\\operatorname{tg}\\varphi=\\frac{\\omega_0(x_s-x_0)}{u}=\\frac{(\\mu_s-\\mu_k)g}{u}\\sqrt\\frac mk.\\]Таким образом, тело проводит в режиме скольжения:\\[t_{slip}=T_0\\left(1-\\frac\\varphi\\pi\\right)=2\\sqrt\\frac mk\\left(\\pi-\\operatorname{arctg}\\left(\\frac{(\\mu_s-\\mu_k)g}{u}\\sqrt\\frac mk\\right)\\right).\\]Итого период колебаний:\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[T=t_{stick}+t_{slip}=2\\sqrt\\frac mk\\left(\\frac{(\\mu_s-\\mu_k)g}{u}\\sqrt\\frac mk\\pi-\\operatorname{arctg}\\left(\\frac{(\\mu_s-\\mu_k)g}{u}\\sqrt\\frac mk\\right)\\right)\\]\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A6\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 2.40"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Будем считать, что за каждый период колебаний $T$ небольшое количество полной энергии колебаний рассеивается и переходит в тепло. Пусть $\\eta = | \\Delta A / A|$ есть относительная потеря амплитуды за один период при движении в режиме прерывистого скольжения. Полагая $\\eta \\ll 1$, найдите критическую скорость $u_c$, по достижении которой движение с \\textbf{прерывистым скольжением} становится невозможным.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Продолжаем работать в той же системе отсчёта. Пока тело движется в режиме скольжения, амплитуда его движения немного уменьшится из-за потерь. В начале движения скорость равна $-u$, а фаза синусоиды равна $\\varphi$, найденной в предыдущем пункте. Таким образом, амплитуда скорости в начале равна $u/\\cos\\varphi$. Чтобы движение перешло в режим застоя, скорость должна вернуться к значению $-u$, однако фаза синусоиды при этом будет больше $2\\pi-\\varphi$ из-за потерь. Иными словами, потери увеличивают продолжительность движения в режиме скольжения. Граничный случай – достижение телом скорости $-u$ строго в положении равновесия (фаза $2\\pi$). Действительно, если в положении равновесия скорость будет меньше $-u$, тело продолжит движение по затухающей синусоиде, больше никогда не переходя в режим застоя."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Поскольку режим застоя устраняется даже небольшими потерями $\\eta\\ll1$, то относительная продолжительность движения в режиме застоя также должна быть малой. Это соответствует большой скорости $u$. При этом движение с проскальзыванием длится почти весь период колебаний, и амплитуда этих колебаний за это время уменьшится на относительную величину $\\eta$ с хорошей точностью. Граничному случаю соответствует ситуация, при котором $u/\\cos\\varphi$ уменьшается до $u$, таким образом:\\[\\eta=\\left|\\frac{\\Delta A}A\\right|=\\left|\\frac{u/\\cos\\varphi-u}{u/\\cos\\varphi}\\right|=1-\\cos\\varphi\\approx\\varphi^2/2.\\]Упрощая выражение для $\\varphi$ в приближении малых углов, получим:\\[\\eta=\\frac{m(\\mu_s-\\mu_k)^2g^2}{2ku_c^2}\\implies\\]\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[u_c=(\\mu_s-\\mu_k)g\\sqrt{\\frac{m}{2k\\eta}}\\]\n\n                    "}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Иначе можно вывести $u_c$, явно записав начальную амплитуду $A$ гармонических колебаний:\\[u_c=\\omega_0A(1-\\eta),\\quad A^2=(x_s-x_0)^2+\\frac mk u_c^2.\\]Наконец, можно просто расписать потери энергии $|\\Delta E/E|=2\\eta$ как:\\[2\\eta\\cdot \\frac12mu_c^2=\\frac12 k(x_s-x_0)^2.\\]\n\n                "}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Дверь начинают очень медленно поворачивать из состояния покоя. Для маленьких углов поворота двери, получите выражение для коэффициента кручения $\\kappa = \\tau / \\theta$, где $\\tau$ –- вращающий момент, необходимый для поворота двери на угол $\\theta$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n При малых углах поворота двери основание цилиндра остаётся неподвижным. Когда цилиндр деформируется на угол $\\alpha$, его верхнее основание проворачивается на величину $h\\alpha$. Это соответствует углу поворота двери $\\theta=h\\alpha/r$. Упругая сила сдвиговой деформации, действующая на участок нижнего основания цилиндра площадью $\\mathrm dA$, равна:\\[\\mathrm dF=G\\alpha\\,\\mathrm dA=\\frac{Gr}{h}\\theta\\,\\mathrm dA.\\]Это создаёт момент силы:\\[\\mathrm d\\tau=r\\,\\mathrm dF=\\frac{Gr^2}{h}\\theta\\,\\mathrm dA.\\]Полный момент силы:\\[\\tau=\\frac{Gr^2}{h}\\theta\\cdot2\\pi r\\Delta r=\\frac{2\\pi Gr^3\\Delta r}{h}\\theta.\\]Таким образом, коэффициент кручения будет равен:\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[\\kappa=\\frac{2\\pi Gr^3\\Delta r}{h}\\approx2000~Н\\cdot м\\]\n\n                    "}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Численное значение не требуется от участников. Засчитывается любое выражение, дающее правильный ответ в пределе $\\Delta r\\ll r$.\n\n                "}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n При вращении двери с малой угловой скоростью происходит переход к режиму прерывистого трения, сопровождающийся испусканием звукового импульса – скрипа. Найдите угловую скорость $\\Omega$ двери, при которой частота звука достигает слышимого диапазона с $f = 20$ Гц. Считайте, что частота звуковых колебаний $f_0$, возбуждаемых в стержне при самом скольжении велика, так что $f_0 \\gg f$. Получите аналитический и численный результаты.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tПренебрегая продолжительностью движения в режиме застоя, получим по аналогии с выводом в части "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"A"}]},{"type":"text","text":":\\[t_{stick}=\\frac{2(\\mu_s-\\mu_k)Mgr}{\\kappa\\Omega}\\implies\\]\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[\\Omega=\\frac{2(\\mu_s-\\mu_k)Mgr}{\\kappa t_{stick}}=\\frac{2(\\mu_s-\\mu_k)Mgrf}{\\kappa}=\\frac{(\\mu_s-\\mu_k)Mghf}{\\pi Gr^2\\Delta r}=5.6\\cdot10^{-3}~с^{-1}.\\]\n\n                    "}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Засчитывается любое выражение, дающее правильный ответ в пределе $\\Delta r\\ll r$. Численные ответы могут отличаться, поскольку $\\Delta r/r=0.2$ нельзя считать очень малой величиной, поэтому численные ответы необходимо проверять, подставляя значения из условия в ответ, приведённый участником.\n\n                "}]}]}],"text":"A1 0.60 Найдите период $T_0$ и амплитуду $A$ этих колебаний. Колебания происходят под действием постоянной силы трения скольжения. Таким образом, это простые гармонические колебания со сдвинутым положением равновесия. Угловая частота колебаний равна:\\[\\omega_0=\\sqrt{k/m}.\\]Таким образом, период колебаний: Ответ: \n                    \n \\[T_0=\\frac{2\\pi}{\\omega_0}=2\\pi\\sqrt\\frac mk\\] Начальная скорость тела относительно положения равновесия:\\[\\left(\\frac{\\mathrm dx}{\\mathrm dt}\\right)_0=u-v_0.\\]Тогда амплитуда колебаний: Ответ: \n                    \n \\[A=\\frac1{\\omega_0}\\left(\\frac{\\mathrm dx}{\\mathrm dt}\\right)_0=(u-v_0)\\sqrt\\frac mk\\]\nA2 0.40 Изобразите качественно график зависимости удлинения пружины от времени $x(t)$ в интервале $0 < t < 3T_0$. График – синусоида, как показано на рисунке ниже: Ответ: Начальное положение задаётся выражением:\\[x_0=\\frac{\\mu_kmg}{k},\\]оно же является положением равновесия. От участника не требуется явно находить это значение, однако требуется понимание, что оно положительно.\nA3 1.20 Рассмотрите другой случай, когда в начальный момент времени $t = 0$ тело находится в покое, а начальное удлинение пружины $x$, точно такое же, как в пунктах А1-А2. Изобразите качественный график зависимости скорости тела от времени $v(t)$ относительно поверхности в интервале $0 < t < 3T$, где $T$ - новый период колебаний $x(t)$. Движение направо соответствует положительному знаку скорости $v$. Укажите на вашем графике приблизительное положение горизонтальной линии $v = u$. График будет состоять из областей скольжения и застоя. Области скольжения синусоидальные и переходят в горизонтальные области застоя с разрывом первой производной в точках пересечения. Максимумы скорости будут выше прямой $v=u$, поскольку $u$ – средняя скорость. Более того, максимумы будут выше $v=2u$, однако этого от участников не требуется. Ответ:\nA4 0.50 Для начальных условий пункта A3, найдите среднее по времени значение удлинения пружины $\\overline{x}$ за один период колебаний. В системе отсчёта дальнего конца пружины положение тела будет равно удлинению пружины $x$ с противоположным знаком. Движение представляет собой колебания в окрестности положения равновесия $x_0$. В областях скольжения движение будет происходить по синусоиде, а в областях застоя – с постоянной скоростью $-u$. Режимы движения меняются в точке, в которой сила упругости уравновешивает силу трения покоя, т.е.:\\[x_s=\\frac{\\mu_smg}{k},\\]а также в точке, симметричной $x_s$ относительно $x_0$. Таким образом, среднее удлинение пружины равно удлинению в положении равновесия: Ответ: \n                    \n \\[\\bar x=x_0=\\frac{\\mu_kmg}{k}\\]\nA5 2.40 Для условий пункта A3, найдите период $T$ колебаний $x(t)$. В той же системе отсчёта найдём перемещение тела за время, проведённое в режиме застоя:\\[2(x_s-x_0)=2(\\mu_s-\\mu_k)mg/k.\\]Поскольку скорость тела в этом режиме равна $u$, тело проводит в режиме застоя:\\[t_{stick}=\\frac{2(\\mu_s-\\mu_k)mg}{ku}.\\]Движение в режиме скольжения происходит по синусоиде со смещением $x_0$ и угловой частотой $\\omega_0$. Фаза синусоиды $\\varphi$ в момент перехода в режим скольжения задаётся отношением положения и скорости тела относительно $x_0$:\\[\\operatorname{tg}\\varphi=\\frac{\\omega_0(x_s-x_0)}{u}=\\frac{(\\mu_s-\\mu_k)g}{u}\\sqrt\\frac mk.\\]Таким образом, тело проводит в режиме скольжения:\\[t_{slip}=T_0\\left(1-\\frac\\varphi\\pi\\right)=2\\sqrt\\frac mk\\left(\\pi-\\operatorname{arctg}\\left(\\frac{(\\mu_s-\\mu_k)g}{u}\\sqrt\\frac mk\\right)\\right).\\]Итого период колебаний: Ответ: \n                    \n \\[T=t_{stick}+t_{slip}=2\\sqrt\\frac mk\\left(\\frac{(\\mu_s-\\mu_k)g}{u}\\sqrt\\frac mk\\pi-\\operatorname{arctg}\\left(\\frac{(\\mu_s-\\mu_k)g}{u}\\sqrt\\frac mk\\right)\\right)\\]\nA6 2.40 Будем считать, что за каждый период колебаний $T$ небольшое количество полной энергии колебаний рассеивается и переходит в тепло. Пусть $\\eta = | \\Delta A / A|$ есть относительная потеря амплитуды за один период при движении в режиме прерывистого скольжения. Полагая $\\eta \\ll 1$, найдите критическую скорость $u_c$, по достижении которой движение с \\textbf{прерывистым скольжением} становится невозможным. Продолжаем работать в той же системе отсчёта. Пока тело движется в режиме скольжения, амплитуда его движения немного уменьшится из-за потерь. В начале движения скорость равна $-u$, а фаза синусоиды равна $\\varphi$, найденной в предыдущем пункте. Таким образом, амплитуда скорости в начале равна $u/\\cos\\varphi$. Чтобы движение перешло в режим застоя, скорость должна вернуться к значению $-u$, однако фаза синусоиды при этом будет больше $2\\pi-\\varphi$ из-за потерь. Иными словами, потери увеличивают продолжительность движения в режиме скольжения. Граничный случай – достижение телом скорости $-u$ строго в положении равновесия (фаза $2\\pi$). Действительно, если в положении равновесия скорость будет меньше $-u$, тело продолжит движение по затухающей синусоиде, больше никогда не переходя в режим застоя. Поскольку режим застоя устраняется даже небольшими потерями $\\eta\\ll1$, то относительная продолжительность движения в режиме застоя также должна быть малой. Это соответствует большой скорости $u$. При этом движение с проскальзыванием длится почти весь период колебаний, и амплитуда этих колебаний за это время уменьшится на относительную величину $\\eta$ с хорошей точностью. Граничному случаю соответствует ситуация, при котором $u/\\cos\\varphi$ уменьшается до $u$, таким образом:\\[\\eta=\\left|\\frac{\\Delta A}A\\right|=\\left|\\frac{u/\\cos\\varphi-u}{u/\\cos\\varphi}\\right|=1-\\cos\\varphi\\approx\\varphi^2/2.\\]Упрощая выражение для $\\varphi$ в приближении малых углов, получим:\\[\\eta=\\frac{m(\\mu_s-\\mu_k)^2g^2}{2ku_c^2}\\implies\\] Ответ: \n                    \n \\[u_c=(\\mu_s-\\mu_k)g\\sqrt{\\frac{m}{2k\\eta}}\\] Иначе можно вывести $u_c$, явно записав начальную амплитуду $A$ гармонических колебаний:\\[u_c=\\omega_0A(1-\\eta),\\quad A^2=(x_s-x_0)^2+\\frac mk u_c^2.\\]Наконец, можно просто расписать потери энергии $|\\Delta E/E|=2\\eta$ как:\\[2\\eta\\cdot \\frac12mu_c^2=\\frac12 k(x_s-x_0)^2.\\]\nB1 1.00 Дверь начинают очень медленно поворачивать из состояния покоя. Для маленьких углов поворота двери, получите выражение для коэффициента кручения $\\kappa = \\tau / \\theta$, где $\\tau$ –- вращающий момент, необходимый для поворота двери на угол $\\theta$. При малых углах поворота двери основание цилиндра остаётся неподвижным. Когда цилиндр деформируется на угол $\\alpha$, его верхнее основание проворачивается на величину $h\\alpha$. Это соответствует углу поворота двери $\\theta=h\\alpha/r$. Упругая сила сдвиговой деформации, действующая на участок нижнего основания цилиндра площадью $\\mathrm dA$, равна:\\[\\mathrm dF=G\\alpha\\,\\mathrm dA=\\frac{Gr}{h}\\theta\\,\\mathrm dA.\\]Это создаёт момент силы:\\[\\mathrm d\\tau=r\\,\\mathrm dF=\\frac{Gr^2}{h}\\theta\\,\\mathrm dA.\\]Полный момент силы:\\[\\tau=\\frac{Gr^2}{h}\\theta\\cdot2\\pi r\\Delta r=\\frac{2\\pi Gr^3\\Delta r}{h}\\theta.\\]Таким образом, коэффициент кручения будет равен: Ответ: \n                    \n \\[\\kappa=\\frac{2\\pi Gr^3\\Delta r}{h}\\approx2000~Н\\cdot м\\] Численное значение не требуется от участников. Засчитывается любое выражение, дающее правильный ответ в пределе $\\Delta r\\ll r$.\nB2 1.50 При вращении двери с малой угловой скоростью происходит переход к режиму прерывистого трения, сопровождающийся испусканием звукового импульса – скрипа. Найдите угловую скорость $\\Omega$ двери, при которой частота звука достигает слышимого диапазона с $f = 20$ Гц. Считайте, что частота звуковых колебаний $f_0$, возбуждаемых в стержне при самом скольжении велика, так что $f_0 \\gg f$. Получите аналитический и численный результаты. Пренебрегая продолжительностью движения в режиме застоя, получим по аналогии с выводом в части A :\\[t_{stick}=\\frac{2(\\mu_s-\\mu_k)Mgr}{\\kappa\\Omega}\\implies\\] Ответ: \n                    \n \\[\\Omega=\\frac{2(\\mu_s-\\mu_k)Mgr}{\\kappa t_{stick}}=\\frac{2(\\mu_s-\\mu_k)Mgrf}{\\kappa}=\\frac{(\\mu_s-\\mu_k)Mghf}{\\pi Gr^2\\Delta r}=5.6\\cdot10^{-3}~с^{-1}.\\] Засчитывается любое выражение, дающее правильный ответ в пределе $\\Delta r\\ll r$. Численные ответы могут отличаться, поскольку $\\Delta r/r=0.2$ нельзя считать очень малой величиной, поэтому численные ответы необходимо проверять, подставляя значения из условия в ответ, приведённый участником.","figures":["/corpus/figures/72c2fe966947111b10d3.webp","/corpus/figures/599bb2e9745c058dc4a3.webp","/corpus/figures/74b713068673c5e54d9f.webp"],"shared":false}},{"id":"apho-2022-t1","importedOn":"2026-10-28","language":"ru","sources":[{"url":"https://pho.rs/p/3090","kind":"statement"},{"url":"https://pho.rs/p/3090/s","kind":"solution"}],"statement":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"text","text":"\n                        \n                        \n\n\n\n\tОпыт Штерна-Герлаха был выполнен в 1922 г. и в конечном итоге привел к определению магнитного момента электрона. В этом эксперименте пучок атомов серебра массой $m= 1.80\\cdot 10^{-25}~кг$ вылетает из печи, поддерживаемой при температуре $T=1.2 \\cdot 10^3~К$ (рис. 1). Предположим, что при вылете из печи все атомы имеют одинаковый импульс вдоль направления \\(z\\). Влияние гравитации не учитывайте.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/7839ee524b8e6c49e8de.webp","alt":"apho-2022-t1 statement: original source diagram 1"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 1."}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tСкорость \\(v_z\\) атомов серебра, испущенных из печи, может быть оценена как \\(\\sqrt{3 k_B T/m}\\). Вычислите значение скорости."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 2.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tПосле испускания из печи атомы серебра проходят расстояние $l_{1}=0.25~м$ вдоль оси \\(z\\). После этого атомы серебра проходят расстояние $l_{2}=0.5~м$ между двумя магнитами. Магниты создают неоднородное магнитное поле $B$ вдоль оси $x$ с постоянным градиентом $\\mathrm{d}B/\\mathrm{d}x$. Считайте, что магнитный момент атомов серебра направлен либо в направлении $+x$, либо в направлении \\(-x\\), т.е. \\(\\vec{\\mu_s}=\\pm\\mu_s\\hat{\\imath}\\). После прохождения через магниты атомы серебра проходят расстояние $l_{3}=0.25~м$ перед попаданием на экран $PP'$. Расстояние между двумя местами попаданий на экране $\\Delta x$. Получение выражение для расстояния $\\Delta x$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tЭта часть посвящена установке, создающей неоднородное магнитное поле $(\\mathrm{d}B/\\mathrm{d}x \\neq 0)$. Она состоит из нескольких подчастей. Два очень длинных провода, параллельных оси \\(z\\), расположены в точках \\(A_1\\, (0,-a,z)\\) и \\(A_2\\,(0,a,z)\\) (рис. 2 ниже). Сила тока в проводах равна \\(I_0\\). Через провод \\(y=-a\\) ток протекает в направлении \\(-\\hat{k}\\), через провод \\(y=a\\) --- в направлении \\(\\hat{k}\\). Вся система находится в среде с высокой относительной магнитной проницаемостью \\(\\mu_r\\). Мы обозначаем \\(\\mu\\) = \\(\\mu_0 \\mu_r\\). Провода изолированы и утечек тока нет."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/af258133c3b0d42f170d.webp","alt":"apho-2022-t1 statement: original source diagram 2"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 2."}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tПолучите выражение для вектора индукции магнитного поля в точке \\(P_1\\, (x,y,0)\\) в плоскости \\(x\\)-\\(y\\) (рис. 2)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tРассмотрим окружность с центром \\(C\\) на оси \\(x\\) (\\(x_c,0\\)) с радиусом равным длине отрезка \\(A_1C\\) (рис. 2). Определите направление вектора индукции магнитного поля в точках \\(R\\) (на оси \\(x\\)) и \\(P_0\\) (\\(CP_0\\) параллельна оси \\(y\\))."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tТеперь рассмотрим случай, когда часть материала с высокой магнитной проницаемостью между окружностями радиусами $A_1C$ и $A_1D$ была удалена и заменена воздухом под низким давлением (рис. 2). Из непрерывности можно показать, что магнитное поле в этом зазоре описывается тем же выражением, что и в случае, когда вещество присутствует (мы используем данный факт без доказательства и вам его доказывать не требуется). Получите выражение для вектора индукции магнитного поля в точке \\((x, 0)\\) в области с воздухом."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            D1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tКак указано выше, атомы серебра движутся в плоскости \\((x,0,z)\\) вдоль оси $z$ с начальной скоростью \\(\\vec{v}\\,=\\,v_z\\hat{k}\\). Магнитный момент атомов серебра \\(\\vec{\\mu}_s=\\pm\\mu_s\\hat{\\imath}\\). Получите выражение для модуля силы \\(F_x\\), действующей на атомы серебра в направлении оси \\(x\\). Выразите ответ через $\\mu_s$, $I_0$, $a$, $\\mu$ и соответствующие координаты."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            E1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 2.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tМы считаем, что такая сила \\(F_x\\) действует на всем отрезке длиной \\(l_2\\) оси \\(z\\) (рис. 1). Также считаем, что атомы серебра проходят через среднюю точку \\(P\\) отрезка \\(RQ\\) (рис. 2). Следующие величины считайте заданными:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"ul","children":[{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"$\\mu/\\mu_0 = 10^4$,"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"$a=0.60~см$,"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"$OC=0.60~см$,"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"$OD=0.80~см$,"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"$I_0=2.00~А$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Здесь $\\mu_0$ — магнитная постоянная. Получите численные значения для величин магнитного поля \\(B_P\\) и его градиента $\\mathrm{d}B_P/\\mathrm{d}x$ в средней точке. Ответ выразите в единицах СИ."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            F1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tВ опыте Штерна-Герлаха было получено значение $\\Delta x=0.20~см$, если скорость атомов серебра была равна $v_z=5.00 \\cdot10^2~м/с$. Получите значение магнитного момента $\\mu_s$ атомов серебра в единицах СИ."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            G1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tНе все атомы серебра имеют одинаковую скорость. Пусть ширина интервала скоростей составляет $20\\%$. Какой будет ширина $\\delta x$ каждой из линий на экране?"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            H1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Какой вследствие этого будет погрешность $\\delta \\mu_s$ определения значения магнитного момента?\n\n                \n                "}]}]}]}]}],"text":"Опыт Штерна-Герлаха был выполнен в 1922 г. и в конечном итоге привел к определению магнитного момента электрона. В этом эксперименте пучок атомов серебра массой $m= 1.80\\cdot 10^{-25}~кг$ вылетает из печи, поддерживаемой при температуре $T=1.2 \\cdot 10^3~К$ (рис. 1). Предположим, что при вылете из печи все атомы имеют одинаковый импульс вдоль направления \\(z\\). Влияние гравитации не учитывайте. Рис. 1. A1 0.50 Скорость \\(v_z\\) атомов серебра, испущенных из печи, может быть оценена как \\(\\sqrt{3 k_B T/m}\\). Вычислите значение скорости. B1 2.00 После испускания из печи атомы серебра проходят расстояние $l_{1}=0.25~м$ вдоль оси \\(z\\). После этого атомы серебра проходят расстояние $l_{2}=0.5~м$ между двумя магнитами. Магниты создают неоднородное магнитное поле $B$ вдоль оси $x$ с постоянным градиентом $\\mathrm{d}B/\\mathrm{d}x$. Считайте, что магнитный момент атомов серебра направлен либо в направлении $+x$, либо в направлении \\(-x\\), т.е. \\(\\vec{\\mu_s}=\\pm\\mu_s\\hat{\\imath}\\). После прохождения через магниты атомы серебра проходят расстояние $l_{3}=0.25~м$ перед попаданием на экран $PP'$. Расстояние между двумя местами попаданий на экране $\\Delta x$. Получение выражение для расстояния $\\Delta x$. Эта часть посвящена установке, создающей неоднородное магнитное поле $(\\mathrm{d}B/\\mathrm{d}x \\neq 0)$. Она состоит из нескольких подчастей. Два очень длинных провода, параллельных оси \\(z\\), расположены в точках \\(A_1\\, (0,-a,z)\\) и \\(A_2\\,(0,a,z)\\) (рис. 2 ниже). Сила тока в проводах равна \\(I_0\\). Через провод \\(y=-a\\) ток протекает в направлении \\(-\\hat{k}\\), через провод \\(y=a\\) --- в направлении \\(\\hat{k}\\). Вся система находится в среде с высокой относительной магнитной проницаемостью \\(\\mu_r\\). Мы обозначаем \\(\\mu\\) = \\(\\mu_0 \\mu_r\\). Провода изолированы и утечек тока нет. Рис. 2. C1 1.50 Получите выражение для вектора индукции магнитного поля в точке \\(P_1\\, (x,y,0)\\) в плоскости \\(x\\)-\\(y\\) (рис. 2). C2 0.50 Рассмотрим окружность с центром \\(C\\) на оси \\(x\\) (\\(x_c,0\\)) с радиусом равным длине отрезка \\(A_1C\\) (рис. 2). Определите направление вектора индукции магнитного поля в точках \\(R\\) (на оси \\(x\\)) и \\(P_0\\) (\\(CP_0\\) параллельна оси \\(y\\)). C3 0.50 Теперь рассмотрим случай, когда часть материала с высокой магнитной проницаемостью между окружностями радиусами $A_1C$ и $A_1D$ была удалена и заменена воздухом под низким давлением (рис. 2). Из непрерывности можно показать, что магнитное поле в этом зазоре описывается тем же выражением, что и в случае, когда вещество присутствует (мы используем данный факт без доказательства и вам его доказывать не требуется). Получите выражение для вектора индукции магнитного поля в точке \\((x, 0)\\) в области с воздухом. D1 0.50 Как указано выше, атомы серебра движутся в плоскости \\((x,0,z)\\) вдоль оси $z$ с начальной скоростью \\(\\vec{v}\\,=\\,v_z\\hat{k}\\). Магнитный момент атомов серебра \\(\\vec{\\mu}_s=\\pm\\mu_s\\hat{\\imath}\\). Получите выражение для модуля силы \\(F_x\\), действующей на атомы серебра в направлении оси \\(x\\). Выразите ответ через $\\mu_s$, $I_0$, $a$, $\\mu$ и соответствующие координаты. E1 2.00 Мы считаем, что такая сила \\(F_x\\) действует на всем отрезке длиной \\(l_2\\) оси \\(z\\) (рис. 1). Также считаем, что атомы серебра проходят через среднюю точку \\(P\\) отрезка \\(RQ\\) (рис. 2). Следующие величины считайте заданными: $\\mu/\\mu_0 = 10^4$, $a=0.60~см$, $OC=0.60~см$, $OD=0.80~см$, $I_0=2.00~А$. Здесь $\\mu_0$ — магнитная постоянная. Получите численные значения для величин магнитного поля \\(B_P\\) и его градиента $\\mathrm{d}B_P/\\mathrm{d}x$ в средней точке. Ответ выразите в единицах СИ. F1 1.50 В опыте Штерна-Герлаха было получено значение $\\Delta x=0.20~см$, если скорость атомов серебра была равна $v_z=5.00 \\cdot10^2~м/с$. Получите значение магнитного момента $\\mu_s$ атомов серебра в единицах СИ. G1 0.50 Не все атомы серебра имеют одинаковую скорость. Пусть ширина интервала скоростей составляет $20\\%$. Какой будет ширина $\\delta x$ каждой из линий на экране? H1 0.50 Какой вследствие этого будет погрешность $\\delta \\mu_s$ определения значения магнитного момента?\n","figures":["/corpus/figures/7839ee524b8e6c49e8de.webp","/corpus/figures/af258133c3b0d42f170d.webp"],"shared":false},"solution":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tСкорость \\(v_z\\) атомов серебра, испущенных из печи, может быть оценена как \\(\\sqrt{3 k_B T/m}\\). Вычислите значение скорости."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$v_z = \\sqrt{\\frac{3 k_B T}{m}} = 5.255\\times 10^2 \\text{ м} \\cdot \\text{с}^{-1}.$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 2.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tПосле испускания из печи атомы серебра проходят расстояние $l_{1}=0.25~м$ вдоль оси \\(z\\). После этого атомы серебра проходят расстояние $l_{2}=0.5~м$ между двумя магнитами. Магниты создают неоднородное магнитное поле $B$ вдоль оси $x$ с постоянным градиентом $\\mathrm{d}B/\\mathrm{d}x$. Считайте, что магнитный момент атомов серебра направлен либо в направлении $+x$, либо в направлении \\(-x\\), т.е. \\(\\vec{\\mu_s}=\\pm\\mu_s\\hat{\\imath}\\). После прохождения через магниты атомы серебра проходят расстояние $l_{3}=0.25~м$ перед попаданием на экран $PP'$. Расстояние между двумя местами попаданий на экране $\\Delta x$. Получение выражение для расстояния $\\Delta x$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Величина ускорения $a$ атомов серебра в области, длиной $l_2$, равна\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$a = \\frac{\\mu_s}{m} \\frac{dB}{dx}.$$\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Проекция скорости на горизонтальное направление постоянная и равна $v_z$. Расстояние $l_2$ проходится за время $l_2/v_z$. После прохождения области неоднородного магнитного поля отклонение составит\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\\delta_1 = \\frac{1}{2} \\frac{\\mu_s}{m} \\frac{dB}{dx} \\frac{l_2^2}{v_z^2}.$$\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"На последнем участке атом движется с постоянной скоростью, горизонтальная проекция равна $v_z$, вертикальная проекция скорости $v_{x0} = (\\frac{\\mu_s}{m} \\frac{dB}{dx}) (\\frac{l_2}{v_z}).$ Отклонение на этом последнем участке:\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\\delta_2 = l_3 \\frac{v_{x0}}{v_z} = l_3 l_2 \\frac{\\mu_s}{m v_z^2} \\frac{dB}{dx}.$$\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Полное отклонение $\\delta_1+\\delta_2$. Расстояние между линиями на экране $2 (\\delta_1+\\delta_2)$.\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Отсюда получается овтет.\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$\\Delta x = 2 \\frac{\\mu_s}{m} \\frac{dB}{dx} \\frac{l_2}{v_z^2} \\left( \\frac{l_2}{2} + l_3 \\right).$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tПолучите выражение для вектора индукции магнитного поля в точке \\(P_1\\, (x,y,0)\\) в плоскости \\(x\\)-\\(y\\) (рис. 2)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Поле одного провода:\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\\vec{B}_1(x,y)=\\frac{\\mu I_0}{2 \\pi} \\frac{\\hat{k} \\times (x \\hat{i} + (y-a)\\hat{j})}{r_1^2} .$$\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Поле другого провода:\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\\vec{B}_2(x,y)=- \\frac{\\mu I_0}{2 \\pi}  \\frac{\\hat{k} \\times (x \\hat{i} + (y+a)\\hat{j})}{r_2^2} .$$\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Суммарное поле находим как векторную сумму:\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\\vec{B}(x,y) = \\vec{B}_1(x,y) + \\vec{B}_2(x,y)$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$\\vec{B}(x,y)=\\frac{\\mu I_0 a}{\\pi r_1^2 r_2^2} \\left[ 2xy \\hat{j} + (x^2-y^2+a^2)\\hat{i} \\right]$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tРассмотрим окружность с центром \\(C\\) на оси \\(x\\) (\\(x_c,0\\)) с радиусом равным длине отрезка \\(A_1C\\) (рис. 2). Определите направление вектора индукции магнитного поля в точках \\(R\\) (на оси \\(x\\)) и \\(P_0\\) (\\(CP_0\\) параллельна оси \\(y\\))."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Поле в точке $R(x_c+\\sqrt{x_c^2+a^2},0)$ находим подстановкой $y=0$. Получаем что компонента $\\hat{j}$ равна нулю. Поэтому, $\\vec{B}(x,0) \\propto \\hat{i} $.\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Поле в точке $P_0(x_c, \\sqrt{x_c^2+a^2})$ находим подстановкой координат в ответ C1. Получаем что компонента $\\hat{i}$ равна нулю. Поэтому, $\\vec{B}(x_c , (x_c^2+a^2)^{1/2}) \\propto \\hat{j} $\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$\\vec{B}(x,0) \\propto \\hat{i} $$\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\\vec{B}(x_c , (x_c^2+a^2)^{1/2}) \\propto \\hat{j} $$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tТеперь рассмотрим случай, когда часть материала с высокой магнитной проницаемостью между окружностями радиусами $A_1C$ и $A_1D$ была удалена и заменена воздухом под низким давлением (рис. 2). Из непрерывности можно показать, что магнитное поле в этом зазоре описывается тем же выражением, что и в случае, когда вещество присутствует (мы используем данный факт без доказательства и вам его доказывать не требуется). Получите выражение для вектора индукции магнитного поля в точке \\((x, 0)\\) в области с воздухом."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Поле в зазоре описывается тем же выражением, что и в вопросе C1 при подстановке $y=0$.\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$\\vec{B} = \\frac{\\mu I_0 a}{\\pi (x^2 + a^2)}\\hat{i}$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                D1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tКак указано выше, атомы серебра движутся в плоскости \\((x,0,z)\\) вдоль оси $z$ с начальной скоростью \\(\\vec{v}\\,=\\,v_z\\hat{k}\\). Магнитный момент атомов серебра \\(\\vec{\\mu}_s=\\pm\\mu_s\\hat{\\imath}\\). Получите выражение для модуля силы \\(F_x\\), действующей на атомы серебра в направлении оси \\(x\\). Выразите ответ через $\\mu_s$, $I_0$, $a$, $\\mu$ и соответствующие координаты."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Сила на магнитный диполь\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$F_x = \\mu_s \\frac{dB_x}{dx}.$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$F_x = \\frac{\\mu_s \\mu I_0}{\\pi} \\times \\frac{2ax}{(x^2+a^2)^2}.$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                E1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 2.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tМы считаем, что такая сила \\(F_x\\) действует на всем отрезке длиной \\(l_2\\) оси \\(z\\) (рис. 1). Также считаем, что атомы серебра проходят через среднюю точку \\(P\\) отрезка \\(RQ\\) (рис. 2). Следующие величины считайте заданными:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"ul","children":[{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"$\\mu/\\mu_0 = 10^4$,"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"$a=0.60~см$,"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"$OC=0.60~см$,"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"$OD=0.80~см$,"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"$I_0=2.00~А$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Здесь $\\mu_0$ — магнитная постоянная. Получите численные значения для величин магнитного поля \\(B_P\\) и его градиента $\\mathrm{d}B_P/\\mathrm{d}x$ в средней точке. Ответ выразите в единицах СИ."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Координата точки $P$:\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$y=0,$$\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$x_P = 1.624 \\times 10^{-2} \\text{ м}.$$\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Магнитное поле:\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$B_x (x_P, 0) = \\frac{\\mu}{\\mu_0} \\frac{\\mu_0 I_0 a}{\\pi (x^2 + a^2)}.$$\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Градиент магнитного поля:\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\\left( \\frac{\\partial B_x}{ \\partial x} \\right)_ {x_P} =  \\frac{2x}{(x^2+a^2)} \\times B_x(x_P,0).$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$B_x(x_P,0) = 0.16 \\text{ Тл}.$$\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\\left( \\frac{\\partial B_x}{ \\partial x} \\right)_ {x_P} =17.34 \\text{ Тл/м}.$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                F1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tВ опыте Штерна-Герлаха было получено значение $\\Delta x=0.20~см$, если скорость атомов серебра была равна $v_z=5.00 \\cdot10^2~м/с$. Получите значение магнитного момента $\\mu_s$ атомов серебра в единицах СИ."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Выразим магнитный момент $\\mu_s$ из выражения:\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\\Delta x = 2 \\frac{\\mu_s}{m} \\frac{dB}{dx} \\frac{l_2}{v_z^2} \\left( \\frac{l_2}{2} + l_3 \\right).$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$\\mu_s = \\frac{m \\Delta x}{2 \\left( \\frac{\\partial B_x}{ \\partial x} \\right)_ {x_P}} \\times \\frac{1}{\\left[ \\frac{l_2}{v_z^2} \\left( \\frac{l_2}{2} + l_3 \\right) \\right]} = \\mu_s = 1.04 \\times 10^{-23} \\text{ Дж/Тл} $$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                G1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tНе все атомы серебра имеют одинаковую скорость. Пусть ширина интервала скоростей составляет $20\\%$. Какой будет ширина $\\delta x$ каждой из линий на экране?"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Из формулы B1, так как зависимость от скорости $v_z$ квадратичная, получаем:\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\\frac{\\delta (\\Delta x) }{\\Delta x} = 2 \\frac{\\delta v_z }{v_z}.$$\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Ширина линии на экране будет равна половине расстояния между линиями.\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$\\delta (\\Delta x/2) = \\frac{1}{2} \\cdot \\Delta x \\cdot 2  \\frac{\\delta v_z}{v_z} = 0.04 \\text{ см}$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                H1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Какой вследствие этого будет погрешность $\\delta \\mu_s$ определения значения магнитного момента?\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Из прошлого пункта разброс в расстоянии между линиями от 0.16 см до 0.24 см. Когда разброса не было, расстояние было 0.2 см. Связь между расстоянием и магнитным моментом линейная. Погрешность расстояния 20%. Погрешность магнитного момента тоже 20%.\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $\\mu_s = (1.04 \\pm 0.21) \\times 10^{-23}$ Дж/Тл\n\n                    "}]}]}]}],"text":"A1 0.50 Скорость \\(v_z\\) атомов серебра, испущенных из печи, может быть оценена как \\(\\sqrt{3 k_B T/m}\\). Вычислите значение скорости. Ответ: \n                    \n $$v_z = \\sqrt{\\frac{3 k_B T}{m}} = 5.255\\times 10^2 \\text{ м} \\cdot \\text{с}^{-1}.$$\nB1 2.00 После испускания из печи атомы серебра проходят расстояние $l_{1}=0.25~м$ вдоль оси \\(z\\). После этого атомы серебра проходят расстояние $l_{2}=0.5~м$ между двумя магнитами. Магниты создают неоднородное магнитное поле $B$ вдоль оси $x$ с постоянным градиентом $\\mathrm{d}B/\\mathrm{d}x$. Считайте, что магнитный момент атомов серебра направлен либо в направлении $+x$, либо в направлении \\(-x\\), т.е. \\(\\vec{\\mu_s}=\\pm\\mu_s\\hat{\\imath}\\). После прохождения через магниты атомы серебра проходят расстояние $l_{3}=0.25~м$ перед попаданием на экран $PP'$. Расстояние между двумя местами попаданий на экране $\\Delta x$. Получение выражение для расстояния $\\Delta x$. Величина ускорения $a$ атомов серебра в области, длиной $l_2$, равна $$a = \\frac{\\mu_s}{m} \\frac{dB}{dx}.$$ Проекция скорости на горизонтальное направление постоянная и равна $v_z$. Расстояние $l_2$ проходится за время $l_2/v_z$. После прохождения области неоднородного магнитного поля отклонение составит $$\\delta_1 = \\frac{1}{2} \\frac{\\mu_s}{m} \\frac{dB}{dx} \\frac{l_2^2}{v_z^2}.$$ На последнем участке атом движется с постоянной скоростью, горизонтальная проекция равна $v_z$, вертикальная проекция скорости $v_{x0} = (\\frac{\\mu_s}{m} \\frac{dB}{dx}) (\\frac{l_2}{v_z}).$ Отклонение на этом последнем участке: $$\\delta_2 = l_3 \\frac{v_{x0}}{v_z} = l_3 l_2 \\frac{\\mu_s}{m v_z^2} \\frac{dB}{dx}.$$ Полное отклонение $\\delta_1+\\delta_2$. Расстояние между линиями на экране $2 (\\delta_1+\\delta_2)$. Отсюда получается овтет. Ответ: \n                    \n $$\\Delta x = 2 \\frac{\\mu_s}{m} \\frac{dB}{dx} \\frac{l_2}{v_z^2} \\left( \\frac{l_2}{2} + l_3 \\right).$$\nC1 1.50 Получите выражение для вектора индукции магнитного поля в точке \\(P_1\\, (x,y,0)\\) в плоскости \\(x\\)-\\(y\\) (рис. 2). Поле одного провода: $$\\vec{B}_1(x,y)=\\frac{\\mu I_0}{2 \\pi} \\frac{\\hat{k} \\times (x \\hat{i} + (y-a)\\hat{j})}{r_1^2} .$$ Поле другого провода: $$\\vec{B}_2(x,y)=- \\frac{\\mu I_0}{2 \\pi}  \\frac{\\hat{k} \\times (x \\hat{i} + (y+a)\\hat{j})}{r_2^2} .$$ Суммарное поле находим как векторную сумму: $$\\vec{B}(x,y) = \\vec{B}_1(x,y) + \\vec{B}_2(x,y)$$ Ответ: \n                    \n $$\\vec{B}(x,y)=\\frac{\\mu I_0 a}{\\pi r_1^2 r_2^2} \\left[ 2xy \\hat{j} + (x^2-y^2+a^2)\\hat{i} \\right]$$\nC2 0.50 Рассмотрим окружность с центром \\(C\\) на оси \\(x\\) (\\(x_c,0\\)) с радиусом равным длине отрезка \\(A_1C\\) (рис. 2). Определите направление вектора индукции магнитного поля в точках \\(R\\) (на оси \\(x\\)) и \\(P_0\\) (\\(CP_0\\) параллельна оси \\(y\\)). Поле в точке $R(x_c+\\sqrt{x_c^2+a^2},0)$ находим подстановкой $y=0$. Получаем что компонента $\\hat{j}$ равна нулю. Поэтому, $\\vec{B}(x,0) \\propto \\hat{i} $. Поле в точке $P_0(x_c, \\sqrt{x_c^2+a^2})$ находим подстановкой координат в ответ C1. Получаем что компонента $\\hat{i}$ равна нулю. Поэтому, $\\vec{B}(x_c , (x_c^2+a^2)^{1/2}) \\propto \\hat{j} $ Ответ: \n                    \n $$\\vec{B}(x,0) \\propto \\hat{i} $$ $$\\vec{B}(x_c , (x_c^2+a^2)^{1/2}) \\propto \\hat{j} $$\nC3 0.50 Теперь рассмотрим случай, когда часть материала с высокой магнитной проницаемостью между окружностями радиусами $A_1C$ и $A_1D$ была удалена и заменена воздухом под низким давлением (рис. 2). Из непрерывности можно показать, что магнитное поле в этом зазоре описывается тем же выражением, что и в случае, когда вещество присутствует (мы используем данный факт без доказательства и вам его доказывать не требуется). Получите выражение для вектора индукции магнитного поля в точке \\((x, 0)\\) в области с воздухом. Поле в зазоре описывается тем же выражением, что и в вопросе C1 при подстановке $y=0$. Ответ: \n                    \n $$\\vec{B} = \\frac{\\mu I_0 a}{\\pi (x^2 + a^2)}\\hat{i}$$\nD1 0.50 Как указано выше, атомы серебра движутся в плоскости \\((x,0,z)\\) вдоль оси $z$ с начальной скоростью \\(\\vec{v}\\,=\\,v_z\\hat{k}\\). Магнитный момент атомов серебра \\(\\vec{\\mu}_s=\\pm\\mu_s\\hat{\\imath}\\). Получите выражение для модуля силы \\(F_x\\), действующей на атомы серебра в направлении оси \\(x\\). Выразите ответ через $\\mu_s$, $I_0$, $a$, $\\mu$ и соответствующие координаты. Сила на магнитный диполь $$F_x = \\mu_s \\frac{dB_x}{dx}.$$ Ответ: \n                    \n $$F_x = \\frac{\\mu_s \\mu I_0}{\\pi} \\times \\frac{2ax}{(x^2+a^2)^2}.$$\nE1 2.00 Мы считаем, что такая сила \\(F_x\\) действует на всем отрезке длиной \\(l_2\\) оси \\(z\\) (рис. 1). Также считаем, что атомы серебра проходят через среднюю точку \\(P\\) отрезка \\(RQ\\) (рис. 2). Следующие величины считайте заданными: $\\mu/\\mu_0 = 10^4$, $a=0.60~см$, $OC=0.60~см$, $OD=0.80~см$, $I_0=2.00~А$. Здесь $\\mu_0$ — магнитная постоянная. Получите численные значения для величин магнитного поля \\(B_P\\) и его градиента $\\mathrm{d}B_P/\\mathrm{d}x$ в средней точке. Ответ выразите в единицах СИ. Координата точки $P$: $$y=0,$$ $$x_P = 1.624 \\times 10^{-2} \\text{ м}.$$ Магнитное поле: $$B_x (x_P, 0) = \\frac{\\mu}{\\mu_0} \\frac{\\mu_0 I_0 a}{\\pi (x^2 + a^2)}.$$ Градиент магнитного поля: $$\\left( \\frac{\\partial B_x}{ \\partial x} \\right)_ {x_P} =  \\frac{2x}{(x^2+a^2)} \\times B_x(x_P,0).$$ Ответ: \n                    \n $$B_x(x_P,0) = 0.16 \\text{ Тл}.$$ $$\\left( \\frac{\\partial B_x}{ \\partial x} \\right)_ {x_P} =17.34 \\text{ Тл/м}.$$\nF1 1.50 В опыте Штерна-Герлаха было получено значение $\\Delta x=0.20~см$, если скорость атомов серебра была равна $v_z=5.00 \\cdot10^2~м/с$. Получите значение магнитного момента $\\mu_s$ атомов серебра в единицах СИ. Выразим магнитный момент $\\mu_s$ из выражения: $$\\Delta x = 2 \\frac{\\mu_s}{m} \\frac{dB}{dx} \\frac{l_2}{v_z^2} \\left( \\frac{l_2}{2} + l_3 \\right).$$ Ответ: \n                    \n $$\\mu_s = \\frac{m \\Delta x}{2 \\left( \\frac{\\partial B_x}{ \\partial x} \\right)_ {x_P}} \\times \\frac{1}{\\left[ \\frac{l_2}{v_z^2} \\left( \\frac{l_2}{2} + l_3 \\right) \\right]} = \\mu_s = 1.04 \\times 10^{-23} \\text{ Дж/Тл} $$\nG1 0.50 Не все атомы серебра имеют одинаковую скорость. Пусть ширина интервала скоростей составляет $20\\%$. Какой будет ширина $\\delta x$ каждой из линий на экране? Из формулы B1, так как зависимость от скорости $v_z$ квадратичная, получаем: $$\\frac{\\delta (\\Delta x) }{\\Delta x} = 2 \\frac{\\delta v_z }{v_z}.$$ Ширина линии на экране будет равна половине расстояния между линиями. Ответ: \n                    \n $$\\delta (\\Delta x/2) = \\frac{1}{2} \\cdot \\Delta x \\cdot 2  \\frac{\\delta v_z}{v_z} = 0.04 \\text{ см}$$\nH1 0.50 Какой вследствие этого будет погрешность $\\delta \\mu_s$ определения значения магнитного момента? Из прошлого пункта разброс в расстоянии между линиями от 0.16 см до 0.24 см. Когда разброса не было, расстояние было 0.2 см. Связь между расстоянием и магнитным моментом линейная. Погрешность расстояния 20%. Погрешность магнитного момента тоже 20%. Ответ: \n                    \n $\\mu_s = (1.04 \\pm 0.21) \\times 10^{-23}$ Дж/Тл","figures":[],"shared":false}},{"id":"apho-2022-t2","importedOn":"2026-10-28","language":"ru","sources":[{"url":"https://pho.rs/p/3089","kind":"statement"},{"url":"https://pho.rs/p/3089/s","kind":"solution"}],"statement":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"В фазовом переходе второго рода «парамагнетик-ферромагнетик» свободная энергия (механический аналог которой — потенциальная энергия) зависит от намагниченности по следующему закону: $$V(\\mathcal{M})=a(T)\\mathcal{M}^2+b(T)\\mathcal{M}^4,$$ где \\(T\\) --- температура, \\(b(T) > 0\\), \\(a(T)\\) может менять знак в зависимости от \\(T\\). "}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Теоретическое описание этого фазового перехода, как будет показано в процессе решения задачи, перекликается с рассмотрением следующей механической системы. "}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"На кольцо радиуса \\(R\\) надета маленькая бусинка массы \\(m\\). Кольцо может вращаться вокруг своего вертикального диаметра с угловой скоростью \\(\\omega\\) (рис. 1). Сила \\(F_f\\) направлена против скольжения бусинки по кольцу, пропорциональна силе нормальной реакции опоры \\(N\\) и равна \\(F_f = fkN\\), где число \\(f\\) может принимать значения \\(1\\) и \\(-1\\): пусть \\(f=+1\\), когда бусинка движется против часовой стрелки (в сторону возрастания угла \\(\\theta\\)), и \\(f=-1\\), если наоборот. Таким образом, \\(f=\\operatorname{sign}\\dot\\theta\\) (равно \\(+1\\) или \\(-1\\) в зависимости от знака \\(\\dot{\\theta}\\)). "}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Используйте полярные координаты \\({r, \\theta}\\). Ответы выражайте через \\(\\omega_c=\\sqrt{g/R}\\) (\\(g\\) — ускорение свободного падения)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"Примечания."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"text","text":"При вращении материальной точки по окружности радиуса \\(R\\) можно рассчитать скорость как \\(\\dot{\\vec{r}} = R \\dot{\\theta} \\hat{{\\theta}}\\) и ускорение как \\(\\ddot{\\vec{r}} = -R \\dot{\\theta}^2 \\hat{{r}} + R \\ddot{\\theta} \\hat{{\\theta}}\\), где введены единичные вектора \\(\\hat{r}\\) (вдоль радиуса) и \\(\\hat{{\\theta}}\\) (вдоль касательной). Также можете пользоваться разложениями (здесь \\(\\theta\\) - в радианах, \\(|x| \\ll 1\\)):"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"ul","children":[{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"\\(\\sin⁡\\theta=\\theta−\\cfrac{\\theta^3}{6}+\\dots\\) "}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"\\(\\cos⁡\\theta=1−\\cfrac{\\theta^2}{2}+\\cfrac{\\theta^4}{24}+\\dots\\) "}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"\\((1+x)^n=1+nx+\\cfrac{n(n−1)}{2}x^2+\\cfrac{n(n−1)(n−2)}{6}x^3+\\dots\\)"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/217c37afc8f72afc58a0.webp","alt":"apho-2022-t2 statement: original source diagram 1"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 1."}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tПерейдем в систему отсчета вращающегося кольца. Будем рассматривать углы \\(−\\pi/2<\\theta<\\pi/2\\). На рисунке 2 показаны силы, действующие на бусинку. Силами, не указанными на рисунке, можно пренебречь."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/462c549271d41b892a20.webp","alt":"apho-2022-t2 statement: original source diagram 2"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 2."}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tЗапишите законы движения бусинки в проекциях на радиальное и тангенциальное направления. (Считаем, что $\\theta$ возрастает в направлении против часовой стрелки)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tВ пунктах с "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"B1"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"text","text":"по "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"B9"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"text","text":"считайте, что $k=0$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tВыразите углы $\\theta_0$, соответствующие положению(-ям) равновесия, через $\\omega$ и $\\omega_c$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tСхематично изобразите график зависимости $\\theta_0$ (по вертикальной оси) от $\\omega/\\omega_c$ (по горизонтальной)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tСхематично изобразите график зависимости модуля силы нормальной реакции опоры $N$ в положении устойчивого равновесия от $\\omega/\\omega_c$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B4\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Пусть \\(F_\\theta\\) --- тангенциальная проекция суммы сил, действующих на бусинку. Можно определить соответствующую потенциальную энергию \\(V(\\theta)\\) следующим образом, причём примем \\(V(\\theta) = 0\\) при \\(\\theta=0\\)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\(V(\\theta)\\) представимо в виде \\(V(\\theta) = P+Q\\cos(\\theta)+S\\sin^2(\\theta)\\)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Выразите $P$, $Q$, $S$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B5\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\t\\(V(\\theta)\\) при малых \\(\\theta\\) представимо в виде \\(V(\\theta) = a(\\omega)\\, \\theta^2 + b(\\omega)\\, \\theta^4\\)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Выразите коэффициенты \\(a(\\omega)\\) и \\(b(\\omega)\\)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B6\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tСхематично изобразите характерные графики зависимости \\(V(\\theta)\\) от \\(\\theta\\) для двух значений \\(\\omega/\\omega_c\\): \\(\\omega/\\omega_c = 0.9\\) и \\(\\omega/\\omega_c = 5.0\\). Количественные расчеты не требуются."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B7\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tТеория Ландау фазовых переходов второго рода утверждает, что магнитную систему при температурах \\(T\\) выше критической температуры \\(T_c\\) можно считать парамагнитной, а при \\(T < T_c\\) — ферромагнитной. Зависимость намагниченности $\\mathcal M$ от температуры $T$ задается формулой: \\[\\mathcal{M}(T) = \\mathcal{M}_0 \\left(1 - \\cfrac{T}{T_c}\\right)^{1/2}\\quad\\quad T < T_c.\\]"},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Обозначим степень $1/2$ через $\\beta$, т.е. пусть \\(\\mathcal{M}(T) = \\mathcal{M}_0 \\left(1 - \\cfrac{T}{T_c}\\right)^{\\beta}\\). "}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Можно сопоставить описанную теорию фазовых переходов с рассмотренной ранее механической задачей. Что в механике служит аналогом величин \\(\\mathcal{M}\\), \\(T_c\\), \\(T/T_c\\)? Чему в механике равна \\(\\beta\\)?"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B8\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tВыразите угловую частоту \\(\\Omega_0\\) колебаний бусинки вблизи ее положения равновесия \\(\\theta_0\\). Используйте, что для малых колебаний \\(\\Omega_0 = \\dfrac{1}{R} \\sqrt{\\dfrac{V''(\\theta_0)}{m}}\\)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B9\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tСхематично изобразите график зависимости \\(\\Omega_0\\) от \\(\\omega\\)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tВ оставшихся пунктах "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"C1"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"text","text":"и "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"C2"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"text","text":"считайте, что $k \\ne 0$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tПримите $f=1$, а вместо $k$ введите выражение $k = \\operatorname{tg} \\alpha$. Условие на положение(-я) равновесия $\\theta_0$ можно переписать в виде: $ \\left(\\dfrac{\\omega}{\\omega_c}\\right)^2 = \\dfrac{\\operatorname{tg} x}{\\sin y}$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Найдите $x$ и $y$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Пусть $f =1$ и $k = 0.05$. "}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Вычислите углы $\\theta_0$ в положениях равновесия для двух случаев:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"ul","children":[{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"\\(\\omega/\\omega_c\\) = 0.50,"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"\\(\\omega/\\omega_c\\) = 0.70."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]}]}]}],"text":"В фазовом переходе второго рода «парамагнетик-ферромагнетик» свободная энергия (механический аналог которой — потенциальная энергия) зависит от намагниченности по следующему закону: $$V(\\mathcal{M})=a(T)\\mathcal{M}^2+b(T)\\mathcal{M}^4,$$ где \\(T\\) --- температура, \\(b(T) > 0\\), \\(a(T)\\) может менять знак в зависимости от \\(T\\). Теоретическое описание этого фазового перехода, как будет показано в процессе решения задачи, перекликается с рассмотрением следующей механической системы. На кольцо радиуса \\(R\\) надета маленькая бусинка массы \\(m\\). Кольцо может вращаться вокруг своего вертикального диаметра с угловой скоростью \\(\\omega\\) (рис. 1). Сила \\(F_f\\) направлена против скольжения бусинки по кольцу, пропорциональна силе нормальной реакции опоры \\(N\\) и равна \\(F_f = fkN\\), где число \\(f\\) может принимать значения \\(1\\) и \\(-1\\): пусть \\(f=+1\\), когда бусинка движется против часовой стрелки (в сторону возрастания угла \\(\\theta\\)), и \\(f=-1\\), если наоборот. Таким образом, \\(f=\\operatorname{sign}\\dot\\theta\\) (равно \\(+1\\) или \\(-1\\) в зависимости от знака \\(\\dot{\\theta}\\)). Используйте полярные координаты \\({r, \\theta}\\). Ответы выражайте через \\(\\omega_c=\\sqrt{g/R}\\) (\\(g\\) — ускорение свободного падения). Примечания. При вращении материальной точки по окружности радиуса \\(R\\) можно рассчитать скорость как \\(\\dot{\\vec{r}} = R \\dot{\\theta} \\hat{{\\theta}}\\) и ускорение как \\(\\ddot{\\vec{r}} = -R \\dot{\\theta}^2 \\hat{{r}} + R \\ddot{\\theta} \\hat{{\\theta}}\\), где введены единичные вектора \\(\\hat{r}\\) (вдоль радиуса) и \\(\\hat{{\\theta}}\\) (вдоль касательной). Также можете пользоваться разложениями (здесь \\(\\theta\\) - в радианах, \\(|x| \\ll 1\\)): \\(\\sin⁡\\theta=\\theta−\\cfrac{\\theta^3}{6}+\\dots\\) \\(\\cos⁡\\theta=1−\\cfrac{\\theta^2}{2}+\\cfrac{\\theta^4}{24}+\\dots\\) \\((1+x)^n=1+nx+\\cfrac{n(n−1)}{2}x^2+\\cfrac{n(n−1)(n−2)}{6}x^3+\\dots\\) Рис. 1. Перейдем в систему отсчета вращающегося кольца. Будем рассматривать углы \\(−\\pi/2<\\theta<\\pi/2\\). На рисунке 2 показаны силы, действующие на бусинку. Силами, не указанными на рисунке, можно пренебречь. Рис. 2. A1 0.50 Запишите законы движения бусинки в проекциях на радиальное и тангенциальное направления. (Считаем, что $\\theta$ возрастает в направлении против часовой стрелки). В пунктах с B1 по B9 считайте, что $k=0$. B1 1.00 Выразите углы $\\theta_0$, соответствующие положению(-ям) равновесия, через $\\omega$ и $\\omega_c$. B2 0.50 Схематично изобразите график зависимости $\\theta_0$ (по вертикальной оси) от $\\omega/\\omega_c$ (по горизонтальной). B3 0.50 Схематично изобразите график зависимости модуля силы нормальной реакции опоры $N$ в положении устойчивого равновесия от $\\omega/\\omega_c$. B4 1.00 Пусть \\(F_\\theta\\) --- тангенциальная проекция суммы сил, действующих на бусинку. Можно определить соответствующую потенциальную энергию \\(V(\\theta)\\) следующим образом, причём примем \\(V(\\theta) = 0\\) при \\(\\theta=0\\). \\(V(\\theta)\\) представимо в виде \\(V(\\theta) = P+Q\\cos(\\theta)+S\\sin^2(\\theta)\\). Выразите $P$, $Q$, $S$. B5 1.00 \\(V(\\theta)\\) при малых \\(\\theta\\) представимо в виде \\(V(\\theta) = a(\\omega)\\, \\theta^2 + b(\\omega)\\, \\theta^4\\). Выразите коэффициенты \\(a(\\omega)\\) и \\(b(\\omega)\\). B6 1.00 Схематично изобразите характерные графики зависимости \\(V(\\theta)\\) от \\(\\theta\\) для двух значений \\(\\omega/\\omega_c\\): \\(\\omega/\\omega_c = 0.9\\) и \\(\\omega/\\omega_c = 5.0\\). Количественные расчеты не требуются. B7 1.00 Теория Ландау фазовых переходов второго рода утверждает, что магнитную систему при температурах \\(T\\) выше критической температуры \\(T_c\\) можно считать парамагнитной, а при \\(T < T_c\\) — ферромагнитной. Зависимость намагниченности $\\mathcal M$ от температуры $T$ задается формулой: \\[\\mathcal{M}(T) = \\mathcal{M}_0 \\left(1 - \\cfrac{T}{T_c}\\right)^{1/2}\\quad\\quad T < T_c.\\] Обозначим степень $1/2$ через $\\beta$, т.е. пусть \\(\\mathcal{M}(T) = \\mathcal{M}_0 \\left(1 - \\cfrac{T}{T_c}\\right)^{\\beta}\\). Можно сопоставить описанную теорию фазовых переходов с рассмотренной ранее механической задачей. Что в механике служит аналогом величин \\(\\mathcal{M}\\), \\(T_c\\), \\(T/T_c\\)? Чему в механике равна \\(\\beta\\)? B8 1.00 Выразите угловую частоту \\(\\Omega_0\\) колебаний бусинки вблизи ее положения равновесия \\(\\theta_0\\). Используйте, что для малых колебаний \\(\\Omega_0 = \\dfrac{1}{R} \\sqrt{\\dfrac{V''(\\theta_0)}{m}}\\). B9 1.00 Схематично изобразите график зависимости \\(\\Omega_0\\) от \\(\\omega\\). В оставшихся пунктах C1 и C2 считайте, что $k \\ne 0$. C1 1.00 Примите $f=1$, а вместо $k$ введите выражение $k = \\operatorname{tg} \\alpha$. Условие на положение(-я) равновесия $\\theta_0$ можно переписать в виде: $ \\left(\\dfrac{\\omega}{\\omega_c}\\right)^2 = \\dfrac{\\operatorname{tg} x}{\\sin y}$. Найдите $x$ и $y$. C2 0.50 Пусть $f =1$ и $k = 0.05$. Вычислите углы $\\theta_0$ в положениях равновесия для двух случаев: \\(\\omega/\\omega_c\\) = 0.50, \\(\\omega/\\omega_c\\) = 0.70.\n","figures":["/corpus/figures/217c37afc8f72afc58a0.webp","/corpus/figures/462c549271d41b892a20.webp"],"shared":false},"solution":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tЗапишите законы движения бусинки в проекциях на радиальное и тангенциальное направления. (Считаем, что $\\theta$ возрастает в направлении против часовой стрелки)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tВыразите углы $\\theta_0$, соответствующие положению(-ям) равновесия, через $\\omega$ и $\\omega_c$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tСхематично изобразите график зависимости $\\theta_0$ (по вертикальной оси) от $\\omega/\\omega_c$ (по горизонтальной)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tСхематично изобразите график зависимости модуля силы нормальной реакции опоры $N$ в положении устойчивого равновесия от $\\omega/\\omega_c$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B4\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Пусть \\(F_\\theta\\) --- тангенциальная проекция суммы сил, действующих на бусинку. Можно определить соответствующую потенциальную энергию \\(V(\\theta)\\) следующим образом, причём примем \\(V(\\theta) = 0\\) при \\(\\theta=0\\)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\(V(\\theta)\\) представимо в виде \\(V(\\theta) = P+Q\\cos(\\theta)+S\\sin^2(\\theta)\\)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Выразите $P$, $Q$, $S$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B5\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\t\\(V(\\theta)\\) при малых \\(\\theta\\) представимо в виде \\(V(\\theta) = a(\\omega)\\, \\theta^2 + b(\\omega)\\, \\theta^4\\)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Выразите коэффициенты \\(a(\\omega)\\) и \\(b(\\omega)\\)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B6\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tСхематично изобразите характерные графики зависимости \\(V(\\theta)\\) от \\(\\theta\\) для двух значений \\(\\omega/\\omega_c\\): \\(\\omega/\\omega_c = 0.9\\) и \\(\\omega/\\omega_c = 5.0\\). Количественные расчеты не требуются."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B7\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tТеория Ландау фазовых переходов второго рода утверждает, что магнитную систему при температурах \\(T\\) выше критической температуры \\(T_c\\) можно считать парамагнитной, а при \\(T < T_c\\) — ферромагнитной. Зависимость намагниченности $\\mathcal M$ от температуры $T$ задается формулой: \\[\\mathcal{M}(T) = \\mathcal{M}_0 \\left(1 - \\cfrac{T}{T_c}\\right)^{1/2}\\quad\\quad T < T_c.\\]"},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Обозначим степень $1/2$ через $\\beta$, т.е. пусть \\(\\mathcal{M}(T) = \\mathcal{M}_0 \\left(1 - \\cfrac{T}{T_c}\\right)^{\\beta}\\). "}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Можно сопоставить описанную теорию фазовых переходов с рассмотренной ранее механической задачей. Что в механике служит аналогом величин \\(\\mathcal{M}\\), \\(T_c\\), \\(T/T_c\\)? Чему в механике равна \\(\\beta\\)?"}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B8\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tВыразите угловую частоту \\(\\Omega_0\\) колебаний бусинки вблизи ее положения равновесия \\(\\theta_0\\). Используйте, что для малых колебаний \\(\\Omega_0 = \\dfrac{1}{R} \\sqrt{\\dfrac{V''(\\theta_0)}{m}}\\)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B9\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tСхематично изобразите график зависимости \\(\\Omega_0\\) от \\(\\omega\\)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tПримите $f=1$, а вместо $k$ введите выражение $k = \\operatorname{tg} \\alpha$. Условие на положение(-я) равновесия $\\theta_0$ можно переписать в виде: $ \\left(\\dfrac{\\omega}{\\omega_c}\\right)^2 = \\dfrac{\\operatorname{tg} x}{\\sin y}$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Найдите $x$ и $y$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Пусть $f =1$ и $k = 0.05$. "}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Вычислите углы $\\theta_0$ в положениях равновесия для двух случаев:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"ul","children":[{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"\\(\\omega/\\omega_c\\) = 0.50,"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"\\(\\omega/\\omega_c\\) = 0.70."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]}],"text":"A1 0.50 Запишите законы движения бусинки в проекциях на радиальное и тангенциальное направления. (Считаем, что $\\theta$ возрастает в направлении против часовой стрелки).\nB1 1.00 Выразите углы $\\theta_0$, соответствующие положению(-ям) равновесия, через $\\omega$ и $\\omega_c$.\nB2 0.50 Схематично изобразите график зависимости $\\theta_0$ (по вертикальной оси) от $\\omega/\\omega_c$ (по горизонтальной).\nB3 0.50 Схематично изобразите график зависимости модуля силы нормальной реакции опоры $N$ в положении устойчивого равновесия от $\\omega/\\omega_c$.\nB4 1.00 Пусть \\(F_\\theta\\) --- тангенциальная проекция суммы сил, действующих на бусинку. Можно определить соответствующую потенциальную энергию \\(V(\\theta)\\) следующим образом, причём примем \\(V(\\theta) = 0\\) при \\(\\theta=0\\). \\(V(\\theta)\\) представимо в виде \\(V(\\theta) = P+Q\\cos(\\theta)+S\\sin^2(\\theta)\\). Выразите $P$, $Q$, $S$.\nB5 1.00 \\(V(\\theta)\\) при малых \\(\\theta\\) представимо в виде \\(V(\\theta) = a(\\omega)\\, \\theta^2 + b(\\omega)\\, \\theta^4\\). Выразите коэффициенты \\(a(\\omega)\\) и \\(b(\\omega)\\).\nB6 1.00 Схематично изобразите характерные графики зависимости \\(V(\\theta)\\) от \\(\\theta\\) для двух значений \\(\\omega/\\omega_c\\): \\(\\omega/\\omega_c = 0.9\\) и \\(\\omega/\\omega_c = 5.0\\). Количественные расчеты не требуются.\nB7 1.00 Теория Ландау фазовых переходов второго рода утверждает, что магнитную систему при температурах \\(T\\) выше критической температуры \\(T_c\\) можно считать парамагнитной, а при \\(T < T_c\\) — ферромагнитной. Зависимость намагниченности $\\mathcal M$ от температуры $T$ задается формулой: \\[\\mathcal{M}(T) = \\mathcal{M}_0 \\left(1 - \\cfrac{T}{T_c}\\right)^{1/2}\\quad\\quad T < T_c.\\] Обозначим степень $1/2$ через $\\beta$, т.е. пусть \\(\\mathcal{M}(T) = \\mathcal{M}_0 \\left(1 - \\cfrac{T}{T_c}\\right)^{\\beta}\\). Можно сопоставить описанную теорию фазовых переходов с рассмотренной ранее механической задачей. Что в механике служит аналогом величин \\(\\mathcal{M}\\), \\(T_c\\), \\(T/T_c\\)? Чему в механике равна \\(\\beta\\)?\nB8 1.00 Выразите угловую частоту \\(\\Omega_0\\) колебаний бусинки вблизи ее положения равновесия \\(\\theta_0\\). Используйте, что для малых колебаний \\(\\Omega_0 = \\dfrac{1}{R} \\sqrt{\\dfrac{V''(\\theta_0)}{m}}\\).\nB9 1.00 Схематично изобразите график зависимости \\(\\Omega_0\\) от \\(\\omega\\).\nC1 1.00 Примите $f=1$, а вместо $k$ введите выражение $k = \\operatorname{tg} \\alpha$. Условие на положение(-я) равновесия $\\theta_0$ можно переписать в виде: $ \\left(\\dfrac{\\omega}{\\omega_c}\\right)^2 = \\dfrac{\\operatorname{tg} x}{\\sin y}$. Найдите $x$ и $y$.\nC2 0.50 Пусть $f =1$ и $k = 0.05$. Вычислите углы $\\theta_0$ в положениях равновесия для двух случаев: \\(\\omega/\\omega_c\\) = 0.50, \\(\\omega/\\omega_c\\) = 0.70.","figures":[],"shared":false}},{"id":"apho-2022-t3","importedOn":"2026-10-28","language":"ru","sources":[{"url":"https://pho.rs/p/3091","kind":"statement"},{"url":"https://pho.rs/p/3091/s","kind":"solution"}],"statement":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"text","text":"\n                        \n                        \n\n\n\n\tЛорд Релей посетил город Дарджилинг в Индии в 1897 г. Глядя на гору Эверест на расстоянии $170~км$, он вспомнил о вопросе про затухание света в воздухе и видимость далеких пиков, который Джеймс Максвелл задавал на 26 лет раньше. Два года спустя, в 1899, лорд Релей опубликовал знаменитую статью, в которой исследовал эту проблему. В задаче мы постараемся воссоздать современную версию рассуждений Релея."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tПредставим нейтральную молекулу воздуха как неподвижный положительный заряд $q$, окруженный сферически симметричным однородным заряженным облаком массы $m$, радиуса $r$ с зарядом $-q$. Собственная (циклическая) частота колебаний молекулы $\\omega_0$. Под действием падающего света отрицательно заряженное облако колеблется, сохраняя сферическую форму, с циклической частотой $\\omega$: \\[y=y_0 \\cos(\\omega t),\\] Поле падающей световой волны: \\[\\vec{E}(t)=E_0 \\cos(\\omega t) \\hat{y}.\\] Здесь $y$ обозначает расстояние между неподвижным положительным зарядом и центром отрицательно заряженного облака молекулы."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tЗапишите уравнения движения для \\(y\\). Величина вклада в ускорение за счет электрического поля равна \\(E(t)\\,q/m\\).\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tИспользуя приведенную выше информацию и решая уравнение для \\(y\\), найдите амплитуду колебаний."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tНайдите дипольный момент \\(p(t)\\) молекулы воздуха как функцию времени в случае \\(\\omega \\ll \\omega_0 \\)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A4\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tПолучите выражение для \\(\\omega_0\\) через \\(q\\), \\(m\\) и \\(r\\)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tДиполь с синусоидальной зависимостью дипольного момента от времени излучает электромагнитные волны. Мощность излучения зависит от амплитуды дипольного момента \\(p_0 = q y_0\\), электрической постоянной \\(\\epsilon_0\\), скорости света \\(c\\), и частоты колебаний \\(\\omega\\)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tИспользуя анализ размерностей, выразите излучаемую мощность \\(s\\) через приведенные выше величины."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tКоэффициент пропорциональности равен \\(1/12 \\pi\\). Выразите ответ для излучаемой мощности \\(s\\) через \\(E_0\\), \\(\\omega_0\\), \\(\\omega\\) и другие величины. Примите \\(\\omega \\ll \\omega_0 \\)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tИнтенсивность электромагнитной волны равна $1/2c\\epsilon_0 E_0^2$. Эта интенсивность уменьшается вдоль светового луча, поскольку мощность $S = n_0 s $ рассеивается в единице объема. Здесь \\(n_0\\) — количество молекул в единице объема."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tЗапишите дифференциальное уравнение для затухания интенсивности \\(I(x)\\)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tПолучите выражение для интенсивности \\(I(x)\\) как функции \\(x\\) через характерное расстояние \\(L\\), на котором происходит затухание интенсивности. Начальная интенсивность равна \\(I_0\\)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.30"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tПусть $m$ равна массе электрона (обычно заряженное облако состоит из одного электрона) и возьмите:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"ul","children":[{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"$n_0 = 2.54 \\cdot 10^{25}~м^{-3}$,"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"$\\omega_0 = 1.25\\cdot 10^{16}~рад \\cdot с^{-1}$,"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"$\\omega=3.25 \\cdot 10^{15}~рад \\cdot с^{-1}$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Получите численное значение $L$ в километрах."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            D1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 2.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tНа рисунке точка \\(P\\) обозначает Дарджилинг, горная станция (поселение в горах) в восточных Гималаях на высоте \\(h=2042~м\\) над уровнем моря. Линия \\(BS\\) обозначает гору Эверест, которая находится на расстоянии \\(d=170~км\\) от Дарджилинга, а высота равна \\(H=8848~м\\). Другая гора Канченджанга (не показана на рисунке) находится на расстоянии $75~км$ от Дарджилинга, ее высота $8586~м$. Получите выражение и численные значения для вертикальных высот \\(H'\\) этих гор, как они выглядят для наблюдателя из Дарджилинга, через упомянутые выше величины. Считайте, что наблюдатель не может видеть ниже локального горизонта. Изобразите соответствующий рисунок. Радиус Земли \\(R\\) равен $6378~км$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/a6cba3e6a0018954b5e0.webp","alt":"apho-2022-t3 statement: original source diagram 1"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рисунок"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            E1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tПримите за исходное (reference) значение видимой яркости вершины горы Канченджанга, как она выглядит из Дарджилинга. Чему будет равно отношение яркости вершины горы Эверест, как она выглядит из Дарджилинга, к интенсивности Канченджанга? Изменением концентрации воздуха с высотой можно пренебречь. Если интенсивность составляет $5\\%$ или больше начального значения, гора считается видимой. Можно ли увидеть Эверест из Дарджилинга."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            F1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tВыше мы нашли характерную длину затухания \\(L\\), связанную с рассеянием на молекулах воздуха. Сейчас мы рассматриваем длину затухания \\(L_{p}\\) связанную с рассеянием частицами "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"аэрозоля"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"text","text":"(загрязнение). \\(L_{p}\\) зависит от концентрации \\(n\\) частиц и от площади сечения \\(\\pi r^2\\) частицы аэрозоля радиуса \\(r\\). Получите эту зависимость, используя физические соображения и метод размерностей. Безразмерную константу примите равной $1/8$. С учетом малости загрязнения в Дарджилинге, плотность аэрозоля равна \\(\\rho_p = 5~мкг/м^3\\), а средний радиус частиц равен $500$ нанометров. Чему равна длина \\(L_p\\)? Пусть плотность одной частицы аэрозоля \\(\\rho = 3~г/см^3\\)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"Примечание:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"text","text":"\\(1~мкг=10^{-9}~кг\\) и \\(1~нм=10^{-9}~м\\)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            G1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tОцените относительную яркость Канченджанга и Эвереста с приведенным выше уровнем загрязнения. Какие из этих гор будут видны из Дарджилинга (если такие будут)? Считайте, что загрязнение постоянно вдоль пути, по которому распространяется свет."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]}],"text":"Лорд Релей посетил город Дарджилинг в Индии в 1897 г. Глядя на гору Эверест на расстоянии $170~км$, он вспомнил о вопросе про затухание света в воздухе и видимость далеких пиков, который Джеймс Максвелл задавал на 26 лет раньше. Два года спустя, в 1899, лорд Релей опубликовал знаменитую статью, в которой исследовал эту проблему. В задаче мы постараемся воссоздать современную версию рассуждений Релея. Представим нейтральную молекулу воздуха как неподвижный положительный заряд $q$, окруженный сферически симметричным однородным заряженным облаком массы $m$, радиуса $r$ с зарядом $-q$. Собственная (циклическая) частота колебаний молекулы $\\omega_0$. Под действием падающего света отрицательно заряженное облако колеблется, сохраняя сферическую форму, с циклической частотой $\\omega$: \\[y=y_0 \\cos(\\omega t),\\] Поле падающей световой волны: \\[\\vec{E}(t)=E_0 \\cos(\\omega t) \\hat{y}.\\] Здесь $y$ обозначает расстояние между неподвижным положительным зарядом и центром отрицательно заряженного облака молекулы. A1 0.50 Запишите уравнения движения для \\(y\\). Величина вклада в ускорение за счет электрического поля равна \\(E(t)\\,q/m\\). A2 0.50 Используя приведенную выше информацию и решая уравнение для \\(y\\), найдите амплитуду колебаний. A3 0.50 Найдите дипольный момент \\(p(t)\\) молекулы воздуха как функцию времени в случае \\(\\omega \\ll \\omega_0 \\). A4 0.50 Получите выражение для \\(\\omega_0\\) через \\(q\\), \\(m\\) и \\(r\\). Диполь с синусоидальной зависимостью дипольного момента от времени излучает электромагнитные волны. Мощность излучения зависит от амплитуды дипольного момента \\(p_0 = q y_0\\), электрической постоянной \\(\\epsilon_0\\), скорости света \\(c\\), и частоты колебаний \\(\\omega\\). B1 1.00 Используя анализ размерностей, выразите излучаемую мощность \\(s\\) через приведенные выше величины. B2 0.20 Коэффициент пропорциональности равен \\(1/12 \\pi\\). Выразите ответ для излучаемой мощности \\(s\\) через \\(E_0\\), \\(\\omega_0\\), \\(\\omega\\) и другие величины. Примите \\(\\omega \\ll \\omega_0 \\). Интенсивность электромагнитной волны равна $1/2c\\epsilon_0 E_0^2$. Эта интенсивность уменьшается вдоль светового луча, поскольку мощность $S = n_0 s $ рассеивается в единице объема. Здесь \\(n_0\\) — количество молекул в единице объема. C1 1.00 Запишите дифференциальное уравнение для затухания интенсивности \\(I(x)\\). C2 0.50 Получите выражение для интенсивности \\(I(x)\\) как функции \\(x\\) через характерное расстояние \\(L\\), на котором происходит затухание интенсивности. Начальная интенсивность равна \\(I_0\\). C3 0.30 Пусть $m$ равна массе электрона (обычно заряженное облако состоит из одного электрона) и возьмите: $n_0 = 2.54 \\cdot 10^{25}~м^{-3}$, $\\omega_0 = 1.25\\cdot 10^{16}~рад \\cdot с^{-1}$, $\\omega=3.25 \\cdot 10^{15}~рад \\cdot с^{-1}$. Получите численное значение $L$ в километрах. D1 2.00 На рисунке точка \\(P\\) обозначает Дарджилинг, горная станция (поселение в горах) в восточных Гималаях на высоте \\(h=2042~м\\) над уровнем моря. Линия \\(BS\\) обозначает гору Эверест, которая находится на расстоянии \\(d=170~км\\) от Дарджилинга, а высота равна \\(H=8848~м\\). Другая гора Канченджанга (не показана на рисунке) находится на расстоянии $75~км$ от Дарджилинга, ее высота $8586~м$. Получите выражение и численные значения для вертикальных высот \\(H'\\) этих гор, как они выглядят для наблюдателя из Дарджилинга, через упомянутые выше величины. Считайте, что наблюдатель не может видеть ниже локального горизонта. Изобразите соответствующий рисунок. Радиус Земли \\(R\\) равен $6378~км$. Рисунок E1 1.00 Примите за исходное (reference) значение видимой яркости вершины горы Канченджанга, как она выглядит из Дарджилинга. Чему будет равно отношение яркости вершины горы Эверест, как она выглядит из Дарджилинга, к интенсивности Канченджанга? Изменением концентрации воздуха с высотой можно пренебречь. Если интенсивность составляет $5\\%$ или больше начального значения, гора считается видимой. Можно ли увидеть Эверест из Дарджилинга. F1 1.00 Выше мы нашли характерную длину затухания \\(L\\), связанную с рассеянием на молекулах воздуха. Сейчас мы рассматриваем длину затухания \\(L_{p}\\) связанную с рассеянием частицами аэрозоля (загрязнение). \\(L_{p}\\) зависит от концентрации \\(n\\) частиц и от площади сечения \\(\\pi r^2\\) частицы аэрозоля радиуса \\(r\\). Получите эту зависимость, используя физические соображения и метод размерностей. Безразмерную константу примите равной $1/8$. С учетом малости загрязнения в Дарджилинге, плотность аэрозоля равна \\(\\rho_p = 5~мкг/м^3\\), а средний радиус частиц равен $500$ нанометров. Чему равна длина \\(L_p\\)? Пусть плотность одной частицы аэрозоля \\(\\rho = 3~г/см^3\\). Примечание: \\(1~мкг=10^{-9}~кг\\) и \\(1~нм=10^{-9}~м\\). G1 1.00 Оцените относительную яркость Канченджанга и Эвереста с приведенным выше уровнем загрязнения. Какие из этих гор будут видны из Дарджилинга (если такие будут)? Считайте, что загрязнение постоянно вдоль пути, по которому распространяется свет.\n","figures":["/corpus/figures/a6cba3e6a0018954b5e0.webp"],"shared":false},"solution":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tЗапишите уравнения движения для \\(y\\). Величина вклада в ускорение за счет электрического поля равна \\(E(t)\\,q/m\\).\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Без электрического поля уравнение движения \r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\ddot{y} = -\\omega_0^2 y,\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"после добавления электрического поля получим\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\ddot{y} = -\\omega_0^2 y - \\frac{q E_0}{m} \\cos \\omega t\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tИспользуя приведенную выше информацию и решая уравнение для \\(y\\), найдите амплитуду колебаний."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Подставив в уравнение $y = y_0 \\cos \\omega t$, получим\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"- \\omega^2 y_0 = - \\omega_0^2 y_0 - \\frac{qE_0}{m},\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"откуда\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"y_0 = \\frac{q E_0/m}{\\omega^2 -\\omega_0^2}\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tНайдите дипольный момент \\(p(t)\\) молекулы воздуха как функцию времени в случае \\(\\omega \\ll \\omega_0 \\)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"p(t) = -q y(t) \\approx \\frac{q^2 E_0}{m \\omega_0^2}\\cos \\omega t\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A4\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tПолучите выражение для \\(\\omega_0\\) через \\(q\\), \\(m\\) и \\(r\\)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Моделируем атом как неподвижный положительный заряд $q$, окруженный сферическим отрицательно заряженным облаком с полным зарядом $-q$, радиус $r$, масса $m$. Пусть облако смещается на малое расстояние $y$. Электростатическая сила, действующая на облако со стороны заряда\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\vec{F}_{el} = m\\ddot{y} \\hat {y} = - \\frac{q^2}{4 \\pi \\varepsilon_0 r^3} y \\hat{y} = -m \\omega_0^2 y\\hat{y}.\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Тогда собственная частота колебаний\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\omega_0 = \\frac{q}{\\sqrt{4 \\pi \\varepsilon_0 m r^3}}\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tИспользуя анализ размерностей, выразите излучаемую мощность \\(s\\) через приведенные выше величины."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Запишем размерности величин, входящих в формулу для мощности  излучения \r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\begin{align}\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"& [s]  = кг \\cdot м^2 \\cdot с^{-3}\\\\\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":" &[p_0]  = Кл \\cdot м\\\\\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"&[\\omega] = c^{-1} \\\\\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"& [\\varepsilon_0 ] = Кл^2 \\cdot кг^{-1} \\cdot м^{-3} \\cdot с^2\\\\\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"&[c]= м \\cdot с^{-1}\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\end{align}\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Пусть формула для мощности имеет вид $s = p_0^\\alpha \\omega^\\beta \\varepsilon_0^\\gamma c^\\delta$. Приравнивая размерности, получим следующие уравнения:\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\begin{align}\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"&\\alpha + 2 \\gamma = 0;\\\\\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"& \\gamma = -1;\\\\\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"& -\\beta + 2 \\gamma -\\delta = -3;\\\\\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"& \\alpha - 3 \\gamma + \\delta = 2.\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\end{align}\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Из них находим\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\alpha = 2;\\; \\beta = 4;\\; \\gamma = -1;\\; \\delta = -3.\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"s = k \\frac{p_0^2 \\omega^4}{\\varepsilon_0 c^3}\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tКоэффициент пропорциональности равен \\(1/12 \\pi\\). Выразите ответ для излучаемой мощности \\(s\\) через \\(E_0\\), \\(\\omega_0\\), \\(\\omega\\) и другие величины. Примите \\(\\omega \\ll \\omega_0 \\)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"s = \\frac{1}{12 \\pi} \\frac{p_0^2 \\omega^4}{\\varepsilon_0 c^3} = \\frac{1}{12\\pi} \\frac{q^4 E_0^2}{m^2 \\varepsilon_0 c^3} \\frac{\\omega^4}{\\omega_0^4}\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tЗапишите дифференциальное уравнение для затухания интенсивности \\(I(x)\\)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Интенсивность – мощность, проходящая через единицу площади. Рассмотрим горизонтальный цилиндр в атмосфере, площадь поперечного сечения $A$, длина $\\Delta x$. Пусть падающая интенсивность $I(x)$, а выходящая интенсивность $I(x + \\Delta x)$. Интенсивность уменьшается за счет того, что свет рассеивается молекулами воздуха. Если концентрация молекул $n_0$, полная мощность излучения на единицу объема равна $n_0 s$. Поэтому\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"I(x) A - I(x+ \\Delta x) A = n_0 s(A \\Delta x).\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Отсюда находим\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"- \\frac{dI}{dx}  = n_0 s.\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tПолучите выражение для интенсивности \\(I(x)\\) как функции \\(x\\) через характерное расстояние \\(L\\), на котором происходит затухание интенсивности. Начальная интенсивность равна \\(I_0\\)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Поскольку мощность излучения $s$ пропорциональна $E_0^2$ а интенсивность света $I$ также пропорциональна $E_0^2$, получаем\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"- \\frac{dI}{dx} = \\frac{I}{L},\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"где $L$ – некоторая постоянная с размерностью длины, которую можно найти из выражений для $I$ и $s$:\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"L = \\frac{6 \\pi \\varepsilon_0^2 m^2 c^4}{n_0 q^4} \\left( \\frac{\\omega_0}{\\omega}\\right)^4.\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Решение уравнения на интенсивность\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"I = I_0 e^{- x/L}\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"L = \\frac{6 \\pi \\varepsilon_0^2 m^2 c^4}{n_0 q^4} \\left( \\frac{\\omega_0}{\\omega}\\right)^4,\\quad I = I_0 e^{- x/L}.\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.30"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tПусть $m$ равна массе электрона (обычно заряженное облако состоит из одного электрона) и возьмите:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"ul","children":[{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"$n_0 = 2.54 \\cdot 10^{25}~м^{-3}$,"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"$\\omega_0 = 1.25\\cdot 10^{16}~рад \\cdot с^{-1}$,"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"$\\omega=3.25 \\cdot 10^{15}~рад \\cdot с^{-1}$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Получите численное значение $L$ в километрах."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Подставим числа в общую формулу и получим\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"L \\approx 130~ км.\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                D1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 2.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tНа рисунке точка \\(P\\) обозначает Дарджилинг, горная станция (поселение в горах) в восточных Гималаях на высоте \\(h=2042~м\\) над уровнем моря. Линия \\(BS\\) обозначает гору Эверест, которая находится на расстоянии \\(d=170~км\\) от Дарджилинга, а высота равна \\(H=8848~м\\). Другая гора Канченджанга (не показана на рисунке) находится на расстоянии $75~км$ от Дарджилинга, ее высота $8586~м$. Получите выражение и численные значения для вертикальных высот \\(H'\\) этих гор, как они выглядят для наблюдателя из Дарджилинга, через упомянутые выше величины. Считайте, что наблюдатель не может видеть ниже локального горизонта. Изобразите соответствующий рисунок. Радиус Земли \\(R\\) равен $6378~км$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/24ada2b6c77f7251178c.webp","alt":"apho-2022-t3 solution: original source diagram 1"}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n В $\\Delta OP B^\\prime$\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"OB^\\prime =  \\frac{OP}{\\cos \\theta}  = \\frac{R + h}{\\cos \\theta}.\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Поскольку $\\angle OSP = \\angle B^\\prime S S^\\prime$ и $\\angle SOP = \\angle S B^\\prime S^\\prime$, треугольники $\\Delta OSP$ и $\\Delta B^\\prime S  S^\\prime$ подобны, откуда\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\frac{B^\\prime S^\\prime}{OP} = \\frac{B^\\prime S}{O S} = \\frac{OS - OB^\\prime}{OS} = 1 - \\frac{OB^\\prime }{OS}.\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Заметим, что $B^\\prime S^\\prime  = H^\\prime$, $OP = R + h$, $OS = R + H$. Используя выражение для $OB^\\prime$, получим\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\frac{H^\\prime}{R + h} = 1 - \\frac{R + h}{(R + H) \\cos \\theta}\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"H^\\prime = R + h - \\frac{(R + h)^2}{R + H} \\frac{1}{\\cos \\theta}.\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"С учетом малости угла $\\theta = d/R$ можно использовать $\\cos \\theta \\approx 1 - \\theta^2/2$, поэтому\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"H^\\prime \\approx R + h - \\frac{(R+h)^2}{R+H} \\left( 1 + \\frac{d^2}{2 R^2}\\right) \\approx H -h - \\frac{d^2}{2 R}.\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"H^\\prime = 6096 \\text{м (Канченджанга)};\\quad  H^\\prime = 4534 \\text{м (Эверест)}.\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                E1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tПримите за исходное (reference) значение видимой яркости вершины горы Канченджанга, как она выглядит из Дарджилинга. Чему будет равно отношение яркости вершины горы Эверест, как она выглядит из Дарджилинга, к интенсивности Канченджанга? Изменением концентрации воздуха с высотой можно пренебречь. Если интенсивность составляет $5\\%$ или больше начального значения, гора считается видимой. Можно ли увидеть Эверест из Дарджилинга."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n В уравнении $I = I_0 e^{-x/L}$ $I_0$ означает интенсивность источника, которую наблюдатель бы видел в данной точке, если бы не было затухания. Если мощность источника равна $P_0$, тогда $I_0 = P_0/(4 \\pi d^2)$ для источника на расстоянии $d$.\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"I = \\frac{P_0}{4 \\pi d^2} e^{-d /L}\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Относительная яркость Эвереста (для наблюдателя в Дарджилинге):\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\frac{I_{E}}{I_{K}} = \\frac{d_K^2}{d_E^2} \\exp\\left[ \\frac{d_K - d_E}{L}\\right] \\approx 0.093 (\\text{Эверест видно})\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                F1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tВыше мы нашли характерную длину затухания \\(L\\), связанную с рассеянием на молекулах воздуха. Сейчас мы рассматриваем длину затухания \\(L_{p}\\) связанную с рассеянием частицами "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"аэрозоля"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"text","text":"(загрязнение). \\(L_{p}\\) зависит от концентрации \\(n\\) частиц и от площади сечения \\(\\pi r^2\\) частицы аэрозоля радиуса \\(r\\). Получите эту зависимость, используя физические соображения и метод размерностей. Безразмерную константу примите равной $1/8$. С учетом малости загрязнения в Дарджилинге, плотность аэрозоля равна \\(\\rho_p = 5~мкг/м^3\\), а средний радиус частиц равен $500$ нанометров. Чему равна длина \\(L_p\\)? Пусть плотность одной частицы аэрозоля \\(\\rho = 3~г/см^3\\)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"Примечание:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"text","text":"\\(1~мкг=10^{-9}~кг\\) и \\(1~нм=10^{-9}~м\\)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Из размерности и информации в условии находим \r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"L_p = \\frac{1}{8 n \\pi r^2}.\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Концентрацию можно связать с плотностью аэрозоля и массой одной частицы аэрозоля. Массу в свою очередь можно выразить через плотность и радиус\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"n = \\frac{\\rho_p}{m}, \\quad m = \\frac{4 \\pi}{3} r^3 \\rho.\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Отсюда находим\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"L_p = \\frac{r \\rho}{6 \\rho_p} = 50~ км.\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                G1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tОцените относительную яркость Канченджанга и Эвереста с приведенным выше уровнем загрязнения. Какие из этих гор будут видны из Дарджилинга (если такие будут)? Считайте, что загрязнение постоянно вдоль пути, по которому распространяется свет."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Новое выражение для интенсивности (с учетом двух вкладов в затухание)\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"I = \\frac{P_0}{4 \\pi d^2} \\exp \\left[ -\\frac{d}{L} - \\frac{d}{L_p}\\right].\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Для горы Канченджанга\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\frac{I_K}{I_{ref}} = \\exp \\left[ - \\frac{d_K}{L_p} \\right] = 0.22\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Это больше 5%, поэтому гора будет видима.\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Для Эвереста\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\frac{I_E}{I_{ref}} = 0.093 \\exp \\left[ - \\frac{d_E}{L_p} \\right] = 0.003,\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"поэтому Эверест не видно.\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n Канченджанга $I_K/I_{ref} = 0.22$ – видно.\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Эверест: $I_E/I_{ref} = 0.003$ – не видно.\n\n                    "}]}]}]}],"text":"A1 0.50 Запишите уравнения движения для \\(y\\). Величина вклада в ускорение за счет электрического поля равна \\(E(t)\\,q/m\\). Без электрического поля уравнение движения $$ \\ddot{y} = -\\omega_0^2 y, $$ после добавления электрического поля получим Ответ: \n                    \n $$ \\ddot{y} = -\\omega_0^2 y - \\frac{q E_0}{m} \\cos \\omega t $$\nA2 0.50 Используя приведенную выше информацию и решая уравнение для \\(y\\), найдите амплитуду колебаний. Подставив в уравнение $y = y_0 \\cos \\omega t$, получим $$ - \\omega^2 y_0 = - \\omega_0^2 y_0 - \\frac{qE_0}{m}, $$ откуда Ответ: \n                    \n $$ y_0 = \\frac{q E_0/m}{\\omega^2 -\\omega_0^2} $$\nA3 0.50 Найдите дипольный момент \\(p(t)\\) молекулы воздуха как функцию времени в случае \\(\\omega \\ll \\omega_0 \\). Ответ: \n                    \n $$ p(t) = -q y(t) \\approx \\frac{q^2 E_0}{m \\omega_0^2}\\cos \\omega t $$\nA4 0.50 Получите выражение для \\(\\omega_0\\) через \\(q\\), \\(m\\) и \\(r\\). Моделируем атом как неподвижный положительный заряд $q$, окруженный сферическим отрицательно заряженным облаком с полным зарядом $-q$, радиус $r$, масса $m$. Пусть облако смещается на малое расстояние $y$. Электростатическая сила, действующая на облако со стороны заряда $$ \\vec{F}_{el} = m\\ddot{y} \\hat {y} = - \\frac{q^2}{4 \\pi \\varepsilon_0 r^3} y \\hat{y} = -m \\omega_0^2 y\\hat{y}. $$ Тогда собственная частота колебаний Ответ: \n                    \n $$ \\omega_0 = \\frac{q}{\\sqrt{4 \\pi \\varepsilon_0 m r^3}} $$\nB1 1.00 Используя анализ размерностей, выразите излучаемую мощность \\(s\\) через приведенные выше величины. Запишем размерности величин, входящих в формулу для мощности  излучения \\begin{align} & [s]  = кг \\cdot м^2 \\cdot с^{-3}\\\\ &[p_0]  = Кл \\cdot м\\\\ &[\\omega] = c^{-1} \\\\ & [\\varepsilon_0 ] = Кл^2 \\cdot кг^{-1} \\cdot м^{-3} \\cdot с^2\\\\ &[c]= м \\cdot с^{-1} \\end{align} Пусть формула для мощности имеет вид $s = p_0^\\alpha \\omega^\\beta \\varepsilon_0^\\gamma c^\\delta$. Приравнивая размерности, получим следующие уравнения: \\begin{align} &\\alpha + 2 \\gamma = 0;\\\\ & \\gamma = -1;\\\\ & -\\beta + 2 \\gamma -\\delta = -3;\\\\ & \\alpha - 3 \\gamma + \\delta = 2. \\end{align} Из них находим $$ \\alpha = 2;\\; \\beta = 4;\\; \\gamma = -1;\\; \\delta = -3. $$ Ответ: \n                    \n $$ s = k \\frac{p_0^2 \\omega^4}{\\varepsilon_0 c^3} $$\nB2 0.20 Коэффициент пропорциональности равен \\(1/12 \\pi\\). Выразите ответ для излучаемой мощности \\(s\\) через \\(E_0\\), \\(\\omega_0\\), \\(\\omega\\) и другие величины. Примите \\(\\omega \\ll \\omega_0 \\). Ответ: \n                    \n $$ s = \\frac{1}{12 \\pi} \\frac{p_0^2 \\omega^4}{\\varepsilon_0 c^3} = \\frac{1}{12\\pi} \\frac{q^4 E_0^2}{m^2 \\varepsilon_0 c^3} \\frac{\\omega^4}{\\omega_0^4} $$\nC1 1.00 Запишите дифференциальное уравнение для затухания интенсивности \\(I(x)\\). Интенсивность – мощность, проходящая через единицу площади. Рассмотрим горизонтальный цилиндр в атмосфере, площадь поперечного сечения $A$, длина $\\Delta x$. Пусть падающая интенсивность $I(x)$, а выходящая интенсивность $I(x + \\Delta x)$. Интенсивность уменьшается за счет того, что свет рассеивается молекулами воздуха. Если концентрация молекул $n_0$, полная мощность излучения на единицу объема равна $n_0 s$. Поэтому $$ I(x) A - I(x+ \\Delta x) A = n_0 s(A \\Delta x). $$ Отсюда находим Ответ: \n                    \n $$ - \\frac{dI}{dx}  = n_0 s. $$\nC2 0.50 Получите выражение для интенсивности \\(I(x)\\) как функции \\(x\\) через характерное расстояние \\(L\\), на котором происходит затухание интенсивности. Начальная интенсивность равна \\(I_0\\). Поскольку мощность излучения $s$ пропорциональна $E_0^2$ а интенсивность света $I$ также пропорциональна $E_0^2$, получаем $$ - \\frac{dI}{dx} = \\frac{I}{L}, $$ где $L$ – некоторая постоянная с размерностью длины, которую можно найти из выражений для $I$ и $s$: $$ L = \\frac{6 \\pi \\varepsilon_0^2 m^2 c^4}{n_0 q^4} \\left( \\frac{\\omega_0}{\\omega}\\right)^4. $$ Решение уравнения на интенсивность $$ I = I_0 e^{- x/L} $$ Ответ: \n                    \n $$ L = \\frac{6 \\pi \\varepsilon_0^2 m^2 c^4}{n_0 q^4} \\left( \\frac{\\omega_0}{\\omega}\\right)^4,\\quad I = I_0 e^{- x/L}. $$\nC3 0.30 Пусть $m$ равна массе электрона (обычно заряженное облако состоит из одного электрона) и возьмите: $n_0 = 2.54 \\cdot 10^{25}~м^{-3}$, $\\omega_0 = 1.25\\cdot 10^{16}~рад \\cdot с^{-1}$, $\\omega=3.25 \\cdot 10^{15}~рад \\cdot с^{-1}$. Получите численное значение $L$ в километрах. Подставим числа в общую формулу и получим Ответ: \n                    \n $$ L \\approx 130~ км. $$\nD1 2.00 На рисунке точка \\(P\\) обозначает Дарджилинг, горная станция (поселение в горах) в восточных Гималаях на высоте \\(h=2042~м\\) над уровнем моря. Линия \\(BS\\) обозначает гору Эверест, которая находится на расстоянии \\(d=170~км\\) от Дарджилинга, а высота равна \\(H=8848~м\\). Другая гора Канченджанга (не показана на рисунке) находится на расстоянии $75~км$ от Дарджилинга, ее высота $8586~м$. Получите выражение и численные значения для вертикальных высот \\(H'\\) этих гор, как они выглядят для наблюдателя из Дарджилинга, через упомянутые выше величины. Считайте, что наблюдатель не может видеть ниже локального горизонта. Изобразите соответствующий рисунок. Радиус Земли \\(R\\) равен $6378~км$. В $\\Delta OP B^\\prime$ $$ OB^\\prime =  \\frac{OP}{\\cos \\theta}  = \\frac{R + h}{\\cos \\theta}. $$ Поскольку $\\angle OSP = \\angle B^\\prime S S^\\prime$ и $\\angle SOP = \\angle S B^\\prime S^\\prime$, треугольники $\\Delta OSP$ и $\\Delta B^\\prime S  S^\\prime$ подобны, откуда $$ \\frac{B^\\prime S^\\prime}{OP} = \\frac{B^\\prime S}{O S} = \\frac{OS - OB^\\prime}{OS} = 1 - \\frac{OB^\\prime }{OS}. $$ Заметим, что $B^\\prime S^\\prime  = H^\\prime$, $OP = R + h$, $OS = R + H$. Используя выражение для $OB^\\prime$, получим $$ \\frac{H^\\prime}{R + h} = 1 - \\frac{R + h}{(R + H) \\cos \\theta} $$ $$ H^\\prime = R + h - \\frac{(R + h)^2}{R + H} \\frac{1}{\\cos \\theta}. $$ С учетом малости угла $\\theta = d/R$ можно использовать $\\cos \\theta \\approx 1 - \\theta^2/2$, поэтому Ответ: \n                    \n $$ H^\\prime \\approx R + h - \\frac{(R+h)^2}{R+H} \\left( 1 + \\frac{d^2}{2 R^2}\\right) \\approx H -h - \\frac{d^2}{2 R}. $$ $$ H^\\prime = 6096 \\text{м (Канченджанга)};\\quad  H^\\prime = 4534 \\text{м (Эверест)}. $$\nE1 1.00 Примите за исходное (reference) значение видимой яркости вершины горы Канченджанга, как она выглядит из Дарджилинга. Чему будет равно отношение яркости вершины горы Эверест, как она выглядит из Дарджилинга, к интенсивности Канченджанга? Изменением концентрации воздуха с высотой можно пренебречь. Если интенсивность составляет $5\\%$ или больше начального значения, гора считается видимой. Можно ли увидеть Эверест из Дарджилинга. В уравнении $I = I_0 e^{-x/L}$ $I_0$ означает интенсивность источника, которую наблюдатель бы видел в данной точке, если бы не было затухания. Если мощность источника равна $P_0$, тогда $I_0 = P_0/(4 \\pi d^2)$ для источника на расстоянии $d$. $$ I = \\frac{P_0}{4 \\pi d^2} e^{-d /L} $$ Относительная яркость Эвереста (для наблюдателя в Дарджилинге): Ответ: \n                    \n $$ \\frac{I_{E}}{I_{K}} = \\frac{d_K^2}{d_E^2} \\exp\\left[ \\frac{d_K - d_E}{L}\\right] \\approx 0.093 (\\text{Эверест видно}) $$\nF1 1.00 Выше мы нашли характерную длину затухания \\(L\\), связанную с рассеянием на молекулах воздуха. Сейчас мы рассматриваем длину затухания \\(L_{p}\\) связанную с рассеянием частицами аэрозоля (загрязнение). \\(L_{p}\\) зависит от концентрации \\(n\\) частиц и от площади сечения \\(\\pi r^2\\) частицы аэрозоля радиуса \\(r\\). Получите эту зависимость, используя физические соображения и метод размерностей. Безразмерную константу примите равной $1/8$. С учетом малости загрязнения в Дарджилинге, плотность аэрозоля равна \\(\\rho_p = 5~мкг/м^3\\), а средний радиус частиц равен $500$ нанометров. Чему равна длина \\(L_p\\)? Пусть плотность одной частицы аэрозоля \\(\\rho = 3~г/см^3\\). Примечание: \\(1~мкг=10^{-9}~кг\\) и \\(1~нм=10^{-9}~м\\). Из размерности и информации в условии находим $$ L_p = \\frac{1}{8 n \\pi r^2}. $$ Концентрацию можно связать с плотностью аэрозоля и массой одной частицы аэрозоля. Массу в свою очередь можно выразить через плотность и радиус $$ n = \\frac{\\rho_p}{m}, \\quad m = \\frac{4 \\pi}{3} r^3 \\rho. $$ Отсюда находим Ответ: \n                    \n $$ L_p = \\frac{r \\rho}{6 \\rho_p} = 50~ км. $$\nG1 1.00 Оцените относительную яркость Канченджанга и Эвереста с приведенным выше уровнем загрязнения. Какие из этих гор будут видны из Дарджилинга (если такие будут)? Считайте, что загрязнение постоянно вдоль пути, по которому распространяется свет. Новое выражение для интенсивности (с учетом двух вкладов в затухание) $$ I = \\frac{P_0}{4 \\pi d^2} \\exp \\left[ -\\frac{d}{L} - \\frac{d}{L_p}\\right]. $$ Для горы Канченджанга $$ \\frac{I_K}{I_{ref}} = \\exp \\left[ - \\frac{d_K}{L_p} \\right] = 0.22 $$ Это больше 5%, поэтому гора будет видима. Для Эвереста $$ \\frac{I_E}{I_{ref}} = 0.093 \\exp \\left[ - \\frac{d_E}{L_p} \\right] = 0.003, $$ поэтому Эверест не видно. Ответ: \n                    \n Канченджанга $I_K/I_{ref} = 0.22$ – видно. Эверест: $I_E/I_{ref} = 0.003$ – не видно.","figures":["/corpus/figures/24ada2b6c77f7251178c.webp"],"shared":false}},{"id":"apho-2021-t1","importedOn":"2026-10-28","language":"ru","sources":[{"url":"https://pho.rs/p/291","kind":"statement"},{"url":"https://pho.rs/p/291/s","kind":"solution"}],"statement":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"text","text":"\n                        \n                        \n\n\n\n\tВ этой задаче изучается поведение давления в жидкости, связанное с волнами в трубе. В заданиях рассматривается гидравлический удар, который проявляется при медленном и быстром перекрытии управляющих клапанов."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tВ задаче изучаются невязкие жидкости и их течение. Оно одномерное. Считайте, что трубы и клапаны жесткие, однако сжимаемость жидкости нужно иногда учитывать. Пусть элемент жидкости объема $V_0$ находится в равновесии при давлении $P_0$. Тогда если давление изменится на $\\Delta P$, то его объем изменится на $\\Delta V$, и он будет пропорционален $\\Delta P$: \\[\\Delta P = -B~ \\frac{\\Delta V}{V_0},\\] где $B$ — модуль всестороннего сжатия жидкости. Для воды можно считать, что плотность в состоянии равновесия равна $\\rho_0=1.0\\cdot 10^3~кг/м^3$ и $B=2.2~ГПа$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть A. Избыточное давление и распространение волны давления (2.2 балла)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tПо цилиндрической трубе длины $L$ в установившемся режиме течет вода в направлении $+x$. Ее скорость $v_0$, плотность $\\rho_0$ и давление $P_0$. Как показано на рисунке 1, труба соединена с резервуаром глубины $h$, а второй конец трубы открывается в атмосферу, где давление равно $P_a$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tПусть клапан на конце трубы мгновенно закрывают, и прилегающий к клапану элемент воды испытывает скачок давления $\\Delta P_{\\mathrm{s}} \\equiv P_1-P_0$ и скорости $\\Delta v =v_1-v_0$, причем $v_1 \\le 0$. Это вызывает продольную волну избыточного давления $\\Delta P_{\\mathrm{s}}$, распространяющуюся в направлении $-x$ со скоростью $c$.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/987fc395c511ad32a863.webp","alt":"apho-2021-t1 statement: original source diagram 1"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 1."}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tИзбыточное давление $\\Delta P_{\\mathrm{s}}$ и скачок скорости $\\Delta v$ связаны следующим образом: $\\Delta P_{\\mathrm{s}} = \\alpha \\rho_0c\\Delta v$. Скорость распространения $c$ представима в виде $c=\\beta + \\sqrt{\\gamma B/\\rho_0}$."},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Найдите $\\alpha$, $\\beta$ и $\\gamma$."}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tРассчитайте $c$ и $\\Delta P_{\\mathrm{s}}$, если параметры течения воды следующие: $v_0=4.0~м/с$ и $v_1=0$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть B. Модель клапана, управляющего потоком (1 балл)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tНа рисунке 2 показана модель клапана $\\mathrm{T}$ и поток жидкости через него. Клапан представляется в виде короткого отрезка $\\Delta L$, радиуса $R$ на конце $A$ трубы. Выходное отверстие клапана имеет коническую форму, радиус суженной части равен $r$. Клапан открывается в атмосферу, где давление равно $P_a$. Силой тяжести, действующей на текущую жидкость, можно пренебречь."},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Жидкость считать несжимаемой, а поток установившимся. Элемент жидкости на входе в клапан имеет скорость $v_{\\mathrm{in}}$, давление $P_{\\mathrm{in}}$ и плотность $\\rho_0$. На рисунке 2 линии тока и нормали к ним приведены только в качестве иллюстрации общей картины потока."}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/db9085694e1d23725cc3.webp","alt":"apho-2021-t1 statement: original source diagram 2"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 2."}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tИзвестно, что после выхода струи из клапана в атмосферу, ее сечение будет уменьшаться, пока не достигнет минимального значения, когда линии тока оказываются снова параллельными. В этот момент скорость потока равна $v_c$, а радиус сечения потока равен $r_{\\mathrm{c}}=r\\sqrt C_{\\mathrm{c}}$. Здесь $C_{\\mathrm{c}}$ — "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"коэффициент сжатия"}]},{"type":"text","text":", и он зависит от отношения $r/R$ и угла $\\beta$. Зависимость приведена в Таблице 1.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Таблица 1"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"figure","children":[{"type":"element","tag":"table","children":[{"type":"element","tag":"tbody","children":[{"type":"element","tag":"tr","children":[{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$r/R$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$C_{\\mathrm{c}}~(\\beta=45^\\circ)$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$C_{\\mathrm{c}}~(\\beta=90^\\circ)$"}]}]},{"type":"element","tag":"tr","children":[{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$0.00$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$0.746$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$0.611$"}]}]},{"type":"element","tag":"tr","children":[{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$0.20$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$0.747$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$0.616$"}]}]},{"type":"element","tag":"tr","children":[{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$0.30$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$0.748$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$0.622$"}]}]},{"type":"element","tag":"tr","children":[{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$0.40$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$0.749$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$0.631$"}]}]},{"type":"element","tag":"tr","children":[{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$1.00$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$1.000$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$1.000$"}]}]}]}]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tНайдите избыточное давление $\\Delta P_{\\mathrm{in}} =P_{\\mathrm{in}}-P_{\\mathrm{a}}$ на входе в клапан, где линии тока параллельны. Ответ выразите через $\\rho_0$, $v_{\\mathrm{in}}$, $r$, $R$ и $C_{\\mathrm{c}}$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tВо всех заданиях частей "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"C "}]},{"type":"text","text":"и "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"D "}]},{"type":"text","text":"рассматривается система труба-резервуар, приведенная на рисунке 1. Также используйте следующие предположения:\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть С. Гидравлический удар при быстром закрытии клапана (1.8 балла)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tРассмотрим снова систему труба-резервуар (Рис. 1). Если перегородить поток (полностью или частично закрыв клапан), возникнет волна давления, распространяющаяся в обратном направлении. Она отразится от конца $\\rm B$ трубы, вернется к клапану и отразится от него. Таким образом, возникнет другая волна, и описанный процесс повторится. Поэтому наблюдается серия всплесков и падений давления, испытываемого элементом жидкости вблизи клапана. Это и называется "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"гидравлическим ударом"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"text","text":"."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tНайдите давление $P_0$ и скорость $v_0$ установившегося потока в трубе, когда клапан $\\mathrm{T}$ полностью открыт ($r=R$) (см. Рис. 1 и 2). Ответ выразите через $\\rho_0$, $g$, $h$ и $P_{\\mathrm{a}}$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tРассмотрим установившийся поток, описанный в пункте "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"C1 "}]},{"type":"text","text":"(давление $P_0$ и скорость $v_0$). Затем в $t=0$ клапан мгновенно перекрывают ($r=0$). Волна давления распространяется к резервуару со скоростью $c$. Давление $P_h=P_0+\\rho_0gh$. Пусть $\\tau =2L/c$. Чему равны давления $P(t)$ и скорости потока $v(t)$ в трубе, когда $t$ очень близко к $\\tau/2$ и $\\tau$?\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть D. Гидравлический удар при медленном закрытии клапана (5.0 баллов)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tРассмотрим установившийся поток, описанный в пункте "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"C1 "}]},{"type":"text","text":"(давление $P_0$ и скорость $v_0$). Теперь клапан закрывается медленно. Чтобы смоделировать процесс закрытия, разобьем его на шаги."},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Начиная с момента времени $t=0$, и далее каждые $\\tau=2L/c$ происходит мгновенное изменение радиуса $r$ клапана. Сразу после каждого изменения радиуса поток вблизи клапана считайте установившимся (как в части "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"B "}]},{"type":"text","text":"). Таким образом, давление и скорость потока вблизи клапана отличаются от этих величин в остальных частях трубы."}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Для каждого шага $n$ в Таблице 2 приведены значения длительности этого шага и значение радиуса $r_n$. Также указаны обозначения давления в жидкости $P_n$ и скорости потока $v_n$ вблизи клапана."}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Таблица 2"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"figure","children":[{"type":"element","tag":"table","children":[{"type":"element","tag":"tbody","children":[{"type":"element","tag":"tr","children":[{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"Шаг $n$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"Временной интервал шага $n$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"Отношение $r_n/R$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"Давление у клапана в $t=(n-1)\\tau$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"Скорость потока у клапана в $t=(n-1)\\tau$"}]}]},{"type":"element","tag":"tr","children":[{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$n=0$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$t$ <$~0$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$1.00$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$P_0$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$v_0$"}]}]},{"type":"element","tag":"tr","children":[{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$n=1$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$0\\le t$ <$~\\tau$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$0.40$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$P_1$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$v_1$"}]}]},{"type":"element","tag":"tr","children":[{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$n=2$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$\\tau\\le t$ <$~2\\tau$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$0.30$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$P_2$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$v_2$"}]}]},{"type":"element","tag":"tr","children":[{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$n=3$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$2\\tau\\le t$ <$~3\\tau$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$0.20$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$P_3$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$v_3$"}]}]},{"type":"element","tag":"tr","children":[{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$n=4$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$3\\tau\\le t$ <$~4\\tau$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$0.00$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$P_4$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$v_4=0$"}]}]}]}]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tПлотность жидкости $\\rho_0$ и скорость распространения волны $c$ можно считать постоянными. Пусть $n =0,1,2,3,4$. Определим $\\Delta P_n =P_n-P_0$ и $\\Delta v_n=v_n-v_0$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Работайте в приближении, что $P_h =P_0$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            D1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 3.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tВыразите $\\Delta P_n/(\\rho_0 c)$ через $\\Delta P_{n-1}/(\\rho_0 c)$, $v_{n-1}$ и $v_n$. Выражение должно быть справедливо для всех $n>0$, приведенных в Таблице 2."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Для $n=1,2,3$ получите также выражение для расчета $v_n$, если $v_{n-1}$ и $\\Delta P_{n-1}/(\\rho_0 c)$ известны."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            D2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 2.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tИспользуйте результаты пункта "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"D1 "}]},{"type":"text","text":"для потока, движущегося со скоростью $v_0=4.0~м/с$."},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"На миллиметровке в листах ответов постройте график зависимости $\\Delta P$ от $\\rho_0cv$. Точки пересечения ваших отрезков и участков кривых должны давать координаты $\\rho_0cv_n$ и $\\Delta P_n$ для $n=1,2,3,4$."}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Подпишите точки пересечения $(\\rho_0cv_n, \\Delta P_n)$ для всех $n$."}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Из графика оцените значения $\\rho_0cv_n$ и $\\Delta P_n$ (все в МПа) для $n=1,2,3,4$."}]}]}]}]}]}],"text":"В этой задаче изучается поведение давления в жидкости, связанное с волнами в трубе. В заданиях рассматривается гидравлический удар, который проявляется при медленном и быстром перекрытии управляющих клапанов. В задаче изучаются невязкие жидкости и их течение. Оно одномерное. Считайте, что трубы и клапаны жесткие, однако сжимаемость жидкости нужно иногда учитывать. Пусть элемент жидкости объема $V_0$ находится в равновесии при давлении $P_0$. Тогда если давление изменится на $\\Delta P$, то его объем изменится на $\\Delta V$, и он будет пропорционален $\\Delta P$: \\[\\Delta P = -B~ \\frac{\\Delta V}{V_0},\\] где $B$ — модуль всестороннего сжатия жидкости. Для воды можно считать, что плотность в состоянии равновесия равна $\\rho_0=1.0\\cdot 10^3~кг/м^3$ и $B=2.2~ГПа$. Часть A. Избыточное давление и распространение волны давления (2.2 балла) По цилиндрической трубе длины $L$ в установившемся режиме течет вода в направлении $+x$. Ее скорость $v_0$, плотность $\\rho_0$ и давление $P_0$. Как показано на рисунке 1, труба соединена с резервуаром глубины $h$, а второй конец трубы открывается в атмосферу, где давление равно $P_a$. Пусть клапан на конце трубы мгновенно закрывают, и прилегающий к клапану элемент воды испытывает скачок давления $\\Delta P_{\\mathrm{s}} \\equiv P_1-P_0$ и скорости $\\Delta v =v_1-v_0$, причем $v_1 \\le 0$. Это вызывает продольную волну избыточного давления $\\Delta P_{\\mathrm{s}}$, распространяющуюся в направлении $-x$ со скоростью $c$. Рис. 1. A1 1.60 Избыточное давление $\\Delta P_{\\mathrm{s}}$ и скачок скорости $\\Delta v$ связаны следующим образом: $\\Delta P_{\\mathrm{s}} = \\alpha \\rho_0c\\Delta v$. Скорость распространения $c$ представима в виде $c=\\beta + \\sqrt{\\gamma B/\\rho_0}$. Найдите $\\alpha$, $\\beta$ и $\\gamma$. A2 0.60 Рассчитайте $c$ и $\\Delta P_{\\mathrm{s}}$, если параметры течения воды следующие: $v_0=4.0~м/с$ и $v_1=0$. Часть B. Модель клапана, управляющего потоком (1 балл) На рисунке 2 показана модель клапана $\\mathrm{T}$ и поток жидкости через него. Клапан представляется в виде короткого отрезка $\\Delta L$, радиуса $R$ на конце $A$ трубы. Выходное отверстие клапана имеет коническую форму, радиус суженной части равен $r$. Клапан открывается в атмосферу, где давление равно $P_a$. Силой тяжести, действующей на текущую жидкость, можно пренебречь. Жидкость считать несжимаемой, а поток установившимся. Элемент жидкости на входе в клапан имеет скорость $v_{\\mathrm{in}}$, давление $P_{\\mathrm{in}}$ и плотность $\\rho_0$. На рисунке 2 линии тока и нормали к ним приведены только в качестве иллюстрации общей картины потока. Рис. 2. Известно, что после выхода струи из клапана в атмосферу, ее сечение будет уменьшаться, пока не достигнет минимального значения, когда линии тока оказываются снова параллельными. В этот момент скорость потока равна $v_c$, а радиус сечения потока равен $r_{\\mathrm{c}}=r\\sqrt C_{\\mathrm{c}}$. Здесь $C_{\\mathrm{c}}$ — коэффициент сжатия , и он зависит от отношения $r/R$ и угла $\\beta$. Зависимость приведена в Таблице 1. Таблица 1 $r/R$ $C_{\\mathrm{c}}~(\\beta=45^\\circ)$ $C_{\\mathrm{c}}~(\\beta=90^\\circ)$ $0.00$ $0.746$ $0.611$ $0.20$ $0.747$ $0.616$ $0.30$ $0.748$ $0.622$ $0.40$ $0.749$ $0.631$ $1.00$ $1.000$ $1.000$ B1 1.00 Найдите избыточное давление $\\Delta P_{\\mathrm{in}} =P_{\\mathrm{in}}-P_{\\mathrm{a}}$ на входе в клапан, где линии тока параллельны. Ответ выразите через $\\rho_0$, $v_{\\mathrm{in}}$, $r$, $R$ и $C_{\\mathrm{c}}$. Во всех заданиях частей C и D рассматривается система труба-резервуар, приведенная на рисунке 1. Также используйте следующие предположения: Часть С. Гидравлический удар при быстром закрытии клапана (1.8 балла) Рассмотрим снова систему труба-резервуар (Рис. 1). Если перегородить поток (полностью или частично закрыв клапан), возникнет волна давления, распространяющаяся в обратном направлении. Она отразится от конца $\\rm B$ трубы, вернется к клапану и отразится от него. Таким образом, возникнет другая волна, и описанный процесс повторится. Поэтому наблюдается серия всплесков и падений давления, испытываемого элементом жидкости вблизи клапана. Это и называется гидравлическим ударом . C1 0.60 Найдите давление $P_0$ и скорость $v_0$ установившегося потока в трубе, когда клапан $\\mathrm{T}$ полностью открыт ($r=R$) (см. Рис. 1 и 2). Ответ выразите через $\\rho_0$, $g$, $h$ и $P_{\\mathrm{a}}$. C2 1.20 Рассмотрим установившийся поток, описанный в пункте C1 (давление $P_0$ и скорость $v_0$). Затем в $t=0$ клапан мгновенно перекрывают ($r=0$). Волна давления распространяется к резервуару со скоростью $c$. Давление $P_h=P_0+\\rho_0gh$. Пусть $\\tau =2L/c$. Чему равны давления $P(t)$ и скорости потока $v(t)$ в трубе, когда $t$ очень близко к $\\tau/2$ и $\\tau$? Часть D. Гидравлический удар при медленном закрытии клапана (5.0 баллов) Рассмотрим установившийся поток, описанный в пункте C1 (давление $P_0$ и скорость $v_0$). Теперь клапан закрывается медленно. Чтобы смоделировать процесс закрытия, разобьем его на шаги. Начиная с момента времени $t=0$, и далее каждые $\\tau=2L/c$ происходит мгновенное изменение радиуса $r$ клапана. Сразу после каждого изменения радиуса поток вблизи клапана считайте установившимся (как в части B ). Таким образом, давление и скорость потока вблизи клапана отличаются от этих величин в остальных частях трубы. Для каждого шага $n$ в Таблице 2 приведены значения длительности этого шага и значение радиуса $r_n$. Также указаны обозначения давления в жидкости $P_n$ и скорости потока $v_n$ вблизи клапана. Таблица 2 Шаг $n$ Временной интервал шага $n$ Отношение $r_n/R$ Давление у клапана в $t=(n-1)\\tau$ Скорость потока у клапана в $t=(n-1)\\tau$ $n=0$ $t$ <$~0$ $1.00$ $P_0$ $v_0$ $n=1$ $0\\le t$ <$~\\tau$ $0.40$ $P_1$ $v_1$ $n=2$ $\\tau\\le t$ <$~2\\tau$ $0.30$ $P_2$ $v_2$ $n=3$ $2\\tau\\le t$ <$~3\\tau$ $0.20$ $P_3$ $v_3$ $n=4$ $3\\tau\\le t$ <$~4\\tau$ $0.00$ $P_4$ $v_4=0$ Плотность жидкости $\\rho_0$ и скорость распространения волны $c$ можно считать постоянными. Пусть $n =0,1,2,3,4$. Определим $\\Delta P_n =P_n-P_0$ и $\\Delta v_n=v_n-v_0$. Работайте в приближении, что $P_h =P_0$. D1 3.00 Выразите $\\Delta P_n/(\\rho_0 c)$ через $\\Delta P_{n-1}/(\\rho_0 c)$, $v_{n-1}$ и $v_n$. Выражение должно быть справедливо для всех $n>0$, приведенных в Таблице 2. Для $n=1,2,3$ получите также выражение для расчета $v_n$, если $v_{n-1}$ и $\\Delta P_{n-1}/(\\rho_0 c)$ известны. D2 2.00 Используйте результаты пункта D1 для потока, движущегося со скоростью $v_0=4.0~м/с$. На миллиметровке в листах ответов постройте график зависимости $\\Delta P$ от $\\rho_0cv$. Точки пересечения ваших отрезков и участков кривых должны давать координаты $\\rho_0cv_n$ и $\\Delta P_n$ для $n=1,2,3,4$. Подпишите точки пересечения $(\\rho_0cv_n, \\Delta P_n)$ для всех $n$. Из графика оцените значения $\\rho_0cv_n$ и $\\Delta P_n$ (все в МПа) для $n=1,2,3,4$.\n","figures":["/corpus/figures/987fc395c511ad32a863.webp","/corpus/figures/db9085694e1d23725cc3.webp"],"shared":false},"solution":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tИзбыточное давление $\\Delta P_{\\mathrm{s}}$ и скачок скорости $\\Delta v$ связаны следующим образом: $\\Delta P_{\\mathrm{s}} = \\alpha \\rho_0c\\Delta v$. Скорость распространения $c$ представима в виде $c=\\beta + \\sqrt{\\gamma B/\\rho_0}$."},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Найдите $\\alpha$, $\\beta$ и $\\gamma$."}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tРассчитайте $c$ и $\\Delta P_{\\mathrm{s}}$, если параметры течения воды следующие: $v_0=4.0~м/с$ и $v_1=0$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tНайдите избыточное давление $\\Delta P_{\\mathrm{in}} =P_{\\mathrm{in}}-P_{\\mathrm{a}}$ на входе в клапан, где линии тока параллельны. Ответ выразите через $\\rho_0$, $v_{\\mathrm{in}}$, $r$, $R$ и $C_{\\mathrm{c}}$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tНайдите давление $P_0$ и скорость $v_0$ установившегося потока в трубе, когда клапан $\\mathrm{T}$ полностью открыт ($r=R$) (см. Рис. 1 и 2). Ответ выразите через $\\rho_0$, $g$, $h$ и $P_{\\mathrm{a}}$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tРассмотрим установившийся поток, описанный в пункте "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"C1 "}]},{"type":"text","text":"(давление $P_0$ и скорость $v_0$). Затем в $t=0$ клапан мгновенно перекрывают ($r=0$). Волна давления распространяется к резервуару со скоростью $c$. Давление $P_h=P_0+\\rho_0gh$. Пусть $\\tau =2L/c$. Чему равны давления $P(t)$ и скорости потока $v(t)$ в трубе, когда $t$ очень близко к $\\tau/2$ и $\\tau$?\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                D1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 3.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tВыразите $\\Delta P_n/(\\rho_0 c)$ через $\\Delta P_{n-1}/(\\rho_0 c)$, $v_{n-1}$ и $v_n$. Выражение должно быть справедливо для всех $n>0$, приведенных в Таблице 2."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Для $n=1,2,3$ получите также выражение для расчета $v_n$, если $v_{n-1}$ и $\\Delta P_{n-1}/(\\rho_0 c)$ известны."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                D2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 2.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tИспользуйте результаты пункта "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"D1 "}]},{"type":"text","text":"для потока, движущегося со скоростью $v_0=4.0~м/с$."},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"На миллиметровке в листах ответов постройте график зависимости $\\Delta P$ от $\\rho_0cv$. Точки пересечения ваших отрезков и участков кривых должны давать координаты $\\rho_0cv_n$ и $\\Delta P_n$ для $n=1,2,3,4$."}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Подпишите точки пересечения $(\\rho_0cv_n, \\Delta P_n)$ для всех $n$."}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Из графика оцените значения $\\rho_0cv_n$ и $\\Delta P_n$ (все в МПа) для $n=1,2,3,4$."}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]}],"text":"A1 1.60 Избыточное давление $\\Delta P_{\\mathrm{s}}$ и скачок скорости $\\Delta v$ связаны следующим образом: $\\Delta P_{\\mathrm{s}} = \\alpha \\rho_0c\\Delta v$. Скорость распространения $c$ представима в виде $c=\\beta + \\sqrt{\\gamma B/\\rho_0}$. Найдите $\\alpha$, $\\beta$ и $\\gamma$.\nA2 0.60 Рассчитайте $c$ и $\\Delta P_{\\mathrm{s}}$, если параметры течения воды следующие: $v_0=4.0~м/с$ и $v_1=0$.\nB1 1.00 Найдите избыточное давление $\\Delta P_{\\mathrm{in}} =P_{\\mathrm{in}}-P_{\\mathrm{a}}$ на входе в клапан, где линии тока параллельны. Ответ выразите через $\\rho_0$, $v_{\\mathrm{in}}$, $r$, $R$ и $C_{\\mathrm{c}}$.\nC1 0.60 Найдите давление $P_0$ и скорость $v_0$ установившегося потока в трубе, когда клапан $\\mathrm{T}$ полностью открыт ($r=R$) (см. Рис. 1 и 2). Ответ выразите через $\\rho_0$, $g$, $h$ и $P_{\\mathrm{a}}$.\nC2 1.20 Рассмотрим установившийся поток, описанный в пункте C1 (давление $P_0$ и скорость $v_0$). Затем в $t=0$ клапан мгновенно перекрывают ($r=0$). Волна давления распространяется к резервуару со скоростью $c$. Давление $P_h=P_0+\\rho_0gh$. Пусть $\\tau =2L/c$. Чему равны давления $P(t)$ и скорости потока $v(t)$ в трубе, когда $t$ очень близко к $\\tau/2$ и $\\tau$?\nD1 3.00 Выразите $\\Delta P_n/(\\rho_0 c)$ через $\\Delta P_{n-1}/(\\rho_0 c)$, $v_{n-1}$ и $v_n$. Выражение должно быть справедливо для всех $n>0$, приведенных в Таблице 2. Для $n=1,2,3$ получите также выражение для расчета $v_n$, если $v_{n-1}$ и $\\Delta P_{n-1}/(\\rho_0 c)$ известны.\nD2 2.00 Используйте результаты пункта D1 для потока, движущегося со скоростью $v_0=4.0~м/с$. На миллиметровке в листах ответов постройте график зависимости $\\Delta P$ от $\\rho_0cv$. Точки пересечения ваших отрезков и участков кривых должны давать координаты $\\rho_0cv_n$ и $\\Delta P_n$ для $n=1,2,3,4$. Подпишите точки пересечения $(\\rho_0cv_n, \\Delta P_n)$ для всех $n$. Из графика оцените значения $\\rho_0cv_n$ и $\\Delta P_n$ (все в МПа) для $n=1,2,3,4$.","figures":[],"shared":false}},{"id":"apho-2021-t2","importedOn":"2026-10-28","language":"ru","sources":[{"url":"https://pho.rs/p/292","kind":"statement"},{"url":"https://pho.rs/p/292/s","kind":"solution"}],"statement":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"text","text":"\n                        \n                        \n\n\n\n\tПусть $\\vec{E}$ – напряженность электрического поля, $\\vec{H}$ – напряженность магнитного поля, $\\vec{D}$ – электрическая индукция, $\\vec{B}$ – индукция магнитного поля. Известно, что $\\vec{D}=\\epsilon_0\\vec{E}+\\vec{P}$, где $\\vec{P}$ – вектор поляризации вещества, $\\epsilon_0$ – электрическая постоянная. Будем рассматривать только немагнитные вещества, для них $\\vec{B}=\\mu_0 \\vec{H}$, где $\\mu_0$ – магнитная постоянная. Плотность энергии электромагнитного поля вычисляется по формуле $u_{em}=\\frac{1}{2}(\\vec{E}\\cdot\\vec{D}+\\vec{H}\\cdot\\vec{B})$, плотность потока энергии (вектор Пойнтинга) $\\vec{S}=\\vec{E}\\times \\vec{H}$."},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Плоская монохроматическая световая волна в однородной среде задаётся величинами: угловая частота $\\omega$, волновой вектор $\\vec{k}$, $\\vec{D}$, $\\vec{B}$. Из уравнений Максвелла: $\\vec{k}\\times\\vec{E}=\\omega \\vec{B}$ и $\\vec{k}\\times\\vec{H}=-\\omega \\vec{D}$. В такой волне векторы $\\vec{D}$ и $\\vec{B}$ меняются в пространстве и во времени по синусоиде с фазой $(\\vec{k} \\cdot \\vec{r} -\\omega t)$."}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть A. Распространение света в изотропном диэлектрике (1.0 балл)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tВ изотропной среде $\\vec{P}=\\chi \\epsilon_0 \\vec{E}$ и $\\vec{D}=\\epsilon \\vec{E}$, где $\\chi$ – магнитная восприимчивость, $\\epsilon = \\epsilon_0 (1+\\chi)$ – магнитная проницаемость. Фазовая скорость волны равна $v_p = c/n$, где $c$ – скорость света в вакууме, $n\\:$– показатель преломления. Можно также представлять свет набором лучей, направленных вдоль переноса энергии и имеющих скорость $v_r$, с которой переносится плотность энергии."},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Рассмотрим плоскую световую волну с угловой частотой $\\omega$ и волновым вектором $\\vec{k}$ в однородной изотропной диэлектрической среде."}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.40"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Получите выражение для фазовой скорости $v_p$ через $\\epsilon$ и $\\mu_0$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Напишите, как выражается показатель преломления $n$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.40"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n В каком направлении $\\hat{S} \\equiv \\vec{S}/S$ переносится энергия? Какова скорость лучей $v_r$?\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть B. Распространение света в одноосной среде (4.8 балла)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tТеперь предположим, что среда имеет выделенное направление $z$ ({\\it оптическую ось}): $D_x = \\epsilon E_x$, $D_y = \\epsilon E_y$, $D_z = \\epsilon' E_z$, где все оси попарно ортогональны. Тогда фазовая скорость зависит еще и от направлений $\\vec{k}$ и $\\vec{D}$. Обозначив $n_o = c \\sqrt{\\mu_0 \\epsilon}$ и $n_e=c \\sqrt{\\mu_0 \\epsilon'}$, выполните пункты "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"B1"}]},{"type":"text","text":", "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"B2"}]},{"type":"text","text":", и "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"B3"}]},{"type":"text","text":".\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tПусть волновой вектор $\\vec{k}$ лежит в плоскости $xz$: $\\vec{k}=k(\\sin \\theta,0,\\cos \\theta)$. При заданном $\\theta$ плоская монохроматическая волна может распространяться только при определенных направлениях $\\vec{D}$ и $\\vec{B}$."},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Найдите эти возможные направления."}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Выразите также все соответствующие показатели преломления через $\\theta$, $n_o$ и $n_e$."}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"При каком угле $\\theta$ возможно лишь одно значение показателя преломления?"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.80"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tПоляризация световой волны (направление колебаний $\\vec{E}$) может быть перпендикулярна плоскости $xz$ ("},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"обыкновенная волна"}]},{"type":"text","text":", "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"обыкновенный луч"}]},{"type":"text","text":") или лежать в этой плоскости ("},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"обыкновенная волна/луч"}]},{"type":"text","text":")."},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Для каждой из волн, найденных вами в "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"B1"}]},{"type":"text","text":", запишите единичный вектор в направлении поляризации."}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Укажите, какая из них обыкновенная, а какая – необыкновенная."}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Вычислите $\\operatorname{tg}\\alpha$, где $\\alpha$ – угол между $\\vec{E}$ и $\\vec{D}$ ($\\alpha$ положительный, если вектора $\\vec{E}$ и $\\vec{D}$ лежат в плоскости $xz$ и поворот от $\\vec{E}$ к $\\vec{D}$ происходит по часовой стрелке)."}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tИспользуйте результаты пунктов "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"B1"}]},{"type":"text","text":" и "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"B2"}]},{"type":"text","text":" в случае, когда $\\vec{k}$ по-прежнему составляет угол $\\theta$ с положительным направлением оси $z$, но не лежит в плоскости $xz$."},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Укажите возможные значения показателя преломления и соответствующие поляризации."}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n В одноосных средах направление светового луча может отличаться от направления вектора $\\vec{k}$. Фазовая скорость по-прежнему вычисляется как $c/n$ ($n$ соответствует направлению $\\vec{k}$). А скорость лучей определяется с учетом направления и плотности потока энергии.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B4\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.80"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tПусть $\\vec{k} = k(\\sin \\theta,0,\\cos \\theta)$, как в пунктах "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"B1"}]},{"type":"text","text":"–"},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"B3"}]},{"type":"text","text":". Угол между $\\hat{k} \\equiv \\vec{k}/k$ и направлением луча, $\\hat{S}$, обозначим $\\alpha_r$ ($\\alpha_r$ положительный, если вектора $\\hat{S}$ и $\\hat{k}$ лежат в плоскости $xz$ и поворот от $\\hat{S}$ к $\\hat{k}$ происходит по часовой стрелке)."},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Найдите возможные значения $\\operatorname{tg}\\alpha_r$, скорости лучей $v_r$ и вектора Пойнтинга $\\hat{S}$. Используя эти результаты, выразите величину $n_s = c/v_r$ через $\\hat{S}$, $\\hat{x}$, $\\hat{z}$, $n_o$, $n_e$."}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Пусть луч света идет из A в B через границу раздела изотропной (1) и анизотропной (2) сред (см. рис. 1). Плоскость $yz$ – граница раздела, $xz$ – плоскость падения, и в ней же лежит направление поляризации. Угол падения $\\theta_1$. Показатель преломления (1) равен $n$, показатели преломления (2) для направлений $z_2$, $y_2$, $x_2$ равны $n_e$, $n_o$, $n_o$ соответственно. Причем ось $y_2$ совпадает с осью $y$. Из принципа Ферма следует:\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n $$\\bar{A} (\\operatorname{tg}\\theta_2 )^2 + \\bar{B} \\operatorname{tg}\\theta_2 +\\bar{C}=0$$\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B5\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.10"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Получите выражения для $\\bar{A}$, $\\bar{B}$, $\\bar{C}$ через $P_1$, $P_2$, $P_3$ и $n \\sin \\theta_1$, где $P_1=n^2_o \\cos^2 \\phi+n^2_e \\sin^2 \\phi$, $P_2=n^2_o \\sin^2 \\phi+n^2_e \\cos^2 \\phi$, $P_3=(n^2_o - n^2_e) \\sin \\phi \\cos \\phi$. С помощью уравнения (1) найдите $\\tan \\theta_2$ для двух случаев ориентации: $\\phi =0$ и $\\phi = \\pi/2$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/caeaf7be33021a1c638f.webp","alt":"apho-2021-t2 statement: original source diagram 1"}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть C. Запутанность света (4.2 балла)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n В нелинейной среде напряженность электрического поля $\\vec{E}$ связана с вектором поляризации $\\vec{P}$ выражением $P_i=(\\epsilon-\\epsilon_0)E_i + \\sum_j \\sum_k \\chi^{(2)}_{ijk} E_jE_k$. Здесь $i$, $j$, $k$ каждый может быть любым из трёх компонент $x$, $y$, $z$. $\\chi^{(2)}_{ijk}$ есть константы, представляющие нелинейную восприимчивость среды второго порядка. Ненулевые $\\chi^{(2)}_{ijk}$ приводят к тому, что при прохождении через нелинейную среду световая волна может расщепиться на две световые волны.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Предположим, что поскольку не все $\\chi^{(2)}_{ijk}$ равны нулю, электрическое поле в среде является суперпозицией трёх плоских волн с угловыми частотами $\\omega$, $\\omega_1$, и $\\omega_2$, распространяющиеся с волновыми векторами $\\vec{k}$, $\\vec{k}_1$, и $\\vec{k}_2$, соответственно. Будем считать, что $\\omega \\geq \\omega_2$ и $\\omega_1 \\geq \\omega_2$.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.80"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tНайдите все возможные отношения (известные как "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"условия фазового синхронизма"}]},{"type":"text","text":") между этими угловыми частотами и волновыми векторами."},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Если рассматривать свет состоящим из фотонов, какие законы сохранения подразумевают эти условия для трех указанных фотонов?"}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Запишите уравнения, выражающие эти законы сохранения для случая, когда фотон с угловой частотой $\\omega$ и волновым вектором $\\vec{k}$ расщепляется на два фотона с угловыми частотами $\\omega_1$и $\\omega_2$, распространяясь с волновыми векторами $\\vec{k}_1$и $\\vec{k}_2$, соответственно."}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.80"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tРассмотрим световую волну в одноосной среде. Обозначим обыкновенный луч как ${\\bf o}$ и необыкновенный луч как ${\\bf e}$. Есть 8 возможных путей расщепления световой волны: ${\\bf o → o + o}$, ${\\bf o → e + o}$, ${\\bf o → o + e}$, ${\\bf o → e + e}$, ${\\bf e → o + o}$, ${\\bf e → e + o}$, ${\\bf e → o + e}$, и ${\\bf e → e + e}$. Предположим, что коэффициенты преломления $n_o$ и $n_e$ оба являются возрастающей функцией от $\\omega$. Используя те же обозначения как и в вопросе "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"C1 "}]},{"type":"text","text":"и считая что $\\vec{k}$, $\\vec{k}_1$, и $\\vec{k}_2$ коллинеарны, укажите какие из 8 путей расщепления не могут быть возможны.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Рассмотрим падающий ${\\bf e}$ луч распространяющийся вдоль направления оси $z'$ с волновыми вектором $\\vec{k}$ и $\\omega=\\Omega_p$ в одноосной среде с показателем преломления $n_e < n_o$. Предположим, что при коллинеарном расщеплении ${\\bf e → e + o}$, условие фазового синхронизма выполняется для $k_1=K_e$, $\\omega_1=\\Omega_e$, $k_2=K_o$, и $\\omega_2=\\Omega_o$. Здесь индексы 1 и 2 относятся к ${\\bf e}$ лучу и к ${\\bf o}$ лучу. Векторы $\\vec{k}_1$, $\\vec{k}_2$ и $\\vec{k}$ все сонаправлены с направлением $z'$. Как показано на рис. 2(a), оптическая ось среды лежит в плоскости $x'z'$ и имеет угол $\\theta < \\pi/2$ с осью $z'$. Поэтому, получается что $n_e$ есть функция от $\\omega$ и $\\theta$, т.е., $n_e=n_e(\\omega,\\theta)$. Для того же падающего луча ${\\bf e}$ с волновым вектором $\\vec{k}$ и $\\omega=\\Omega_p$, предположим неколлинеарное расщепление лучей ${\\bf e + o}$. Такое расщепление двух последних указанных лучей приводит к тому, что они расщепляются но остаются на двух конусах с $\\omega_1=\\omega_2=\\Omega$, $k_1=k_2$, как показано на рис. 2(b). Отметим, что при коллинеарном расщеплении, $\\Omega_e$ уже близко к $\\Omega_o$, и здесь $\\Omega$ лишь немного меньше $\\Omega_e$. В плоскости перпендикулярной к $\\vec{k}$, два круговых сечения конусов $\\vec{k}_1$ и $\\vec{k}_2$ пересекаются в точках $a$ и $b$ так, что линия $\\overline{ab}$ параллельна оси $y'$. Как показано на рис. 2(a), $\\vec{k}_{\\alpha}$($\\alpha=1,2$ ) составляет угол $\\theta_{\\alpha}$ с оптической осью и имеет угловые координаты $(\\psi_{\\alpha}, \\phi_{\\alpha})$. Здесь $\\vec{k}_{\\alpha \\perp}$ является проекцией на плоскость $x'y'$. Каждый вектор $\\vec{k}_{\\alpha}$ отклоняется от оси $z'$только на малую величину $|(\\Omega-\\Omega_e)/\\Omega_e| \\ll 1$, $|\\vec{k}_{\\alpha \\perp}|/k_{\\alpha} \\ll 1$ и $|\\theta_{\\alpha}-\\theta| \\ll 1$. Используя приближение, которые согласуются с $z'$ компонентой $\\vec{k}_{\\alpha}$ до членов порядка $k^2_{\\alpha \\perp}$ и угол $\\theta_{\\alpha}$ до $(\\theta_{\\alpha}-\\theta)^2$, можно показать что $\\vec{k}_{2\\perp}=(q_{x'},q_{y'})$ удовлетворяет выражению $M (q_{x'}+ N )^2+M q^2_{y'}= L$.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.30"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Пусть $M >0$. Выразите $M$, $N$, и $L$ через $\\Omega$, $\\Omega_e$, $\\Omega_o$, $K_e$, $K_o$ и $N_e (\\omega,\\theta)=\\dfrac{1}{n_e(\\omega,\\theta)}\\dfrac{\\mathrm dn_e(\\omega,\\theta)}{\\mathrm d \\theta}$ и групповые скорости $u_o=\\dfrac{\\mathrm dw_2}{\\mathrm d k_2}$ и $u_e =\\dfrac{\\mathrm d \\omega_1}{\\mathrm d k_1}$ для ${\\bf o}$ и ${\\bf e}$ лучей. Оцените угол между осью конуса и осью $z'$, и также оцените угол между осью и образующей конуса через $L$, $M$, $N$ and $K_o$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/62eba9ee78da0349cb99.webp","alt":"apho-2021-t2 statement: original source diagram 2"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"(a)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/6279ba6b6e31d64b84c4.webp","alt":"apho-2021-t2 statement: original source diagram 3"}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tВопрос "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"C3 "}]},{"type":"text","text":"показывает, что фотон может разделиться на два фотона, которые при прохождении через точки a и b поляризованы в перпендикулярных направлениях. Эти два фотона называются "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"запутанной парой фотонов"}]},{"type":"text","text":", потому что если один фотон, проходящий через $a$ (называемый $a$-фотоном), поляризован в направлении $\\hat{x}'$, то другой, который проходит через $b$ (называемый $b$-фотоном), будет поляризован в направлении $\\hat{y}' \\perp \\hat{x}'$, и если $a$-фотон поляризован в $\\hat{y}'$, то $b$-фотон будет поляризован в $\\hat{x}'$. Запутанное состояние пары фотонов может быть получено экспериментально. Это суперпозиция двух вышеуказанных альтернативных состояний и может быть выражена как $\\frac{1}{\\sqrt{2}} (|\\hat{x}'_a \\rangle|\\hat{y}'_b\\rangle+|\\hat{y}'_a \\rangle|\\hat{x}'_b\\rangle)$. Здесь $|\\hat{x}'_a \\rangle|\\hat{y}'_b\\rangle $представляет состояние когда $a$-фоторн поляризован в направлении $\\hat{x}'$ и $b$-фотон поляризован в направлении $\\hat{y}'$; аналогичное значение имеет $|\\hat{y}'_a \\rangle|\\hat{x}'_b\\rangle $. Коэффициент $1/\\sqrt{2}$ может рассматриваться как произведение амплитуд электрического поля (выраженное в соответсвующих единицах) для $a$- и $b$-фотонов. Как показано на рис. 3, два линейных поляризатора 1 и 2 имеют оси пропускания под углами $\\alpha$ и $\\beta$ соответственно относительно $\\hat{x}'$. Мы можем использовать их для измерения совпадений двух фотонов, прошедших через $a$ и $b$. Пусть вероятность одновременного обнаружения двух фотонов, проходящих через поляризаторы 1 и 2, равна $P(\\alpha,\\beta)$. Другими словами, $P(\\alpha,\\beta)$ можно также рассматривать как величину, пропорциональную произведению интенсивностей (после соответствующих суперпозиций) света, проходящего через два поляризатора. Обозначим $\\alpha+\\pi/2$ и $\\beta+\\pi/2$ как $\\alpha_{\\perp}$ и $\\beta_{\\perp}$ соответственно.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/e738db173fd0ccfa8b35.webp","alt":"apho-2021-t2 statement: original source diagram 4"}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C4\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.80"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Рассмотрим полное электрическое поле, создаваемое линейными поляризаторами. Найдите вероятности $P(\\alpha,\\beta)$, $P(\\alpha,\\beta_{\\perp})$, $P(\\alpha_{\\perp},\\beta)$, и $P(\\alpha_{\\perp},\\beta_{\\perp})$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C5\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tОбозначим $\\sigma_a=1$ когда поляризатор 1 с углом $\\alpha$ находит $a$-фотон и $\\sigma_a=-1$ когда поляризатор 1 с углом $\\alpha_{\\perp}$ находит $a$-фотон. Аналогично, $\\sigma_{\\beta}=1$ или $-1$ обозначают случаи когда поляризатор 2 с углами $\\beta$ или $\\beta_{\\perp}$ находят $b$-фотон."},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Если $E(\\alpha,\\beta)$ обозначает среднее от $\\sigma_a \\sigma_b$, то величина $S=|E(\\alpha,\\beta)-E(\\alpha,\\beta')|+|E(\\alpha',\\beta)-E(\\alpha',\\beta')|$ имеет чрезвычайно важное значение. Для классической теории света $S \\leq 2$. Это одна из формулировок неравенства Белла (CHSH-неравенства, полученного Клаузером, Хорном, Шимони и Хольтом)."}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Получите выражение для $S$ и вычислите $S$ для случая $\\alpha=\\frac{\\pi}{4}$,$\\alpha'=0$ , $\\beta=-\\frac{\\pi}{8}$, $\\beta'=\\frac{\\pi}{8}$."}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Укажите, согласуется ли результат для $S$ с классической теорией."}]}]}]}]}]}],"text":"Пусть $\\vec{E}$ – напряженность электрического поля, $\\vec{H}$ – напряженность магнитного поля, $\\vec{D}$ – электрическая индукция, $\\vec{B}$ – индукция магнитного поля. Известно, что $\\vec{D}=\\epsilon_0\\vec{E}+\\vec{P}$, где $\\vec{P}$ – вектор поляризации вещества, $\\epsilon_0$ – электрическая постоянная. Будем рассматривать только немагнитные вещества, для них $\\vec{B}=\\mu_0 \\vec{H}$, где $\\mu_0$ – магнитная постоянная. Плотность энергии электромагнитного поля вычисляется по формуле $u_{em}=\\frac{1}{2}(\\vec{E}\\cdot\\vec{D}+\\vec{H}\\cdot\\vec{B})$, плотность потока энергии (вектор Пойнтинга) $\\vec{S}=\\vec{E}\\times \\vec{H}$. Плоская монохроматическая световая волна в однородной среде задаётся величинами: угловая частота $\\omega$, волновой вектор $\\vec{k}$, $\\vec{D}$, $\\vec{B}$. Из уравнений Максвелла: $\\vec{k}\\times\\vec{E}=\\omega \\vec{B}$ и $\\vec{k}\\times\\vec{H}=-\\omega \\vec{D}$. В такой волне векторы $\\vec{D}$ и $\\vec{B}$ меняются в пространстве и во времени по синусоиде с фазой $(\\vec{k} \\cdot \\vec{r} -\\omega t)$. Часть A. Распространение света в изотропном диэлектрике (1.0 балл) В изотропной среде $\\vec{P}=\\chi \\epsilon_0 \\vec{E}$ и $\\vec{D}=\\epsilon \\vec{E}$, где $\\chi$ – магнитная восприимчивость, $\\epsilon = \\epsilon_0 (1+\\chi)$ – магнитная проницаемость. Фазовая скорость волны равна $v_p = c/n$, где $c$ – скорость света в вакууме, $n\\:$– показатель преломления. Можно также представлять свет набором лучей, направленных вдоль переноса энергии и имеющих скорость $v_r$, с которой переносится плотность энергии. Рассмотрим плоскую световую волну с угловой частотой $\\omega$ и волновым вектором $\\vec{k}$ в однородной изотропной диэлектрической среде. A1 0.40 Получите выражение для фазовой скорости $v_p$ через $\\epsilon$ и $\\mu_0$. A2 0.20 Напишите, как выражается показатель преломления $n$. A3 0.40 В каком направлении $\\hat{S} \\equiv \\vec{S}/S$ переносится энергия? Какова скорость лучей $v_r$? Часть B. Распространение света в одноосной среде (4.8 балла) Теперь предположим, что среда имеет выделенное направление $z$ ({\\it оптическую ось}): $D_x = \\epsilon E_x$, $D_y = \\epsilon E_y$, $D_z = \\epsilon' E_z$, где все оси попарно ортогональны. Тогда фазовая скорость зависит еще и от направлений $\\vec{k}$ и $\\vec{D}$. Обозначив $n_o = c \\sqrt{\\mu_0 \\epsilon}$ и $n_e=c \\sqrt{\\mu_0 \\epsilon'}$, выполните пункты B1 , B2 , и B3 . B1 1.50 Пусть волновой вектор $\\vec{k}$ лежит в плоскости $xz$: $\\vec{k}=k(\\sin \\theta,0,\\cos \\theta)$. При заданном $\\theta$ плоская монохроматическая волна может распространяться только при определенных направлениях $\\vec{D}$ и $\\vec{B}$. Найдите эти возможные направления. Выразите также все соответствующие показатели преломления через $\\theta$, $n_o$ и $n_e$. При каком угле $\\theta$ возможно лишь одно значение показателя преломления? B2 0.80 Поляризация световой волны (направление колебаний $\\vec{E}$) может быть перпендикулярна плоскости $xz$ ( обыкновенная волна , обыкновенный луч ) или лежать в этой плоскости ( обыкновенная волна/луч ). Для каждой из волн, найденных вами в B1 , запишите единичный вектор в направлении поляризации. Укажите, какая из них обыкновенная, а какая – необыкновенная. Вычислите $\\operatorname{tg}\\alpha$, где $\\alpha$ – угол между $\\vec{E}$ и $\\vec{D}$ ($\\alpha$ положительный, если вектора $\\vec{E}$ и $\\vec{D}$ лежат в плоскости $xz$ и поворот от $\\vec{E}$ к $\\vec{D}$ происходит по часовой стрелке). B3 0.60 Используйте результаты пунктов B1 и B2 в случае, когда $\\vec{k}$ по-прежнему составляет угол $\\theta$ с положительным направлением оси $z$, но не лежит в плоскости $xz$. Укажите возможные значения показателя преломления и соответствующие поляризации. В одноосных средах направление светового луча может отличаться от направления вектора $\\vec{k}$. Фазовая скорость по-прежнему вычисляется как $c/n$ ($n$ соответствует направлению $\\vec{k}$). А скорость лучей определяется с учетом направления и плотности потока энергии. B4 0.80 Пусть $\\vec{k} = k(\\sin \\theta,0,\\cos \\theta)$, как в пунктах B1 – B3 . Угол между $\\hat{k} \\equiv \\vec{k}/k$ и направлением луча, $\\hat{S}$, обозначим $\\alpha_r$ ($\\alpha_r$ положительный, если вектора $\\hat{S}$ и $\\hat{k}$ лежат в плоскости $xz$ и поворот от $\\hat{S}$ к $\\hat{k}$ происходит по часовой стрелке). Найдите возможные значения $\\operatorname{tg}\\alpha_r$, скорости лучей $v_r$ и вектора Пойнтинга $\\hat{S}$. Используя эти результаты, выразите величину $n_s = c/v_r$ через $\\hat{S}$, $\\hat{x}$, $\\hat{z}$, $n_o$, $n_e$. Пусть луч света идет из A в B через границу раздела изотропной (1) и анизотропной (2) сред (см. рис. 1). Плоскость $yz$ – граница раздела, $xz$ – плоскость падения, и в ней же лежит направление поляризации. Угол падения $\\theta_1$. Показатель преломления (1) равен $n$, показатели преломления (2) для направлений $z_2$, $y_2$, $x_2$ равны $n_e$, $n_o$, $n_o$ соответственно. Причем ось $y_2$ совпадает с осью $y$. Из принципа Ферма следует: $$\\bar{A} (\\operatorname{tg}\\theta_2 )^2 + \\bar{B} \\operatorname{tg}\\theta_2 +\\bar{C}=0$$ B5 1.10 Получите выражения для $\\bar{A}$, $\\bar{B}$, $\\bar{C}$ через $P_1$, $P_2$, $P_3$ и $n \\sin \\theta_1$, где $P_1=n^2_o \\cos^2 \\phi+n^2_e \\sin^2 \\phi$, $P_2=n^2_o \\sin^2 \\phi+n^2_e \\cos^2 \\phi$, $P_3=(n^2_o - n^2_e) \\sin \\phi \\cos \\phi$. С помощью уравнения (1) найдите $\\tan \\theta_2$ для двух случаев ориентации: $\\phi =0$ и $\\phi = \\pi/2$. Часть C. Запутанность света (4.2 балла) В нелинейной среде напряженность электрического поля $\\vec{E}$ связана с вектором поляризации $\\vec{P}$ выражением $P_i=(\\epsilon-\\epsilon_0)E_i + \\sum_j \\sum_k \\chi^{(2)}_{ijk} E_jE_k$. Здесь $i$, $j$, $k$ каждый может быть любым из трёх компонент $x$, $y$, $z$. $\\chi^{(2)}_{ijk}$ есть константы, представляющие нелинейную восприимчивость среды второго порядка. Ненулевые $\\chi^{(2)}_{ijk}$ приводят к тому, что при прохождении через нелинейную среду световая волна может расщепиться на две световые волны. Предположим, что поскольку не все $\\chi^{(2)}_{ijk}$ равны нулю, электрическое поле в среде является суперпозицией трёх плоских волн с угловыми частотами $\\omega$, $\\omega_1$, и $\\omega_2$, распространяющиеся с волновыми векторами $\\vec{k}$, $\\vec{k}_1$, и $\\vec{k}_2$, соответственно. Будем считать, что $\\omega \\geq \\omega_2$ и $\\omega_1 \\geq \\omega_2$. C1 0.80 Найдите все возможные отношения (известные как условия фазового синхронизма ) между этими угловыми частотами и волновыми векторами. Если рассматривать свет состоящим из фотонов, какие законы сохранения подразумевают эти условия для трех указанных фотонов? Запишите уравнения, выражающие эти законы сохранения для случая, когда фотон с угловой частотой $\\omega$ и волновым вектором $\\vec{k}$ расщепляется на два фотона с угловыми частотами $\\omega_1$и $\\omega_2$, распространяясь с волновыми векторами $\\vec{k}_1$и $\\vec{k}_2$, соответственно. C2 0.80 Рассмотрим световую волну в одноосной среде. Обозначим обыкновенный луч как ${\\bf o}$ и необыкновенный луч как ${\\bf e}$. Есть 8 возможных путей расщепления световой волны: ${\\bf o → o + o}$, ${\\bf o → e + o}$, ${\\bf o → o + e}$, ${\\bf o → e + e}$, ${\\bf e → o + o}$, ${\\bf e → e + o}$, ${\\bf e → o + e}$, и ${\\bf e → e + e}$. Предположим, что коэффициенты преломления $n_o$ и $n_e$ оба являются возрастающей функцией от $\\omega$. Используя те же обозначения как и в вопросе C1 и считая что $\\vec{k}$, $\\vec{k}_1$, и $\\vec{k}_2$ коллинеарны, укажите какие из 8 путей расщепления не могут быть возможны. Рассмотрим падающий ${\\bf e}$ луч распространяющийся вдоль направления оси $z'$ с волновыми вектором $\\vec{k}$ и $\\omega=\\Omega_p$ в одноосной среде с показателем преломления $n_e < n_o$. Предположим, что при коллинеарном расщеплении ${\\bf e → e + o}$, условие фазового синхронизма выполняется для $k_1=K_e$, $\\omega_1=\\Omega_e$, $k_2=K_o$, и $\\omega_2=\\Omega_o$. Здесь индексы 1 и 2 относятся к ${\\bf e}$ лучу и к ${\\bf o}$ лучу. Векторы $\\vec{k}_1$, $\\vec{k}_2$ и $\\vec{k}$ все сонаправлены с направлением $z'$. Как показано на рис. 2(a), оптическая ось среды лежит в плоскости $x'z'$ и имеет угол $\\theta < \\pi/2$ с осью $z'$. Поэтому, получается что $n_e$ есть функция от $\\omega$ и $\\theta$, т.е., $n_e=n_e(\\omega,\\theta)$. Для того же падающего луча ${\\bf e}$ с волновым вектором $\\vec{k}$ и $\\omega=\\Omega_p$, предположим неколлинеарное расщепление лучей ${\\bf e + o}$. Такое расщепление двух последних указанных лучей приводит к тому, что они расщепляются но остаются на двух конусах с $\\omega_1=\\omega_2=\\Omega$, $k_1=k_2$, как показано на рис. 2(b). Отметим, что при коллинеарном расщеплении, $\\Omega_e$ уже близко к $\\Omega_o$, и здесь $\\Omega$ лишь немного меньше $\\Omega_e$. В плоскости перпендикулярной к $\\vec{k}$, два круговых сечения конусов $\\vec{k}_1$ и $\\vec{k}_2$ пересекаются в точках $a$ и $b$ так, что линия $\\overline{ab}$ параллельна оси $y'$. Как показано на рис. 2(a), $\\vec{k}_{\\alpha}$($\\alpha=1,2$ ) составляет угол $\\theta_{\\alpha}$ с оптической осью и имеет угловые координаты $(\\psi_{\\alpha}, \\phi_{\\alpha})$. Здесь $\\vec{k}_{\\alpha \\perp}$ является проекцией на плоскость $x'y'$. Каждый вектор $\\vec{k}_{\\alpha}$ отклоняется от оси $z'$только на малую величину $|(\\Omega-\\Omega_e)/\\Omega_e| \\ll 1$, $|\\vec{k}_{\\alpha \\perp}|/k_{\\alpha} \\ll 1$ и $|\\theta_{\\alpha}-\\theta| \\ll 1$. Используя приближение, которые согласуются с $z'$ компонентой $\\vec{k}_{\\alpha}$ до членов порядка $k^2_{\\alpha \\perp}$ и угол $\\theta_{\\alpha}$ до $(\\theta_{\\alpha}-\\theta)^2$, можно показать что $\\vec{k}_{2\\perp}=(q_{x'},q_{y'})$ удовлетворяет выражению $M (q_{x'}+ N )^2+M q^2_{y'}= L$. C3 1.30 Пусть $M >0$. Выразите $M$, $N$, и $L$ через $\\Omega$, $\\Omega_e$, $\\Omega_o$, $K_e$, $K_o$ и $N_e (\\omega,\\theta)=\\dfrac{1}{n_e(\\omega,\\theta)}\\dfrac{\\mathrm dn_e(\\omega,\\theta)}{\\mathrm d \\theta}$ и групповые скорости $u_o=\\dfrac{\\mathrm dw_2}{\\mathrm d k_2}$ и $u_e =\\dfrac{\\mathrm d \\omega_1}{\\mathrm d k_1}$ для ${\\bf o}$ и ${\\bf e}$ лучей. Оцените угол между осью конуса и осью $z'$, и также оцените угол между осью и образующей конуса через $L$, $M$, $N$ and $K_o$. (a) Вопрос C3 показывает, что фотон может разделиться на два фотона, которые при прохождении через точки a и b поляризованы в перпендикулярных направлениях. Эти два фотона называются запутанной парой фотонов , потому что если один фотон, проходящий через $a$ (называемый $a$-фотоном), поляризован в направлении $\\hat{x}'$, то другой, который проходит через $b$ (называемый $b$-фотоном), будет поляризован в направлении $\\hat{y}' \\perp \\hat{x}'$, и если $a$-фотон поляризован в $\\hat{y}'$, то $b$-фотон будет поляризован в $\\hat{x}'$. Запутанное состояние пары фотонов может быть получено экспериментально. Это суперпозиция двух вышеуказанных альтернативных состояний и может быть выражена как $\\frac{1}{\\sqrt{2}} (|\\hat{x}'_a \\rangle|\\hat{y}'_b\\rangle+|\\hat{y}'_a \\rangle|\\hat{x}'_b\\rangle)$. Здесь $|\\hat{x}'_a \\rangle|\\hat{y}'_b\\rangle $представляет состояние когда $a$-фоторн поляризован в направлении $\\hat{x}'$ и $b$-фотон поляризован в направлении $\\hat{y}'$; аналогичное значение имеет $|\\hat{y}'_a \\rangle|\\hat{x}'_b\\rangle $. Коэффициент $1/\\sqrt{2}$ может рассматриваться как произведение амплитуд электрического поля (выраженное в соответсвующих единицах) для $a$- и $b$-фотонов. Как показано на рис. 3, два линейных поляризатора 1 и 2 имеют оси пропускания под углами $\\alpha$ и $\\beta$ соответственно относительно $\\hat{x}'$. Мы можем использовать их для измерения совпадений двух фотонов, прошедших через $a$ и $b$. Пусть вероятность одновременного обнаружения двух фотонов, проходящих через поляризаторы 1 и 2, равна $P(\\alpha,\\beta)$. Другими словами, $P(\\alpha,\\beta)$ можно также рассматривать как величину, пропорциональную произведению интенсивностей (после соответствующих суперпозиций) света, проходящего через два поляризатора. Обозначим $\\alpha+\\pi/2$ и $\\beta+\\pi/2$ как $\\alpha_{\\perp}$ и $\\beta_{\\perp}$ соответственно. C4 0.80 Рассмотрим полное электрическое поле, создаваемое линейными поляризаторами. Найдите вероятности $P(\\alpha,\\beta)$, $P(\\alpha,\\beta_{\\perp})$, $P(\\alpha_{\\perp},\\beta)$, и $P(\\alpha_{\\perp},\\beta_{\\perp})$. C5 0.50 Обозначим $\\sigma_a=1$ когда поляризатор 1 с углом $\\alpha$ находит $a$-фотон и $\\sigma_a=-1$ когда поляризатор 1 с углом $\\alpha_{\\perp}$ находит $a$-фотон. Аналогично, $\\sigma_{\\beta}=1$ или $-1$ обозначают случаи когда поляризатор 2 с углами $\\beta$ или $\\beta_{\\perp}$ находят $b$-фотон. Если $E(\\alpha,\\beta)$ обозначает среднее от $\\sigma_a \\sigma_b$, то величина $S=|E(\\alpha,\\beta)-E(\\alpha,\\beta')|+|E(\\alpha',\\beta)-E(\\alpha',\\beta')|$ имеет чрезвычайно важное значение. Для классической теории света $S \\leq 2$. Это одна из формулировок неравенства Белла (CHSH-неравенства, полученного Клаузером, Хорном, Шимони и Хольтом). Получите выражение для $S$ и вычислите $S$ для случая $\\alpha=\\frac{\\pi}{4}$,$\\alpha'=0$ , $\\beta=-\\frac{\\pi}{8}$, $\\beta'=\\frac{\\pi}{8}$. Укажите, согласуется ли результат для $S$ с классической теорией.\n","figures":["/corpus/figures/caeaf7be33021a1c638f.webp","/corpus/figures/62eba9ee78da0349cb99.webp","/corpus/figures/6279ba6b6e31d64b84c4.webp","/corpus/figures/e738db173fd0ccfa8b35.webp"],"shared":false},"solution":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.40"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Получите выражение для фазовой скорости $v_p$ через $\\epsilon$ и $\\mu_0$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Напишите, как выражается показатель преломления $n$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.40"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n В каком направлении $\\hat{S} \\equiv \\vec{S}/S$ переносится энергия? Какова скорость лучей $v_r$?\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tПусть волновой вектор $\\vec{k}$ лежит в плоскости $xz$: $\\vec{k}=k(\\sin \\theta,0,\\cos \\theta)$. При заданном $\\theta$ плоская монохроматическая волна может распространяться только при определенных направлениях $\\vec{D}$ и $\\vec{B}$."},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Найдите эти возможные направления."}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Выразите также все соответствующие показатели преломления через $\\theta$, $n_o$ и $n_e$."}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"При каком угле $\\theta$ возможно лишь одно значение показателя преломления?"}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.80"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tПоляризация световой волны (направление колебаний $\\vec{E}$) может быть перпендикулярна плоскости $xz$ ("},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"обыкновенная волна"}]},{"type":"text","text":", "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"обыкновенный луч"}]},{"type":"text","text":") или лежать в этой плоскости ("},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"обыкновенная волна/луч"}]},{"type":"text","text":")."},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Для каждой из волн, найденных вами в "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"B1"}]},{"type":"text","text":", запишите единичный вектор в направлении поляризации."}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Укажите, какая из них обыкновенная, а какая – необыкновенная."}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Вычислите $\\operatorname{tg}\\alpha$, где $\\alpha$ – угол между $\\vec{E}$ и $\\vec{D}$ ($\\alpha$ положительный, если вектора $\\vec{E}$ и $\\vec{D}$ лежат в плоскости $xz$ и поворот от $\\vec{E}$ к $\\vec{D}$ происходит по часовой стрелке)."}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tИспользуйте результаты пунктов "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"B1"}]},{"type":"text","text":" и "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"B2"}]},{"type":"text","text":" в случае, когда $\\vec{k}$ по-прежнему составляет угол $\\theta$ с положительным направлением оси $z$, но не лежит в плоскости $xz$."},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Укажите возможные значения показателя преломления и соответствующие поляризации."}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B4\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.80"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tПусть $\\vec{k} = k(\\sin \\theta,0,\\cos \\theta)$, как в пунктах "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"B1"}]},{"type":"text","text":"–"},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"B3"}]},{"type":"text","text":". Угол между $\\hat{k} \\equiv \\vec{k}/k$ и направлением луча, $\\hat{S}$, обозначим $\\alpha_r$ ($\\alpha_r$ положительный, если вектора $\\hat{S}$ и $\\hat{k}$ лежат в плоскости $xz$ и поворот от $\\hat{S}$ к $\\hat{k}$ происходит по часовой стрелке)."},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Найдите возможные значения $\\operatorname{tg}\\alpha_r$, скорости лучей $v_r$ и вектора Пойнтинга $\\hat{S}$. Используя эти результаты, выразите величину $n_s = c/v_r$ через $\\hat{S}$, $\\hat{x}$, $\\hat{z}$, $n_o$, $n_e$."}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B5\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.10"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Получите выражения для $\\bar{A}$, $\\bar{B}$, $\\bar{C}$ через $P_1$, $P_2$, $P_3$ и $n \\sin \\theta_1$, где $P_1=n^2_o \\cos^2 \\phi+n^2_e \\sin^2 \\phi$, $P_2=n^2_o \\sin^2 \\phi+n^2_e \\cos^2 \\phi$, $P_3=(n^2_o - n^2_e) \\sin \\phi \\cos \\phi$. С помощью уравнения (1) найдите $\\tan \\theta_2$ для двух случаев ориентации: $\\phi =0$ и $\\phi = \\pi/2$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.80"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tНайдите все возможные отношения (известные как "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"условия фазового синхронизма"}]},{"type":"text","text":") между этими угловыми частотами и волновыми векторами."},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Если рассматривать свет состоящим из фотонов, какие законы сохранения подразумевают эти условия для трех указанных фотонов?"}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Запишите уравнения, выражающие эти законы сохранения для случая, когда фотон с угловой частотой $\\omega$ и волновым вектором $\\vec{k}$ расщепляется на два фотона с угловыми частотами $\\omega_1$и $\\omega_2$, распространяясь с волновыми векторами $\\vec{k}_1$и $\\vec{k}_2$, соответственно."}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.80"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tРассмотрим световую волну в одноосной среде. Обозначим обыкновенный луч как ${\\bf o}$ и необыкновенный луч как ${\\bf e}$. Есть 8 возможных путей расщепления световой волны: ${\\bf o → o + o}$, ${\\bf o → e + o}$, ${\\bf o → o + e}$, ${\\bf o → e + e}$, ${\\bf e → o + o}$, ${\\bf e → e + o}$, ${\\bf e → o + e}$, и ${\\bf e → e + e}$. Предположим, что коэффициенты преломления $n_o$ и $n_e$ оба являются возрастающей функцией от $\\omega$. Используя те же обозначения как и в вопросе "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"C1 "}]},{"type":"text","text":"и считая что $\\vec{k}$, $\\vec{k}_1$, и $\\vec{k}_2$ коллинеарны, укажите какие из 8 путей расщепления не могут быть возможны.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.30"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Пусть $M >0$. Выразите $M$, $N$, и $L$ через $\\Omega$, $\\Omega_e$, $\\Omega_o$, $K_e$, $K_o$ и $N_e (\\omega,\\theta)=\\dfrac{1}{n_e(\\omega,\\theta)}\\dfrac{\\mathrm dn_e(\\omega,\\theta)}{\\mathrm d \\theta}$ и групповые скорости $u_o=\\dfrac{\\mathrm dw_2}{\\mathrm d k_2}$ и $u_e =\\dfrac{\\mathrm d \\omega_1}{\\mathrm d k_1}$ для ${\\bf o}$ и ${\\bf e}$ лучей. Оцените угол между осью конуса и осью $z'$, и также оцените угол между осью и образующей конуса через $L$, $M$, $N$ and $K_o$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C4\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.80"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Рассмотрим полное электрическое поле, создаваемое линейными поляризаторами. Найдите вероятности $P(\\alpha,\\beta)$, $P(\\alpha,\\beta_{\\perp})$, $P(\\alpha_{\\perp},\\beta)$, и $P(\\alpha_{\\perp},\\beta_{\\perp})$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C5\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tОбозначим $\\sigma_a=1$ когда поляризатор 1 с углом $\\alpha$ находит $a$-фотон и $\\sigma_a=-1$ когда поляризатор 1 с углом $\\alpha_{\\perp}$ находит $a$-фотон. Аналогично, $\\sigma_{\\beta}=1$ или $-1$ обозначают случаи когда поляризатор 2 с углами $\\beta$ или $\\beta_{\\perp}$ находят $b$-фотон."},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Если $E(\\alpha,\\beta)$ обозначает среднее от $\\sigma_a \\sigma_b$, то величина $S=|E(\\alpha,\\beta)-E(\\alpha,\\beta')|+|E(\\alpha',\\beta)-E(\\alpha',\\beta')|$ имеет чрезвычайно важное значение. Для классической теории света $S \\leq 2$. Это одна из формулировок неравенства Белла (CHSH-неравенства, полученного Клаузером, Хорном, Шимони и Хольтом)."}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Получите выражение для $S$ и вычислите $S$ для случая $\\alpha=\\frac{\\pi}{4}$,$\\alpha'=0$ , $\\beta=-\\frac{\\pi}{8}$, $\\beta'=\\frac{\\pi}{8}$."}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Укажите, согласуется ли результат для $S$ с классической теорией."}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]}],"text":"A1 0.40 Получите выражение для фазовой скорости $v_p$ через $\\epsilon$ и $\\mu_0$.\nA2 0.20 Напишите, как выражается показатель преломления $n$.\nA3 0.40 В каком направлении $\\hat{S} \\equiv \\vec{S}/S$ переносится энергия? Какова скорость лучей $v_r$?\nB1 1.50 Пусть волновой вектор $\\vec{k}$ лежит в плоскости $xz$: $\\vec{k}=k(\\sin \\theta,0,\\cos \\theta)$. При заданном $\\theta$ плоская монохроматическая волна может распространяться только при определенных направлениях $\\vec{D}$ и $\\vec{B}$. Найдите эти возможные направления. Выразите также все соответствующие показатели преломления через $\\theta$, $n_o$ и $n_e$. При каком угле $\\theta$ возможно лишь одно значение показателя преломления?\nB2 0.80 Поляризация световой волны (направление колебаний $\\vec{E}$) может быть перпендикулярна плоскости $xz$ ( обыкновенная волна , обыкновенный луч ) или лежать в этой плоскости ( обыкновенная волна/луч ). Для каждой из волн, найденных вами в B1 , запишите единичный вектор в направлении поляризации. Укажите, какая из них обыкновенная, а какая – необыкновенная. Вычислите $\\operatorname{tg}\\alpha$, где $\\alpha$ – угол между $\\vec{E}$ и $\\vec{D}$ ($\\alpha$ положительный, если вектора $\\vec{E}$ и $\\vec{D}$ лежат в плоскости $xz$ и поворот от $\\vec{E}$ к $\\vec{D}$ происходит по часовой стрелке).\nB3 0.60 Используйте результаты пунктов B1 и B2 в случае, когда $\\vec{k}$ по-прежнему составляет угол $\\theta$ с положительным направлением оси $z$, но не лежит в плоскости $xz$. Укажите возможные значения показателя преломления и соответствующие поляризации.\nB4 0.80 Пусть $\\vec{k} = k(\\sin \\theta,0,\\cos \\theta)$, как в пунктах B1 – B3 . Угол между $\\hat{k} \\equiv \\vec{k}/k$ и направлением луча, $\\hat{S}$, обозначим $\\alpha_r$ ($\\alpha_r$ положительный, если вектора $\\hat{S}$ и $\\hat{k}$ лежат в плоскости $xz$ и поворот от $\\hat{S}$ к $\\hat{k}$ происходит по часовой стрелке). Найдите возможные значения $\\operatorname{tg}\\alpha_r$, скорости лучей $v_r$ и вектора Пойнтинга $\\hat{S}$. Используя эти результаты, выразите величину $n_s = c/v_r$ через $\\hat{S}$, $\\hat{x}$, $\\hat{z}$, $n_o$, $n_e$.\nB5 1.10 Получите выражения для $\\bar{A}$, $\\bar{B}$, $\\bar{C}$ через $P_1$, $P_2$, $P_3$ и $n \\sin \\theta_1$, где $P_1=n^2_o \\cos^2 \\phi+n^2_e \\sin^2 \\phi$, $P_2=n^2_o \\sin^2 \\phi+n^2_e \\cos^2 \\phi$, $P_3=(n^2_o - n^2_e) \\sin \\phi \\cos \\phi$. С помощью уравнения (1) найдите $\\tan \\theta_2$ для двух случаев ориентации: $\\phi =0$ и $\\phi = \\pi/2$.\nC1 0.80 Найдите все возможные отношения (известные как условия фазового синхронизма ) между этими угловыми частотами и волновыми векторами. Если рассматривать свет состоящим из фотонов, какие законы сохранения подразумевают эти условия для трех указанных фотонов? Запишите уравнения, выражающие эти законы сохранения для случая, когда фотон с угловой частотой $\\omega$ и волновым вектором $\\vec{k}$ расщепляется на два фотона с угловыми частотами $\\omega_1$и $\\omega_2$, распространяясь с волновыми векторами $\\vec{k}_1$и $\\vec{k}_2$, соответственно.\nC2 0.80 Рассмотрим световую волну в одноосной среде. Обозначим обыкновенный луч как ${\\bf o}$ и необыкновенный луч как ${\\bf e}$. Есть 8 возможных путей расщепления световой волны: ${\\bf o → o + o}$, ${\\bf o → e + o}$, ${\\bf o → o + e}$, ${\\bf o → e + e}$, ${\\bf e → o + o}$, ${\\bf e → e + o}$, ${\\bf e → o + e}$, и ${\\bf e → e + e}$. Предположим, что коэффициенты преломления $n_o$ и $n_e$ оба являются возрастающей функцией от $\\omega$. Используя те же обозначения как и в вопросе C1 и считая что $\\vec{k}$, $\\vec{k}_1$, и $\\vec{k}_2$ коллинеарны, укажите какие из 8 путей расщепления не могут быть возможны.\nC3 1.30 Пусть $M >0$. Выразите $M$, $N$, и $L$ через $\\Omega$, $\\Omega_e$, $\\Omega_o$, $K_e$, $K_o$ и $N_e (\\omega,\\theta)=\\dfrac{1}{n_e(\\omega,\\theta)}\\dfrac{\\mathrm dn_e(\\omega,\\theta)}{\\mathrm d \\theta}$ и групповые скорости $u_o=\\dfrac{\\mathrm dw_2}{\\mathrm d k_2}$ и $u_e =\\dfrac{\\mathrm d \\omega_1}{\\mathrm d k_1}$ для ${\\bf o}$ и ${\\bf e}$ лучей. Оцените угол между осью конуса и осью $z'$, и также оцените угол между осью и образующей конуса через $L$, $M$, $N$ and $K_o$.\nC4 0.80 Рассмотрим полное электрическое поле, создаваемое линейными поляризаторами. Найдите вероятности $P(\\alpha,\\beta)$, $P(\\alpha,\\beta_{\\perp})$, $P(\\alpha_{\\perp},\\beta)$, и $P(\\alpha_{\\perp},\\beta_{\\perp})$.\nC5 0.50 Обозначим $\\sigma_a=1$ когда поляризатор 1 с углом $\\alpha$ находит $a$-фотон и $\\sigma_a=-1$ когда поляризатор 1 с углом $\\alpha_{\\perp}$ находит $a$-фотон. Аналогично, $\\sigma_{\\beta}=1$ или $-1$ обозначают случаи когда поляризатор 2 с углами $\\beta$ или $\\beta_{\\perp}$ находят $b$-фотон. Если $E(\\alpha,\\beta)$ обозначает среднее от $\\sigma_a \\sigma_b$, то величина $S=|E(\\alpha,\\beta)-E(\\alpha,\\beta')|+|E(\\alpha',\\beta)-E(\\alpha',\\beta')|$ имеет чрезвычайно важное значение. Для классической теории света $S \\leq 2$. Это одна из формулировок неравенства Белла (CHSH-неравенства, полученного Клаузером, Хорном, Шимони и Хольтом). Получите выражение для $S$ и вычислите $S$ для случая $\\alpha=\\frac{\\pi}{4}$,$\\alpha'=0$ , $\\beta=-\\frac{\\pi}{8}$, $\\beta'=\\frac{\\pi}{8}$. Укажите, согласуется ли результат для $S$ с классической теорией.","figures":[],"shared":false}},{"id":"apho-2021-t3","importedOn":"2026-10-28","language":"ru","sources":[{"url":"https://pho.rs/p/293","kind":"statement"},{"url":"https://pho.rs/p/293/s","kind":"solution"}],"statement":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"ol","children":[{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Градиент функции координат $f(\\vec{r})$, $\\vec{\\nabla}f(\\vec{r})$, задается в компонентах: \\[\\vec{\\nabla}f \\equiv (\\hat{x}\\frac{\\partial}{\\partial x}+\\hat{y}\\frac{\\partial}{\\partial y}+\\hat{z}\\frac{\\partial}{\\partial z})f(\\vec{r}),\\] где $\\frac{\\partial}{\\partial x}f(\\vec{r})$ обозначает частную производную $f(\\vec{r})$ по $x$ при постоянных $y$ и $z$ . Здесь $\\hat{x}$ — единичный вектор вдоль оси $x$, для других осей аналогично."}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Интеграл: \\[\\int_{0}^{\\infty}\\,\\mathrm{d}t\\,\\frac{(a+pt)}{[(a+pt)^{2}+(b+qt)^{2}]^{3/2}}=\\frac{1}{bp-aq}(\\frac{b}{\\sqrt{a^{2}+b^{2}}}-\\frac{q}{\\sqrt{p^{2}+q^{2}}}).\\]"}]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Введение"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tМы будем изучать движение маленького магнитного диполя рядом с тонкой проводящей пленкой. В этой задаче под диполем и монополем мы будем понимать магнитный диполь и магнитный монополь соответственно."},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Диполь представляет собой сферический постоянный магнит с постоянной намагниченностью $\\vec{M}$ (магнитный момент единицы объема вещества) и постоянной плотностью $\\rho_{0}$. Его можно рассматривать как точечный при условии, что его радиус $R$ мал. Дипольное приближение хорошо описывает магнитное поле, создаваемое везде вне магнита. Также дипольное приближение хорошо описывает силу, действующую на диполь со стороны внешнего магнитного поля, если расстояние до источников поля много больше $R$."}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Точечный диполь можно рассматривать как пару монополей с отрицательным и положительным магнитными зарядами $-q_{\\mathrm{m}}$ и $q_{\\mathrm{m}}$ соответственно. Эта пара находится на бесконечно малом расстоянии друг от друга, но обладает конечным дипольным моментом $\\vec{m}=q_{\\mathrm{m}}\\vec{\\delta}_{\\mathrm{m}}$. Здесь $\\vec{\\delta_{\\mathrm{m}}}$ — вектор, направленный от южного монополя $(-q_{\\mathrm{m}})$ к северному монополю $(+q_{\\mathrm{m}})$."}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Магнитное поле $\\vec{B}_{\\mathrm{mp}}$ создаваемое монополем $q_{\\mathrm{m}}$ задается законом, аналогичным закону Кулона:\\[\\vec{B}_{\\mathrm{mp}}=\\frac{\\mu_{0}q_{\\mathrm{m}}}{4\\pi r^{2}}\\,\\hat{r},\\tag{1}\\] где $\\vec{r}$ — радиус-вектор, направленный от монополя $q_{\\mathrm{m}}$ к точке, в которой наблюдается поле, $\\hat{r}$ — единичный вектор$\\hat{r}=\\vec{r}/r$, а $\\mu_{0}$ — магнитная постоянная. Приложенное магнитное поле $\\vec{B}'$ действует на монополь $q_{\\mathrm{m}}$ с силой $\\vec{F}=q_{\\mathrm{m}}\\vec{B}'$. Магнитное поле монополя можно получить из скалярного потенциала $\\Phi$, оно задается формулой $\\vec{B}=-\\vec{\\nabla}\\Phi$. Скалярный потенциал $\\Phi$ также называется магнитным потенциалом."}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Тонкая проводящая пленка имеет постоянную толщину $d$ в направлении $z$ (Рис. 1). Она расположена горизонтально и продолжается вдоль направлений $x$ и $y$ до бесконечности. Ее верхняя поверхность находится на расстоянии $h$ от точечного монополя или диполя. Мы будем рассматривать только случай $h\\gg d$. Поэтому можно считать, что объемная плотность индукционного тока в пленке не зависит от $z$. Токами смещения можно пренебречь."}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/8548c0debe55d11b65aa.webp","alt":"apho-2021-t3 statement: original source diagram 1"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 1. Монополь \\( q_{\\mathrm{m}} \\) находится на расстоянии \\( h \\) от проводящей тонкой пленки толщиной \\( d \\). Начало координат расположено на верхней её поверхности"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tВ задаче "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"3 части"}]},{"type":"text","text":"."},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"В Части"},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":" A"}]},{"type":"text","text":" система состоит из монополя и тонкой пленки, а в Частях "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"B"}]},{"type":"text","text":" и "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"C"}]},{"type":"text","text":" из движущегося диполя и тонкой пленки. Плоскость $z=0$ совпадает с верхней поверхностью тонкой пленки. Вектор $\\vec{\\rho}=x\\hat{x}+y\\hat{y}=\\rho\\hat{\\rho}$ – радиус вектор точки в плоскости."}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть A. Внезапное появление магнитного монополя: начальный отклик и последующая эволюция во времени отклика в тонкой пленке          (3.0 балла)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tРассмотрим отклик тонкой проводящей пленки, когда в момент времени $t=0$ северный монополь $q_{\\mathrm{m}}$ внезапно появляется в точке $\\vec{r}_{\\mathrm{mp}}=h\\hat{z}\\,\\,\\,(h>0)$, как показано на Рис. 1. В дальнейшем монополь остается неподвижным ($t>0$)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Вам нужно будет найти начальное полное магнитное поле $\\vec{B}(\\vec{\\rho},z)$ в областях $z\\ge 0$ и $z\\le -d$, и плотность индуцированного тока в тонкой пленке. Полное магнитное поле $\\vec{B}=\\vec{B}_{\\mathrm{mp}}+\\vec{B}'$, где магнитные поля $\\vec{B}_{\\mathrm{mp}}$ и $\\vec{B}'$ создаются соответственно монополем и индуцированным током в пленке. Начальное поле $\\vec{B}(\\vec{\\rho},z)$ существует в момент времени $t_{0}$, которое лежит в интервале $h/c\\le t_{0}\\ll\\tau_{\\mathrm{c}}$. Здесь $\\tau_{\\mathrm{c}}$ — характерное время, за которое меняется распределение тока в пленке, а $c$ — скорость света в вакууме. В этой задаче мы рассматриваем предел $h/c\\rightarrow 0$ и считаем $t_{0}=0$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Вычисление начального магнитного поля $\\vec{B}(\\vec{\\rho},z)$ (при $t_{0}=0$) упрощается, если ввести изображение монополя. Для $\\vec{B}(\\vec{\\rho},z)$ в области $z\\ge 0$, изображение монополя имеет магнитный заряд $q_{\\mathrm{m}}$ и расположено в точке $z=-h$. С другой стороны, для $\\vec{B}(\\vec{\\rho},z)$ в области $z\\le -d$, изображение магнитного монополя имеет заряд $-q_{\\mathrm{m}}$ и расположено в точке $z=h$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Начальный отклик"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.40"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tПолучите начальное магнитное поле $\\vec{B}(\\vec{\\rho},z)$ при $z\\geq 0$ в момент времени $t_{0}=0$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tПолучите начальное магнитное поле $\\vec{B}(\\vec{\\rho},z)$ при $z\\leq -d$ в момент времени $t_{0}=0$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.40"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tНайдите начальный магнитный поток $\\Phi_{\\mathrm{B}}$ через поверхности пленки, расположенные в $z=0$, и в $z=-d$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A4\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tПолучите начальное распределение объемной плотности тока $\\vec{j}(\\vec{\\rho})$ в тонкой проводящей пленке при $t_{0}=0$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tПри $t>0$, полное магнитное поле $\\vec{B}$ по принципу суперпозиции становится равным: \\[\\vec{B}(\\vec{\\rho},z;t)=\\vec{B}_{\\mathrm{mp}}(\\vec{\\rho},z)+\\vec{B}'(\\vec{\\rho},z;t),\\] где $\\vec{B}'(\\vec{\\rho},z;t)$ создается индукционным током в тонкой пленке."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Вам нужно получить уравнение на $B_{z}'(\\rho,z;t)$ рядом с поверхностью $z=0$ тонкой пленки. Зависимость $B_{z}'$ от времени покажет, что поле $\\vec{B}'$ рядом с поверхностью $z\\approx 0$ при $t>0$ можно получить, считая, что изображение монополя движется."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Уравнение для $B_{z}'$ внутри тонкой пленки приведено ниже: \\[\\frac{\\partial^{2}B_{z}'(\\rho,z;t)}{\\partial z^{2}}=\\mu_{0}\\sigma\\frac{\\partial B_{z}'(\\rho,z;t)}{\\partial t}.\\tag{2}\\] Это уравнение было получено с помощью уравнений Максвелла для области внутри пленки, а также из закона Ома ($\\vec{j}=\\sigma \\vec{E}$, где $\\sigma$ — удельная проводимость), но без учета эффектов тока смещения. В левой части уравнения ($2$) мы пренебрегли членом $\\frac{1}{\\rho}\\frac{\\partial}{\\partial\\rho}(\\rho\\frac{\\partial B_{z}'}{\\partial\\rho})$, с учетом условия $h\\gg d$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Последующий отклик"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A5\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tПолучите из уравнения ($2$) уравнения для $B_{z}'(\\rho,z;t)$ рядом с поверхностью $z\\approx 0$. Такое уравнение содержит первые частные производные $B_{z}'(\\rho,z;t)$ по $z$ и (отдельно) по $t$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A6\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.40"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tНайдите общий вид $B_{z}'(\\rho,z;t)$ рядом с поверхностью $z\\approx 0$ при $t>0$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A7\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.40"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tПокажите, что ваше решение "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"A6 "}]},{"type":"text","text":"для $B_{z}'(\\rho,z\\approx 0;t)$ соответствует тому, что изображение монополя движется со скоростью, направленной вниз. Найдите скорость движения изображения монополя $v_{0}$ через известные параметры из условия задачи.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть B.  Магнитная сила, действующая на точечный диполь, движущийся с постоянной скоростью при постоянном $h$    (4.0 балла)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tИдею движущегося изображения монополя, рассмотренная в "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"A7 "}]},{"type":"text","text":"для $B_{z}'$ в области $z\\approx 0$ можно применить для вычисления поля $\\vec{B}'$ во всей области $z\\geq 0$. Это предположение годится при условии, что изменение тока в проводящей пленке достаточно медленное.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/72ff557fc7014dcb9603.webp","alt":"apho-2021-t3 statement: original source diagram 2"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 2. Монополь \\( q_{m} \\) движется с постоянной скоростью \\( \\vec{v} \\) на постоянной высоте \\( h \\) над проводящей тонкой пленкой. Показаны его координаты в момент \\( t = 0 \\)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tМонополь $q_{\\mathrm{m}}$ (Рис. 2) движется с постоянной скоростью $v\\hat{x}$, с $v\\ll c,$ и на постоянной высоте, координата $z=h,$ движение происходило бесконечно долго до настоящего момента времени ($t=0$). Его координаты $(x,y)$ в данный момент времени — $(0,0)$. Будем рассматривать магнитный потенциал $\\Phi_{+}$ создаваемый всеми изображениями монополя, создаваемыми этим движущимся монополем вдоль своей траектории."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Разбив траекторию монополя $q_{\\mathrm{m}}$ на дискретные шаги по времени (очень маленький шаг по времени обозначим $\\tau$), заменим движение $q_{\\mathrm{m}}$ перепрыгиваниями в начале каждого шага. Каждое перепрыгивание — это одновременное уничтожение монополя в одной точке и создание в другой точке. Положение созданного монополя совпадает с точкой на траектории в момент начала следующего шага по времени. Положение уничтожаемого монополя совпадает с точкой траектории в начале предыдущего шага по времени. Это достигается одновременным внезапным добавлением двух монополей: $q_{\\mathrm{m}}$ и $-q_{\\mathrm{m}}$ в точках траектории, отвечающих начальным моментам этого и предыдущего шагов по времени. Эти две точки расположены на расстоянии $\\Delta x=v\\tau$. На каждом шаге магнитные монополи создают изображения. Магнитное поле будет создаваться всеми изображениями, возникшими на предыдущих шагах."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Движущийся монополь"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.80"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tЗапишите координаты всех изображений монополей $(t=0)$ с зарядами $q_{\\mathrm{m}}$ и $-q_{\\mathrm{m}}$. Шаги по времени начинаются в моменты времени $t=-n\\tau,$ где $n\\geq 0$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.70"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tНайдите выражение в виде суммы для магнитного потенциала $\\Phi_{+}(x,z)$ в момент времени $t=0$, создаваемого всеми монополями-изображениями из "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"B1"}]},{"type":"text","text":". Вычислите $\\Phi_{+}(x,z)$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/759a1cf5dad94c3509f5.webp","alt":"apho-2021-t3 statement: original source diagram 3"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 3. Диполь с направленным вверх магнитным дипольным моментом \\( \\vec{m} \\) движется с постоянной \\( \\vec{v} \\) на постоянной высоте \\( h \\) над проводящей тонкой пленкой. Показаны его координаты в момент \\( t = 0 \\)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tРассмотрим движение точечного диполя, показанного на Рис. 3. Диполь с дипольным моментом $\\vec{m}=m\\hat{z}$, движется с постоянной скоростью $v\\hat{x}$, и на постоянной высоте ($z=h$) движение происходило до настоящего момента времени ($t=0$), в настоящий момент времени его координаты $(0,0)$. Точечный диполь можно представить как два смещенных друг относительно друга монополя, как было сказано во введении к задаче. Положением магнитного диполя считаем положение его северного монополя, считаем что магнитный момент $\\vec{m}$ постоянен."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Движущийся диполь"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tНайдите силу $\\vec{F}$ действующую на точечный магнитный диполь со стороны проводящей пленки в момент времени $t=0$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Соотношение между $v_{0}$ и $v$"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tВ этой "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"Части "}]},{"type":"text","text":"ниже для нахождения численных значений мы рассмотрим тонкую пленку из меди, такую что $\\sigma=5.9\\cdot 10^{7}~Ом^{-1}\\cdot{м}^{-1}$, $d=0.50~см$, и $h=5.0~см$.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B4\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.30"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tНайдите значение $v_{0}$, скорость движения изображения диполя, как в "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"A7 "}]},{"type":"text","text":".\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tИзвестно, что глубина проникновения $\\delta$ — расстояние, на которое электромагнитная волна может проникнуть вглубь проводника, зависит от циклической частоты $\\omega$ волны. Эта зависимость дается формулой \\[\\delta = \\sqrt{\\frac{2}{\\omega\\mu_{0}\\sigma}}.\\tag{3}\\] В дальнейшем мы будем считать, что $\\omega=v_{\\mathrm{L}}/h$, где скорость $v_{\\mathrm{L}}$ равна большей из скоростей $v$ и $v_{0}$.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B5\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.40"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tПолучите зависимость $v_{0}(v)$ и в режиме малых скоростей $v$, и в режиме больших скоростей."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B6\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.30"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tНайдите критическую скорость $v=v_{\\mathrm{c}}$ при которой два случая из "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"B5 "}]},{"type":"text","text":"переходят друг в друга.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть C.  Движение магнитного диполя в случае сверхпроводящей тонкой пленки    (3.0 балла)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tРассмотрение выше можно применить к случаю сверхпроводника первого рода, который полностью выталкивает из себя магнитное поле (эффект Мейсснера) во все моменты времени. Для этого нужно перейти к пределу бесконечной проводимости $\\sigma\\rightarrow \\infty$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tЗдесь мы рассмотрим точечный магнитный диполь с "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"горизонтальным "}]},{"type":"text","text":"дипольным моментом $\\vec{m}=m\\hat{x}$, массы $M_{0}$, расположенный в точке $(x,y,z)=(0,0,h)$. Рассмотрим вертикальное движение диполя под действием гравитационного поля с ускорением свободного падения $\\vec{g}=-g\\hat{z}$. Предположим, что при движении центра масс диполя его ориентация не меняется. Таким образом мы считаем, что магнитный момент остается постоянным в процессе движения. Также мы предполагаем, что движение происходит в вакууме и остаточное сопротивление воздуха учитывать не нужно.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tНайдите расстояние $h_{0}$ от диполя до сверхпроводящей пленки, на котором он находится в равновесии."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.80"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tНайдите частоту колебаний диполя $\\Omega$ относительно положения равновесия."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Рассмотрим сферический постоянный магнит со следующими параметрами:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"ul","children":[{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"радиус $R=1.0~мкм$;"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"плотность $\\rho_0=7400~кг\\cdot м^{-3}$;"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"$g=9.8~м\\cdot с^{-2}$;"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"$\\mu_{0}=4\\pi\\cdot 10^{-7}~Тл\\cdot А^{-1}\\cdot м$;"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"намагниченность $|\\vec{M}|=75\\cdot 10^{-2}~Тл/\\mu_{0}$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.70"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tВычислите значение $h_{0}$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C4\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.30"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tВычислите значение $\\Omega$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]}],"text":"Градиент функции координат $f(\\vec{r})$, $\\vec{\\nabla}f(\\vec{r})$, задается в компонентах: \\[\\vec{\\nabla}f \\equiv (\\hat{x}\\frac{\\partial}{\\partial x}+\\hat{y}\\frac{\\partial}{\\partial y}+\\hat{z}\\frac{\\partial}{\\partial z})f(\\vec{r}),\\] где $\\frac{\\partial}{\\partial x}f(\\vec{r})$ обозначает частную производную $f(\\vec{r})$ по $x$ при постоянных $y$ и $z$ . Здесь $\\hat{x}$ — единичный вектор вдоль оси $x$, для других осей аналогично. Интеграл: \\[\\int_{0}^{\\infty}\\,\\mathrm{d}t\\,\\frac{(a+pt)}{[(a+pt)^{2}+(b+qt)^{2}]^{3/2}}=\\frac{1}{bp-aq}(\\frac{b}{\\sqrt{a^{2}+b^{2}}}-\\frac{q}{\\sqrt{p^{2}+q^{2}}}).\\] Введение Мы будем изучать движение маленького магнитного диполя рядом с тонкой проводящей пленкой. В этой задаче под диполем и монополем мы будем понимать магнитный диполь и магнитный монополь соответственно. Диполь представляет собой сферический постоянный магнит с постоянной намагниченностью $\\vec{M}$ (магнитный момент единицы объема вещества) и постоянной плотностью $\\rho_{0}$. Его можно рассматривать как точечный при условии, что его радиус $R$ мал. Дипольное приближение хорошо описывает магнитное поле, создаваемое везде вне магнита. Также дипольное приближение хорошо описывает силу, действующую на диполь со стороны внешнего магнитного поля, если расстояние до источников поля много больше $R$. Точечный диполь можно рассматривать как пару монополей с отрицательным и положительным магнитными зарядами $-q_{\\mathrm{m}}$ и $q_{\\mathrm{m}}$ соответственно. Эта пара находится на бесконечно малом расстоянии друг от друга, но обладает конечным дипольным моментом $\\vec{m}=q_{\\mathrm{m}}\\vec{\\delta}_{\\mathrm{m}}$. Здесь $\\vec{\\delta_{\\mathrm{m}}}$ — вектор, направленный от южного монополя $(-q_{\\mathrm{m}})$ к северному монополю $(+q_{\\mathrm{m}})$. Магнитное поле $\\vec{B}_{\\mathrm{mp}}$ создаваемое монополем $q_{\\mathrm{m}}$ задается законом, аналогичным закону Кулона:\\[\\vec{B}_{\\mathrm{mp}}=\\frac{\\mu_{0}q_{\\mathrm{m}}}{4\\pi r^{2}}\\,\\hat{r},\\tag{1}\\] где $\\vec{r}$ — радиус-вектор, направленный от монополя $q_{\\mathrm{m}}$ к точке, в которой наблюдается поле, $\\hat{r}$ — единичный вектор$\\hat{r}=\\vec{r}/r$, а $\\mu_{0}$ — магнитная постоянная. Приложенное магнитное поле $\\vec{B}'$ действует на монополь $q_{\\mathrm{m}}$ с силой $\\vec{F}=q_{\\mathrm{m}}\\vec{B}'$. Магнитное поле монополя можно получить из скалярного потенциала $\\Phi$, оно задается формулой $\\vec{B}=-\\vec{\\nabla}\\Phi$. Скалярный потенциал $\\Phi$ также называется магнитным потенциалом. Тонкая проводящая пленка имеет постоянную толщину $d$ в направлении $z$ (Рис. 1). Она расположена горизонтально и продолжается вдоль направлений $x$ и $y$ до бесконечности. Ее верхняя поверхность находится на расстоянии $h$ от точечного монополя или диполя. Мы будем рассматривать только случай $h\\gg d$. Поэтому можно считать, что объемная плотность индукционного тока в пленке не зависит от $z$. Токами смещения можно пренебречь. Рис. 1. Монополь \\( q_{\\mathrm{m}} \\) находится на расстоянии \\( h \\) от проводящей тонкой пленки толщиной \\( d \\). Начало координат расположено на верхней её поверхности В задаче 3 части . В Части A система состоит из монополя и тонкой пленки, а в Частях B и C из движущегося диполя и тонкой пленки. Плоскость $z=0$ совпадает с верхней поверхностью тонкой пленки. Вектор $\\vec{\\rho}=x\\hat{x}+y\\hat{y}=\\rho\\hat{\\rho}$ – радиус вектор точки в плоскости. Часть A. Внезапное появление магнитного монополя: начальный отклик и последующая эволюция во времени отклика в тонкой пленке          (3.0 балла) Рассмотрим отклик тонкой проводящей пленки, когда в момент времени $t=0$ северный монополь $q_{\\mathrm{m}}$ внезапно появляется в точке $\\vec{r}_{\\mathrm{mp}}=h\\hat{z}\\,\\,\\,(h>0)$, как показано на Рис. 1. В дальнейшем монополь остается неподвижным ($t>0$). Вам нужно будет найти начальное полное магнитное поле $\\vec{B}(\\vec{\\rho},z)$ в областях $z\\ge 0$ и $z\\le -d$, и плотность индуцированного тока в тонкой пленке. Полное магнитное поле $\\vec{B}=\\vec{B}_{\\mathrm{mp}}+\\vec{B}'$, где магнитные поля $\\vec{B}_{\\mathrm{mp}}$ и $\\vec{B}'$ создаются соответственно монополем и индуцированным током в пленке. Начальное поле $\\vec{B}(\\vec{\\rho},z)$ существует в момент времени $t_{0}$, которое лежит в интервале $h/c\\le t_{0}\\ll\\tau_{\\mathrm{c}}$. Здесь $\\tau_{\\mathrm{c}}$ — характерное время, за которое меняется распределение тока в пленке, а $c$ — скорость света в вакууме. В этой задаче мы рассматриваем предел $h/c\\rightarrow 0$ и считаем $t_{0}=0$. Вычисление начального магнитного поля $\\vec{B}(\\vec{\\rho},z)$ (при $t_{0}=0$) упрощается, если ввести изображение монополя. Для $\\vec{B}(\\vec{\\rho},z)$ в области $z\\ge 0$, изображение монополя имеет магнитный заряд $q_{\\mathrm{m}}$ и расположено в точке $z=-h$. С другой стороны, для $\\vec{B}(\\vec{\\rho},z)$ в области $z\\le -d$, изображение магнитного монополя имеет заряд $-q_{\\mathrm{m}}$ и расположено в точке $z=h$. Начальный отклик A1 0.40 Получите начальное магнитное поле $\\vec{B}(\\vec{\\rho},z)$ при $z\\geq 0$ в момент времени $t_{0}=0$. A2 0.20 Получите начальное магнитное поле $\\vec{B}(\\vec{\\rho},z)$ при $z\\leq -d$ в момент времени $t_{0}=0$. A3 0.40 Найдите начальный магнитный поток $\\Phi_{\\mathrm{B}}$ через поверхности пленки, расположенные в $z=0$, и в $z=-d$. A4 0.60 Получите начальное распределение объемной плотности тока $\\vec{j}(\\vec{\\rho})$ в тонкой проводящей пленке при $t_{0}=0$. При $t>0$, полное магнитное поле $\\vec{B}$ по принципу суперпозиции становится равным: \\[\\vec{B}(\\vec{\\rho},z;t)=\\vec{B}_{\\mathrm{mp}}(\\vec{\\rho},z)+\\vec{B}'(\\vec{\\rho},z;t),\\] где $\\vec{B}'(\\vec{\\rho},z;t)$ создается индукционным током в тонкой пленке. Вам нужно получить уравнение на $B_{z}'(\\rho,z;t)$ рядом с поверхностью $z=0$ тонкой пленки. Зависимость $B_{z}'$ от времени покажет, что поле $\\vec{B}'$ рядом с поверхностью $z\\approx 0$ при $t>0$ можно получить, считая, что изображение монополя движется. Уравнение для $B_{z}'$ внутри тонкой пленки приведено ниже: \\[\\frac{\\partial^{2}B_{z}'(\\rho,z;t)}{\\partial z^{2}}=\\mu_{0}\\sigma\\frac{\\partial B_{z}'(\\rho,z;t)}{\\partial t}.\\tag{2}\\] Это уравнение было получено с помощью уравнений Максвелла для области внутри пленки, а также из закона Ома ($\\vec{j}=\\sigma \\vec{E}$, где $\\sigma$ — удельная проводимость), но без учета эффектов тока смещения. В левой части уравнения ($2$) мы пренебрегли членом $\\frac{1}{\\rho}\\frac{\\partial}{\\partial\\rho}(\\rho\\frac{\\partial B_{z}'}{\\partial\\rho})$, с учетом условия $h\\gg d$. Последующий отклик A5 0.60 Получите из уравнения ($2$) уравнения для $B_{z}'(\\rho,z;t)$ рядом с поверхностью $z\\approx 0$. Такое уравнение содержит первые частные производные $B_{z}'(\\rho,z;t)$ по $z$ и (отдельно) по $t$. A6 0.40 Найдите общий вид $B_{z}'(\\rho,z;t)$ рядом с поверхностью $z\\approx 0$ при $t>0$. A7 0.40 Покажите, что ваше решение A6 для $B_{z}'(\\rho,z\\approx 0;t)$ соответствует тому, что изображение монополя движется со скоростью, направленной вниз. Найдите скорость движения изображения монополя $v_{0}$ через известные параметры из условия задачи. Часть B.  Магнитная сила, действующая на точечный диполь, движущийся с постоянной скоростью при постоянном $h$    (4.0 балла) Идею движущегося изображения монополя, рассмотренная в A7 для $B_{z}'$ в области $z\\approx 0$ можно применить для вычисления поля $\\vec{B}'$ во всей области $z\\geq 0$. Это предположение годится при условии, что изменение тока в проводящей пленке достаточно медленное. Рис. 2. Монополь \\( q_{m} \\) движется с постоянной скоростью \\( \\vec{v} \\) на постоянной высоте \\( h \\) над проводящей тонкой пленкой. Показаны его координаты в момент \\( t = 0 \\) Монополь $q_{\\mathrm{m}}$ (Рис. 2) движется с постоянной скоростью $v\\hat{x}$, с $v\\ll c,$ и на постоянной высоте, координата $z=h,$ движение происходило бесконечно долго до настоящего момента времени ($t=0$). Его координаты $(x,y)$ в данный момент времени — $(0,0)$. Будем рассматривать магнитный потенциал $\\Phi_{+}$ создаваемый всеми изображениями монополя, создаваемыми этим движущимся монополем вдоль своей траектории. Разбив траекторию монополя $q_{\\mathrm{m}}$ на дискретные шаги по времени (очень маленький шаг по времени обозначим $\\tau$), заменим движение $q_{\\mathrm{m}}$ перепрыгиваниями в начале каждого шага. Каждое перепрыгивание — это одновременное уничтожение монополя в одной точке и создание в другой точке. Положение созданного монополя совпадает с точкой на траектории в момент начала следующего шага по времени. Положение уничтожаемого монополя совпадает с точкой траектории в начале предыдущего шага по времени. Это достигается одновременным внезапным добавлением двух монополей: $q_{\\mathrm{m}}$ и $-q_{\\mathrm{m}}$ в точках траектории, отвечающих начальным моментам этого и предыдущего шагов по времени. Эти две точки расположены на расстоянии $\\Delta x=v\\tau$. На каждом шаге магнитные монополи создают изображения. Магнитное поле будет создаваться всеми изображениями, возникшими на предыдущих шагах. Движущийся монополь B1 0.80 Запишите координаты всех изображений монополей $(t=0)$ с зарядами $q_{\\mathrm{m}}$ и $-q_{\\mathrm{m}}$. Шаги по времени начинаются в моменты времени $t=-n\\tau,$ где $n\\geq 0$. B2 0.70 Найдите выражение в виде суммы для магнитного потенциала $\\Phi_{+}(x,z)$ в момент времени $t=0$, создаваемого всеми монополями-изображениями из B1 . Вычислите $\\Phi_{+}(x,z)$. Рис. 3. Диполь с направленным вверх магнитным дипольным моментом \\( \\vec{m} \\) движется с постоянной \\( \\vec{v} \\) на постоянной высоте \\( h \\) над проводящей тонкой пленкой. Показаны его координаты в момент \\( t = 0 \\) Рассмотрим движение точечного диполя, показанного на Рис. 3. Диполь с дипольным моментом $\\vec{m}=m\\hat{z}$, движется с постоянной скоростью $v\\hat{x}$, и на постоянной высоте ($z=h$) движение происходило до настоящего момента времени ($t=0$), в настоящий момент времени его координаты $(0,0)$. Точечный диполь можно представить как два смещенных друг относительно друга монополя, как было сказано во введении к задаче. Положением магнитного диполя считаем положение его северного монополя, считаем что магнитный момент $\\vec{m}$ постоянен. Движущийся диполь B3 1.50 Найдите силу $\\vec{F}$ действующую на точечный магнитный диполь со стороны проводящей пленки в момент времени $t=0$. Соотношение между $v_{0}$ и $v$ В этой Части ниже для нахождения численных значений мы рассмотрим тонкую пленку из меди, такую что $\\sigma=5.9\\cdot 10^{7}~Ом^{-1}\\cdot{м}^{-1}$, $d=0.50~см$, и $h=5.0~см$. B4 0.30 Найдите значение $v_{0}$, скорость движения изображения диполя, как в A7 . Известно, что глубина проникновения $\\delta$ — расстояние, на которое электромагнитная волна может проникнуть вглубь проводника, зависит от циклической частоты $\\omega$ волны. Эта зависимость дается формулой \\[\\delta = \\sqrt{\\frac{2}{\\omega\\mu_{0}\\sigma}}.\\tag{3}\\] В дальнейшем мы будем считать, что $\\omega=v_{\\mathrm{L}}/h$, где скорость $v_{\\mathrm{L}}$ равна большей из скоростей $v$ и $v_{0}$. B5 0.40 Получите зависимость $v_{0}(v)$ и в режиме малых скоростей $v$, и в режиме больших скоростей. B6 0.30 Найдите критическую скорость $v=v_{\\mathrm{c}}$ при которой два случая из B5 переходят друг в друга. Часть C.  Движение магнитного диполя в случае сверхпроводящей тонкой пленки    (3.0 балла) Рассмотрение выше можно применить к случаю сверхпроводника первого рода, который полностью выталкивает из себя магнитное поле (эффект Мейсснера) во все моменты времени. Для этого нужно перейти к пределу бесконечной проводимости $\\sigma\\rightarrow \\infty$. Здесь мы рассмотрим точечный магнитный диполь с горизонтальным дипольным моментом $\\vec{m}=m\\hat{x}$, массы $M_{0}$, расположенный в точке $(x,y,z)=(0,0,h)$. Рассмотрим вертикальное движение диполя под действием гравитационного поля с ускорением свободного падения $\\vec{g}=-g\\hat{z}$. Предположим, что при движении центра масс диполя его ориентация не меняется. Таким образом мы считаем, что магнитный момент остается постоянным в процессе движения. Также мы предполагаем, что движение происходит в вакууме и остаточное сопротивление воздуха учитывать не нужно. C1 1.20 Найдите расстояние $h_{0}$ от диполя до сверхпроводящей пленки, на котором он находится в равновесии. C2 0.80 Найдите частоту колебаний диполя $\\Omega$ относительно положения равновесия. Рассмотрим сферический постоянный магнит со следующими параметрами: радиус $R=1.0~мкм$; плотность $\\rho_0=7400~кг\\cdot м^{-3}$; $g=9.8~м\\cdot с^{-2}$; $\\mu_{0}=4\\pi\\cdot 10^{-7}~Тл\\cdot А^{-1}\\cdot м$; намагниченность $|\\vec{M}|=75\\cdot 10^{-2}~Тл/\\mu_{0}$. C3 0.70 Вычислите значение $h_{0}$. C4 0.30 Вычислите значение $\\Omega$.\n","figures":["/corpus/figures/8548c0debe55d11b65aa.webp","/corpus/figures/72ff557fc7014dcb9603.webp","/corpus/figures/759a1cf5dad94c3509f5.webp"],"shared":false},"solution":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.40"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tПолучите начальное магнитное поле $\\vec{B}(\\vec{\\rho},z)$ при $z\\geq 0$ в момент времени $t_{0}=0$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tПолучите начальное магнитное поле $\\vec{B}(\\vec{\\rho},z)$ при $z\\leq -d$ в момент времени $t_{0}=0$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.40"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tНайдите начальный магнитный поток $\\Phi_{\\mathrm{B}}$ через поверхности пленки, расположенные в $z=0$, и в $z=-d$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A4\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tПолучите начальное распределение объемной плотности тока $\\vec{j}(\\vec{\\rho})$ в тонкой проводящей пленке при $t_{0}=0$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A5\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tПолучите из уравнения ($2$) уравнения для $B_{z}'(\\rho,z;t)$ рядом с поверхностью $z\\approx 0$. Такое уравнение содержит первые частные производные $B_{z}'(\\rho,z;t)$ по $z$ и (отдельно) по $t$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A6\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.40"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tНайдите общий вид $B_{z}'(\\rho,z;t)$ рядом с поверхностью $z\\approx 0$ при $t>0$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A7\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.40"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tПокажите, что ваше решение "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"A6 "}]},{"type":"text","text":"для $B_{z}'(\\rho,z\\approx 0;t)$ соответствует тому, что изображение монополя движется со скоростью, направленной вниз. Найдите скорость движения изображения монополя $v_{0}$ через известные параметры из условия задачи.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.80"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tЗапишите координаты всех изображений монополей $(t=0)$ с зарядами $q_{\\mathrm{m}}$ и $-q_{\\mathrm{m}}$. Шаги по времени начинаются в моменты времени $t=-n\\tau,$ где $n\\geq 0$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.70"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tНайдите выражение в виде суммы для магнитного потенциала $\\Phi_{+}(x,z)$ в момент времени $t=0$, создаваемого всеми монополями-изображениями из "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"B1"}]},{"type":"text","text":". Вычислите $\\Phi_{+}(x,z)$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tНайдите силу $\\vec{F}$ действующую на точечный магнитный диполь со стороны проводящей пленки в момент времени $t=0$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B4\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.30"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tНайдите значение $v_{0}$, скорость движения изображения диполя, как в "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"A7 "}]},{"type":"text","text":".\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B5\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.40"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tПолучите зависимость $v_{0}(v)$ и в режиме малых скоростей $v$, и в режиме больших скоростей."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B6\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.30"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tНайдите критическую скорость $v=v_{\\mathrm{c}}$ при которой два случая из "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"B5 "}]},{"type":"text","text":"переходят друг в друга.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tНайдите расстояние $h_{0}$ от диполя до сверхпроводящей пленки, на котором он находится в равновесии."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.80"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tНайдите частоту колебаний диполя $\\Omega$ относительно положения равновесия."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.70"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tВычислите значение $h_{0}$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C4\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.30"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tВычислите значение $\\Omega$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]}],"text":"A1 0.40 Получите начальное магнитное поле $\\vec{B}(\\vec{\\rho},z)$ при $z\\geq 0$ в момент времени $t_{0}=0$.\nA2 0.20 Получите начальное магнитное поле $\\vec{B}(\\vec{\\rho},z)$ при $z\\leq -d$ в момент времени $t_{0}=0$.\nA3 0.40 Найдите начальный магнитный поток $\\Phi_{\\mathrm{B}}$ через поверхности пленки, расположенные в $z=0$, и в $z=-d$.\nA4 0.60 Получите начальное распределение объемной плотности тока $\\vec{j}(\\vec{\\rho})$ в тонкой проводящей пленке при $t_{0}=0$.\nA5 0.60 Получите из уравнения ($2$) уравнения для $B_{z}'(\\rho,z;t)$ рядом с поверхностью $z\\approx 0$. Такое уравнение содержит первые частные производные $B_{z}'(\\rho,z;t)$ по $z$ и (отдельно) по $t$.\nA6 0.40 Найдите общий вид $B_{z}'(\\rho,z;t)$ рядом с поверхностью $z\\approx 0$ при $t>0$.\nA7 0.40 Покажите, что ваше решение A6 для $B_{z}'(\\rho,z\\approx 0;t)$ соответствует тому, что изображение монополя движется со скоростью, направленной вниз. Найдите скорость движения изображения монополя $v_{0}$ через известные параметры из условия задачи.\nB1 0.80 Запишите координаты всех изображений монополей $(t=0)$ с зарядами $q_{\\mathrm{m}}$ и $-q_{\\mathrm{m}}$. Шаги по времени начинаются в моменты времени $t=-n\\tau,$ где $n\\geq 0$.\nB2 0.70 Найдите выражение в виде суммы для магнитного потенциала $\\Phi_{+}(x,z)$ в момент времени $t=0$, создаваемого всеми монополями-изображениями из B1 . Вычислите $\\Phi_{+}(x,z)$.\nB3 1.50 Найдите силу $\\vec{F}$ действующую на точечный магнитный диполь со стороны проводящей пленки в момент времени $t=0$.\nB4 0.30 Найдите значение $v_{0}$, скорость движения изображения диполя, как в A7 .\nB5 0.40 Получите зависимость $v_{0}(v)$ и в режиме малых скоростей $v$, и в режиме больших скоростей.\nB6 0.30 Найдите критическую скорость $v=v_{\\mathrm{c}}$ при которой два случая из B5 переходят друг в друга.\nC1 1.20 Найдите расстояние $h_{0}$ от диполя до сверхпроводящей пленки, на котором он находится в равновесии.\nC2 0.80 Найдите частоту колебаний диполя $\\Omega$ относительно положения равновесия.\nC3 0.70 Вычислите значение $h_{0}$.\nC4 0.30 Вычислите значение $\\Omega$.","figures":[],"shared":false}},{"id":"apho-2019-t1","importedOn":"2026-10-28","language":"ru","sources":[{"url":"https://pho.rs/p/3324","kind":"statement"},{"url":"https://pho.rs/p/3324/s","kind":"solution"}],"statement":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Введение"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tДоведение идеи квантовых вычислений до прикладных разработок — одна из важных задач современных науки и технологий. Один из подходов к решению этой задачи — управление одиночными электронами в транзисторах с помощью переменных электромагнитных полей. "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"В этой задаче мы разберемся, как с помощью одноэлектронных транзисторов и рефлектометрии можно считать состояние квантового бита информации в прототипах квантовых компьютеров. "}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"В частях "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"А"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"text","text":"и "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"B"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"text","text":"обсуждается распространение радиоволн вдоль проводов и линий электропередач. В части "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"С"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"text","text":"рассматриваются условия отражения волн. В части "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"D"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"text","text":"описывается одноэлектронный транзистор, а в части "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"E"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"text","text":"и "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"F"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"text","text":"обсуждается метод рефлектометрии."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть A. Модель коаксиального провода (2 балла)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tКогда рассматривается постоянный ток или низкочастотные сигналы, предполагается, что он распространяется по цепи мгновенно. Такое предположение верно, если длина волны таких сигналов много больше размеров цепи. Но когда рассматриваются радиоволны, распространение становится более сложным, и нужно учитывать емкость и индуктивность проводов. "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"В этой задаче считайте, что электрическое и магнитное поле перпендикулярны оси провода (так называемая поперечная электромагнитная мода)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/696a2cd0513088d37a41.webp","alt":"apho-2019-t1 statement: original source diagram 1"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 1. Устройство коаксиального провода (С — центральная жила, I — диэлектрик, S — металлическая оплетка, J — изоляционный материал)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tВ проводе центральная медная жила радиуса $a$ окружена медной оплеткой внутреннего радиуса $b$ (рис. 1). Между ними находится диэлектрик (диэлектрическая проницаемость $\\varepsilon_r$, магнитная проницаемость $\\mu_r$). Сопротивлением меди можно пренебречь. "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Когда электромагнитный сигнал распространяется в проводе, он ограничен центральной жилой и внешней оплеткой."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tС какой скоростью распространяются электромагнитные волны в коаксиальном проводе?"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tПусть участок центральной жилы длиной $\\Delta x$ заряжен зарядом $\\Delta q$, а внешняя оплетка заземлена. Найдите электрическое поле между центральной жилой и оплеткой."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.30"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tНайдите емкость $C_x$ единицы длины коаксиального провода."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A4\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.30"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tНайдите индуктивность $L_x$ единицы длины провода."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tКабель целиком можно представить как емкости и индуктивности его малых участков. Будем считать, что индуктивность провода — это характеристика центральной жилы, а емкости характеризуют диэлектрик между проводниками (рис. 2)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/ff207999ff3abae9061a.webp","alt":"apho-2019-t1 statement: original source diagram 2"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 2. Эквивалентная схема длинного коаксиального провода"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A5\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"element","tag":"ol","children":[{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Покажите, что импеданс $Z_0$ полубесконечного провода равен $Z_0=\\sqrt{L_x/C_x}$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Рассчитайте численное значение $b/a$, если импеданс провода $Z_0=50\\ \\Omega$, а параметры диэлектрика — $\\varepsilon_r=4.0$ и $\\mu_r=1.0$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть B. Линия электропередачи (1 балл)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tРассмотрим одну из возможных реализаций линии электропередачи. Сигнал передается по очень тонкому проводнику радиуса $a$, который находится на расстоянии $d\\gg a$ от заземленной хорошо проводящей плоскости (рис. 3). Вещество, окружающее проводник, обладает диэлектрической проницаемостью $\\varepsilon_r$ и магнитной проницаемостью $\\mu_r$. Обратно ток течет по заземленной плоскости."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/f8edb64cd615f8d2c850.webp","alt":"apho-2019-t1 statement: original source diagram 3"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 3. Схема линии электропередачи (C -- проводник радиуса $a$, расположенный на расстоянии $d$ от заземленной плоскости P)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tНайдите импеданс такой линии электропередачи."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть C. Основы рефлектометрии (1.2 балла)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tЭлектромагнитная волна может распространяться по линии в двух противоположных направлениях. Для обоих направлений импеданс $Z_0$ связывает амплитуду напряжения $V_0$ и тока $I_0$ как $Z_0=V_0/I_0$. "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Рассмотрим соединение двух линий с импедансами $Z_0$ и $Z_1$ (рис. 4)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/4fba2e5c305579433b45.webp","alt":"apho-2019-t1 statement: original source diagram 4"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 4. Схема соединения двух линий с импедансами $Z_0$ и $Z_1$. Размер участка, который их соединяет, много меньше длины волны"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tКогда сигнал амплитуды $V_i$, распространяющийся в линии с импедансом $Z_0$, достигает места соединения, он частично проходит во вторую линию и распространяется дальше (амплитуда прошедшего сигнала $V_t$), а частично отражается и распространяется в обратном направлении в той же линии, что и исходный сигнал (амплитуда отраженного сигнала $V_r$)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tНайдите коэффициент отражения $\\Gamma=V_\\text{r}/V_\\text{i}$ в месте соединения линий."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tУкажите условие(я), при которых фаза исходного сигнала $V_i$ изменяется на $\\pi$ при отражении."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть D. Одноэлектронный транзистор (3.3 балла)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tУпрощенная схема одноэлектронного транзистора (single electron transistor, SET) представлена на рисунке 5. Квантовая точка (quantum dot, QD) — малый изолированный проводник и поблизости расположенные электроды. На квантовой точке могут накапливаться электроны, попадающие на нее туннельными переходами через электроды S и D на схеме. Затвор G —контакт QD с третьим электродом — эквивалентен конденсатору, указанному на схеме (рис. 5)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/88a71a3596b0f59d4844.webp","alt":"apho-2019-t1 statement: original source diagram 5"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 5. Схема одноэлектронного транзистора. QD — квантовая точка, S и D — туннельные переходы, G — эквивалентный конденсатору затвор"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tЕмкостью $C_t$ туннельных переходов можно пренебречь и считать емкость $C_g$ затвора полной емкостью квантовой точки. В данной части задачи потенциал на электродах S и D поддерживается нулевым, а на затворе — равным $V_g$.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            D1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.50"}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Пусть QD"},{"type":"element","tag":"strong","children":[]},{"type":"text","text":"содержит $n$ электронов."}]},{"type":"element","tag":"ol","children":[{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Найдите потенциал $\\varphi_n$ на QD."}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Найдите энергию $\\Delta E_n$, которая необходима еще одному электрону для попадания на QD."}]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tПри $\\Delta E_n <0$ электроны перетекают на QD, пока их количество не достигнет такого $\\mathcal{N}> n$, что $\\Delta E_{\\mathcal{N}} \\ge 0$. Соответствующие этому равновесию число $\\mathcal{N}$ и добавочную энергию $\\Delta E_{\\mathcal{N}}$ можно задать, подстраивая значение потенциала $V_g$.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            D2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tНайдите $E_c=\\max \\Delta E_{\\mathcal{N}}(V_g)$ — максимальную из равновесных добавочных энергий, достижимых подстройкой потенциала $V_g$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tВ случае, когда $\\Delta E_{\\mathcal{N}}=0$, переход электронов на QD"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"strong","children":[]},{"type":"text","text":"не требует дополнительных затрат энергии и SET"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"strong","children":[]},{"type":"text","text":"находится в проводящем состоянии (ON)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"В другом случае, когда $\\Delta E_{\\mathcal{N}}>0$, SET"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"strong","children":[]},{"type":"text","text":"проводит ток слабо, т.е. находится в состоянии OFF."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tСостояния ON"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"strong","children":[]},{"type":"text","text":"и OFF"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"strong","children":[]},{"type":"text","text":"хорошо различимы, если выполнен ряд условий."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Во-первых, тепловой энергии электронов на электродах S"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"strong","children":[]},{"type":"text","text":"и D"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"strong","children":[]},{"type":"text","text":"не должно хватать для перехода на QD."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            D3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tНайдите, какому условию должна удовлетворять температура электронов, чтобы они не могли перейти на QD.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tВо-вторых, туннелирование электронов на QD и обратно ограничивает время жизни энергетических состояний. Туннельный переход можно считать резистором, через который QD"},{"type":"element","tag":"strong","children":[]},{"type":"text","text":"разряжается за время, совпадающее с характерным временем туннелирования.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            D4\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.80"}]}]},{"type":"element","tag":"ol","children":[{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Напишите оценку времени туннелирования, используя емкость $C_t$ и сопротивление $R_t$ туннельного перехода."}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Найдите соотношение, которому должно удовлетворять $R_t$, чтобы состояния ON"},{"type":"element","tag":"strong","children":[]},{"type":"text","text":"и OFF"},{"type":"element","tag":"strong","children":[]},{"type":"text","text":"не перекрывались."}]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть E. Изучение состояния SET-транзистора с помощью рефлектометрии (1 балл)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tБудем считать, что в ON"},{"type":"element","tag":"strong","children":[]},{"type":"text","text":"-состоянии SET"},{"type":"element","tag":"strong","children":[]},{"type":"text","text":"эквивалентен сопротивлению $R_{\\text{ON}}=100 \\, \\text{k} \\Omega$, а в OFF"},{"type":"element","tag":"strong","children":[]},{"type":"text","text":"-состоянии является изолятором. Рефлектометрия позволяет определить состояние SET, проведя измерения амплитуды и фазы отраженного от SET"},{"type":"element","tag":"strong","children":[]},{"type":"text","text":"сигнала и вычислив коэффициент отражения $\\Gamma$.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tПри переключении SET"},{"type":"element","tag":"strong","children":[]},{"type":"text","text":"из состояния ON"},{"type":"element","tag":"strong","children":[]},{"type":"text","text":"в состояние OFF"},{"type":"element","tag":"strong","children":[]},{"type":"text","text":"коэффициент отражения меняется на: $$\\Delta\\Gamma = |\\Gamma_\\text{ON} - \\Gamma_\\text{OFF}|,$$ где $\\Gamma_{\\text{ON}}$ и $\\Gamma_{\\text{OFF}}$ — коэффициенты отражения в этих состояниях.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/4c4289cd64dea9c9794f.webp","alt":"apho-2019-t1 statement: original source diagram 6"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 6. Схема подключения линии (имеющей импеданс $Z_0$) к SET"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            E1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tВычислите $\\Delta \\Gamma$ для SET, подключенного к линии с импедансом $50\\ \\Omega$ (рис. 6).\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tДля увеличения $\\Delta \\Gamma$ (и, соответственно, чувствительности рефлектометрии) в цепь включают индуктивность (рис. 7). Учтите, кроме того, технологически неизбежную внутреннюю емкость $C_0\\approx0.4\\: \\textrm{пФ}$. Рефлектометрия проводится сигналом угловой частоты $\\omega_\\text{rf}$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/26fa2957f8e49ccfe3ef.webp","alt":"apho-2019-t1 statement: original source diagram 7"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 7. Измененная схема подключения линии к SET"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            E2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.80"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tНайдите условие на $L_0$, необходимое для того, чтобы $\\Delta \\Gamma$ было порядка единицы."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Для случая $\\omega_{\\text{rf}}/(2\\pi)=100\\: \\textrm{МГц}$ вычислите $L_0$ и соответствующее ей $\\Delta \\Gamma$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть F. Регистрация заряда с помощью квантовой точки с одним электродом  (1.5 балла)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tВ практических применениях количество электродов, подходящих к квантовым точкам, стремятся уменьшить. В квантовых точках с одним электродом (Single Lead Quantum Dot, SLQD) отсутствуют электроды S"},{"type":"element","tag":"strong","children":[]},{"type":"text","text":"и G, а через затвор G"},{"type":"element","tag":"strong","children":[]},{"type":"text","text":"осуществляется и управление состоянием QD, и рефлектометрия.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tSLQD"},{"type":"element","tag":"strong","children":[]},{"type":"text","text":"в OFF-состоянии является изолятором, как и SET."},{"type":"element","tag":"strong","children":[]},{"type":"text","text":"Однако, в отличие от SET,"},{"type":"element","tag":"strong","children":[]},{"type":"text","text":"SLQD"},{"type":"element","tag":"strong","children":[]},{"type":"text","text":"в ON-состоянии эквивалентен конденсатору емкости $C_\\text{q}$. Для максимизации $\\Delta\\Gamma$ собирают изображенную на рисунке 8 схему. Емкость $C_0\\approx0.4\\: \\textrm{пФ}$ конструктивно неизбежна и фиксирована, а индуктивность $L_0$ и частота сигнала $\\omega_\\text{rf}$ могут быть выбраны такими, чтобы оптимизировать измерения. Импеданс линии $Z_0=50 \\, \\Omega$.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/60833b7aa8017dcdb1d6.webp","alt":"apho-2019-t1 statement: original source diagram 8"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 8. Схема подключения линии к SLQD"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            F1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tПредложите, как выбрать $\\omega_\\text{rf}$ и $Z_\\text{C}=\\sqrt{L_0/C_0}$, чтобы получить $\\Delta\\Gamma \\sim 1$ при фиксированных $C_0$ и $C_q$. В ответ запишите формулы для нахождения $\\omega_\\text{rf}$ и $Z_{\\text{C}}$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tПодбираемые оптимальные значения индуктивности $L_0$ довольно велики и не всегда реализуемы. Поэтому для увеличения чувствительности рефлектометрии иногда требуется использовать элементы другого типа."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            F2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tСтавится цель получить $\\Delta \\Gamma \\sim 1$, не прибегая к использованию значительных $L_0$. Считая $L_0$ (и, таким образом, $Z_C$) фиксированной, нарисуйте схему, задействующую еще один элемент при подключении линии к SLQD."},{"type":"element","tag":"strong","children":[]},{"type":"text","text":"Найдите выражение для номинала этого элемента.\n\n                \n                "}]}]}]}]}],"text":"Введение Доведение идеи квантовых вычислений до прикладных разработок — одна из важных задач современных науки и технологий. Один из подходов к решению этой задачи — управление одиночными электронами в транзисторах с помощью переменных электромагнитных полей. В этой задаче мы разберемся, как с помощью одноэлектронных транзисторов и рефлектометрии можно считать состояние квантового бита информации в прототипах квантовых компьютеров. В частях А и B обсуждается распространение радиоволн вдоль проводов и линий электропередач. В части С рассматриваются условия отражения волн. В части D описывается одноэлектронный транзистор, а в части E и F обсуждается метод рефлектометрии. Часть A. Модель коаксиального провода (2 балла) Когда рассматривается постоянный ток или низкочастотные сигналы, предполагается, что он распространяется по цепи мгновенно. Такое предположение верно, если длина волны таких сигналов много больше размеров цепи. Но когда рассматриваются радиоволны, распространение становится более сложным, и нужно учитывать емкость и индуктивность проводов. В этой задаче считайте, что электрическое и магнитное поле перпендикулярны оси провода (так называемая поперечная электромагнитная мода). Рис. 1. Устройство коаксиального провода (С — центральная жила, I — диэлектрик, S — металлическая оплетка, J — изоляционный материал) В проводе центральная медная жила радиуса $a$ окружена медной оплеткой внутреннего радиуса $b$ (рис. 1). Между ними находится диэлектрик (диэлектрическая проницаемость $\\varepsilon_r$, магнитная проницаемость $\\mu_r$). Сопротивлением меди можно пренебречь. Когда электромагнитный сигнал распространяется в проводе, он ограничен центральной жилой и внешней оплеткой. A1 0.20 С какой скоростью распространяются электромагнитные волны в коаксиальном проводе? A2 0.20 Пусть участок центральной жилы длиной $\\Delta x$ заряжен зарядом $\\Delta q$, а внешняя оплетка заземлена. Найдите электрическое поле между центральной жилой и оплеткой. A3 0.30 Найдите емкость $C_x$ единицы длины коаксиального провода. A4 0.30 Найдите индуктивность $L_x$ единицы длины провода. Кабель целиком можно представить как емкости и индуктивности его малых участков. Будем считать, что индуктивность провода — это характеристика центральной жилы, а емкости характеризуют диэлектрик между проводниками (рис. 2). Рис. 2. Эквивалентная схема длинного коаксиального провода A5 1.00 Покажите, что импеданс $Z_0$ полубесконечного провода равен $Z_0=\\sqrt{L_x/C_x}$. Рассчитайте численное значение $b/a$, если импеданс провода $Z_0=50\\ \\Omega$, а параметры диэлектрика — $\\varepsilon_r=4.0$ и $\\mu_r=1.0$. Часть B. Линия электропередачи (1 балл) Рассмотрим одну из возможных реализаций линии электропередачи. Сигнал передается по очень тонкому проводнику радиуса $a$, который находится на расстоянии $d\\gg a$ от заземленной хорошо проводящей плоскости (рис. 3). Вещество, окружающее проводник, обладает диэлектрической проницаемостью $\\varepsilon_r$ и магнитной проницаемостью $\\mu_r$. Обратно ток течет по заземленной плоскости. Рис. 3. Схема линии электропередачи (C -- проводник радиуса $a$, расположенный на расстоянии $d$ от заземленной плоскости P) B1 1.00 Найдите импеданс такой линии электропередачи. Часть C. Основы рефлектометрии (1.2 балла) Электромагнитная волна может распространяться по линии в двух противоположных направлениях. Для обоих направлений импеданс $Z_0$ связывает амплитуду напряжения $V_0$ и тока $I_0$ как $Z_0=V_0/I_0$. Рассмотрим соединение двух линий с импедансами $Z_0$ и $Z_1$ (рис. 4). Рис. 4. Схема соединения двух линий с импедансами $Z_0$ и $Z_1$. Размер участка, который их соединяет, много меньше длины волны Когда сигнал амплитуды $V_i$, распространяющийся в линии с импедансом $Z_0$, достигает места соединения, он частично проходит во вторую линию и распространяется дальше (амплитуда прошедшего сигнала $V_t$), а частично отражается и распространяется в обратном направлении в той же линии, что и исходный сигнал (амплитуда отраженного сигнала $V_r$). C1 1.00 Найдите коэффициент отражения $\\Gamma=V_\\text{r}/V_\\text{i}$ в месте соединения линий. C2 0.20 Укажите условие(я), при которых фаза исходного сигнала $V_i$ изменяется на $\\pi$ при отражении. Часть D. Одноэлектронный транзистор (3.3 балла) Упрощенная схема одноэлектронного транзистора (single electron transistor, SET) представлена на рисунке 5. Квантовая точка (quantum dot, QD) — малый изолированный проводник и поблизости расположенные электроды. На квантовой точке могут накапливаться электроны, попадающие на нее туннельными переходами через электроды S и D на схеме. Затвор G —контакт QD с третьим электродом — эквивалентен конденсатору, указанному на схеме (рис. 5). Рис. 5. Схема одноэлектронного транзистора. QD — квантовая точка, S и D — туннельные переходы, G — эквивалентный конденсатору затвор Емкостью $C_t$ туннельных переходов можно пренебречь и считать емкость $C_g$ затвора полной емкостью квантовой точки. В данной части задачи потенциал на электродах S и D поддерживается нулевым, а на затворе — равным $V_g$. D1 1.50 Пусть QD содержит $n$ электронов. Найдите потенциал $\\varphi_n$ на QD. Найдите энергию $\\Delta E_n$, которая необходима еще одному электрону для попадания на QD. При $\\Delta E_n <0$ электроны перетекают на QD, пока их количество не достигнет такого $\\mathcal{N}> n$, что $\\Delta E_{\\mathcal{N}} \\ge 0$. Соответствующие этому равновесию число $\\mathcal{N}$ и добавочную энергию $\\Delta E_{\\mathcal{N}}$ можно задать, подстраивая значение потенциала $V_g$. D2 0.50 Найдите $E_c=\\max \\Delta E_{\\mathcal{N}}(V_g)$ — максимальную из равновесных добавочных энергий, достижимых подстройкой потенциала $V_g$. В случае, когда $\\Delta E_{\\mathcal{N}}=0$, переход электронов на QD не требует дополнительных затрат энергии и SET находится в проводящем состоянии (ON). В другом случае, когда $\\Delta E_{\\mathcal{N}}>0$, SET проводит ток слабо, т.е. находится в состоянии OFF. Состояния ON и OFF хорошо различимы, если выполнен ряд условий. Во-первых, тепловой энергии электронов на электродах S и D не должно хватать для перехода на QD. D3 0.50 Найдите, какому условию должна удовлетворять температура электронов, чтобы они не могли перейти на QD. Во-вторых, туннелирование электронов на QD и обратно ограничивает время жизни энергетических состояний. Туннельный переход можно считать резистором, через который QD разряжается за время, совпадающее с характерным временем туннелирования. D4 0.80 Напишите оценку времени туннелирования, используя емкость $C_t$ и сопротивление $R_t$ туннельного перехода. Найдите соотношение, которому должно удовлетворять $R_t$, чтобы состояния ON и OFF не перекрывались. Часть E. Изучение состояния SET-транзистора с помощью рефлектометрии (1 балл) Будем считать, что в ON -состоянии SET эквивалентен сопротивлению $R_{\\text{ON}}=100 \\, \\text{k} \\Omega$, а в OFF -состоянии является изолятором. Рефлектометрия позволяет определить состояние SET, проведя измерения амплитуды и фазы отраженного от SET сигнала и вычислив коэффициент отражения $\\Gamma$. При переключении SET из состояния ON в состояние OFF коэффициент отражения меняется на: $$\\Delta\\Gamma = |\\Gamma_\\text{ON} - \\Gamma_\\text{OFF}|,$$ где $\\Gamma_{\\text{ON}}$ и $\\Gamma_{\\text{OFF}}$ — коэффициенты отражения в этих состояниях. Рис. 6. Схема подключения линии (имеющей импеданс $Z_0$) к SET E1 0.20 Вычислите $\\Delta \\Gamma$ для SET, подключенного к линии с импедансом $50\\ \\Omega$ (рис. 6). Для увеличения $\\Delta \\Gamma$ (и, соответственно, чувствительности рефлектометрии) в цепь включают индуктивность (рис. 7). Учтите, кроме того, технологически неизбежную внутреннюю емкость $C_0\\approx0.4\\: \\textrm{пФ}$. Рефлектометрия проводится сигналом угловой частоты $\\omega_\\text{rf}$. Рис. 7. Измененная схема подключения линии к SET E2 0.80 Найдите условие на $L_0$, необходимое для того, чтобы $\\Delta \\Gamma$ было порядка единицы. Для случая $\\omega_{\\text{rf}}/(2\\pi)=100\\: \\textrm{МГц}$ вычислите $L_0$ и соответствующее ей $\\Delta \\Gamma$. Часть F. Регистрация заряда с помощью квантовой точки с одним электродом  (1.5 балла) В практических применениях количество электродов, подходящих к квантовым точкам, стремятся уменьшить. В квантовых точках с одним электродом (Single Lead Quantum Dot, SLQD) отсутствуют электроды S и G, а через затвор G осуществляется и управление состоянием QD, и рефлектометрия. SLQD в OFF-состоянии является изолятором, как и SET. Однако, в отличие от SET, SLQD в ON-состоянии эквивалентен конденсатору емкости $C_\\text{q}$. Для максимизации $\\Delta\\Gamma$ собирают изображенную на рисунке 8 схему. Емкость $C_0\\approx0.4\\: \\textrm{пФ}$ конструктивно неизбежна и фиксирована, а индуктивность $L_0$ и частота сигнала $\\omega_\\text{rf}$ могут быть выбраны такими, чтобы оптимизировать измерения. Импеданс линии $Z_0=50 \\, \\Omega$. Рис. 8. Схема подключения линии к SLQD F1 1.00 Предложите, как выбрать $\\omega_\\text{rf}$ и $Z_\\text{C}=\\sqrt{L_0/C_0}$, чтобы получить $\\Delta\\Gamma \\sim 1$ при фиксированных $C_0$ и $C_q$. В ответ запишите формулы для нахождения $\\omega_\\text{rf}$ и $Z_{\\text{C}}$. Подбираемые оптимальные значения индуктивности $L_0$ довольно велики и не всегда реализуемы. Поэтому для увеличения чувствительности рефлектометрии иногда требуется использовать элементы другого типа. F2 0.50 Ставится цель получить $\\Delta \\Gamma \\sim 1$, не прибегая к использованию значительных $L_0$. Считая $L_0$ (и, таким образом, $Z_C$) фиксированной, нарисуйте схему, задействующую еще один элемент при подключении линии к SLQD. Найдите выражение для номинала этого элемента.\n","figures":["/corpus/figures/696a2cd0513088d37a41.webp","/corpus/figures/ff207999ff3abae9061a.webp","/corpus/figures/f8edb64cd615f8d2c850.webp","/corpus/figures/4fba2e5c305579433b45.webp","/corpus/figures/88a71a3596b0f59d4844.webp","/corpus/figures/4c4289cd64dea9c9794f.webp","/corpus/figures/26fa2957f8e49ccfe3ef.webp","/corpus/figures/60833b7aa8017dcdb1d6.webp"],"shared":false},"solution":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tС какой скоростью распространяются электромагнитные волны в коаксиальном проводе?"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tПусть участок центральной жилы длиной $\\Delta x$ заряжен зарядом $\\Delta q$, а внешняя оплетка заземлена. Найдите электрическое поле между центральной жилой и оплеткой."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.30"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tНайдите емкость $C_x$ единицы длины коаксиального провода."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A4\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.30"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tНайдите индуктивность $L_x$ единицы длины провода."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A5\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"element","tag":"ol","children":[{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Покажите, что импеданс $Z_0$ полубесконечного провода равен $Z_0=\\sqrt{L_x/C_x}$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Рассчитайте численное значение $b/a$, если импеданс провода $Z_0=50\\ \\Omega$, а параметры диэлектрика — $\\varepsilon_r=4.0$ и $\\mu_r=1.0$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tНайдите импеданс такой линии электропередачи."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tНайдите коэффициент отражения $\\Gamma=V_\\text{r}/V_\\text{i}$ в месте соединения линий."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tУкажите условие(я), при которых фаза исходного сигнала $V_i$ изменяется на $\\pi$ при отражении."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                D1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.50"}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Пусть QD"},{"type":"element","tag":"strong","children":[]},{"type":"text","text":"содержит $n$ электронов."}]},{"type":"element","tag":"ol","children":[{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Найдите потенциал $\\varphi_n$ на QD."}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Найдите энергию $\\Delta E_n$, которая необходима еще одному электрону для попадания на QD."}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                D2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tНайдите $E_c=\\max \\Delta E_{\\mathcal{N}}(V_g)$ — максимальную из равновесных добавочных энергий, достижимых подстройкой потенциала $V_g$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                D3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tНайдите, какому условию должна удовлетворять температура электронов, чтобы они не могли перейти на QD.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                D4\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.80"}]}]},{"type":"element","tag":"ol","children":[{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Напишите оценку времени туннелирования, используя емкость $C_t$ и сопротивление $R_t$ туннельного перехода."}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Найдите соотношение, которому должно удовлетворять $R_t$, чтобы состояния ON"},{"type":"element","tag":"strong","children":[]},{"type":"text","text":"и OFF"},{"type":"element","tag":"strong","children":[]},{"type":"text","text":"не перекрывались."}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                E1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tВычислите $\\Delta \\Gamma$ для SET, подключенного к линии с импедансом $50\\ \\Omega$ (рис. 6).\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                E2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.80"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tНайдите условие на $L_0$, необходимое для того, чтобы $\\Delta \\Gamma$ было порядка единицы."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Для случая $\\omega_{\\text{rf}}/(2\\pi)=100\\: \\textrm{МГц}$ вычислите $L_0$ и соответствующее ей $\\Delta \\Gamma$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                F1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tПредложите, как выбрать $\\omega_\\text{rf}$ и $Z_\\text{C}=\\sqrt{L_0/C_0}$, чтобы получить $\\Delta\\Gamma \\sim 1$ при фиксированных $C_0$ и $C_q$. В ответ запишите формулы для нахождения $\\omega_\\text{rf}$ и $Z_{\\text{C}}$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                F2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tСтавится цель получить $\\Delta \\Gamma \\sim 1$, не прибегая к использованию значительных $L_0$. Считая $L_0$ (и, таким образом, $Z_C$) фиксированной, нарисуйте схему, задействующую еще один элемент при подключении линии к SLQD."},{"type":"element","tag":"strong","children":[]},{"type":"text","text":"Найдите выражение для номинала этого элемента.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]}],"text":"A1 0.20 С какой скоростью распространяются электромагнитные волны в коаксиальном проводе?\nA2 0.20 Пусть участок центральной жилы длиной $\\Delta x$ заряжен зарядом $\\Delta q$, а внешняя оплетка заземлена. Найдите электрическое поле между центральной жилой и оплеткой.\nA3 0.30 Найдите емкость $C_x$ единицы длины коаксиального провода.\nA4 0.30 Найдите индуктивность $L_x$ единицы длины провода.\nA5 1.00 Покажите, что импеданс $Z_0$ полубесконечного провода равен $Z_0=\\sqrt{L_x/C_x}$. Рассчитайте численное значение $b/a$, если импеданс провода $Z_0=50\\ \\Omega$, а параметры диэлектрика — $\\varepsilon_r=4.0$ и $\\mu_r=1.0$.\nB1 1.00 Найдите импеданс такой линии электропередачи.\nC1 1.00 Найдите коэффициент отражения $\\Gamma=V_\\text{r}/V_\\text{i}$ в месте соединения линий.\nC2 0.20 Укажите условие(я), при которых фаза исходного сигнала $V_i$ изменяется на $\\pi$ при отражении.\nD1 1.50 Пусть QD содержит $n$ электронов. Найдите потенциал $\\varphi_n$ на QD. Найдите энергию $\\Delta E_n$, которая необходима еще одному электрону для попадания на QD.\nD2 0.50 Найдите $E_c=\\max \\Delta E_{\\mathcal{N}}(V_g)$ — максимальную из равновесных добавочных энергий, достижимых подстройкой потенциала $V_g$.\nD3 0.50 Найдите, какому условию должна удовлетворять температура электронов, чтобы они не могли перейти на QD.\nD4 0.80 Напишите оценку времени туннелирования, используя емкость $C_t$ и сопротивление $R_t$ туннельного перехода. Найдите соотношение, которому должно удовлетворять $R_t$, чтобы состояния ON и OFF не перекрывались.\nE1 0.20 Вычислите $\\Delta \\Gamma$ для SET, подключенного к линии с импедансом $50\\ \\Omega$ (рис. 6).\nE2 0.80 Найдите условие на $L_0$, необходимое для того, чтобы $\\Delta \\Gamma$ было порядка единицы. Для случая $\\omega_{\\text{rf}}/(2\\pi)=100\\: \\textrm{МГц}$ вычислите $L_0$ и соответствующее ей $\\Delta \\Gamma$.\nF1 1.00 Предложите, как выбрать $\\omega_\\text{rf}$ и $Z_\\text{C}=\\sqrt{L_0/C_0}$, чтобы получить $\\Delta\\Gamma \\sim 1$ при фиксированных $C_0$ и $C_q$. В ответ запишите формулы для нахождения $\\omega_\\text{rf}$ и $Z_{\\text{C}}$.\nF2 0.50 Ставится цель получить $\\Delta \\Gamma \\sim 1$, не прибегая к использованию значительных $L_0$. Считая $L_0$ (и, таким образом, $Z_C$) фиксированной, нарисуйте схему, задействующую еще один элемент при подключении линии к SLQD. Найдите выражение для номинала этого элемента.","figures":[],"shared":false}},{"id":"apho-2019-t2","importedOn":"2026-10-28","language":"ru","sources":[{"url":"https://pho.rs/p/3323","kind":"statement"},{"url":"https://pho.rs/p/3323/s","kind":"solution"}],"statement":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Введение"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tАктивные ядра галактик (АЯГ) состоят из сверхмассивных черных дыр в центре и излучают большое количество энергии и частиц. Одной из их особенностей являются джеты, которые можно наблюдать с помощью электромагнитных волн, в том числе регистрируя рентгеновское излучение. Джеты (релятивистские струи) представляют собой потоки релятивисткой плазмы, длиной порядка $10^{20}~м$, то есть десятки тысяч световых лет. Рентгеновское излучение джетов объясняется синхротронным излучением релятивистских электронов прецессирующих в магнитном поле джета."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/091167c68883a90d3bdc.webp","alt":"apho-2019-t2 statement: original source diagram 1"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 1. Рентгеновское изображение джета от Centaurus A АЯГ. Темные области на светлом фоне соответствуют более яркой интенсивности рентгена. Такие области называются узлами. (Snios et al., 2019)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть A. Модель джета как 1D (одномерное) течение жидкости (3.8 балла)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tДжет можно описать так. Поток частиц является установившимся и направлен радиально от центра АЯГ. Поэтому его можно считать одномерным. Плазма находится в механическом равновесии с окружением. Предполагается, что джет набирает массу за счет того, что звезды внутри него теряют массу и отдают её джету."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tДжет удобно описывать следующими параметрами: расстояние вдоль струи от АЯГ до некоторой точки $s$, и радиус струи в этой плоскости $r$ (рис. 2). Расстояния измеряются в парсеках, где $1~\\text{pc}=3.086\\cdot 10^{16}~м$. Скорость потока джета направлена только вдоль струи и является функцией только $s$. Плазма джета состоит из электронов, протонов и некоторых заряженных ядер. Средняя энергия одной частицы в системе отсчета, которая движется вместе с некоторым рассматриваемым местом в джете (далее система отсчета джета), равна $\\epsilon_\\text{av}=\\mu_\\text{pp}c^2 + h$, Слагаемое $h$ включает в себя всю тепловую кинетическую энергию и потенциальную энергию. Слагаемое $h$ зависит от давления $P$ и концентрации частиц плазмы $n$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Звезды, которые находятся в джете, теряют часть своей атмосферы. В результате, в джет в единицу объема за единицу времени инжектируется масса $\\alpha$, которая находится в покое относительно АЯГ."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Данная модель может быть применена к джету Centaurus A. Полная мощность переносимая джетом равна $P_\\text{j} = 1\\cdot 10^{36}\\ \\rm{Дж}\\cdot \\rm{с}^{-1}$. На рисунке 2 показана схема джета и указаны числовые значения его параметров. $s_1$ координата начала джета, $s_2$ координата конца джета. Средняя масса частицы джета равна $\\mu_\\text{pp} = 0.59 m_\\text{p}$, а $h=\\frac{13}{4}P/n$. Давление в плазме окружающей джет равно $$P(s) = 5.7 \\cdot 10^{-12} \\left(\\frac{s}{s_0}\\right)^{-1.5} \\ \\rm{Па},$$ где $s_0=1\\ \\text{kpc}$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/2d98c3acc8203f4398f5.webp","alt":"apho-2019-t2 statement: original source diagram 2"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 2. Джет Centaurus A, показана геометрия джета относительно АЯГ"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tВ некоторой точке $s$ джет описывается следующими параметрами, каждый зависит от расстояния:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"ul","children":[{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"радиус джета $r(s)$ в системе отсчета АЯГ,"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"площадь поперечного сечения $A(s)$ в системе отсчета АЯГ,"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"скорость течения джета $v(s)$ в системе отсчета АЯГ,"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"гамма-фактор джета $\\gamma(s)$ в системе отсчета АЯГ,"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"концентрация частиц джета $n(s)$ в системе отсчета джета."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"В пунктах "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"А1-4"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"text","text":"считайте, что эти параметры известны."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.30"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tНайдите концентрацию частиц в системе отсчета АЯГ $n'(s)$, через концентрацию частиц в системе отсчета джета $n(s)$ и другие параметры. Система отсчета джета в каждой точке движется с той же скоростью, что и джет в этой точке."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tНайдите количество частиц в единицу времени $F_p(s)$, которые пересекают сечение джета площадью $A(s)$ на расстоянии $s$ от АЯГ."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tЗапишите уравнение непрерывности для количества частиц, втекающих и вытекающих из джета, через параметры $s_1$ и $s_2$, полный объём джета $V$, и другие необходимые параметры."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A4\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tЗапишите соотношение для энергий за единицу времени, втекающей и вытекающей из джета. Выразите эти величины через скорости джета, площади поперечного сечения, концентрации в системе отсчета джета в точках $s_1$ и $s_2$, полный объём джета $V$ и другие необходимые параметры."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tМощность, переносимая джетом определяется как сумма всей кинетической энергии потока и полной тепловой энергии потока, поэтому: $$P_{\\text j}(s)=F_{\\text E}(s) - \\dot{M}c^2,$$ где $F_{\\text E}(s)$ — количество энергии за единицу времени, переносимой джетом через некоторое сечение в точке $s$, и $\\dot{M}$ — масса, переносимая джетом через некоторое сечение на расстоянии $s$ от АЯГ."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A5\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tИспользуйте ответы предыдущих частей и найдите $\\mathrm{d}P_\\text{j}/\\mathrm{d}s$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A6\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.40"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tВычислите $\\dot{M}_1$в точке $s_1$, и $\\dot{M}_2$ в точке $s_2$,"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A7\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tНайдите выражения для величины импульса переносимого за единицу времени $\\Pi$, через сечение джета Centaurus A. Также вычислите эту величину."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A8\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tНайдите и вычислите силу $F_{\\text{Pr}}$, действующую на джет и возникающую из-за внешнего давления."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A9\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tЗапишите ожидаемое соотношение между $\\Pi$ и $F_{\\text{Pr}}$. "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Также вычислите разницу (в процентах) между значением $\\Pi$ из "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"A7"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"text","text":"и ожидаемым значением."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть B. Газ ультрарелятивистских электронов (2.2 балла)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tРассмотрим газ ультрарелятивистских электронов ($\\gamma\\gg 1$), с изотропным распределением скоростей (не зависят от направления). Концентрация частиц с энергиями в интервале от $\\epsilon$ до $\\epsilon + \\mathrm{d}\\epsilon$ равна $f(\\epsilon) \\ \\mathrm{d}\\epsilon$, где $\\epsilon$ — энергия одной частицы. Площадь стенки, с которой взаимодействует газ, равна $\\Delta A$.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tЗапишите в виде интеграла выражение для полной энергии единицы объёма для газа электронов."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.80"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tНайдите выражение скорости изменения z-компоненты (перпендикулярной стенке) импульса $\\Delta p_\\text{z}/\\Delta t$ всех частиц газа ударившихся о стенку."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tВыведите уравнение состояния для газа ультрарелятивистских электронов, связывающее давление, объём и полную внутреннюю энергию."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B4\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tВыведите связь между давлением и объёмом для адиабатического процесса над ультрарелятивистским газом."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть C. Синхротронное излучение (1.7 балла)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tВ джетах из АЯГ содержится много высокоэнергетических электронов, которые в сильных магнитных полях излучают. Эти электроны можно считать ультрарелятивистскими: $\\gamma\\gg 1$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.70"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tНайдите выражение для угловой скорости прецессии $\\Omega$ электрона с гамма-фактором $\\gamma$. Угол между магнитным полем $B$ и направлением движения электрона $\\phi$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tТак как электрон в магнитном поле движется ускоренно, он излучает электромагнитные волны. В системе, сопутствующей системе отсчета, которая движется с текущей скоростью электрона, нет выделенного направления для излучения. Однако, в системе отсчета наблюдателя ультрарелятивистские $\\gamma \\gg 1$ электроны в основном излучают вперёд в конус с $\\theta \\lesssim 1/\\gamma$ (то есть, угол раствора конуса $2/\\gamma$). Так как электрон прецессирует в магнитном поле, наблюдатель будет фиксировать только короткие вспышки излучения, так как линия наблюдения иногда оказывается в конусе."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/90945a04a84e00f1e6b9.webp","alt":"apho-2019-t2 statement: original source diagram 3"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 3. \n\nСлева: распределение мощности излучения электрона, движущегося с ускорением, направленным вверх страницы. Система отсчета, в которой скорость в данный момент времени равна нулю\n\nСправа: распределение мощности излучения того же электрона в системе отсчета наблюдателя. Большая часть излучается в конус вперёд"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tНайдите продолжительность вспышек $\\Delta t$ синхротронного излучения, которые увидит наблюдатель. Гамма-фактор электрона $\\gamma$, угол между магнитным полем и направлением движения электрона $\\phi$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.30"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tОтсюда оцените характерную частоту $\\nu_{\\text{chr}}$ синхротронной вспышки."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tПолная мощность синхротронного излучения: $$P_\\text{s}=\\frac{1}{6\\pi\\varepsilon_0}\\left(\\frac{q^4 B^2 \\sin^2\\phi}{m^4c^5}\\right) E^2.$$\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C4\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tОцените время $\\tau$ за которое электрон с энергией $E$ потеряет свою энергию. Процесс называется синхротронным охлаждением."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть D. Синхротронное излучение АЯГ джета (2.3 балла)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tОбычно распределение электронов по энергии в джете описывается степенным законом вида $f(\\epsilon)=\\kappa \\epsilon^{-p}$, где $f(\\epsilon) \\ \\mathrm{d}\\epsilon$ — концентрация частиц с энергией в интервале от $\\epsilon$ до $\\epsilon + \\mathrm{d}\\epsilon$. Соответствующий спектр синхротронного излучения зависит от распределения энергии электронов, а не от спектра для отдельного электрона. Этот спектр таков:$$j(\\nu)d\\nu \\propto B^{(1+p)/2} \\nu^{(1-p)/2}\\ \\mathrm{d}\\nu.$$ Здесь $j(\\nu)\\ \\mathrm{d}\\nu$ плотность излученной энергии фотонов в диапазоне частот от $\\nu$ до $\\nu+\\mathrm{d}\\nu$.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tНаблюдение джета Centaurus A и других показало структуру с характерными яркими областями, названных узлами. Наблюдение этих узлов в течении долгого времени показало как их перемещение, так и изменение яркости. Уменьшение яркости происходит либо из-за адиабатического расширения газа в узлах, либо синхротронного охлаждения электронов в узлах."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tРассмотрим произвольный объём плазмы. Считайте, что магнитный поток через поверхность границы объёма остаётся постоянным, даже если объём изменил форму или размер."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            D1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.40"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tСферический узел изотропно расширяется от объёма $V_0$ до объёма $V$. Начальное магнитное поле однородно и равно $B_0$. найдите магнитное поле $B$ в расширившемся узле."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            D2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tНайдите$f(\\epsilon)$, распределение электронов по энергиям, после адиабатического расширения сферического узла до объёма $V$. Считайте, что при объёме $V_0$ начальное распределение электронов по энергиям $f_0(\\epsilon)=\\kappa_0 \\epsilon^{-p}$, где $f_0(\\epsilon)\\ \\mathrm{d}\\epsilon$ — есть концентрация электронов с энергией в диапазоне от $\\epsilon$ до $\\epsilon + \\mathrm{d}\\epsilon$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            D3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.30"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tРассмотрим как синхротронное охлаждение повлияет на распределение электронов. Рассмотрим распределение электронов по энергиям как функцию энергии $\\epsilon$. Как изменится функция спустя некоторое время синхротронного охлаждения? Станет ли она более пологой, крутой, или не изменится? Поясните свой ответ, рассмотрев два электрона с энергиями $\\epsilon_1<\\epsilon_2$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Таблица с данными наблюдений узлов (темных точек) в джетах двух АЯГ Centaurus A (Cen A) и M87"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"figure","children":[{"type":"element","tag":"table","children":[{"type":"element","tag":"tbody","children":[{"type":"element","tag":"tr","children":[{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"АЯГ"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"Время между"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"наблюдениями"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"Узел"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"Изменение яркости"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"рентгеновских лучей"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"Изменение спектра"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"рентгеновских лучей"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"Изменение яркости в других"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"длинах волн (УФ, видимый свет)"}]}]},{"type":"element","tag":"tr","children":[{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"Cen A"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"15 лет"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"AX1C"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$-23\\%$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"Без изменений"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"Нет данных"}]}]},{"type":"element","tag":"tr","children":[{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"Cen A"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"15 лет"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"BX2"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$-15\\%$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"Без изменений"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"Нет данных"}]}]},{"type":"element","tag":"tr","children":[{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"M87"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"5 лет"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"HST-1"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$-73\\%$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"Нет данных"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"Без изменений"}]}]},{"type":"element","tag":"tr","children":[{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"M87"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"5 лет"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"Узел A"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$-12\\%$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"Нет данных"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"Без изменений"}]}]}]}]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            D4\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tВ таблице листа ответов укажите, какая причина наиболее вероятна для уменьшения яркости каждого узла. Также укажите, на основе какого такого пункта задачи вы сделали вывод?"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]}],"text":"Введение Активные ядра галактик (АЯГ) состоят из сверхмассивных черных дыр в центре и излучают большое количество энергии и частиц. Одной из их особенностей являются джеты, которые можно наблюдать с помощью электромагнитных волн, в том числе регистрируя рентгеновское излучение. Джеты (релятивистские струи) представляют собой потоки релятивисткой плазмы, длиной порядка $10^{20}~м$, то есть десятки тысяч световых лет. Рентгеновское излучение джетов объясняется синхротронным излучением релятивистских электронов прецессирующих в магнитном поле джета. Рис. 1. Рентгеновское изображение джета от Centaurus A АЯГ. Темные области на светлом фоне соответствуют более яркой интенсивности рентгена. Такие области называются узлами. (Snios et al., 2019) Часть A. Модель джета как 1D (одномерное) течение жидкости (3.8 балла) Джет можно описать так. Поток частиц является установившимся и направлен радиально от центра АЯГ. Поэтому его можно считать одномерным. Плазма находится в механическом равновесии с окружением. Предполагается, что джет набирает массу за счет того, что звезды внутри него теряют массу и отдают её джету. Джет удобно описывать следующими параметрами: расстояние вдоль струи от АЯГ до некоторой точки $s$, и радиус струи в этой плоскости $r$ (рис. 2). Расстояния измеряются в парсеках, где $1~\\text{pc}=3.086\\cdot 10^{16}~м$. Скорость потока джета направлена только вдоль струи и является функцией только $s$. Плазма джета состоит из электронов, протонов и некоторых заряженных ядер. Средняя энергия одной частицы в системе отсчета, которая движется вместе с некоторым рассматриваемым местом в джете (далее система отсчета джета), равна $\\epsilon_\\text{av}=\\mu_\\text{pp}c^2 + h$, Слагаемое $h$ включает в себя всю тепловую кинетическую энергию и потенциальную энергию. Слагаемое $h$ зависит от давления $P$ и концентрации частиц плазмы $n$. Звезды, которые находятся в джете, теряют часть своей атмосферы. В результате, в джет в единицу объема за единицу времени инжектируется масса $\\alpha$, которая находится в покое относительно АЯГ. Данная модель может быть применена к джету Centaurus A. Полная мощность переносимая джетом равна $P_\\text{j} = 1\\cdot 10^{36}\\ \\rm{Дж}\\cdot \\rm{с}^{-1}$. На рисунке 2 показана схема джета и указаны числовые значения его параметров. $s_1$ координата начала джета, $s_2$ координата конца джета. Средняя масса частицы джета равна $\\mu_\\text{pp} = 0.59 m_\\text{p}$, а $h=\\frac{13}{4}P/n$. Давление в плазме окружающей джет равно $$P(s) = 5.7 \\cdot 10^{-12} \\left(\\frac{s}{s_0}\\right)^{-1.5} \\ \\rm{Па},$$ где $s_0=1\\ \\text{kpc}$. Рис. 2. Джет Centaurus A, показана геометрия джета относительно АЯГ В некоторой точке $s$ джет описывается следующими параметрами, каждый зависит от расстояния: радиус джета $r(s)$ в системе отсчета АЯГ, площадь поперечного сечения $A(s)$ в системе отсчета АЯГ, скорость течения джета $v(s)$ в системе отсчета АЯГ, гамма-фактор джета $\\gamma(s)$ в системе отсчета АЯГ, концентрация частиц джета $n(s)$ в системе отсчета джета. В пунктах А1-4 считайте, что эти параметры известны. A1 0.30 Найдите концентрацию частиц в системе отсчета АЯГ $n'(s)$, через концентрацию частиц в системе отсчета джета $n(s)$ и другие параметры. Система отсчета джета в каждой точке движется с той же скоростью, что и джет в этой точке. A2 0.20 Найдите количество частиц в единицу времени $F_p(s)$, которые пересекают сечение джета площадью $A(s)$ на расстоянии $s$ от АЯГ. A3 0.50 Запишите уравнение непрерывности для количества частиц, втекающих и вытекающих из джета, через параметры $s_1$ и $s_2$, полный объём джета $V$, и другие необходимые параметры. A4 0.60 Запишите соотношение для энергий за единицу времени, втекающей и вытекающей из джета. Выразите эти величины через скорости джета, площади поперечного сечения, концентрации в системе отсчета джета в точках $s_1$ и $s_2$, полный объём джета $V$ и другие необходимые параметры. Мощность, переносимая джетом определяется как сумма всей кинетической энергии потока и полной тепловой энергии потока, поэтому: $$P_{\\text j}(s)=F_{\\text E}(s) - \\dot{M}c^2,$$ где $F_{\\text E}(s)$ — количество энергии за единицу времени, переносимой джетом через некоторое сечение в точке $s$, и $\\dot{M}$ — масса, переносимая джетом через некоторое сечение на расстоянии $s$ от АЯГ. A5 0.60 Используйте ответы предыдущих частей и найдите $\\mathrm{d}P_\\text{j}/\\mathrm{d}s$. A6 0.40 Вычислите $\\dot{M}_1$в точке $s_1$, и $\\dot{M}_2$ в точке $s_2$, A7 0.50 Найдите выражения для величины импульса переносимого за единицу времени $\\Pi$, через сечение джета Centaurus A. Также вычислите эту величину. A8 0.50 Найдите и вычислите силу $F_{\\text{Pr}}$, действующую на джет и возникающую из-за внешнего давления. A9 0.20 Запишите ожидаемое соотношение между $\\Pi$ и $F_{\\text{Pr}}$. Также вычислите разницу (в процентах) между значением $\\Pi$ из A7 и ожидаемым значением. Часть B. Газ ультрарелятивистских электронов (2.2 балла) Рассмотрим газ ультрарелятивистских электронов ($\\gamma\\gg 1$), с изотропным распределением скоростей (не зависят от направления). Концентрация частиц с энергиями в интервале от $\\epsilon$ до $\\epsilon + \\mathrm{d}\\epsilon$ равна $f(\\epsilon) \\ \\mathrm{d}\\epsilon$, где $\\epsilon$ — энергия одной частицы. Площадь стенки, с которой взаимодействует газ, равна $\\Delta A$. B1 0.20 Запишите в виде интеграла выражение для полной энергии единицы объёма для газа электронов. B2 0.80 Найдите выражение скорости изменения z-компоненты (перпендикулярной стенке) импульса $\\Delta p_\\text{z}/\\Delta t$ всех частиц газа ударившихся о стенку. B3 0.60 Выведите уравнение состояния для газа ультрарелятивистских электронов, связывающее давление, объём и полную внутреннюю энергию. B4 0.60 Выведите связь между давлением и объёмом для адиабатического процесса над ультрарелятивистским газом. Часть C. Синхротронное излучение (1.7 балла) В джетах из АЯГ содержится много высокоэнергетических электронов, которые в сильных магнитных полях излучают. Эти электроны можно считать ультрарелятивистскими: $\\gamma\\gg 1$. C1 0.70 Найдите выражение для угловой скорости прецессии $\\Omega$ электрона с гамма-фактором $\\gamma$. Угол между магнитным полем $B$ и направлением движения электрона $\\phi$. Так как электрон в магнитном поле движется ускоренно, он излучает электромагнитные волны. В системе, сопутствующей системе отсчета, которая движется с текущей скоростью электрона, нет выделенного направления для излучения. Однако, в системе отсчета наблюдателя ультрарелятивистские $\\gamma \\gg 1$ электроны в основном излучают вперёд в конус с $\\theta \\lesssim 1/\\gamma$ (то есть, угол раствора конуса $2/\\gamma$). Так как электрон прецессирует в магнитном поле, наблюдатель будет фиксировать только короткие вспышки излучения, так как линия наблюдения иногда оказывается в конусе. Рис. 3. \n\nСлева: распределение мощности излучения электрона, движущегося с ускорением, направленным вверх страницы. Система отсчета, в которой скорость в данный момент времени равна нулю\n\nСправа: распределение мощности излучения того же электрона в системе отсчета наблюдателя. Большая часть излучается в конус вперёд C2 0.50 Найдите продолжительность вспышек $\\Delta t$ синхротронного излучения, которые увидит наблюдатель. Гамма-фактор электрона $\\gamma$, угол между магнитным полем и направлением движения электрона $\\phi$. C3 0.30 Отсюда оцените характерную частоту $\\nu_{\\text{chr}}$ синхротронной вспышки. Полная мощность синхротронного излучения: $$P_\\text{s}=\\frac{1}{6\\pi\\varepsilon_0}\\left(\\frac{q^4 B^2 \\sin^2\\phi}{m^4c^5}\\right) E^2.$$ C4 0.20 Оцените время $\\tau$ за которое электрон с энергией $E$ потеряет свою энергию. Процесс называется синхротронным охлаждением. Часть D. Синхротронное излучение АЯГ джета (2.3 балла) Обычно распределение электронов по энергии в джете описывается степенным законом вида $f(\\epsilon)=\\kappa \\epsilon^{-p}$, где $f(\\epsilon) \\ \\mathrm{d}\\epsilon$ — концентрация частиц с энергией в интервале от $\\epsilon$ до $\\epsilon + \\mathrm{d}\\epsilon$. Соответствующий спектр синхротронного излучения зависит от распределения энергии электронов, а не от спектра для отдельного электрона. Этот спектр таков:$$j(\\nu)d\\nu \\propto B^{(1+p)/2} \\nu^{(1-p)/2}\\ \\mathrm{d}\\nu.$$ Здесь $j(\\nu)\\ \\mathrm{d}\\nu$ плотность излученной энергии фотонов в диапазоне частот от $\\nu$ до $\\nu+\\mathrm{d}\\nu$. Наблюдение джета Centaurus A и других показало структуру с характерными яркими областями, названных узлами. Наблюдение этих узлов в течении долгого времени показало как их перемещение, так и изменение яркости. Уменьшение яркости происходит либо из-за адиабатического расширения газа в узлах, либо синхротронного охлаждения электронов в узлах. Рассмотрим произвольный объём плазмы. Считайте, что магнитный поток через поверхность границы объёма остаётся постоянным, даже если объём изменил форму или размер. D1 0.40 Сферический узел изотропно расширяется от объёма $V_0$ до объёма $V$. Начальное магнитное поле однородно и равно $B_0$. найдите магнитное поле $B$ в расширившемся узле. D2 1.00 Найдите$f(\\epsilon)$, распределение электронов по энергиям, после адиабатического расширения сферического узла до объёма $V$. Считайте, что при объёме $V_0$ начальное распределение электронов по энергиям $f_0(\\epsilon)=\\kappa_0 \\epsilon^{-p}$, где $f_0(\\epsilon)\\ \\mathrm{d}\\epsilon$ — есть концентрация электронов с энергией в диапазоне от $\\epsilon$ до $\\epsilon + \\mathrm{d}\\epsilon$. D3 0.30 Рассмотрим как синхротронное охлаждение повлияет на распределение электронов. Рассмотрим распределение электронов по энергиям как функцию энергии $\\epsilon$. Как изменится функция спустя некоторое время синхротронного охлаждения? Станет ли она более пологой, крутой, или не изменится? Поясните свой ответ, рассмотрев два электрона с энергиями $\\epsilon_1<\\epsilon_2$. Таблица с данными наблюдений узлов (темных точек) в джетах двух АЯГ Centaurus A (Cen A) и M87 АЯГ Время между наблюдениями Узел Изменение яркости рентгеновских лучей Изменение спектра рентгеновских лучей Изменение яркости в других длинах волн (УФ, видимый свет) Cen A 15 лет AX1C $-23\\%$ Без изменений Нет данных Cen A 15 лет BX2 $-15\\%$ Без изменений Нет данных M87 5 лет HST-1 $-73\\%$ Нет данных Без изменений M87 5 лет Узел A $-12\\%$ Нет данных Без изменений D4 0.60 В таблице листа ответов укажите, какая причина наиболее вероятна для уменьшения яркости каждого узла. Также укажите, на основе какого такого пункта задачи вы сделали вывод?\n","figures":["/corpus/figures/091167c68883a90d3bdc.webp","/corpus/figures/2d98c3acc8203f4398f5.webp","/corpus/figures/90945a04a84e00f1e6b9.webp"],"shared":false},"solution":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.30"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tНайдите концентрацию частиц в системе отсчета АЯГ $n'(s)$, через концентрацию частиц в системе отсчета джета $n(s)$ и другие параметры. Система отсчета джета в каждой точке движется с той же скоростью, что и джет в этой точке."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tНайдите количество частиц в единицу времени $F_p(s)$, которые пересекают сечение джета площадью $A(s)$ на расстоянии $s$ от АЯГ."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tЗапишите уравнение непрерывности для количества частиц, втекающих и вытекающих из джета, через параметры $s_1$ и $s_2$, полный объём джета $V$, и другие необходимые параметры."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A4\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tЗапишите соотношение для энергий за единицу времени, втекающей и вытекающей из джета. Выразите эти величины через скорости джета, площади поперечного сечения, концентрации в системе отсчета джета в точках $s_1$ и $s_2$, полный объём джета $V$ и другие необходимые параметры."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A5\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tИспользуйте ответы предыдущих частей и найдите $\\mathrm{d}P_\\text{j}/\\mathrm{d}s$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A6\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.40"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tВычислите $\\dot{M}_1$в точке $s_1$, и $\\dot{M}_2$ в точке $s_2$,"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A7\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tНайдите выражения для величины импульса переносимого за единицу времени $\\Pi$, через сечение джета Centaurus A. Также вычислите эту величину."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A8\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tНайдите и вычислите силу $F_{\\text{Pr}}$, действующую на джет и возникающую из-за внешнего давления."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A9\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tЗапишите ожидаемое соотношение между $\\Pi$ и $F_{\\text{Pr}}$. "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Также вычислите разницу (в процентах) между значением $\\Pi$ из "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"A7"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"text","text":"и ожидаемым значением."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tЗапишите в виде интеграла выражение для полной энергии единицы объёма для газа электронов."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.80"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tНайдите выражение скорости изменения z-компоненты (перпендикулярной стенке) импульса $\\Delta p_\\text{z}/\\Delta t$ всех частиц газа ударившихся о стенку."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tВыведите уравнение состояния для газа ультрарелятивистских электронов, связывающее давление, объём и полную внутреннюю энергию."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B4\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tВыведите связь между давлением и объёмом для адиабатического процесса над ультрарелятивистским газом."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.70"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tНайдите выражение для угловой скорости прецессии $\\Omega$ электрона с гамма-фактором $\\gamma$. Угол между магнитным полем $B$ и направлением движения электрона $\\phi$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tНайдите продолжительность вспышек $\\Delta t$ синхротронного излучения, которые увидит наблюдатель. Гамма-фактор электрона $\\gamma$, угол между магнитным полем и направлением движения электрона $\\phi$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.30"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tОтсюда оцените характерную частоту $\\nu_{\\text{chr}}$ синхротронной вспышки."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C4\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tОцените время $\\tau$ за которое электрон с энергией $E$ потеряет свою энергию. Процесс называется синхротронным охлаждением."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                D1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.40"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tСферический узел изотропно расширяется от объёма $V_0$ до объёма $V$. Начальное магнитное поле однородно и равно $B_0$. найдите магнитное поле $B$ в расширившемся узле."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                D2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tНайдите$f(\\epsilon)$, распределение электронов по энергиям, после адиабатического расширения сферического узла до объёма $V$. Считайте, что при объёме $V_0$ начальное распределение электронов по энергиям $f_0(\\epsilon)=\\kappa_0 \\epsilon^{-p}$, где $f_0(\\epsilon)\\ \\mathrm{d}\\epsilon$ — есть концентрация электронов с энергией в диапазоне от $\\epsilon$ до $\\epsilon + \\mathrm{d}\\epsilon$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                D3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.30"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tРассмотрим как синхротронное охлаждение повлияет на распределение электронов. Рассмотрим распределение электронов по энергиям как функцию энергии $\\epsilon$. Как изменится функция спустя некоторое время синхротронного охлаждения? Станет ли она более пологой, крутой, или не изменится? Поясните свой ответ, рассмотрев два электрона с энергиями $\\epsilon_1<\\epsilon_2$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                D4\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tВ таблице листа ответов укажите, какая причина наиболее вероятна для уменьшения яркости каждого узла. Также укажите, на основе какого такого пункта задачи вы сделали вывод?"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]}],"text":"A1 0.30 Найдите концентрацию частиц в системе отсчета АЯГ $n'(s)$, через концентрацию частиц в системе отсчета джета $n(s)$ и другие параметры. Система отсчета джета в каждой точке движется с той же скоростью, что и джет в этой точке.\nA2 0.20 Найдите количество частиц в единицу времени $F_p(s)$, которые пересекают сечение джета площадью $A(s)$ на расстоянии $s$ от АЯГ.\nA3 0.50 Запишите уравнение непрерывности для количества частиц, втекающих и вытекающих из джета, через параметры $s_1$ и $s_2$, полный объём джета $V$, и другие необходимые параметры.\nA4 0.60 Запишите соотношение для энергий за единицу времени, втекающей и вытекающей из джета. Выразите эти величины через скорости джета, площади поперечного сечения, концентрации в системе отсчета джета в точках $s_1$ и $s_2$, полный объём джета $V$ и другие необходимые параметры.\nA5 0.60 Используйте ответы предыдущих частей и найдите $\\mathrm{d}P_\\text{j}/\\mathrm{d}s$.\nA6 0.40 Вычислите $\\dot{M}_1$в точке $s_1$, и $\\dot{M}_2$ в точке $s_2$,\nA7 0.50 Найдите выражения для величины импульса переносимого за единицу времени $\\Pi$, через сечение джета Centaurus A. Также вычислите эту величину.\nA8 0.50 Найдите и вычислите силу $F_{\\text{Pr}}$, действующую на джет и возникающую из-за внешнего давления.\nA9 0.20 Запишите ожидаемое соотношение между $\\Pi$ и $F_{\\text{Pr}}$. Также вычислите разницу (в процентах) между значением $\\Pi$ из A7 и ожидаемым значением.\nB1 0.20 Запишите в виде интеграла выражение для полной энергии единицы объёма для газа электронов.\nB2 0.80 Найдите выражение скорости изменения z-компоненты (перпендикулярной стенке) импульса $\\Delta p_\\text{z}/\\Delta t$ всех частиц газа ударившихся о стенку.\nB3 0.60 Выведите уравнение состояния для газа ультрарелятивистских электронов, связывающее давление, объём и полную внутреннюю энергию.\nB4 0.60 Выведите связь между давлением и объёмом для адиабатического процесса над ультрарелятивистским газом.\nC1 0.70 Найдите выражение для угловой скорости прецессии $\\Omega$ электрона с гамма-фактором $\\gamma$. Угол между магнитным полем $B$ и направлением движения электрона $\\phi$.\nC2 0.50 Найдите продолжительность вспышек $\\Delta t$ синхротронного излучения, которые увидит наблюдатель. Гамма-фактор электрона $\\gamma$, угол между магнитным полем и направлением движения электрона $\\phi$.\nC3 0.30 Отсюда оцените характерную частоту $\\nu_{\\text{chr}}$ синхротронной вспышки.\nC4 0.20 Оцените время $\\tau$ за которое электрон с энергией $E$ потеряет свою энергию. Процесс называется синхротронным охлаждением.\nD1 0.40 Сферический узел изотропно расширяется от объёма $V_0$ до объёма $V$. Начальное магнитное поле однородно и равно $B_0$. найдите магнитное поле $B$ в расширившемся узле.\nD2 1.00 Найдите$f(\\epsilon)$, распределение электронов по энергиям, после адиабатического расширения сферического узла до объёма $V$. Считайте, что при объёме $V_0$ начальное распределение электронов по энергиям $f_0(\\epsilon)=\\kappa_0 \\epsilon^{-p}$, где $f_0(\\epsilon)\\ \\mathrm{d}\\epsilon$ — есть концентрация электронов с энергией в диапазоне от $\\epsilon$ до $\\epsilon + \\mathrm{d}\\epsilon$.\nD3 0.30 Рассмотрим как синхротронное охлаждение повлияет на распределение электронов. Рассмотрим распределение электронов по энергиям как функцию энергии $\\epsilon$. Как изменится функция спустя некоторое время синхротронного охлаждения? Станет ли она более пологой, крутой, или не изменится? Поясните свой ответ, рассмотрев два электрона с энергиями $\\epsilon_1<\\epsilon_2$.\nD4 0.60 В таблице листа ответов укажите, какая причина наиболее вероятна для уменьшения яркости каждого узла. Также укажите, на основе какого такого пункта задачи вы сделали вывод?","figures":[],"shared":false}},{"id":"apho-2019-t3","importedOn":"2026-10-28","language":"ru","sources":[{"url":"https://pho.rs/p/3446","kind":"statement"},{"url":"https://pho.rs/p/3446/s","kind":"solution"}],"statement":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"text","text":"\n                        \n                        \n\n\n\n\tКитайский волчок — это особый волчок, который переворачивается при вращении. Представьте волчок, как усеченную сферу радиуса $R$ cо стержнем на оси. Волчок симметричен относительно этой оси. Центр масс $C$ волчка сдвинут относительно геометрического центра сферы на расстояние $\\alpha R$, как показано на рисунке 1a. Отклонение стержня от вертикали в любой момент времени характеризуется углом $\\theta$. Точка $A$ — точка касания волчка с полом. "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Если волчок такой формы раскрутить достаточно быстро, то стержень начнёт опускаться до тех пор, пока волчок не встанет и не начнёт вращаться на нём. Далее волчок начнёт замедляться и остановится."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/00ccd4a4ae0ccbc31299.webp","alt":"apho-2019-t3 statement: original source diagram 1"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 1 a,b."}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Определим $xyz$ как вращающуюся систему координат, в которой $\\widehat{\\mathbf{z}}$ стационарна и направлена вверх. При этом ось симметрии волчка всегда располагается в плоскости $xz$ (см. рисунок 1b). При виде сверху ось волчка всегда совпадает с осью $x$."}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"На рисунке 2 показаны фазы движения волчка после раскручивания:"}]},{"type":"element","tag":"ul","children":[{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"(a) "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"фаза I: "}]},{"type":"text","text":"сразу после начала вращения $(\\theta\\sim 0)$,"}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"(b) "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"фаза II: "}]},{"type":"text","text":"через небольшое время после начала $(0<\\theta<\\pi/2)$,"}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"(c) "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"фаза III: "}]},{"type":"text","text":"стержень впервые касается пола $(\\theta> \\pi/2)$,"}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"(d) "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"фаза IV: "}]},{"type":"text","text":"после переворота волчок вращается на стержне $(\\theta\\sim\\pi)$,"}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"(e) "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"фаза V: "}]},{"type":"text","text":"установившееся вращение на стержне $(\\theta = \\pi)$."}]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/2994ce6199eb84e1f815.webp","alt":"apho-2019-t3 statement: original source diagram 2"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 2."}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tОпределим $XYZ$, как неподвижную инерциальную систему координат. Плоскость $XY$ — пол, на котором находится волчок. Выше определена система координат $xyz$, она получается из $XYZ$ вращением относительно оси $Z$ на угол $\\phi$ (рис. 3a). В частности единичные векторы направляющих $\\widehat{\\mathbf{z}} = \\widehat{\\mathbf{Z}}$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/93937d3bdb14de968811.webp","alt":"apho-2019-t3 statement: original source diagram 3"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 3 a,b."}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Вращение твёрдого тела можно описывать углами Эйлера ($\\theta$, $\\phi$, $\\psi$). Опишем через эти углы, переходы от неподвижной системы координат $XYZ$ к промежуточной системе координат $xyz$, и от промежуточной $xyz$ к системе координат $123$, жёстко связанной с волчком. "}]},{"type":"element","tag":"ul","children":[{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Угол $\\theta$ — угол между осью симметрии волчка и осью $Z$. "}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Угол $\\phi$ — угол поворота относительно оси $Z$ (угол между промежуточным единичным вектором $\\widehat{\\mathbf{x}}$ и неподвижным $\\widehat{\\mathbf{X}}$, а также между $\\widehat{\\mathbf{y}}$ и $\\widehat{\\mathbf{Y}}$). "}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Угол $\\psi$ — угол вращение относительно оси симметрии волчка."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tСистема координат $123$ жёстко связана с волчком. Она получается из $xyz$ вращением на угол $\\theta$ относительно единичного вектора $\\widehat{\\mathbf{y}}$, таким образом вектор $\\widehat{\\mathbf{3}}$ совпадает с осью симметрии волчка. Переход от системы координат $xyz$ к $123$ показан на рисунке 3b. В частости $\\widehat{\\mathbf{2}} = \\widehat{\\mathbf{y}}$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tВ процессе движения китайского волчка все три угла Эйлера ($\\theta$, $\\phi$, $\\psi$), а также положение центра масс меняются. Нахождение полного решения о движении китайского волчка сложная задача для компьютерного моделирования. "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"В этой задаче требуется записать уравнения движения китайского волчка и сделать некоторые частные выводы из них."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tВ движении волчка ключевой является сила трения, возникающая между ним и полом. Считайте, что волчок касается пола в точке $A$ до касания пола стержнем. Пусть ${\\mathbf v}_A$— скорость движения точки $A$ волчка относительно пола. Коэффициент трения $\\mu_k$ между волчком и полом — это коэффициент трения скольжения. Сила трения скольжения $|\\mathbf{F_f}|=\\mu_k N$, где $\\mathbf{F}_f= F_{f,x}\\hat{\\mathbf{x}} + F_{f,y}\\hat{\\mathbf{y}} $, а $N$ — сила нормальной реакции опоры. Считайте, что изначально волчок только крутится относительно своей оси, начальный импульс волчка равен нулю."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tПусть $m$ — масса волчка. Его моменты инерции: $I_3$ относительно оси симметрии, а $I_1=I_2$ относительно взаимно перпендикулярных осей, проходящих через центр масс $C$ в плоскости перпендикулярной оси симметрии. Пусть вектор $\\mathbf{s}$ определяет положение центра масс волчка, а $\\mathbf{a}=\\overrightarrow{CA}$ вектор из центра масс в точку касания волчка и пола."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tВсе ответы дайте в системе отсчёта связанной с системой координат $xyz$ (если не сказано обратного)!"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Все моменты сил и моменты импульса рассматриваются относительно центра масс $C$ (если не сказано обратного)!"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"При записи ответов считайте $N$ известным!"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Кроме части "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"A8,"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"text","text":"считайте, что $\\theta < \\pi/2$, и что стержень не касается пола!"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tНайдите полную силу $\\mathbf{F_{\\rm{ext}}}$, действующую на китайский волчок. Изобразите все действующие на волчок силы в проекции на плоскости $xz$ и $xy$. Укажите направление ${\\mathbf v}_A$ на вашем рисунке в проекции на плоскость $xy$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.80"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tНайдите полный внешний момент действующих на волчок сил $\\vec{\\pmb{\\tau}}_{\\rm{ext}}$ относительно центра масс."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.40"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tПокажите, что скорость точки $A$ не имеет $z$-компоненты, т.е. можно записать ${\\mathbf v}_A = v_x \\hat{\\mathbf{x}} + v_y \\hat{\\mathbf{y}} $. Если требуется, считайте условие для точки касания $ (\\mathbf{s}+\\mathbf{a})\\cdot\\widehat{\\mathbf{z}} = 0$ данным."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A4\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.80"}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Найдите полную угловую скорость $\\vec{\\pmb{\\omega}}$ вращения волчка относительно его центра масс $C$. Ответ выразите через производные углов Эйлера:"}]},{"type":"element","tag":"ul","children":[{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"$\\dot{\\theta}=\\mathrm{d}\\theta/\\mathrm{d}t$,"}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"$\\dot{\\phi}=\\mathrm{d}\\phi/\\mathrm{d}t$,"}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"$\\dot{\\psi}=\\mathrm{d}\\psi/\\mathrm{d}t$."}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Дайте ответы в двух системах координат:"}]},{"type":"element","tag":"ul","children":[{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"в координатах $xyz$,"}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"в координатах $123$."}]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A5\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tНайдите Полную энергию движения волчка. Выразите ответ через производные углов Эйлера $v_x$, и $v_y$. Если записать ответ через $\\dot{\\mathbf{s}}=\\mathrm{d}\\mathbf{s}/\\mathrm{d}t$, то вы получите только часть баллов."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A6\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.40"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tНайдите скорость изменения $z$-компоненты момента импульса."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A7\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.40"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tКакие силы совершают работу кроме силы тяжести? Выразите через $\\mathbf{v}_A$ с какой скоростью меняется полная энергия волчка. В пункте "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"A5"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"text","text":"полная энергия состояла из нескольких частей. Определите компоненты сил и моментов сил, которые меняют распределение энергии между этими частями."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A8\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 2.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tКачественно изобразите следующие части полной энергии, как функции времени, в течение всех фаз движения китайского волчка (от "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"I "}]},{"type":"text","text":"до "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"V"}]},{"type":"text","text":", показаны на рисунке 2): полная энергия $E_T$, потенциальная гравитационная энергия $U_G$, кинетическая энергия поступательного движения $K_T$, кинетическая энергия вращения $K_R$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A9\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tПокажите, что компоненты момента импульса $\\mathbf L$ и угловой скорости $\\pmb{\\omega}$, которые перпендикулярны единичному вектору $\\mathbf{\\widehat{3}}$ пропорциональны друг другу, то есть $$\\mathbf L\\times \\mathbf{\\widehat 3}=k(\\pmb\\omega\\times \\mathbf{\\widehat 3}).$$ Определите коэффициент пропорциональности $k$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tИнтегралы движения — это величины, которые остаются постоянными в процессе движения. Такие величины часто значительно упрощают вычисления. Обычно это энергия, импульс или момент импульса."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A10\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.70"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tПри движении китайского волчка не сохраняется ни энергия, ни момент импульса. Это происходит из-за диссипативных сил и момента внешних сил. Однако, сохраняется постоянной величина $\\lambda$, которая называется интегралом Желлета. Она показывает сохраняющуюся компоненту момента импульса. Это означает, что существует некоторый вектор $\\mathbf{v}$, такой что $\\lambda = \\mathbf{L}\\cdot\\mathbf{v}$ постоянно во времени."},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Используя результаты предыдущих пунктов, найдите $\\mathbf{v}$. Покажите, что производная $\\lambda$ по времени равна нулю."}]}]}]}]}]}],"text":"Китайский волчок — это особый волчок, который переворачивается при вращении. Представьте волчок, как усеченную сферу радиуса $R$ cо стержнем на оси. Волчок симметричен относительно этой оси. Центр масс $C$ волчка сдвинут относительно геометрического центра сферы на расстояние $\\alpha R$, как показано на рисунке 1a. Отклонение стержня от вертикали в любой момент времени характеризуется углом $\\theta$. Точка $A$ — точка касания волчка с полом. Если волчок такой формы раскрутить достаточно быстро, то стержень начнёт опускаться до тех пор, пока волчок не встанет и не начнёт вращаться на нём. Далее волчок начнёт замедляться и остановится. Рис. 1 a,b. Определим $xyz$ как вращающуюся систему координат, в которой $\\widehat{\\mathbf{z}}$ стационарна и направлена вверх. При этом ось симметрии волчка всегда располагается в плоскости $xz$ (см. рисунок 1b). При виде сверху ось волчка всегда совпадает с осью $x$. На рисунке 2 показаны фазы движения волчка после раскручивания: (a) фаза I: сразу после начала вращения $(\\theta\\sim 0)$, (b) фаза II: через небольшое время после начала $(0<\\theta<\\pi/2)$, (c) фаза III: стержень впервые касается пола $(\\theta> \\pi/2)$, (d) фаза IV: после переворота волчок вращается на стержне $(\\theta\\sim\\pi)$, (e) фаза V: установившееся вращение на стержне $(\\theta = \\pi)$. Рис. 2. Определим $XYZ$, как неподвижную инерциальную систему координат. Плоскость $XY$ — пол, на котором находится волчок. Выше определена система координат $xyz$, она получается из $XYZ$ вращением относительно оси $Z$ на угол $\\phi$ (рис. 3a). В частности единичные векторы направляющих $\\widehat{\\mathbf{z}} = \\widehat{\\mathbf{Z}}$. Рис. 3 a,b. Вращение твёрдого тела можно описывать углами Эйлера ($\\theta$, $\\phi$, $\\psi$). Опишем через эти углы, переходы от неподвижной системы координат $XYZ$ к промежуточной системе координат $xyz$, и от промежуточной $xyz$ к системе координат $123$, жёстко связанной с волчком. Угол $\\theta$ — угол между осью симметрии волчка и осью $Z$. Угол $\\phi$ — угол поворота относительно оси $Z$ (угол между промежуточным единичным вектором $\\widehat{\\mathbf{x}}$ и неподвижным $\\widehat{\\mathbf{X}}$, а также между $\\widehat{\\mathbf{y}}$ и $\\widehat{\\mathbf{Y}}$). Угол $\\psi$ — угол вращение относительно оси симметрии волчка. Система координат $123$ жёстко связана с волчком. Она получается из $xyz$ вращением на угол $\\theta$ относительно единичного вектора $\\widehat{\\mathbf{y}}$, таким образом вектор $\\widehat{\\mathbf{3}}$ совпадает с осью симметрии волчка. Переход от системы координат $xyz$ к $123$ показан на рисунке 3b. В частости $\\widehat{\\mathbf{2}} = \\widehat{\\mathbf{y}}$. В процессе движения китайского волчка все три угла Эйлера ($\\theta$, $\\phi$, $\\psi$), а также положение центра масс меняются. Нахождение полного решения о движении китайского волчка сложная задача для компьютерного моделирования. В этой задаче требуется записать уравнения движения китайского волчка и сделать некоторые частные выводы из них. В движении волчка ключевой является сила трения, возникающая между ним и полом. Считайте, что волчок касается пола в точке $A$ до касания пола стержнем. Пусть ${\\mathbf v}_A$— скорость движения точки $A$ волчка относительно пола. Коэффициент трения $\\mu_k$ между волчком и полом — это коэффициент трения скольжения. Сила трения скольжения $|\\mathbf{F_f}|=\\mu_k N$, где $\\mathbf{F}_f= F_{f,x}\\hat{\\mathbf{x}} + F_{f,y}\\hat{\\mathbf{y}} $, а $N$ — сила нормальной реакции опоры. Считайте, что изначально волчок только крутится относительно своей оси, начальный импульс волчка равен нулю. Пусть $m$ — масса волчка. Его моменты инерции: $I_3$ относительно оси симметрии, а $I_1=I_2$ относительно взаимно перпендикулярных осей, проходящих через центр масс $C$ в плоскости перпендикулярной оси симметрии. Пусть вектор $\\mathbf{s}$ определяет положение центра масс волчка, а $\\mathbf{a}=\\overrightarrow{CA}$ вектор из центра масс в точку касания волчка и пола. Все ответы дайте в системе отсчёта связанной с системой координат $xyz$ (если не сказано обратного)! Все моменты сил и моменты импульса рассматриваются относительно центра масс $C$ (если не сказано обратного)! При записи ответов считайте $N$ известным! Кроме части A8, считайте, что $\\theta < \\pi/2$, и что стержень не касается пола! A1 1.00 Найдите полную силу $\\mathbf{F_{\\rm{ext}}}$, действующую на китайский волчок. Изобразите все действующие на волчок силы в проекции на плоскости $xz$ и $xy$. Укажите направление ${\\mathbf v}_A$ на вашем рисунке в проекции на плоскость $xy$. A2 0.80 Найдите полный внешний момент действующих на волчок сил $\\vec{\\pmb{\\tau}}_{\\rm{ext}}$ относительно центра масс. A3 0.40 Покажите, что скорость точки $A$ не имеет $z$-компоненты, т.е. можно записать ${\\mathbf v}_A = v_x \\hat{\\mathbf{x}} + v_y \\hat{\\mathbf{y}} $. Если требуется, считайте условие для точки касания $ (\\mathbf{s}+\\mathbf{a})\\cdot\\widehat{\\mathbf{z}} = 0$ данным. A4 0.80 Найдите полную угловую скорость $\\vec{\\pmb{\\omega}}$ вращения волчка относительно его центра масс $C$. Ответ выразите через производные углов Эйлера: $\\dot{\\theta}=\\mathrm{d}\\theta/\\mathrm{d}t$, $\\dot{\\phi}=\\mathrm{d}\\phi/\\mathrm{d}t$, $\\dot{\\psi}=\\mathrm{d}\\psi/\\mathrm{d}t$. Дайте ответы в двух системах координат: в координатах $xyz$, в координатах $123$. A5 1.00 Найдите Полную энергию движения волчка. Выразите ответ через производные углов Эйлера $v_x$, и $v_y$. Если записать ответ через $\\dot{\\mathbf{s}}=\\mathrm{d}\\mathbf{s}/\\mathrm{d}t$, то вы получите только часть баллов. A6 0.40 Найдите скорость изменения $z$-компоненты момента импульса. A7 1.40 Какие силы совершают работу кроме силы тяжести? Выразите через $\\mathbf{v}_A$ с какой скоростью меняется полная энергия волчка. В пункте A5 полная энергия состояла из нескольких частей. Определите компоненты сил и моментов сил, которые меняют распределение энергии между этими частями. A8 2.00 Качественно изобразите следующие части полной энергии, как функции времени, в течение всех фаз движения китайского волчка (от I до V , показаны на рисунке 2): полная энергия $E_T$, потенциальная гравитационная энергия $U_G$, кинетическая энергия поступательного движения $K_T$, кинетическая энергия вращения $K_R$. A9 0.50 Покажите, что компоненты момента импульса $\\mathbf L$ и угловой скорости $\\pmb{\\omega}$, которые перпендикулярны единичному вектору $\\mathbf{\\widehat{3}}$ пропорциональны друг другу, то есть $$\\mathbf L\\times \\mathbf{\\widehat 3}=k(\\pmb\\omega\\times \\mathbf{\\widehat 3}).$$ Определите коэффициент пропорциональности $k$. Интегралы движения — это величины, которые остаются постоянными в процессе движения. Такие величины часто значительно упрощают вычисления. Обычно это энергия, импульс или момент импульса. A10 1.70 При движении китайского волчка не сохраняется ни энергия, ни момент импульса. Это происходит из-за диссипативных сил и момента внешних сил. Однако, сохраняется постоянной величина $\\lambda$, которая называется интегралом Желлета. Она показывает сохраняющуюся компоненту момента импульса. Это означает, что существует некоторый вектор $\\mathbf{v}$, такой что $\\lambda = \\mathbf{L}\\cdot\\mathbf{v}$ постоянно во времени. Используя результаты предыдущих пунктов, найдите $\\mathbf{v}$. Покажите, что производная $\\lambda$ по времени равна нулю.\n","figures":["/corpus/figures/00ccd4a4ae0ccbc31299.webp","/corpus/figures/2994ce6199eb84e1f815.webp","/corpus/figures/93937d3bdb14de968811.webp"],"shared":false},"solution":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tНайдите полную силу $\\mathbf{F_{\\rm{ext}}}$, действующую на китайский волчок. Изобразите все действующие на волчок силы в проекции на плоскости $xz$ и $xy$. Укажите направление ${\\mathbf v}_A$ на вашем рисунке в проекции на плоскость $xy$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.80"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tНайдите полный внешний момент действующих на волчок сил $\\vec{\\pmb{\\tau}}_{\\rm{ext}}$ относительно центра масс."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.40"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tПокажите, что скорость точки $A$ не имеет $z$-компоненты, т.е. можно записать ${\\mathbf v}_A = v_x \\hat{\\mathbf{x}} + v_y \\hat{\\mathbf{y}} $. Если требуется, считайте условие для точки касания $ (\\mathbf{s}+\\mathbf{a})\\cdot\\widehat{\\mathbf{z}} = 0$ данным."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A4\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.80"}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Найдите полную угловую скорость $\\vec{\\pmb{\\omega}}$ вращения волчка относительно его центра масс $C$. Ответ выразите через производные углов Эйлера:"}]},{"type":"element","tag":"ul","children":[{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"$\\dot{\\theta}=\\mathrm{d}\\theta/\\mathrm{d}t$,"}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"$\\dot{\\phi}=\\mathrm{d}\\phi/\\mathrm{d}t$,"}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"$\\dot{\\psi}=\\mathrm{d}\\psi/\\mathrm{d}t$."}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Дайте ответы в двух системах координат:"}]},{"type":"element","tag":"ul","children":[{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"в координатах $xyz$,"}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"в координатах $123$."}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A5\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tНайдите Полную энергию движения волчка. Выразите ответ через производные углов Эйлера $v_x$, и $v_y$. Если записать ответ через $\\dot{\\mathbf{s}}=\\mathrm{d}\\mathbf{s}/\\mathrm{d}t$, то вы получите только часть баллов."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A6\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.40"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tНайдите скорость изменения $z$-компоненты момента импульса."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A7\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.40"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tКакие силы совершают работу кроме силы тяжести? Выразите через $\\mathbf{v}_A$ с какой скоростью меняется полная энергия волчка. В пункте "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"A5"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"text","text":"полная энергия состояла из нескольких частей. Определите компоненты сил и моментов сил, которые меняют распределение энергии между этими частями."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A8\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 2.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tКачественно изобразите следующие части полной энергии, как функции времени, в течение всех фаз движения китайского волчка (от "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"I "}]},{"type":"text","text":"до "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"V"}]},{"type":"text","text":", показаны на рисунке 2): полная энергия $E_T$, потенциальная гравитационная энергия $U_G$, кинетическая энергия поступательного движения $K_T$, кинетическая энергия вращения $K_R$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A9\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tПокажите, что компоненты момента импульса $\\mathbf L$ и угловой скорости $\\pmb{\\omega}$, которые перпендикулярны единичному вектору $\\mathbf{\\widehat{3}}$ пропорциональны друг другу, то есть $$\\mathbf L\\times \\mathbf{\\widehat 3}=k(\\pmb\\omega\\times \\mathbf{\\widehat 3}).$$ Определите коэффициент пропорциональности $k$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A10\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.70"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tПри движении китайского волчка не сохраняется ни энергия, ни момент импульса. Это происходит из-за диссипативных сил и момента внешних сил. Однако, сохраняется постоянной величина $\\lambda$, которая называется интегралом Желлета. Она показывает сохраняющуюся компоненту момента импульса. Это означает, что существует некоторый вектор $\\mathbf{v}$, такой что $\\lambda = \\mathbf{L}\\cdot\\mathbf{v}$ постоянно во времени."},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Используя результаты предыдущих пунктов, найдите $\\mathbf{v}$. Покажите, что производная $\\lambda$ по времени равна нулю."}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]}],"text":"A1 1.00 Найдите полную силу $\\mathbf{F_{\\rm{ext}}}$, действующую на китайский волчок. Изобразите все действующие на волчок силы в проекции на плоскости $xz$ и $xy$. Укажите направление ${\\mathbf v}_A$ на вашем рисунке в проекции на плоскость $xy$.\nA2 0.80 Найдите полный внешний момент действующих на волчок сил $\\vec{\\pmb{\\tau}}_{\\rm{ext}}$ относительно центра масс.\nA3 0.40 Покажите, что скорость точки $A$ не имеет $z$-компоненты, т.е. можно записать ${\\mathbf v}_A = v_x \\hat{\\mathbf{x}} + v_y \\hat{\\mathbf{y}} $. Если требуется, считайте условие для точки касания $ (\\mathbf{s}+\\mathbf{a})\\cdot\\widehat{\\mathbf{z}} = 0$ данным.\nA4 0.80 Найдите полную угловую скорость $\\vec{\\pmb{\\omega}}$ вращения волчка относительно его центра масс $C$. Ответ выразите через производные углов Эйлера: $\\dot{\\theta}=\\mathrm{d}\\theta/\\mathrm{d}t$, $\\dot{\\phi}=\\mathrm{d}\\phi/\\mathrm{d}t$, $\\dot{\\psi}=\\mathrm{d}\\psi/\\mathrm{d}t$. Дайте ответы в двух системах координат: в координатах $xyz$, в координатах $123$.\nA5 1.00 Найдите Полную энергию движения волчка. Выразите ответ через производные углов Эйлера $v_x$, и $v_y$. Если записать ответ через $\\dot{\\mathbf{s}}=\\mathrm{d}\\mathbf{s}/\\mathrm{d}t$, то вы получите только часть баллов.\nA6 0.40 Найдите скорость изменения $z$-компоненты момента импульса.\nA7 1.40 Какие силы совершают работу кроме силы тяжести? Выразите через $\\mathbf{v}_A$ с какой скоростью меняется полная энергия волчка. В пункте A5 полная энергия состояла из нескольких частей. Определите компоненты сил и моментов сил, которые меняют распределение энергии между этими частями.\nA8 2.00 Качественно изобразите следующие части полной энергии, как функции времени, в течение всех фаз движения китайского волчка (от I до V , показаны на рисунке 2): полная энергия $E_T$, потенциальная гравитационная энергия $U_G$, кинетическая энергия поступательного движения $K_T$, кинетическая энергия вращения $K_R$.\nA9 0.50 Покажите, что компоненты момента импульса $\\mathbf L$ и угловой скорости $\\pmb{\\omega}$, которые перпендикулярны единичному вектору $\\mathbf{\\widehat{3}}$ пропорциональны друг другу, то есть $$\\mathbf L\\times \\mathbf{\\widehat 3}=k(\\pmb\\omega\\times \\mathbf{\\widehat 3}).$$ Определите коэффициент пропорциональности $k$.\nA10 1.70 При движении китайского волчка не сохраняется ни энергия, ни момент импульса. Это происходит из-за диссипативных сил и момента внешних сил. Однако, сохраняется постоянной величина $\\lambda$, которая называется интегралом Желлета. Она показывает сохраняющуюся компоненту момента импульса. Это означает, что существует некоторый вектор $\\mathbf{v}$, такой что $\\lambda = \\mathbf{L}\\cdot\\mathbf{v}$ постоянно во времени. Используя результаты предыдущих пунктов, найдите $\\mathbf{v}$. Покажите, что производная $\\lambda$ по времени равна нулю.","figures":[],"shared":false}},{"id":"apho-2018-t1","importedOn":"2026-10-28","language":"ru","sources":[{"url":"https://pho.rs/p/3597","kind":"statement"},{"url":"https://pho.rs/p/3597/s","kind":"solution"}],"statement":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"text","text":"\n                        \n                        \n\n\n\n\tЕсли луч лазера сфокусировать на группе нейтральных атомов, то их можно «захватить» и охладить до практически нулевой абсолютной температуры. При околонулевых температурах можно получить особое состояние вещества, называемое бозе-конденсатом."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Нейтральный атом натрия можно представить в виде ядра с положительным зарядом $e$, которое окружено однородным электронным облаком с отрицательным зарядом $-e$. Масса облака пренебрежимо мала по сравнению с массой ядра. В отсутствие внешнего электрического поля центры электронного облака и ядра совпадают."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Если атом поместить в электрическое поле, он поляризуется, т.е. у атома появляется дипольный момент. Этот диполь взаимодействует с тем же электрическим полем. Поле определяется распределением интенсивности $I(\\vec{r})$ в лазерном пучке и частотой. Если специально подобрать частоту и интенсивность, можно создать потенциальную яму, размерами которой будут ограничены атомы."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Атом, помещенный в однородное электрическое поле $\\vec{E_0}=E_0 \\hat{u}$ ($\\hat{u}$ — единичный вектор), приобретает дипольный момент $\\vec{p_0}=el\\hat{u}=\\alpha E_0 \\hat{u}$ ($\\alpha$ — поляризуемость)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/8ba41e34044dd68fc3ac.webp","alt":"apho-2018-t1 statement: original source diagram 1"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 1. Модель электронного облака атома\n\n1) Сферически-симметричное распределение электронного облака вокруг ядра \n\n2) Смещение электронного облака во внешнем электрическом поле"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tПусть в начальный момент времени поле выключено. Затем напряженность поля очень медленно повышают до $E_0$. В произвольный момент времени напряженность поля $\\vec{E}=E\\hat{u}$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.75"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tНайдите в этом случае мгновенную поглощаемую атомом мощность. Ответ выразите через векторы $\\vec{E}$ и $\\dot{\\vec{p}}$ ($\\dot{\\vec{p}}$ — скорость изменения дипольного момента)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.75"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tНайдите полную работу, совершенную полем к моменту, когда его напряженность достигла $E_0$, и отсюда получите выражение для потенциальной энергии диполя $U_{induced}$ через векторы $\\vec{E_0}$ и $\\vec{p_0}$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tЕсли поле выключить, то электронное облако в атоме колеблется с собственной частотой $\\omega_0$."},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Рассмотрим атом в переменном электрическом поле $\\vec{E}(\\vec{r},t) =\\hat{u}\\ E_0(\\vec{r})\\cos\\omega t$. Индуцированный дипольный момент $\\vec{p}$ будет осциллировать с той же частотой $\\omega$. Колеблющийся диполь, как известно, излучает. Это приводит к тому, что дипольный момент и внешнее поле сдвинуты по фазе: $\\vec{p}(\\vec{r},t)=\\hat{u}\\ E_0(\\vec{r})\\alpha(\\omega)\\cos[\\omega t+\\varphi(\\omega)]$, причем и поляризуемость $\\alpha$, и сдвиг фаз $\\varphi$ зависят от частоты $\\omega$. Т.к. эти процессы происходят с высокой частотой, мы можем наблюдать и измерять лишь усредненные по периоду $2\\pi/\\omega$ величины."}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"По определению усреднение некой величины по периоду значит $\\left\\langle {f\\left( t \\right)} \\right\\rangle = \\omega/2\\pi \\int\\limits_0^{2\\pi /\\omega } {f\\left( t \\right)\\mathrm{d}t}$. Здесь и далее запись $\\langle ... \\rangle$ означает усреднение величины в скобках по времени."}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Интенсивность $I(\\vec{r})$ лазерного пучка связана с амплитудой $E_0$ электрического поля следующим образом: $$I(\\vec{r})=\\cfrac{\\varepsilon_0c\\ E_0^2(\\vec{r})}{2},$$ где $\\varepsilon_0$ — электрическая постоянная и $c$ — скорость света."}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tНайдите потенциальную энергию диполя ${U_{dip}}\\left( {\\vec r} \\right) = \\left\\langle {{U_{induced}}\\left( {\\vec r,t} \\right)} \\right\\rangle $."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Ответ выразите через $\\alpha$, $\\varphi$, $\\varepsilon_0$, $c$ и $I(\\vec{r})$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tКогда атомы находятся в лазерном пучке, на них рассеиваются фотоны. Это можно описать поглощением и испусканием света. Эти процессы характеризуются скоростью рассеяния \\[\\Gamma_{sc}(\\overrightarrow{r})={\\langle P_{abs}(\\overrightarrow{r})\\rangle}/{\\hslash\\omega},\\]"},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"где $\\langle P_{abs}(\\overrightarrow{r})\\rangle$ — усредненная по времени мощность, поглощаемая из лазерного пучка, а $\\hbar\\omega$ — энергия фотона $(\\hbar=h/2\\pi)$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tВыразите $\\Gamma_{sc}(\\vec{r})$ через $\\alpha$, $\\varphi$, $\\varepsilon_0$, $c$, $I(\\vec{r})$, $\\hslash$ и $\\omega$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tОбе величины $U_{dip}$ и $\\Gamma_{sc}(\\vec{r})$ зависят от поляризуемости $\\alpha$. Чтобы ее рассчитать, рассмотрим одномерный осциллятор в поле $\\vec{E}(t)=\\hat{u}E_0\\cos\\omega t$. Ось $Ox$ параллельна единичному вектору $\\hat{u}$. Координатой $x$ обозначим смещение электронного облака, полагая ядро неподвижным. В уравнение колебаний входят три слагаемых:"},{"type":"element","tag":"ul","children":[{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"$-m_e\\omega_0^2x\\cdot\\hat{u}$ — возвращающая сила, соответствующая свободным колебаниям с собственной частотой $\\omega_0$;"}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"$-eE_0 \\cos\\omega t\\cdot\\hat{u}$ — вынуждающая сила;"}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"$-m_{e}\\gamma_{\\omega}\\dot{x} \\cdot \\hat{u}$ — затухание, связанное с излучением. Оно характеризуется коэффициентом затухания $\\gamma_{\\omega}$, зависящим от частоты."}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Итак, уравнение колебаний выглядит следующим образом: $\\ddot x + {\\gamma_\\omega }\\dot x + \\omega _0^2x =- eE_0 \\cos \\omega t/m_e$, и его решение может быть найдено в виде $x=x_0\\cos(\\omega t+\\varphi)$. Здесь $x_0$ и $\\varphi$ нужно определять."}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            D1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 2.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tВыразите поляризуемость $\\alpha$ через $\\gamma_{\\omega}$, $e$, $m_e$, $\\omega_0$ и $\\omega$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tРассмотрим еще одну упрощенную модель, в которой в отсутствие внешнего поля центр электронного облака движется по круговой орбите с частотой $\\omega$ и скоростью $v$. Когда электрон движется с ускорением, мощность излучения задается формулой: \\[{P_L} = \\cfrac{1}{{6\\pi {\\varepsilon _0}}}\\cfrac{{{e^2}{a^2}}}{{{c^3}}},\\] где $a$ — ускорение. Силу, соответствующую затуханию, можно записать как ${F_d} = - {m_e}{\\gamma _\\omega }v$. Считайте, что энергия, теряемая электроном за один оборот, много меньше его полной энергии."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            E1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tВыразите коэффициент затухания $\\gamma_{\\omega}$ через $e$, $\\varepsilon_0$, $c$, $m_e$ и $\\omega$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tКогда частота вынуждающей силы $\\omega$ близка к собственной частоте осциллятора $\\omega_0,$ поляризуемость возрастает. Это приводит как к росту потенциальной энергии диполя, так и к увеличению скорости рассеяния. В экспериментах стараются снизить рассеяние, аглубину потенциальной ямы поддержать на достаточном уровне. Для оптимизации этого удобно использовать величину ${{U_{dip}}\\left( {\\vec r} \\right)}/{\\hbar {\\Gamma _{sc}}\\left( {\\vec r} \\right)}$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            F1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tОпределим при $\\omega=\\omega_0$ коэффициент затухания $\\gamma \\equiv {\\gamma _{{\\omega _0}}}$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Выразите ${{U_{dip}}\\left( {\\vec r} \\right)}/{\\hbar {\\Gamma _{sc}}\\left( {\\vec r} \\right)}$ через $\\omega$, $\\omega_0$ и $\\gamma$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tВ предыдущем пункте было получено, что ${\\Gamma _{sc}}\\left( {\\vec r} \\right)$ — величина положительная, а при $\\omega<\\omega_0$ отношение ${{U_{dip}}\\left( {\\vec r} \\right)}/{\\hbar {\\Gamma _{sc}}\\left( {\\vec r} \\right)}$ отрицательно. Это означает, что потенциальная энергия отрицательна, и атомы удерживаются в той области пучка, где интенсивность максимальна (в оптической ловушке). Если начать уменьшать глубину потенциальной ямы, то высокоэнергетичные атомы покинут область. Это значит, что удерживаемый газ атомов можно охладить до сверхнизких температур и получить бозе-конденсат."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Рассмотрим известный эксперимент с разреженным газом атомов натрия, которые могут образовывать бозе-конденсат. Атомы удерживаются оптической ловушкой. Лазер излучает на длине волны $\\lambda$, которой соответствует $\\omega < \\omega_0$. Распределение интенсивности в пучке задается гауссовой функцией \\[I\\left( {\\rho ,z} \\right) = \\cfrac{{2P}}{{\\pi D^2{{\\left( z \\right)}}}}\\ \\exp \\left( { - \\cfrac{{2{\\rho ^2}}}{{D^2{{\\left( z \\right)}}}}} \\right),\\] где $\\rho = \\sqrt {{x^2} + {y^2}}$, а ширина пучка $D\\left( z \\right) = {D_0}\\sqrt {1 + {z^2}/z_R^2}$ и ${z_R} = \\pi D_0^2/\\lambda$ (рис. 2а). Полная мощность излучения $P$ и минимальная ширина пучка $D_0$ определяют параметры потенциальной ямы (оптической ловушки). Один из них — ее глубина $U_{depth}$, которая определяется как абсолютное значение потенциальной энергии в ее локальном минимуме (рис. 2b). На бесконечности потенциальную энергию принимают нулевой."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/7f090b6949477632d152.webp","alt":"apho-2018-t1 statement: original source diagram 2"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 2.\n\na) Гауссов пучок и его параметры\n\nb) Модель потенциальной ямы\n(оптической ловушки), созданной в направлении оси $x$ гауссовым пучком ($\\omega<\\omega_0$). Пунктиром показано гармоническое приближение потенциальной ямы в окрестности ее дна\n"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            G1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tВыразите глубину потенциальной ямы $U_{depth}$ через $c$, $\\omega$, $\\omega_0$, $\\gamma$, $P$ и $D_0$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            G2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tПусть мощность лазера $P=4~мВт$, длина волны излучения $\\lambda=985~нм$, $D_0=6~мкм$, длина волны D-линии натрия $\\lambda_0=589~нм$. Получите выражение, а также численно рассчитайте глубину потенциальной ямы $U_{depth}$. Ответ приведите в Кельвинах эквивалентной температуры $T_0$, при которой тепловая энергия атомов равна глубине потенциальной ямы."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tПри температуре электронного облака $T$, много меньшей, чем определенная выше температура $T_0$, потенциальную энергию у дна ямы можно приближенно считать гармонической \\[U_{dip}(\\rho,z)=- U_{depth}+1/2\\ m\\ \\Omega_{\\rho}^2\\rho^2+1/2\\ m\\ \\Omega_z^2z^2,\\] где $m$ — масса атома натрия, а $\\Omega_{\\rho}$, $\\Omega_z$ — частоты колебаний в соответствующих направлениях."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            H1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tВыразите $\\Omega_{\\rho}$ и $\\Omega_z$ через $T_0$, $m$, $D_0$, $z_R$ и постоянную Больцмана $k_B$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tПри низких температурах газ атомов натрия состоит из атомов бозе-конденсата и тепловых атомов. Атомы бозе-конденсата подчиняются соотношению неопределенностей, таким образом можно оценить размер области, занимаемой газом, и распределение скоростей в ней. С другой стороны, тепловые атомы описываются уравнениями классической физики и подчиняются распределению Максвелла-Больцмана."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Среднее расстояние от атомов натрия до центра ловушки — это характерный размер области, занимаемой газом. Потенциальная энергия монотонно возрастает с ростом размера области, атом пытается ее уменьшить, стараясь занять уровень с минимальной энергией. С другой стороны, по мере уменьшения размера области, соотношение неопределенностей приводит к увеличению скорости атомов, т.е. к увеличению кинетической энергии. Поэтому существует некий оптимальный размер этой области, когда описанные эффекты скомпенсированы."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Рассмотрим одномерную потенциальную яму $U(z)=\\mathrm{const}+1/2\\ m\\Omega_z^2z^2$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            I1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tОцените размер области $z_0$, занимаемой газом в состоянии бозе-конденсата. Ответ выразите через $m$, $\\hbar$, $\\Omega_z$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            I2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.25"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tВыразите энергию $E_{\\mathrm{min}}$ низшего энергетического уровня через $\\hbar$ и $\\Omega_z$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            I3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.25"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tВыразите среднюю скорость $v_0$ атомов через $m$, $\\hbar$, $\\Omega_z$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tРассмотрим, как будут вести себя атомы газа из бозе-конденсата и тепловые атомы, если отключить ловушку. Распределение скоростей тепловых атомов — максвелловское, даже если ловушка анизотропна. Напротив, распределение скоростей в бозе-консате анизотропно. А именно, бозе-конденсат расширяется быстрее вдоль осей, где он удерживался сильнее, по сравнению со скоростью расширения вдоль оси, где он удерживался слабо. Если представить, что удерживаемый бозе-конденсат имел сигарооразную форму, то после отключения ловушки он примет форму, более похожую на блинчик."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/c3e2ab4b85d90f6bad90.webp","alt":"apho-2018-t1 statement: original source diagram 3"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 3. Разлет бозе-конденсата\n\n1) Бозе-конденсат в ловушке (сигарообразная форма)\n\n2) Бозе-конденсат через большое время после выключения ловушки (блинчик)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            J1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tВыразите отношение ${z_0}/{\\rho_0}$ через $\\Omega_{\\rho}$ и $\\Omega_z$, где $z_0$ и $\\rho_0$ — начальные размеры области, занимаемой бозе-конденсатом."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            J2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tЕсли выключить ловушку, то бозе-конденсат будет разлетаться с различными скоростями $v_{\\rho}$ и $v_z$ в разных направлениях. Выразите отношение ${v_{\\rho}}/{v_z}$ через $\\Omega_{\\rho}$ и $\\Omega_z$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            J3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tНайдите отношение ${z_L}/{\\rho_L}$ размеров области расширяющегося бозе-конденсата, когда они намного больше первоначальных (${z_L} \\gg {z_0}$ и ${\\rho _L} \\gg {\\rho _0}$). Скорости расширения бозе-конденсата считайте неизменными."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            J4\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tНайдите отношение ${{{z_{T,L}}}}/{{{\\rho _{T,L}}}}$ размеров области расширяющегося газа тепловых атомов, когда размеры намного больше первоначальных (${z_{T,L}} \\gg {z_0}$ и ${\\rho _{T,L}} \\gg {\\rho _0}$)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]}],"text":"Если луч лазера сфокусировать на группе нейтральных атомов, то их можно «захватить» и охладить до практически нулевой абсолютной температуры. При околонулевых температурах можно получить особое состояние вещества, называемое бозе-конденсатом. Нейтральный атом натрия можно представить в виде ядра с положительным зарядом $e$, которое окружено однородным электронным облаком с отрицательным зарядом $-e$. Масса облака пренебрежимо мала по сравнению с массой ядра. В отсутствие внешнего электрического поля центры электронного облака и ядра совпадают. Если атом поместить в электрическое поле, он поляризуется, т.е. у атома появляется дипольный момент. Этот диполь взаимодействует с тем же электрическим полем. Поле определяется распределением интенсивности $I(\\vec{r})$ в лазерном пучке и частотой. Если специально подобрать частоту и интенсивность, можно создать потенциальную яму, размерами которой будут ограничены атомы. Атом, помещенный в однородное электрическое поле $\\vec{E_0}=E_0 \\hat{u}$ ($\\hat{u}$ — единичный вектор), приобретает дипольный момент $\\vec{p_0}=el\\hat{u}=\\alpha E_0 \\hat{u}$ ($\\alpha$ — поляризуемость). Рис. 1. Модель электронного облака атома\n\n1) Сферически-симметричное распределение электронного облака вокруг ядра \n\n2) Смещение электронного облака во внешнем электрическом поле Пусть в начальный момент времени поле выключено. Затем напряженность поля очень медленно повышают до $E_0$. В произвольный момент времени напряженность поля $\\vec{E}=E\\hat{u}$. A1 0.75 Найдите в этом случае мгновенную поглощаемую атомом мощность. Ответ выразите через векторы $\\vec{E}$ и $\\dot{\\vec{p}}$ ($\\dot{\\vec{p}}$ — скорость изменения дипольного момента). A2 0.75 Найдите полную работу, совершенную полем к моменту, когда его напряженность достигла $E_0$, и отсюда получите выражение для потенциальной энергии диполя $U_{induced}$ через векторы $\\vec{E_0}$ и $\\vec{p_0}$. Если поле выключить, то электронное облако в атоме колеблется с собственной частотой $\\omega_0$. Рассмотрим атом в переменном электрическом поле $\\vec{E}(\\vec{r},t) =\\hat{u}\\ E_0(\\vec{r})\\cos\\omega t$. Индуцированный дипольный момент $\\vec{p}$ будет осциллировать с той же частотой $\\omega$. Колеблющийся диполь, как известно, излучает. Это приводит к тому, что дипольный момент и внешнее поле сдвинуты по фазе: $\\vec{p}(\\vec{r},t)=\\hat{u}\\ E_0(\\vec{r})\\alpha(\\omega)\\cos[\\omega t+\\varphi(\\omega)]$, причем и поляризуемость $\\alpha$, и сдвиг фаз $\\varphi$ зависят от частоты $\\omega$. Т.к. эти процессы происходят с высокой частотой, мы можем наблюдать и измерять лишь усредненные по периоду $2\\pi/\\omega$ величины. По определению усреднение некой величины по периоду значит $\\left\\langle {f\\left( t \\right)} \\right\\rangle = \\omega/2\\pi \\int\\limits_0^{2\\pi /\\omega } {f\\left( t \\right)\\mathrm{d}t}$. Здесь и далее запись $\\langle ... \\rangle$ означает усреднение величины в скобках по времени. Интенсивность $I(\\vec{r})$ лазерного пучка связана с амплитудой $E_0$ электрического поля следующим образом: $$I(\\vec{r})=\\cfrac{\\varepsilon_0c\\ E_0^2(\\vec{r})}{2},$$ где $\\varepsilon_0$ — электрическая постоянная и $c$ — скорость света. B1 1.00 Найдите потенциальную энергию диполя ${U_{dip}}\\left( {\\vec r} \\right) = \\left\\langle {{U_{induced}}\\left( {\\vec r,t} \\right)} \\right\\rangle $. Ответ выразите через $\\alpha$, $\\varphi$, $\\varepsilon_0$, $c$ и $I(\\vec{r})$. Когда атомы находятся в лазерном пучке, на них рассеиваются фотоны. Это можно описать поглощением и испусканием света. Эти процессы характеризуются скоростью рассеяния \\[\\Gamma_{sc}(\\overrightarrow{r})={\\langle P_{abs}(\\overrightarrow{r})\\rangle}/{\\hslash\\omega},\\] где $\\langle P_{abs}(\\overrightarrow{r})\\rangle$ — усредненная по времени мощность, поглощаемая из лазерного пучка, а $\\hbar\\omega$ — энергия фотона $(\\hbar=h/2\\pi)$. C1 1.00 Выразите $\\Gamma_{sc}(\\vec{r})$ через $\\alpha$, $\\varphi$, $\\varepsilon_0$, $c$, $I(\\vec{r})$, $\\hslash$ и $\\omega$. Обе величины $U_{dip}$ и $\\Gamma_{sc}(\\vec{r})$ зависят от поляризуемости $\\alpha$. Чтобы ее рассчитать, рассмотрим одномерный осциллятор в поле $\\vec{E}(t)=\\hat{u}E_0\\cos\\omega t$. Ось $Ox$ параллельна единичному вектору $\\hat{u}$. Координатой $x$ обозначим смещение электронного облака, полагая ядро неподвижным. В уравнение колебаний входят три слагаемых: $-m_e\\omega_0^2x\\cdot\\hat{u}$ — возвращающая сила, соответствующая свободным колебаниям с собственной частотой $\\omega_0$; $-eE_0 \\cos\\omega t\\cdot\\hat{u}$ — вынуждающая сила; $-m_{e}\\gamma_{\\omega}\\dot{x} \\cdot \\hat{u}$ — затухание, связанное с излучением. Оно характеризуется коэффициентом затухания $\\gamma_{\\omega}$, зависящим от частоты. Итак, уравнение колебаний выглядит следующим образом: $\\ddot x + {\\gamma_\\omega }\\dot x + \\omega _0^2x =- eE_0 \\cos \\omega t/m_e$, и его решение может быть найдено в виде $x=x_0\\cos(\\omega t+\\varphi)$. Здесь $x_0$ и $\\varphi$ нужно определять. D1 2.00 Выразите поляризуемость $\\alpha$ через $\\gamma_{\\omega}$, $e$, $m_e$, $\\omega_0$ и $\\omega$. Рассмотрим еще одну упрощенную модель, в которой в отсутствие внешнего поля центр электронного облака движется по круговой орбите с частотой $\\omega$ и скоростью $v$. Когда электрон движется с ускорением, мощность излучения задается формулой: \\[{P_L} = \\cfrac{1}{{6\\pi {\\varepsilon _0}}}\\cfrac{{{e^2}{a^2}}}{{{c^3}}},\\] где $a$ — ускорение. Силу, соответствующую затуханию, можно записать как ${F_d} = - {m_e}{\\gamma _\\omega }v$. Считайте, что энергия, теряемая электроном за один оборот, много меньше его полной энергии. E1 1.00 Выразите коэффициент затухания $\\gamma_{\\omega}$ через $e$, $\\varepsilon_0$, $c$, $m_e$ и $\\omega$. Когда частота вынуждающей силы $\\omega$ близка к собственной частоте осциллятора $\\omega_0,$ поляризуемость возрастает. Это приводит как к росту потенциальной энергии диполя, так и к увеличению скорости рассеяния. В экспериментах стараются снизить рассеяние, аглубину потенциальной ямы поддержать на достаточном уровне. Для оптимизации этого удобно использовать величину ${{U_{dip}}\\left( {\\vec r} \\right)}/{\\hbar {\\Gamma _{sc}}\\left( {\\vec r} \\right)}$. F1 0.50 Определим при $\\omega=\\omega_0$ коэффициент затухания $\\gamma \\equiv {\\gamma _{{\\omega _0}}}$. Выразите ${{U_{dip}}\\left( {\\vec r} \\right)}/{\\hbar {\\Gamma _{sc}}\\left( {\\vec r} \\right)}$ через $\\omega$, $\\omega_0$ и $\\gamma$. В предыдущем пункте было получено, что ${\\Gamma _{sc}}\\left( {\\vec r} \\right)$ — величина положительная, а при $\\omega<\\omega_0$ отношение ${{U_{dip}}\\left( {\\vec r} \\right)}/{\\hbar {\\Gamma _{sc}}\\left( {\\vec r} \\right)}$ отрицательно. Это означает, что потенциальная энергия отрицательна, и атомы удерживаются в той области пучка, где интенсивность максимальна (в оптической ловушке). Если начать уменьшать глубину потенциальной ямы, то высокоэнергетичные атомы покинут область. Это значит, что удерживаемый газ атомов можно охладить до сверхнизких температур и получить бозе-конденсат. Рассмотрим известный эксперимент с разреженным газом атомов натрия, которые могут образовывать бозе-конденсат. Атомы удерживаются оптической ловушкой. Лазер излучает на длине волны $\\lambda$, которой соответствует $\\omega < \\omega_0$. Распределение интенсивности в пучке задается гауссовой функцией \\[I\\left( {\\rho ,z} \\right) = \\cfrac{{2P}}{{\\pi D^2{{\\left( z \\right)}}}}\\ \\exp \\left( { - \\cfrac{{2{\\rho ^2}}}{{D^2{{\\left( z \\right)}}}}} \\right),\\] где $\\rho = \\sqrt {{x^2} + {y^2}}$, а ширина пучка $D\\left( z \\right) = {D_0}\\sqrt {1 + {z^2}/z_R^2}$ и ${z_R} = \\pi D_0^2/\\lambda$ (рис. 2а). Полная мощность излучения $P$ и минимальная ширина пучка $D_0$ определяют параметры потенциальной ямы (оптической ловушки). Один из них — ее глубина $U_{depth}$, которая определяется как абсолютное значение потенциальной энергии в ее локальном минимуме (рис. 2b). На бесконечности потенциальную энергию принимают нулевой. Рис. 2.\n\na) Гауссов пучок и его параметры\n\nb) Модель потенциальной ямы\n(оптической ловушки), созданной в направлении оси $x$ гауссовым пучком ($\\omega<\\omega_0$). Пунктиром показано гармоническое приближение потенциальной ямы в окрестности ее дна G1 0.50 Выразите глубину потенциальной ямы $U_{depth}$ через $c$, $\\omega$, $\\omega_0$, $\\gamma$, $P$ и $D_0$. G2 1.00 Пусть мощность лазера $P=4~мВт$, длина волны излучения $\\lambda=985~нм$, $D_0=6~мкм$, длина волны D-линии натрия $\\lambda_0=589~нм$. Получите выражение, а также численно рассчитайте глубину потенциальной ямы $U_{depth}$. Ответ приведите в Кельвинах эквивалентной температуры $T_0$, при которой тепловая энергия атомов равна глубине потенциальной ямы. При температуре электронного облака $T$, много меньшей, чем определенная выше температура $T_0$, потенциальную энергию у дна ямы можно приближенно считать гармонической \\[U_{dip}(\\rho,z)=- U_{depth}+1/2\\ m\\ \\Omega_{\\rho}^2\\rho^2+1/2\\ m\\ \\Omega_z^2z^2,\\] где $m$ — масса атома натрия, а $\\Omega_{\\rho}$, $\\Omega_z$ — частоты колебаний в соответствующих направлениях. H1 0.50 Выразите $\\Omega_{\\rho}$ и $\\Omega_z$ через $T_0$, $m$, $D_0$, $z_R$ и постоянную Больцмана $k_B$. При низких температурах газ атомов натрия состоит из атомов бозе-конденсата и тепловых атомов. Атомы бозе-конденсата подчиняются соотношению неопределенностей, таким образом можно оценить размер области, занимаемой газом, и распределение скоростей в ней. С другой стороны, тепловые атомы описываются уравнениями классической физики и подчиняются распределению Максвелла-Больцмана. Среднее расстояние от атомов натрия до центра ловушки — это характерный размер области, занимаемой газом. Потенциальная энергия монотонно возрастает с ростом размера области, атом пытается ее уменьшить, стараясь занять уровень с минимальной энергией. С другой стороны, по мере уменьшения размера области, соотношение неопределенностей приводит к увеличению скорости атомов, т.е. к увеличению кинетической энергии. Поэтому существует некий оптимальный размер этой области, когда описанные эффекты скомпенсированы. Рассмотрим одномерную потенциальную яму $U(z)=\\mathrm{const}+1/2\\ m\\Omega_z^2z^2$. I1 0.50 Оцените размер области $z_0$, занимаемой газом в состоянии бозе-конденсата. Ответ выразите через $m$, $\\hbar$, $\\Omega_z$. I2 0.25 Выразите энергию $E_{\\mathrm{min}}$ низшего энергетического уровня через $\\hbar$ и $\\Omega_z$. I3 0.25 Выразите среднюю скорость $v_0$ атомов через $m$, $\\hbar$, $\\Omega_z$. Рассмотрим, как будут вести себя атомы газа из бозе-конденсата и тепловые атомы, если отключить ловушку. Распределение скоростей тепловых атомов — максвелловское, даже если ловушка анизотропна. Напротив, распределение скоростей в бозе-консате анизотропно. А именно, бозе-конденсат расширяется быстрее вдоль осей, где он удерживался сильнее, по сравнению со скоростью расширения вдоль оси, где он удерживался слабо. Если представить, что удерживаемый бозе-конденсат имел сигарооразную форму, то после отключения ловушки он примет форму, более похожую на блинчик. Рис. 3. Разлет бозе-конденсата\n\n1) Бозе-конденсат в ловушке (сигарообразная форма)\n\n2) Бозе-конденсат через большое время после выключения ловушки (блинчик) J1 0.50 Выразите отношение ${z_0}/{\\rho_0}$ через $\\Omega_{\\rho}$ и $\\Omega_z$, где $z_0$ и $\\rho_0$ — начальные размеры области, занимаемой бозе-конденсатом. J2 0.50 Если выключить ловушку, то бозе-конденсат будет разлетаться с различными скоростями $v_{\\rho}$ и $v_z$ в разных направлениях. Выразите отношение ${v_{\\rho}}/{v_z}$ через $\\Omega_{\\rho}$ и $\\Omega_z$. J3 0.50 Найдите отношение ${z_L}/{\\rho_L}$ размеров области расширяющегося бозе-конденсата, когда они намного больше первоначальных (${z_L} \\gg {z_0}$ и ${\\rho _L} \\gg {\\rho _0}$). Скорости расширения бозе-конденсата считайте неизменными. J4 0.50 Найдите отношение ${{{z_{T,L}}}}/{{{\\rho _{T,L}}}}$ размеров области расширяющегося газа тепловых атомов, когда размеры намного больше первоначальных (${z_{T,L}} \\gg {z_0}$ и ${\\rho _{T,L}} \\gg {\\rho _0}$).\n","figures":["/corpus/figures/8ba41e34044dd68fc3ac.webp","/corpus/figures/7f090b6949477632d152.webp","/corpus/figures/c3e2ab4b85d90f6bad90.webp"],"shared":false},"solution":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.75"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tНайдите в этом случае мгновенную поглощаемую атомом мощность. Ответ выразите через векторы $\\vec{E}$ и $\\dot{\\vec{p}}$ ($\\dot{\\vec{p}}$ — скорость изменения дипольного момента)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.75"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tНайдите полную работу, совершенную полем к моменту, когда его напряженность достигла $E_0$, и отсюда получите выражение для потенциальной энергии диполя $U_{induced}$ через векторы $\\vec{E_0}$ и $\\vec{p_0}$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tНайдите потенциальную энергию диполя ${U_{dip}}\\left( {\\vec r} \\right) = \\left\\langle {{U_{induced}}\\left( {\\vec r,t} \\right)} \\right\\rangle $."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Ответ выразите через $\\alpha$, $\\varphi$, $\\varepsilon_0$, $c$ и $I(\\vec{r})$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tВыразите $\\Gamma_{sc}(\\vec{r})$ через $\\alpha$, $\\varphi$, $\\varepsilon_0$, $c$, $I(\\vec{r})$, $\\hslash$ и $\\omega$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                D1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 2.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tВыразите поляризуемость $\\alpha$ через $\\gamma_{\\omega}$, $e$, $m_e$, $\\omega_0$ и $\\omega$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                E1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tВыразите коэффициент затухания $\\gamma_{\\omega}$ через $e$, $\\varepsilon_0$, $c$, $m_e$ и $\\omega$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                F1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tОпределим при $\\omega=\\omega_0$ коэффициент затухания $\\gamma \\equiv {\\gamma _{{\\omega _0}}}$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Выразите ${{U_{dip}}\\left( {\\vec r} \\right)}/{\\hbar {\\Gamma _{sc}}\\left( {\\vec r} \\right)}$ через $\\omega$, $\\omega_0$ и $\\gamma$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                G1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tВыразите глубину потенциальной ямы $U_{depth}$ через $c$, $\\omega$, $\\omega_0$, $\\gamma$, $P$ и $D_0$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                G2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tПусть мощность лазера $P=4~мВт$, длина волны излучения $\\lambda=985~нм$, $D_0=6~мкм$, длина волны D-линии натрия $\\lambda_0=589~нм$. Получите выражение, а также численно рассчитайте глубину потенциальной ямы $U_{depth}$. Ответ приведите в Кельвинах эквивалентной температуры $T_0$, при которой тепловая энергия атомов равна глубине потенциальной ямы."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                H1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tВыразите $\\Omega_{\\rho}$ и $\\Omega_z$ через $T_0$, $m$, $D_0$, $z_R$ и постоянную Больцмана $k_B$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                I1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tОцените размер области $z_0$, занимаемой газом в состоянии бозе-конденсата. Ответ выразите через $m$, $\\hbar$, $\\Omega_z$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                I2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.25"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tВыразите энергию $E_{\\mathrm{min}}$ низшего энергетического уровня через $\\hbar$ и $\\Omega_z$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                I3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.25"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tВыразите среднюю скорость $v_0$ атомов через $m$, $\\hbar$, $\\Omega_z$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                J1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tВыразите отношение ${z_0}/{\\rho_0}$ через $\\Omega_{\\rho}$ и $\\Omega_z$, где $z_0$ и $\\rho_0$ — начальные размеры области, занимаемой бозе-конденсатом."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                J2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tЕсли выключить ловушку, то бозе-конденсат будет разлетаться с различными скоростями $v_{\\rho}$ и $v_z$ в разных направлениях. Выразите отношение ${v_{\\rho}}/{v_z}$ через $\\Omega_{\\rho}$ и $\\Omega_z$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                J3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tНайдите отношение ${z_L}/{\\rho_L}$ размеров области расширяющегося бозе-конденсата, когда они намного больше первоначальных (${z_L} \\gg {z_0}$ и ${\\rho _L} \\gg {\\rho _0}$). Скорости расширения бозе-конденсата считайте неизменными."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                J4\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tНайдите отношение ${{{z_{T,L}}}}/{{{\\rho _{T,L}}}}$ размеров области расширяющегося газа тепловых атомов, когда размеры намного больше первоначальных (${z_{T,L}} \\gg {z_0}$ и ${\\rho _{T,L}} \\gg {\\rho _0}$)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]}],"text":"A1 0.75 Найдите в этом случае мгновенную поглощаемую атомом мощность. Ответ выразите через векторы $\\vec{E}$ и $\\dot{\\vec{p}}$ ($\\dot{\\vec{p}}$ — скорость изменения дипольного момента).\nA2 0.75 Найдите полную работу, совершенную полем к моменту, когда его напряженность достигла $E_0$, и отсюда получите выражение для потенциальной энергии диполя $U_{induced}$ через векторы $\\vec{E_0}$ и $\\vec{p_0}$.\nB1 1.00 Найдите потенциальную энергию диполя ${U_{dip}}\\left( {\\vec r} \\right) = \\left\\langle {{U_{induced}}\\left( {\\vec r,t} \\right)} \\right\\rangle $. Ответ выразите через $\\alpha$, $\\varphi$, $\\varepsilon_0$, $c$ и $I(\\vec{r})$.\nC1 1.00 Выразите $\\Gamma_{sc}(\\vec{r})$ через $\\alpha$, $\\varphi$, $\\varepsilon_0$, $c$, $I(\\vec{r})$, $\\hslash$ и $\\omega$.\nD1 2.00 Выразите поляризуемость $\\alpha$ через $\\gamma_{\\omega}$, $e$, $m_e$, $\\omega_0$ и $\\omega$.\nE1 1.00 Выразите коэффициент затухания $\\gamma_{\\omega}$ через $e$, $\\varepsilon_0$, $c$, $m_e$ и $\\omega$.\nF1 0.50 Определим при $\\omega=\\omega_0$ коэффициент затухания $\\gamma \\equiv {\\gamma _{{\\omega _0}}}$. Выразите ${{U_{dip}}\\left( {\\vec r} \\right)}/{\\hbar {\\Gamma _{sc}}\\left( {\\vec r} \\right)}$ через $\\omega$, $\\omega_0$ и $\\gamma$.\nG1 0.50 Выразите глубину потенциальной ямы $U_{depth}$ через $c$, $\\omega$, $\\omega_0$, $\\gamma$, $P$ и $D_0$.\nG2 1.00 Пусть мощность лазера $P=4~мВт$, длина волны излучения $\\lambda=985~нм$, $D_0=6~мкм$, длина волны D-линии натрия $\\lambda_0=589~нм$. Получите выражение, а также численно рассчитайте глубину потенциальной ямы $U_{depth}$. Ответ приведите в Кельвинах эквивалентной температуры $T_0$, при которой тепловая энергия атомов равна глубине потенциальной ямы.\nH1 0.50 Выразите $\\Omega_{\\rho}$ и $\\Omega_z$ через $T_0$, $m$, $D_0$, $z_R$ и постоянную Больцмана $k_B$.\nI1 0.50 Оцените размер области $z_0$, занимаемой газом в состоянии бозе-конденсата. Ответ выразите через $m$, $\\hbar$, $\\Omega_z$.\nI2 0.25 Выразите энергию $E_{\\mathrm{min}}$ низшего энергетического уровня через $\\hbar$ и $\\Omega_z$.\nI3 0.25 Выразите среднюю скорость $v_0$ атомов через $m$, $\\hbar$, $\\Omega_z$.\nJ1 0.50 Выразите отношение ${z_0}/{\\rho_0}$ через $\\Omega_{\\rho}$ и $\\Omega_z$, где $z_0$ и $\\rho_0$ — начальные размеры области, занимаемой бозе-конденсатом.\nJ2 0.50 Если выключить ловушку, то бозе-конденсат будет разлетаться с различными скоростями $v_{\\rho}$ и $v_z$ в разных направлениях. Выразите отношение ${v_{\\rho}}/{v_z}$ через $\\Omega_{\\rho}$ и $\\Omega_z$.\nJ3 0.50 Найдите отношение ${z_L}/{\\rho_L}$ размеров области расширяющегося бозе-конденсата, когда они намного больше первоначальных (${z_L} \\gg {z_0}$ и ${\\rho _L} \\gg {\\rho _0}$). Скорости расширения бозе-конденсата считайте неизменными.\nJ4 0.50 Найдите отношение ${{{z_{T,L}}}}/{{{\\rho _{T,L}}}}$ размеров области расширяющегося газа тепловых атомов, когда размеры намного больше первоначальных (${z_{T,L}} \\gg {z_0}$ и ${\\rho _{T,L}} \\gg {\\rho _0}$).","figures":[],"shared":false}},{"id":"apho-2018-t2","importedOn":"2026-10-28","language":"ru","sources":[{"url":"https://pho.rs/p/3598","kind":"statement"},{"url":"https://pho.rs/p/3598/s","kind":"solution"}],"statement":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"text","text":"\n                        \n                        \n\n\n\n\tПолезный факт:"},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\\[{e^x} = 1 + \\frac{x}{{1!}} + \\frac{{{x^2}}}{{2!}} + \\frac{{{x^3}}}{{3!}} + \\ldots\\]"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tРакеты — не самый эффективный способ вывода грузов на орбиту. Космический лифт, если его построить, будет гораздо более эффективной технологией (рис. 1). Основой элемент космического лифта — трос, один конец которого закреплен на поверхности Земли, на экваторе, а другой конец расположен на высоте, большей, чем высота геостационарной орбиты. Геостационарная орбита имеет радиус примерно $42300~км$ и период обращения такой же, как собственное вращение Земли. Для реализации идеи космического лифта потребуются материалы намного прочнее и легче, чем сталь. Одним из таких материалов могут стать углеродные нанотрубки. В этой задаче мы рассмотрим две конструкции космического лифта, механические свойства углеродных нанотрубок, а также некоторые применения лифта."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/de5357bd7c3e928869f6.webp","alt":"apho-2018-t2 statement: original source diagram 1"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 1. Космический лифт\n\n1) Земля\n\n2) Северный полюс\n\n3) Закрепление на экваторе\n\n4) Кабина\n\n5) Противовес\n\n6) Вращение Земли\n\n7) Трос\n\n8) Геостационарная орбита"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tМасса Земли $M=5.98\\cdot 10^{24}~кг$, радиус Земли $R=6370~км$, радиус геостационарной орбиты $R_G=42300~км$, масса Солнца $M_S=2\\cdot10^{30}~ кг$, радиус орбиты Земли $R_E=1.5\\cdot10^8 = 1~ а.е.$ (а.е. — астрономическая единица), скорость орбитального движения Земли $30.9~ км/с$, угловая скорость вращения Земли вокруг своей оси $\\omega=7.27\\cdot10^{-5}~рад/с$.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Космический лифт с цилиндрическим тросом постоянного сечения"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tВ этой части рассматривается конструкция лифта с цилиндрическим тросом постоянного сечения площадью $A$. Плотность материала троса $\\rho$. Трос представляет собой вертикальный цилиндр на экваторе Земли. Высота цилиндра больше, чем высота геостационарной орбиты. Длина троса такая, что механическое напряжение троса в точке на поверхности Земли равно нулю. Механическое напряжение — сила натяжения на единицу площади поперечного сечения. Трос находится в натяжении по всей своей длине. Механические напряжения троса такие, что каждый элемент троса находится в равновесии под действием сил натяжения, гравитационных сил и центробежных."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tВычислите высоту верхнего конца троса над поверхностью Земли $L$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tНайдите расстояние $r$ между центром Земли и точкой, в которой механическое напряжение троса максимально."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tВыразите максимальное механическое напряжение троса $\\sigma_{max}$ через $\\rho$, $R_G$, $R$ и ускорение свободного падения $g$. Вычислите отношение максимального механического напряжения троса $\\sigma_{max}$ к пределу прочности стали $\\sigma_{steel}$. Считайте, что трос изготовлен из стали плотностью $7900~кг/м^3$ с пределом прочности $5.0~ГПа$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Углеродные нанотрубки"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tВычисления прошлой части показывают, что для реализации проекта необходим очень легкий, но прочный материал. Материал из углеродных нанотрубок удовлетворяет этим требованиям из-за наличия прочных химических связей между относительно легкими атомами."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"В природе существует две аллотропных модификации углерода: алмаз и графит. В алмазе каждый атом углерода окружен четырьмя ближайшими соседними атомами, которые являются вершинами тетраэдра. Графит имеет слоистую структуру. В каждом слое атомы углерода выстроены в шестиугольную плоскую структуру. Каждый атом в этой плоскости имеет трёх ближайших соседей. Ковалентные связи между такими атомами в слое графита оказываются даже прочнее, чем связи между атомами в алмазе. Мягкость графита объясняется слабыми Ван-дер-Ваальсовыми силами между атомами разных слоёв."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/39156023a53be10b43f4.webp","alt":"apho-2018-t2 statement: original source diagram 2"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 2. Структура графита"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/752ce28b0883b0bfcc8c.webp","alt":"apho-2018-t2 statement: original source diagram 3"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 3. Графен (a) и углеродная нанотрубка (b)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tОдноатомный слой графита называется графеном (рис. 3a). Отдельный лист графена нестабилен и склонен сворачиваться в сферы или нанотрубки (рис. 3b)."},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Шестиугольная кристаллическая решетка графена изображена на рис. 4. Расстояние между двумя соседними атомами углерода $a=0.142~нм$. Расстояние между двумя ближайшими параллельными связями равно $b=0.246~нм$. Из-за очень сильных ковалентных связей углеродные нанотрубки обладают чрезвычайно большим модулем Юнга, большим пределом прочности и очень маленькой плотностью. Модуль Юнга есть отношение механического напряжения к относительному удлинению."}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/71eb5cdbb3d550dc0755.webp","alt":"apho-2018-t2 statement: original source diagram 4"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 4. Графен"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/e03e9b7ab52a51d8a629.webp","alt":"apho-2018-t2 statement: original source diagram 5"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 5. Углеродная нанотрубка с 9 углерод-углеродными параллельными связями. В условии вашей задачи таких связей 27\n\n1) Параллельные связи\n\n2) Наклоненная связь\n\n3) Ось нанотрубки"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tДалее мы вычислим механические свойства углеродной нанотрубки, которая имеет 27 углерод-углеродных параллельных связей вдоль своей оси (рис. 5)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Энергия связи между двумя атомами углерода описывается потенциалом Морзе \\[V(x)=V_0(e^{-4{x}/{a}}-2e^{-2{x}/{a}}).\\] Здесь: "}]},{"type":"element","tag":"ul","children":[{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"$a=0.142~нм$ — расстояние между двумя соседними атомами углерода в равновесии;"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"$V_0=4.93~эВ$ — энергия связи;"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"$x$ — смещение атомов от положения равновесия."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Далее мы аппроксимируем потенциал Морзе в виде квадратичного потенциала $V(x) = P + Qx^2$. Взаимодействуют только соседние атомы. В данном приближении можно считать, что атомы скрепляются «пружинками» с некоторой жесткостью $k$. Изменения углов между связями пренебрежимо малы и не рассматриваются."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.25"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tВыразите коэффициенты $P$ и $Q$ через $a$ и $V_0$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.25"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tВычислите характерную жесткость «пружинки» $k$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tВычислите модуль Юнга углеродной нанотрубки $E$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tПри максимально возможном удлинении «пружинки» $x_{\\max}$ её потенциальная энергия равна энергии связи. Это позволяет оценить предел прочности углеродной нанотрубки."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B4\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tВычислите максимальное удлинение $x_{\\max}$ «пружинки»."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B5\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tОцените предел прочности $\\sigma_0$ углеродной нанотрубки.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B6\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tОцените плотность углеродной нанотрубки $\\rho$. Молярная масса углерода $12~г/моль$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Космический лифт с коническим тросом постоянного механического напряжения"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tВ данной части мы рассматриваем трос космического лифта с переменной площадью сечения, но с постоянным механическим напряжением $\\sigma$ и постоянной плотностью $\\rho$ по всей длине. Трос имеет осевую симметрию и расположен вертикально на экваторе. Высота троса больше, чем высота геостационарной орбиты. Обозначим площадь поперечного сечения троса на поверхности Земли как $A_S$, на высоте геостационарной орбиты как $A_G$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tНайдите зависимость площади поперечного троса $A(h)$ от высоты $h$. Высота $h$ отсчитывается от поверхности Земли."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tТрос устроен так, что площади поперечного сечения его концов равны. Найдите расстояние $H$ от центра Земли до верхнего конца троса."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tНайдите отношение $A_G/A_S$, если трос изготовлен из углеродных нанотрубок с пределом прочности $130~ГПа$ и плотностью $1300~кг/м^3$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C4\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tМожно значительно сократить длину троса, если его часть сверху убрать и прикрепить противовес соответсвующей массы. Пусть $h_C$ — высота троса, отсчитываемая от геостационарной орбиты до противовеса. Найдите массу противовеса $m_C$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Применение: вывод нагрузки на орбиту и запуск космических кораблей к другим планетам"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tОсновная идея применения космического лифта — выводить с помощью него полезную нагрузку на орбиту и запускать космические корабли к другим планетам. Способ запуска объектов довольно прост: объект поднимается на высоту $r$ и отпускается без начальной скорости. Считайте, что движение троса происходит в плоскости орбиты Земли."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            D1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tЕсли с некоторой точки троса отпустить объект, то он сможет покинуть гравитационное поле Земли. Найдите критический радиус $r_C$, измеряемый от центра Земли, для которого это произойдет."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tИспользование троса высотой больше $r_C$ необходимо, если мы хотим запускать объекты к другим планетам. Пусть конец троса находится на расстоянии $107000~км$ от центра Земли."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            D2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tНайдите, каких минимального $r_{min}$ и максимального $r_{max}$ расстояний от Солнца может достичь объект, отпущенный с конца троса. Выразите ваш ответ в астрономических единицах (а.е.). Притяжением Земли на такой высоте можно принебречь."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]}],"text":"Полезный факт: \\[{e^x} = 1 + \\frac{x}{{1!}} + \\frac{{{x^2}}}{{2!}} + \\frac{{{x^3}}}{{3!}} + \\ldots\\] Ракеты — не самый эффективный способ вывода грузов на орбиту. Космический лифт, если его построить, будет гораздо более эффективной технологией (рис. 1). Основой элемент космического лифта — трос, один конец которого закреплен на поверхности Земли, на экваторе, а другой конец расположен на высоте, большей, чем высота геостационарной орбиты. Геостационарная орбита имеет радиус примерно $42300~км$ и период обращения такой же, как собственное вращение Земли. Для реализации идеи космического лифта потребуются материалы намного прочнее и легче, чем сталь. Одним из таких материалов могут стать углеродные нанотрубки. В этой задаче мы рассмотрим две конструкции космического лифта, механические свойства углеродных нанотрубок, а также некоторые применения лифта. Рис. 1. Космический лифт\n\n1) Земля\n\n2) Северный полюс\n\n3) Закрепление на экваторе\n\n4) Кабина\n\n5) Противовес\n\n6) Вращение Земли\n\n7) Трос\n\n8) Геостационарная орбита Масса Земли $M=5.98\\cdot 10^{24}~кг$, радиус Земли $R=6370~км$, радиус геостационарной орбиты $R_G=42300~км$, масса Солнца $M_S=2\\cdot10^{30}~ кг$, радиус орбиты Земли $R_E=1.5\\cdot10^8 = 1~ а.е.$ (а.е. — астрономическая единица), скорость орбитального движения Земли $30.9~ км/с$, угловая скорость вращения Земли вокруг своей оси $\\omega=7.27\\cdot10^{-5}~рад/с$. Космический лифт с цилиндрическим тросом постоянного сечения В этой части рассматривается конструкция лифта с цилиндрическим тросом постоянного сечения площадью $A$. Плотность материала троса $\\rho$. Трос представляет собой вертикальный цилиндр на экваторе Земли. Высота цилиндра больше, чем высота геостационарной орбиты. Длина троса такая, что механическое напряжение троса в точке на поверхности Земли равно нулю. Механическое напряжение — сила натяжения на единицу площади поперечного сечения. Трос находится в натяжении по всей своей длине. Механические напряжения троса такие, что каждый элемент троса находится в равновесии под действием сил натяжения, гравитационных сил и центробежных. A1 0.50 Вычислите высоту верхнего конца троса над поверхностью Земли $L$. A2 0.50 Найдите расстояние $r$ между центром Земли и точкой, в которой механическое напряжение троса максимально. A3 0.50 Выразите максимальное механическое напряжение троса $\\sigma_{max}$ через $\\rho$, $R_G$, $R$ и ускорение свободного падения $g$. Вычислите отношение максимального механического напряжения троса $\\sigma_{max}$ к пределу прочности стали $\\sigma_{steel}$. Считайте, что трос изготовлен из стали плотностью $7900~кг/м^3$ с пределом прочности $5.0~ГПа$. Углеродные нанотрубки Вычисления прошлой части показывают, что для реализации проекта необходим очень легкий, но прочный материал. Материал из углеродных нанотрубок удовлетворяет этим требованиям из-за наличия прочных химических связей между относительно легкими атомами. В природе существует две аллотропных модификации углерода: алмаз и графит. В алмазе каждый атом углерода окружен четырьмя ближайшими соседними атомами, которые являются вершинами тетраэдра. Графит имеет слоистую структуру. В каждом слое атомы углерода выстроены в шестиугольную плоскую структуру. Каждый атом в этой плоскости имеет трёх ближайших соседей. Ковалентные связи между такими атомами в слое графита оказываются даже прочнее, чем связи между атомами в алмазе. Мягкость графита объясняется слабыми Ван-дер-Ваальсовыми силами между атомами разных слоёв. Рис. 2. Структура графита Рис. 3. Графен (a) и углеродная нанотрубка (b) Одноатомный слой графита называется графеном (рис. 3a). Отдельный лист графена нестабилен и склонен сворачиваться в сферы или нанотрубки (рис. 3b). Шестиугольная кристаллическая решетка графена изображена на рис. 4. Расстояние между двумя соседними атомами углерода $a=0.142~нм$. Расстояние между двумя ближайшими параллельными связями равно $b=0.246~нм$. Из-за очень сильных ковалентных связей углеродные нанотрубки обладают чрезвычайно большим модулем Юнга, большим пределом прочности и очень маленькой плотностью. Модуль Юнга есть отношение механического напряжения к относительному удлинению. Рис. 4. Графен Рис. 5. Углеродная нанотрубка с 9 углерод-углеродными параллельными связями. В условии вашей задачи таких связей 27\n\n1) Параллельные связи\n\n2) Наклоненная связь\n\n3) Ось нанотрубки Далее мы вычислим механические свойства углеродной нанотрубки, которая имеет 27 углерод-углеродных параллельных связей вдоль своей оси (рис. 5). Энергия связи между двумя атомами углерода описывается потенциалом Морзе \\[V(x)=V_0(e^{-4{x}/{a}}-2e^{-2{x}/{a}}).\\] Здесь: $a=0.142~нм$ — расстояние между двумя соседними атомами углерода в равновесии; $V_0=4.93~эВ$ — энергия связи; $x$ — смещение атомов от положения равновесия. Далее мы аппроксимируем потенциал Морзе в виде квадратичного потенциала $V(x) = P + Qx^2$. Взаимодействуют только соседние атомы. В данном приближении можно считать, что атомы скрепляются «пружинками» с некоторой жесткостью $k$. Изменения углов между связями пренебрежимо малы и не рассматриваются. B1 0.25 Выразите коэффициенты $P$ и $Q$ через $a$ и $V_0$. B2 0.25 Вычислите характерную жесткость «пружинки» $k$. B3 0.50 Вычислите модуль Юнга углеродной нанотрубки $E$. При максимально возможном удлинении «пружинки» $x_{\\max}$ её потенциальная энергия равна энергии связи. Это позволяет оценить предел прочности углеродной нанотрубки. B4 0.50 Вычислите максимальное удлинение $x_{\\max}$ «пружинки». B5 0.50 Оцените предел прочности $\\sigma_0$ углеродной нанотрубки. B6 0.50 Оцените плотность углеродной нанотрубки $\\rho$. Молярная масса углерода $12~г/моль$. Космический лифт с коническим тросом постоянного механического напряжения В данной части мы рассматриваем трос космического лифта с переменной площадью сечения, но с постоянным механическим напряжением $\\sigma$ и постоянной плотностью $\\rho$ по всей длине. Трос имеет осевую симметрию и расположен вертикально на экваторе. Высота троса больше, чем высота геостационарной орбиты. Обозначим площадь поперечного сечения троса на поверхности Земли как $A_S$, на высоте геостационарной орбиты как $A_G$. C1 0.50 Найдите зависимость площади поперечного троса $A(h)$ от высоты $h$. Высота $h$ отсчитывается от поверхности Земли. C2 0.50 Трос устроен так, что площади поперечного сечения его концов равны. Найдите расстояние $H$ от центра Земли до верхнего конца троса. C3 0.50 Найдите отношение $A_G/A_S$, если трос изготовлен из углеродных нанотрубок с пределом прочности $130~ГПа$ и плотностью $1300~кг/м^3$. C4 1.00 Можно значительно сократить длину троса, если его часть сверху убрать и прикрепить противовес соответсвующей массы. Пусть $h_C$ — высота троса, отсчитываемая от геостационарной орбиты до противовеса. Найдите массу противовеса $m_C$. Применение: вывод нагрузки на орбиту и запуск космических кораблей к другим планетам Основная идея применения космического лифта — выводить с помощью него полезную нагрузку на орбиту и запускать космические корабли к другим планетам. Способ запуска объектов довольно прост: объект поднимается на высоту $r$ и отпускается без начальной скорости. Считайте, что движение троса происходит в плоскости орбиты Земли. D1 0.50 Если с некоторой точки троса отпустить объект, то он сможет покинуть гравитационное поле Земли. Найдите критический радиус $r_C$, измеряемый от центра Земли, для которого это произойдет. Использование троса высотой больше $r_C$ необходимо, если мы хотим запускать объекты к другим планетам. Пусть конец троса находится на расстоянии $107000~км$ от центра Земли. D2 1.00 Найдите, каких минимального $r_{min}$ и максимального $r_{max}$ расстояний от Солнца может достичь объект, отпущенный с конца троса. Выразите ваш ответ в астрономических единицах (а.е.). Притяжением Земли на такой высоте можно принебречь.\n","figures":["/corpus/figures/de5357bd7c3e928869f6.webp","/corpus/figures/39156023a53be10b43f4.webp","/corpus/figures/752ce28b0883b0bfcc8c.webp","/corpus/figures/71eb5cdbb3d550dc0755.webp","/corpus/figures/e03e9b7ab52a51d8a629.webp"],"shared":false},"solution":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tВычислите высоту верхнего конца троса над поверхностью Земли $L$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tНайдите расстояние $r$ между центром Земли и точкой, в которой механическое напряжение троса максимально."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tВыразите максимальное механическое напряжение троса $\\sigma_{max}$ через $\\rho$, $R_G$, $R$ и ускорение свободного падения $g$. Вычислите отношение максимального механического напряжения троса $\\sigma_{max}$ к пределу прочности стали $\\sigma_{steel}$. Считайте, что трос изготовлен из стали плотностью $7900~кг/м^3$ с пределом прочности $5.0~ГПа$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.25"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tВыразите коэффициенты $P$ и $Q$ через $a$ и $V_0$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.25"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tВычислите характерную жесткость «пружинки» $k$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tВычислите модуль Юнга углеродной нанотрубки $E$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B4\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tВычислите максимальное удлинение $x_{\\max}$ «пружинки»."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B5\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tОцените предел прочности $\\sigma_0$ углеродной нанотрубки.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B6\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tОцените плотность углеродной нанотрубки $\\rho$. Молярная масса углерода $12~г/моль$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tНайдите зависимость площади поперечного троса $A(h)$ от высоты $h$. Высота $h$ отсчитывается от поверхности Земли."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tТрос устроен так, что площади поперечного сечения его концов равны. Найдите расстояние $H$ от центра Земли до верхнего конца троса."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tНайдите отношение $A_G/A_S$, если трос изготовлен из углеродных нанотрубок с пределом прочности $130~ГПа$ и плотностью $1300~кг/м^3$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C4\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tМожно значительно сократить длину троса, если его часть сверху убрать и прикрепить противовес соответсвующей массы. Пусть $h_C$ — высота троса, отсчитываемая от геостационарной орбиты до противовеса. Найдите массу противовеса $m_C$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                D1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tЕсли с некоторой точки троса отпустить объект, то он сможет покинуть гравитационное поле Земли. Найдите критический радиус $r_C$, измеряемый от центра Земли, для которого это произойдет."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                D2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tНайдите, каких минимального $r_{min}$ и максимального $r_{max}$ расстояний от Солнца может достичь объект, отпущенный с конца троса. Выразите ваш ответ в астрономических единицах (а.е.). Притяжением Земли на такой высоте можно принебречь."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]}],"text":"A1 0.50 Вычислите высоту верхнего конца троса над поверхностью Земли $L$.\nA2 0.50 Найдите расстояние $r$ между центром Земли и точкой, в которой механическое напряжение троса максимально.\nA3 0.50 Выразите максимальное механическое напряжение троса $\\sigma_{max}$ через $\\rho$, $R_G$, $R$ и ускорение свободного падения $g$. Вычислите отношение максимального механического напряжения троса $\\sigma_{max}$ к пределу прочности стали $\\sigma_{steel}$. Считайте, что трос изготовлен из стали плотностью $7900~кг/м^3$ с пределом прочности $5.0~ГПа$.\nB1 0.25 Выразите коэффициенты $P$ и $Q$ через $a$ и $V_0$.\nB2 0.25 Вычислите характерную жесткость «пружинки» $k$.\nB3 0.50 Вычислите модуль Юнга углеродной нанотрубки $E$.\nB4 0.50 Вычислите максимальное удлинение $x_{\\max}$ «пружинки».\nB5 0.50 Оцените предел прочности $\\sigma_0$ углеродной нанотрубки.\nB6 0.50 Оцените плотность углеродной нанотрубки $\\rho$. Молярная масса углерода $12~г/моль$.\nC1 0.50 Найдите зависимость площади поперечного троса $A(h)$ от высоты $h$. Высота $h$ отсчитывается от поверхности Земли.\nC2 0.50 Трос устроен так, что площади поперечного сечения его концов равны. Найдите расстояние $H$ от центра Земли до верхнего конца троса.\nC3 0.50 Найдите отношение $A_G/A_S$, если трос изготовлен из углеродных нанотрубок с пределом прочности $130~ГПа$ и плотностью $1300~кг/м^3$.\nC4 1.00 Можно значительно сократить длину троса, если его часть сверху убрать и прикрепить противовес соответсвующей массы. Пусть $h_C$ — высота троса, отсчитываемая от геостационарной орбиты до противовеса. Найдите массу противовеса $m_C$.\nD1 0.50 Если с некоторой точки троса отпустить объект, то он сможет покинуть гравитационное поле Земли. Найдите критический радиус $r_C$, измеряемый от центра Земли, для которого это произойдет.\nD2 1.00 Найдите, каких минимального $r_{min}$ и максимального $r_{max}$ расстояний от Солнца может достичь объект, отпущенный с конца троса. Выразите ваш ответ в астрономических единицах (а.е.). Притяжением Земли на такой высоте можно принебречь.","figures":[],"shared":false}},{"id":"apho-2018-t3","importedOn":"2026-10-28","language":"ru","sources":[{"url":"https://pho.rs/p/3599","kind":"statement"},{"url":"https://pho.rs/p/3599/s","kind":"solution"}],"statement":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"text","text":"\n                        \n                        \n\n\n\n\tВ этой задаче мы рассмотрим три основных термоэлектрических эффекта: закон Джоуля-Ленца, эффекты Зеебека и Пельтье."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"Закон Джоуля-Ленца."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"text","text":"При направленном движении носителей заряда они передают часть энергии в колебательное движение кристаллической решетки, поэтому кристалл нагревается. Этот процесс — необратимый."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"Эффект Зеебека"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"text","text":"наблюдается в термопаре, состоящей из двух разных проводников $A$ и $B$, спаянных друг с другом (рис. 1а) либо соединенных через промежуточный материал $C$ (рис. 1b). Когда спаи термопары поддерживаются при разных температурах $T_1$ и $T_2$ (рис. 1), в системе возникает ЭДС\\[\\epsilon=\\alpha(T_1-T_2),\\]где $\\alpha$ — коэффициент Зеебека термопары и считается, что он не зависит от температуры."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/c9566af62c3a532208f9.webp","alt":"apho-2018-t3 statement: original source diagram 1"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 1\n\na) Два спая термопары\n\nb) Соединение проводников через промежуточный материал:\n\n1) Нагреватель ($T_1$)\n\n2) Холодильник ($T_2$)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"Эффект Пельтье."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"text","text":"Если через термопару пропустить ток, то, в зависимости от направления, куда он течет, на спае может выделяться или поглощаться тепло. Соединение проводников термопары может быть как прямым (рис. 2а), так и через промежуточный материал (рис. 2b). Выделяемая (или поглощаемая) на спаях мощность $q$ записывается следующим образом:\\[q=\\pi I,\\]где $\\pi$ — коэффициент Пельтье. Эффекты Зеебека и Пельтье — обратимые. Цепь, показанная на рисунке 2b, может использоваться как холодильник, причем тепло отбирается у одного из спаев и выделяется на другом. Излучением, конвекцией и теплопроводностью можно пренебречь. Вся теплопередача происходит внутри тепловых резервуаров и термопары."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/4ae86c27969b7d395428.webp","alt":"apho-2018-t3 statement: original source diagram 2"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 2\n\na) Два спая термопары\n\nb) Соединение проводников через промежуточный материал"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tДля численных расчетов в Таблицах 1 и 2 приведены значения тепловых и электрических характеристик материалов."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"figure","children":[{"type":"element","tag":"table","children":[{"type":"element","tag":"tbody","children":[{"type":"element","tag":"tr","children":[{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"Название"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"Материал"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"Удельное сопротивление $\\rho$ ($Ом \\cdot м$)"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"Коэффициент теплопроводности $k$ ($Вт \\cdot м^{-1}\\cdot К^{-1}$)"}]}]},{"type":"element","tag":"tr","children":[{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"A"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$\\text{Bi}_2\\text{Te}_{2.7}\\text{Se}_{0.3}$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$1.0\\cdot10^{-5}$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$1.4$"}]}]},{"type":"element","tag":"tr","children":[{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"B"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$\\text{Bi}_{0.5}\\text{Sb}_{1.5}\\text{Te}_3$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$1.0\\cdot10^{-5}$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$1.4$"}]}]}]}]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"Термопара AB"}]}]},{"type":"element","tag":"figure","children":[{"type":"element","tag":"table","children":[{"type":"element","tag":"tbody","children":[{"type":"element","tag":"tr","children":[{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"Длина ($м$)"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"Коэффициент Зеебека $\\alpha$ ($мкВ \\cdot К^{-1}$)"}]}]},{"type":"element","tag":"tr","children":[{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$0.02$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$420$"}]}]}]}]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Теплопроводность и термоэлектрический генератор"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть A. Теплопроводность в однородном проводнике (1.75 баллов)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tВдоль однородного проводника течет ток силой $I$ (рис. 3). Удельное сопротивление материала $\\rho$, коэффициент теплопроводности $k$. Координаты концов проводника: $x=0$ и $x=L$. Температуры концов проводника поддерживаются постоянными и равными $T_1$ при $x=0$ и $T_2$ при $x=L$ ($T_1>T_2$)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/83e0d356d70383dfc408.webp","alt":"apho-2018-t3 statement: original source diagram 3"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 3"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tТепловой поток $q(x)$, т.е. количество теплоты, проходящее по нормали к площадке $S$ в единицу времени, описывается законом Фурье (одномерный случай):$$q(x)=-kS\\frac{\\mathrm dT(x)}{\\mathrm dx},$$где $k$ — коэффициент теплопроводности, а $S$ — площадь поперечного сечения."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.75"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tНайдите распределение температуры $T(x)$ вдоль стержня. Считайте, что распределение стационарно, а также что нет потерь тепла в окружающую среду."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"Примечание. "}]},{"type":"text","text":"Уравнение вида ${\\mathrm d^2T(x)}/{\\mathrm dx^2}=a$ имеет решение вида:\\[T(x)=\\frac{1}{2}ax^2+C_1x+C_2,\\]где $C_1$ и $C_2$ — постоянные, определяемые из граничных условий."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tНайдите тепловой поток $q(x)$ в произвольной точке $x$, а также рассчитайте его на концах: $q(0)$ и $q(L)$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть B. Связь коэффициентов Зеебека и Пельтье (1.5 балла)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tРассмотрим термопару (рис. 1b), у которой коэффициент Зеебека равен $\\alpha$. Ее коэффициенты Пельтье равны $\\pi_1$ и $\\pi_2$ на горячем ($T_1$) и холодном ($T_2$) спаях термопары соответственно. Выделением джоулева тепла можно пренебречь. Считайте, что электронный газ в проводниках термопары совершает идеальный цикл."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.25"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tКакую тепловую мощность $q_1$ получает газ от нагревателя температурой $T_1$?"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.25"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tКакую тепловую мощность $q_2$ газ отдает холодильнику температурой $T_2$?"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tКакая полная электрическая полезная мощность $P$ производится электронным газом, если коэффициент Зеебека равен $\\alpha$?"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B4\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tВыразите коэффициент Пельтье $\\pi$ на спае термопары через коэффициент Зеебека $\\alpha$ и температуру спая $T$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть C. Термоэлектрический генератор (1.5 балла)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/2fc2ab24f1d48a06635f.webp","alt":"apho-2018-t3 statement: original source diagram 4"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 4. Термоэлектрический генератор\n\n1) Нагреватель ($T_1$)\n\n2) холодильник ($T_2$)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"Внимание!"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"text","text":"Здесь и далее коэффициент Пельтье $\\pi$ примите равным $\\alpha T$. Также везде нужно будет учитывать выделяющееся джоулево тепло."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tТермопара состоит из двух проводников $A$ и $B$ одинаковой длины $L$ (рис. 4). Параметры проводников, соответственно, равны: площади поперечного сечения $S_A$ и $S_B$, удельные сопротивления $\\rho_A$ и $\\rho_B$, коэффициенты теплопроводности $k_A$ и $k_B$. Нижние концы стержней подключены к нагрузке $R_L$. Параметры термопары таковы:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"ul","children":[{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"$\\alpha$ — коэффициент Зеебека,"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"$R={\\rho_AL}/{S_A}+{\\rho_BL}/{S_B}$ — ее внутреннее сопротивление,"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"$K={k_AS_A}/{L}+{k_BS_B}/{L}$ — ее коэффициент теплопроводности."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Верхний спай термопары поддерживается при температуре $T_1$, нижний — при $T_2$, причем $T_1>T_2$. Обозначим $q_1$ полную тепловую мощность, забираемую у нагревателя ($T_1$), а $q_2$ — полную тепловую мощность, получаемую холодильником ($T_2$)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tВыразите $q_1$ и $q_2$ через параметры термопары $\\alpha, K, R$, температуры $T_1, T_2$ и силу тока $I$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tКПД термоэлектрического генератора определяется как $\\eta={P_L}/{q_1}$, где $P_L$ — мощность, выделяющаяся на нагрузке. Отношение сопротивлений нагрузки и термопары обозначается $m={R_L}/{R}$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.75"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Выразите КПД $\\eta$ генератора через параметры термопары $\\alpha$, $K$, $R$, температуры $T_1$, $T_2$ и отношение сопротивлений $m$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tПри производстве термоэлектрических генераторов необходимо удовлетворить следующим условиям:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"ol","children":[{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"минимизировать сопротивление, чтобы уменьшить выделение джоулева тепла;"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"обеспечить низкую теплопроводность, чтобы уменьшить теплопередачу между спаями, и"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"сохранять большую разность температур."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Совместно это характеризуется показателем качества термопары $Z={\\alpha^2}/{KR}$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.25"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tВыразите КПД $\\eta$ генератора через $Z$, КПД идеального цикла Карно $\\eta_c={(T_1-T_2)}/{T_1}$, температуру $T_1$ и $m$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть D. Максимальный КПД генератора (1.25 балла)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            D1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.25"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tОбозначим $\\eta_P$ КПД генератора, когда на нагрузке выделяется максимальная мощность $P_L=P_{\\mathrm{max}}$. Выразите $\\eta_P$ через $Z$, $T_1$, $T_2$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            D2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.75"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tКПД генератора достигает максимума $\\eta=\\eta_{\\mathrm{max}}$ при некотором значении отношения сопротивлений $m=M$. Выразите это $M$ через $Z$, $T_1$, $T_2$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            D3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.25"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tВыразите максимальный КПД $\\eta_{\\mathrm{max}}$ через $Z$, $M$, $T_1$, $T_2$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть E. Максимальный показатель качества термопары (0.75 балла)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tУвеличение показателя качества термопары приводит к увеличению КПД генератора. При производстве термопар площади поперечного сечения $S_A$ и $S_B$ проводников подбираются так, что показатель качества получается максимальным $Z=Z_m$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            E1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tНайдите отношение площадей поперечного сечения $S_A/S_B$ проводников, когда показатель качества термопары максимален. Ответ выразите через $\\rho_A$, $\\rho_B$, $k_A$, $k_B$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            E2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.25"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tВыразите максимальный показатель качества термопары $Z_m$ через $\\alpha$, $\\rho_A$, $\\rho_B$, $k_A$, $k_B$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть F. Оптимальный КПД генератора (0.75 балла)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tЕсли показатель качества термопары и электрическая мощность, выделяющаяся на нагрузке, максимальны одновременно, то такой режим работы генератора называется оптимальным. Обозначим $\\eta_{opt}$ КПД такого генератора."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Пусть нагреватель имеет температуру $T_1=423~К$, а холодильник — $T_2=303~К$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            F1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tВычислите значение $\\eta_{opt}$ термоэлектрического генератора, который изготовлен из материалов, характеристики которых приведены в Таблице 1."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Сравните вычисленное значение с КПД идеальной тепловой машины $\\eta_c$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            F2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.25"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tВычислите значение максимального КПД $\\eta_{\\mathrm{max}}$ термоэлектрического генератора, изготовленного из указанных материалов."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Термоэлектрический холодильник"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть G (0.75 балла)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tТермопара с параметрами $\\alpha$, $K$, $R$, определенными в части "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"C. Термоэлектрический генератор"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"text","text":", используется как холодильник (рис. 5)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Верхний спай термопары соприкасается с теплым резервуаром начальной температуры $T_1$. Резервуар теплоизолирован от окружающей среды, и его хотят охлаждать. Нижние концы проводников всегда поддерживаются при температуре $T_2$ и подключены к источнику тока. Направление тока, текущего через спай термопары, такое, что у верхнего, теплого, резервуара теплота поглощается, а выделяется внизу."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/0b251bbb9a80b1c02205.webp","alt":"apho-2018-t3 statement: original source diagram 5"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 5. Термоэлектрический холодильник.\n\n1) Изолированный теплый резервуар ($T_1$)\n\n2) Холодный резервуар ($T_2$)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            G1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.25"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\t$q_C$ — это полная тепловая мощность, которая отбирается от теплого резервуара. Выразите $q_C$ через параметры термопары $\\alpha$, $K$, $R$ и $T_1$, $T_2$, $I$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            G2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tНайдите максимальную разность температур $\\Delta T_{\\max}=T_2-T_{1\\min}$, которой можно достичь, используя термоэлектрический холодильник. Ответ выразите через показатель качества термопары $Z$ и наинизшую температуру $T_{1\\min}$ верхнего резервуара, до которой его можно охладить."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть H (0.75 балла)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tТермопара изготовлена из материалов $A$ и $B$ с наилучшим показателем качества $Z_m$ (найденным в части "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"А"}]},{"type":"text","text":"). Эта термопара используется в качестве холодильника.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            H1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.25"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tНайдите и рассчитайте численное значение минимальной температуры $T_{1\\min}$ верхнего резервуара, если нижние концы поддерживаются при температуре $T_2=300~К$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            H2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tНайдите и рассчитайте численное значение рабочей силы тока $I_w$ холодильника, когда верхний резервуар можно охладить до минимальной температуры $T_{1\\min}$. Нижние концы поддерживаются при температуре $T_2=300~ К$. Считайте, что площади поперечного сечения равны $S_A=S_B=10^{-4}~м^2$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть I. Холодильный коэффициент (1 балл)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tКогда разность температур меньше своего возможного максимального значения $\\Delta{T_{\\max}}$, вводится холодильный коэффициент. Он определяется как $\\beta={q_C}/{P}$, где $P$ — подводимая электрическая мощность."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            I1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tВыразите холодильный коэффициент $\\beta$ через параметры термопары $\\alpha$, $K$, $R$ и $T_1$, $T_2$, $I$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            I2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.25"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tКогда холодильный коэффициент достигает максимального значения $\\beta_{\\mathrm{max}}$, сила тока, текущего через термопару, равна $I_{\\beta}$. Выразите $I_{\\beta}$ через параметры термопары $\\alpha$, $k$, $R$ и $T_1$, $T_2$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            I3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.25"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tНайдите максимальное значение холодильного коэффициента $\\beta_{\\mathrm{max}}$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]}],"text":"В этой задаче мы рассмотрим три основных термоэлектрических эффекта: закон Джоуля-Ленца, эффекты Зеебека и Пельтье. Закон Джоуля-Ленца. При направленном движении носителей заряда они передают часть энергии в колебательное движение кристаллической решетки, поэтому кристалл нагревается. Этот процесс — необратимый. Эффект Зеебека наблюдается в термопаре, состоящей из двух разных проводников $A$ и $B$, спаянных друг с другом (рис. 1а) либо соединенных через промежуточный материал $C$ (рис. 1b). Когда спаи термопары поддерживаются при разных температурах $T_1$ и $T_2$ (рис. 1), в системе возникает ЭДС\\[\\epsilon=\\alpha(T_1-T_2),\\]где $\\alpha$ — коэффициент Зеебека термопары и считается, что он не зависит от температуры. Рис. 1\n\na) Два спая термопары\n\nb) Соединение проводников через промежуточный материал:\n\n1) Нагреватель ($T_1$)\n\n2) Холодильник ($T_2$) Эффект Пельтье. Если через термопару пропустить ток, то, в зависимости от направления, куда он течет, на спае может выделяться или поглощаться тепло. Соединение проводников термопары может быть как прямым (рис. 2а), так и через промежуточный материал (рис. 2b). Выделяемая (или поглощаемая) на спаях мощность $q$ записывается следующим образом:\\[q=\\pi I,\\]где $\\pi$ — коэффициент Пельтье. Эффекты Зеебека и Пельтье — обратимые. Цепь, показанная на рисунке 2b, может использоваться как холодильник, причем тепло отбирается у одного из спаев и выделяется на другом. Излучением, конвекцией и теплопроводностью можно пренебречь. Вся теплопередача происходит внутри тепловых резервуаров и термопары. Рис. 2\n\na) Два спая термопары\n\nb) Соединение проводников через промежуточный материал Для численных расчетов в Таблицах 1 и 2 приведены значения тепловых и электрических характеристик материалов. Название Материал Удельное сопротивление $\\rho$ ($Ом \\cdot м$) Коэффициент теплопроводности $k$ ($Вт \\cdot м^{-1}\\cdot К^{-1}$) A $\\text{Bi}_2\\text{Te}_{2.7}\\text{Se}_{0.3}$ $1.0\\cdot10^{-5}$ $1.4$ B $\\text{Bi}_{0.5}\\text{Sb}_{1.5}\\text{Te}_3$ $1.0\\cdot10^{-5}$ $1.4$ Термопара AB Длина ($м$) Коэффициент Зеебека $\\alpha$ ($мкВ \\cdot К^{-1}$) $0.02$ $420$ Теплопроводность и термоэлектрический генератор Часть A. Теплопроводность в однородном проводнике (1.75 баллов) Вдоль однородного проводника течет ток силой $I$ (рис. 3). Удельное сопротивление материала $\\rho$, коэффициент теплопроводности $k$. Координаты концов проводника: $x=0$ и $x=L$. Температуры концов проводника поддерживаются постоянными и равными $T_1$ при $x=0$ и $T_2$ при $x=L$ ($T_1>T_2$). Рис. 3 Тепловой поток $q(x)$, т.е. количество теплоты, проходящее по нормали к площадке $S$ в единицу времени, описывается законом Фурье (одномерный случай):$$q(x)=-kS\\frac{\\mathrm dT(x)}{\\mathrm dx},$$где $k$ — коэффициент теплопроводности, а $S$ — площадь поперечного сечения. A1 0.75 Найдите распределение температуры $T(x)$ вдоль стержня. Считайте, что распределение стационарно, а также что нет потерь тепла в окружающую среду. Примечание. Уравнение вида ${\\mathrm d^2T(x)}/{\\mathrm dx^2}=a$ имеет решение вида:\\[T(x)=\\frac{1}{2}ax^2+C_1x+C_2,\\]где $C_1$ и $C_2$ — постоянные, определяемые из граничных условий. A2 1.00 Найдите тепловой поток $q(x)$ в произвольной точке $x$, а также рассчитайте его на концах: $q(0)$ и $q(L)$. Часть B. Связь коэффициентов Зеебека и Пельтье (1.5 балла) Рассмотрим термопару (рис. 1b), у которой коэффициент Зеебека равен $\\alpha$. Ее коэффициенты Пельтье равны $\\pi_1$ и $\\pi_2$ на горячем ($T_1$) и холодном ($T_2$) спаях термопары соответственно. Выделением джоулева тепла можно пренебречь. Считайте, что электронный газ в проводниках термопары совершает идеальный цикл. B1 0.25 Какую тепловую мощность $q_1$ получает газ от нагревателя температурой $T_1$? B2 0.25 Какую тепловую мощность $q_2$ газ отдает холодильнику температурой $T_2$? B3 0.50 Какая полная электрическая полезная мощность $P$ производится электронным газом, если коэффициент Зеебека равен $\\alpha$? B4 0.50 Выразите коэффициент Пельтье $\\pi$ на спае термопары через коэффициент Зеебека $\\alpha$ и температуру спая $T$. Часть C. Термоэлектрический генератор (1.5 балла) Рис. 4. Термоэлектрический генератор\n\n1) Нагреватель ($T_1$)\n\n2) холодильник ($T_2$) Внимание! Здесь и далее коэффициент Пельтье $\\pi$ примите равным $\\alpha T$. Также везде нужно будет учитывать выделяющееся джоулево тепло. Термопара состоит из двух проводников $A$ и $B$ одинаковой длины $L$ (рис. 4). Параметры проводников, соответственно, равны: площади поперечного сечения $S_A$ и $S_B$, удельные сопротивления $\\rho_A$ и $\\rho_B$, коэффициенты теплопроводности $k_A$ и $k_B$. Нижние концы стержней подключены к нагрузке $R_L$. Параметры термопары таковы: $\\alpha$ — коэффициент Зеебека, $R={\\rho_AL}/{S_A}+{\\rho_BL}/{S_B}$ — ее внутреннее сопротивление, $K={k_AS_A}/{L}+{k_BS_B}/{L}$ — ее коэффициент теплопроводности. Верхний спай термопары поддерживается при температуре $T_1$, нижний — при $T_2$, причем $T_1>T_2$. Обозначим $q_1$ полную тепловую мощность, забираемую у нагревателя ($T_1$), а $q_2$ — полную тепловую мощность, получаемую холодильником ($T_2$). C1 0.50 Выразите $q_1$ и $q_2$ через параметры термопары $\\alpha, K, R$, температуры $T_1, T_2$ и силу тока $I$. КПД термоэлектрического генератора определяется как $\\eta={P_L}/{q_1}$, где $P_L$ — мощность, выделяющаяся на нагрузке. Отношение сопротивлений нагрузки и термопары обозначается $m={R_L}/{R}$. C2 0.75 Выразите КПД $\\eta$ генератора через параметры термопары $\\alpha$, $K$, $R$, температуры $T_1$, $T_2$ и отношение сопротивлений $m$. При производстве термоэлектрических генераторов необходимо удовлетворить следующим условиям: минимизировать сопротивление, чтобы уменьшить выделение джоулева тепла; обеспечить низкую теплопроводность, чтобы уменьшить теплопередачу между спаями, и сохранять большую разность температур. Совместно это характеризуется показателем качества термопары $Z={\\alpha^2}/{KR}$. C3 0.25 Выразите КПД $\\eta$ генератора через $Z$, КПД идеального цикла Карно $\\eta_c={(T_1-T_2)}/{T_1}$, температуру $T_1$ и $m$. Часть D. Максимальный КПД генератора (1.25 балла) D1 0.25 Обозначим $\\eta_P$ КПД генератора, когда на нагрузке выделяется максимальная мощность $P_L=P_{\\mathrm{max}}$. Выразите $\\eta_P$ через $Z$, $T_1$, $T_2$. D2 0.75 КПД генератора достигает максимума $\\eta=\\eta_{\\mathrm{max}}$ при некотором значении отношения сопротивлений $m=M$. Выразите это $M$ через $Z$, $T_1$, $T_2$. D3 0.25 Выразите максимальный КПД $\\eta_{\\mathrm{max}}$ через $Z$, $M$, $T_1$, $T_2$. Часть E. Максимальный показатель качества термопары (0.75 балла) Увеличение показателя качества термопары приводит к увеличению КПД генератора. При производстве термопар площади поперечного сечения $S_A$ и $S_B$ проводников подбираются так, что показатель качества получается максимальным $Z=Z_m$. E1 0.50 Найдите отношение площадей поперечного сечения $S_A/S_B$ проводников, когда показатель качества термопары максимален. Ответ выразите через $\\rho_A$, $\\rho_B$, $k_A$, $k_B$. E2 0.25 Выразите максимальный показатель качества термопары $Z_m$ через $\\alpha$, $\\rho_A$, $\\rho_B$, $k_A$, $k_B$. Часть F. Оптимальный КПД генератора (0.75 балла) Если показатель качества термопары и электрическая мощность, выделяющаяся на нагрузке, максимальны одновременно, то такой режим работы генератора называется оптимальным. Обозначим $\\eta_{opt}$ КПД такого генератора. Пусть нагреватель имеет температуру $T_1=423~К$, а холодильник — $T_2=303~К$. F1 0.50 Вычислите значение $\\eta_{opt}$ термоэлектрического генератора, который изготовлен из материалов, характеристики которых приведены в Таблице 1. Сравните вычисленное значение с КПД идеальной тепловой машины $\\eta_c$. F2 0.25 Вычислите значение максимального КПД $\\eta_{\\mathrm{max}}$ термоэлектрического генератора, изготовленного из указанных материалов. Термоэлектрический холодильник Часть G (0.75 балла) Термопара с параметрами $\\alpha$, $K$, $R$, определенными в части C. Термоэлектрический генератор , используется как холодильник (рис. 5). Верхний спай термопары соприкасается с теплым резервуаром начальной температуры $T_1$. Резервуар теплоизолирован от окружающей среды, и его хотят охлаждать. Нижние концы проводников всегда поддерживаются при температуре $T_2$ и подключены к источнику тока. Направление тока, текущего через спай термопары, такое, что у верхнего, теплого, резервуара теплота поглощается, а выделяется внизу. Рис. 5. Термоэлектрический холодильник.\n\n1) Изолированный теплый резервуар ($T_1$)\n\n2) Холодный резервуар ($T_2$) G1 0.25 $q_C$ — это полная тепловая мощность, которая отбирается от теплого резервуара. Выразите $q_C$ через параметры термопары $\\alpha$, $K$, $R$ и $T_1$, $T_2$, $I$. G2 0.50 Найдите максимальную разность температур $\\Delta T_{\\max}=T_2-T_{1\\min}$, которой можно достичь, используя термоэлектрический холодильник. Ответ выразите через показатель качества термопары $Z$ и наинизшую температуру $T_{1\\min}$ верхнего резервуара, до которой его можно охладить. Часть H (0.75 балла) Термопара изготовлена из материалов $A$ и $B$ с наилучшим показателем качества $Z_m$ (найденным в части А ). Эта термопара используется в качестве холодильника. H1 0.25 Найдите и рассчитайте численное значение минимальной температуры $T_{1\\min}$ верхнего резервуара, если нижние концы поддерживаются при температуре $T_2=300~К$. H2 0.50 Найдите и рассчитайте численное значение рабочей силы тока $I_w$ холодильника, когда верхний резервуар можно охладить до минимальной температуры $T_{1\\min}$. Нижние концы поддерживаются при температуре $T_2=300~ К$. Считайте, что площади поперечного сечения равны $S_A=S_B=10^{-4}~м^2$. Часть I. Холодильный коэффициент (1 балл) Когда разность температур меньше своего возможного максимального значения $\\Delta{T_{\\max}}$, вводится холодильный коэффициент. Он определяется как $\\beta={q_C}/{P}$, где $P$ — подводимая электрическая мощность. I1 0.50 Выразите холодильный коэффициент $\\beta$ через параметры термопары $\\alpha$, $K$, $R$ и $T_1$, $T_2$, $I$. I2 0.25 Когда холодильный коэффициент достигает максимального значения $\\beta_{\\mathrm{max}}$, сила тока, текущего через термопару, равна $I_{\\beta}$. Выразите $I_{\\beta}$ через параметры термопары $\\alpha$, $k$, $R$ и $T_1$, $T_2$. I3 0.25 Найдите максимальное значение холодильного коэффициента $\\beta_{\\mathrm{max}}$.\n","figures":["/corpus/figures/c9566af62c3a532208f9.webp","/corpus/figures/4ae86c27969b7d395428.webp","/corpus/figures/83e0d356d70383dfc408.webp","/corpus/figures/2fc2ab24f1d48a06635f.webp","/corpus/figures/0b251bbb9a80b1c02205.webp"],"shared":false},"solution":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.75"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tНайдите распределение температуры $T(x)$ вдоль стержня. Считайте, что распределение стационарно, а также что нет потерь тепла в окружающую среду."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"Примечание. "}]},{"type":"text","text":"Уравнение вида ${\\mathrm d^2T(x)}/{\\mathrm dx^2}=a$ имеет решение вида:\\[T(x)=\\frac{1}{2}ax^2+C_1x+C_2,\\]где $C_1$ и $C_2$ — постоянные, определяемые из граничных условий."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tНайдите тепловой поток $q(x)$ в произвольной точке $x$, а также рассчитайте его на концах: $q(0)$ и $q(L)$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.25"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tКакую тепловую мощность $q_1$ получает газ от нагревателя температурой $T_1$?"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.25"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tКакую тепловую мощность $q_2$ газ отдает холодильнику температурой $T_2$?"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tКакая полная электрическая полезная мощность $P$ производится электронным газом, если коэффициент Зеебека равен $\\alpha$?"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B4\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tВыразите коэффициент Пельтье $\\pi$ на спае термопары через коэффициент Зеебека $\\alpha$ и температуру спая $T$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tВыразите $q_1$ и $q_2$ через параметры термопары $\\alpha, K, R$, температуры $T_1, T_2$ и силу тока $I$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.75"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Выразите КПД $\\eta$ генератора через параметры термопары $\\alpha$, $K$, $R$, температуры $T_1$, $T_2$ и отношение сопротивлений $m$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.25"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tВыразите КПД $\\eta$ генератора через $Z$, КПД идеального цикла Карно $\\eta_c={(T_1-T_2)}/{T_1}$, температуру $T_1$ и $m$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                D1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.25"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tОбозначим $\\eta_P$ КПД генератора, когда на нагрузке выделяется максимальная мощность $P_L=P_{\\mathrm{max}}$. Выразите $\\eta_P$ через $Z$, $T_1$, $T_2$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                D2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.75"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tКПД генератора достигает максимума $\\eta=\\eta_{\\mathrm{max}}$ при некотором значении отношения сопротивлений $m=M$. Выразите это $M$ через $Z$, $T_1$, $T_2$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                D3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.25"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tВыразите максимальный КПД $\\eta_{\\mathrm{max}}$ через $Z$, $M$, $T_1$, $T_2$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                E1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tНайдите отношение площадей поперечного сечения $S_A/S_B$ проводников, когда показатель качества термопары максимален. Ответ выразите через $\\rho_A$, $\\rho_B$, $k_A$, $k_B$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                E2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.25"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tВыразите максимальный показатель качества термопары $Z_m$ через $\\alpha$, $\\rho_A$, $\\rho_B$, $k_A$, $k_B$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                F1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tВычислите значение $\\eta_{opt}$ термоэлектрического генератора, который изготовлен из материалов, характеристики которых приведены в Таблице 1."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Сравните вычисленное значение с КПД идеальной тепловой машины $\\eta_c$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                F2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.25"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tВычислите значение максимального КПД $\\eta_{\\mathrm{max}}$ термоэлектрического генератора, изготовленного из указанных материалов."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                G1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.25"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\t$q_C$ — это полная тепловая мощность, которая отбирается от теплого резервуара. Выразите $q_C$ через параметры термопары $\\alpha$, $K$, $R$ и $T_1$, $T_2$, $I$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                G2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tНайдите максимальную разность температур $\\Delta T_{\\max}=T_2-T_{1\\min}$, которой можно достичь, используя термоэлектрический холодильник. Ответ выразите через показатель качества термопары $Z$ и наинизшую температуру $T_{1\\min}$ верхнего резервуара, до которой его можно охладить."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                H1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.25"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tНайдите и рассчитайте численное значение минимальной температуры $T_{1\\min}$ верхнего резервуара, если нижние концы поддерживаются при температуре $T_2=300~К$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                H2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tНайдите и рассчитайте численное значение рабочей силы тока $I_w$ холодильника, когда верхний резервуар можно охладить до минимальной температуры $T_{1\\min}$. Нижние концы поддерживаются при температуре $T_2=300~ К$. Считайте, что площади поперечного сечения равны $S_A=S_B=10^{-4}~м^2$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                I1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tВыразите холодильный коэффициент $\\beta$ через параметры термопары $\\alpha$, $K$, $R$ и $T_1$, $T_2$, $I$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                I2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.25"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tКогда холодильный коэффициент достигает максимального значения $\\beta_{\\mathrm{max}}$, сила тока, текущего через термопару, равна $I_{\\beta}$. Выразите $I_{\\beta}$ через параметры термопары $\\alpha$, $k$, $R$ и $T_1$, $T_2$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                I3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.25"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tНайдите максимальное значение холодильного коэффициента $\\beta_{\\mathrm{max}}$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]}],"text":"A1 0.75 Найдите распределение температуры $T(x)$ вдоль стержня. Считайте, что распределение стационарно, а также что нет потерь тепла в окружающую среду. Примечание. Уравнение вида ${\\mathrm d^2T(x)}/{\\mathrm dx^2}=a$ имеет решение вида:\\[T(x)=\\frac{1}{2}ax^2+C_1x+C_2,\\]где $C_1$ и $C_2$ — постоянные, определяемые из граничных условий.\nA2 1.00 Найдите тепловой поток $q(x)$ в произвольной точке $x$, а также рассчитайте его на концах: $q(0)$ и $q(L)$.\nB1 0.25 Какую тепловую мощность $q_1$ получает газ от нагревателя температурой $T_1$?\nB2 0.25 Какую тепловую мощность $q_2$ газ отдает холодильнику температурой $T_2$?\nB3 0.50 Какая полная электрическая полезная мощность $P$ производится электронным газом, если коэффициент Зеебека равен $\\alpha$?\nB4 0.50 Выразите коэффициент Пельтье $\\pi$ на спае термопары через коэффициент Зеебека $\\alpha$ и температуру спая $T$.\nC1 0.50 Выразите $q_1$ и $q_2$ через параметры термопары $\\alpha, K, R$, температуры $T_1, T_2$ и силу тока $I$.\nC2 0.75 Выразите КПД $\\eta$ генератора через параметры термопары $\\alpha$, $K$, $R$, температуры $T_1$, $T_2$ и отношение сопротивлений $m$.\nC3 0.25 Выразите КПД $\\eta$ генератора через $Z$, КПД идеального цикла Карно $\\eta_c={(T_1-T_2)}/{T_1}$, температуру $T_1$ и $m$.\nD1 0.25 Обозначим $\\eta_P$ КПД генератора, когда на нагрузке выделяется максимальная мощность $P_L=P_{\\mathrm{max}}$. Выразите $\\eta_P$ через $Z$, $T_1$, $T_2$.\nD2 0.75 КПД генератора достигает максимума $\\eta=\\eta_{\\mathrm{max}}$ при некотором значении отношения сопротивлений $m=M$. Выразите это $M$ через $Z$, $T_1$, $T_2$.\nD3 0.25 Выразите максимальный КПД $\\eta_{\\mathrm{max}}$ через $Z$, $M$, $T_1$, $T_2$.\nE1 0.50 Найдите отношение площадей поперечного сечения $S_A/S_B$ проводников, когда показатель качества термопары максимален. Ответ выразите через $\\rho_A$, $\\rho_B$, $k_A$, $k_B$.\nE2 0.25 Выразите максимальный показатель качества термопары $Z_m$ через $\\alpha$, $\\rho_A$, $\\rho_B$, $k_A$, $k_B$.\nF1 0.50 Вычислите значение $\\eta_{opt}$ термоэлектрического генератора, который изготовлен из материалов, характеристики которых приведены в Таблице 1. Сравните вычисленное значение с КПД идеальной тепловой машины $\\eta_c$.\nF2 0.25 Вычислите значение максимального КПД $\\eta_{\\mathrm{max}}$ термоэлектрического генератора, изготовленного из указанных материалов.\nG1 0.25 $q_C$ — это полная тепловая мощность, которая отбирается от теплого резервуара. Выразите $q_C$ через параметры термопары $\\alpha$, $K$, $R$ и $T_1$, $T_2$, $I$.\nG2 0.50 Найдите максимальную разность температур $\\Delta T_{\\max}=T_2-T_{1\\min}$, которой можно достичь, используя термоэлектрический холодильник. Ответ выразите через показатель качества термопары $Z$ и наинизшую температуру $T_{1\\min}$ верхнего резервуара, до которой его можно охладить.\nH1 0.25 Найдите и рассчитайте численное значение минимальной температуры $T_{1\\min}$ верхнего резервуара, если нижние концы поддерживаются при температуре $T_2=300~К$.\nH2 0.50 Найдите и рассчитайте численное значение рабочей силы тока $I_w$ холодильника, когда верхний резервуар можно охладить до минимальной температуры $T_{1\\min}$. Нижние концы поддерживаются при температуре $T_2=300~ К$. Считайте, что площади поперечного сечения равны $S_A=S_B=10^{-4}~м^2$.\nI1 0.50 Выразите холодильный коэффициент $\\beta$ через параметры термопары $\\alpha$, $K$, $R$ и $T_1$, $T_2$, $I$.\nI2 0.25 Когда холодильный коэффициент достигает максимального значения $\\beta_{\\mathrm{max}}$, сила тока, текущего через термопару, равна $I_{\\beta}$. Выразите $I_{\\beta}$ через параметры термопары $\\alpha$, $k$, $R$ и $T_1$, $T_2$.\nI3 0.25 Найдите максимальное значение холодильного коэффициента $\\beta_{\\mathrm{max}}$.","figures":[],"shared":false}},{"id":"apho-2017-t1","importedOn":"2026-10-28","language":"ru","sources":[{"url":"https://pho.rs/p/3442","kind":"statement"},{"url":"https://pho.rs/p/3442/s","kind":"solution"}],"statement":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Введение"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tСверхтекучесть — это свойство жидкости течь без трения. Повседневный опыт говорит нам, что при движении обычной жидкости (например, воды при комнатной температуре) всегда возникает вязкое трение, приводящее к диссипации энергии так, что поток постепенно замедляется, если он не поддерживается внешними силами. Напротив, сверхтекучая жидкость не теряет кинетической энергии: однажды возбужденное движение сверхтекучей жидкости может продолжаться бесконечно долго. Сверхтекучесть была первоначально экспериментально обнаружена в жидком гелии."},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Мы будем рассматривать свойства сверхтекучего гелия при нулевой температуре. Будем считать, что это несжимаемая жидкость с плотностью $\\rho$, которая обладает свойством непрерывности (масса втекающая в заданный бесконечно малый объем, и вытекающая из него, одинакова). Это позволяет утверждать, что поток вектора скорости гелия $\\vec v$ через любую замкнутую поверхность всегда равен нулю. Отсюда можно сделать вывод, что скорость сверхтекучей жидкости аналогична индукции магнитного поля. Аналогично линиям индукции магнитного поля, «линии тока» в каждой своей точке направлены по касательной к скорости и их плотность пропорциональна величине скорости."}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Истинное сверхтекучее движение является безвихревым, т.е. циркуляция вектора скорости по любому замкнутому контуру внутри гелия равна нулю \\[\\int_L \\vec v\\cdot \\mathrm{d}\\vec l = 0.\\] Однако это выражение необходимо изменить, если сверхтекучесть отсутствует вдоль тонкой <<вихревой нити>> или <<вихря>>. Толщина нити имеет приблизительно атомарные размеры $a$, вокруг нее создаются потоки жидкости на больших расстояниях (дальняя зона). Циркуляция вектора скорости вокруг такой нити равна кванту циркуляции \\[\\left|\\int_L \\vec{v} \\cdot \\mathrm{d} \\vec{l}\\right|=2 \\pi \\kappa,\\] и равна нулю если контур не охватывает ни одну вихревую нить (см. Рис. 1). Это подтверждает аналогию между полем векторов скоростей сверхтекучей жидкости и магнитным полем, создаваемым проводами с током: для полей векторов скоростей выполняется принцип суперпозиции (сумма двух полей скоростей также дает поле скоростей), и скорость в любой точке равна (с точностью до размерного коэффициента) индукции магнитного поля, создаваемого электрическими токами, текущими через систему проводов, соответствующих вихревым нитям."}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/31557c12b52e4e7eb9dc.webp","alt":"apho-2017-t1 statement: original source diagram 1"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 1. Вихревая нить (красная линия) в сверхтекучей жидкости (светло голубой фон). Значение циркуляции вектора скорости вдоль траекторий $L_1$, $L_2$, $L_5$ и $L_6$ равно нулю, циркуляция вдоль $L_3$ и $L_4$ равна $\\pm2\\pi\\kappa$. Важно отметить, что циркуляции вектора скорости вдоль траекторий $L_3$ и $L_4$ имеют разные знаки\n"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Задание А. Покоящийся вихрь"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tРассмотрим цилиндрический сосуд (радиусом $R_0\\gg a$) со сверхтекучим гелием и прямой вертикальной вихревой нитью в ее центре (см. Рис. 2)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.25"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tНарисуйте линии тока. Найдите скорость $v$ в точке с радиус-вектором $\\vec r$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tНайдите форму свободной поверхности, которая образуется вокруг вихревой нити, т.е. зависимость высоты от расстояния до оси $z(\\vec r)$. Ускорение свободного падения $g$. Поверхностным натяжением можно пренебречь."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/15b8992b685fe7d13c01.webp","alt":"apho-2017-t1 statement: original source diagram 2"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 2. Вихревая нить вдоль оси цилиндрического сосуда"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Задание В. Движущиеся вихри"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tСвободные вихри двигаются в пространстве вместе с потоком. Другими словами, каждый элемент вихревой нити движется со скоростью $\\vec v$, равной скорости жидкости, которая должна была быть на месте этого элемента. Для примера, рассмотрим два вихря, вращающихся противоположно друг другу и расположенных на некотором заданном начальном расстоянии $r_0$ друг от друга (см. Рис. 3). Каждый вихрь создает движение жидкости со скоростью $v_0=\\kappa/r_0$ в точке, в которой располагается ось другого вихря. В результате, эти два вихря движутся прямолинейно и с постоянной скоростью $v_0=\\kappa/r_0$, поэтому расстояние между ними не изменяется."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/4dc59ee51d71a055c30d.webp","alt":"apho-2017-t1 statement: original source diagram 3"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 3. Параллельно движущиеся вихри с противоположной циркуляцией"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.25"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tРассмотрим два одинаковых вихря, которые вначале расположены на расстоянии $r_0$ друг от друга, как показано на Рис. 4. Найдите начальные скорости вихрей и изобразите их траектории."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/466110e609b971c2993a.webp","alt":"apho-2017-t1 statement: original source diagram 4"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 4. Две параллельные вихревые нити с одинаковыми циркуляции"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tЦилиндрическая емкость с гелием (см. Задание "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"A"}]},{"type":"text","text":"), заполнена треугольной решеткой ($u\\ll R_0$) из одинаковых вертикальных вихревых нитей (см. Рис. 5).\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/71f7087d2ce2a0efab4c.webp","alt":"apho-2017-t1 statement: original source diagram 5"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 5. Треугольная решетка вихрей в цилиндрическом сосуде. Вид сверху"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.15"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tНарисуйте траектории вихрей $\\mathrm A$, $\\mathrm B$ и $\\mathrm C$ (расположенного в центре)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.40"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tНайдите скорость $v(\\vec r)$ вихря расположенного в точке с радиус-вектором $\\vec r$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B4\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.35"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tНайдите зависимость расстояния $\\mathrm A\\mathrm B(t)$ между вихрями $\\mathrm  A$ и $\\mathrm B$ от времени $t$. Считайте $\\mathrm A\\mathrm B(0)$ в начальный момент времени заданным."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B5\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.25"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tНайдите сглаженную форму свободной поверхности гелия $z(\\vec r)$, не учитывая решетчатую структуру.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Задание С. Импульс и энергия"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tПоле скоростей в дальней зоне, т.е. расположенных на расстоянии намного большем, чем размер вихря дает основной вклад в энергию системы вихрей. Поэтому она нечувствительна к точной структуре вихревых нитей. Сама вихревая нить не может быть правильно описана макроскопической теорией, поэтому мы считаем, что возникающие сингулярности (бесконечности) несущественны. В действительности, величиной энергии внутри тонкой трубки с радиусом $a$ вокруг вихревой нити можно пренебречь. Вне этой трубки плотность кинетической энергии сверхтекучей жидкости $\\rho v^2/2$ (где $\\rho = \\mathrm{const}$) подобна плотности энергии магнитного поля $B^2/(2\\mu_0)$ — они обе квадратичны по соответствующим переменным. Эта аналогия вместе с соответствием между магнитным полем и скоростью сверхтекучей жидкости, а также вихревыми нитями и токами, облегчает расчет кинетической энергии для заданной системы. Например, для случая круговой проволочной петли c током радиусом $R$ с радиусом провода $a$ величина индуктивности $L \\approx \\mu_0 R \\log (R / a)$, отсюда мы получаем энергию сверхтекучей вихревой петли (вихревого кольца) $$U \\approx 2 R \\rho \\pi^2 \\kappa^2 \\log (R / a).$$ Полный импульс жидкости также определяется распределением скоростей в дальней зоне. Он получается интегрированием плотности импульса $\\rho\\vec v$. Снова рассмотрим поток, созданный вихревым кольцом, расположенной в плоскости $xy$. Из соображений симметрии очевидно, что полный импульс имеет компоненту отличную от нуля только вдоль оси $z$: $$ P=\\int \\rho v_z \\mathrm{d} V=\\rho \\iint \\underbrace{\\left(\\int v_z \\mathrm{d}z\\right)}_{q(x, y)} \\mathrm{d}x \\mathrm{d}y.$$ Внутреннее интегрирование это интегрирование вдоль линий направленных параллельно оси $z$ (см. Рис. 6). Из тождества $$ \\left|\\int_L \\vec{v} \\cdot \\mathrm{d} \\vec{l}\\right|=2 \\pi \\kappa,$$ следует, что внутренний интеграл $$ q(x, y)=\\int_{L(x, y)} \\vec{v} \\cdot \\mathrm{d} \\vec{l} $$ может принимать только два значения, а именно ноль — для линий проходящих вне кольца и $2\\pi\\kappa$ для линий проходящих внутри кольца. Поэтому полный импульс равен $$P=\\rho \\cdot \\pi R^2 \\cdot 2 \\pi \\kappa=2 \\pi^2 \\rho R^2 \\kappa.$$\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/d50661e825751437766f.webp","alt":"apho-2017-t1 statement: original source diagram 6"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 6. Поле скоростей для вихревого кольца и линии интегрирования (обозначены зеленым цветом) для вычисления $q(x,y)$\n"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/22879537d3aadf79bdc7.webp","alt":"apho-2017-t1 statement: original source diagram 7"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 7. Вихревая петля в форме близкой к прямоугольной, $b\\ll d$"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.30"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tРассмотрим вихревую петлю в форме близкой к прямоугольнику с размерами $b\\times d, b\\ll d$, (см. Рис. 7 выше). Укажите направление ее полного импульса $\\vec P$. Найдите величину полного импульса."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.70"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tНайдите энергию этой петли $U$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.75"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tПредположим, что мы сдвинули длинную прямую вихревую нить на расстояние $b$ в направлении оси $x$, (см. Рис. 8). Насколько изменился полный импульс жидкости? Укажите направление изменения полного импульса жидкости. Длина нити (ограниченная стенками сосуда) равна $d$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/2b1d8cb655f887849e8b.webp","alt":"apho-2017-t1 statement: original source diagram 8"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 8. Импульс изменяется всегда, когда вихрь смещается относительно жидкости"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Задание D. Захваченные заряды"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tЕсли электроны поместить в гелий, то они будут «захвачены» в вихревую нить. Здесь и далее пренебрегаем диэлектрической проницаемостью гелия $(\\epsilon=1)$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/00238773ab1fdd48e768.webp","alt":"apho-2017-t1 statement: original source diagram 9"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 9. Прямая вихревая нить в однородном электрическом поле"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            D1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tРассмотрим прямую вихревую нить, заряженную с постоянной линейной плотностью $\\lambda<0$ и помещенную в однородное электрическое поле $\\vec E$. Изобразите траекторию движения нити. Найдите зависимость ее скорости от времени."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tВихревое кольцо радиуса $R_0$, первоначально с однородно распределенным зарядом с линейной плотностью $\\lambda<0$ помещена в однородное электрическое поле $\\vec E$ перпендикулярное к ее плоскости и направленное противоположно вектору полного импульса $\\vec P_0$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/1a84b00a93f7d2af63be.webp","alt":"apho-2017-t1 statement: original source diagram 10"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 10.\n\n(Слева) Вихревое кольцо в однородном электрическом поле\n\n(Справа) Поперечное сечение кольца"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            D2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tНарисуйте траекторию движения центра вихревого кольца $C$. Найдите зависимость радиуса кольца от времени."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            D3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tНайдите зависимость скорости центра кольца $v(t)$ от времени."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            D4\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.25"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tВ некоторый момент времени $t^*$, когда скорость достигает значения $v^*=v(t^*)$, электрическое поле выключают. Найдите скорость $v(t)$ вихревого кольца в моменты времени $t>t^*$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Задание E. Влияние границ"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tТвердые стенки изменяют поле скоростей, создаваемое вихревой нитью, потому что жидкость не может протекать сквозь них. Математически это означает, что составляющая скорости, направленная перпендикулярно к стенке, обращается в ноль на ее поверхности."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/cdbbb68fd2ce71dc5df6.webp","alt":"apho-2017-t1 statement: original source diagram 11"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 11. Прямолинейная вихревая нить возле плоской стены"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            E1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tНарисуйте траекторию прямолинейного вихря, первоначально расположенного на расстоянии $h_0$ от плоской стены. Найдите зависимость скорости от времени."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tРассмотрим прямолинейный вихрь расположенный в углу на расстоянии $h_0$ от обеих плоских стенок."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/81d23d04ed86cc9044bf.webp","alt":"apho-2017-t1 statement: original source diagram 12"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 12. Прямолинейная вихревая нить в углу"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            E2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.75"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tЧему равна начальная скорость $v_0$ вихря?"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            E3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tИзобразите траекторию вихря."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            E4\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tЧему равна скорость вихря $v_{\\infty}$ спустя очень большой промежуток времени?"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]}],"text":"Введение Сверхтекучесть — это свойство жидкости течь без трения. Повседневный опыт говорит нам, что при движении обычной жидкости (например, воды при комнатной температуре) всегда возникает вязкое трение, приводящее к диссипации энергии так, что поток постепенно замедляется, если он не поддерживается внешними силами. Напротив, сверхтекучая жидкость не теряет кинетической энергии: однажды возбужденное движение сверхтекучей жидкости может продолжаться бесконечно долго. Сверхтекучесть была первоначально экспериментально обнаружена в жидком гелии. Мы будем рассматривать свойства сверхтекучего гелия при нулевой температуре. Будем считать, что это несжимаемая жидкость с плотностью $\\rho$, которая обладает свойством непрерывности (масса втекающая в заданный бесконечно малый объем, и вытекающая из него, одинакова). Это позволяет утверждать, что поток вектора скорости гелия $\\vec v$ через любую замкнутую поверхность всегда равен нулю. Отсюда можно сделать вывод, что скорость сверхтекучей жидкости аналогична индукции магнитного поля. Аналогично линиям индукции магнитного поля, «линии тока» в каждой своей точке направлены по касательной к скорости и их плотность пропорциональна величине скорости. Истинное сверхтекучее движение является безвихревым, т.е. циркуляция вектора скорости по любому замкнутому контуру внутри гелия равна нулю \\[\\int_L \\vec v\\cdot \\mathrm{d}\\vec l = 0.\\] Однако это выражение необходимо изменить, если сверхтекучесть отсутствует вдоль тонкой <<вихревой нити>> или <<вихря>>. Толщина нити имеет приблизительно атомарные размеры $a$, вокруг нее создаются потоки жидкости на больших расстояниях (дальняя зона). Циркуляция вектора скорости вокруг такой нити равна кванту циркуляции \\[\\left|\\int_L \\vec{v} \\cdot \\mathrm{d} \\vec{l}\\right|=2 \\pi \\kappa,\\] и равна нулю если контур не охватывает ни одну вихревую нить (см. Рис. 1). Это подтверждает аналогию между полем векторов скоростей сверхтекучей жидкости и магнитным полем, создаваемым проводами с током: для полей векторов скоростей выполняется принцип суперпозиции (сумма двух полей скоростей также дает поле скоростей), и скорость в любой точке равна (с точностью до размерного коэффициента) индукции магнитного поля, создаваемого электрическими токами, текущими через систему проводов, соответствующих вихревым нитям. Рис. 1. Вихревая нить (красная линия) в сверхтекучей жидкости (светло голубой фон). Значение циркуляции вектора скорости вдоль траекторий $L_1$, $L_2$, $L_5$ и $L_6$ равно нулю, циркуляция вдоль $L_3$ и $L_4$ равна $\\pm2\\pi\\kappa$. Важно отметить, что циркуляции вектора скорости вдоль траекторий $L_3$ и $L_4$ имеют разные знаки Задание А. Покоящийся вихрь Рассмотрим цилиндрический сосуд (радиусом $R_0\\gg a$) со сверхтекучим гелием и прямой вертикальной вихревой нитью в ее центре (см. Рис. 2). A1 0.25 Нарисуйте линии тока. Найдите скорость $v$ в точке с радиус-вектором $\\vec r$. A2 0.50 Найдите форму свободной поверхности, которая образуется вокруг вихревой нити, т.е. зависимость высоты от расстояния до оси $z(\\vec r)$. Ускорение свободного падения $g$. Поверхностным натяжением можно пренебречь. Рис. 2. Вихревая нить вдоль оси цилиндрического сосуда Задание В. Движущиеся вихри Свободные вихри двигаются в пространстве вместе с потоком. Другими словами, каждый элемент вихревой нити движется со скоростью $\\vec v$, равной скорости жидкости, которая должна была быть на месте этого элемента. Для примера, рассмотрим два вихря, вращающихся противоположно друг другу и расположенных на некотором заданном начальном расстоянии $r_0$ друг от друга (см. Рис. 3). Каждый вихрь создает движение жидкости со скоростью $v_0=\\kappa/r_0$ в точке, в которой располагается ось другого вихря. В результате, эти два вихря движутся прямолинейно и с постоянной скоростью $v_0=\\kappa/r_0$, поэтому расстояние между ними не изменяется. Рис. 3. Параллельно движущиеся вихри с противоположной циркуляцией B1 0.25 Рассмотрим два одинаковых вихря, которые вначале расположены на расстоянии $r_0$ друг от друга, как показано на Рис. 4. Найдите начальные скорости вихрей и изобразите их траектории. Рис. 4. Две параллельные вихревые нити с одинаковыми циркуляции Цилиндрическая емкость с гелием (см. Задание A ), заполнена треугольной решеткой ($u\\ll R_0$) из одинаковых вертикальных вихревых нитей (см. Рис. 5). Рис. 5. Треугольная решетка вихрей в цилиндрическом сосуде. Вид сверху B2 0.15 Нарисуйте траектории вихрей $\\mathrm A$, $\\mathrm B$ и $\\mathrm C$ (расположенного в центре). B3 0.40 Найдите скорость $v(\\vec r)$ вихря расположенного в точке с радиус-вектором $\\vec r$. B4 0.35 Найдите зависимость расстояния $\\mathrm A\\mathrm B(t)$ между вихрями $\\mathrm  A$ и $\\mathrm B$ от времени $t$. Считайте $\\mathrm A\\mathrm B(0)$ в начальный момент времени заданным. B5 0.25 Найдите сглаженную форму свободной поверхности гелия $z(\\vec r)$, не учитывая решетчатую структуру. Задание С. Импульс и энергия Поле скоростей в дальней зоне, т.е. расположенных на расстоянии намного большем, чем размер вихря дает основной вклад в энергию системы вихрей. Поэтому она нечувствительна к точной структуре вихревых нитей. Сама вихревая нить не может быть правильно описана макроскопической теорией, поэтому мы считаем, что возникающие сингулярности (бесконечности) несущественны. В действительности, величиной энергии внутри тонкой трубки с радиусом $a$ вокруг вихревой нити можно пренебречь. Вне этой трубки плотность кинетической энергии сверхтекучей жидкости $\\rho v^2/2$ (где $\\rho = \\mathrm{const}$) подобна плотности энергии магнитного поля $B^2/(2\\mu_0)$ — они обе квадратичны по соответствующим переменным. Эта аналогия вместе с соответствием между магнитным полем и скоростью сверхтекучей жидкости, а также вихревыми нитями и токами, облегчает расчет кинетической энергии для заданной системы. Например, для случая круговой проволочной петли c током радиусом $R$ с радиусом провода $a$ величина индуктивности $L \\approx \\mu_0 R \\log (R / a)$, отсюда мы получаем энергию сверхтекучей вихревой петли (вихревого кольца) $$U \\approx 2 R \\rho \\pi^2 \\kappa^2 \\log (R / a).$$ Полный импульс жидкости также определяется распределением скоростей в дальней зоне. Он получается интегрированием плотности импульса $\\rho\\vec v$. Снова рассмотрим поток, созданный вихревым кольцом, расположенной в плоскости $xy$. Из соображений симметрии очевидно, что полный импульс имеет компоненту отличную от нуля только вдоль оси $z$: $$ P=\\int \\rho v_z \\mathrm{d} V=\\rho \\iint \\underbrace{\\left(\\int v_z \\mathrm{d}z\\right)}_{q(x, y)} \\mathrm{d}x \\mathrm{d}y.$$ Внутреннее интегрирование это интегрирование вдоль линий направленных параллельно оси $z$ (см. Рис. 6). Из тождества $$ \\left|\\int_L \\vec{v} \\cdot \\mathrm{d} \\vec{l}\\right|=2 \\pi \\kappa,$$ следует, что внутренний интеграл $$ q(x, y)=\\int_{L(x, y)} \\vec{v} \\cdot \\mathrm{d} \\vec{l} $$ может принимать только два значения, а именно ноль — для линий проходящих вне кольца и $2\\pi\\kappa$ для линий проходящих внутри кольца. Поэтому полный импульс равен $$P=\\rho \\cdot \\pi R^2 \\cdot 2 \\pi \\kappa=2 \\pi^2 \\rho R^2 \\kappa.$$ Рис. 6. Поле скоростей для вихревого кольца и линии интегрирования (обозначены зеленым цветом) для вычисления $q(x,y)$ Рис. 7. Вихревая петля в форме близкой к прямоугольной, $b\\ll d$ C1 0.30 Рассмотрим вихревую петлю в форме близкой к прямоугольнику с размерами $b\\times d, b\\ll d$, (см. Рис. 7 выше). Укажите направление ее полного импульса $\\vec P$. Найдите величину полного импульса. C2 0.70 Найдите энергию этой петли $U$. C3 0.75 Предположим, что мы сдвинули длинную прямую вихревую нить на расстояние $b$ в направлении оси $x$, (см. Рис. 8). Насколько изменился полный импульс жидкости? Укажите направление изменения полного импульса жидкости. Длина нити (ограниченная стенками сосуда) равна $d$. Рис. 8. Импульс изменяется всегда, когда вихрь смещается относительно жидкости Задание D. Захваченные заряды Если электроны поместить в гелий, то они будут «захвачены» в вихревую нить. Здесь и далее пренебрегаем диэлектрической проницаемостью гелия $(\\epsilon=1)$. Рис. 9. Прямая вихревая нить в однородном электрическом поле D1 0.50 Рассмотрим прямую вихревую нить, заряженную с постоянной линейной плотностью $\\lambda<0$ и помещенную в однородное электрическое поле $\\vec E$. Изобразите траекторию движения нити. Найдите зависимость ее скорости от времени. Вихревое кольцо радиуса $R_0$, первоначально с однородно распределенным зарядом с линейной плотностью $\\lambda<0$ помещена в однородное электрическое поле $\\vec E$ перпендикулярное к ее плоскости и направленное противоположно вектору полного импульса $\\vec P_0$. Рис. 10.\n\n(Слева) Вихревое кольцо в однородном электрическом поле\n\n(Справа) Поперечное сечение кольца D2 0.60 Нарисуйте траекторию движения центра вихревого кольца $C$. Найдите зависимость радиуса кольца от времени. D3 1.50 Найдите зависимость скорости центра кольца $v(t)$ от времени. D4 0.25 В некоторый момент времени $t^*$, когда скорость достигает значения $v^*=v(t^*)$, электрическое поле выключают. Найдите скорость $v(t)$ вихревого кольца в моменты времени $t>t^*$. Задание E. Влияние границ Твердые стенки изменяют поле скоростей, создаваемое вихревой нитью, потому что жидкость не может протекать сквозь них. Математически это означает, что составляющая скорости, направленная перпендикулярно к стенке, обращается в ноль на ее поверхности. Рис. 11. Прямолинейная вихревая нить возле плоской стены E1 0.50 Нарисуйте траекторию прямолинейного вихря, первоначально расположенного на расстоянии $h_0$ от плоской стены. Найдите зависимость скорости от времени. Рассмотрим прямолинейный вихрь расположенный в углу на расстоянии $h_0$ от обеих плоских стенок. Рис. 12. Прямолинейная вихревая нить в углу E2 0.75 Чему равна начальная скорость $v_0$ вихря? E3 0.50 Изобразите траекторию вихря. E4 1.50 Чему равна скорость вихря $v_{\\infty}$ спустя очень большой промежуток времени?\n","figures":["/corpus/figures/31557c12b52e4e7eb9dc.webp","/corpus/figures/15b8992b685fe7d13c01.webp","/corpus/figures/4dc59ee51d71a055c30d.webp","/corpus/figures/466110e609b971c2993a.webp","/corpus/figures/71f7087d2ce2a0efab4c.webp","/corpus/figures/d50661e825751437766f.webp","/corpus/figures/22879537d3aadf79bdc7.webp","/corpus/figures/2b1d8cb655f887849e8b.webp","/corpus/figures/00238773ab1fdd48e768.webp","/corpus/figures/1a84b00a93f7d2af63be.webp","/corpus/figures/cdbbb68fd2ce71dc5df6.webp","/corpus/figures/81d23d04ed86cc9044bf.webp"],"shared":false},"solution":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.25"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tНарисуйте линии тока. Найдите скорость $v$ в точке с радиус-вектором $\\vec r$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Из соображений симметрии линии тока - круги. Из уравнения для циркуляции скорости $$v=\\frac \\kappa r$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n\n\n\n    \n        \n            "},{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/c24ce1f3a744bb11cc9a.webp","alt":"apho-2017-t1 solution: original source diagram 1"}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$v=\\frac \\kappa r$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tНайдите форму свободной поверхности, которая образуется вокруг вихревой нити, т.е. зависимость высоты от расстояния до оси $z(\\vec r)$. Ускорение свободного падения $g$. Поверхностным натяжением можно пренебречь."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Рассмотрим тонкий круговой слой радиуса $r$. Условие равновесия для его поверхности задается уравнением $$g \\frac{dz}{dr}=\\frac{v^2}{r}=\\frac{\\kappa^2}{r^3}.$$ Данному уравнению удовлетворяет поверхность с уравнением $$z(r)=z_0-\\frac{\\kappa^2}{2gr^2}$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$\\tan\\alpha=\\frac{\\kappa^2}{gr^3}$$$$z=[z_0]-\\frac{\\kappa^2}{2gr^2}$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.25"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tРассмотрим два одинаковых вихря, которые вначале расположены на расстоянии $r_0$ друг от друга, как показано на Рис. 4. Найдите начальные скорости вихрей и изобразите их траектории."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Под действием потоков друг друга, нити будут вращаться вокруг точки, расположенной между ними. Скорость задается уравнением $$v=\\kappa/r_0.$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n\n\n\n    \n        \n            "},{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/db937f892b2d41e1d172.webp","alt":"apho-2017-t1 solution: original source diagram 2"}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$v=\\kappa/r_0$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.15"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tНарисуйте траектории вихрей $\\mathrm A$, $\\mathrm B$ и $\\mathrm C$ (расположенного в центре)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n\n\n\n    \n        \n            "},{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/ec514eeb8db7914f9a6f.webp","alt":"apho-2017-t1 solution: original source diagram 3"}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.40"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tНайдите скорость $v(\\vec r)$ вихря расположенного в точке с радиус-вектором $\\vec r$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Рассмотрим круговую траекторию радиуса $r\\gg u$ вокруг центра стакана. Циркуляция вдоль нее задается количеством вихрей внутри нее (поверхностная плотность вихрей равна $(u^2\\sqrt3/2)^{-1}$): $$2 \\pi r v=2 \\pi \\kappa \\frac{\\pi r^2}{u^2 \\sqrt{3} / 2}.$$ Соответственно, скорость равна $$v=\\frac{2 \\pi \\kappa r}{u^2 \\sqrt{3}}$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"2 \\pi r v=2 \\pi \\kappa \\frac{\\pi r^2}{u^2 \\sqrt{3} / 2}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"v=\\frac{2 \\pi \\kappa r}{u^2 \\sqrt{3}}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B4\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.35"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tНайдите зависимость расстояния $\\mathrm A\\mathrm B(t)$ между вихрями $\\mathrm  A$ и $\\mathrm B$ от времени $t$. Считайте $\\mathrm A\\mathrm B(0)$ в начальный момент времени заданным."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Данное распределение скоростей соответствует вращению вихрей как единого целого вокруг центра стакана с угловой скоростью $$\\omega =\\frac{2\\pi \\kappa}{u^2 \\sqrt3}$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$\\mathrm{AB}(t)=\\mathrm{AB}(0)$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B5\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.25"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tНайдите сглаженную форму свободной поверхности гелия $z(\\vec r)$, не учитывая решетчатую структуру.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"z(r)=\\left[z_0\\right]+\\frac{\\omega^2 r^2}{2 g}=\\left[z_0\\right]+\\frac{2 \\pi^2 \\kappa^2 r^2}{3 g u^4}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.30"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tРассмотрим вихревую петлю в форме близкой к прямоугольнику с размерами $b\\times d, b\\ll d$, (см. Рис. 7 выше). Укажите направление ее полного импульса $\\vec P$. Найдите величину полного импульса."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Импульс петли перпендикулярен ее плоскости и прямо пропорционален ее площади. Для прямоугольной пели $$P=2\\pi\\kappa\\rho bd$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n\n\n\n    \n        \n            "},{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/9700bd21f45e4ce81341.webp","alt":"apho-2017-t1 solution: original source diagram 4"}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$P=2\\pi\\kappa\\rho bd$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.70"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tНайдите энергию этой петли $U$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Чтобы создать равные плотности кинетической и магнитной энергии $$\\frac{B^2}{2\\mu_0}=\\frac{\\rho v^2}{2},$$ магнитное поле должно быть равно $$B=v\\sqrt{\\mu_0\\rho}=\\frac{\\kappa\\sqrt{\\mu_0\\rho}}{r}.$$ Это поле создается током $$I=2\\pi\\kappa\\sqrt{\\frac{\\rho}{\\mu_0}}.$$ Энергия петли с током может быть найдена как $$U=\\frac{LI^2}{2}.$$ Индуктивность прямоугольной петли $$L=\\frac{\\Phi}{I}=\\frac{2d}{I}\\int_a^b \\frac{\\mu_0I}{2\\pi r}dr=\\frac{\\mu_0d}{\\pi}\\ln\\frac{b}{a}.$$ Отсюда получаем энергию $$U=2\\pi\\kappa^2\\rho d\\log\\frac ba$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$U=2\\pi\\kappa^2\\rho d\\log\\frac ba$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.75"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tПредположим, что мы сдвинули длинную прямую вихревую нить на расстояние $b$ в направлении оси $x$, (см. Рис. 8). Насколько изменился полный импульс жидкости? Укажите направление изменения полного импульса жидкости. Длина нити (ограниченная стенками сосуда) равна $d$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Изменение импульса равно импульсу длинной прямоугольной петли $$P=2\\pi\\kappa\\rho bd$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n\n\n\n    \n        \n            "},{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/1120c48d17d99252328f.webp","alt":"apho-2017-t1 solution: original source diagram 5"}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$P=2\\pi\\kappa\\rho bd$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                D1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tРассмотрим прямую вихревую нить, заряженную с постоянной линейной плотностью $\\lambda<0$ и помещенную в однородное электрическое поле $\\vec E$. Изобразите траекторию движения нити. Найдите зависимость ее скорости от времени."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Электрическая сила $$F=E\\lambda d$$ двигает нить со скоростью $$v=\\frac{F}{2 \\pi \\kappa \\rho d}=\\frac{E \\lambda}{2 \\pi \\kappa \\rho}$$ перпендикулярно $\\vec{E}$.\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n\n\n\n    \n        \n            "},{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/5990b0455133045c1f78.webp","alt":"apho-2017-t1 solution: original source diagram 6"}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"v=\\frac{F}{2 \\pi \\kappa \\rho d}=\\frac{E \\lambda}{2 \\pi \\kappa \\rho}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                D2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tНарисуйте траекторию движения центра вихревого кольца $C$. Найдите зависимость радиуса кольца от времени."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Электрическая сила, действующая на петлю $$F=-2\\pi ER_0|\\lambda|t$$ постоянна и импульс жидкости линейно зависит от времени $$P=P_0+2\\pi ER_0|\\lambda|t=2\\pi^2\\rho R^2\\kappa.$$ Отсюда получаем, что петля растет и радиус зависит от времени как $$R=\\sqrt{R_0^2+\\frac{E R_0|\\lambda| t}{\\pi \\rho \\kappa}}$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n\n\n\n    \n        \n            "},{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/17f300b537564af894c9.webp","alt":"apho-2017-t1 solution: original source diagram 7"}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"R=\\sqrt{R_0^2+\\frac{E R_0|\\lambda| t}{\\pi \\rho \\kappa}}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                D3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tНайдите зависимость скорости центра кольца $v(t)$ от времени."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Скорость петли $v$ может быть получена из соотношения скоростей изменения энергии и импульса $$\\frac{dU}{dt}=Fv=\\frac{dP}{dt}v.$$ Отсюда получаем скорость $$v=\\frac{dU}{dP}\\approx\\frac{\\kappa}{2R}\\ln\\frac{R}{a}=\\cfrac{\\kappa}{2\\sqrt{R^2_0+\\cfrac{ER_0|\\lambda|t}{\\pi\\rho \\kappa}}}\\ln\\cfrac{\\sqrt{R^2_0+\\cfrac{ER_0|\\lambda|t}{\\pi\\rho \\kappa}}}{a}="},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\cfrac{\\kappa}{2\\sqrt{R^2_0+\\cfrac{ER_0|\\lambda|t}{\\pi\\rho \\kappa}}}\\ln\\cfrac{R_0}{a}.$$Это означает, что нить движется в направлении силы, но ее скорость уменьшается.\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$v=\\begin{bmatrix}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\cfrac{\\kappa}{2\\sqrt{R^2_0+\\cfrac{ER_0|\\lambda|t}{\\pi\\rho \\kappa}}}\\left(1+\\ln\\cfrac{\\sqrt{R^2_0+\\cfrac{ER_0|\\lambda|t}{\\pi\\rho \\kappa}}}{a}\\right)\\\\"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\cfrac{\\kappa}{2\\sqrt{R^2_0+\\cfrac{ER_0|\\lambda|t}{\\pi\\rho \\kappa}}}\\left(1+\\ln\\cfrac{R_0}{a}\\right)\\\\"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\cfrac{\\kappa}{2\\sqrt{R^2_0+\\cfrac{ER_0|\\lambda|t}{\\pi\\rho \\kappa}}}\\ln\\cfrac{\\sqrt{R^2_0+\\cfrac{ER_0|\\lambda|t}{\\pi\\rho \\kappa}}}{a}\\\\"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\cfrac{\\kappa}{2\\sqrt{R^2_0+\\cfrac{ER_0|\\lambda|t}{\\pi\\rho \\kappa}}}\\ln\\cfrac{R_0}{a}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\end{bmatrix}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                D4\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.25"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tВ некоторый момент времени $t^*$, когда скорость достигает значения $v^*=v(t^*)$, электрическое поле выключают. Найдите скорость $v(t)$ вихревого кольца в моменты времени $t>t^*$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n $$E=0 \\Rightarrow P=\\text{const}\\Rightarrow v=\\text{const} \\Rightarrow v(t)=v^*$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$v(t)=v^*$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                E1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tНарисуйте траекторию прямолинейного вихря, первоначально расположенного на расстоянии $h_0$ от плоской стены. Найдите зависимость скорости от времени."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Хорошо известный метод изображений зарядов (токов) в электростатике (магнитостатике) может быть применен для решения этой задачи. Стенка может быть заменена отраженной фиктивной нитью с другой стороны от стенки. Распределение скоростей двух нитей в верхнем полупространстве эквивалентно распределению, созданному одной нитью и стенкой. Действительно, симметрия конструкции гарантирует, что потока через плоскость симметрии нет. Таким образом, прямая нить расположенная на расстоянии $h_0$ от плоской стены и ее изображение ведут себя как пара нитей с противоположными направлениями циркуляции на расстоянии $2h_0$. Это означает, что нить будет двигаться вдоль стены со скоростю $$v=\\frac{\\kappa}{2h_0}$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$v=\\frac{\\kappa}{2h_0}$$\n\n                    "}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n\n\n\n    \n        \n            "},{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/f41cd9834d9aa4e6be30.webp","alt":"apho-2017-t1 solution: original source diagram 8"}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                E2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.75"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tЧему равна начальная скорость $v_0$ вихря?"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Скорость нити задается суперпозицией скоростей $\\vec{v}_1$, $\\vec{v}_2$ и $\\vec{v}_3$, созданных изображениями нитей $1$, $2$ и $3$ соответственно (см. картинку в решении $\\text{E3}$). Можно получить $$v_1=\\frac{\\kappa}{2h_0},\\quad v_2=\\frac{\\kappa}{2\\sqrt2h_0},\\quad v_3=\\frac{\\kappa}{2h_0}.$$ Модуль скорости нити в начальный момент времени равен $$v_0=|\\vec{v}_1+\\vec{v}_2+\\vec{v}_3|=\\sqrt2v_1-v_2=\\frac{\\kappa}{2\\sqrt2h_0}.$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$v_0=\\frac{\\kappa}{2\\sqrt 2h_0}$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                E3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tИзобразите траекторию вихря."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n\n\n\n    \n        \n            "},{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/79b1edda54545987a2fe.webp","alt":"apho-2017-t1 solution: original source diagram 9"}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                E4\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tЧему равна скорость вихря $v_{\\infty}$ спустя очень большой промежуток времени?"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Энергия системы нитей пропорциональна $$U_{\\text{tot}}\\propto \\ln\\frac{\\sqrt{x^2+y^2}}{a}-\\ln\\frac{x}{a}-\\ln\\frac{y}{a}.$$ Из закона сохранения энергии получаем, что величина $$C=\\frac{x^2+y^2}{x^2y^2}=\\frac{2}{h_0^2}$$ постоянна при движении. Спустя большое время $y\\rightarrow h_0/\\sqrt2$ и скорость нити равна $$v_{\\infty}=\\frac{\\kappa}{h_0\\sqrt2}$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$v_{\\infty}=\\frac{\\kappa}{h_0\\sqrt2}$$\n\n                    "}]}]}]}],"text":"A1 0.25 Нарисуйте линии тока. Найдите скорость $v$ в точке с радиус-вектором $\\vec r$. Из соображений симметрии линии тока - круги. Из уравнения для циркуляции скорости $$v=\\frac \\kappa r$$ Ответ: Ответ: \n                    \n $$v=\\frac \\kappa r$$\nA2 0.50 Найдите форму свободной поверхности, которая образуется вокруг вихревой нити, т.е. зависимость высоты от расстояния до оси $z(\\vec r)$. Ускорение свободного падения $g$. Поверхностным натяжением можно пренебречь. Рассмотрим тонкий круговой слой радиуса $r$. Условие равновесия для его поверхности задается уравнением $$g \\frac{dz}{dr}=\\frac{v^2}{r}=\\frac{\\kappa^2}{r^3}.$$ Данному уравнению удовлетворяет поверхность с уравнением $$z(r)=z_0-\\frac{\\kappa^2}{2gr^2}$$ Ответ: \n                    \n $$\\tan\\alpha=\\frac{\\kappa^2}{gr^3}$$$$z=[z_0]-\\frac{\\kappa^2}{2gr^2}$$\nB1 0.25 Рассмотрим два одинаковых вихря, которые вначале расположены на расстоянии $r_0$ друг от друга, как показано на Рис. 4. Найдите начальные скорости вихрей и изобразите их траектории. Под действием потоков друг друга, нити будут вращаться вокруг точки, расположенной между ними. Скорость задается уравнением $$v=\\kappa/r_0.$$ Ответ: Ответ: \n                    \n $$v=\\kappa/r_0$$\nB2 0.15 Нарисуйте траектории вихрей $\\mathrm A$, $\\mathrm B$ и $\\mathrm C$ (расположенного в центре). Ответ:\nB3 0.40 Найдите скорость $v(\\vec r)$ вихря расположенного в точке с радиус-вектором $\\vec r$. Рассмотрим круговую траекторию радиуса $r\\gg u$ вокруг центра стакана. Циркуляция вдоль нее задается количеством вихрей внутри нее (поверхностная плотность вихрей равна $(u^2\\sqrt3/2)^{-1}$): $$2 \\pi r v=2 \\pi \\kappa \\frac{\\pi r^2}{u^2 \\sqrt{3} / 2}.$$ Соответственно, скорость равна $$v=\\frac{2 \\pi \\kappa r}{u^2 \\sqrt{3}}$$ Ответ: \n                    \n $$ 2 \\pi r v=2 \\pi \\kappa \\frac{\\pi r^2}{u^2 \\sqrt{3} / 2} $$$$ v=\\frac{2 \\pi \\kappa r}{u^2 \\sqrt{3}} $$\nB4 0.35 Найдите зависимость расстояния $\\mathrm A\\mathrm B(t)$ между вихрями $\\mathrm  A$ и $\\mathrm B$ от времени $t$. Считайте $\\mathrm A\\mathrm B(0)$ в начальный момент времени заданным. Данное распределение скоростей соответствует вращению вихрей как единого целого вокруг центра стакана с угловой скоростью $$\\omega =\\frac{2\\pi \\kappa}{u^2 \\sqrt3}$$ Ответ: \n                    \n $$\\mathrm{AB}(t)=\\mathrm{AB}(0)$$\nB5 0.25 Найдите сглаженную форму свободной поверхности гелия $z(\\vec r)$, не учитывая решетчатую структуру. Ответ: \n                    \n $$ z(r)=\\left[z_0\\right]+\\frac{\\omega^2 r^2}{2 g}=\\left[z_0\\right]+\\frac{2 \\pi^2 \\kappa^2 r^2}{3 g u^4} $$\nC1 0.30 Рассмотрим вихревую петлю в форме близкой к прямоугольнику с размерами $b\\times d, b\\ll d$, (см. Рис. 7 выше). Укажите направление ее полного импульса $\\vec P$. Найдите величину полного импульса. Импульс петли перпендикулярен ее плоскости и прямо пропорционален ее площади. Для прямоугольной пели $$P=2\\pi\\kappa\\rho bd$$ Ответ: Ответ: \n                    \n $$P=2\\pi\\kappa\\rho bd$$\nC2 0.70 Найдите энергию этой петли $U$. Чтобы создать равные плотности кинетической и магнитной энергии $$\\frac{B^2}{2\\mu_0}=\\frac{\\rho v^2}{2},$$ магнитное поле должно быть равно $$B=v\\sqrt{\\mu_0\\rho}=\\frac{\\kappa\\sqrt{\\mu_0\\rho}}{r}.$$ Это поле создается током $$I=2\\pi\\kappa\\sqrt{\\frac{\\rho}{\\mu_0}}.$$ Энергия петли с током может быть найдена как $$U=\\frac{LI^2}{2}.$$ Индуктивность прямоугольной петли $$L=\\frac{\\Phi}{I}=\\frac{2d}{I}\\int_a^b \\frac{\\mu_0I}{2\\pi r}dr=\\frac{\\mu_0d}{\\pi}\\ln\\frac{b}{a}.$$ Отсюда получаем энергию $$U=2\\pi\\kappa^2\\rho d\\log\\frac ba$$ Ответ: \n                    \n $$U=2\\pi\\kappa^2\\rho d\\log\\frac ba$$\nC3 0.75 Предположим, что мы сдвинули длинную прямую вихревую нить на расстояние $b$ в направлении оси $x$, (см. Рис. 8). Насколько изменился полный импульс жидкости? Укажите направление изменения полного импульса жидкости. Длина нити (ограниченная стенками сосуда) равна $d$. Изменение импульса равно импульсу длинной прямоугольной петли $$P=2\\pi\\kappa\\rho bd$$ Ответ: Ответ: \n                    \n $$P=2\\pi\\kappa\\rho bd$$\nD1 0.50 Рассмотрим прямую вихревую нить, заряженную с постоянной линейной плотностью $\\lambda<0$ и помещенную в однородное электрическое поле $\\vec E$. Изобразите траекторию движения нити. Найдите зависимость ее скорости от времени. Электрическая сила $$F=E\\lambda d$$ двигает нить со скоростью $$v=\\frac{F}{2 \\pi \\kappa \\rho d}=\\frac{E \\lambda}{2 \\pi \\kappa \\rho}$$ перпендикулярно $\\vec{E}$. Ответ: Ответ: \n                    \n $$ v=\\frac{F}{2 \\pi \\kappa \\rho d}=\\frac{E \\lambda}{2 \\pi \\kappa \\rho} $$\nD2 0.60 Нарисуйте траекторию движения центра вихревого кольца $C$. Найдите зависимость радиуса кольца от времени. Электрическая сила, действующая на петлю $$F=-2\\pi ER_0|\\lambda|t$$ постоянна и импульс жидкости линейно зависит от времени $$P=P_0+2\\pi ER_0|\\lambda|t=2\\pi^2\\rho R^2\\kappa.$$ Отсюда получаем, что петля растет и радиус зависит от времени как $$R=\\sqrt{R_0^2+\\frac{E R_0|\\lambda| t}{\\pi \\rho \\kappa}}$$ Ответ: Ответ: \n                    \n $$ R=\\sqrt{R_0^2+\\frac{E R_0|\\lambda| t}{\\pi \\rho \\kappa}} $$\nD3 1.50 Найдите зависимость скорости центра кольца $v(t)$ от времени. Скорость петли $v$ может быть получена из соотношения скоростей изменения энергии и импульса $$\\frac{dU}{dt}=Fv=\\frac{dP}{dt}v.$$ Отсюда получаем скорость $$v=\\frac{dU}{dP}\\approx\\frac{\\kappa}{2R}\\ln\\frac{R}{a}=\\cfrac{\\kappa}{2\\sqrt{R^2_0+\\cfrac{ER_0|\\lambda|t}{\\pi\\rho \\kappa}}}\\ln\\cfrac{\\sqrt{R^2_0+\\cfrac{ER_0|\\lambda|t}{\\pi\\rho \\kappa}}}{a}= \\cfrac{\\kappa}{2\\sqrt{R^2_0+\\cfrac{ER_0|\\lambda|t}{\\pi\\rho \\kappa}}}\\ln\\cfrac{R_0}{a}.$$Это означает, что нить движется в направлении силы, но ее скорость уменьшается. Ответ: \n                    \n $$v=\\begin{bmatrix} \\cfrac{\\kappa}{2\\sqrt{R^2_0+\\cfrac{ER_0|\\lambda|t}{\\pi\\rho \\kappa}}}\\left(1+\\ln\\cfrac{\\sqrt{R^2_0+\\cfrac{ER_0|\\lambda|t}{\\pi\\rho \\kappa}}}{a}\\right)\\\\ \\cfrac{\\kappa}{2\\sqrt{R^2_0+\\cfrac{ER_0|\\lambda|t}{\\pi\\rho \\kappa}}}\\left(1+\\ln\\cfrac{R_0}{a}\\right)\\\\ \\cfrac{\\kappa}{2\\sqrt{R^2_0+\\cfrac{ER_0|\\lambda|t}{\\pi\\rho \\kappa}}}\\ln\\cfrac{\\sqrt{R^2_0+\\cfrac{ER_0|\\lambda|t}{\\pi\\rho \\kappa}}}{a}\\\\ \\cfrac{\\kappa}{2\\sqrt{R^2_0+\\cfrac{ER_0|\\lambda|t}{\\pi\\rho \\kappa}}}\\ln\\cfrac{R_0}{a} \\end{bmatrix} $$\nD4 0.25 В некоторый момент времени $t^*$, когда скорость достигает значения $v^*=v(t^*)$, электрическое поле выключают. Найдите скорость $v(t)$ вихревого кольца в моменты времени $t>t^*$. $$E=0 \\Rightarrow P=\\text{const}\\Rightarrow v=\\text{const} \\Rightarrow v(t)=v^*$$ Ответ: \n                    \n $$v(t)=v^*$$\nE1 0.50 Нарисуйте траекторию прямолинейного вихря, первоначально расположенного на расстоянии $h_0$ от плоской стены. Найдите зависимость скорости от времени. Хорошо известный метод изображений зарядов (токов) в электростатике (магнитостатике) может быть применен для решения этой задачи. Стенка может быть заменена отраженной фиктивной нитью с другой стороны от стенки. Распределение скоростей двух нитей в верхнем полупространстве эквивалентно распределению, созданному одной нитью и стенкой. Действительно, симметрия конструкции гарантирует, что потока через плоскость симметрии нет. Таким образом, прямая нить расположенная на расстоянии $h_0$ от плоской стены и ее изображение ведут себя как пара нитей с противоположными направлениями циркуляции на расстоянии $2h_0$. Это означает, что нить будет двигаться вдоль стены со скоростю $$v=\\frac{\\kappa}{2h_0}$$ Ответ: \n                    \n $$v=\\frac{\\kappa}{2h_0}$$ Ответ:\nE2 0.75 Чему равна начальная скорость $v_0$ вихря? Скорость нити задается суперпозицией скоростей $\\vec{v}_1$, $\\vec{v}_2$ и $\\vec{v}_3$, созданных изображениями нитей $1$, $2$ и $3$ соответственно (см. картинку в решении $\\text{E3}$). Можно получить $$v_1=\\frac{\\kappa}{2h_0},\\quad v_2=\\frac{\\kappa}{2\\sqrt2h_0},\\quad v_3=\\frac{\\kappa}{2h_0}.$$ Модуль скорости нити в начальный момент времени равен $$v_0=|\\vec{v}_1+\\vec{v}_2+\\vec{v}_3|=\\sqrt2v_1-v_2=\\frac{\\kappa}{2\\sqrt2h_0}.$$ Ответ: \n                    \n $$v_0=\\frac{\\kappa}{2\\sqrt 2h_0}$$\nE3 0.50 Изобразите траекторию вихря. Ответ:\nE4 1.50 Чему равна скорость вихря $v_{\\infty}$ спустя очень большой промежуток времени? Энергия системы нитей пропорциональна $$U_{\\text{tot}}\\propto \\ln\\frac{\\sqrt{x^2+y^2}}{a}-\\ln\\frac{x}{a}-\\ln\\frac{y}{a}.$$ Из закона сохранения энергии получаем, что величина $$C=\\frac{x^2+y^2}{x^2y^2}=\\frac{2}{h_0^2}$$ постоянна при движении. Спустя большое время $y\\rightarrow h_0/\\sqrt2$ и скорость нити равна $$v_{\\infty}=\\frac{\\kappa}{h_0\\sqrt2}$$ Ответ: \n                    \n $$v_{\\infty}=\\frac{\\kappa}{h_0\\sqrt2}$$","figures":["/corpus/figures/c24ce1f3a744bb11cc9a.webp","/corpus/figures/db937f892b2d41e1d172.webp","/corpus/figures/ec514eeb8db7914f9a6f.webp","/corpus/figures/9700bd21f45e4ce81341.webp","/corpus/figures/1120c48d17d99252328f.webp","/corpus/figures/5990b0455133045c1f78.webp","/corpus/figures/17f300b537564af894c9.webp","/corpus/figures/f41cd9834d9aa4e6be30.webp","/corpus/figures/79b1edda54545987a2fe.webp"],"shared":false}},{"id":"apho-2017-t2","importedOn":"2026-10-28","language":"ru","sources":[{"url":"https://pho.rs/p/3445","kind":"statement"},{"url":"https://pho.rs/p/3445/s","kind":"solution"}],"statement":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Введение"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tИдея о существовании гравитационных волн является одним из самых удивительных предсказаний общей теории относительности Эйнштейна. Гравитационные волны — это пространственно-временное возмущение, распространяющееся подобно электромагнитным волнам со скоростью света. Прямое обнаружение гравитационных волн — невероятно сложная задача, однако 14 сентября 2015 года первый сигнал был обнаружен при сотрудничестве LIGO и VIRGO. "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Гравитационные волны излучаются при быстром движении массивных объектов. Наиболее мощным источником гравитационных волн является событие слияния двух сверхмассивных черных дыр (далее — СЧД). Черные дыры, предсказанные общей теорией относительности, представляют собой чрезвычайно компактные объекты, массы которых могут быть очень большими. Другие особые свойства черных дыр в решении данной задачи не понадобятся. "}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"В общепринятой теории эволюции галактик предполагается, что в центре галактики находится сверхмассивная черная дыра, обладающая массой, порядка $10^5 - 10^9$ масс Солнца. Галактиками называются звездные системы, содержащие $10^{10} - 10^{11}$ звезд. В процессе эволюции две галактики могут столкнуться и слиться в одну. Что же произойдёт с двумя сверхмассивными черными дырами, первоначально находившимися в их центрах? Можно выделить три основных этапа эволюции системы, состоящей из двух сверхмассивных черных дыр. На каждом из трёх этапов СЧД сближаются, хотя физические явления, лежащие в основе этих процессов, различны. Каждый из этих трех этапов будет изучен нами в первых трех заданиях. В четвертом задании мы будем использовать полученные ранее соотношения для расчета полного времени эволюции системы бинарных СЧД. "}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"В конце процесса эволюции две сверхмассивные черные дыры сближаются и сливаются в одну черную дыру. Процесс слияния длится около часа и сопровождается мощным импульсом гравитационного излучения. Будущие обсерватории, такие как LISA, смогут задетектировать это излучение. Тем не менее, исследования эволюции сверхмассивных черных дыр ведутся уже сейчас, на заре эры астрономии гравитационных волн."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Общая информация"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"ol","children":[{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Выражайте все расстояния в парсеках $\\mathrm{(pc)}$, а временные интервалы в гига годах $\\mathrm{(Gy)}$. Мы будем использовать массу Солнца $(M_S)$ в качестве единицы массы. Возможно, вам понадобятся следующие табличные значения: $1\\mathrm{pc}=3.1\\cdot10^{16}~м$, $M_S=2.0\\cdot10^{30}~кг$, $t_H=13.7~\\mathrm{Gy}$ — возраст Вселенной, $G=6.67\\cdot10^{-11}~Н\\cdot м^2/кг^2$, $c=3.0\\cdot10^8~м/с$. "}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Когда мы пишем слово «оцените», мы не требуем от вас точного ответа. Достаточно получить результат, который отличается от истинного не более, чем в $10$ раз. Когда мы пишем «найдите», мы подразумеваем точный ответ. Слово «вычислите» предполагают численный ответ. "}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"В течение всей задачи будем считать, что все звезды в галактике имеют одинаковую массу $m=M_S$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"На протяжении всей задачи эффектами общей теории относительности можно пренебречь, за исключением явления излучения гравитационных волн. Все звезды и черные дыры будем считать точечными телами, которые подчиняются законам Ньютоновской гравитации."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Задание А. Динамическое трение"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tВ этом задании мы будем изучать упрощенную модель галактики. Вы можете не учитывать скорости звезд в галактике и считать концентрацию звезд $n$ постоянной. $R$ — характерный размер галактики. Концентрация звезд достаточно мала, поэтому столкновения звезд происходят чрезвычайно редко, и ими можно пренебречь. Рассмотрим сверхмассивную черную дыру с массой $M\\gg m$, движущуюся со скоростью $v$ через галактику. Удивительно, но средняя сила взаимодействия черной дыры со звездами отлична от нуля. По этой причине данная сила замедляет движение черной дыры и называется силой динамического трения. Это задание посвящено определению силы динамического трения."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.75"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tПерейдем в систему отсчета, связанную со сверхмассивной черной дырой. Рассмотрим движение одной звезды с прицельным параметром $b$ (см. рис. 1). Будем предполагать, что: $$b\\gg b_1 =\\frac{GM}{v^2}.$$ Угловое отклонение звезды равно $\\alpha=kb_1/b$, где $k$ — некоторый коэффициент. Найдите значение $k$. Если вы не можете найти значение $k$, примите $k=1$ в дальнейшем.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/1e3659d86d4bfb5da8bb.webp","alt":"apho-2017-t2 statement: original source diagram 1"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 1. Отклонение звезды при взаимодействии со сверхмассивной черной дыры массой $M$, где:\n\n$b$ --- прицельный параметр, \n\n$r_m$ --- минимальное расстояние между звездой и черной дырой"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.25"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tПусть ось $\\mathrm{Ox}$ направлена вдоль скорости черной дыры. Найдите проекцию на ось $\\mathrm{Ox}$ импульса $\\Delta p_x$, переданную звездой черной дыре."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.40"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tОцените среднюю силу $F_{DF}$, действующую на черную дыру, путем усреднения по прицельному параметру $b$. Вкладом звезд с прицельными параметрами $b < b_1$ можно пренебречь. Предполагается, что черная дыра находится в центральной части галактики. Выразите $F_{DF}$ через $M,v,R,G$, и плотность звезд $\\rho=mn$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A4\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tПолученное в предыдущей задаче выражение для $F_{DF}$ содержит множитель $\\log R/b_1$, который далее мы будем обозначать как $\\log \\Lambda$. Вычислите значение $\\log \\Lambda$ для $M =10^8~M_s$, $R = 20~кпк = 20 \\cdot 10^3~пк$ и скорости $v= 200~км/с$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Задание В. «Гравитационная рогатка»"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tВ этом задании мы рассмотрим систему двух сверхмассивных черных дыр с равными массами $M\\gg m$, расположенными в центре галактики. Будем называть эту систему бинарной системой сверхмассивных черных дыр (или просто бинарной системой). Будем считать, что вблизи бинарной системы нет звезд, каждая сверхмассивная черная дыра имеет круговую орбиту радиуса $a$ в гравитационном поле другой сверхмассивной черной дыры."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.25"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tНайдите орбитальную скорость $v_{bin}$ каждой чёрной дыры. Найдите полную энергию $E$ бинарной системы. Выразите их через $a$,$G$ и $M$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tНа расстояниях от бинарных систем намного больших, чем $a$, находится большое количество звезд. Звезды движутся по сложным и разнообразным траекториям в гравитационном поле всей галактики. Подобно движению молекул в идеальном газе, движение звезд можно считать хаотическим. Предположим, что скорости звезд имеют равные величины $\\sigma\\ll v_{bin}$, а средняя плотность звезд равна $\\rho$. В этом случае динамическое трение больше не влияет на бинарную систему, и потери энергии будут вызваны другим явлением."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tРешим вспомогательную задачу."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Пусть звезда массой $m$ движется по направлению к точечной массе $M_2\\gg m$, находящейся в состоянии покоя. "}]},{"type":"element","tag":"ul","children":[{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"$r_m$ — минимальное расстояние между звездой и точечной массой в процессе движения,"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"$\\sigma$ — скорость звезды на большом расстоянии от $M_2$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Найдите точное значение прицельного параметра $b$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tЕсли звезда приближается к бинарной системе на расстояние около $a$, она участвует в сложном трехчастичном взаимодействии с бинарной системой, что почти всегда приводит к тому, что звезда вылетает со скоростью порядка $v_{bin}$ (скорость звезды на большом расстоянии после взаимодействия). Такое «сильное» взаимодействие мы назовем столкновением звезды с бинарной системой. Ускорение и выброс звезды после столкновения называется «гравитационной рогаткой»."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tОцените характерное время $\\Delta t$ между двумя последовательными соударениями бинарной системы со звездами. Учтите, что $\\sigma\\ll v_{bin}$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B4\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.25"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tОцените скорость потерь энергии бинарной системы $\\mathrm{d}E/\\mathrm{d}t$. Оцените скорость изменения радиуса $\\mathrm{d}a/\\mathrm{d}t$. Выразите её через $a$, $\\rho$, $\\sigma$, $G$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B5\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Пусть $a_1$ — начальный радиус системы. Оцените время $T_{SS}$, за которое радиус уменьшается в $2$ раза за счёт «гравитационной рогатки». Вычислите $T_{SS}$ при:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"ul","children":[{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"$\\sigma=200~км/с$,"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"$a_1=1~пк$,"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"$\\rho=10^4~M_S/пк^3$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Задание C. Излучение гравитационных волн"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tВ этом задании мы будем изучать бинарную систему с равными массами, которая никак не взаимодействует со звездами. Даже в этом случае система теряет энергию из-за излучения гравитационных волн. Скорость потерь энергии из-за гравитационных волн равна: $$\\frac{\\mathrm{d}E}{\\mathrm{d}t}=-\\frac{1024}{5}\\frac{G}{c^5}(\\omega^3I)^2,$$ где $\\omega$ — угловая скорость бинарной системы, $I=2Ma^2$ — квадрупольный момент системы."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tНайдите скорость изменения радиуса бинарной системы $\\mathrm{d}a/\\mathrm{d}t$ за счет излучения гравитационных волн."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tКогда радиус $a$ орбиты бинарной системы становится близким к гравитационному радиусу черной дыры: $$r_g=\\frac{2GM}{c^2},$$ две черные дыры быстро сливаются."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.70"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tОбозначим начальный радиус системы как $a_2\\gg r_g$. Оцените время $T_{GW}$, за которое бинарная система сжимается до радиуса $r_g$ за счет излучения гравитационных волн. Выразите $T_{GW}$ через $a_2$, $M$, $c$ и $G$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.10"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tВычислите начальный радиус $a_H$ бинарной системы с равными массами $M=10^8M_S$, время слияния которой равно возрасту Вселенной: $T_{GW}=t_H$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Задание D. Полная эволюция"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tВ этой части мы будем использовать результаты, полученные ранее. Рассмотрим реальную астрофизическую ситуацию. Две галактики, имеющие в своих центрах сверхмассивные черные дыры с массами $M=10^8M_S$, сливаются в новую звездную систему. Пусть новая галактика будет сферически симметричной с радиусом $R=20~кпк=20\\cdot10^3~пк$. Предположим, что звездная плотность зависит от радиуса $r$ от центра галактики по закону: $$\\rho(r)=\\frac{\\sigma^2}{4\\pi Gr^2},$$ где $\\sigma=200~км/с$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            D1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.25"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tПусть тело движется по круговой орбите радиусом $a< R$ в гравитационном поле звезд. Пренебрегая силой динамического трения, найдите скорость $v$ тела."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tСразу же после слияния галактик две сверхмассивные черные дыры имеют произвольные положения внутри новой галактики и не влияют друг на друга. Давайте рассмотрим одну из черных дыр. Будем считать, что она движется по круговой орбите радиусом $a< R$ вокруг центра галактики и медленно теряет энергию из-за динамического трения."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            D2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.75"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tОцените скорость изменения радиуса орбиты $\\mathrm{d}a/\\mathrm{d}t$. В части "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"А"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"text","text":"мы считали все звезды неподвижными. Хотя в реальной галактике звезды движутся, не все из них имеют одинаковые скорости $\\sigma$. Скорости звезд совпадают с $\\sigma$ только по порядку величины, так же как и скорости черных дыр относительно звезд. Поэтому вы можете использовать результат, полученный в "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"A3"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"text","text":"для оценки. Используйте выражение для плотности $\\rho(r)$ из уравнения: $$\\rho(r)=\\frac{\\sigma^2}{4\\pi Gr^2}.$$ Используйте значение $\\log \\Lambda$, вычисленное в "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"A4."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tЧерез некоторое время две черные дыры приблизятся к центру галактики. Пусть они движутся по круговой орбите радиуса $a$ вокруг центра галактики в гравитационном поле звезд."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            D3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.30"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tОцените критический радиус $a_1$ при котором гравитационное взаимодействие между двумя черными дырами уже не пренебрежимо мало. Вычислите его. Будем говорить, что в этом момент две черные дыры образуют бинарную систему (см. рис. 2)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/b0f51103670fa8b6e45d.webp","alt":"apho-2017-t2 statement: original source diagram 2"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 2. Эволюция сверхмассивных черных дыр: до и после образования бинарной системы"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            D4\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.75"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tПредположим, что после слияния галактик две чёрные дыры находились на расстоянии $a_0=2~кпк=2\\cdot10^3~пк$ от центра галактики. Из-за динамического трения образуется бинарная система. Вычислите время $T_1$, которое требуется для образования бинарной системы."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tПосле образования бинарной системы две чёрные дыры быстро выбрасывают все звезды от центра галактики и останутся там вдвоем. С этого момента динамическое трение становится не эффективным и бинарная система начинает терять энергию за счёт «эффекта рогатки». Будем считать скорости вращения звезд равными $\\sigma$, а звездную плотность $\\rho_1=\\rho(a_1)$ из уравнения: $$\\rho(r)=\\frac{\\sigma^2}{4\\pi Gr^2}.$$ «Эффект рогатки» значительно уменьшает радиус системы, и через некоторое время система начинает терять энергию в основном из-за излучения гравитационных волн."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            D5\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.30"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tОцените и вычислите, при каком радиусе $a_2$ это происходит."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            D6\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.75"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tОцените время $T_2$, за которое радиус бинарной системы изменяется от значения $a_1$ до значения $a_2$ (стадия «рогатки»). Оцените время $T_3$, за которое радиус бинарной системы уменьшается от $a_2$ почти до нуля (стадия испускания гравитационных волн)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            D7\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.30"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tДля параметров, приведенных выше, вычислите общее время эволюции $T_{ev}$ от слияния галактик до слияния черных дыр."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"Историческое замечание"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Долгое время астрофизики думали, что эволюция слияния черных дыр останавливается на стадии рогатки, с того момента как бинарная система выбила все звезды с небольшими прицельными параметрами, которые могли бы столкнуться с ней. Казалось, что две черные дыры никогда не сольются. Этот факт был назван проблемой последнего парсека. Реальные галактики имеют сложные асимметричные формы. Несколько лет назад было обнаружено, что в галактиках сложных форм звезды с малыми параметрами удара появляются снова и снова. Бинарная СЧД продолжает терять энергию, но медленнее, чем дает наша оценка. Проблема последнего парсека была успешно решена."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]}]}],"text":"Введение Идея о существовании гравитационных волн является одним из самых удивительных предсказаний общей теории относительности Эйнштейна. Гравитационные волны — это пространственно-временное возмущение, распространяющееся подобно электромагнитным волнам со скоростью света. Прямое обнаружение гравитационных волн — невероятно сложная задача, однако 14 сентября 2015 года первый сигнал был обнаружен при сотрудничестве LIGO и VIRGO. Гравитационные волны излучаются при быстром движении массивных объектов. Наиболее мощным источником гравитационных волн является событие слияния двух сверхмассивных черных дыр (далее — СЧД). Черные дыры, предсказанные общей теорией относительности, представляют собой чрезвычайно компактные объекты, массы которых могут быть очень большими. Другие особые свойства черных дыр в решении данной задачи не понадобятся. В общепринятой теории эволюции галактик предполагается, что в центре галактики находится сверхмассивная черная дыра, обладающая массой, порядка $10^5 - 10^9$ масс Солнца. Галактиками называются звездные системы, содержащие $10^{10} - 10^{11}$ звезд. В процессе эволюции две галактики могут столкнуться и слиться в одну. Что же произойдёт с двумя сверхмассивными черными дырами, первоначально находившимися в их центрах? Можно выделить три основных этапа эволюции системы, состоящей из двух сверхмассивных черных дыр. На каждом из трёх этапов СЧД сближаются, хотя физические явления, лежащие в основе этих процессов, различны. Каждый из этих трех этапов будет изучен нами в первых трех заданиях. В четвертом задании мы будем использовать полученные ранее соотношения для расчета полного времени эволюции системы бинарных СЧД. В конце процесса эволюции две сверхмассивные черные дыры сближаются и сливаются в одну черную дыру. Процесс слияния длится около часа и сопровождается мощным импульсом гравитационного излучения. Будущие обсерватории, такие как LISA, смогут задетектировать это излучение. Тем не менее, исследования эволюции сверхмассивных черных дыр ведутся уже сейчас, на заре эры астрономии гравитационных волн. Общая информация Выражайте все расстояния в парсеках $\\mathrm{(pc)}$, а временные интервалы в гига годах $\\mathrm{(Gy)}$. Мы будем использовать массу Солнца $(M_S)$ в качестве единицы массы. Возможно, вам понадобятся следующие табличные значения: $1\\mathrm{pc}=3.1\\cdot10^{16}~м$, $M_S=2.0\\cdot10^{30}~кг$, $t_H=13.7~\\mathrm{Gy}$ — возраст Вселенной, $G=6.67\\cdot10^{-11}~Н\\cdot м^2/кг^2$, $c=3.0\\cdot10^8~м/с$. Когда мы пишем слово «оцените», мы не требуем от вас точного ответа. Достаточно получить результат, который отличается от истинного не более, чем в $10$ раз. Когда мы пишем «найдите», мы подразумеваем точный ответ. Слово «вычислите» предполагают численный ответ. В течение всей задачи будем считать, что все звезды в галактике имеют одинаковую массу $m=M_S$. На протяжении всей задачи эффектами общей теории относительности можно пренебречь, за исключением явления излучения гравитационных волн. Все звезды и черные дыры будем считать точечными телами, которые подчиняются законам Ньютоновской гравитации. Задание А. Динамическое трение В этом задании мы будем изучать упрощенную модель галактики. Вы можете не учитывать скорости звезд в галактике и считать концентрацию звезд $n$ постоянной. $R$ — характерный размер галактики. Концентрация звезд достаточно мала, поэтому столкновения звезд происходят чрезвычайно редко, и ими можно пренебречь. Рассмотрим сверхмассивную черную дыру с массой $M\\gg m$, движущуюся со скоростью $v$ через галактику. Удивительно, но средняя сила взаимодействия черной дыры со звездами отлична от нуля. По этой причине данная сила замедляет движение черной дыры и называется силой динамического трения. Это задание посвящено определению силы динамического трения. A1 0.75 Перейдем в систему отсчета, связанную со сверхмассивной черной дырой. Рассмотрим движение одной звезды с прицельным параметром $b$ (см. рис. 1). Будем предполагать, что: $$b\\gg b_1 =\\frac{GM}{v^2}.$$ Угловое отклонение звезды равно $\\alpha=kb_1/b$, где $k$ — некоторый коэффициент. Найдите значение $k$. Если вы не можете найти значение $k$, примите $k=1$ в дальнейшем. Рис. 1. Отклонение звезды при взаимодействии со сверхмассивной черной дыры массой $M$, где:\n\n$b$ --- прицельный параметр, \n\n$r_m$ --- минимальное расстояние между звездой и черной дырой A2 0.25 Пусть ось $\\mathrm{Ox}$ направлена вдоль скорости черной дыры. Найдите проекцию на ось $\\mathrm{Ox}$ импульса $\\Delta p_x$, переданную звездой черной дыре. A3 0.40 Оцените среднюю силу $F_{DF}$, действующую на черную дыру, путем усреднения по прицельному параметру $b$. Вкладом звезд с прицельными параметрами $b < b_1$ можно пренебречь. Предполагается, что черная дыра находится в центральной части галактики. Выразите $F_{DF}$ через $M,v,R,G$, и плотность звезд $\\rho=mn$. A4 0.20 Полученное в предыдущей задаче выражение для $F_{DF}$ содержит множитель $\\log R/b_1$, который далее мы будем обозначать как $\\log \\Lambda$. Вычислите значение $\\log \\Lambda$ для $M =10^8~M_s$, $R = 20~кпк = 20 \\cdot 10^3~пк$ и скорости $v= 200~км/с$. Задание В. «Гравитационная рогатка» В этом задании мы рассмотрим систему двух сверхмассивных черных дыр с равными массами $M\\gg m$, расположенными в центре галактики. Будем называть эту систему бинарной системой сверхмассивных черных дыр (или просто бинарной системой). Будем считать, что вблизи бинарной системы нет звезд, каждая сверхмассивная черная дыра имеет круговую орбиту радиуса $a$ в гравитационном поле другой сверхмассивной черной дыры. B1 0.25 Найдите орбитальную скорость $v_{bin}$ каждой чёрной дыры. Найдите полную энергию $E$ бинарной системы. Выразите их через $a$,$G$ и $M$. На расстояниях от бинарных систем намного больших, чем $a$, находится большое количество звезд. Звезды движутся по сложным и разнообразным траекториям в гравитационном поле всей галактики. Подобно движению молекул в идеальном газе, движение звезд можно считать хаотическим. Предположим, что скорости звезд имеют равные величины $\\sigma\\ll v_{bin}$, а средняя плотность звезд равна $\\rho$. В этом случае динамическое трение больше не влияет на бинарную систему, и потери энергии будут вызваны другим явлением. B2 0.50 Решим вспомогательную задачу. Пусть звезда массой $m$ движется по направлению к точечной массе $M_2\\gg m$, находящейся в состоянии покоя. $r_m$ — минимальное расстояние между звездой и точечной массой в процессе движения, $\\sigma$ — скорость звезды на большом расстоянии от $M_2$. Найдите точное значение прицельного параметра $b$. Если звезда приближается к бинарной системе на расстояние около $a$, она участвует в сложном трехчастичном взаимодействии с бинарной системой, что почти всегда приводит к тому, что звезда вылетает со скоростью порядка $v_{bin}$ (скорость звезды на большом расстоянии после взаимодействия). Такое «сильное» взаимодействие мы назовем столкновением звезды с бинарной системой. Ускорение и выброс звезды после столкновения называется «гравитационной рогаткой». B3 1.00 Оцените характерное время $\\Delta t$ между двумя последовательными соударениями бинарной системы со звездами. Учтите, что $\\sigma\\ll v_{bin}$. B4 0.25 Оцените скорость потерь энергии бинарной системы $\\mathrm{d}E/\\mathrm{d}t$. Оцените скорость изменения радиуса $\\mathrm{d}a/\\mathrm{d}t$. Выразите её через $a$, $\\rho$, $\\sigma$, $G$. B5 1.00 Пусть $a_1$ — начальный радиус системы. Оцените время $T_{SS}$, за которое радиус уменьшается в $2$ раза за счёт «гравитационной рогатки». Вычислите $T_{SS}$ при: $\\sigma=200~км/с$, $a_1=1~пк$, $\\rho=10^4~M_S/пк^3$. Задание C. Излучение гравитационных волн В этом задании мы будем изучать бинарную систему с равными массами, которая никак не взаимодействует со звездами. Даже в этом случае система теряет энергию из-за излучения гравитационных волн. Скорость потерь энергии из-за гравитационных волн равна: $$\\frac{\\mathrm{d}E}{\\mathrm{d}t}=-\\frac{1024}{5}\\frac{G}{c^5}(\\omega^3I)^2,$$ где $\\omega$ — угловая скорость бинарной системы, $I=2Ma^2$ — квадрупольный момент системы. C1 0.20 Найдите скорость изменения радиуса бинарной системы $\\mathrm{d}a/\\mathrm{d}t$ за счет излучения гравитационных волн. Когда радиус $a$ орбиты бинарной системы становится близким к гравитационному радиусу черной дыры: $$r_g=\\frac{2GM}{c^2},$$ две черные дыры быстро сливаются. C2 0.70 Обозначим начальный радиус системы как $a_2\\gg r_g$. Оцените время $T_{GW}$, за которое бинарная система сжимается до радиуса $r_g$ за счет излучения гравитационных волн. Выразите $T_{GW}$ через $a_2$, $M$, $c$ и $G$. C3 0.10 Вычислите начальный радиус $a_H$ бинарной системы с равными массами $M=10^8M_S$, время слияния которой равно возрасту Вселенной: $T_{GW}=t_H$. Задание D. Полная эволюция В этой части мы будем использовать результаты, полученные ранее. Рассмотрим реальную астрофизическую ситуацию. Две галактики, имеющие в своих центрах сверхмассивные черные дыры с массами $M=10^8M_S$, сливаются в новую звездную систему. Пусть новая галактика будет сферически симметричной с радиусом $R=20~кпк=20\\cdot10^3~пк$. Предположим, что звездная плотность зависит от радиуса $r$ от центра галактики по закону: $$\\rho(r)=\\frac{\\sigma^2}{4\\pi Gr^2},$$ где $\\sigma=200~км/с$. D1 0.25 Пусть тело движется по круговой орбите радиусом $a< R$ в гравитационном поле звезд. Пренебрегая силой динамического трения, найдите скорость $v$ тела. Сразу же после слияния галактик две сверхмассивные черные дыры имеют произвольные положения внутри новой галактики и не влияют друг на друга. Давайте рассмотрим одну из черных дыр. Будем считать, что она движется по круговой орбите радиусом $a< R$ вокруг центра галактики и медленно теряет энергию из-за динамического трения. D2 0.75 Оцените скорость изменения радиуса орбиты $\\mathrm{d}a/\\mathrm{d}t$. В части А мы считали все звезды неподвижными. Хотя в реальной галактике звезды движутся, не все из них имеют одинаковые скорости $\\sigma$. Скорости звезд совпадают с $\\sigma$ только по порядку величины, так же как и скорости черных дыр относительно звезд. Поэтому вы можете использовать результат, полученный в A3 для оценки. Используйте выражение для плотности $\\rho(r)$ из уравнения: $$\\rho(r)=\\frac{\\sigma^2}{4\\pi Gr^2}.$$ Используйте значение $\\log \\Lambda$, вычисленное в A4. Через некоторое время две черные дыры приблизятся к центру галактики. Пусть они движутся по круговой орбите радиуса $a$ вокруг центра галактики в гравитационном поле звезд. D3 0.30 Оцените критический радиус $a_1$ при котором гравитационное взаимодействие между двумя черными дырами уже не пренебрежимо мало. Вычислите его. Будем говорить, что в этом момент две черные дыры образуют бинарную систему (см. рис. 2). Рис. 2. Эволюция сверхмассивных черных дыр: до и после образования бинарной системы D4 0.75 Предположим, что после слияния галактик две чёрные дыры находились на расстоянии $a_0=2~кпк=2\\cdot10^3~пк$ от центра галактики. Из-за динамического трения образуется бинарная система. Вычислите время $T_1$, которое требуется для образования бинарной системы. После образования бинарной системы две чёрные дыры быстро выбрасывают все звезды от центра галактики и останутся там вдвоем. С этого момента динамическое трение становится не эффективным и бинарная система начинает терять энергию за счёт «эффекта рогатки». Будем считать скорости вращения звезд равными $\\sigma$, а звездную плотность $\\rho_1=\\rho(a_1)$ из уравнения: $$\\rho(r)=\\frac{\\sigma^2}{4\\pi Gr^2}.$$ «Эффект рогатки» значительно уменьшает радиус системы, и через некоторое время система начинает терять энергию в основном из-за излучения гравитационных волн. D5 0.30 Оцените и вычислите, при каком радиусе $a_2$ это происходит. D6 1.75 Оцените время $T_2$, за которое радиус бинарной системы изменяется от значения $a_1$ до значения $a_2$ (стадия «рогатки»). Оцените время $T_3$, за которое радиус бинарной системы уменьшается от $a_2$ почти до нуля (стадия испускания гравитационных волн). D7 0.30 Для параметров, приведенных выше, вычислите общее время эволюции $T_{ev}$ от слияния галактик до слияния черных дыр. Историческое замечание Долгое время астрофизики думали, что эволюция слияния черных дыр останавливается на стадии рогатки, с того момента как бинарная система выбила все звезды с небольшими прицельными параметрами, которые могли бы столкнуться с ней. Казалось, что две черные дыры никогда не сольются. Этот факт был назван проблемой последнего парсека. Реальные галактики имеют сложные асимметричные формы. Несколько лет назад было обнаружено, что в галактиках сложных форм звезды с малыми параметрами удара появляются снова и снова. Бинарная СЧД продолжает терять энергию, но медленнее, чем дает наша оценка. Проблема последнего парсека была успешно решена.\n","figures":["/corpus/figures/1e3659d86d4bfb5da8bb.webp","/corpus/figures/b0f51103670fa8b6e45d.webp"],"shared":false},"solution":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.75"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tПерейдем в систему отсчета, связанную со сверхмассивной черной дырой. Рассмотрим движение одной звезды с прицельным параметром $b$ (см. рис. 1). Будем предполагать, что: $$b\\gg b_1 =\\frac{GM}{v^2}.$$ Угловое отклонение звезды равно $\\alpha=kb_1/b$, где $k$ — некоторый коэффициент. Найдите значение $k$. Если вы не можете найти значение $k$, примите $k=1$ в дальнейшем.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Угол отклонения найден из равенства $$\\tan\\alpha\\approx\\alpha=\\frac{p_y}{p_x}.,$$ в предположении, что $\\alpha\\ll1$. Далее можно найти $$p_y=\\int F_ydt,$$ и из закона гравитации $$F_y=\\frac{GMm}{b^2}\\cos^3\\varphi.$$ Заменим переменную $$dt=\\frac{dx}{v}=\\frac{b}{v}\\frac{d\\varphi}{\\cos^2\\varphi}$$ и получим $$p_y=\\frac{GMm}{bv}\\int_{-\\pi/2}^{\\pi/2}\\cos\\varphi d\\varphi=\\frac{2GMm}{bv}.$$ Здесь мы предполагаем, что тело движется вдоль прямой, так как $\\alpha\\ll1$. Поэтому $$\\alpha=\\frac{p_y}{p}$$ и $$\\alpha=\\frac{2GM}{bv^2}=\\frac{2b_1}{b}, \\quad k=2$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$k=2$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.25"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tПусть ось $\\mathrm{Ox}$ направлена вдоль скорости черной дыры. Найдите проекцию на ось $\\mathrm{Ox}$ импульса $\\Delta p_x$, переданную звездой черной дыре."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n При пролете мимо массивного тела энергия звезды остается постоянной. Отсюда $$(p+\\Delta p_x)^2+p_y^2=p^2.$$ Мы знаем, что $p_y\\ll p$, поэтому $$\\Delta p_x=-\\frac{p_y^2}{2p}=-\\frac{\\alpha^2}{2}p=-\\frac{2 G^2 M^2 m}{b^2 v^3}$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\Delta p_x=-\\frac{2 G^2 M^2 m}{b^2 v^3}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.40"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tОцените среднюю силу $F_{DF}$, действующую на черную дыру, путем усреднения по прицельному параметру $b$. Вкладом звезд с прицельными параметрами $b < b_1$ можно пренебречь. Предполагается, что черная дыра находится в центральной части галактики. Выразите $F_{DF}$ через $M,v,R,G$, и плотность звезд $\\rho=mn$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Чтобы посчитать среднюю силу, мы можем проинтегрировать вклады звезд с разными прицельными параметрами.  Количество звезд, пролетающих за время $\\Delta t$ равно $\\Delta N=2\\pi bvn \\,d b\\Delta t$. Поэтому сила, тормозящая объект по оси $x$ равна $$F_{DF}=\\frac{1}{\\Delta t}\\int\\Delta p_x \\,dN=-4\\pi G^2M^2\\frac{nm}{v^2}\\int_{b_{min}}^{b_{max}}\\frac{db}{b}=-4\\pi G^2 M^2 \\frac{\\rho}{v^2} \\ln \\Lambda.$$ Формулы выше применимы только для $b>b_1$ поэтому $b_{min}=b_1$. Верхний предел определяется размером галактики $R=b_{max}$. Таким образом, мы имеем $$F_{D F}=-4 \\pi G^2 M^2 \\frac{\\rho}{v^2} \\log \\Lambda,$$ где $\\Lambda=R/b_1$.\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"F_{D F}=-4 \\pi G^2 M^2 \\frac{\\rho}{v^2} \\log \\Lambda"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A4\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tПолученное в предыдущей задаче выражение для $F_{DF}$ содержит множитель $\\log R/b_1$, который далее мы будем обозначать как $\\log \\Lambda$. Вычислите значение $\\log \\Lambda$ для $M =10^8~M_s$, $R = 20~кпк = 20 \\cdot 10^3~пк$ и скорости $v= 200~км/с$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$b_1=\\frac{GM}{v^2}=10.7~pc, \\log\\Lambda=7.5$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.25"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tНайдите орбитальную скорость $v_{bin}$ каждой чёрной дыры. Найдите полную энергию $E$ бинарной системы. Выразите их через $a$,$G$ и $M$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Из второго закона Ньютона $$\\frac{Mv^2}{a}=\\frac{GM^2}{4a^2}.$$ Отсюда орбитальная скорость $$v_{bin}=\\sqrt{\\frac{GM}{4a}}.$$ Энергия системы равна $$E=E_\\text{kin}+U=2\\cdot\\frac{Mv^2}{2}-\\frac{GM^2}{2a}$$. Подставляя $v$, получаем $$E=-\\frac{GM^2}{4a}$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$v_{bin}=\\sqrt{\\frac{GM}{4a}}$$$$E=-\\frac{GM^2}{4a}$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tРешим вспомогательную задачу."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Пусть звезда массой $m$ движется по направлению к точечной массе $M_2\\gg m$, находящейся в состоянии покоя. "}]},{"type":"element","tag":"ul","children":[{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"$r_m$ — минимальное расстояние между звездой и точечной массой в процессе движения,"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"$\\sigma$ — скорость звезды на большом расстоянии от $M_2$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Найдите точное значение прицельного параметра $b$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Из закона сохранения момента импульса $$b\\sigma=r_mv_0.$$ Выразим $v_0$. Для этого запишем закон сохранения энергии $$\\frac{\\sigma^2}{2}=\\frac{v_0^2}{2}-\\frac{GM_2}{r_m}.$$ Подставим и получим $$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"b=r_m \\sqrt{1+\\frac{2 G M_2}{\\sigma^2 r_m}} ."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"b=r_m \\sqrt{1+\\frac{2 G M_2}{\\sigma^2 r_m}} ."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tОцените характерное время $\\Delta t$ между двумя последовательными соударениями бинарной системы со звездами. Учтите, что $\\sigma\\ll v_{bin}$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Чтобы оценить время между столкновениями воспользуемся аналогией с газом. Как известно из МКТ, $\\pi r^2vn\\Delta t=1$, где $r$ – радиус молекул, $v$ – скорость теплового движения, $n$ - молекулярная концентрация, а $\\Delta t$ - время между столкновениями одной молекулы с другими. В нашей задаче $b_{max}$ эквивалентен радиусу молекулы. Поэтому для оценки можно записать $$(\\Delta t)^{-1}=\\pi \\sigma b^2_{max}n.$$ Оценим максимальный прицельный параметр $b_{max}$, соответствующий столкновению звезды и бинарной системы. Звезда должна достичь расстояния $a$ до бинарной системы для столкновения. На больших расстояниях от бинарной системы звезда взаимодействует с ней как с точечным объектом массой $M_2=2M$. Из результата $B2$ предполагая $r_m=a$, получаем $b_{max}=a\\sqrt{1+\\frac{4GM}{\\sigma^2a}}$. Принимая во внимание то, что $\\sigma^2\\ll \\frac{GM}{a}$, упрощаем $$b_{max}=\\frac{2}{\\sigma}\\sqrt{GMa}$$ и получаем $$\\Delta t=\\frac{m\\sigma}{4\\pi GM\\rho a}$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$\\Delta t=\\frac{m\\sigma}{4\\pi GM\\rho a}$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B4\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.25"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tОцените скорость потерь энергии бинарной системы $\\mathrm{d}E/\\mathrm{d}t$. Оцените скорость изменения радиуса $\\mathrm{d}a/\\mathrm{d}t$. Выразите её через $a$, $\\rho$, $\\sigma$, $G$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n За одно соударение энергия звезды увеличивается в среднем на $$\\Delta E_{star}=\\frac{mv_{bin}^2}{2}-\\frac{m\\sigma^2}{2}.$$ Энергия бинарной системы уменьшается на ту же величину $\\Delta E_{bin}=-\\Delta E_{star}$. Учитывая, что $\\sigma\\ll v_{bin}$, получаем $$\\Delta E_{bin}=-\\frac{m}{2}v^2_{bin}=\\frac{GmM}{8a}.$$ Средняя скорость изменения энергии бинарной системы равна $$\\frac{dE}{dt}=\\frac{\\Delta E}{\\Delta t}=-\\frac{\\pi G^2M^2\\rho}{2\\sigma}.$$ Из пункта $\\text{B1}$ можно получить $$\\frac{dE}{dt}=\\frac{d}{dt}\\left(-\\frac{GM^2}{4a}\\right)=\\frac{GM^2}{4a^2}\\frac{da}{dt}.$$ Таким образом, скорость изменения радиуса орбиты может быть оценена как $$\\frac{da}{dt}=-\\frac{2\\pi G\\rho a^2}{\\sigma}$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$\\frac{da}{dt}=-\\frac{2\\pi G\\rho a^2}{\\sigma}$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B5\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Пусть $a_1$ — начальный радиус системы. Оцените время $T_{SS}$, за которое радиус уменьшается в $2$ раза за счёт «гравитационной рогатки». Вычислите $T_{SS}$ при:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"ul","children":[{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"$\\sigma=200~км/с$,"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"$a_1=1~пк$,"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"$\\rho=10^4~M_S/пк^3$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Результат $\\text{B4}$ может быть проинтегрирован $$\\frac{da}{a^2}=-\\frac{2\\pi G\\rho}{\\sigma}dt.$$ Чтобы уменьшить радиус вдвое, требуется время $$T_{S S}=\\frac{\\sigma}{2 \\pi G \\rho a_1}=7.3 \\times 10^{-4} \\mathrm{~Gy}$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"T_{S S}=\\frac{\\sigma}{2 \\pi G \\rho a_1}=7.3 \\times 10^{-4} \\mathrm{~Gy}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tНайдите скорость изменения радиуса бинарной системы $\\mathrm{d}a/\\mathrm{d}t$ за счет излучения гравитационных волн."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Используя, что $$\\omega=\\frac{v_{bin}}{a}=\\sqrt{\\frac{GM}{4a^3}}$$ и формулы из условия, можно получить $$\\frac{dE}{dt}=-\\frac{1024 \\cdot 4}{5}\\cdot\\frac{GM^2v_{bin}^6}{c^5a^2}=-\\frac{64}{5}\\cdot\\frac{G^4M^5}{c^5a^5}.$$ Используя это и связь $\\frac{dE}{dt}$ и $\\frac{da}{at}$ можно получить $$\\frac{da}{dt}=-\\frac{256}{5}\\cdot\\frac{G^3M^3}{c^5a^3}$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$\\frac{da}{dt}=-\\frac{256}{5}\\cdot\\frac{G^3M^3}{c^5a^3}$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.70"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tОбозначим начальный радиус системы как $a_2\\gg r_g$. Оцените время $T_{GW}$, за которое бинарная система сжимается до радиуса $r_g$ за счет излучения гравитационных волн. Выразите $T_{GW}$ через $a_2$, $M$, $c$ и $G$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Интегрирование результата $\\text{C1}$ дает $$a^3\\,da=-\\frac{256}{5}\\cdot\\frac{G^3M^3}{c^5} \\Rightarrow\\frac{a_2^4-r_g^4}{4}=\\frac{256}{5}\\cdot\\frac{G^3M^3}{c^5}\\cdot T_{GW}.$$ Принимая во внимание, что $a_2\\gg r_g$ получаем конечный ответ $$T_{GW}=\\frac{5}{1024}\\cdot\\frac{a^4_2c^5}{G^3M^3}$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$T_{GW}=\\frac{5}{1024}\\cdot\\frac{a^4_2c^5}{G^3M^3}$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.10"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tВычислите начальный радиус $a_H$ бинарной системы с равными массами $M=10^8M_S$, время слияния которой равно возрасту Вселенной: $T_{GW}=t_H$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Из результата $\\text{C2}$ с учетом того, что $T_{GW}=t_H$ получаем $$a_H=\\sqrt[4]{\\frac{1024}{5} \\cdot \\frac{G^3 M^3 t_H}{c^5}}=0.098 \\mathrm{pc}$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"a_H=\\sqrt[4]{\\frac{1024}{5} \\cdot \\frac{G^3 M^3 t_H}{c^5}}=0.098 \\mathrm{pc}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                D1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.25"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tПусть тело движется по круговой орбите радиусом $a< R$ в гравитационном поле звезд. Пренебрегая силой динамического трения, найдите скорость $v$ тела."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Галактика сферически симметрична, поэтому масса, расположенная внутри сферы радиусом $r$ равна $$m(r)=\\int_0^r4\\pi x^2\\rho(x)\\,dx=\\frac{\\sigma^2r}{G}.$$ Таким образом, ускорение свободного падения в гравитационном поле звезд равно $$g(r)=\\frac{Gm(r)}{r^2}=\\frac{\\sigma^2}{r}.$$ Так как скорость тела определена уравнением $$\\frac{v^2}{r}=g=\\frac{\\sigma^2}{r},$$ мы можем получить, что $$v=\\sigma.$$ То есть скорость постоянна.\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$v=\\sigma$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                D2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.75"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tОцените скорость изменения радиуса орбиты $\\mathrm{d}a/\\mathrm{d}t$. В части "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"А"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"text","text":"мы считали все звезды неподвижными. Хотя в реальной галактике звезды движутся, не все из них имеют одинаковые скорости $\\sigma$. Скорости звезд совпадают с $\\sigma$ только по порядку величины, так же как и скорости черных дыр относительно звезд. Поэтому вы можете использовать результат, полученный в "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"A3"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"text","text":"для оценки. Используйте выражение для плотности $\\rho(r)$ из уравнения: $$\\rho(r)=\\frac{\\sigma^2}{4\\pi Gr^2}.$$ Используйте значение $\\log \\Lambda$, вычисленное в "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"A4."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Энергия черной дыры в этом гравитационном поле равна $$E=\\frac{M\\sigma^2}{2}+U.$$ Так как кинетическая энергия постоянна и $$\\frac{dE}{dt}=\\frac{dU}{dt}=\\frac{dU}{da}\\frac{da}{dt},$$ из определения потенциальной энергии получаем $$\\frac{dU}{da}=g(a)M=\\frac{M\\sigma^2}{a}.$$ Используя результат $\\text{A3}$ получаем $$\\frac{dE}{dt}=-F_{DF}v=-4\\pi G^2M^2\\frac{\\rho(a)}{\\sigma}\\ln\\Lambda=-\\frac{GM^2\\sigma \\ln \\Lambda}{a^2}.$$ Таким образом, получаем ответ $$\\frac{da}{dt}=-\\frac{GM\\log\\Lambda}{a\\sigma}$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$\\frac{da}{dt}=-\\frac{GM\\log\\Lambda}{a\\sigma}$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                D3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.30"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tОцените критический радиус $a_1$ при котором гравитационное взаимодействие между двумя черными дырами уже не пренебрежимо мало. Вычислите его. Будем говорить, что в этом момент две черные дыры образуют бинарную систему (см. рис. 2)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n $\\textbf{Способ 1:}$ Для оценки радиуса $a_1$ можем предположить, что в момент образования бинарной системы масса звезд внутри сферы равна $M$ $$m(a)=\\frac{\\sigma^2a}{G}=M.$$ Отсюда $$a_1=\\frac{GM}{\\sigma^2}=10.8~\\mathrm{pc}$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n $\\textbf{Способ 2:}$ Сила взаимодействия черных дыр равна силе взаимодействия дыры со звездами $$\\frac{Gm(a)}{a^2}=\\frac{GM}{4a^2}.$$ Тогда ответ $$a_1=\\frac{GM}{4\\sigma^2}=2.7~\\mathrm{pc}$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$a_1=\\frac{GM}{4\\sigma^2}=10.8~\\mathrm{pc}\\quad(a_1=\\frac{GM}{\\sigma^2}=2.7~\\mathrm{pc})$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                D4\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.75"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tПредположим, что после слияния галактик две чёрные дыры находились на расстоянии $a_0=2~кпк=2\\cdot10^3~пк$ от центра галактики. Из-за динамического трения образуется бинарная система. Вычислите время $T_1$, которое требуется для образования бинарной системы."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Интегрируя результат $\\text{D2}$ получаем $$\\frac{a_0^2-a_1^2}{2}=\\frac{GM\\ln\\Lambda}{\\sigma}T_1.$$ Учитывая, что $a_1\\ll a_0$, получаем $$T_1=\\frac{a_0^2 \\sigma}{2 G M \\log \\Lambda}=0.121 \\mathrm{~Gy}$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"T_1=\\frac{a_0^2 \\sigma}{2 G M \\log \\Lambda}=0.121 \\mathrm{~Gy}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                D5\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.30"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tОцените и вычислите, при каком радиусе $a_2$ это происходит."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Потери энергии из-за гравитационных волн начинает доминировать, когда $$\\frac{\\pi G^2M^2\\rho_1}{2\\sigma}<\\frac{64G^4M^5}{5c^5a^5}.$$ Тогда $$a_2=\\frac{128}{5\\pi}\\cdot\\frac{G^2M^3\\sigma}{c^5\\rho_1}=\\frac{512}{5}\\cdot\\frac{G^3M^3a_1^2}{c^5\\sigma}=0.018~\\mathrm{pc} \\quad (a_2=0.010~\\mathrm{pc})$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$a_2=0.018~\\mathrm{pc}\\quad (a_2=0.010~\\mathrm{pc})$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                D6\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.75"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tОцените время $T_2$, за которое радиус бинарной системы изменяется от значения $a_1$ до значения $a_2$ (стадия «рогатки»). Оцените время $T_3$, за которое радиус бинарной системы уменьшается от $a_2$ почти до нуля (стадия испускания гравитационных волн)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Для грубой оценки можно предположить, что на стадии рогатки ($a>a_2$) потери энергии вызваны только эффектом рогатки, поэтому $T_2$ вычисляется аналогично $\\text{B5}$ $$T_2\\approx\\frac{\\sigma}{2\\pi G\\rho_1a_2}=0.063~\\mathrm{Gy} \\quad (T_2\\approx0.0068~\\mathrm{Gy}).$$ На этапе гравитационных волн потери связаны только с ними, и $T_3$ вычисляется из $\\text{C2}$ $$T_3\\approx\\frac{5}{1024}\\cdot\\frac{a_2^4c^5}{G^3M^3}=\\frac{1}{8\\pi}\\cdot\\frac{\\sigma}{G\\rho_1a_2}=0.016~\\mathrm{Gy}\\quad (T_3\\approx0.0017~\\mathrm{Gy})$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$T_2\\approx0.063~\\mathrm{Gy}\\quad(T_2\\approx0.0068~\\mathrm{Gy})$$ $$T_3\\approx0.016~\\mathrm{Gy}\\quad(T_3\\approx0.0017~\\mathrm{Gy})$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                D7\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.30"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tДля параметров, приведенных выше, вычислите общее время эволюции $T_{ev}$ от слияния галактик до слияния черных дыр."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Полное время слияния равно $$T_{ev}=T_1+T_2+T_{GW}=0.20~\\mathrm{Gy}\\quad(T_{ev}=0.13~\\mathrm{Gy})$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$T_{ev}=0.20~\\mathrm{Gy} \\quad (T_{ev}=0.13~\\mathrm{Gy})$$\n\n                    "}]}]}]}],"text":"A1 0.75 Перейдем в систему отсчета, связанную со сверхмассивной черной дырой. Рассмотрим движение одной звезды с прицельным параметром $b$ (см. рис. 1). Будем предполагать, что: $$b\\gg b_1 =\\frac{GM}{v^2}.$$ Угловое отклонение звезды равно $\\alpha=kb_1/b$, где $k$ — некоторый коэффициент. Найдите значение $k$. Если вы не можете найти значение $k$, примите $k=1$ в дальнейшем. Угол отклонения найден из равенства $$\\tan\\alpha\\approx\\alpha=\\frac{p_y}{p_x}.,$$ в предположении, что $\\alpha\\ll1$. Далее можно найти $$p_y=\\int F_ydt,$$ и из закона гравитации $$F_y=\\frac{GMm}{b^2}\\cos^3\\varphi.$$ Заменим переменную $$dt=\\frac{dx}{v}=\\frac{b}{v}\\frac{d\\varphi}{\\cos^2\\varphi}$$ и получим $$p_y=\\frac{GMm}{bv}\\int_{-\\pi/2}^{\\pi/2}\\cos\\varphi d\\varphi=\\frac{2GMm}{bv}.$$ Здесь мы предполагаем, что тело движется вдоль прямой, так как $\\alpha\\ll1$. Поэтому $$\\alpha=\\frac{p_y}{p}$$ и $$\\alpha=\\frac{2GM}{bv^2}=\\frac{2b_1}{b}, \\quad k=2$$ Ответ: \n                    \n $$k=2$$\nA2 0.25 Пусть ось $\\mathrm{Ox}$ направлена вдоль скорости черной дыры. Найдите проекцию на ось $\\mathrm{Ox}$ импульса $\\Delta p_x$, переданную звездой черной дыре. При пролете мимо массивного тела энергия звезды остается постоянной. Отсюда $$(p+\\Delta p_x)^2+p_y^2=p^2.$$ Мы знаем, что $p_y\\ll p$, поэтому $$\\Delta p_x=-\\frac{p_y^2}{2p}=-\\frac{\\alpha^2}{2}p=-\\frac{2 G^2 M^2 m}{b^2 v^3}$$ Ответ: \n                    \n $$ \\Delta p_x=-\\frac{2 G^2 M^2 m}{b^2 v^3} $$\nA3 0.40 Оцените среднюю силу $F_{DF}$, действующую на черную дыру, путем усреднения по прицельному параметру $b$. Вкладом звезд с прицельными параметрами $b < b_1$ можно пренебречь. Предполагается, что черная дыра находится в центральной части галактики. Выразите $F_{DF}$ через $M,v,R,G$, и плотность звезд $\\rho=mn$. Чтобы посчитать среднюю силу, мы можем проинтегрировать вклады звезд с разными прицельными параметрами.  Количество звезд, пролетающих за время $\\Delta t$ равно $\\Delta N=2\\pi bvn \\,d b\\Delta t$. Поэтому сила, тормозящая объект по оси $x$ равна $$F_{DF}=\\frac{1}{\\Delta t}\\int\\Delta p_x \\,dN=-4\\pi G^2M^2\\frac{nm}{v^2}\\int_{b_{min}}^{b_{max}}\\frac{db}{b}=-4\\pi G^2 M^2 \\frac{\\rho}{v^2} \\ln \\Lambda.$$ Формулы выше применимы только для $b>b_1$ поэтому $b_{min}=b_1$. Верхний предел определяется размером галактики $R=b_{max}$. Таким образом, мы имеем $$F_{D F}=-4 \\pi G^2 M^2 \\frac{\\rho}{v^2} \\log \\Lambda,$$ где $\\Lambda=R/b_1$. Ответ: \n                    \n $$ F_{D F}=-4 \\pi G^2 M^2 \\frac{\\rho}{v^2} \\log \\Lambda $$\nA4 0.20 Полученное в предыдущей задаче выражение для $F_{DF}$ содержит множитель $\\log R/b_1$, который далее мы будем обозначать как $\\log \\Lambda$. Вычислите значение $\\log \\Lambda$ для $M =10^8~M_s$, $R = 20~кпк = 20 \\cdot 10^3~пк$ и скорости $v= 200~км/с$. Ответ: \n                    \n $$b_1=\\frac{GM}{v^2}=10.7~pc, \\log\\Lambda=7.5$$\nB1 0.25 Найдите орбитальную скорость $v_{bin}$ каждой чёрной дыры. Найдите полную энергию $E$ бинарной системы. Выразите их через $a$,$G$ и $M$. Из второго закона Ньютона $$\\frac{Mv^2}{a}=\\frac{GM^2}{4a^2}.$$ Отсюда орбитальная скорость $$v_{bin}=\\sqrt{\\frac{GM}{4a}}.$$ Энергия системы равна $$E=E_\\text{kin}+U=2\\cdot\\frac{Mv^2}{2}-\\frac{GM^2}{2a}$$. Подставляя $v$, получаем $$E=-\\frac{GM^2}{4a}$$ Ответ: \n                    \n $$v_{bin}=\\sqrt{\\frac{GM}{4a}}$$$$E=-\\frac{GM^2}{4a}$$\nB2 0.50 Решим вспомогательную задачу. Пусть звезда массой $m$ движется по направлению к точечной массе $M_2\\gg m$, находящейся в состоянии покоя. $r_m$ — минимальное расстояние между звездой и точечной массой в процессе движения, $\\sigma$ — скорость звезды на большом расстоянии от $M_2$. Найдите точное значение прицельного параметра $b$. Из закона сохранения момента импульса $$b\\sigma=r_mv_0.$$ Выразим $v_0$. Для этого запишем закон сохранения энергии $$\\frac{\\sigma^2}{2}=\\frac{v_0^2}{2}-\\frac{GM_2}{r_m}.$$ Подставим и получим $$ b=r_m \\sqrt{1+\\frac{2 G M_2}{\\sigma^2 r_m}} . $$ Ответ: \n                    \n $$ b=r_m \\sqrt{1+\\frac{2 G M_2}{\\sigma^2 r_m}} . $$\nB3 1.00 Оцените характерное время $\\Delta t$ между двумя последовательными соударениями бинарной системы со звездами. Учтите, что $\\sigma\\ll v_{bin}$. Чтобы оценить время между столкновениями воспользуемся аналогией с газом. Как известно из МКТ, $\\pi r^2vn\\Delta t=1$, где $r$ – радиус молекул, $v$ – скорость теплового движения, $n$ - молекулярная концентрация, а $\\Delta t$ - время между столкновениями одной молекулы с другими. В нашей задаче $b_{max}$ эквивалентен радиусу молекулы. Поэтому для оценки можно записать $$(\\Delta t)^{-1}=\\pi \\sigma b^2_{max}n.$$ Оценим максимальный прицельный параметр $b_{max}$, соответствующий столкновению звезды и бинарной системы. Звезда должна достичь расстояния $a$ до бинарной системы для столкновения. На больших расстояниях от бинарной системы звезда взаимодействует с ней как с точечным объектом массой $M_2=2M$. Из результата $B2$ предполагая $r_m=a$, получаем $b_{max}=a\\sqrt{1+\\frac{4GM}{\\sigma^2a}}$. Принимая во внимание то, что $\\sigma^2\\ll \\frac{GM}{a}$, упрощаем $$b_{max}=\\frac{2}{\\sigma}\\sqrt{GMa}$$ и получаем $$\\Delta t=\\frac{m\\sigma}{4\\pi GM\\rho a}$$ Ответ: \n                    \n $$\\Delta t=\\frac{m\\sigma}{4\\pi GM\\rho a}$$\nB4 0.25 Оцените скорость потерь энергии бинарной системы $\\mathrm{d}E/\\mathrm{d}t$. Оцените скорость изменения радиуса $\\mathrm{d}a/\\mathrm{d}t$. Выразите её через $a$, $\\rho$, $\\sigma$, $G$. За одно соударение энергия звезды увеличивается в среднем на $$\\Delta E_{star}=\\frac{mv_{bin}^2}{2}-\\frac{m\\sigma^2}{2}.$$ Энергия бинарной системы уменьшается на ту же величину $\\Delta E_{bin}=-\\Delta E_{star}$. Учитывая, что $\\sigma\\ll v_{bin}$, получаем $$\\Delta E_{bin}=-\\frac{m}{2}v^2_{bin}=\\frac{GmM}{8a}.$$ Средняя скорость изменения энергии бинарной системы равна $$\\frac{dE}{dt}=\\frac{\\Delta E}{\\Delta t}=-\\frac{\\pi G^2M^2\\rho}{2\\sigma}.$$ Из пункта $\\text{B1}$ можно получить $$\\frac{dE}{dt}=\\frac{d}{dt}\\left(-\\frac{GM^2}{4a}\\right)=\\frac{GM^2}{4a^2}\\frac{da}{dt}.$$ Таким образом, скорость изменения радиуса орбиты может быть оценена как $$\\frac{da}{dt}=-\\frac{2\\pi G\\rho a^2}{\\sigma}$$ Ответ: \n                    \n $$\\frac{da}{dt}=-\\frac{2\\pi G\\rho a^2}{\\sigma}$$\nB5 1.00 Пусть $a_1$ — начальный радиус системы. Оцените время $T_{SS}$, за которое радиус уменьшается в $2$ раза за счёт «гравитационной рогатки». Вычислите $T_{SS}$ при: $\\sigma=200~км/с$, $a_1=1~пк$, $\\rho=10^4~M_S/пк^3$. Результат $\\text{B4}$ может быть проинтегрирован $$\\frac{da}{a^2}=-\\frac{2\\pi G\\rho}{\\sigma}dt.$$ Чтобы уменьшить радиус вдвое, требуется время $$T_{S S}=\\frac{\\sigma}{2 \\pi G \\rho a_1}=7.3 \\times 10^{-4} \\mathrm{~Gy}$$ Ответ: \n                    \n $$ T_{S S}=\\frac{\\sigma}{2 \\pi G \\rho a_1}=7.3 \\times 10^{-4} \\mathrm{~Gy} $$\nC1 0.20 Найдите скорость изменения радиуса бинарной системы $\\mathrm{d}a/\\mathrm{d}t$ за счет излучения гравитационных волн. Используя, что $$\\omega=\\frac{v_{bin}}{a}=\\sqrt{\\frac{GM}{4a^3}}$$ и формулы из условия, можно получить $$\\frac{dE}{dt}=-\\frac{1024 \\cdot 4}{5}\\cdot\\frac{GM^2v_{bin}^6}{c^5a^2}=-\\frac{64}{5}\\cdot\\frac{G^4M^5}{c^5a^5}.$$ Используя это и связь $\\frac{dE}{dt}$ и $\\frac{da}{at}$ можно получить $$\\frac{da}{dt}=-\\frac{256}{5}\\cdot\\frac{G^3M^3}{c^5a^3}$$ Ответ: \n                    \n $$\\frac{da}{dt}=-\\frac{256}{5}\\cdot\\frac{G^3M^3}{c^5a^3}$$\nC2 0.70 Обозначим начальный радиус системы как $a_2\\gg r_g$. Оцените время $T_{GW}$, за которое бинарная система сжимается до радиуса $r_g$ за счет излучения гравитационных волн. Выразите $T_{GW}$ через $a_2$, $M$, $c$ и $G$. Интегрирование результата $\\text{C1}$ дает $$a^3\\,da=-\\frac{256}{5}\\cdot\\frac{G^3M^3}{c^5} \\Rightarrow\\frac{a_2^4-r_g^4}{4}=\\frac{256}{5}\\cdot\\frac{G^3M^3}{c^5}\\cdot T_{GW}.$$ Принимая во внимание, что $a_2\\gg r_g$ получаем конечный ответ $$T_{GW}=\\frac{5}{1024}\\cdot\\frac{a^4_2c^5}{G^3M^3}$$ Ответ: \n                    \n $$T_{GW}=\\frac{5}{1024}\\cdot\\frac{a^4_2c^5}{G^3M^3}$$\nC3 0.10 Вычислите начальный радиус $a_H$ бинарной системы с равными массами $M=10^8M_S$, время слияния которой равно возрасту Вселенной: $T_{GW}=t_H$. Из результата $\\text{C2}$ с учетом того, что $T_{GW}=t_H$ получаем $$a_H=\\sqrt[4]{\\frac{1024}{5} \\cdot \\frac{G^3 M^3 t_H}{c^5}}=0.098 \\mathrm{pc}$$ Ответ: \n                    \n $$ a_H=\\sqrt[4]{\\frac{1024}{5} \\cdot \\frac{G^3 M^3 t_H}{c^5}}=0.098 \\mathrm{pc} $$\nD1 0.25 Пусть тело движется по круговой орбите радиусом $a< R$ в гравитационном поле звезд. Пренебрегая силой динамического трения, найдите скорость $v$ тела. Галактика сферически симметрична, поэтому масса, расположенная внутри сферы радиусом $r$ равна $$m(r)=\\int_0^r4\\pi x^2\\rho(x)\\,dx=\\frac{\\sigma^2r}{G}.$$ Таким образом, ускорение свободного падения в гравитационном поле звезд равно $$g(r)=\\frac{Gm(r)}{r^2}=\\frac{\\sigma^2}{r}.$$ Так как скорость тела определена уравнением $$\\frac{v^2}{r}=g=\\frac{\\sigma^2}{r},$$ мы можем получить, что $$v=\\sigma.$$ То есть скорость постоянна. Ответ: \n                    \n $$v=\\sigma$$\nD2 0.75 Оцените скорость изменения радиуса орбиты $\\mathrm{d}a/\\mathrm{d}t$. В части А мы считали все звезды неподвижными. Хотя в реальной галактике звезды движутся, не все из них имеют одинаковые скорости $\\sigma$. Скорости звезд совпадают с $\\sigma$ только по порядку величины, так же как и скорости черных дыр относительно звезд. Поэтому вы можете использовать результат, полученный в A3 для оценки. Используйте выражение для плотности $\\rho(r)$ из уравнения: $$\\rho(r)=\\frac{\\sigma^2}{4\\pi Gr^2}.$$ Используйте значение $\\log \\Lambda$, вычисленное в A4. Энергия черной дыры в этом гравитационном поле равна $$E=\\frac{M\\sigma^2}{2}+U.$$ Так как кинетическая энергия постоянна и $$\\frac{dE}{dt}=\\frac{dU}{dt}=\\frac{dU}{da}\\frac{da}{dt},$$ из определения потенциальной энергии получаем $$\\frac{dU}{da}=g(a)M=\\frac{M\\sigma^2}{a}.$$ Используя результат $\\text{A3}$ получаем $$\\frac{dE}{dt}=-F_{DF}v=-4\\pi G^2M^2\\frac{\\rho(a)}{\\sigma}\\ln\\Lambda=-\\frac{GM^2\\sigma \\ln \\Lambda}{a^2}.$$ Таким образом, получаем ответ $$\\frac{da}{dt}=-\\frac{GM\\log\\Lambda}{a\\sigma}$$ Ответ: \n                    \n $$\\frac{da}{dt}=-\\frac{GM\\log\\Lambda}{a\\sigma}$$\nD3 0.30 Оцените критический радиус $a_1$ при котором гравитационное взаимодействие между двумя черными дырами уже не пренебрежимо мало. Вычислите его. Будем говорить, что в этом момент две черные дыры образуют бинарную систему (см. рис. 2). $\\textbf{Способ 1:}$ Для оценки радиуса $a_1$ можем предположить, что в момент образования бинарной системы масса звезд внутри сферы равна $M$ $$m(a)=\\frac{\\sigma^2a}{G}=M.$$ Отсюда $$a_1=\\frac{GM}{\\sigma^2}=10.8~\\mathrm{pc}$$ $\\textbf{Способ 2:}$ Сила взаимодействия черных дыр равна силе взаимодействия дыры со звездами $$\\frac{Gm(a)}{a^2}=\\frac{GM}{4a^2}.$$ Тогда ответ $$a_1=\\frac{GM}{4\\sigma^2}=2.7~\\mathrm{pc}$$ Ответ: \n                    \n $$a_1=\\frac{GM}{4\\sigma^2}=10.8~\\mathrm{pc}\\quad(a_1=\\frac{GM}{\\sigma^2}=2.7~\\mathrm{pc})$$\nD4 0.75 Предположим, что после слияния галактик две чёрные дыры находились на расстоянии $a_0=2~кпк=2\\cdot10^3~пк$ от центра галактики. Из-за динамического трения образуется бинарная система. Вычислите время $T_1$, которое требуется для образования бинарной системы. Интегрируя результат $\\text{D2}$ получаем $$\\frac{a_0^2-a_1^2}{2}=\\frac{GM\\ln\\Lambda}{\\sigma}T_1.$$ Учитывая, что $a_1\\ll a_0$, получаем $$T_1=\\frac{a_0^2 \\sigma}{2 G M \\log \\Lambda}=0.121 \\mathrm{~Gy}$$ Ответ: \n                    \n $$ T_1=\\frac{a_0^2 \\sigma}{2 G M \\log \\Lambda}=0.121 \\mathrm{~Gy} $$\nD5 0.30 Оцените и вычислите, при каком радиусе $a_2$ это происходит. Потери энергии из-за гравитационных волн начинает доминировать, когда $$\\frac{\\pi G^2M^2\\rho_1}{2\\sigma}<\\frac{64G^4M^5}{5c^5a^5}.$$ Тогда $$a_2=\\frac{128}{5\\pi}\\cdot\\frac{G^2M^3\\sigma}{c^5\\rho_1}=\\frac{512}{5}\\cdot\\frac{G^3M^3a_1^2}{c^5\\sigma}=0.018~\\mathrm{pc} \\quad (a_2=0.010~\\mathrm{pc})$$ Ответ: \n                    \n $$a_2=0.018~\\mathrm{pc}\\quad (a_2=0.010~\\mathrm{pc})$$\nD6 1.75 Оцените время $T_2$, за которое радиус бинарной системы изменяется от значения $a_1$ до значения $a_2$ (стадия «рогатки»). Оцените время $T_3$, за которое радиус бинарной системы уменьшается от $a_2$ почти до нуля (стадия испускания гравитационных волн). Для грубой оценки можно предположить, что на стадии рогатки ($a>a_2$) потери энергии вызваны только эффектом рогатки, поэтому $T_2$ вычисляется аналогично $\\text{B5}$ $$T_2\\approx\\frac{\\sigma}{2\\pi G\\rho_1a_2}=0.063~\\mathrm{Gy} \\quad (T_2\\approx0.0068~\\mathrm{Gy}).$$ На этапе гравитационных волн потери связаны только с ними, и $T_3$ вычисляется из $\\text{C2}$ $$T_3\\approx\\frac{5}{1024}\\cdot\\frac{a_2^4c^5}{G^3M^3}=\\frac{1}{8\\pi}\\cdot\\frac{\\sigma}{G\\rho_1a_2}=0.016~\\mathrm{Gy}\\quad (T_3\\approx0.0017~\\mathrm{Gy})$$ Ответ: \n                    \n $$T_2\\approx0.063~\\mathrm{Gy}\\quad(T_2\\approx0.0068~\\mathrm{Gy})$$ $$T_3\\approx0.016~\\mathrm{Gy}\\quad(T_3\\approx0.0017~\\mathrm{Gy})$$\nD7 0.30 Для параметров, приведенных выше, вычислите общее время эволюции $T_{ev}$ от слияния галактик до слияния черных дыр. Полное время слияния равно $$T_{ev}=T_1+T_2+T_{GW}=0.20~\\mathrm{Gy}\\quad(T_{ev}=0.13~\\mathrm{Gy})$$ Ответ: \n                    \n $$T_{ev}=0.20~\\mathrm{Gy} \\quad (T_{ev}=0.13~\\mathrm{Gy})$$","figures":[],"shared":false}},{"id":"apho-2017-t3","importedOn":"2026-10-28","language":"ru","sources":[{"url":"https://pho.rs/p/3453","kind":"statement"},{"url":"https://pho.rs/p/3453/s","kind":"solution"}],"statement":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Введение"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tЗа более чем полувековую историю освоения космоса, вокруг Земли скопилось огромное количество космического мусора, состоящего из нефункционирующих спутников, использованных верхних ступеней ракет и прочих объектов, не выполняющих никаких полезных функций. Для очистки орбит от космического мусора в настоящее время планируют специальные миссии. Предполагается, что специальные аппараты — космические буксиры — захватывают крупные объекты космического мусора и сводят их в плотные слои атмосферы или на специальные орбиты-захоронения. Однако перед тем, как отправлять буксир для захвата космического мусора, важно понимать вращательную динамику этих объектов на орбите."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"В данной задаче вам предстоит спланировать подобную миссию по очистке орбит от ненужных объектов, анализируя различные факторы влияющие на изменение параметров их движения."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Описание использованной ступени ракеты"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tВ данной задаче в качестве крупного объекта космического мусора будет рассмотрена использованная верхняя ступень ракеты, схематично показанная на Рис. 1. Круговой линией схематически показан сферический топливный бак ракеты."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/d655b035cea014b4536e.webp","alt":"apho-2017-t3 statement: original source diagram 1"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 1. Верхняя ступень ракеты Kerbodyne-42"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tВведем систему координат $C_{xy}$, связанную со ступенью ракеты, как показано на Рис. 1, с началом в центре масс $C$. Ось $x$ совпадает с осью симметрии объекта, а ось $y$ перпендикулярна к оси $x$. Моменты инерции объекта относительно этих осей.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Задание A. Вращение"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tРассмотрим движение ступени с моментом импульса $L$, который составляет угол $\\theta$ с осью симметрии (см. Рис. 2). В данном пункте будем считать, что топливный бак пуст, и никакие внешние силы или моменты сил на ступень не действуют."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/f1cefa62deb74a14fa15.webp","alt":"apho-2017-t3 statement: original source diagram 2"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 2. Вращение ступени ракеты"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tНайдите проекции угловой скорости объекта $\\vec\\omega$ на оси $x$ и $y$, используя тот факт, что момент импульса записывается как $\\vec L=J_x\\omega_x\\vec e_x+J_y\\omega_y\\vec e_y$, где $\\vec e_x$ и $\\vec e_y$ — единичные векторы осей $x$ и $y$. Ответ выразите через $L=|\\vec L|$, угол $\\theta$, и моменты инерции $J_x, J_y$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.40"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tНайдите кинетическую энергию $E_x$ вращения ступени с угловой скоростью $\\omega_x$. Найдите кинетическую энергию $E_y$ вращения ступени с угловой скоростью $\\omega_y$. Найдите полную кинетическую энергию вращательного движения ступени $E=E_x+E_y$ как функцию ее момента импульса $L$ и $\\cos \\theta$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tВ последующих подпунктах задания $А$ считайте, что ступень свободно вращается с начальным моментом импульса $L$ и начальным углом $\\theta(0)=\\theta_0$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tПусть ось $x_0$ — начальное положение оси симметрии $C_x$ ступени относительно некоторой инерциальной системы отсчета. Используя законы сохранения, найдите максимальный угол $\\psi$, между осью симметрии $C_x$ ступени и её первоначальным направлением $x_0$ в течение свободного вращения объекта."},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"Примечание: "}]},{"type":"text","text":"Вектор момента импульса ступени сохраняется, так как на ступень не действуют никакие внешние моменты сил."}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/9bb54a158eb43bb122c8.webp","alt":"apho-2017-t3 statement: original source diagram 3"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 3. Прецессия"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tРассмотрим систему отсчета $C_{{x_1}{y_1}{z_1}}$, ось $y_1$ которой сонаправлена с постоянным вектором момента импульса $\\vec L$ (см. Рис. 3 выше). Система $C_{{x_1}{y_1}{z_1}}$ вращается вокруг оси $y_1$ так, что ось симметрии ступени ракеты все время остается в плоскости $C_{{x_1}{y_1}}$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A4\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 2.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tПусть даны значения $L,\\theta(0)=\\theta_0$ и моментов инерции $J_x$, $J_y$. Найдите как функции времени угловую скорость вращения $\\Omega(t)$ системы отсчета $C_{{x_1}{y_1}}$ вокруг оси $y_1$, а также направление и величину угловой скорости ступени $\\vec \\omega_s(t)$ относительно системы отсчета $C_{{x_1}{y_1}}$. Ответ для направления $\\vec \\omega_s(t)$ приведите через угол $\\gamma_s(t)$, который $\\vec \\omega_s(t)$ составляет с осью $C_x$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"Примечание:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"text","text":"Вектор угловой скорости может быть представлен в виде суммы $\\vec\\omega=\\vec\\omega_x+\\vec\\omega_y=\\vec\\Omega+\\vec\\omega_s$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Задание B. Переходный процесс"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tБольшая часть топлива сжигается во время подъема ракеты, однако, после отсоединения от ступени полезной нагрузки в топливном баке остается неизрасходованное жидкое топливо. Масса $m$ остатков жидкого топлива мала по сравнению с массой $M$ ступени ракеты. Движение жидкого топлива в баке и соответствующие силы вязкого трения между топливом и стенками бака приводят к потерям энергии. В результате переходного процесса через некоторое время энергия достигает своего минимума."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tСчитая известными начальные значения момента импульса $L$ и угла $\\theta(0)=\\theta_1\\in(0,\\pi/2)$, найдите значение $\\theta_2$ угла $\\theta$ в конце переходного процесса."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/ea320cad5213e1e78180.webp","alt":"apho-2017-t3 statement: original source diagram 4"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 4. Угол между вектором угловой скорости ступени и ее осью симметрии"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tПусть в начальный момент времени угловая скорость $\\omega(0)=\\omega_1=1~рад/с$ составляет угол $\\gamma(0)=\\gamma_1=30^{\\circ}\\mathrm C$ с осью симметрии ступени. Вычислите значение $\\omega_2$ угловой скорости $\\omega$ после прохождения переходного процесса. Моменты инерции ступени равны $J_x=4200~кг\\cdot м^2$ и $J_y=15000~кг\\cdot м^2$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Задание C. Магнитное поле"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tЕщё один важный фактор для вращательной динамики рассматриваемых объектов — взаимодействие с магнитным полем Земли. Для начала решим вспомогательную задачу."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Момент сил, обусловленный вихревыми токами"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tРассмотрим тонкостенную немагнитную сферическую оболочку с толщиной стенок $D$ и радиусом $R$, помещенную в однородное магнитное поле $\\vec B$. Поле $\\vec B$ меняется медленно, а производная по времени $\\dot{\\vec B}$ ($\\vec B$ «с точкой») есть постоянный вектор, составляющий угол $\\alpha$ с направлением вектора $\\vec B$ (см. Рис. 5). Удельное сопротивление материала сферической оболочки равно $\\rho$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/f24ca65a4b264436c2a4.webp","alt":"apho-2017-t3 statement: original source diagram 5"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 5. Сферическая оболочка в магнитном поле"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tПренебрегая явлением самоиндукции, найдите магнитный момент $\\vec \\mu$ сферической оболочки. Приведите ответ для вектора $\\vec \\mu$ в виде проекций на оси $xyz$, показанных на Рис. 5."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.30"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tНайдите момент сил $\\vec M$, действующий на сферическую оболочку. Приведите ответ для вектора $\\vec M$ в виде проекций на оси $xyz$, показанные на Рис. 5."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Эволюция вращательного движения в магнитном поле Земли"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tДавайте выясним, как изменяется вращение ступени, движущейся по круговой полярной орбите с периодом обращения $T=100~мин$ (см. Рис. 6 ниже). Будем считать, что характерное время переходного процесса много меньше, чем характерные времена процессов изменения динамики ступени вследствие взаимодействия с геомагнитным полем. Рассмотрим, что происходит после завершения переходных процессов. Положим, что в начальный момент времени ступень вращается с угловой скоростью $\\omega_2$ вокруг оси, перпендикулярной к плоскости орбиты."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/b9e4351e4a5d1eef9242.webp","alt":"apho-2017-t3 statement: original source diagram 6"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 6. Орбита ступени"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.40"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tМагнитное поле Земли $\\vec B_E$ можно считать полем точечного диполя, помещенного в центр Земли. Дипольный момент равен $\\vec\\mu_E$ и направлен противоположно оси $Y$. Величина магнитного поля $B$ в точке, где орбита ступени пересекает экваториальную плоскость $XZ$, равна $B_0=20\\mu T$. Найдите магнитное поле $\\vec B_E(u)$ в точке орбиты, характеризуемой углом $u$, как показано на Рис. 6. Положительное направление отсчета угла $u$ совпадает с направлением движения по орбите. Ответ представьте в виде проекций $\\vec B_E(u)$ на оси $XYZ$."},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"Примечание: "}]},{"type":"text","text":"Для последующих вычислений может оказаться полезным, если проекции магнитного поля $\\vec B_E(u)$ выразить как функции от $2u$ вместо функций от $u$. Магнитное поле диполя в точке, заданной вектором $\\vec r$ можно записать как: \\[\\vec{B}=\\frac{\\mu_0}{4 \\pi}\\left(\\frac{3(\\vec{\\mu} \\cdot \\vec{r}) \\vec{r}}{r^5}-\\frac{\\vec{\\mu}}{r^3}\\right).\\]"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tСчитайте что ступень ракеты сделана в основном из дерева, за исключением топливного бака, выполненного из проводящего материала. Тогда взаимодействие ступени ракеты с геомагнитным полем может быть смоделировано как взаимодействие лишь со сферической оболочкой. Толщина стенок оболочки $D=2~мм$, радиус $R=4~м$ и удельное сопротивление $\\rho=2.7\\cdot10^{-8}~Ом\\cdot м$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C4\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.30"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tНайдите момент сил $\\vec M(u)$, действующих на ступень, которая вращается вокруг оси, перпендикулярной к плоскости орбиты. Угловая скорость вращения ступени равна $\\omega$, она коллинеарна оси $Z$. Ответ для $\\vec M(u)$ приведите в виде проекций на оси $XYZ$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C5\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tСчитая изменение угловой скорости ступени за один период обращения по орбите пренебрежимо малым, найдите зависимость модуля угловой скорости $\\omega(t)$ от времени."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C6\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tНайдите отношение периода орбитального движения $T$ к периоду вращения ступени ракеты $T_s$ в установившемся режиме, спустя очень большой промежуток времени."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]}],"text":"Введение За более чем полувековую историю освоения космоса, вокруг Земли скопилось огромное количество космического мусора, состоящего из нефункционирующих спутников, использованных верхних ступеней ракет и прочих объектов, не выполняющих никаких полезных функций. Для очистки орбит от космического мусора в настоящее время планируют специальные миссии. Предполагается, что специальные аппараты — космические буксиры — захватывают крупные объекты космического мусора и сводят их в плотные слои атмосферы или на специальные орбиты-захоронения. Однако перед тем, как отправлять буксир для захвата космического мусора, важно понимать вращательную динамику этих объектов на орбите. В данной задаче вам предстоит спланировать подобную миссию по очистке орбит от ненужных объектов, анализируя различные факторы влияющие на изменение параметров их движения. Описание использованной ступени ракеты В данной задаче в качестве крупного объекта космического мусора будет рассмотрена использованная верхняя ступень ракеты, схематично показанная на Рис. 1. Круговой линией схематически показан сферический топливный бак ракеты. Рис. 1. Верхняя ступень ракеты Kerbodyne-42 Введем систему координат $C_{xy}$, связанную со ступенью ракеты, как показано на Рис. 1, с началом в центре масс $C$. Ось $x$ совпадает с осью симметрии объекта, а ось $y$ перпендикулярна к оси $x$. Моменты инерции объекта относительно этих осей. Задание A. Вращение Рассмотрим движение ступени с моментом импульса $L$, который составляет угол $\\theta$ с осью симметрии (см. Рис. 2). В данном пункте будем считать, что топливный бак пуст, и никакие внешние силы или моменты сил на ступень не действуют. Рис. 2. Вращение ступени ракеты A1 0.20 Найдите проекции угловой скорости объекта $\\vec\\omega$ на оси $x$ и $y$, используя тот факт, что момент импульса записывается как $\\vec L=J_x\\omega_x\\vec e_x+J_y\\omega_y\\vec e_y$, где $\\vec e_x$ и $\\vec e_y$ — единичные векторы осей $x$ и $y$. Ответ выразите через $L=|\\vec L|$, угол $\\theta$, и моменты инерции $J_x, J_y$. A2 0.40 Найдите кинетическую энергию $E_x$ вращения ступени с угловой скоростью $\\omega_x$. Найдите кинетическую энергию $E_y$ вращения ступени с угловой скоростью $\\omega_y$. Найдите полную кинетическую энергию вращательного движения ступени $E=E_x+E_y$ как функцию ее момента импульса $L$ и $\\cos \\theta$. В последующих подпунктах задания $А$ считайте, что ступень свободно вращается с начальным моментом импульса $L$ и начальным углом $\\theta(0)=\\theta_0$. A3 1.20 Пусть ось $x_0$ — начальное положение оси симметрии $C_x$ ступени относительно некоторой инерциальной системы отсчета. Используя законы сохранения, найдите максимальный угол $\\psi$, между осью симметрии $C_x$ ступени и её первоначальным направлением $x_0$ в течение свободного вращения объекта. Примечание: Вектор момента импульса ступени сохраняется, так как на ступень не действуют никакие внешние моменты сил. Рис. 3. Прецессия Рассмотрим систему отсчета $C_{{x_1}{y_1}{z_1}}$, ось $y_1$ которой сонаправлена с постоянным вектором момента импульса $\\vec L$ (см. Рис. 3 выше). Система $C_{{x_1}{y_1}{z_1}}$ вращается вокруг оси $y_1$ так, что ось симметрии ступени ракеты все время остается в плоскости $C_{{x_1}{y_1}}$. A4 2.00 Пусть даны значения $L,\\theta(0)=\\theta_0$ и моментов инерции $J_x$, $J_y$. Найдите как функции времени угловую скорость вращения $\\Omega(t)$ системы отсчета $C_{{x_1}{y_1}}$ вокруг оси $y_1$, а также направление и величину угловой скорости ступени $\\vec \\omega_s(t)$ относительно системы отсчета $C_{{x_1}{y_1}}$. Ответ для направления $\\vec \\omega_s(t)$ приведите через угол $\\gamma_s(t)$, который $\\vec \\omega_s(t)$ составляет с осью $C_x$. Примечание: Вектор угловой скорости может быть представлен в виде суммы $\\vec\\omega=\\vec\\omega_x+\\vec\\omega_y=\\vec\\Omega+\\vec\\omega_s$. Задание B. Переходный процесс Большая часть топлива сжигается во время подъема ракеты, однако, после отсоединения от ступени полезной нагрузки в топливном баке остается неизрасходованное жидкое топливо. Масса $m$ остатков жидкого топлива мала по сравнению с массой $M$ ступени ракеты. Движение жидкого топлива в баке и соответствующие силы вязкого трения между топливом и стенками бака приводят к потерям энергии. В результате переходного процесса через некоторое время энергия достигает своего минимума. B1 0.60 Считая известными начальные значения момента импульса $L$ и угла $\\theta(0)=\\theta_1\\in(0,\\pi/2)$, найдите значение $\\theta_2$ угла $\\theta$ в конце переходного процесса. Рис. 4. Угол между вектором угловой скорости ступени и ее осью симметрии B2 0.60 Пусть в начальный момент времени угловая скорость $\\omega(0)=\\omega_1=1~рад/с$ составляет угол $\\gamma(0)=\\gamma_1=30^{\\circ}\\mathrm C$ с осью симметрии ступени. Вычислите значение $\\omega_2$ угловой скорости $\\omega$ после прохождения переходного процесса. Моменты инерции ступени равны $J_x=4200~кг\\cdot м^2$ и $J_y=15000~кг\\cdot м^2$. Задание C. Магнитное поле Ещё один важный фактор для вращательной динамики рассматриваемых объектов — взаимодействие с магнитным полем Земли. Для начала решим вспомогательную задачу. Момент сил, обусловленный вихревыми токами Рассмотрим тонкостенную немагнитную сферическую оболочку с толщиной стенок $D$ и радиусом $R$, помещенную в однородное магнитное поле $\\vec B$. Поле $\\vec B$ меняется медленно, а производная по времени $\\dot{\\vec B}$ ($\\vec B$ «с точкой») есть постоянный вектор, составляющий угол $\\alpha$ с направлением вектора $\\vec B$ (см. Рис. 5). Удельное сопротивление материала сферической оболочки равно $\\rho$. Рис. 5. Сферическая оболочка в магнитном поле C1 1.00 Пренебрегая явлением самоиндукции, найдите магнитный момент $\\vec \\mu$ сферической оболочки. Приведите ответ для вектора $\\vec \\mu$ в виде проекций на оси $xyz$, показанных на Рис. 5. C2 0.30 Найдите момент сил $\\vec M$, действующий на сферическую оболочку. Приведите ответ для вектора $\\vec M$ в виде проекций на оси $xyz$, показанные на Рис. 5. Эволюция вращательного движения в магнитном поле Земли Давайте выясним, как изменяется вращение ступени, движущейся по круговой полярной орбите с периодом обращения $T=100~мин$ (см. Рис. 6 ниже). Будем считать, что характерное время переходного процесса много меньше, чем характерные времена процессов изменения динамики ступени вследствие взаимодействия с геомагнитным полем. Рассмотрим, что происходит после завершения переходных процессов. Положим, что в начальный момент времени ступень вращается с угловой скоростью $\\omega_2$ вокруг оси, перпендикулярной к плоскости орбиты. Рис. 6. Орбита ступени C3 0.40 Магнитное поле Земли $\\vec B_E$ можно считать полем точечного диполя, помещенного в центр Земли. Дипольный момент равен $\\vec\\mu_E$ и направлен противоположно оси $Y$. Величина магнитного поля $B$ в точке, где орбита ступени пересекает экваториальную плоскость $XZ$, равна $B_0=20\\mu T$. Найдите магнитное поле $\\vec B_E(u)$ в точке орбиты, характеризуемой углом $u$, как показано на Рис. 6. Положительное направление отсчета угла $u$ совпадает с направлением движения по орбите. Ответ представьте в виде проекций $\\vec B_E(u)$ на оси $XYZ$. Примечание: Для последующих вычислений может оказаться полезным, если проекции магнитного поля $\\vec B_E(u)$ выразить как функции от $2u$ вместо функций от $u$. Магнитное поле диполя в точке, заданной вектором $\\vec r$ можно записать как: \\[\\vec{B}=\\frac{\\mu_0}{4 \\pi}\\left(\\frac{3(\\vec{\\mu} \\cdot \\vec{r}) \\vec{r}}{r^5}-\\frac{\\vec{\\mu}}{r^3}\\right).\\] Считайте что ступень ракеты сделана в основном из дерева, за исключением топливного бака, выполненного из проводящего материала. Тогда взаимодействие ступени ракеты с геомагнитным полем может быть смоделировано как взаимодействие лишь со сферической оболочкой. Толщина стенок оболочки $D=2~мм$, радиус $R=4~м$ и удельное сопротивление $\\rho=2.7\\cdot10^{-8}~Ом\\cdot м$. C4 1.30 Найдите момент сил $\\vec M(u)$, действующих на ступень, которая вращается вокруг оси, перпендикулярной к плоскости орбиты. Угловая скорость вращения ступени равна $\\omega$, она коллинеарна оси $Z$. Ответ для $\\vec M(u)$ приведите в виде проекций на оси $XYZ$. C5 1.00 Считая изменение угловой скорости ступени за один период обращения по орбите пренебрежимо малым, найдите зависимость модуля угловой скорости $\\omega(t)$ от времени. C6 1.00 Найдите отношение периода орбитального движения $T$ к периоду вращения ступени ракеты $T_s$ в установившемся режиме, спустя очень большой промежуток времени.\n","figures":["/corpus/figures/d655b035cea014b4536e.webp","/corpus/figures/f1cefa62deb74a14fa15.webp","/corpus/figures/9bb54a158eb43bb122c8.webp","/corpus/figures/ea320cad5213e1e78180.webp","/corpus/figures/f24ca65a4b264436c2a4.webp","/corpus/figures/b9e4351e4a5d1eef9242.webp"],"shared":false},"solution":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tНайдите проекции угловой скорости объекта $\\vec\\omega$ на оси $x$ и $y$, используя тот факт, что момент импульса записывается как $\\vec L=J_x\\omega_x\\vec e_x+J_y\\omega_y\\vec e_y$, где $\\vec e_x$ и $\\vec e_y$ — единичные векторы осей $x$ и $y$. Ответ выразите через $L=|\\vec L|$, угол $\\theta$, и моменты инерции $J_x, J_y$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$\\omega_x=\\frac{L\\cos\\theta}{J_x}$$ $$\\omega_y=\\frac{L\\sin\\theta}{J_y}$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.40"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tНайдите кинетическую энергию $E_x$ вращения ступени с угловой скоростью $\\omega_x$. Найдите кинетическую энергию $E_y$ вращения ступени с угловой скоростью $\\omega_y$. Найдите полную кинетическую энергию вращательного движения ступени $E=E_x+E_y$ как функцию ее момента импульса $L$ и $\\cos \\theta$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n $$E(\\theta)=E_x+E_y=\\frac{J_x\\omega_x^2}{2}+\\frac{J_y\\omega_y^2}{2}=\\frac{L_x^2}{2J_x}+\\frac{L_y^2}{2J_y}=\\frac{L^2}{2 J_y}+\\frac{L^2}{2}\\left(\\frac{1}{J_x}-\\frac{1}{J_y}\\right) \\cos ^2 \\theta$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$E_x=\\frac{J_x\\omega^2_x}{2}$$ $$E_y=\\frac{J_y\\omega^2_y}{2}$$ $$E(\\theta)=\\frac{L^2}{2 J_y}+\\frac{L^2}{2}\\left(\\frac{1}{J_x}-\\frac{1}{J_y}\\right) \\cos ^2 \\theta$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tПусть ось $x_0$ — начальное положение оси симметрии $C_x$ ступени относительно некоторой инерциальной системы отсчета. Используя законы сохранения, найдите максимальный угол $\\psi$, между осью симметрии $C_x$ ступени и её первоначальным направлением $x_0$ в течение свободного вращения объекта."},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"Примечание: "}]},{"type":"text","text":"Вектор момента импульса ступени сохраняется, так как на ступень не действуют никакие внешние моменты сил."}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Кинетическая энергия и момент импульса сохраняются, и $\\cos^2\\theta$ может быть получен из $\\text{A2}$. Следовательно, набор значений, которые может принимать $\\theta$, дискретен, и $\\theta$ не может изменить свое начальное значение. Поэтому ось симметрии движется вокруг $\\vec{L}$, описывая конус с углом раствора $2\\theta_0$. Следовательно, $$\\psi=2\\theta_0$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$\\psi=2\\theta_0$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A4\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 2.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tПусть даны значения $L,\\theta(0)=\\theta_0$ и моментов инерции $J_x$, $J_y$. Найдите как функции времени угловую скорость вращения $\\Omega(t)$ системы отсчета $C_{{x_1}{y_1}}$ вокруг оси $y_1$, а также направление и величину угловой скорости ступени $\\vec \\omega_s(t)$ относительно системы отсчета $C_{{x_1}{y_1}}$. Ответ для направления $\\vec \\omega_s(t)$ приведите через угол $\\gamma_s(t)$, который $\\vec \\omega_s(t)$ составляет с осью $C_x$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"Примечание:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"text","text":"Вектор угловой скорости может быть представлен в виде суммы $\\vec\\omega=\\vec\\omega_x+\\vec\\omega_y=\\vec\\Omega+\\vec\\omega_s$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Ось симметрии покоится относительно вращающейся системы отсчета, потому что $\\theta(t)=\\theta_0$, и ось симметрии всегда принадлежит плоскости $Cx_1y_1$. Следовательно, $\\vec{\\omega}_s$ должен быть коллинеарен оси симметрии в любой момент времени. Таким образом, $$\\gamma_s(t)=0.$$ Проецируя сумму $\\vec{\\Omega}+\\vec{\\omega}_s$ на оси $Cx$ и $Cy$ для любого момента времени $t$ $$\\omega_s+\\Omega\\cos\\theta=\\omega_x=\\frac{L\\cos\\theta}{J_x}$$$$\\Omega\\sin\\theta=\\omega_y=\\frac{L\\sin\\theta}{J_y}.$$ Откуда $$\\Omega(t)=\\frac{L}{J_y}.$$ Учитывая, что $\\theta(t)=\\theta_0$ $$\\omega_s(t)=\\left(\\frac{1}{J_x}-\\frac{1}{J_y}\\right)L\\cos\\theta_0.$$ $\\omega_s$ также не зависит от времени.\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$\\Omega(t)=\\frac{L}{J_y}$$ $$\\gamma_s(t)=0$$ $$\\omega_s(t)=\\left(\\frac{1}{J_x}-\\frac{1}{J_y}\\right)L\\cos\\theta_0$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tСчитая известными начальные значения момента импульса $L$ и угла $\\theta(0)=\\theta_1\\in(0,\\pi/2)$, найдите значение $\\theta_2$ угла $\\theta$ в конце переходного процесса."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Взаимодействие остатка топлива с баком может быть рассмотрено как внутренняя сила. Следовательно, как и раньше, внешние моменты и силы не действуют на систему, и момент импульса сохраняется. Так как $J_x < J_y$, Из $\\text{A2}$ можно показать, что $E(\\cos\\theta)$ достигает минимума при $\\theta=\\pi/2$. Таким образом, $$\\theta_2=\\frac\\pi2$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$\\theta_2=\\frac\\pi2$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tПусть в начальный момент времени угловая скорость $\\omega(0)=\\omega_1=1~рад/с$ составляет угол $\\gamma(0)=\\gamma_1=30^{\\circ}\\mathrm C$ с осью симметрии ступени. Вычислите значение $\\omega_2$ угловой скорости $\\omega$ после прохождения переходного процесса. Моменты инерции ступени равны $J_x=4200~кг\\cdot м^2$ и $J_y=15000~кг\\cdot м^2$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n $\\text{B1}$ показывает, что после переходного процесса ступень будет вращаться вокруг оси, перпендикулярной оси симметрии. Конечная угловая скорость $$\\omega_2=\\frac{L}{J_y}=\\frac{\\sqrt{J_x^2\\cos^2\\gamma_1+J_y^2\\sin^2\\gamma_1}}{J_y}\\omega_1 \\approx \\frac{5}{9} ~рад /с \\approx 0.556 ~рад /с$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\omega_2 \\approx \\frac{5}{9} ~рад /с \\approx 0.556 ~рад /с"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tПренебрегая явлением самоиндукции, найдите магнитный момент $\\vec \\mu$ сферической оболочки. Приведите ответ для вектора $\\vec \\mu$ в виде проекций на оси $xyz$, показанных на Рис. 5."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Разрежем сферу на кольца так, чтобы $\\dot{\\vec{B}}$ был перпендикулярен их плоскостям и введем угол $\\varphi$, как показано на рисунке.\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/c587ad166a6fc3c1c36c.webp","alt":"apho-2017-t3 solution: original source diagram 1"}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n По закону Фарадея, ЭДС, вызванная в таком кольце изменением поля, равна $$\\mathcal{E}=d\\Phi/dt=S\\dot B=\\pi R^2\\sin^2\\varphi\\dot B.$$ Сопротивление кольца равно $$dr=\\frac{2\\pi\\rho R\\sin\\varphi}{DRd\\varphi}.$$ Ток в кольце $$dI=\\mathcal{E}/dr=\\frac{1}{2\\rho}DR^2\\dot B\\sin\\varphi d\\varphi.$$ И, наконец, магнитный момент $$d\\mu=SdI=\\frac{\\pi}{2\\rho}DR^4\\dot B\\sin^3\\varphi d\\varphi=\\frac{1}{4\\rho}\\dot BdJ,$$ где $dJ$ – момент инерции кольца единичной плотности относительно центральной оси, параллельной $y$. таким образом, $$\\mu=\\frac{1}{4\\rho}J\\dot B=\\frac{2\\pi}{3\\rho}DR^4\\dot B,$$ где $J$ – момент инерции сферы единичной плотности относительно оси, проходящей через его центр. С учетом направления, $$\\mu_x=0$$ $$\\mu_y=-\\frac{2\\pi}{3\\rho}DR^4\\dot B$$ $$\\mu_z=0$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$\\mu_x=0$$ $$\\mu_y=-\\frac{2\\pi}{3\\rho}DR^4\\dot B$$ $$\\mu_z=0$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.30"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tНайдите момент сил $\\vec M$, действующий на сферическую оболочку. Приведите ответ для вектора $\\vec M$ в виде проекций на оси $xyz$, показанные на Рис. 5."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Момент сил задается уравнением $\\vec{M}=[\\vec{\\mu},\\vec{B}]$. Он направлен вдоль оси $z$ и равен $$M_z=\\mu B\\sin\\alpha=\\frac{2\\pi}{3\\rho}DR^4B\\dot B\\sin\\alpha$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$M_x=0$$ $$M_y=0$$ $$M_z=\\frac{2\\pi}{3\\rho}DR^4B\\dot B\\sin\\alpha$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.40"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tМагнитное поле Земли $\\vec B_E$ можно считать полем точечного диполя, помещенного в центр Земли. Дипольный момент равен $\\vec\\mu_E$ и направлен противоположно оси $Y$. Величина магнитного поля $B$ в точке, где орбита ступени пересекает экваториальную плоскость $XZ$, равна $B_0=20\\mu T$. Найдите магнитное поле $\\vec B_E(u)$ в точке орбиты, характеризуемой углом $u$, как показано на Рис. 6. Положительное направление отсчета угла $u$ совпадает с направлением движения по орбите. Ответ представьте в виде проекций $\\vec B_E(u)$ на оси $XYZ$."},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"Примечание: "}]},{"type":"text","text":"Для последующих вычислений может оказаться полезным, если проекции магнитного поля $\\vec B_E(u)$ выразить как функции от $2u$ вместо функций от $u$. Магнитное поле диполя в точке, заданной вектором $\\vec r$ можно записать как: \\[\\vec{B}=\\frac{\\mu_0}{4 \\pi}\\left(\\frac{3(\\vec{\\mu} \\cdot \\vec{r}) \\vec{r}}{r^5}-\\frac{\\vec{\\mu}}{r^3}\\right).\\]"}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Пусть $R_O$ – радиус орбиты. Формула для поля диполя в точке $\\vec{r}=(R_O\\cos u,R_O\\sin u,0)$ и магнитным моментом $\\vec{\\mu}=(0,-\\vec{\\mu}_E,0)$ дает $$B_X=-\\frac{3}{2}\\frac{\\mu_0\\mu_E}{4\\pi R_O^3}\\sin2u,$$ $$B_Y=(1-3\\sin^2u)\\frac{\\mu_0\\mu_E}{4\\pi R_O^3},$$ $$B_Z=0.$$ В точке, где орбита пересекает плоскость экватора ($u=0$), магнитное поле равно $$B_X=0,$$ $$B_Y=\\frac{\\mu_0\\mu_E}{4\\pi R_O^3},$$ $$B_Z=0.$$ Отсюда $B_0=\\frac{\\mu_0\\mu_E}{4\\pi R_O^3}.$ Наконец, магнитное поле Земли равно $$B_{EX}(u)=-\\frac32B_0\\sin2u$$ $$B_{EY}(u)=\\frac12(3\\cos2u-1)B_0$$ $$B_{EZ}(u)=0$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$B_{EX}(u)=-\\frac32B_0\\sin2u$$ $$B_{EY}(u)=\\frac12(3\\cos2u-1)B_0$$ $$B_{EZ}(u)=0$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C4\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.30"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tНайдите момент сил $\\vec M(u)$, действующих на ступень, которая вращается вокруг оси, перпендикулярной к плоскости орбиты. Угловая скорость вращения ступени равна $\\omega$, она коллинеарна оси $Z$. Ответ для $\\vec M(u)$ приведите в виде проекций на оси $XYZ$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Использование пункта $\\text{C2}$ требует поиска производной магнитного поля в СО ступени. Введем СО $xyz$, у которой $z$ коллинеарно $Z$, и плоскость $xy$ повернута на угол $\\beta$ относительно $XY$. Магнитное поле в этой СО равно $$B_x=B_X\\cos\\beta+B_Y\\sin\\beta,$$ $$B_y=-B_X\\sin\\beta+B_Y\\cos\\beta,$$$$B_z=B_Z=0.$$ Тогда производная магнитного поля $$\\dot B_x=\\dot B_X\\cos\\beta+\\dot B_Y\\sin\\beta+(-B_X\\sin\\beta+B_Y\\cos\\beta)\\dot\\beta=$$$$=(B_X'(u)\\cos\\beta+B_Y'(u)\\sin\\beta)\\dot u+(-B_X\\cos\\beta-B_Y\\sin\\beta)\\dot\\beta,$$$$\\dot B_y=-\\dot B_X\\sin\\beta+\\dot B_Y\\cos\\beta+(-B_X\\cos\\beta-B_Y\\sin\\beta)\\dot\\beta=$$$$=(- B_X'(u)\\sin\\beta+B_Y'(u)\\cos\\beta)\\dot u+(-B_X\\cos\\beta-B_Y\\sin\\beta)\\dot\\beta,$$ $$\\dot B_z=0.$$ Подставляя $\\dot u=2\\pi/T$ и $\\dot\\beta=\\omega$ мы получаем, что момент направлен вдоль $z$ и равен $$M_Z=\\frac{2\\pi}{3\\rho}DB^2_0R^4\\left(\\frac{3\\pi}{T}(3-\\cos2u)-\\frac\\omega2(5-3\\cos2u)\\right)$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$M_X=0$$ $$M_Y=0$$ $$M_Z=\\frac{2\\pi}{3\\rho}DB^2_0R^4\\left(\\frac{3\\pi}{T}(3-\\cos2u)-\\frac\\omega2(5-3\\cos2u)\\right)$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C5\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tСчитая изменение угловой скорости ступени за один период обращения по орбите пренебрежимо малым, найдите зависимость модуля угловой скорости $\\omega(t)$ от времени."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Усредним $M_z$ по $u$ и используем полученное выражение вместо $M_Z$. Это поможет избавиться от членов, содержащих $\\cos2u$ :$$\\langle M_z\\rangle=\\frac{2\\pi}{3\\rho}DB_0^2R^4\\left(\\frac{9\\pi}{T}-\\frac{5\\omega}{2}\\right).$$ Так как момент направлен вдоль оси вращения, он не меняет ее направления. Это означает, что полученная формула всегда описывает динамику вращательного движения ракеты. Мы предполагаем, что переходный процесс завершен. Тогда из $\\text{B1}$ следует, что ступень ракеты вращается вокруг оси, которая перпендикулярна оси симметрии. Таким образом, момент импульса ступени равен $$L_Z=J_y\\omega.$$ Так как $\\dot L_Z=M_Z$, уравнение на угловую скорость имеет вид $$\\dot\\omega=\\frac{2\\pi}{3J_y\\rho}DB_0^2R^4\\left(\\frac{9\\pi}{T}-\\frac{5\\omega}{2}\\right).$$ Его решение это $$\\omega(t)=\\frac{18\\pi}{5T}+\\left(\\omega_2-\\frac{18\\pi}{5T}\\right)e^{-\\delta t},$$ где $\\delta=\\frac{5\\pi}{3J_y\\rho}DB_0^2R^4$.\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\omega(\\mathrm{t})=\\frac{18 \\pi}{5 T}+\\left(\\omega_2-\\frac{18 \\pi}{5 T}\\right) e^{-\\delta t}, \\delta=\\frac{5 \\pi}{3 J_y \\rho} D B_0^2 R^4"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C6\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tНайдите отношение периода орбитального движения $T$ к периоду вращения ступени ракеты $T_s$ в установившемся режиме, спустя очень большой промежуток времени."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Из $\\text{C5}$ следует, что угловая скорость стремится к $18\\pi/2T$. Таким образом отношение двух периодов $$\\frac{T}{T_s(\\infty)}=\\frac{T\\omega(\\infty)}{2\\pi}=9/5=1.8$$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$1.8$$\n\n                    "}]}]}]}],"text":"A1 0.20 Найдите проекции угловой скорости объекта $\\vec\\omega$ на оси $x$ и $y$, используя тот факт, что момент импульса записывается как $\\vec L=J_x\\omega_x\\vec e_x+J_y\\omega_y\\vec e_y$, где $\\vec e_x$ и $\\vec e_y$ — единичные векторы осей $x$ и $y$. Ответ выразите через $L=|\\vec L|$, угол $\\theta$, и моменты инерции $J_x, J_y$. Ответ: \n                    \n $$\\omega_x=\\frac{L\\cos\\theta}{J_x}$$ $$\\omega_y=\\frac{L\\sin\\theta}{J_y}$$\nA2 0.40 Найдите кинетическую энергию $E_x$ вращения ступени с угловой скоростью $\\omega_x$. Найдите кинетическую энергию $E_y$ вращения ступени с угловой скоростью $\\omega_y$. Найдите полную кинетическую энергию вращательного движения ступени $E=E_x+E_y$ как функцию ее момента импульса $L$ и $\\cos \\theta$. $$E(\\theta)=E_x+E_y=\\frac{J_x\\omega_x^2}{2}+\\frac{J_y\\omega_y^2}{2}=\\frac{L_x^2}{2J_x}+\\frac{L_y^2}{2J_y}=\\frac{L^2}{2 J_y}+\\frac{L^2}{2}\\left(\\frac{1}{J_x}-\\frac{1}{J_y}\\right) \\cos ^2 \\theta$$ Ответ: \n                    \n $$E_x=\\frac{J_x\\omega^2_x}{2}$$ $$E_y=\\frac{J_y\\omega^2_y}{2}$$ $$E(\\theta)=\\frac{L^2}{2 J_y}+\\frac{L^2}{2}\\left(\\frac{1}{J_x}-\\frac{1}{J_y}\\right) \\cos ^2 \\theta$$\nA3 1.20 Пусть ось $x_0$ — начальное положение оси симметрии $C_x$ ступени относительно некоторой инерциальной системы отсчета. Используя законы сохранения, найдите максимальный угол $\\psi$, между осью симметрии $C_x$ ступени и её первоначальным направлением $x_0$ в течение свободного вращения объекта. Примечание: Вектор момента импульса ступени сохраняется, так как на ступень не действуют никакие внешние моменты сил. Кинетическая энергия и момент импульса сохраняются, и $\\cos^2\\theta$ может быть получен из $\\text{A2}$. Следовательно, набор значений, которые может принимать $\\theta$, дискретен, и $\\theta$ не может изменить свое начальное значение. Поэтому ось симметрии движется вокруг $\\vec{L}$, описывая конус с углом раствора $2\\theta_0$. Следовательно, $$\\psi=2\\theta_0$$ Ответ: \n                    \n $$\\psi=2\\theta_0$$\nA4 2.00 Пусть даны значения $L,\\theta(0)=\\theta_0$ и моментов инерции $J_x$, $J_y$. Найдите как функции времени угловую скорость вращения $\\Omega(t)$ системы отсчета $C_{{x_1}{y_1}}$ вокруг оси $y_1$, а также направление и величину угловой скорости ступени $\\vec \\omega_s(t)$ относительно системы отсчета $C_{{x_1}{y_1}}$. Ответ для направления $\\vec \\omega_s(t)$ приведите через угол $\\gamma_s(t)$, который $\\vec \\omega_s(t)$ составляет с осью $C_x$. Примечание: Вектор угловой скорости может быть представлен в виде суммы $\\vec\\omega=\\vec\\omega_x+\\vec\\omega_y=\\vec\\Omega+\\vec\\omega_s$. Ось симметрии покоится относительно вращающейся системы отсчета, потому что $\\theta(t)=\\theta_0$, и ось симметрии всегда принадлежит плоскости $Cx_1y_1$. Следовательно, $\\vec{\\omega}_s$ должен быть коллинеарен оси симметрии в любой момент времени. Таким образом, $$\\gamma_s(t)=0.$$ Проецируя сумму $\\vec{\\Omega}+\\vec{\\omega}_s$ на оси $Cx$ и $Cy$ для любого момента времени $t$ $$\\omega_s+\\Omega\\cos\\theta=\\omega_x=\\frac{L\\cos\\theta}{J_x}$$$$\\Omega\\sin\\theta=\\omega_y=\\frac{L\\sin\\theta}{J_y}.$$ Откуда $$\\Omega(t)=\\frac{L}{J_y}.$$ Учитывая, что $\\theta(t)=\\theta_0$ $$\\omega_s(t)=\\left(\\frac{1}{J_x}-\\frac{1}{J_y}\\right)L\\cos\\theta_0.$$ $\\omega_s$ также не зависит от времени. Ответ: \n                    \n $$\\Omega(t)=\\frac{L}{J_y}$$ $$\\gamma_s(t)=0$$ $$\\omega_s(t)=\\left(\\frac{1}{J_x}-\\frac{1}{J_y}\\right)L\\cos\\theta_0$$\nB1 0.60 Считая известными начальные значения момента импульса $L$ и угла $\\theta(0)=\\theta_1\\in(0,\\pi/2)$, найдите значение $\\theta_2$ угла $\\theta$ в конце переходного процесса. Взаимодействие остатка топлива с баком может быть рассмотрено как внутренняя сила. Следовательно, как и раньше, внешние моменты и силы не действуют на систему, и момент импульса сохраняется. Так как $J_x < J_y$, Из $\\text{A2}$ можно показать, что $E(\\cos\\theta)$ достигает минимума при $\\theta=\\pi/2$. Таким образом, $$\\theta_2=\\frac\\pi2$$ Ответ: \n                    \n $$\\theta_2=\\frac\\pi2$$\nB2 0.60 Пусть в начальный момент времени угловая скорость $\\omega(0)=\\omega_1=1~рад/с$ составляет угол $\\gamma(0)=\\gamma_1=30^{\\circ}\\mathrm C$ с осью симметрии ступени. Вычислите значение $\\omega_2$ угловой скорости $\\omega$ после прохождения переходного процесса. Моменты инерции ступени равны $J_x=4200~кг\\cdot м^2$ и $J_y=15000~кг\\cdot м^2$. $\\text{B1}$ показывает, что после переходного процесса ступень будет вращаться вокруг оси, перпендикулярной оси симметрии. Конечная угловая скорость $$\\omega_2=\\frac{L}{J_y}=\\frac{\\sqrt{J_x^2\\cos^2\\gamma_1+J_y^2\\sin^2\\gamma_1}}{J_y}\\omega_1 \\approx \\frac{5}{9} ~рад /с \\approx 0.556 ~рад /с$$ Ответ: \n                    \n $$ \\omega_2 \\approx \\frac{5}{9} ~рад /с \\approx 0.556 ~рад /с $$\nC1 1.00 Пренебрегая явлением самоиндукции, найдите магнитный момент $\\vec \\mu$ сферической оболочки. Приведите ответ для вектора $\\vec \\mu$ в виде проекций на оси $xyz$, показанных на Рис. 5. Разрежем сферу на кольца так, чтобы $\\dot{\\vec{B}}$ был перпендикулярен их плоскостям и введем угол $\\varphi$, как показано на рисунке. По закону Фарадея, ЭДС, вызванная в таком кольце изменением поля, равна $$\\mathcal{E}=d\\Phi/dt=S\\dot B=\\pi R^2\\sin^2\\varphi\\dot B.$$ Сопротивление кольца равно $$dr=\\frac{2\\pi\\rho R\\sin\\varphi}{DRd\\varphi}.$$ Ток в кольце $$dI=\\mathcal{E}/dr=\\frac{1}{2\\rho}DR^2\\dot B\\sin\\varphi d\\varphi.$$ И, наконец, магнитный момент $$d\\mu=SdI=\\frac{\\pi}{2\\rho}DR^4\\dot B\\sin^3\\varphi d\\varphi=\\frac{1}{4\\rho}\\dot BdJ,$$ где $dJ$ – момент инерции кольца единичной плотности относительно центральной оси, параллельной $y$. таким образом, $$\\mu=\\frac{1}{4\\rho}J\\dot B=\\frac{2\\pi}{3\\rho}DR^4\\dot B,$$ где $J$ – момент инерции сферы единичной плотности относительно оси, проходящей через его центр. С учетом направления, $$\\mu_x=0$$ $$\\mu_y=-\\frac{2\\pi}{3\\rho}DR^4\\dot B$$ $$\\mu_z=0$$ Ответ: \n                    \n $$\\mu_x=0$$ $$\\mu_y=-\\frac{2\\pi}{3\\rho}DR^4\\dot B$$ $$\\mu_z=0$$\nC2 0.30 Найдите момент сил $\\vec M$, действующий на сферическую оболочку. Приведите ответ для вектора $\\vec M$ в виде проекций на оси $xyz$, показанные на Рис. 5. Момент сил задается уравнением $\\vec{M}=[\\vec{\\mu},\\vec{B}]$. Он направлен вдоль оси $z$ и равен $$M_z=\\mu B\\sin\\alpha=\\frac{2\\pi}{3\\rho}DR^4B\\dot B\\sin\\alpha$$ Ответ: \n                    \n $$M_x=0$$ $$M_y=0$$ $$M_z=\\frac{2\\pi}{3\\rho}DR^4B\\dot B\\sin\\alpha$$\nC3 0.40 Магнитное поле Земли $\\vec B_E$ можно считать полем точечного диполя, помещенного в центр Земли. Дипольный момент равен $\\vec\\mu_E$ и направлен противоположно оси $Y$. Величина магнитного поля $B$ в точке, где орбита ступени пересекает экваториальную плоскость $XZ$, равна $B_0=20\\mu T$. Найдите магнитное поле $\\vec B_E(u)$ в точке орбиты, характеризуемой углом $u$, как показано на Рис. 6. Положительное направление отсчета угла $u$ совпадает с направлением движения по орбите. Ответ представьте в виде проекций $\\vec B_E(u)$ на оси $XYZ$. Примечание: Для последующих вычислений может оказаться полезным, если проекции магнитного поля $\\vec B_E(u)$ выразить как функции от $2u$ вместо функций от $u$. Магнитное поле диполя в точке, заданной вектором $\\vec r$ можно записать как: \\[\\vec{B}=\\frac{\\mu_0}{4 \\pi}\\left(\\frac{3(\\vec{\\mu} \\cdot \\vec{r}) \\vec{r}}{r^5}-\\frac{\\vec{\\mu}}{r^3}\\right).\\] Пусть $R_O$ – радиус орбиты. Формула для поля диполя в точке $\\vec{r}=(R_O\\cos u,R_O\\sin u,0)$ и магнитным моментом $\\vec{\\mu}=(0,-\\vec{\\mu}_E,0)$ дает $$B_X=-\\frac{3}{2}\\frac{\\mu_0\\mu_E}{4\\pi R_O^3}\\sin2u,$$ $$B_Y=(1-3\\sin^2u)\\frac{\\mu_0\\mu_E}{4\\pi R_O^3},$$ $$B_Z=0.$$ В точке, где орбита пересекает плоскость экватора ($u=0$), магнитное поле равно $$B_X=0,$$ $$B_Y=\\frac{\\mu_0\\mu_E}{4\\pi R_O^3},$$ $$B_Z=0.$$ Отсюда $B_0=\\frac{\\mu_0\\mu_E}{4\\pi R_O^3}.$ Наконец, магнитное поле Земли равно $$B_{EX}(u)=-\\frac32B_0\\sin2u$$ $$B_{EY}(u)=\\frac12(3\\cos2u-1)B_0$$ $$B_{EZ}(u)=0$$ Ответ: \n                    \n $$B_{EX}(u)=-\\frac32B_0\\sin2u$$ $$B_{EY}(u)=\\frac12(3\\cos2u-1)B_0$$ $$B_{EZ}(u)=0$$\nC4 1.30 Найдите момент сил $\\vec M(u)$, действующих на ступень, которая вращается вокруг оси, перпендикулярной к плоскости орбиты. Угловая скорость вращения ступени равна $\\omega$, она коллинеарна оси $Z$. Ответ для $\\vec M(u)$ приведите в виде проекций на оси $XYZ$. Использование пункта $\\text{C2}$ требует поиска производной магнитного поля в СО ступени. Введем СО $xyz$, у которой $z$ коллинеарно $Z$, и плоскость $xy$ повернута на угол $\\beta$ относительно $XY$. Магнитное поле в этой СО равно $$B_x=B_X\\cos\\beta+B_Y\\sin\\beta,$$ $$B_y=-B_X\\sin\\beta+B_Y\\cos\\beta,$$$$B_z=B_Z=0.$$ Тогда производная магнитного поля $$\\dot B_x=\\dot B_X\\cos\\beta+\\dot B_Y\\sin\\beta+(-B_X\\sin\\beta+B_Y\\cos\\beta)\\dot\\beta=$$$$=(B_X'(u)\\cos\\beta+B_Y'(u)\\sin\\beta)\\dot u+(-B_X\\cos\\beta-B_Y\\sin\\beta)\\dot\\beta,$$$$\\dot B_y=-\\dot B_X\\sin\\beta+\\dot B_Y\\cos\\beta+(-B_X\\cos\\beta-B_Y\\sin\\beta)\\dot\\beta=$$$$=(- B_X'(u)\\sin\\beta+B_Y'(u)\\cos\\beta)\\dot u+(-B_X\\cos\\beta-B_Y\\sin\\beta)\\dot\\beta,$$ $$\\dot B_z=0.$$ Подставляя $\\dot u=2\\pi/T$ и $\\dot\\beta=\\omega$ мы получаем, что момент направлен вдоль $z$ и равен $$M_Z=\\frac{2\\pi}{3\\rho}DB^2_0R^4\\left(\\frac{3\\pi}{T}(3-\\cos2u)-\\frac\\omega2(5-3\\cos2u)\\right)$$ Ответ: \n                    \n $$M_X=0$$ $$M_Y=0$$ $$M_Z=\\frac{2\\pi}{3\\rho}DB^2_0R^4\\left(\\frac{3\\pi}{T}(3-\\cos2u)-\\frac\\omega2(5-3\\cos2u)\\right)$$\nC5 1.00 Считая изменение угловой скорости ступени за один период обращения по орбите пренебрежимо малым, найдите зависимость модуля угловой скорости $\\omega(t)$ от времени. Усредним $M_z$ по $u$ и используем полученное выражение вместо $M_Z$. Это поможет избавиться от членов, содержащих $\\cos2u$ :$$\\langle M_z\\rangle=\\frac{2\\pi}{3\\rho}DB_0^2R^4\\left(\\frac{9\\pi}{T}-\\frac{5\\omega}{2}\\right).$$ Так как момент направлен вдоль оси вращения, он не меняет ее направления. Это означает, что полученная формула всегда описывает динамику вращательного движения ракеты. Мы предполагаем, что переходный процесс завершен. Тогда из $\\text{B1}$ следует, что ступень ракеты вращается вокруг оси, которая перпендикулярна оси симметрии. Таким образом, момент импульса ступени равен $$L_Z=J_y\\omega.$$ Так как $\\dot L_Z=M_Z$, уравнение на угловую скорость имеет вид $$\\dot\\omega=\\frac{2\\pi}{3J_y\\rho}DB_0^2R^4\\left(\\frac{9\\pi}{T}-\\frac{5\\omega}{2}\\right).$$ Его решение это $$\\omega(t)=\\frac{18\\pi}{5T}+\\left(\\omega_2-\\frac{18\\pi}{5T}\\right)e^{-\\delta t},$$ где $\\delta=\\frac{5\\pi}{3J_y\\rho}DB_0^2R^4$. Ответ: \n                    \n $$ \\omega(\\mathrm{t})=\\frac{18 \\pi}{5 T}+\\left(\\omega_2-\\frac{18 \\pi}{5 T}\\right) e^{-\\delta t}, \\delta=\\frac{5 \\pi}{3 J_y \\rho} D B_0^2 R^4 $$\nC6 1.00 Найдите отношение периода орбитального движения $T$ к периоду вращения ступени ракеты $T_s$ в установившемся режиме, спустя очень большой промежуток времени. Из $\\text{C5}$ следует, что угловая скорость стремится к $18\\pi/2T$. Таким образом отношение двух периодов $$\\frac{T}{T_s(\\infty)}=\\frac{T\\omega(\\infty)}{2\\pi}=9/5=1.8$$ Ответ: \n                    \n $$1.8$$","figures":["/corpus/figures/c587ad166a6fc3c1c36c.webp"],"shared":false}},{"id":"apho-2016-t1","importedOn":"2026-10-28","language":"ru","sources":[{"url":"https://pho.rs/p/3351","kind":"statement"},{"url":"https://pho.rs/p/3351/s","kind":"solution"}],"statement":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"text","text":"\n                        \n                        \n\n\n\n\tВ этой задаче мы исследуем деформируемую структуру в поле тяжести. Структуру можно считать физическим маятником, у которого только одна степень свободы (т.е. "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"существует только один способ деформировать его"}]},{"type":"text","text":", и его положение полностью определяется углом $\\alpha$). Джеймс Максвелл исследовал подобные структуры в XIX веке, а недавно было открыто их необычное поведение.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tНа рисунке 1 показаны $N^2$ одинаковых "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"равносторонних "}]},{"type":"text","text":"треугольных пластинок (красные треугольники), которые шарнирно соединены друг с другом одинаковыми стержнями. Таким образом, система представляет собой решетку размером $N \\times N$ ($N > 1$). Шарниры в вершинах треугольников обозначены маленькими кружками. "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"Длина стороны треугольника равна длине стержня и равна $l$"}]},{"type":"text","text":".\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tПунктирными линиями обозначены четыре трубки. "},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"Вдоль каждой из трубок могут скользить $N$ вершин (серые кружки), т.е. трубку можно рассматривать, как направляющий стержень"}]},{"type":"text","text":". Четыре трубки шарнирно соединены в ромб так, что его углы зафиксированы: два из них $60^{\\circ}$, а два других – $120^{\\circ}$ (см. Рис. 1).\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Все пластинки однородны, и масса каждой из них равна $M$. Остальные части системы невесомы. Положение системы однозначно определяется углом $\\alpha$, где $0 ^{\\circ} \\leq \\alpha \\leq 60 ^{\\circ}$. На рисунке 1 приведены примеры положений для различных углов $\\alpha$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Система расположена вертикально (как занавес), а верхняя трубка может двигаться только в горизонтальном направлении.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/cd2d12a023b271e8e5fa.webp","alt":"apho-2016-t1 statement: original source diagram 1"}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Система координат приведена на рисунке 2. Нулевой уровень потенциальной энергии выбран при $y = 0$. Треугольная пластинка обозначается парой индексов ($m$, $n$), где $m$, $n$ = 0, 1, 2, ... , $N$ - 1, что задает их нумерацию в направлениях $x$ и $y$ соответственно. $A$($m$, $n$), $B$($m$, $n$) и $C$($m$, $n$) обозначают положения трех вершин треугольника ($m$, $n$). Верхняя левая вершина $A$(0, 0) неподвижна."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Движение системы происходит только в плоскости $x y$ . Момент инерции однородной равносторонней треугольной пластинки относительно ее центра масс равен $I = M l^2 / 12$. Ускорение свободного падения – $g$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Для кинетической и потенциальной энергии используйте обозначения $E_k$ и $E_p$ соответственно.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/2b4e49aeff0422902910.webp","alt":"apho-2016-t1 statement: original source diagram 2"}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть A (4 балла)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Рассмотрите случай $N = 2$ (см. Рис. 3).\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/efe5ddc2531a9715a17b.webp","alt":"apho-2016-t1 statement: original source diagram 3"}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Чему равна потенциальная энергия системы $E_p$ для произвольного угла $\\alpha$ при $N = 2$?\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Чему равен угол $\\alpha$, при котором система находится в равновесии в поле тяжести (при $N = 2$)?\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 2.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Система может совершать малые гармонические колебания вблизи положения равновесия. Рассчитайте кинетическую энергию этой системы. Рассчитайте частоту малых колебаний $f_E$ при $N = 2$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть B (3 балла)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Рассмотрите систему при произвольном $N$.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Чему равен угол $\\alpha'_E$, при котором система находится в равновесии в поле тяжести (при произвольном $N$)?\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Рассмотрите случай $N \\to \\infty$. При небольшом изменении угла $\\alpha$ изменение потенциальной энергии системы может быть представлено как $\\Delta E_p \\propto N^{\\gamma_1}$, кинетическая энергия системы – $E_k \\propto N^{\\gamma_2}$ и частота малых колебаний – $f'_E \\propto N^{\\gamma_3}$. Найдите значения $\\gamma_1$, $\\gamma_2$ и $\\gamma_3$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть C (3 балла)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Систему удерживают в положении с $\\alpha_m = 60^{\\circ}$. Для этого на одну из $3 N^2$ вершин действуют некоторой силой.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/74c590223c3c7aa26d4b.webp","alt":"apho-2016-t1 statement: original source diagram 4"}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Какую вершину нужно выбрать, чтобы эта сила была минимальной?\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 2.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Чему равен модуль этой минимальной силы, и каково ее направление? Укажите это направление с помощью угла $\\theta_F$, который определен так, как показано на рисунке 4.\n\n                \n                "}]}]}]}]}],"text":"В этой задаче мы исследуем деформируемую структуру в поле тяжести. Структуру можно считать физическим маятником, у которого только одна степень свободы (т.е. существует только один способ деформировать его , и его положение полностью определяется углом $\\alpha$). Джеймс Максвелл исследовал подобные структуры в XIX веке, а недавно было открыто их необычное поведение. На рисунке 1 показаны $N^2$ одинаковых равносторонних треугольных пластинок (красные треугольники), которые шарнирно соединены друг с другом одинаковыми стержнями. Таким образом, система представляет собой решетку размером $N \\times N$ ($N > 1$). Шарниры в вершинах треугольников обозначены маленькими кружками. Длина стороны треугольника равна длине стержня и равна $l$ . Пунктирными линиями обозначены четыре трубки. Вдоль каждой из трубок могут скользить $N$ вершин (серые кружки), т.е. трубку можно рассматривать, как направляющий стержень . Четыре трубки шарнирно соединены в ромб так, что его углы зафиксированы: два из них $60^{\\circ}$, а два других – $120^{\\circ}$ (см. Рис. 1). Все пластинки однородны, и масса каждой из них равна $M$. Остальные части системы невесомы. Положение системы однозначно определяется углом $\\alpha$, где $0 ^{\\circ} \\leq \\alpha \\leq 60 ^{\\circ}$. На рисунке 1 приведены примеры положений для различных углов $\\alpha$. Система расположена вертикально (как занавес), а верхняя трубка может двигаться только в горизонтальном направлении. Система координат приведена на рисунке 2. Нулевой уровень потенциальной энергии выбран при $y = 0$. Треугольная пластинка обозначается парой индексов ($m$, $n$), где $m$, $n$ = 0, 1, 2, ... , $N$ - 1, что задает их нумерацию в направлениях $x$ и $y$ соответственно. $A$($m$, $n$), $B$($m$, $n$) и $C$($m$, $n$) обозначают положения трех вершин треугольника ($m$, $n$). Верхняя левая вершина $A$(0, 0) неподвижна. Движение системы происходит только в плоскости $x y$ . Момент инерции однородной равносторонней треугольной пластинки относительно ее центра масс равен $I = M l^2 / 12$. Ускорение свободного падения – $g$. Для кинетической и потенциальной энергии используйте обозначения $E_k$ и $E_p$ соответственно. Часть A (4 балла) Рассмотрите случай $N = 2$ (см. Рис. 3). A1 1.00 Чему равна потенциальная энергия системы $E_p$ для произвольного угла $\\alpha$ при $N = 2$? A2 0.50 Чему равен угол $\\alpha$, при котором система находится в равновесии в поле тяжести (при $N = 2$)? A3 2.50 Система может совершать малые гармонические колебания вблизи положения равновесия. Рассчитайте кинетическую энергию этой системы. Рассчитайте частоту малых колебаний $f_E$ при $N = 2$. Часть B (3 балла) Рассмотрите систему при произвольном $N$. B1 1.50 Чему равен угол $\\alpha'_E$, при котором система находится в равновесии в поле тяжести (при произвольном $N$)? B2 1.50 Рассмотрите случай $N \\to \\infty$. При небольшом изменении угла $\\alpha$ изменение потенциальной энергии системы может быть представлено как $\\Delta E_p \\propto N^{\\gamma_1}$, кинетическая энергия системы – $E_k \\propto N^{\\gamma_2}$ и частота малых колебаний – $f'_E \\propto N^{\\gamma_3}$. Найдите значения $\\gamma_1$, $\\gamma_2$ и $\\gamma_3$. Часть C (3 балла) Систему удерживают в положении с $\\alpha_m = 60^{\\circ}$. Для этого на одну из $3 N^2$ вершин действуют некоторой силой. C1 0.50 Какую вершину нужно выбрать, чтобы эта сила была минимальной? C2 2.50 Чему равен модуль этой минимальной силы, и каково ее направление? Укажите это направление с помощью угла $\\theta_F$, который определен так, как показано на рисунке 4.\n","figures":["/corpus/figures/cd2d12a023b271e8e5fa.webp","/corpus/figures/2b4e49aeff0422902910.webp","/corpus/figures/efe5ddc2531a9715a17b.webp","/corpus/figures/74c590223c3c7aa26d4b.webp"],"shared":false},"solution":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Чему равна потенциальная энергия системы $E_p$ для произвольного угла $\\alpha$ при $N = 2$?\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Чему равен угол $\\alpha$, при котором система находится в равновесии в поле тяжести (при $N = 2$)?\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 2.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Система может совершать малые гармонические колебания вблизи положения равновесия. Рассчитайте кинетическую энергию этой системы. Рассчитайте частоту малых колебаний $f_E$ при $N = 2$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Чему равен угол $\\alpha'_E$, при котором система находится в равновесии в поле тяжести (при произвольном $N$)?\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Рассмотрите случай $N \\to \\infty$. При небольшом изменении угла $\\alpha$ изменение потенциальной энергии системы может быть представлено как $\\Delta E_p \\propto N^{\\gamma_1}$, кинетическая энергия системы – $E_k \\propto N^{\\gamma_2}$ и частота малых колебаний – $f'_E \\propto N^{\\gamma_3}$. Найдите значения $\\gamma_1$, $\\gamma_2$ и $\\gamma_3$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Какую вершину нужно выбрать, чтобы эта сила была минимальной?\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 2.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Чему равен модуль этой минимальной силы, и каково ее направление? Укажите это направление с помощью угла $\\theta_F$, который определен так, как показано на рисунке 4.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]}],"text":"A1 1.00 Чему равна потенциальная энергия системы $E_p$ для произвольного угла $\\alpha$ при $N = 2$?\nA2 0.50 Чему равен угол $\\alpha$, при котором система находится в равновесии в поле тяжести (при $N = 2$)?\nA3 2.50 Система может совершать малые гармонические колебания вблизи положения равновесия. Рассчитайте кинетическую энергию этой системы. Рассчитайте частоту малых колебаний $f_E$ при $N = 2$.\nB1 1.50 Чему равен угол $\\alpha'_E$, при котором система находится в равновесии в поле тяжести (при произвольном $N$)?\nB2 1.50 Рассмотрите случай $N \\to \\infty$. При небольшом изменении угла $\\alpha$ изменение потенциальной энергии системы может быть представлено как $\\Delta E_p \\propto N^{\\gamma_1}$, кинетическая энергия системы – $E_k \\propto N^{\\gamma_2}$ и частота малых колебаний – $f'_E \\propto N^{\\gamma_3}$. Найдите значения $\\gamma_1$, $\\gamma_2$ и $\\gamma_3$.\nC1 0.50 Какую вершину нужно выбрать, чтобы эта сила была минимальной?\nC2 2.50 Чему равен модуль этой минимальной силы, и каково ее направление? Укажите это направление с помощью угла $\\theta_F$, который определен так, как показано на рисунке 4.","figures":[],"shared":false}},{"id":"apho-2009-t1","importedOn":"2026-10-28","language":"ru","sources":[{"url":"https://pho.rs/p/3153","kind":"statement"},{"url":"https://pho.rs/p/3153/s","kind":"solution"}],"statement":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"text","text":"\n                        \n                        \n Тонкостенный цилиндр массы $M$ с шероховатой внутренней поверхностью радиуса $R$ может вращаться вокруг центральной фиксированной горизонтальной оси $OZ$. Ось $OZ$ перпендикулярна поверхности листа и направлена от нее. Другой меньший однородный сплошной цилиндр массы $m$ и радиуса $r$ катается внутри него без проскальзывания (за исключением пункта A8) по внутренней поверхности цилиндра $M$ вокруг собственной центральной оси, которая параллельна $OZ$.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/1abff5076a49be14d7bb.webp","alt":"apho-2009-t1 statement: original source diagram 1"}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.80"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n В момент времени $t=0$ цилиндр массы $M$ покоится и цилиндр массы $m$ также покоится в низшей точке. Цилиндр $M$ начинает вращаться. В некоторый момент времени $t$ угловое положение центра масс цилиндра $m$ равняется $\\theta$ и при этом цилиндр $M$ совершил поворот на $\\varphi$ радиан. На сколько радиан (обозначенный через $\\psi$) повернулся цилиндр $m$ вокруг своей центральной оси относительной фиксированной линии (например, отрицательной части оси $Y$). Выразите ответ через $\\theta$, $\\varphi$, $R$ и $r$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Найдите угловое ускорение $\\frac{d^2}{dt^2} \\psi$ цилиндра $m$ относительно его центральной оси, проходящей через центр масс. Выразите ответ через $R$, $r$ и производные от $\\theta$ и $\\varphi$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.80"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Выведите уравнение для углового ускорения $\\frac{d^2}{dt^2} \\theta$ центра масс цилиндра $m$ относительно оси $OZ$ через $m$, $g$, $R$, $r$, $\\theta$, $\\frac{d^2}{dt^2} \\varphi$ и момент инерции $I_{CM}$ цилиндра массы $m$ относительно его центральной оси.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A4\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.30"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Чему равен период малых колебаний цилиндра $m$, если цилиндр $M$ вращается с постоянной угловой скоростью? Выразите ответ через $R$, $r$, $g$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A5\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Чему равно значение угла $\\theta$ для положения равновесия цилиндра $m$ из пункта A4?\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A6\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.70"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Где находится положение равновесия цилиндра $m$, если цилиндр $M$ вращается с постоянным угловым ускорением $\\alpha$? Выразите ответ через $R$, $g$, $\\alpha$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A7\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 2.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Пусть теперь цилиндр $M$ свободно вращается (колеблется) без ограничения вокруг центральной оси $OZ$, а цилиндр $m$ совершает малые колебания, качаясь по внутренней поверхности цилиндра $M$. Найдите период этих малых колебаний.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A8\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 2.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Рассмотрите случай когда цилиндр $M$ вращается с постоянной угловой скоростью $\\Omega$, а цилиндр $m$ вращается (катается) вокруг стационарного центра масс в точке равновесия, найденного в пункте A5. Затем цилиндр $M$ мгновенно останавливают. Какое наименьшее значение должна иметь $\\Omega$, чтобы цилиндр $m$ покатился и достиг высшей точки внутренней поверхности цилиндра $M$? Коэффициент трения между $m$ и $M$ предполагается достаточно большим, так что $m$ начинает катиться без проскальзывания сразу же после короткой пробуксовки после остановки цилиндра $M$.\n\n                \n                "}]}]}]}]}],"text":"Тонкостенный цилиндр массы $M$ с шероховатой внутренней поверхностью радиуса $R$ может вращаться вокруг центральной фиксированной горизонтальной оси $OZ$. Ось $OZ$ перпендикулярна поверхности листа и направлена от нее. Другой меньший однородный сплошной цилиндр массы $m$ и радиуса $r$ катается внутри него без проскальзывания (за исключением пункта A8) по внутренней поверхности цилиндра $M$ вокруг собственной центральной оси, которая параллельна $OZ$. A1 0.80 В момент времени $t=0$ цилиндр массы $M$ покоится и цилиндр массы $m$ также покоится в низшей точке. Цилиндр $M$ начинает вращаться. В некоторый момент времени $t$ угловое положение центра масс цилиндра $m$ равняется $\\theta$ и при этом цилиндр $M$ совершил поворот на $\\varphi$ радиан. На сколько радиан (обозначенный через $\\psi$) повернулся цилиндр $m$ вокруг своей центральной оси относительной фиксированной линии (например, отрицательной части оси $Y$). Выразите ответ через $\\theta$, $\\varphi$, $R$ и $r$. A2 0.20 Найдите угловое ускорение $\\frac{d^2}{dt^2} \\psi$ цилиндра $m$ относительно его центральной оси, проходящей через центр масс. Выразите ответ через $R$, $r$ и производные от $\\theta$ и $\\varphi$. A3 1.80 Выведите уравнение для углового ускорения $\\frac{d^2}{dt^2} \\theta$ центра масс цилиндра $m$ относительно оси $OZ$ через $m$, $g$, $R$, $r$, $\\theta$, $\\frac{d^2}{dt^2} \\varphi$ и момент инерции $I_{CM}$ цилиндра массы $m$ относительно его центральной оси. A4 1.30 Чему равен период малых колебаний цилиндра $m$, если цилиндр $M$ вращается с постоянной угловой скоростью? Выразите ответ через $R$, $r$, $g$. A5 0.20 Чему равно значение угла $\\theta$ для положения равновесия цилиндра $m$ из пункта A4? A6 0.70 Где находится положение равновесия цилиндра $m$, если цилиндр $M$ вращается с постоянным угловым ускорением $\\alpha$? Выразите ответ через $R$, $g$, $\\alpha$. A7 2.50 Пусть теперь цилиндр $M$ свободно вращается (колеблется) без ограничения вокруг центральной оси $OZ$, а цилиндр $m$ совершает малые колебания, качаясь по внутренней поверхности цилиндра $M$. Найдите период этих малых колебаний. A8 2.50 Рассмотрите случай когда цилиндр $M$ вращается с постоянной угловой скоростью $\\Omega$, а цилиндр $m$ вращается (катается) вокруг стационарного центра масс в точке равновесия, найденного в пункте A5. Затем цилиндр $M$ мгновенно останавливают. Какое наименьшее значение должна иметь $\\Omega$, чтобы цилиндр $m$ покатился и достиг высшей точки внутренней поверхности цилиндра $M$? Коэффициент трения между $m$ и $M$ предполагается достаточно большим, так что $m$ начинает катиться без проскальзывания сразу же после короткой пробуксовки после остановки цилиндра $M$.\n","figures":["/corpus/figures/1abff5076a49be14d7bb.webp"],"shared":false},"solution":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.80"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n В момент времени $t=0$ цилиндр массы $M$ покоится и цилиндр массы $m$ также покоится в низшей точке. Цилиндр $M$ начинает вращаться. В некоторый момент времени $t$ угловое положение центра масс цилиндра $m$ равняется $\\theta$ и при этом цилиндр $M$ совершил поворот на $\\varphi$ радиан. На сколько радиан (обозначенный через $\\psi$) повернулся цилиндр $m$ вокруг своей центральной оси относительной фиксированной линии (например, отрицательной части оси $Y$). Выразите ответ через $\\theta$, $\\varphi$, $R$ и $r$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/7bc9e05b6fb41395dd69.webp","alt":"apho-2009-t1 solution: original source diagram 1"}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Точка P, закреплённая на поверхности \\( M \\), находилась в положении непосредственно под $O$ в момент времени \\( t = 0 \\). Следовательно, \\( m \\) должна была прокатиться на угол  "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\[\\frac{\\varphi R - \\theta R}{r}\\]  "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"радиан относительно поверхности \\( M \\) за время \\( t \\), в течение которого линия $OC$ также повернулась против часовой стрелки на угол \\( \\theta \\). Поэтому полное угловое перемещение \\( m \\) относительно её центра масс по отношению к любой фиксированной линии отсчёта за время \\( t \\) равно  "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\[\\psi = \\frac{\\varphi R - \\theta R}{r} + \\theta = \\frac{R}{r} \\varphi - \\left( \\frac{R - r}{r} \\right) \\theta \\tag{1}\\]\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[\\psi = \\frac{\\varphi R - \\theta R}{r} + \\theta = \\frac{R}{r} \\varphi - \\left( \\frac{R - r}{r} \\right) \\theta \\]\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Найдите угловое ускорение $\\frac{d^2}{dt^2} \\psi$ цилиндра $m$ относительно его центральной оси, проходящей через центр масс. Выразите ответ через $R$, $r$ и производные от $\\theta$ и $\\varphi$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Дифференцируя уравнение (1) дважды по времени, получаем  "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\[\\frac{d^2}{dt^2} \\psi = \\frac{R}{r} \\frac{d^2}{dt^2} \\varphi - \\left( \\frac{R - r}{r} \\right) \\frac{d^2}{dt^2} \\theta \\tag{2}\\]\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[\\frac{d^2}{dt^2} \\psi = \\frac{R}{r} \\frac{d^2}{dt^2} \\varphi - \\left( \\frac{R - r}{r} \\right) \\frac{d^2}{dt^2} \\theta \\]\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.80"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Выведите уравнение для углового ускорения $\\frac{d^2}{dt^2} \\theta$ центра масс цилиндра $m$ относительно оси $OZ$ через $m$, $g$, $R$, $r$, $\\theta$, $\\frac{d^2}{dt^2} \\varphi$ и момент инерции $I_{CM}$ цилиндра массы $m$ относительно его центральной оси.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/4c180d18e382f87bb444.webp","alt":"apho-2009-t1 solution: original source diagram 2"}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Уравнения движения центра масс \\(m\\):"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\[m(R-r)\\frac{d^{2}}{dt^{2}}\\,\\theta = \\ell - mg\\sin\\theta \\tag{3}\\]\\[m\\biggl{(}\\frac{d}{dt}\\,\\theta\\biggr{)}^{2}(R-r) = N - mg\\cos\\theta \\tag{4}\\]Уравнение вращения \\(m\\) относительно центра масс:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\[I_{\\rm CM}\\frac{d^{2}}{dt^{2}}\\psi = I_{\\rm CM}\\biggl{[}\\frac{R}{r}\\frac{d^{2}}{dt^{2}}\\,\\varphi - \\biggl{(} \\frac{R-r}{r}\\biggr{)}\\frac{d^{2}}{dt^{2}}\\,\\theta\\biggr{]}\\ =\\  fr \\tag{5}\\]где \\(I_{\\rm CM} = \\frac{1}{2}\\,mr^{2}\\)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Из уравнений (3) и (5) получаем:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\[\\biggl{(}\\,m + \\frac{I_{\\rm CM}}{r^{2}}\\,\\biggr{)}(R-r)\\frac{d^{2}}{dt^{2}}\\, \\theta = -mg\\sin\\theta + \\frac{I_{\\rm CM}R}{r^{2}}\\,\\frac{d^{2}}{dt^{2}}\\,\\varphi \\tag{6}\\]\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[\\biggl{(}\\,m + \\frac{I_{\\rm CM}}{r^{2}}\\,\\biggr{)}(R-r)\\frac{d^{2}}{dt^{2}}\\, \\theta = -mg\\sin\\theta + \\frac{I_{\\rm CM}R}{r^{2}}\\,\\frac{d^{2}}{dt^{2}}\\,\\varphi \\]\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A4\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.30"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Чему равен период малых колебаний цилиндра $m$, если цилиндр $M$ вращается с постоянной угловой скоростью? Выразите ответ через $R$, $r$, $g$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"В рассматриваемом приближении \\(\\frac{d^{2}}{dt^{2}}\\,\\varphi = 0\\), \\(\\sin\\theta \\approx \\theta\\) и \\(I_{\\rm CM} = \\frac{1}{2}\\,mr^{2}\\). Уравнение (6) упрощается до:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\[\\frac{d^{2}}{dt^{2}}\\,\\theta = -\\frac{2g}{3(R-r)}\\,\\theta \\tag{7}\\]Отсюда период колебаний:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\[T\\ =\\ 2\\pi\\sqrt{\\frac{3(R-r)}{2\\,g}} \\tag{8}\\]\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[T\\ =\\ 2\\pi\\sqrt{\\frac{3(R-r)}{2\\,g}} \\]\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A5\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Чему равно значение угла $\\theta$ для положения равновесия цилиндра $m$ из пункта A4?\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Положение равновесия \\(m\\) в пункте $A4$ соответствует \\(\\theta = 0\\)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[\\theta=0\\]\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A6\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.70"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Где находится положение равновесия цилиндра $m$, если цилиндр $M$ вращается с постоянным угловым ускорением $\\alpha$? Выразите ответ через $R$, $g$, $\\alpha$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Для случая вращения \\(M\\) с постоянным угловым ускорением \\(\\alpha\\) положение равновесия найдём из уравнения (6):"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\[\\frac{3}{2}\\bigl{(}R-r\\bigr{)}\\frac{d^{2}}{dt^{2}}\\,\\theta = -g\\sin\\theta + \\frac{R}{2}\\alpha \\tag{9}\\]Пусть \\(\\theta_{\\rm eq}\\) - положение равновесия. В этом случае \\(\\frac{d^{2}}{dt^{2}}\\,\\theta_{\\rm eq} = 0\\), и\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[\\theta_{\\rm eq} =\\arcsin\\left(\\dfrac{R\\alpha}{2g}\\right)\\]\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A7\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 2.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Пусть теперь цилиндр $M$ свободно вращается (колеблется) без ограничения вокруг центральной оси $OZ$, а цилиндр $m$ совершает малые колебания, качаясь по внутренней поверхности цилиндра $M$. Найдите период этих малых колебаний.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/8a096d63669ce4d3053c.webp","alt":"apho-2009-t1 solution: original source diagram 3"}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Из уравнения (1), с учетом изменения положительного направления изменения $\\psi$ и $\\varphi$, получаем:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\begin{equation*}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\frac{d}{d t} \\psi=\\frac{R}{r} \\frac{d}{d t} \\varphi+\\left(\\frac{R-r}{r}\\right) \\frac{d}{d t} \\theta \\tag{11}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\end{equation*}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Уравнения движения тел $m$ и $M$ имеют вид:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\begin{align*}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"& \\frac{1}{2} m r^{2} \\frac{d^{2}}{d t^{2}} \\psi=-f r  \\tag{12}\\\\"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"& M R^{2} \\frac{d^{2}}{d t^{2}} \\varphi=+f R \\tag{13}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\end{align*}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Первое решение (закон изменения момента импульса)"}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Запишем закон изменения момента импульса:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\begin{equation*}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\frac{d}{d t}\\left[M R^{2} \\frac{d}{d t} \\varphi+\\frac{1}{2} m r^{2} \\frac{d}{d t} \\psi-m(R-r)^{2} \\frac{d}{d t} \\theta\\right]=+m g(R-r) \\sin \\theta \\tag{14.1}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\end{equation*}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Следовательно, \\[\\dfrac{d^{2}}{d t^{2}} \\varphi=-\\frac{m(R-r)}{(2 M+m) R} \\frac{d^{2}}{d t^{2}} \\theta\\tag{15.1},\\] а также:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\[\\left(M R+\\frac{1}{2} m r\\right) R \\frac{d^{2}}{d t^{2}} \\varphi-m(R-r)\\left(R-\\frac{3}{2} r\\right) \\frac{d^{2}}{d t^{2}} \\theta=m g(R-r) \\sin \\theta\\tag{16.1}\\]Решая совместно два предыдущих уравнения, получим:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\begin{equation*}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\frac{d^{2}}{d t^{2}} \\theta=-\\frac{g}{(R-r)} \\frac{(2 M+m)}{(3 M+m)} \\sin \\theta \\tag{17.1}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\end{equation*}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"В пределе малых амплитуд колебаний предыдущее уравнение упрощается:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\begin{equation*}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\frac{d^{2}}{d t^{2}} \\theta=-\\frac{g}{(R-r)} \\frac{(2 M+m)}{(3 M+m)} \\theta \\tag{18.1}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\end{equation*}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Выразим период колебаний:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"T=2 \\pi \\sqrt{\\left(\\frac{R-r}{g}\\right)\\left(\\frac{3 M+m}{2 M+m}\\right)}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Второе решение (силовое)"}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Запишем второй закон Ньютона:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"m g \\sin \\theta-f=m a"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\begin{equation*}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"m g \\sin \\theta-f=-m(R-r) \\frac{d^{2} \\theta}{d t^{2}} \\tag{14.2}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\end{equation*}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Из уравнения (13): \\[\\quad f=M R \\frac{d^{2} \\varphi}{d t^{2}}\\]Подставляя это в уравнение (14.2), получаем:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\begin{equation*}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"m g \\sin \\theta=M R \\frac{d^{2} \\varphi}{d t^{2}}-m(R-r) \\frac{d^{2} \\theta}{d t^{2}} \\tag{15.2}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\end{equation*}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Из уравнений (11), (12) и (13) получаем:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\begin{equation*}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\frac{d^{2} \\varphi}{d t^{2}}=-\\frac{m}{2 M+m}\\left(\\frac{R-r}{R}\\right) \\frac{d^{2} \\theta}{d t^{2}} \\tag{16.2}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\end{equation*}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Тогда (15.2) принимает вид: \\[\\quad m g \\sin \\theta=-\\frac{M m}{2 M+m}(R-r) \\frac{d^{2} \\theta}{d t^{2}}-m(R-r) \\frac{d^{2} \\theta}{d t^{2}}\\]"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\begin{equation*}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\frac{d^{2} \\theta}{d t^{2}}=-\\frac{g}{(R-r)} \\frac{2 M+m}{3 M+m} \\sin \\theta \\tag{17.2}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\end{equation*}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"В пределе малых амплитуд колебаний предыдущее уравнение упрощается:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\begin{equation*}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\frac{d^{2}}{d t^{2}} \\theta=-\\frac{g}{(R-r)} \\frac{(2 M+m)}{(3 M+m)} \\theta \\tag{18.2}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\end{equation*}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Выражение для периода колебаний:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"T=2 \\pi \\sqrt{\\left(\\frac{R-r}{g}\\right)\\left(\\frac{3 M+m}{2 M+m}\\right)}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Третье решение (энергетическое)"}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Полная механическая энергия системы задаётся выражением:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\begin{equation*}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"E=\\frac{1}{2} M R^{2}\\left(\\frac{d \\varphi}{d t}\\right)^{2}+\\frac{1}{2}\\left(\\frac{1}{2} m r^{2}\\right)\\left(\\frac{d \\psi}{d t}\\right)^{2}+\\frac{1}{2} m\\left(\\frac{d \\theta}{d t}\\right)^{2}(R-r)^{2}+m g(R-r)(1-\\cos \\theta) \\tag{14.3}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\end{equation*}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Используем закон сохранения механической энергии:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\frac{d E}{d t}=M R^{2}\\left(\\frac{d \\varphi}{d t}\\right)\\left(\\frac{d^{2} \\varphi}{d t^{2}}\\right)+\\left(\\frac{1}{2} m r^{2}\\right)\\left(\\frac{d \\psi}{d t}\\right)\\left(\\frac{d^{2} \\psi}{d t^{2}}\\right)+m\\left(\\frac{d \\theta}{d t}\\right)\\left(\\frac{d^{2} \\theta}{d t^{2}}\\right)(R-r)^{2}+m g(R-r)\\left(\\frac{d \\theta}{d t}\\right) \\sin \\theta=0\\tag{15.3}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Применяя уравнения (11), (12) и (13), получаем:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\begin{equation*}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\frac{d^{2} \\varphi}{d t^{2}}=-\\frac{R-r}{R} \\frac{m}{2 M+m} \\frac{d^{2} \\theta}{d t^{2}} \\quad \\text { и } \\quad \\frac{d^{2} \\psi}{d t^{2}}=\\frac{R-r}{r} \\frac{2 M}{2 M+m} \\frac{d^{2} \\theta}{d t^{2}}  \\tag{16.3}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\end{equation*}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Без потери общности, мы можем проинтегрировать оба уравнения и получить:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\begin{equation*}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\frac{d \\varphi}{d t}=-\\frac{R-r}{R} \\frac{m}{2 M+m} \\frac{d \\theta}{d t} \\text { и } \\frac{d \\psi}{d t}=\\frac{R-r}{r} \\frac{2 M}{2 M+m} \\frac{d \\theta}{d t} \\tag{17.3}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\end{equation*}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"при условии, что все тела имеют нулевые линейные и угловые скорости в один и тот же конкретный момент времени. Подставляя эти соотношения в уравнение выше из закона сохранения энергии, получаем:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\begin{equation*}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\left[\\frac{M m}{(2 M+m)^{2}}+\\frac{2 M^{2}}{(2 M+m)^{2}}+1\\right]\\left(\\frac{d \\theta}{d t}\\right)\\left(\\frac{d^{2} \\theta}{d t^{2}}\\right)(R-r)^{2}=-g(R-r)\\left(\\frac{d \\theta}{d t}\\right) \\sin \\theta \\tag{18.3}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\end{equation*}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Это уравнение должно выполняться в любой момент времени, поэтому мы можем разделить обе части на $\\frac{d \\theta}{d t}$. После некоторых упрощений получаем:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\begin{equation*}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\frac{d^{2}}{d t^{2}} \\theta=-\\frac{g}{(R-r)} \\frac{(2 M+m)}{(3 M+m)} \\sin \\theta \\tag{19.3}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\end{equation*}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"В пределе малых амплитуд колебаний предыдущее уравнение упрощается:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\begin{equation*}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\frac{d^{2}}{d t^{2}} \\theta=-\\frac{g}{(R-r)} \\frac{(2 M+m)}{(3 M+m)} \\theta \\tag{20.3}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\end{equation*}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Снова выразим период колебаний:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"T=2 \\pi \\sqrt{\\left(\\frac{R-r}{g}\\right)\\left(\\frac{3 M+m}{2 M+m}\\right)}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n $$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"T=2 \\pi \\sqrt{\\left(\\frac{R-r}{g}\\right)\\left(\\frac{3 M+m}{2 M+m}\\right)}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\n\n                    "}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Заметим, что хотя может показаться, что у нас больше одной степени свободы, существует только одна мода колебаний, потому что связь с потенциальной энергией осуществляется только через угол $\\theta$. Однако у нас есть свобода наложить любую постоянную угловую скорость $\\dfrac{d \\varphi}{d t}$ и $\\dfrac{d \\psi}{d t}$ (и условие качения без проскальзывания будет выполняться), и это не изменит период колебаний. Это соответствует свободе выбора различных начальных условий движения системы.\n\n                "}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A8\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 2.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Рассмотрите случай когда цилиндр $M$ вращается с постоянной угловой скоростью $\\Omega$, а цилиндр $m$ вращается (катается) вокруг стационарного центра масс в точке равновесия, найденного в пункте A5. Затем цилиндр $M$ мгновенно останавливают. Какое наименьшее значение должна иметь $\\Omega$, чтобы цилиндр $m$ покатился и достиг высшей точки внутренней поверхности цилиндра $M$? Коэффициент трения между $m$ и $M$ предполагается достаточно большим, так что $m$ начинает катиться без проскальзывания сразу же после короткой пробуксовки после остановки цилиндра $M$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Когда $M$ вращается равномерно с угловой скоростью $\\Omega$, уравнение (6) принимает вид:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\begin{equation*}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\frac{3}{2}(R-r) \\frac{d^{2}}{d t^{2}} \\theta=-g \\sin \\theta \\tag{19}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\end{equation*}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"что подразумевает, что $m$ остаётся при $\\theta=0$, если $m$ не колеблется."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Следовательно, уравнение (1) сводится к:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\psi=\\frac{R}{r} \\varphi"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"и"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\begin{equation*}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\frac{d}{d t} \\psi=\\frac{R}{r} \\frac{d \\varphi}{d t}=\\frac{R}{r} \\Omega \\tag{20}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\end{equation*}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Это означает, что $m$ вращается с постоянной угловой скоростью $\\dfrac{R}{r} \\Omega$ до момента остановки $M$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"После этого момента $m$ будет ускоряться посредством импульса трения. Этот процесс происходит мгновенно из-за высокого значения коэффициента трения. Для упрощения расчётов мы примем нижнюю поверхность $M$ плоской."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$m$ проскальзывает вперёд."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/4f19686e1f7d664acdd6.webp","alt":"apho-2009-t1 solution: original source diagram 4"}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n \\begin{align*}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"m \\frac{d}{d t} v & =+f_{m}  \\tag{21}\\\\"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"I_{\\mathrm{CM}} \\frac{d}{d t} \\omega & =-f_{m} r, \\quad I_{\\mathrm{CM}}=\\frac{1}{2} m r^{2} \\tag{22}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\end{align*}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Решая два последних уравнения для $v(t)$ и $\\omega(t)$ с начальными условиями $v(0)=0$ и $\\omega(0)=\\dfrac{R}{r} \\Omega$ и накладывая условие $v^{\\prime}(t)=\\omega^{\\prime}(t) r$ для начала качения без проскальзывания, получаем:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\begin{equation*}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"v^{\\prime}=\\frac{1}{3} R \\Omega, \\quad \\omega^{\\prime}=\\frac{1}{3} \\frac{R}{r} \\Omega \\tag{23}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\end{equation*}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Запишем ЗСЭ для движения без проскальзывания:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\begin{equation*}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\frac{1}{2} m v^{2}+\\frac{1}{2} I_{\\mathrm{CM}} \\omega^{2}+2 m g(R-r)=\\frac{1}{2} m v^{\\prime 2}+\\frac{1}{2} I_{\\mathrm{CM}} \\omega^{2} \\tag{24}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\end{equation*}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Также имеем $\\quad N=m \\dfrac{v^{2}}{R-r}-m g$"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\begin{equation*}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\therefore \\quad N=\\left(\\frac{m}{R-r}\\right)\\left(\\frac{R \\Omega}{3}\\right)^{2}-\\frac{11}{3} m g \\tag{25}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\end{equation*}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$m$ достигнет вершины, если $N \\geq 0$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Следовательно:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\begin{equation*}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\Omega \\geq \\sqrt{33 g\\left(\\frac{R-r}{R^{2}}\\right)} \\tag{26}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\end{equation*}\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\begin{equation*}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\Omega \\geq \\sqrt{33 g\\left(\\frac{R-r}{R^{2}}\\right)} "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\end{equation*}\n\n                    "}]}]}]}],"text":"A1 0.80 В момент времени $t=0$ цилиндр массы $M$ покоится и цилиндр массы $m$ также покоится в низшей точке. Цилиндр $M$ начинает вращаться. В некоторый момент времени $t$ угловое положение центра масс цилиндра $m$ равняется $\\theta$ и при этом цилиндр $M$ совершил поворот на $\\varphi$ радиан. На сколько радиан (обозначенный через $\\psi$) повернулся цилиндр $m$ вокруг своей центральной оси относительной фиксированной линии (например, отрицательной части оси $Y$). Выразите ответ через $\\theta$, $\\varphi$, $R$ и $r$. Точка P, закреплённая на поверхности \\( M \\), находилась в положении непосредственно под $O$ в момент времени \\( t = 0 \\). Следовательно, \\( m \\) должна была прокатиться на угол \\[\\frac{\\varphi R - \\theta R}{r}\\] радиан относительно поверхности \\( M \\) за время \\( t \\), в течение которого линия $OC$ также повернулась против часовой стрелки на угол \\( \\theta \\). Поэтому полное угловое перемещение \\( m \\) относительно её центра масс по отношению к любой фиксированной линии отсчёта за время \\( t \\) равно \\[\\psi = \\frac{\\varphi R - \\theta R}{r} + \\theta = \\frac{R}{r} \\varphi - \\left( \\frac{R - r}{r} \\right) \\theta \\tag{1}\\] Ответ: \n                    \n \\[\\psi = \\frac{\\varphi R - \\theta R}{r} + \\theta = \\frac{R}{r} \\varphi - \\left( \\frac{R - r}{r} \\right) \\theta \\]\nA2 0.20 Найдите угловое ускорение $\\frac{d^2}{dt^2} \\psi$ цилиндра $m$ относительно его центральной оси, проходящей через центр масс. Выразите ответ через $R$, $r$ и производные от $\\theta$ и $\\varphi$. Дифференцируя уравнение (1) дважды по времени, получаем \\[\\frac{d^2}{dt^2} \\psi = \\frac{R}{r} \\frac{d^2}{dt^2} \\varphi - \\left( \\frac{R - r}{r} \\right) \\frac{d^2}{dt^2} \\theta \\tag{2}\\] Ответ: \n                    \n \\[\\frac{d^2}{dt^2} \\psi = \\frac{R}{r} \\frac{d^2}{dt^2} \\varphi - \\left( \\frac{R - r}{r} \\right) \\frac{d^2}{dt^2} \\theta \\]\nA3 1.80 Выведите уравнение для углового ускорения $\\frac{d^2}{dt^2} \\theta$ центра масс цилиндра $m$ относительно оси $OZ$ через $m$, $g$, $R$, $r$, $\\theta$, $\\frac{d^2}{dt^2} \\varphi$ и момент инерции $I_{CM}$ цилиндра массы $m$ относительно его центральной оси. Уравнения движения центра масс \\(m\\): \\[m(R-r)\\frac{d^{2}}{dt^{2}}\\,\\theta = \\ell - mg\\sin\\theta \\tag{3}\\]\\[m\\biggl{(}\\frac{d}{dt}\\,\\theta\\biggr{)}^{2}(R-r) = N - mg\\cos\\theta \\tag{4}\\]Уравнение вращения \\(m\\) относительно центра масс: \\[I_{\\rm CM}\\frac{d^{2}}{dt^{2}}\\psi = I_{\\rm CM}\\biggl{[}\\frac{R}{r}\\frac{d^{2}}{dt^{2}}\\,\\varphi - \\biggl{(} \\frac{R-r}{r}\\biggr{)}\\frac{d^{2}}{dt^{2}}\\,\\theta\\biggr{]}\\ =\\  fr \\tag{5}\\]где \\(I_{\\rm CM} = \\frac{1}{2}\\,mr^{2}\\). Из уравнений (3) и (5) получаем: \\[\\biggl{(}\\,m + \\frac{I_{\\rm CM}}{r^{2}}\\,\\biggr{)}(R-r)\\frac{d^{2}}{dt^{2}}\\, \\theta = -mg\\sin\\theta + \\frac{I_{\\rm CM}R}{r^{2}}\\,\\frac{d^{2}}{dt^{2}}\\,\\varphi \\tag{6}\\] Ответ: \n                    \n \\[\\biggl{(}\\,m + \\frac{I_{\\rm CM}}{r^{2}}\\,\\biggr{)}(R-r)\\frac{d^{2}}{dt^{2}}\\, \\theta = -mg\\sin\\theta + \\frac{I_{\\rm CM}R}{r^{2}}\\,\\frac{d^{2}}{dt^{2}}\\,\\varphi \\]\nA4 1.30 Чему равен период малых колебаний цилиндра $m$, если цилиндр $M$ вращается с постоянной угловой скоростью? Выразите ответ через $R$, $r$, $g$. В рассматриваемом приближении \\(\\frac{d^{2}}{dt^{2}}\\,\\varphi = 0\\), \\(\\sin\\theta \\approx \\theta\\) и \\(I_{\\rm CM} = \\frac{1}{2}\\,mr^{2}\\). Уравнение (6) упрощается до: \\[\\frac{d^{2}}{dt^{2}}\\,\\theta = -\\frac{2g}{3(R-r)}\\,\\theta \\tag{7}\\]Отсюда период колебаний: \\[T\\ =\\ 2\\pi\\sqrt{\\frac{3(R-r)}{2\\,g}} \\tag{8}\\] Ответ: \n                    \n \\[T\\ =\\ 2\\pi\\sqrt{\\frac{3(R-r)}{2\\,g}} \\]\nA5 0.20 Чему равно значение угла $\\theta$ для положения равновесия цилиндра $m$ из пункта A4? Положение равновесия \\(m\\) в пункте $A4$ соответствует \\(\\theta = 0\\). Ответ: \n                    \n \\[\\theta=0\\]\nA6 0.70 Где находится положение равновесия цилиндра $m$, если цилиндр $M$ вращается с постоянным угловым ускорением $\\alpha$? Выразите ответ через $R$, $g$, $\\alpha$. Для случая вращения \\(M\\) с постоянным угловым ускорением \\(\\alpha\\) положение равновесия найдём из уравнения (6): \\[\\frac{3}{2}\\bigl{(}R-r\\bigr{)}\\frac{d^{2}}{dt^{2}}\\,\\theta = -g\\sin\\theta + \\frac{R}{2}\\alpha \\tag{9}\\]Пусть \\(\\theta_{\\rm eq}\\) - положение равновесия. В этом случае \\(\\frac{d^{2}}{dt^{2}}\\,\\theta_{\\rm eq} = 0\\), и Ответ: \n                    \n \\[\\theta_{\\rm eq} =\\arcsin\\left(\\dfrac{R\\alpha}{2g}\\right)\\]\nA7 2.50 Пусть теперь цилиндр $M$ свободно вращается (колеблется) без ограничения вокруг центральной оси $OZ$, а цилиндр $m$ совершает малые колебания, качаясь по внутренней поверхности цилиндра $M$. Найдите период этих малых колебаний. Из уравнения (1), с учетом изменения положительного направления изменения $\\psi$ и $\\varphi$, получаем: \\begin{equation*} \\frac{d}{d t} \\psi=\\frac{R}{r} \\frac{d}{d t} \\varphi+\\left(\\frac{R-r}{r}\\right) \\frac{d}{d t} \\theta \\tag{11} \\end{equation*} Уравнения движения тел $m$ и $M$ имеют вид: \\begin{align*} & \\frac{1}{2} m r^{2} \\frac{d^{2}}{d t^{2}} \\psi=-f r  \\tag{12}\\\\ & M R^{2} \\frac{d^{2}}{d t^{2}} \\varphi=+f R \\tag{13} \\end{align*} Первое решение (закон изменения момента импульса) Запишем закон изменения момента импульса: \\begin{equation*} \\frac{d}{d t}\\left[M R^{2} \\frac{d}{d t} \\varphi+\\frac{1}{2} m r^{2} \\frac{d}{d t} \\psi-m(R-r)^{2} \\frac{d}{d t} \\theta\\right]=+m g(R-r) \\sin \\theta \\tag{14.1} \\end{equation*} Следовательно, \\[\\dfrac{d^{2}}{d t^{2}} \\varphi=-\\frac{m(R-r)}{(2 M+m) R} \\frac{d^{2}}{d t^{2}} \\theta\\tag{15.1},\\] а также: \\[\\left(M R+\\frac{1}{2} m r\\right) R \\frac{d^{2}}{d t^{2}} \\varphi-m(R-r)\\left(R-\\frac{3}{2} r\\right) \\frac{d^{2}}{d t^{2}} \\theta=m g(R-r) \\sin \\theta\\tag{16.1}\\]Решая совместно два предыдущих уравнения, получим: \\begin{equation*} \\frac{d^{2}}{d t^{2}} \\theta=-\\frac{g}{(R-r)} \\frac{(2 M+m)}{(3 M+m)} \\sin \\theta \\tag{17.1} \\end{equation*} В пределе малых амплитуд колебаний предыдущее уравнение упрощается: \\begin{equation*} \\frac{d^{2}}{d t^{2}} \\theta=-\\frac{g}{(R-r)} \\frac{(2 M+m)}{(3 M+m)} \\theta \\tag{18.1} \\end{equation*} Выразим период колебаний: $$ T=2 \\pi \\sqrt{\\left(\\frac{R-r}{g}\\right)\\left(\\frac{3 M+m}{2 M+m}\\right)} $$ Второе решение (силовое) Запишем второй закон Ньютона: $$ m g \\sin \\theta-f=m a $$ \\begin{equation*} m g \\sin \\theta-f=-m(R-r) \\frac{d^{2} \\theta}{d t^{2}} \\tag{14.2} \\end{equation*} Из уравнения (13): \\[\\quad f=M R \\frac{d^{2} \\varphi}{d t^{2}}\\]Подставляя это в уравнение (14.2), получаем: \\begin{equation*} m g \\sin \\theta=M R \\frac{d^{2} \\varphi}{d t^{2}}-m(R-r) \\frac{d^{2} \\theta}{d t^{2}} \\tag{15.2} \\end{equation*} Из уравнений (11), (12) и (13) получаем: \\begin{equation*} \\frac{d^{2} \\varphi}{d t^{2}}=-\\frac{m}{2 M+m}\\left(\\frac{R-r}{R}\\right) \\frac{d^{2} \\theta}{d t^{2}} \\tag{16.2} \\end{equation*} Тогда (15.2) принимает вид: \\[\\quad m g \\sin \\theta=-\\frac{M m}{2 M+m}(R-r) \\frac{d^{2} \\theta}{d t^{2}}-m(R-r) \\frac{d^{2} \\theta}{d t^{2}}\\] \\begin{equation*} \\frac{d^{2} \\theta}{d t^{2}}=-\\frac{g}{(R-r)} \\frac{2 M+m}{3 M+m} \\sin \\theta \\tag{17.2} \\end{equation*} В пределе малых амплитуд колебаний предыдущее уравнение упрощается: \\begin{equation*} \\frac{d^{2}}{d t^{2}} \\theta=-\\frac{g}{(R-r)} \\frac{(2 M+m)}{(3 M+m)} \\theta \\tag{18.2} \\end{equation*} Выражение для периода колебаний: $$ T=2 \\pi \\sqrt{\\left(\\frac{R-r}{g}\\right)\\left(\\frac{3 M+m}{2 M+m}\\right)} $$ Третье решение (энергетическое) Полная механическая энергия системы задаётся выражением: \\begin{equation*} E=\\frac{1}{2} M R^{2}\\left(\\frac{d \\varphi}{d t}\\right)^{2}+\\frac{1}{2}\\left(\\frac{1}{2} m r^{2}\\right)\\left(\\frac{d \\psi}{d t}\\right)^{2}+\\frac{1}{2} m\\left(\\frac{d \\theta}{d t}\\right)^{2}(R-r)^{2}+m g(R-r)(1-\\cos \\theta) \\tag{14.3} \\end{equation*} Используем закон сохранения механической энергии: $$ \\frac{d E}{d t}=M R^{2}\\left(\\frac{d \\varphi}{d t}\\right)\\left(\\frac{d^{2} \\varphi}{d t^{2}}\\right)+\\left(\\frac{1}{2} m r^{2}\\right)\\left(\\frac{d \\psi}{d t}\\right)\\left(\\frac{d^{2} \\psi}{d t^{2}}\\right)+m\\left(\\frac{d \\theta}{d t}\\right)\\left(\\frac{d^{2} \\theta}{d t^{2}}\\right)(R-r)^{2}+m g(R-r)\\left(\\frac{d \\theta}{d t}\\right) \\sin \\theta=0\\tag{15.3} $$ Применяя уравнения (11), (12) и (13), получаем: \\begin{equation*} \\frac{d^{2} \\varphi}{d t^{2}}=-\\frac{R-r}{R} \\frac{m}{2 M+m} \\frac{d^{2} \\theta}{d t^{2}} \\quad \\text { и } \\quad \\frac{d^{2} \\psi}{d t^{2}}=\\frac{R-r}{r} \\frac{2 M}{2 M+m} \\frac{d^{2} \\theta}{d t^{2}}  \\tag{16.3} \\end{equation*} Без потери общности, мы можем проинтегрировать оба уравнения и получить: \\begin{equation*} \\frac{d \\varphi}{d t}=-\\frac{R-r}{R} \\frac{m}{2 M+m} \\frac{d \\theta}{d t} \\text { и } \\frac{d \\psi}{d t}=\\frac{R-r}{r} \\frac{2 M}{2 M+m} \\frac{d \\theta}{d t} \\tag{17.3} \\end{equation*} при условии, что все тела имеют нулевые линейные и угловые скорости в один и тот же конкретный момент времени. Подставляя эти соотношения в уравнение выше из закона сохранения энергии, получаем: \\begin{equation*} \\left[\\frac{M m}{(2 M+m)^{2}}+\\frac{2 M^{2}}{(2 M+m)^{2}}+1\\right]\\left(\\frac{d \\theta}{d t}\\right)\\left(\\frac{d^{2} \\theta}{d t^{2}}\\right)(R-r)^{2}=-g(R-r)\\left(\\frac{d \\theta}{d t}\\right) \\sin \\theta \\tag{18.3} \\end{equation*} Это уравнение должно выполняться в любой момент времени, поэтому мы можем разделить обе части на $\\frac{d \\theta}{d t}$. После некоторых упрощений получаем: \\begin{equation*} \\frac{d^{2}}{d t^{2}} \\theta=-\\frac{g}{(R-r)} \\frac{(2 M+m)}{(3 M+m)} \\sin \\theta \\tag{19.3} \\end{equation*} В пределе малых амплитуд колебаний предыдущее уравнение упрощается: \\begin{equation*} \\frac{d^{2}}{d t^{2}} \\theta=-\\frac{g}{(R-r)} \\frac{(2 M+m)}{(3 M+m)} \\theta \\tag{20.3} \\end{equation*} Снова выразим период колебаний: $$ T=2 \\pi \\sqrt{\\left(\\frac{R-r}{g}\\right)\\left(\\frac{3 M+m}{2 M+m}\\right)} $$ Ответ: \n                    \n $$ T=2 \\pi \\sqrt{\\left(\\frac{R-r}{g}\\right)\\left(\\frac{3 M+m}{2 M+m}\\right)} $$ Заметим, что хотя может показаться, что у нас больше одной степени свободы, существует только одна мода колебаний, потому что связь с потенциальной энергией осуществляется только через угол $\\theta$. Однако у нас есть свобода наложить любую постоянную угловую скорость $\\dfrac{d \\varphi}{d t}$ и $\\dfrac{d \\psi}{d t}$ (и условие качения без проскальзывания будет выполняться), и это не изменит период колебаний. Это соответствует свободе выбора различных начальных условий движения системы.\nA8 2.50 Рассмотрите случай когда цилиндр $M$ вращается с постоянной угловой скоростью $\\Omega$, а цилиндр $m$ вращается (катается) вокруг стационарного центра масс в точке равновесия, найденного в пункте A5. Затем цилиндр $M$ мгновенно останавливают. Какое наименьшее значение должна иметь $\\Omega$, чтобы цилиндр $m$ покатился и достиг высшей точки внутренней поверхности цилиндра $M$? Коэффициент трения между $m$ и $M$ предполагается достаточно большим, так что $m$ начинает катиться без проскальзывания сразу же после короткой пробуксовки после остановки цилиндра $M$. Когда $M$ вращается равномерно с угловой скоростью $\\Omega$, уравнение (6) принимает вид: \\begin{equation*} \\frac{3}{2}(R-r) \\frac{d^{2}}{d t^{2}} \\theta=-g \\sin \\theta \\tag{19} \\end{equation*} что подразумевает, что $m$ остаётся при $\\theta=0$, если $m$ не колеблется. Следовательно, уравнение (1) сводится к: $$ \\psi=\\frac{R}{r} \\varphi $$ и \\begin{equation*} \\frac{d}{d t} \\psi=\\frac{R}{r} \\frac{d \\varphi}{d t}=\\frac{R}{r} \\Omega \\tag{20} \\end{equation*} Это означает, что $m$ вращается с постоянной угловой скоростью $\\dfrac{R}{r} \\Omega$ до момента остановки $M$. После этого момента $m$ будет ускоряться посредством импульса трения. Этот процесс происходит мгновенно из-за высокого значения коэффициента трения. Для упрощения расчётов мы примем нижнюю поверхность $M$ плоской. $m$ проскальзывает вперёд. \\begin{align*} m \\frac{d}{d t} v & =+f_{m}  \\tag{21}\\\\ I_{\\mathrm{CM}} \\frac{d}{d t} \\omega & =-f_{m} r, \\quad I_{\\mathrm{CM}}=\\frac{1}{2} m r^{2} \\tag{22} \\end{align*} Решая два последних уравнения для $v(t)$ и $\\omega(t)$ с начальными условиями $v(0)=0$ и $\\omega(0)=\\dfrac{R}{r} \\Omega$ и накладывая условие $v^{\\prime}(t)=\\omega^{\\prime}(t) r$ для начала качения без проскальзывания, получаем: \\begin{equation*} v^{\\prime}=\\frac{1}{3} R \\Omega, \\quad \\omega^{\\prime}=\\frac{1}{3} \\frac{R}{r} \\Omega \\tag{23} \\end{equation*} Запишем ЗСЭ для движения без проскальзывания: \\begin{equation*} \\frac{1}{2} m v^{2}+\\frac{1}{2} I_{\\mathrm{CM}} \\omega^{2}+2 m g(R-r)=\\frac{1}{2} m v^{\\prime 2}+\\frac{1}{2} I_{\\mathrm{CM}} \\omega^{2} \\tag{24} \\end{equation*} Также имеем $\\quad N=m \\dfrac{v^{2}}{R-r}-m g$ \\begin{equation*} \\therefore \\quad N=\\left(\\frac{m}{R-r}\\right)\\left(\\frac{R \\Omega}{3}\\right)^{2}-\\frac{11}{3} m g \\tag{25} \\end{equation*} $m$ достигнет вершины, если $N \\geq 0$. Следовательно: \\begin{equation*} \\Omega \\geq \\sqrt{33 g\\left(\\frac{R-r}{R^{2}}\\right)} \\tag{26} \\end{equation*} Ответ: \n                    \n \\begin{equation*} \\Omega \\geq \\sqrt{33 g\\left(\\frac{R-r}{R^{2}}\\right)} \\end{equation*}","figures":["/corpus/figures/7bc9e05b6fb41395dd69.webp","/corpus/figures/4c180d18e382f87bb444.webp","/corpus/figures/8a096d63669ce4d3053c.webp","/corpus/figures/4f19686e1f7d664acdd6.webp"],"shared":false}},{"id":"apho-2016-t3","importedOn":"2026-10-28","language":"ru","sources":[{"url":"https://pho.rs/p/3608","kind":"statement"},{"url":"https://pho.rs/p/3608/s","kind":"solution"}],"statement":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"text","text":"\n                        \n                        \n Электрон – элементарная частица, у которой есть электрический заряд и внутренний магнитный момент, связанный с ее спином ("},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"моментом импульса"}]},{"type":"text","text":"). Из-за кулоновского взаимодействия электроны в вакууме отталкиваются. Однако, в некоторых металлах суммарная сила, действующая на электроны, может стать силой притяжения из-за колебаний решетки. Когда температура металла достаточно низкая (ниже некоторой критической температуры $T_c$), электроны с противоположными импульсами и противоположными спинами могу образовывать куперовские пары. Образуя куперовскую пару, каждый из электронов уменьшает свою энергию на величину $\\Delta$ по сравнению с электроном, свободно движущемся в металле. Энергия свободно движущегося электрона равна $p^2/2m_e$, где $p$ – импульс электрона, а $m_e$ – его масса. Куперовские пары могут перемещаться без сопротивления, и металл при этом становится сверхпроводником."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Однако, даже при температурах ниже $T_c$ сверхпроводимость можно разрушить, если к сверхпроводнику приложить внешнее магнитное поле. В этой задаче мы исследуем разрушение куперовских пар посредством двух эффектов."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Первый эффект – парамагнитный. В нем электроны вместо создания куперовской пары с противоположными спинами, уменьшают свою энергию, выстраивая свой магнитный момент параллельно магнитному полю."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Второй эффект – диамагнитный. В нем магнитное поле изменяет орбитальное движение куперовских пар и увеличивает их энергию. Когда приложенное магнитное поле превысит некоторое критическое значение $B_c$, увеличение энергии становится больше чем $2 \\Delta$. В результате, электронам становится невыгодно образовывать куперовские пары."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Недавно был открыт новый тип сверхпроводников – сверхпроводники Изинга. Они не утрачивают свойство сверхпроводимости даже когда к ним приложено поле в 60 Тесла. А это сравнимо с максимальной силой полей, которые создаются сегодня в лабораториях. Мы исследуем, как сверхпроводники Изинга могут преодолеть парамагнитный и диамагнитный эффекты.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть А. Электрон в магнитном поле"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"\n        \n             Рассмотрим виток радиуса $r$, полный заряд которого $-e$, а масса – $m$. Масса и заряд распределены по витку равномерно (рис. 1).        \n        "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/dc4a55d0e945b41050b5.webp","alt":"apho-2016-t3 statement: original source diagram 1"}]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Чему равен момент импульса $\\vec{L}$ этого витка (величина и направление), если он вращается с угловой скоростью $\\vec{\\omega}$?\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Величина магнитного момента определяется как $|\\vec{M}| = I A$, где $I$ – это ток, а $A$ – площадь витка. Найдите соотношение между магнитным моментом $\\vec{M}$ и моментом импульса $\\vec{L}$ витка.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"\n        \n             Пусть $\\vec{n}$ – нормаль к витку, и она составляет угол $\\theta$ с приложенным магнитным полем (рис. 2).        \n        "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/09b1c1763749fc76e1dd.webp","alt":"apho-2016-t3 statement: original source diagram 2"}]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Рассмотрим кольцо, описанное в пункте А1, помещенное в однородное магнитное поле индукцией $B_z$, которое направлено вдоль оси $z$. Чему равна потенциальная энергия такой системы? Потенциальная энергия равна нулю при $\\theta = \\pi/2$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A4\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n У электрона есть собственный момент импульса (спин). Его величина в определенном направлении равна $\\hbar/2$, где $\\hbar = h/2\\pi$, а $h$ – постоянная Планка. \\newline"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Электроны помещены в магнитное поле. Чему равна потенциальная энергия электронов $U_{\\text{up}}$ и $U_{\\text{down}}$, чьи спины параллельны полю и антипараллельны, соответственно. Выразите свой ответ через магнетон Бора"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\begin{equation*}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"    \\mu_B = \\frac{e \\hbar}{2 m_e} = 5.788 \\cdot 10^{-5} \\text{эВ}\\cdot\\text{Т}^{-1}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\end{equation*}и индукцию поля $B$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A5\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Из квантовой механики известно, что потенциальные энергии $\\tilde{U}_{\\text{up}}$ и $\\tilde{U}_{\\text{down}}$ в два раза больше значений $U_{\\text{up}}$ и $U_{\\text{down}}$, найденных в пункте А4. Пусть приложено магнитное поле индукцией 1 Тесла. Чему тогда равны потенциальные энергии электрона $\\tilde{U}_{\\text{up}}$ и $\\tilde{U}_{\\text{down}}$, чей спин параллелен и антипараллелен приложенному полю соответственно? В дальнейшем в задаче используйте в своих вычислениях выражения для $\\tilde{U}_{\\text{up}}$ и $\\tilde{U}_{\\text{down}}$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть B. Парамагнитный эффект магнитного поля на куперовские пары"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n В этой части задачи мы исследуем парамагнитный эффект приложенного внешнего магнитного поля на куперовские пары (рис. 3).\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"\n        \n             Теоретические расчеты показывают, что в сверхпроводниках два электрона могут образовывать куперовскую пару, при этом общая энергия системы уменьшается. Энергия куперовской пары может быть записана как"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\begin{equation*}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"    \\frac{p_1^2}{2m_e} + \\frac{p_2^2}{2 m_e} - 2 \\Delta, "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\end{equation*}где первые два члена соответствуют кинетической энергии куперовской пары, а последний – уменьшению энергии из-за создания куперовской пары. Здесь $\\Delta$ – положительная постоянная.        \n        "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/1acf7ebda7e3f299ea4b.webp","alt":"apho-2016-t3 statement: original source diagram 3"}]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Считайте, что магнитное поле действует только на спин электронов, а не на их орбитальное движение. Чему равна энергия $E_S$ куперовской пары, помещенной в однородное магнитное поле $\\vec{B} = (B_x, 0, 0)$? Напомним, что у электронов, образующих куперовскую пару, противоположные спины.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n В нормальном (не сверхпроводящем) состоянии электроны не образуют куперовские пары. Поле $\\vec{B} = (B_x, 0, 0)$ однородно и направлено вдоль плоскости в направлении оси $x$. Чему равна минимальная энергия двух электронов $E_N$ в этом поле? Используйте в своих вычислениях $\\tilde{U}_{\\text{up}}$ и $\\tilde{U}_{\\text{down}}$ из пункта A5. Действием магнитного поля на орбитальное движение электронов можно пренебречь.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Когда температура равна нулю, система \\textbf{займет} состояние с минимальной энергией. Сверхпроводимость исчезает, если индукция поля превысит критическое значение $B_P$ (т.е. при $|\\vec{B}| > B_P$). Чему равно это критическое значение $B_P$? Выразите ответ через $\\Delta$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть С. Диамагнитный эффект магнитного поля на куперовские пары"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n В этой части задачи можно пренебречь действием магнитного поля на спины электронов. Мы рассмотрим действие внешнего магнитного поля на орбитальное движение куперовских пар."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Когда температура равна нулю, а сверхпроводник находится в магнитном поле $\\vec{B} = (0,0,B_z)$, то разность энергий между сверхпроводящим состоянием и нормальным состоянием может быть записана"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\begin{equation*}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"    F = \\int_{-\\infty}^{\\infty} \\psi \\left( - \\alpha \\psi - \\frac{\\hbar^2}{4 m_e} \\frac{d^2 \\psi}{dx^2} + \\frac{e^2 B_z^2 x^2}{m_e} \\psi \\right) dx"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\end{equation*}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Здесь $\\psi(x)$ — функция, зависящая от $x$ и не зависящая от $y$. $\\psi(x)^2$ задает вероятность найти куперовскую пару вблизи положения $x$. Здесь $\\alpha$ – постоянная, и она связана с уменьшением энергии при образовании куперовской пары. Второй и третий члены в $F$ связаны с кинетической энергией куперовской пары, учитывая действие магнитного поля. Когда температура равна нулю, система минимизирует свою энергию $F$. В этом случае функция $\\psi(x)$ может быть записана в виде"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\begin{equation*}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"    \\psi(x) = \\left( \\frac{2\\lambda}{\\pi} \\right)^{1/4} e^{-\\lambda x^2},"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\end{equation*}где $\\lambda > 0$.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Найдите $\\lambda$ и выразите ответ через $e$, $B_z$ и $\\hbar$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"Примечание:"}]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\begin{equation*}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"    \\int_{-\\infty}^{\\infty} e^{- a x^2} dx = \\sqrt{\\frac{\\pi}{a}},"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\end{equation*}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\begin{equation*}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"    \\int_{-\\infty}^{\\infty} x^2 e^{- a x^2} dx = \\frac{1}{2 a} \\sqrt{\\frac{\\pi}{a}},"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\end{equation*}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"где $a$ – постоянная."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Найдите критическое значение индукции поля $B_z$, когда сверхпроводящее состояние перестает быть энергетически выгодным. Выразите ответ через $\\alpha$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть D. Сверхпроводники Изинга"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n В веществах со спин-орбитальным взаимодействием (спин-спиновым взаимодействием можно пренебречь) на электрон, обладающий импульсом $\\vec{p}$, действует внутреннее магнитное поле $B_{1\\perp} = (0,0,-B_z)$. С другой стороны, на электрон, обладающий импульсом $-\\vec{p}$, действует противоположно направленное магнитное поле $B_{2\\perp} = (0, 0, B_z)$. Эти внутренние магнитные поля действуют только на спины электронов (рис. 4). Такие сверхпроводники называются сверхпроводниками Изинга.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/79289dd908adadc0d738.webp","alt":"apho-2016-t3 statement: original source diagram 4"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 4: Два электрона образуют куперовскую пару. На электрон 1, обладающий импульсом $\\vec{p}$, действует магнитное поле $B_{1\\perp} = (0,0,-B_z)$, а на электрон 2, обладающий импульсом $-\\vec{p}$, действует противоположно направленное магнитное поле $B_{2\\perp} = (0, 0, B_z)$. Внутренние магнитные поля обозначены штриховыми стрелками"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            D1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Чему равна энергия $E_I$ куперовской пары в сверхпроводнике Изинга?\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            D2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n К веществу, где есть спин-орбитальное взаимодействие, вдоль плоскости приложено однородное магнитное поле $\\vec{B}_{\\parallel} = (B_x,0,0)$. Чему при этом равна энергия $E_{\\parallel}$ двух электронов? (Внутренние магнитные поля по-прежнему действуют и направлены перпендикулярно $\\vec{B}_{\\parallel}$. Также можно пренебречь действием поля, направленного вдоль плоскости, на орбитальное движение куперовских пар.)\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            D3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Чему равно критическое значение индукции $B_I$, когда при $|\\vec{B}_{\\parallel}| > B_I$, $E_{\\parallel} < E_I$?\n\n                \n                "}]}]}]}]}],"text":"Электрон – элементарная частица, у которой есть электрический заряд и внутренний магнитный момент, связанный с ее спином ( моментом импульса ). Из-за кулоновского взаимодействия электроны в вакууме отталкиваются. Однако, в некоторых металлах суммарная сила, действующая на электроны, может стать силой притяжения из-за колебаний решетки. Когда температура металла достаточно низкая (ниже некоторой критической температуры $T_c$), электроны с противоположными импульсами и противоположными спинами могу образовывать куперовские пары. Образуя куперовскую пару, каждый из электронов уменьшает свою энергию на величину $\\Delta$ по сравнению с электроном, свободно движущемся в металле. Энергия свободно движущегося электрона равна $p^2/2m_e$, где $p$ – импульс электрона, а $m_e$ – его масса. Куперовские пары могут перемещаться без сопротивления, и металл при этом становится сверхпроводником. Однако, даже при температурах ниже $T_c$ сверхпроводимость можно разрушить, если к сверхпроводнику приложить внешнее магнитное поле. В этой задаче мы исследуем разрушение куперовских пар посредством двух эффектов. Первый эффект – парамагнитный. В нем электроны вместо создания куперовской пары с противоположными спинами, уменьшают свою энергию, выстраивая свой магнитный момент параллельно магнитному полю. Второй эффект – диамагнитный. В нем магнитное поле изменяет орбитальное движение куперовских пар и увеличивает их энергию. Когда приложенное магнитное поле превысит некоторое критическое значение $B_c$, увеличение энергии становится больше чем $2 \\Delta$. В результате, электронам становится невыгодно образовывать куперовские пары. Недавно был открыт новый тип сверхпроводников – сверхпроводники Изинга. Они не утрачивают свойство сверхпроводимости даже когда к ним приложено поле в 60 Тесла. А это сравнимо с максимальной силой полей, которые создаются сегодня в лабораториях. Мы исследуем, как сверхпроводники Изинга могут преодолеть парамагнитный и диамагнитный эффекты. Часть А. Электрон в магнитном поле Рассмотрим виток радиуса $r$, полный заряд которого $-e$, а масса – $m$. Масса и заряд распределены по витку равномерно (рис. 1). A1 1.00 Чему равен момент импульса $\\vec{L}$ этого витка (величина и направление), если он вращается с угловой скоростью $\\vec{\\omega}$? A2 1.00 Величина магнитного момента определяется как $|\\vec{M}| = I A$, где $I$ – это ток, а $A$ – площадь витка. Найдите соотношение между магнитным моментом $\\vec{M}$ и моментом импульса $\\vec{L}$ витка. Пусть $\\vec{n}$ – нормаль к витку, и она составляет угол $\\theta$ с приложенным магнитным полем (рис. 2). A3 1.00 Рассмотрим кольцо, описанное в пункте А1, помещенное в однородное магнитное поле индукцией $B_z$, которое направлено вдоль оси $z$. Чему равна потенциальная энергия такой системы? Потенциальная энергия равна нулю при $\\theta = \\pi/2$. A4 0.50 У электрона есть собственный момент импульса (спин). Его величина в определенном направлении равна $\\hbar/2$, где $\\hbar = h/2\\pi$, а $h$ – постоянная Планка. \\newline Электроны помещены в магнитное поле. Чему равна потенциальная энергия электронов $U_{\\text{up}}$ и $U_{\\text{down}}$, чьи спины параллельны полю и антипараллельны, соответственно. Выразите свой ответ через магнетон Бора \\begin{equation*} \\mu_B = \\frac{e \\hbar}{2 m_e} = 5.788 \\cdot 10^{-5} \\text{эВ}\\cdot\\text{Т}^{-1} \\end{equation*}и индукцию поля $B$. A5 0.50 Из квантовой механики известно, что потенциальные энергии $\\tilde{U}_{\\text{up}}$ и $\\tilde{U}_{\\text{down}}$ в два раза больше значений $U_{\\text{up}}$ и $U_{\\text{down}}$, найденных в пункте А4. Пусть приложено магнитное поле индукцией 1 Тесла. Чему тогда равны потенциальные энергии электрона $\\tilde{U}_{\\text{up}}$ и $\\tilde{U}_{\\text{down}}$, чей спин параллелен и антипараллелен приложенному полю соответственно? В дальнейшем в задаче используйте в своих вычислениях выражения для $\\tilde{U}_{\\text{up}}$ и $\\tilde{U}_{\\text{down}}$. Часть B. Парамагнитный эффект магнитного поля на куперовские пары В этой части задачи мы исследуем парамагнитный эффект приложенного внешнего магнитного поля на куперовские пары (рис. 3). Теоретические расчеты показывают, что в сверхпроводниках два электрона могут образовывать куперовскую пару, при этом общая энергия системы уменьшается. Энергия куперовской пары может быть записана как \\begin{equation*} \\frac{p_1^2}{2m_e} + \\frac{p_2^2}{2 m_e} - 2 \\Delta, \\end{equation*}где первые два члена соответствуют кинетической энергии куперовской пары, а последний – уменьшению энергии из-за создания куперовской пары. Здесь $\\Delta$ – положительная постоянная. B1 0.50 Считайте, что магнитное поле действует только на спин электронов, а не на их орбитальное движение. Чему равна энергия $E_S$ куперовской пары, помещенной в однородное магнитное поле $\\vec{B} = (B_x, 0, 0)$? Напомним, что у электронов, образующих куперовскую пару, противоположные спины. B2 0.50 В нормальном (не сверхпроводящем) состоянии электроны не образуют куперовские пары. Поле $\\vec{B} = (B_x, 0, 0)$ однородно и направлено вдоль плоскости в направлении оси $x$. Чему равна минимальная энергия двух электронов $E_N$ в этом поле? Используйте в своих вычислениях $\\tilde{U}_{\\text{up}}$ и $\\tilde{U}_{\\text{down}}$ из пункта A5. Действием магнитного поля на орбитальное движение электронов можно пренебречь. B3 0.50 Когда температура равна нулю, система \\textbf{займет} состояние с минимальной энергией. Сверхпроводимость исчезает, если индукция поля превысит критическое значение $B_P$ (т.е. при $|\\vec{B}| > B_P$). Чему равно это критическое значение $B_P$? Выразите ответ через $\\Delta$. Часть С. Диамагнитный эффект магнитного поля на куперовские пары В этой части задачи можно пренебречь действием магнитного поля на спины электронов. Мы рассмотрим действие внешнего магнитного поля на орбитальное движение куперовских пар. Когда температура равна нулю, а сверхпроводник находится в магнитном поле $\\vec{B} = (0,0,B_z)$, то разность энергий между сверхпроводящим состоянием и нормальным состоянием может быть записана \\begin{equation*} F = \\int_{-\\infty}^{\\infty} \\psi \\left( - \\alpha \\psi - \\frac{\\hbar^2}{4 m_e} \\frac{d^2 \\psi}{dx^2} + \\frac{e^2 B_z^2 x^2}{m_e} \\psi \\right) dx \\end{equation*} Здесь $\\psi(x)$ — функция, зависящая от $x$ и не зависящая от $y$. $\\psi(x)^2$ задает вероятность найти куперовскую пару вблизи положения $x$. Здесь $\\alpha$ – постоянная, и она связана с уменьшением энергии при образовании куперовской пары. Второй и третий члены в $F$ связаны с кинетической энергией куперовской пары, учитывая действие магнитного поля. Когда температура равна нулю, система минимизирует свою энергию $F$. В этом случае функция $\\psi(x)$ может быть записана в виде \\begin{equation*} \\psi(x) = \\left( \\frac{2\\lambda}{\\pi} \\right)^{1/4} e^{-\\lambda x^2}, \\end{equation*}где $\\lambda > 0$. C1 1.50 Найдите $\\lambda$ и выразите ответ через $e$, $B_z$ и $\\hbar$. Примечание: \\begin{equation*} \\int_{-\\infty}^{\\infty} e^{- a x^2} dx = \\sqrt{\\frac{\\pi}{a}}, \\end{equation*} \\begin{equation*} \\int_{-\\infty}^{\\infty} x^2 e^{- a x^2} dx = \\frac{1}{2 a} \\sqrt{\\frac{\\pi}{a}}, \\end{equation*} где $a$ – постоянная. C2 1.00 Найдите критическое значение индукции поля $B_z$, когда сверхпроводящее состояние перестает быть энергетически выгодным. Выразите ответ через $\\alpha$. Часть D. Сверхпроводники Изинга В веществах со спин-орбитальным взаимодействием (спин-спиновым взаимодействием можно пренебречь) на электрон, обладающий импульсом $\\vec{p}$, действует внутреннее магнитное поле $B_{1\\perp} = (0,0,-B_z)$. С другой стороны, на электрон, обладающий импульсом $-\\vec{p}$, действует противоположно направленное магнитное поле $B_{2\\perp} = (0, 0, B_z)$. Эти внутренние магнитные поля действуют только на спины электронов (рис. 4). Такие сверхпроводники называются сверхпроводниками Изинга. Рис. 4: Два электрона образуют куперовскую пару. На электрон 1, обладающий импульсом $\\vec{p}$, действует магнитное поле $B_{1\\perp} = (0,0,-B_z)$, а на электрон 2, обладающий импульсом $-\\vec{p}$, действует противоположно направленное магнитное поле $B_{2\\perp} = (0, 0, B_z)$. Внутренние магнитные поля обозначены штриховыми стрелками D1 0.50 Чему равна энергия $E_I$ куперовской пары в сверхпроводнике Изинга? D2 1.00 К веществу, где есть спин-орбитальное взаимодействие, вдоль плоскости приложено однородное магнитное поле $\\vec{B}_{\\parallel} = (B_x,0,0)$. Чему при этом равна энергия $E_{\\parallel}$ двух электронов? (Внутренние магнитные поля по-прежнему действуют и направлены перпендикулярно $\\vec{B}_{\\parallel}$. Также можно пренебречь действием поля, направленного вдоль плоскости, на орбитальное движение куперовских пар.) D3 0.50 Чему равно критическое значение индукции $B_I$, когда при $|\\vec{B}_{\\parallel}| > B_I$, $E_{\\parallel} < E_I$?\n","figures":["/corpus/figures/dc4a55d0e945b41050b5.webp","/corpus/figures/09b1c1763749fc76e1dd.webp","/corpus/figures/1acf7ebda7e3f299ea4b.webp","/corpus/figures/79289dd908adadc0d738.webp"],"shared":false},"solution":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Чему равен момент импульса $\\vec{L}$ этого витка (величина и направление), если он вращается с угловой скоростью $\\vec{\\omega}$?\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n Момент импульса\\[\\vec L=r[\\hat r,\\vec p]=r[\\hat r,\\hat\\varphi]\\int_0^{2\\pi}\\frac{mvr}{2\\pi r}\\mathrm d\\varphi\\overset{v=\\omega r}=m\\omega r^2\\hat z,\\quad где\\quad \\hat z=[\\hat r,\\hat\\varphi].\\]\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Величина магнитного момента определяется как $|\\vec{M}| = I A$, где $I$ – это ток, а $A$ – площадь витка. Найдите соотношение между магнитным моментом $\\vec{M}$ и моментом импульса $\\vec{L}$ витка.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Ток равен $I=-ef=-e\\frac\\omega{2\\pi}$, откуда $\\vec M=-e\\frac\\omega{2\\pi}\\pi r^2\\hat z\\implies$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[\\vec M=-\\frac e{2m}\\vec L\\]\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Рассмотрим кольцо, описанное в пункте А1, помещенное в однородное магнитное поле индукцией $B_z$, которое направлено вдоль оси $z$. Чему равна потенциальная энергия такой системы? Потенциальная энергия равна нулю при $\\theta = \\pi/2$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n На виток с током действует магнитный момент\\[\\vec\\tau=[\\vec M,\\vec B].\\]Работа магнитного поля будет при этом равна\\[W=\\int_{\\pi/2}^\\theta(\\vec \\tau,\\mathrm d\\vec \\theta')=\\int_{\\pi/2}^\\theta-|\\vec \\tau|~\\mathrm d\\theta'=\\int_{\\pi/2}^\\theta|\\vec M||\\vec B|\\sin\\theta'~\\mathrm d\\theta'=(\\vec M,\\vec B).\\]Поскольку $U=-W$, то\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[U=-(\\vec M,\\vec B)=\\frac12e\\omega r^2 B_z\\cos\\theta\\]\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A4\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n У электрона есть собственный момент импульса (спин). Его величина в определенном направлении равна $\\hbar/2$, где $\\hbar = h/2\\pi$, а $h$ – постоянная Планка. \\newline"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Электроны помещены в магнитное поле. Чему равна потенциальная энергия электронов $U_{\\text{up}}$ и $U_{\\text{down}}$, чьи спины параллельны полю и антипараллельны, соответственно. Выразите свой ответ через магнетон Бора"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\begin{equation*}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"    \\mu_B = \\frac{e \\hbar}{2 m_e} = 5.788 \\cdot 10^{-5} \\text{эВ}\\cdot\\text{Т}^{-1}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\end{equation*}и индукцию поля $B$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Направим ось $z$ вдоль магнитного поля, тогда\\[U=- M_zB.\\]Магнитный момент электрона\\[M_z=-\\frac e{2m_e}S_z.\\]Итак,\\[U=\\frac e{2m_e}S_zB=\\frac{\\mu_B}\\hbar S_zB=\\frac12\\mu_B B\\implies\\]\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[U_\\mathrm{up,down}=\\pm\\frac12\\mu_BB\\]\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A5\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Из квантовой механики известно, что потенциальные энергии $\\tilde{U}_{\\text{up}}$ и $\\tilde{U}_{\\text{down}}$ в два раза больше значений $U_{\\text{up}}$ и $U_{\\text{down}}$, найденных в пункте А4. Пусть приложено магнитное поле индукцией 1 Тесла. Чему тогда равны потенциальные энергии электрона $\\tilde{U}_{\\text{up}}$ и $\\tilde{U}_{\\text{down}}$, чей спин параллелен и антипараллелен приложенному полю соответственно? В дальнейшем в задаче используйте в своих вычислениях выражения для $\\tilde{U}_{\\text{up}}$ и $\\tilde{U}_{\\text{down}}$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[\\tilde{U}_\\mathrm{up,down}=\\pm5.788\\cdot10^{-5}~эВ\\]\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Считайте, что магнитное поле действует только на спин электронов, а не на их орбитальное движение. Чему равна энергия $E_S$ куперовской пары, помещенной в однородное магнитное поле $\\vec{B} = (B_x, 0, 0)$? Напомним, что у электронов, образующих куперовскую пару, противоположные спины.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n Поскольку спины электронов в куперовской паре направлены противоположно, магнитное поле не должно влиять на энергию пары.\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n В нормальном (не сверхпроводящем) состоянии электроны не образуют куперовские пары. Поле $\\vec{B} = (B_x, 0, 0)$ однородно и направлено вдоль плоскости в направлении оси $x$. Чему равна минимальная энергия двух электронов $E_N$ в этом поле? Используйте в своих вычислениях $\\tilde{U}_{\\text{up}}$ и $\\tilde{U}_{\\text{down}}$ из пункта A5. Действием магнитного поля на орбитальное движение электронов можно пренебречь.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Минимальная энергия достигается, когда спины обоих электронов направлены против поля. Учитывая квантовомеханические эффекты (энергия $\\times2$), получим:\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[E_N=\\frac{p_1^2}{2m}+\\frac{p_2^2}{2m}-2\\mu_BB_x=\\frac{p_1^2}{2m}+\\frac{p_2^2}{2m}-\\frac{e\\hbar}{m_e}B_x\\]\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Когда температура равна нулю, система \\textbf{займет} состояние с минимальной энергией. Сверхпроводимость исчезает, если индукция поля превысит критическое значение $B_P$ (т.е. при $|\\vec{B}| > B_P$). Чему равно это критическое значение $B_P$? Выразите ответ через $\\Delta$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Сверхпроводимость исчезнет, если\\[E_N < E_S\\implies 2B_x\\mu_B > 2\\Delta \\implies B_x > \\frac{\\Delta}{\\mu_B}\\implies\\]\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[B_P=\\frac{2m_e\\Delta}{e\\hbar}\\]\n\n                    "}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"em","children":[{"type":"text","text":"Примечание:"}]},{"type":"text","text":" изложение в задаче заметно упрощено. «Честный» вывод критического поля с учётом магнетизма Паули и энергии конденсации в сверхпроводящее состояние приводит к результату в $\\sqrt2$ раз меньше.\n\n                "}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Найдите $\\lambda$ и выразите ответ через $e$, $B_z$ и $\\hbar$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"Примечание:"}]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\begin{equation*}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"    \\int_{-\\infty}^{\\infty} e^{- a x^2} dx = \\sqrt{\\frac{\\pi}{a}},"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\end{equation*}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\begin{equation*}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"    \\int_{-\\infty}^{\\infty} x^2 e^{- a x^2} dx = \\frac{1}{2 a} \\sqrt{\\frac{\\pi}{a}},"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\end{equation*}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"где $a$ – постоянная."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"Решение 1"}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Подставляя $\\psi(x)=\\sqrt[4]\\frac{2\\lambda}{\\pi}\\exp(-\\lambda x^2)$ в выражение для $F(\\psi)$, получим:"}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\\[F(\\psi)=\\sqrt{\\frac{2\\lambda}{\\pi}}\\int_{-\\infty}^{+\\infty}e^{-\\lambda x^{2}}\\left[-\\alpha e^{-\\lambda x^{2}}-\\frac{\\hbar}{4m_e}\\left(-2\\lambda e^{-\\lambda x^{2}}+4\\lambda^{2}x^{2}e^{-\\lambda x^{2}}\\right)+\\frac{e^{2}B_{z}^{2}x^{2}}{m_e}e^{-\\lambda x^{2}}\\right]~\\mathrm dx=\\\\=\\sqrt{\\frac{2\\lambda}{\\pi}}\\int_{-\\infty}^{+\\infty}\\left[\\left(-\\alpha+\\frac{\\hbar^{2}\\lambda}{2m_{e}}\\right)e^{-2\\lambda x^{2}}+\\left(\\frac{e^{2}{B_{z}^{2}}}{m_{e}}-\\frac{\\hbar^{2}\\lambda^{2}}{m_{e}}\\right)x^{2}\\mathrm{e}^{-2\\lambda x^{2}}\\right]~{\\mathrm{d}}x=\\\\=-\\alpha+\\frac{\\hbar^{2}\\lambda}{2m_{e}}+\\left(\\frac{e^{2}B_{z}^{2}}{m_{e}}-\\frac{\\hbar^{2}\\lambda^{2}}{m_{e}}\\right).\\frac1{4\\lambda}=-\\alpha+\\frac{\\hbar^{2}\\lambda}{4m_{e}}+\\frac{e^{2}B_{z}^{2}}{4\\lambda m_{e}}.\\]"}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Если рассматривать $F(\\psi)$ как функцию $\\lambda$, получим\\[\\frac{\\mathrm dF}{\\mathrm d\\lambda}=\\frac{\\hbar^2}{4m_e}-\\frac{e^2B_z^2}{4}.\\]Условие минимума – это $\\frac{\\mathrm dF}{\\mathrm d\\lambda}=0$ и $\\frac{\\mathrm d^2F}{\\mathrm d\\lambda^2} > 0$, откуда\\[\\frac{\\hbar^2}{4m_e}-\\frac{e^2B_z^2}{4m_e\\lambda^2}=0.\\]Итого,"}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[\\lambda=eB_z/\\hbar\\]\n\n                    "}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tНесложно проверить, что при этом значении $\\lambda$ действительно выполняется $\\frac{\\mathrm d^2F}{\\mathrm d\\lambda^2} > 0$."},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"Решение 2"}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\\[F(\\psi)=\\int_{-\\infty}^{+\\infty}\\psi\\left(-\\alpha\\psi-\\frac{\\hbar^{2}}{4m_{e}}\\frac{\\mathrm{d}^{2}\\psi}{\\mathrm{d}x^{2}}+\\frac{e^{2}B_{z}^{2}x^{2}}{m_{e}}\\psi\\right)~\\mathrm{d}x=\\\\=\\int_{-\\infty}^{+\\infty}\\psi\\left(-\\alpha-\\frac{\\hbar^{2}}{4m_{e}}\\frac{\\mathrm{d}^{2}}{\\mathrm{d}x^{2}}+\\frac{e^{2}B_{z}^{2}x^{2}}{m_{e}}\\right)\\psi~\\mathrm{d}x=\\int_{-\\infty}^{+\\infty}\\psi\\tilde H\\psi~\\mathrm{d}x\\]"}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Таким образом, для нормированной волновой функции $\\psi$ величина $F(\\psi)$ будет равна математическому ожиданию энергии системы $\\langle\\tilde H\\rangle$ – собственному значению Гамильтониана\\[\\tilde H=-\\frac{\\hbar^2}{4m_e}\\frac{\\mathrm d^2}{\\mathrm dx^2}+\\frac{e^2B_z^2}{m_e}x^2-\\alpha.\\]Первые два слагаемых описывают обычный квантовый гармонический осциллятор. Таким образом, энергия основного состояния будет равна\\[F_{\\min}=\\frac12\\hbar\\omega-\\alpha,\\]где $\\omega=eB_z/m_e$. Волновая функция основного состояния\\[\\psi=\\sqrt[4]\\frac{2m_e\\omega}{\\pi\\hbar}\\exp(-m_e\\omega x^2/\\hbar)=\\sqrt[4]\\frac{2eB_z}{\\pi\\hbar}\\exp(-eB_z x^2/\\hbar),\\]откуда"}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[\\lambda=eB_z/\\hbar\\]\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Найдите критическое значение индукции поля $B_z$, когда сверхпроводящее состояние перестает быть энергетически выгодным. Выразите ответ через $\\alpha$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Как следует из предыдущего пункта, $F_{\\min}=\\frac{\\hbar eB_z}{2m_e}-\\alpha$. Критическому значению $B_z$ соответствует нулевая разность энергий, т.е. $F_{\\min}=0\\implies$\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[B_z=\\frac{2m_e\\alpha}{e\\hbar}\\]\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                D1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Чему равна энергия $E_I$ куперовской пары в сверхпроводнике Изинга?\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n \\[E_{I}=\\frac{p_{1}^{2}}{2m}+\\frac{p_{2}^{2}}{2m}-2\\Delta-\\frac{2\\mu_{B}S_{1z}B_{z}}{\\hbar}+\\frac{2\\mu_{B}S_{2z}B_{z}}{\\hbar}.\\]Т.к. $S_z=\\pm\\hbar/2$, из условия минимальности энергии получим:\\[E_{I}=\\frac{p_{1}^{2}}{2m}+\\frac{p_{2}^{2}}{2m}-2\\Delta-\\frac{2\\mu_{B}B_{z}}{2}-\\frac{2\\mu_{B}B_{z}}{2}=\\frac{p_{1}^{2}}{2m}+\\frac{p_{2}^{2}}{2m}-2\\Delta-2\\mu_{B}B_{z}\\implies\\]\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[E_I=\\frac{p_{1}^{2}}{2m}+\\frac{p_{2}^{2}}{2m}-2\\Delta-\\frac{e\\hbar}{m_e}B_{z}\\]\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                D2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n К веществу, где есть спин-орбитальное взаимодействие, вдоль плоскости приложено однородное магнитное поле $\\vec{B}_{\\parallel} = (B_x,0,0)$. Чему при этом равна энергия $E_{\\parallel}$ двух электронов? (Внутренние магнитные поля по-прежнему действуют и направлены перпендикулярно $\\vec{B}_{\\parallel}$. Также можно пренебречь действием поля, направленного вдоль плоскости, на орбитальное движение куперовских пар.)\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n В нормальном состоянии магнитные моменты электронов будут выстраиваться параллельно магнитному полю, поэтому:\\[E_\\|=\\frac{p_1^2}{2m}+\\frac{p_2^2}{2m}+\\frac{2\\mu_B(\\vec S_1,\\vec B_1)}\\hbar+\\frac{2\\mu_B(\\vec S_2,\\vec B_2)}\\hbar=\\frac{p_1^2}{2m}+\\frac{p_2^2}{2m}-2\\mu_B\\sqrt{B_x^2+B_z^2},\\]где использовалось $\\vec B_{1,2}=\\left(\\begin{array}{c}B_x\\\\0\\\\\\mp B_z\\end{array}\\right)$, $|\\vec S_{1,2}|=\\hbar/2$. Итого:\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[E_\\|=\\frac{p_1^2}{2m}+\\frac{p_2^2}{2m}-2\\mu_B\\sqrt{B_x^2+B_z^2}=\\frac{p_1^2}{2m}+\\frac{p_2^2}{2m}-\\frac{e\\hbar}{m_e}\\sqrt{B_x^2+B_z^2}\\]\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                D3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Чему равно критическое значение индукции $B_I$, когда при $|\\vec{B}_{\\parallel}| > B_I$, $E_{\\parallel} < E_I$?\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n \\[E_{\\parallel} < E_{\\mathrm{Ising}}\\implies2\\mu_{\\mathrm{ig}}\\sqrt{B_{x}^{2}+B_{z}^{2}}>2\\Delta+2\\mu_{\\mathrm{B}}B_{z}\\implies\\]\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[B_I = \\frac{\\sqrt{\\Delta^{2}+2\\Delta\\mu_{\\mathrm{B}}B_{z}}}{\\mu_{\\mathrm{B}}}\\]\n\n                    "}]}]}]}],"text":"A1 1.00 Чему равен момент импульса $\\vec{L}$ этого витка (величина и направление), если он вращается с угловой скоростью $\\vec{\\omega}$? Ответ: \n                    \n Момент импульса\\[\\vec L=r[\\hat r,\\vec p]=r[\\hat r,\\hat\\varphi]\\int_0^{2\\pi}\\frac{mvr}{2\\pi r}\\mathrm d\\varphi\\overset{v=\\omega r}=m\\omega r^2\\hat z,\\quad где\\quad \\hat z=[\\hat r,\\hat\\varphi].\\]\nA2 1.00 Величина магнитного момента определяется как $|\\vec{M}| = I A$, где $I$ – это ток, а $A$ – площадь витка. Найдите соотношение между магнитным моментом $\\vec{M}$ и моментом импульса $\\vec{L}$ витка. Ток равен $I=-ef=-e\\frac\\omega{2\\pi}$, откуда $\\vec M=-e\\frac\\omega{2\\pi}\\pi r^2\\hat z\\implies$ Ответ: \n                    \n \\[\\vec M=-\\frac e{2m}\\vec L\\]\nA3 1.00 Рассмотрим кольцо, описанное в пункте А1, помещенное в однородное магнитное поле индукцией $B_z$, которое направлено вдоль оси $z$. Чему равна потенциальная энергия такой системы? Потенциальная энергия равна нулю при $\\theta = \\pi/2$. На виток с током действует магнитный момент\\[\\vec\\tau=[\\vec M,\\vec B].\\]Работа магнитного поля будет при этом равна\\[W=\\int_{\\pi/2}^\\theta(\\vec \\tau,\\mathrm d\\vec \\theta')=\\int_{\\pi/2}^\\theta-|\\vec \\tau|~\\mathrm d\\theta'=\\int_{\\pi/2}^\\theta|\\vec M||\\vec B|\\sin\\theta'~\\mathrm d\\theta'=(\\vec M,\\vec B).\\]Поскольку $U=-W$, то Ответ: \n                    \n \\[U=-(\\vec M,\\vec B)=\\frac12e\\omega r^2 B_z\\cos\\theta\\]\nA4 0.50 У электрона есть собственный момент импульса (спин). Его величина в определенном направлении равна $\\hbar/2$, где $\\hbar = h/2\\pi$, а $h$ – постоянная Планка. \\newline Электроны помещены в магнитное поле. Чему равна потенциальная энергия электронов $U_{\\text{up}}$ и $U_{\\text{down}}$, чьи спины параллельны полю и антипараллельны, соответственно. Выразите свой ответ через магнетон Бора \\begin{equation*} \\mu_B = \\frac{e \\hbar}{2 m_e} = 5.788 \\cdot 10^{-5} \\text{эВ}\\cdot\\text{Т}^{-1} \\end{equation*}и индукцию поля $B$. Направим ось $z$ вдоль магнитного поля, тогда\\[U=- M_zB.\\]Магнитный момент электрона\\[M_z=-\\frac e{2m_e}S_z.\\]Итак,\\[U=\\frac e{2m_e}S_zB=\\frac{\\mu_B}\\hbar S_zB=\\frac12\\mu_B B\\implies\\] Ответ: \n                    \n \\[U_\\mathrm{up,down}=\\pm\\frac12\\mu_BB\\]\nA5 0.50 Из квантовой механики известно, что потенциальные энергии $\\tilde{U}_{\\text{up}}$ и $\\tilde{U}_{\\text{down}}$ в два раза больше значений $U_{\\text{up}}$ и $U_{\\text{down}}$, найденных в пункте А4. Пусть приложено магнитное поле индукцией 1 Тесла. Чему тогда равны потенциальные энергии электрона $\\tilde{U}_{\\text{up}}$ и $\\tilde{U}_{\\text{down}}$, чей спин параллелен и антипараллелен приложенному полю соответственно? В дальнейшем в задаче используйте в своих вычислениях выражения для $\\tilde{U}_{\\text{up}}$ и $\\tilde{U}_{\\text{down}}$. Ответ: \n                    \n \\[\\tilde{U}_\\mathrm{up,down}=\\pm5.788\\cdot10^{-5}~эВ\\]\nB1 0.50 Считайте, что магнитное поле действует только на спин электронов, а не на их орбитальное движение. Чему равна энергия $E_S$ куперовской пары, помещенной в однородное магнитное поле $\\vec{B} = (B_x, 0, 0)$? Напомним, что у электронов, образующих куперовскую пару, противоположные спины. Ответ: \n                    \n Поскольку спины электронов в куперовской паре направлены противоположно, магнитное поле не должно влиять на энергию пары.\nB2 0.50 В нормальном (не сверхпроводящем) состоянии электроны не образуют куперовские пары. Поле $\\vec{B} = (B_x, 0, 0)$ однородно и направлено вдоль плоскости в направлении оси $x$. Чему равна минимальная энергия двух электронов $E_N$ в этом поле? Используйте в своих вычислениях $\\tilde{U}_{\\text{up}}$ и $\\tilde{U}_{\\text{down}}$ из пункта A5. Действием магнитного поля на орбитальное движение электронов можно пренебречь. Минимальная энергия достигается, когда спины обоих электронов направлены против поля. Учитывая квантовомеханические эффекты (энергия $\\times2$), получим: Ответ: \n                    \n \\[E_N=\\frac{p_1^2}{2m}+\\frac{p_2^2}{2m}-2\\mu_BB_x=\\frac{p_1^2}{2m}+\\frac{p_2^2}{2m}-\\frac{e\\hbar}{m_e}B_x\\]\nB3 0.50 Когда температура равна нулю, система \\textbf{займет} состояние с минимальной энергией. Сверхпроводимость исчезает, если индукция поля превысит критическое значение $B_P$ (т.е. при $|\\vec{B}| > B_P$). Чему равно это критическое значение $B_P$? Выразите ответ через $\\Delta$. Сверхпроводимость исчезнет, если\\[E_N < E_S\\implies 2B_x\\mu_B > 2\\Delta \\implies B_x > \\frac{\\Delta}{\\mu_B}\\implies\\] Ответ: \n                    \n \\[B_P=\\frac{2m_e\\Delta}{e\\hbar}\\] Примечание: изложение в задаче заметно упрощено. «Честный» вывод критического поля с учётом магнетизма Паули и энергии конденсации в сверхпроводящее состояние приводит к результату в $\\sqrt2$ раз меньше.\nC1 1.50 Найдите $\\lambda$ и выразите ответ через $e$, $B_z$ и $\\hbar$. Примечание: \\begin{equation*} \\int_{-\\infty}^{\\infty} e^{- a x^2} dx = \\sqrt{\\frac{\\pi}{a}}, \\end{equation*} \\begin{equation*} \\int_{-\\infty}^{\\infty} x^2 e^{- a x^2} dx = \\frac{1}{2 a} \\sqrt{\\frac{\\pi}{a}}, \\end{equation*} где $a$ – постоянная. Решение 1 Подставляя $\\psi(x)=\\sqrt[4]\\frac{2\\lambda}{\\pi}\\exp(-\\lambda x^2)$ в выражение для $F(\\psi)$, получим: \\[F(\\psi)=\\sqrt{\\frac{2\\lambda}{\\pi}}\\int_{-\\infty}^{+\\infty}e^{-\\lambda x^{2}}\\left[-\\alpha e^{-\\lambda x^{2}}-\\frac{\\hbar}{4m_e}\\left(-2\\lambda e^{-\\lambda x^{2}}+4\\lambda^{2}x^{2}e^{-\\lambda x^{2}}\\right)+\\frac{e^{2}B_{z}^{2}x^{2}}{m_e}e^{-\\lambda x^{2}}\\right]~\\mathrm dx=\\\\=\\sqrt{\\frac{2\\lambda}{\\pi}}\\int_{-\\infty}^{+\\infty}\\left[\\left(-\\alpha+\\frac{\\hbar^{2}\\lambda}{2m_{e}}\\right)e^{-2\\lambda x^{2}}+\\left(\\frac{e^{2}{B_{z}^{2}}}{m_{e}}-\\frac{\\hbar^{2}\\lambda^{2}}{m_{e}}\\right)x^{2}\\mathrm{e}^{-2\\lambda x^{2}}\\right]~{\\mathrm{d}}x=\\\\=-\\alpha+\\frac{\\hbar^{2}\\lambda}{2m_{e}}+\\left(\\frac{e^{2}B_{z}^{2}}{m_{e}}-\\frac{\\hbar^{2}\\lambda^{2}}{m_{e}}\\right).\\frac1{4\\lambda}=-\\alpha+\\frac{\\hbar^{2}\\lambda}{4m_{e}}+\\frac{e^{2}B_{z}^{2}}{4\\lambda m_{e}}.\\] Если рассматривать $F(\\psi)$ как функцию $\\lambda$, получим\\[\\frac{\\mathrm dF}{\\mathrm d\\lambda}=\\frac{\\hbar^2}{4m_e}-\\frac{e^2B_z^2}{4}.\\]Условие минимума – это $\\frac{\\mathrm dF}{\\mathrm d\\lambda}=0$ и $\\frac{\\mathrm d^2F}{\\mathrm d\\lambda^2} > 0$, откуда\\[\\frac{\\hbar^2}{4m_e}-\\frac{e^2B_z^2}{4m_e\\lambda^2}=0.\\]Итого, Ответ: \n                    \n \\[\\lambda=eB_z/\\hbar\\] Несложно проверить, что при этом значении $\\lambda$ действительно выполняется $\\frac{\\mathrm d^2F}{\\mathrm d\\lambda^2} > 0$. Решение 2 \\[F(\\psi)=\\int_{-\\infty}^{+\\infty}\\psi\\left(-\\alpha\\psi-\\frac{\\hbar^{2}}{4m_{e}}\\frac{\\mathrm{d}^{2}\\psi}{\\mathrm{d}x^{2}}+\\frac{e^{2}B_{z}^{2}x^{2}}{m_{e}}\\psi\\right)~\\mathrm{d}x=\\\\=\\int_{-\\infty}^{+\\infty}\\psi\\left(-\\alpha-\\frac{\\hbar^{2}}{4m_{e}}\\frac{\\mathrm{d}^{2}}{\\mathrm{d}x^{2}}+\\frac{e^{2}B_{z}^{2}x^{2}}{m_{e}}\\right)\\psi~\\mathrm{d}x=\\int_{-\\infty}^{+\\infty}\\psi\\tilde H\\psi~\\mathrm{d}x\\] Таким образом, для нормированной волновой функции $\\psi$ величина $F(\\psi)$ будет равна математическому ожиданию энергии системы $\\langle\\tilde H\\rangle$ – собственному значению Гамильтониана\\[\\tilde H=-\\frac{\\hbar^2}{4m_e}\\frac{\\mathrm d^2}{\\mathrm dx^2}+\\frac{e^2B_z^2}{m_e}x^2-\\alpha.\\]Первые два слагаемых описывают обычный квантовый гармонический осциллятор. Таким образом, энергия основного состояния будет равна\\[F_{\\min}=\\frac12\\hbar\\omega-\\alpha,\\]где $\\omega=eB_z/m_e$. Волновая функция основного состояния\\[\\psi=\\sqrt[4]\\frac{2m_e\\omega}{\\pi\\hbar}\\exp(-m_e\\omega x^2/\\hbar)=\\sqrt[4]\\frac{2eB_z}{\\pi\\hbar}\\exp(-eB_z x^2/\\hbar),\\]откуда Ответ: \n                    \n \\[\\lambda=eB_z/\\hbar\\]\nC2 1.00 Найдите критическое значение индукции поля $B_z$, когда сверхпроводящее состояние перестает быть энергетически выгодным. Выразите ответ через $\\alpha$. Как следует из предыдущего пункта, $F_{\\min}=\\frac{\\hbar eB_z}{2m_e}-\\alpha$. Критическому значению $B_z$ соответствует нулевая разность энергий, т.е. $F_{\\min}=0\\implies$ Ответ: \n                    \n \\[B_z=\\frac{2m_e\\alpha}{e\\hbar}\\]\nD1 0.50 Чему равна энергия $E_I$ куперовской пары в сверхпроводнике Изинга? \\[E_{I}=\\frac{p_{1}^{2}}{2m}+\\frac{p_{2}^{2}}{2m}-2\\Delta-\\frac{2\\mu_{B}S_{1z}B_{z}}{\\hbar}+\\frac{2\\mu_{B}S_{2z}B_{z}}{\\hbar}.\\]Т.к. $S_z=\\pm\\hbar/2$, из условия минимальности энергии получим:\\[E_{I}=\\frac{p_{1}^{2}}{2m}+\\frac{p_{2}^{2}}{2m}-2\\Delta-\\frac{2\\mu_{B}B_{z}}{2}-\\frac{2\\mu_{B}B_{z}}{2}=\\frac{p_{1}^{2}}{2m}+\\frac{p_{2}^{2}}{2m}-2\\Delta-2\\mu_{B}B_{z}\\implies\\] Ответ: \n                    \n \\[E_I=\\frac{p_{1}^{2}}{2m}+\\frac{p_{2}^{2}}{2m}-2\\Delta-\\frac{e\\hbar}{m_e}B_{z}\\]\nD2 1.00 К веществу, где есть спин-орбитальное взаимодействие, вдоль плоскости приложено однородное магнитное поле $\\vec{B}_{\\parallel} = (B_x,0,0)$. Чему при этом равна энергия $E_{\\parallel}$ двух электронов? (Внутренние магнитные поля по-прежнему действуют и направлены перпендикулярно $\\vec{B}_{\\parallel}$. Также можно пренебречь действием поля, направленного вдоль плоскости, на орбитальное движение куперовских пар.) В нормальном состоянии магнитные моменты электронов будут выстраиваться параллельно магнитному полю, поэтому:\\[E_\\|=\\frac{p_1^2}{2m}+\\frac{p_2^2}{2m}+\\frac{2\\mu_B(\\vec S_1,\\vec B_1)}\\hbar+\\frac{2\\mu_B(\\vec S_2,\\vec B_2)}\\hbar=\\frac{p_1^2}{2m}+\\frac{p_2^2}{2m}-2\\mu_B\\sqrt{B_x^2+B_z^2},\\]где использовалось $\\vec B_{1,2}=\\left(\\begin{array}{c}B_x\\\\0\\\\\\mp B_z\\end{array}\\right)$, $|\\vec S_{1,2}|=\\hbar/2$. Итого: Ответ: \n                    \n \\[E_\\|=\\frac{p_1^2}{2m}+\\frac{p_2^2}{2m}-2\\mu_B\\sqrt{B_x^2+B_z^2}=\\frac{p_1^2}{2m}+\\frac{p_2^2}{2m}-\\frac{e\\hbar}{m_e}\\sqrt{B_x^2+B_z^2}\\]\nD3 0.50 Чему равно критическое значение индукции $B_I$, когда при $|\\vec{B}_{\\parallel}| > B_I$, $E_{\\parallel} < E_I$? \\[E_{\\parallel} < E_{\\mathrm{Ising}}\\implies2\\mu_{\\mathrm{ig}}\\sqrt{B_{x}^{2}+B_{z}^{2}}>2\\Delta+2\\mu_{\\mathrm{B}}B_{z}\\implies\\] Ответ: \n                    \n \\[B_I = \\frac{\\sqrt{\\Delta^{2}+2\\Delta\\mu_{\\mathrm{B}}B_{z}}}{\\mu_{\\mathrm{B}}}\\]","figures":[],"shared":false}},{"id":"apho-2015-t1","importedOn":"2026-10-28","language":"ru","sources":[{"url":"https://pho.rs/p/3283","kind":"statement"},{"url":"https://pho.rs/p/3283/s","kind":"solution"}],"statement":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"text","text":"\n                        \n                        \n Дробный квантовый эффект Холла (ДКЭХ) был обнаружен Д.К. Цуи и Г. Стормером в 1981 году. В эксперименте электроны могли двигаться только вдоль поверхности пластинки, изготовленной из GaAs/AlGaAs (т.е. толщиной электронного слоя можно пренебречь). Перпендикулярно к электронной системе было приложено сильное однородное магнитное поле. Прохождение тока $I$ по поверхности пластинки приводит к появлению Холловской разности потенциалов $V_H$, а при достаточно низких температурах на кривой зависимости Холловского сопротивления от величины магнитного поля появляется плато, которое соответствует Холловскому сопротивлению $R_H = 3h/e^2$. Появление этого плато свидетельствует о наличии квазичастиц с дробным зарядом, которые будут рассмотрены ниже."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n В классической модели электроны на поверхности пластинки GaAs/AlGaAs ведут себя как заряженные шарики с некоторой эффективной массой $m^*$. \n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Запишите уравнение движения электрона в перпендикулярном электрическом $\\vec E=-E_y\\hat y$ и магнитном $\\vec B=B \\hat z$ полях, где $\\hat x$, $\\hat y$ и $\\hat z$ — единичные вектора по направлениям осей $\\mathrm X$, $\\mathrm Y$ и $\\mathrm Z$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Найдите установившуюся скорость электронов $v_s$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Укажите направление этой скорости.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n По определению Холловское сопротивление $R_H=V_H/I$. Представьте $R_H$ как функцию от числа свободных электронов $N$ на поверхности пластинки и магнитного потока $\\phi$ через пластинку, который равен $\\phi =BWL$, где $W$ и $L$ — ширина и длина пластинки соответственно."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Из квантовой механики следует, что внешнее магнитное поле приводит к появлению коллективного движения электронов, которое можно рассматривать как круговые вихри. Количество вихрей определяется тем, что на создание одного вихря требуется поток внешнего магнитного поля, равный $h/e$, где $h$ — постоянная Планка, а $e$ — заряд электрона. Для случая $R_H=3h/e^2$, найдите коэффициент заполнения $\\nu$, который представляет собой отношение числа электронов $N$ на поверхности пластинки к числу вихрей $N_\\phi$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/fdc9ae759e26f9e6dd08.webp","alt":"apho-2015-t1 statement: original source diagram 1"}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            D1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Если на один электрон приходится более одного вихря, то это приводит к дополнительному отталкиванию электронов, энергия которого $\\Delta U(B) \\varpropto B^\\alpha$ оценивается как средняя электростатическая энергия взаимодействия двух электронов при фиксированном коэффициенте заполнения. Определите коэффициент $\\alpha$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            E1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Некоторые вихри не связаны с электронами и могут быть рассмотрены как квазичастицы, способные нести дробный заряд $e^*=e/n$, где $\\nu=1/n$. На какую величину $\\Delta B$ надо изменить индукцию внешнего поля для того, чтобы в системе возникла одна квазичастица."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"В рассматриваемом эксперименте величина индукции внешнего магнитного поля"}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"для плато $R_H=3h/e^2$ была равной $B_{1/3}=15~Тл$."}]},{"type":"element","tag":"ul","children":[{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Эффективная масса электрона в пластинке GaAs $m^*=0.067m_e$,"}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Масса электрона $m_e = 9.1 \\cdot 10^{-31}~ кг$,"}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Постоянная в законе Кулона $k = 9.0 \\cdot 10^9~Н \\cdot м^2/Кл^2$,"}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Диэлектрическая постоянная $\\varepsilon_0 = 1/4\\pi k = 8.854 \\cdot 10^{-12}~Ф/м$,"}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Элементарный заряд $e = 1.6 \\cdot 10^{-19}~ Кл$,"}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Постоянная Планка $h = 6.626 \\cdot 10^{-34}~Дж \\cdot с$,"}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Постоянная Больцмана $k_B= 1.38 \\cdot 10^{-23}~ Дж/К$."}]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            F1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Вычислите тепловую энергию электрона $E_{th}$ при температуре $ T= 1.0~ К$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            F2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Из законов квантовой механики следует, что для того чтобы поместить два электрона в один вихрь требуется затратить достаточно большую энергию. Оцените её, используя принцип неопределенности."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Как видно из рисунка существует несколько плато с $R_Н=h/ie^2$, где $i=1,2,3...$ — целое число. Это явление получило название целочисленного эффекта Холла. В отличие от него дробный эффект Холла связывают с существованием квазичастиц с дробным зарядом, что было подтверждено в 1997 году, когда была проведена серия экспериментов при коэффициенте заполнения $\\nu = 1/3$, в которых определялся так называемый уровень шума при измерениях электрического тока через очень малый контакт (квантовая точка). В простейшей статистической модели число носителей $n_{\\tau}$ с зарядом $e^*$, проходящих через такой контакт в течение малого интервала времени $\\tau$, подчиняется распределению вероятности Пуассона с параметром $\\lambda$:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$P(n_\\tau=k)=\\frac{\\lambda^k e^{-\\lambda}}{k!},$$где $k!$ — факториал числа $k$. Вам может понадобиться следующая формула:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$e^{\\lambda}=\\sum\\limits_{k=0}^\\infty \\frac{\\lambda^k}{k!}.$$\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            G1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Найдите силу тока через контакт $I_В$ как функцию $\\lambda$ и $\\tau$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            G2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Шум электрического тока обусловлен его флуктуациями, т.е. отклонениями от среднего значения. Уровень шума характеризуется величиной $S_I$, определяемой как среднее от квадрата отклонения электрического заряда от его среднего значения в единицу времени. Найдите уровень шума $S_I$ как функцию $\\lambda$ и $\\tau$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            G3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Найдите отношение уровня шума к величине тока $S_I/I_B$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]}],"text":"Дробный квантовый эффект Холла (ДКЭХ) был обнаружен Д.К. Цуи и Г. Стормером в 1981 году. В эксперименте электроны могли двигаться только вдоль поверхности пластинки, изготовленной из GaAs/AlGaAs (т.е. толщиной электронного слоя можно пренебречь). Перпендикулярно к электронной системе было приложено сильное однородное магнитное поле. Прохождение тока $I$ по поверхности пластинки приводит к появлению Холловской разности потенциалов $V_H$, а при достаточно низких температурах на кривой зависимости Холловского сопротивления от величины магнитного поля появляется плато, которое соответствует Холловскому сопротивлению $R_H = 3h/e^2$. Появление этого плато свидетельствует о наличии квазичастиц с дробным зарядом, которые будут рассмотрены ниже. В классической модели электроны на поверхности пластинки GaAs/AlGaAs ведут себя как заряженные шарики с некоторой эффективной массой $m^*$. A1 1.00 Запишите уравнение движения электрона в перпендикулярном электрическом $\\vec E=-E_y\\hat y$ и магнитном $\\vec B=B \\hat z$ полях, где $\\hat x$, $\\hat y$ и $\\hat z$ — единичные вектора по направлениям осей $\\mathrm X$, $\\mathrm Y$ и $\\mathrm Z$. A2 0.50 Найдите установившуюся скорость электронов $v_s$. A3 0.50 Укажите направление этой скорости. B1 1.00 По определению Холловское сопротивление $R_H=V_H/I$. Представьте $R_H$ как функцию от числа свободных электронов $N$ на поверхности пластинки и магнитного потока $\\phi$ через пластинку, который равен $\\phi =BWL$, где $W$ и $L$ — ширина и длина пластинки соответственно. C1 1.00 Из квантовой механики следует, что внешнее магнитное поле приводит к появлению коллективного движения электронов, которое можно рассматривать как круговые вихри. Количество вихрей определяется тем, что на создание одного вихря требуется поток внешнего магнитного поля, равный $h/e$, где $h$ — постоянная Планка, а $e$ — заряд электрона. Для случая $R_H=3h/e^2$, найдите коэффициент заполнения $\\nu$, который представляет собой отношение числа электронов $N$ на поверхности пластинки к числу вихрей $N_\\phi$. D1 1.00 Если на один электрон приходится более одного вихря, то это приводит к дополнительному отталкиванию электронов, энергия которого $\\Delta U(B) \\varpropto B^\\alpha$ оценивается как средняя электростатическая энергия взаимодействия двух электронов при фиксированном коэффициенте заполнения. Определите коэффициент $\\alpha$. E1 1.00 Некоторые вихри не связаны с электронами и могут быть рассмотрены как квазичастицы, способные нести дробный заряд $e^*=e/n$, где $\\nu=1/n$. На какую величину $\\Delta B$ надо изменить индукцию внешнего поля для того, чтобы в системе возникла одна квазичастица. В рассматриваемом эксперименте величина индукции внешнего магнитного поля для плато $R_H=3h/e^2$ была равной $B_{1/3}=15~Тл$. Эффективная масса электрона в пластинке GaAs $m^*=0.067m_e$, Масса электрона $m_e = 9.1 \\cdot 10^{-31}~ кг$, Постоянная в законе Кулона $k = 9.0 \\cdot 10^9~Н \\cdot м^2/Кл^2$, Диэлектрическая постоянная $\\varepsilon_0 = 1/4\\pi k = 8.854 \\cdot 10^{-12}~Ф/м$, Элементарный заряд $e = 1.6 \\cdot 10^{-19}~ Кл$, Постоянная Планка $h = 6.626 \\cdot 10^{-34}~Дж \\cdot с$, Постоянная Больцмана $k_B= 1.38 \\cdot 10^{-23}~ Дж/К$. F1 0.50 Вычислите тепловую энергию электрона $E_{th}$ при температуре $ T= 1.0~ К$. F2 1.00 Из законов квантовой механики следует, что для того чтобы поместить два электрона в один вихрь требуется затратить достаточно большую энергию. Оцените её, используя принцип неопределенности. Как видно из рисунка существует несколько плато с $R_Н=h/ie^2$, где $i=1,2,3...$ — целое число. Это явление получило название целочисленного эффекта Холла. В отличие от него дробный эффект Холла связывают с существованием квазичастиц с дробным зарядом, что было подтверждено в 1997 году, когда была проведена серия экспериментов при коэффициенте заполнения $\\nu = 1/3$, в которых определялся так называемый уровень шума при измерениях электрического тока через очень малый контакт (квантовая точка). В простейшей статистической модели число носителей $n_{\\tau}$ с зарядом $e^*$, проходящих через такой контакт в течение малого интервала времени $\\tau$, подчиняется распределению вероятности Пуассона с параметром $\\lambda$: $$P(n_\\tau=k)=\\frac{\\lambda^k e^{-\\lambda}}{k!},$$где $k!$ — факториал числа $k$. Вам может понадобиться следующая формула: $$e^{\\lambda}=\\sum\\limits_{k=0}^\\infty \\frac{\\lambda^k}{k!}.$$ G1 1.00 Найдите силу тока через контакт $I_В$ как функцию $\\lambda$ и $\\tau$. G2 1.00 Шум электрического тока обусловлен его флуктуациями, т.е. отклонениями от среднего значения. Уровень шума характеризуется величиной $S_I$, определяемой как среднее от квадрата отклонения электрического заряда от его среднего значения в единицу времени. Найдите уровень шума $S_I$ как функцию $\\lambda$ и $\\tau$. G3 0.50 Найдите отношение уровня шума к величине тока $S_I/I_B$.\n","figures":["/corpus/figures/fdc9ae759e26f9e6dd08.webp"],"shared":false},"solution":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Запишите уравнение движения электрона в перпендикулярном электрическом $\\vec E=-E_y\\hat y$ и магнитном $\\vec B=B \\hat z$ полях, где $\\hat x$, $\\hat y$ и $\\hat z$ — единичные вектора по направлениям осей $\\mathrm X$, $\\mathrm Y$ и $\\mathrm Z$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Найдите установившуюся скорость электронов $v_s$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Укажите направление этой скорости.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n По определению Холловское сопротивление $R_H=V_H/I$. Представьте $R_H$ как функцию от числа свободных электронов $N$ на поверхности пластинки и магнитного потока $\\phi$ через пластинку, который равен $\\phi =BWL$, где $W$ и $L$ — ширина и длина пластинки соответственно."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Из квантовой механики следует, что внешнее магнитное поле приводит к появлению коллективного движения электронов, которое можно рассматривать как круговые вихри. Количество вихрей определяется тем, что на создание одного вихря требуется поток внешнего магнитного поля, равный $h/e$, где $h$ — постоянная Планка, а $e$ — заряд электрона. Для случая $R_H=3h/e^2$, найдите коэффициент заполнения $\\nu$, который представляет собой отношение числа электронов $N$ на поверхности пластинки к числу вихрей $N_\\phi$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                D1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Если на один электрон приходится более одного вихря, то это приводит к дополнительному отталкиванию электронов, энергия которого $\\Delta U(B) \\varpropto B^\\alpha$ оценивается как средняя электростатическая энергия взаимодействия двух электронов при фиксированном коэффициенте заполнения. Определите коэффициент $\\alpha$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                E1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Некоторые вихри не связаны с электронами и могут быть рассмотрены как квазичастицы, способные нести дробный заряд $e^*=e/n$, где $\\nu=1/n$. На какую величину $\\Delta B$ надо изменить индукцию внешнего поля для того, чтобы в системе возникла одна квазичастица."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                F1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Вычислите тепловую энергию электрона $E_{th}$ при температуре $ T= 1.0~ К$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                F2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Из законов квантовой механики следует, что для того чтобы поместить два электрона в один вихрь требуется затратить достаточно большую энергию. Оцените её, используя принцип неопределенности."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                G1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Найдите силу тока через контакт $I_В$ как функцию $\\lambda$ и $\\tau$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                G2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Шум электрического тока обусловлен его флуктуациями, т.е. отклонениями от среднего значения. Уровень шума характеризуется величиной $S_I$, определяемой как среднее от квадрата отклонения электрического заряда от его среднего значения в единицу времени. Найдите уровень шума $S_I$ как функцию $\\lambda$ и $\\tau$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                G3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Найдите отношение уровня шума к величине тока $S_I/I_B$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]}],"text":"A1 1.00 Запишите уравнение движения электрона в перпендикулярном электрическом $\\vec E=-E_y\\hat y$ и магнитном $\\vec B=B \\hat z$ полях, где $\\hat x$, $\\hat y$ и $\\hat z$ — единичные вектора по направлениям осей $\\mathrm X$, $\\mathrm Y$ и $\\mathrm Z$.\nA2 0.50 Найдите установившуюся скорость электронов $v_s$.\nA3 0.50 Укажите направление этой скорости.\nB1 1.00 По определению Холловское сопротивление $R_H=V_H/I$. Представьте $R_H$ как функцию от числа свободных электронов $N$ на поверхности пластинки и магнитного потока $\\phi$ через пластинку, который равен $\\phi =BWL$, где $W$ и $L$ — ширина и длина пластинки соответственно.\nC1 1.00 Из квантовой механики следует, что внешнее магнитное поле приводит к появлению коллективного движения электронов, которое можно рассматривать как круговые вихри. Количество вихрей определяется тем, что на создание одного вихря требуется поток внешнего магнитного поля, равный $h/e$, где $h$ — постоянная Планка, а $e$ — заряд электрона. Для случая $R_H=3h/e^2$, найдите коэффициент заполнения $\\nu$, который представляет собой отношение числа электронов $N$ на поверхности пластинки к числу вихрей $N_\\phi$.\nD1 1.00 Если на один электрон приходится более одного вихря, то это приводит к дополнительному отталкиванию электронов, энергия которого $\\Delta U(B) \\varpropto B^\\alpha$ оценивается как средняя электростатическая энергия взаимодействия двух электронов при фиксированном коэффициенте заполнения. Определите коэффициент $\\alpha$.\nE1 1.00 Некоторые вихри не связаны с электронами и могут быть рассмотрены как квазичастицы, способные нести дробный заряд $e^*=e/n$, где $\\nu=1/n$. На какую величину $\\Delta B$ надо изменить индукцию внешнего поля для того, чтобы в системе возникла одна квазичастица.\nF1 0.50 Вычислите тепловую энергию электрона $E_{th}$ при температуре $ T= 1.0~ К$.\nF2 1.00 Из законов квантовой механики следует, что для того чтобы поместить два электрона в один вихрь требуется затратить достаточно большую энергию. Оцените её, используя принцип неопределенности.\nG1 1.00 Найдите силу тока через контакт $I_В$ как функцию $\\lambda$ и $\\tau$.\nG2 1.00 Шум электрического тока обусловлен его флуктуациями, т.е. отклонениями от среднего значения. Уровень шума характеризуется величиной $S_I$, определяемой как среднее от квадрата отклонения электрического заряда от его среднего значения в единицу времени. Найдите уровень шума $S_I$ как функцию $\\lambda$ и $\\tau$.\nG3 0.50 Найдите отношение уровня шума к величине тока $S_I/I_B$.","figures":[],"shared":false}},{"id":"apho-2015-t2","importedOn":"2026-10-28","language":"ru","sources":[{"url":"https://pho.rs/p/3307","kind":"statement"},{"url":"https://pho.rs/p/3307/s","kind":"solution"}],"statement":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/d97dfdd2aaa724024b82.webp","alt":"apho-2015-t2 statement: original source diagram 1"}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Основные сведения о взаимодействии между солнечным ветром и магнитным полем Земли"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Как известно, Земля обладает постоянным магнитным полем, структура которого аналогична структуре магнитного поля обычного магнита, как показано на рис. 2. Магнитное поле Земли искажается солнечным ветром, который является высокоскоростным потоком горячей плазмы (плазмой называют квазинейтральный ионизированный газ). Этот поток плазмы вылетает из Солнца, его интенсивность зависит от солнечной активности. Солнечный ветер деформирует магнитное поле Земли, которое защищает Землю от солнечного ветра. Солнечный ветер «обтекает» магнитное поле Земли, как вода обтекает судно, см. рис. 3."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/d5794a682854d03a0c75.webp","alt":"apho-2015-t2 statement: original source diagram 2"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Линии магнитного поля"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/5c64e5e3653c48b589f3.webp","alt":"apho-2015-t2 statement: original source diagram 3"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Sun – Солнце, Interplanetary Medium – межпланетное пространство, Solar Wind – солнечный ветер, Bow Shock – косая ударная волна, Magnetosheath – магнитослой, Magneto sphere – магнитосфера, Plasmasphere – плазменная сфера, Polar Cusp – полярный рог, Magnetopause – магнитопауза, Plasma Sheet – плазменная пелена, Neutral Point – нейтральная точка, Plasma Mantle – плазменная мантия, Magnetotail –магнитный след, North Lobe – северный лепесток, South Lobe – южный лепесток"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Криволинейная поверхность, на которой солнечный ветер отклоняется в первый раз, называется косой ударной волной. Область за косой ударной волной спереди магнитного поля Земли называется магнитослоем. Область, окруженная солнечным ветром, называется магнитосферой. Магнитное поле Земли в значительной степени препятствует попаданию солнечного ветра в магнитосферу. Область контакта между солнечным ветром и магнитным полем Земли называется магнитопаузой. Расположение магнитопаузы в значительной степени определяется интенсивностью солнечного ветра и направлением его магнитного поля. Когда направление магнитного поля солнечного ветра антипараллельно магнитному полю Земли, имеет место магнитное воссоединение на дневной стороне магнитопаузы, как показано рис. 4, что позволяет некоторым заряженным частицам солнечного ветра из области <"},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"> переместиться в магнитный след <"},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"> на ночной стороне, как показано на рис. 5. Мощный солнечный ветер способен сдвинуть дневную магнитопаузу очень близко к Земле, что может привести к тому, что высокоорбитальный спутник (например, геостационарный спутник) будет полностью подвержен воздействию солнечного ветра. Высокоэнергетичные частицы солнечного ветра могут повредить высокотехнологичные электронные компоненты спутника, поэтому важно изучать движение заряженных частиц в магнитных полях. В частности, такое движение объясняет появление северного сияния и может помочь в понимании механизма взаимодействия между солнечным ветром и магнитным полем Земли."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/15b28b469a27805e58aa.webp","alt":"apho-2015-t2 statement: original source diagram 4"}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/06fa17e8396525dd43c9.webp","alt":"apho-2015-t2 statement: original source diagram 5"}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Численные значения физических постоянных и дипольного магнитного поля Земли"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"ul","children":[{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Скорость света в вакууме: $c = 2.998 \\cdot 10^8 ~{м}/{с}$."}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Электрическая постоянная: $\\varepsilon_0 = 8.9 \\cdot 10^{-12} ~{Кл^2}/{Н \\cdot м^2}$."}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Магнитная постоянная: $\\mu_0 = 4\\pi \\cdot 10^{-7} ~ {Н}/{А^2}$."}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Заряд протона: $e = 1.6 \\cdot 10^{-19}~ Кл$."}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Масса электрона: $m = 9.1 \\cdot 10^{-31}~ кг$."}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Масса протона: $m_p = 1.67 \\cdot 10^{-27}~ кг$."}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Постоянная Больцмана: $k = 1.38 \\cdot 10^{-23} ~{Дж}/{К}$."}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Ускорение свободного падения: $g = 9.8 ~{м}/{с^2}$."}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Постоянная Планка: $h = 6.626 \\cdot 10^{-34} ~ {Дж}/{с}$."}]},{"type":"element","tag":"li","children":[{"type":"text","text":"Радиус Земли: $R_E = 6.4 \\cdot 10^6~м$."}]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Индукция магнитного диполя поля Земли описывается формулой:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\begin{equation}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"    \\vec{B}_d = \\frac{B_0 R^3_E}{r^5} \\left[ 3 x z \\hat{x} - 3 y z \\hat{y} + (x^2 + y^2 - 2 z^2) \\hat{z} \\tag{1} \\right]."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\end{equation}Здесь $r = \\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$, $B_0 = 3.1 \\cdot 10^{-5}$ Тл, а $\\hat{x}$, $\\hat{y}$, $\\hat{z}$ — единичные вектора, направленные вдоль осей $x$, $y$, $z$, соответственно."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть А (1.5 балла)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Прежде, чем мы изучим движение заряженной частицы в дипольном магнитном поле Земли, рассмотрим движение электрона в однородном магнитном поле $\\vec{B}$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/24ee3100a282e4325ce3.webp","alt":"apho-2015-t2 statement: original source diagram 6"}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Определите траекторию движения электрона, если начальная скорость электрона $\\vec{v}$ перпендикулярна индукции однородного магнитного поля, как показано на рис. 6. Электрон изначально расположен в точке $(x,y,z)=(0,0,0)$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Определите величину электрического тока, обусловленного движением электрона, и вычислите магнитный момент $\\vec{\\mu} = I \\vec{A}$; здесь $|A|$ — площадь круговой орбиты электрона; направление вектора $\\vec{A}$ определяется по правилу буравчика (правой руки) в соответствии с направлением электрического тока."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Если начальная скорость электрона $\\vec{v}$ не перпендикулярна индукции однородного магнитного поля, т.е. угол $\\theta$ между $\\vec{B}$ и $\\vec{v}$ лежит в промежутке $0^{\\circ} < \\theta < 90^{\\circ}$, определите шаг спирали траектории электрона (расстояние вдоль оси $z$ между соседними витками)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть B (2.0 балла)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Рассмотрим плазму в однородном фоновом магнитном поле, как показано на рис. 6. При этом если плотность плазмы неоднородна по $x$, то будет возникать электрический ток намагничивания. Для простоты предположим, что температура и распределение ионов и электронов одинаковы. Давление плазмы при этом описывается формулой:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\begin{equation*}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"p(x) = k T \\left[ n_i(x) + n_e(x) \\right] = 2 k T n(x) = 2 k T (n_0 + \\alpha x),"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\end{equation*}Здесь $B$, $T$, $k$, $n_0$ и $\\alpha$ являются положительными постоянными, $n_i(x)$ и $n_e(x)$ — концентрации ионов и электронов."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Объясните схематичным рисунком причину возникновения тока намагничивания."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Будем считать, что как ионы, так и электроны подчиняются распределению Максвелла, и распределение ионов описывается формулой"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\begin{equation*}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"f_i (x, v_{\\bot}, v_{\\parallel}) = n_i(x) \\left( \\frac{m_i}{2 \\pi k T} \\right)^{3/2} e^{-m_i (v_{\\bot}^2 + v_{\\parallel}^2) / 2 k T}."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\end{equation*}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tВычислите постоянную $\\beta$ в выражении для намагниченности $M = \\beta n(x) \\frac{k T}{B}$, здесь намагниченность $M$ есть магнитный момент единицы объема."},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"Подсказка: "}]},{"type":"text","text":"$$\\int_0^{\\infty} x \\exp (-x) \\,\\mathrm dx = 1\\quad и\\quad \\int_{-\\infty}^{\\infty} \\exp (-x^2) \\,\\mathrm dx = \\sqrt{\\pi}.$$"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть C (0.5 балла)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Теперь вернемся к дипольному магнитному полю Земли."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            C1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tИспользуйте результат из части $\\bf B$ для вычисления отношения диамагнитного поля и дипольного магнитного поля Земли в уравнении (1) в положении ($x = 10 R_E$, $y = 0$, $z = 1 \\, R_E$). Предполагается, что давление плазмы $p(z) = p_0 e^{-(z/a)^2}$; здесь $p_0 = 3 \\cdot 10^{-10}$ Па и $a = 2 R_E$. Магнитное поле в районе этого положения также можно считать однородным. Обратите внимание на различие в координатных системах в частях $\\bf B$ и $\\bf C$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"Подсказка:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"text","text":"Диамагнитное поле определяется формулой $B_{m x} = \\mu_0 M$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть D (2 балла)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Из рис. 2, 3 и 5 видно, что величина индукции магнитного поля Земли вдоль линии магнитного поля максимальна на полюсах и минимальна в экваториальной плоскости. Так как магнитное дипольное поле Земли обладает осевой симметрией и медленно изменяется вдоль линии магнитной индукции, оно для простоты может рассматриваться как поле магнитного зеркала, как показано на рис. 7. Величина индукции магнитного поля вдоль линии магнитного поля минимальна ($B_0$) в точке «P2» и максимальна ($B_m$) в точках «P1» и «P3». Электрон с начальной скоростью $\\vec{v}$ расположен в точке «P2» и дрейфует по направлению к точке «P3». Угол между начальной скоростью $\\vec{v}$ и индукцией магнитного поля в точке «P2» составляет $0^{\\circ} < \\theta < 90^{\\circ}$. Для поля магнитного зеркала $\\vec{B} = B_r \\hat{r} + B_z \\hat{z}$ (причем $B_r \\ll B_z$), можно считать, что ${\\mathrm dB}/{\\mathrm dz} = {\\mathrm dB}/{\\mathrm ds}$; здесь ${\\mathrm dB}/{\\mathrm dz}$ частная производная от $B$ вдоль линии магнитной индукции. При этом $\\langle B_r \\rangle = - \\frac{1}{2} \\frac{\\mathrm dB}{\\mathrm dz} r_c \\ll B_z$, здесь $\\langle B_r \\rangle$ есть усредненная по кругу $B_r$, а $r_c$ — радиус вращения электрона."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/6e1cccb280c2003d00a3.webp","alt":"apho-2015-t2 statement: original source diagram 7"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Magnetic Mirror Field – поле магнитного зеркала, Electron trajectory – траектория электрона,\\\\B-field – поле В"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            D1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Получите выражение для усредненной по периоду вращения силы со стороны магнитного поля вдоль линий магнитной индукции, действующую на электрон и покажите, что магнитный момент не изменяется в процессе движения, т.е. ${\\mathrm d\\mu}/{\\mathrm dt} = 0$, основываясь на сохранении кинетической энергии."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            D2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Основываясь на постоянстве магнитного момента в процессе движения, определите условие для угла $\\theta$ между начальной скоростью электрона $\\vec{v}$ и индукцией магнитного поля в точке «P2» для того, чтобы электрон не смог вылететь из поля магнитного зеркала"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть E (0.5 балла)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Линии индукции магнитного дипольного поля Земли (синие линии) показаны на рис. 8. Спиральная траектория заряженной частицы (красные линии) находится вблизи плоскости $y = 0$, т.к. градиентом и кривизной линий магнитного поля можно пренебречь. \n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            E1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Если заряженная частица с массой $m$, зарядом $q$ и скоростью $\\vec{v}$ сначала расположена в экваториальном положении ($x = 6 R_E$, $y = 0$, $z = 0$) и угол между скоростью электрона $\\vec{v}$ и индукцией магнитного поля равен сначала $\\theta$, определите, какое условие должно выполняться для $\\theta$, чтобы заряженная частица на широте $60^{\\circ}$ смогла приблизиться до $200~ км$ высоты."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/a48fb7a190a28ac5a5a4.webp","alt":"apho-2015-t2 statement: original source diagram 8"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Earth – Земля, Spiral Trajectory of Charged Particle – спиральная траектория заряженной частицы, Magnetic Field Line – линия магнитного поля"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть F (2.5 балла)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Как показано на рис. 5, если на дневной стороне магнитопаузы происходит магнитное воссоединение, линии индукции воссоединенного магнитного поля дрейфуют по направлению к ночной области потому, что солнечный ветер течет по направлению к следу. Таким образом, некоторые электроны из солнечного ветра в области «A» также двигаются к магнитному следу в области «P». После того, как электроны появляются в области «P», некоторые электроны могут быть ускорены до энергий порядка $1 ~кэВ$. Таким образом, частицы могут достичь термосферы (высота термосферы составляет около $85 ~км - 800~ км$). Эти высокоэнергетичные электроны могут сталкиваться с нейтральными атомами и переводить их в возбужденное состояние. Если за время жизни возбуждённого состояния нейтральный атом не испытывает соударения, он из более высокого возбужденного состояния возвращается в нижнее возбужденное состояние или в основное состояние с испусканием фотона соответствующей длины волны. Таким образом, цвет северного сияния (рис. 1) обусловлен этим явлением. Установлено, что северное сияние в основном обусловлено фотонами, испущенными атомами кислорода. Значения энергии уровней первого и второго возбужденных состояний по отношению к основному состоянию равны $1.96~эВ$ и $4.17~ эВ$, соответственно. Времена жизни двух возбужденных состояний атома кислорода составляют $110~с$ и $0.8~ с$, как показано на рис. 9."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/9c1a5722e2cb74f96d0e.webp","alt":"apho-2015-t2 statement: original source diagram 9"}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            F1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tПолучите выражение для плотности атмосферы как функцию высоты и найдите отношение плотности кислорода на высотах $H = 160~ км$ и $H = 220~ км$. Для простоты предположите, что температура атмосферы не зависит от высоты и что воздух является идеальным газом."},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"$\\rho_0 g / P_0 = 0.13~ км^{-1}$, где $\\rho_0$ и $P_0$ — плотность и давление атмосферы на уровне моря."}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            F2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tОпределите цвета северных сияний на высотах $H = 160~ км$ и $H = 220~ км$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"Подсказка: "}]},{"type":"text","text":"Зависимость частоты соударений молекул атмосферы от плотности атмосферы выглядит как $\\nu = \\nu_0 {\\rho}/{\\rho_0}$; здесь $\\nu \\approx 10^9~с^{-1}$ — частота соударений молекул атмосферы на уровне моря. Возбужденные атомы кислорода теряют часть энергии при столкновении с нейтральными молекулами."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть G (1.0 балл)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Как отмечалось выше, мощный солнечный ветер способен сдвинуть дневную магнитопаузу настолько близко к Земле, что высокоорбитальный спутник окажется под воздействием солнечного ветра. Высокоэнергетичные частицы солнечного ветра могут повредить высокотехнологичные электронные компоненты спутника. Для простоты считается, что дипольное магнитное поле Земли слабо изменяется, когда солнечный ветер его сжимает, а плотностью плазмы в магнитосфере можно пренебречь."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            G1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tОпределите минимальную скорость солнечного ветра, способную вызвать повреждение геостационарного спутника, если индукция магнитного поля и плотность плазмы солнечного ветра составляют $B_s = 5~ нТл$ и $\\rho_s = 50~ протонов/см^3$ соответственно."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"Подсказка: "}]},{"type":"text","text":"Сила на единицу площади, вызванная магнитным полем, равна $f = {B^2}/{2 \\mu_0}$. Мы рассматриваем только изменение вдоль $x$ для всех физических величин, т.е. физические величины не зависят от $y$ и $z$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]}]}],"text":"Основные сведения о взаимодействии между солнечным ветром и магнитным полем Земли Как известно, Земля обладает постоянным магнитным полем, структура которого аналогична структуре магнитного поля обычного магнита, как показано на рис. 2. Магнитное поле Земли искажается солнечным ветром, который является высокоскоростным потоком горячей плазмы (плазмой называют квазинейтральный ионизированный газ). Этот поток плазмы вылетает из Солнца, его интенсивность зависит от солнечной активности. Солнечный ветер деформирует магнитное поле Земли, которое защищает Землю от солнечного ветра. Солнечный ветер «обтекает» магнитное поле Земли, как вода обтекает судно, см. рис. 3. Линии магнитного поля Sun – Солнце, Interplanetary Medium – межпланетное пространство, Solar Wind – солнечный ветер, Bow Shock – косая ударная волна, Magnetosheath – магнитослой, Magneto sphere – магнитосфера, Plasmasphere – плазменная сфера, Polar Cusp – полярный рог, Magnetopause – магнитопауза, Plasma Sheet – плазменная пелена, Neutral Point – нейтральная точка, Plasma Mantle – плазменная мантия, Magnetotail –магнитный след, North Lobe – северный лепесток, South Lobe – южный лепесток Криволинейная поверхность, на которой солнечный ветер отклоняется в первый раз, называется косой ударной волной. Область за косой ударной волной спереди магнитного поля Земли называется магнитослоем. Область, окруженная солнечным ветром, называется магнитосферой. Магнитное поле Земли в значительной степени препятствует попаданию солнечного ветра в магнитосферу. Область контакта между солнечным ветром и магнитным полем Земли называется магнитопаузой. Расположение магнитопаузы в значительной степени определяется интенсивностью солнечного ветра и направлением его магнитного поля. Когда направление магнитного поля солнечного ветра антипараллельно магнитному полю Земли, имеет место магнитное воссоединение на дневной стороне магнитопаузы, как показано рис. 4, что позволяет некоторым заряженным частицам солнечного ветра из области < > переместиться в магнитный след < > на ночной стороне, как показано на рис. 5. Мощный солнечный ветер способен сдвинуть дневную магнитопаузу очень близко к Земле, что может привести к тому, что высокоорбитальный спутник (например, геостационарный спутник) будет полностью подвержен воздействию солнечного ветра. Высокоэнергетичные частицы солнечного ветра могут повредить высокотехнологичные электронные компоненты спутника, поэтому важно изучать движение заряженных частиц в магнитных полях. В частности, такое движение объясняет появление северного сияния и может помочь в понимании механизма взаимодействия между солнечным ветром и магнитным полем Земли. Численные значения физических постоянных и дипольного магнитного поля Земли Скорость света в вакууме: $c = 2.998 \\cdot 10^8 ~{м}/{с}$. Электрическая постоянная: $\\varepsilon_0 = 8.9 \\cdot 10^{-12} ~{Кл^2}/{Н \\cdot м^2}$. Магнитная постоянная: $\\mu_0 = 4\\pi \\cdot 10^{-7} ~ {Н}/{А^2}$. Заряд протона: $e = 1.6 \\cdot 10^{-19}~ Кл$. Масса электрона: $m = 9.1 \\cdot 10^{-31}~ кг$. Масса протона: $m_p = 1.67 \\cdot 10^{-27}~ кг$. Постоянная Больцмана: $k = 1.38 \\cdot 10^{-23} ~{Дж}/{К}$. Ускорение свободного падения: $g = 9.8 ~{м}/{с^2}$. Постоянная Планка: $h = 6.626 \\cdot 10^{-34} ~ {Дж}/{с}$. Радиус Земли: $R_E = 6.4 \\cdot 10^6~м$. Индукция магнитного диполя поля Земли описывается формулой: \\begin{equation} \\vec{B}_d = \\frac{B_0 R^3_E}{r^5} \\left[ 3 x z \\hat{x} - 3 y z \\hat{y} + (x^2 + y^2 - 2 z^2) \\hat{z} \\tag{1} \\right]. \\end{equation}Здесь $r = \\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$, $B_0 = 3.1 \\cdot 10^{-5}$ Тл, а $\\hat{x}$, $\\hat{y}$, $\\hat{z}$ — единичные вектора, направленные вдоль осей $x$, $y$, $z$, соответственно. Часть А (1.5 балла) Прежде, чем мы изучим движение заряженной частицы в дипольном магнитном поле Земли, рассмотрим движение электрона в однородном магнитном поле $\\vec{B}$. A1 0.50 Определите траекторию движения электрона, если начальная скорость электрона $\\vec{v}$ перпендикулярна индукции однородного магнитного поля, как показано на рис. 6. Электрон изначально расположен в точке $(x,y,z)=(0,0,0)$. A2 0.50 Определите величину электрического тока, обусловленного движением электрона, и вычислите магнитный момент $\\vec{\\mu} = I \\vec{A}$; здесь $|A|$ — площадь круговой орбиты электрона; направление вектора $\\vec{A}$ определяется по правилу буравчика (правой руки) в соответствии с направлением электрического тока. A3 0.50 Если начальная скорость электрона $\\vec{v}$ не перпендикулярна индукции однородного магнитного поля, т.е. угол $\\theta$ между $\\vec{B}$ и $\\vec{v}$ лежит в промежутке $0^{\\circ} < \\theta < 90^{\\circ}$, определите шаг спирали траектории электрона (расстояние вдоль оси $z$ между соседними витками). Часть B (2.0 балла) Рассмотрим плазму в однородном фоновом магнитном поле, как показано на рис. 6. При этом если плотность плазмы неоднородна по $x$, то будет возникать электрический ток намагничивания. Для простоты предположим, что температура и распределение ионов и электронов одинаковы. Давление плазмы при этом описывается формулой: \\begin{equation*} p(x) = k T \\left[ n_i(x) + n_e(x) \\right] = 2 k T n(x) = 2 k T (n_0 + \\alpha x), \\end{equation*}Здесь $B$, $T$, $k$, $n_0$ и $\\alpha$ являются положительными постоянными, $n_i(x)$ и $n_e(x)$ — концентрации ионов и электронов. B1 1.00 Объясните схематичным рисунком причину возникновения тока намагничивания. Будем считать, что как ионы, так и электроны подчиняются распределению Максвелла, и распределение ионов описывается формулой \\begin{equation*} f_i (x, v_{\\bot}, v_{\\parallel}) = n_i(x) \\left( \\frac{m_i}{2 \\pi k T} \\right)^{3/2} e^{-m_i (v_{\\bot}^2 + v_{\\parallel}^2) / 2 k T}. \\end{equation*} B2 1.00 Вычислите постоянную $\\beta$ в выражении для намагниченности $M = \\beta n(x) \\frac{k T}{B}$, здесь намагниченность $M$ есть магнитный момент единицы объема. Подсказка: $$\\int_0^{\\infty} x \\exp (-x) \\,\\mathrm dx = 1\\quad и\\quad \\int_{-\\infty}^{\\infty} \\exp (-x^2) \\,\\mathrm dx = \\sqrt{\\pi}.$$ Часть C (0.5 балла) Теперь вернемся к дипольному магнитному полю Земли. C1 0.50 Используйте результат из части $\\bf B$ для вычисления отношения диамагнитного поля и дипольного магнитного поля Земли в уравнении (1) в положении ($x = 10 R_E$, $y = 0$, $z = 1 \\, R_E$). Предполагается, что давление плазмы $p(z) = p_0 e^{-(z/a)^2}$; здесь $p_0 = 3 \\cdot 10^{-10}$ Па и $a = 2 R_E$. Магнитное поле в районе этого положения также можно считать однородным. Обратите внимание на различие в координатных системах в частях $\\bf B$ и $\\bf C$. Подсказка: Диамагнитное поле определяется формулой $B_{m x} = \\mu_0 M$. Часть D (2 балла) Из рис. 2, 3 и 5 видно, что величина индукции магнитного поля Земли вдоль линии магнитного поля максимальна на полюсах и минимальна в экваториальной плоскости. Так как магнитное дипольное поле Земли обладает осевой симметрией и медленно изменяется вдоль линии магнитной индукции, оно для простоты может рассматриваться как поле магнитного зеркала, как показано на рис. 7. Величина индукции магнитного поля вдоль линии магнитного поля минимальна ($B_0$) в точке «P2» и максимальна ($B_m$) в точках «P1» и «P3». Электрон с начальной скоростью $\\vec{v}$ расположен в точке «P2» и дрейфует по направлению к точке «P3». Угол между начальной скоростью $\\vec{v}$ и индукцией магнитного поля в точке «P2» составляет $0^{\\circ} < \\theta < 90^{\\circ}$. Для поля магнитного зеркала $\\vec{B} = B_r \\hat{r} + B_z \\hat{z}$ (причем $B_r \\ll B_z$), можно считать, что ${\\mathrm dB}/{\\mathrm dz} = {\\mathrm dB}/{\\mathrm ds}$; здесь ${\\mathrm dB}/{\\mathrm dz}$ частная производная от $B$ вдоль линии магнитной индукции. При этом $\\langle B_r \\rangle = - \\frac{1}{2} \\frac{\\mathrm dB}{\\mathrm dz} r_c \\ll B_z$, здесь $\\langle B_r \\rangle$ есть усредненная по кругу $B_r$, а $r_c$ — радиус вращения электрона. Magnetic Mirror Field – поле магнитного зеркала, Electron trajectory – траектория электрона,\\\\B-field – поле В D1 1.50 Получите выражение для усредненной по периоду вращения силы со стороны магнитного поля вдоль линий магнитной индукции, действующую на электрон и покажите, что магнитный момент не изменяется в процессе движения, т.е. ${\\mathrm d\\mu}/{\\mathrm dt} = 0$, основываясь на сохранении кинетической энергии. D2 0.50 Основываясь на постоянстве магнитного момента в процессе движения, определите условие для угла $\\theta$ между начальной скоростью электрона $\\vec{v}$ и индукцией магнитного поля в точке «P2» для того, чтобы электрон не смог вылететь из поля магнитного зеркала Часть E (0.5 балла) Линии индукции магнитного дипольного поля Земли (синие линии) показаны на рис. 8. Спиральная траектория заряженной частицы (красные линии) находится вблизи плоскости $y = 0$, т.к. градиентом и кривизной линий магнитного поля можно пренебречь. E1 0.50 Если заряженная частица с массой $m$, зарядом $q$ и скоростью $\\vec{v}$ сначала расположена в экваториальном положении ($x = 6 R_E$, $y = 0$, $z = 0$) и угол между скоростью электрона $\\vec{v}$ и индукцией магнитного поля равен сначала $\\theta$, определите, какое условие должно выполняться для $\\theta$, чтобы заряженная частица на широте $60^{\\circ}$ смогла приблизиться до $200~ км$ высоты. Earth – Земля, Spiral Trajectory of Charged Particle – спиральная траектория заряженной частицы, Magnetic Field Line – линия магнитного поля Часть F (2.5 балла) Как показано на рис. 5, если на дневной стороне магнитопаузы происходит магнитное воссоединение, линии индукции воссоединенного магнитного поля дрейфуют по направлению к ночной области потому, что солнечный ветер течет по направлению к следу. Таким образом, некоторые электроны из солнечного ветра в области «A» также двигаются к магнитному следу в области «P». После того, как электроны появляются в области «P», некоторые электроны могут быть ускорены до энергий порядка $1 ~кэВ$. Таким образом, частицы могут достичь термосферы (высота термосферы составляет около $85 ~км - 800~ км$). Эти высокоэнергетичные электроны могут сталкиваться с нейтральными атомами и переводить их в возбужденное состояние. Если за время жизни возбуждённого состояния нейтральный атом не испытывает соударения, он из более высокого возбужденного состояния возвращается в нижнее возбужденное состояние или в основное состояние с испусканием фотона соответствующей длины волны. Таким образом, цвет северного сияния (рис. 1) обусловлен этим явлением. Установлено, что северное сияние в основном обусловлено фотонами, испущенными атомами кислорода. Значения энергии уровней первого и второго возбужденных состояний по отношению к основному состоянию равны $1.96~эВ$ и $4.17~ эВ$, соответственно. Времена жизни двух возбужденных состояний атома кислорода составляют $110~с$ и $0.8~ с$, как показано на рис. 9. F1 1.00 Получите выражение для плотности атмосферы как функцию высоты и найдите отношение плотности кислорода на высотах $H = 160~ км$ и $H = 220~ км$. Для простоты предположите, что температура атмосферы не зависит от высоты и что воздух является идеальным газом. $\\rho_0 g / P_0 = 0.13~ км^{-1}$, где $\\rho_0$ и $P_0$ — плотность и давление атмосферы на уровне моря. F2 1.50 Определите цвета северных сияний на высотах $H = 160~ км$ и $H = 220~ км$. Подсказка: Зависимость частоты соударений молекул атмосферы от плотности атмосферы выглядит как $\\nu = \\nu_0 {\\rho}/{\\rho_0}$; здесь $\\nu \\approx 10^9~с^{-1}$ — частота соударений молекул атмосферы на уровне моря. Возбужденные атомы кислорода теряют часть энергии при столкновении с нейтральными молекулами. Часть G (1.0 балл) Как отмечалось выше, мощный солнечный ветер способен сдвинуть дневную магнитопаузу настолько близко к Земле, что высокоорбитальный спутник окажется под воздействием солнечного ветра. Высокоэнергетичные частицы солнечного ветра могут повредить высокотехнологичные электронные компоненты спутника. Для простоты считается, что дипольное магнитное поле Земли слабо изменяется, когда солнечный ветер его сжимает, а плотностью плазмы в магнитосфере можно пренебречь. G1 1.00 Определите минимальную скорость солнечного ветра, способную вызвать повреждение геостационарного спутника, если индукция магнитного поля и плотность плазмы солнечного ветра составляют $B_s = 5~ нТл$ и $\\rho_s = 50~ протонов/см^3$ соответственно. Подсказка: Сила на единицу площади, вызванная магнитным полем, равна $f = {B^2}/{2 \\mu_0}$. Мы рассматриваем только изменение вдоль $x$ для всех физических величин, т.е. физические величины не зависят от $y$ и $z$.\n","figures":["/corpus/figures/d97dfdd2aaa724024b82.webp","/corpus/figures/d5794a682854d03a0c75.webp","/corpus/figures/5c64e5e3653c48b589f3.webp","/corpus/figures/15b28b469a27805e58aa.webp","/corpus/figures/06fa17e8396525dd43c9.webp","/corpus/figures/24ee3100a282e4325ce3.webp","/corpus/figures/6e1cccb280c2003d00a3.webp","/corpus/figures/a48fb7a190a28ac5a5a4.webp","/corpus/figures/9c1a5722e2cb74f96d0e.webp"],"shared":false},"solution":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Определите траекторию движения электрона, если начальная скорость электрона $\\vec{v}$ перпендикулярна индукции однородного магнитного поля, как показано на рис. 6. Электрон изначально расположен в точке $(x,y,z)=(0,0,0)$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Определите величину электрического тока, обусловленного движением электрона, и вычислите магнитный момент $\\vec{\\mu} = I \\vec{A}$; здесь $|A|$ — площадь круговой орбиты электрона; направление вектора $\\vec{A}$ определяется по правилу буравчика (правой руки) в соответствии с направлением электрического тока."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Если начальная скорость электрона $\\vec{v}$ не перпендикулярна индукции однородного магнитного поля, т.е. угол $\\theta$ между $\\vec{B}$ и $\\vec{v}$ лежит в промежутке $0^{\\circ} < \\theta < 90^{\\circ}$, определите шаг спирали траектории электрона (расстояние вдоль оси $z$ между соседними витками)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Объясните схематичным рисунком причину возникновения тока намагничивания."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tВычислите постоянную $\\beta$ в выражении для намагниченности $M = \\beta n(x) \\frac{k T}{B}$, здесь намагниченность $M$ есть магнитный момент единицы объема."},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"Подсказка: "}]},{"type":"text","text":"$$\\int_0^{\\infty} x \\exp (-x) \\,\\mathrm dx = 1\\quad и\\quad \\int_{-\\infty}^{\\infty} \\exp (-x^2) \\,\\mathrm dx = \\sqrt{\\pi}.$$"}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                C1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tИспользуйте результат из части $\\bf B$ для вычисления отношения диамагнитного поля и дипольного магнитного поля Земли в уравнении (1) в положении ($x = 10 R_E$, $y = 0$, $z = 1 \\, R_E$). Предполагается, что давление плазмы $p(z) = p_0 e^{-(z/a)^2}$; здесь $p_0 = 3 \\cdot 10^{-10}$ Па и $a = 2 R_E$. Магнитное поле в районе этого положения также можно считать однородным. Обратите внимание на различие в координатных системах в частях $\\bf B$ и $\\bf C$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"Подсказка:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"text","text":"Диамагнитное поле определяется формулой $B_{m x} = \\mu_0 M$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                D1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Получите выражение для усредненной по периоду вращения силы со стороны магнитного поля вдоль линий магнитной индукции, действующую на электрон и покажите, что магнитный момент не изменяется в процессе движения, т.е. ${\\mathrm d\\mu}/{\\mathrm dt} = 0$, основываясь на сохранении кинетической энергии."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                D2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Основываясь на постоянстве магнитного момента в процессе движения, определите условие для угла $\\theta$ между начальной скоростью электрона $\\vec{v}$ и индукцией магнитного поля в точке «P2» для того, чтобы электрон не смог вылететь из поля магнитного зеркала"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                E1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Если заряженная частица с массой $m$, зарядом $q$ и скоростью $\\vec{v}$ сначала расположена в экваториальном положении ($x = 6 R_E$, $y = 0$, $z = 0$) и угол между скоростью электрона $\\vec{v}$ и индукцией магнитного поля равен сначала $\\theta$, определите, какое условие должно выполняться для $\\theta$, чтобы заряженная частица на широте $60^{\\circ}$ смогла приблизиться до $200~ км$ высоты."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                F1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tПолучите выражение для плотности атмосферы как функцию высоты и найдите отношение плотности кислорода на высотах $H = 160~ км$ и $H = 220~ км$. Для простоты предположите, что температура атмосферы не зависит от высоты и что воздух является идеальным газом."},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"$\\rho_0 g / P_0 = 0.13~ км^{-1}$, где $\\rho_0$ и $P_0$ — плотность и давление атмосферы на уровне моря."}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                F2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tОпределите цвета северных сияний на высотах $H = 160~ км$ и $H = 220~ км$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"Подсказка: "}]},{"type":"text","text":"Зависимость частоты соударений молекул атмосферы от плотности атмосферы выглядит как $\\nu = \\nu_0 {\\rho}/{\\rho_0}$; здесь $\\nu \\approx 10^9~с^{-1}$ — частота соударений молекул атмосферы на уровне моря. Возбужденные атомы кислорода теряют часть энергии при столкновении с нейтральными молекулами."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                G1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tОпределите минимальную скорость солнечного ветра, способную вызвать повреждение геостационарного спутника, если индукция магнитного поля и плотность плазмы солнечного ветра составляют $B_s = 5~ нТл$ и $\\rho_s = 50~ протонов/см^3$ соответственно."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"strong","children":[{"type":"text","text":"Подсказка: "}]},{"type":"text","text":"Сила на единицу площади, вызванная магнитным полем, равна $f = {B^2}/{2 \\mu_0}$. Мы рассматриваем только изменение вдоль $x$ для всех физических величин, т.е. физические величины не зависят от $y$ и $z$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]}],"text":"A1 0.50 Определите траекторию движения электрона, если начальная скорость электрона $\\vec{v}$ перпендикулярна индукции однородного магнитного поля, как показано на рис. 6. Электрон изначально расположен в точке $(x,y,z)=(0,0,0)$.\nA2 0.50 Определите величину электрического тока, обусловленного движением электрона, и вычислите магнитный момент $\\vec{\\mu} = I \\vec{A}$; здесь $|A|$ — площадь круговой орбиты электрона; направление вектора $\\vec{A}$ определяется по правилу буравчика (правой руки) в соответствии с направлением электрического тока.\nA3 0.50 Если начальная скорость электрона $\\vec{v}$ не перпендикулярна индукции однородного магнитного поля, т.е. угол $\\theta$ между $\\vec{B}$ и $\\vec{v}$ лежит в промежутке $0^{\\circ} < \\theta < 90^{\\circ}$, определите шаг спирали траектории электрона (расстояние вдоль оси $z$ между соседними витками).\nB1 1.00 Объясните схематичным рисунком причину возникновения тока намагничивания.\nB2 1.00 Вычислите постоянную $\\beta$ в выражении для намагниченности $M = \\beta n(x) \\frac{k T}{B}$, здесь намагниченность $M$ есть магнитный момент единицы объема. Подсказка: $$\\int_0^{\\infty} x \\exp (-x) \\,\\mathrm dx = 1\\quad и\\quad \\int_{-\\infty}^{\\infty} \\exp (-x^2) \\,\\mathrm dx = \\sqrt{\\pi}.$$\nC1 0.50 Используйте результат из части $\\bf B$ для вычисления отношения диамагнитного поля и дипольного магнитного поля Земли в уравнении (1) в положении ($x = 10 R_E$, $y = 0$, $z = 1 \\, R_E$). Предполагается, что давление плазмы $p(z) = p_0 e^{-(z/a)^2}$; здесь $p_0 = 3 \\cdot 10^{-10}$ Па и $a = 2 R_E$. Магнитное поле в районе этого положения также можно считать однородным. Обратите внимание на различие в координатных системах в частях $\\bf B$ и $\\bf C$. Подсказка: Диамагнитное поле определяется формулой $B_{m x} = \\mu_0 M$.\nD1 1.50 Получите выражение для усредненной по периоду вращения силы со стороны магнитного поля вдоль линий магнитной индукции, действующую на электрон и покажите, что магнитный момент не изменяется в процессе движения, т.е. ${\\mathrm d\\mu}/{\\mathrm dt} = 0$, основываясь на сохранении кинетической энергии.\nD2 0.50 Основываясь на постоянстве магнитного момента в процессе движения, определите условие для угла $\\theta$ между начальной скоростью электрона $\\vec{v}$ и индукцией магнитного поля в точке «P2» для того, чтобы электрон не смог вылететь из поля магнитного зеркала\nE1 0.50 Если заряженная частица с массой $m$, зарядом $q$ и скоростью $\\vec{v}$ сначала расположена в экваториальном положении ($x = 6 R_E$, $y = 0$, $z = 0$) и угол между скоростью электрона $\\vec{v}$ и индукцией магнитного поля равен сначала $\\theta$, определите, какое условие должно выполняться для $\\theta$, чтобы заряженная частица на широте $60^{\\circ}$ смогла приблизиться до $200~ км$ высоты.\nF1 1.00 Получите выражение для плотности атмосферы как функцию высоты и найдите отношение плотности кислорода на высотах $H = 160~ км$ и $H = 220~ км$. Для простоты предположите, что температура атмосферы не зависит от высоты и что воздух является идеальным газом. $\\rho_0 g / P_0 = 0.13~ км^{-1}$, где $\\rho_0$ и $P_0$ — плотность и давление атмосферы на уровне моря.\nF2 1.50 Определите цвета северных сияний на высотах $H = 160~ км$ и $H = 220~ км$. Подсказка: Зависимость частоты соударений молекул атмосферы от плотности атмосферы выглядит как $\\nu = \\nu_0 {\\rho}/{\\rho_0}$; здесь $\\nu \\approx 10^9~с^{-1}$ — частота соударений молекул атмосферы на уровне моря. Возбужденные атомы кислорода теряют часть энергии при столкновении с нейтральными молекулами.\nG1 1.00 Определите минимальную скорость солнечного ветра, способную вызвать повреждение геостационарного спутника, если индукция магнитного поля и плотность плазмы солнечного ветра составляют $B_s = 5~ нТл$ и $\\rho_s = 50~ протонов/см^3$ соответственно. Подсказка: Сила на единицу площади, вызванная магнитным полем, равна $f = {B^2}/{2 \\mu_0}$. Мы рассматриваем только изменение вдоль $x$ для всех физических величин, т.е. физические величины не зависят от $y$ и $z$.","figures":[],"shared":false}},{"id":"apho-2015-t3","importedOn":"2026-10-28","language":"ru","sources":[{"url":"https://pho.rs/p/3356","kind":"statement"},{"url":"https://pho.rs/p/3356/s","kind":"solution"}],"statement":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"text","text":"\n                        \n                        \n Интерферометр Фабри-Перо (рис. 1) состоит из двух стеклянных пластин с высоко-отражающими покрытиями внутренних сторон, параллельных друг другу. В пространстве между пластинами свет может многократно переотражаться. Внешние стороны пластин не вполне параллельны внутренним, отражением от них можно пренебречь. Интерферометр можно использовать, например, для измерения плотности воздуха, который в него нагнетают. Свет от натриевой лампы, расположенной в фокусе линзы (коллиматоре), проходит через интерферометр. Пропускная способность интерферометра для пучка параллельных лучей:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\begin{equation*}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"T = \\frac{1}{1 + F \\sin^2 ({\\delta}/{2})},"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\end{equation*}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"где $F = {4R}/{(1-R)^2}$, $R$ — коэффициент отражения внутренних поверхностей, $\\delta = {4 \\pi n t \\cos \\theta}/{\\lambda}$, $n$ — коэффициент преломления воздуха в интерферометре, $t$ — расстояние между отражающими поверхностями, $\\theta$ — расстояние между отражающими поверхностями, $\\lambda$ — длина волны."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/f209f6e3b3f3340987a8.webp","alt":"apho-2015-t3 statement: original source diagram 1"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 1"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n\n\n\n\tНатриевая лампа испускает две спектральные линии D1 ($\\lambda = 589.6~нм$) и D2 ($\\lambda = 589.0~нм$) и расположена между полюсами электромагнита, который вначале выключен. Оптический фильтр F1 пропускает только линию D1. В микроскоп, настроенный на фокальную плоскость линзы L2, фокусное расстояние которой $f = 30~см$, наблюдаются интерференционные кольца. Положим коэффициент отражения $R = 90 \\%$ и расстояние $t = 10~мм$."},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Физические константы: $h = 6.626 \\cdot 10^{-34} ~Дж \\cdot с$, $e = 1.6 \\cdot 10^{-19}~ Кл$, $m_e = 9.1 \\cdot 10^{-31}~ кг$, $c = 3.0 \\cdot 10^8~ м/c$."}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Рассчитайте для линии D1 ($\\lambda = 589.6~нм$) в случае вакуума ($n = 1.0$) порядок интерференции $m_i$, угол падения $\\theta_i$ и диаметр $D_i$ для первых трёх светлых колец $i = 1, 2, 3$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Как показано на рис. 2, ширина $\\varepsilon$ спектральной линии определяется на половине высоты графика зависимости пропускающей способности от фазового сдвига $\\delta$. Разрешающая способность интерферометра Фабри-Перо определяется так: cпектральные линии $\\lambda$ и $\\lambda + \\Delta \\lambda$ считаются разрешёнными, если разница $\\Delta \\delta$ между фазовыми сдвигами, соответствующих максимумам спектральных линий, больше $\\varepsilon$ (рис. 2). Таким образом разрешающая способность интерферометра равна $\\lambda/\\Delta \\lambda$ при $\\Delta \\delta = \\varepsilon$. Для вакуумированного интерферометра, линии D1 ($\\lambda = 589.6~нм$) и угла падения $\\theta = 0$ рассчитайте ширину спектрально линии $\\varepsilon$ и разрешающую способность $\\lambda/\\Delta \\lambda$ интерферометра."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/ad904bfea97bdff01bf9.webp","alt":"apho-2015-t3 statement: original source diagram 2"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 2"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Пусть в начальный момент давление воздуха в интерферометре равно нулю, т.е. между пластинами интерферометра вакуум ($n = 1.0$). Вентиль (рис. 1) медленно открывают, и воздух постепенно заполняет интерферометр, достигая в итоге атмосферного давления. При этом из центра фокальной плоскости линзы L2 «вырастают» 10 новых интерференционных колец. Основываясь на этом факте, рассчитайте коэффициент преломления воздуха $n_{air}$ при атмосферном давлении."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n В магнитном поле уровни энергии атома натрия расщепляются. Это явление называется эффектом Зеемана. Сдвиг уровня энергии:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\begin{equation*}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\Delta E = m_j g_k \\mu_B B,"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\end{equation*}где магнитное квантовое число $m_j$ может принимать значения $J$, $J-1$, ..., $-J+1$, $-J$, ($J$ — орбитальное квантовое число), $g_k$ — множитель Ландау, $\\mu_B = \\frac{h e}{4 \\pi m_e}$, $h$ — постоянная Планка, $e$ — элементарный заряд, $m_e$ — масса электрона, $B$ — индукция магнитного поля. Как показано на рис. 3, линия D1 излучается при переходе атома натрия с уровня ${}^2P_{1/2}$ на ${}^2S_{1/2}$, для которых $J = 1/2$. Таким образом, в магнитном поле каждый из уровней расщепляется на два подуровня (рис. 3). Обозначим расстояния между расщепившимися подуровнями энергий $\\Delta E_1$ для уровня ${}^2P_{1/2}$ и $\\Delta E_2$ для уровня ${}^2S_{1/2}$ ($\\Delta E_1 < \\Delta E_2$). В результате линия D1 расщепляется на 4 спектральных линии (a, b, c, d) как показано на рис. 3."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/9e6dd3772286d8e042a8.webp","alt":"apho-2015-t3 statement: original source diagram 3"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 3"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A4\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Запишите выражения для частот ($\\nu$) всех четырёх линий."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A5\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n После включения магнитного поля, каждое интерференционное кольцо линии D1 расщепляется на 4 кольца: 1, 2, 3, 4 (см. рис. 4). Диаметры колец, произошедших от самого маленького интерференционного кольца, равны $D_1$, $D_2$, $D_3$ и $D_4$. Получите выражения для расстояний между подуровнями $\\Delta E_1$ уровня ${}^2P_{1/2}$ и $\\Delta E_2$ уровня ${}^2S_{1/2}$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/ca50be1c1a4250e7d143.webp","alt":"apho-2015-t3 statement: original source diagram 4"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 4"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A6\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n\n\n\n\tДля магнитного поля $B = 0.1~Тл$, диаметры расщепившихся колец равны: $D_1 = 3.88~мм$, $D_2 = 4.05~мм$, $D_3 = 4.35~ мм$, $D_4 = 4.51~мм$."},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Рассчитайте множители Ландау $g_{k1}$ для уровня ${}^2P_{1/2}$ и $g_{k2}$ для уровня ${}^2S_{1/2}$."}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A7\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Магнитное поле солнца можно определить по измерению расщеплению Зеемана натриевой линии D1 солнца. При наблюдении спектра солнца было установлено, что разница длин волн между самой коротковолновой и самой длинноволновой линиями в расщеплении равна $0.012~нм$. Определите магнитное поле $B$ солнца."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A8\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Излучение полупроводникового лазера с длиной волны $\\lambda = 650~нм$ и спектральной шириной $\\Delta \\lambda = 20~нм$ попадает в вакуумированный интерферометр Фабри-Перо под углом $\\theta = 0$. Рассчитайте количество спектральных линий и их спектральную ширину $\\Delta \\nu$ на выходе из интерферометра."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]}]}],"text":"Интерферометр Фабри-Перо (рис. 1) состоит из двух стеклянных пластин с высоко-отражающими покрытиями внутренних сторон, параллельных друг другу. В пространстве между пластинами свет может многократно переотражаться. Внешние стороны пластин не вполне параллельны внутренним, отражением от них можно пренебречь. Интерферометр можно использовать, например, для измерения плотности воздуха, который в него нагнетают. Свет от натриевой лампы, расположенной в фокусе линзы (коллиматоре), проходит через интерферометр. Пропускная способность интерферометра для пучка параллельных лучей: \\begin{equation*} T = \\frac{1}{1 + F \\sin^2 ({\\delta}/{2})}, \\end{equation*} где $F = {4R}/{(1-R)^2}$, $R$ — коэффициент отражения внутренних поверхностей, $\\delta = {4 \\pi n t \\cos \\theta}/{\\lambda}$, $n$ — коэффициент преломления воздуха в интерферометре, $t$ — расстояние между отражающими поверхностями, $\\theta$ — расстояние между отражающими поверхностями, $\\lambda$ — длина волны. Рис. 1 Натриевая лампа испускает две спектральные линии D1 ($\\lambda = 589.6~нм$) и D2 ($\\lambda = 589.0~нм$) и расположена между полюсами электромагнита, который вначале выключен. Оптический фильтр F1 пропускает только линию D1. В микроскоп, настроенный на фокальную плоскость линзы L2, фокусное расстояние которой $f = 30~см$, наблюдаются интерференционные кольца. Положим коэффициент отражения $R = 90 \\%$ и расстояние $t = 10~мм$. Физические константы: $h = 6.626 \\cdot 10^{-34} ~Дж \\cdot с$, $e = 1.6 \\cdot 10^{-19}~ Кл$, $m_e = 9.1 \\cdot 10^{-31}~ кг$, $c = 3.0 \\cdot 10^8~ м/c$. A1 1.50 Рассчитайте для линии D1 ($\\lambda = 589.6~нм$) в случае вакуума ($n = 1.0$) порядок интерференции $m_i$, угол падения $\\theta_i$ и диаметр $D_i$ для первых трёх светлых колец $i = 1, 2, 3$. A2 1.50 Как показано на рис. 2, ширина $\\varepsilon$ спектральной линии определяется на половине высоты графика зависимости пропускающей способности от фазового сдвига $\\delta$. Разрешающая способность интерферометра Фабри-Перо определяется так: cпектральные линии $\\lambda$ и $\\lambda + \\Delta \\lambda$ считаются разрешёнными, если разница $\\Delta \\delta$ между фазовыми сдвигами, соответствующих максимумам спектральных линий, больше $\\varepsilon$ (рис. 2). Таким образом разрешающая способность интерферометра равна $\\lambda/\\Delta \\lambda$ при $\\Delta \\delta = \\varepsilon$. Для вакуумированного интерферометра, линии D1 ($\\lambda = 589.6~нм$) и угла падения $\\theta = 0$ рассчитайте ширину спектрально линии $\\varepsilon$ и разрешающую способность $\\lambda/\\Delta \\lambda$ интерферометра. Рис. 2 A3 0.50 Пусть в начальный момент давление воздуха в интерферометре равно нулю, т.е. между пластинами интерферометра вакуум ($n = 1.0$). Вентиль (рис. 1) медленно открывают, и воздух постепенно заполняет интерферометр, достигая в итоге атмосферного давления. При этом из центра фокальной плоскости линзы L2 «вырастают» 10 новых интерференционных колец. Основываясь на этом факте, рассчитайте коэффициент преломления воздуха $n_{air}$ при атмосферном давлении. В магнитном поле уровни энергии атома натрия расщепляются. Это явление называется эффектом Зеемана. Сдвиг уровня энергии: \\begin{equation*} \\Delta E = m_j g_k \\mu_B B, \\end{equation*}где магнитное квантовое число $m_j$ может принимать значения $J$, $J-1$, ..., $-J+1$, $-J$, ($J$ — орбитальное квантовое число), $g_k$ — множитель Ландау, $\\mu_B = \\frac{h e}{4 \\pi m_e}$, $h$ — постоянная Планка, $e$ — элементарный заряд, $m_e$ — масса электрона, $B$ — индукция магнитного поля. Как показано на рис. 3, линия D1 излучается при переходе атома натрия с уровня ${}^2P_{1/2}$ на ${}^2S_{1/2}$, для которых $J = 1/2$. Таким образом, в магнитном поле каждый из уровней расщепляется на два подуровня (рис. 3). Обозначим расстояния между расщепившимися подуровнями энергий $\\Delta E_1$ для уровня ${}^2P_{1/2}$ и $\\Delta E_2$ для уровня ${}^2S_{1/2}$ ($\\Delta E_1 < \\Delta E_2$). В результате линия D1 расщепляется на 4 спектральных линии (a, b, c, d) как показано на рис. 3. Рис. 3 A4 1.00 Запишите выражения для частот ($\\nu$) всех четырёх линий. A5 1.50 После включения магнитного поля, каждое интерференционное кольцо линии D1 расщепляется на 4 кольца: 1, 2, 3, 4 (см. рис. 4). Диаметры колец, произошедших от самого маленького интерференционного кольца, равны $D_1$, $D_2$, $D_3$ и $D_4$. Получите выражения для расстояний между подуровнями $\\Delta E_1$ уровня ${}^2P_{1/2}$ и $\\Delta E_2$ уровня ${}^2S_{1/2}$. Рис. 4 A6 1.50 Для магнитного поля $B = 0.1~Тл$, диаметры расщепившихся колец равны: $D_1 = 3.88~мм$, $D_2 = 4.05~мм$, $D_3 = 4.35~ мм$, $D_4 = 4.51~мм$. Рассчитайте множители Ландау $g_{k1}$ для уровня ${}^2P_{1/2}$ и $g_{k2}$ для уровня ${}^2S_{1/2}$. A7 1.00 Магнитное поле солнца можно определить по измерению расщеплению Зеемана натриевой линии D1 солнца. При наблюдении спектра солнца было установлено, что разница длин волн между самой коротковолновой и самой длинноволновой линиями в расщеплении равна $0.012~нм$. Определите магнитное поле $B$ солнца. A8 1.50 Излучение полупроводникового лазера с длиной волны $\\lambda = 650~нм$ и спектральной шириной $\\Delta \\lambda = 20~нм$ попадает в вакуумированный интерферометр Фабри-Перо под углом $\\theta = 0$. Рассчитайте количество спектральных линий и их спектральную ширину $\\Delta \\nu$ на выходе из интерферометра.\n","figures":["/corpus/figures/f209f6e3b3f3340987a8.webp","/corpus/figures/ad904bfea97bdff01bf9.webp","/corpus/figures/9e6dd3772286d8e042a8.webp","/corpus/figures/ca50be1c1a4250e7d143.webp"],"shared":false},"solution":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Рассчитайте для линии D1 ($\\lambda = 589.6~нм$) в случае вакуума ($n = 1.0$) порядок интерференции $m_i$, угол падения $\\theta_i$ и диаметр $D_i$ для первых трёх светлых колец $i = 1, 2, 3$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Как показано на рис. 2, ширина $\\varepsilon$ спектральной линии определяется на половине высоты графика зависимости пропускающей способности от фазового сдвига $\\delta$. Разрешающая способность интерферометра Фабри-Перо определяется так: cпектральные линии $\\lambda$ и $\\lambda + \\Delta \\lambda$ считаются разрешёнными, если разница $\\Delta \\delta$ между фазовыми сдвигами, соответствующих максимумам спектральных линий, больше $\\varepsilon$ (рис. 2). Таким образом разрешающая способность интерферометра равна $\\lambda/\\Delta \\lambda$ при $\\Delta \\delta = \\varepsilon$. Для вакуумированного интерферометра, линии D1 ($\\lambda = 589.6~нм$) и угла падения $\\theta = 0$ рассчитайте ширину спектрально линии $\\varepsilon$ и разрешающую способность $\\lambda/\\Delta \\lambda$ интерферометра."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Пусть в начальный момент давление воздуха в интерферометре равно нулю, т.е. между пластинами интерферометра вакуум ($n = 1.0$). Вентиль (рис. 1) медленно открывают, и воздух постепенно заполняет интерферометр, достигая в итоге атмосферного давления. При этом из центра фокальной плоскости линзы L2 «вырастают» 10 новых интерференционных колец. Основываясь на этом факте, рассчитайте коэффициент преломления воздуха $n_{air}$ при атмосферном давлении."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A4\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Запишите выражения для частот ($\\nu$) всех четырёх линий."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A5\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n После включения магнитного поля, каждое интерференционное кольцо линии D1 расщепляется на 4 кольца: 1, 2, 3, 4 (см. рис. 4). Диаметры колец, произошедших от самого маленького интерференционного кольца, равны $D_1$, $D_2$, $D_3$ и $D_4$. Получите выражения для расстояний между подуровнями $\\Delta E_1$ уровня ${}^2P_{1/2}$ и $\\Delta E_2$ уровня ${}^2S_{1/2}$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A6\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n\n\n\n\tДля магнитного поля $B = 0.1~Тл$, диаметры расщепившихся колец равны: $D_1 = 3.88~мм$, $D_2 = 4.05~мм$, $D_3 = 4.35~ мм$, $D_4 = 4.51~мм$."},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"Рассчитайте множители Ландау $g_{k1}$ для уровня ${}^2P_{1/2}$ и $g_{k2}$ для уровня ${}^2S_{1/2}$."}]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A7\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Магнитное поле солнца можно определить по измерению расщеплению Зеемана натриевой линии D1 солнца. При наблюдении спектра солнца было установлено, что разница длин волн между самой коротковолновой и самой длинноволновой линиями в расщеплении равна $0.012~нм$. Определите магнитное поле $B$ солнца."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A8\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Излучение полупроводникового лазера с длиной волны $\\lambda = 650~нм$ и спектральной шириной $\\Delta \\lambda = 20~нм$ попадает в вакуумированный интерферометр Фабри-Перо под углом $\\theta = 0$. Рассчитайте количество спектральных линий и их спектральную ширину $\\Delta \\nu$ на выходе из интерферометра."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]}],"text":"A1 1.50 Рассчитайте для линии D1 ($\\lambda = 589.6~нм$) в случае вакуума ($n = 1.0$) порядок интерференции $m_i$, угол падения $\\theta_i$ и диаметр $D_i$ для первых трёх светлых колец $i = 1, 2, 3$.\nA2 1.50 Как показано на рис. 2, ширина $\\varepsilon$ спектральной линии определяется на половине высоты графика зависимости пропускающей способности от фазового сдвига $\\delta$. Разрешающая способность интерферометра Фабри-Перо определяется так: cпектральные линии $\\lambda$ и $\\lambda + \\Delta \\lambda$ считаются разрешёнными, если разница $\\Delta \\delta$ между фазовыми сдвигами, соответствующих максимумам спектральных линий, больше $\\varepsilon$ (рис. 2). Таким образом разрешающая способность интерферометра равна $\\lambda/\\Delta \\lambda$ при $\\Delta \\delta = \\varepsilon$. Для вакуумированного интерферометра, линии D1 ($\\lambda = 589.6~нм$) и угла падения $\\theta = 0$ рассчитайте ширину спектрально линии $\\varepsilon$ и разрешающую способность $\\lambda/\\Delta \\lambda$ интерферометра.\nA3 0.50 Пусть в начальный момент давление воздуха в интерферометре равно нулю, т.е. между пластинами интерферометра вакуум ($n = 1.0$). Вентиль (рис. 1) медленно открывают, и воздух постепенно заполняет интерферометр, достигая в итоге атмосферного давления. При этом из центра фокальной плоскости линзы L2 «вырастают» 10 новых интерференционных колец. Основываясь на этом факте, рассчитайте коэффициент преломления воздуха $n_{air}$ при атмосферном давлении.\nA4 1.00 Запишите выражения для частот ($\\nu$) всех четырёх линий.\nA5 1.50 После включения магнитного поля, каждое интерференционное кольцо линии D1 расщепляется на 4 кольца: 1, 2, 3, 4 (см. рис. 4). Диаметры колец, произошедших от самого маленького интерференционного кольца, равны $D_1$, $D_2$, $D_3$ и $D_4$. Получите выражения для расстояний между подуровнями $\\Delta E_1$ уровня ${}^2P_{1/2}$ и $\\Delta E_2$ уровня ${}^2S_{1/2}$.\nA6 1.50 Для магнитного поля $B = 0.1~Тл$, диаметры расщепившихся колец равны: $D_1 = 3.88~мм$, $D_2 = 4.05~мм$, $D_3 = 4.35~ мм$, $D_4 = 4.51~мм$. Рассчитайте множители Ландау $g_{k1}$ для уровня ${}^2P_{1/2}$ и $g_{k2}$ для уровня ${}^2S_{1/2}$.\nA7 1.00 Магнитное поле солнца можно определить по измерению расщеплению Зеемана натриевой линии D1 солнца. При наблюдении спектра солнца было установлено, что разница длин волн между самой коротковолновой и самой длинноволновой линиями в расщеплении равна $0.012~нм$. Определите магнитное поле $B$ солнца.\nA8 1.50 Излучение полупроводникового лазера с длиной волны $\\lambda = 650~нм$ и спектральной шириной $\\Delta \\lambda = 20~нм$ попадает в вакуумированный интерферометр Фабри-Перо под углом $\\theta = 0$. Рассчитайте количество спектральных линий и их спектральную ширину $\\Delta \\nu$ на выходе из интерферометра.","figures":[],"shared":false}},{"id":"apho-2006-t2","importedOn":"2026-10-28","language":"ru","sources":[{"url":"https://pho.rs/p/3149","kind":"statement"},{"url":"https://pho.rs/p/3149/s","kind":"solution"}],"statement":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Введение"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n При исследовании характера движения механических систем часто удобно использовать воображаемое пространство, по осям которого откладываются координаты и импульсы всех материальных точек системы (или их скорости, т.е. производные от координат по времени), – фазовое пространство. Каждая точка этого воображаемого пространства, называемая изображающей точкой, полностью задает некоторое состояние системы. \r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"При движении механической системы ее изображающая точка описывает в фазовом пространстве некоторую кривую, называемую фазовой траекторией. Направление движения изображающей точки указывается стрелкой на фазовой траектории. Набор всех возможных фазовых траекторий данной системы называют ее фазовым портретом. Анализ этого фазового портрета позволяет выяснить важные качественные особенности движения системы без решения уравнений движения системы в явном виде. В ряде случаев использование фазового пространства является самым адекватным методом рассмотрения и решения проблемы.\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"В данной задаче мы предлагаем использовать фазовое пространство для анализа различных механических систем с одной степенью свободы, т.е. описываемых только одной координатой. В этом случае фазовое пространство является плоскостью. Фазовые траектории в этом случае задаются зависимостью импульса точки от ее координаты (или наоборот).\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Например, фазовый портрет свободной частицы движущейся вдоль оси $x$ будет выглядеть следующим образом (рис. 1):\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/49bf1ec4406331e00065.webp","alt":"apho-2006-t2 statement: original source diagram 1"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Фазовый портрет свободной частицы"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть A. Фазовые портреты (3 балла)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Нарисуйте качественно фазовую траекторию свободной частицы, движущейся между двумя параллельными упруго отражающими стенками, расположенными в точках с координатами $x = - L/2$ и $x =\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"L/2$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Исследуйте фазовые траектории гармонического осциллятора, т.е. частицы с массой $m$, на которую действует упругая сила $F = -k x$.\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Найдите уравнение фазовой траектории и параметры этой траектории. Нарисуйте качественно пример фазовой траектории гармонического осциллятора.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Рассмотрим точечную частицу массы $m$, подвешенную на невесомом, абсолютно твердом стержне длины $L$ в поле тяжести земли. В качестве координаты в этом случае удобно выбирать угол отклонения стержня от вертикали $\\alpha$. В качестве фазовой плоскости можно выбрать плоскость с координатами ($\\alpha$, $d\\alpha/dt$).\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Исследуйте качественно фазовый портрет этого математического маятника при произвольных углах отклонения $\\alpha$ и нарисуйте его. Сколько качественно различных типов $K$ фазовых траекторий существует у этой системы? Найдите условия, которыми определяются эти различные типы фазовых траекторий. Можете не рассматривать в качестве фазовых траекторий сами точки равновесия.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть B. Осциллятор с трением скольжения (7 баллов)"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n При учете сил сопротивления мы сталкиваемся с двумя различными видами сил трения. В первом случае сила трения зависят от величины скорости – вязкое трение – и описываются выражением $\\vec{F}_{тр} = -\\gamma \\vec{v}$. Во втором случае сила трения не зависит от величины скорости, определяется коэффициентом трения $F_{тр} = \\mu N$ и направлена против относительной скорости соприкасающихся тел – сила трения скольжения. Первый случай реализуется при движении тела в газах или жидкостях. Второй – при скольжении одного тела по поверхности другого.\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"В качестве примера второго случая рассмотрите тело на пружине на горизонтальной плоскости с трением. Масса тела равна $m$, коэффициент упругости пружины равен $k$, коэффициент трения скольжения тела о плоскость равен $\\mu$. Тело движется по прямой линии, которую можно считать осью $x$ (положение тела при $x = 0$ соответствует нерастянутой пружине). В начальный момент тело расположено в точке $x=A_0$ с нулевой скоростью.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Запишите уравнение движения гармонического осциллятора, на который действует сила трения скольжения.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 2.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Нарисуйте качественно фазовую траекторию.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Останавливается ли тело в положении, когда пружина не растянута? Если нет, то какова ширина области, в которой может остановиться тело?\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B4\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Найдите величину изменения максимального отклонения осциллятора в положительном направлении $x$ в течение одного полного колебания $\\Delta A$. Найдите время между двумя последовательными максимальными отклонениями в положительном направлении. Найдите также зависимость этого максимального отклонения от времени $A(t_n)$, где $t_n$ – время достижения $n$-ого максимума.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            B5\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Нарисуйте качественно график зависимости координаты от времени $x(t)$ и оцените число $N$ совершаемых телом колебаний.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Указание: Уравнение эллипса с центром в начале координат с полуосями $a$ и $b$ имеет вид:\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\begin{equation*}\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"    \\frac{x^2}{a^2} + \\frac{y^2}{b^2} = 1.\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\end{equation*}\n\n                    \n                \n                "}]}]}]}]}],"text":"Введение При исследовании характера движения механических систем часто удобно использовать воображаемое пространство, по осям которого откладываются координаты и импульсы всех материальных точек системы (или их скорости, т.е. производные от координат по времени), – фазовое пространство. Каждая точка этого воображаемого пространства, называемая изображающей точкой, полностью задает некоторое состояние системы. При движении механической системы ее изображающая точка описывает в фазовом пространстве некоторую кривую, называемую фазовой траекторией. Направление движения изображающей точки указывается стрелкой на фазовой траектории. Набор всех возможных фазовых траекторий данной системы называют ее фазовым портретом. Анализ этого фазового портрета позволяет выяснить важные качественные особенности движения системы без решения уравнений движения системы в явном виде. В ряде случаев использование фазового пространства является самым адекватным методом рассмотрения и решения проблемы. В данной задаче мы предлагаем использовать фазовое пространство для анализа различных механических систем с одной степенью свободы, т.е. описываемых только одной координатой. В этом случае фазовое пространство является плоскостью. Фазовые траектории в этом случае задаются зависимостью импульса точки от ее координаты (или наоборот). Например, фазовый портрет свободной частицы движущейся вдоль оси $x$ будет выглядеть следующим образом (рис. 1): Фазовый портрет свободной частицы Часть A. Фазовые портреты (3 балла) A1 0.50 Нарисуйте качественно фазовую траекторию свободной частицы, движущейся между двумя параллельными упруго отражающими стенками, расположенными в точках с координатами $x = - L/2$ и $x = L/2$. A2 1.00 Исследуйте фазовые траектории гармонического осциллятора, т.е. частицы с массой $m$, на которую действует упругая сила $F = -k x$. Найдите уравнение фазовой траектории и параметры этой траектории. Нарисуйте качественно пример фазовой траектории гармонического осциллятора. Рассмотрим точечную частицу массы $m$, подвешенную на невесомом, абсолютно твердом стержне длины $L$ в поле тяжести земли. В качестве координаты в этом случае удобно выбирать угол отклонения стержня от вертикали $\\alpha$. В качестве фазовой плоскости можно выбрать плоскость с координатами ($\\alpha$, $d\\alpha/dt$). A3 1.50 Исследуйте качественно фазовый портрет этого математического маятника при произвольных углах отклонения $\\alpha$ и нарисуйте его. Сколько качественно различных типов $K$ фазовых траекторий существует у этой системы? Найдите условия, которыми определяются эти различные типы фазовых траекторий. Можете не рассматривать в качестве фазовых траекторий сами точки равновесия. Часть B. Осциллятор с трением скольжения (7 баллов) При учете сил сопротивления мы сталкиваемся с двумя различными видами сил трения. В первом случае сила трения зависят от величины скорости – вязкое трение – и описываются выражением $\\vec{F}_{тр} = -\\gamma \\vec{v}$. Во втором случае сила трения не зависит от величины скорости, определяется коэффициентом трения $F_{тр} = \\mu N$ и направлена против относительной скорости соприкасающихся тел – сила трения скольжения. Первый случай реализуется при движении тела в газах или жидкостях. Второй – при скольжении одного тела по поверхности другого. В качестве примера второго случая рассмотрите тело на пружине на горизонтальной плоскости с трением. Масса тела равна $m$, коэффициент упругости пружины равен $k$, коэффициент трения скольжения тела о плоскость равен $\\mu$. Тело движется по прямой линии, которую можно считать осью $x$ (положение тела при $x = 0$ соответствует нерастянутой пружине). В начальный момент тело расположено в точке $x=A_0$ с нулевой скоростью. B1 1.00 Запишите уравнение движения гармонического осциллятора, на который действует сила трения скольжения. B2 2.00 Нарисуйте качественно фазовую траекторию. B3 1.00 Останавливается ли тело в положении, когда пружина не растянута? Если нет, то какова ширина области, в которой может остановиться тело? B4 1.50 Найдите величину изменения максимального отклонения осциллятора в положительном направлении $x$ в течение одного полного колебания $\\Delta A$. Найдите время между двумя последовательными максимальными отклонениями в положительном направлении. Найдите также зависимость этого максимального отклонения от времени $A(t_n)$, где $t_n$ – время достижения $n$-ого максимума. B5 1.00 Нарисуйте качественно график зависимости координаты от времени $x(t)$ и оцените число $N$ совершаемых телом колебаний. Указание: Уравнение эллипса с центром в начале координат с полуосями $a$ и $b$ имеет вид: \\begin{equation*} \\frac{x^2}{a^2} + \\frac{y^2}{b^2} = 1. \\end{equation*}\n","figures":["/corpus/figures/49bf1ec4406331e00065.webp"],"shared":false},"solution":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Нарисуйте качественно фазовую траекторию свободной частицы, движущейся между двумя параллельными упруго отражающими стенками, расположенными в точках с координатами $x = - L/2$ и $x =\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"L/2$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Исследуйте фазовые траектории гармонического осциллятора, т.е. частицы с массой $m$, на которую действует упругая сила $F = -k x$.\r"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Найдите уравнение фазовой траектории и параметры этой траектории. Нарисуйте качественно пример фазовой траектории гармонического осциллятора.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Исследуйте качественно фазовый портрет этого математического маятника при произвольных углах отклонения $\\alpha$ и нарисуйте его. Сколько качественно различных типов $K$ фазовых траекторий существует у этой системы? Найдите условия, которыми определяются эти различные типы фазовых траекторий. Можете не рассматривать в качестве фазовых траекторий сами точки равновесия.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Запишите уравнение движения гармонического осциллятора, на который действует сила трения скольжения.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 2.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Нарисуйте качественно фазовую траекторию.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Останавливается ли тело в положении, когда пружина не растянута? Если нет, то какова ширина области, в которой может остановиться тело?\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B4\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Найдите величину изменения максимального отклонения осциллятора в положительном направлении $x$ в течение одного полного колебания $\\Delta A$. Найдите время между двумя последовательными максимальными отклонениями в положительном направлении. Найдите также зависимость этого максимального отклонения от времени $A(t_n)$, где $t_n$ – время достижения $n$-ого максимума.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                B5\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Нарисуйте качественно график зависимости координаты от времени $x(t)$ и оцените число $N$ совершаемых телом колебаний.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]}],"text":"A1 0.50 Нарисуйте качественно фазовую траекторию свободной частицы, движущейся между двумя параллельными упруго отражающими стенками, расположенными в точках с координатами $x = - L/2$ и $x = L/2$.\nA2 1.00 Исследуйте фазовые траектории гармонического осциллятора, т.е. частицы с массой $m$, на которую действует упругая сила $F = -k x$. Найдите уравнение фазовой траектории и параметры этой траектории. Нарисуйте качественно пример фазовой траектории гармонического осциллятора.\nA3 1.50 Исследуйте качественно фазовый портрет этого математического маятника при произвольных углах отклонения $\\alpha$ и нарисуйте его. Сколько качественно различных типов $K$ фазовых траекторий существует у этой системы? Найдите условия, которыми определяются эти различные типы фазовых траекторий. Можете не рассматривать в качестве фазовых траекторий сами точки равновесия.\nB1 1.00 Запишите уравнение движения гармонического осциллятора, на который действует сила трения скольжения.\nB2 2.00 Нарисуйте качественно фазовую траекторию.\nB3 1.00 Останавливается ли тело в положении, когда пружина не растянута? Если нет, то какова ширина области, в которой может остановиться тело?\nB4 1.50 Найдите величину изменения максимального отклонения осциллятора в положительном направлении $x$ в течение одного полного колебания $\\Delta A$. Найдите время между двумя последовательными максимальными отклонениями в положительном направлении. Найдите также зависимость этого максимального отклонения от времени $A(t_n)$, где $t_n$ – время достижения $n$-ого максимума.\nB5 1.00 Нарисуйте качественно график зависимости координаты от времени $x(t)$ и оцените число $N$ совершаемых телом колебаний.","figures":[],"shared":false}},{"id":"apho-2014-t2","importedOn":"2026-10-28","language":"ru","sources":[{"url":"https://pho.rs/p/3290","kind":"statement"},{"url":"https://pho.rs/p/3290/s","kind":"solution"}],"statement":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"text","text":"\n                        \n                        \n Двухлучевую дифракцию электронов впервые наблюдали Мерли-Миссироли с Пози в 1974 году и Тономура с сотрудниками в 1989 году. В эксперименте по дифракции электронов точечный источник $S$ испускает монохроматические электроны, которые сначала проходят через электронную «бипризму», а затем попадают в плоскость наблюдения. Электронная «бипризма» состоит из заземлённой цилиндрической проволочной сетки и очень тонкой проволочки $F$ в её центре. "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Пусть $l$ — расстояние между проволочкой $F$ и источником $S$; $d$ — расстояние между мнимыми источниками $S_1$ и $S_2$; $L$ — расстояние между проволочкой $F$ и плоскостью наблюдения (экраном).\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/02bbbae5a8f5d78fe664.webp","alt":"apho-2014-t2 statement: original source diagram 1"}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            a\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 2.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Пусть начало координат $O$ находится на оси проволочки. Получите выражение для потенциала в произвольной точке плоскости $(x, z)$, выразив его через $V_a$, $a$ и $b$, где $V_a$ — потенциал поверхности проволочки, $a$ — радиус проволочки, $b$ — радиус цилиндрической сетки.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            b\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 4.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Плоская волна приходящих электронов с волновым вектором $k_z$ отклоняется «бипризмой» вследствие $x$-компоненты силы, действующей на электроны. Запишите выражение для $k_x-x$ — компоненты волнового вектора отклонённой волны. Выразите $k_x$ через $e, v_z, V_a, k_z, a$ и $b$, где $e$ и $v_z$ — заряд и $z$-компонента скорости электронов $(k_x\\ll k_z)$. Напомним, что $\\vec k =\\frac{2\\pi\\vec p}{h}$ где $h$ — постоянная Планка.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n На пути к точке $S$ электроны испускаются источником и ускоряются разностью потенциалов $V_0$. Определите длину волны электрона, выразив её через его массу $m$, заряд $e_0$ и $V_0$.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            c.1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 2.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n пренебрегая релятивистскими эффектами;\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            c.2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 3.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n учитывая релятивистские эффекты.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n В эксперименте Тономуры с сотрудниками"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$v_z=c/2$,"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$V_a=10~В$,"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$V_0=50~кВ$,"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$a=0.5~мкм$,"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$b=5~мм$,"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$l=25~см$,"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$L=1.5~м$,"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$h=6.6\\times 10^{-34}~Дж \\cdot с$,"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"заряд электрона $-e_0=-1.6\\times 10^{-19}~Кл$,"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"масса электрона, $m=9.1\\times 10^{-31}~кг$,"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"скорость света в вакууме $c=3\\times 10^8~м/с$.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            d.1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 2.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n  вычислите величину $k_x$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            d.2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 2.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n определите расстояние между интерференционными полосами на экране.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            d.3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Увеличится или уменьшится расстояние между интерференционными полосами, если распространяющаяся волна будет не плоской, а сферической?\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            d.4\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 2.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Какую относительную погрешность в определении длины волны даёт использование нерелятивистского приближения в части (c)? Выразите ответ в процентах."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            d.5\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 2.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n  Вычислите расстояние $d$ между мнимыми источниками.\n\n                \n                "}]}]}]}]}],"text":"Двухлучевую дифракцию электронов впервые наблюдали Мерли-Миссироли с Пози в 1974 году и Тономура с сотрудниками в 1989 году. В эксперименте по дифракции электронов точечный источник $S$ испускает монохроматические электроны, которые сначала проходят через электронную «бипризму», а затем попадают в плоскость наблюдения. Электронная «бипризма» состоит из заземлённой цилиндрической проволочной сетки и очень тонкой проволочки $F$ в её центре. Пусть $l$ — расстояние между проволочкой $F$ и источником $S$; $d$ — расстояние между мнимыми источниками $S_1$ и $S_2$; $L$ — расстояние между проволочкой $F$ и плоскостью наблюдения (экраном). a 2.00 Пусть начало координат $O$ находится на оси проволочки. Получите выражение для потенциала в произвольной точке плоскости $(x, z)$, выразив его через $V_a$, $a$ и $b$, где $V_a$ — потенциал поверхности проволочки, $a$ — радиус проволочки, $b$ — радиус цилиндрической сетки. b 4.00 Плоская волна приходящих электронов с волновым вектором $k_z$ отклоняется «бипризмой» вследствие $x$-компоненты силы, действующей на электроны. Запишите выражение для $k_x-x$ — компоненты волнового вектора отклонённой волны. Выразите $k_x$ через $e, v_z, V_a, k_z, a$ и $b$, где $e$ и $v_z$ — заряд и $z$-компонента скорости электронов $(k_x\\ll k_z)$. Напомним, что $\\vec k =\\frac{2\\pi\\vec p}{h}$ где $h$ — постоянная Планка. На пути к точке $S$ электроны испускаются источником и ускоряются разностью потенциалов $V_0$. Определите длину волны электрона, выразив её через его массу $m$, заряд $e_0$ и $V_0$. c.1 2.00 пренебрегая релятивистскими эффектами; c.2 3.00 учитывая релятивистские эффекты. В эксперименте Тономуры с сотрудниками $v_z=c/2$, $V_a=10~В$, $V_0=50~кВ$, $a=0.5~мкм$, $b=5~мм$, $l=25~см$, $L=1.5~м$, $h=6.6\\times 10^{-34}~Дж \\cdot с$, заряд электрона $-e_0=-1.6\\times 10^{-19}~Кл$, масса электрона, $m=9.1\\times 10^{-31}~кг$, скорость света в вакууме $c=3\\times 10^8~м/с$. d.1 2.00 вычислите величину $k_x$. d.2 2.00 определите расстояние между интерференционными полосами на экране. d.3 1.00 Увеличится или уменьшится расстояние между интерференционными полосами, если распространяющаяся волна будет не плоской, а сферической? d.4 2.00 Какую относительную погрешность в определении длины волны даёт использование нерелятивистского приближения в части (c)? Выразите ответ в процентах. d.5 2.00 Вычислите расстояние $d$ между мнимыми источниками.\n","figures":["/corpus/figures/02bbbae5a8f5d78fe664.webp"],"shared":false},"solution":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                a\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 2.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Пусть начало координат $O$ находится на оси проволочки. Получите выражение для потенциала в произвольной точке плоскости $(x, z)$, выразив его через $V_a$, $a$ и $b$, где $V_a$ — потенциал поверхности проволочки, $a$ — радиус проволочки, $b$ — радиус цилиндрической сетки.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                b\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 4.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Плоская волна приходящих электронов с волновым вектором $k_z$ отклоняется «бипризмой» вследствие $x$-компоненты силы, действующей на электроны. Запишите выражение для $k_x-x$ — компоненты волнового вектора отклонённой волны. Выразите $k_x$ через $e, v_z, V_a, k_z, a$ и $b$, где $e$ и $v_z$ — заряд и $z$-компонента скорости электронов $(k_x\\ll k_z)$. Напомним, что $\\vec k =\\frac{2\\pi\\vec p}{h}$ где $h$ — постоянная Планка.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                c.1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 2.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n пренебрегая релятивистскими эффектами;\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                c.2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 3.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n учитывая релятивистские эффекты.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                d.1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 2.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n  вычислите величину $k_x$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                d.2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 2.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n определите расстояние между интерференционными полосами на экране.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                d.3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Увеличится или уменьшится расстояние между интерференционными полосами, если распространяющаяся волна будет не плоской, а сферической?\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                d.4\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 2.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Какую относительную погрешность в определении длины волны даёт использование нерелятивистского приближения в части (c)? Выразите ответ в процентах."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                d.5\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 2.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n  Вычислите расстояние $d$ между мнимыми источниками.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]}],"text":"a 2.00 Пусть начало координат $O$ находится на оси проволочки. Получите выражение для потенциала в произвольной точке плоскости $(x, z)$, выразив его через $V_a$, $a$ и $b$, где $V_a$ — потенциал поверхности проволочки, $a$ — радиус проволочки, $b$ — радиус цилиндрической сетки.\nb 4.00 Плоская волна приходящих электронов с волновым вектором $k_z$ отклоняется «бипризмой» вследствие $x$-компоненты силы, действующей на электроны. Запишите выражение для $k_x-x$ — компоненты волнового вектора отклонённой волны. Выразите $k_x$ через $e, v_z, V_a, k_z, a$ и $b$, где $e$ и $v_z$ — заряд и $z$-компонента скорости электронов $(k_x\\ll k_z)$. Напомним, что $\\vec k =\\frac{2\\pi\\vec p}{h}$ где $h$ — постоянная Планка.\nc.1 2.00 пренебрегая релятивистскими эффектами;\nc.2 3.00 учитывая релятивистские эффекты.\nd.1 2.00 вычислите величину $k_x$.\nd.2 2.00 определите расстояние между интерференционными полосами на экране.\nd.3 1.00 Увеличится или уменьшится расстояние между интерференционными полосами, если распространяющаяся волна будет не плоской, а сферической?\nd.4 2.00 Какую относительную погрешность в определении длины волны даёт использование нерелятивистского приближения в части (c)? Выразите ответ в процентах.\nd.5 2.00 Вычислите расстояние $d$ между мнимыми источниками.","figures":[],"shared":false}},{"id":"apho-2014-t3","importedOn":"2026-10-28","language":"ru","sources":[{"url":"https://pho.rs/p/3296","kind":"statement"},{"url":"https://pho.rs/p/3296/s","kind":"solution"}],"statement":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"text","text":"\n                        \n                        \n Гравитационным линзированием называется явление, в котором вследствие кривизны пространства-времени свет, распространяющийся от удаленного источника, может отклоняться массивным линзирующим объектом, расположенным на прямой между удаленным объектом и наблюдателем или близко к этой прямой. Это явление впервые наблюдалось во время солнечного затмения в 1919 году, когда было обнаружено, что наблюдаемое положение звезд, находящихся за Солнцем, отличается от их астрономических положений. Ранее это было предсказано Эйнштейном."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"В случае, когда наблюдатель, линзирующий объект массы $M$, и источник находятся на одной прямой, свет источника отклоняется на угол $\\alpha$ (в радианах) согласно формуле"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\\alpha= \\frac{4GM}{r_E c^2}$$где $G$ – гравитационная постоянная $(6.67 \\times 10^{-11}Nm^2kg^{-2})$, $c$ — скорость света $(3.00\\times10^{-8}ms^{-1})$, $r_E$ — эйнштейновский радиус — наименьшее расстояние между линзирующим объектом и траекторией луча света.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            a\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 4.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Схематично изобразите идеальную линзирующую систему (наблюдатель, линза и источник находятся на одной прямой). Покажите ход луча и укажите на схеме $\\alpha$ и $r_E$. Также укажите угловой эйнштейновский радиус $\\theta_E$ (угловое отклонение изображения источника при его наблюдении с Земли), а также другие величины, которые может измерить наблюдатель, находящийся на Земле.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            b\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 2.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Схематично покажите изображение источника (например, звезды), как это видно наблюдателю, находящемуся на Земле в случае, когда наблюдатель, линза и источник находятся на одной прямой.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            c\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 3.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Схематично покажите изображение источника (например, звезды), как это видно наблюдателю, находящемуся на Земле в случае, когда наблюдатель, линза и источник находятся не на одной прямой. На эскизе изобразите источник и линзирующую систему, чтобы пояснить, почему это так. "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Гравитационное линзирование было предложено в качестве метода обнаружения массивных компактных объектов в нашей галактике, которые могут быть кандидатами на темную материю. Обычно этими объектами являются остатки потухших звезд, такие как нейтронные звезды и черные дыры. Так как звезды и данные объекты движутся по орбитам в пределах галактики, существует вероятность того, что линзирующий объект может образоваться если нейтронная звезда или черная дыра находится на линии наблюдения перед далеко расположенной звездой."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            d\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 3.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Радиусом Шварцшильда черной дыры определяет точку невозврата. Выражение для радиуса Шварцшильда может быть получено если его считать радиусом для которого вторая космическая скорость равна скорости света. Это означает, что ничто, находящееся внутри радиуса Шварцшильда не может покинуть черную дыру. "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Используя механику Ньютона, выведите формулу для второй космической скорости (скорости ухода от точечной массы $M$ с расстояния $r$). Из этого выведите выражение для радиуса Шварцшильда для точечного объекта массой $M$. Выразите его через гравитационную постоянную $G$ и скорость света $c$. Четко укажите последовательность ваших действий (при этом получается точное выражение для радиуса Шварцшильда, как это следует из общей теории относительности)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            e\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n В случае, когда источник, «линза» и наблюдатель находятся на одной прямой, и измерены значения $\\alpha$ и $r_E$, получите выражение для радиуса Шварцшильда линзирующего объекта.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            f\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 2.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Рассмотрим случай, когда масса линзирующего объекта равна нескольким массам Солнца ($M\\sim 10^{30}~кг$) и объект находится в пределах нашей галактики (расстояние до него $D_L \\sim 10^{18}~м$), а источник находится немного подальше ($D_S \\sim$ несколько $D_L$). Какое из приведенных ниже утверждений верно? Выберите условия, которые подходят для случая, описанного выше:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"figure","children":[{"type":"element","tag":"table","children":[{"type":"element","tag":"tbody","children":[{"type":"element","tag":"tr","children":[{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$\\alpha$ — большой, и для обеспечения точности нужно учитывать $\\tan \\alpha, \\sin \\alpha, \\cos \\alpha$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$\\theta_E$ — большой, и для обеспечения точности нужно учитывать $\\tan \\theta_E, \\sin \\theta_E, \\cos \\theta_E$"}]}]},{"type":"element","tag":"tr","children":[{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$\\alpha$ — малый, и допустимы приближенные выражения для $\\tan \\alpha, \\sin \\alpha, \\cos \\alpha$"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$\\theta_E$ — малый, и допустимы приближенные выражения для $\\tan \\theta_E, \\sin \\theta_E, \\cos \\theta_E$"}]}]},{"type":"element","tag":"tr","children":[{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$\\alpha$ не нужен и его не следует вычислять"}]},{"type":"element","tag":"td","children":[{"type":"text","text":"$\\theta_E$ не нужен и его не следует вычислять"}]}]}]}]}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            g\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 3.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Используя условия, полученные в пункте (f), перепишите полученное вами выражение из пункта (e), выразив его через измеряемые величины ($\\theta_E, D_S, D_L$) для линзирующего объекта массой $M \\sim 10^{30}~кг$; расстояние до объекта $D_L \\sim 10^{18}~м$; расстояние до источника $D_S$ ($D_S \\sim$ несколько $D_L$). Приведите последовательность ваших выкладок.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            h\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 2.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Предположим, что линзирующий объект массой $6.0\\times 10^{30}~кг$ (3.0 массы Солнца), находящийся на расстоянии $2.6\\times 10^{18}~м$ от Земли, проходит перед звездой, находящейся на расстоянии $9.2 \\times 10^{18}~м$ от Земли. Чему равен радиус $\\theta_E$ (с точки зрения земного наблюдателя), когда источник, линзирующий объект и наблюдатель находятся на одной прямой.\n\n                \n                "}]}]}]}]}],"text":"Гравитационным линзированием называется явление, в котором вследствие кривизны пространства-времени свет, распространяющийся от удаленного источника, может отклоняться массивным линзирующим объектом, расположенным на прямой между удаленным объектом и наблюдателем или близко к этой прямой. Это явление впервые наблюдалось во время солнечного затмения в 1919 году, когда было обнаружено, что наблюдаемое положение звезд, находящихся за Солнцем, отличается от их астрономических положений. Ранее это было предсказано Эйнштейном. В случае, когда наблюдатель, линзирующий объект массы $M$, и источник находятся на одной прямой, свет источника отклоняется на угол $\\alpha$ (в радианах) согласно формуле $$\\alpha= \\frac{4GM}{r_E c^2}$$где $G$ – гравитационная постоянная $(6.67 \\times 10^{-11}Nm^2kg^{-2})$, $c$ — скорость света $(3.00\\times10^{-8}ms^{-1})$, $r_E$ — эйнштейновский радиус — наименьшее расстояние между линзирующим объектом и траекторией луча света. a 4.00 Схематично изобразите идеальную линзирующую систему (наблюдатель, линза и источник находятся на одной прямой). Покажите ход луча и укажите на схеме $\\alpha$ и $r_E$. Также укажите угловой эйнштейновский радиус $\\theta_E$ (угловое отклонение изображения источника при его наблюдении с Земли), а также другие величины, которые может измерить наблюдатель, находящийся на Земле. b 2.00 Схематично покажите изображение источника (например, звезды), как это видно наблюдателю, находящемуся на Земле в случае, когда наблюдатель, линза и источник находятся на одной прямой. c 3.00 Схематично покажите изображение источника (например, звезды), как это видно наблюдателю, находящемуся на Земле в случае, когда наблюдатель, линза и источник находятся не на одной прямой. На эскизе изобразите источник и линзирующую систему, чтобы пояснить, почему это так. Гравитационное линзирование было предложено в качестве метода обнаружения массивных компактных объектов в нашей галактике, которые могут быть кандидатами на темную материю. Обычно этими объектами являются остатки потухших звезд, такие как нейтронные звезды и черные дыры. Так как звезды и данные объекты движутся по орбитам в пределах галактики, существует вероятность того, что линзирующий объект может образоваться если нейтронная звезда или черная дыра находится на линии наблюдения перед далеко расположенной звездой. d 3.00 Радиусом Шварцшильда черной дыры определяет точку невозврата. Выражение для радиуса Шварцшильда может быть получено если его считать радиусом для которого вторая космическая скорость равна скорости света. Это означает, что ничто, находящееся внутри радиуса Шварцшильда не может покинуть черную дыру. Используя механику Ньютона, выведите формулу для второй космической скорости (скорости ухода от точечной массы $M$ с расстояния $r$). Из этого выведите выражение для радиуса Шварцшильда для точечного объекта массой $M$. Выразите его через гравитационную постоянную $G$ и скорость света $c$. Четко укажите последовательность ваших действий (при этом получается точное выражение для радиуса Шварцшильда, как это следует из общей теории относительности). e 1.00 В случае, когда источник, «линза» и наблюдатель находятся на одной прямой, и измерены значения $\\alpha$ и $r_E$, получите выражение для радиуса Шварцшильда линзирующего объекта. f 2.00 Рассмотрим случай, когда масса линзирующего объекта равна нескольким массам Солнца ($M\\sim 10^{30}~кг$) и объект находится в пределах нашей галактики (расстояние до него $D_L \\sim 10^{18}~м$), а источник находится немного подальше ($D_S \\sim$ несколько $D_L$). Какое из приведенных ниже утверждений верно? Выберите условия, которые подходят для случая, описанного выше: $\\alpha$ — большой, и для обеспечения точности нужно учитывать $\\tan \\alpha, \\sin \\alpha, \\cos \\alpha$ $\\theta_E$ — большой, и для обеспечения точности нужно учитывать $\\tan \\theta_E, \\sin \\theta_E, \\cos \\theta_E$ $\\alpha$ — малый, и допустимы приближенные выражения для $\\tan \\alpha, \\sin \\alpha, \\cos \\alpha$ $\\theta_E$ — малый, и допустимы приближенные выражения для $\\tan \\theta_E, \\sin \\theta_E, \\cos \\theta_E$ $\\alpha$ не нужен и его не следует вычислять $\\theta_E$ не нужен и его не следует вычислять g 3.00 Используя условия, полученные в пункте (f), перепишите полученное вами выражение из пункта (e), выразив его через измеряемые величины ($\\theta_E, D_S, D_L$) для линзирующего объекта массой $M \\sim 10^{30}~кг$; расстояние до объекта $D_L \\sim 10^{18}~м$; расстояние до источника $D_S$ ($D_S \\sim$ несколько $D_L$). Приведите последовательность ваших выкладок. h 2.00 Предположим, что линзирующий объект массой $6.0\\times 10^{30}~кг$ (3.0 массы Солнца), находящийся на расстоянии $2.6\\times 10^{18}~м$ от Земли, проходит перед звездой, находящейся на расстоянии $9.2 \\times 10^{18}~м$ от Земли. Чему равен радиус $\\theta_E$ (с точки зрения земного наблюдателя), когда источник, линзирующий объект и наблюдатель находятся на одной прямой.\n","figures":[],"shared":false},"solution":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                a\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 4.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Схематично изобразите идеальную линзирующую систему (наблюдатель, линза и источник находятся на одной прямой). Покажите ход луча и укажите на схеме $\\alpha$ и $r_E$. Также укажите угловой эйнштейновский радиус $\\theta_E$ (угловое отклонение изображения источника при его наблюдении с Земли), а также другие величины, которые может измерить наблюдатель, находящийся на Земле.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                b\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 2.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Схематично покажите изображение источника (например, звезды), как это видно наблюдателю, находящемуся на Земле в случае, когда наблюдатель, линза и источник находятся на одной прямой.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                c\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 3.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Схематично покажите изображение источника (например, звезды), как это видно наблюдателю, находящемуся на Земле в случае, когда наблюдатель, линза и источник находятся не на одной прямой. На эскизе изобразите источник и линзирующую систему, чтобы пояснить, почему это так. "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Гравитационное линзирование было предложено в качестве метода обнаружения массивных компактных объектов в нашей галактике, которые могут быть кандидатами на темную материю. Обычно этими объектами являются остатки потухших звезд, такие как нейтронные звезды и черные дыры. Так как звезды и данные объекты движутся по орбитам в пределах галактики, существует вероятность того, что линзирующий объект может образоваться если нейтронная звезда или черная дыра находится на линии наблюдения перед далеко расположенной звездой."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                d\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 3.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Радиусом Шварцшильда черной дыры определяет точку невозврата. Выражение для радиуса Шварцшильда может быть получено если его считать радиусом для которого вторая космическая скорость равна скорости света. Это означает, что ничто, находящееся внутри радиуса Шварцшильда не может покинуть черную дыру. "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Используя механику Ньютона, выведите формулу для второй космической скорости (скорости ухода от точечной массы $M$ с расстояния $r$). Из этого выведите выражение для радиуса Шварцшильда для точечного объекта массой $M$. Выразите его через гравитационную постоянную $G$ и скорость света $c$. Четко укажите последовательность ваших действий (при этом получается точное выражение для радиуса Шварцшильда, как это следует из общей теории относительности)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                e\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n В случае, когда источник, «линза» и наблюдатель находятся на одной прямой, и измерены значения $\\alpha$ и $r_E$, получите выражение для радиуса Шварцшильда линзирующего объекта.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                f\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 2.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Рассмотрим случай, когда масса линзирующего объекта равна нескольким массам Солнца ($M\\sim 10^{30}~кг$) и объект находится в пределах нашей галактики (расстояние до него $D_L \\sim 10^{18}~м$), а источник находится немного подальше ($D_S \\sim$ несколько $D_L$). Какое из приведенных ниже утверждений верно? Выберите условия, которые подходят для случая, описанного выше:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                g\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 3.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Используя условия, полученные в пункте (f), перепишите полученное вами выражение из пункта (e), выразив его через измеряемые величины ($\\theta_E, D_S, D_L$) для линзирующего объекта массой $M \\sim 10^{30}~кг$; расстояние до объекта $D_L \\sim 10^{18}~м$; расстояние до источника $D_S$ ($D_S \\sim$ несколько $D_L$). Приведите последовательность ваших выкладок.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                h\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 2.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Предположим, что линзирующий объект массой $6.0\\times 10^{30}~кг$ (3.0 массы Солнца), находящийся на расстоянии $2.6\\times 10^{18}~м$ от Земли, проходит перед звездой, находящейся на расстоянии $9.2 \\times 10^{18}~м$ от Земли. Чему равен радиус $\\theta_E$ (с точки зрения земного наблюдателя), когда источник, линзирующий объект и наблюдатель находятся на одной прямой.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]}],"text":"a 4.00 Схематично изобразите идеальную линзирующую систему (наблюдатель, линза и источник находятся на одной прямой). Покажите ход луча и укажите на схеме $\\alpha$ и $r_E$. Также укажите угловой эйнштейновский радиус $\\theta_E$ (угловое отклонение изображения источника при его наблюдении с Земли), а также другие величины, которые может измерить наблюдатель, находящийся на Земле.\nb 2.00 Схематично покажите изображение источника (например, звезды), как это видно наблюдателю, находящемуся на Земле в случае, когда наблюдатель, линза и источник находятся на одной прямой.\nc 3.00 Схематично покажите изображение источника (например, звезды), как это видно наблюдателю, находящемуся на Земле в случае, когда наблюдатель, линза и источник находятся не на одной прямой. На эскизе изобразите источник и линзирующую систему, чтобы пояснить, почему это так. Гравитационное линзирование было предложено в качестве метода обнаружения массивных компактных объектов в нашей галактике, которые могут быть кандидатами на темную материю. Обычно этими объектами являются остатки потухших звезд, такие как нейтронные звезды и черные дыры. Так как звезды и данные объекты движутся по орбитам в пределах галактики, существует вероятность того, что линзирующий объект может образоваться если нейтронная звезда или черная дыра находится на линии наблюдения перед далеко расположенной звездой.\nd 3.00 Радиусом Шварцшильда черной дыры определяет точку невозврата. Выражение для радиуса Шварцшильда может быть получено если его считать радиусом для которого вторая космическая скорость равна скорости света. Это означает, что ничто, находящееся внутри радиуса Шварцшильда не может покинуть черную дыру. Используя механику Ньютона, выведите формулу для второй космической скорости (скорости ухода от точечной массы $M$ с расстояния $r$). Из этого выведите выражение для радиуса Шварцшильда для точечного объекта массой $M$. Выразите его через гравитационную постоянную $G$ и скорость света $c$. Четко укажите последовательность ваших действий (при этом получается точное выражение для радиуса Шварцшильда, как это следует из общей теории относительности).\ne 1.00 В случае, когда источник, «линза» и наблюдатель находятся на одной прямой, и измерены значения $\\alpha$ и $r_E$, получите выражение для радиуса Шварцшильда линзирующего объекта.\nf 2.00 Рассмотрим случай, когда масса линзирующего объекта равна нескольким массам Солнца ($M\\sim 10^{30}~кг$) и объект находится в пределах нашей галактики (расстояние до него $D_L \\sim 10^{18}~м$), а источник находится немного подальше ($D_S \\sim$ несколько $D_L$). Какое из приведенных ниже утверждений верно? Выберите условия, которые подходят для случая, описанного выше:\ng 3.00 Используя условия, полученные в пункте (f), перепишите полученное вами выражение из пункта (e), выразив его через измеряемые величины ($\\theta_E, D_S, D_L$) для линзирующего объекта массой $M \\sim 10^{30}~кг$; расстояние до объекта $D_L \\sim 10^{18}~м$; расстояние до источника $D_S$ ($D_S \\sim$ несколько $D_L$). Приведите последовательность ваших выкладок.\nh 2.00 Предположим, что линзирующий объект массой $6.0\\times 10^{30}~кг$ (3.0 массы Солнца), находящийся на расстоянии $2.6\\times 10^{18}~м$ от Земли, проходит перед звездой, находящейся на расстоянии $9.2 \\times 10^{18}~м$ от Земли. Чему равен радиус $\\theta_E$ (с точки зрения земного наблюдателя), когда источник, линзирующий объект и наблюдатель находятся на одной прямой.","figures":[],"shared":false}},{"id":"apho-2013-t1","importedOn":"2026-10-28","language":"ru","sources":[{"url":"https://pho.rs/p/3348","kind":"statement"},{"url":"https://pho.rs/p/3348/s","kind":"solution"}],"statement":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"text","text":"\n                        \n                        \n В этой задаче мы будем исследовать систему, состоящую из двух проводящих тел, погруженных в однородную слабопроводящую жидкость. Если между этими телами приложить постоянную разность потенциалов, то в системе возникнут электрическое и магнитное поля.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.40"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Сначала рассмотрим находящуюся в вакууме длинную равномерно заряженную прямую нить (с линейной плотностью заряда $\\lambda$). Вычислите электрическое поле $\\vec{E} (\\vec{r})$ этой нити.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.40"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Потенциал $V(r)$ поля заряженной нити можно представить в виде"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"    \\begin{equation*}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"        V(r) = f(r) + K,"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"    \\end{equation*}где $K$ — постоянный коэффициент. Получите явный вид функции $f(r)$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.70"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Пусть две бесконечные прямые нити, равномерно заряженные с линейными плотностями $\\lambda$ и $- \\lambda$, параллельны оси $z$, имеют координаты на оси $y = 0$, а на оси $x$: $x = -b$ и $x = b$, соответственно."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Вычислите для всего пространства потенциал $V(x, y,z)$ поля этих нитей. Считайте, что в начале координат потенциал $V = 0$ . Изобразите на рисунке эквипотенциальные поверхности этого поля.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Примечание: При ответе на следующие вопросы не учитывайте краевые эффекты.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A4\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 2.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Теперь рассмотрим два одинаковых проводящих цилиндра радиуса $R = 3a$, находящихся в вакууме. Считайте, что длины $l$ обоих цилиндров одинаковы и $l \\gg R$. Оси обоих цилиндров параллельны оси $z$, лежат в плоскости $(x,z)$ и на оси $x$ имеют координаты $x = -5a$ и $x = 5a$ соответственно. Между цилиндрами с помощью батареи создана разность потенциалов $V_0$ (примите, что цилиндр с координатой $x = -5a$ имеет больший потенциал). Вычислите, пренебрегая краевыми эффектами, потенциал $V$ во всех точках пространства. Считайте, что в начале координат потенциал $V = 0$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A5\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Вычислите емкость $C$ системы цилиндров.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A6\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Пусть теперь пространство между цилиндрами заполнено слабо проводящей жидкостью с удельной проводимостью $\\sigma$. Вычислите силу тока, протекающего между цилиндрами. Считайте, что диэлектрическая проницаемость жидкости равна диэлектрической проницаемости вакуума $\\varepsilon = 1$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A7\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Вычислите сопротивление $R$ системы. Вычислите $RC$ системы.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            A8\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Вычислите магнитное поле $\\vec{B}$, созданное электрическим током (смотрите пункт A6). Считайте, что магнитная проницаемость жидкости равна магнитной проницаемости вакуума $\\mu = 1$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Примечание: $\\int \\frac{a \\, dx}{a^2 + x^2} = \\arctan \\left(\\frac{x}{a} \\right) + \\text{const}$.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]}]}],"text":"В этой задаче мы будем исследовать систему, состоящую из двух проводящих тел, погруженных в однородную слабопроводящую жидкость. Если между этими телами приложить постоянную разность потенциалов, то в системе возникнут электрическое и магнитное поля. A1 0.40 Сначала рассмотрим находящуюся в вакууме длинную равномерно заряженную прямую нить (с линейной плотностью заряда $\\lambda$). Вычислите электрическое поле $\\vec{E} (\\vec{r})$ этой нити. A2 0.40 Потенциал $V(r)$ поля заряженной нити можно представить в виде \\begin{equation*} V(r) = f(r) + K, \\end{equation*}где $K$ — постоянный коэффициент. Получите явный вид функции $f(r)$. A3 0.70 Пусть две бесконечные прямые нити, равномерно заряженные с линейными плотностями $\\lambda$ и $- \\lambda$, параллельны оси $z$, имеют координаты на оси $y = 0$, а на оси $x$: $x = -b$ и $x = b$, соответственно. Вычислите для всего пространства потенциал $V(x, y,z)$ поля этих нитей. Считайте, что в начале координат потенциал $V = 0$ . Изобразите на рисунке эквипотенциальные поверхности этого поля. Примечание: При ответе на следующие вопросы не учитывайте краевые эффекты. A4 2.00 Теперь рассмотрим два одинаковых проводящих цилиндра радиуса $R = 3a$, находящихся в вакууме. Считайте, что длины $l$ обоих цилиндров одинаковы и $l \\gg R$. Оси обоих цилиндров параллельны оси $z$, лежат в плоскости $(x,z)$ и на оси $x$ имеют координаты $x = -5a$ и $x = 5a$ соответственно. Между цилиндрами с помощью батареи создана разность потенциалов $V_0$ (примите, что цилиндр с координатой $x = -5a$ имеет больший потенциал). Вычислите, пренебрегая краевыми эффектами, потенциал $V$ во всех точках пространства. Считайте, что в начале координат потенциал $V = 0$. A5 0.50 Вычислите емкость $C$ системы цилиндров. A6 1.00 Пусть теперь пространство между цилиндрами заполнено слабо проводящей жидкостью с удельной проводимостью $\\sigma$. Вычислите силу тока, протекающего между цилиндрами. Считайте, что диэлектрическая проницаемость жидкости равна диэлектрической проницаемости вакуума $\\varepsilon = 1$. A7 0.50 Вычислите сопротивление $R$ системы. Вычислите $RC$ системы. A8 1.50 Вычислите магнитное поле $\\vec{B}$, созданное электрическим током (смотрите пункт A6). Считайте, что магнитная проницаемость жидкости равна магнитной проницаемости вакуума $\\mu = 1$. Примечание: $\\int \\frac{a \\, dx}{a^2 + x^2} = \\arctan \\left(\\frac{x}{a} \\right) + \\text{const}$.\n","figures":[],"shared":false},"solution":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.40"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Сначала рассмотрим находящуюся в вакууме длинную равномерно заряженную прямую нить (с линейной плотностью заряда $\\lambda$). Вычислите электрическое поле $\\vec{E} (\\vec{r})$ этой нити.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Теорема Гаусса:\\[\\oint\\vec E\\cdot\\mathrm d\\vec S=q/\\varepsilon_0.\\]Из соображений симметрии ясно, что у электрического поля есть только радиальная составляющая. Записав теорему Гаусса для цилиндра, ось которого совпадает с заряженной нитью, получим:\\[E\\cdot 2\\pi r\\lambda l/\\varepsilon_0,\\]откуда:\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[\\vec E(r) = \\cfrac{\\lambda}{2\\pi \\varepsilon_0} \\cdot \\cfrac{1}{r}\\cdot\\hat r\\]\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.40"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Потенциал $V(r)$ поля заряженной нити можно представить в виде"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"    \\begin{equation*}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"        V(r) = f(r) + K,"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"    \\end{equation*}где $K$ — постоянный коэффициент. Получите явный вид функции $f(r)$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Потенциал задаётся выражением:\\[V=-\\int\\limits_{\\mathrm{ref}}^r\\vec E\\cdot\\mathrm d\\vec l=-\\int\\limits_{\\mathrm{ref}}^rE\\,\\mathrm dr=- \\cfrac{\\lambda}{2 \\pi \\varepsilon_0} \\ln r+\\operatorname{const}.\\]\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[f(r) = - \\cfrac{\\lambda}{2 \\pi \\varepsilon_0} \\ln r\\]\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.70"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Пусть две бесконечные прямые нити, равномерно заряженные с линейными плотностями $\\lambda$ и $- \\lambda$, параллельны оси $z$, имеют координаты на оси $y = 0$, а на оси $x$: $x = -b$ и $x = b$, соответственно."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Вычислите для всего пространства потенциал $V(x, y,z)$ поля этих нитей. Считайте, что в начале координат потенциал $V = 0$ . Изобразите на рисунке эквипотенциальные поверхности этого поля.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/80877784a88e32976780.webp","alt":"apho-2013-t1 solution: original source diagram 1"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 1. Система из двух заряженных нитей"}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Потенциал находим как суперпозицию потенциалов нитей:\\[V=- \\cfrac{\\lambda}{2 \\pi \\varepsilon_0} \\ln r_1+\\cfrac{\\lambda}{2 \\pi \\varepsilon_0} \\ln r_2= \\cfrac{\\lambda}{2 \\pi \\varepsilon_0} \\ln \\cfrac{\\sqrt{(b-x)^2+y^2}}{\\sqrt{(b+x)^2+y^2}}=\\cfrac{\\lambda}{4 \\pi \\varepsilon_0} \\ln \\cfrac{{(b-x)^2+y^2}}{{(b+x)^2+y^2}}.\\]\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[V=\\cfrac{\\lambda}{4 \\pi \\varepsilon_0} \\ln \\cfrac{{(b-x)^2+y^2}}{{(b+x)^2+y^2}}\\]\n\n                    "}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Условие постоянства потенциала можно представить в виде:\\[\\left(x-\\left(\\frac{1+\\beta}{1-\\beta}\\right)\\right)^2+y^2=b^2\\left(\\left(\\frac{1+\\beta}{1-\\beta}\\right)^2-1\\right),\\]где $\\beta=\\exp(4\\pi\\varepsilon_0V/\\lambda)$.\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/6ca4f58e8711772436a2.webp","alt":"apho-2013-t1 solution: original source diagram 2"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 2. Эквипотенциальные поверхность для $b=1$ и $\\beta=12.35$ (слева) и $\\beta=1/12.35$ (справа)"}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A4\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 2.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Теперь рассмотрим два одинаковых проводящих цилиндра радиуса $R = 3a$, находящихся в вакууме. Считайте, что длины $l$ обоих цилиндров одинаковы и $l \\gg R$. Оси обоих цилиндров параллельны оси $z$, лежат в плоскости $(x,z)$ и на оси $x$ имеют координаты $x = -5a$ и $x = 5a$ соответственно. Между цилиндрами с помощью батареи создана разность потенциалов $V_0$ (примите, что цилиндр с координатой $x = -5a$ имеет больший потенциал). Вычислите, пренебрегая краевыми эффектами, потенциал $V$ во всех точках пространства. Считайте, что в начале координат потенциал $V = 0$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Полученное выше уравнение очень удобно задаёт цилиндр. Таким образом, распределение потенциала можно воссоздать, если соответствующим образом выбрать положения заряженных нитей. Рассмотрим рисунок:\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/350584a38ff15400da07.webp","alt":"apho-2013-t1 solution: original source diagram 3"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 3. Две заряженные нити и их эквипотенциальная поверхность"}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Подберём расстояния $l_{1,2}$ так, чтобы цилиндрическая поверхность радиуса $R$ была эквипотенциальной. Потенциал задаётся выражением:\\[V=-\\frac{\\lambda}{2\\pi\\varepsilon_0}\\ln r_1+\\frac{\\lambda}{2\\pi\\varepsilon_0}\\ln r_2=-\\frac{\\lambda}{4\\pi\\varepsilon_0}\\ln\\left(l_1^2+R^2-2l_1R\\cos\\varphi\\right)+\\frac{\\lambda}{4\\pi\\varepsilon_0}\\ln\\left(l_2^2+R^2-2l_2R\\cos\\varphi\\right),\\]где угол $\\varphi$ задаёт точку в сечении цилиндра. Условие постоянства потенциала принимает вид:\\[\\frac{\\partial V}{\\partial \\varphi}=0\\implies- \\frac{\\lambda}{4\\pi\\varepsilon_0}\\frac{2l_1R\\sin\\varphi}{l_1^2+R^2-2l_1R\\cos\\varphi}+\\frac{\\lambda}{4\\pi\\varepsilon_0}\\frac{2l_2R\\sin\\varphi}{l_2^2+R^2-2l_2R\\cos\\varphi}=0\\\\\\frac{l_1}{l_1^2+R^2-2l_1R\\cos\\varphi}=\\frac{l_2}{l_2^2+R^2-2l_2R\\cos\\varphi}\\\\l_1^2l_2+R^2l_2-2l_1l_2R\\cos\\varphi=l_1l_2^2+R^2l_1-2l_1l_2R\\cos\\varphi\\\\l_1l_2(l_1-l_2)=R^2(l_1-l_2)\\implies l_1l_2=R^2.\\]Из условия задачи можно заключить:\\[l_1+l_2=10a,\\qquad l_1l_2=9a^2,\\]откуда:\\[l_{1,2}=5a\\pm 4a.\\]Знаки выбраны так, чтобы $l_1 > l_2$. Таким образом, потенциал всюду за пределами цилиндров задаётся выражением:\\[V=\\frac{\\lambda}{4\\pi\\varepsilon_0}\\ln\\frac{(4a-x)^2+y^2}{(4a+x)^2+y^2}.\\]Сами цилиндры (правый и левый соответственно) при этом имеют потенциалы:\\[V(x=\\pm 2a,y=0)=\\frac{\\lambda}{4\\pi\\varepsilon_0}\\ln\\frac{(4a\\mp2a)^2+0^2}{(4a\\pm2a)^2+0^2}=\\mp\\frac{\\lambda}{2\\pi\\varepsilon_0}\\ln3.\\]Таким образом, разность потенциалов между цилиндрами равна:\\[\\Delta V=\\frac{\\lambda}{\\pi\\varepsilon_0}\\ln3\\equiv V_0.\\]Подставляя это в выражение для потенциала во всём пространстве, получим ответ:\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[V=\\frac{V_0}{4\\ln3}\\ln\\frac{(4a-x)^2+y^2}{(4a+x)^2+y^2}\\text{ вне цилиндров}\\\\V=\\pm V_0/2\\text{ внутри левого и правого цилиндров соответственно}\\]\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A5\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Вычислите емкость $C$ системы цилиндров.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Связь напряжения и заряда:\\[V_0=\\frac{q}{l\\pi\\varepsilon_0}\\ln3,\\]откуда:\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[C=\\frac{q}{V_0}=\\frac{l\\pi\\varepsilon_0}{\\ln3}\\]\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A6\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Пусть теперь пространство между цилиндрами заполнено слабо проводящей жидкостью с удельной проводимостью $\\sigma$. Вычислите силу тока, протекающего между цилиндрами. Считайте, что диэлектрическая проницаемость жидкости равна диэлектрической проницаемости вакуума $\\varepsilon = 1$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Цилиндры создают электрическое поле:\\[E_x=\\frac{V_0}{2\\ln3}\\left(\\frac{4a+x}{(4a+x)^2+y^2}+\\frac{4a-x}{(4a-x)^2+y^2}\\right),\\\\E_y=\\frac{V_0}{2\\ln3}\\left(\\frac{y}{(4a+x)^2+y^2}-\\frac{y}{(4a-x)^2+y^2}\\right).\\]Объёмная плотность тока:\\[\\vec j=\\sigma\\vec E.\\]Чтобы найти полную силу тока, удобно посчитать поток объёмной плотности через плоскость $x=0$, поскольку там равна нулю её $y$-компонента. Итого:\\[I=\\int\\vec j\\cdot\\mathrm d\\vec S=\\int\\sigma E_xl\\,\\mathrm dy=\\sigma l\\frac{8aV_0}{2\\ln3}\\int\\limits_{-\\infty}^{\\infty}\\frac{\\mathrm dy}{(4a)^2+y^2}=\\frac{V_0\\pi\\sigma l}{\\ln3}.\\]\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[I=\\frac{V_0\\pi\\sigma l}{\\ln3}\\]\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A7\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Вычислите сопротивление $R$ системы. Вычислите $RC$ системы.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Сопротивление определяется как:\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[R=\\frac{V_0}{I}=\\frac{\\ln3}{\\pi\\sigma l}\\]\n\n                    "}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Отсюда:\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[RC=\\frac{\\varepsilon_0}{\\sigma}\\]\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                A8\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Вычислите магнитное поле $\\vec{B}$, созданное электрическим током (смотрите пункт A6). Считайте, что магнитная проницаемость жидкости равна магнитной проницаемости вакуума $\\mu = 1$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Поскольку система довольно симметрична, воспользуемся теоремой о циркуляции. Также, поскольку у тока нет $z$-компоненты, то и у магнитного поля её не будет.\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/6b200c8a471792aa1a14.webp","alt":"apho-2013-t1 solution: original source diagram 4"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Рис. 4. Теорема о циркуляции"}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n На рисунке 4 показаны токи, текущие от одного цилиндра к другому. Для теоремы о циркуляции выберем симметричный относительно оси $x$ контур в плоскости $x=\\operatorname{const}$, стороны которого параллельны осям $y$ и $z$. Поток плотности тока через контур:\\[I=\\int\\vec j\\cdot\\mathrm d\\vec S=\\int J_xl\\,\\mathrm dy=\\frac{V_0\\sigma l}{2\\ln3}\\int\\limits_{-y}^{y}\\left(\\frac{4a+x}{(4a+x)^2+y^2}+\\frac{4a-x}{(4a-x)^2+y^2}\\right)\\,\\mathrm dy=\\\\=\\frac{V_0\\sigma l}{\\ln3}\\left(\\operatorname{arctg}\\frac{y}{4a+x}+\\operatorname{arctg}\\frac{y}{4a-x}\\right).\\]Теорема о циркуляции:\\[\\oint\\vec B\\cdot\\mathrm d\\vec l=\\mu_0I\\\\2B_zl=\\frac{\\mu_0V_0\\sigma l}{\\ln3}\\left(\\operatorname{arctg}\\frac{y}{4a+x}+\\operatorname{arctg}\\frac{y}{4a-x}\\right)\\\\B_z=\\frac{\\mu_0V_0\\sigma}{2\\ln3}\\left(\\operatorname{arctg}\\frac{y}{4a+x}+\\operatorname{arctg}\\frac{y}{4a-x}\\right)\\implies\\]\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[\\vec B=\\hat z\\frac{\\mu_0V_0\\sigma}{2\\ln3}\\left(\\operatorname{arctg}\\frac{y}{4a+x}+\\operatorname{arctg}\\frac{y}{4a-x}\\right)\\]\n\n                    "}]}]}]}],"text":"A1 0.40 Сначала рассмотрим находящуюся в вакууме длинную равномерно заряженную прямую нить (с линейной плотностью заряда $\\lambda$). Вычислите электрическое поле $\\vec{E} (\\vec{r})$ этой нити. Теорема Гаусса:\\[\\oint\\vec E\\cdot\\mathrm d\\vec S=q/\\varepsilon_0.\\]Из соображений симметрии ясно, что у электрического поля есть только радиальная составляющая. Записав теорему Гаусса для цилиндра, ось которого совпадает с заряженной нитью, получим:\\[E\\cdot 2\\pi r\\lambda l/\\varepsilon_0,\\]откуда: Ответ: \n                    \n \\[\\vec E(r) = \\cfrac{\\lambda}{2\\pi \\varepsilon_0} \\cdot \\cfrac{1}{r}\\cdot\\hat r\\]\nA2 0.40 Потенциал $V(r)$ поля заряженной нити можно представить в виде \\begin{equation*} V(r) = f(r) + K, \\end{equation*}где $K$ — постоянный коэффициент. Получите явный вид функции $f(r)$. Потенциал задаётся выражением:\\[V=-\\int\\limits_{\\mathrm{ref}}^r\\vec E\\cdot\\mathrm d\\vec l=-\\int\\limits_{\\mathrm{ref}}^rE\\,\\mathrm dr=- \\cfrac{\\lambda}{2 \\pi \\varepsilon_0} \\ln r+\\operatorname{const}.\\] Ответ: \n                    \n \\[f(r) = - \\cfrac{\\lambda}{2 \\pi \\varepsilon_0} \\ln r\\]\nA3 0.70 Пусть две бесконечные прямые нити, равномерно заряженные с линейными плотностями $\\lambda$ и $- \\lambda$, параллельны оси $z$, имеют координаты на оси $y = 0$, а на оси $x$: $x = -b$ и $x = b$, соответственно. Вычислите для всего пространства потенциал $V(x, y,z)$ поля этих нитей. Считайте, что в начале координат потенциал $V = 0$ . Изобразите на рисунке эквипотенциальные поверхности этого поля. Рис. 1. Система из двух заряженных нитей Потенциал находим как суперпозицию потенциалов нитей:\\[V=- \\cfrac{\\lambda}{2 \\pi \\varepsilon_0} \\ln r_1+\\cfrac{\\lambda}{2 \\pi \\varepsilon_0} \\ln r_2= \\cfrac{\\lambda}{2 \\pi \\varepsilon_0} \\ln \\cfrac{\\sqrt{(b-x)^2+y^2}}{\\sqrt{(b+x)^2+y^2}}=\\cfrac{\\lambda}{4 \\pi \\varepsilon_0} \\ln \\cfrac{{(b-x)^2+y^2}}{{(b+x)^2+y^2}}.\\] Ответ: \n                    \n \\[V=\\cfrac{\\lambda}{4 \\pi \\varepsilon_0} \\ln \\cfrac{{(b-x)^2+y^2}}{{(b+x)^2+y^2}}\\] Условие постоянства потенциала можно представить в виде:\\[\\left(x-\\left(\\frac{1+\\beta}{1-\\beta}\\right)\\right)^2+y^2=b^2\\left(\\left(\\frac{1+\\beta}{1-\\beta}\\right)^2-1\\right),\\]где $\\beta=\\exp(4\\pi\\varepsilon_0V/\\lambda)$. Рис. 2. Эквипотенциальные поверхность для $b=1$ и $\\beta=12.35$ (слева) и $\\beta=1/12.35$ (справа)\nA4 2.00 Теперь рассмотрим два одинаковых проводящих цилиндра радиуса $R = 3a$, находящихся в вакууме. Считайте, что длины $l$ обоих цилиндров одинаковы и $l \\gg R$. Оси обоих цилиндров параллельны оси $z$, лежат в плоскости $(x,z)$ и на оси $x$ имеют координаты $x = -5a$ и $x = 5a$ соответственно. Между цилиндрами с помощью батареи создана разность потенциалов $V_0$ (примите, что цилиндр с координатой $x = -5a$ имеет больший потенциал). Вычислите, пренебрегая краевыми эффектами, потенциал $V$ во всех точках пространства. Считайте, что в начале координат потенциал $V = 0$. Полученное выше уравнение очень удобно задаёт цилиндр. Таким образом, распределение потенциала можно воссоздать, если соответствующим образом выбрать положения заряженных нитей. Рассмотрим рисунок: Рис. 3. Две заряженные нити и их эквипотенциальная поверхность Подберём расстояния $l_{1,2}$ так, чтобы цилиндрическая поверхность радиуса $R$ была эквипотенциальной. Потенциал задаётся выражением:\\[V=-\\frac{\\lambda}{2\\pi\\varepsilon_0}\\ln r_1+\\frac{\\lambda}{2\\pi\\varepsilon_0}\\ln r_2=-\\frac{\\lambda}{4\\pi\\varepsilon_0}\\ln\\left(l_1^2+R^2-2l_1R\\cos\\varphi\\right)+\\frac{\\lambda}{4\\pi\\varepsilon_0}\\ln\\left(l_2^2+R^2-2l_2R\\cos\\varphi\\right),\\]где угол $\\varphi$ задаёт точку в сечении цилиндра. Условие постоянства потенциала принимает вид:\\[\\frac{\\partial V}{\\partial \\varphi}=0\\implies- \\frac{\\lambda}{4\\pi\\varepsilon_0}\\frac{2l_1R\\sin\\varphi}{l_1^2+R^2-2l_1R\\cos\\varphi}+\\frac{\\lambda}{4\\pi\\varepsilon_0}\\frac{2l_2R\\sin\\varphi}{l_2^2+R^2-2l_2R\\cos\\varphi}=0\\\\\\frac{l_1}{l_1^2+R^2-2l_1R\\cos\\varphi}=\\frac{l_2}{l_2^2+R^2-2l_2R\\cos\\varphi}\\\\l_1^2l_2+R^2l_2-2l_1l_2R\\cos\\varphi=l_1l_2^2+R^2l_1-2l_1l_2R\\cos\\varphi\\\\l_1l_2(l_1-l_2)=R^2(l_1-l_2)\\implies l_1l_2=R^2.\\]Из условия задачи можно заключить:\\[l_1+l_2=10a,\\qquad l_1l_2=9a^2,\\]откуда:\\[l_{1,2}=5a\\pm 4a.\\]Знаки выбраны так, чтобы $l_1 > l_2$. Таким образом, потенциал всюду за пределами цилиндров задаётся выражением:\\[V=\\frac{\\lambda}{4\\pi\\varepsilon_0}\\ln\\frac{(4a-x)^2+y^2}{(4a+x)^2+y^2}.\\]Сами цилиндры (правый и левый соответственно) при этом имеют потенциалы:\\[V(x=\\pm 2a,y=0)=\\frac{\\lambda}{4\\pi\\varepsilon_0}\\ln\\frac{(4a\\mp2a)^2+0^2}{(4a\\pm2a)^2+0^2}=\\mp\\frac{\\lambda}{2\\pi\\varepsilon_0}\\ln3.\\]Таким образом, разность потенциалов между цилиндрами равна:\\[\\Delta V=\\frac{\\lambda}{\\pi\\varepsilon_0}\\ln3\\equiv V_0.\\]Подставляя это в выражение для потенциала во всём пространстве, получим ответ: Ответ: \n                    \n \\[V=\\frac{V_0}{4\\ln3}\\ln\\frac{(4a-x)^2+y^2}{(4a+x)^2+y^2}\\text{ вне цилиндров}\\\\V=\\pm V_0/2\\text{ внутри левого и правого цилиндров соответственно}\\]\nA5 0.50 Вычислите емкость $C$ системы цилиндров. Связь напряжения и заряда:\\[V_0=\\frac{q}{l\\pi\\varepsilon_0}\\ln3,\\]откуда: Ответ: \n                    \n \\[C=\\frac{q}{V_0}=\\frac{l\\pi\\varepsilon_0}{\\ln3}\\]\nA6 1.00 Пусть теперь пространство между цилиндрами заполнено слабо проводящей жидкостью с удельной проводимостью $\\sigma$. Вычислите силу тока, протекающего между цилиндрами. Считайте, что диэлектрическая проницаемость жидкости равна диэлектрической проницаемости вакуума $\\varepsilon = 1$. Цилиндры создают электрическое поле:\\[E_x=\\frac{V_0}{2\\ln3}\\left(\\frac{4a+x}{(4a+x)^2+y^2}+\\frac{4a-x}{(4a-x)^2+y^2}\\right),\\\\E_y=\\frac{V_0}{2\\ln3}\\left(\\frac{y}{(4a+x)^2+y^2}-\\frac{y}{(4a-x)^2+y^2}\\right).\\]Объёмная плотность тока:\\[\\vec j=\\sigma\\vec E.\\]Чтобы найти полную силу тока, удобно посчитать поток объёмной плотности через плоскость $x=0$, поскольку там равна нулю её $y$-компонента. Итого:\\[I=\\int\\vec j\\cdot\\mathrm d\\vec S=\\int\\sigma E_xl\\,\\mathrm dy=\\sigma l\\frac{8aV_0}{2\\ln3}\\int\\limits_{-\\infty}^{\\infty}\\frac{\\mathrm dy}{(4a)^2+y^2}=\\frac{V_0\\pi\\sigma l}{\\ln3}.\\] Ответ: \n                    \n \\[I=\\frac{V_0\\pi\\sigma l}{\\ln3}\\]\nA7 0.50 Вычислите сопротивление $R$ системы. Вычислите $RC$ системы. Сопротивление определяется как: Ответ: \n                    \n \\[R=\\frac{V_0}{I}=\\frac{\\ln3}{\\pi\\sigma l}\\] Отсюда: Ответ: \n                    \n \\[RC=\\frac{\\varepsilon_0}{\\sigma}\\]\nA8 1.50 Вычислите магнитное поле $\\vec{B}$, созданное электрическим током (смотрите пункт A6). Считайте, что магнитная проницаемость жидкости равна магнитной проницаемости вакуума $\\mu = 1$. Поскольку система довольно симметрична, воспользуемся теоремой о циркуляции. Также, поскольку у тока нет $z$-компоненты, то и у магнитного поля её не будет. Рис. 4. Теорема о циркуляции На рисунке 4 показаны токи, текущие от одного цилиндра к другому. Для теоремы о циркуляции выберем симметричный относительно оси $x$ контур в плоскости $x=\\operatorname{const}$, стороны которого параллельны осям $y$ и $z$. Поток плотности тока через контур:\\[I=\\int\\vec j\\cdot\\mathrm d\\vec S=\\int J_xl\\,\\mathrm dy=\\frac{V_0\\sigma l}{2\\ln3}\\int\\limits_{-y}^{y}\\left(\\frac{4a+x}{(4a+x)^2+y^2}+\\frac{4a-x}{(4a-x)^2+y^2}\\right)\\,\\mathrm dy=\\\\=\\frac{V_0\\sigma l}{\\ln3}\\left(\\operatorname{arctg}\\frac{y}{4a+x}+\\operatorname{arctg}\\frac{y}{4a-x}\\right).\\]Теорема о циркуляции:\\[\\oint\\vec B\\cdot\\mathrm d\\vec l=\\mu_0I\\\\2B_zl=\\frac{\\mu_0V_0\\sigma l}{\\ln3}\\left(\\operatorname{arctg}\\frac{y}{4a+x}+\\operatorname{arctg}\\frac{y}{4a-x}\\right)\\\\B_z=\\frac{\\mu_0V_0\\sigma}{2\\ln3}\\left(\\operatorname{arctg}\\frac{y}{4a+x}+\\operatorname{arctg}\\frac{y}{4a-x}\\right)\\implies\\] Ответ: \n                    \n \\[\\vec B=\\hat z\\frac{\\mu_0V_0\\sigma}{2\\ln3}\\left(\\operatorname{arctg}\\frac{y}{4a+x}+\\operatorname{arctg}\\frac{y}{4a-x}\\right)\\]","figures":["/corpus/figures/80877784a88e32976780.webp","/corpus/figures/6ca4f58e8711772436a2.webp","/corpus/figures/350584a38ff15400da07.webp","/corpus/figures/6b200c8a471792aa1a14.webp"],"shared":false}},{"id":"apho-2013-t3","importedOn":"2026-10-28","language":"ru","sources":[{"url":"https://pho.rs/p/3297","kind":"statement"},{"url":"https://pho.rs/p/3297/s","kind":"solution"}],"statement":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"text","text":"\n                        \n                        \n Все вещества во Вселенной обладают, помимо массы и заряда, такой фундаментальной характеристикой, как спин. Спин — это внутренний момент количества движения, которым обладают частицы. Хотя для полного описания спина необходимо привлечение аппарата квантовой механики, физику спина можно понять, используя обычный классический формализм. В данной задаче изучается влияние магнитного поля на спин с использованием его классической аналогии."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Классическое уравнение моментов для спина выглядит так: $$\\vec M=\\frac{d\\vec L}{dt}=\\vec\\mu \\times \\vec B$$ В этом уравнении момент импульса $\\vec L$ представляет собой спин частицы, $\\vec \\mu$ — магнитный момент частицы, $\\vec B$ — индукция магнитного поля. Спин частицы связан с ее магнитным моментом уравнением $$\\vec \\mu=-\\gamma\\vec L$$ где $\\gamma$ — гиромагнитное отношение.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть А. Ларморовская прецессия"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            a.1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.80"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Докажите, что величина магнитного момента $\\mu$ под действием магнитного поля $\\vec B$ всегда остается постоянной. Также покажите, что в частном случае постоянного магнитного поля угол между $\\vec \\mu$ и $\\vec B$ постоянен. "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"(Подсказка: Вы можете использовать свойства векторных произведений)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            a.2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.80"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Индукция магнитного поля $\\vec B$ образует угол $\\phi$ с магнитным моментом частицы $\\vec \\mu$. Из-за момента сил, создаваемого магнитным полем, магнитный момент $\\vec \\mu$ вращается вокруг поля $\\vec B$, что известно, как ларморовская прецессия. Определите частоту $\\omega_0$ ларморовской прецессии магнитного момента вокруг вектора $\\vec B=B_0\\vec k$, где $\\vec k$ — единичный вектор."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть B. Вращающаяся система координат"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n В данной части задачи выберем систему координат $S'=(x',y',z')$, которая вращается с угловой скоростью $\\omega \\vec k$, как это видно наблюдателю, находящемуся в лабораторной системе координат $S=(x,y,z)$, где оси $x',y',z'$ совпадают с осями $x, y, z$ в момент времени $t = 0$. Любой вектор $\\vec A=A_x\\vec i+A_y\\vec j+A_z\\vec k$ в лабораторной системе координат может быть представлен во вращающейся системе координат $S'$ как $\\vec A=A'_x\\vec i'+A'_y\\vec j'+A'_z\\vec k'$. Производная этого вектора по времени"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\\frac{d\\vec A}{dt}= \\left(\\frac{dA'_x}{dt}\\vec i'+\\frac{dA'_y}{dt}\\vec j'+\\frac{dA'_z}{dt}\\vec k'\\right)+\\left(A_x'\\frac{d\\vec i'}{dt}+A_y'\\frac{d\\vec j'}{dt}+A_z'\\frac{d\\vec k'}{dt}\\right)$$$$\\left(\\frac{d\\vec A}{dt}\\right)_{lab}=\\left(\\frac{d\\vec "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"A}{dt}\\right)_{rot}+\\left(\\omega\\vec k \\times \\vec A\\right) $$где $\\left(\\frac{d\\vec A}{dt}\\right)_{lab}$ — производная по времени вектора $\\vec A$ в лабораторной системе координат и $\\left(\\frac{d\\vec A}{dt}\\right)_{rot}$ — производная этого вектора по времени во вращающейся системе координат."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Для всех вопросов из данной части, ответы относятся к вращающейся системе координат $S'$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            b.1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.80"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Покажите, что изменение магнитного момента со временем описывается уравнением $$\\left(\\frac{d\\vec \\mu} {dt}\\right)_{rot}=\\left(\\gamma\\vec\\mu\\times\\vec B_{eff}\\right)$$ где $\\vec B_{eff}= \\vec B - \\frac\\omega \\gamma \\vec k'$ — эффективная индукция магнитного поля.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            b.2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.40"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Чему равна новая частота прецессии $\\Delta$, выраженная через $\\omega_0$ и $\\omega$, для $\\vec B=B_0\\vec k$?"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            b.3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Теперь рассмотрим случай магнитного поля, изменяющегося со временем. Для этого помимо постоянного магнитного поля мы также приложим вращающееся магнитное поле $\\vec b(t)=b(\\vec i \\cos \\omega t+\\vec j \\sin \\omega t)$, так что $\\vec B=B_0\\vec k + \\vec b(t)$. Покажите, что новая ларморовская частота прецессии магнитного момента равна"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\\Omega= \\gamma\\sqrt{\\left(B_0 - \\frac{\\omega}{\\gamma}\\right)^2}+b^2$$\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            b.4\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Вместо того, чтобы прикладывать поле $\\vec b(t)=b(\\vec i \\cos \\omega t+\\vec j \\sin \\omega t)$ теперь приложим поле $\\vec b(t)=b(\\vec i \\cos \\omega t-\\vec j \\sin \\omega t)$ которое вращается в противоположном направлении. В этом случае"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\\vec B=B_0\\vec k+b(\\vec i \\cos \\omega t-\\vec j \\sin \\omega t)$$ Чему теперь равно эффективное магнитное поле $\\vec B_{eff}$ (выраженное через единичные вектора $\\vec i', \\vec j', \\vec k')$? Чему равно среднее по времени поле  $\\overline{\\vec B_{eff}}$, (вспомните, что $\\overline{\\cos2\\pi t/T}=\\overline{\\sin2\\pi t/T}=0$?\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть C. Осцилляции Раби"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Для ансамбля из $N$ частиц, находящегося под действием сильного магнитного поля, спин может иметь два квантовых состояния: «вверх» и «вниз». Следовательно, полная заселенность состояний «спин вверх» $N_{\\uparrow}$ и «спин вниз» $N_{\\downarrow}$ описывается уравнением $$ N_{\\uparrow} +N_{\\downarrow} = N $$Разность заселенностей состояний «спин вверх» и «спин вниз» приводит к макроскопическому намагничиванию вдоль оси: $$M=(N_{\\uparrow} -N_{\\downarrow})\\mu=N\\mu_z$$В реальном эксперименте обычно используются два магнитных поля: сильное смещающее магнитное поле $B_0\\vec k$ и поле, колеблющееся с амплитудой $2b$ и перпендикулярное смещающему полю ($b\\ll B_0$). Изначально прилагается только сильное смещающее поле, вынуждающее все частицы перейти в состояние «спин вверх» (при $t = 0$ вектор $\\mu$ ориентирован в направлении $z$). Затем включается поле, колеблющееся с частотой ларморовской прецессии $\\omega_0$, т.е. $\\omega=\\omega_0$. Другими словами, после момента времени $t = 0$ суммарное поле описывается уравнением $$\\vec B(t)= B_0\\vec k + 2b\\vec i \\cos \\omega t$$\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            c.1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Покажите, что во вращающейся системе координат $S'$ эффективное поле может быть аппроксимировано как $$\\vec B_{eff} \\approx b\\vec i' $$ что известно как аппроксимация вращающейся волной. Чему равна частота прецессии $\\Omega$ в системе координат $S'$?\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            c.2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Определите угол $\\alpha$, который вектор $\\vec \\mu$ образует с полем $\\vec B_{eff}$. Также докажите, что намагниченность изменяется со временем как $$M(t)= N\\mu(\\cos \\Omega t)$$\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            c.3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n При воздействии магнитного поля, описанного выше, определите относительную заселенность состояний «спин вверх» $P _{\\uparrow}=N_{\\uparrow}/N$ и «спин вниз» $P _{\\downarrow}=N_{\\downarrow}/N$ как функции времени. Нанесите на один график $P _{\\uparrow}$ и $P _{\\downarrow}$ в зависимости от времени $t$. Изменяющаяся со временем заселенность состояний «спин вверх» и «спин вниз» называется осцилляциями Раби."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Часть D. Несовместимость измерений"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Спин является векторной величиной. Из-за его квантовых свойств мы не можем измерить все его компоненты одновременно (т.е. мы можем знать $|\\vec \\mu|$ и $\\mu_z$, как в случаях, приведенных выше; но не можем знать одновременно $|\\vec \\mu|$, $\\mu_x$, $\\mu_y$ и $\\mu_z$). В данной задаче мы произведем вычисления на основе принципа неопределенности Гейзенберга (используя соотношение $\\Delta p_q \\Delta q\\ge \\hbar$) для того, чтобы показать, как эти измерения несовместимы друг с другом.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            d.1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Рассмотрим горячий тигель — источник атомов серебра, имеющий небольшое отверстие. Атомы вылетают из отверстия вдоль направления «$-y$» (см. рисунок внизу) и попадают в неоднородное в пространстве поле $\\vec B_1$. Поле $\\vec B_1$ имеет сильную компоненту в направлении оси $z$. В нем атомы с различными магнитными моментами $\\mu_z=\\pm\\gamma\\hbar$ расщепляются вдоль направления $z$. На расстоянии $D$ от тигля расположен экран $SC_1$, который пропускает только атомы со спином вверх (не пропускаются атомы со спином вниз). Поэтому сразу за экраном атомы имеют спин, направленный вверх. За экраном атомы входят в область неоднородного поля $\\vec B_2$, где на них действует сила $$F_x=\\mu_x C$$Поле $\\vec B_2$ имеет сильную компоненту в направлении оси $x$, вдоль которой атомы имеют магнитные моменты $\\mu_x=\\pm\\gamma \\hbar$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Покажите, что для того, чтобы определить $\\mu_x$, наблюдая расщепление в направлении оси $x$, должно выполняться следующее условие: $$\\frac{1}{\\hbar}|\\mu_x|\\Delta x C t\\gg 1$$ где $t$ — время после прохождения экрана $SC_1$ и $\\Delta x$ — расхождение пучков на экране $SC_1$ ."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/5471db2a47a2af036a4f.webp","alt":"apho-2013-t3 statement: original source diagram 1"}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            d.2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Сразу после экрана атомы имеют спины, направленные вверх, где $\\mu_z=\\gamma\\hbar =|\\mu_x|$. Это означает, что атомы будут прецессировать с угловыми частотами, покрывающими диапазон значений $\\Delta \\omega $ по отношению к компоненте $x$ поля $\\vec B_2$, конкретно $B_{2x}= B_0+Cx$. Докажите, что разброс угла прецессии $\\Delta \\omega t$ велик и мы не можем измерять одновременно $\\mu_x$ и $\\mu_z$. Другими словами, измерение $\\mu_x$ разрушает информацию о $\\mu_z$.\n\n                \n                "}]}]}]}]}],"text":"Все вещества во Вселенной обладают, помимо массы и заряда, такой фундаментальной характеристикой, как спин. Спин — это внутренний момент количества движения, которым обладают частицы. Хотя для полного описания спина необходимо привлечение аппарата квантовой механики, физику спина можно понять, используя обычный классический формализм. В данной задаче изучается влияние магнитного поля на спин с использованием его классической аналогии. Классическое уравнение моментов для спина выглядит так: $$\\vec M=\\frac{d\\vec L}{dt}=\\vec\\mu \\times \\vec B$$ В этом уравнении момент импульса $\\vec L$ представляет собой спин частицы, $\\vec \\mu$ — магнитный момент частицы, $\\vec B$ — индукция магнитного поля. Спин частицы связан с ее магнитным моментом уравнением $$\\vec \\mu=-\\gamma\\vec L$$ где $\\gamma$ — гиромагнитное отношение. Часть А. Ларморовская прецессия a.1 0.80 Докажите, что величина магнитного момента $\\mu$ под действием магнитного поля $\\vec B$ всегда остается постоянной. Также покажите, что в частном случае постоянного магнитного поля угол между $\\vec \\mu$ и $\\vec B$ постоянен. (Подсказка: Вы можете использовать свойства векторных произведений). a.2 0.80 Индукция магнитного поля $\\vec B$ образует угол $\\phi$ с магнитным моментом частицы $\\vec \\mu$. Из-за момента сил, создаваемого магнитным полем, магнитный момент $\\vec \\mu$ вращается вокруг поля $\\vec B$, что известно, как ларморовская прецессия. Определите частоту $\\omega_0$ ларморовской прецессии магнитного момента вокруг вектора $\\vec B=B_0\\vec k$, где $\\vec k$ — единичный вектор. Часть B. Вращающаяся система координат В данной части задачи выберем систему координат $S'=(x',y',z')$, которая вращается с угловой скоростью $\\omega \\vec k$, как это видно наблюдателю, находящемуся в лабораторной системе координат $S=(x,y,z)$, где оси $x',y',z'$ совпадают с осями $x, y, z$ в момент времени $t = 0$. Любой вектор $\\vec A=A_x\\vec i+A_y\\vec j+A_z\\vec k$ в лабораторной системе координат может быть представлен во вращающейся системе координат $S'$ как $\\vec A=A'_x\\vec i'+A'_y\\vec j'+A'_z\\vec k'$. Производная этого вектора по времени $$\\frac{d\\vec A}{dt}= \\left(\\frac{dA'_x}{dt}\\vec i'+\\frac{dA'_y}{dt}\\vec j'+\\frac{dA'_z}{dt}\\vec k'\\right)+\\left(A_x'\\frac{d\\vec i'}{dt}+A_y'\\frac{d\\vec j'}{dt}+A_z'\\frac{d\\vec k'}{dt}\\right)$$$$\\left(\\frac{d\\vec A}{dt}\\right)_{lab}=\\left(\\frac{d\\vec A}{dt}\\right)_{rot}+\\left(\\omega\\vec k \\times \\vec A\\right) $$где $\\left(\\frac{d\\vec A}{dt}\\right)_{lab}$ — производная по времени вектора $\\vec A$ в лабораторной системе координат и $\\left(\\frac{d\\vec A}{dt}\\right)_{rot}$ — производная этого вектора по времени во вращающейся системе координат. Для всех вопросов из данной части, ответы относятся к вращающейся системе координат $S'$. b.1 0.80 Покажите, что изменение магнитного момента со временем описывается уравнением $$\\left(\\frac{d\\vec \\mu} {dt}\\right)_{rot}=\\left(\\gamma\\vec\\mu\\times\\vec B_{eff}\\right)$$ где $\\vec B_{eff}= \\vec B - \\frac\\omega \\gamma \\vec k'$ — эффективная индукция магнитного поля. b.2 0.40 Чему равна новая частота прецессии $\\Delta$, выраженная через $\\omega_0$ и $\\omega$, для $\\vec B=B_0\\vec k$? b.3 1.20 Теперь рассмотрим случай магнитного поля, изменяющегося со временем. Для этого помимо постоянного магнитного поля мы также приложим вращающееся магнитное поле $\\vec b(t)=b(\\vec i \\cos \\omega t+\\vec j \\sin \\omega t)$, так что $\\vec B=B_0\\vec k + \\vec b(t)$. Покажите, что новая ларморовская частота прецессии магнитного момента равна $$\\Omega= \\gamma\\sqrt{\\left(B_0 - \\frac{\\omega}{\\gamma}\\right)^2}+b^2$$ b.4 1.00 Вместо того, чтобы прикладывать поле $\\vec b(t)=b(\\vec i \\cos \\omega t+\\vec j \\sin \\omega t)$ теперь приложим поле $\\vec b(t)=b(\\vec i \\cos \\omega t-\\vec j \\sin \\omega t)$ которое вращается в противоположном направлении. В этом случае $$\\vec B=B_0\\vec k+b(\\vec i \\cos \\omega t-\\vec j \\sin \\omega t)$$ Чему теперь равно эффективное магнитное поле $\\vec B_{eff}$ (выраженное через единичные вектора $\\vec i', \\vec j', \\vec k')$? Чему равно среднее по времени поле  $\\overline{\\vec B_{eff}}$, (вспомните, что $\\overline{\\cos2\\pi t/T}=\\overline{\\sin2\\pi t/T}=0$? Часть C. Осцилляции Раби Для ансамбля из $N$ частиц, находящегося под действием сильного магнитного поля, спин может иметь два квантовых состояния: «вверх» и «вниз». Следовательно, полная заселенность состояний «спин вверх» $N_{\\uparrow}$ и «спин вниз» $N_{\\downarrow}$ описывается уравнением $$ N_{\\uparrow} +N_{\\downarrow} = N $$Разность заселенностей состояний «спин вверх» и «спин вниз» приводит к макроскопическому намагничиванию вдоль оси: $$M=(N_{\\uparrow} -N_{\\downarrow})\\mu=N\\mu_z$$В реальном эксперименте обычно используются два магнитных поля: сильное смещающее магнитное поле $B_0\\vec k$ и поле, колеблющееся с амплитудой $2b$ и перпендикулярное смещающему полю ($b\\ll B_0$). Изначально прилагается только сильное смещающее поле, вынуждающее все частицы перейти в состояние «спин вверх» (при $t = 0$ вектор $\\mu$ ориентирован в направлении $z$). Затем включается поле, колеблющееся с частотой ларморовской прецессии $\\omega_0$, т.е. $\\omega=\\omega_0$. Другими словами, после момента времени $t = 0$ суммарное поле описывается уравнением $$\\vec B(t)= B_0\\vec k + 2b\\vec i \\cos \\omega t$$ c.1 1.20 Покажите, что во вращающейся системе координат $S'$ эффективное поле может быть аппроксимировано как $$\\vec B_{eff} \\approx b\\vec i' $$ что известно как аппроксимация вращающейся волной. Чему равна частота прецессии $\\Omega$ в системе координат $S'$? c.2 0.60 Определите угол $\\alpha$, который вектор $\\vec \\mu$ образует с полем $\\vec B_{eff}$. Также докажите, что намагниченность изменяется со временем как $$M(t)= N\\mu(\\cos \\Omega t)$$ c.3 1.20 При воздействии магнитного поля, описанного выше, определите относительную заселенность состояний «спин вверх» $P _{\\uparrow}=N_{\\uparrow}/N$ и «спин вниз» $P _{\\downarrow}=N_{\\downarrow}/N$ как функции времени. Нанесите на один график $P _{\\uparrow}$ и $P _{\\downarrow}$ в зависимости от времени $t$. Изменяющаяся со временем заселенность состояний «спин вверх» и «спин вниз» называется осцилляциями Раби. Часть D. Несовместимость измерений Спин является векторной величиной. Из-за его квантовых свойств мы не можем измерить все его компоненты одновременно (т.е. мы можем знать $|\\vec \\mu|$ и $\\mu_z$, как в случаях, приведенных выше; но не можем знать одновременно $|\\vec \\mu|$, $\\mu_x$, $\\mu_y$ и $\\mu_z$). В данной задаче мы произведем вычисления на основе принципа неопределенности Гейзенберга (используя соотношение $\\Delta p_q \\Delta q\\ge \\hbar$) для того, чтобы показать, как эти измерения несовместимы друг с другом. d.1 1.00 Рассмотрим горячий тигель — источник атомов серебра, имеющий небольшое отверстие. Атомы вылетают из отверстия вдоль направления «$-y$» (см. рисунок внизу) и попадают в неоднородное в пространстве поле $\\vec B_1$. Поле $\\vec B_1$ имеет сильную компоненту в направлении оси $z$. В нем атомы с различными магнитными моментами $\\mu_z=\\pm\\gamma\\hbar$ расщепляются вдоль направления $z$. На расстоянии $D$ от тигля расположен экран $SC_1$, который пропускает только атомы со спином вверх (не пропускаются атомы со спином вниз). Поэтому сразу за экраном атомы имеют спин, направленный вверх. За экраном атомы входят в область неоднородного поля $\\vec B_2$, где на них действует сила $$F_x=\\mu_x C$$Поле $\\vec B_2$ имеет сильную компоненту в направлении оси $x$, вдоль которой атомы имеют магнитные моменты $\\mu_x=\\pm\\gamma \\hbar$. Покажите, что для того, чтобы определить $\\mu_x$, наблюдая расщепление в направлении оси $x$, должно выполняться следующее условие: $$\\frac{1}{\\hbar}|\\mu_x|\\Delta x C t\\gg 1$$ где $t$ — время после прохождения экрана $SC_1$ и $\\Delta x$ — расхождение пучков на экране $SC_1$ . d.2 1.00 Сразу после экрана атомы имеют спины, направленные вверх, где $\\mu_z=\\gamma\\hbar =|\\mu_x|$. Это означает, что атомы будут прецессировать с угловыми частотами, покрывающими диапазон значений $\\Delta \\omega $ по отношению к компоненте $x$ поля $\\vec B_2$, конкретно $B_{2x}= B_0+Cx$. Докажите, что разброс угла прецессии $\\Delta \\omega t$ велик и мы не можем измерять одновременно $\\mu_x$ и $\\mu_z$. Другими словами, измерение $\\mu_x$ разрушает информацию о $\\mu_z$.\n","figures":["/corpus/figures/5471db2a47a2af036a4f.webp"],"shared":false},"solution":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                a.1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.80"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Докажите, что величина магнитного момента $\\mu$ под действием магнитного поля $\\vec B$ всегда остается постоянной. Также покажите, что в частном случае постоянного магнитного поля угол между $\\vec \\mu$ и $\\vec B$ постоянен. "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"(Подсказка: Вы можете использовать свойства векторных произведений)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Комбинируем выражения из условия:\\[\\dot{\\vec\\mu}=-\\gamma[\\vec\\mu,\\vec B].\\]Умножив на $\\vec \\mu$, получим:\\[(\\vec \\mu,\\dot{\\vec\\mu})=-\\gamma(\\vec\\mu,[\\vec\\mu,\\vec B])\\implies\\mathrm d\\mu^2/\\mathrm dt=0\\implies\\mu=\\operatorname{const}.\\]Умножив на $\\vec B$, получим:\\[(\\vec B,\\dot{\\vec\\mu})=-\\gamma(\\vec B,[\\vec\\mu,\\vec B])\\implies(\\vec B,\\dot{\\vec\\mu})=0\\implies(\\vec B,\\vec\\mu)=\\operatorname{const}.\\]\n\n                "}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                a.2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.80"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Индукция магнитного поля $\\vec B$ образует угол $\\phi$ с магнитным моментом частицы $\\vec \\mu$. Из-за момента сил, создаваемого магнитным полем, магнитный момент $\\vec \\mu$ вращается вокруг поля $\\vec B$, что известно, как ларморовская прецессия. Определите частоту $\\omega_0$ ларморовской прецессии магнитного момента вокруг вектора $\\vec B=B_0\\vec k$, где $\\vec k$ — единичный вектор."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Спроецируем уравнение\\[\\dot{\\vec\\mu}=-\\gamma[\\vec\\mu,\\vec B]\\]на плоскость, перпендикулярную магнитному полю. Получим:\\[\\mu\\sin\\phi\\dot\\theta=\\gamma\\mu B_0\\sin\\phi\\implies\\]\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[\\omega_0=\\dot\\theta=\\gamma B_0\\]\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                b.1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.80"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Покажите, что изменение магнитного момента со временем описывается уравнением $$\\left(\\frac{d\\vec \\mu} {dt}\\right)_{rot}=\\left(\\gamma\\vec\\mu\\times\\vec B_{eff}\\right)$$ где $\\vec B_{eff}= \\vec B - \\frac\\omega \\gamma \\vec k'$ — эффективная индукция магнитного поля.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Используя соотношение из условия:\\[\\left(\\frac{\\mathrm d\\vec\\mu}{\\mathrm dt}\\right)_{rot}=\\left(\\frac{\\mathrm d\\vec\\mu}{\\mathrm dt}\\right)_{lab}-[\\vec\\omega,\\vec\\mu]=-\\gamma[\\vec\\mu,\\vec B]-\\omega[\\vec k',\\vec \\mu]=-\\gamma\\left[\\vec\\mu,\\left(\\vec B-\\frac\\omega\\gamma\\vec k'\\right)\\right]=-\\gamma[\\vec\\mu,\\vec B_{eff}].\\]\n\n                "}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                b.2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.40"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Чему равна новая частота прецессии $\\Delta$, выраженная через $\\omega_0$ и $\\omega$, для $\\vec B=B_0\\vec k$?"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Новая частота прецессии во вращающейся системе отсчёта $S'$ равна:\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[\\vec \\Delta=(\\omega_0-\\omega)\\vec k',\\quad\\Delta=\\gamma B_0-\\omega\\]\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                b.3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Теперь рассмотрим случай магнитного поля, изменяющегося со временем. Для этого помимо постоянного магнитного поля мы также приложим вращающееся магнитное поле $\\vec b(t)=b(\\vec i \\cos \\omega t+\\vec j \\sin \\omega t)$, так что $\\vec B=B_0\\vec k + \\vec b(t)$. Покажите, что новая ларморовская частота прецессии магнитного момента равна"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\\Omega= \\gamma\\sqrt{\\left(B_0 - \\frac{\\omega}{\\gamma}\\right)^2}+b^2$$\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Поскольку во вращающейся системе отсчёта магнитное поле $\\vec B=B_0\\vec k'+b\\vec i'$, то\\[\\vec B_{eff}=\\vec B-\\frac\\omega\\gamma\\vec k'=\\left(B_0-\\frac\\omega\\gamma\\right)\\vec k'+b\\vec i',\\]поэтому\\[\\Omega=\\gamma B_{eff}=\\gamma\\sqrt{\\left(B_0 - \\frac{\\omega}{\\gamma}\\right)^2}+b^2.\\]\n\n                "}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                b.4\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Вместо того, чтобы прикладывать поле $\\vec b(t)=b(\\vec i \\cos \\omega t+\\vec j \\sin \\omega t)$ теперь приложим поле $\\vec b(t)=b(\\vec i \\cos \\omega t-\\vec j \\sin \\omega t)$ которое вращается в противоположном направлении. В этом случае"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\\vec B=B_0\\vec k+b(\\vec i \\cos \\omega t-\\vec j \\sin \\omega t)$$ Чему теперь равно эффективное магнитное поле $\\vec B_{eff}$ (выраженное через единичные вектора $\\vec i', \\vec j', \\vec k')$? Чему равно среднее по времени поле  $\\overline{\\vec B_{eff}}$, (вспомните, что $\\overline{\\cos2\\pi t/T}=\\overline{\\sin2\\pi t/T}=0$?\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n В этом случае эффективное магнитное поле\\[\\vec B_{eff}=\\vec B-\\frac\\omega\\gamma\\vec k'=\\]\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[=\\left(B_0-\\frac\\omega\\gamma\\right)+b(\\vec i'\\cos2\\omega t-\\vec j'\\sin\\omega t),\\]\n\n                    "}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n что усредняется по времени в выражение\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[\\left\\langle\\vec B_{eff}\\right\\rangle=\\left(B_0-\\frac\\omega\\gamma\\right)\\vec k'\\]\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                c.1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Покажите, что во вращающейся системе координат $S'$ эффективное поле может быть аппроксимировано как $$\\vec B_{eff} \\approx b\\vec i' $$ что известно как аппроксимация вращающейся волной. Чему равна частота прецессии $\\Omega$ в системе координат $S'$?\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Колеблющееся поля можно рассматривать как суперпозицию двух вращающихся полей:\\[2b\\vec i\\cos\\omega_0 t=b(\\vec i\\cos\\omega_0t+\\vec j\\sin\\omega_0t)+b(\\vec i\\cos\\omega_0t-\\vec j\\sin\\omega_0t),\\]поэтому эффективное поле будет равно ($\\omega=\\omega_0=\\gamma B_0$)\\[\\vec B_{eff}=\\left(B_0-\\frac\\omega\\gamma\\right)\\vec k'+b\\vec i'+b(\\vec i'\\cos2\\omega_0t-\\vec j'\\sin2\\omega_0t).\\]Поскольку $\\omega_0\\gg\\gamma b$, последний член осциллирует очень быстро, намного быстрее $\\gamma b$. Таким образом, можно приближённо записать\\[\\vec B_{eff}\\approx\\left(B_0-\\frac\\omega\\gamma\\right)\\vec k'+b\\vec i'=b\\vec i',\\]поэтому магнитный момент прецессирует с частотой\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[\\Omega=\\gamma b\\]\n\n                    "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                c.2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.60"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Определите угол $\\alpha$, который вектор $\\vec \\mu$ образует с полем $\\vec B_{eff}$. Также докажите, что намагниченность изменяется со временем как $$M(t)= N\\mu(\\cos \\Omega t)$$\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"\n        \n             Поскольку угол $\\alpha$ между $\\vec\\mu$ и $\\vec B_{eff}$ остаётся постоянным, а $\\vec\\mu$ исходно направлен вдоль оси $z$, то угол между $\\vec B_{eff}$ и осью $z$ также равен $\\alpha$, поэтому        \n        "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/6be30dc28fae6c6356d3.webp","alt":"apho-2013-t3 solution: original source diagram 1"}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[\\operatorname{tg}\\alpha=\\frac b{B_0-\\omega/\\gamma}.\\]\n\n                    "}]}]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Из геометрии системы находим ($\\cos\\theta=\\mu_z/\\mu$):"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\[2 \\mu \\sin \\frac{\\theta}{2}  =2 \\mu \\sin \\alpha \\sin \\frac{\\Omega t}{2}, \\\\"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\sin ^2 \\frac{\\theta}{2}  =\\sin ^2 \\alpha \\sin ^2 \\frac{\\Omega t}{2}, \\\\"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\frac{1-\\cos \\theta}{2}  =\\sin ^2 \\alpha \\frac{1-\\cos \\Omega t}{2}, \\\\"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\cos \\theta  =1-\\sin ^2 \\alpha+\\sin ^2 \\alpha \\cos \\Omega t, \\\\"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\cos \\theta  =\\cos ^2 \\alpha+\\sin ^2 \\alpha \\cos \\Omega t ."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\]"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Проекция магнитного момента на ось $z$ равна $\\mu_z(t)=\\mu\\cos\\theta$, поэтому намагниченность\\[M=N \\mu_2=N \\mu\\left(\\cos ^2 \\alpha+\\sin ^2 \\alpha \\cos \\Omega t\\right) .\\]Стоит отметить, что намагниченность не зависит от системы отсчёта, поскольку величина $\\mu_z$ одинакова в $S$ и $S'$. Поскольку $\\omega=\\omega_0=\\gamma B_0$, $\\alpha=90^\\circ$ и $M=N\\mu\\cos\\Omega t$.\n\n                "}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                c.3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.20"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n При воздействии магнитного поля, описанного выше, определите относительную заселенность состояний «спин вверх» $P _{\\uparrow}=N_{\\uparrow}/N$ и «спин вниз» $P _{\\downarrow}=N_{\\downarrow}/N$ как функции времени. Нанесите на один график $P _{\\uparrow}$ и $P _{\\downarrow}$ в зависимости от времени $t$. Изменяющаяся со временем заселенность состояний «спин вверх» и «спин вниз» называется осцилляциями Раби."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Из соотношений\\["},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":" P_{\\uparrow}-P_{\\downarrow}=\\frac{\\mu_z}{\\mu}=\\cos \\theta, \\quad"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":" P_{\\uparrow}+P_{\\downarrow}=1,"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\]получим ($\\omega=\\omega_0$):\\["},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"P_{\\downarrow}  =\\frac{1-\\cos \\theta}{2}  =\\frac{1-\\cos ^2 \\alpha-\\sin ^2 \\alpha \\cos \\Omega t}{2}"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":" =\\sin ^2 \\alpha \\frac{1-\\cos \\Omega t}{2} "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":" =\\frac{b^2}{\\left(B_0-\\frac{\\omega}{\\gamma}\\right)^2+b^2} \\sin ^2 \\frac{\\Omega t}{2} "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":" =\\sin ^2 \\frac{\\Omega t}{2}, \\\\"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\text{и}\\quad P_{\\uparrow}= \\frac{b^2}{\\left(B_0-\\frac{\\omega}{\\gamma}\\right)^2+b^2} \\cos ^2 \\frac{\\Omega t}{2}=\\cos ^2 \\frac{\\Omega t}{2} ."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"\\]\n\n                "}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n \\[P_\\downarrow=\\sin^2\\frac{\\Omega t}2,\\quad P_\\uparrow=\\cos^2\\frac{\\Omega t}2\\]\n\n                    "}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"Ответ: \n                    \n\n\n\n    \n        \n            "},{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/93d8dee74181e4933625.webp","alt":"apho-2013-t3 solution: original source diagram 2"}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                d.1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Рассмотрим горячий тигель — источник атомов серебра, имеющий небольшое отверстие. Атомы вылетают из отверстия вдоль направления «$-y$» (см. рисунок внизу) и попадают в неоднородное в пространстве поле $\\vec B_1$. Поле $\\vec B_1$ имеет сильную компоненту в направлении оси $z$. В нем атомы с различными магнитными моментами $\\mu_z=\\pm\\gamma\\hbar$ расщепляются вдоль направления $z$. На расстоянии $D$ от тигля расположен экран $SC_1$, который пропускает только атомы со спином вверх (не пропускаются атомы со спином вниз). Поэтому сразу за экраном атомы имеют спин, направленный вверх. За экраном атомы входят в область неоднородного поля $\\vec B_2$, где на них действует сила $$F_x=\\mu_x C$$Поле $\\vec B_2$ имеет сильную компоненту в направлении оси $x$, вдоль которой атомы имеют магнитные моменты $\\mu_x=\\pm\\gamma \\hbar$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Покажите, что для того, чтобы определить $\\mu_x$, наблюдая расщепление в направлении оси $x$, должно выполняться следующее условие: $$\\frac{1}{\\hbar}|\\mu_x|\\Delta x C t\\gg 1$$ где $t$ — время после прохождения экрана $SC_1$ и $\\Delta x$ — расхождение пучков на экране $SC_1$ ."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n Вдоль оси $x$ из-за ширины щели возникнет неопределённость $\\Delta x$. Согласно принципу неопределённости, это приведёт к неопределённости импульса\\[\\Delta p_x\\approx\\frac\\hbar{\\Delta x}\\implies v_x\\approx\\frac\\hbar{m\\Delta x}.\\]Следовательно, за время полёта атомов $t$ ширина пучка вырастет на величину\\[\\delta x=\\Delta v_xt\\approx\\frac\\hbar{m\\Delta x}t,\\]т.е. ширина пучка растёт линейно со временем. Между тем, пучки разделяются за счёт силы $F_x$ на расстояние\\[d_x=2\\cdot\\frac12\\frac{F_x}mt^2=\\frac1m|\\mu_x|Ct^2.\\]Чтобы различить пучки, расстояние между ними должно быть больше ширины, т.е.\\[d_x\\gg\\delta x\\implies \\frac1m|\\mu_x|Ct^2\\gg\\frac\\hbar{m\\Delta x}t\\implies\\frac1\\hbar|\\mu_x|\\Delta xCt\\gg1.\\]\n\n                "}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                d.2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Сразу после экрана атомы имеют спины, направленные вверх, где $\\mu_z=\\gamma\\hbar =|\\mu_x|$. Это означает, что атомы будут прецессировать с угловыми частотами, покрывающими диапазон значений $\\Delta \\omega $ по отношению к компоненте $x$ поля $\\vec B_2$, конкретно $B_{2x}= B_0+Cx$. Докажите, что разброс угла прецессии $\\Delta \\omega t$ велик и мы не можем измерять одновременно $\\mu_x$ и $\\mu_z$. Другими словами, измерение $\\mu_x$ разрушает информацию о $\\mu_z$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]},{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                    \n После пересечения экрана разброс магнитного поля на масштабах ширины пучка будет равен\\[\\Delta B=\\Delta x\\frac{\\mathrm dB}{\\mathrm dx}=C\\Delta x.\\]Таким образом, разброс угловых частот прецессии\\[\\Delta\\omega=\\gamma\\Delta B=\\frac{\\mu_z}\\hbar\\Delta B=\\frac{|\\mu_x|}\\hbar C\\Delta x.\\]Если удовлетворяется условие из предыдущего пункта, то\\[\\Delta\\omega\\gg1.\\]\n\n                "}]}]}],"text":"a.1 0.80 Докажите, что величина магнитного момента $\\mu$ под действием магнитного поля $\\vec B$ всегда остается постоянной. Также покажите, что в частном случае постоянного магнитного поля угол между $\\vec \\mu$ и $\\vec B$ постоянен. (Подсказка: Вы можете использовать свойства векторных произведений). Комбинируем выражения из условия:\\[\\dot{\\vec\\mu}=-\\gamma[\\vec\\mu,\\vec B].\\]Умножив на $\\vec \\mu$, получим:\\[(\\vec \\mu,\\dot{\\vec\\mu})=-\\gamma(\\vec\\mu,[\\vec\\mu,\\vec B])\\implies\\mathrm d\\mu^2/\\mathrm dt=0\\implies\\mu=\\operatorname{const}.\\]Умножив на $\\vec B$, получим:\\[(\\vec B,\\dot{\\vec\\mu})=-\\gamma(\\vec B,[\\vec\\mu,\\vec B])\\implies(\\vec B,\\dot{\\vec\\mu})=0\\implies(\\vec B,\\vec\\mu)=\\operatorname{const}.\\]\na.2 0.80 Индукция магнитного поля $\\vec B$ образует угол $\\phi$ с магнитным моментом частицы $\\vec \\mu$. Из-за момента сил, создаваемого магнитным полем, магнитный момент $\\vec \\mu$ вращается вокруг поля $\\vec B$, что известно, как ларморовская прецессия. Определите частоту $\\omega_0$ ларморовской прецессии магнитного момента вокруг вектора $\\vec B=B_0\\vec k$, где $\\vec k$ — единичный вектор. Спроецируем уравнение\\[\\dot{\\vec\\mu}=-\\gamma[\\vec\\mu,\\vec B]\\]на плоскость, перпендикулярную магнитному полю. Получим:\\[\\mu\\sin\\phi\\dot\\theta=\\gamma\\mu B_0\\sin\\phi\\implies\\] Ответ: \n                    \n \\[\\omega_0=\\dot\\theta=\\gamma B_0\\]\nb.1 0.80 Покажите, что изменение магнитного момента со временем описывается уравнением $$\\left(\\frac{d\\vec \\mu} {dt}\\right)_{rot}=\\left(\\gamma\\vec\\mu\\times\\vec B_{eff}\\right)$$ где $\\vec B_{eff}= \\vec B - \\frac\\omega \\gamma \\vec k'$ — эффективная индукция магнитного поля. Используя соотношение из условия:\\[\\left(\\frac{\\mathrm d\\vec\\mu}{\\mathrm dt}\\right)_{rot}=\\left(\\frac{\\mathrm d\\vec\\mu}{\\mathrm dt}\\right)_{lab}-[\\vec\\omega,\\vec\\mu]=-\\gamma[\\vec\\mu,\\vec B]-\\omega[\\vec k',\\vec \\mu]=-\\gamma\\left[\\vec\\mu,\\left(\\vec B-\\frac\\omega\\gamma\\vec k'\\right)\\right]=-\\gamma[\\vec\\mu,\\vec B_{eff}].\\]\nb.2 0.40 Чему равна новая частота прецессии $\\Delta$, выраженная через $\\omega_0$ и $\\omega$, для $\\vec B=B_0\\vec k$? Новая частота прецессии во вращающейся системе отсчёта $S'$ равна: Ответ: \n                    \n \\[\\vec \\Delta=(\\omega_0-\\omega)\\vec k',\\quad\\Delta=\\gamma B_0-\\omega\\]\nb.3 1.20 Теперь рассмотрим случай магнитного поля, изменяющегося со временем. Для этого помимо постоянного магнитного поля мы также приложим вращающееся магнитное поле $\\vec b(t)=b(\\vec i \\cos \\omega t+\\vec j \\sin \\omega t)$, так что $\\vec B=B_0\\vec k + \\vec b(t)$. Покажите, что новая ларморовская частота прецессии магнитного момента равна $$\\Omega= \\gamma\\sqrt{\\left(B_0 - \\frac{\\omega}{\\gamma}\\right)^2}+b^2$$ Поскольку во вращающейся системе отсчёта магнитное поле $\\vec B=B_0\\vec k'+b\\vec i'$, то\\[\\vec B_{eff}=\\vec B-\\frac\\omega\\gamma\\vec k'=\\left(B_0-\\frac\\omega\\gamma\\right)\\vec k'+b\\vec i',\\]поэтому\\[\\Omega=\\gamma B_{eff}=\\gamma\\sqrt{\\left(B_0 - \\frac{\\omega}{\\gamma}\\right)^2}+b^2.\\]\nb.4 1.00 Вместо того, чтобы прикладывать поле $\\vec b(t)=b(\\vec i \\cos \\omega t+\\vec j \\sin \\omega t)$ теперь приложим поле $\\vec b(t)=b(\\vec i \\cos \\omega t-\\vec j \\sin \\omega t)$ которое вращается в противоположном направлении. В этом случае $$\\vec B=B_0\\vec k+b(\\vec i \\cos \\omega t-\\vec j \\sin \\omega t)$$ Чему теперь равно эффективное магнитное поле $\\vec B_{eff}$ (выраженное через единичные вектора $\\vec i', \\vec j', \\vec k')$? Чему равно среднее по времени поле  $\\overline{\\vec B_{eff}}$, (вспомните, что $\\overline{\\cos2\\pi t/T}=\\overline{\\sin2\\pi t/T}=0$? В этом случае эффективное магнитное поле\\[\\vec B_{eff}=\\vec B-\\frac\\omega\\gamma\\vec k'=\\] Ответ: \n                    \n \\[=\\left(B_0-\\frac\\omega\\gamma\\right)+b(\\vec i'\\cos2\\omega t-\\vec j'\\sin\\omega t),\\] что усредняется по времени в выражение Ответ: \n                    \n \\[\\left\\langle\\vec B_{eff}\\right\\rangle=\\left(B_0-\\frac\\omega\\gamma\\right)\\vec k'\\]\nc.1 1.20 Покажите, что во вращающейся системе координат $S'$ эффективное поле может быть аппроксимировано как $$\\vec B_{eff} \\approx b\\vec i' $$ что известно как аппроксимация вращающейся волной. Чему равна частота прецессии $\\Omega$ в системе координат $S'$? Колеблющееся поля можно рассматривать как суперпозицию двух вращающихся полей:\\[2b\\vec i\\cos\\omega_0 t=b(\\vec i\\cos\\omega_0t+\\vec j\\sin\\omega_0t)+b(\\vec i\\cos\\omega_0t-\\vec j\\sin\\omega_0t),\\]поэтому эффективное поле будет равно ($\\omega=\\omega_0=\\gamma B_0$)\\[\\vec B_{eff}=\\left(B_0-\\frac\\omega\\gamma\\right)\\vec k'+b\\vec i'+b(\\vec i'\\cos2\\omega_0t-\\vec j'\\sin2\\omega_0t).\\]Поскольку $\\omega_0\\gg\\gamma b$, последний член осциллирует очень быстро, намного быстрее $\\gamma b$. Таким образом, можно приближённо записать\\[\\vec B_{eff}\\approx\\left(B_0-\\frac\\omega\\gamma\\right)\\vec k'+b\\vec i'=b\\vec i',\\]поэтому магнитный момент прецессирует с частотой Ответ: \n                    \n \\[\\Omega=\\gamma b\\]\nc.2 0.60 Определите угол $\\alpha$, который вектор $\\vec \\mu$ образует с полем $\\vec B_{eff}$. Также докажите, что намагниченность изменяется со временем как $$M(t)= N\\mu(\\cos \\Omega t)$$ Поскольку угол $\\alpha$ между $\\vec\\mu$ и $\\vec B_{eff}$ остаётся постоянным, а $\\vec\\mu$ исходно направлен вдоль оси $z$, то угол между $\\vec B_{eff}$ и осью $z$ также равен $\\alpha$, поэтому Ответ: \n                    \n \\[\\operatorname{tg}\\alpha=\\frac b{B_0-\\omega/\\gamma}.\\] Из геометрии системы находим ($\\cos\\theta=\\mu_z/\\mu$): \\[2 \\mu \\sin \\frac{\\theta}{2}  =2 \\mu \\sin \\alpha \\sin \\frac{\\Omega t}{2}, \\\\ \\sin ^2 \\frac{\\theta}{2}  =\\sin ^2 \\alpha \\sin ^2 \\frac{\\Omega t}{2}, \\\\ \\frac{1-\\cos \\theta}{2}  =\\sin ^2 \\alpha \\frac{1-\\cos \\Omega t}{2}, \\\\ \\cos \\theta  =1-\\sin ^2 \\alpha+\\sin ^2 \\alpha \\cos \\Omega t, \\\\ \\cos \\theta  =\\cos ^2 \\alpha+\\sin ^2 \\alpha \\cos \\Omega t . \\] Проекция магнитного момента на ось $z$ равна $\\mu_z(t)=\\mu\\cos\\theta$, поэтому намагниченность\\[M=N \\mu_2=N \\mu\\left(\\cos ^2 \\alpha+\\sin ^2 \\alpha \\cos \\Omega t\\right) .\\]Стоит отметить, что намагниченность не зависит от системы отсчёта, поскольку величина $\\mu_z$ одинакова в $S$ и $S'$. Поскольку $\\omega=\\omega_0=\\gamma B_0$, $\\alpha=90^\\circ$ и $M=N\\mu\\cos\\Omega t$.\nc.3 1.20 При воздействии магнитного поля, описанного выше, определите относительную заселенность состояний «спин вверх» $P _{\\uparrow}=N_{\\uparrow}/N$ и «спин вниз» $P _{\\downarrow}=N_{\\downarrow}/N$ как функции времени. Нанесите на один график $P _{\\uparrow}$ и $P _{\\downarrow}$ в зависимости от времени $t$. Изменяющаяся со временем заселенность состояний «спин вверх» и «спин вниз» называется осцилляциями Раби. Из соотношений\\[ P_{\\uparrow}-P_{\\downarrow}=\\frac{\\mu_z}{\\mu}=\\cos \\theta, \\quad P_{\\uparrow}+P_{\\downarrow}=1, \\]получим ($\\omega=\\omega_0$):\\[ P_{\\downarrow}  =\\frac{1-\\cos \\theta}{2}  =\\frac{1-\\cos ^2 \\alpha-\\sin ^2 \\alpha \\cos \\Omega t}{2} =\\sin ^2 \\alpha \\frac{1-\\cos \\Omega t}{2} =\\frac{b^2}{\\left(B_0-\\frac{\\omega}{\\gamma}\\right)^2+b^2} \\sin ^2 \\frac{\\Omega t}{2} =\\sin ^2 \\frac{\\Omega t}{2}, \\\\ \\text{и}\\quad P_{\\uparrow}= \\frac{b^2}{\\left(B_0-\\frac{\\omega}{\\gamma}\\right)^2+b^2} \\cos ^2 \\frac{\\Omega t}{2}=\\cos ^2 \\frac{\\Omega t}{2} . \\] Ответ: \n                    \n \\[P_\\downarrow=\\sin^2\\frac{\\Omega t}2,\\quad P_\\uparrow=\\cos^2\\frac{\\Omega t}2\\] Ответ:\nd.1 1.00 Рассмотрим горячий тигель — источник атомов серебра, имеющий небольшое отверстие. Атомы вылетают из отверстия вдоль направления «$-y$» (см. рисунок внизу) и попадают в неоднородное в пространстве поле $\\vec B_1$. Поле $\\vec B_1$ имеет сильную компоненту в направлении оси $z$. В нем атомы с различными магнитными моментами $\\mu_z=\\pm\\gamma\\hbar$ расщепляются вдоль направления $z$. На расстоянии $D$ от тигля расположен экран $SC_1$, который пропускает только атомы со спином вверх (не пропускаются атомы со спином вниз). Поэтому сразу за экраном атомы имеют спин, направленный вверх. За экраном атомы входят в область неоднородного поля $\\vec B_2$, где на них действует сила $$F_x=\\mu_x C$$Поле $\\vec B_2$ имеет сильную компоненту в направлении оси $x$, вдоль которой атомы имеют магнитные моменты $\\mu_x=\\pm\\gamma \\hbar$. Покажите, что для того, чтобы определить $\\mu_x$, наблюдая расщепление в направлении оси $x$, должно выполняться следующее условие: $$\\frac{1}{\\hbar}|\\mu_x|\\Delta x C t\\gg 1$$ где $t$ — время после прохождения экрана $SC_1$ и $\\Delta x$ — расхождение пучков на экране $SC_1$ . Вдоль оси $x$ из-за ширины щели возникнет неопределённость $\\Delta x$. Согласно принципу неопределённости, это приведёт к неопределённости импульса\\[\\Delta p_x\\approx\\frac\\hbar{\\Delta x}\\implies v_x\\approx\\frac\\hbar{m\\Delta x}.\\]Следовательно, за время полёта атомов $t$ ширина пучка вырастет на величину\\[\\delta x=\\Delta v_xt\\approx\\frac\\hbar{m\\Delta x}t,\\]т.е. ширина пучка растёт линейно со временем. Между тем, пучки разделяются за счёт силы $F_x$ на расстояние\\[d_x=2\\cdot\\frac12\\frac{F_x}mt^2=\\frac1m|\\mu_x|Ct^2.\\]Чтобы различить пучки, расстояние между ними должно быть больше ширины, т.е.\\[d_x\\gg\\delta x\\implies \\frac1m|\\mu_x|Ct^2\\gg\\frac\\hbar{m\\Delta x}t\\implies\\frac1\\hbar|\\mu_x|\\Delta xCt\\gg1.\\]\nd.2 1.00 Сразу после экрана атомы имеют спины, направленные вверх, где $\\mu_z=\\gamma\\hbar =|\\mu_x|$. Это означает, что атомы будут прецессировать с угловыми частотами, покрывающими диапазон значений $\\Delta \\omega $ по отношению к компоненте $x$ поля $\\vec B_2$, конкретно $B_{2x}= B_0+Cx$. Докажите, что разброс угла прецессии $\\Delta \\omega t$ велик и мы не можем измерять одновременно $\\mu_x$ и $\\mu_z$. Другими словами, измерение $\\mu_x$ разрушает информацию о $\\mu_z$. После пересечения экрана разброс магнитного поля на масштабах ширины пучка будет равен\\[\\Delta B=\\Delta x\\frac{\\mathrm dB}{\\mathrm dx}=C\\Delta x.\\]Таким образом, разброс угловых частот прецессии\\[\\Delta\\omega=\\gamma\\Delta B=\\frac{\\mu_z}\\hbar\\Delta B=\\frac{|\\mu_x|}\\hbar C\\Delta x.\\]Если удовлетворяется условие из предыдущего пункта, то\\[\\Delta\\omega\\gg1.\\]","figures":["/corpus/figures/6be30dc28fae6c6356d3.webp","/corpus/figures/93d8dee74181e4933625.webp"],"shared":false}},{"id":"apho-2012-t1","importedOn":"2026-10-28","language":"ru","sources":[{"url":"https://pho.rs/p/3303","kind":"statement"},{"url":"https://pho.rs/p/3303/s","kind":"solution"}],"statement":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"text","text":"\n                        \n                        \n Небольшой магнит с магнитным дипольным моментом $p$ и массой $m$ падает в длинной вертикальной немагнитной металлической трубке, как показано на рисунке (масштаб не соблюден). Процесс падения магнита описывается уравнением: $$m\\ddot z=mg-k\\dot z$$ Здесь $g$ - ускорение свободного падения, а коэффициент $k$ обусловлен возникающими в трубке вихревыми токами.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/0d700967ff3467e0438c.webp","alt":"apho-2012-t1 statement: original source diagram 1"}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Найдите установившуюся скорость $(v_T)$ падения магнита.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Найдите зависимость координаты магнита $z(t)$ от времени $t$ при начальных условиях $v(t= 0) = 0$ и $z(t = 0) = 0$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Изучим подробнее динамику падения магнита. В пунктах (I.3) — (I.8) рассматривается упрощенная задача о падении магнита вдоль оси неподвижного немагнитного металлического кольца радиуса $a$, электрическим сопротивлением $R$ и индуктивностью $L$, как показано на рис. В дальнейшем полностью пренебрегайте излучением электромагнитных волн.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/6307841880b9341ecdd9.webp","alt":"apho-2012-t1 statement: original source diagram 2"}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n В нашем случае удобно использовать цилиндрическую систему координат $(\\rho, \\varphi, z)$, изображенную на рисунке выше и выбранную таким образом, что ось $z$ совпадает с осью кольца. В начальный момент времени магнит покоится в начале координат, а центр кольца имеет координату $z_0$. На том же рисунке показаны оси обычной декартовой системы координат ($x,y,z$). Считайте, что дипольный момент магнита $\\vec p$ всегда направлен вдоль оси $z$ в ее положительном направлении ($\\hat p = p\\hat k$), где $\\hat k$ — единичный вектор вдоль оси $z$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Осевая ($B_z$) и радиальная ($B_{\\rho}$) компоненты индукции магнитного поля, вычисленные в некоторой точке $(\\rho, \\varphi, z)$, имеют вид:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$B_z=\\frac{\\mu_0}{4\\pi}\\frac{p}{(\\rho^2+z^2)^{\\frac32}}\\left[\\frac{3z^2}{\\rho^2+z^2}-1\\right]$$ $$B_{\\rho}=\\frac{\\mu_0}{4\\pi}\\frac{3pz\\rho}{(\\rho^2+z^2)^{5/2}}$$где $\\mu_0$ — магнитная постоянная.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Пусть в некоторый момент времени скорость падения магнита равна $v$. Найдите величину ЭДС $e_i$, индуцируемой магнитом в кольце. \n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            4\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Пусть эта ЭДС вызывает в кольце ток $i$.  Найдите модуль магнитной силы $f_{em}$, действующей на кольцо, и выразите ее через $i$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            5\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Чему равна величина модуля силы, действующей на магнит со стороны кольца?\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            6\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Выразите ЭДС индукции $e_i$ в кольце через $L, R$ и $i$, но не решайте полученное уравнение! \n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            7\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n В процессе падения магнита его потенциальная энергия в гравитационном поле уменьшается. Не проводя вычислений, укажите в виде формул три основных вида энергии, в которые переходит потенциальная энергия магнита.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            8\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Совершает ли механическую работу магнитное поле магнита в данном процессе?\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Теперь рассчитаем коэффициент пропорциональности $k$ в уравнении $m\\ddot z=mg-k\\dot z$, обусловленный трубкой. Для этого рассмотрим бесконечную трубку радиусом $a$ со стенками малой толщины $w$ и проводимостью $\\sigma$. Здесь и ниже считайте, что индуктивность трубки пренебрежимо мала, а ее концы имеют координаты $z=-\\infty$ и $z=\\infty$ соответственно."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Разобьем трубку на большое число колец, каждое высотой $\\Delta z'$, радиусом $a$, малой толщиной $w$ и проводимостью $\\sigma$ (см. рис).\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/1889244ba7f8f286307b.webp","alt":"apho-2012-t1 statement: original source diagram 3"}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            9\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Найдите сопротивления отдельного кольца.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            10\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 2.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Найдите коэффициент $k$ для бесконечно длинной трубки и выразите его через $p,\\sigma$, а также геометрические размеры кольца. Так как кольца очень тонкие, то можно считать магнитное поле внутри каждого кольца однородным и равным $B_{\\rho}(\\rho = a)$. Пусть в момент времени $t$ магнит имеет координату $z(t)$ и скорость $\\dot z(t)$. Представьте коэффициент $k$ в виде выражения, содержащего некоторый интеграл по безразмерному параметру $u=(z-z')/a$. \n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            11\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Предположим, что коэффициент пропорциональности $k$ зависит от следующих величин: $$k=f(\\mu_0,p,R_0,a)$$ где $R_0$ - эффективное сопротивление трубки. С помощью анализа размерностей получите выражение для $k$, считая численный коэффициент в полученной формуле равным единице. \n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Приложение"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"$$\\int\\frac{udu}{(u^2+a^2)^n}=\\frac12\\frac{(u^2+a^2)^{1-n}}{(1-n)}+Constant (n>1) $$\n\n                    \n                \n                "}]}]}]}]}],"text":"Небольшой магнит с магнитным дипольным моментом $p$ и массой $m$ падает в длинной вертикальной немагнитной металлической трубке, как показано на рисунке (масштаб не соблюден). Процесс падения магнита описывается уравнением: $$m\\ddot z=mg-k\\dot z$$ Здесь $g$ - ускорение свободного падения, а коэффициент $k$ обусловлен возникающими в трубке вихревыми токами. 1 0.50 Найдите установившуюся скорость $(v_T)$ падения магнита. 2 1.00 Найдите зависимость координаты магнита $z(t)$ от времени $t$ при начальных условиях $v(t= 0) = 0$ и $z(t = 0) = 0$. Изучим подробнее динамику падения магнита. В пунктах (I.3) — (I.8) рассматривается упрощенная задача о падении магнита вдоль оси неподвижного немагнитного металлического кольца радиуса $a$, электрическим сопротивлением $R$ и индуктивностью $L$, как показано на рис. В дальнейшем полностью пренебрегайте излучением электромагнитных волн. В нашем случае удобно использовать цилиндрическую систему координат $(\\rho, \\varphi, z)$, изображенную на рисунке выше и выбранную таким образом, что ось $z$ совпадает с осью кольца. В начальный момент времени магнит покоится в начале координат, а центр кольца имеет координату $z_0$. На том же рисунке показаны оси обычной декартовой системы координат ($x,y,z$). Считайте, что дипольный момент магнита $\\vec p$ всегда направлен вдоль оси $z$ в ее положительном направлении ($\\hat p = p\\hat k$), где $\\hat k$ — единичный вектор вдоль оси $z$. Осевая ($B_z$) и радиальная ($B_{\\rho}$) компоненты индукции магнитного поля, вычисленные в некоторой точке $(\\rho, \\varphi, z)$, имеют вид: $$B_z=\\frac{\\mu_0}{4\\pi}\\frac{p}{(\\rho^2+z^2)^{\\frac32}}\\left[\\frac{3z^2}{\\rho^2+z^2}-1\\right]$$ $$B_{\\rho}=\\frac{\\mu_0}{4\\pi}\\frac{3pz\\rho}{(\\rho^2+z^2)^{5/2}}$$где $\\mu_0$ — магнитная постоянная. 3 1.50 Пусть в некоторый момент времени скорость падения магнита равна $v$. Найдите величину ЭДС $e_i$, индуцируемой магнитом в кольце. 4 1.00 Пусть эта ЭДС вызывает в кольце ток $i$.  Найдите модуль магнитной силы $f_{em}$, действующей на кольцо, и выразите ее через $i$. 5 0.50 Чему равна величина модуля силы, действующей на магнит со стороны кольца? 6 0.50 Выразите ЭДС индукции $e_i$ в кольце через $L, R$ и $i$, но не решайте полученное уравнение! 7 1.00 В процессе падения магнита его потенциальная энергия в гравитационном поле уменьшается. Не проводя вычислений, укажите в виде формул три основных вида энергии, в которые переходит потенциальная энергия магнита. 8 0.50 Совершает ли механическую работу магнитное поле магнита в данном процессе? Теперь рассчитаем коэффициент пропорциональности $k$ в уравнении $m\\ddot z=mg-k\\dot z$, обусловленный трубкой. Для этого рассмотрим бесконечную трубку радиусом $a$ со стенками малой толщины $w$ и проводимостью $\\sigma$. Здесь и ниже считайте, что индуктивность трубки пренебрежимо мала, а ее концы имеют координаты $z=-\\infty$ и $z=\\infty$ соответственно. Разобьем трубку на большое число колец, каждое высотой $\\Delta z'$, радиусом $a$, малой толщиной $w$ и проводимостью $\\sigma$ (см. рис). 9 0.50 Найдите сопротивления отдельного кольца. 10 2.00 Найдите коэффициент $k$ для бесконечно длинной трубки и выразите его через $p,\\sigma$, а также геометрические размеры кольца. Так как кольца очень тонкие, то можно считать магнитное поле внутри каждого кольца однородным и равным $B_{\\rho}(\\rho = a)$. Пусть в момент времени $t$ магнит имеет координату $z(t)$ и скорость $\\dot z(t)$. Представьте коэффициент $k$ в виде выражения, содержащего некоторый интеграл по безразмерному параметру $u=(z-z')/a$. 11 1.00 Предположим, что коэффициент пропорциональности $k$ зависит от следующих величин: $$k=f(\\mu_0,p,R_0,a)$$ где $R_0$ - эффективное сопротивление трубки. С помощью анализа размерностей получите выражение для $k$, считая численный коэффициент в полученной формуле равным единице. Приложение $$\\int\\frac{udu}{(u^2+a^2)^n}=\\frac12\\frac{(u^2+a^2)^{1-n}}{(1-n)}+Constant (n>1) $$\n","figures":["/corpus/figures/0d700967ff3467e0438c.webp","/corpus/figures/6307841880b9341ecdd9.webp","/corpus/figures/1889244ba7f8f286307b.webp"],"shared":false},"solution":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Найдите установившуюся скорость $(v_T)$ падения магнита.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Найдите зависимость координаты магнита $z(t)$ от времени $t$ при начальных условиях $v(t= 0) = 0$ и $z(t = 0) = 0$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Пусть в некоторый момент времени скорость падения магнита равна $v$. Найдите величину ЭДС $e_i$, индуцируемой магнитом в кольце. \n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                4\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Пусть эта ЭДС вызывает в кольце ток $i$.  Найдите модуль магнитной силы $f_{em}$, действующей на кольцо, и выразите ее через $i$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                5\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Чему равна величина модуля силы, действующей на магнит со стороны кольца?\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                6\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Выразите ЭДС индукции $e_i$ в кольце через $L, R$ и $i$, но не решайте полученное уравнение! \n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                7\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n В процессе падения магнита его потенциальная энергия в гравитационном поле уменьшается. Не проводя вычислений, укажите в виде формул три основных вида энергии, в которые переходит потенциальная энергия магнита.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                8\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Совершает ли механическую работу магнитное поле магнита в данном процессе?\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                9\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Найдите сопротивления отдельного кольца.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                10\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 2.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Найдите коэффициент $k$ для бесконечно длинной трубки и выразите его через $p,\\sigma$, а также геометрические размеры кольца. Так как кольца очень тонкие, то можно считать магнитное поле внутри каждого кольца однородным и равным $B_{\\rho}(\\rho = a)$. Пусть в момент времени $t$ магнит имеет координату $z(t)$ и скорость $\\dot z(t)$. Представьте коэффициент $k$ в виде выражения, содержащего некоторый интеграл по безразмерному параметру $u=(z-z')/a$. \n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                11\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Предположим, что коэффициент пропорциональности $k$ зависит от следующих величин: $$k=f(\\mu_0,p,R_0,a)$$ где $R_0$ - эффективное сопротивление трубки. С помощью анализа размерностей получите выражение для $k$, считая численный коэффициент в полученной формуле равным единице. \n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]}],"text":"1 0.50 Найдите установившуюся скорость $(v_T)$ падения магнита.\n2 1.00 Найдите зависимость координаты магнита $z(t)$ от времени $t$ при начальных условиях $v(t= 0) = 0$ и $z(t = 0) = 0$.\n3 1.50 Пусть в некоторый момент времени скорость падения магнита равна $v$. Найдите величину ЭДС $e_i$, индуцируемой магнитом в кольце.\n4 1.00 Пусть эта ЭДС вызывает в кольце ток $i$.  Найдите модуль магнитной силы $f_{em}$, действующей на кольцо, и выразите ее через $i$.\n5 0.50 Чему равна величина модуля силы, действующей на магнит со стороны кольца?\n6 0.50 Выразите ЭДС индукции $e_i$ в кольце через $L, R$ и $i$, но не решайте полученное уравнение!\n7 1.00 В процессе падения магнита его потенциальная энергия в гравитационном поле уменьшается. Не проводя вычислений, укажите в виде формул три основных вида энергии, в которые переходит потенциальная энергия магнита.\n8 0.50 Совершает ли механическую работу магнитное поле магнита в данном процессе?\n9 0.50 Найдите сопротивления отдельного кольца.\n10 2.00 Найдите коэффициент $k$ для бесконечно длинной трубки и выразите его через $p,\\sigma$, а также геометрические размеры кольца. Так как кольца очень тонкие, то можно считать магнитное поле внутри каждого кольца однородным и равным $B_{\\rho}(\\rho = a)$. Пусть в момент времени $t$ магнит имеет координату $z(t)$ и скорость $\\dot z(t)$. Представьте коэффициент $k$ в виде выражения, содержащего некоторый интеграл по безразмерному параметру $u=(z-z')/a$.\n11 1.00 Предположим, что коэффициент пропорциональности $k$ зависит от следующих величин: $$k=f(\\mu_0,p,R_0,a)$$ где $R_0$ - эффективное сопротивление трубки. С помощью анализа размерностей получите выражение для $k$, считая численный коэффициент в полученной формуле равным единице.","figures":[],"shared":false}},{"id":"apho-2012-t3","importedOn":"2026-10-28","language":"ru","sources":[{"url":"https://pho.rs/p/3305","kind":"statement"},{"url":"https://pho.rs/p/3305/s","kind":"solution"}],"statement":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"text","text":"\n                        \n                        \n Рассмотрим установку, схема которой показана на рисунке. Два когерентных монохроматических световых луча (обозначены 1 и 2), распространяющихся в направлении $z$, падают на две узкие щели, расположенные друг от друга на расстоянии $d(S_1S_2=d)$. После прохождения щели они интерферируют, и картина интерференции наблюдается на экране $S$. Расстояние между щелями и экраном $D$, причем $D\\gg d$. При решении этой задачи не учитывайте дифракционные эффекты на отдельных щелях.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/b67440f965d9b5c7071c.webp","alt":"apho-2012-t3 statement: original source diagram 1"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Beam --- луч"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            1\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Пусть при $z=0$ лучи 1 и 2 линейно поляризованы. Соответствующие векторы напряженности электрического поля равны: $$\\vec E_1=\\hat iE_0\\cos(\\omega t)$$ $$\\vec E_2=\\hat iE_0\\cos(\\omega t)$$ где  $\\hat i$ — единичный вектор, направленный вдоль оси $x,\\omega$ — угловая частота световой волны и $E_0$ — амплитуда световой волны. Получите выражение для интенсивности света $I(\\theta)$, которая будет наблюдаться на экране, где $\\theta$ — угол, показанный на рис. Выразите ответ через $\\theta, d,E_0, c$ и $\\omega$, где $c$ — скорость света. Интенсивность пропорциональна усредненному квадрату напряженности электрического поля. Коэффициент пропорциональности считайте равным единице. Уменьшением напряженности электрического поля вследствие удаления от щели до любой точки на экране можно пренебречь.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            2\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Полностью прозрачная стеклянная пластина толщиной $h$ и показателем преломления $\\mu$ помещается на пути луча 1, перед щелями. Найдите выражение для интенсивности света $I(\\theta)$, которая будет наблюдаться на экране. Выразите ответ через $\\theta, d,E_0, c, \\omega,\\mu, h$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            3\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 2.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Оптическое устройство, известное как пластинка в Четверть Длины Волны (ЧДВ), помещается на пути луча 1 перед щелями, вместо стеклянной пластинки. Это устройство изменяет поляризацию луча из линейной поляризации $\\vec E_1=\\hat iE_0\\cos(\\omega t)$ на круговую поляризацию: $$\\vec E_1=\\frac{1}{\\sqrt2}[\\hat iE_0\\cos(\\omega t)+\\hat jE_0\\sin(\\omega t)]$$ где $\\hat j$ — единичный вектор, направленный вдоль оси $y$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Считайте, что пластинка ЧДВ не вносит дополнительной разности хода и что она абсолютно прозрачна. Конец вектора напряженности электрического поля описывает окружность с течением времени. Поэтому говорят, что луч имеет круговую поляризацию.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            3.a\n                                             \n                        \n                    "}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Найдите выражение для интенсивности света $I(\\theta)$, которая будет наблюдаться на экране. Выразите ответ через $\\theta, d,E_0, c$ и $\\omega$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            3.b\n                                             \n                        \n                    "}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Чему равна максимальная интенсивность $(I_{max})$?\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            3.c\n                                             \n                        \n                    "}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Чему равна минимальная интенсивность$(I_{min})$?\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/48fc9ccf8ffb0c256846.webp","alt":"apho-2012-t3 statement: original source diagram 2"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Optical device – оптическое устройство, polarisers - поляризаторы."}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            4\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 2.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Теперь рассмотрим экспериментальную установку, показанную на рисунке выше, в которой на пути луча 1 помещены:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"— пластинка (ЧТВ) описанная выше,"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"— линейный поляризатор (обозначен как $\\mathrm I$), между $z=a$ и $z=b$, который пропускает только компоненту напряженности электрического поля, параллельную вектору $(\\hat i')$. Единичный вектор $\\hat i'$ определяется как $$\\hat i'=\\hat i \\cos \\gamma+\\hat j\\sin\\gamma$$ "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"— еще один линейный поляризатор (обозначен как $\\mathrm {II}$) между $z=b$ и $z=c$, который возвращает поляризацию луча в прежнее состояние (вдоль $\\hat i$)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Считайте, что поляризаторы не вносят разности хода, и что они полностью прозрачны.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            4.a\n                                             \n                        \n                    "}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Запишите выражение для напряженности электрического поля луча 1 после первого поляризатора в точке $b$ $[\\vec E_1(z=b)]$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            4.b\n                                             \n                        \n                    "}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Запишите выражение для напряженности электрического поля луча 1 после второго поляризатора в точке $c$ $[\\vec E_1(z=c)]$.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            4.c\n                                             \n                        \n                    "}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Чему равна разность фаз ($\\alpha$) между двумя лучами на щелях?\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Наиболее общим видом поляризации является эллиптическая поляризация. Обычно эллиптическую поляризацию описывают в виде суперпозиции двух ортогональных линейных поляризаций, то есть $$\\vec E=\\hat i 'E_0\\cos e \\cos (\\omega t)+\\hat j 'E_0\\sin e \\sin (\\omega t)$$ где $\\hat i',\\hat j'$ и данная поляризация показаны на риcунке ниже."},{"type":"element","tag":"br","children":[]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/0e22a1c97f5cc8536316.webp","alt":"apho-2012-t3 statement: original source diagram 3"}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Конец вектора напряженности электрического поля с течением времени описывает эллипс. Величина $e$ называется эллиптичностью и определяется как: $$\\tan e=\\frac{\\text{Меньшая полуось эллипса}}{\\text{Большая полуось эллипса}}$$ Линейная поляризация и круговая поляризация являются частными случаями эллиптической поляризации. Два параметра: $\\gamma(\\in[0,\\pi])$ и $e\\left(\\in \\left[-\\frac{\\pi}{4},\\frac{\\pi}{4}\\right]\\right)$ полностью определяют состояние поляризации.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"text","text":"\n                \n                \n                    \n                        \n Состояние поляризации также может быть представлено точкой на сфере единичного радиуса, которая называется сферой Пуанкаре. Поляризация представлена точкой $P$ на сфере Пуанкаре (см. рис. ниже), широта $\\angle PCD=2e$ и долгота $\\angle ACD=2\\gamma$. Здесь $C$ — центр сферы.\n\n                    \n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"img","src":"/corpus/figures/c7332d5c8796f53adad2.webp","alt":"apho-2012-t3 statement: original source diagram 4"},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"text","text":"Экватор – Equator"}]}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            5\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Рассмотрим точку на экваторе сферы Пуанкаре.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            5.a\n                                             \n                        \n                    "}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Запишите выражение для напряженности электрического поля ($\\vec E_{\\mathrm {Eq}}$) в этой точке.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            5.b\n                                             \n                        \n                    "}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Какова поляризация в этой точке?\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            6\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Рассмотри точку на северном полюсе сферы Пуанкаре.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            6.a\n                                             \n                        \n                    "}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Запишите выражение для напряженности электрического поля ($\\vec E_{\\mathrm{NP}}$) в этой точке.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            6.b\n                                             \n                        \n                    "}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Какова поляризация в этой точке?\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            7\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Теперь рассмотрим три состояния поляризации луча 1. Пусть начальная поляризация (при $z=0$) представлена точкой $A_1$ на сфере Пуанкаре; после пластинки ЧДВ, состояние (при $z=a$) представлено точкой $A_2$. После первого поляризатора (при $z=b$), состояние поляризации представлено точкой $A_3$. При $z=c$ поляризация возвращается в начальное состояние, которая представлена точкой $A_1$. Укажите эти точки ($A_1, A_2, A_3$) на сфере Пуанкаре.\n\n                \n                "}]}]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"p","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[]},{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n                        \n                            8\n                                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n                    \n Если эти три точки ($A_1, A_2, A_3$) соединить на сфере дугами больших кругов, на поверхности сферы получится треугольник. (Большим кругом называется круг, центр которого совпадает с центром сферы). Разность фаз $\\alpha$ и площадь $S$ треугольника на сфере связаны друг с другом. Выразите $S$ через $\\alpha$. Эта зависимость была получена Панчаратнамом и разность фаз называется фазой Панчаратнама.\n\n                \n                "}]}]}]}]}],"text":"Рассмотрим установку, схема которой показана на рисунке. Два когерентных монохроматических световых луча (обозначены 1 и 2), распространяющихся в направлении $z$, падают на две узкие щели, расположенные друг от друга на расстоянии $d(S_1S_2=d)$. После прохождения щели они интерферируют, и картина интерференции наблюдается на экране $S$. Расстояние между щелями и экраном $D$, причем $D\\gg d$. При решении этой задачи не учитывайте дифракционные эффекты на отдельных щелях. Beam --- луч 1 1.00 Пусть при $z=0$ лучи 1 и 2 линейно поляризованы. Соответствующие векторы напряженности электрического поля равны: $$\\vec E_1=\\hat iE_0\\cos(\\omega t)$$ $$\\vec E_2=\\hat iE_0\\cos(\\omega t)$$ где  $\\hat i$ — единичный вектор, направленный вдоль оси $x,\\omega$ — угловая частота световой волны и $E_0$ — амплитуда световой волны. Получите выражение для интенсивности света $I(\\theta)$, которая будет наблюдаться на экране, где $\\theta$ — угол, показанный на рис. Выразите ответ через $\\theta, d,E_0, c$ и $\\omega$, где $c$ — скорость света. Интенсивность пропорциональна усредненному квадрату напряженности электрического поля. Коэффициент пропорциональности считайте равным единице. Уменьшением напряженности электрического поля вследствие удаления от щели до любой точки на экране можно пренебречь. 2 1.00 Полностью прозрачная стеклянная пластина толщиной $h$ и показателем преломления $\\mu$ помещается на пути луча 1, перед щелями. Найдите выражение для интенсивности света $I(\\theta)$, которая будет наблюдаться на экране. Выразите ответ через $\\theta, d,E_0, c, \\omega,\\mu, h$. 3 2.00 Оптическое устройство, известное как пластинка в Четверть Длины Волны (ЧДВ), помещается на пути луча 1 перед щелями, вместо стеклянной пластинки. Это устройство изменяет поляризацию луча из линейной поляризации $\\vec E_1=\\hat iE_0\\cos(\\omega t)$ на круговую поляризацию: $$\\vec E_1=\\frac{1}{\\sqrt2}[\\hat iE_0\\cos(\\omega t)+\\hat jE_0\\sin(\\omega t)]$$ где $\\hat j$ — единичный вектор, направленный вдоль оси $y$. Считайте, что пластинка ЧДВ не вносит дополнительной разности хода и что она абсолютно прозрачна. Конец вектора напряженности электрического поля описывает окружность с течением времени. Поэтому говорят, что луч имеет круговую поляризацию. 3.a Найдите выражение для интенсивности света $I(\\theta)$, которая будет наблюдаться на экране. Выразите ответ через $\\theta, d,E_0, c$ и $\\omega$. 3.b Чему равна максимальная интенсивность $(I_{max})$? 3.c Чему равна минимальная интенсивность$(I_{min})$? Optical device – оптическое устройство, polarisers - поляризаторы. 4 2.00 Теперь рассмотрим экспериментальную установку, показанную на рисунке выше, в которой на пути луча 1 помещены: — пластинка (ЧТВ) описанная выше, — линейный поляризатор (обозначен как $\\mathrm I$), между $z=a$ и $z=b$, который пропускает только компоненту напряженности электрического поля, параллельную вектору $(\\hat i')$. Единичный вектор $\\hat i'$ определяется как $$\\hat i'=\\hat i \\cos \\gamma+\\hat j\\sin\\gamma$$ — еще один линейный поляризатор (обозначен как $\\mathrm {II}$) между $z=b$ и $z=c$, который возвращает поляризацию луча в прежнее состояние (вдоль $\\hat i$). Считайте, что поляризаторы не вносят разности хода, и что они полностью прозрачны. 4.a Запишите выражение для напряженности электрического поля луча 1 после первого поляризатора в точке $b$ $[\\vec E_1(z=b)]$. 4.b Запишите выражение для напряженности электрического поля луча 1 после второго поляризатора в точке $c$ $[\\vec E_1(z=c)]$. 4.c Чему равна разность фаз ($\\alpha$) между двумя лучами на щелях? Наиболее общим видом поляризации является эллиптическая поляризация. Обычно эллиптическую поляризацию описывают в виде суперпозиции двух ортогональных линейных поляризаций, то есть $$\\vec E=\\hat i 'E_0\\cos e \\cos (\\omega t)+\\hat j 'E_0\\sin e \\sin (\\omega t)$$ где $\\hat i',\\hat j'$ и данная поляризация показаны на риcунке ниже. Конец вектора напряженности электрического поля с течением времени описывает эллипс. Величина $e$ называется эллиптичностью и определяется как: $$\\tan e=\\frac{\\text{Меньшая полуось эллипса}}{\\text{Большая полуось эллипса}}$$ Линейная поляризация и круговая поляризация являются частными случаями эллиптической поляризации. Два параметра: $\\gamma(\\in[0,\\pi])$ и $e\\left(\\in \\left[-\\frac{\\pi}{4},\\frac{\\pi}{4}\\right]\\right)$ полностью определяют состояние поляризации. Состояние поляризации также может быть представлено точкой на сфере единичного радиуса, которая называется сферой Пуанкаре. Поляризация представлена точкой $P$ на сфере Пуанкаре (см. рис. ниже), широта $\\angle PCD=2e$ и долгота $\\angle ACD=2\\gamma$. Здесь $C$ — центр сферы. Экватор – Equator 5 0.50 Рассмотрим точку на экваторе сферы Пуанкаре. 5.a Запишите выражение для напряженности электрического поля ($\\vec E_{\\mathrm {Eq}}$) в этой точке. 5.b Какова поляризация в этой точке? 6 0.50 Рассмотри точку на северном полюсе сферы Пуанкаре. 6.a Запишите выражение для напряженности электрического поля ($\\vec E_{\\mathrm{NP}}$) в этой точке. 6.b Какова поляризация в этой точке? 7 1.50 Теперь рассмотрим три состояния поляризации луча 1. Пусть начальная поляризация (при $z=0$) представлена точкой $A_1$ на сфере Пуанкаре; после пластинки ЧДВ, состояние (при $z=a$) представлено точкой $A_2$. После первого поляризатора (при $z=b$), состояние поляризации представлено точкой $A_3$. При $z=c$ поляризация возвращается в начальное состояние, которая представлена точкой $A_1$. Укажите эти точки ($A_1, A_2, A_3$) на сфере Пуанкаре. 8 1.50 Если эти три точки ($A_1, A_2, A_3$) соединить на сфере дугами больших кругов, на поверхности сферы получится треугольник. (Большим кругом называется круг, центр которого совпадает с центром сферы). Разность фаз $\\alpha$ и площадь $S$ треугольника на сфере связаны друг с другом. Выразите $S$ через $\\alpha$. Эта зависимость была получена Панчаратнамом и разность фаз называется фазой Панчаратнама.\n","figures":["/corpus/figures/b67440f965d9b5c7071c.webp","/corpus/figures/48fc9ccf8ffb0c256846.webp","/corpus/figures/0e22a1c97f5cc8536316.webp","/corpus/figures/c7332d5c8796f53adad2.webp"],"shared":false},"solution":{"format":"html","nodes":[{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                1\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Пусть при $z=0$ лучи 1 и 2 линейно поляризованы. Соответствующие векторы напряженности электрического поля равны: $$\\vec E_1=\\hat iE_0\\cos(\\omega t)$$ $$\\vec E_2=\\hat iE_0\\cos(\\omega t)$$ где  $\\hat i$ — единичный вектор, направленный вдоль оси $x,\\omega$ — угловая частота световой волны и $E_0$ — амплитуда световой волны. Получите выражение для интенсивности света $I(\\theta)$, которая будет наблюдаться на экране, где $\\theta$ — угол, показанный на рис. Выразите ответ через $\\theta, d,E_0, c$ и $\\omega$, где $c$ — скорость света. Интенсивность пропорциональна усредненному квадрату напряженности электрического поля. Коэффициент пропорциональности считайте равным единице. Уменьшением напряженности электрического поля вследствие удаления от щели до любой точки на экране можно пренебречь.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                2\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Полностью прозрачная стеклянная пластина толщиной $h$ и показателем преломления $\\mu$ помещается на пути луча 1, перед щелями. Найдите выражение для интенсивности света $I(\\theta)$, которая будет наблюдаться на экране. Выразите ответ через $\\theta, d,E_0, c, \\omega,\\mu, h$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                3\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 2.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Оптическое устройство, известное как пластинка в Четверть Длины Волны (ЧДВ), помещается на пути луча 1 перед щелями, вместо стеклянной пластинки. Это устройство изменяет поляризацию луча из линейной поляризации $\\vec E_1=\\hat iE_0\\cos(\\omega t)$ на круговую поляризацию: $$\\vec E_1=\\frac{1}{\\sqrt2}[\\hat iE_0\\cos(\\omega t)+\\hat jE_0\\sin(\\omega t)]$$ где $\\hat j$ — единичный вектор, направленный вдоль оси $y$."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Считайте, что пластинка ЧДВ не вносит дополнительной разности хода и что она абсолютно прозрачна. Конец вектора напряженности электрического поля описывает окружность с течением времени. Поэтому говорят, что луч имеет круговую поляризацию.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                3.a\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" ??"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Найдите выражение для интенсивности света $I(\\theta)$, которая будет наблюдаться на экране. Выразите ответ через $\\theta, d,E_0, c$ и $\\omega$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                3.b\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" ??"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Чему равна максимальная интенсивность $(I_{max})$?\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                3.c\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" ??"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Чему равна минимальная интенсивность$(I_{min})$?\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                4\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 2.00"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Теперь рассмотрим экспериментальную установку, показанную на рисунке выше, в которой на пути луча 1 помещены:"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"— пластинка (ЧТВ) описанная выше,"},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"— линейный поляризатор (обозначен как $\\mathrm I$), между $z=a$ и $z=b$, который пропускает только компоненту напряженности электрического поля, параллельную вектору $(\\hat i')$. Единичный вектор $\\hat i'$ определяется как $$\\hat i'=\\hat i \\cos \\gamma+\\hat j\\sin\\gamma$$ "},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"— еще один линейный поляризатор (обозначен как $\\mathrm {II}$) между $z=b$ и $z=c$, который возвращает поляризацию луча в прежнее состояние (вдоль $\\hat i$)."},{"type":"element","tag":"br","children":[]},{"type":"text","text":"Считайте, что поляризаторы не вносят разности хода, и что они полностью прозрачны.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                4.a\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" ??"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Запишите выражение для напряженности электрического поля луча 1 после первого поляризатора в точке $b$ $[\\vec E_1(z=b)]$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                4.b\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" ??"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Запишите выражение для напряженности электрического поля луча 1 после второго поляризатора в точке $c$ $[\\vec E_1(z=c)]$.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                4.c\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" ??"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Чему равна разность фаз ($\\alpha$) между двумя лучами на щелях?\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                5\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Рассмотрим точку на экваторе сферы Пуанкаре.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                5.a\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" ??"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Запишите выражение для напряженности электрического поля ($\\vec E_{\\mathrm {Eq}}$) в этой точке.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                5.b\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" ??"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Какова поляризация в этой точке?\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                6\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 0.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Рассмотри точку на северном полюсе сферы Пуанкаре.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                6.a\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" ??"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Запишите выражение для напряженности электрического поля ($\\vec E_{\\mathrm{NP}}$) в этой точке.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                6.b\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" ??"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Какова поляризация в этой точке?\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                7\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Теперь рассмотрим три состояния поляризации луча 1. Пусть начальная поляризация (при $z=0$) представлена точкой $A_1$ на сфере Пуанкаре; после пластинки ЧДВ, состояние (при $z=a$) представлено точкой $A_2$. После первого поляризатора (при $z=b$), состояние поляризации представлено точкой $A_3$. При $z=c$ поляризация возвращается в начальное состояние, которая представлена точкой $A_1$. Укажите эти точки ($A_1, A_2, A_3$) на сфере Пуанкаре.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]},{"type":"element","tag":"div","children":[{"type":"element","tag":"span","children":[{"type":"text","text":"\n            \n                8\n                 "},{"type":"element","tag":"sup","children":[{"type":"text","text":" 1.50"}]}]},{"type":"text","text":"\n        \n            \n            \n Если эти три точки ($A_1, A_2, A_3$) соединить на сфере дугами больших кругов, на поверхности сферы получится треугольник. (Большим кругом называется круг, центр которого совпадает с центром сферы). Разность фаз $\\alpha$ и площадь $S$ треугольника на сфере связаны друг с другом. Выразите $S$ через $\\alpha$. Эта зависимость была получена Панчаратнамом и разность фаз называется фазой Панчаратнама.\n\n            \n        \n    "},{"type":"element","tag":"p","children":[]},{"type":"element","tag":"div","children":[]}]}],"text":"1 1.00 Пусть при $z=0$ лучи 1 и 2 линейно поляризованы. Соответствующие векторы напряженности электрического поля равны: $$\\vec E_1=\\hat iE_0\\cos(\\omega t)$$ $$\\vec E_2=\\hat iE_0\\cos(\\omega t)$$ где  $\\hat i$ — единичный вектор, направленный вдоль оси $x,\\omega$ — угловая частота световой волны и $E_0$ — амплитуда световой волны. Получите выражение для интенсивности света $I(\\theta)$, которая будет наблюдаться на экране, где $\\theta$ — угол, показанный на рис. Выразите ответ через $\\theta, d,E_0, c$ и $\\omega$, где $c$ — скорость света. Интенсивность пропорциональна усредненному квадрату напряженности электрического поля. Коэффициент пропорциональности считайте равным единице. Уменьшением напряженности электрического поля вследствие удаления от щели до любой точки на экране можно пренебречь.\n2 1.00 Полностью прозрачная стеклянная пластина толщиной $h$ и показателем преломления $\\mu$ помещается на пути луча 1, перед щелями. Найдите выражение для интенсивности света $I(\\theta)$, которая будет наблюдаться на экране. Выразите ответ через $\\theta, d,E_0, c, \\omega,\\mu, h$.\n3 2.00 Оптическое устройство, известное как пластинка в Четверть Длины Волны (ЧДВ), помещается на пути луча 1 перед щелями, вместо стеклянной пластинки. Это устройство изменяет поляризацию луча из линейной поляризации $\\vec E_1=\\hat iE_0\\cos(\\omega t)$ на круговую поляризацию: $$\\vec E_1=\\frac{1}{\\sqrt2}[\\hat iE_0\\cos(\\omega t)+\\hat jE_0\\sin(\\omega t)]$$ где $\\hat j$ — единичный вектор, направленный вдоль оси $y$. Считайте, что пластинка ЧДВ не вносит дополнительной разности хода и что она абсолютно прозрачна. Конец вектора напряженности электрического поля описывает окружность с течением времени. Поэтому говорят, что луч имеет круговую поляризацию.\n3.a ?? Найдите выражение для интенсивности света $I(\\theta)$, которая будет наблюдаться на экране. Выразите ответ через $\\theta, d,E_0, c$ и $\\omega$.\n3.b ?? Чему равна максимальная интенсивность $(I_{max})$?\n3.c ?? Чему равна минимальная интенсивность$(I_{min})$?\n4 2.00 Теперь рассмотрим экспериментальную установку, показанную на рисунке выше, в которой на пути луча 1 помещены: — пластинка (ЧТВ) описанная выше, — линейный поляризатор (обозначен как $\\mathrm I$), между $z=a$ и $z=b$, который пропускает только компоненту напряженности электрического поля, параллельную вектору $(\\hat i')$. Единичный вектор $\\hat i'$ определяется как $$\\hat i'=\\hat i \\cos \\gamma+\\hat j\\sin\\gamma$$ — еще один линейный поляризатор (обозначен как $\\mathrm {II}$) между $z=b$ и $z=c$, который возвращает поляризацию луча в прежнее состояние (вдоль $\\hat i$). Считайте, что поляризаторы не вносят разности хода, и что они полностью прозрачны.\n4.a ?? Запишите выражение для напряженности электрического поля луча 1 после первого поляризатора в точке $b$ $[\\vec E_1(z=b)]$.\n4.b ?? Запишите выражение для напряженности электрического поля луча 1 после второго поляризатора в точке $c$ $[\\vec E_1(z=c)]$.\n4.c ?? Чему равна разность фаз ($\\alpha$) между двумя лучами на щелях?\n5 0.50 Рассмотрим точку на экваторе сферы Пуанкаре.\n5.a ?? Запишите выражение для напряженности электрического поля ($\\vec E_{\\mathrm {Eq}}$) в этой точке.\n5.b ?? Какова поляризация в этой точке?\n6 0.50 Рассмотри точку на северном полюсе сферы Пуанкаре.\n6.a ?? Запишите выражение для напряженности электрического поля ($\\vec E_{\\mathrm{NP}}$) в этой точке.\n6.b ?? Какова поляризация в этой точке?\n7 1.50 Теперь рассмотрим три состояния поляризации луча 1. Пусть начальная поляризация (при $z=0$) представлена точкой $A_1$ на сфере Пуанкаре; после пластинки ЧДВ, состояние (при $z=a$) представлено точкой $A_2$. После первого поляризатора (при $z=b$), состояние поляризации представлено точкой $A_3$. При $z=c$ поляризация возвращается в начальное состояние, которая представлена точкой $A_1$. Укажите эти точки ($A_1, A_2, A_3$) на сфере Пуанкаре.\n8 1.50 Если эти три точки ($A_1, A_2, A_3$) соединить на сфере дугами больших кругов, на поверхности сферы получится треугольник. (Большим кругом называется круг, центр которого совпадает с центром сферы). Разность фаз $\\alpha$ и площадь $S$ треугольника на сфере связаны друг с другом. Выразите $S$ через $\\alpha$. Эта зависимость была получена Панчаратнамом и разность фаз называется фазой Панчаратнама.","figures":[],"shared":false}},{"id":"eupho-2025-t1","importedOn":"2026-10-28","language":"en","sources":[{"url":"https://eupho.ee/wp-content/uploads/2025/06/EuPhO_2025_Theory_ENG.pdf","kind":"statement"},{"url":"https://eupho.ee/wp-content/uploads/2025/06/EuPhO25_Theory_Solutions_20250616_1120.pdf","kind":"solution"}],"statement":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/eupho-2025-statement/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/eupho-2025-statement/page-1.webp","width":982,"height":1389}],"text":"Theoretical Problems. Language: English\nT1: Sunny (10 pts)\nYou are asked to study the features of the brightly lit\ncircle and dark rings in the figures below. Make your\ncalculations for an idealized situation: the chair leg\nis strictly cylindrical of radius 𝑎, strictly vertical, with\na perfectly smooth, cylindrical, and perfectly reflect-\ning surface. You may make any additional model as-\nsumptions and approximations you deem reasonable\nthat will simplify your calculations.\na) (5 pts) Determine how the illuminance surplus\n𝐼(𝑟, 𝜃) inside the brightly lit circle on the floor\ndepends on the polar coordinates 𝑟≫𝑎and 𝜃.\nThe illuminance quantifies the amount of incom-\ning light per area. By “surplus” we mean the ad-\nditional illuminance introduced due to the pres-\nence of the cylinder.\nExpress the answer in\nterms of 𝐼0 defined as the illuminance difference\nbetween points A and B in the figure.\nb) (5 pts) In the following figure some fingers are\nblocking some of the light from reaching the\nchair leg. Let 𝑅(𝜃) denote the radial distance of\nthe middle dark ring as a function of the angle 𝜃\nand let 𝑅min be the minimal value of 𝑅(𝜃). Deter-\nmine 𝑅(𝜃) −𝑅min.\nT2: Floating table (10 pts)\nA table is made by fastening a metal frame to a mas-\nsive uniform plate (so they form a rigid body) and at-\ntaching it with chains to another frame that is fixed\non the horizontal ground. The motion of the table is\nlimited to the plane of the side view (right picture).\na) (4 pts) Show that in the configuration on the side\nview, the table is in a stable equilibrium.\nb) (6 pts) Find the period 𝑇of the small oscillations.\nThe masses of the chains and the frame can be\nneglected. The chains are frictionless, inextensible,\nand remain tensioned in oscillations. The grid step\nis 𝑎= 0.100 m, the acceleration of gravity 𝑔= 9.81 m/s2.\na\ng\na\nT3: Crossed wires (10 pts)\na) (1 pt) Current flows through an infinite, straight,\nthin wire. There is an externally imposed, uni-\nform magnetic field directed parallel to the wire.\nQualitatively sketch one of the magnetic field\nlines.\nb) (5 pts) Now consider two infinite, straight, thin\nwires (wires 𝑋and 𝑌), each carrying a current 𝐼\nas shown in the figure. The 𝑥-axis coincides with\nwire 𝑋, while wire 𝑌is parallel to the 𝑦-axis and\npasses through the point (0, 0, −𝑎). Let P be the\npoint (3𝑎, 0, 𝑟).\nAssuming 𝑟≪𝑎, calculate 𝑑, the\ndistance of closest approach of the magnetic field\nline that passes through P to the wire 𝑋.\nc) (4 pts) Let 𝐿be the length of this field line be-\ntween P and its point of closest approach to wire\n𝑋. Using values 𝑎= 10 cm and 𝑟= 1.0 mm, calculate\n𝐿to within 20% relative error.\n𝐼\n𝐼\n𝑎\n𝑟\nP\n3𝑎\n𝑋\n𝑌\n𝑥\n𝑦\n𝑧\n","shared":true,"sourcePages":[1],"initialPage":1},"solution":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/eupho-2025-solution/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/eupho-2025-solution/page-1.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2025-solution/page-2.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2025-solution/page-3.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2025-solution/page-4.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2025-solution/page-5.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2025-solution/page-6.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2025-solution/page-7.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2025-solution/page-8.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2025-solution/page-9.webp","width":982,"height":1389}],"text":"Theoretical Problems - Solutions\nT1: Sunny (10 pts)\n𝑥\n𝑎\n𝑟\n𝑙\n𝜃\n𝛽\n𝛼\n𝛼\n𝛼\n𝛽\n𝜖\nIlluminated spot on floor\nFigure 1: Top view of a light ray hitting the chair leg.\nThe incoming light ray strikes the cylinder at the blue\ndot, and the reflected ray strikes the floor at the red\ndot.\nPart a)\nSince points A and B are very close, 𝐼0 is the\nilluminance surplus due to direct sunlight.\nConsider a small (infinitesimal) horizontal rectan-\ngle [𝑥, 𝑥+ 𝛿𝑥] × [ 𝑦, 𝑦+ 𝛿𝑦] placed in the light beam.\nAs depicted in Fig 1, we let 𝑙be the horizontal dis-\ntance between the point where a ray hits the cylin-\nder and where it hits the floor and 𝛼the horizontal\nangle between the ray and the surface normal. The\nspot on the floor made by the light makes an angle\nof 2𝛼from the incident ray, and forms a small patch\nof size (𝑙2𝛿𝛼)(𝛿𝑙) on the floor.\nConsidering the side view sketched in Figure 2, we\nsee that 𝛿𝑙∝𝛿𝑦for both the ray that hits the ground\ndirectly, or a ray that is reflected before hitting the\nground.\nWe thus have\n𝐼0𝛿𝑥= 2𝐼𝑙𝛿𝛼\n(1)\nLet 𝛽= 𝜋−𝛼as sketched in Fig 1. Then\n𝛿𝑥= 𝑎(sin(𝛽+ 𝛿𝛽) −sin 𝛽) ≈𝑎cos 𝛽𝛿𝛽\n(2)\nTherefore,\n𝐼= −𝐼0𝑎\n2𝑙cos(𝛽)\n(3)\n(Note that cos 𝛽< 0.) This expression is accurate to\norder (𝑎/𝑙)2, but is not in terms of the variables re-\nCenterline\n𝑎cos 𝛼\n𝑙\nℎ0\nℎ\n𝛾\nFigure 2: Side view, with the reflected light ray ro-\ntated to lie in the same plane as the incident ray.\nquested. A more accurate expression would be\n𝐼= −\n𝐼0𝑎\n√\n4𝑙2 + 𝑎2 sin2(𝛽)\ncos(𝛽),\nbut it is not necessary to find this expression.\nTo obtain 𝐼as a function of 𝑟and 𝜃, we need to\nexpress 𝛽and 𝑙in terms of 𝑟and 𝜃.\nIf 𝑎≪𝑟, 𝑙and 𝑟almost coincide. To leading order\nthus 𝑙≈𝑟and 𝜃≈𝜋−2𝛼= 2𝛽−𝜋. Substituting 𝑙and 𝛽\nin (3) results in\n𝐼≈𝐼0𝑎\n2𝑟sin(𝜃/2)\n(4)\nPart b)\nThe rings appear because the fingers block\nthe light. For the middle ring, the finger is approxi-\nmately horizontal.\nFor 𝑙0 be the horizontal distance 𝑙for 𝛼= 𝜋/2. Con-\nsider the sketch in Fig. 2. Note that\n𝑙= 𝑙0 + 𝑎cos 𝛼= 𝑙0 + 𝑎| cos(𝛽)|\n(5)\nThe minimum value 𝑅min is attained at 𝛼= 𝛽= 𝜋/2,\nwhere 𝜃≈0 and 𝑅min ≈𝑙0 within an error of order\n(𝑎/𝑟)2. Hence,\n𝑙≈𝑅min + 𝑎cos 𝛼= 𝑅min + 𝑎| cos(𝛽)|\nThe Cosine theorem applied to the triangle between\nthe center of the chair leg, the point where the ray\nreflects form the leg and the point where it hits the\nfloor, gives the relation\n𝑟2 = 𝑎2 + 𝑙2 −2𝑎𝑙cos(𝛽)\n(6)\n\nTheoretical Problems - Solutions\nUsing (6) and expanding, we obtain\n𝑟2 = 𝑅2\nmin + 4𝑎𝑅min cos 𝛼+ 3𝑎2 cos2 𝛼\nUsing cos 𝛼≈sin(𝜃/2), and dropping terms of order\n(𝑎/𝑟)2, we arrive at\n𝑅−𝑅min ≈2𝑎sin(𝜃/2)\n(7)\nThe factor of 2 is significant!\nMarking scheme T1\nProblem T1 a)\nPts\nA\nCorrect angles, 2𝛼+ 𝜃> 𝜋\n0.5\nOnly state 2𝛼+𝜃= 𝜋without justification\n0.2\nB\nReflection law (stated in any way)\n0.5\nC\n𝑥= 𝑎sin 𝛼\n0.5\nD\nEq. 1\n1.0\nMissing factor of 2\n-0.3\n𝑟instead of 𝑙\n-0.3\nE\nEq. 3 for 𝐼\n0.5\nF\nJustify 𝑙≈𝑟\n0.5\nAssume 𝑙≈𝑟without justification\n0.2\nG\nEq. 4 for 𝐼\n1.5\nTotal on T1 a)\n5.0\nProblem T1 b)\nPts\nH\nCosine Law expression\n1.0\nI\nEq. 5 for 𝑙\n1.0\nqualitative\nunderstanding\nwhy\n𝑅(𝜃)\nvaries with 𝜃\n0.5\nJ\nJustifying 𝑙0 ≈𝑅min to leading order\n1\nOnly stating 𝑙0 ≈𝑅min\n0.5\nK\nFinal Eq. 7\n2.0\nWriting 𝑅−𝑅min = 𝑎sin(𝜃/2)\n1.0\nOnly has 𝑅max −𝑅min = 2𝑎\n0.5\nOnly has 𝑅max −𝑅min = 𝑎\n0.0\nTotal on T1 b)\n5.0\nGeneral rules for marking in T1:\n• The grain size for marking is 0.1 Pts.\n• Yellow shaded categories receive a single mark\n• Partial marks can be awarded for most aspects.\n• For each mistake in calculation (algebraic or nu-\nmeric) 0.3 Pts. are deducted.\n• If a mistake leads to a dimensionally incorrect ex-\npression no marks are given for the result.\n• Propagating errors are not punished again unless\nthey are dimensionally wrong or entail oversim-\nplified/wrong physics (e.g. neglecting friction ef-\nfects).\n• Getting a correct answer for a later part that could\nonly be arrived at by doing a previous part cor-\nrectly will result in the minimum score(s) for pre-\nvious part(s) that would support the end result.\n• Justifying F can be done graphically, algebraically,\nwith words, but needs more than just writing 𝑟≈𝑙.\n• Arriving at a correct G without supporting work\nwould score 4.1 for A-G as (0.2, 0.5, 0.5, 0.7, 0.5,\n0.2, 1.5).\n• Arriving at an incorrect G without supporting work\nwould score 0 for A-G.\n• Arriving at a correct K without supporting work\nwould score 4.5 for L-O as (1.0, 1.0, 0.5, 2.0)\n• Arriving at an incorrect K without supporting work\nwould score 0 for H-J, and then the points for K.\n\nTheoretical Problems - Solutions\nT2: Floating table (10 pts)\nSolution with forces\nFirst, let us consider the\nforces and torques and show that in the configuration\nshown in the figure, the table is indeed in equilib-\nrium. By the word “table”, we understand the rigid\nbody formed by the plate and the frame attached to\nit. In the following considerations and descriptions\nof the table position we often use positions of points\nA, B and C, which belong to the rigid table: distances\nbetween them do not change. Since in the problem\nstatement, the motion is limited to the side view only,\nthe pair of short chains will always have the same\nposition when viewed from the side. So we will con-\nsider them as a single chain (chain 1) with the tension\ndoubled. The same is true for the pair of long chains\n(chain 2).\n2𝑎\n4𝑎\n𝑚®𝑔\n®𝐹1\n®𝐹2\nA\nB\nC\nFigure 3: Scheme of forces for the initial state.\nThere are 3 forces acting on a table (see Fig. 3):\nplate weight 𝑚®𝑔(at the center of mass of the table\nC), and 2 tension forces from the chains: ®𝐹1 (at point\nA, chain 1) and ®𝐹2 (at point B, chain 2). Since all the\nforces only have vertical components different from\n0, their horizontal components are balanced and for\ntheir vertical components, the balance equation is:\n−𝑚𝑔+ 𝐹1 −𝐹2 = 0.\n(8)\nFinally, consider the torque balance around the\npoint 𝐵:\n𝑚𝑔· 4𝑎−𝐹1 · 2𝑎= 0.\n(9)\nSolving the system of equations (8-9), we get 𝐹1 =\n2𝑚𝑔and 𝐹2 = 𝑚𝑔. Since both 𝐹1, 𝐹2 > 0, we conclude\nthat the chains are indeed tensioned and the system\nis in equilibrium.\nNow let’s analyze how the table rotates, when it\nis displaced. Since the chains are tensioned and in-\nextensible, the point 𝐵can only travel along the cir-\ncle 𝑐𝑏. Similarly, the distance between the point A0\nand any point inside the circle 𝑐𝑎is smaller than the\nlength of the short chain (4𝑎); the distance between\nthe point A0 and any point outside of the circle 𝑐𝑎is\nlarger than 4𝑎.\nSince the table is rigid, if we fix the point B and ro-\ntate the table around it, point A would travel along\nthe circle 𝑐𝑡.\nFrom the way how 𝑐𝑡intersects with\n𝑐𝑎, we can conclude that if the table is rotated clock-\nwise, the distance A0A decreases. And if it is rotated\ncounter-clockwise, A0A increases.\nLet’s imagine we translate (move without rotation)\nthe table to the left, so the point 𝐵travels to the point\n𝐵′. Point 𝐴would move to the point 𝐴′, as shown in\nFig. 4. Since 𝐴′ is outside of the circle 𝑐𝑎, A0A′ > A0A\nand the table has to rotate clockwise (around B′) to\ncompensate for this change and return the point A′\nback to the circle 𝑐𝑎(point A′′) to satisfy the constant\nchain length constraint.\nB\nA\nC\nA′′\nB′\nA′\nA0\nB0\n𝑐𝑏\n𝑐𝑎\n𝑐𝑡\nA\nA′′\nA′\nFigure 4: Translation to the left and clockwise rota-\ntion of the table\nIf we translate the table in the opposite direction,\nfollowing similar arguments, we find that the table\nrotates clockwise in this case too, see Fig. 5.\nB\nB′\nB0\nC\nA0\nA\nA′′\nA′\n𝑐𝑎\n𝑐𝑡\nFigure 5: Translation to the right and clockwise ro-\ntation of the table\n\nTheoretical Problems - Solutions\nSince the table rotates in the same direction for\nboth positive and negative horizontal displacements,\nthe Taylor expansion of the angle of rotation 𝜑(𝑥)\ndoes not contain a linear term in 𝑥: 𝜑(𝑥) ∼𝑥2. This\nmeans that for small horizontal displacements, we\ncan neglect the table rotation.\nLet’s look at what happens when the table is dis-\nplaced infinitesimally from its initial position in the\nhorizontal direction (it will also move in the vertical\ndirection, but the displacement in the vertical direc-\ntion is an order of magnitude smaller and we will ne-\nglect it). The vertical components of the forces in the\nchains do not change significantly, but as you can see\nin the Fig. 6, the horizontal components of the forces\nin both chains appear in the direction opposite to the\ndisplacement. This means that the equilibrium is sta-\nble.\n𝑚®𝑔\n®𝐹1\n®𝐹2\nB\nC\nA\nFigure 6: Horizontal displacement of the table\nSince we have already drawn a figure showing the\ndisplaced position of the table, let us write the equa-\ntion of motion for the table plate for small horizon-\ntal displacements 𝑥, where 𝜃1 and 𝜃2 are small an-\ngles between the chains 1 and 2 respectively and the\nvertical. Since the table displacement is small, ten-\nsion forces 𝐹1 and 𝐹2 cannot change significantly (the\nforce change is of the same order as the displace-\nment). Thus, we can use the previously found values:\n𝑚¥𝑥= −𝐹1 sin 𝜃1 −𝐹2 sin 𝜃2 = −𝐹1𝜃1 −𝐹2𝜃2 =\n= −2𝑚𝑔𝑥\n4𝑎−𝑚𝑔𝑥\n6𝑎= −𝑚𝑔2𝑥\n3𝑎,\nwhere we have also considered the lengths of the\nchains 4𝑎(chain 1) and 6𝑎(chain 2), neglected the\nrotation of the plate and used small angle approxi-\nmations. Rearranging this equation, we get:\n¥𝑥+ 2𝑔\n3𝑎𝑥= 0,\nwhich describes horizontal oscillations of the table\nplate with 𝜔=\n√\n2𝑔/(3𝑎) = 8.09 s−1, frequency 𝜈= 1.29 Hz\nand period\n𝑇= 777 ms.\nSolution with energies\nLet’s denote the small dis-\nplacement of the centre of mass from equilibrium po-\nsition C to C′ as (𝑥, 𝑦), where 𝑥, 𝑦≪𝑎, and the small\ntilt of the table as 𝜑, as shown in Fig. 7.\n5𝑎\n2𝑎\n4𝑎\n4𝑎\nA′\nB′\nC′\n𝜑\n𝜑\n𝜑\nB\nA\nC\nFigure 7: Infinitesimal displacement of the table\nGiven the small angle approximation 𝜑≪1 (sin 𝜑≈\n𝜑and cos 𝜑≈1), the displacement of points from equi-\nlibrium positions A and B to A′ and B′ are:\nΔ𝐴𝑥= 𝑥−5𝑎sin 𝜑−2𝑎(1 −cos 𝜑) ≈𝑥−5𝑎𝜑,\nΔ𝐴𝑦= 𝑦−2𝑎sin 𝜑+ 5𝑎(1 −cos 𝜑) ≈𝑦−2𝑎𝜑,\nΔ𝐵𝑥= 𝑥−4𝑎(1 −cos 𝜑) ≈𝑥,\nΔ𝐵𝑦= 𝑦−4𝑎sin 𝜑≈𝑦−4𝑎𝜑.\nNow we can write a condition that the squared\nlength of the small chain remains the same:\n(𝑥−5𝑎𝜑)2 + (4𝑎−𝑦+ 2𝑎𝜑)2 = (4𝑎)2\n𝑥2 −10𝑎𝑥𝜑+ 25𝑎2𝜑2 −8𝑎( 𝑦−2𝑎𝜑) + ( 𝑦−2𝑎𝜑)2 = 0,\nLet’s notice that the largest term in 𝑥is 𝑥2 and in\n𝑦and 𝑎𝜑, it’s 8𝑎( 𝑦+ 2𝑎𝜑). Thus, we can omit all other\nterms, since they are of the higher order (and there-\nfore smaller):\n𝑥2 −8𝑎( 𝑦−2𝑎𝜑) = 0,\n𝑥2\n8𝑎−𝑦+ 2𝑎𝜑= 0.\n(10)\nDoing the same for the long chain we get:\n𝑥2 + (6𝑎+ 𝑦−4𝑎𝜑)2 = (6𝑎)2\n𝑥2 + 12𝑎( 𝑦−4𝑎𝜑) + ( 𝑦−4𝑎𝜑)2 = 0,\nOmitting higher order terms we get:\n𝑥2 + 12𝑎( 𝑦−4𝑎𝜑) = 0,\n𝑥2\n12𝑎+ 𝑦−4𝑎𝜑= 0.\n(11)\nSolving (10) and (11) as linear equations on 𝑦and 𝜑,\nwe get:\n𝑦= 𝑥2\n3𝑎,\n𝜑= 5𝑥2\n48𝑎2 .\nSince the potential energy of the table\n𝑈= 𝑚𝑔𝑦= 2\n3𝑎𝑚𝑔𝑥2\n2 ,\n(12)\n\nTheoretical Problems - Solutions\ndoesn’t have a term linear in 𝑥, we conclude that the\nsystem is in equilibrium. And since the coefficient\nfor 𝑥2 is positive, the equilibrium is stable.\nThe kinetic energy of the table is:\n𝐸= 𝑚¤𝑥2 + ¤𝑦2\n2\n+ 𝐼¤𝜑2\n2 ≈𝑚¤𝑥2\n2 ,\n(13)\nwhere 𝐼is a moment of inertia with respect to rota-\ntion around the axis through the centre of mass C.\nSince both 𝑦and 𝜑depend on 𝑥2, their squared\nderivatives will be proportional to 𝑥2 ¤𝑥2 and can be\nneglected when compared to ¤𝑥2 term.\nFinally, we can find the period of oscillations from\nthe ratio of coefficients of (13) and (12):\n𝑇= 2𝜋\n√\n𝑚\n/\n2𝑚𝑔\n3𝑎\n= 2𝜋\n√\n3𝑎\n2𝑔= 0.777 s.\nSolution with the curvature\nWe begin with the\nobservation that at the initial horizontal position,\npoints A and B in Fig. 3 move horizontally. There-\nfore, the instantaneous centre of table’s rotation is\nat infinity (found as the intersection of lines perpen-\ndicular to the velocity vectors, which are parallel in\nthis case), or in other words there is no rotation. An-\nother way to see it is to consider the projections of\nthe velocities 𝑣𝐴and 𝑣𝐵to the line 𝐴𝐵which should\nbe the same in a rigid body. Thus 𝑣𝐴= 𝑣𝐵= 𝑣and all\nthe points of the table move with the same velocity,\ni.e. there is no immediate rotation.\n®𝑣𝐵\n®𝑣𝐴\n𝐴\n𝐵\n𝐶\nFigure 8: Immediate velocities given the constraints\nConsequently, no rotational kinetic energy is in-\nvolved, and the motion of the table can be treated\nas the motion of a point mass located at the centre of\nmass, point C. Since at the given configuration, the\n𝑣𝐶can only be horizontal, we conclude that initially\ntable is at equilibrium. All that remains is to find the\nradius of curvature 𝑅of its trajectory and calculate\n𝑇= 2𝜋\n√\n𝑅/𝑔.\nTo find the radius of curvature, we note that for an\narbitrary point 𝑃on the table, the curvature ®𝑐= ˆ𝑛/𝑅\n𝐶\n𝐵\n𝐴\n𝑤𝐵\n𝑤𝐴𝑦\n𝑤𝐴𝑥\n𝛼\n𝛼\n𝛼\n𝛼\n𝛼\n𝛼\n𝑤𝐶\nFigure 9: Immediate accelerations\nof its trajectory is a linear function of its coordinates,\nwhere ˆ𝑛denotes a unit vector pointing towards the\ncentre of curvature. Indeed, using a non-inertial ref-\nerence frame where the rigid body remains at rest\nwith origin at 𝑂, the acceleration of point 𝑃is the su-\nperposition of: the acceleration of 𝑂, the centripetal\nacceleration −®\n𝑂𝑃𝜔2, and the tangential acceleration\n®𝜀× ®\n𝑂𝑃. All of these are linear functions of the coordi-\nnates of point 𝑃, where ®𝜀denotes the angular accel-\neration and 𝜔the angular speed. Hence, in the lab\nframe, the acceleration of point 𝑃is a linear function\nof coordinates, as must be its centripetal accelera-\ntion 𝑣2®𝑐. Since the angular speed of the table is zero,\nall points move with the same speed, so ®𝑐must be a\nlinear function of coordinates.\nThe remaining calculation is straightforward: due\nto the translational motion of the body, curvatures\ndepend only on the horizontal coordinate 𝑥. The cur-\nvature of 𝐵at 𝑥= 4𝑎is 𝑐𝐵= −1/(6𝑎), with the minus sign\nindicating that the vector points downwards.\nThe\ncurvature of 𝐴at 𝑥= 2𝑎is 𝑐𝐴= 1/(4𝑎).\nHence, the\ncurvature of 𝐶is 1/(4𝑎) + (1/(4𝑎) + 1/(6𝑎)) = 2/(3𝑎), giv-\ning 𝑅= 1.5 dm and resulting in 𝑇= 777 ms.\nPositive\ncurvature means that the position is a stable equilib-\nrium.\nAnother way to see it, is to consider normal accel-\neration 𝑤𝐶of point C. For 2 points of a rigid body 𝐶\nand 𝐵, the projections of their accelerations 𝑤𝐶, 𝑤𝐵to\nthe segment 𝐵𝐶differ by the value 𝜔2|𝐵𝐶|. However,\nin our case since there is no rotation, the projections\nof acceleration are equal (like velocities). This means\nthat the accelaration 𝑤𝐵is also normal and equal to\n𝑤𝐵= 𝑣2/(6𝑎). Point 𝐴has both normal and tangential\nacceleration. Comparing projections of points 𝐴, 𝐵,\n\nTheoretical Problems - Solutions\nand 𝐴, 𝐶, we get:\n−𝑤𝐵cos 𝛼= 𝑤𝐴𝑦cos 𝛼−𝑤𝐴𝑦sin 𝛼,\n𝑤𝐶cos 𝛼= 𝑤𝐴𝑦cos 𝛼+ 𝑤𝐴𝑦sin 𝛼,\nThus, we find that\n𝑤𝐶= 𝑤𝐵+ 2𝑤𝐴𝑦= 𝑣2\n6𝑎+ 2 𝑣2\n4𝑎=\n𝑣2\n3𝑎/2,\nso radius of curvature is 𝑅= 3𝑎/2.\nYou can visualize the motion of the table using a\nGeoGebra tool, following the web link or the qr code\nhttps://www.geogebra.org/m/wbqwp3tf\nMarking scheme T2\nA\nTable is in equilibrium\nPartial points:\n– (1pt) Sketch of forces or eqn for forces\n2.0\nB\nThe equilibrium is stable\nPartial points:\n– (1pt) Sketch with returning forces, but\nthere is no proof that 𝜔0 = 0\n– (1pt) There is a statement that the\nstability comes from 𝑦= 𝑘𝑥2 if 𝑘> 0, but\n𝑘is not found correctly (and thus could\npotentially be negative)\n2.0\nC\nTable can rotate:\nwhether it is clear from the sketch or\nfrom the equations, i.e. 𝜑is introduced\n1.0\nD\nTable does not have immediate rotation\nwhether it is proved separately or follows\nnaturally from the results of calculations:\n– geometry considered ⇒𝜑∼𝑥2\n– eqn for contraints ⇒𝜑∼𝑥2\n– immediate velocities ⇒no rotation\n1.0\nE\nThe plan how to find the period of oscil-\nlation:\n– 2nd Newton’s law ¥𝑥∼−𝑥\n– idea to find kinetic and potential ener-\ngies\n– using the curvature of the trajectory\n1.0\nF\nFinding all the elements for the plan\nabove:\n– small horizontal forces\n– energies to the correct approximations\n– accelerations/curvatures\nPartial points:\n– (1pt) if not all elements are found or\nthey are found with mistakes\n– (1pt) if there is no proof 𝜔0 = 0 (or no\nconsideration about the rotation at all),\nbut other than that, everything is correct\n– (0pts) if some elements are there, but\nthe plan was different (e.g. the student\nwas looking for energies, but has the\nexpression for forces)\n2.0\nG\nFormula and number for 𝑇\nPartial points:\n– (0.5pts) only formula or a number\n– (0.5pts) simple mistake (like inverse\nformula under the root)\n1.0\nTotal\n10.0\n– Only a single partial point is applied (whatever is\nlarger)\n– If there is a single simple arithemetic error/typo in\ncalculations in item F, which leads to a wrong for-\nmula value in item G, then F and G receive 1 pt each\n(no propagation of error). This doesn’t apply to more\nprofound errors in physics/geometry\n\nTheoretical Problems - Solutions\nT3: Crossed Wires (10 pts)\nPart a)\nIn the absence of an externally imposed\nmagnetic field, an infinite, straight, thin wire creates\na magnetic field whose field lines are closed circular\nloops. These loops lie in the plane perpendicular to\nthe wire and are centered on the wire (red circle in\nthe figure).\nNow, consider the effect of introducing the exter-\nnally imposed magnetic field. At any point, the to-\ntal magnetic field is the vector sum of the magnetic\nfield of the wire and the externally imposed magnetic\nfield. The total magnetic field now has a component\nparallel to the wire. This means the magnetic field\nlines do not remain in a plane perpendicular to the\nwire. They do not form closed loops any more. In-\nstead, they will spiral around the wire, tracing out a\nhelix (blue curve in the figure).\n𝐼\nwire\nPart b)\nIt is a standard result that the magnetic\nfield around an infinite, straight, thin wire carrying a\ncurrent 𝐼has magnitude 𝜇0𝐼/2𝜋𝜌, where 𝜌is the per-\npendicular distance to the wire. This magnetic field\nstrength increases as 𝑟decreases. Before consider-\ning the wire configuration of part b, it will be useful\nto discuss what happens in part a if the helical field\nline is very close to the wire. By ‘close’, we mean\nvalues of 𝜌small enough that the magnetic field of\nthe wire is much greater than the externally applied\nmagnetic field. Then, the field lines cannot deviate\nmuch from the circular loops they would trace out if\nthe externally applied field were not present. This\nmeans the helix would be wound very tightly.\nNow we move on to discuss the wire configuration\nof part b. Let the magnetic field due to wire 𝑋be ®𝐵𝑋\nand the magnetic field due to wire 𝑌be ®𝐵𝑌. At any\npoint in space, the magnetic field is the vector sum\nof ®𝐵𝑋and ®𝐵𝑌. At points that are close to wire 𝑋(dis-\ntances 𝜌≪𝑎), we have | ®𝐵𝑋| ≫| ®𝐵𝑌|. Therefore, as in\npart a, the field lines near wire 𝑋will not deviate very\nmuch from circular loops centered on wire 𝑋. How-\never, ®𝐵𝑌has a component along wire 𝑋, so the field\nlines do not perfectly close on themselves. Instead,\nthey will trace out a tightly wound spiral around wire\n𝑋, as shown in the figure for the previous part. Unlike\nthere, the spiral is not necessarily a perfect helix: as\nthe field lines spiral to larger or smaller 𝑥, the radius\n𝜌(𝑥) of the spiral might change. To find the distance\nof closest approach of a field line to wire 𝑋, we must\nfind the minimal value of 𝜌(𝑥) as 𝑥varies.\nThe spiraling field line shown in the figure below\nseems to trace out a surface, 𝑆, surrounding wire 𝑋.\nA more precise definition of 𝑆is as follows. Let 𝐶be\nthe circle of radius 𝑟, centered on wire 𝑋, in the plane\n𝑥= 3𝑎. Through every point on 𝐶, we can draw a mag-\nnetic field line. The set of field lines passing through\npoints of 𝐶traces out a surface; this is the surface we\ndefine as 𝑆. Each field line in this set spirals around\nwire 𝑋as described above, so 𝑆looks like a ‘funnel’\nwhose cross section, at any fixed 𝑥, is nearly circu-\nlar. The cross section is nearly circular as long as the\ncondition 𝜌≪\n√\n𝑎2 + 𝑥2 is satisfied, because this means\nthe magnetic field is perturbed only slightly by wire\n𝑌and the field lines do not deviate much from the\ncircular loops that they would trace if wire 𝑌were\nnot present.\nNear point P, 𝜌≪\n√\n𝑎2 + 𝑥2 is satisfied\nbecause 𝑟≪𝑎. We will verify a posteriori that the\nmagnetic field line never reaches values of 𝜌that vi-\nolate the condition 𝜌≪\n√\n𝑎2 + 𝑥2.\nI\nI\na\nr\nP\nwire X\nwire Y\n2d\nThe key idea is that the magnetic flux through the\nmiddle of the ‘funnel’ 𝑆is conserved. No magnetic\nflux exits through the sides of the funnel because—\nby construction—the magnetic field is tangent to 𝑆at\nevery point. For this reason, the region bounded by 𝑆\nis called a ‘flux tube’. The flux through the flux tube\nis entirely due to ®𝐵𝑌, which is approximately uniform\nover the circular cross section at each 𝑥.\n𝐼\n𝐼\n𝑎\n𝑥\n√\n𝑎2 + 𝑥2\n𝜌(𝑥)\n𝜃\nwire 𝑋\nwire 𝑌\n®𝐵𝑋\n®𝐵𝑌\nThe component of ®𝐵𝑌directed along the wire is\n𝐵∥= | ®𝐵𝑌| cos(𝜃) = (𝜇0𝐼/2𝜋)(𝑎/(𝑎2+𝑥2)) (see figure above).\nTherefore, the conserved flux is 1\n2𝜇0𝐼𝑎𝜌2/(𝑎2 +𝑥2). The\nequation of 𝑆is then 𝜌2/(𝑎2 + 𝑥2) = const. = 𝑟2/10𝑎2, us-\ning the fact that 𝑆passes through P. We can now see\nthat 𝜌never grows so large that 𝜌≪\n√\n𝑎2 + 𝑥2 fails, so\nour equation for 𝑆remains valid for all 𝑥. Then, the\nminimal value of 𝜌(𝑥) is 𝜌(0) = 𝑑= 𝑟/\n√\n10.\nPart c)\nLet the point of closest approach be Q. We\nneed to calculate the length of the spiraling field line\nbetween points P and Q. Due to the tight winding of\n\nTheoretical Problems - Solutions\nthe field lines, this length is much larger than 𝑟or 𝑎.\nTherefore, the precise position of point Q around the\nloop closest to 𝑥= 0 (for example, whether it is on\nthe side closer to wire 𝑌or on the side further from\nwire 𝑌) is unimportant. To leading order, 𝐿equals the\nlength along the field line from P to the point on the\nfield line with 𝑥= 0.\nConsider two points on the field line whose 𝑥-\ncoordinates differ by a small amount d𝑥. The length\nd𝐿of the short segment of field line joining these\npoints is given by d𝑥≈(𝐵∥/𝐵⊥)d𝐿.\nHere, we have\ndecomposed the magnetic field vector into a compo-\nnent 𝐵∥along wire 𝑋and a component 𝐵⊥perpen-\ndicular to wire 𝑋.\nIn the previous part, we found\n𝐵∥= (𝜇0𝐼/2𝜋)(𝑎/(𝑎2 + 𝑥2)). The field of wire 𝑋gives the\ndominant contribution to 𝐵⊥, so 𝐵⊥= 𝜇0𝐼/2𝜋𝜌. These\nexpressions are approximate and ignore corrections\nof order 𝑟/𝑎. Since 𝑟/𝑎≈1/100, ignoring these correc-\ntions is acceptable for the required accuracy of 20%.\nThe total length is obtained by integration:\n𝐿=\n∫𝑃\n𝑄\nd𝐿=\n∫\n3𝑎\n0\n𝑎2 + 𝑥2\n𝑎𝜌\nd𝑥.\nNow, we use the equation for 𝜌(𝑥) derived in part b:\n𝜌(𝑥)2/(𝑎2 + 𝑥2) = 𝑟2/(10𝑎2). The result is\n𝐿=\n∫\n3𝑎\n0\n√\n10\n𝑟\n√\n𝑎2 + 𝑥2 d𝑥=\n√\n10𝑎2\n𝑟\n∫\n3\n0\n√\n1 + 𝑢2 d𝑢.\nThis expression must be numerically evaluated to\nwithin 20% relative error.\nTo obtain a numerical\nvalue for the integral, we could use the trapezium\nrule or we could draw the curve 𝑦=\n√\n1 + 𝑥2 be-\ntween 𝑥= 0 and 𝑥= 3 on graph paper and count\nthe number of squares beneath the curve. In fact,\na crude estimate using a single trapezium is suffi-\ncient for the required accuracy:\n∫3\n0\n√\n1 + 𝑢2 d𝑢≈\n∫3\n0 [1 +\n(\n√\n10 −1)(𝑢/3)]d𝑢= 3 + (3/2)(\n√\n10 −1) ≈6.24, resulting\nin a length of 𝐿≈19.7𝑎2/𝑟≈197 m. The exact result is\n𝐿≈17.9𝑎2/𝑟≈179 m.\nAlthough not necessary for full credit, it is pos-\nsible\nto\nevaluate\nthe\nintegral\nexactly.\nSubsti-\ntuting 𝑢\n=\nsinh(𝛽) with d𝑢= cosh(𝛽)d𝛽and using\ncosh2(𝛽) −sinh2(𝛽) = 1 gives\n∫\n3\n0\n√\n1 + 𝑢2 d𝑢=\n∫\nsinh−1(3)\n0\ncosh2(𝛽) d𝛽.\nNow, we use cosh2(𝛽) = (𝑒2𝛽+2+𝑒−2𝛽)/4 = (cosh(2𝛽)+1)/2\nto obtain\n∫\n3\n0\n√\n1 + 𝑢2 d𝑢= 1\n2\n∫\nsinh−1(3)\n0\n[cosh(2𝛽) + 1] d𝛽\n= 1\n4 [sinh(2𝛽) + 2𝛽]sinh−1(3)\n0\n.\nFinally,\nwe\nuse\nsinh(2𝛽)\n=\n(𝑒2𝛽−𝑒−2𝛽)/2\n=\n2 sinh(𝛽) cosh(𝛽)\nand\ncosh(sinh−1(3))\n=\n√\n1 + sinh(sinh−1(3))2 =\n√\n10 to find\n∫\n3\n0\n√\n1 + 𝑢2 d𝑢= 1\n2\n[\n3\n√\n10 + sinh−1(3)\n]\n= 1\n2\n[\n3\n√\n10 + ln(3 +\n√\n10)\n]\n≈5.65 .\nThis gives 𝐿≈17.9𝑎2/𝑟≈179 m, as stated above.\nMarking scheme T3\nProblem T3 a)\nPts.\nA\ndraw clear sketch (straight wire, smooth\nfield line, …)\n0.2\nfield line …\nB\n…is not closed\n0.2\nC\n…is periodic in 𝑥\n0.2\nD\n…is helical (only 0.1 if chirality is wrong)\n0.2\nE\n…is centered on wire\n0.2\nTotal on T3 a)\n1.0\nProblem T3 b)\nPts.\nA\nstate or derive formula for magnetic field\nof infinite, straight wire (only 0.2 if direc-\ntion is not clear)\n0.4\nsketch or explain shape of field line\nB\nfield line is locally nearly circular\n0.2\nC\nfield line resembles helix tightly wound\naround wire\n0.2\nD\nradius of helix is changing\n0.3\nE\nidea to consider funnel surface 𝑆\n0.5\nF\nrealize and justify that\n®𝐵𝑌-flux is con-\nserved along funnel\n1.0\nG\nargue or show that radius of flux tube is\nsmallest at 𝑥= 0\n0.5\nH\napproximate ®𝐵𝑌as uniform in flux tube\ncross-sections\n0.4\nI\ndetermine flux at 𝑥= 3𝑎(0.3 for projec-\ntion, 0.2 for area)\n0.5\nJ\ndetermine flux at 𝑥= 0 using 𝜌\n0.3\nK\ncalculate final result for 𝑑\n0.5\nL\ncheck of validity of approximations in\nconsidered region\n0.2\nTotal on T3 b)\n5.0\nProblem T3 c)\nPts.\nA\nrealize that 𝐿is much larger than 𝑎and 𝑟\n(also if implicit)\n0.2\nB\nequate d𝑥with d𝐿using 𝐵-field compo-\nnents or an angle\n0.4\nC\nrealize that 𝐵⊥is dominated by wire 𝑋\n(might be mentioned in part b) already)\n0.3\nD\nderive integral expression for 𝐿\n0.4\nE\nprovide expression for 𝜌in terms of 𝑎, 𝑟\nand 𝑥(also if in part b))\n0.5\nF\ncarry out reasonable numerical approxi-\nmation or rigorous calculation of integral\n1.2\nG\nresult with 140 m ≤𝐿≤215 m (-0.2 if # sig-\nnificant figures is 1 or > 3)\n1.0\nTotal on T3 c)\n4.0\nGeneral rules for marking in T3:\n\nTheoretical Problems - Solutions\n• The grain size for marking is 0.1 Pts.\n• Partial marks can be awarded for most aspects.\n• For each mistake in calculation (algebraic or nu-\nmeric) 0.2 Pts. are deducted.\n• If a mistake leads to a dimensionally incorrect ex-\npression no marks are given for the result.\n• Propagating errors are not punished again unless\nthey are dimensionally wrong or entail oversim-\nplified/wrong physics (e.g. neglecting friction ef-\nfects).\n• In cases, where in part b) the distance of closest\napproach is determined by using an approxima-\ntion that only considers the 𝐵-field close to P (or\nany similar simplification), the following maximum\nmarks can be obtained: A to C - 0.2 each, E - 0.3\nfor the idea to determine 𝑑from a local considera-\ntion, H - 0.4, K - 0.3 for a simplified calculation of\n𝑑. Total: max. 1.6 Pts.\n","shared":true,"sourcePages":[1,2,3,4,5,6,7,8,9],"initialPage":1}},{"id":"eupho-2025-t2","importedOn":"2026-10-28","language":"en","sources":[{"url":"https://eupho.ee/wp-content/uploads/2025/06/EuPhO_2025_Theory_ENG.pdf","kind":"statement"},{"url":"https://eupho.ee/wp-content/uploads/2025/06/EuPhO25_Theory_Solutions_20250616_1120.pdf","kind":"solution"}],"statement":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/eupho-2025-statement/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/eupho-2025-statement/page-1.webp","width":982,"height":1389}],"text":"Theoretical Problems. Language: English\nT1: Sunny (10 pts)\nYou are asked to study the features of the brightly lit\ncircle and dark rings in the figures below. Make your\ncalculations for an idealized situation: the chair leg\nis strictly cylindrical of radius 𝑎, strictly vertical, with\na perfectly smooth, cylindrical, and perfectly reflect-\ning surface. You may make any additional model as-\nsumptions and approximations you deem reasonable\nthat will simplify your calculations.\na) (5 pts) Determine how the illuminance surplus\n𝐼(𝑟, 𝜃) inside the brightly lit circle on the floor\ndepends on the polar coordinates 𝑟≫𝑎and 𝜃.\nThe illuminance quantifies the amount of incom-\ning light per area. By “surplus” we mean the ad-\nditional illuminance introduced due to the pres-\nence of the cylinder.\nExpress the answer in\nterms of 𝐼0 defined as the illuminance difference\nbetween points A and B in the figure.\nb) (5 pts) In the following figure some fingers are\nblocking some of the light from reaching the\nchair leg. Let 𝑅(𝜃) denote the radial distance of\nthe middle dark ring as a function of the angle 𝜃\nand let 𝑅min be the minimal value of 𝑅(𝜃). Deter-\nmine 𝑅(𝜃) −𝑅min.\nT2: Floating table (10 pts)\nA table is made by fastening a metal frame to a mas-\nsive uniform plate (so they form a rigid body) and at-\ntaching it with chains to another frame that is fixed\non the horizontal ground. The motion of the table is\nlimited to the plane of the side view (right picture).\na) (4 pts) Show that in the configuration on the side\nview, the table is in a stable equilibrium.\nb) (6 pts) Find the period 𝑇of the small oscillations.\nThe masses of the chains and the frame can be\nneglected. The chains are frictionless, inextensible,\nand remain tensioned in oscillations. The grid step\nis 𝑎= 0.100 m, the acceleration of gravity 𝑔= 9.81 m/s2.\na\ng\na\nT3: Crossed wires (10 pts)\na) (1 pt) Current flows through an infinite, straight,\nthin wire. There is an externally imposed, uni-\nform magnetic field directed parallel to the wire.\nQualitatively sketch one of the magnetic field\nlines.\nb) (5 pts) Now consider two infinite, straight, thin\nwires (wires 𝑋and 𝑌), each carrying a current 𝐼\nas shown in the figure. The 𝑥-axis coincides with\nwire 𝑋, while wire 𝑌is parallel to the 𝑦-axis and\npasses through the point (0, 0, −𝑎). Let P be the\npoint (3𝑎, 0, 𝑟).\nAssuming 𝑟≪𝑎, calculate 𝑑, the\ndistance of closest approach of the magnetic field\nline that passes through P to the wire 𝑋.\nc) (4 pts) Let 𝐿be the length of this field line be-\ntween P and its point of closest approach to wire\n𝑋. Using values 𝑎= 10 cm and 𝑟= 1.0 mm, calculate\n𝐿to within 20% relative error.\n𝐼\n𝐼\n𝑎\n𝑟\nP\n3𝑎\n𝑋\n𝑌\n𝑥\n𝑦\n𝑧\n","shared":true,"sourcePages":[1],"initialPage":1},"solution":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/eupho-2025-solution/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/eupho-2025-solution/page-1.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2025-solution/page-2.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2025-solution/page-3.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2025-solution/page-4.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2025-solution/page-5.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2025-solution/page-6.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2025-solution/page-7.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2025-solution/page-8.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2025-solution/page-9.webp","width":982,"height":1389}],"text":"Theoretical Problems - Solutions\nT1: Sunny (10 pts)\n𝑥\n𝑎\n𝑟\n𝑙\n𝜃\n𝛽\n𝛼\n𝛼\n𝛼\n𝛽\n𝜖\nIlluminated spot on floor\nFigure 1: Top view of a light ray hitting the chair leg.\nThe incoming light ray strikes the cylinder at the blue\ndot, and the reflected ray strikes the floor at the red\ndot.\nPart a)\nSince points A and B are very close, 𝐼0 is the\nilluminance surplus due to direct sunlight.\nConsider a small (infinitesimal) horizontal rectan-\ngle [𝑥, 𝑥+ 𝛿𝑥] × [ 𝑦, 𝑦+ 𝛿𝑦] placed in the light beam.\nAs depicted in Fig 1, we let 𝑙be the horizontal dis-\ntance between the point where a ray hits the cylin-\nder and where it hits the floor and 𝛼the horizontal\nangle between the ray and the surface normal. The\nspot on the floor made by the light makes an angle\nof 2𝛼from the incident ray, and forms a small patch\nof size (𝑙2𝛿𝛼)(𝛿𝑙) on the floor.\nConsidering the side view sketched in Figure 2, we\nsee that 𝛿𝑙∝𝛿𝑦for both the ray that hits the ground\ndirectly, or a ray that is reflected before hitting the\nground.\nWe thus have\n𝐼0𝛿𝑥= 2𝐼𝑙𝛿𝛼\n(1)\nLet 𝛽= 𝜋−𝛼as sketched in Fig 1. Then\n𝛿𝑥= 𝑎(sin(𝛽+ 𝛿𝛽) −sin 𝛽) ≈𝑎cos 𝛽𝛿𝛽\n(2)\nTherefore,\n𝐼= −𝐼0𝑎\n2𝑙cos(𝛽)\n(3)\n(Note that cos 𝛽< 0.) This expression is accurate to\norder (𝑎/𝑙)2, but is not in terms of the variables re-\nCenterline\n𝑎cos 𝛼\n𝑙\nℎ0\nℎ\n𝛾\nFigure 2: Side view, with the reflected light ray ro-\ntated to lie in the same plane as the incident ray.\nquested. A more accurate expression would be\n𝐼= −\n𝐼0𝑎\n√\n4𝑙2 + 𝑎2 sin2(𝛽)\ncos(𝛽),\nbut it is not necessary to find this expression.\nTo obtain 𝐼as a function of 𝑟and 𝜃, we need to\nexpress 𝛽and 𝑙in terms of 𝑟and 𝜃.\nIf 𝑎≪𝑟, 𝑙and 𝑟almost coincide. To leading order\nthus 𝑙≈𝑟and 𝜃≈𝜋−2𝛼= 2𝛽−𝜋. Substituting 𝑙and 𝛽\nin (3) results in\n𝐼≈𝐼0𝑎\n2𝑟sin(𝜃/2)\n(4)\nPart b)\nThe rings appear because the fingers block\nthe light. For the middle ring, the finger is approxi-\nmately horizontal.\nFor 𝑙0 be the horizontal distance 𝑙for 𝛼= 𝜋/2. Con-\nsider the sketch in Fig. 2. Note that\n𝑙= 𝑙0 + 𝑎cos 𝛼= 𝑙0 + 𝑎| cos(𝛽)|\n(5)\nThe minimum value 𝑅min is attained at 𝛼= 𝛽= 𝜋/2,\nwhere 𝜃≈0 and 𝑅min ≈𝑙0 within an error of order\n(𝑎/𝑟)2. Hence,\n𝑙≈𝑅min + 𝑎cos 𝛼= 𝑅min + 𝑎| cos(𝛽)|\nThe Cosine theorem applied to the triangle between\nthe center of the chair leg, the point where the ray\nreflects form the leg and the point where it hits the\nfloor, gives the relation\n𝑟2 = 𝑎2 + 𝑙2 −2𝑎𝑙cos(𝛽)\n(6)\n\nTheoretical Problems - Solutions\nUsing (6) and expanding, we obtain\n𝑟2 = 𝑅2\nmin + 4𝑎𝑅min cos 𝛼+ 3𝑎2 cos2 𝛼\nUsing cos 𝛼≈sin(𝜃/2), and dropping terms of order\n(𝑎/𝑟)2, we arrive at\n𝑅−𝑅min ≈2𝑎sin(𝜃/2)\n(7)\nThe factor of 2 is significant!\nMarking scheme T1\nProblem T1 a)\nPts\nA\nCorrect angles, 2𝛼+ 𝜃> 𝜋\n0.5\nOnly state 2𝛼+𝜃= 𝜋without justification\n0.2\nB\nReflection law (stated in any way)\n0.5\nC\n𝑥= 𝑎sin 𝛼\n0.5\nD\nEq. 1\n1.0\nMissing factor of 2\n-0.3\n𝑟instead of 𝑙\n-0.3\nE\nEq. 3 for 𝐼\n0.5\nF\nJustify 𝑙≈𝑟\n0.5\nAssume 𝑙≈𝑟without justification\n0.2\nG\nEq. 4 for 𝐼\n1.5\nTotal on T1 a)\n5.0\nProblem T1 b)\nPts\nH\nCosine Law expression\n1.0\nI\nEq. 5 for 𝑙\n1.0\nqualitative\nunderstanding\nwhy\n𝑅(𝜃)\nvaries with 𝜃\n0.5\nJ\nJustifying 𝑙0 ≈𝑅min to leading order\n1\nOnly stating 𝑙0 ≈𝑅min\n0.5\nK\nFinal Eq. 7\n2.0\nWriting 𝑅−𝑅min = 𝑎sin(𝜃/2)\n1.0\nOnly has 𝑅max −𝑅min = 2𝑎\n0.5\nOnly has 𝑅max −𝑅min = 𝑎\n0.0\nTotal on T1 b)\n5.0\nGeneral rules for marking in T1:\n• The grain size for marking is 0.1 Pts.\n• Yellow shaded categories receive a single mark\n• Partial marks can be awarded for most aspects.\n• For each mistake in calculation (algebraic or nu-\nmeric) 0.3 Pts. are deducted.\n• If a mistake leads to a dimensionally incorrect ex-\npression no marks are given for the result.\n• Propagating errors are not punished again unless\nthey are dimensionally wrong or entail oversim-\nplified/wrong physics (e.g. neglecting friction ef-\nfects).\n• Getting a correct answer for a later part that could\nonly be arrived at by doing a previous part cor-\nrectly will result in the minimum score(s) for pre-\nvious part(s) that would support the end result.\n• Justifying F can be done graphically, algebraically,\nwith words, but needs more than just writing 𝑟≈𝑙.\n• Arriving at a correct G without supporting work\nwould score 4.1 for A-G as (0.2, 0.5, 0.5, 0.7, 0.5,\n0.2, 1.5).\n• Arriving at an incorrect G without supporting work\nwould score 0 for A-G.\n• Arriving at a correct K without supporting work\nwould score 4.5 for L-O as (1.0, 1.0, 0.5, 2.0)\n• Arriving at an incorrect K without supporting work\nwould score 0 for H-J, and then the points for K.\n\nTheoretical Problems - Solutions\nT2: Floating table (10 pts)\nSolution with forces\nFirst, let us consider the\nforces and torques and show that in the configuration\nshown in the figure, the table is indeed in equilib-\nrium. By the word “table”, we understand the rigid\nbody formed by the plate and the frame attached to\nit. In the following considerations and descriptions\nof the table position we often use positions of points\nA, B and C, which belong to the rigid table: distances\nbetween them do not change. Since in the problem\nstatement, the motion is limited to the side view only,\nthe pair of short chains will always have the same\nposition when viewed from the side. So we will con-\nsider them as a single chain (chain 1) with the tension\ndoubled. The same is true for the pair of long chains\n(chain 2).\n2𝑎\n4𝑎\n𝑚®𝑔\n®𝐹1\n®𝐹2\nA\nB\nC\nFigure 3: Scheme of forces for the initial state.\nThere are 3 forces acting on a table (see Fig. 3):\nplate weight 𝑚®𝑔(at the center of mass of the table\nC), and 2 tension forces from the chains: ®𝐹1 (at point\nA, chain 1) and ®𝐹2 (at point B, chain 2). Since all the\nforces only have vertical components different from\n0, their horizontal components are balanced and for\ntheir vertical components, the balance equation is:\n−𝑚𝑔+ 𝐹1 −𝐹2 = 0.\n(8)\nFinally, consider the torque balance around the\npoint 𝐵:\n𝑚𝑔· 4𝑎−𝐹1 · 2𝑎= 0.\n(9)\nSolving the system of equations (8-9), we get 𝐹1 =\n2𝑚𝑔and 𝐹2 = 𝑚𝑔. Since both 𝐹1, 𝐹2 > 0, we conclude\nthat the chains are indeed tensioned and the system\nis in equilibrium.\nNow let’s analyze how the table rotates, when it\nis displaced. Since the chains are tensioned and in-\nextensible, the point 𝐵can only travel along the cir-\ncle 𝑐𝑏. Similarly, the distance between the point A0\nand any point inside the circle 𝑐𝑎is smaller than the\nlength of the short chain (4𝑎); the distance between\nthe point A0 and any point outside of the circle 𝑐𝑎is\nlarger than 4𝑎.\nSince the table is rigid, if we fix the point B and ro-\ntate the table around it, point A would travel along\nthe circle 𝑐𝑡.\nFrom the way how 𝑐𝑡intersects with\n𝑐𝑎, we can conclude that if the table is rotated clock-\nwise, the distance A0A decreases. And if it is rotated\ncounter-clockwise, A0A increases.\nLet’s imagine we translate (move without rotation)\nthe table to the left, so the point 𝐵travels to the point\n𝐵′. Point 𝐴would move to the point 𝐴′, as shown in\nFig. 4. Since 𝐴′ is outside of the circle 𝑐𝑎, A0A′ > A0A\nand the table has to rotate clockwise (around B′) to\ncompensate for this change and return the point A′\nback to the circle 𝑐𝑎(point A′′) to satisfy the constant\nchain length constraint.\nB\nA\nC\nA′′\nB′\nA′\nA0\nB0\n𝑐𝑏\n𝑐𝑎\n𝑐𝑡\nA\nA′′\nA′\nFigure 4: Translation to the left and clockwise rota-\ntion of the table\nIf we translate the table in the opposite direction,\nfollowing similar arguments, we find that the table\nrotates clockwise in this case too, see Fig. 5.\nB\nB′\nB0\nC\nA0\nA\nA′′\nA′\n𝑐𝑎\n𝑐𝑡\nFigure 5: Translation to the right and clockwise ro-\ntation of the table\n\nTheoretical Problems - Solutions\nSince the table rotates in the same direction for\nboth positive and negative horizontal displacements,\nthe Taylor expansion of the angle of rotation 𝜑(𝑥)\ndoes not contain a linear term in 𝑥: 𝜑(𝑥) ∼𝑥2. This\nmeans that for small horizontal displacements, we\ncan neglect the table rotation.\nLet’s look at what happens when the table is dis-\nplaced infinitesimally from its initial position in the\nhorizontal direction (it will also move in the vertical\ndirection, but the displacement in the vertical direc-\ntion is an order of magnitude smaller and we will ne-\nglect it). The vertical components of the forces in the\nchains do not change significantly, but as you can see\nin the Fig. 6, the horizontal components of the forces\nin both chains appear in the direction opposite to the\ndisplacement. This means that the equilibrium is sta-\nble.\n𝑚®𝑔\n®𝐹1\n®𝐹2\nB\nC\nA\nFigure 6: Horizontal displacement of the table\nSince we have already drawn a figure showing the\ndisplaced position of the table, let us write the equa-\ntion of motion for the table plate for small horizon-\ntal displacements 𝑥, where 𝜃1 and 𝜃2 are small an-\ngles between the chains 1 and 2 respectively and the\nvertical. Since the table displacement is small, ten-\nsion forces 𝐹1 and 𝐹2 cannot change significantly (the\nforce change is of the same order as the displace-\nment). Thus, we can use the previously found values:\n𝑚¥𝑥= −𝐹1 sin 𝜃1 −𝐹2 sin 𝜃2 = −𝐹1𝜃1 −𝐹2𝜃2 =\n= −2𝑚𝑔𝑥\n4𝑎−𝑚𝑔𝑥\n6𝑎= −𝑚𝑔2𝑥\n3𝑎,\nwhere we have also considered the lengths of the\nchains 4𝑎(chain 1) and 6𝑎(chain 2), neglected the\nrotation of the plate and used small angle approxi-\nmations. Rearranging this equation, we get:\n¥𝑥+ 2𝑔\n3𝑎𝑥= 0,\nwhich describes horizontal oscillations of the table\nplate with 𝜔=\n√\n2𝑔/(3𝑎) = 8.09 s−1, frequency 𝜈= 1.29 Hz\nand period\n𝑇= 777 ms.\nSolution with energies\nLet’s denote the small dis-\nplacement of the centre of mass from equilibrium po-\nsition C to C′ as (𝑥, 𝑦), where 𝑥, 𝑦≪𝑎, and the small\ntilt of the table as 𝜑, as shown in Fig. 7.\n5𝑎\n2𝑎\n4𝑎\n4𝑎\nA′\nB′\nC′\n𝜑\n𝜑\n𝜑\nB\nA\nC\nFigure 7: Infinitesimal displacement of the table\nGiven the small angle approximation 𝜑≪1 (sin 𝜑≈\n𝜑and cos 𝜑≈1), the displacement of points from equi-\nlibrium positions A and B to A′ and B′ are:\nΔ𝐴𝑥= 𝑥−5𝑎sin 𝜑−2𝑎(1 −cos 𝜑) ≈𝑥−5𝑎𝜑,\nΔ𝐴𝑦= 𝑦−2𝑎sin 𝜑+ 5𝑎(1 −cos 𝜑) ≈𝑦−2𝑎𝜑,\nΔ𝐵𝑥= 𝑥−4𝑎(1 −cos 𝜑) ≈𝑥,\nΔ𝐵𝑦= 𝑦−4𝑎sin 𝜑≈𝑦−4𝑎𝜑.\nNow we can write a condition that the squared\nlength of the small chain remains the same:\n(𝑥−5𝑎𝜑)2 + (4𝑎−𝑦+ 2𝑎𝜑)2 = (4𝑎)2\n𝑥2 −10𝑎𝑥𝜑+ 25𝑎2𝜑2 −8𝑎( 𝑦−2𝑎𝜑) + ( 𝑦−2𝑎𝜑)2 = 0,\nLet’s notice that the largest term in 𝑥is 𝑥2 and in\n𝑦and 𝑎𝜑, it’s 8𝑎( 𝑦+ 2𝑎𝜑). Thus, we can omit all other\nterms, since they are of the higher order (and there-\nfore smaller):\n𝑥2 −8𝑎( 𝑦−2𝑎𝜑) = 0,\n𝑥2\n8𝑎−𝑦+ 2𝑎𝜑= 0.\n(10)\nDoing the same for the long chain we get:\n𝑥2 + (6𝑎+ 𝑦−4𝑎𝜑)2 = (6𝑎)2\n𝑥2 + 12𝑎( 𝑦−4𝑎𝜑) + ( 𝑦−4𝑎𝜑)2 = 0,\nOmitting higher order terms we get:\n𝑥2 + 12𝑎( 𝑦−4𝑎𝜑) = 0,\n𝑥2\n12𝑎+ 𝑦−4𝑎𝜑= 0.\n(11)\nSolving (10) and (11) as linear equations on 𝑦and 𝜑,\nwe get:\n𝑦= 𝑥2\n3𝑎,\n𝜑= 5𝑥2\n48𝑎2 .\nSince the potential energy of the table\n𝑈= 𝑚𝑔𝑦= 2\n3𝑎𝑚𝑔𝑥2\n2 ,\n(12)\n\nTheoretical Problems - Solutions\ndoesn’t have a term linear in 𝑥, we conclude that the\nsystem is in equilibrium. And since the coefficient\nfor 𝑥2 is positive, the equilibrium is stable.\nThe kinetic energy of the table is:\n𝐸= 𝑚¤𝑥2 + ¤𝑦2\n2\n+ 𝐼¤𝜑2\n2 ≈𝑚¤𝑥2\n2 ,\n(13)\nwhere 𝐼is a moment of inertia with respect to rota-\ntion around the axis through the centre of mass C.\nSince both 𝑦and 𝜑depend on 𝑥2, their squared\nderivatives will be proportional to 𝑥2 ¤𝑥2 and can be\nneglected when compared to ¤𝑥2 term.\nFinally, we can find the period of oscillations from\nthe ratio of coefficients of (13) and (12):\n𝑇= 2𝜋\n√\n𝑚\n/\n2𝑚𝑔\n3𝑎\n= 2𝜋\n√\n3𝑎\n2𝑔= 0.777 s.\nSolution with the curvature\nWe begin with the\nobservation that at the initial horizontal position,\npoints A and B in Fig. 3 move horizontally. There-\nfore, the instantaneous centre of table’s rotation is\nat infinity (found as the intersection of lines perpen-\ndicular to the velocity vectors, which are parallel in\nthis case), or in other words there is no rotation. An-\nother way to see it is to consider the projections of\nthe velocities 𝑣𝐴and 𝑣𝐵to the line 𝐴𝐵which should\nbe the same in a rigid body. Thus 𝑣𝐴= 𝑣𝐵= 𝑣and all\nthe points of the table move with the same velocity,\ni.e. there is no immediate rotation.\n®𝑣𝐵\n®𝑣𝐴\n𝐴\n𝐵\n𝐶\nFigure 8: Immediate velocities given the constraints\nConsequently, no rotational kinetic energy is in-\nvolved, and the motion of the table can be treated\nas the motion of a point mass located at the centre of\nmass, point C. Since at the given configuration, the\n𝑣𝐶can only be horizontal, we conclude that initially\ntable is at equilibrium. All that remains is to find the\nradius of curvature 𝑅of its trajectory and calculate\n𝑇= 2𝜋\n√\n𝑅/𝑔.\nTo find the radius of curvature, we note that for an\narbitrary point 𝑃on the table, the curvature ®𝑐= ˆ𝑛/𝑅\n𝐶\n𝐵\n𝐴\n𝑤𝐵\n𝑤𝐴𝑦\n𝑤𝐴𝑥\n𝛼\n𝛼\n𝛼\n𝛼\n𝛼\n𝛼\n𝑤𝐶\nFigure 9: Immediate accelerations\nof its trajectory is a linear function of its coordinates,\nwhere ˆ𝑛denotes a unit vector pointing towards the\ncentre of curvature. Indeed, using a non-inertial ref-\nerence frame where the rigid body remains at rest\nwith origin at 𝑂, the acceleration of point 𝑃is the su-\nperposition of: the acceleration of 𝑂, the centripetal\nacceleration −®\n𝑂𝑃𝜔2, and the tangential acceleration\n®𝜀× ®\n𝑂𝑃. All of these are linear functions of the coordi-\nnates of point 𝑃, where ®𝜀denotes the angular accel-\neration and 𝜔the angular speed. Hence, in the lab\nframe, the acceleration of point 𝑃is a linear function\nof coordinates, as must be its centripetal accelera-\ntion 𝑣2®𝑐. Since the angular speed of the table is zero,\nall points move with the same speed, so ®𝑐must be a\nlinear function of coordinates.\nThe remaining calculation is straightforward: due\nto the translational motion of the body, curvatures\ndepend only on the horizontal coordinate 𝑥. The cur-\nvature of 𝐵at 𝑥= 4𝑎is 𝑐𝐵= −1/(6𝑎), with the minus sign\nindicating that the vector points downwards.\nThe\ncurvature of 𝐴at 𝑥= 2𝑎is 𝑐𝐴= 1/(4𝑎).\nHence, the\ncurvature of 𝐶is 1/(4𝑎) + (1/(4𝑎) + 1/(6𝑎)) = 2/(3𝑎), giv-\ning 𝑅= 1.5 dm and resulting in 𝑇= 777 ms.\nPositive\ncurvature means that the position is a stable equilib-\nrium.\nAnother way to see it, is to consider normal accel-\neration 𝑤𝐶of point C. For 2 points of a rigid body 𝐶\nand 𝐵, the projections of their accelerations 𝑤𝐶, 𝑤𝐵to\nthe segment 𝐵𝐶differ by the value 𝜔2|𝐵𝐶|. However,\nin our case since there is no rotation, the projections\nof acceleration are equal (like velocities). This means\nthat the accelaration 𝑤𝐵is also normal and equal to\n𝑤𝐵= 𝑣2/(6𝑎). Point 𝐴has both normal and tangential\nacceleration. Comparing projections of points 𝐴, 𝐵,\n\nTheoretical Problems - Solutions\nand 𝐴, 𝐶, we get:\n−𝑤𝐵cos 𝛼= 𝑤𝐴𝑦cos 𝛼−𝑤𝐴𝑦sin 𝛼,\n𝑤𝐶cos 𝛼= 𝑤𝐴𝑦cos 𝛼+ 𝑤𝐴𝑦sin 𝛼,\nThus, we find that\n𝑤𝐶= 𝑤𝐵+ 2𝑤𝐴𝑦= 𝑣2\n6𝑎+ 2 𝑣2\n4𝑎=\n𝑣2\n3𝑎/2,\nso radius of curvature is 𝑅= 3𝑎/2.\nYou can visualize the motion of the table using a\nGeoGebra tool, following the web link or the qr code\nhttps://www.geogebra.org/m/wbqwp3tf\nMarking scheme T2\nA\nTable is in equilibrium\nPartial points:\n– (1pt) Sketch of forces or eqn for forces\n2.0\nB\nThe equilibrium is stable\nPartial points:\n– (1pt) Sketch with returning forces, but\nthere is no proof that 𝜔0 = 0\n– (1pt) There is a statement that the\nstability comes from 𝑦= 𝑘𝑥2 if 𝑘> 0, but\n𝑘is not found correctly (and thus could\npotentially be negative)\n2.0\nC\nTable can rotate:\nwhether it is clear from the sketch or\nfrom the equations, i.e. 𝜑is introduced\n1.0\nD\nTable does not have immediate rotation\nwhether it is proved separately or follows\nnaturally from the results of calculations:\n– geometry considered ⇒𝜑∼𝑥2\n– eqn for contraints ⇒𝜑∼𝑥2\n– immediate velocities ⇒no rotation\n1.0\nE\nThe plan how to find the period of oscil-\nlation:\n– 2nd Newton’s law ¥𝑥∼−𝑥\n– idea to find kinetic and potential ener-\ngies\n– using the curvature of the trajectory\n1.0\nF\nFinding all the elements for the plan\nabove:\n– small horizontal forces\n– energies to the correct approximations\n– accelerations/curvatures\nPartial points:\n– (1pt) if not all elements are found or\nthey are found with mistakes\n– (1pt) if there is no proof 𝜔0 = 0 (or no\nconsideration about the rotation at all),\nbut other than that, everything is correct\n– (0pts) if some elements are there, but\nthe plan was different (e.g. the student\nwas looking for energies, but has the\nexpression for forces)\n2.0\nG\nFormula and number for 𝑇\nPartial points:\n– (0.5pts) only formula or a number\n– (0.5pts) simple mistake (like inverse\nformula under the root)\n1.0\nTotal\n10.0\n– Only a single partial point is applied (whatever is\nlarger)\n– If there is a single simple arithemetic error/typo in\ncalculations in item F, which leads to a wrong for-\nmula value in item G, then F and G receive 1 pt each\n(no propagation of error). This doesn’t apply to more\nprofound errors in physics/geometry\n\nTheoretical Problems - Solutions\nT3: Crossed Wires (10 pts)\nPart a)\nIn the absence of an externally imposed\nmagnetic field, an infinite, straight, thin wire creates\na magnetic field whose field lines are closed circular\nloops. These loops lie in the plane perpendicular to\nthe wire and are centered on the wire (red circle in\nthe figure).\nNow, consider the effect of introducing the exter-\nnally imposed magnetic field. At any point, the to-\ntal magnetic field is the vector sum of the magnetic\nfield of the wire and the externally imposed magnetic\nfield. The total magnetic field now has a component\nparallel to the wire. This means the magnetic field\nlines do not remain in a plane perpendicular to the\nwire. They do not form closed loops any more. In-\nstead, they will spiral around the wire, tracing out a\nhelix (blue curve in the figure).\n𝐼\nwire\nPart b)\nIt is a standard result that the magnetic\nfield around an infinite, straight, thin wire carrying a\ncurrent 𝐼has magnitude 𝜇0𝐼/2𝜋𝜌, where 𝜌is the per-\npendicular distance to the wire. This magnetic field\nstrength increases as 𝑟decreases. Before consider-\ning the wire configuration of part b, it will be useful\nto discuss what happens in part a if the helical field\nline is very close to the wire. By ‘close’, we mean\nvalues of 𝜌small enough that the magnetic field of\nthe wire is much greater than the externally applied\nmagnetic field. Then, the field lines cannot deviate\nmuch from the circular loops they would trace out if\nthe externally applied field were not present. This\nmeans the helix would be wound very tightly.\nNow we move on to discuss the wire configuration\nof part b. Let the magnetic field due to wire 𝑋be ®𝐵𝑋\nand the magnetic field due to wire 𝑌be ®𝐵𝑌. At any\npoint in space, the magnetic field is the vector sum\nof ®𝐵𝑋and ®𝐵𝑌. At points that are close to wire 𝑋(dis-\ntances 𝜌≪𝑎), we have | ®𝐵𝑋| ≫| ®𝐵𝑌|. Therefore, as in\npart a, the field lines near wire 𝑋will not deviate very\nmuch from circular loops centered on wire 𝑋. How-\never, ®𝐵𝑌has a component along wire 𝑋, so the field\nlines do not perfectly close on themselves. Instead,\nthey will trace out a tightly wound spiral around wire\n𝑋, as shown in the figure for the previous part. Unlike\nthere, the spiral is not necessarily a perfect helix: as\nthe field lines spiral to larger or smaller 𝑥, the radius\n𝜌(𝑥) of the spiral might change. To find the distance\nof closest approach of a field line to wire 𝑋, we must\nfind the minimal value of 𝜌(𝑥) as 𝑥varies.\nThe spiraling field line shown in the figure below\nseems to trace out a surface, 𝑆, surrounding wire 𝑋.\nA more precise definition of 𝑆is as follows. Let 𝐶be\nthe circle of radius 𝑟, centered on wire 𝑋, in the plane\n𝑥= 3𝑎. Through every point on 𝐶, we can draw a mag-\nnetic field line. The set of field lines passing through\npoints of 𝐶traces out a surface; this is the surface we\ndefine as 𝑆. Each field line in this set spirals around\nwire 𝑋as described above, so 𝑆looks like a ‘funnel’\nwhose cross section, at any fixed 𝑥, is nearly circu-\nlar. The cross section is nearly circular as long as the\ncondition 𝜌≪\n√\n𝑎2 + 𝑥2 is satisfied, because this means\nthe magnetic field is perturbed only slightly by wire\n𝑌and the field lines do not deviate much from the\ncircular loops that they would trace if wire 𝑌were\nnot present.\nNear point P, 𝜌≪\n√\n𝑎2 + 𝑥2 is satisfied\nbecause 𝑟≪𝑎. We will verify a posteriori that the\nmagnetic field line never reaches values of 𝜌that vi-\nolate the condition 𝜌≪\n√\n𝑎2 + 𝑥2.\nI\nI\na\nr\nP\nwire X\nwire Y\n2d\nThe key idea is that the magnetic flux through the\nmiddle of the ‘funnel’ 𝑆is conserved. No magnetic\nflux exits through the sides of the funnel because—\nby construction—the magnetic field is tangent to 𝑆at\nevery point. For this reason, the region bounded by 𝑆\nis called a ‘flux tube’. The flux through the flux tube\nis entirely due to ®𝐵𝑌, which is approximately uniform\nover the circular cross section at each 𝑥.\n𝐼\n𝐼\n𝑎\n𝑥\n√\n𝑎2 + 𝑥2\n𝜌(𝑥)\n𝜃\nwire 𝑋\nwire 𝑌\n®𝐵𝑋\n®𝐵𝑌\nThe component of ®𝐵𝑌directed along the wire is\n𝐵∥= | ®𝐵𝑌| cos(𝜃) = (𝜇0𝐼/2𝜋)(𝑎/(𝑎2+𝑥2)) (see figure above).\nTherefore, the conserved flux is 1\n2𝜇0𝐼𝑎𝜌2/(𝑎2 +𝑥2). The\nequation of 𝑆is then 𝜌2/(𝑎2 + 𝑥2) = const. = 𝑟2/10𝑎2, us-\ning the fact that 𝑆passes through P. We can now see\nthat 𝜌never grows so large that 𝜌≪\n√\n𝑎2 + 𝑥2 fails, so\nour equation for 𝑆remains valid for all 𝑥. Then, the\nminimal value of 𝜌(𝑥) is 𝜌(0) = 𝑑= 𝑟/\n√\n10.\nPart c)\nLet the point of closest approach be Q. We\nneed to calculate the length of the spiraling field line\nbetween points P and Q. Due to the tight winding of\n\nTheoretical Problems - Solutions\nthe field lines, this length is much larger than 𝑟or 𝑎.\nTherefore, the precise position of point Q around the\nloop closest to 𝑥= 0 (for example, whether it is on\nthe side closer to wire 𝑌or on the side further from\nwire 𝑌) is unimportant. To leading order, 𝐿equals the\nlength along the field line from P to the point on the\nfield line with 𝑥= 0.\nConsider two points on the field line whose 𝑥-\ncoordinates differ by a small amount d𝑥. The length\nd𝐿of the short segment of field line joining these\npoints is given by d𝑥≈(𝐵∥/𝐵⊥)d𝐿.\nHere, we have\ndecomposed the magnetic field vector into a compo-\nnent 𝐵∥along wire 𝑋and a component 𝐵⊥perpen-\ndicular to wire 𝑋.\nIn the previous part, we found\n𝐵∥= (𝜇0𝐼/2𝜋)(𝑎/(𝑎2 + 𝑥2)). The field of wire 𝑋gives the\ndominant contribution to 𝐵⊥, so 𝐵⊥= 𝜇0𝐼/2𝜋𝜌. These\nexpressions are approximate and ignore corrections\nof order 𝑟/𝑎. Since 𝑟/𝑎≈1/100, ignoring these correc-\ntions is acceptable for the required accuracy of 20%.\nThe total length is obtained by integration:\n𝐿=\n∫𝑃\n𝑄\nd𝐿=\n∫\n3𝑎\n0\n𝑎2 + 𝑥2\n𝑎𝜌\nd𝑥.\nNow, we use the equation for 𝜌(𝑥) derived in part b:\n𝜌(𝑥)2/(𝑎2 + 𝑥2) = 𝑟2/(10𝑎2). The result is\n𝐿=\n∫\n3𝑎\n0\n√\n10\n𝑟\n√\n𝑎2 + 𝑥2 d𝑥=\n√\n10𝑎2\n𝑟\n∫\n3\n0\n√\n1 + 𝑢2 d𝑢.\nThis expression must be numerically evaluated to\nwithin 20% relative error.\nTo obtain a numerical\nvalue for the integral, we could use the trapezium\nrule or we could draw the curve 𝑦=\n√\n1 + 𝑥2 be-\ntween 𝑥= 0 and 𝑥= 3 on graph paper and count\nthe number of squares beneath the curve. In fact,\na crude estimate using a single trapezium is suffi-\ncient for the required accuracy:\n∫3\n0\n√\n1 + 𝑢2 d𝑢≈\n∫3\n0 [1 +\n(\n√\n10 −1)(𝑢/3)]d𝑢= 3 + (3/2)(\n√\n10 −1) ≈6.24, resulting\nin a length of 𝐿≈19.7𝑎2/𝑟≈197 m. The exact result is\n𝐿≈17.9𝑎2/𝑟≈179 m.\nAlthough not necessary for full credit, it is pos-\nsible\nto\nevaluate\nthe\nintegral\nexactly.\nSubsti-\ntuting 𝑢\n=\nsinh(𝛽) with d𝑢= cosh(𝛽)d𝛽and using\ncosh2(𝛽) −sinh2(𝛽) = 1 gives\n∫\n3\n0\n√\n1 + 𝑢2 d𝑢=\n∫\nsinh−1(3)\n0\ncosh2(𝛽) d𝛽.\nNow, we use cosh2(𝛽) = (𝑒2𝛽+2+𝑒−2𝛽)/4 = (cosh(2𝛽)+1)/2\nto obtain\n∫\n3\n0\n√\n1 + 𝑢2 d𝑢= 1\n2\n∫\nsinh−1(3)\n0\n[cosh(2𝛽) + 1] d𝛽\n= 1\n4 [sinh(2𝛽) + 2𝛽]sinh−1(3)\n0\n.\nFinally,\nwe\nuse\nsinh(2𝛽)\n=\n(𝑒2𝛽−𝑒−2𝛽)/2\n=\n2 sinh(𝛽) cosh(𝛽)\nand\ncosh(sinh−1(3))\n=\n√\n1 + sinh(sinh−1(3))2 =\n√\n10 to find\n∫\n3\n0\n√\n1 + 𝑢2 d𝑢= 1\n2\n[\n3\n√\n10 + sinh−1(3)\n]\n= 1\n2\n[\n3\n√\n10 + ln(3 +\n√\n10)\n]\n≈5.65 .\nThis gives 𝐿≈17.9𝑎2/𝑟≈179 m, as stated above.\nMarking scheme T3\nProblem T3 a)\nPts.\nA\ndraw clear sketch (straight wire, smooth\nfield line, …)\n0.2\nfield line …\nB\n…is not closed\n0.2\nC\n…is periodic in 𝑥\n0.2\nD\n…is helical (only 0.1 if chirality is wrong)\n0.2\nE\n…is centered on wire\n0.2\nTotal on T3 a)\n1.0\nProblem T3 b)\nPts.\nA\nstate or derive formula for magnetic field\nof infinite, straight wire (only 0.2 if direc-\ntion is not clear)\n0.4\nsketch or explain shape of field line\nB\nfield line is locally nearly circular\n0.2\nC\nfield line resembles helix tightly wound\naround wire\n0.2\nD\nradius of helix is changing\n0.3\nE\nidea to consider funnel surface 𝑆\n0.5\nF\nrealize and justify that\n®𝐵𝑌-flux is con-\nserved along funnel\n1.0\nG\nargue or show that radius of flux tube is\nsmallest at 𝑥= 0\n0.5\nH\napproximate ®𝐵𝑌as uniform in flux tube\ncross-sections\n0.4\nI\ndetermine flux at 𝑥= 3𝑎(0.3 for projec-\ntion, 0.2 for area)\n0.5\nJ\ndetermine flux at 𝑥= 0 using 𝜌\n0.3\nK\ncalculate final result for 𝑑\n0.5\nL\ncheck of validity of approximations in\nconsidered region\n0.2\nTotal on T3 b)\n5.0\nProblem T3 c)\nPts.\nA\nrealize that 𝐿is much larger than 𝑎and 𝑟\n(also if implicit)\n0.2\nB\nequate d𝑥with d𝐿using 𝐵-field compo-\nnents or an angle\n0.4\nC\nrealize that 𝐵⊥is dominated by wire 𝑋\n(might be mentioned in part b) already)\n0.3\nD\nderive integral expression for 𝐿\n0.4\nE\nprovide expression for 𝜌in terms of 𝑎, 𝑟\nand 𝑥(also if in part b))\n0.5\nF\ncarry out reasonable numerical approxi-\nmation or rigorous calculation of integral\n1.2\nG\nresult with 140 m ≤𝐿≤215 m (-0.2 if # sig-\nnificant figures is 1 or > 3)\n1.0\nTotal on T3 c)\n4.0\nGeneral rules for marking in T3:\n\nTheoretical Problems - Solutions\n• The grain size for marking is 0.1 Pts.\n• Partial marks can be awarded for most aspects.\n• For each mistake in calculation (algebraic or nu-\nmeric) 0.2 Pts. are deducted.\n• If a mistake leads to a dimensionally incorrect ex-\npression no marks are given for the result.\n• Propagating errors are not punished again unless\nthey are dimensionally wrong or entail oversim-\nplified/wrong physics (e.g. neglecting friction ef-\nfects).\n• In cases, where in part b) the distance of closest\napproach is determined by using an approxima-\ntion that only considers the 𝐵-field close to P (or\nany similar simplification), the following maximum\nmarks can be obtained: A to C - 0.2 each, E - 0.3\nfor the idea to determine 𝑑from a local considera-\ntion, H - 0.4, K - 0.3 for a simplified calculation of\n𝑑. Total: max. 1.6 Pts.\n","shared":true,"sourcePages":[1,2,3,4,5,6,7,8,9],"initialPage":3}},{"id":"eupho-2025-t3","importedOn":"2026-10-28","language":"en","sources":[{"url":"https://eupho.ee/wp-content/uploads/2025/06/EuPhO_2025_Theory_ENG.pdf","kind":"statement"},{"url":"https://eupho.ee/wp-content/uploads/2025/06/EuPhO25_Theory_Solutions_20250616_1120.pdf","kind":"solution"}],"statement":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/eupho-2025-statement/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/eupho-2025-statement/page-1.webp","width":982,"height":1389}],"text":"Theoretical Problems. Language: English\nT1: Sunny (10 pts)\nYou are asked to study the features of the brightly lit\ncircle and dark rings in the figures below. Make your\ncalculations for an idealized situation: the chair leg\nis strictly cylindrical of radius 𝑎, strictly vertical, with\na perfectly smooth, cylindrical, and perfectly reflect-\ning surface. You may make any additional model as-\nsumptions and approximations you deem reasonable\nthat will simplify your calculations.\na) (5 pts) Determine how the illuminance surplus\n𝐼(𝑟, 𝜃) inside the brightly lit circle on the floor\ndepends on the polar coordinates 𝑟≫𝑎and 𝜃.\nThe illuminance quantifies the amount of incom-\ning light per area. By “surplus” we mean the ad-\nditional illuminance introduced due to the pres-\nence of the cylinder.\nExpress the answer in\nterms of 𝐼0 defined as the illuminance difference\nbetween points A and B in the figure.\nb) (5 pts) In the following figure some fingers are\nblocking some of the light from reaching the\nchair leg. Let 𝑅(𝜃) denote the radial distance of\nthe middle dark ring as a function of the angle 𝜃\nand let 𝑅min be the minimal value of 𝑅(𝜃). Deter-\nmine 𝑅(𝜃) −𝑅min.\nT2: Floating table (10 pts)\nA table is made by fastening a metal frame to a mas-\nsive uniform plate (so they form a rigid body) and at-\ntaching it with chains to another frame that is fixed\non the horizontal ground. The motion of the table is\nlimited to the plane of the side view (right picture).\na) (4 pts) Show that in the configuration on the side\nview, the table is in a stable equilibrium.\nb) (6 pts) Find the period 𝑇of the small oscillations.\nThe masses of the chains and the frame can be\nneglected. The chains are frictionless, inextensible,\nand remain tensioned in oscillations. The grid step\nis 𝑎= 0.100 m, the acceleration of gravity 𝑔= 9.81 m/s2.\na\ng\na\nT3: Crossed wires (10 pts)\na) (1 pt) Current flows through an infinite, straight,\nthin wire. There is an externally imposed, uni-\nform magnetic field directed parallel to the wire.\nQualitatively sketch one of the magnetic field\nlines.\nb) (5 pts) Now consider two infinite, straight, thin\nwires (wires 𝑋and 𝑌), each carrying a current 𝐼\nas shown in the figure. The 𝑥-axis coincides with\nwire 𝑋, while wire 𝑌is parallel to the 𝑦-axis and\npasses through the point (0, 0, −𝑎). Let P be the\npoint (3𝑎, 0, 𝑟).\nAssuming 𝑟≪𝑎, calculate 𝑑, the\ndistance of closest approach of the magnetic field\nline that passes through P to the wire 𝑋.\nc) (4 pts) Let 𝐿be the length of this field line be-\ntween P and its point of closest approach to wire\n𝑋. Using values 𝑎= 10 cm and 𝑟= 1.0 mm, calculate\n𝐿to within 20% relative error.\n𝐼\n𝐼\n𝑎\n𝑟\nP\n3𝑎\n𝑋\n𝑌\n𝑥\n𝑦\n𝑧\n","shared":true,"sourcePages":[1],"initialPage":1},"solution":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/eupho-2025-solution/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/eupho-2025-solution/page-1.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2025-solution/page-2.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2025-solution/page-3.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2025-solution/page-4.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2025-solution/page-5.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2025-solution/page-6.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2025-solution/page-7.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2025-solution/page-8.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2025-solution/page-9.webp","width":982,"height":1389}],"text":"Theoretical Problems - Solutions\nT1: Sunny (10 pts)\n𝑥\n𝑎\n𝑟\n𝑙\n𝜃\n𝛽\n𝛼\n𝛼\n𝛼\n𝛽\n𝜖\nIlluminated spot on floor\nFigure 1: Top view of a light ray hitting the chair leg.\nThe incoming light ray strikes the cylinder at the blue\ndot, and the reflected ray strikes the floor at the red\ndot.\nPart a)\nSince points A and B are very close, 𝐼0 is the\nilluminance surplus due to direct sunlight.\nConsider a small (infinitesimal) horizontal rectan-\ngle [𝑥, 𝑥+ 𝛿𝑥] × [ 𝑦, 𝑦+ 𝛿𝑦] placed in the light beam.\nAs depicted in Fig 1, we let 𝑙be the horizontal dis-\ntance between the point where a ray hits the cylin-\nder and where it hits the floor and 𝛼the horizontal\nangle between the ray and the surface normal. The\nspot on the floor made by the light makes an angle\nof 2𝛼from the incident ray, and forms a small patch\nof size (𝑙2𝛿𝛼)(𝛿𝑙) on the floor.\nConsidering the side view sketched in Figure 2, we\nsee that 𝛿𝑙∝𝛿𝑦for both the ray that hits the ground\ndirectly, or a ray that is reflected before hitting the\nground.\nWe thus have\n𝐼0𝛿𝑥= 2𝐼𝑙𝛿𝛼\n(1)\nLet 𝛽= 𝜋−𝛼as sketched in Fig 1. Then\n𝛿𝑥= 𝑎(sin(𝛽+ 𝛿𝛽) −sin 𝛽) ≈𝑎cos 𝛽𝛿𝛽\n(2)\nTherefore,\n𝐼= −𝐼0𝑎\n2𝑙cos(𝛽)\n(3)\n(Note that cos 𝛽< 0.) This expression is accurate to\norder (𝑎/𝑙)2, but is not in terms of the variables re-\nCenterline\n𝑎cos 𝛼\n𝑙\nℎ0\nℎ\n𝛾\nFigure 2: Side view, with the reflected light ray ro-\ntated to lie in the same plane as the incident ray.\nquested. A more accurate expression would be\n𝐼= −\n𝐼0𝑎\n√\n4𝑙2 + 𝑎2 sin2(𝛽)\ncos(𝛽),\nbut it is not necessary to find this expression.\nTo obtain 𝐼as a function of 𝑟and 𝜃, we need to\nexpress 𝛽and 𝑙in terms of 𝑟and 𝜃.\nIf 𝑎≪𝑟, 𝑙and 𝑟almost coincide. To leading order\nthus 𝑙≈𝑟and 𝜃≈𝜋−2𝛼= 2𝛽−𝜋. Substituting 𝑙and 𝛽\nin (3) results in\n𝐼≈𝐼0𝑎\n2𝑟sin(𝜃/2)\n(4)\nPart b)\nThe rings appear because the fingers block\nthe light. For the middle ring, the finger is approxi-\nmately horizontal.\nFor 𝑙0 be the horizontal distance 𝑙for 𝛼= 𝜋/2. Con-\nsider the sketch in Fig. 2. Note that\n𝑙= 𝑙0 + 𝑎cos 𝛼= 𝑙0 + 𝑎| cos(𝛽)|\n(5)\nThe minimum value 𝑅min is attained at 𝛼= 𝛽= 𝜋/2,\nwhere 𝜃≈0 and 𝑅min ≈𝑙0 within an error of order\n(𝑎/𝑟)2. Hence,\n𝑙≈𝑅min + 𝑎cos 𝛼= 𝑅min + 𝑎| cos(𝛽)|\nThe Cosine theorem applied to the triangle between\nthe center of the chair leg, the point where the ray\nreflects form the leg and the point where it hits the\nfloor, gives the relation\n𝑟2 = 𝑎2 + 𝑙2 −2𝑎𝑙cos(𝛽)\n(6)\n\nTheoretical Problems - Solutions\nUsing (6) and expanding, we obtain\n𝑟2 = 𝑅2\nmin + 4𝑎𝑅min cos 𝛼+ 3𝑎2 cos2 𝛼\nUsing cos 𝛼≈sin(𝜃/2), and dropping terms of order\n(𝑎/𝑟)2, we arrive at\n𝑅−𝑅min ≈2𝑎sin(𝜃/2)\n(7)\nThe factor of 2 is significant!\nMarking scheme T1\nProblem T1 a)\nPts\nA\nCorrect angles, 2𝛼+ 𝜃> 𝜋\n0.5\nOnly state 2𝛼+𝜃= 𝜋without justification\n0.2\nB\nReflection law (stated in any way)\n0.5\nC\n𝑥= 𝑎sin 𝛼\n0.5\nD\nEq. 1\n1.0\nMissing factor of 2\n-0.3\n𝑟instead of 𝑙\n-0.3\nE\nEq. 3 for 𝐼\n0.5\nF\nJustify 𝑙≈𝑟\n0.5\nAssume 𝑙≈𝑟without justification\n0.2\nG\nEq. 4 for 𝐼\n1.5\nTotal on T1 a)\n5.0\nProblem T1 b)\nPts\nH\nCosine Law expression\n1.0\nI\nEq. 5 for 𝑙\n1.0\nqualitative\nunderstanding\nwhy\n𝑅(𝜃)\nvaries with 𝜃\n0.5\nJ\nJustifying 𝑙0 ≈𝑅min to leading order\n1\nOnly stating 𝑙0 ≈𝑅min\n0.5\nK\nFinal Eq. 7\n2.0\nWriting 𝑅−𝑅min = 𝑎sin(𝜃/2)\n1.0\nOnly has 𝑅max −𝑅min = 2𝑎\n0.5\nOnly has 𝑅max −𝑅min = 𝑎\n0.0\nTotal on T1 b)\n5.0\nGeneral rules for marking in T1:\n• The grain size for marking is 0.1 Pts.\n• Yellow shaded categories receive a single mark\n• Partial marks can be awarded for most aspects.\n• For each mistake in calculation (algebraic or nu-\nmeric) 0.3 Pts. are deducted.\n• If a mistake leads to a dimensionally incorrect ex-\npression no marks are given for the result.\n• Propagating errors are not punished again unless\nthey are dimensionally wrong or entail oversim-\nplified/wrong physics (e.g. neglecting friction ef-\nfects).\n• Getting a correct answer for a later part that could\nonly be arrived at by doing a previous part cor-\nrectly will result in the minimum score(s) for pre-\nvious part(s) that would support the end result.\n• Justifying F can be done graphically, algebraically,\nwith words, but needs more than just writing 𝑟≈𝑙.\n• Arriving at a correct G without supporting work\nwould score 4.1 for A-G as (0.2, 0.5, 0.5, 0.7, 0.5,\n0.2, 1.5).\n• Arriving at an incorrect G without supporting work\nwould score 0 for A-G.\n• Arriving at a correct K without supporting work\nwould score 4.5 for L-O as (1.0, 1.0, 0.5, 2.0)\n• Arriving at an incorrect K without supporting work\nwould score 0 for H-J, and then the points for K.\n\nTheoretical Problems - Solutions\nT2: Floating table (10 pts)\nSolution with forces\nFirst, let us consider the\nforces and torques and show that in the configuration\nshown in the figure, the table is indeed in equilib-\nrium. By the word “table”, we understand the rigid\nbody formed by the plate and the frame attached to\nit. In the following considerations and descriptions\nof the table position we often use positions of points\nA, B and C, which belong to the rigid table: distances\nbetween them do not change. Since in the problem\nstatement, the motion is limited to the side view only,\nthe pair of short chains will always have the same\nposition when viewed from the side. So we will con-\nsider them as a single chain (chain 1) with the tension\ndoubled. The same is true for the pair of long chains\n(chain 2).\n2𝑎\n4𝑎\n𝑚®𝑔\n®𝐹1\n®𝐹2\nA\nB\nC\nFigure 3: Scheme of forces for the initial state.\nThere are 3 forces acting on a table (see Fig. 3):\nplate weight 𝑚®𝑔(at the center of mass of the table\nC), and 2 tension forces from the chains: ®𝐹1 (at point\nA, chain 1) and ®𝐹2 (at point B, chain 2). Since all the\nforces only have vertical components different from\n0, their horizontal components are balanced and for\ntheir vertical components, the balance equation is:\n−𝑚𝑔+ 𝐹1 −𝐹2 = 0.\n(8)\nFinally, consider the torque balance around the\npoint 𝐵:\n𝑚𝑔· 4𝑎−𝐹1 · 2𝑎= 0.\n(9)\nSolving the system of equations (8-9), we get 𝐹1 =\n2𝑚𝑔and 𝐹2 = 𝑚𝑔. Since both 𝐹1, 𝐹2 > 0, we conclude\nthat the chains are indeed tensioned and the system\nis in equilibrium.\nNow let’s analyze how the table rotates, when it\nis displaced. Since the chains are tensioned and in-\nextensible, the point 𝐵can only travel along the cir-\ncle 𝑐𝑏. Similarly, the distance between the point A0\nand any point inside the circle 𝑐𝑎is smaller than the\nlength of the short chain (4𝑎); the distance between\nthe point A0 and any point outside of the circle 𝑐𝑎is\nlarger than 4𝑎.\nSince the table is rigid, if we fix the point B and ro-\ntate the table around it, point A would travel along\nthe circle 𝑐𝑡.\nFrom the way how 𝑐𝑡intersects with\n𝑐𝑎, we can conclude that if the table is rotated clock-\nwise, the distance A0A decreases. And if it is rotated\ncounter-clockwise, A0A increases.\nLet’s imagine we translate (move without rotation)\nthe table to the left, so the point 𝐵travels to the point\n𝐵′. Point 𝐴would move to the point 𝐴′, as shown in\nFig. 4. Since 𝐴′ is outside of the circle 𝑐𝑎, A0A′ > A0A\nand the table has to rotate clockwise (around B′) to\ncompensate for this change and return the point A′\nback to the circle 𝑐𝑎(point A′′) to satisfy the constant\nchain length constraint.\nB\nA\nC\nA′′\nB′\nA′\nA0\nB0\n𝑐𝑏\n𝑐𝑎\n𝑐𝑡\nA\nA′′\nA′\nFigure 4: Translation to the left and clockwise rota-\ntion of the table\nIf we translate the table in the opposite direction,\nfollowing similar arguments, we find that the table\nrotates clockwise in this case too, see Fig. 5.\nB\nB′\nB0\nC\nA0\nA\nA′′\nA′\n𝑐𝑎\n𝑐𝑡\nFigure 5: Translation to the right and clockwise ro-\ntation of the table\n\nTheoretical Problems - Solutions\nSince the table rotates in the same direction for\nboth positive and negative horizontal displacements,\nthe Taylor expansion of the angle of rotation 𝜑(𝑥)\ndoes not contain a linear term in 𝑥: 𝜑(𝑥) ∼𝑥2. This\nmeans that for small horizontal displacements, we\ncan neglect the table rotation.\nLet’s look at what happens when the table is dis-\nplaced infinitesimally from its initial position in the\nhorizontal direction (it will also move in the vertical\ndirection, but the displacement in the vertical direc-\ntion is an order of magnitude smaller and we will ne-\nglect it). The vertical components of the forces in the\nchains do not change significantly, but as you can see\nin the Fig. 6, the horizontal components of the forces\nin both chains appear in the direction opposite to the\ndisplacement. This means that the equilibrium is sta-\nble.\n𝑚®𝑔\n®𝐹1\n®𝐹2\nB\nC\nA\nFigure 6: Horizontal displacement of the table\nSince we have already drawn a figure showing the\ndisplaced position of the table, let us write the equa-\ntion of motion for the table plate for small horizon-\ntal displacements 𝑥, where 𝜃1 and 𝜃2 are small an-\ngles between the chains 1 and 2 respectively and the\nvertical. Since the table displacement is small, ten-\nsion forces 𝐹1 and 𝐹2 cannot change significantly (the\nforce change is of the same order as the displace-\nment). Thus, we can use the previously found values:\n𝑚¥𝑥= −𝐹1 sin 𝜃1 −𝐹2 sin 𝜃2 = −𝐹1𝜃1 −𝐹2𝜃2 =\n= −2𝑚𝑔𝑥\n4𝑎−𝑚𝑔𝑥\n6𝑎= −𝑚𝑔2𝑥\n3𝑎,\nwhere we have also considered the lengths of the\nchains 4𝑎(chain 1) and 6𝑎(chain 2), neglected the\nrotation of the plate and used small angle approxi-\nmations. Rearranging this equation, we get:\n¥𝑥+ 2𝑔\n3𝑎𝑥= 0,\nwhich describes horizontal oscillations of the table\nplate with 𝜔=\n√\n2𝑔/(3𝑎) = 8.09 s−1, frequency 𝜈= 1.29 Hz\nand period\n𝑇= 777 ms.\nSolution with energies\nLet’s denote the small dis-\nplacement of the centre of mass from equilibrium po-\nsition C to C′ as (𝑥, 𝑦), where 𝑥, 𝑦≪𝑎, and the small\ntilt of the table as 𝜑, as shown in Fig. 7.\n5𝑎\n2𝑎\n4𝑎\n4𝑎\nA′\nB′\nC′\n𝜑\n𝜑\n𝜑\nB\nA\nC\nFigure 7: Infinitesimal displacement of the table\nGiven the small angle approximation 𝜑≪1 (sin 𝜑≈\n𝜑and cos 𝜑≈1), the displacement of points from equi-\nlibrium positions A and B to A′ and B′ are:\nΔ𝐴𝑥= 𝑥−5𝑎sin 𝜑−2𝑎(1 −cos 𝜑) ≈𝑥−5𝑎𝜑,\nΔ𝐴𝑦= 𝑦−2𝑎sin 𝜑+ 5𝑎(1 −cos 𝜑) ≈𝑦−2𝑎𝜑,\nΔ𝐵𝑥= 𝑥−4𝑎(1 −cos 𝜑) ≈𝑥,\nΔ𝐵𝑦= 𝑦−4𝑎sin 𝜑≈𝑦−4𝑎𝜑.\nNow we can write a condition that the squared\nlength of the small chain remains the same:\n(𝑥−5𝑎𝜑)2 + (4𝑎−𝑦+ 2𝑎𝜑)2 = (4𝑎)2\n𝑥2 −10𝑎𝑥𝜑+ 25𝑎2𝜑2 −8𝑎( 𝑦−2𝑎𝜑) + ( 𝑦−2𝑎𝜑)2 = 0,\nLet’s notice that the largest term in 𝑥is 𝑥2 and in\n𝑦and 𝑎𝜑, it’s 8𝑎( 𝑦+ 2𝑎𝜑). Thus, we can omit all other\nterms, since they are of the higher order (and there-\nfore smaller):\n𝑥2 −8𝑎( 𝑦−2𝑎𝜑) = 0,\n𝑥2\n8𝑎−𝑦+ 2𝑎𝜑= 0.\n(10)\nDoing the same for the long chain we get:\n𝑥2 + (6𝑎+ 𝑦−4𝑎𝜑)2 = (6𝑎)2\n𝑥2 + 12𝑎( 𝑦−4𝑎𝜑) + ( 𝑦−4𝑎𝜑)2 = 0,\nOmitting higher order terms we get:\n𝑥2 + 12𝑎( 𝑦−4𝑎𝜑) = 0,\n𝑥2\n12𝑎+ 𝑦−4𝑎𝜑= 0.\n(11)\nSolving (10) and (11) as linear equations on 𝑦and 𝜑,\nwe get:\n𝑦= 𝑥2\n3𝑎,\n𝜑= 5𝑥2\n48𝑎2 .\nSince the potential energy of the table\n𝑈= 𝑚𝑔𝑦= 2\n3𝑎𝑚𝑔𝑥2\n2 ,\n(12)\n\nTheoretical Problems - Solutions\ndoesn’t have a term linear in 𝑥, we conclude that the\nsystem is in equilibrium. And since the coefficient\nfor 𝑥2 is positive, the equilibrium is stable.\nThe kinetic energy of the table is:\n𝐸= 𝑚¤𝑥2 + ¤𝑦2\n2\n+ 𝐼¤𝜑2\n2 ≈𝑚¤𝑥2\n2 ,\n(13)\nwhere 𝐼is a moment of inertia with respect to rota-\ntion around the axis through the centre of mass C.\nSince both 𝑦and 𝜑depend on 𝑥2, their squared\nderivatives will be proportional to 𝑥2 ¤𝑥2 and can be\nneglected when compared to ¤𝑥2 term.\nFinally, we can find the period of oscillations from\nthe ratio of coefficients of (13) and (12):\n𝑇= 2𝜋\n√\n𝑚\n/\n2𝑚𝑔\n3𝑎\n= 2𝜋\n√\n3𝑎\n2𝑔= 0.777 s.\nSolution with the curvature\nWe begin with the\nobservation that at the initial horizontal position,\npoints A and B in Fig. 3 move horizontally. There-\nfore, the instantaneous centre of table’s rotation is\nat infinity (found as the intersection of lines perpen-\ndicular to the velocity vectors, which are parallel in\nthis case), or in other words there is no rotation. An-\nother way to see it is to consider the projections of\nthe velocities 𝑣𝐴and 𝑣𝐵to the line 𝐴𝐵which should\nbe the same in a rigid body. Thus 𝑣𝐴= 𝑣𝐵= 𝑣and all\nthe points of the table move with the same velocity,\ni.e. there is no immediate rotation.\n®𝑣𝐵\n®𝑣𝐴\n𝐴\n𝐵\n𝐶\nFigure 8: Immediate velocities given the constraints\nConsequently, no rotational kinetic energy is in-\nvolved, and the motion of the table can be treated\nas the motion of a point mass located at the centre of\nmass, point C. Since at the given configuration, the\n𝑣𝐶can only be horizontal, we conclude that initially\ntable is at equilibrium. All that remains is to find the\nradius of curvature 𝑅of its trajectory and calculate\n𝑇= 2𝜋\n√\n𝑅/𝑔.\nTo find the radius of curvature, we note that for an\narbitrary point 𝑃on the table, the curvature ®𝑐= ˆ𝑛/𝑅\n𝐶\n𝐵\n𝐴\n𝑤𝐵\n𝑤𝐴𝑦\n𝑤𝐴𝑥\n𝛼\n𝛼\n𝛼\n𝛼\n𝛼\n𝛼\n𝑤𝐶\nFigure 9: Immediate accelerations\nof its trajectory is a linear function of its coordinates,\nwhere ˆ𝑛denotes a unit vector pointing towards the\ncentre of curvature. Indeed, using a non-inertial ref-\nerence frame where the rigid body remains at rest\nwith origin at 𝑂, the acceleration of point 𝑃is the su-\nperposition of: the acceleration of 𝑂, the centripetal\nacceleration −®\n𝑂𝑃𝜔2, and the tangential acceleration\n®𝜀× ®\n𝑂𝑃. All of these are linear functions of the coordi-\nnates of point 𝑃, where ®𝜀denotes the angular accel-\neration and 𝜔the angular speed. Hence, in the lab\nframe, the acceleration of point 𝑃is a linear function\nof coordinates, as must be its centripetal accelera-\ntion 𝑣2®𝑐. Since the angular speed of the table is zero,\nall points move with the same speed, so ®𝑐must be a\nlinear function of coordinates.\nThe remaining calculation is straightforward: due\nto the translational motion of the body, curvatures\ndepend only on the horizontal coordinate 𝑥. The cur-\nvature of 𝐵at 𝑥= 4𝑎is 𝑐𝐵= −1/(6𝑎), with the minus sign\nindicating that the vector points downwards.\nThe\ncurvature of 𝐴at 𝑥= 2𝑎is 𝑐𝐴= 1/(4𝑎).\nHence, the\ncurvature of 𝐶is 1/(4𝑎) + (1/(4𝑎) + 1/(6𝑎)) = 2/(3𝑎), giv-\ning 𝑅= 1.5 dm and resulting in 𝑇= 777 ms.\nPositive\ncurvature means that the position is a stable equilib-\nrium.\nAnother way to see it, is to consider normal accel-\neration 𝑤𝐶of point C. For 2 points of a rigid body 𝐶\nand 𝐵, the projections of their accelerations 𝑤𝐶, 𝑤𝐵to\nthe segment 𝐵𝐶differ by the value 𝜔2|𝐵𝐶|. However,\nin our case since there is no rotation, the projections\nof acceleration are equal (like velocities). This means\nthat the accelaration 𝑤𝐵is also normal and equal to\n𝑤𝐵= 𝑣2/(6𝑎). Point 𝐴has both normal and tangential\nacceleration. Comparing projections of points 𝐴, 𝐵,\n\nTheoretical Problems - Solutions\nand 𝐴, 𝐶, we get:\n−𝑤𝐵cos 𝛼= 𝑤𝐴𝑦cos 𝛼−𝑤𝐴𝑦sin 𝛼,\n𝑤𝐶cos 𝛼= 𝑤𝐴𝑦cos 𝛼+ 𝑤𝐴𝑦sin 𝛼,\nThus, we find that\n𝑤𝐶= 𝑤𝐵+ 2𝑤𝐴𝑦= 𝑣2\n6𝑎+ 2 𝑣2\n4𝑎=\n𝑣2\n3𝑎/2,\nso radius of curvature is 𝑅= 3𝑎/2.\nYou can visualize the motion of the table using a\nGeoGebra tool, following the web link or the qr code\nhttps://www.geogebra.org/m/wbqwp3tf\nMarking scheme T2\nA\nTable is in equilibrium\nPartial points:\n– (1pt) Sketch of forces or eqn for forces\n2.0\nB\nThe equilibrium is stable\nPartial points:\n– (1pt) Sketch with returning forces, but\nthere is no proof that 𝜔0 = 0\n– (1pt) There is a statement that the\nstability comes from 𝑦= 𝑘𝑥2 if 𝑘> 0, but\n𝑘is not found correctly (and thus could\npotentially be negative)\n2.0\nC\nTable can rotate:\nwhether it is clear from the sketch or\nfrom the equations, i.e. 𝜑is introduced\n1.0\nD\nTable does not have immediate rotation\nwhether it is proved separately or follows\nnaturally from the results of calculations:\n– geometry considered ⇒𝜑∼𝑥2\n– eqn for contraints ⇒𝜑∼𝑥2\n– immediate velocities ⇒no rotation\n1.0\nE\nThe plan how to find the period of oscil-\nlation:\n– 2nd Newton’s law ¥𝑥∼−𝑥\n– idea to find kinetic and potential ener-\ngies\n– using the curvature of the trajectory\n1.0\nF\nFinding all the elements for the plan\nabove:\n– small horizontal forces\n– energies to the correct approximations\n– accelerations/curvatures\nPartial points:\n– (1pt) if not all elements are found or\nthey are found with mistakes\n– (1pt) if there is no proof 𝜔0 = 0 (or no\nconsideration about the rotation at all),\nbut other than that, everything is correct\n– (0pts) if some elements are there, but\nthe plan was different (e.g. the student\nwas looking for energies, but has the\nexpression for forces)\n2.0\nG\nFormula and number for 𝑇\nPartial points:\n– (0.5pts) only formula or a number\n– (0.5pts) simple mistake (like inverse\nformula under the root)\n1.0\nTotal\n10.0\n– Only a single partial point is applied (whatever is\nlarger)\n– If there is a single simple arithemetic error/typo in\ncalculations in item F, which leads to a wrong for-\nmula value in item G, then F and G receive 1 pt each\n(no propagation of error). This doesn’t apply to more\nprofound errors in physics/geometry\n\nTheoretical Problems - Solutions\nT3: Crossed Wires (10 pts)\nPart a)\nIn the absence of an externally imposed\nmagnetic field, an infinite, straight, thin wire creates\na magnetic field whose field lines are closed circular\nloops. These loops lie in the plane perpendicular to\nthe wire and are centered on the wire (red circle in\nthe figure).\nNow, consider the effect of introducing the exter-\nnally imposed magnetic field. At any point, the to-\ntal magnetic field is the vector sum of the magnetic\nfield of the wire and the externally imposed magnetic\nfield. The total magnetic field now has a component\nparallel to the wire. This means the magnetic field\nlines do not remain in a plane perpendicular to the\nwire. They do not form closed loops any more. In-\nstead, they will spiral around the wire, tracing out a\nhelix (blue curve in the figure).\n𝐼\nwire\nPart b)\nIt is a standard result that the magnetic\nfield around an infinite, straight, thin wire carrying a\ncurrent 𝐼has magnitude 𝜇0𝐼/2𝜋𝜌, where 𝜌is the per-\npendicular distance to the wire. This magnetic field\nstrength increases as 𝑟decreases. Before consider-\ning the wire configuration of part b, it will be useful\nto discuss what happens in part a if the helical field\nline is very close to the wire. By ‘close’, we mean\nvalues of 𝜌small enough that the magnetic field of\nthe wire is much greater than the externally applied\nmagnetic field. Then, the field lines cannot deviate\nmuch from the circular loops they would trace out if\nthe externally applied field were not present. This\nmeans the helix would be wound very tightly.\nNow we move on to discuss the wire configuration\nof part b. Let the magnetic field due to wire 𝑋be ®𝐵𝑋\nand the magnetic field due to wire 𝑌be ®𝐵𝑌. At any\npoint in space, the magnetic field is the vector sum\nof ®𝐵𝑋and ®𝐵𝑌. At points that are close to wire 𝑋(dis-\ntances 𝜌≪𝑎), we have | ®𝐵𝑋| ≫| ®𝐵𝑌|. Therefore, as in\npart a, the field lines near wire 𝑋will not deviate very\nmuch from circular loops centered on wire 𝑋. How-\never, ®𝐵𝑌has a component along wire 𝑋, so the field\nlines do not perfectly close on themselves. Instead,\nthey will trace out a tightly wound spiral around wire\n𝑋, as shown in the figure for the previous part. Unlike\nthere, the spiral is not necessarily a perfect helix: as\nthe field lines spiral to larger or smaller 𝑥, the radius\n𝜌(𝑥) of the spiral might change. To find the distance\nof closest approach of a field line to wire 𝑋, we must\nfind the minimal value of 𝜌(𝑥) as 𝑥varies.\nThe spiraling field line shown in the figure below\nseems to trace out a surface, 𝑆, surrounding wire 𝑋.\nA more precise definition of 𝑆is as follows. Let 𝐶be\nthe circle of radius 𝑟, centered on wire 𝑋, in the plane\n𝑥= 3𝑎. Through every point on 𝐶, we can draw a mag-\nnetic field line. The set of field lines passing through\npoints of 𝐶traces out a surface; this is the surface we\ndefine as 𝑆. Each field line in this set spirals around\nwire 𝑋as described above, so 𝑆looks like a ‘funnel’\nwhose cross section, at any fixed 𝑥, is nearly circu-\nlar. The cross section is nearly circular as long as the\ncondition 𝜌≪\n√\n𝑎2 + 𝑥2 is satisfied, because this means\nthe magnetic field is perturbed only slightly by wire\n𝑌and the field lines do not deviate much from the\ncircular loops that they would trace if wire 𝑌were\nnot present.\nNear point P, 𝜌≪\n√\n𝑎2 + 𝑥2 is satisfied\nbecause 𝑟≪𝑎. We will verify a posteriori that the\nmagnetic field line never reaches values of 𝜌that vi-\nolate the condition 𝜌≪\n√\n𝑎2 + 𝑥2.\nI\nI\na\nr\nP\nwire X\nwire Y\n2d\nThe key idea is that the magnetic flux through the\nmiddle of the ‘funnel’ 𝑆is conserved. No magnetic\nflux exits through the sides of the funnel because—\nby construction—the magnetic field is tangent to 𝑆at\nevery point. For this reason, the region bounded by 𝑆\nis called a ‘flux tube’. The flux through the flux tube\nis entirely due to ®𝐵𝑌, which is approximately uniform\nover the circular cross section at each 𝑥.\n𝐼\n𝐼\n𝑎\n𝑥\n√\n𝑎2 + 𝑥2\n𝜌(𝑥)\n𝜃\nwire 𝑋\nwire 𝑌\n®𝐵𝑋\n®𝐵𝑌\nThe component of ®𝐵𝑌directed along the wire is\n𝐵∥= | ®𝐵𝑌| cos(𝜃) = (𝜇0𝐼/2𝜋)(𝑎/(𝑎2+𝑥2)) (see figure above).\nTherefore, the conserved flux is 1\n2𝜇0𝐼𝑎𝜌2/(𝑎2 +𝑥2). The\nequation of 𝑆is then 𝜌2/(𝑎2 + 𝑥2) = const. = 𝑟2/10𝑎2, us-\ning the fact that 𝑆passes through P. We can now see\nthat 𝜌never grows so large that 𝜌≪\n√\n𝑎2 + 𝑥2 fails, so\nour equation for 𝑆remains valid for all 𝑥. Then, the\nminimal value of 𝜌(𝑥) is 𝜌(0) = 𝑑= 𝑟/\n√\n10.\nPart c)\nLet the point of closest approach be Q. We\nneed to calculate the length of the spiraling field line\nbetween points P and Q. Due to the tight winding of\n\nTheoretical Problems - Solutions\nthe field lines, this length is much larger than 𝑟or 𝑎.\nTherefore, the precise position of point Q around the\nloop closest to 𝑥= 0 (for example, whether it is on\nthe side closer to wire 𝑌or on the side further from\nwire 𝑌) is unimportant. To leading order, 𝐿equals the\nlength along the field line from P to the point on the\nfield line with 𝑥= 0.\nConsider two points on the field line whose 𝑥-\ncoordinates differ by a small amount d𝑥. The length\nd𝐿of the short segment of field line joining these\npoints is given by d𝑥≈(𝐵∥/𝐵⊥)d𝐿.\nHere, we have\ndecomposed the magnetic field vector into a compo-\nnent 𝐵∥along wire 𝑋and a component 𝐵⊥perpen-\ndicular to wire 𝑋.\nIn the previous part, we found\n𝐵∥= (𝜇0𝐼/2𝜋)(𝑎/(𝑎2 + 𝑥2)). The field of wire 𝑋gives the\ndominant contribution to 𝐵⊥, so 𝐵⊥= 𝜇0𝐼/2𝜋𝜌. These\nexpressions are approximate and ignore corrections\nof order 𝑟/𝑎. Since 𝑟/𝑎≈1/100, ignoring these correc-\ntions is acceptable for the required accuracy of 20%.\nThe total length is obtained by integration:\n𝐿=\n∫𝑃\n𝑄\nd𝐿=\n∫\n3𝑎\n0\n𝑎2 + 𝑥2\n𝑎𝜌\nd𝑥.\nNow, we use the equation for 𝜌(𝑥) derived in part b:\n𝜌(𝑥)2/(𝑎2 + 𝑥2) = 𝑟2/(10𝑎2). The result is\n𝐿=\n∫\n3𝑎\n0\n√\n10\n𝑟\n√\n𝑎2 + 𝑥2 d𝑥=\n√\n10𝑎2\n𝑟\n∫\n3\n0\n√\n1 + 𝑢2 d𝑢.\nThis expression must be numerically evaluated to\nwithin 20% relative error.\nTo obtain a numerical\nvalue for the integral, we could use the trapezium\nrule or we could draw the curve 𝑦=\n√\n1 + 𝑥2 be-\ntween 𝑥= 0 and 𝑥= 3 on graph paper and count\nthe number of squares beneath the curve. In fact,\na crude estimate using a single trapezium is suffi-\ncient for the required accuracy:\n∫3\n0\n√\n1 + 𝑢2 d𝑢≈\n∫3\n0 [1 +\n(\n√\n10 −1)(𝑢/3)]d𝑢= 3 + (3/2)(\n√\n10 −1) ≈6.24, resulting\nin a length of 𝐿≈19.7𝑎2/𝑟≈197 m. The exact result is\n𝐿≈17.9𝑎2/𝑟≈179 m.\nAlthough not necessary for full credit, it is pos-\nsible\nto\nevaluate\nthe\nintegral\nexactly.\nSubsti-\ntuting 𝑢\n=\nsinh(𝛽) with d𝑢= cosh(𝛽)d𝛽and using\ncosh2(𝛽) −sinh2(𝛽) = 1 gives\n∫\n3\n0\n√\n1 + 𝑢2 d𝑢=\n∫\nsinh−1(3)\n0\ncosh2(𝛽) d𝛽.\nNow, we use cosh2(𝛽) = (𝑒2𝛽+2+𝑒−2𝛽)/4 = (cosh(2𝛽)+1)/2\nto obtain\n∫\n3\n0\n√\n1 + 𝑢2 d𝑢= 1\n2\n∫\nsinh−1(3)\n0\n[cosh(2𝛽) + 1] d𝛽\n= 1\n4 [sinh(2𝛽) + 2𝛽]sinh−1(3)\n0\n.\nFinally,\nwe\nuse\nsinh(2𝛽)\n=\n(𝑒2𝛽−𝑒−2𝛽)/2\n=\n2 sinh(𝛽) cosh(𝛽)\nand\ncosh(sinh−1(3))\n=\n√\n1 + sinh(sinh−1(3))2 =\n√\n10 to find\n∫\n3\n0\n√\n1 + 𝑢2 d𝑢= 1\n2\n[\n3\n√\n10 + sinh−1(3)\n]\n= 1\n2\n[\n3\n√\n10 + ln(3 +\n√\n10)\n]\n≈5.65 .\nThis gives 𝐿≈17.9𝑎2/𝑟≈179 m, as stated above.\nMarking scheme T3\nProblem T3 a)\nPts.\nA\ndraw clear sketch (straight wire, smooth\nfield line, …)\n0.2\nfield line …\nB\n…is not closed\n0.2\nC\n…is periodic in 𝑥\n0.2\nD\n…is helical (only 0.1 if chirality is wrong)\n0.2\nE\n…is centered on wire\n0.2\nTotal on T3 a)\n1.0\nProblem T3 b)\nPts.\nA\nstate or derive formula for magnetic field\nof infinite, straight wire (only 0.2 if direc-\ntion is not clear)\n0.4\nsketch or explain shape of field line\nB\nfield line is locally nearly circular\n0.2\nC\nfield line resembles helix tightly wound\naround wire\n0.2\nD\nradius of helix is changing\n0.3\nE\nidea to consider funnel surface 𝑆\n0.5\nF\nrealize and justify that\n®𝐵𝑌-flux is con-\nserved along funnel\n1.0\nG\nargue or show that radius of flux tube is\nsmallest at 𝑥= 0\n0.5\nH\napproximate ®𝐵𝑌as uniform in flux tube\ncross-sections\n0.4\nI\ndetermine flux at 𝑥= 3𝑎(0.3 for projec-\ntion, 0.2 for area)\n0.5\nJ\ndetermine flux at 𝑥= 0 using 𝜌\n0.3\nK\ncalculate final result for 𝑑\n0.5\nL\ncheck of validity of approximations in\nconsidered region\n0.2\nTotal on T3 b)\n5.0\nProblem T3 c)\nPts.\nA\nrealize that 𝐿is much larger than 𝑎and 𝑟\n(also if implicit)\n0.2\nB\nequate d𝑥with d𝐿using 𝐵-field compo-\nnents or an angle\n0.4\nC\nrealize that 𝐵⊥is dominated by wire 𝑋\n(might be mentioned in part b) already)\n0.3\nD\nderive integral expression for 𝐿\n0.4\nE\nprovide expression for 𝜌in terms of 𝑎, 𝑟\nand 𝑥(also if in part b))\n0.5\nF\ncarry out reasonable numerical approxi-\nmation or rigorous calculation of integral\n1.2\nG\nresult with 140 m ≤𝐿≤215 m (-0.2 if # sig-\nnificant figures is 1 or > 3)\n1.0\nTotal on T3 c)\n4.0\nGeneral rules for marking in T3:\n\nTheoretical Problems - Solutions\n• The grain size for marking is 0.1 Pts.\n• Partial marks can be awarded for most aspects.\n• For each mistake in calculation (algebraic or nu-\nmeric) 0.2 Pts. are deducted.\n• If a mistake leads to a dimensionally incorrect ex-\npression no marks are given for the result.\n• Propagating errors are not punished again unless\nthey are dimensionally wrong or entail oversim-\nplified/wrong physics (e.g. neglecting friction ef-\nfects).\n• In cases, where in part b) the distance of closest\napproach is determined by using an approxima-\ntion that only considers the 𝐵-field close to P (or\nany similar simplification), the following maximum\nmarks can be obtained: A to C - 0.2 each, E - 0.3\nfor the idea to determine 𝑑from a local considera-\ntion, H - 0.4, K - 0.3 for a simplified calculation of\n𝑑. Total: max. 1.6 Pts.\n","shared":true,"sourcePages":[1,2,3,4,5,6,7,8,9],"initialPage":7}},{"id":"eupho-2024-t1","importedOn":"2026-10-28","language":"en","sources":[{"url":"https://eupho.ee/wp-content/uploads/2024/07/EuPhO_2024_theory_final.pdf","kind":"statement"},{"url":"https://eupho.ee/wp-content/uploads/2024/07/EuPhO_2024_theory_sol.pdf","kind":"solution"}],"statement":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/eupho-2024-statement/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/eupho-2024-statement/page-1.webp","width":982,"height":1389}],"text":"Theoretical Problems. Language: English\nT1: Sliding puck (10 pts)\nA puck (a small disc) with radius 𝑟and uniform den-\nsity is moving on a horizontal plane with the veloc-\nity 𝑣0 without rotation. The puck meets a fixed half-\ncircular wall with a radius 𝑅≫𝑟and starts to move\nalong the wall.\nThe coefficient of friction with the\nwall is 𝜇, and friction with the horizontal plane is neg-\nligible.\na) (8 pts) Find the velocity of the puck 𝑣𝑒when it\nleaves the wall.\nb) (2 pts) Sketch the graph 𝑣𝑒(𝜇). Indicate impor-\ntant features of the graph. You are encouraged\nto sketch the graph even if you haven’t found the\nexact formula for 𝑣𝑒.\nT2: Spaceships (10 pts)\nAlice and Bob are twin astronauts on a long space\nmission. After many years, they are finally approach-\ning each other to reunite. Alice’s spaceship is moving\ntowards Bob’s spaceship at a speed of 𝑢= 3\n5𝑐, where\n𝑐is the speed of light.\nDuring their approach, both Alice and Bob send\ngifts to each other. Alice sends gifts to Bob at regu-\nlar time intervals Δ𝑡0 in her own frame of reference,\nwith each gift travelling at a velocity 𝑣= 4\n5𝑐(again, in\nher frame of reference). Similarly, Bob sends gifts to\nAlice at the same regular time intervals Δ𝑡0 in his own\nframe of reference, with each gift also travelling at a\nvelocity 𝑣= 4\n5𝑐in his frame of reference. Assume that\nthe distance 𝐿between Alice and Bob is so large that\nthere are many gifts in transit at any given moment.\na) (5 pts) In Bob’s reference frame, find\n(i) the distance between two successive gifts\nsent by Alice, and\n(ii) the time interval Δ𝑡1 at which these gifts from\nAlice arrive at Bob’s spaceship.\nb) (5 pts) At a given instant, Alice can see a num-\nber of gifts moving away from her and a number\nof gifts moving towards her.\nWhat is the ratio\nbetween these two numbers?\nT3: Fabry–Pérot interferometer (10 pts)\nA Fabry–Pérot interferometer consists of two identi-\ncal parallel planar mirrors separated by a distance 𝐿.\nThe space between and outside the mirrors is filled\nwith air. The mirrors are partially reflective; when\nlight is aimed towards one of these mirrors along the\nnormal direction, the reflected beam has intensity\n𝑅< 1 times the intensity of the incident beam. As-\nsume that the mirrors are symmetric, meaning they\ninteract the same way with light incident from either\nside, and lossless. Assume also that they are highly\nreflective, meaning 1 −𝑅≪1. A monochromatic laser\nbeam of power 𝑃is aimed towards the interferome-\nter perpendicular to the mirrors. The distance 𝐿is\nchosen so that the back-reflected beam vanishes, i.e.\nall the optical power is transmitted through the in-\nterferometer.\na) (3pts) Show that the laser beam must acquire a\nnonzero phase shift 𝜙when it passes through ei-\nther of the mirrors.\nb) (2pts) Find the magnitude of 𝜙.\nc) (4pts) At a certain moment, the incident laser\nbeam is switched off rapidly. Find the total en-\nergy of the light that travels back from the in-\nterferometer towards the laser after the laser is\nswitched off.\nd) (1pt) Estimate the duration of the light pulse that\ntravels back towards the laser.\n","shared":true,"sourcePages":[1],"initialPage":1},"solution":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/eupho-2024-solution/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/eupho-2024-solution/page-1.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2024-solution/page-2.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2024-solution/page-3.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2024-solution/page-4.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2024-solution/page-5.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2024-solution/page-6.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2024-solution/page-7.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2024-solution/page-8.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2024-solution/page-9.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2024-solution/page-10.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2024-solution/page-11.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2024-solution/page-12.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2024-solution/page-13.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2024-solution/page-14.webp","width":982,"height":1389}],"text":"Theoretical Solutions\nT1: Sliding puck - Solution\nWhen the puck moves along the wall, two forces\n(in addition to gravity and the normal force of the\nhorizontal ground, which cancel each other out) act\non it: the normal force of the wall (which changes\nthe direction of motion of the puck) and the friction\nbetween the puck and the wall (which changes the\nspeed of the puck and also causes the puck to start\nrotating).\nSo as the puck moves along the circular wall, the\nspeed of the puck decreases and the angular veloc-\nity of the puck’s rotation around its vertical axis in-\ncreases. The motion of the puck is rolling with slid-\ning along the wall. At a certain point in time 𝑡1, the\ncontact point of the puck may have zero velocity and\nkinetic friction becomes static. From this point on-\nwards, the puck will be rolling without sliding along\nthe wall.\nFrom the zero velocity of the contact point, we find\nthe relationship 𝜔= 𝑣/𝑟.\nLet’s focus on rolling with sliding first. The normal\nforce ®𝑁of the wall on the puck is also perpendicular\nto the velocity of the puck at any instantaneous po-\nsition of the puck. Force ®𝑁changes the direction of\nthe velocity ®𝑣. From Newton’s law in normal direc-\ntion, we find 𝑁= 𝑚𝑣2/𝑅, where 𝑚is the mass of the\npuck. Thus, the magnitude of the frictional force is\n𝐹𝑓= 𝜇𝑁= 𝜇𝑚𝑣2/𝑅.\nSolution 1: The equation for the translational mo-\ntion of the puck is\n𝑚𝑑𝑣\n𝑑𝑡= −𝜇𝑚𝑣2\n𝑅\nand in the integral form including the initial condi-\ntions\n∫𝑣\n𝑣0\n𝑑𝑣\n𝑣2 = −𝜇\n𝑅\n∫𝑡\n0\n𝑑𝑡\nwhere the time 𝑡= 0 is the time at which the puck\nmeets the semicircular wall and has the initial veloc-\nity 𝑣0. Solving the integrals gives\n−1\n𝑣+ 1\n𝑣0\n= −𝜇\n𝑅𝑡\n(1)\nwhich leads to\n𝑣(𝑡) =\n𝑣0\n1 + 𝑡/𝜏\n(2)\nwhere 𝜏= 𝑅/𝑣0𝜇. The graph drawn with the solid red\nline shows the time dependence of 𝑣.\nThe rotation of the puck around its axis of symme-\ntry is caused by the torque of the frictional force act-\ning on the puck at the point of contact between the\npuck and the wall, 𝑀𝑓= 𝑟𝐹𝑓= 𝑟𝜇𝑚𝑣2/𝑅, where the ra-\ndius of the puck 𝑟is the arm. The equation for the ro-\ntational motion of the puck, which results from New-\nton’s second law 𝐼𝑑𝜔/𝑑𝑡= 𝑀𝑓, can be written as\n𝑟𝑑𝜔\n𝑑𝑡= 𝜇𝑚𝑟2\n𝑅𝐼\n𝑣2 = 2𝜇\n𝑅·\n𝑣2\n0\n(1 + 𝑡/𝜏)2\nwhere 𝐼= 𝑚𝑟2/2 is the moment of inertia of the puck\nfor rotations around its axis of symmetry and 𝜔is\nthe angular velocity of this rotation.\nThe product\n𝑟𝜔gives the relative speed of the point of contact\nbetween the puck and the wall with respect to the\npuck’s center of mass. The integral form of this equa-\ntion, including the initial conditions, is\n𝑟\n∫𝜔\n0\n𝑑𝜔= 2𝑣0\n𝜏\n∫𝑡\n0\n𝑑𝑡\n(1 + 𝑡/𝜏)2\nand the solution is\n𝑟𝜔= 𝑣0\n2𝑡/𝜏\n1 + 𝑡/𝜏.\n(3)\nThe graph of 𝑟𝜔(𝑡) is drawn by the blue line.\nThe two solutions (2) and (3) are only valid up to\nthe time 𝑡1 at which the functions 𝑣(𝑡) and 𝑟𝜔(𝑡) inter-\nsect, 𝑣(𝑡1) = 𝑟𝜔(𝑡1). At this moment, the points on the\npuck that touch the wall no longer move in relation\nto the wall and the puck no longer slides along the\nwall. There is no more friction. From this moment\non, the motion of the puck is a frictionless translation\nand rotation with 𝑣= 𝑣(𝑡1) = 𝑣1 and 𝜔= 𝑣1/𝑟. For 𝑡1 we\nget 𝑡1 = 𝜏/2. At 𝑡1, the translational speed is 𝑣1 = 2𝑣0/3.\nThere are two possible scenarios for the motion of\nthe puck along the semicircular wall: it rolls with\nsliding along the entire wall or it starts rolling some-\nwhere along this path without sliding. To see what\nhappens, and also to get the exit velocity of the puck\n𝑣𝑒, we need to calculate how the path of the puck in-\ncreases with time, which is defined by equation (2),\n𝑑𝑙/𝑑𝑡= 𝑣(𝑡). We integrate in time from 𝑡= 0 to 𝑡and in\ndistance from 0 to 𝑙and get\n𝑡= 𝜏\n\u0012\nexp\n\u0012 𝑙\n𝑣0𝜏\n\u0013\n−1\n\u0013\n.\n(4)\n\nTheoretical Solutions\nIf we use 𝑙𝑒= 𝜋𝑅, equation (4) gives the time 𝑡𝑒= 𝑡(𝑙𝑒) =\n𝜏(exp 𝜋𝜇−1).\nIf 𝑡𝑒> 𝑡1 = 𝜏/2 i.e. 𝜋𝜇> ln 3\n2, then the puck starts\nto roll somewhere on its semicircular path along the\nwall without sliding and its speed when leaving the\nwall is 𝑣𝑒= 𝑣1 = 2𝑣0/3.\nIf 𝑡𝑒≤𝑡1 = 𝜏/2 i.e. 𝜋𝜇≤ln 3\n2, then the puck still rolls\nwith sliding when it leaves the wall, since its trans-\nlational speed 𝑣𝑒is still greater than 2𝑣0/3. The exit\nspeed is obtained from (4) by inserting 𝑡= 𝑡𝑒,\n𝑣𝑒= 𝑣(𝑡= 𝑡𝑒) = 𝑣0 exp(−𝜋𝜇).\n(5)\nThe graph 𝑣𝑒(𝜇) is shown in the figure.\nSolution 2: The equation for the translational mo-\ntion of the puck is\n𝑚𝑑𝑣\n𝑑𝑡= −𝜇𝑚𝑣2\n𝑅\nwhich can be rewritten with 𝑑𝑙= 𝑣𝑑𝑡= 𝑅𝑑𝜑as\n𝑑𝑣\n𝑣= −𝜇\n𝑅𝑑𝑙= −𝜇𝑑𝜑.\nWe recognize the dependence of 𝑣on 𝜑;\n𝑣= 𝑣0 exp(−𝜇𝜑),\n(6)\nwhere 𝜑= 0 at the beginning of the semicircular wall\nand 𝜑= 𝜋at its end.\nIt describes the dependence\nof 𝑣on 𝜑under the condition that the puck rolls and\nslides at the same time.\nDue to the torque of the frictional force the puck\nalso starts to roll along the wall and its instantaneous\nangular velocity is 𝜔.\nLet us introduce the speed\n𝑣′ = 𝑟𝜔: when 𝑣′ reaches the instantaneous speed 𝑣, it\nno longer changes (see Solution #1 for explanation).\nThe equation for the rotational motion of the puck is\n(see Solution #1 for explanation)\n𝑟𝑑𝜔\n𝑑𝑡= 𝑑𝑣′\n𝑑𝑡= 𝜇𝑚𝑟2\n𝑅𝐼\n𝑣2.\nHaving already written the function 𝑣(𝜑) (6), we\nalso want to write 𝑣′ as a function of 𝜑. We start with\nthe relation\n𝑑𝑣′\n𝑑𝑡= 𝑑𝑣′\n𝑑𝜑\n𝑑𝜑\n𝑑𝑡\nand with the use of 𝑑𝜑/𝑑𝑡= 𝑣/𝑅we get\n𝑑𝑣′ = 2𝜇𝑣0 exp(−𝜇𝜑)𝑑𝜑\nand solving a simple integral\n∫𝑣′\n0\n𝑑𝑣′ = 2𝜇𝑣0\n∫𝜑\n0\nexp(−𝜇𝜑)𝑑𝜑\nwe get\n𝑣′(𝜑) = 𝑟𝜔(𝜑) = 2𝑣0(1 −exp(−𝜇𝜑)).\n(7)\nIf we equate 𝑣and 𝑣′, we get a critical angle 𝜑𝑐at\nwhich rolling with sliding changes to rolling without\nsliding,\n𝜇𝜑𝑐= ln 3\n2.\nAt the critical angle,\nthe final velocity is 𝑣𝑓\n=\n𝑣0 exp(−𝜇𝜑𝑐) = 2𝑣0/3.\nIf 𝜑𝑐> 𝜋i.e. 𝜇𝜋< ln 3\n2, the puck still slides at the\nexit with the exit speed 𝑣𝑒= 𝑣0 exp(−𝜇𝜋) and if 𝜑𝑐≤𝜋\ni.e. 𝜇𝜋≥ln 3\n2, the puck rolls at the exit without sliding\nwith the final speed 𝑣𝑒= 𝑣𝑓= 𝑣(𝜑𝑐) = 2𝑣0/3.\nFrom the way the problem is solved in the second\nsolution, it can be seen that the exit speed of the puck\ndoes not depend on a particular shape of the wall;\nthe speed and the angular velocity depend only on 𝜑\n(and the friction coefficient 𝜇). For example, the wall\ncould be elliptical instead of a semicircle (or have a\ndifferent shape).\nsuggestions for marking scheme\nPart T1.a): Scores\nPts.\nrealizing that puck is sliding initially\n0.3\nrealizing that puck may roll without sliding\n0.3\nstating that sliding ends when roll condition\n𝑣= 𝑟𝜔is met\n0.3\nequating the normal force with 𝑚𝑣2/𝑅\n0.3\nusing 𝐹𝑓= 𝜇𝑁for the friction force\n0.3\nequation of motion (eom) for translation (-0.2\nfor wrong sign)\n0.4\ngiving integral expression for translational\neom with correct initial conditions\n0.5\ngiving expression for 𝑣as function of time or\nangle as in eq. (2) or (6)\n1.0\nequation of motion (eom) for rotation\n0.4\nusing 𝐼= 𝑚𝑟2/2 as moment of inertia\n0.3\ngiving integral expression for rotational eom\nwith correct initial conditions\n0.5\ngiving expression for 𝑟𝜔as function of time\nor angle as in eq. (3) or (7)\n1.0\ngetting time\n𝑅\n2𝑣0𝜇or angle ln( 3\n2)/𝜇for transi-\ntion to rolling without sliding\n0.5\nobtaining critical coefficient of friction 𝜇𝑐=\nln(3/2)/𝜋\n0.5\nfinding final velocity\n2\n3𝑣0 for rolling without\nsliding\n0.4\nfinding velocity 𝑣𝑒if puck slides the whole\ntime\n1.0\nTotal on T1.a)\n8.0\n\nTheoretical Solutions\nPart T1.b): Scores\nPts.\ngraph has suitably labelled axis\n0.2\ninitial speed 𝑣0 indicated in graph\n0.2\ngraph shows 𝑣𝑒decreasing with 𝜇initially\n0.3\ninitial exponential decrease of 𝑣𝑒with 𝜇indi-\ncated in graph\n0.3\ncritical point exists and is indicated in graph\n0.4\nconstant speed after the critical point\n0.4\nobviously not smooth function at critical\npoint\n0.2\nTotal on T1.b)\n2.0\nGeneral rules for marking in T1:\n• The grain size for marking is 0.1 Pts.\n• Partial marks can be awarded for most aspects.\n• For each mistake in calculation (algebraic or nu-\nmeric) 0.2 Pts. are deducted.\n• If a mistake leads to a dimensionally incorrect ex-\npression no marks are given for the result.\n• Propagating errors are not punished again unless\nthey are dimensionally wrong or entail oversim-\nplified/wrong physics (e.g. neglecting friction ef-\nfects).\n\nTheoretical Solutions\nT2: Spaceships - Solution\nAnalytical Solutions\nLet us denote the reference frames of Alice, Bob and\ngift by 𝐴, 𝐵, 𝐺, respectively. We shall use the notation\n𝛾𝑣=\n1\n√\n1−𝑣2/𝑐2 .\nPart a) (i)\nSolution 1:\nLet 𝑙𝑥be the distance between two gifts\nin frame 𝑥. Since 𝐺is the rest frame of the gifts, we\nhave 𝑙𝐴= 𝑙𝐺/𝛾𝑣, 𝑙𝐵= 𝑙𝐺/𝛾𝑣𝐵, where 𝑣𝐵is the relative ve-\nlocity of frames B and G. According to the formula for\nrelativistic addition of velocities, the relative velocity\n𝑣𝐵is given by\n𝑣𝐵=\n𝑢+ 𝑣\n1 + 𝑢𝑣/𝑐2 = 35\n37𝑐,\n(8)\nwhere we used the values 𝑢=\n3\n5𝑐, 𝑣=\n4\n5𝑐.\nTogether\nwith 𝑙𝐴= 𝑣Δ𝑡0 this gives\n𝑙𝐵= 𝑣Δ𝑡0\n𝛾𝑣\n𝛾𝑣𝐵\n= 16\n37Δ𝑡0𝑐.\nSolution 2:\nLet us consider the two events that gift\n1 is sent and the consecutive gift 2 is sent. Accord-\ning to Lorentz-transformation, if an event has coordi-\nnates 𝑡, 𝑥in a certain reference frame, the same event\nhas coordinates 𝑡′ = (𝑡−𝑢𝑥/𝑐2)𝛾𝑢, 𝑥′ = (𝑥−𝑢𝑡)𝛾𝑢, where\n𝑢is the relative velocity of the reference frames. In\nA, these events have coordinates (𝑡1,𝐴, 𝑥1,𝐴) = (0, 0) and\n(𝑡2,𝐴, 𝑥2,𝐴) = (Δ𝑡0, 0). The relative velocity of A and B\nis −𝑢. Therefore, in B these events have coordinates\n(𝑡1,𝐵, 𝑥1,𝐵) = (0, 0) and (𝑡2,𝐵, 𝑥2,𝐵) = (𝜏𝛾𝑢, 𝑢Δ𝑡0𝛾𝑢).\nWe thus need to determine the position of gift 1 at\ntime 𝑡2,𝐵in frame 𝐵. If 𝑣𝐵is the relative velocity of the\ngift and 𝐵given by (8), the position of gift 1 is given\nby 𝑥1,𝐵(𝑡2,𝐵) = 𝑣𝐵𝑡2,𝐵. Hence, in frame B the distance\nbetween the two gifts is\n𝑙𝐵= 𝑥1,𝐵(𝑡2,𝐵) −𝑥2,𝐵(𝑡2,𝐵) = (𝑣𝐵−𝑢)Δ𝑡0𝛾𝑢= 16\n37Δ𝑡0𝑐.\nSolution 3:\nThe time interval Δ𝑡0\n= Δ𝑡0,𝐴is the\nproper time of events in Alice’s frame (Alice send-\ning gifts, which happen at the same location in Al-\nice’s frame), which is moving with 𝑢in Bob’s frame.\nTime interval between these events in Bob’s frame\nis Δ𝑡0,𝐵= 𝛾𝑢Δ𝑡0,𝐴. The speed of the gift Alice sent in\nAlice’s frame is 𝑣𝐴= 𝑣=\n4\n5𝑐and in Bob’s frame the\nspeed of the gift is 𝑣𝐵as found in (8). In Bob’s frame\nin the time interval Δ𝑡0,𝐵two gifts are sent. During\nthis time the Alice’s ship has moved for 𝑢Δ𝑡0,𝐵, the pre-\nviously sent gift for 𝑣𝐵Δ𝑡0,𝐵and the distance between\nboth gifts in Bob’s frame is\n𝑙𝐵= (𝑣𝐵−𝑢)Δ𝑡0,𝐵= 16\n37𝑐Δ𝑡0.\nSolution 4:\nIf a student solves Part (ii) first, then\nthe distance between two of the gifts from Bob in\nAlice’s reference frame is the product of the time be-\ntween arrival, Δ𝑡1, and the speed of Bob’s gift in Al-\nice’s frame, which is found from the relativistic ve-\nlocity addition in Eq. 8. Then\n𝑙𝐵= 𝑣𝐵Δ𝑡1 =\n\u0012\n35\n37\n\u0013\n𝑐\n\u0012\n16\n35\n\u0013\nΔ𝑡0 = 16\n37𝑐Δ𝑡0\nPart a) (ii)\nSolution 1\nAssuming that the Part (i) is solved first\nThe time interval is given by\nΔ𝑡1 = 𝑙𝐵\n𝑣𝐵\n= 16\n35Δ𝑡0\nProblem 2.(a): Using Solution 1\npts\nFormula for relativistic addition of velocities\n0.5\neach mistake -0.3\nSpeed 𝑣𝐵of Alice’s gift in 𝐵(35/37 = 0.945)\n0.5\nmust have correct formula\nFind 𝑙𝐴\n0.5\n𝛾formula\n0.3\neach mistake -0.2\n𝑙1 = 𝑙2/𝛾only true in rest frame\n0.7\nBoost 𝑙𝐴to 𝐺frame\n0.3\neach mistake -0.1\nBoost from 𝐺frame to 𝑙𝐵\n0.2\neach mistake -0.1\nCollect expressions for 𝑙𝐵\n0.5\ncorrect numerical result (16/37 = 0.432)\n0.5\nmust have correct formula\nΔ𝑡1 = 𝑙𝐵/𝑣𝐵\n0.5\ncorrect numerical result (16/35 ≈0.457)\n0.5\nmust have correct formula\nTotal for 2.(a)\n5.0\n\nTheoretical Solutions\nProblem 2.(a): Using Solution 2 or 3\npts\nFormula for relativistic addition of velocities\n0.5\neach mistake -0.3\nSpeed 𝑣𝐵of Alice’s gift in 𝐵(35/37 = 0.945)\n0.5\nmust have correct formula\n𝛾formula\n0.3\neach mistake -0.2\nbecause two subsequent gifts are sent from\nthe same place in Alice’s frame\n0.7\nΔ𝑡0,𝐵= 𝛾𝑢Δ𝑡0\n0.3\neach mistake -0.1\nIn Bob’s frame, second gift at position 𝑢Δ𝑡0,𝐵\nwhile first gift at 𝑣𝐵Δ𝑡0,𝐵\n0.7\neach mistake -0.2\nCollect expressions for 𝑙𝐵\n0.5\ncorrect numerical result (16/37 = 0.432)\n0.5\nmust have correct formula\nΔ𝑡1 = 𝑙𝐵/𝑣𝐵\n0.5\ncorrect numerical result (16/35 ≈0.457)\n0.5\nmust have correct formula\nTotal for 2.(a)\n5.0\nImportant Notes for marking Problem 2\n• Correct final answers without justification can re-\nceive full marks; incorrect final answers without\njustification will receive no marks, even if the an-\nswer is “close” or if it can be guessed what the\nerror was.\n• The statement “must have correct formula” means\nthat the any immediately preceeding symbolic for-\nmula to the numerical number must be correct to\nreceive any points for a numerical answer.\n• Correct numerical result is dependent only on the\nimmediate formula from which it is computed.\n• A dimensionally incorrect formula gets zero marks.\n• Student can define 𝑐= 1 explicitly without penalty,\nbut inconsistencies are treated as errors.\n• Follow on errors normally only have penalty at\npoint of error\n• Numerical results that are follow on errors are not\npenalized twice\n• must have recognized light time correction need\nat least once to get points for ratio formula AND\nresult\n• Transcription errors are errors\n• If Part a) is solved without the explicit use of spe-\ncial relativity, then the maximum possible for part\na) is 0.5 pts.\n• If Part b) is solved without the explicit use of spe-\ncial relativity, then no points are awarded.\n• For final answer on Part b), must have correct for-\nmula; non integer numbers that round to 18 get\nonly +0.2 pts.\n• Any other mistakes or errors not explicity covered\nin the marking schemes should be treated a fully\nwrong for the category; so if a category is listed\nas 0.6, and the student work is incorrect, and no\nother disclaimer applies, then the score would be\n0.\n• If a student could only reasonably have correctly\ncompleted some task by correctly doing the previ-\nous tasks, then the previous tasks should be fully\nawarded, even if not explicitly written. However, if\nthe tasks are written, and have errors, the student\nwill get the appropriate deductions.\n• If it can be argued that a student could only reason-\nably have completed some task by correctly doing\nthe previous tasks, but the answer to the shown\ntask is incorrect, then the previous tasks should\nreceive zero marks if not explicitly shown.\nPart (b)\nSolution 1:\nSuppose that at 𝑡0,𝐴= 0 Alice sees Bob’s\nspaceship at distance 𝑑𝐵. The time that the light trav-\nelled from Bob to Alice is 𝑡𝑙= 𝑑𝑏/𝑐. (In Alice’s frame,\nthe actual distance from Alice to Bob’s spaceship is\n𝐿= 𝑑𝑏−𝑢𝑑𝑏/𝑐.)\nLet us first compute the number of visible outgoing\ngifts. Alice sees all gifts she sent until she sees them\nreach the spaceship. Consider the gift which Alice\njust sees arriving at Bob, which is the oldest visible\ngift. If this gift flew past Bob’s ship, it would be lo-\ncated at distance 𝑑𝑏+ 𝑣𝑡𝑙. Therefore the number of\ngifts between the oldest visible gift and Alice is\n𝑁𝑜𝑢𝑡= 𝑑𝑏+ 𝑣𝑡𝑙\n𝑙𝐴\n= 𝑑𝑏(1 + 𝑣/𝑐)\n𝑣Δ𝑡0\n.\nAlternatively, one can observe that 𝑑𝑏/𝑙𝐴gifts were\nbetween the considered gift and Alice at time −𝑡𝑙.\nDuring time 𝑡𝑙Alice sent out an additional number\n𝑡𝑙/Δ𝑡0 gifts, giving 𝑁𝑜𝑢𝑡=\n𝑑𝐵\n𝑣Δ𝑡0 +\n𝑑𝐵\n𝑐Δ𝑡0 .\nWe now compute the number of visible incoming\ngifts.\nAlice sees the newest visible gift just leave\nBob’s ship. In Alice’s frame, the actual distance of\nher to the newest visible gift is 𝑑𝐵−𝑣𝐵𝑡𝑙= 𝑑(1 −𝑣𝐵/𝑐).\nThe distance between incoming gifts is 𝑙𝐵, which was\ncomputed in part a). Hence, the number of visible\nincoming gifts is\n𝑁𝑖𝑛= 𝑑𝐵(1 −𝑣𝐵/𝑐)\n𝑙𝐵\n= 𝑑𝐵(1 −𝑣𝐵/𝑐)\nΔ𝑡0𝑐\n37\n16\nIn total, we have\n𝑁𝑜𝑢𝑡\n𝑁𝑖𝑛\n= (1 + 𝑣/𝑐)𝑐\n(1 −𝑣𝐵/𝑐)𝑣\n16\n37 = 18\nSolution 2\nSince both Alice and Bob send the gifts\nin exactly the same way and their relative speed to\neach other is also the same (which is always the\ncase), there is symmetry between them.\nBob sees\nexactly the same number of gifts he will receive as\nAlice, and the same is true for the gifts sent. So we\ncan continue in Bob’s frame (where Bob is station-\nary).\nFirst, let us look at the gifts Bob receives (and we\nstay in his frame the whole time). Between Bob and\nAlice at any moment, there are a finite number of\ngifts that have already been sent by Alice and not yet\nreceived by Bob. However, Bob does not see them all\nbecause the light of the most distant gift has not yet\nreached him. The furthest gift #A that Bob can see\nwas sent to him at time 𝑡= 0 (in Bob’s frame) and Bob\nsees it for the first time at time 𝑡1, when it has already\n\nTheoretical Solutions\ntraveled the distance 𝑣𝐵𝑡1 and the light of this gift,\nemitted at time 𝑡= 0 (when it was sent) has traveled\nthe distance 𝑐𝑡1 and has just reached him (at time 𝑡1\nBob sees the gift #A sent from Alice’s position at time\n𝑡= 0). The distance between two consecutive gifts\nmoving towards Bob is 𝑣𝐵Δ𝑡1 (see part (ii), solution\n1). The number of gifts that Bob sees at any point in\ntime and that move towards Bob is\n𝑁𝐴→𝐵= (𝑐−𝑣𝐵)𝑡1\n𝑣𝐵Δ𝑡1\n.\n(9)\nLet us now turn to the gifts that Bob sends to Alice.\nBob sees all his gifts that have not yet reached Alice\nat the time of observation, and some more that have\nbeen with Alice for some time and are probably eaten\n– only the information about the receipt of the gifts\nhas not yet reached Bob. Let the moment 𝑡= 0 be\nthe moment at which the gift #B sent by Bob reaches\nAlice. At this moment, the light from Alice begins to\ntravel back to Bob with the information about the re-\nceipt of the gift and reaches Bob at time 𝑡1 – then Bob\nrealizes that the gift #B has been received. Between\n𝑡= 0 and 𝑡1, Bob regularly sends more gifts in the\nusual way; therefore, there are more gifts that Bob\ncan see on the way to Alice than there actually are\n(remember: we are always talking about how things\nare in Bob’s frame; when and where they happen).\nIt’s practically the same as the received gift #B moves\nfurther beyond Alice and travels an additional dis-\ntance 𝑣𝑡1 before Bob realizes it’s being received by\nAlice. The number of gifts that Bob sees at any point\nin time and that move away from Bob is\n𝑁𝐵→𝐴= (𝑐+ 𝑣)𝑡1\n𝑣Δ𝑡0\n.\n(10)\nThe gift #𝐴is sent by Alice to Bob at time 𝑡= 0 and at\nthe same moment Alice receives the gift #𝐵from Bob\n(same time and place), and Bob observes travelling\ngifts at time 𝑡1.\nThe ratio of the number of gifts moving away from\nhim and towards him is\n𝑁𝐵→𝐴\n𝑁𝐴→𝐵\n= (𝑐+ 𝑣)𝑡1\n𝑣Δ𝑡0\n𝑣𝐵Δ𝑡1\n(𝑐−𝑣𝐵)𝑡1\n= (𝑐+ 𝑣)𝑣𝐵Δ𝑡1\n𝑣Δ𝑡0(𝑐−𝑣) = 18,\n(11)\nwhere the previously obtained relationships Δ𝑡1 =\n16\n35Δ𝑡0 and 𝑣𝐵= 35\n37𝑐were used together with the given\n𝑣= 4\n5𝑐.\nProblem 2.(b)\npts\nIdentify a distance to Bob 𝑑𝐵\n0.3\nLight time to Bob 𝑡𝑙\n0.5\nRecognize need to correct for light time\n0.5\n𝑑𝐴𝐺= 𝑑𝐵+ 𝑡𝑙𝑣\n0.9\neach mistake -0.3\n𝑁𝑎→𝑏= 𝑑𝐴𝐺/𝐿𝐴\n0.2\nRecognize need to correct for light time\n0.5\n𝑑𝐵𝐺= 𝑑𝐵−𝑡𝑙𝑣𝐵\n0.9\neach mistake -0.3\n𝑁𝑏→𝑎= 𝑑𝐵𝐺/𝐿𝐵\n0.2\nsymbolic ratio\n0.5\neach mistake -0.2\ncorrect numerical result (18)\n0.5\nmust have correct formula\nTotal for 2.(b)\n5.0\nGraphical Solutions\nThroughout the graphical solution, it is assumed that\n𝑐= 1 and Δ𝑡0 = 1. In order to return to a consistent\nsolution, make sure to include these factors appro-\npriately in the final answer.\nPart a)i\nThe question is asking for the separation between\ntwo events that happen at the same time in Bob’s\nreference frame. The graph is in Alice’s reference\nframe, also shown in the graph are the world line of\nBob, with a slope of −5/3, and the 𝑥-axis of Bob, with\na slope of −3/5. The red circle on Alice’s world line is\nthe launch of a gift from Alice, the black circle at the\norigin is another launch of a gift from Alice.\n𝑥Alice\n𝑡Alice\n𝑡Bob\n𝑥Bob\n( 20\n37, −12\n37)a = ( 16\n37, 0)b\nO\nΔ𝑡0\nWe are interested in the intersection of the first\nlaunched gift, which has a slope of 5/4, where it\ncrosses the 𝑥axis of Bob. In Alice’s reference frame,\nthat point is\n(𝑥, 𝑡) =\n\u0012\n20\n37, −12\n37\n\u0013\n\nTheoretical Solutions\nApplying the Lorentz transform into Bob’s refer-\nence frame,\nΔ𝑡1 = 5\n4\n\f\f\f\f\n20\n37 −\n\u0012−3\n5\n\u0013 \u0012−12\n37\n\u0013\f\f\f\f = 16\n37\nAlternatively, it is possible to focus on the Lorentz\ninvariant expression,\n(𝑡a)2 −(𝑥a)2 = (𝑡b)2 −(𝑥b)2\nwhere 𝑡𝑏= 0, and arrive at the same result.\nPart a)ii\nIt is expected that most students will get an answer\nthat depends on the result of Part a)i, and the tech-\nnique is outlined in the analytical section.\nIt is also possible to solve Part a)ii without solving\nPart a)i. Consider world-lines for Alice and Bob that\nintersect at the origin, and assume that both send a\ngift to the other at this intersection.\n𝑥\n𝑡Alice\nBob\n( 12\n35, −20\n35)a = (0, −16\n35)b\nO\nΔ𝑡0\nΔ𝑡1\nThe question is asking for the time interval be-\ntween two events that happen in the same place in\nBob’s reference frame.\nThe world-line of Bob has a slope of -5/3; the world-\nline of the gift from Alice has a slope of 5/4. Assuming\nΔ𝑡0 = 1, then the gift from Alice arrives with Bob in\nAlice’s coordinate system as\n(𝑥, 𝑡) =\n\u0012\n12\n35, −20\n35\n\u0013\nApplying the Lorentz transform into Bob’s refer-\nence frame,\nΔ𝑡1 = 5\n4\n\f\f\f\f\n−20\n35 −\n\u0012−3\n5\n\u0013 \u0012\n12\n35\n\u0013\f\f\f\f = 16\n35\nAlternatively, it is possible to focus on the Lorentz\ninvariant expression,\n(𝑡a)2 −(𝑥a)2 = (𝑡b)2 −(𝑥b)2\nwhere 𝑥𝑏= 0, and arrive at the same result.\nBecause of the symmetry, the time interval be-\ntween arrivals of Bob’s gift in Alice’s frame is the\nsame as the time interval between arrivals of Alice’s\ngift in Bob’s frame. The transfer of the gifts in shown\nin the figure. It is not necessary to sketch this green\nline.\nProblem 2.(a)i\npts\nClearly indicated graph or related equations\n0.2\nBob’s 𝑥axis correct slope (-3/5)\n0.2\nGift from Alice correct slope (5/4)\n0.2\nGift released Δ𝑡0 before Origin\n0.2\nRecognize intersection of gift and 𝑥𝐵\n0.3\nFind intersection in Alice Frame\n0.5\n1. 𝛾formula\n0.3\n1. each mistake -0.2\n1. Use Lorentz Transformation\n0.1\n1. Apply Lorentz Transformation\n0.5\n1. each mistake -0.2\n2. Use Lorentz invariance\n0.4\n2. recognize Δ𝑥𝑏= 0\n0.2\n2. Apply Lorentz invariance\n0.3\n2. each mistake -0.2\ncorrect numerical result (16/37)\n0.5\nImportant Notes!\n1. Scores can be received for method 1 or method\n2, but not both; if both are attempted, award the\nhigher total, but never more than 0.9 pts.\nIf Part a)ii is solved analytically\nProblem 2.(a)ii\npts\nFormula for 𝑣addition\n0.5\neach mistake -0.3\nSpeed 𝑣𝑟of Alice’s gift in 𝐵(35/37)\n0.5\nmust have correct formula\nΔ𝑡1 = 𝐿𝑏/𝑣𝑟\n0.5\ncorrect numerical result (16/35)\n0.5\nmust have correct formula\nIf Part a)ii solved graphically, then\nProblem 2.(a)ii\npts\nClearly indicated graph or related equa-\ntions\n*0.2\nBob’s 𝑡axis correct slope (-5/3)\n0.2\nGift from Alice correct slope (5/4)\n*0.2\nGift released Δ𝑡0 before Origin\n*0.2\nRecognize intersection of gift and 𝑡𝐵\n0.3\nFind intersection in Alice Frame\n0.5\n1. 𝛾formula\n*0.3\n1. each mistake -0.2\n1. Use Lorentz Transformation\n*0.1\n1. Apply Lorentz Tranformation\n0.5\n1. each mistake -0.2\n2. Use Lorentz invariance\n*0.4\n2. recognize Δ𝑥𝑏= 0\n0.2\n2. Apply Lorentz invariance\n0.3\n2. each mistake -0.2\ncorrect numerical result (16/35)\n0.5\nImportant Notes!\n1. A student who does both a)i and a)ii graphically\ncan only get points for the starred (*) categories\n\nTheoretical Solutions\nfor the work in a)i, and not also for the work in\na)ii.\n2. The maximum possible score is 5 pts! If a student\ndoes graphical approaches for both, and makes\nmistakes, the final score for Part a) must be less\nthan 5 by an amount equal to the mistakes made.\nPart b)\nConsider the movement of gifts in Alice’s reference\nframe. Green gifts are headed toward Alice, red gifts\nare headed away from Alice. If Alice makes an instan-\ntaneous observation, Alice will see the gifts at loca-\ntions along the intersection with the diagonal light\nline. This is quite different from the questions of the\nseparation of the green gifts or the red gifts in Alice’s\nrest frame, which is measured by the separation at\nthe same time, for example, the intersections with\nthe 𝑥axis.\n𝑥\n𝑡\nThe figure to solve can be simplified considerably;\nto fit it into a useful form the proper slopes are no\nlonger used and the picture is not to scale.\n𝑥\n𝑡\n𝑚= −1\n𝑚= −37/35\n𝑚= 5/4\n(−8, 8)\n( 4\n9, −4\n9)\nΔ𝑡1\nΔ𝑡0\nThe intersection of the red line and the black light-\nline is\n\u0012\n4\n9, −4\n9\n\u0013\nThe intersection of the green line and the black\nlight line is\n(−8, 8)\nThe ratio is 18.\nProblem 2.(b)\npts\nClearly indicated graph or related equa-\ntions\n0.4\nAlice’s gifts correct slope (5/4)\n0.2\nFormula for 𝑣addition\n*0.5\neach mistake -0.3\nSpeed 𝑣𝑟of Bob’s gift in 𝐴(35/37)\n*0.5\nmust have correct formula\nBob’s gifts correct slope (-37/35)\n0.2\nLight-like line drawn\n0.2\nAlice gift released Δ𝑡0 before Origin\n0.2\nBob gift arrive Δ𝑡1 before Origin\n0.2\nIntersection of Bob gift and light like line\n0.3\nFind intersection in Alice Frame\n0.5\nIntersection of Alice gift and light like line\n0.3\nFind intersection in Alice Frame\n0.5\nsymbolic ratio\n0.5\neach mistake -0.2\ncorrect numerical result (18)\n0.5\nmust have correct formula\nImportant Notes for marking Problem 2 b)\n1. For the two starred (*) quantities above: If this\nis the first use of the relativistic velocity addition\nformula, then mark as shown. If the relativistic\nvelocity addition was was used to answer Part a),\nthen these points are only awarded for a student\nwho has reasonably demonstrated how they need\nto use the relative velocity to solve Part b). An\nappropriate figure can be sufficient. In this case,\nthey do not need to write the equations twice.\nSolution using i𝑐𝑡-diagrams\nIn the i𝑐𝑡-diagram shown in the figure, the red co-\nordinate system represents the Bob’s frame of ref-\nerence, the blue represents the Alice’s frame, and\nthe black represents the gifts’ frame. We know that\ntan 𝛼= 𝑣\ni𝑐= −3\n5𝑖and tan 𝛽= 𝑢\ni𝑐= −4\n5𝑖. Therefore,\ntan 𝛾= tan(𝛼+ 𝛽) =\ntan 𝛼+ tan 𝛽\n1 −tan 𝛼tan 𝛽= −140\n148𝑖.\nWe can express sinus and cosine in terms of tangent\nto obtain cos 𝛼=\n5\n4, sin 𝛼= −3\n4𝑖, cos 𝛽=\n5\n3, sin 𝛽= −4\n3𝑖,\ncos 𝛾= 37\n12, sin 𝛾= −35\n12𝑖. Events 𝐴and 𝐵represent the\nlaunching of two consecutive gifts, so the segment\n𝐴𝐵is of length i𝑐𝜏.\n\nTheoretical Solutions\nict\nict’\nx’\nBob’s frame\nAlice’s frame\ngift’s frame\ngift 2\ngift 1\nicτ\n \nB\nicτ’\n \nα β\nγ\nL\nγ\nAlice\nBob\nicτ’\n \nβ\nx\nA\nC\nD\nPart a)1\nThe distance between two gifts launched\nby Alice in the Bob’s frame of reference is labeled 𝐿\nin the figure. From the sine theorem for the triangle\n𝐴𝐵𝐶we obtain 𝐿= i𝑐𝜏sin 𝛽/cos 𝛾= 𝜏𝑐4\n3\n12\n37 = 16\n37𝑐𝜏.\nPart a)2\nFrom the sine theorem for the triangle\n𝐴𝐵𝐷we obtain 𝜏′ = 𝜏sin 𝛽/sin 𝛾= 𝜏4\n3\n12\n35 = 16\n35𝑐𝜏.\nPart b)\nWe use the same reference frames and a di-\nagram using the same color-coding. Additionally, the\ndiagram shows the gifts sent by Bob in green, and the\nlight ray arriving currently to Alice’s eye in purple.\nThe gifts seen by Alice are marked as coloured cir-\ncles: the ones sent by herself are grey, and the ones\nsent by Bob are green. Since the gits are launched\nby Bob and Alice at the same frequency, the ratio of\nthe number of grey gifts to the number of green gifts\nseen currently is equal to 𝐴𝑃/𝑅𝑄.\nFrom the figure we can easily express 𝐴𝑃= 𝐴𝑀+𝑁𝑃;\nusing the sine for the triangle 𝐴𝑀𝑁theorem we ob-\ntain 𝐴𝑀= 𝑙cos 𝛾/sin 𝛽=\n37\n16i𝑙; here, 𝑙denotes the dis-\ntance to Alice now in Bob’s frame of reference. Since\nlight travels with speed 𝑐, we know that 𝑄𝑁= i𝐿;\nthe sine theorem for the triangle 𝑀𝑃𝑆yields 𝑀𝑃=\n𝑀𝑆sin 𝛾/sin 𝛽= 𝑄𝑁sin 𝛾/sin 𝛽= i 35\n16𝑙so that 𝐴𝑃= i 72\n16𝑙=\ni 9\n2𝑙. One can easily see that 𝑅𝑄= 𝑅𝑁−𝑄𝑁= 𝑙/tan 𝛽−i𝑙=\ni 1\n4𝑙. Bringing all together, the ratio of the number of\ngifts is 𝐴𝑃/𝑅𝑄= 9\n2\n4\n1 = 18.\nα\nβ\nγ\nAlice\nnow\nBob\nA\nβ\nlight seen\n by Alice now\ngifts for Alice\ngifts for Bob\nN\nQ\nR\nM\nP\nS\nβ\nγ\nl\n\nTheoretical Solutions\nT3: Fabry–Pérot interferometer - Solu-\ntion\nThroughout these solutions, we use a Cartesian coor-\ndinate system aligned so that the 𝑥axis points along\nthe normal to the mirrors. Let one mirror be posi-\ntioned at 𝑥= 0 and the other at 𝑥= 𝐿, and suppose\nthe beam approaches the interferometer from the\nnegative-𝑥direction. Let regions I, II and III be de-\nfined by 𝑥< 0, 0 < 𝑥< 𝐿and 𝑥< 𝐿respectively. Note\nthat the mirrors are assumed thin for convenience\nhere, but this does not change the answers.\nSolution 1\nPart a\nWhere the laser beam meets the first mirror\nof the interferometer, some light is reflected back to-\nwards the laser and the rest is transmitted into the\nspace between the mirrors (region II). This transmit-\nted light bounces back and forth between the mir-\nrors. With every reflection, some light is transmit-\nted and leaves the interferometer. To find the com-\nplex amplitude of the wave returning to the laser,\nwe need to sum the complex amplitudes of the wave\nthat reflects immediately (without ever entering the\ninterferometer), as well as those of the waves that\nbounced back and forth once, twice, thrice, etc.\nEach region therefore contains a superposition of\ninfinitely many waves. Crucially, a superposition of\nany number of sinusoidal waves with the same fre-\nquency, wavelength and propagation direction can\nbe represented by a single sinusoidal wave with the\nsame frequency, wavelength and propagation direc-\ntion. Therefore, the electric field due to the waves in\nregions I, II and III must take the following form.\nRegion I:\n𝐸(𝑥, 𝑡) = 𝐴ei(𝑘𝑥−𝜔𝑡) ,\nRegion II:\n𝐸(𝑥, 𝑡) = 𝐵ei(𝑘𝑥−𝜔𝑡) + 𝐶ei(−𝑘𝑥−𝜔𝑡) ,\nRegion III:\n𝐸(𝑥, 𝑡) = 𝐷ei(𝑘𝑥−𝜔𝑡) .\nIn region I, we have a travelling wave moving in\nthe positive 𝑥direction with wavenumber 𝑘, angu-\nlar frequency 𝜔and amplitude 𝐴. The condition that\nthere is no back-reflected beam means there is no\noppositely-propagating wave in region I. In region\nII, the electric field is a sum of two waves propagat-\ning in either direction, which we give complex ampli-\ntudes 𝐵and 𝐶. Finally, in region III, there is only a\nwave propagating in the positive-𝑥direction, which\nwe give complex amplitude 𝐷.\nLet us introduce an amplitude reflection coeffi-\ncient 𝑟and transmission coefficient 𝑡for the mirrors.\nThese coefficients, which may be complex, are char-\nacteristic of the mirrors. The ratio between the com-\nplex amplitude of the reflected wave and the incident\nwave is 𝑟, while the ratio between the complex ampli-\ntude of the transmitted wave and the incident wave is\n𝑡. We are interested in 𝜙, which is the relative phase\nbetween the complex numbers 𝑟and 𝑡.\nLet us work out how the waves on either side of\nthe first mirror (in regions I and II) are related. In\nregion II, the forward-propagating wave is a result of\nthe transmitted part of the incident wave in region I,\nand the reflected part of the backwards-propagating\nwave in region II. Therefore,\n𝐵= 𝑡𝐴+ 𝑟𝐶.\n(12)\nSimilarly, for the backwards-propagating wave in re-\ngion I to vanish, the sum of the reflected part of\nthe incident wave and the transmitted part of the\nbackwards-propagating wave in region II must be\nzero:\n0 = 𝑟𝐴+ 𝑡𝐶.\n(13)\nFurthermore, applying similar reasoning at the sec-\nond mirror, using the complex amplitudes evaluated\nat 𝑥= 𝐿, leads to\n𝐷ei𝑘𝐿= 𝑡𝐵ei𝑘𝐿,\n(14)\n𝐶e−i𝑘𝐿= 𝑟𝐵ei𝑘𝐿.\n(15)\nIf 𝑟and 𝑡are given, along with the amplitude of the\ninitial wave 𝐴, equations (12)–(15) contain four un-\nknowns: 𝐵, 𝐶, 𝐷and 𝑘. We find\ne−2i𝑘𝐿= 𝑟2 −𝑡2 .\n(16)\nThis relation tell us the argument of the complex\nnumber 𝑟2 −𝑡2; it must be −2𝑘𝐿. It also provides a con-\nstraint on the magnitude of this complex number; we\nmust have\n|𝑟2 −𝑡2| = 1 .\n(17)\nThis is a condition that 𝑟and 𝑡must satisfy in order\nfor the setup in the question, with no back-reflected\nlight from the interferometer, to be realizable.\nWith lossless mirrors, there is one additional con-\nstraint that 𝑟and 𝑡must satisfy. When a wave passes\nthrough one of these mirrors, the incident power\nmust equal the sum of the reflected and transmit-\nted powers.\nSince every wave in the problem has\nthe same speed, the power carried by them is pro-\nportional the their amplitude squared, which means\nit is proportional to the modulus squared of the com-\nplex amplitude.\nTherefore, conservation of energy\nrequires\n|𝑟|2 + |𝑡|2 = 1 .\n(18)\nTogether, (17) and (18) imply that 𝑟and 𝑡cannot both\nbe real; there must be some phase shift between the\ntransmitted and reflected light.\nPart b\nUsing conditions (17) and (18), we can show\nthat the magnitude of 𝜙is 90◦. Here are two ways we\ncould do this.\nFirst, we could square both conditions and sub-\ntract:\n|𝑟2 −𝑡2|2 = |𝑟|4 + |𝑡|4 −𝑟2𝑡∗2 −𝑟∗2𝑡2 = 1\n(|𝑟|2 + |𝑡|2)2 = |𝑟|4 + |𝑡|4 −𝑟|𝑟|2|𝑡|2 = 1\n=⇒2|𝑟|2|𝑡|2 = 𝑟2𝑡∗2 + 𝑟∗2𝑡2 .\nHere, an asterisk denotes complex conjugation. This\nis equivalent to (𝑟𝑡∗+ 𝑟∗𝑡)2 = 1 or\n𝑟\n𝑡+ 𝑟∗\n𝑡∗= 0 .\n\nTheoretical Solutions\nThis says that 𝑟/𝑡is purely imaginary, so 𝑟and 𝑡must\nhave arguments that differ by ±90◦.\nAlternatively, we could let 𝑎= 𝑟2 and 𝑏= 𝑡2, so that\n(17) and (18) read\n|𝑎−𝑏| = 1\n|𝑎| + |𝑏| = 1 .\nUsing 𝑂to denote the origin and A and B, respec-\ntively, to denote the points 𝑎and 𝑏in the complex\nplane, consider the triangle OAB. The first condition\nabove implies that the length of side AB is 1. The sec-\nond implies that the sum of the lengths OA and OB\nis also 1. Thus, the points O, A and B must actually\nbe collinear, with O in between A and B. So, 𝑏and\n𝑎have arguments that differ by 180◦. Since 𝑎and 𝑏\nhave twice the arguments of 𝑟and 𝑡(respectively),\nthis means 𝑟and 𝑡must have arguments that differ\nby ±90◦.\nPart c\nWhen the laser is rapidly switched off, after\nthe amount of time it takes light to travel from the\nlaser to the first mirror, the incident wave will be re-\nmoved.\nSince |𝑡| ≪|𝑟|, the amplitudes |𝐵| and |𝐶| are very\nlarge. Furthermore, the difference between them is\nsmall. Physically, the interferometer contains a large\namount of electromagnetic energy in two waves of\nroughly equal intensity, propagating in either direc-\ntion.\nThis means, when this stored energy is re-\nleased from the interferometer, the release will be\nvery nearly symmetrical.\nApproximately the same\namount of energy will be released in either direction.\nSo, the energy contained in the pulse that propagates\ntowards the laser is must be about half of the stored\ninitial energy.\nTo find the stored energy, suppose the power\ncontained in each wave (forwards- and backwards-\npropagating) in region II is 𝑃′. The power transmit-\nting through the mirrors to leave the interferome-\nter is (1 −𝑅)𝑃′.\nSince this transmitted wave must\nperfectly cancel out the wave that reflects from the\nfirst mirror, which has power 𝑅𝑝≈𝑃, we must have\n𝑃′ ≈𝑃/(1 −𝑅). This means the initial energy stored\ninside the interferometer is\n𝑈≈\n2\n1 −𝑅\n𝐿𝑃\n𝑐\n,\nsince the energy of the two waves travelling in either\ndirection simply adds. Therefore, the energy in the\npulse that returns to the laser is\n𝐸≈\n1\n1 −𝑅\n𝐿𝑃\n𝑐\n.\nPart d\nThere are at least two ways of doing this\npart; see Solution 2 below for a second approach.\nThe stored energy is initially given by (19).\nThe\nPoynting flux out of the interferometer at the mo-\nment when the incoming beam has just switched off\nall the way to the surface of the first mirror is roughly\nd𝑈\nd𝑡= −2𝑃= −(1 −𝑅)𝑐\n𝐿\n𝑈,\n(19)\nsince the amplitudes of the waves propagating away\nfrom the interferometer in regions I and III are both\nroughly |𝐴|. We can assume that the stored energy\ndecays exponentially: if the field inside the device re-\nduces by a certain factor, then the amplitude of the\nwaves just outside will have reduced by the same fac-\ntor. So, the ratio between the stored energy inside\nand the outwards Poynting flux is roughly constant.\nFinding the time constant 𝑇so that 𝑈∝e−𝑡/𝑇satisfies\n(19) leads to\n𝑇≈\n1\n1 −𝑅\n𝐿\n𝑐.\nSince this is an estimate, and since the exact numer-\nical prefactor depends on whether we chose to use\nthe time constant for the decay in amplitude or en-\nergy, students can have any order-unity prefactor.\nSince the combination 𝐿/𝑐can be deduced by dimen-\nsional analysis, the marks should be awarded for get-\nting the correct dependence on 𝑅on.\nSolution 2\nPart a\nIt is possible to solve this problem by sum-\nming up an infinite series of complex amplitudes cor-\nresponding to the light waves that are reflected once,\ntwice, thrice, etc. from the mirror.\nLet us focus on the backwards-propagating wave\nin region I, which must vanish. In steady state, be-\nfore the laser is switched off, let the amplitude of the\nincident beam at 𝑥= 0 be 𝐴. Then, introducing ampli-\ntude reflection coefficients 𝑟and 𝑡as in Solution #1,\nthe amplitude of the backwards-propagating beam is\n𝑟𝐴[1 + 𝑡2(e2i𝑘𝐿+ 𝑟2e4i𝑘𝐿+ 𝑟4e6i𝑘𝐿+ . . .)] .\nThe first term represents the light that is reflected\nimmediately off the first mirror (factor 𝑟, without ev-\nery entering region II. The remaining terms repre-\nsent light that transmits through the first mirror (one\nfactor 𝑡), propagates from 𝑥= 0 to 𝑥= 𝐿and back\nsome number 𝑁of times (factor e2𝑁i𝑘𝐿due to the prop-\nagation and 𝑟2𝑁−1 for the correct number of reflec-\ntions) and transmits through the first mirror again\n(second factor of 𝑡. Summing the geometric series,\nthe backwards-propagating amplitude is\n𝑟𝐴\n\u0012\n1 +\n𝑡2e2i𝑘𝐿\n1 −𝑟2e2i𝑘𝐿\n\u0013\n= 0 .\nRearranging leads to the same condition (16) as in\nSolution #1.\nThe rest of the solution, to conclude\nthat 𝑟and 𝑡meet at a right angle and that 𝑡must have\na nonzero phase, can proceed as in Solution #1.\nPart b\nAs in Solution #1.\nPart c\nAfter the incident beam has switched off\nall the way to the interferometer, the beam the is\nreflected immediately off the first mirror switches\noff.\nThe other beams, corresponding to light that\nbounces some number 𝑁of times between the mir-\nrors, switches off slightly later. So, the backwards-\nreflected beam at first becomes\n𝑟𝐴[𝑡2(e2i𝑘𝐿+ 𝑟2e4i𝑘𝐿+ 𝑟4e6i𝑘𝐿+ . . .)] = −𝑟𝐴.\n\nTheoretical Solutions\nAt 𝑥= 0, this is the amplitude of the backwards-\nreflected beam for time Δ𝑡= 2𝐿/𝑐.\nThen, the wave that reflects once before leaving\nalso switches off, after time Δ𝑡.\nThe amplitude be-\ncomes\n𝑟𝐴[𝑡2(𝑟2e4i𝑘𝐿+ 𝑟4e6i𝑘𝐿+ . . .)] = 𝑟𝐴𝑡2𝑟2e4i𝑘𝐿\n1 −𝑟2e2i𝑘𝐿= 𝑟𝐴𝑟2 e2i𝑘𝐿\nfor the next Δ𝑡. Then, the wave that is reflected three\ntimes before leaving switches off, after time 2Δ𝑡. The\namplitude becomes\n𝑟𝐴[𝑡2(𝑟4e6i𝑘𝐿+ . . .)] = 𝑟𝐴𝑡2𝑟4e6i𝑘𝐿\n1 −𝑟2e2i𝑘𝐿= 𝑟𝐴𝑟4 e4i𝑘𝐿,\nand\nso\non.\nAfter\ntime\n𝑛Δ𝑡,\nthe\namplitude\nis\n−𝑟𝐴𝑟2𝑛e2𝑛i𝑘𝐿.\nThe modulus decreases by a factor of\n𝑅every Δ𝑡. This can be argued without a geometric\nseries; each wave has reflected two more times that\nthe previous one, so should have an amplitude that\nis a factor of 𝑅smaller.\nThe energy in the backwards-propagating pulse\nis the sum of the energies during the first, second,\nthird, etc Δ𝑡interval. This is\n𝑃Δ𝑡(|𝑟|2 + |𝑟|6 + |𝑟|8 + . . .) =\n|𝑟|2\n1 −|𝑟|4\n2𝐿𝑃\n𝑐\n≈\n1\n1 −𝑅\n𝐿𝑃\n𝑐\n.\nPart d\nSince the amplitude decays like\n𝑅𝑛= e−𝑛log 1/𝑅= e−log(1/𝑅)𝑡/Δ𝑡,\nthe energy decays like e−2 log(1/𝑅)𝑡/Δ𝑡.\nThe time con-\nstant of this roughly-exponential decay in energy is\n𝑇=\nΔ𝑡\n2 log(1/𝑅) ≈\n1\n1 −𝑅\n𝐿\n𝑐\nfor 1 −𝑅≪1.\nSolution 3\nPart a\nStudents might assume that the perpendicu-\nlar electric field is continuous across each of the mir-\nrors. While this is not the intended solution, since the\nquestion tells us nothing about the internal workings\nof the mirror, they should get credit for this. If the\nelectric field is continuous, then 1 + 𝑟= 𝑡. Combined\nwith |𝑟|2 + |𝑡|2 = 1, if 𝑟and 𝑡are real, these equations\ncan only be satisfied if (𝑟, 𝑡) = (0, 1) or (𝑟, 𝑡) = (−1, 0).\nSince there is reflected and transmitted light in this\nproblem, 𝑟and 𝑡must be complex numbers with a\nnonzero imaginary part.\nPart b\nUsing Pythagorus’s theorem, the angle be-\ntween 𝑟and 𝑡must be ±90◦(see figure).\nPart c\nAs in Solutions #2 and #3.\nPart d\nAs in Solutions #2 and #3.\nSolution 4\nHere is an alternative approach to parts a and b that\ndoes not require complex numbers or a geometric\nseries.\nParts a and b\nConsider the first mirror in isolation\nand suppose a light wave is incident upon it from the\nleft with amplitude 𝐴, as shown in the diagram below.\nThe reflected wave will have amplitude 𝐴\n√\n𝑅and may\nundergo a phase shift; we use 𝜃to denote its phase\nangle relative to the incident wave.\nSimilarly, the\ntransmitted wave has amplitude 𝐴\n√\n1 −𝑅and phase\nangle 𝜓relative to the incident wave.\nNow imagine a different scenario, in which there\nis a wave incident on the mirror from the right, as\nshown in Fig BLAH. This incident wave will have am-\nplitude 𝐴\n√\n𝑅/\n√\n1 −𝑅and a phase angle 𝜋+ 𝜃−𝜓. There\nwill be a reflected wave with amplitude 𝐴𝑅/\n√\n1 −𝑅(we\nmultiply the amplitude by\n√\n𝑅upon reflection) and\nphase angle 𝜋+ 2𝜃−𝜓(we add 𝜃to the phase upon\nreflection).\nThere will be a transmitted wave with\namplitude 𝐴\n√\n𝑅(we multiply the amplitude by\n√\n1 −𝑅\nupon reflection) and phase angle 𝜋+ 𝜃(we add 𝜓to\nthe phase upon reflection).\nNow we consider the superposition of these two\nscenarios. On the left side, the waves travelling to\nthe left cancel out, since they have the same ampli-\ntude but have phases differing by 𝜋.\nThis destruc-\ntive interference leaves a wave travelling to the right\nwith amplitude 𝐴. This is exactly what is happening\nat the first mirror of the interferometer. On the right\n\nTheoretical Solutions\nside, there is a leftwards-propagating wave and two\nrightwards-propagating waves, as shown below.\nNow we use the fact that the mirror is lossless, so\nthe light energy in the incoming waves in the figure\nabove must equal the light energy in the outgoing\nwaves. Since energy is proportional to the square of\nthe electric field, the incoming energy flux is propor-\ntional to\n𝐼in = 𝐴2 + 𝐴2\n\u0012\n𝑅\n1 −𝑅\n\u0013\n.\nThe outgoing energy flux is a little trickier to work\nout, since there are two superimposed waves travel-\nling out with different phases. It is\n𝐼out = 𝐴2(1 −𝑅) + 𝐴2\n\u0012 𝑅2\n1 −𝑅\n\u0013\n−2𝐴2𝑅cos\u0000𝜋+ 2(𝜃−𝜓)\u0001 .\n𝐼in = 𝐼out can be rearranged to give cos(𝜋+ 2(𝜃−𝜓)) = 0,\nso 2(𝜃−𝜓) is a multiple of 𝜋and 𝜃−𝜓is ±𝜋/2. The\nreflected and transmitted waves must be out of phase\nby 90◦.\nGrading\nPart a\nPart T3.a): Using sinusoidal waves\nPts.\nunderstanding that some light is initially re-\nflected without entering the interferometer\n0.3\nunderstanding that light bounces back and\nforth between the mirrors\n0.3\nusing one or two travelling waves in each re-\ngion\n0.4\nwriting equations relating amplitudes via 𝑟\nand 𝑡\n0.5\nsolving to obtain (16)\n0.6\nusing |𝑟|2 + |𝑡|2 = 1 or 𝑅+ 𝑇= 1\n0.5\nstating that this is a consequence of conser-\nvation of energy\n0.2\nindicating that the solutions 𝑟and 𝑡should be\ncomplex\n0.2\nTotal on T3.a)\n3.0\nPart T3.a): Summing geometric series\nPts.\nunderstanding that some light is initially re-\nflected without entering the interferometer\n0.3\nunderstanding that light bounces back and\nforth between the mirrors\n0.3\nidea of superposition of complex amplitudes\n0.2\ncorrectly including the effect on the ampli-\ntudes of reflection, transmission and propa-\ngation\n0.5\nsumming up complex amplitudes as a geo-\nmetric series\n0.4\nobtaining (16)\n0.4\nusing |𝑟|2 + |𝑡|2 = 1 or 𝑅+ 𝑇= 1\n0.5\nstating that this is a consequence of conser-\nvation of energy\n0.2\nunderstanding that the solutions 𝑟and 𝑡\nshould be complex\n0.2\nTotal on T3.a)\n3.0\nPart T3.a): Assuming 1 + 𝑟= 𝑡\nPts.\nunderstanding that some light is initially re-\nflected without entering the interferometer\n0.3\nunderstanding that light bounces back and\nforth between the mirrors\n0.3\nusing 1 + 𝑟= 𝑡\n0.7\njustification using continuity of electric field\nor thin-mirror arguments\n0.8\nusing |𝑟|2 + |𝑡|2 = 1 or 𝑅+ 𝑇= 1\n0.5\nstating that this is a consequence of conser-\nvation of energy\n0.2\nunderstanding that the solutions 𝑟and 𝑡\nshould be complex\n0.2\nTotal on T3.a)\n3.0\nPart b\nPart T3.b: Algebraic method\nPts.\nwriting 90◦\n0.5\ntaking modulus of (16) to get a condition in-\nvolving 𝑟and 𝑡only\n0.7\nSolving with 𝑟, 𝑡, 𝑟∗and 𝑡∗to find that 𝑟is an\nimaginary number times 𝑡\n0.8\nTotal on T3.b\n2.0\nPart T3.b: Geometric method\nPts.\nwriting 90◦\n0.5\ntaking modulus of (16) to get a condition in-\nvolving 𝑟and 𝑡only\n0.7\nusing a geometric argument to show that 𝑟\nand 𝑡must make a right angle\n0.8\nTotal on T3.b\n2.0\nNotes on T3.a) and T3.b): different conventions for\n𝑟and 𝑡(eg using −𝑟instead of 𝑟, different phase fac-\ntors) are allowed.\nPart c\nPart T3.c: Destructive interference\nPts.\n|B| and |C| are the same if |𝑡| ≪|𝑟|\n0.5\nApplying symmetry to show 2𝐸= 𝑈\n1.0\nFinding relation between P’ and P\n1.5\nCorrect value for U\n0.5\nCorrect value for E\n0.5\nTotal on T3.c\n4.0\n\nTheoretical Solutions\nPart T3.c: Geometric series\nPts.\nShowing, perhaps just by reasoning, that the\npower propagating out through the first mir-\nror decreases by a factor 𝑅2 every Δ𝑡\n1.5\nMultiplying by Δ𝑡to convert power or inten-\nsity to energy\n0.5\nSumming a geometric series to find the total\nenergy E\n1.5\nCorrect value for E\n0.5\nTotal on T3.c\n4.0\nPart d\nPart T3.d: Removing waves\nPts.\nStated that energy reduces by factor 𝑅2 each\ntime a wave is removed\n0.2\nUsing the fact that this reduction occurs at\nintervals Δ𝑡\n0.4\nSome valid mathematical argument from\nhere that obtains the correct 𝑇when 1−𝑅≪1\n0.4\nTotal on T3.d\n1.0\nPart T3.d: Exponential decay m\nPts.\nStated the decay is roughly exponential\n0.2\nState the outwards energy flux\n0.4\nUse this to determine decay constant\n0.4\nTotal on T3.d\n1.0\nNotes on T3.d): no marks for dimensional analysis to\nobtain the combination 𝐿/𝑐. The numerical prefactor\nis irrelevant provided it is order unity (e.g.\nln 2 for\nhalf-life). Any equivalent form, assuming 1 −𝑅≪1, is\nacceptable.\n","shared":true,"sourcePages":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14],"initialPage":1}},{"id":"eupho-2024-t2","importedOn":"2026-10-28","language":"en","sources":[{"url":"https://eupho.ee/wp-content/uploads/2024/07/EuPhO_2024_theory_final.pdf","kind":"statement"},{"url":"https://eupho.ee/wp-content/uploads/2024/07/EuPhO_2024_theory_sol.pdf","kind":"solution"}],"statement":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/eupho-2024-statement/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/eupho-2024-statement/page-1.webp","width":982,"height":1389}],"text":"Theoretical Problems. Language: English\nT1: Sliding puck (10 pts)\nA puck (a small disc) with radius 𝑟and uniform den-\nsity is moving on a horizontal plane with the veloc-\nity 𝑣0 without rotation. The puck meets a fixed half-\ncircular wall with a radius 𝑅≫𝑟and starts to move\nalong the wall.\nThe coefficient of friction with the\nwall is 𝜇, and friction with the horizontal plane is neg-\nligible.\na) (8 pts) Find the velocity of the puck 𝑣𝑒when it\nleaves the wall.\nb) (2 pts) Sketch the graph 𝑣𝑒(𝜇). Indicate impor-\ntant features of the graph. You are encouraged\nto sketch the graph even if you haven’t found the\nexact formula for 𝑣𝑒.\nT2: Spaceships (10 pts)\nAlice and Bob are twin astronauts on a long space\nmission. After many years, they are finally approach-\ning each other to reunite. Alice’s spaceship is moving\ntowards Bob’s spaceship at a speed of 𝑢= 3\n5𝑐, where\n𝑐is the speed of light.\nDuring their approach, both Alice and Bob send\ngifts to each other. Alice sends gifts to Bob at regu-\nlar time intervals Δ𝑡0 in her own frame of reference,\nwith each gift travelling at a velocity 𝑣= 4\n5𝑐(again, in\nher frame of reference). Similarly, Bob sends gifts to\nAlice at the same regular time intervals Δ𝑡0 in his own\nframe of reference, with each gift also travelling at a\nvelocity 𝑣= 4\n5𝑐in his frame of reference. Assume that\nthe distance 𝐿between Alice and Bob is so large that\nthere are many gifts in transit at any given moment.\na) (5 pts) In Bob’s reference frame, find\n(i) the distance between two successive gifts\nsent by Alice, and\n(ii) the time interval Δ𝑡1 at which these gifts from\nAlice arrive at Bob’s spaceship.\nb) (5 pts) At a given instant, Alice can see a num-\nber of gifts moving away from her and a number\nof gifts moving towards her.\nWhat is the ratio\nbetween these two numbers?\nT3: Fabry–Pérot interferometer (10 pts)\nA Fabry–Pérot interferometer consists of two identi-\ncal parallel planar mirrors separated by a distance 𝐿.\nThe space between and outside the mirrors is filled\nwith air. The mirrors are partially reflective; when\nlight is aimed towards one of these mirrors along the\nnormal direction, the reflected beam has intensity\n𝑅< 1 times the intensity of the incident beam. As-\nsume that the mirrors are symmetric, meaning they\ninteract the same way with light incident from either\nside, and lossless. Assume also that they are highly\nreflective, meaning 1 −𝑅≪1. A monochromatic laser\nbeam of power 𝑃is aimed towards the interferome-\nter perpendicular to the mirrors. The distance 𝐿is\nchosen so that the back-reflected beam vanishes, i.e.\nall the optical power is transmitted through the in-\nterferometer.\na) (3pts) Show that the laser beam must acquire a\nnonzero phase shift 𝜙when it passes through ei-\nther of the mirrors.\nb) (2pts) Find the magnitude of 𝜙.\nc) (4pts) At a certain moment, the incident laser\nbeam is switched off rapidly. Find the total en-\nergy of the light that travels back from the in-\nterferometer towards the laser after the laser is\nswitched off.\nd) (1pt) Estimate the duration of the light pulse that\ntravels back towards the laser.\n","shared":true,"sourcePages":[1],"initialPage":1},"solution":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/eupho-2024-solution/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/eupho-2024-solution/page-1.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2024-solution/page-2.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2024-solution/page-3.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2024-solution/page-4.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2024-solution/page-5.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2024-solution/page-6.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2024-solution/page-7.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2024-solution/page-8.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2024-solution/page-9.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2024-solution/page-10.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2024-solution/page-11.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2024-solution/page-12.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2024-solution/page-13.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2024-solution/page-14.webp","width":982,"height":1389}],"text":"Theoretical Solutions\nT1: Sliding puck - Solution\nWhen the puck moves along the wall, two forces\n(in addition to gravity and the normal force of the\nhorizontal ground, which cancel each other out) act\non it: the normal force of the wall (which changes\nthe direction of motion of the puck) and the friction\nbetween the puck and the wall (which changes the\nspeed of the puck and also causes the puck to start\nrotating).\nSo as the puck moves along the circular wall, the\nspeed of the puck decreases and the angular veloc-\nity of the puck’s rotation around its vertical axis in-\ncreases. The motion of the puck is rolling with slid-\ning along the wall. At a certain point in time 𝑡1, the\ncontact point of the puck may have zero velocity and\nkinetic friction becomes static. From this point on-\nwards, the puck will be rolling without sliding along\nthe wall.\nFrom the zero velocity of the contact point, we find\nthe relationship 𝜔= 𝑣/𝑟.\nLet’s focus on rolling with sliding first. The normal\nforce ®𝑁of the wall on the puck is also perpendicular\nto the velocity of the puck at any instantaneous po-\nsition of the puck. Force ®𝑁changes the direction of\nthe velocity ®𝑣. From Newton’s law in normal direc-\ntion, we find 𝑁= 𝑚𝑣2/𝑅, where 𝑚is the mass of the\npuck. Thus, the magnitude of the frictional force is\n𝐹𝑓= 𝜇𝑁= 𝜇𝑚𝑣2/𝑅.\nSolution 1: The equation for the translational mo-\ntion of the puck is\n𝑚𝑑𝑣\n𝑑𝑡= −𝜇𝑚𝑣2\n𝑅\nand in the integral form including the initial condi-\ntions\n∫𝑣\n𝑣0\n𝑑𝑣\n𝑣2 = −𝜇\n𝑅\n∫𝑡\n0\n𝑑𝑡\nwhere the time 𝑡= 0 is the time at which the puck\nmeets the semicircular wall and has the initial veloc-\nity 𝑣0. Solving the integrals gives\n−1\n𝑣+ 1\n𝑣0\n= −𝜇\n𝑅𝑡\n(1)\nwhich leads to\n𝑣(𝑡) =\n𝑣0\n1 + 𝑡/𝜏\n(2)\nwhere 𝜏= 𝑅/𝑣0𝜇. The graph drawn with the solid red\nline shows the time dependence of 𝑣.\nThe rotation of the puck around its axis of symme-\ntry is caused by the torque of the frictional force act-\ning on the puck at the point of contact between the\npuck and the wall, 𝑀𝑓= 𝑟𝐹𝑓= 𝑟𝜇𝑚𝑣2/𝑅, where the ra-\ndius of the puck 𝑟is the arm. The equation for the ro-\ntational motion of the puck, which results from New-\nton’s second law 𝐼𝑑𝜔/𝑑𝑡= 𝑀𝑓, can be written as\n𝑟𝑑𝜔\n𝑑𝑡= 𝜇𝑚𝑟2\n𝑅𝐼\n𝑣2 = 2𝜇\n𝑅·\n𝑣2\n0\n(1 + 𝑡/𝜏)2\nwhere 𝐼= 𝑚𝑟2/2 is the moment of inertia of the puck\nfor rotations around its axis of symmetry and 𝜔is\nthe angular velocity of this rotation.\nThe product\n𝑟𝜔gives the relative speed of the point of contact\nbetween the puck and the wall with respect to the\npuck’s center of mass. The integral form of this equa-\ntion, including the initial conditions, is\n𝑟\n∫𝜔\n0\n𝑑𝜔= 2𝑣0\n𝜏\n∫𝑡\n0\n𝑑𝑡\n(1 + 𝑡/𝜏)2\nand the solution is\n𝑟𝜔= 𝑣0\n2𝑡/𝜏\n1 + 𝑡/𝜏.\n(3)\nThe graph of 𝑟𝜔(𝑡) is drawn by the blue line.\nThe two solutions (2) and (3) are only valid up to\nthe time 𝑡1 at which the functions 𝑣(𝑡) and 𝑟𝜔(𝑡) inter-\nsect, 𝑣(𝑡1) = 𝑟𝜔(𝑡1). At this moment, the points on the\npuck that touch the wall no longer move in relation\nto the wall and the puck no longer slides along the\nwall. There is no more friction. From this moment\non, the motion of the puck is a frictionless translation\nand rotation with 𝑣= 𝑣(𝑡1) = 𝑣1 and 𝜔= 𝑣1/𝑟. For 𝑡1 we\nget 𝑡1 = 𝜏/2. At 𝑡1, the translational speed is 𝑣1 = 2𝑣0/3.\nThere are two possible scenarios for the motion of\nthe puck along the semicircular wall: it rolls with\nsliding along the entire wall or it starts rolling some-\nwhere along this path without sliding. To see what\nhappens, and also to get the exit velocity of the puck\n𝑣𝑒, we need to calculate how the path of the puck in-\ncreases with time, which is defined by equation (2),\n𝑑𝑙/𝑑𝑡= 𝑣(𝑡). We integrate in time from 𝑡= 0 to 𝑡and in\ndistance from 0 to 𝑙and get\n𝑡= 𝜏\n\u0012\nexp\n\u0012 𝑙\n𝑣0𝜏\n\u0013\n−1\n\u0013\n.\n(4)\n\nTheoretical Solutions\nIf we use 𝑙𝑒= 𝜋𝑅, equation (4) gives the time 𝑡𝑒= 𝑡(𝑙𝑒) =\n𝜏(exp 𝜋𝜇−1).\nIf 𝑡𝑒> 𝑡1 = 𝜏/2 i.e. 𝜋𝜇> ln 3\n2, then the puck starts\nto roll somewhere on its semicircular path along the\nwall without sliding and its speed when leaving the\nwall is 𝑣𝑒= 𝑣1 = 2𝑣0/3.\nIf 𝑡𝑒≤𝑡1 = 𝜏/2 i.e. 𝜋𝜇≤ln 3\n2, then the puck still rolls\nwith sliding when it leaves the wall, since its trans-\nlational speed 𝑣𝑒is still greater than 2𝑣0/3. The exit\nspeed is obtained from (4) by inserting 𝑡= 𝑡𝑒,\n𝑣𝑒= 𝑣(𝑡= 𝑡𝑒) = 𝑣0 exp(−𝜋𝜇).\n(5)\nThe graph 𝑣𝑒(𝜇) is shown in the figure.\nSolution 2: The equation for the translational mo-\ntion of the puck is\n𝑚𝑑𝑣\n𝑑𝑡= −𝜇𝑚𝑣2\n𝑅\nwhich can be rewritten with 𝑑𝑙= 𝑣𝑑𝑡= 𝑅𝑑𝜑as\n𝑑𝑣\n𝑣= −𝜇\n𝑅𝑑𝑙= −𝜇𝑑𝜑.\nWe recognize the dependence of 𝑣on 𝜑;\n𝑣= 𝑣0 exp(−𝜇𝜑),\n(6)\nwhere 𝜑= 0 at the beginning of the semicircular wall\nand 𝜑= 𝜋at its end.\nIt describes the dependence\nof 𝑣on 𝜑under the condition that the puck rolls and\nslides at the same time.\nDue to the torque of the frictional force the puck\nalso starts to roll along the wall and its instantaneous\nangular velocity is 𝜔.\nLet us introduce the speed\n𝑣′ = 𝑟𝜔: when 𝑣′ reaches the instantaneous speed 𝑣, it\nno longer changes (see Solution #1 for explanation).\nThe equation for the rotational motion of the puck is\n(see Solution #1 for explanation)\n𝑟𝑑𝜔\n𝑑𝑡= 𝑑𝑣′\n𝑑𝑡= 𝜇𝑚𝑟2\n𝑅𝐼\n𝑣2.\nHaving already written the function 𝑣(𝜑) (6), we\nalso want to write 𝑣′ as a function of 𝜑. We start with\nthe relation\n𝑑𝑣′\n𝑑𝑡= 𝑑𝑣′\n𝑑𝜑\n𝑑𝜑\n𝑑𝑡\nand with the use of 𝑑𝜑/𝑑𝑡= 𝑣/𝑅we get\n𝑑𝑣′ = 2𝜇𝑣0 exp(−𝜇𝜑)𝑑𝜑\nand solving a simple integral\n∫𝑣′\n0\n𝑑𝑣′ = 2𝜇𝑣0\n∫𝜑\n0\nexp(−𝜇𝜑)𝑑𝜑\nwe get\n𝑣′(𝜑) = 𝑟𝜔(𝜑) = 2𝑣0(1 −exp(−𝜇𝜑)).\n(7)\nIf we equate 𝑣and 𝑣′, we get a critical angle 𝜑𝑐at\nwhich rolling with sliding changes to rolling without\nsliding,\n𝜇𝜑𝑐= ln 3\n2.\nAt the critical angle,\nthe final velocity is 𝑣𝑓\n=\n𝑣0 exp(−𝜇𝜑𝑐) = 2𝑣0/3.\nIf 𝜑𝑐> 𝜋i.e. 𝜇𝜋< ln 3\n2, the puck still slides at the\nexit with the exit speed 𝑣𝑒= 𝑣0 exp(−𝜇𝜋) and if 𝜑𝑐≤𝜋\ni.e. 𝜇𝜋≥ln 3\n2, the puck rolls at the exit without sliding\nwith the final speed 𝑣𝑒= 𝑣𝑓= 𝑣(𝜑𝑐) = 2𝑣0/3.\nFrom the way the problem is solved in the second\nsolution, it can be seen that the exit speed of the puck\ndoes not depend on a particular shape of the wall;\nthe speed and the angular velocity depend only on 𝜑\n(and the friction coefficient 𝜇). For example, the wall\ncould be elliptical instead of a semicircle (or have a\ndifferent shape).\nsuggestions for marking scheme\nPart T1.a): Scores\nPts.\nrealizing that puck is sliding initially\n0.3\nrealizing that puck may roll without sliding\n0.3\nstating that sliding ends when roll condition\n𝑣= 𝑟𝜔is met\n0.3\nequating the normal force with 𝑚𝑣2/𝑅\n0.3\nusing 𝐹𝑓= 𝜇𝑁for the friction force\n0.3\nequation of motion (eom) for translation (-0.2\nfor wrong sign)\n0.4\ngiving integral expression for translational\neom with correct initial conditions\n0.5\ngiving expression for 𝑣as function of time or\nangle as in eq. (2) or (6)\n1.0\nequation of motion (eom) for rotation\n0.4\nusing 𝐼= 𝑚𝑟2/2 as moment of inertia\n0.3\ngiving integral expression for rotational eom\nwith correct initial conditions\n0.5\ngiving expression for 𝑟𝜔as function of time\nor angle as in eq. (3) or (7)\n1.0\ngetting time\n𝑅\n2𝑣0𝜇or angle ln( 3\n2)/𝜇for transi-\ntion to rolling without sliding\n0.5\nobtaining critical coefficient of friction 𝜇𝑐=\nln(3/2)/𝜋\n0.5\nfinding final velocity\n2\n3𝑣0 for rolling without\nsliding\n0.4\nfinding velocity 𝑣𝑒if puck slides the whole\ntime\n1.0\nTotal on T1.a)\n8.0\n\nTheoretical Solutions\nPart T1.b): Scores\nPts.\ngraph has suitably labelled axis\n0.2\ninitial speed 𝑣0 indicated in graph\n0.2\ngraph shows 𝑣𝑒decreasing with 𝜇initially\n0.3\ninitial exponential decrease of 𝑣𝑒with 𝜇indi-\ncated in graph\n0.3\ncritical point exists and is indicated in graph\n0.4\nconstant speed after the critical point\n0.4\nobviously not smooth function at critical\npoint\n0.2\nTotal on T1.b)\n2.0\nGeneral rules for marking in T1:\n• The grain size for marking is 0.1 Pts.\n• Partial marks can be awarded for most aspects.\n• For each mistake in calculation (algebraic or nu-\nmeric) 0.2 Pts. are deducted.\n• If a mistake leads to a dimensionally incorrect ex-\npression no marks are given for the result.\n• Propagating errors are not punished again unless\nthey are dimensionally wrong or entail oversim-\nplified/wrong physics (e.g. neglecting friction ef-\nfects).\n\nTheoretical Solutions\nT2: Spaceships - Solution\nAnalytical Solutions\nLet us denote the reference frames of Alice, Bob and\ngift by 𝐴, 𝐵, 𝐺, respectively. We shall use the notation\n𝛾𝑣=\n1\n√\n1−𝑣2/𝑐2 .\nPart a) (i)\nSolution 1:\nLet 𝑙𝑥be the distance between two gifts\nin frame 𝑥. Since 𝐺is the rest frame of the gifts, we\nhave 𝑙𝐴= 𝑙𝐺/𝛾𝑣, 𝑙𝐵= 𝑙𝐺/𝛾𝑣𝐵, where 𝑣𝐵is the relative ve-\nlocity of frames B and G. According to the formula for\nrelativistic addition of velocities, the relative velocity\n𝑣𝐵is given by\n𝑣𝐵=\n𝑢+ 𝑣\n1 + 𝑢𝑣/𝑐2 = 35\n37𝑐,\n(8)\nwhere we used the values 𝑢=\n3\n5𝑐, 𝑣=\n4\n5𝑐.\nTogether\nwith 𝑙𝐴= 𝑣Δ𝑡0 this gives\n𝑙𝐵= 𝑣Δ𝑡0\n𝛾𝑣\n𝛾𝑣𝐵\n= 16\n37Δ𝑡0𝑐.\nSolution 2:\nLet us consider the two events that gift\n1 is sent and the consecutive gift 2 is sent. Accord-\ning to Lorentz-transformation, if an event has coordi-\nnates 𝑡, 𝑥in a certain reference frame, the same event\nhas coordinates 𝑡′ = (𝑡−𝑢𝑥/𝑐2)𝛾𝑢, 𝑥′ = (𝑥−𝑢𝑡)𝛾𝑢, where\n𝑢is the relative velocity of the reference frames. In\nA, these events have coordinates (𝑡1,𝐴, 𝑥1,𝐴) = (0, 0) and\n(𝑡2,𝐴, 𝑥2,𝐴) = (Δ𝑡0, 0). The relative velocity of A and B\nis −𝑢. Therefore, in B these events have coordinates\n(𝑡1,𝐵, 𝑥1,𝐵) = (0, 0) and (𝑡2,𝐵, 𝑥2,𝐵) = (𝜏𝛾𝑢, 𝑢Δ𝑡0𝛾𝑢).\nWe thus need to determine the position of gift 1 at\ntime 𝑡2,𝐵in frame 𝐵. If 𝑣𝐵is the relative velocity of the\ngift and 𝐵given by (8), the position of gift 1 is given\nby 𝑥1,𝐵(𝑡2,𝐵) = 𝑣𝐵𝑡2,𝐵. Hence, in frame B the distance\nbetween the two gifts is\n𝑙𝐵= 𝑥1,𝐵(𝑡2,𝐵) −𝑥2,𝐵(𝑡2,𝐵) = (𝑣𝐵−𝑢)Δ𝑡0𝛾𝑢= 16\n37Δ𝑡0𝑐.\nSolution 3:\nThe time interval Δ𝑡0\n= Δ𝑡0,𝐴is the\nproper time of events in Alice’s frame (Alice send-\ning gifts, which happen at the same location in Al-\nice’s frame), which is moving with 𝑢in Bob’s frame.\nTime interval between these events in Bob’s frame\nis Δ𝑡0,𝐵= 𝛾𝑢Δ𝑡0,𝐴. The speed of the gift Alice sent in\nAlice’s frame is 𝑣𝐴= 𝑣=\n4\n5𝑐and in Bob’s frame the\nspeed of the gift is 𝑣𝐵as found in (8). In Bob’s frame\nin the time interval Δ𝑡0,𝐵two gifts are sent. During\nthis time the Alice’s ship has moved for 𝑢Δ𝑡0,𝐵, the pre-\nviously sent gift for 𝑣𝐵Δ𝑡0,𝐵and the distance between\nboth gifts in Bob’s frame is\n𝑙𝐵= (𝑣𝐵−𝑢)Δ𝑡0,𝐵= 16\n37𝑐Δ𝑡0.\nSolution 4:\nIf a student solves Part (ii) first, then\nthe distance between two of the gifts from Bob in\nAlice’s reference frame is the product of the time be-\ntween arrival, Δ𝑡1, and the speed of Bob’s gift in Al-\nice’s frame, which is found from the relativistic ve-\nlocity addition in Eq. 8. Then\n𝑙𝐵= 𝑣𝐵Δ𝑡1 =\n\u0012\n35\n37\n\u0013\n𝑐\n\u0012\n16\n35\n\u0013\nΔ𝑡0 = 16\n37𝑐Δ𝑡0\nPart a) (ii)\nSolution 1\nAssuming that the Part (i) is solved first\nThe time interval is given by\nΔ𝑡1 = 𝑙𝐵\n𝑣𝐵\n= 16\n35Δ𝑡0\nProblem 2.(a): Using Solution 1\npts\nFormula for relativistic addition of velocities\n0.5\neach mistake -0.3\nSpeed 𝑣𝐵of Alice’s gift in 𝐵(35/37 = 0.945)\n0.5\nmust have correct formula\nFind 𝑙𝐴\n0.5\n𝛾formula\n0.3\neach mistake -0.2\n𝑙1 = 𝑙2/𝛾only true in rest frame\n0.7\nBoost 𝑙𝐴to 𝐺frame\n0.3\neach mistake -0.1\nBoost from 𝐺frame to 𝑙𝐵\n0.2\neach mistake -0.1\nCollect expressions for 𝑙𝐵\n0.5\ncorrect numerical result (16/37 = 0.432)\n0.5\nmust have correct formula\nΔ𝑡1 = 𝑙𝐵/𝑣𝐵\n0.5\ncorrect numerical result (16/35 ≈0.457)\n0.5\nmust have correct formula\nTotal for 2.(a)\n5.0\n\nTheoretical Solutions\nProblem 2.(a): Using Solution 2 or 3\npts\nFormula for relativistic addition of velocities\n0.5\neach mistake -0.3\nSpeed 𝑣𝐵of Alice’s gift in 𝐵(35/37 = 0.945)\n0.5\nmust have correct formula\n𝛾formula\n0.3\neach mistake -0.2\nbecause two subsequent gifts are sent from\nthe same place in Alice’s frame\n0.7\nΔ𝑡0,𝐵= 𝛾𝑢Δ𝑡0\n0.3\neach mistake -0.1\nIn Bob’s frame, second gift at position 𝑢Δ𝑡0,𝐵\nwhile first gift at 𝑣𝐵Δ𝑡0,𝐵\n0.7\neach mistake -0.2\nCollect expressions for 𝑙𝐵\n0.5\ncorrect numerical result (16/37 = 0.432)\n0.5\nmust have correct formula\nΔ𝑡1 = 𝑙𝐵/𝑣𝐵\n0.5\ncorrect numerical result (16/35 ≈0.457)\n0.5\nmust have correct formula\nTotal for 2.(a)\n5.0\nImportant Notes for marking Problem 2\n• Correct final answers without justification can re-\nceive full marks; incorrect final answers without\njustification will receive no marks, even if the an-\nswer is “close” or if it can be guessed what the\nerror was.\n• The statement “must have correct formula” means\nthat the any immediately preceeding symbolic for-\nmula to the numerical number must be correct to\nreceive any points for a numerical answer.\n• Correct numerical result is dependent only on the\nimmediate formula from which it is computed.\n• A dimensionally incorrect formula gets zero marks.\n• Student can define 𝑐= 1 explicitly without penalty,\nbut inconsistencies are treated as errors.\n• Follow on errors normally only have penalty at\npoint of error\n• Numerical results that are follow on errors are not\npenalized twice\n• must have recognized light time correction need\nat least once to get points for ratio formula AND\nresult\n• Transcription errors are errors\n• If Part a) is solved without the explicit use of spe-\ncial relativity, then the maximum possible for part\na) is 0.5 pts.\n• If Part b) is solved without the explicit use of spe-\ncial relativity, then no points are awarded.\n• For final answer on Part b), must have correct for-\nmula; non integer numbers that round to 18 get\nonly +0.2 pts.\n• Any other mistakes or errors not explicity covered\nin the marking schemes should be treated a fully\nwrong for the category; so if a category is listed\nas 0.6, and the student work is incorrect, and no\nother disclaimer applies, then the score would be\n0.\n• If a student could only reasonably have correctly\ncompleted some task by correctly doing the previ-\nous tasks, then the previous tasks should be fully\nawarded, even if not explicitly written. However, if\nthe tasks are written, and have errors, the student\nwill get the appropriate deductions.\n• If it can be argued that a student could only reason-\nably have completed some task by correctly doing\nthe previous tasks, but the answer to the shown\ntask is incorrect, then the previous tasks should\nreceive zero marks if not explicitly shown.\nPart (b)\nSolution 1:\nSuppose that at 𝑡0,𝐴= 0 Alice sees Bob’s\nspaceship at distance 𝑑𝐵. The time that the light trav-\nelled from Bob to Alice is 𝑡𝑙= 𝑑𝑏/𝑐. (In Alice’s frame,\nthe actual distance from Alice to Bob’s spaceship is\n𝐿= 𝑑𝑏−𝑢𝑑𝑏/𝑐.)\nLet us first compute the number of visible outgoing\ngifts. Alice sees all gifts she sent until she sees them\nreach the spaceship. Consider the gift which Alice\njust sees arriving at Bob, which is the oldest visible\ngift. If this gift flew past Bob’s ship, it would be lo-\ncated at distance 𝑑𝑏+ 𝑣𝑡𝑙. Therefore the number of\ngifts between the oldest visible gift and Alice is\n𝑁𝑜𝑢𝑡= 𝑑𝑏+ 𝑣𝑡𝑙\n𝑙𝐴\n= 𝑑𝑏(1 + 𝑣/𝑐)\n𝑣Δ𝑡0\n.\nAlternatively, one can observe that 𝑑𝑏/𝑙𝐴gifts were\nbetween the considered gift and Alice at time −𝑡𝑙.\nDuring time 𝑡𝑙Alice sent out an additional number\n𝑡𝑙/Δ𝑡0 gifts, giving 𝑁𝑜𝑢𝑡=\n𝑑𝐵\n𝑣Δ𝑡0 +\n𝑑𝐵\n𝑐Δ𝑡0 .\nWe now compute the number of visible incoming\ngifts.\nAlice sees the newest visible gift just leave\nBob’s ship. In Alice’s frame, the actual distance of\nher to the newest visible gift is 𝑑𝐵−𝑣𝐵𝑡𝑙= 𝑑(1 −𝑣𝐵/𝑐).\nThe distance between incoming gifts is 𝑙𝐵, which was\ncomputed in part a). Hence, the number of visible\nincoming gifts is\n𝑁𝑖𝑛= 𝑑𝐵(1 −𝑣𝐵/𝑐)\n𝑙𝐵\n= 𝑑𝐵(1 −𝑣𝐵/𝑐)\nΔ𝑡0𝑐\n37\n16\nIn total, we have\n𝑁𝑜𝑢𝑡\n𝑁𝑖𝑛\n= (1 + 𝑣/𝑐)𝑐\n(1 −𝑣𝐵/𝑐)𝑣\n16\n37 = 18\nSolution 2\nSince both Alice and Bob send the gifts\nin exactly the same way and their relative speed to\neach other is also the same (which is always the\ncase), there is symmetry between them.\nBob sees\nexactly the same number of gifts he will receive as\nAlice, and the same is true for the gifts sent. So we\ncan continue in Bob’s frame (where Bob is station-\nary).\nFirst, let us look at the gifts Bob receives (and we\nstay in his frame the whole time). Between Bob and\nAlice at any moment, there are a finite number of\ngifts that have already been sent by Alice and not yet\nreceived by Bob. However, Bob does not see them all\nbecause the light of the most distant gift has not yet\nreached him. The furthest gift #A that Bob can see\nwas sent to him at time 𝑡= 0 (in Bob’s frame) and Bob\nsees it for the first time at time 𝑡1, when it has already\n\nTheoretical Solutions\ntraveled the distance 𝑣𝐵𝑡1 and the light of this gift,\nemitted at time 𝑡= 0 (when it was sent) has traveled\nthe distance 𝑐𝑡1 and has just reached him (at time 𝑡1\nBob sees the gift #A sent from Alice’s position at time\n𝑡= 0). The distance between two consecutive gifts\nmoving towards Bob is 𝑣𝐵Δ𝑡1 (see part (ii), solution\n1). The number of gifts that Bob sees at any point in\ntime and that move towards Bob is\n𝑁𝐴→𝐵= (𝑐−𝑣𝐵)𝑡1\n𝑣𝐵Δ𝑡1\n.\n(9)\nLet us now turn to the gifts that Bob sends to Alice.\nBob sees all his gifts that have not yet reached Alice\nat the time of observation, and some more that have\nbeen with Alice for some time and are probably eaten\n– only the information about the receipt of the gifts\nhas not yet reached Bob. Let the moment 𝑡= 0 be\nthe moment at which the gift #B sent by Bob reaches\nAlice. At this moment, the light from Alice begins to\ntravel back to Bob with the information about the re-\nceipt of the gift and reaches Bob at time 𝑡1 – then Bob\nrealizes that the gift #B has been received. Between\n𝑡= 0 and 𝑡1, Bob regularly sends more gifts in the\nusual way; therefore, there are more gifts that Bob\ncan see on the way to Alice than there actually are\n(remember: we are always talking about how things\nare in Bob’s frame; when and where they happen).\nIt’s practically the same as the received gift #B moves\nfurther beyond Alice and travels an additional dis-\ntance 𝑣𝑡1 before Bob realizes it’s being received by\nAlice. The number of gifts that Bob sees at any point\nin time and that move away from Bob is\n𝑁𝐵→𝐴= (𝑐+ 𝑣)𝑡1\n𝑣Δ𝑡0\n.\n(10)\nThe gift #𝐴is sent by Alice to Bob at time 𝑡= 0 and at\nthe same moment Alice receives the gift #𝐵from Bob\n(same time and place), and Bob observes travelling\ngifts at time 𝑡1.\nThe ratio of the number of gifts moving away from\nhim and towards him is\n𝑁𝐵→𝐴\n𝑁𝐴→𝐵\n= (𝑐+ 𝑣)𝑡1\n𝑣Δ𝑡0\n𝑣𝐵Δ𝑡1\n(𝑐−𝑣𝐵)𝑡1\n= (𝑐+ 𝑣)𝑣𝐵Δ𝑡1\n𝑣Δ𝑡0(𝑐−𝑣) = 18,\n(11)\nwhere the previously obtained relationships Δ𝑡1 =\n16\n35Δ𝑡0 and 𝑣𝐵= 35\n37𝑐were used together with the given\n𝑣= 4\n5𝑐.\nProblem 2.(b)\npts\nIdentify a distance to Bob 𝑑𝐵\n0.3\nLight time to Bob 𝑡𝑙\n0.5\nRecognize need to correct for light time\n0.5\n𝑑𝐴𝐺= 𝑑𝐵+ 𝑡𝑙𝑣\n0.9\neach mistake -0.3\n𝑁𝑎→𝑏= 𝑑𝐴𝐺/𝐿𝐴\n0.2\nRecognize need to correct for light time\n0.5\n𝑑𝐵𝐺= 𝑑𝐵−𝑡𝑙𝑣𝐵\n0.9\neach mistake -0.3\n𝑁𝑏→𝑎= 𝑑𝐵𝐺/𝐿𝐵\n0.2\nsymbolic ratio\n0.5\neach mistake -0.2\ncorrect numerical result (18)\n0.5\nmust have correct formula\nTotal for 2.(b)\n5.0\nGraphical Solutions\nThroughout the graphical solution, it is assumed that\n𝑐= 1 and Δ𝑡0 = 1. In order to return to a consistent\nsolution, make sure to include these factors appro-\npriately in the final answer.\nPart a)i\nThe question is asking for the separation between\ntwo events that happen at the same time in Bob’s\nreference frame. The graph is in Alice’s reference\nframe, also shown in the graph are the world line of\nBob, with a slope of −5/3, and the 𝑥-axis of Bob, with\na slope of −3/5. The red circle on Alice’s world line is\nthe launch of a gift from Alice, the black circle at the\norigin is another launch of a gift from Alice.\n𝑥Alice\n𝑡Alice\n𝑡Bob\n𝑥Bob\n( 20\n37, −12\n37)a = ( 16\n37, 0)b\nO\nΔ𝑡0\nWe are interested in the intersection of the first\nlaunched gift, which has a slope of 5/4, where it\ncrosses the 𝑥axis of Bob. In Alice’s reference frame,\nthat point is\n(𝑥, 𝑡) =\n\u0012\n20\n37, −12\n37\n\u0013\n\nTheoretical Solutions\nApplying the Lorentz transform into Bob’s refer-\nence frame,\nΔ𝑡1 = 5\n4\n\f\f\f\f\n20\n37 −\n\u0012−3\n5\n\u0013 \u0012−12\n37\n\u0013\f\f\f\f = 16\n37\nAlternatively, it is possible to focus on the Lorentz\ninvariant expression,\n(𝑡a)2 −(𝑥a)2 = (𝑡b)2 −(𝑥b)2\nwhere 𝑡𝑏= 0, and arrive at the same result.\nPart a)ii\nIt is expected that most students will get an answer\nthat depends on the result of Part a)i, and the tech-\nnique is outlined in the analytical section.\nIt is also possible to solve Part a)ii without solving\nPart a)i. Consider world-lines for Alice and Bob that\nintersect at the origin, and assume that both send a\ngift to the other at this intersection.\n𝑥\n𝑡Alice\nBob\n( 12\n35, −20\n35)a = (0, −16\n35)b\nO\nΔ𝑡0\nΔ𝑡1\nThe question is asking for the time interval be-\ntween two events that happen in the same place in\nBob’s reference frame.\nThe world-line of Bob has a slope of -5/3; the world-\nline of the gift from Alice has a slope of 5/4. Assuming\nΔ𝑡0 = 1, then the gift from Alice arrives with Bob in\nAlice’s coordinate system as\n(𝑥, 𝑡) =\n\u0012\n12\n35, −20\n35\n\u0013\nApplying the Lorentz transform into Bob’s refer-\nence frame,\nΔ𝑡1 = 5\n4\n\f\f\f\f\n−20\n35 −\n\u0012−3\n5\n\u0013 \u0012\n12\n35\n\u0013\f\f\f\f = 16\n35\nAlternatively, it is possible to focus on the Lorentz\ninvariant expression,\n(𝑡a)2 −(𝑥a)2 = (𝑡b)2 −(𝑥b)2\nwhere 𝑥𝑏= 0, and arrive at the same result.\nBecause of the symmetry, the time interval be-\ntween arrivals of Bob’s gift in Alice’s frame is the\nsame as the time interval between arrivals of Alice’s\ngift in Bob’s frame. The transfer of the gifts in shown\nin the figure. It is not necessary to sketch this green\nline.\nProblem 2.(a)i\npts\nClearly indicated graph or related equations\n0.2\nBob’s 𝑥axis correct slope (-3/5)\n0.2\nGift from Alice correct slope (5/4)\n0.2\nGift released Δ𝑡0 before Origin\n0.2\nRecognize intersection of gift and 𝑥𝐵\n0.3\nFind intersection in Alice Frame\n0.5\n1. 𝛾formula\n0.3\n1. each mistake -0.2\n1. Use Lorentz Transformation\n0.1\n1. Apply Lorentz Transformation\n0.5\n1. each mistake -0.2\n2. Use Lorentz invariance\n0.4\n2. recognize Δ𝑥𝑏= 0\n0.2\n2. Apply Lorentz invariance\n0.3\n2. each mistake -0.2\ncorrect numerical result (16/37)\n0.5\nImportant Notes!\n1. Scores can be received for method 1 or method\n2, but not both; if both are attempted, award the\nhigher total, but never more than 0.9 pts.\nIf Part a)ii is solved analytically\nProblem 2.(a)ii\npts\nFormula for 𝑣addition\n0.5\neach mistake -0.3\nSpeed 𝑣𝑟of Alice’s gift in 𝐵(35/37)\n0.5\nmust have correct formula\nΔ𝑡1 = 𝐿𝑏/𝑣𝑟\n0.5\ncorrect numerical result (16/35)\n0.5\nmust have correct formula\nIf Part a)ii solved graphically, then\nProblem 2.(a)ii\npts\nClearly indicated graph or related equa-\ntions\n*0.2\nBob’s 𝑡axis correct slope (-5/3)\n0.2\nGift from Alice correct slope (5/4)\n*0.2\nGift released Δ𝑡0 before Origin\n*0.2\nRecognize intersection of gift and 𝑡𝐵\n0.3\nFind intersection in Alice Frame\n0.5\n1. 𝛾formula\n*0.3\n1. each mistake -0.2\n1. Use Lorentz Transformation\n*0.1\n1. Apply Lorentz Tranformation\n0.5\n1. each mistake -0.2\n2. Use Lorentz invariance\n*0.4\n2. recognize Δ𝑥𝑏= 0\n0.2\n2. Apply Lorentz invariance\n0.3\n2. each mistake -0.2\ncorrect numerical result (16/35)\n0.5\nImportant Notes!\n1. A student who does both a)i and a)ii graphically\ncan only get points for the starred (*) categories\n\nTheoretical Solutions\nfor the work in a)i, and not also for the work in\na)ii.\n2. The maximum possible score is 5 pts! If a student\ndoes graphical approaches for both, and makes\nmistakes, the final score for Part a) must be less\nthan 5 by an amount equal to the mistakes made.\nPart b)\nConsider the movement of gifts in Alice’s reference\nframe. Green gifts are headed toward Alice, red gifts\nare headed away from Alice. If Alice makes an instan-\ntaneous observation, Alice will see the gifts at loca-\ntions along the intersection with the diagonal light\nline. This is quite different from the questions of the\nseparation of the green gifts or the red gifts in Alice’s\nrest frame, which is measured by the separation at\nthe same time, for example, the intersections with\nthe 𝑥axis.\n𝑥\n𝑡\nThe figure to solve can be simplified considerably;\nto fit it into a useful form the proper slopes are no\nlonger used and the picture is not to scale.\n𝑥\n𝑡\n𝑚= −1\n𝑚= −37/35\n𝑚= 5/4\n(−8, 8)\n( 4\n9, −4\n9)\nΔ𝑡1\nΔ𝑡0\nThe intersection of the red line and the black light-\nline is\n\u0012\n4\n9, −4\n9\n\u0013\nThe intersection of the green line and the black\nlight line is\n(−8, 8)\nThe ratio is 18.\nProblem 2.(b)\npts\nClearly indicated graph or related equa-\ntions\n0.4\nAlice’s gifts correct slope (5/4)\n0.2\nFormula for 𝑣addition\n*0.5\neach mistake -0.3\nSpeed 𝑣𝑟of Bob’s gift in 𝐴(35/37)\n*0.5\nmust have correct formula\nBob’s gifts correct slope (-37/35)\n0.2\nLight-like line drawn\n0.2\nAlice gift released Δ𝑡0 before Origin\n0.2\nBob gift arrive Δ𝑡1 before Origin\n0.2\nIntersection of Bob gift and light like line\n0.3\nFind intersection in Alice Frame\n0.5\nIntersection of Alice gift and light like line\n0.3\nFind intersection in Alice Frame\n0.5\nsymbolic ratio\n0.5\neach mistake -0.2\ncorrect numerical result (18)\n0.5\nmust have correct formula\nImportant Notes for marking Problem 2 b)\n1. For the two starred (*) quantities above: If this\nis the first use of the relativistic velocity addition\nformula, then mark as shown. If the relativistic\nvelocity addition was was used to answer Part a),\nthen these points are only awarded for a student\nwho has reasonably demonstrated how they need\nto use the relative velocity to solve Part b). An\nappropriate figure can be sufficient. In this case,\nthey do not need to write the equations twice.\nSolution using i𝑐𝑡-diagrams\nIn the i𝑐𝑡-diagram shown in the figure, the red co-\nordinate system represents the Bob’s frame of ref-\nerence, the blue represents the Alice’s frame, and\nthe black represents the gifts’ frame. We know that\ntan 𝛼= 𝑣\ni𝑐= −3\n5𝑖and tan 𝛽= 𝑢\ni𝑐= −4\n5𝑖. Therefore,\ntan 𝛾= tan(𝛼+ 𝛽) =\ntan 𝛼+ tan 𝛽\n1 −tan 𝛼tan 𝛽= −140\n148𝑖.\nWe can express sinus and cosine in terms of tangent\nto obtain cos 𝛼=\n5\n4, sin 𝛼= −3\n4𝑖, cos 𝛽=\n5\n3, sin 𝛽= −4\n3𝑖,\ncos 𝛾= 37\n12, sin 𝛾= −35\n12𝑖. Events 𝐴and 𝐵represent the\nlaunching of two consecutive gifts, so the segment\n𝐴𝐵is of length i𝑐𝜏.\n\nTheoretical Solutions\nict\nict’\nx’\nBob’s frame\nAlice’s frame\ngift’s frame\ngift 2\ngift 1\nicτ\n \nB\nicτ’\n \nα β\nγ\nL\nγ\nAlice\nBob\nicτ’\n \nβ\nx\nA\nC\nD\nPart a)1\nThe distance between two gifts launched\nby Alice in the Bob’s frame of reference is labeled 𝐿\nin the figure. From the sine theorem for the triangle\n𝐴𝐵𝐶we obtain 𝐿= i𝑐𝜏sin 𝛽/cos 𝛾= 𝜏𝑐4\n3\n12\n37 = 16\n37𝑐𝜏.\nPart a)2\nFrom the sine theorem for the triangle\n𝐴𝐵𝐷we obtain 𝜏′ = 𝜏sin 𝛽/sin 𝛾= 𝜏4\n3\n12\n35 = 16\n35𝑐𝜏.\nPart b)\nWe use the same reference frames and a di-\nagram using the same color-coding. Additionally, the\ndiagram shows the gifts sent by Bob in green, and the\nlight ray arriving currently to Alice’s eye in purple.\nThe gifts seen by Alice are marked as coloured cir-\ncles: the ones sent by herself are grey, and the ones\nsent by Bob are green. Since the gits are launched\nby Bob and Alice at the same frequency, the ratio of\nthe number of grey gifts to the number of green gifts\nseen currently is equal to 𝐴𝑃/𝑅𝑄.\nFrom the figure we can easily express 𝐴𝑃= 𝐴𝑀+𝑁𝑃;\nusing the sine for the triangle 𝐴𝑀𝑁theorem we ob-\ntain 𝐴𝑀= 𝑙cos 𝛾/sin 𝛽=\n37\n16i𝑙; here, 𝑙denotes the dis-\ntance to Alice now in Bob’s frame of reference. Since\nlight travels with speed 𝑐, we know that 𝑄𝑁= i𝐿;\nthe sine theorem for the triangle 𝑀𝑃𝑆yields 𝑀𝑃=\n𝑀𝑆sin 𝛾/sin 𝛽= 𝑄𝑁sin 𝛾/sin 𝛽= i 35\n16𝑙so that 𝐴𝑃= i 72\n16𝑙=\ni 9\n2𝑙. One can easily see that 𝑅𝑄= 𝑅𝑁−𝑄𝑁= 𝑙/tan 𝛽−i𝑙=\ni 1\n4𝑙. Bringing all together, the ratio of the number of\ngifts is 𝐴𝑃/𝑅𝑄= 9\n2\n4\n1 = 18.\nα\nβ\nγ\nAlice\nnow\nBob\nA\nβ\nlight seen\n by Alice now\ngifts for Alice\ngifts for Bob\nN\nQ\nR\nM\nP\nS\nβ\nγ\nl\n\nTheoretical Solutions\nT3: Fabry–Pérot interferometer - Solu-\ntion\nThroughout these solutions, we use a Cartesian coor-\ndinate system aligned so that the 𝑥axis points along\nthe normal to the mirrors. Let one mirror be posi-\ntioned at 𝑥= 0 and the other at 𝑥= 𝐿, and suppose\nthe beam approaches the interferometer from the\nnegative-𝑥direction. Let regions I, II and III be de-\nfined by 𝑥< 0, 0 < 𝑥< 𝐿and 𝑥< 𝐿respectively. Note\nthat the mirrors are assumed thin for convenience\nhere, but this does not change the answers.\nSolution 1\nPart a\nWhere the laser beam meets the first mirror\nof the interferometer, some light is reflected back to-\nwards the laser and the rest is transmitted into the\nspace between the mirrors (region II). This transmit-\nted light bounces back and forth between the mir-\nrors. With every reflection, some light is transmit-\nted and leaves the interferometer. To find the com-\nplex amplitude of the wave returning to the laser,\nwe need to sum the complex amplitudes of the wave\nthat reflects immediately (without ever entering the\ninterferometer), as well as those of the waves that\nbounced back and forth once, twice, thrice, etc.\nEach region therefore contains a superposition of\ninfinitely many waves. Crucially, a superposition of\nany number of sinusoidal waves with the same fre-\nquency, wavelength and propagation direction can\nbe represented by a single sinusoidal wave with the\nsame frequency, wavelength and propagation direc-\ntion. Therefore, the electric field due to the waves in\nregions I, II and III must take the following form.\nRegion I:\n𝐸(𝑥, 𝑡) = 𝐴ei(𝑘𝑥−𝜔𝑡) ,\nRegion II:\n𝐸(𝑥, 𝑡) = 𝐵ei(𝑘𝑥−𝜔𝑡) + 𝐶ei(−𝑘𝑥−𝜔𝑡) ,\nRegion III:\n𝐸(𝑥, 𝑡) = 𝐷ei(𝑘𝑥−𝜔𝑡) .\nIn region I, we have a travelling wave moving in\nthe positive 𝑥direction with wavenumber 𝑘, angu-\nlar frequency 𝜔and amplitude 𝐴. The condition that\nthere is no back-reflected beam means there is no\noppositely-propagating wave in region I. In region\nII, the electric field is a sum of two waves propagat-\ning in either direction, which we give complex ampli-\ntudes 𝐵and 𝐶. Finally, in region III, there is only a\nwave propagating in the positive-𝑥direction, which\nwe give complex amplitude 𝐷.\nLet us introduce an amplitude reflection coeffi-\ncient 𝑟and transmission coefficient 𝑡for the mirrors.\nThese coefficients, which may be complex, are char-\nacteristic of the mirrors. The ratio between the com-\nplex amplitude of the reflected wave and the incident\nwave is 𝑟, while the ratio between the complex ampli-\ntude of the transmitted wave and the incident wave is\n𝑡. We are interested in 𝜙, which is the relative phase\nbetween the complex numbers 𝑟and 𝑡.\nLet us work out how the waves on either side of\nthe first mirror (in regions I and II) are related. In\nregion II, the forward-propagating wave is a result of\nthe transmitted part of the incident wave in region I,\nand the reflected part of the backwards-propagating\nwave in region II. Therefore,\n𝐵= 𝑡𝐴+ 𝑟𝐶.\n(12)\nSimilarly, for the backwards-propagating wave in re-\ngion I to vanish, the sum of the reflected part of\nthe incident wave and the transmitted part of the\nbackwards-propagating wave in region II must be\nzero:\n0 = 𝑟𝐴+ 𝑡𝐶.\n(13)\nFurthermore, applying similar reasoning at the sec-\nond mirror, using the complex amplitudes evaluated\nat 𝑥= 𝐿, leads to\n𝐷ei𝑘𝐿= 𝑡𝐵ei𝑘𝐿,\n(14)\n𝐶e−i𝑘𝐿= 𝑟𝐵ei𝑘𝐿.\n(15)\nIf 𝑟and 𝑡are given, along with the amplitude of the\ninitial wave 𝐴, equations (12)–(15) contain four un-\nknowns: 𝐵, 𝐶, 𝐷and 𝑘. We find\ne−2i𝑘𝐿= 𝑟2 −𝑡2 .\n(16)\nThis relation tell us the argument of the complex\nnumber 𝑟2 −𝑡2; it must be −2𝑘𝐿. It also provides a con-\nstraint on the magnitude of this complex number; we\nmust have\n|𝑟2 −𝑡2| = 1 .\n(17)\nThis is a condition that 𝑟and 𝑡must satisfy in order\nfor the setup in the question, with no back-reflected\nlight from the interferometer, to be realizable.\nWith lossless mirrors, there is one additional con-\nstraint that 𝑟and 𝑡must satisfy. When a wave passes\nthrough one of these mirrors, the incident power\nmust equal the sum of the reflected and transmit-\nted powers.\nSince every wave in the problem has\nthe same speed, the power carried by them is pro-\nportional the their amplitude squared, which means\nit is proportional to the modulus squared of the com-\nplex amplitude.\nTherefore, conservation of energy\nrequires\n|𝑟|2 + |𝑡|2 = 1 .\n(18)\nTogether, (17) and (18) imply that 𝑟and 𝑡cannot both\nbe real; there must be some phase shift between the\ntransmitted and reflected light.\nPart b\nUsing conditions (17) and (18), we can show\nthat the magnitude of 𝜙is 90◦. Here are two ways we\ncould do this.\nFirst, we could square both conditions and sub-\ntract:\n|𝑟2 −𝑡2|2 = |𝑟|4 + |𝑡|4 −𝑟2𝑡∗2 −𝑟∗2𝑡2 = 1\n(|𝑟|2 + |𝑡|2)2 = |𝑟|4 + |𝑡|4 −𝑟|𝑟|2|𝑡|2 = 1\n=⇒2|𝑟|2|𝑡|2 = 𝑟2𝑡∗2 + 𝑟∗2𝑡2 .\nHere, an asterisk denotes complex conjugation. This\nis equivalent to (𝑟𝑡∗+ 𝑟∗𝑡)2 = 1 or\n𝑟\n𝑡+ 𝑟∗\n𝑡∗= 0 .\n\nTheoretical Solutions\nThis says that 𝑟/𝑡is purely imaginary, so 𝑟and 𝑡must\nhave arguments that differ by ±90◦.\nAlternatively, we could let 𝑎= 𝑟2 and 𝑏= 𝑡2, so that\n(17) and (18) read\n|𝑎−𝑏| = 1\n|𝑎| + |𝑏| = 1 .\nUsing 𝑂to denote the origin and A and B, respec-\ntively, to denote the points 𝑎and 𝑏in the complex\nplane, consider the triangle OAB. The first condition\nabove implies that the length of side AB is 1. The sec-\nond implies that the sum of the lengths OA and OB\nis also 1. Thus, the points O, A and B must actually\nbe collinear, with O in between A and B. So, 𝑏and\n𝑎have arguments that differ by 180◦. Since 𝑎and 𝑏\nhave twice the arguments of 𝑟and 𝑡(respectively),\nthis means 𝑟and 𝑡must have arguments that differ\nby ±90◦.\nPart c\nWhen the laser is rapidly switched off, after\nthe amount of time it takes light to travel from the\nlaser to the first mirror, the incident wave will be re-\nmoved.\nSince |𝑡| ≪|𝑟|, the amplitudes |𝐵| and |𝐶| are very\nlarge. Furthermore, the difference between them is\nsmall. Physically, the interferometer contains a large\namount of electromagnetic energy in two waves of\nroughly equal intensity, propagating in either direc-\ntion.\nThis means, when this stored energy is re-\nleased from the interferometer, the release will be\nvery nearly symmetrical.\nApproximately the same\namount of energy will be released in either direction.\nSo, the energy contained in the pulse that propagates\ntowards the laser is must be about half of the stored\ninitial energy.\nTo find the stored energy, suppose the power\ncontained in each wave (forwards- and backwards-\npropagating) in region II is 𝑃′. The power transmit-\nting through the mirrors to leave the interferome-\nter is (1 −𝑅)𝑃′.\nSince this transmitted wave must\nperfectly cancel out the wave that reflects from the\nfirst mirror, which has power 𝑅𝑝≈𝑃, we must have\n𝑃′ ≈𝑃/(1 −𝑅). This means the initial energy stored\ninside the interferometer is\n𝑈≈\n2\n1 −𝑅\n𝐿𝑃\n𝑐\n,\nsince the energy of the two waves travelling in either\ndirection simply adds. Therefore, the energy in the\npulse that returns to the laser is\n𝐸≈\n1\n1 −𝑅\n𝐿𝑃\n𝑐\n.\nPart d\nThere are at least two ways of doing this\npart; see Solution 2 below for a second approach.\nThe stored energy is initially given by (19).\nThe\nPoynting flux out of the interferometer at the mo-\nment when the incoming beam has just switched off\nall the way to the surface of the first mirror is roughly\nd𝑈\nd𝑡= −2𝑃= −(1 −𝑅)𝑐\n𝐿\n𝑈,\n(19)\nsince the amplitudes of the waves propagating away\nfrom the interferometer in regions I and III are both\nroughly |𝐴|. We can assume that the stored energy\ndecays exponentially: if the field inside the device re-\nduces by a certain factor, then the amplitude of the\nwaves just outside will have reduced by the same fac-\ntor. So, the ratio between the stored energy inside\nand the outwards Poynting flux is roughly constant.\nFinding the time constant 𝑇so that 𝑈∝e−𝑡/𝑇satisfies\n(19) leads to\n𝑇≈\n1\n1 −𝑅\n𝐿\n𝑐.\nSince this is an estimate, and since the exact numer-\nical prefactor depends on whether we chose to use\nthe time constant for the decay in amplitude or en-\nergy, students can have any order-unity prefactor.\nSince the combination 𝐿/𝑐can be deduced by dimen-\nsional analysis, the marks should be awarded for get-\nting the correct dependence on 𝑅on.\nSolution 2\nPart a\nIt is possible to solve this problem by sum-\nming up an infinite series of complex amplitudes cor-\nresponding to the light waves that are reflected once,\ntwice, thrice, etc. from the mirror.\nLet us focus on the backwards-propagating wave\nin region I, which must vanish. In steady state, be-\nfore the laser is switched off, let the amplitude of the\nincident beam at 𝑥= 0 be 𝐴. Then, introducing ampli-\ntude reflection coefficients 𝑟and 𝑡as in Solution #1,\nthe amplitude of the backwards-propagating beam is\n𝑟𝐴[1 + 𝑡2(e2i𝑘𝐿+ 𝑟2e4i𝑘𝐿+ 𝑟4e6i𝑘𝐿+ . . .)] .\nThe first term represents the light that is reflected\nimmediately off the first mirror (factor 𝑟, without ev-\nery entering region II. The remaining terms repre-\nsent light that transmits through the first mirror (one\nfactor 𝑡), propagates from 𝑥= 0 to 𝑥= 𝐿and back\nsome number 𝑁of times (factor e2𝑁i𝑘𝐿due to the prop-\nagation and 𝑟2𝑁−1 for the correct number of reflec-\ntions) and transmits through the first mirror again\n(second factor of 𝑡. Summing the geometric series,\nthe backwards-propagating amplitude is\n𝑟𝐴\n\u0012\n1 +\n𝑡2e2i𝑘𝐿\n1 −𝑟2e2i𝑘𝐿\n\u0013\n= 0 .\nRearranging leads to the same condition (16) as in\nSolution #1.\nThe rest of the solution, to conclude\nthat 𝑟and 𝑡meet at a right angle and that 𝑡must have\na nonzero phase, can proceed as in Solution #1.\nPart b\nAs in Solution #1.\nPart c\nAfter the incident beam has switched off\nall the way to the interferometer, the beam the is\nreflected immediately off the first mirror switches\noff.\nThe other beams, corresponding to light that\nbounces some number 𝑁of times between the mir-\nrors, switches off slightly later. So, the backwards-\nreflected beam at first becomes\n𝑟𝐴[𝑡2(e2i𝑘𝐿+ 𝑟2e4i𝑘𝐿+ 𝑟4e6i𝑘𝐿+ . . .)] = −𝑟𝐴.\n\nTheoretical Solutions\nAt 𝑥= 0, this is the amplitude of the backwards-\nreflected beam for time Δ𝑡= 2𝐿/𝑐.\nThen, the wave that reflects once before leaving\nalso switches off, after time Δ𝑡.\nThe amplitude be-\ncomes\n𝑟𝐴[𝑡2(𝑟2e4i𝑘𝐿+ 𝑟4e6i𝑘𝐿+ . . .)] = 𝑟𝐴𝑡2𝑟2e4i𝑘𝐿\n1 −𝑟2e2i𝑘𝐿= 𝑟𝐴𝑟2 e2i𝑘𝐿\nfor the next Δ𝑡. Then, the wave that is reflected three\ntimes before leaving switches off, after time 2Δ𝑡. The\namplitude becomes\n𝑟𝐴[𝑡2(𝑟4e6i𝑘𝐿+ . . .)] = 𝑟𝐴𝑡2𝑟4e6i𝑘𝐿\n1 −𝑟2e2i𝑘𝐿= 𝑟𝐴𝑟4 e4i𝑘𝐿,\nand\nso\non.\nAfter\ntime\n𝑛Δ𝑡,\nthe\namplitude\nis\n−𝑟𝐴𝑟2𝑛e2𝑛i𝑘𝐿.\nThe modulus decreases by a factor of\n𝑅every Δ𝑡. This can be argued without a geometric\nseries; each wave has reflected two more times that\nthe previous one, so should have an amplitude that\nis a factor of 𝑅smaller.\nThe energy in the backwards-propagating pulse\nis the sum of the energies during the first, second,\nthird, etc Δ𝑡interval. This is\n𝑃Δ𝑡(|𝑟|2 + |𝑟|6 + |𝑟|8 + . . .) =\n|𝑟|2\n1 −|𝑟|4\n2𝐿𝑃\n𝑐\n≈\n1\n1 −𝑅\n𝐿𝑃\n𝑐\n.\nPart d\nSince the amplitude decays like\n𝑅𝑛= e−𝑛log 1/𝑅= e−log(1/𝑅)𝑡/Δ𝑡,\nthe energy decays like e−2 log(1/𝑅)𝑡/Δ𝑡.\nThe time con-\nstant of this roughly-exponential decay in energy is\n𝑇=\nΔ𝑡\n2 log(1/𝑅) ≈\n1\n1 −𝑅\n𝐿\n𝑐\nfor 1 −𝑅≪1.\nSolution 3\nPart a\nStudents might assume that the perpendicu-\nlar electric field is continuous across each of the mir-\nrors. While this is not the intended solution, since the\nquestion tells us nothing about the internal workings\nof the mirror, they should get credit for this. If the\nelectric field is continuous, then 1 + 𝑟= 𝑡. Combined\nwith |𝑟|2 + |𝑡|2 = 1, if 𝑟and 𝑡are real, these equations\ncan only be satisfied if (𝑟, 𝑡) = (0, 1) or (𝑟, 𝑡) = (−1, 0).\nSince there is reflected and transmitted light in this\nproblem, 𝑟and 𝑡must be complex numbers with a\nnonzero imaginary part.\nPart b\nUsing Pythagorus’s theorem, the angle be-\ntween 𝑟and 𝑡must be ±90◦(see figure).\nPart c\nAs in Solutions #2 and #3.\nPart d\nAs in Solutions #2 and #3.\nSolution 4\nHere is an alternative approach to parts a and b that\ndoes not require complex numbers or a geometric\nseries.\nParts a and b\nConsider the first mirror in isolation\nand suppose a light wave is incident upon it from the\nleft with amplitude 𝐴, as shown in the diagram below.\nThe reflected wave will have amplitude 𝐴\n√\n𝑅and may\nundergo a phase shift; we use 𝜃to denote its phase\nangle relative to the incident wave.\nSimilarly, the\ntransmitted wave has amplitude 𝐴\n√\n1 −𝑅and phase\nangle 𝜓relative to the incident wave.\nNow imagine a different scenario, in which there\nis a wave incident on the mirror from the right, as\nshown in Fig BLAH. This incident wave will have am-\nplitude 𝐴\n√\n𝑅/\n√\n1 −𝑅and a phase angle 𝜋+ 𝜃−𝜓. There\nwill be a reflected wave with amplitude 𝐴𝑅/\n√\n1 −𝑅(we\nmultiply the amplitude by\n√\n𝑅upon reflection) and\nphase angle 𝜋+ 2𝜃−𝜓(we add 𝜃to the phase upon\nreflection).\nThere will be a transmitted wave with\namplitude 𝐴\n√\n𝑅(we multiply the amplitude by\n√\n1 −𝑅\nupon reflection) and phase angle 𝜋+ 𝜃(we add 𝜓to\nthe phase upon reflection).\nNow we consider the superposition of these two\nscenarios. On the left side, the waves travelling to\nthe left cancel out, since they have the same ampli-\ntude but have phases differing by 𝜋.\nThis destruc-\ntive interference leaves a wave travelling to the right\nwith amplitude 𝐴. This is exactly what is happening\nat the first mirror of the interferometer. On the right\n\nTheoretical Solutions\nside, there is a leftwards-propagating wave and two\nrightwards-propagating waves, as shown below.\nNow we use the fact that the mirror is lossless, so\nthe light energy in the incoming waves in the figure\nabove must equal the light energy in the outgoing\nwaves. Since energy is proportional to the square of\nthe electric field, the incoming energy flux is propor-\ntional to\n𝐼in = 𝐴2 + 𝐴2\n\u0012\n𝑅\n1 −𝑅\n\u0013\n.\nThe outgoing energy flux is a little trickier to work\nout, since there are two superimposed waves travel-\nling out with different phases. It is\n𝐼out = 𝐴2(1 −𝑅) + 𝐴2\n\u0012 𝑅2\n1 −𝑅\n\u0013\n−2𝐴2𝑅cos\u0000𝜋+ 2(𝜃−𝜓)\u0001 .\n𝐼in = 𝐼out can be rearranged to give cos(𝜋+ 2(𝜃−𝜓)) = 0,\nso 2(𝜃−𝜓) is a multiple of 𝜋and 𝜃−𝜓is ±𝜋/2. The\nreflected and transmitted waves must be out of phase\nby 90◦.\nGrading\nPart a\nPart T3.a): Using sinusoidal waves\nPts.\nunderstanding that some light is initially re-\nflected without entering the interferometer\n0.3\nunderstanding that light bounces back and\nforth between the mirrors\n0.3\nusing one or two travelling waves in each re-\ngion\n0.4\nwriting equations relating amplitudes via 𝑟\nand 𝑡\n0.5\nsolving to obtain (16)\n0.6\nusing |𝑟|2 + |𝑡|2 = 1 or 𝑅+ 𝑇= 1\n0.5\nstating that this is a consequence of conser-\nvation of energy\n0.2\nindicating that the solutions 𝑟and 𝑡should be\ncomplex\n0.2\nTotal on T3.a)\n3.0\nPart T3.a): Summing geometric series\nPts.\nunderstanding that some light is initially re-\nflected without entering the interferometer\n0.3\nunderstanding that light bounces back and\nforth between the mirrors\n0.3\nidea of superposition of complex amplitudes\n0.2\ncorrectly including the effect on the ampli-\ntudes of reflection, transmission and propa-\ngation\n0.5\nsumming up complex amplitudes as a geo-\nmetric series\n0.4\nobtaining (16)\n0.4\nusing |𝑟|2 + |𝑡|2 = 1 or 𝑅+ 𝑇= 1\n0.5\nstating that this is a consequence of conser-\nvation of energy\n0.2\nunderstanding that the solutions 𝑟and 𝑡\nshould be complex\n0.2\nTotal on T3.a)\n3.0\nPart T3.a): Assuming 1 + 𝑟= 𝑡\nPts.\nunderstanding that some light is initially re-\nflected without entering the interferometer\n0.3\nunderstanding that light bounces back and\nforth between the mirrors\n0.3\nusing 1 + 𝑟= 𝑡\n0.7\njustification using continuity of electric field\nor thin-mirror arguments\n0.8\nusing |𝑟|2 + |𝑡|2 = 1 or 𝑅+ 𝑇= 1\n0.5\nstating that this is a consequence of conser-\nvation of energy\n0.2\nunderstanding that the solutions 𝑟and 𝑡\nshould be complex\n0.2\nTotal on T3.a)\n3.0\nPart b\nPart T3.b: Algebraic method\nPts.\nwriting 90◦\n0.5\ntaking modulus of (16) to get a condition in-\nvolving 𝑟and 𝑡only\n0.7\nSolving with 𝑟, 𝑡, 𝑟∗and 𝑡∗to find that 𝑟is an\nimaginary number times 𝑡\n0.8\nTotal on T3.b\n2.0\nPart T3.b: Geometric method\nPts.\nwriting 90◦\n0.5\ntaking modulus of (16) to get a condition in-\nvolving 𝑟and 𝑡only\n0.7\nusing a geometric argument to show that 𝑟\nand 𝑡must make a right angle\n0.8\nTotal on T3.b\n2.0\nNotes on T3.a) and T3.b): different conventions for\n𝑟and 𝑡(eg using −𝑟instead of 𝑟, different phase fac-\ntors) are allowed.\nPart c\nPart T3.c: Destructive interference\nPts.\n|B| and |C| are the same if |𝑡| ≪|𝑟|\n0.5\nApplying symmetry to show 2𝐸= 𝑈\n1.0\nFinding relation between P’ and P\n1.5\nCorrect value for U\n0.5\nCorrect value for E\n0.5\nTotal on T3.c\n4.0\n\nTheoretical Solutions\nPart T3.c: Geometric series\nPts.\nShowing, perhaps just by reasoning, that the\npower propagating out through the first mir-\nror decreases by a factor 𝑅2 every Δ𝑡\n1.5\nMultiplying by Δ𝑡to convert power or inten-\nsity to energy\n0.5\nSumming a geometric series to find the total\nenergy E\n1.5\nCorrect value for E\n0.5\nTotal on T3.c\n4.0\nPart d\nPart T3.d: Removing waves\nPts.\nStated that energy reduces by factor 𝑅2 each\ntime a wave is removed\n0.2\nUsing the fact that this reduction occurs at\nintervals Δ𝑡\n0.4\nSome valid mathematical argument from\nhere that obtains the correct 𝑇when 1−𝑅≪1\n0.4\nTotal on T3.d\n1.0\nPart T3.d: Exponential decay m\nPts.\nStated the decay is roughly exponential\n0.2\nState the outwards energy flux\n0.4\nUse this to determine decay constant\n0.4\nTotal on T3.d\n1.0\nNotes on T3.d): no marks for dimensional analysis to\nobtain the combination 𝐿/𝑐. The numerical prefactor\nis irrelevant provided it is order unity (e.g.\nln 2 for\nhalf-life). Any equivalent form, assuming 1 −𝑅≪1, is\nacceptable.\n","shared":true,"sourcePages":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14],"initialPage":4}},{"id":"eupho-2024-t3","importedOn":"2026-10-28","language":"en","sources":[{"url":"https://eupho.ee/wp-content/uploads/2024/07/EuPhO_2024_theory_final.pdf","kind":"statement"},{"url":"https://eupho.ee/wp-content/uploads/2024/07/EuPhO_2024_theory_sol.pdf","kind":"solution"}],"statement":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/eupho-2024-statement/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/eupho-2024-statement/page-1.webp","width":982,"height":1389}],"text":"Theoretical Problems. Language: English\nT1: Sliding puck (10 pts)\nA puck (a small disc) with radius 𝑟and uniform den-\nsity is moving on a horizontal plane with the veloc-\nity 𝑣0 without rotation. The puck meets a fixed half-\ncircular wall with a radius 𝑅≫𝑟and starts to move\nalong the wall.\nThe coefficient of friction with the\nwall is 𝜇, and friction with the horizontal plane is neg-\nligible.\na) (8 pts) Find the velocity of the puck 𝑣𝑒when it\nleaves the wall.\nb) (2 pts) Sketch the graph 𝑣𝑒(𝜇). Indicate impor-\ntant features of the graph. You are encouraged\nto sketch the graph even if you haven’t found the\nexact formula for 𝑣𝑒.\nT2: Spaceships (10 pts)\nAlice and Bob are twin astronauts on a long space\nmission. After many years, they are finally approach-\ning each other to reunite. Alice’s spaceship is moving\ntowards Bob’s spaceship at a speed of 𝑢= 3\n5𝑐, where\n𝑐is the speed of light.\nDuring their approach, both Alice and Bob send\ngifts to each other. Alice sends gifts to Bob at regu-\nlar time intervals Δ𝑡0 in her own frame of reference,\nwith each gift travelling at a velocity 𝑣= 4\n5𝑐(again, in\nher frame of reference). Similarly, Bob sends gifts to\nAlice at the same regular time intervals Δ𝑡0 in his own\nframe of reference, with each gift also travelling at a\nvelocity 𝑣= 4\n5𝑐in his frame of reference. Assume that\nthe distance 𝐿between Alice and Bob is so large that\nthere are many gifts in transit at any given moment.\na) (5 pts) In Bob’s reference frame, find\n(i) the distance between two successive gifts\nsent by Alice, and\n(ii) the time interval Δ𝑡1 at which these gifts from\nAlice arrive at Bob’s spaceship.\nb) (5 pts) At a given instant, Alice can see a num-\nber of gifts moving away from her and a number\nof gifts moving towards her.\nWhat is the ratio\nbetween these two numbers?\nT3: Fabry–Pérot interferometer (10 pts)\nA Fabry–Pérot interferometer consists of two identi-\ncal parallel planar mirrors separated by a distance 𝐿.\nThe space between and outside the mirrors is filled\nwith air. The mirrors are partially reflective; when\nlight is aimed towards one of these mirrors along the\nnormal direction, the reflected beam has intensity\n𝑅< 1 times the intensity of the incident beam. As-\nsume that the mirrors are symmetric, meaning they\ninteract the same way with light incident from either\nside, and lossless. Assume also that they are highly\nreflective, meaning 1 −𝑅≪1. A monochromatic laser\nbeam of power 𝑃is aimed towards the interferome-\nter perpendicular to the mirrors. The distance 𝐿is\nchosen so that the back-reflected beam vanishes, i.e.\nall the optical power is transmitted through the in-\nterferometer.\na) (3pts) Show that the laser beam must acquire a\nnonzero phase shift 𝜙when it passes through ei-\nther of the mirrors.\nb) (2pts) Find the magnitude of 𝜙.\nc) (4pts) At a certain moment, the incident laser\nbeam is switched off rapidly. Find the total en-\nergy of the light that travels back from the in-\nterferometer towards the laser after the laser is\nswitched off.\nd) (1pt) Estimate the duration of the light pulse that\ntravels back towards the laser.\n","shared":true,"sourcePages":[1],"initialPage":1},"solution":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/eupho-2024-solution/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/eupho-2024-solution/page-1.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2024-solution/page-2.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2024-solution/page-3.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2024-solution/page-4.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2024-solution/page-5.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2024-solution/page-6.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2024-solution/page-7.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2024-solution/page-8.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2024-solution/page-9.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2024-solution/page-10.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2024-solution/page-11.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2024-solution/page-12.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2024-solution/page-13.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2024-solution/page-14.webp","width":982,"height":1389}],"text":"Theoretical Solutions\nT1: Sliding puck - Solution\nWhen the puck moves along the wall, two forces\n(in addition to gravity and the normal force of the\nhorizontal ground, which cancel each other out) act\non it: the normal force of the wall (which changes\nthe direction of motion of the puck) and the friction\nbetween the puck and the wall (which changes the\nspeed of the puck and also causes the puck to start\nrotating).\nSo as the puck moves along the circular wall, the\nspeed of the puck decreases and the angular veloc-\nity of the puck’s rotation around its vertical axis in-\ncreases. The motion of the puck is rolling with slid-\ning along the wall. At a certain point in time 𝑡1, the\ncontact point of the puck may have zero velocity and\nkinetic friction becomes static. From this point on-\nwards, the puck will be rolling without sliding along\nthe wall.\nFrom the zero velocity of the contact point, we find\nthe relationship 𝜔= 𝑣/𝑟.\nLet’s focus on rolling with sliding first. The normal\nforce ®𝑁of the wall on the puck is also perpendicular\nto the velocity of the puck at any instantaneous po-\nsition of the puck. Force ®𝑁changes the direction of\nthe velocity ®𝑣. From Newton’s law in normal direc-\ntion, we find 𝑁= 𝑚𝑣2/𝑅, where 𝑚is the mass of the\npuck. Thus, the magnitude of the frictional force is\n𝐹𝑓= 𝜇𝑁= 𝜇𝑚𝑣2/𝑅.\nSolution 1: The equation for the translational mo-\ntion of the puck is\n𝑚𝑑𝑣\n𝑑𝑡= −𝜇𝑚𝑣2\n𝑅\nand in the integral form including the initial condi-\ntions\n∫𝑣\n𝑣0\n𝑑𝑣\n𝑣2 = −𝜇\n𝑅\n∫𝑡\n0\n𝑑𝑡\nwhere the time 𝑡= 0 is the time at which the puck\nmeets the semicircular wall and has the initial veloc-\nity 𝑣0. Solving the integrals gives\n−1\n𝑣+ 1\n𝑣0\n= −𝜇\n𝑅𝑡\n(1)\nwhich leads to\n𝑣(𝑡) =\n𝑣0\n1 + 𝑡/𝜏\n(2)\nwhere 𝜏= 𝑅/𝑣0𝜇. The graph drawn with the solid red\nline shows the time dependence of 𝑣.\nThe rotation of the puck around its axis of symme-\ntry is caused by the torque of the frictional force act-\ning on the puck at the point of contact between the\npuck and the wall, 𝑀𝑓= 𝑟𝐹𝑓= 𝑟𝜇𝑚𝑣2/𝑅, where the ra-\ndius of the puck 𝑟is the arm. The equation for the ro-\ntational motion of the puck, which results from New-\nton’s second law 𝐼𝑑𝜔/𝑑𝑡= 𝑀𝑓, can be written as\n𝑟𝑑𝜔\n𝑑𝑡= 𝜇𝑚𝑟2\n𝑅𝐼\n𝑣2 = 2𝜇\n𝑅·\n𝑣2\n0\n(1 + 𝑡/𝜏)2\nwhere 𝐼= 𝑚𝑟2/2 is the moment of inertia of the puck\nfor rotations around its axis of symmetry and 𝜔is\nthe angular velocity of this rotation.\nThe product\n𝑟𝜔gives the relative speed of the point of contact\nbetween the puck and the wall with respect to the\npuck’s center of mass. The integral form of this equa-\ntion, including the initial conditions, is\n𝑟\n∫𝜔\n0\n𝑑𝜔= 2𝑣0\n𝜏\n∫𝑡\n0\n𝑑𝑡\n(1 + 𝑡/𝜏)2\nand the solution is\n𝑟𝜔= 𝑣0\n2𝑡/𝜏\n1 + 𝑡/𝜏.\n(3)\nThe graph of 𝑟𝜔(𝑡) is drawn by the blue line.\nThe two solutions (2) and (3) are only valid up to\nthe time 𝑡1 at which the functions 𝑣(𝑡) and 𝑟𝜔(𝑡) inter-\nsect, 𝑣(𝑡1) = 𝑟𝜔(𝑡1). At this moment, the points on the\npuck that touch the wall no longer move in relation\nto the wall and the puck no longer slides along the\nwall. There is no more friction. From this moment\non, the motion of the puck is a frictionless translation\nand rotation with 𝑣= 𝑣(𝑡1) = 𝑣1 and 𝜔= 𝑣1/𝑟. For 𝑡1 we\nget 𝑡1 = 𝜏/2. At 𝑡1, the translational speed is 𝑣1 = 2𝑣0/3.\nThere are two possible scenarios for the motion of\nthe puck along the semicircular wall: it rolls with\nsliding along the entire wall or it starts rolling some-\nwhere along this path without sliding. To see what\nhappens, and also to get the exit velocity of the puck\n𝑣𝑒, we need to calculate how the path of the puck in-\ncreases with time, which is defined by equation (2),\n𝑑𝑙/𝑑𝑡= 𝑣(𝑡). We integrate in time from 𝑡= 0 to 𝑡and in\ndistance from 0 to 𝑙and get\n𝑡= 𝜏\n\u0012\nexp\n\u0012 𝑙\n𝑣0𝜏\n\u0013\n−1\n\u0013\n.\n(4)\n\nTheoretical Solutions\nIf we use 𝑙𝑒= 𝜋𝑅, equation (4) gives the time 𝑡𝑒= 𝑡(𝑙𝑒) =\n𝜏(exp 𝜋𝜇−1).\nIf 𝑡𝑒> 𝑡1 = 𝜏/2 i.e. 𝜋𝜇> ln 3\n2, then the puck starts\nto roll somewhere on its semicircular path along the\nwall without sliding and its speed when leaving the\nwall is 𝑣𝑒= 𝑣1 = 2𝑣0/3.\nIf 𝑡𝑒≤𝑡1 = 𝜏/2 i.e. 𝜋𝜇≤ln 3\n2, then the puck still rolls\nwith sliding when it leaves the wall, since its trans-\nlational speed 𝑣𝑒is still greater than 2𝑣0/3. The exit\nspeed is obtained from (4) by inserting 𝑡= 𝑡𝑒,\n𝑣𝑒= 𝑣(𝑡= 𝑡𝑒) = 𝑣0 exp(−𝜋𝜇).\n(5)\nThe graph 𝑣𝑒(𝜇) is shown in the figure.\nSolution 2: The equation for the translational mo-\ntion of the puck is\n𝑚𝑑𝑣\n𝑑𝑡= −𝜇𝑚𝑣2\n𝑅\nwhich can be rewritten with 𝑑𝑙= 𝑣𝑑𝑡= 𝑅𝑑𝜑as\n𝑑𝑣\n𝑣= −𝜇\n𝑅𝑑𝑙= −𝜇𝑑𝜑.\nWe recognize the dependence of 𝑣on 𝜑;\n𝑣= 𝑣0 exp(−𝜇𝜑),\n(6)\nwhere 𝜑= 0 at the beginning of the semicircular wall\nand 𝜑= 𝜋at its end.\nIt describes the dependence\nof 𝑣on 𝜑under the condition that the puck rolls and\nslides at the same time.\nDue to the torque of the frictional force the puck\nalso starts to roll along the wall and its instantaneous\nangular velocity is 𝜔.\nLet us introduce the speed\n𝑣′ = 𝑟𝜔: when 𝑣′ reaches the instantaneous speed 𝑣, it\nno longer changes (see Solution #1 for explanation).\nThe equation for the rotational motion of the puck is\n(see Solution #1 for explanation)\n𝑟𝑑𝜔\n𝑑𝑡= 𝑑𝑣′\n𝑑𝑡= 𝜇𝑚𝑟2\n𝑅𝐼\n𝑣2.\nHaving already written the function 𝑣(𝜑) (6), we\nalso want to write 𝑣′ as a function of 𝜑. We start with\nthe relation\n𝑑𝑣′\n𝑑𝑡= 𝑑𝑣′\n𝑑𝜑\n𝑑𝜑\n𝑑𝑡\nand with the use of 𝑑𝜑/𝑑𝑡= 𝑣/𝑅we get\n𝑑𝑣′ = 2𝜇𝑣0 exp(−𝜇𝜑)𝑑𝜑\nand solving a simple integral\n∫𝑣′\n0\n𝑑𝑣′ = 2𝜇𝑣0\n∫𝜑\n0\nexp(−𝜇𝜑)𝑑𝜑\nwe get\n𝑣′(𝜑) = 𝑟𝜔(𝜑) = 2𝑣0(1 −exp(−𝜇𝜑)).\n(7)\nIf we equate 𝑣and 𝑣′, we get a critical angle 𝜑𝑐at\nwhich rolling with sliding changes to rolling without\nsliding,\n𝜇𝜑𝑐= ln 3\n2.\nAt the critical angle,\nthe final velocity is 𝑣𝑓\n=\n𝑣0 exp(−𝜇𝜑𝑐) = 2𝑣0/3.\nIf 𝜑𝑐> 𝜋i.e. 𝜇𝜋< ln 3\n2, the puck still slides at the\nexit with the exit speed 𝑣𝑒= 𝑣0 exp(−𝜇𝜋) and if 𝜑𝑐≤𝜋\ni.e. 𝜇𝜋≥ln 3\n2, the puck rolls at the exit without sliding\nwith the final speed 𝑣𝑒= 𝑣𝑓= 𝑣(𝜑𝑐) = 2𝑣0/3.\nFrom the way the problem is solved in the second\nsolution, it can be seen that the exit speed of the puck\ndoes not depend on a particular shape of the wall;\nthe speed and the angular velocity depend only on 𝜑\n(and the friction coefficient 𝜇). For example, the wall\ncould be elliptical instead of a semicircle (or have a\ndifferent shape).\nsuggestions for marking scheme\nPart T1.a): Scores\nPts.\nrealizing that puck is sliding initially\n0.3\nrealizing that puck may roll without sliding\n0.3\nstating that sliding ends when roll condition\n𝑣= 𝑟𝜔is met\n0.3\nequating the normal force with 𝑚𝑣2/𝑅\n0.3\nusing 𝐹𝑓= 𝜇𝑁for the friction force\n0.3\nequation of motion (eom) for translation (-0.2\nfor wrong sign)\n0.4\ngiving integral expression for translational\neom with correct initial conditions\n0.5\ngiving expression for 𝑣as function of time or\nangle as in eq. (2) or (6)\n1.0\nequation of motion (eom) for rotation\n0.4\nusing 𝐼= 𝑚𝑟2/2 as moment of inertia\n0.3\ngiving integral expression for rotational eom\nwith correct initial conditions\n0.5\ngiving expression for 𝑟𝜔as function of time\nor angle as in eq. (3) or (7)\n1.0\ngetting time\n𝑅\n2𝑣0𝜇or angle ln( 3\n2)/𝜇for transi-\ntion to rolling without sliding\n0.5\nobtaining critical coefficient of friction 𝜇𝑐=\nln(3/2)/𝜋\n0.5\nfinding final velocity\n2\n3𝑣0 for rolling without\nsliding\n0.4\nfinding velocity 𝑣𝑒if puck slides the whole\ntime\n1.0\nTotal on T1.a)\n8.0\n\nTheoretical Solutions\nPart T1.b): Scores\nPts.\ngraph has suitably labelled axis\n0.2\ninitial speed 𝑣0 indicated in graph\n0.2\ngraph shows 𝑣𝑒decreasing with 𝜇initially\n0.3\ninitial exponential decrease of 𝑣𝑒with 𝜇indi-\ncated in graph\n0.3\ncritical point exists and is indicated in graph\n0.4\nconstant speed after the critical point\n0.4\nobviously not smooth function at critical\npoint\n0.2\nTotal on T1.b)\n2.0\nGeneral rules for marking in T1:\n• The grain size for marking is 0.1 Pts.\n• Partial marks can be awarded for most aspects.\n• For each mistake in calculation (algebraic or nu-\nmeric) 0.2 Pts. are deducted.\n• If a mistake leads to a dimensionally incorrect ex-\npression no marks are given for the result.\n• Propagating errors are not punished again unless\nthey are dimensionally wrong or entail oversim-\nplified/wrong physics (e.g. neglecting friction ef-\nfects).\n\nTheoretical Solutions\nT2: Spaceships - Solution\nAnalytical Solutions\nLet us denote the reference frames of Alice, Bob and\ngift by 𝐴, 𝐵, 𝐺, respectively. We shall use the notation\n𝛾𝑣=\n1\n√\n1−𝑣2/𝑐2 .\nPart a) (i)\nSolution 1:\nLet 𝑙𝑥be the distance between two gifts\nin frame 𝑥. Since 𝐺is the rest frame of the gifts, we\nhave 𝑙𝐴= 𝑙𝐺/𝛾𝑣, 𝑙𝐵= 𝑙𝐺/𝛾𝑣𝐵, where 𝑣𝐵is the relative ve-\nlocity of frames B and G. According to the formula for\nrelativistic addition of velocities, the relative velocity\n𝑣𝐵is given by\n𝑣𝐵=\n𝑢+ 𝑣\n1 + 𝑢𝑣/𝑐2 = 35\n37𝑐,\n(8)\nwhere we used the values 𝑢=\n3\n5𝑐, 𝑣=\n4\n5𝑐.\nTogether\nwith 𝑙𝐴= 𝑣Δ𝑡0 this gives\n𝑙𝐵= 𝑣Δ𝑡0\n𝛾𝑣\n𝛾𝑣𝐵\n= 16\n37Δ𝑡0𝑐.\nSolution 2:\nLet us consider the two events that gift\n1 is sent and the consecutive gift 2 is sent. Accord-\ning to Lorentz-transformation, if an event has coordi-\nnates 𝑡, 𝑥in a certain reference frame, the same event\nhas coordinates 𝑡′ = (𝑡−𝑢𝑥/𝑐2)𝛾𝑢, 𝑥′ = (𝑥−𝑢𝑡)𝛾𝑢, where\n𝑢is the relative velocity of the reference frames. In\nA, these events have coordinates (𝑡1,𝐴, 𝑥1,𝐴) = (0, 0) and\n(𝑡2,𝐴, 𝑥2,𝐴) = (Δ𝑡0, 0). The relative velocity of A and B\nis −𝑢. Therefore, in B these events have coordinates\n(𝑡1,𝐵, 𝑥1,𝐵) = (0, 0) and (𝑡2,𝐵, 𝑥2,𝐵) = (𝜏𝛾𝑢, 𝑢Δ𝑡0𝛾𝑢).\nWe thus need to determine the position of gift 1 at\ntime 𝑡2,𝐵in frame 𝐵. If 𝑣𝐵is the relative velocity of the\ngift and 𝐵given by (8), the position of gift 1 is given\nby 𝑥1,𝐵(𝑡2,𝐵) = 𝑣𝐵𝑡2,𝐵. Hence, in frame B the distance\nbetween the two gifts is\n𝑙𝐵= 𝑥1,𝐵(𝑡2,𝐵) −𝑥2,𝐵(𝑡2,𝐵) = (𝑣𝐵−𝑢)Δ𝑡0𝛾𝑢= 16\n37Δ𝑡0𝑐.\nSolution 3:\nThe time interval Δ𝑡0\n= Δ𝑡0,𝐴is the\nproper time of events in Alice’s frame (Alice send-\ning gifts, which happen at the same location in Al-\nice’s frame), which is moving with 𝑢in Bob’s frame.\nTime interval between these events in Bob’s frame\nis Δ𝑡0,𝐵= 𝛾𝑢Δ𝑡0,𝐴. The speed of the gift Alice sent in\nAlice’s frame is 𝑣𝐴= 𝑣=\n4\n5𝑐and in Bob’s frame the\nspeed of the gift is 𝑣𝐵as found in (8). In Bob’s frame\nin the time interval Δ𝑡0,𝐵two gifts are sent. During\nthis time the Alice’s ship has moved for 𝑢Δ𝑡0,𝐵, the pre-\nviously sent gift for 𝑣𝐵Δ𝑡0,𝐵and the distance between\nboth gifts in Bob’s frame is\n𝑙𝐵= (𝑣𝐵−𝑢)Δ𝑡0,𝐵= 16\n37𝑐Δ𝑡0.\nSolution 4:\nIf a student solves Part (ii) first, then\nthe distance between two of the gifts from Bob in\nAlice’s reference frame is the product of the time be-\ntween arrival, Δ𝑡1, and the speed of Bob’s gift in Al-\nice’s frame, which is found from the relativistic ve-\nlocity addition in Eq. 8. Then\n𝑙𝐵= 𝑣𝐵Δ𝑡1 =\n\u0012\n35\n37\n\u0013\n𝑐\n\u0012\n16\n35\n\u0013\nΔ𝑡0 = 16\n37𝑐Δ𝑡0\nPart a) (ii)\nSolution 1\nAssuming that the Part (i) is solved first\nThe time interval is given by\nΔ𝑡1 = 𝑙𝐵\n𝑣𝐵\n= 16\n35Δ𝑡0\nProblem 2.(a): Using Solution 1\npts\nFormula for relativistic addition of velocities\n0.5\neach mistake -0.3\nSpeed 𝑣𝐵of Alice’s gift in 𝐵(35/37 = 0.945)\n0.5\nmust have correct formula\nFind 𝑙𝐴\n0.5\n𝛾formula\n0.3\neach mistake -0.2\n𝑙1 = 𝑙2/𝛾only true in rest frame\n0.7\nBoost 𝑙𝐴to 𝐺frame\n0.3\neach mistake -0.1\nBoost from 𝐺frame to 𝑙𝐵\n0.2\neach mistake -0.1\nCollect expressions for 𝑙𝐵\n0.5\ncorrect numerical result (16/37 = 0.432)\n0.5\nmust have correct formula\nΔ𝑡1 = 𝑙𝐵/𝑣𝐵\n0.5\ncorrect numerical result (16/35 ≈0.457)\n0.5\nmust have correct formula\nTotal for 2.(a)\n5.0\n\nTheoretical Solutions\nProblem 2.(a): Using Solution 2 or 3\npts\nFormula for relativistic addition of velocities\n0.5\neach mistake -0.3\nSpeed 𝑣𝐵of Alice’s gift in 𝐵(35/37 = 0.945)\n0.5\nmust have correct formula\n𝛾formula\n0.3\neach mistake -0.2\nbecause two subsequent gifts are sent from\nthe same place in Alice’s frame\n0.7\nΔ𝑡0,𝐵= 𝛾𝑢Δ𝑡0\n0.3\neach mistake -0.1\nIn Bob’s frame, second gift at position 𝑢Δ𝑡0,𝐵\nwhile first gift at 𝑣𝐵Δ𝑡0,𝐵\n0.7\neach mistake -0.2\nCollect expressions for 𝑙𝐵\n0.5\ncorrect numerical result (16/37 = 0.432)\n0.5\nmust have correct formula\nΔ𝑡1 = 𝑙𝐵/𝑣𝐵\n0.5\ncorrect numerical result (16/35 ≈0.457)\n0.5\nmust have correct formula\nTotal for 2.(a)\n5.0\nImportant Notes for marking Problem 2\n• Correct final answers without justification can re-\nceive full marks; incorrect final answers without\njustification will receive no marks, even if the an-\nswer is “close” or if it can be guessed what the\nerror was.\n• The statement “must have correct formula” means\nthat the any immediately preceeding symbolic for-\nmula to the numerical number must be correct to\nreceive any points for a numerical answer.\n• Correct numerical result is dependent only on the\nimmediate formula from which it is computed.\n• A dimensionally incorrect formula gets zero marks.\n• Student can define 𝑐= 1 explicitly without penalty,\nbut inconsistencies are treated as errors.\n• Follow on errors normally only have penalty at\npoint of error\n• Numerical results that are follow on errors are not\npenalized twice\n• must have recognized light time correction need\nat least once to get points for ratio formula AND\nresult\n• Transcription errors are errors\n• If Part a) is solved without the explicit use of spe-\ncial relativity, then the maximum possible for part\na) is 0.5 pts.\n• If Part b) is solved without the explicit use of spe-\ncial relativity, then no points are awarded.\n• For final answer on Part b), must have correct for-\nmula; non integer numbers that round to 18 get\nonly +0.2 pts.\n• Any other mistakes or errors not explicity covered\nin the marking schemes should be treated a fully\nwrong for the category; so if a category is listed\nas 0.6, and the student work is incorrect, and no\nother disclaimer applies, then the score would be\n0.\n• If a student could only reasonably have correctly\ncompleted some task by correctly doing the previ-\nous tasks, then the previous tasks should be fully\nawarded, even if not explicitly written. However, if\nthe tasks are written, and have errors, the student\nwill get the appropriate deductions.\n• If it can be argued that a student could only reason-\nably have completed some task by correctly doing\nthe previous tasks, but the answer to the shown\ntask is incorrect, then the previous tasks should\nreceive zero marks if not explicitly shown.\nPart (b)\nSolution 1:\nSuppose that at 𝑡0,𝐴= 0 Alice sees Bob’s\nspaceship at distance 𝑑𝐵. The time that the light trav-\nelled from Bob to Alice is 𝑡𝑙= 𝑑𝑏/𝑐. (In Alice’s frame,\nthe actual distance from Alice to Bob’s spaceship is\n𝐿= 𝑑𝑏−𝑢𝑑𝑏/𝑐.)\nLet us first compute the number of visible outgoing\ngifts. Alice sees all gifts she sent until she sees them\nreach the spaceship. Consider the gift which Alice\njust sees arriving at Bob, which is the oldest visible\ngift. If this gift flew past Bob’s ship, it would be lo-\ncated at distance 𝑑𝑏+ 𝑣𝑡𝑙. Therefore the number of\ngifts between the oldest visible gift and Alice is\n𝑁𝑜𝑢𝑡= 𝑑𝑏+ 𝑣𝑡𝑙\n𝑙𝐴\n= 𝑑𝑏(1 + 𝑣/𝑐)\n𝑣Δ𝑡0\n.\nAlternatively, one can observe that 𝑑𝑏/𝑙𝐴gifts were\nbetween the considered gift and Alice at time −𝑡𝑙.\nDuring time 𝑡𝑙Alice sent out an additional number\n𝑡𝑙/Δ𝑡0 gifts, giving 𝑁𝑜𝑢𝑡=\n𝑑𝐵\n𝑣Δ𝑡0 +\n𝑑𝐵\n𝑐Δ𝑡0 .\nWe now compute the number of visible incoming\ngifts.\nAlice sees the newest visible gift just leave\nBob’s ship. In Alice’s frame, the actual distance of\nher to the newest visible gift is 𝑑𝐵−𝑣𝐵𝑡𝑙= 𝑑(1 −𝑣𝐵/𝑐).\nThe distance between incoming gifts is 𝑙𝐵, which was\ncomputed in part a). Hence, the number of visible\nincoming gifts is\n𝑁𝑖𝑛= 𝑑𝐵(1 −𝑣𝐵/𝑐)\n𝑙𝐵\n= 𝑑𝐵(1 −𝑣𝐵/𝑐)\nΔ𝑡0𝑐\n37\n16\nIn total, we have\n𝑁𝑜𝑢𝑡\n𝑁𝑖𝑛\n= (1 + 𝑣/𝑐)𝑐\n(1 −𝑣𝐵/𝑐)𝑣\n16\n37 = 18\nSolution 2\nSince both Alice and Bob send the gifts\nin exactly the same way and their relative speed to\neach other is also the same (which is always the\ncase), there is symmetry between them.\nBob sees\nexactly the same number of gifts he will receive as\nAlice, and the same is true for the gifts sent. So we\ncan continue in Bob’s frame (where Bob is station-\nary).\nFirst, let us look at the gifts Bob receives (and we\nstay in his frame the whole time). Between Bob and\nAlice at any moment, there are a finite number of\ngifts that have already been sent by Alice and not yet\nreceived by Bob. However, Bob does not see them all\nbecause the light of the most distant gift has not yet\nreached him. The furthest gift #A that Bob can see\nwas sent to him at time 𝑡= 0 (in Bob’s frame) and Bob\nsees it for the first time at time 𝑡1, when it has already\n\nTheoretical Solutions\ntraveled the distance 𝑣𝐵𝑡1 and the light of this gift,\nemitted at time 𝑡= 0 (when it was sent) has traveled\nthe distance 𝑐𝑡1 and has just reached him (at time 𝑡1\nBob sees the gift #A sent from Alice’s position at time\n𝑡= 0). The distance between two consecutive gifts\nmoving towards Bob is 𝑣𝐵Δ𝑡1 (see part (ii), solution\n1). The number of gifts that Bob sees at any point in\ntime and that move towards Bob is\n𝑁𝐴→𝐵= (𝑐−𝑣𝐵)𝑡1\n𝑣𝐵Δ𝑡1\n.\n(9)\nLet us now turn to the gifts that Bob sends to Alice.\nBob sees all his gifts that have not yet reached Alice\nat the time of observation, and some more that have\nbeen with Alice for some time and are probably eaten\n– only the information about the receipt of the gifts\nhas not yet reached Bob. Let the moment 𝑡= 0 be\nthe moment at which the gift #B sent by Bob reaches\nAlice. At this moment, the light from Alice begins to\ntravel back to Bob with the information about the re-\nceipt of the gift and reaches Bob at time 𝑡1 – then Bob\nrealizes that the gift #B has been received. Between\n𝑡= 0 and 𝑡1, Bob regularly sends more gifts in the\nusual way; therefore, there are more gifts that Bob\ncan see on the way to Alice than there actually are\n(remember: we are always talking about how things\nare in Bob’s frame; when and where they happen).\nIt’s practically the same as the received gift #B moves\nfurther beyond Alice and travels an additional dis-\ntance 𝑣𝑡1 before Bob realizes it’s being received by\nAlice. The number of gifts that Bob sees at any point\nin time and that move away from Bob is\n𝑁𝐵→𝐴= (𝑐+ 𝑣)𝑡1\n𝑣Δ𝑡0\n.\n(10)\nThe gift #𝐴is sent by Alice to Bob at time 𝑡= 0 and at\nthe same moment Alice receives the gift #𝐵from Bob\n(same time and place), and Bob observes travelling\ngifts at time 𝑡1.\nThe ratio of the number of gifts moving away from\nhim and towards him is\n𝑁𝐵→𝐴\n𝑁𝐴→𝐵\n= (𝑐+ 𝑣)𝑡1\n𝑣Δ𝑡0\n𝑣𝐵Δ𝑡1\n(𝑐−𝑣𝐵)𝑡1\n= (𝑐+ 𝑣)𝑣𝐵Δ𝑡1\n𝑣Δ𝑡0(𝑐−𝑣) = 18,\n(11)\nwhere the previously obtained relationships Δ𝑡1 =\n16\n35Δ𝑡0 and 𝑣𝐵= 35\n37𝑐were used together with the given\n𝑣= 4\n5𝑐.\nProblem 2.(b)\npts\nIdentify a distance to Bob 𝑑𝐵\n0.3\nLight time to Bob 𝑡𝑙\n0.5\nRecognize need to correct for light time\n0.5\n𝑑𝐴𝐺= 𝑑𝐵+ 𝑡𝑙𝑣\n0.9\neach mistake -0.3\n𝑁𝑎→𝑏= 𝑑𝐴𝐺/𝐿𝐴\n0.2\nRecognize need to correct for light time\n0.5\n𝑑𝐵𝐺= 𝑑𝐵−𝑡𝑙𝑣𝐵\n0.9\neach mistake -0.3\n𝑁𝑏→𝑎= 𝑑𝐵𝐺/𝐿𝐵\n0.2\nsymbolic ratio\n0.5\neach mistake -0.2\ncorrect numerical result (18)\n0.5\nmust have correct formula\nTotal for 2.(b)\n5.0\nGraphical Solutions\nThroughout the graphical solution, it is assumed that\n𝑐= 1 and Δ𝑡0 = 1. In order to return to a consistent\nsolution, make sure to include these factors appro-\npriately in the final answer.\nPart a)i\nThe question is asking for the separation between\ntwo events that happen at the same time in Bob’s\nreference frame. The graph is in Alice’s reference\nframe, also shown in the graph are the world line of\nBob, with a slope of −5/3, and the 𝑥-axis of Bob, with\na slope of −3/5. The red circle on Alice’s world line is\nthe launch of a gift from Alice, the black circle at the\norigin is another launch of a gift from Alice.\n𝑥Alice\n𝑡Alice\n𝑡Bob\n𝑥Bob\n( 20\n37, −12\n37)a = ( 16\n37, 0)b\nO\nΔ𝑡0\nWe are interested in the intersection of the first\nlaunched gift, which has a slope of 5/4, where it\ncrosses the 𝑥axis of Bob. In Alice’s reference frame,\nthat point is\n(𝑥, 𝑡) =\n\u0012\n20\n37, −12\n37\n\u0013\n\nTheoretical Solutions\nApplying the Lorentz transform into Bob’s refer-\nence frame,\nΔ𝑡1 = 5\n4\n\f\f\f\f\n20\n37 −\n\u0012−3\n5\n\u0013 \u0012−12\n37\n\u0013\f\f\f\f = 16\n37\nAlternatively, it is possible to focus on the Lorentz\ninvariant expression,\n(𝑡a)2 −(𝑥a)2 = (𝑡b)2 −(𝑥b)2\nwhere 𝑡𝑏= 0, and arrive at the same result.\nPart a)ii\nIt is expected that most students will get an answer\nthat depends on the result of Part a)i, and the tech-\nnique is outlined in the analytical section.\nIt is also possible to solve Part a)ii without solving\nPart a)i. Consider world-lines for Alice and Bob that\nintersect at the origin, and assume that both send a\ngift to the other at this intersection.\n𝑥\n𝑡Alice\nBob\n( 12\n35, −20\n35)a = (0, −16\n35)b\nO\nΔ𝑡0\nΔ𝑡1\nThe question is asking for the time interval be-\ntween two events that happen in the same place in\nBob’s reference frame.\nThe world-line of Bob has a slope of -5/3; the world-\nline of the gift from Alice has a slope of 5/4. Assuming\nΔ𝑡0 = 1, then the gift from Alice arrives with Bob in\nAlice’s coordinate system as\n(𝑥, 𝑡) =\n\u0012\n12\n35, −20\n35\n\u0013\nApplying the Lorentz transform into Bob’s refer-\nence frame,\nΔ𝑡1 = 5\n4\n\f\f\f\f\n−20\n35 −\n\u0012−3\n5\n\u0013 \u0012\n12\n35\n\u0013\f\f\f\f = 16\n35\nAlternatively, it is possible to focus on the Lorentz\ninvariant expression,\n(𝑡a)2 −(𝑥a)2 = (𝑡b)2 −(𝑥b)2\nwhere 𝑥𝑏= 0, and arrive at the same result.\nBecause of the symmetry, the time interval be-\ntween arrivals of Bob’s gift in Alice’s frame is the\nsame as the time interval between arrivals of Alice’s\ngift in Bob’s frame. The transfer of the gifts in shown\nin the figure. It is not necessary to sketch this green\nline.\nProblem 2.(a)i\npts\nClearly indicated graph or related equations\n0.2\nBob’s 𝑥axis correct slope (-3/5)\n0.2\nGift from Alice correct slope (5/4)\n0.2\nGift released Δ𝑡0 before Origin\n0.2\nRecognize intersection of gift and 𝑥𝐵\n0.3\nFind intersection in Alice Frame\n0.5\n1. 𝛾formula\n0.3\n1. each mistake -0.2\n1. Use Lorentz Transformation\n0.1\n1. Apply Lorentz Transformation\n0.5\n1. each mistake -0.2\n2. Use Lorentz invariance\n0.4\n2. recognize Δ𝑥𝑏= 0\n0.2\n2. Apply Lorentz invariance\n0.3\n2. each mistake -0.2\ncorrect numerical result (16/37)\n0.5\nImportant Notes!\n1. Scores can be received for method 1 or method\n2, but not both; if both are attempted, award the\nhigher total, but never more than 0.9 pts.\nIf Part a)ii is solved analytically\nProblem 2.(a)ii\npts\nFormula for 𝑣addition\n0.5\neach mistake -0.3\nSpeed 𝑣𝑟of Alice’s gift in 𝐵(35/37)\n0.5\nmust have correct formula\nΔ𝑡1 = 𝐿𝑏/𝑣𝑟\n0.5\ncorrect numerical result (16/35)\n0.5\nmust have correct formula\nIf Part a)ii solved graphically, then\nProblem 2.(a)ii\npts\nClearly indicated graph or related equa-\ntions\n*0.2\nBob’s 𝑡axis correct slope (-5/3)\n0.2\nGift from Alice correct slope (5/4)\n*0.2\nGift released Δ𝑡0 before Origin\n*0.2\nRecognize intersection of gift and 𝑡𝐵\n0.3\nFind intersection in Alice Frame\n0.5\n1. 𝛾formula\n*0.3\n1. each mistake -0.2\n1. Use Lorentz Transformation\n*0.1\n1. Apply Lorentz Tranformation\n0.5\n1. each mistake -0.2\n2. Use Lorentz invariance\n*0.4\n2. recognize Δ𝑥𝑏= 0\n0.2\n2. Apply Lorentz invariance\n0.3\n2. each mistake -0.2\ncorrect numerical result (16/35)\n0.5\nImportant Notes!\n1. A student who does both a)i and a)ii graphically\ncan only get points for the starred (*) categories\n\nTheoretical Solutions\nfor the work in a)i, and not also for the work in\na)ii.\n2. The maximum possible score is 5 pts! If a student\ndoes graphical approaches for both, and makes\nmistakes, the final score for Part a) must be less\nthan 5 by an amount equal to the mistakes made.\nPart b)\nConsider the movement of gifts in Alice’s reference\nframe. Green gifts are headed toward Alice, red gifts\nare headed away from Alice. If Alice makes an instan-\ntaneous observation, Alice will see the gifts at loca-\ntions along the intersection with the diagonal light\nline. This is quite different from the questions of the\nseparation of the green gifts or the red gifts in Alice’s\nrest frame, which is measured by the separation at\nthe same time, for example, the intersections with\nthe 𝑥axis.\n𝑥\n𝑡\nThe figure to solve can be simplified considerably;\nto fit it into a useful form the proper slopes are no\nlonger used and the picture is not to scale.\n𝑥\n𝑡\n𝑚= −1\n𝑚= −37/35\n𝑚= 5/4\n(−8, 8)\n( 4\n9, −4\n9)\nΔ𝑡1\nΔ𝑡0\nThe intersection of the red line and the black light-\nline is\n\u0012\n4\n9, −4\n9\n\u0013\nThe intersection of the green line and the black\nlight line is\n(−8, 8)\nThe ratio is 18.\nProblem 2.(b)\npts\nClearly indicated graph or related equa-\ntions\n0.4\nAlice’s gifts correct slope (5/4)\n0.2\nFormula for 𝑣addition\n*0.5\neach mistake -0.3\nSpeed 𝑣𝑟of Bob’s gift in 𝐴(35/37)\n*0.5\nmust have correct formula\nBob’s gifts correct slope (-37/35)\n0.2\nLight-like line drawn\n0.2\nAlice gift released Δ𝑡0 before Origin\n0.2\nBob gift arrive Δ𝑡1 before Origin\n0.2\nIntersection of Bob gift and light like line\n0.3\nFind intersection in Alice Frame\n0.5\nIntersection of Alice gift and light like line\n0.3\nFind intersection in Alice Frame\n0.5\nsymbolic ratio\n0.5\neach mistake -0.2\ncorrect numerical result (18)\n0.5\nmust have correct formula\nImportant Notes for marking Problem 2 b)\n1. For the two starred (*) quantities above: If this\nis the first use of the relativistic velocity addition\nformula, then mark as shown. If the relativistic\nvelocity addition was was used to answer Part a),\nthen these points are only awarded for a student\nwho has reasonably demonstrated how they need\nto use the relative velocity to solve Part b). An\nappropriate figure can be sufficient. In this case,\nthey do not need to write the equations twice.\nSolution using i𝑐𝑡-diagrams\nIn the i𝑐𝑡-diagram shown in the figure, the red co-\nordinate system represents the Bob’s frame of ref-\nerence, the blue represents the Alice’s frame, and\nthe black represents the gifts’ frame. We know that\ntan 𝛼= 𝑣\ni𝑐= −3\n5𝑖and tan 𝛽= 𝑢\ni𝑐= −4\n5𝑖. Therefore,\ntan 𝛾= tan(𝛼+ 𝛽) =\ntan 𝛼+ tan 𝛽\n1 −tan 𝛼tan 𝛽= −140\n148𝑖.\nWe can express sinus and cosine in terms of tangent\nto obtain cos 𝛼=\n5\n4, sin 𝛼= −3\n4𝑖, cos 𝛽=\n5\n3, sin 𝛽= −4\n3𝑖,\ncos 𝛾= 37\n12, sin 𝛾= −35\n12𝑖. Events 𝐴and 𝐵represent the\nlaunching of two consecutive gifts, so the segment\n𝐴𝐵is of length i𝑐𝜏.\n\nTheoretical Solutions\nict\nict’\nx’\nBob’s frame\nAlice’s frame\ngift’s frame\ngift 2\ngift 1\nicτ\n \nB\nicτ’\n \nα β\nγ\nL\nγ\nAlice\nBob\nicτ’\n \nβ\nx\nA\nC\nD\nPart a)1\nThe distance between two gifts launched\nby Alice in the Bob’s frame of reference is labeled 𝐿\nin the figure. From the sine theorem for the triangle\n𝐴𝐵𝐶we obtain 𝐿= i𝑐𝜏sin 𝛽/cos 𝛾= 𝜏𝑐4\n3\n12\n37 = 16\n37𝑐𝜏.\nPart a)2\nFrom the sine theorem for the triangle\n𝐴𝐵𝐷we obtain 𝜏′ = 𝜏sin 𝛽/sin 𝛾= 𝜏4\n3\n12\n35 = 16\n35𝑐𝜏.\nPart b)\nWe use the same reference frames and a di-\nagram using the same color-coding. Additionally, the\ndiagram shows the gifts sent by Bob in green, and the\nlight ray arriving currently to Alice’s eye in purple.\nThe gifts seen by Alice are marked as coloured cir-\ncles: the ones sent by herself are grey, and the ones\nsent by Bob are green. Since the gits are launched\nby Bob and Alice at the same frequency, the ratio of\nthe number of grey gifts to the number of green gifts\nseen currently is equal to 𝐴𝑃/𝑅𝑄.\nFrom the figure we can easily express 𝐴𝑃= 𝐴𝑀+𝑁𝑃;\nusing the sine for the triangle 𝐴𝑀𝑁theorem we ob-\ntain 𝐴𝑀= 𝑙cos 𝛾/sin 𝛽=\n37\n16i𝑙; here, 𝑙denotes the dis-\ntance to Alice now in Bob’s frame of reference. Since\nlight travels with speed 𝑐, we know that 𝑄𝑁= i𝐿;\nthe sine theorem for the triangle 𝑀𝑃𝑆yields 𝑀𝑃=\n𝑀𝑆sin 𝛾/sin 𝛽= 𝑄𝑁sin 𝛾/sin 𝛽= i 35\n16𝑙so that 𝐴𝑃= i 72\n16𝑙=\ni 9\n2𝑙. One can easily see that 𝑅𝑄= 𝑅𝑁−𝑄𝑁= 𝑙/tan 𝛽−i𝑙=\ni 1\n4𝑙. Bringing all together, the ratio of the number of\ngifts is 𝐴𝑃/𝑅𝑄= 9\n2\n4\n1 = 18.\nα\nβ\nγ\nAlice\nnow\nBob\nA\nβ\nlight seen\n by Alice now\ngifts for Alice\ngifts for Bob\nN\nQ\nR\nM\nP\nS\nβ\nγ\nl\n\nTheoretical Solutions\nT3: Fabry–Pérot interferometer - Solu-\ntion\nThroughout these solutions, we use a Cartesian coor-\ndinate system aligned so that the 𝑥axis points along\nthe normal to the mirrors. Let one mirror be posi-\ntioned at 𝑥= 0 and the other at 𝑥= 𝐿, and suppose\nthe beam approaches the interferometer from the\nnegative-𝑥direction. Let regions I, II and III be de-\nfined by 𝑥< 0, 0 < 𝑥< 𝐿and 𝑥< 𝐿respectively. Note\nthat the mirrors are assumed thin for convenience\nhere, but this does not change the answers.\nSolution 1\nPart a\nWhere the laser beam meets the first mirror\nof the interferometer, some light is reflected back to-\nwards the laser and the rest is transmitted into the\nspace between the mirrors (region II). This transmit-\nted light bounces back and forth between the mir-\nrors. With every reflection, some light is transmit-\nted and leaves the interferometer. To find the com-\nplex amplitude of the wave returning to the laser,\nwe need to sum the complex amplitudes of the wave\nthat reflects immediately (without ever entering the\ninterferometer), as well as those of the waves that\nbounced back and forth once, twice, thrice, etc.\nEach region therefore contains a superposition of\ninfinitely many waves. Crucially, a superposition of\nany number of sinusoidal waves with the same fre-\nquency, wavelength and propagation direction can\nbe represented by a single sinusoidal wave with the\nsame frequency, wavelength and propagation direc-\ntion. Therefore, the electric field due to the waves in\nregions I, II and III must take the following form.\nRegion I:\n𝐸(𝑥, 𝑡) = 𝐴ei(𝑘𝑥−𝜔𝑡) ,\nRegion II:\n𝐸(𝑥, 𝑡) = 𝐵ei(𝑘𝑥−𝜔𝑡) + 𝐶ei(−𝑘𝑥−𝜔𝑡) ,\nRegion III:\n𝐸(𝑥, 𝑡) = 𝐷ei(𝑘𝑥−𝜔𝑡) .\nIn region I, we have a travelling wave moving in\nthe positive 𝑥direction with wavenumber 𝑘, angu-\nlar frequency 𝜔and amplitude 𝐴. The condition that\nthere is no back-reflected beam means there is no\noppositely-propagating wave in region I. In region\nII, the electric field is a sum of two waves propagat-\ning in either direction, which we give complex ampli-\ntudes 𝐵and 𝐶. Finally, in region III, there is only a\nwave propagating in the positive-𝑥direction, which\nwe give complex amplitude 𝐷.\nLet us introduce an amplitude reflection coeffi-\ncient 𝑟and transmission coefficient 𝑡for the mirrors.\nThese coefficients, which may be complex, are char-\nacteristic of the mirrors. The ratio between the com-\nplex amplitude of the reflected wave and the incident\nwave is 𝑟, while the ratio between the complex ampli-\ntude of the transmitted wave and the incident wave is\n𝑡. We are interested in 𝜙, which is the relative phase\nbetween the complex numbers 𝑟and 𝑡.\nLet us work out how the waves on either side of\nthe first mirror (in regions I and II) are related. In\nregion II, the forward-propagating wave is a result of\nthe transmitted part of the incident wave in region I,\nand the reflected part of the backwards-propagating\nwave in region II. Therefore,\n𝐵= 𝑡𝐴+ 𝑟𝐶.\n(12)\nSimilarly, for the backwards-propagating wave in re-\ngion I to vanish, the sum of the reflected part of\nthe incident wave and the transmitted part of the\nbackwards-propagating wave in region II must be\nzero:\n0 = 𝑟𝐴+ 𝑡𝐶.\n(13)\nFurthermore, applying similar reasoning at the sec-\nond mirror, using the complex amplitudes evaluated\nat 𝑥= 𝐿, leads to\n𝐷ei𝑘𝐿= 𝑡𝐵ei𝑘𝐿,\n(14)\n𝐶e−i𝑘𝐿= 𝑟𝐵ei𝑘𝐿.\n(15)\nIf 𝑟and 𝑡are given, along with the amplitude of the\ninitial wave 𝐴, equations (12)–(15) contain four un-\nknowns: 𝐵, 𝐶, 𝐷and 𝑘. We find\ne−2i𝑘𝐿= 𝑟2 −𝑡2 .\n(16)\nThis relation tell us the argument of the complex\nnumber 𝑟2 −𝑡2; it must be −2𝑘𝐿. It also provides a con-\nstraint on the magnitude of this complex number; we\nmust have\n|𝑟2 −𝑡2| = 1 .\n(17)\nThis is a condition that 𝑟and 𝑡must satisfy in order\nfor the setup in the question, with no back-reflected\nlight from the interferometer, to be realizable.\nWith lossless mirrors, there is one additional con-\nstraint that 𝑟and 𝑡must satisfy. When a wave passes\nthrough one of these mirrors, the incident power\nmust equal the sum of the reflected and transmit-\nted powers.\nSince every wave in the problem has\nthe same speed, the power carried by them is pro-\nportional the their amplitude squared, which means\nit is proportional to the modulus squared of the com-\nplex amplitude.\nTherefore, conservation of energy\nrequires\n|𝑟|2 + |𝑡|2 = 1 .\n(18)\nTogether, (17) and (18) imply that 𝑟and 𝑡cannot both\nbe real; there must be some phase shift between the\ntransmitted and reflected light.\nPart b\nUsing conditions (17) and (18), we can show\nthat the magnitude of 𝜙is 90◦. Here are two ways we\ncould do this.\nFirst, we could square both conditions and sub-\ntract:\n|𝑟2 −𝑡2|2 = |𝑟|4 + |𝑡|4 −𝑟2𝑡∗2 −𝑟∗2𝑡2 = 1\n(|𝑟|2 + |𝑡|2)2 = |𝑟|4 + |𝑡|4 −𝑟|𝑟|2|𝑡|2 = 1\n=⇒2|𝑟|2|𝑡|2 = 𝑟2𝑡∗2 + 𝑟∗2𝑡2 .\nHere, an asterisk denotes complex conjugation. This\nis equivalent to (𝑟𝑡∗+ 𝑟∗𝑡)2 = 1 or\n𝑟\n𝑡+ 𝑟∗\n𝑡∗= 0 .\n\nTheoretical Solutions\nThis says that 𝑟/𝑡is purely imaginary, so 𝑟and 𝑡must\nhave arguments that differ by ±90◦.\nAlternatively, we could let 𝑎= 𝑟2 and 𝑏= 𝑡2, so that\n(17) and (18) read\n|𝑎−𝑏| = 1\n|𝑎| + |𝑏| = 1 .\nUsing 𝑂to denote the origin and A and B, respec-\ntively, to denote the points 𝑎and 𝑏in the complex\nplane, consider the triangle OAB. The first condition\nabove implies that the length of side AB is 1. The sec-\nond implies that the sum of the lengths OA and OB\nis also 1. Thus, the points O, A and B must actually\nbe collinear, with O in between A and B. So, 𝑏and\n𝑎have arguments that differ by 180◦. Since 𝑎and 𝑏\nhave twice the arguments of 𝑟and 𝑡(respectively),\nthis means 𝑟and 𝑡must have arguments that differ\nby ±90◦.\nPart c\nWhen the laser is rapidly switched off, after\nthe amount of time it takes light to travel from the\nlaser to the first mirror, the incident wave will be re-\nmoved.\nSince |𝑡| ≪|𝑟|, the amplitudes |𝐵| and |𝐶| are very\nlarge. Furthermore, the difference between them is\nsmall. Physically, the interferometer contains a large\namount of electromagnetic energy in two waves of\nroughly equal intensity, propagating in either direc-\ntion.\nThis means, when this stored energy is re-\nleased from the interferometer, the release will be\nvery nearly symmetrical.\nApproximately the same\namount of energy will be released in either direction.\nSo, the energy contained in the pulse that propagates\ntowards the laser is must be about half of the stored\ninitial energy.\nTo find the stored energy, suppose the power\ncontained in each wave (forwards- and backwards-\npropagating) in region II is 𝑃′. The power transmit-\nting through the mirrors to leave the interferome-\nter is (1 −𝑅)𝑃′.\nSince this transmitted wave must\nperfectly cancel out the wave that reflects from the\nfirst mirror, which has power 𝑅𝑝≈𝑃, we must have\n𝑃′ ≈𝑃/(1 −𝑅). This means the initial energy stored\ninside the interferometer is\n𝑈≈\n2\n1 −𝑅\n𝐿𝑃\n𝑐\n,\nsince the energy of the two waves travelling in either\ndirection simply adds. Therefore, the energy in the\npulse that returns to the laser is\n𝐸≈\n1\n1 −𝑅\n𝐿𝑃\n𝑐\n.\nPart d\nThere are at least two ways of doing this\npart; see Solution 2 below for a second approach.\nThe stored energy is initially given by (19).\nThe\nPoynting flux out of the interferometer at the mo-\nment when the incoming beam has just switched off\nall the way to the surface of the first mirror is roughly\nd𝑈\nd𝑡= −2𝑃= −(1 −𝑅)𝑐\n𝐿\n𝑈,\n(19)\nsince the amplitudes of the waves propagating away\nfrom the interferometer in regions I and III are both\nroughly |𝐴|. We can assume that the stored energy\ndecays exponentially: if the field inside the device re-\nduces by a certain factor, then the amplitude of the\nwaves just outside will have reduced by the same fac-\ntor. So, the ratio between the stored energy inside\nand the outwards Poynting flux is roughly constant.\nFinding the time constant 𝑇so that 𝑈∝e−𝑡/𝑇satisfies\n(19) leads to\n𝑇≈\n1\n1 −𝑅\n𝐿\n𝑐.\nSince this is an estimate, and since the exact numer-\nical prefactor depends on whether we chose to use\nthe time constant for the decay in amplitude or en-\nergy, students can have any order-unity prefactor.\nSince the combination 𝐿/𝑐can be deduced by dimen-\nsional analysis, the marks should be awarded for get-\nting the correct dependence on 𝑅on.\nSolution 2\nPart a\nIt is possible to solve this problem by sum-\nming up an infinite series of complex amplitudes cor-\nresponding to the light waves that are reflected once,\ntwice, thrice, etc. from the mirror.\nLet us focus on the backwards-propagating wave\nin region I, which must vanish. In steady state, be-\nfore the laser is switched off, let the amplitude of the\nincident beam at 𝑥= 0 be 𝐴. Then, introducing ampli-\ntude reflection coefficients 𝑟and 𝑡as in Solution #1,\nthe amplitude of the backwards-propagating beam is\n𝑟𝐴[1 + 𝑡2(e2i𝑘𝐿+ 𝑟2e4i𝑘𝐿+ 𝑟4e6i𝑘𝐿+ . . .)] .\nThe first term represents the light that is reflected\nimmediately off the first mirror (factor 𝑟, without ev-\nery entering region II. The remaining terms repre-\nsent light that transmits through the first mirror (one\nfactor 𝑡), propagates from 𝑥= 0 to 𝑥= 𝐿and back\nsome number 𝑁of times (factor e2𝑁i𝑘𝐿due to the prop-\nagation and 𝑟2𝑁−1 for the correct number of reflec-\ntions) and transmits through the first mirror again\n(second factor of 𝑡. Summing the geometric series,\nthe backwards-propagating amplitude is\n𝑟𝐴\n\u0012\n1 +\n𝑡2e2i𝑘𝐿\n1 −𝑟2e2i𝑘𝐿\n\u0013\n= 0 .\nRearranging leads to the same condition (16) as in\nSolution #1.\nThe rest of the solution, to conclude\nthat 𝑟and 𝑡meet at a right angle and that 𝑡must have\na nonzero phase, can proceed as in Solution #1.\nPart b\nAs in Solution #1.\nPart c\nAfter the incident beam has switched off\nall the way to the interferometer, the beam the is\nreflected immediately off the first mirror switches\noff.\nThe other beams, corresponding to light that\nbounces some number 𝑁of times between the mir-\nrors, switches off slightly later. So, the backwards-\nreflected beam at first becomes\n𝑟𝐴[𝑡2(e2i𝑘𝐿+ 𝑟2e4i𝑘𝐿+ 𝑟4e6i𝑘𝐿+ . . .)] = −𝑟𝐴.\n\nTheoretical Solutions\nAt 𝑥= 0, this is the amplitude of the backwards-\nreflected beam for time Δ𝑡= 2𝐿/𝑐.\nThen, the wave that reflects once before leaving\nalso switches off, after time Δ𝑡.\nThe amplitude be-\ncomes\n𝑟𝐴[𝑡2(𝑟2e4i𝑘𝐿+ 𝑟4e6i𝑘𝐿+ . . .)] = 𝑟𝐴𝑡2𝑟2e4i𝑘𝐿\n1 −𝑟2e2i𝑘𝐿= 𝑟𝐴𝑟2 e2i𝑘𝐿\nfor the next Δ𝑡. Then, the wave that is reflected three\ntimes before leaving switches off, after time 2Δ𝑡. The\namplitude becomes\n𝑟𝐴[𝑡2(𝑟4e6i𝑘𝐿+ . . .)] = 𝑟𝐴𝑡2𝑟4e6i𝑘𝐿\n1 −𝑟2e2i𝑘𝐿= 𝑟𝐴𝑟4 e4i𝑘𝐿,\nand\nso\non.\nAfter\ntime\n𝑛Δ𝑡,\nthe\namplitude\nis\n−𝑟𝐴𝑟2𝑛e2𝑛i𝑘𝐿.\nThe modulus decreases by a factor of\n𝑅every Δ𝑡. This can be argued without a geometric\nseries; each wave has reflected two more times that\nthe previous one, so should have an amplitude that\nis a factor of 𝑅smaller.\nThe energy in the backwards-propagating pulse\nis the sum of the energies during the first, second,\nthird, etc Δ𝑡interval. This is\n𝑃Δ𝑡(|𝑟|2 + |𝑟|6 + |𝑟|8 + . . .) =\n|𝑟|2\n1 −|𝑟|4\n2𝐿𝑃\n𝑐\n≈\n1\n1 −𝑅\n𝐿𝑃\n𝑐\n.\nPart d\nSince the amplitude decays like\n𝑅𝑛= e−𝑛log 1/𝑅= e−log(1/𝑅)𝑡/Δ𝑡,\nthe energy decays like e−2 log(1/𝑅)𝑡/Δ𝑡.\nThe time con-\nstant of this roughly-exponential decay in energy is\n𝑇=\nΔ𝑡\n2 log(1/𝑅) ≈\n1\n1 −𝑅\n𝐿\n𝑐\nfor 1 −𝑅≪1.\nSolution 3\nPart a\nStudents might assume that the perpendicu-\nlar electric field is continuous across each of the mir-\nrors. While this is not the intended solution, since the\nquestion tells us nothing about the internal workings\nof the mirror, they should get credit for this. If the\nelectric field is continuous, then 1 + 𝑟= 𝑡. Combined\nwith |𝑟|2 + |𝑡|2 = 1, if 𝑟and 𝑡are real, these equations\ncan only be satisfied if (𝑟, 𝑡) = (0, 1) or (𝑟, 𝑡) = (−1, 0).\nSince there is reflected and transmitted light in this\nproblem, 𝑟and 𝑡must be complex numbers with a\nnonzero imaginary part.\nPart b\nUsing Pythagorus’s theorem, the angle be-\ntween 𝑟and 𝑡must be ±90◦(see figure).\nPart c\nAs in Solutions #2 and #3.\nPart d\nAs in Solutions #2 and #3.\nSolution 4\nHere is an alternative approach to parts a and b that\ndoes not require complex numbers or a geometric\nseries.\nParts a and b\nConsider the first mirror in isolation\nand suppose a light wave is incident upon it from the\nleft with amplitude 𝐴, as shown in the diagram below.\nThe reflected wave will have amplitude 𝐴\n√\n𝑅and may\nundergo a phase shift; we use 𝜃to denote its phase\nangle relative to the incident wave.\nSimilarly, the\ntransmitted wave has amplitude 𝐴\n√\n1 −𝑅and phase\nangle 𝜓relative to the incident wave.\nNow imagine a different scenario, in which there\nis a wave incident on the mirror from the right, as\nshown in Fig BLAH. This incident wave will have am-\nplitude 𝐴\n√\n𝑅/\n√\n1 −𝑅and a phase angle 𝜋+ 𝜃−𝜓. There\nwill be a reflected wave with amplitude 𝐴𝑅/\n√\n1 −𝑅(we\nmultiply the amplitude by\n√\n𝑅upon reflection) and\nphase angle 𝜋+ 2𝜃−𝜓(we add 𝜃to the phase upon\nreflection).\nThere will be a transmitted wave with\namplitude 𝐴\n√\n𝑅(we multiply the amplitude by\n√\n1 −𝑅\nupon reflection) and phase angle 𝜋+ 𝜃(we add 𝜓to\nthe phase upon reflection).\nNow we consider the superposition of these two\nscenarios. On the left side, the waves travelling to\nthe left cancel out, since they have the same ampli-\ntude but have phases differing by 𝜋.\nThis destruc-\ntive interference leaves a wave travelling to the right\nwith amplitude 𝐴. This is exactly what is happening\nat the first mirror of the interferometer. On the right\n\nTheoretical Solutions\nside, there is a leftwards-propagating wave and two\nrightwards-propagating waves, as shown below.\nNow we use the fact that the mirror is lossless, so\nthe light energy in the incoming waves in the figure\nabove must equal the light energy in the outgoing\nwaves. Since energy is proportional to the square of\nthe electric field, the incoming energy flux is propor-\ntional to\n𝐼in = 𝐴2 + 𝐴2\n\u0012\n𝑅\n1 −𝑅\n\u0013\n.\nThe outgoing energy flux is a little trickier to work\nout, since there are two superimposed waves travel-\nling out with different phases. It is\n𝐼out = 𝐴2(1 −𝑅) + 𝐴2\n\u0012 𝑅2\n1 −𝑅\n\u0013\n−2𝐴2𝑅cos\u0000𝜋+ 2(𝜃−𝜓)\u0001 .\n𝐼in = 𝐼out can be rearranged to give cos(𝜋+ 2(𝜃−𝜓)) = 0,\nso 2(𝜃−𝜓) is a multiple of 𝜋and 𝜃−𝜓is ±𝜋/2. The\nreflected and transmitted waves must be out of phase\nby 90◦.\nGrading\nPart a\nPart T3.a): Using sinusoidal waves\nPts.\nunderstanding that some light is initially re-\nflected without entering the interferometer\n0.3\nunderstanding that light bounces back and\nforth between the mirrors\n0.3\nusing one or two travelling waves in each re-\ngion\n0.4\nwriting equations relating amplitudes via 𝑟\nand 𝑡\n0.5\nsolving to obtain (16)\n0.6\nusing |𝑟|2 + |𝑡|2 = 1 or 𝑅+ 𝑇= 1\n0.5\nstating that this is a consequence of conser-\nvation of energy\n0.2\nindicating that the solutions 𝑟and 𝑡should be\ncomplex\n0.2\nTotal on T3.a)\n3.0\nPart T3.a): Summing geometric series\nPts.\nunderstanding that some light is initially re-\nflected without entering the interferometer\n0.3\nunderstanding that light bounces back and\nforth between the mirrors\n0.3\nidea of superposition of complex amplitudes\n0.2\ncorrectly including the effect on the ampli-\ntudes of reflection, transmission and propa-\ngation\n0.5\nsumming up complex amplitudes as a geo-\nmetric series\n0.4\nobtaining (16)\n0.4\nusing |𝑟|2 + |𝑡|2 = 1 or 𝑅+ 𝑇= 1\n0.5\nstating that this is a consequence of conser-\nvation of energy\n0.2\nunderstanding that the solutions 𝑟and 𝑡\nshould be complex\n0.2\nTotal on T3.a)\n3.0\nPart T3.a): Assuming 1 + 𝑟= 𝑡\nPts.\nunderstanding that some light is initially re-\nflected without entering the interferometer\n0.3\nunderstanding that light bounces back and\nforth between the mirrors\n0.3\nusing 1 + 𝑟= 𝑡\n0.7\njustification using continuity of electric field\nor thin-mirror arguments\n0.8\nusing |𝑟|2 + |𝑡|2 = 1 or 𝑅+ 𝑇= 1\n0.5\nstating that this is a consequence of conser-\nvation of energy\n0.2\nunderstanding that the solutions 𝑟and 𝑡\nshould be complex\n0.2\nTotal on T3.a)\n3.0\nPart b\nPart T3.b: Algebraic method\nPts.\nwriting 90◦\n0.5\ntaking modulus of (16) to get a condition in-\nvolving 𝑟and 𝑡only\n0.7\nSolving with 𝑟, 𝑡, 𝑟∗and 𝑡∗to find that 𝑟is an\nimaginary number times 𝑡\n0.8\nTotal on T3.b\n2.0\nPart T3.b: Geometric method\nPts.\nwriting 90◦\n0.5\ntaking modulus of (16) to get a condition in-\nvolving 𝑟and 𝑡only\n0.7\nusing a geometric argument to show that 𝑟\nand 𝑡must make a right angle\n0.8\nTotal on T3.b\n2.0\nNotes on T3.a) and T3.b): different conventions for\n𝑟and 𝑡(eg using −𝑟instead of 𝑟, different phase fac-\ntors) are allowed.\nPart c\nPart T3.c: Destructive interference\nPts.\n|B| and |C| are the same if |𝑡| ≪|𝑟|\n0.5\nApplying symmetry to show 2𝐸= 𝑈\n1.0\nFinding relation between P’ and P\n1.5\nCorrect value for U\n0.5\nCorrect value for E\n0.5\nTotal on T3.c\n4.0\n\nTheoretical Solutions\nPart T3.c: Geometric series\nPts.\nShowing, perhaps just by reasoning, that the\npower propagating out through the first mir-\nror decreases by a factor 𝑅2 every Δ𝑡\n1.5\nMultiplying by Δ𝑡to convert power or inten-\nsity to energy\n0.5\nSumming a geometric series to find the total\nenergy E\n1.5\nCorrect value for E\n0.5\nTotal on T3.c\n4.0\nPart d\nPart T3.d: Removing waves\nPts.\nStated that energy reduces by factor 𝑅2 each\ntime a wave is removed\n0.2\nUsing the fact that this reduction occurs at\nintervals Δ𝑡\n0.4\nSome valid mathematical argument from\nhere that obtains the correct 𝑇when 1−𝑅≪1\n0.4\nTotal on T3.d\n1.0\nPart T3.d: Exponential decay m\nPts.\nStated the decay is roughly exponential\n0.2\nState the outwards energy flux\n0.4\nUse this to determine decay constant\n0.4\nTotal on T3.d\n1.0\nNotes on T3.d): no marks for dimensional analysis to\nobtain the combination 𝐿/𝑐. The numerical prefactor\nis irrelevant provided it is order unity (e.g.\nln 2 for\nhalf-life). Any equivalent form, assuming 1 −𝑅≪1, is\nacceptable.\n","shared":true,"sourcePages":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14],"initialPage":10}},{"id":"eupho-2023-t1","importedOn":"2026-10-28","language":"en","sources":[{"url":"https://eupho.ee/wp-content/uploads/2023/06/EuPhO_2023_theory.pdf","kind":"statement"},{"url":"https://eupho.ee/wp-content/uploads/2023/06/EuPhO_2023_theo_sol.pdf","kind":"solution"}],"statement":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/eupho-2023-statement/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/eupho-2023-statement/page-1.webp","width":982,"height":1389}],"text":"Theoretical Problems. Language: English\nT1: Thermal lens (10 pts)\nWhen an intense laser beam falls onto a semitrans-\nparent plate, the transmitted light can self-focus to\na point behind the plate due to the inhomogeneous\nheating of the material. This effect, known as ther-\nmal lensing, is observed in materials whose index\nof refraction increases with temperature, character-\nized by a positive thermo-optic coefficient 𝛾= d𝑛\nd𝑇.\nA semitransparent disk with radius 𝑎= 15.0 mm,\nthickness 𝑏= 0.2 mm and optical absorption coeffi-\ncient 𝐴= 0.1 is composed of a material having thermal\nconductivity 𝑘= 0.3 W m−1 K−1 and thermo-optic coef-\nficient 𝛾= 2.5 · 10−4 K−1. The outer rim of the disk is\nthermally connected to a circular metallic holder (not\nshown in the figure) maintained at a constant tem-\nperature 𝑇h = 20◦C. A parallel laser beam of radius\n𝜎= 0.5 mm and power 𝑃L = 20 mW is incident normally\nonto the center of the disk. The intensity distribu-\ntion is homogeneous across the cross-section of the\nbeam.\na) (2 pts) Sketch a qualitative graph of the temper-\nature profile 𝑇(𝑟), where 𝑟denotes the distance\nfrom the axis of the beam.\nIndicate clearly on\nthe graph the illuminated region 0 ≤𝑟≤𝜎and\nthe outer region 𝜎≤𝑟≤𝑎.\nb) (4 pts) In the vicinity of the center of the disk,\nthe temperature profile can be represented by a\nquadratic function 𝑇(𝑟) = 𝑇c + 𝑚𝑟2. Calculate the\nparameters 𝑇c and 𝑚.\nc) (4 pts) Show that the beam is focused in one point\nand find the distance 𝑓from this point to the disk.\nIf you failed to obtain 𝑇𝑐and 𝑚in part b), you may\nuse them as parameters in your final answer.\nDo not consider the thermal expansion of the disk.\nNeglect the thermal radiation and the heat exchange\nbetween the disk and the surrounding air. Assume\nthat the index of refraction of air is 𝑛air = 1.\nT2: Brick between two planes (10 pts)\nA small brick is squeezed between two parallel\nplanes in zero gravity. The planes are perpendicu-\nlar to the 𝑧-axis. The lower plane is moving with con-\nstant velocity 𝑢1 along the 𝑥-axis, whilst the upper one\nis moving with constant velocity 𝑢2 along the 𝑦-axis.\nInitially, the brick is at rest. The coefficient of ki-\nnetic friction between the brick and each plane is\nidentical.\na) (4 pts) Find the speed of the brick 𝑣∞after a long\ntime for 𝑢1 = 𝑢2.\nb) (6 pts) Find the speed of the brick 𝑣∞after a long\ntime for 𝑢1 ≠𝑢2.\nT3: Plate between magnets (10 pts)\nTwo identical long, cylindrical rod magnets of radius\n𝑅are close to each other and share the same vertical\nsymmetry axis. The polarity of the two magnets is\nthe same. As a result, the magnetic field in the air\ngap between the magnets is directed towards the +𝑧\ndirection (see figure) and uniform with flux density\n𝐵. The magnetic field outside the gap is zero. A hor-\nizontal large non-magnetic metal plate is placed in\nthe air gap and moved with constant horizontal ve-\nlocity 𝑣in +𝑦-direction. The thickness of the plate is\n𝛿, the resistivity of the metal is 𝜚.\na) (3 pts) Sketch the shape of current streamlines\nin the metal plate at a given time. Indicate the\naxes on your sketch.\nb) (5 pts) Find and plot the current density inside\nthe plate along a line parallel to the 𝑦axis inter-\nsecting the symmetry axis of the magnets.\nc) (2 pts) Find the horizontal force required to move\nthe plate.\n","shared":true,"sourcePages":[1],"initialPage":1},"solution":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/eupho-2023-solution/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/eupho-2023-solution/page-1.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2023-solution/page-2.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2023-solution/page-3.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2023-solution/page-4.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2023-solution/page-5.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2023-solution/page-6.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2023-solution/page-7.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2023-solution/page-8.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2023-solution/page-9.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2023-solution/page-10.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2023-solution/page-11.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2023-solution/page-12.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2023-solution/page-13.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2023-solution/page-14.webp","width":982,"height":1389}],"text":"Theoretical Solutions\nT1: Thermal lens - Solution\n(a) Drawing a 𝑇(𝑟) graph\nThe graph should present or clearly infer for the four\nelements shown in the figure.\nElement of the graph\nPts.\nHorizontal tangent at 𝑟= 0\n0.5\nGraph is concave and decreasing in 0 ≤𝑟≤𝜎\n0.5\nGraph is convex and decreasing in 𝜎≤𝑟≤𝑎\n0.5\nNonzero negative slope at 𝑟= 𝑎\n0.5\nTotally on (a)\n2.0\n(b) Finding 𝑇c\nApproach with a direct solution of the heat-\ntransport equation.\nConsider a cylindrical cut of the disk with radius 𝑟.\nLet 𝑃abs(𝑟) be the portion of laser power absorbed\nwithin the cylinder.\nThe absorbed power is being\ntransferred as heat towards the outer holder through\nthe circumvent surface 2𝜋𝑏𝑟of the cylinder.\nThe\nheat-transport equation reads:\n−𝑘(2𝜋𝑟𝑏) d𝑇(𝑟)\nd𝑟\n= 𝑃abs(𝑟)\n(1)\nDepending on 𝑟, the absorbed power is given by two\ndifferent expressions.\nWithin the illuminated area\n0 ≤𝑟≤𝜎, the incident light intensity 𝐼= 𝑃L/(𝜋𝜎2) is\nconstant, so the absorbed power is:\n𝑃abs(𝑟) = 𝐼𝜋𝑟2 = 𝐴𝑃L\n𝑟2\n𝜎2\n(2)\nand the solution for 𝑇(𝑟) is quadratic in 𝑟:\n𝑇(𝑟) = 𝑇c −𝐴𝑃L𝑟2\n4𝜋𝑘𝑏𝜎2\n(3)\nwhere 𝑇c = 𝑇(0) is the temperature at the center. It is\nclear from that expression that the parameter 𝑚is:\n𝑚= −\n𝐴𝑃L\n4𝜋𝑘𝑏𝜎2 = −1.1 · 107 Km−2\n(4)\nOutside the illuminated area, i.e. for 𝜎≤𝑟≤𝑎,\n𝑃abs(𝑟) = 𝐴𝑃L, which does not depend on 𝑟. The so-\nlution for 𝑇(𝑟) is logarithmic in 𝑟:\n𝑇(𝑟) = 𝑇h + 𝐴𝑃L\n2𝜋𝑘𝑏ln\n\u0010 𝑎\n𝑟\n\u0011\n(5)\nwhere 𝑇h = 𝑇(𝑎) is the temperature of the holder,\nwhich is equal to the temperature along the outer\nrim of the disk. After matching the two solutions at\n𝑟= 𝜎we obtain:\n𝑇c = 𝑇h + 𝐴𝑃L\n4𝜋𝑘𝑏\nh\n1 + 2 ln\n\u0010 𝑎\n𝜎\n\u0011i\n= 41◦C\n(6)\nTask\nPts.\nWrites down the heat-transport equation in\nradial coordinates\n0.7\nDerives an expression for 𝑃abs at 0 ≤𝑟≤𝜎\n0.5\nFinds a quadratic solution for 𝑇(𝑟) in the re-\ngion 0 ≤𝑟\n≤𝜎(Subtract 0.2 pts.\nif he\nboundary condition 𝑇(0) = 𝑇c has not been ac-\ncounted for)\n0.5\nIdentifies the expression for 𝑚(Subtract\n0.1 pts. if the minus sign is missing)\n0.2\nCalculates 𝑚numerically (Subtract 0.1 pts.\nif the minus sign is missing)\n0.2\nDerives an expression for 𝑃abs at 𝜎≤𝑟≤𝑎\n0.3\nFinds a logarithmic solution for 𝑇(𝑟) in the\nregion 𝜎≤𝑟< 𝑎(Subtract 0.2 pts.\nif he\nboundary condition 𝑇(𝑎) = 𝑇h has not been ac-\ncounted for)\n0.5\nSets up an equation by matching the two so-\nlutions at 𝑟= 𝑎\n0.6\nWrites down the final expression for 𝑇c\n0.2\nCalculates 𝑇c numerically\n0.3\nTotally on (b)\n4.0\nAlternative approach – direct piece-wise inte-\ngration of the heat-transport equation.\nAfter realizing that 𝑃abs(𝑟) is given by a piece-wise\nfunction:\n𝑃abs =\n(\n𝐴𝑃L𝑟2/𝜎2\nif 0 ≤𝑟≤𝜎\n𝐴𝑃L = const\nif 𝜎≤𝑟≤𝑎\n(7)\nthe student may substitute the given solution 𝑇(𝑟) =\n𝑇c + 𝑚𝑟2 into heat-transport equation (1) for 0 ≤𝑟≤𝜎.\nThis gives directly the expression (4) for the param-\neter 𝑚. The parameter 𝑇c could be easily identified\nwith the temperature 𝑇(0) at the center of the disk.\nOn the other hand, 𝑇h = 𝑇(𝑎) due to the thermal con-\ntact between the rim of the disk and the holder. It\nfollows from the heat-transport equation that:\n−d𝑇(𝑟)\nd𝑟\n= 𝑃abs(𝑟)\n2𝜋𝑘𝑏𝑟\n(8)\nThe piece-wise integration of the two sides of the\nequation in the interval 0 ≤𝑟≤𝑎gives:\n𝑇(0) −𝑇(𝑎) = 𝑇c −𝑇h =\n∫𝑎\n0\n𝑃abs(𝑟)\n2𝜋𝑘𝑏𝑟d𝑟\n=\n∫𝜎\n0\n𝑃abs(𝑟)\n2𝜋𝑘𝑏𝑟d𝑟+\n∫𝑎\n𝜎\n𝑃abs(𝑟)\n2𝜋𝑘𝑏𝑟d𝑟\n= 𝐴𝑃L\n4𝜋𝑘𝑏\nh\n1 + 2 ln\n\u0010 𝑎\n𝜎\n\u0011i\n(9)\nwhich is equivalent to the expression (6) for 𝑇c.\n\nTheoretical Solutions\nTask\nPts.\nWrites down the heat-transport equation in\nradial coordinates\n0.7\nDerives an expression for 𝑃abs at 0 ≤𝑟≤𝜎\n0.5\nDerives an expression for 𝑃abs at 𝜎≤𝑟≤𝑎\n0.3\nSubstitutes the given form of 𝑇(𝑟) into heat-\ntransport equation for the region 0 ≤𝑟≤𝜎\n0.3\nObtains\nthe\nexpression\nfor\n𝑚\n(Subtract\n0.1 pts. if the minus sign is missing)\n0.2\nCalculates 𝑚numerically (Subtract 0.1 pts.\nif the minus sign is missing)\n0.2\nStates that 𝑇c = 𝑇(0)\n0.2\nStates that 𝑇h = 𝑇(𝑎)\n0.2\nExpresses 𝑇c −𝑇h through integral of d𝑇/d𝑟in\nthe 0 ≤𝑟≤𝑎interval\n0.3\nCalculates the integral in the 0 ≤𝑟≤𝜎inter-\nval\n0.3\nCalculates the integral in the 𝜎≤𝑟≤𝑎inter-\nval\n0.3\nWrites down the final expression for 𝑇c\n0.2\nCalculates 𝑇c numerically\n0.3\nTotally on (b)\n4.0\n(c) Finding the focal length\nApproach based on the Fermat’s principle\nWe consider only the illuminated area of the disk\n(0 ≤𝑟≤𝜎). Due to the nonuniform temperature dis-\ntribution, the index of refraction is also 𝑟-dependent,\nwhich leads to a bending of the light rays incident at\nnonzero radii 𝑟, as shown schematically in the figure.\nAs a result, the light rays exiting the disk, converge\ntoward the optical axis, and, eventually, cross it in a\ncertain point at a distance 𝑓from the disk.\nSince the ray bending is relatively small, one may\nassume that: (i) all the rays travel approximately the\nsame distance 𝑏inside the disk; (ii) any given ray\nenters and exits the disk at approximately the same\nheight 𝑟; (iii) 𝑓≫𝑟. Thus, the optical pathway 𝑠(𝑟) of\na ray, incident at a height 𝑟above the optical axis, is:\n𝑠(𝑟) ≈𝑛(𝑟)𝑏+\np\n𝑓2 + 𝑟2 ≈𝑛(𝑟)𝑏+ 𝑓+ 𝑟2\n2𝑓\n(10)\nAccording to Fermat’s principle, in order that all the\nrays focus at the same point, it is necessary that 𝑠(𝑟)\nis constant within 0 ≤𝑟< 𝜎. In particular, 𝑠(𝑟) ≡𝑠(0)\nfor any 𝑟, which leads to the condition:\n𝑏(𝑛(0) −𝑛(𝑟)) ≡𝑟2\n2𝑓\n(11)\nSince:\n𝑛(0) −𝑛(𝑟) = 𝛾(𝑇(0) −𝑇(𝑟)) = −𝛾𝑚𝑟2 = 𝛾|𝑚|𝑟2\n(12)\ncondition (11) is satisfied if\n𝛾𝑏|𝑚|𝑟2 ≡𝑟2\n2𝑓\n(13)\nThe beam hence focuses at\n𝑓=\n1\n2𝛾𝑏|𝑚|\n(14)\nTaking into account the expression for 𝑚derived in\npart (b), we represent the answer in terms of the\nknown parameters and calculate its numerical value:\n𝑓= 2𝜋𝑘𝜎2\n𝛾𝐴𝑃\n≈0.94 m\n(15)\nAlternatively, the student may state that the optical\npathway 𝑠(𝑟) does not depend on 𝑟and use the con-\ndition d𝑠/d𝑟≡0, which gives:\nd𝑛(𝑟)\nd𝑟\n𝑏+ 𝑟\n𝑓≡0\n(16)\nSince:\nd𝑛(𝑟)\nd𝑟\n= d𝑛\nd𝑇\nd𝑇\nd𝑟= 𝛾2𝑚𝑟\n(17)\nwe obtain:\n𝑟\n𝑓+ 2𝑏𝛾𝑚𝑟≡0\n(18)\nThe beam thus focuses at:\n𝑓=\n1\n2𝛾𝑏|𝑚| = 2𝜋𝑘𝜎2\n𝛾𝐴𝑃\n≈0.94 m\n(19)\nTask\nPts.\nFormulates assumptions (i) and (ii) or equiv-\nalent statements\n0.2\nDerives a general expression for the optical\npathway 𝑠as a function of 𝑟\n0.8\nUses that 𝑓\n≫𝑟and derives approximate\nquadratic expression for 𝑠(𝑟)\n0.5\nStates that focusing takes place when 𝑠(𝑟) is\nthe same for all rays converging in the focus\n0.5\nWrites explicitly equation in the form 𝑠(𝑟) ≡\n𝑠(0) OR d𝑠/d𝑟≡0\n0.5\nUses the 𝑇(𝑟) dependence to derive the 𝑛(𝑟)\ndependence OR to find d𝑛/d𝑟\n0.5\nDerives an expression for the focal length 𝑓\nin terms of 𝑚or of the parameters given in\nthe problem statement\n0.8\nCalculates 𝑓numerically\n0.2\nTotally on (c)\n4.0\nApproach based on a direct ray/wavefront trac-\ning\nAs a next approximation, the light ray inside the disk\ncan be modeled as a circular arc of a radius 𝑅(𝑅≫𝑏,\nsee the figure). As a result, the ray exits the disk at\na smaller height 𝑟−ℎabove the optical axis (ℎ≪𝑟).\nThe angle of bending 𝜑of the ray inside the material\nis related to ℎby:\ncos 𝜑= 1 −ℎ\n𝑅\n(20)\n\nTheoretical Solutions\nFrom the Snell’s law it follows that:\n𝑛(𝑟) sin(𝜋/2) = 𝑛(𝑟−ℎ) sin(𝜋/2 −𝜑) = 𝑛(𝑟−ℎ) cos 𝜑\n(21)\nUp to terms, linear in ℎ, one may write that:\ncos 𝜑=\n𝑛(𝑟)\n𝑛(𝑟−ℎ) ≈1 + 𝑛′(𝑟)\n𝑛(𝑟) ℎ\n(22)\nThus, the radius of the ray inside the material, is:\n𝑅= −𝑛(𝑟)\n𝑛′(𝑟)\n(23)\nand the bending angle is approximately:\n𝜑= 𝑏\n𝑅= −𝑛′(𝑟)𝑏\n𝑛(𝑟)\n(24)\nAlternatively, the students may trace a small part of\nthe wavefront, associated with two rays, incident at\nclose distances 𝑟and 𝑟+ d𝑟from the optical axis. By\nnoticing that the wavefront is perpendicular to the\nrays, the angle 𝜑of deviation of the rays is equal\nto the angle of rotation of the wavefront. Let 𝑣(𝑟) =\n𝑐/𝑛(𝑟) be the speed of light in the material at a dis-\ntance 𝑟from the axis. The time-rate ¤𝜑, i.e. the angu-\nlar speed of the wavefront is:\n¤𝜑= d𝑣(𝑟)/d𝑟= −𝑐𝑛′(𝑟)/𝑛(𝑟)2\n(25)\nThe rays reach the opposite surface of the disk in\napproximately the same time 𝑡= 𝑏𝑛(𝑟)/𝑐, so the total\ndeflection angle of the wavefront, and of the rays,\nthereof, is 𝜑= ¤𝜑𝑡= −𝑛′(𝑟)𝑏/𝑛(𝑟)\nUpon exiting the disk, the ray undergoes additional\nrefraction, and inclines at a new angle 𝜃relative to\nthe optical axis. The Snell’s law in the small-angle\napproximation (sin 𝜃≈𝜃, sin 𝜑≈𝜑) states that:\n𝜃= 𝑛(𝑟−ℎ)𝜑≈𝑛(𝑟)𝜑= −𝑛′(𝑟)𝑏\n(26)\nSince 𝑛′(𝑟) = 𝛾𝑇′(𝑟) = 2𝑚𝑟, one obtains the following\nexpression for the angle of inclination:\n𝜃= 2𝛾|𝑚|𝑟\n(27)\nIt is clear from the figure that:\n𝑓= 𝑟−ℎ\ntan 𝜃≈𝑟\n𝜃=\n1\n2𝛾|𝑚|𝑏\n(28)\nwhich reproduces the result obtained by the Fer-\nmat’s principle.\nTask\nPts.\nStates or shows on a graph that the light\nray inside the material can be approximated\nby an arc OR illustrates on a graph that the\nwavefront is perpendicular to the light rays\n0.2\nDerives the relation cos 𝜑= 1 −ℎ/𝑅or equiv-\nalent OR expresses the time of travel of the\nray across the disk\n0.5\nApplies the Snell’s law to the ray path in-\nside the material OR derives a formula for\nthe time-rate ¤𝜑by considering the wavefront\npassing through two closely separated rays\n0.8\nFinds expression for the bending angle 𝜑in-\nside the material\n0.5\nApplies the Snell’s law for the refraction of\nrays exiting the disk\n0.5\nUses the 𝑇(𝑟) dependence to find 𝑛′(𝑟)\n0.5\nDerives an expression for the focal length 𝑓\nin terms of 𝑚or of the parameters given in\nthe problem statement\n0.8\nCalculates 𝑓numerically\n0.2\nTotally on (c)\n4.0\nAlternatively:\nConsider a ray incident at a specific height 𝑟0. Let\n𝑥∈[0, 𝑏] be the horizontal coordinate of the ray inside\nthe material. Our goal is to find approximately the\nprofile 𝑟(𝑥) of the light ray inside the material. From\nSnell’s law:\n𝑛(𝑟) cos 𝜑= 𝑛(𝑟0)\nSince:\ntan 𝜑= −d𝑟(𝑥)\nd𝑥\n= −\np\n(1 −cos2 𝜑)\ncos 𝜑\nwe obtain:\n−d𝑟(𝑥)\nd𝑥\n=\np\n(𝑛(𝑟) −𝑛(𝑟0))(𝑛(𝑟) + 𝑛(𝑟0))\n𝑛(𝑟)\nSince 𝑛(𝑟) ≈𝑛(𝑟0) + 𝑛′(𝑟0)(𝑟−𝑟0) = 𝑛(𝑟0) + 2𝛾|𝑚|𝑟0(𝑟0 −𝑟),\nthe differential equation approximates to:\n−d𝑟(𝑥)\nd𝑥\n=\ns\n4𝛾|𝑚|𝑟0\n𝑛(𝑟0)\n√\n𝑟0 −𝑟\nwhich is solvable by separation of variables and gives\nan approximate parabolic path:\n𝑟(𝑥) = 𝑟0 −𝛾|𝑚|𝑟0\n𝑛(𝑟0) 𝑥2\nFinally, for the angle, just before exiting the disk, we\nobtain:\n𝜑≈tan 𝜑= −𝑟′(𝑥= 𝑏) = 2𝛾|𝑚|𝑟0𝑏\n𝑛(𝑟0)\n\nTheoretical Solutions\nTask\nPts.\nApplies the Snell’s law to express the angle\n𝜑dependence on 𝑟for one ray\n0.8\nExpresses tan 𝜑= 𝑑𝑟/𝑑𝑥\n0.2\nApplies approximation to derive a separable\ndifferential equation for 𝑟(𝑥)\n0.8\nIntegrates to obtain parabolic path\n0.5\nFinds expression for the angle 𝜑, before exit-\ning the disk\n0.2\nApplies the Snell’s law for the refraction of\nrays exiting the disk\n0.5\nDerives an expression for the focal length 𝑓\nin terms of 𝑚or of the parameters given in\nthe problem statement\n0.8\nCalculates 𝑓numerically\n0.2\nTotally on (c)\n4.0\n\nTheoretical Solutions\nT2: A brick between planes - Solution\n(a)\nThe brick is squeezed between the plates and con-\nstrained between the plates, so the normal force on\nthe top and bottom surfaces of the brick must be\nequal.\nSince the brick is moving relative to each plate,\nthe kinetic friction vector on each surface must also\nbe equal in magnitude, but in a direction given by\nthe relative velocity of each plate with respect to the\nbrick. Note that this statement is true whether the\nplates are moving at the same speed, or different\nspeeds.\nA simple vector diagram can illustrate the velocity\nvectors, the frictional force vectors, and the net force\nvector.\n𝑢1\n𝑢2\n𝐹1\n𝐹2\n𝐹\nThen ®𝑎= ®𝐹/𝑚, and after a time Δ𝑡the new relative\nvelocity vectors will be given by\n𝑢1\n𝑢2\n𝑎Δ𝑡\n𝑢′\n1\n𝑢′\n2\nBy symmetry, this continues so that the accelera-\ntion of the brick is always at 45 degrees, until even-\ntually,\n𝑢1\n𝑢2\n𝑣\n𝑢′\n1\n𝑢′\n2\nFigure 1: Vector diagram for solution of part (a)\nAs such, 𝑣= 𝑢1/\n√\n2.\n(a)\nPts\nUse symmetry to find 𝑢′\n1 = 𝑢′\n2. Must\nbe stated!\n1.0\n®𝑢′\n1 = −®𝑢′\n2 at steady state.\nMust be\nstated!\n1.0\nVector diagram or algebraic equiva-\nlent Fig 1\n1.0\nCorrectly find 𝑣\n1.0\nTotal on (a)\n4.0\nThe two “must be stated” points above need some\nsort of clear justification, but does not need to be\nwritten out in sentences. Just using it in the vector\ndiagram is not sufficient to earn the points.\nSpecial case for students who solve part (b) first\nA student who solves part (b) correctly, at least as far\nas required to solve part (a), and then uses it to write\nthe answer for part (a) correctly will get full marks\nfor part (a). A single trivial mistake in the applica-\ntion of a fully correct part (b) to part (a) will result in\nhalf marks for part (a). Trivial mistakes are a clearly\nidentifiable sign error in an an algebra expression,\nor dropped coefficient between lines. Mistakes that\nmake the answer dimensionally incorrect or physi-\ncally improbable are not trivial, and would result in\n0 marks for part (a).\nA student who does not have full marks for part (b),\nbut who used the results of part (b) that has incorrect\nphysics to answer part (a), will get no marks for part\n(a), even if the answer to part (a) is correct.\n(b)\nThough the initial vector diagram for velocities looks\ndifferent, the force components are still equal in\nmagnitude, directed along the relative velocity vec-\ntors.\n𝑢1\n𝑢2\n𝐹1\n𝐹2\n𝐹\nThen ®𝑎= ®𝐹/𝑚, and after a time Δ𝑡the new relative\nvelocity vectors will be given by\n𝑢1\n𝑢2\n𝑎Δ𝑡\n𝑢′\n1\n𝑢′\n2\nThe process is repeated, where the direction of the\nnet force is the angle bisector of the relative velocity\nvectors ®𝑢′\n1 and ®𝑢′\n2\nAs the quantity 𝑎Δ𝑡is a small quantity compared to\nthe magnitude of the velocity vectors, we can con-\nclude that an equal amount is removed from each of\nthe velocity vectors, so that magnitude comparison\n𝑢1 −𝑢2 = 𝑢′\n1 −𝑢′\n2\n(29)\nis a conserved quantity.\nFor the next step, the net force vector is still the\nangle bisector for 𝑢1 and 𝑢2. The above arguments\nwill hold true for the conserved quantity, and then\nthe final velocity can be found by\n\nTheoretical Solutions\n𝑢1\n𝑢2\n𝑢′\n1\n𝑢′\n2\n𝐹1\n𝐹2\n𝐹\nFigure 2: The correct construction to find direction\nof net force\n𝑢1\n𝑢2\n𝑣\n𝑢′\n1\n𝑢′\n2\nFigure 3: Vector diagram for solution of part (b)\nThen\n(𝑢′\n1 + 𝑢′\n2)2 = 𝑢2\n1 + 𝑢2\n2 = 𝐷2\n(30)\nand\n𝑢′\n1 −𝑢′\n2 = 𝑢1 −𝑢2 = 𝛿\n(31)\ncan be solved for 𝑢′\n1 and 𝑢′\n2, with\n𝑢′\n2 = 1\n2 (𝐷−𝛿)\nand\n𝑢′\n1 = 1\n2 (𝐷+ 𝛿)\nThis gives the components of 𝑣as\n𝑣𝑥= 𝑢′\n2\n𝐷𝑢1 = 𝑢1\n2\n\u0012\n1 −𝛿\n𝐷\n\u0013\n(32)\nand\n𝑣𝑦= 𝑢′\n1\n𝐷𝑢2 = 𝑢2\n2\n\u0012\n1 + 𝛿\n𝐷\n\u0013\n(33)\nand the magnitude is\n𝑣= 1\n2\nr\n𝐷2 + 𝛿2 −2 𝛿\n𝐷\n\u0000𝑢2\n1 −𝑢2\n2\n\u0001\n(34)\nWriting this in terms of 𝑢1 and 𝑢2 is left as an exercise\nfor the reader.\n𝑣=\nv\nu\nu\nu\nu\nt1\n2\n©­­\n«\n𝑢2\n1 + 𝑢2\n2 −𝑢1𝑢2 −(𝑢1 −𝑢2)2(𝑢1 + 𝑢2)\nq\n𝑢2\n1 + 𝑢2\n2\nª®®\n¬\n=\n1\n√\n2\nv\nu\nu\nu\nu\nt\n𝑢1𝑢2 −(𝑢1 −𝑢2)2 ©­­\n«\n𝑢1 + 𝑢2\nq\n𝑢2\n1 + 𝑢2\n2\n−1\nª®®\n¬\n(b) Scheme G1\nPts\nShow/explain that ®𝑎is always angle\nbisector\n1.0\nShow that 𝛿(Eq 29) is a constant of\nthe motion\n1.0\n®𝑢′\n1 and ®𝑢′\n2 are in opposite directions at\nsteady state\n1.0\nVector diagram for relative velocities\nFig 3\n1.0\nApply 𝐷(Eq 30) or equivalent\n0.2\nApply 𝛿(Eq 31) or equivalent\n0.2\nCorrectly find 𝑣𝑥or 𝑣𝑦\n0.4\nCorrectly find other one\n0.2\nCorrectly find 𝑣\n1.0\nTotal on (b)\n6.0\nA student who correctly finds 𝑣without explicitly\nwriting 𝑣𝑥and 𝑣𝑦will be assumed to have found 𝑣𝑥and\n𝑣𝑦by applying 𝐷and 𝛿and should get those points.\nAn incorrect value for 𝑣𝑥or 𝑣𝑦or 𝑣that is dimen-\nsionally correct and wrong only because of a math\nerror will get half marks, but the math error must be\nclear.\nWriting 𝑣in an equivalent form of Eq. 34 but not in\nthe final form in terms of 𝑢1 and 𝑢2 only receives only\n0.6/1.0 points for last part.\nPossible Error Scenarios\nStudents who attempt graphical approach who have\nan error below should follow the grading scheme be-\nlow.\n1. Assuming that the direction of the frictional\nforce is given by the vector sum of the rela-\ntive velocities.\nAn example of the improper vector construction\nis shown in the following figure.\n𝑢1\n𝑢2\n𝑢′\n1\n𝑢′\n2\n𝐹1\n𝐹2\n𝐹\nThe immediate consequence is that Eq. 29 is no\nlonger true. With quick inspection, the student\nshould conclude that the final state must have\n®𝑢1 = −®𝑢2, and then the graphical velocity picture\nwould be, at steady state,\n𝑢1\n𝑢2\n𝑣\n𝑢′\n1\n𝑢′\n2\n\nTheoretical Solutions\n(b) Scheme E1\nPts\nVector diagram showing (incor-\nrect!) force direction, or equiva-\nlent statement\n0.5\nA clear statement that the (incor-\nrect) force direction depends on\nthe vector sum of the relative ve-\nlocities (see note below!)\n0.5\nExplicitly stating (incorrect!) ®𝑢′\n1 =\n−®𝑢′\n2 at steady state.\n0.5\nVector diagram for steady state,\nor equivalent statement\n0.8\nStating 𝑣= 1\n2\nq\n𝑢2\n1 + 𝑢2\n2\n0.7\nTotal on (b)\n3.0\nThere is no other partial credit possible for this\napproach.\nNote: the student must demonstrate knowledge\nthat the force is proportional to the relative ve-\nlocity; if they only look at the force at the start\nof the problem, and never address what happens\nas the problem evolves, they don’t get this 0.5\npoints.\n2. Assuming that the direction of the final ve-\nlocity is orthogonal to the vector difference\nof the velocities of the plates.\nThis scheme only applies when a student explic-\nitly states that 𝑣is perpendicular. Do not use this\ngrading scheme if it is simply a vaguely drawn\nvector diagram.\nIt is true that the acceleration vector approaches\nthe steady state orthogonal to the hypotenuse of\nthe triangle, but not the final velocity. As such,\nthe following vector diagram is wrong:\n𝑢1\n𝑢2\n𝑣\n𝑢′\n1\n𝑢′\n2\nIt is possible that the student started with some\ncorrect physics according to the original ap-\nproach, and then makes the above assumption\nto finish the problem; it is also possible that they\nstarted with the perpendicular assumption.\nIf the only mistake is a bad final vector di-\nagram with a perpendicular marking, but\nthen did the algebra based on 𝐷and 𝛿then\nuse the following:\n(b) Scheme E2A\nPts\nShow/explain that ®𝑎is always an-\ngle bisector\n1.0\nShow that 𝛿(Eq 29) is a constant\nof the motion\n1.0\n®𝑢′\n1 and ®𝑢′\n2 are in opposite directions\nat steady state\n1.0\nVector diagram above (incorrect!)\nfor relative velocities at steady\nstate, or any statement that final\n𝑣is orthogonal.\n0.5\nApply 𝐷(Eq 30) or equivalent\n0.2\nApply 𝛿(Eq 31) or equivalent\n0.2\nCorrectly find 𝑣𝑥\n0.3\nCorrectly find 𝑣𝑦\n0.3\nCorrectly find 𝑣\n1.0\nTotal on (b)\n5.5\nA student who correctly finds 𝑣without explicitly\nwriting 𝑣𝑥and 𝑣𝑦will be assumed to have found 𝑣𝑥\nand 𝑣𝑦by applying 𝐷and 𝛿and should get those\npoints.\nAn incorrect value for 𝑣𝑥or 𝑣𝑦or 𝑣that is di-\nmensionally correct and wrong only because of\na math error will get half marks, but the math\nerror must be clear.\nWriting 𝑣in an equivalent form of Eq. 34 but not\nin the final form in terms of 𝑢1 and 𝑢2 only re-\nceives only 0.6/1.0 points for last part.\nIf the mistake is that they used the perpen-\ndicular vector diagram to solve the problem,\nthen their answers would be different, so\nuse the following:\n(b) Scheme E2B\nPts\nShow/explain that ®𝑎is always an-\ngle bisector\n1.0\nShow that 𝛿(Eq 29) is a constant\nof the motion\n1.0\n®𝑢′\n1 and ®𝑢′\n2 are in opposite directions\nat steady state\n1.0\nVector diagram above (incorrect!)\nfor relative velocities at steady\nstate, or any statement that final\n𝑣is orthogonal.\n0.5\nFind (incorrect!) 𝑣= 𝑢1𝑢2/\nq\n𝑢2\n1 + 𝑢2\n2\n1.0\nTotal on (b)\n4.5\nA dimensionally correct formula for 𝑣that differs\nfrom above because of a single math error in a\nclear derivation based on the figure will get 0.5\nout of 1.0 for the 𝑣.\n3. Assuming that the final velocity is the aver-\nage of the vector velocities of the plates.\nNote that this approach yields the same result as\na previous approach, but it is not worth as many\npoints, as the fundamental physics starts from\na higher level incorrect assumption. Here, the\nstudent is just assuming that the final speed is\nan average, in the previous approach the student\n\nTheoretical Solutions\nhad an error in the direction of the forces. If they\nuse forces, a previous grading scheme applies.\n𝑢1\n𝑢2\n𝑣\n𝑢′\n1\n𝑢′\n2\n(b) Scheme E3\nPts\nExplicity stating\n®𝑢′\n1\nand\n®𝑢′\n2\nare\nin opposite directions at steady\nstate.\n1.0\nVector diagram above\n0.5\nStating 𝑣= 1\n2\nq\n𝑢2\n1 + 𝑢2\n2\n0.5\nTotal on (b)\n2.0\nThere is no other partial credit possible for this\napproach.\n4. Assuming that the final velocity is the vector\nsum of the velocities of the plates.\nThough very tempting, it violates so many re-\nquirements for a steady state solution that this\nis not worth very many points at all.\n𝑢1\n𝑢2\n𝑣\n(b) Scheme E4\nPts\nVector diagram above\n0.5\nTotal on (b)\n0.5\nThere are no points for finding an expression for\n𝑣, as the method is just wrong.\nAlternative Approaches\nNon-Cartesian\nDifferential\nEquations\nEffec-\ntively a graphical approach without graphics, one\ncan focus on the relative velocity vectors as coordi-\nnate axis. Then the important equations of motion\nare\n𝑑𝑢1𝑟\n𝑑𝑡\n= −𝐹\n𝑚and 𝑑𝑢2𝑟\n𝑑𝑡\n= −𝐹\n𝑚\n(35)\nwhere the force magnitude 𝐹is a function of the rel-\native directions of the coordinate axes ®𝑢1𝑟and ®𝑢2𝑟.\nThe student can quickly realize that the difference\nof these two expressions is zero, so that 𝛿is a con-\nstant of the motion.\nAt steady state, 𝐹= 0, and this happens when ®𝑢1𝑟\nand ®𝑢2𝑟point in opposite directions.\n(b) Scheme A1\nPts\nA set of differential equations Eq35\n1.0\nShow that 𝛿(Eq 29) is a constant of\nthe motion\n1.0\n®𝑢′\n1 and ®𝑢′\n2 are in opposite directions at\nsteady state\n1.0\nEquivalent math statement or dia-\ngram for steady state relative veloci-\nties Fig 3\n1.0\nApply 𝐷(Eq 30) or equivalent\n0.2\nApply 𝛿(Eq 31) or equivalent\n0.2\nCorrectly find 𝑣𝑥or 𝑣𝑦\n0.4\nCorrectly find other one\n0.2\nCorrectly find 𝑣\n1.0\nTotal on (b)\n6.0\nA student who correctly finds 𝑣without explicitly\nwriting 𝑣𝑥and 𝑣𝑦will be assumed to have found 𝑣𝑥and\n𝑣𝑦by applying 𝐷and 𝛿and should get those points.\nAn incorrect value for 𝑣𝑥or 𝑣𝑦or 𝑣that is dimen-\nsionally correct and wrong only because of a math\nerror will get half marks, but the math error must be\nclear.\nWriting 𝑣in an equivalent form of Eq. 34 but not in\nthe final form in terms of 𝑢1 and 𝑢2 only receives only\n0.6/1.0 points for last part.\nFollow on errors are not allowed for first parts, as\nthe math expressions are almost trivial.\nThey are\nalso not allowed for the algebraic part at the end; see\npossible mistakes above for possible scenarios where\npoints could be awarded by writing an equivalent al-\ngebraic expression for the graphical approach.\nCartesian Differential Equations\nAttempting to\nset up equations of motions in a Cartesian system\nrequires finding the direction of relative velocity of\neach surface. Assuming that 𝑢1 is in the 𝑥direction\nand 𝑢2 is in the 𝑦direction, and if the velocity compo-\nnents of the block are 𝑣𝑥and 𝑣𝑦, the relative velocities\nof the planes are\n𝑢1𝑟𝑥= 𝑢1 −𝑣𝑥and 𝑢1𝑟𝑦= −𝑣𝑦\nand\n𝑢2𝑟𝑥= −𝑣𝑥and 𝑢2𝑟𝑦= 𝑢2 −𝑣𝑦\nThe forces of friction from each plane are equal in\nmagnitude and directed along the relative velocity\nvectors, so a steady state solution is when these two\nrelative vectors are in opposite directions.\nThe force vectors then have components\n𝐹1𝑥= 𝐹𝑢1𝑟𝑥\n𝑢1𝑟\nand 𝐹1𝑦= 𝐹𝑢1𝑟𝑦\n𝑢1𝑟\nand\n𝐹2𝑥= 𝐹𝑢2𝑟𝑥\n𝑢2𝑟\nand 𝐹2𝑦= 𝐹𝑢2𝑟𝑦\n𝑢2𝑟\nThis gives the following equation of motion for the\nblock:\n𝑑𝑣𝑥\n𝑑𝑡= 𝑎𝑥= 𝐹\n𝑚\n\u0012𝑢1𝑟𝑥\n𝑢1𝑟\n+ 𝑢2𝑟𝑥\n𝑢2𝑟\n\u0013\nand\n𝑑𝑣𝑦\n𝑑𝑡= 𝑎𝑦= 𝐹\n𝑚\n\u0012𝑢1𝑟𝑦\n𝑢1𝑟\n+ 𝑢2𝑟𝑦\n𝑢2𝑟\n\u0013\n\nTheoretical Solutions\nA student might have noticed that this is a nasty\nset of coupled differential equations.\nBoth of these have vanishing accelerations accord-\ning to the same condition:\n𝑢2\n1𝑟𝑥𝑢2\n2𝑟𝑦= 𝑢2\n2𝑟𝑥𝑢2\n1𝑟𝑦\nwhich is merely the statement that at steady state\nthe two relative velocity vectors are in opposite di-\nrections. As this is still only one equation, it is not\npossible to find the steady state 𝑣𝑥and 𝑣𝑦from this\nalone. A simpler expression can be found, however,\n𝑢1𝑢2 = 𝑢1𝑣𝑦+ 𝑢2𝑣𝑥.\n(36)\nThis, however, is merely the statement of the\ngraphical vector diagram\n𝑢1\n𝑢2\n𝑣\n𝑢′\n1\n𝑢′\n2\nStill, it is not possible to know where the vector ®𝑣\ntouches the line described by ®𝑢1 −®𝑢2.\nThis isn’t the end, however. Consider\n𝑢2\n1𝑟= 𝑢2\n1𝑟𝑥+ 𝑢2\n1𝑟𝑦\nTaking the time derivative, one gets\n𝑢1𝑟¤𝑢1𝑟= 𝑢1𝑟𝑥¤𝑢1𝑟𝑥+ 𝑢1𝑟𝑦¤𝑢1𝑟𝑦\nCombine with the above, and\n𝑢1𝑟¤𝑢1𝑟= −𝐹\n𝑚\n \n𝑢2\n1𝑟𝑥\n𝑢1𝑟\n+ 𝑢1𝑟𝑥𝑢2𝑟𝑥\n𝑢2𝑟\n+\n𝑢2\n1𝑟𝑦\n𝑢1𝑟\n+ 𝑢1𝑟𝑦𝑢2𝑟𝑦\n𝑢2𝑟\n!\nwhich means\n¤𝑢1𝑟= −1 −𝑢1𝑟𝑥𝑢2𝑟𝑥\n𝑢1𝑟𝑢2𝑟\n−𝑢1𝑟𝑦𝑢2𝑟𝑦\n𝑢1𝑟𝑢2𝑟\nOut of symmetry, an identical expression will be\nfound for ¤𝑢2𝑟, which means that\n𝛿= 𝑢1𝑟−𝑢2𝑟\n(37)\nis a constant of the motion.\nAt this point, a student can apply the results of\nEq 36 with this constant difference formula and solve\nfor 𝑣𝑥and 𝑣𝑦as done in the first solution.\nIn the scheme below, finding the expression as-\nsumes found correctly and completely, and a student\nwould get 0.2 points for (most) expressions. There\nare no partial points if the equation is wrong.\nHowever, for the first four categories only (marked\nwith an *, follow on errors are not penalized for work\nbased on a previous mistake, assuming that it does\nnot trivialize the result.\n(b) Scheme A2\nPts\nExpressions\nfor\nrelative\nvelocity\ncomponents (4 @ 0.2 each, *)\n0.8\nExpressions for force components (4\n@ 0.2 each, *)\n0.8\nExpressions for acceleration compo-\nnents (2 @ 0.2 each, *)\n0.4\nState a condition for steady state\n0.5\nFind equation for steady state or\nequivalent to Eq 36 (must not have\nrelative velocity, or is incomplete, *)\n0.5\nShow that 𝛿(Eq 37) is a constant of\nthe motion (must be correct, regard-\nless of follow on error)\n1.0\nApply 𝐷(Eq 30) or equivalent\n0.2\nApply 𝛿(Eq 31) or equivalent\n0.2\nCorrectly find 𝑣𝑥or 𝑣𝑦\n0.4\nCorrectly find other one\n0.2\nCorrectly find 𝑣\n1.0\nTotal on (b)\n6.0\nA student who correctly finds 𝑣without explicitly\nwriting 𝑣𝑥and 𝑣𝑦will be assumed to have found 𝑣𝑥and\n𝑣𝑦by applying 𝐷and 𝛿and should get those points.\nAn incorrect value for 𝑣𝑥or 𝑣𝑦or 𝑣that is dimen-\nsionally correct and wrong only because of a math\nerror will get half marks, but the math error must be\nclear.\nWriting 𝑣in an equivalent form of Eq. 34 but not in\nthe final form in terms of 𝑢1 and 𝑢2 only receives only\n0.6/1.0 points for last part.\n\nTheoretical Solutions\nT3: Plate between magnets - Solution\nGeneral remarks:\nCalculational numerical errors - 0.2 p Dimension-\nally wrong answers - 0 p\nPart a) (∼3 pts)\nLet us analyze how the current in the metal starts to\nbuild up when we start moving the plate in the rest\nframe of the magnets. The free electrons in the metal\ntry to move together with the plate in the +𝑦direc-\ntion, but a Lorentz force pointing in the −𝑥direction\nmakes them deviate.\nAfter some time the charge accumulation stops and\nthe charge and current distributions do not depend\non time anymore. According to Ohm’s law,\n®𝑗= ®𝑗𝑃+ 1\n𝜚®𝑣× ®𝐵,\nwhere ®𝑗is the total current density, ®𝑣× ®𝐵is the re-\nsult of the Lorentz force, and ®𝑗𝑃is the current den-\nsity caused by the electric field (and is therefore a\npotential field).\nInside the circular region (𝑟< 𝑅) the Lorentz term\nis constant, but outside it is zero. Nevertheless, the\n𝐸-field of the accumulated charges is present there,\nwhich gives rise to a current. In the steady state con-\nsidered here, the charge distribution is constant in\ntime, and hence the total current density ®𝑗is source-\nfree everywhere. However, this does not hold for ®𝑗𝑃\nwhich is driven by the ”sources” and ”sinks” along\nthe rim of the circular region of radius 𝑅.\nThose\nsources and sinks compensate exactly the sources of\nthe Lorentz term mentioned above. Only a source-\nfree jump of the total current density is allowed on\nthe rim, resulting in the kinks on the streamlines\nalong the boundary.\nBased on these considerations, we can draw a qual-\nitative pattern of the current flow: inside the circular\ndisc, there is a flow in the direction of the Lorentz\nforce and the streamlines of the created flow of cur-\nrent close onto themselves outside of that region as\nshown in the figure below.\nfig. 1\nGrading scheme part a)\nPts\nStreamlines\nare\ncontinuous\nand\narrows are consistent along each\nstreamline\nand\nstreamlines\ndon’t\nmeet or intersect. If the streamlines\nare qualitatively (physically) wrong,\n0 p should be given.\n1.0\nTwofold symmetry∗with respect to 𝑥-\naxis (if axis is not indicated in any\nway, only 0.1 p)\n0.2\nTwofold symmetry with respect to 𝑦-\naxis (if axis is not indicated in any\nway, only 0.1 p)\n0.2\nIndicating the boundary of the circu-\nlar region\n0.1\nBreaking points on the boundary\n(only rewarded if both inside and out-\nside streamlines are shown)\n0.8\nAlong the 𝑦-axis the direction of cur-\nrent density is +𝑥inside and −𝑥out-\nside (if axis is not indicated in any\nway, 0.0 p; if the direction is correct\nin only one rigion, 0.3 p; if there is a\nsign mistake only, 0.3 p)\n0.7\nStating that current density is homo-\ngeneous inside is not required in part\na)\n0.0\nTotal on part a)\n3.0\nPart b (∼5 pts)\nFrom here on, we make use of the uniqueness of the\nsolution to the correctly posed boundary conditions\nfor the Maxwell equations inside the plate. We need\nto satisfy the condition that current density is source-\nless everywhere, i.e.\n∮\n®𝑗× ®𝑑𝑙= 0,\n(38)\nwhere ®𝑗denotes the current density and integral is\ntaken over an arbitrary closed loop inside the plate.\nThe current density must satisfy the Ohm’s law in\ndifferential form,\n®𝑗= 𝜌−1( ®𝐸+ ®𝑣× ®𝐵),\n(39)\nwhere ®𝑣denotes the velocity of the plate; the elec-\ntric field caused by the accumulated charges ®𝐸must\nsatisfy the circulation theorem,\n∮\n®𝐸· ®𝑑𝑙= 0,\n(40)\nwhere integration loop can be arbitrary. To close the\nsystem of equations we need to satisfy, we integrate\nEq. 39 either over a closed loop entirely inside or en-\ntirely outside the circular region then we obtain zero,\nbecause for such loops\n∮\n®𝑣× ®𝐵· ®𝑑𝑙= 0. From this we\nconclude that for such integration loops,\n∮\n®𝑗· ®𝑑𝑙= 0.\n(41)\nNote that the electric field\n®𝐸pol of a polarised\ncylinder satisfies Eq. 40, but we must also satisfy\n\nTheoretical Solutions\nEqns. (38,39). We will look for such a solution in the\nform of a superposition\n®𝑗= 𝜌−1( ®𝐸pol + ®𝑣× ®𝐵).\n(42)\nFirst we need to find an expression for the field ®𝐸pol.\nTo that end, we can consider the electric field pro-\nduced by an infinite homogeneously charged cylin-\nder of radius 𝑅and volume charge density 𝑞. From\nGauss’s law, we can conclude that inside and outside\nthe cylinder the electric field is\n®𝐸+(®𝑟) =\n\n\n1\n2𝜀0\n𝑞®𝑟\nif 𝑟≤𝑅,\n1\n2𝜀0\n𝑞𝑅2\n𝑟2 ®𝑟\nif 𝑟> 𝑅.\nNow we can take another similar cylinder of charge\ndensity −𝑞, displaced from the first cylinder by a\nsmall displacement vector ®𝑠.\nWith the origin still\nat the centre of the positively charged cylinder, the\nelectric field of this negatively charged cylinder is\nwritten as −®𝐸+(®𝑟−®𝑠) (which works for both inside and\noutside). Note that in the overlapping area of the two\ncylinders, the charge density is zero.\nfig. 2\nWe consider the limit |®𝑠| →0 while keeping the\nproduct 𝑞®𝑠= −®𝑃constant, which represents the vol-\nume density of the dipole moments (i.e. the polarisa-\ntion), constant. In this case, the field inside can be\ncalculated as\n®𝐸inside = ®𝐸+(®𝑟) + ®𝐸−(®𝑟) = ®𝐸+(®𝑟) −®𝐸+(®𝑟−®𝑠) = −1\n2𝜀0\n®𝑃,\n(43)\nwhich is homogeneous.\nOutside, the field is given by\n®𝐸outside = ®𝐸+(®𝑟) −®𝐸+(®𝑟−®𝑠) =\n1\n2𝜀0\n𝑞𝑅2\n\u0012 ®𝑟\n𝑟2 −\n®𝑟−®𝑠\n|®𝑟−®𝑠|2\n\u0013\n.\nExpanding the second term in the bracket up to first\norder (|®𝑠| ≪|®𝑟|):\n®𝑟−®𝑠\n|®𝑟−®𝑠|2 ≈\n®𝑟−®𝑠\n𝑟2 −2®𝑟®𝑠≈®𝑟−®𝑠\n𝑟2\n\u0012\n1 + 2 ®𝑟®𝑠\n𝑟2\n\u0013\n.\nSubstituting this into the formula of ®𝐸outside and sim-\nplifying:\n®𝐸outside =\n1\n2𝜀0\n𝑅2 2®𝑟(®𝑟®𝑃) −𝑟2 ®𝑃\n𝑟4\n.\nThis is the field of an ideal two-dimensional electric\ndipole. From this general formula we can obtain an\nexpression for the field along the 𝑦axis:\n®𝐸outside = −1\n2𝜀0\n®𝑃\n\u0012𝑅\n𝑟\n\u00132\n.\n(44)\nThe normal component of this field exhibits discon-\ntinuity 𝜎/𝜀at the boundary of the cylinder given by\nthe surface charge density 𝜎, which can be found\nagain from the superposition of the two cylinders:\nthe non-overlapping region has the shape of a cres-\ncent moon of width 𝑠in the 𝑥direction; this means\nthat the width in the radial direction is 𝑡= 𝑠cos 𝜑,\nwhere 𝜑denotes the angle between the radius vector\nand the 𝑥−𝑎𝑥𝑖𝑠. Hence, we can find the surface charge\ndensity as 𝜎= 𝑞𝑡= 𝑃cos 𝜑. Due to Gauss’ law, the ra-\ndial electric field jumps by an amount given by the\nsurface charge density, {𝐸𝑟} = 𝜎/𝜀0. This corresponds\nto a jump in the magnitude of the current density\n{ 𝑗} = 𝜌−1𝜎/𝜀0 = 𝜌−1𝜎𝑃cos 𝜑\n(45)\nwhich must eliminate the discontinuity due to the\njump in the radial component of the Lorentz force\nterm in Eq. (42, equal to\n{𝜌−1(𝑣× 𝐵)𝑟} = −𝑣𝐵cos 𝜑.\n(46)\nThe cancellation occurs when ®𝑃= −®𝑒𝑥𝑣𝐵𝜀0. Putting all\nthe results together, we can conclude that inside the\ncylinder, the current density in the plate is homoge-\nneous and equal to\n®𝑗= 1\n2\n®𝑣× ®𝐵\n𝜚\n.\n(47)\nOutside the cylinder, along the 𝑦axis, ®𝐵= 0 so that\n®𝑗=\n®𝐸outside\n𝜚\n= −1\n2𝜀0\n®𝑃\n\u0012 𝑅\n𝑟\n\u00132\n= −1\n2\n®𝑣× ®𝐵\n𝜚\n\u0012 𝑅\n𝑟\n\u00132\n.\n(48)\nNow we can plot the graph:\nfig. 3\n\nTheoretical Solutions\nGrading scheme part b)\nPts\nRealizing that ®𝑗is driven by the sum\nof the term (®𝑣× ®𝐵)/𝜚and the electric\nfield (if only one term is considered,\n0 p)\n0.5\nWriting the boundary condition for ®𝑗𝑃\nand for ®𝑗(or equivalent)\n0.5\nGuessing\nthe\nsolution\nof\nthe\n2D\nboundary value problem (either with\nanalogy\nof\na\npolarized\ndielectric\ncylinder or with the superposition of\na 2D dipole field outside and a uni-\nform field inside)\n1.0\nCalculating the electric field of a 2D\ndipole along the symmetry axis\n1.0\nFinding the appropriate weight of\nthe dipole field (i.e. dipole moment)\nby matching boundary conditions\n0.5\nExpressing ®𝑗inside and outside cor-\nrectly\n0.5\nPlotting the graph (axis are labelled\ncorrectly, 0.1+0.1; sign changes at\nthe rim and function jumps,\n0.3,\nfunction is constant in region [−𝑅, 𝑅]\n0.2, if the area below the curve could\nadd up to zero 0.3)\n1.0\nTotal on part b)\n5.0\nPart c(∼2 pts)\nMethod 1: integrating the force density.\nOnly\nthe current inside the magnetic field contributes to\nthe force. The force acting on an infinitesimal vol-\nume element d𝑉of the metal slab is given by\nd ®𝐹= ®𝑗inside × ®𝐵d𝑉.\nSince ®𝑗inside and ®𝐵are uniform in the region of non\nzero 𝐵, and perpendicular, the integral simplifies to\n®𝐹= ®𝑗inside ®𝐵\n∫\nd𝑉= ®𝑗inside × ®𝐵𝑉= ®𝑗inside × ®𝐵𝜋𝑅2𝛿.\nUsing our previous result for the current density we\nget\n®𝐹= 𝜋𝑅2𝛿\n2𝜚(®𝑣× ®𝐵) × ®𝐵= −𝜋𝑅2𝛿\n2𝜚𝐵2®𝑣.\nThe direction of the force is opposite to the velocity\nof the plate, in agreement with physical intuition.\nGrading of part c) - Method 1\nPts\nExpressing the force acting on a cur-\nrent element\n0.5\nintegrating over the circular region\n1.0\nfinal result (it can be given only if\nprefactor is correct)\n0.5\nTotal on part c)\n2.0\nMethod 2: integrating the dissipated power.\nDue to energy conservation, the mechanical power\nprovided by the external force is dissipated in the\nplate in the form of Joule heat:\n𝐹𝑣= 𝑃dissipated .\nThe volume density of the dissipated power is 𝜚𝑗2, so\nthe total power of dissipation can be written as an\nintegral over the volume:\n𝑃dissipated =\n∫\nin\n𝜚𝑗2\ninside d𝑉+\n∫\nout\n𝜚𝑗2\noutside d𝑉.\nThe first integral simplifies due to the constant cur-\nrent density inside the circular region of radius 𝑅:\n∫\nin\n𝜚𝑗2\ninside d𝑉= 𝜚𝑗2\ninside𝑉= 1\n4𝜚𝑣2𝐵2 · 𝜋𝑅2𝛿.\nIn order to evaluate the second integral, let us calcu-\nlate 𝑗2\noutside first:\n𝑗2\noutside =\n1\n4𝜚2 𝑅4 |𝑟2®𝑣−2®𝑟(®𝑟®𝑣)|2\n𝑟8\n𝐵2 ,\nwhere the absolute value squared can be simplified\nas\n|𝑟2®𝑣−2®𝑟(®𝑟®𝑣)|2 = 𝑟4𝑣2 −4𝑟2(®𝑟®𝑣)(®𝑟®𝑣) + 4𝑟2(®𝑟®𝑣)(®𝑟®𝑣) = 𝑟4𝑣2\nso the quantity 𝑗2\noutside depends on the distance 𝑟only\n(and not on the polar angle):\n𝑗2\noutside =\n1\n4𝜚2 𝑅4 𝑣2)\n𝑟4 𝐵2 .\nNow the power dissipated outside the circular region\n(𝑟> 𝑅) can be written as:\n∫\nout\n𝜚𝑗2\noutside d𝑉=\n∞\n∫\n𝑅\n1\n4𝜚2 𝑅4 𝑣2\n𝑟4 𝐵2 · 2𝛿𝜋𝑟d𝑟\nLet us evaluate the integral:\n∫\nout\n𝜚𝑗2\noutside d𝑉= 𝑣2𝐵2𝜋𝑅4𝛿\n2𝜚\n∞\n∫\n𝑅\nd𝑟\n𝑟3 = 𝑣2𝐵2𝜋𝑅4𝛿\n2𝜚\n1\n2𝑅2 .\nIt is an interesting coincidence that the power dissi-\npated inside and outside is the same. Now the total\npower of dissipation is known and the force can be\ncalculated:\n𝐹=\n𝑃dissipated\n𝑣\n= 𝜋𝑅2𝛿\n2𝜚𝐵2𝑣.\nGrading of part c) - Method 2\nPts\nExpressing the force in terms of the\ndissipated power\n0.5\nintegrating over the circular region\n0.3\nintegrating over the outer region\n0.7\nfinal result (it can be given only if\nprefactor is correct)\n0.5\nTotal on part c)\n2.0\nAn incorrect method of obtaining the correct\nanswer. The correct solution described above can\nbe carried out with minor modifications when using\nthe reference frame of the plate, where the circular\nregion of the magnetic field moves with velocity −®𝑣.\n\nTheoretical Solutions\nThe only difference is that the Lorentz force 𝑒®𝑣× ®𝐵\nacting on the charge carriers in the cylinder frame\nis now replaced by the Coulomb force 𝑒®𝐸𝐵, where\n®𝐸𝐵= ®𝑣× ®𝐵is the electric field resulting now from the\nLorentz transformation.\nWhat we need to notice is that there is no electric\nfield outside of the cylinder (𝑟> 𝑅) at large distances\nin the 𝑧direction from the plate. Indeed, there are\nclearly no fields there (neither ®𝐵nor ®𝐸) in the cylin-\nder’s frame. Using the Lorentz transformation it is\nclear that no fields can emerge in our new frame.\nMeanwhile, outside the cylinder and inside the plate,\nthere is definitely an electric field driving the cur-\nrent flow as derived above.\nThe tangential-to-the-\nplate electric field cannot be discontinuous at the\nsurface because the electrostatic field (in the cylin-\nder’s frame) is potential. Hence, outside the cylinder\nand outside the plate, there is also an electric field\nin the neighbourhood of the plate, It is caused by the\ncharge density formed on and in the plate, the gen-\neration of which is described in the solution of Part\na).\nFrom large distances, however, these charges\nare seen as an electric dipole, whose field vanishes\ninversely proportional to the cubed distance.\nA tempting but incorrect approach is trying to de-\nscribe the motion of the cylinder in the plate’s frame\nas a discontinuous stepping motion of the cylinders:\nat the current position of the cylinder, the magnetic\nflux disappears and at the same time reappears at\na small distance away from its previous position.\nAccording to the Faradey’s law, the disappearing\nflux will produce circular clockwise fieldlines of ®𝐸,\nand the reappearing flux will produce slightly dis-\nplaced counterclockwise fieldlines. The correspond-\ning fields and their superposition ®𝐸𝑠(®𝑟) can be easily\ncalculated, see below. The result turns out to be ex-\nactly the same as the field ®𝐸𝑜(®𝑟) obtained above for\nthe field inside the plate. However, the equivalence\nof these fields is just a coincidence (there is a good\nreason for this coincidence: in both cases, the field\nis obtained as a superposition of the fields produced\nby two overlapping cylinders). Furthermore, there\nis a fundamental difference: in reality, the field ®𝐸𝑜(®𝑟)\nis only observed in the plate (at 𝑧≈0) and disap-\npears at 𝑧≫𝑅; meanwhile, in the stepping cylinder\nmodel, the field ®𝐸𝑠(®𝑟) remains the same regardless of\nthe value of 𝑧.\nThe reason why the stepping cylinder model gives\nan incorrect result — producing an electric field in\nthose places where there clearly is none — lies in\nthe theory of relativity. A continuously moving (not\nstepping) cylinder obtains a surface charge, because\nthe current density and the charge density together\nform a 4-vector.\nThere is a bound surface current\non the surface of the cylinder (creating the magnetic\nfield inside), and as the cylinder moves, the Lorentz\ntransformation tells us that there will now also be a\nsurface charge creating an electric field both inside\nand outside the cylinder.\nSo, with a moving cylin-\nder, the changing flux creates an electric field out-\nside which is cancelled out by the surface charges\non the cylinder. Inside the cylinder, these two fields\nadd up constructively.\nIn what follows, we analyse mathematically the\nmodel of stepping cylinders. By considering two al-\nmost overlapping circles with a short time interval\n𝜏between, it is clear that any flux change occurs on\nrim (see fig. 1). This changing flux gives rise to an in-\nduced electric field which makes the charge carriers\nmove inside the plate resulting electrical currents.\nfig. 1\nConsidering the red region in the figure as the ini-\ntial non-zero 𝐵field, and the green region as the non-\nzero 𝐵field after time 𝜏, the yellow overlapping re-\ngion corresponds to a non changing magnetic flux,\nwhile red on the right is decreasing, and green on\nthe left is increasing. The average rate of change of\n𝐵-field in the two regions is ±𝐵/𝜏, respectively.\nThe induced electric field can be found as a super-\nposition of the electric fields generated by the flux\nchange in the two overlapping circular regions. For\none circular region with increasing 𝐵-field in the +𝑧\ndirection, the magnitude of the electric field can be\nfound from Faraday’s law applied for a circular 𝐸-\nfield line:\n𝐸+(𝑟) · 2𝜋𝑟= dΦ\nd𝑡,\nwhere the rate of enclosed flux change is given by\ndΦ\nd𝑡=\n\n\n𝜋𝑟2 𝐵\n𝜏,\nif 𝑟≤𝑅,\n𝜋𝑅2 𝐵\n𝜏,\nif 𝑟> 𝑅.\nFrom here the modulus of the induced electric field\ncan be expressed. It is convenient to write the result\nin the vectorial form with the help of position vector\n®𝑟, unit vector ®𝑒𝑧and Lenz’s law:\n®𝐸+(®𝑟) =\n\n\n1\n2\n𝐵\n𝜏®𝑟× ®𝑒𝑧,\nif 𝑟≤𝑅,\n1\n2\n𝐵\n𝜏\n𝑅2\n𝑟2 ®𝑟× ®𝑒𝑧,\nif 𝑟> 𝑅.\nA similar formula gives the 𝐸-field generated by the\nregion of decreasing magnetic flux, we only need to\nchange the sign and replace ®𝑟with ®𝑟−®𝑣𝜏.\nfig. 2\n\nTheoretical Solutions\nNow take the superposition of the induced electric\nfields produced by the two overlapping circular re-\ngions. Between the two magnets (𝑟≤𝑅) we get\n®𝐸inside = ®𝐸+ + ®𝐸−= 1\n2\n𝐵\n𝜏®𝑟× ®𝑒𝑧−1\n2\n𝐵\n𝜏(®𝑟−®𝑣𝜏) × ®𝑒𝑧= 1\n2 ®𝑣× ®𝑒𝑧𝐵.\nUsing the differential form of Ohm’s law ®𝑗= ®𝐸/𝜚, we\ncan conclude that the current density in the metal\nplate in the region 𝑟≤𝑅is uniform,\n®𝑗inside = 1\n2𝜚®𝑣× ®𝐵,\nwhere we used that ®𝐵= 𝐵®𝑒𝑧.\nSimilarly, in the region 𝑟> 𝑅we get:\n®𝐸outside = ®𝐸+ + ®𝐸−= 1\n2\n𝐵\n𝜏𝑅2\n\u0014 ®𝑟\n𝑟2 −\n®𝑟−®𝑣𝜏\n|®𝑟−®𝑣𝜏|2\n\u0015\n× ®𝑒𝑧.\nExpanding the second term in the bracket up to first\norder (|®𝑣𝜏| ≪|®𝑟|):\n®𝑟−®𝑣𝜏\n|®𝑟−®𝑣𝜏|2 ≈\n®𝑟−®𝑣𝜏\n𝑟2 −2®𝑟®𝑣𝜏≈®𝑟−®𝑣𝜏\n𝑟2\n\u0012\n1 + 2 ®𝑟®𝑣𝜏\n𝑟2\n\u0013\n.\nSubstituting this into the formula of ®𝐸outside and sim-\nplifying:\n®𝐸outside = 1\n2 𝐵𝑅2 𝑟2®𝑣−2®𝑟(®𝑟®𝑣)\n𝑟4\n× ®𝑒𝑧.\nFinally, the current density in the region 𝑟> 𝑅is the\nfollowing\n®𝑗outside = 1\n2𝜚𝑅2 𝑟2®𝑣−2®𝑟(®𝑟®𝑣)\n𝑟4\n× ®𝐵\nGrading of incorrect approach\nPts\npart a) - same as the original marking\nscheme\n3.0\nIf everything is done correctly - 2.0 p\n2.0\npart c) - same as the original marking\nscheme\n2.0\nTotal for incorrect approach\n7.0\nNote no. 1. Although it was not asked in the problem, it\nis fascinating that the streamlines in the region 𝑟> 𝑅are\ncircles. To prove this statement, take a circle of radius 𝑎\nwith center located at vector ®𝑎such that ®𝑎®𝑝= 0 (see fig. 3).\nThe position vectors of the points located on this circle sat-\nisfy the equation\n|®𝑟−®𝑎|2 = 𝑎2 ,\nWhich can be rearranged in the form\n2®𝑎®𝑟−𝑟2 = 0\nWe will show that ®𝑗outside is tangent to such a circle, re-\ngardless of the radius 𝑎.\nfig. 3\nConsider the scalar product\n®𝑗outside(®𝑟−®𝑎) ∼\nh\n𝑟2 ®𝑝−2®𝑟(®𝑟®𝑝)\ni\n(®𝑟−®𝑎)\nOpening the brackets and using the equality ®𝑎®𝑝= 0 we get:\n®𝑗outside(®𝑟−®𝑎) ∼(2®𝑎®𝑟−𝑟2)(®𝑟®𝑝)\nwhich equals zero.\nNote no. 2: The skin effect. Finally we need to discuss\nthe applicability limits of the solution obtained above. We\nhave assumed that at each point on the plate, the current\ndensity is constant across the entire 𝑧-directional intersec-\ntion of the plate. This requires the skin depth to be much\ngreater than the thickness of the plate.\nThe skin effect\nemerges due to the fact that for resistive media, the evo-\nlution of the magnetic field can be described by a diffusion\nequation\n𝜕®𝐵\n𝜕𝑡= 𝐷d2 ®𝐵\nd𝑧2 ,\nwhere the diffusivity 𝐷= 𝜌/𝜇0. This means that for a very\nfast moving magnet, there is no time for the magnetic\nfield to penetrate into the plate. Since any current is sur-\nrounded by a magnetic field according to Ampère’s cir-\ncuital law, if there is no magnetic field, there can be no\ncurrent, either. Consequently, the current will flow only in\na narrow boundary layer of the plate. For a diffusive pro-\ncess, during a characteristic time 𝜏, the penetration depth\nis estimated as\n√\n𝐷𝜏. With 𝜏estimated as 𝑅/𝑣, we get the\ncondition\n𝜌𝑅≫𝜇0𝑣𝛿2\nwhich is well satisfied for any metallic plates with rea-\nsonable orders of magnitude (e.g.\n𝛿∼1 mm, 𝑅∼1 cm,\n𝑣∼1 m/s).\n","shared":true,"sourcePages":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14],"initialPage":1}},{"id":"eupho-2023-t3","importedOn":"2026-10-28","language":"en","sources":[{"url":"https://eupho.ee/wp-content/uploads/2023/06/EuPhO_2023_theory.pdf","kind":"statement"},{"url":"https://eupho.ee/wp-content/uploads/2023/06/EuPhO_2023_theo_sol.pdf","kind":"solution"}],"statement":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/eupho-2023-statement/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/eupho-2023-statement/page-1.webp","width":982,"height":1389}],"text":"Theoretical Problems. Language: English\nT1: Thermal lens (10 pts)\nWhen an intense laser beam falls onto a semitrans-\nparent plate, the transmitted light can self-focus to\na point behind the plate due to the inhomogeneous\nheating of the material. This effect, known as ther-\nmal lensing, is observed in materials whose index\nof refraction increases with temperature, character-\nized by a positive thermo-optic coefficient 𝛾= d𝑛\nd𝑇.\nA semitransparent disk with radius 𝑎= 15.0 mm,\nthickness 𝑏= 0.2 mm and optical absorption coeffi-\ncient 𝐴= 0.1 is composed of a material having thermal\nconductivity 𝑘= 0.3 W m−1 K−1 and thermo-optic coef-\nficient 𝛾= 2.5 · 10−4 K−1. The outer rim of the disk is\nthermally connected to a circular metallic holder (not\nshown in the figure) maintained at a constant tem-\nperature 𝑇h = 20◦C. A parallel laser beam of radius\n𝜎= 0.5 mm and power 𝑃L = 20 mW is incident normally\nonto the center of the disk. The intensity distribu-\ntion is homogeneous across the cross-section of the\nbeam.\na) (2 pts) Sketch a qualitative graph of the temper-\nature profile 𝑇(𝑟), where 𝑟denotes the distance\nfrom the axis of the beam.\nIndicate clearly on\nthe graph the illuminated region 0 ≤𝑟≤𝜎and\nthe outer region 𝜎≤𝑟≤𝑎.\nb) (4 pts) In the vicinity of the center of the disk,\nthe temperature profile can be represented by a\nquadratic function 𝑇(𝑟) = 𝑇c + 𝑚𝑟2. Calculate the\nparameters 𝑇c and 𝑚.\nc) (4 pts) Show that the beam is focused in one point\nand find the distance 𝑓from this point to the disk.\nIf you failed to obtain 𝑇𝑐and 𝑚in part b), you may\nuse them as parameters in your final answer.\nDo not consider the thermal expansion of the disk.\nNeglect the thermal radiation and the heat exchange\nbetween the disk and the surrounding air. Assume\nthat the index of refraction of air is 𝑛air = 1.\nT2: Brick between two planes (10 pts)\nA small brick is squeezed between two parallel\nplanes in zero gravity. The planes are perpendicu-\nlar to the 𝑧-axis. The lower plane is moving with con-\nstant velocity 𝑢1 along the 𝑥-axis, whilst the upper one\nis moving with constant velocity 𝑢2 along the 𝑦-axis.\nInitially, the brick is at rest. The coefficient of ki-\nnetic friction between the brick and each plane is\nidentical.\na) (4 pts) Find the speed of the brick 𝑣∞after a long\ntime for 𝑢1 = 𝑢2.\nb) (6 pts) Find the speed of the brick 𝑣∞after a long\ntime for 𝑢1 ≠𝑢2.\nT3: Plate between magnets (10 pts)\nTwo identical long, cylindrical rod magnets of radius\n𝑅are close to each other and share the same vertical\nsymmetry axis. The polarity of the two magnets is\nthe same. As a result, the magnetic field in the air\ngap between the magnets is directed towards the +𝑧\ndirection (see figure) and uniform with flux density\n𝐵. The magnetic field outside the gap is zero. A hor-\nizontal large non-magnetic metal plate is placed in\nthe air gap and moved with constant horizontal ve-\nlocity 𝑣in +𝑦-direction. The thickness of the plate is\n𝛿, the resistivity of the metal is 𝜚.\na) (3 pts) Sketch the shape of current streamlines\nin the metal plate at a given time. Indicate the\naxes on your sketch.\nb) (5 pts) Find and plot the current density inside\nthe plate along a line parallel to the 𝑦axis inter-\nsecting the symmetry axis of the magnets.\nc) (2 pts) Find the horizontal force required to move\nthe plate.\n","shared":true,"sourcePages":[1],"initialPage":1},"solution":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/eupho-2023-solution/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/eupho-2023-solution/page-1.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2023-solution/page-2.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2023-solution/page-3.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2023-solution/page-4.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2023-solution/page-5.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2023-solution/page-6.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2023-solution/page-7.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2023-solution/page-8.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2023-solution/page-9.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2023-solution/page-10.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2023-solution/page-11.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2023-solution/page-12.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2023-solution/page-13.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2023-solution/page-14.webp","width":982,"height":1389}],"text":"Theoretical Solutions\nT1: Thermal lens - Solution\n(a) Drawing a 𝑇(𝑟) graph\nThe graph should present or clearly infer for the four\nelements shown in the figure.\nElement of the graph\nPts.\nHorizontal tangent at 𝑟= 0\n0.5\nGraph is concave and decreasing in 0 ≤𝑟≤𝜎\n0.5\nGraph is convex and decreasing in 𝜎≤𝑟≤𝑎\n0.5\nNonzero negative slope at 𝑟= 𝑎\n0.5\nTotally on (a)\n2.0\n(b) Finding 𝑇c\nApproach with a direct solution of the heat-\ntransport equation.\nConsider a cylindrical cut of the disk with radius 𝑟.\nLet 𝑃abs(𝑟) be the portion of laser power absorbed\nwithin the cylinder.\nThe absorbed power is being\ntransferred as heat towards the outer holder through\nthe circumvent surface 2𝜋𝑏𝑟of the cylinder.\nThe\nheat-transport equation reads:\n−𝑘(2𝜋𝑟𝑏) d𝑇(𝑟)\nd𝑟\n= 𝑃abs(𝑟)\n(1)\nDepending on 𝑟, the absorbed power is given by two\ndifferent expressions.\nWithin the illuminated area\n0 ≤𝑟≤𝜎, the incident light intensity 𝐼= 𝑃L/(𝜋𝜎2) is\nconstant, so the absorbed power is:\n𝑃abs(𝑟) = 𝐼𝜋𝑟2 = 𝐴𝑃L\n𝑟2\n𝜎2\n(2)\nand the solution for 𝑇(𝑟) is quadratic in 𝑟:\n𝑇(𝑟) = 𝑇c −𝐴𝑃L𝑟2\n4𝜋𝑘𝑏𝜎2\n(3)\nwhere 𝑇c = 𝑇(0) is the temperature at the center. It is\nclear from that expression that the parameter 𝑚is:\n𝑚= −\n𝐴𝑃L\n4𝜋𝑘𝑏𝜎2 = −1.1 · 107 Km−2\n(4)\nOutside the illuminated area, i.e. for 𝜎≤𝑟≤𝑎,\n𝑃abs(𝑟) = 𝐴𝑃L, which does not depend on 𝑟. The so-\nlution for 𝑇(𝑟) is logarithmic in 𝑟:\n𝑇(𝑟) = 𝑇h + 𝐴𝑃L\n2𝜋𝑘𝑏ln\n\u0010 𝑎\n𝑟\n\u0011\n(5)\nwhere 𝑇h = 𝑇(𝑎) is the temperature of the holder,\nwhich is equal to the temperature along the outer\nrim of the disk. After matching the two solutions at\n𝑟= 𝜎we obtain:\n𝑇c = 𝑇h + 𝐴𝑃L\n4𝜋𝑘𝑏\nh\n1 + 2 ln\n\u0010 𝑎\n𝜎\n\u0011i\n= 41◦C\n(6)\nTask\nPts.\nWrites down the heat-transport equation in\nradial coordinates\n0.7\nDerives an expression for 𝑃abs at 0 ≤𝑟≤𝜎\n0.5\nFinds a quadratic solution for 𝑇(𝑟) in the re-\ngion 0 ≤𝑟\n≤𝜎(Subtract 0.2 pts.\nif he\nboundary condition 𝑇(0) = 𝑇c has not been ac-\ncounted for)\n0.5\nIdentifies the expression for 𝑚(Subtract\n0.1 pts. if the minus sign is missing)\n0.2\nCalculates 𝑚numerically (Subtract 0.1 pts.\nif the minus sign is missing)\n0.2\nDerives an expression for 𝑃abs at 𝜎≤𝑟≤𝑎\n0.3\nFinds a logarithmic solution for 𝑇(𝑟) in the\nregion 𝜎≤𝑟< 𝑎(Subtract 0.2 pts.\nif he\nboundary condition 𝑇(𝑎) = 𝑇h has not been ac-\ncounted for)\n0.5\nSets up an equation by matching the two so-\nlutions at 𝑟= 𝑎\n0.6\nWrites down the final expression for 𝑇c\n0.2\nCalculates 𝑇c numerically\n0.3\nTotally on (b)\n4.0\nAlternative approach – direct piece-wise inte-\ngration of the heat-transport equation.\nAfter realizing that 𝑃abs(𝑟) is given by a piece-wise\nfunction:\n𝑃abs =\n(\n𝐴𝑃L𝑟2/𝜎2\nif 0 ≤𝑟≤𝜎\n𝐴𝑃L = const\nif 𝜎≤𝑟≤𝑎\n(7)\nthe student may substitute the given solution 𝑇(𝑟) =\n𝑇c + 𝑚𝑟2 into heat-transport equation (1) for 0 ≤𝑟≤𝜎.\nThis gives directly the expression (4) for the param-\neter 𝑚. The parameter 𝑇c could be easily identified\nwith the temperature 𝑇(0) at the center of the disk.\nOn the other hand, 𝑇h = 𝑇(𝑎) due to the thermal con-\ntact between the rim of the disk and the holder. It\nfollows from the heat-transport equation that:\n−d𝑇(𝑟)\nd𝑟\n= 𝑃abs(𝑟)\n2𝜋𝑘𝑏𝑟\n(8)\nThe piece-wise integration of the two sides of the\nequation in the interval 0 ≤𝑟≤𝑎gives:\n𝑇(0) −𝑇(𝑎) = 𝑇c −𝑇h =\n∫𝑎\n0\n𝑃abs(𝑟)\n2𝜋𝑘𝑏𝑟d𝑟\n=\n∫𝜎\n0\n𝑃abs(𝑟)\n2𝜋𝑘𝑏𝑟d𝑟+\n∫𝑎\n𝜎\n𝑃abs(𝑟)\n2𝜋𝑘𝑏𝑟d𝑟\n= 𝐴𝑃L\n4𝜋𝑘𝑏\nh\n1 + 2 ln\n\u0010 𝑎\n𝜎\n\u0011i\n(9)\nwhich is equivalent to the expression (6) for 𝑇c.\n\nTheoretical Solutions\nTask\nPts.\nWrites down the heat-transport equation in\nradial coordinates\n0.7\nDerives an expression for 𝑃abs at 0 ≤𝑟≤𝜎\n0.5\nDerives an expression for 𝑃abs at 𝜎≤𝑟≤𝑎\n0.3\nSubstitutes the given form of 𝑇(𝑟) into heat-\ntransport equation for the region 0 ≤𝑟≤𝜎\n0.3\nObtains\nthe\nexpression\nfor\n𝑚\n(Subtract\n0.1 pts. if the minus sign is missing)\n0.2\nCalculates 𝑚numerically (Subtract 0.1 pts.\nif the minus sign is missing)\n0.2\nStates that 𝑇c = 𝑇(0)\n0.2\nStates that 𝑇h = 𝑇(𝑎)\n0.2\nExpresses 𝑇c −𝑇h through integral of d𝑇/d𝑟in\nthe 0 ≤𝑟≤𝑎interval\n0.3\nCalculates the integral in the 0 ≤𝑟≤𝜎inter-\nval\n0.3\nCalculates the integral in the 𝜎≤𝑟≤𝑎inter-\nval\n0.3\nWrites down the final expression for 𝑇c\n0.2\nCalculates 𝑇c numerically\n0.3\nTotally on (b)\n4.0\n(c) Finding the focal length\nApproach based on the Fermat’s principle\nWe consider only the illuminated area of the disk\n(0 ≤𝑟≤𝜎). Due to the nonuniform temperature dis-\ntribution, the index of refraction is also 𝑟-dependent,\nwhich leads to a bending of the light rays incident at\nnonzero radii 𝑟, as shown schematically in the figure.\nAs a result, the light rays exiting the disk, converge\ntoward the optical axis, and, eventually, cross it in a\ncertain point at a distance 𝑓from the disk.\nSince the ray bending is relatively small, one may\nassume that: (i) all the rays travel approximately the\nsame distance 𝑏inside the disk; (ii) any given ray\nenters and exits the disk at approximately the same\nheight 𝑟; (iii) 𝑓≫𝑟. Thus, the optical pathway 𝑠(𝑟) of\na ray, incident at a height 𝑟above the optical axis, is:\n𝑠(𝑟) ≈𝑛(𝑟)𝑏+\np\n𝑓2 + 𝑟2 ≈𝑛(𝑟)𝑏+ 𝑓+ 𝑟2\n2𝑓\n(10)\nAccording to Fermat’s principle, in order that all the\nrays focus at the same point, it is necessary that 𝑠(𝑟)\nis constant within 0 ≤𝑟< 𝜎. In particular, 𝑠(𝑟) ≡𝑠(0)\nfor any 𝑟, which leads to the condition:\n𝑏(𝑛(0) −𝑛(𝑟)) ≡𝑟2\n2𝑓\n(11)\nSince:\n𝑛(0) −𝑛(𝑟) = 𝛾(𝑇(0) −𝑇(𝑟)) = −𝛾𝑚𝑟2 = 𝛾|𝑚|𝑟2\n(12)\ncondition (11) is satisfied if\n𝛾𝑏|𝑚|𝑟2 ≡𝑟2\n2𝑓\n(13)\nThe beam hence focuses at\n𝑓=\n1\n2𝛾𝑏|𝑚|\n(14)\nTaking into account the expression for 𝑚derived in\npart (b), we represent the answer in terms of the\nknown parameters and calculate its numerical value:\n𝑓= 2𝜋𝑘𝜎2\n𝛾𝐴𝑃\n≈0.94 m\n(15)\nAlternatively, the student may state that the optical\npathway 𝑠(𝑟) does not depend on 𝑟and use the con-\ndition d𝑠/d𝑟≡0, which gives:\nd𝑛(𝑟)\nd𝑟\n𝑏+ 𝑟\n𝑓≡0\n(16)\nSince:\nd𝑛(𝑟)\nd𝑟\n= d𝑛\nd𝑇\nd𝑇\nd𝑟= 𝛾2𝑚𝑟\n(17)\nwe obtain:\n𝑟\n𝑓+ 2𝑏𝛾𝑚𝑟≡0\n(18)\nThe beam thus focuses at:\n𝑓=\n1\n2𝛾𝑏|𝑚| = 2𝜋𝑘𝜎2\n𝛾𝐴𝑃\n≈0.94 m\n(19)\nTask\nPts.\nFormulates assumptions (i) and (ii) or equiv-\nalent statements\n0.2\nDerives a general expression for the optical\npathway 𝑠as a function of 𝑟\n0.8\nUses that 𝑓\n≫𝑟and derives approximate\nquadratic expression for 𝑠(𝑟)\n0.5\nStates that focusing takes place when 𝑠(𝑟) is\nthe same for all rays converging in the focus\n0.5\nWrites explicitly equation in the form 𝑠(𝑟) ≡\n𝑠(0) OR d𝑠/d𝑟≡0\n0.5\nUses the 𝑇(𝑟) dependence to derive the 𝑛(𝑟)\ndependence OR to find d𝑛/d𝑟\n0.5\nDerives an expression for the focal length 𝑓\nin terms of 𝑚or of the parameters given in\nthe problem statement\n0.8\nCalculates 𝑓numerically\n0.2\nTotally on (c)\n4.0\nApproach based on a direct ray/wavefront trac-\ning\nAs a next approximation, the light ray inside the disk\ncan be modeled as a circular arc of a radius 𝑅(𝑅≫𝑏,\nsee the figure). As a result, the ray exits the disk at\na smaller height 𝑟−ℎabove the optical axis (ℎ≪𝑟).\nThe angle of bending 𝜑of the ray inside the material\nis related to ℎby:\ncos 𝜑= 1 −ℎ\n𝑅\n(20)\n\nTheoretical Solutions\nFrom the Snell’s law it follows that:\n𝑛(𝑟) sin(𝜋/2) = 𝑛(𝑟−ℎ) sin(𝜋/2 −𝜑) = 𝑛(𝑟−ℎ) cos 𝜑\n(21)\nUp to terms, linear in ℎ, one may write that:\ncos 𝜑=\n𝑛(𝑟)\n𝑛(𝑟−ℎ) ≈1 + 𝑛′(𝑟)\n𝑛(𝑟) ℎ\n(22)\nThus, the radius of the ray inside the material, is:\n𝑅= −𝑛(𝑟)\n𝑛′(𝑟)\n(23)\nand the bending angle is approximately:\n𝜑= 𝑏\n𝑅= −𝑛′(𝑟)𝑏\n𝑛(𝑟)\n(24)\nAlternatively, the students may trace a small part of\nthe wavefront, associated with two rays, incident at\nclose distances 𝑟and 𝑟+ d𝑟from the optical axis. By\nnoticing that the wavefront is perpendicular to the\nrays, the angle 𝜑of deviation of the rays is equal\nto the angle of rotation of the wavefront. Let 𝑣(𝑟) =\n𝑐/𝑛(𝑟) be the speed of light in the material at a dis-\ntance 𝑟from the axis. The time-rate ¤𝜑, i.e. the angu-\nlar speed of the wavefront is:\n¤𝜑= d𝑣(𝑟)/d𝑟= −𝑐𝑛′(𝑟)/𝑛(𝑟)2\n(25)\nThe rays reach the opposite surface of the disk in\napproximately the same time 𝑡= 𝑏𝑛(𝑟)/𝑐, so the total\ndeflection angle of the wavefront, and of the rays,\nthereof, is 𝜑= ¤𝜑𝑡= −𝑛′(𝑟)𝑏/𝑛(𝑟)\nUpon exiting the disk, the ray undergoes additional\nrefraction, and inclines at a new angle 𝜃relative to\nthe optical axis. The Snell’s law in the small-angle\napproximation (sin 𝜃≈𝜃, sin 𝜑≈𝜑) states that:\n𝜃= 𝑛(𝑟−ℎ)𝜑≈𝑛(𝑟)𝜑= −𝑛′(𝑟)𝑏\n(26)\nSince 𝑛′(𝑟) = 𝛾𝑇′(𝑟) = 2𝑚𝑟, one obtains the following\nexpression for the angle of inclination:\n𝜃= 2𝛾|𝑚|𝑟\n(27)\nIt is clear from the figure that:\n𝑓= 𝑟−ℎ\ntan 𝜃≈𝑟\n𝜃=\n1\n2𝛾|𝑚|𝑏\n(28)\nwhich reproduces the result obtained by the Fer-\nmat’s principle.\nTask\nPts.\nStates or shows on a graph that the light\nray inside the material can be approximated\nby an arc OR illustrates on a graph that the\nwavefront is perpendicular to the light rays\n0.2\nDerives the relation cos 𝜑= 1 −ℎ/𝑅or equiv-\nalent OR expresses the time of travel of the\nray across the disk\n0.5\nApplies the Snell’s law to the ray path in-\nside the material OR derives a formula for\nthe time-rate ¤𝜑by considering the wavefront\npassing through two closely separated rays\n0.8\nFinds expression for the bending angle 𝜑in-\nside the material\n0.5\nApplies the Snell’s law for the refraction of\nrays exiting the disk\n0.5\nUses the 𝑇(𝑟) dependence to find 𝑛′(𝑟)\n0.5\nDerives an expression for the focal length 𝑓\nin terms of 𝑚or of the parameters given in\nthe problem statement\n0.8\nCalculates 𝑓numerically\n0.2\nTotally on (c)\n4.0\nAlternatively:\nConsider a ray incident at a specific height 𝑟0. Let\n𝑥∈[0, 𝑏] be the horizontal coordinate of the ray inside\nthe material. Our goal is to find approximately the\nprofile 𝑟(𝑥) of the light ray inside the material. From\nSnell’s law:\n𝑛(𝑟) cos 𝜑= 𝑛(𝑟0)\nSince:\ntan 𝜑= −d𝑟(𝑥)\nd𝑥\n= −\np\n(1 −cos2 𝜑)\ncos 𝜑\nwe obtain:\n−d𝑟(𝑥)\nd𝑥\n=\np\n(𝑛(𝑟) −𝑛(𝑟0))(𝑛(𝑟) + 𝑛(𝑟0))\n𝑛(𝑟)\nSince 𝑛(𝑟) ≈𝑛(𝑟0) + 𝑛′(𝑟0)(𝑟−𝑟0) = 𝑛(𝑟0) + 2𝛾|𝑚|𝑟0(𝑟0 −𝑟),\nthe differential equation approximates to:\n−d𝑟(𝑥)\nd𝑥\n=\ns\n4𝛾|𝑚|𝑟0\n𝑛(𝑟0)\n√\n𝑟0 −𝑟\nwhich is solvable by separation of variables and gives\nan approximate parabolic path:\n𝑟(𝑥) = 𝑟0 −𝛾|𝑚|𝑟0\n𝑛(𝑟0) 𝑥2\nFinally, for the angle, just before exiting the disk, we\nobtain:\n𝜑≈tan 𝜑= −𝑟′(𝑥= 𝑏) = 2𝛾|𝑚|𝑟0𝑏\n𝑛(𝑟0)\n\nTheoretical Solutions\nTask\nPts.\nApplies the Snell’s law to express the angle\n𝜑dependence on 𝑟for one ray\n0.8\nExpresses tan 𝜑= 𝑑𝑟/𝑑𝑥\n0.2\nApplies approximation to derive a separable\ndifferential equation for 𝑟(𝑥)\n0.8\nIntegrates to obtain parabolic path\n0.5\nFinds expression for the angle 𝜑, before exit-\ning the disk\n0.2\nApplies the Snell’s law for the refraction of\nrays exiting the disk\n0.5\nDerives an expression for the focal length 𝑓\nin terms of 𝑚or of the parameters given in\nthe problem statement\n0.8\nCalculates 𝑓numerically\n0.2\nTotally on (c)\n4.0\n\nTheoretical Solutions\nT2: A brick between planes - Solution\n(a)\nThe brick is squeezed between the plates and con-\nstrained between the plates, so the normal force on\nthe top and bottom surfaces of the brick must be\nequal.\nSince the brick is moving relative to each plate,\nthe kinetic friction vector on each surface must also\nbe equal in magnitude, but in a direction given by\nthe relative velocity of each plate with respect to the\nbrick. Note that this statement is true whether the\nplates are moving at the same speed, or different\nspeeds.\nA simple vector diagram can illustrate the velocity\nvectors, the frictional force vectors, and the net force\nvector.\n𝑢1\n𝑢2\n𝐹1\n𝐹2\n𝐹\nThen ®𝑎= ®𝐹/𝑚, and after a time Δ𝑡the new relative\nvelocity vectors will be given by\n𝑢1\n𝑢2\n𝑎Δ𝑡\n𝑢′\n1\n𝑢′\n2\nBy symmetry, this continues so that the accelera-\ntion of the brick is always at 45 degrees, until even-\ntually,\n𝑢1\n𝑢2\n𝑣\n𝑢′\n1\n𝑢′\n2\nFigure 1: Vector diagram for solution of part (a)\nAs such, 𝑣= 𝑢1/\n√\n2.\n(a)\nPts\nUse symmetry to find 𝑢′\n1 = 𝑢′\n2. Must\nbe stated!\n1.0\n®𝑢′\n1 = −®𝑢′\n2 at steady state.\nMust be\nstated!\n1.0\nVector diagram or algebraic equiva-\nlent Fig 1\n1.0\nCorrectly find 𝑣\n1.0\nTotal on (a)\n4.0\nThe two “must be stated” points above need some\nsort of clear justification, but does not need to be\nwritten out in sentences. Just using it in the vector\ndiagram is not sufficient to earn the points.\nSpecial case for students who solve part (b) first\nA student who solves part (b) correctly, at least as far\nas required to solve part (a), and then uses it to write\nthe answer for part (a) correctly will get full marks\nfor part (a). A single trivial mistake in the applica-\ntion of a fully correct part (b) to part (a) will result in\nhalf marks for part (a). Trivial mistakes are a clearly\nidentifiable sign error in an an algebra expression,\nor dropped coefficient between lines. Mistakes that\nmake the answer dimensionally incorrect or physi-\ncally improbable are not trivial, and would result in\n0 marks for part (a).\nA student who does not have full marks for part (b),\nbut who used the results of part (b) that has incorrect\nphysics to answer part (a), will get no marks for part\n(a), even if the answer to part (a) is correct.\n(b)\nThough the initial vector diagram for velocities looks\ndifferent, the force components are still equal in\nmagnitude, directed along the relative velocity vec-\ntors.\n𝑢1\n𝑢2\n𝐹1\n𝐹2\n𝐹\nThen ®𝑎= ®𝐹/𝑚, and after a time Δ𝑡the new relative\nvelocity vectors will be given by\n𝑢1\n𝑢2\n𝑎Δ𝑡\n𝑢′\n1\n𝑢′\n2\nThe process is repeated, where the direction of the\nnet force is the angle bisector of the relative velocity\nvectors ®𝑢′\n1 and ®𝑢′\n2\nAs the quantity 𝑎Δ𝑡is a small quantity compared to\nthe magnitude of the velocity vectors, we can con-\nclude that an equal amount is removed from each of\nthe velocity vectors, so that magnitude comparison\n𝑢1 −𝑢2 = 𝑢′\n1 −𝑢′\n2\n(29)\nis a conserved quantity.\nFor the next step, the net force vector is still the\nangle bisector for 𝑢1 and 𝑢2. The above arguments\nwill hold true for the conserved quantity, and then\nthe final velocity can be found by\n\nTheoretical Solutions\n𝑢1\n𝑢2\n𝑢′\n1\n𝑢′\n2\n𝐹1\n𝐹2\n𝐹\nFigure 2: The correct construction to find direction\nof net force\n𝑢1\n𝑢2\n𝑣\n𝑢′\n1\n𝑢′\n2\nFigure 3: Vector diagram for solution of part (b)\nThen\n(𝑢′\n1 + 𝑢′\n2)2 = 𝑢2\n1 + 𝑢2\n2 = 𝐷2\n(30)\nand\n𝑢′\n1 −𝑢′\n2 = 𝑢1 −𝑢2 = 𝛿\n(31)\ncan be solved for 𝑢′\n1 and 𝑢′\n2, with\n𝑢′\n2 = 1\n2 (𝐷−𝛿)\nand\n𝑢′\n1 = 1\n2 (𝐷+ 𝛿)\nThis gives the components of 𝑣as\n𝑣𝑥= 𝑢′\n2\n𝐷𝑢1 = 𝑢1\n2\n\u0012\n1 −𝛿\n𝐷\n\u0013\n(32)\nand\n𝑣𝑦= 𝑢′\n1\n𝐷𝑢2 = 𝑢2\n2\n\u0012\n1 + 𝛿\n𝐷\n\u0013\n(33)\nand the magnitude is\n𝑣= 1\n2\nr\n𝐷2 + 𝛿2 −2 𝛿\n𝐷\n\u0000𝑢2\n1 −𝑢2\n2\n\u0001\n(34)\nWriting this in terms of 𝑢1 and 𝑢2 is left as an exercise\nfor the reader.\n𝑣=\nv\nu\nu\nu\nu\nt1\n2\n©­­\n«\n𝑢2\n1 + 𝑢2\n2 −𝑢1𝑢2 −(𝑢1 −𝑢2)2(𝑢1 + 𝑢2)\nq\n𝑢2\n1 + 𝑢2\n2\nª®®\n¬\n=\n1\n√\n2\nv\nu\nu\nu\nu\nt\n𝑢1𝑢2 −(𝑢1 −𝑢2)2 ©­­\n«\n𝑢1 + 𝑢2\nq\n𝑢2\n1 + 𝑢2\n2\n−1\nª®®\n¬\n(b) Scheme G1\nPts\nShow/explain that ®𝑎is always angle\nbisector\n1.0\nShow that 𝛿(Eq 29) is a constant of\nthe motion\n1.0\n®𝑢′\n1 and ®𝑢′\n2 are in opposite directions at\nsteady state\n1.0\nVector diagram for relative velocities\nFig 3\n1.0\nApply 𝐷(Eq 30) or equivalent\n0.2\nApply 𝛿(Eq 31) or equivalent\n0.2\nCorrectly find 𝑣𝑥or 𝑣𝑦\n0.4\nCorrectly find other one\n0.2\nCorrectly find 𝑣\n1.0\nTotal on (b)\n6.0\nA student who correctly finds 𝑣without explicitly\nwriting 𝑣𝑥and 𝑣𝑦will be assumed to have found 𝑣𝑥and\n𝑣𝑦by applying 𝐷and 𝛿and should get those points.\nAn incorrect value for 𝑣𝑥or 𝑣𝑦or 𝑣that is dimen-\nsionally correct and wrong only because of a math\nerror will get half marks, but the math error must be\nclear.\nWriting 𝑣in an equivalent form of Eq. 34 but not in\nthe final form in terms of 𝑢1 and 𝑢2 only receives only\n0.6/1.0 points for last part.\nPossible Error Scenarios\nStudents who attempt graphical approach who have\nan error below should follow the grading scheme be-\nlow.\n1. Assuming that the direction of the frictional\nforce is given by the vector sum of the rela-\ntive velocities.\nAn example of the improper vector construction\nis shown in the following figure.\n𝑢1\n𝑢2\n𝑢′\n1\n𝑢′\n2\n𝐹1\n𝐹2\n𝐹\nThe immediate consequence is that Eq. 29 is no\nlonger true. With quick inspection, the student\nshould conclude that the final state must have\n®𝑢1 = −®𝑢2, and then the graphical velocity picture\nwould be, at steady state,\n𝑢1\n𝑢2\n𝑣\n𝑢′\n1\n𝑢′\n2\n\nTheoretical Solutions\n(b) Scheme E1\nPts\nVector diagram showing (incor-\nrect!) force direction, or equiva-\nlent statement\n0.5\nA clear statement that the (incor-\nrect) force direction depends on\nthe vector sum of the relative ve-\nlocities (see note below!)\n0.5\nExplicitly stating (incorrect!) ®𝑢′\n1 =\n−®𝑢′\n2 at steady state.\n0.5\nVector diagram for steady state,\nor equivalent statement\n0.8\nStating 𝑣= 1\n2\nq\n𝑢2\n1 + 𝑢2\n2\n0.7\nTotal on (b)\n3.0\nThere is no other partial credit possible for this\napproach.\nNote: the student must demonstrate knowledge\nthat the force is proportional to the relative ve-\nlocity; if they only look at the force at the start\nof the problem, and never address what happens\nas the problem evolves, they don’t get this 0.5\npoints.\n2. Assuming that the direction of the final ve-\nlocity is orthogonal to the vector difference\nof the velocities of the plates.\nThis scheme only applies when a student explic-\nitly states that 𝑣is perpendicular. Do not use this\ngrading scheme if it is simply a vaguely drawn\nvector diagram.\nIt is true that the acceleration vector approaches\nthe steady state orthogonal to the hypotenuse of\nthe triangle, but not the final velocity. As such,\nthe following vector diagram is wrong:\n𝑢1\n𝑢2\n𝑣\n𝑢′\n1\n𝑢′\n2\nIt is possible that the student started with some\ncorrect physics according to the original ap-\nproach, and then makes the above assumption\nto finish the problem; it is also possible that they\nstarted with the perpendicular assumption.\nIf the only mistake is a bad final vector di-\nagram with a perpendicular marking, but\nthen did the algebra based on 𝐷and 𝛿then\nuse the following:\n(b) Scheme E2A\nPts\nShow/explain that ®𝑎is always an-\ngle bisector\n1.0\nShow that 𝛿(Eq 29) is a constant\nof the motion\n1.0\n®𝑢′\n1 and ®𝑢′\n2 are in opposite directions\nat steady state\n1.0\nVector diagram above (incorrect!)\nfor relative velocities at steady\nstate, or any statement that final\n𝑣is orthogonal.\n0.5\nApply 𝐷(Eq 30) or equivalent\n0.2\nApply 𝛿(Eq 31) or equivalent\n0.2\nCorrectly find 𝑣𝑥\n0.3\nCorrectly find 𝑣𝑦\n0.3\nCorrectly find 𝑣\n1.0\nTotal on (b)\n5.5\nA student who correctly finds 𝑣without explicitly\nwriting 𝑣𝑥and 𝑣𝑦will be assumed to have found 𝑣𝑥\nand 𝑣𝑦by applying 𝐷and 𝛿and should get those\npoints.\nAn incorrect value for 𝑣𝑥or 𝑣𝑦or 𝑣that is di-\nmensionally correct and wrong only because of\na math error will get half marks, but the math\nerror must be clear.\nWriting 𝑣in an equivalent form of Eq. 34 but not\nin the final form in terms of 𝑢1 and 𝑢2 only re-\nceives only 0.6/1.0 points for last part.\nIf the mistake is that they used the perpen-\ndicular vector diagram to solve the problem,\nthen their answers would be different, so\nuse the following:\n(b) Scheme E2B\nPts\nShow/explain that ®𝑎is always an-\ngle bisector\n1.0\nShow that 𝛿(Eq 29) is a constant\nof the motion\n1.0\n®𝑢′\n1 and ®𝑢′\n2 are in opposite directions\nat steady state\n1.0\nVector diagram above (incorrect!)\nfor relative velocities at steady\nstate, or any statement that final\n𝑣is orthogonal.\n0.5\nFind (incorrect!) 𝑣= 𝑢1𝑢2/\nq\n𝑢2\n1 + 𝑢2\n2\n1.0\nTotal on (b)\n4.5\nA dimensionally correct formula for 𝑣that differs\nfrom above because of a single math error in a\nclear derivation based on the figure will get 0.5\nout of 1.0 for the 𝑣.\n3. Assuming that the final velocity is the aver-\nage of the vector velocities of the plates.\nNote that this approach yields the same result as\na previous approach, but it is not worth as many\npoints, as the fundamental physics starts from\na higher level incorrect assumption. Here, the\nstudent is just assuming that the final speed is\nan average, in the previous approach the student\n\nTheoretical Solutions\nhad an error in the direction of the forces. If they\nuse forces, a previous grading scheme applies.\n𝑢1\n𝑢2\n𝑣\n𝑢′\n1\n𝑢′\n2\n(b) Scheme E3\nPts\nExplicity stating\n®𝑢′\n1\nand\n®𝑢′\n2\nare\nin opposite directions at steady\nstate.\n1.0\nVector diagram above\n0.5\nStating 𝑣= 1\n2\nq\n𝑢2\n1 + 𝑢2\n2\n0.5\nTotal on (b)\n2.0\nThere is no other partial credit possible for this\napproach.\n4. Assuming that the final velocity is the vector\nsum of the velocities of the plates.\nThough very tempting, it violates so many re-\nquirements for a steady state solution that this\nis not worth very many points at all.\n𝑢1\n𝑢2\n𝑣\n(b) Scheme E4\nPts\nVector diagram above\n0.5\nTotal on (b)\n0.5\nThere are no points for finding an expression for\n𝑣, as the method is just wrong.\nAlternative Approaches\nNon-Cartesian\nDifferential\nEquations\nEffec-\ntively a graphical approach without graphics, one\ncan focus on the relative velocity vectors as coordi-\nnate axis. Then the important equations of motion\nare\n𝑑𝑢1𝑟\n𝑑𝑡\n= −𝐹\n𝑚and 𝑑𝑢2𝑟\n𝑑𝑡\n= −𝐹\n𝑚\n(35)\nwhere the force magnitude 𝐹is a function of the rel-\native directions of the coordinate axes ®𝑢1𝑟and ®𝑢2𝑟.\nThe student can quickly realize that the difference\nof these two expressions is zero, so that 𝛿is a con-\nstant of the motion.\nAt steady state, 𝐹= 0, and this happens when ®𝑢1𝑟\nand ®𝑢2𝑟point in opposite directions.\n(b) Scheme A1\nPts\nA set of differential equations Eq35\n1.0\nShow that 𝛿(Eq 29) is a constant of\nthe motion\n1.0\n®𝑢′\n1 and ®𝑢′\n2 are in opposite directions at\nsteady state\n1.0\nEquivalent math statement or dia-\ngram for steady state relative veloci-\nties Fig 3\n1.0\nApply 𝐷(Eq 30) or equivalent\n0.2\nApply 𝛿(Eq 31) or equivalent\n0.2\nCorrectly find 𝑣𝑥or 𝑣𝑦\n0.4\nCorrectly find other one\n0.2\nCorrectly find 𝑣\n1.0\nTotal on (b)\n6.0\nA student who correctly finds 𝑣without explicitly\nwriting 𝑣𝑥and 𝑣𝑦will be assumed to have found 𝑣𝑥and\n𝑣𝑦by applying 𝐷and 𝛿and should get those points.\nAn incorrect value for 𝑣𝑥or 𝑣𝑦or 𝑣that is dimen-\nsionally correct and wrong only because of a math\nerror will get half marks, but the math error must be\nclear.\nWriting 𝑣in an equivalent form of Eq. 34 but not in\nthe final form in terms of 𝑢1 and 𝑢2 only receives only\n0.6/1.0 points for last part.\nFollow on errors are not allowed for first parts, as\nthe math expressions are almost trivial.\nThey are\nalso not allowed for the algebraic part at the end; see\npossible mistakes above for possible scenarios where\npoints could be awarded by writing an equivalent al-\ngebraic expression for the graphical approach.\nCartesian Differential Equations\nAttempting to\nset up equations of motions in a Cartesian system\nrequires finding the direction of relative velocity of\neach surface. Assuming that 𝑢1 is in the 𝑥direction\nand 𝑢2 is in the 𝑦direction, and if the velocity compo-\nnents of the block are 𝑣𝑥and 𝑣𝑦, the relative velocities\nof the planes are\n𝑢1𝑟𝑥= 𝑢1 −𝑣𝑥and 𝑢1𝑟𝑦= −𝑣𝑦\nand\n𝑢2𝑟𝑥= −𝑣𝑥and 𝑢2𝑟𝑦= 𝑢2 −𝑣𝑦\nThe forces of friction from each plane are equal in\nmagnitude and directed along the relative velocity\nvectors, so a steady state solution is when these two\nrelative vectors are in opposite directions.\nThe force vectors then have components\n𝐹1𝑥= 𝐹𝑢1𝑟𝑥\n𝑢1𝑟\nand 𝐹1𝑦= 𝐹𝑢1𝑟𝑦\n𝑢1𝑟\nand\n𝐹2𝑥= 𝐹𝑢2𝑟𝑥\n𝑢2𝑟\nand 𝐹2𝑦= 𝐹𝑢2𝑟𝑦\n𝑢2𝑟\nThis gives the following equation of motion for the\nblock:\n𝑑𝑣𝑥\n𝑑𝑡= 𝑎𝑥= 𝐹\n𝑚\n\u0012𝑢1𝑟𝑥\n𝑢1𝑟\n+ 𝑢2𝑟𝑥\n𝑢2𝑟\n\u0013\nand\n𝑑𝑣𝑦\n𝑑𝑡= 𝑎𝑦= 𝐹\n𝑚\n\u0012𝑢1𝑟𝑦\n𝑢1𝑟\n+ 𝑢2𝑟𝑦\n𝑢2𝑟\n\u0013\n\nTheoretical Solutions\nA student might have noticed that this is a nasty\nset of coupled differential equations.\nBoth of these have vanishing accelerations accord-\ning to the same condition:\n𝑢2\n1𝑟𝑥𝑢2\n2𝑟𝑦= 𝑢2\n2𝑟𝑥𝑢2\n1𝑟𝑦\nwhich is merely the statement that at steady state\nthe two relative velocity vectors are in opposite di-\nrections. As this is still only one equation, it is not\npossible to find the steady state 𝑣𝑥and 𝑣𝑦from this\nalone. A simpler expression can be found, however,\n𝑢1𝑢2 = 𝑢1𝑣𝑦+ 𝑢2𝑣𝑥.\n(36)\nThis, however, is merely the statement of the\ngraphical vector diagram\n𝑢1\n𝑢2\n𝑣\n𝑢′\n1\n𝑢′\n2\nStill, it is not possible to know where the vector ®𝑣\ntouches the line described by ®𝑢1 −®𝑢2.\nThis isn’t the end, however. Consider\n𝑢2\n1𝑟= 𝑢2\n1𝑟𝑥+ 𝑢2\n1𝑟𝑦\nTaking the time derivative, one gets\n𝑢1𝑟¤𝑢1𝑟= 𝑢1𝑟𝑥¤𝑢1𝑟𝑥+ 𝑢1𝑟𝑦¤𝑢1𝑟𝑦\nCombine with the above, and\n𝑢1𝑟¤𝑢1𝑟= −𝐹\n𝑚\n \n𝑢2\n1𝑟𝑥\n𝑢1𝑟\n+ 𝑢1𝑟𝑥𝑢2𝑟𝑥\n𝑢2𝑟\n+\n𝑢2\n1𝑟𝑦\n𝑢1𝑟\n+ 𝑢1𝑟𝑦𝑢2𝑟𝑦\n𝑢2𝑟\n!\nwhich means\n¤𝑢1𝑟= −1 −𝑢1𝑟𝑥𝑢2𝑟𝑥\n𝑢1𝑟𝑢2𝑟\n−𝑢1𝑟𝑦𝑢2𝑟𝑦\n𝑢1𝑟𝑢2𝑟\nOut of symmetry, an identical expression will be\nfound for ¤𝑢2𝑟, which means that\n𝛿= 𝑢1𝑟−𝑢2𝑟\n(37)\nis a constant of the motion.\nAt this point, a student can apply the results of\nEq 36 with this constant difference formula and solve\nfor 𝑣𝑥and 𝑣𝑦as done in the first solution.\nIn the scheme below, finding the expression as-\nsumes found correctly and completely, and a student\nwould get 0.2 points for (most) expressions. There\nare no partial points if the equation is wrong.\nHowever, for the first four categories only (marked\nwith an *, follow on errors are not penalized for work\nbased on a previous mistake, assuming that it does\nnot trivialize the result.\n(b) Scheme A2\nPts\nExpressions\nfor\nrelative\nvelocity\ncomponents (4 @ 0.2 each, *)\n0.8\nExpressions for force components (4\n@ 0.2 each, *)\n0.8\nExpressions for acceleration compo-\nnents (2 @ 0.2 each, *)\n0.4\nState a condition for steady state\n0.5\nFind equation for steady state or\nequivalent to Eq 36 (must not have\nrelative velocity, or is incomplete, *)\n0.5\nShow that 𝛿(Eq 37) is a constant of\nthe motion (must be correct, regard-\nless of follow on error)\n1.0\nApply 𝐷(Eq 30) or equivalent\n0.2\nApply 𝛿(Eq 31) or equivalent\n0.2\nCorrectly find 𝑣𝑥or 𝑣𝑦\n0.4\nCorrectly find other one\n0.2\nCorrectly find 𝑣\n1.0\nTotal on (b)\n6.0\nA student who correctly finds 𝑣without explicitly\nwriting 𝑣𝑥and 𝑣𝑦will be assumed to have found 𝑣𝑥and\n𝑣𝑦by applying 𝐷and 𝛿and should get those points.\nAn incorrect value for 𝑣𝑥or 𝑣𝑦or 𝑣that is dimen-\nsionally correct and wrong only because of a math\nerror will get half marks, but the math error must be\nclear.\nWriting 𝑣in an equivalent form of Eq. 34 but not in\nthe final form in terms of 𝑢1 and 𝑢2 only receives only\n0.6/1.0 points for last part.\n\nTheoretical Solutions\nT3: Plate between magnets - Solution\nGeneral remarks:\nCalculational numerical errors - 0.2 p Dimension-\nally wrong answers - 0 p\nPart a) (∼3 pts)\nLet us analyze how the current in the metal starts to\nbuild up when we start moving the plate in the rest\nframe of the magnets. The free electrons in the metal\ntry to move together with the plate in the +𝑦direc-\ntion, but a Lorentz force pointing in the −𝑥direction\nmakes them deviate.\nAfter some time the charge accumulation stops and\nthe charge and current distributions do not depend\non time anymore. According to Ohm’s law,\n®𝑗= ®𝑗𝑃+ 1\n𝜚®𝑣× ®𝐵,\nwhere ®𝑗is the total current density, ®𝑣× ®𝐵is the re-\nsult of the Lorentz force, and ®𝑗𝑃is the current den-\nsity caused by the electric field (and is therefore a\npotential field).\nInside the circular region (𝑟< 𝑅) the Lorentz term\nis constant, but outside it is zero. Nevertheless, the\n𝐸-field of the accumulated charges is present there,\nwhich gives rise to a current. In the steady state con-\nsidered here, the charge distribution is constant in\ntime, and hence the total current density ®𝑗is source-\nfree everywhere. However, this does not hold for ®𝑗𝑃\nwhich is driven by the ”sources” and ”sinks” along\nthe rim of the circular region of radius 𝑅.\nThose\nsources and sinks compensate exactly the sources of\nthe Lorentz term mentioned above. Only a source-\nfree jump of the total current density is allowed on\nthe rim, resulting in the kinks on the streamlines\nalong the boundary.\nBased on these considerations, we can draw a qual-\nitative pattern of the current flow: inside the circular\ndisc, there is a flow in the direction of the Lorentz\nforce and the streamlines of the created flow of cur-\nrent close onto themselves outside of that region as\nshown in the figure below.\nfig. 1\nGrading scheme part a)\nPts\nStreamlines\nare\ncontinuous\nand\narrows are consistent along each\nstreamline\nand\nstreamlines\ndon’t\nmeet or intersect. If the streamlines\nare qualitatively (physically) wrong,\n0 p should be given.\n1.0\nTwofold symmetry∗with respect to 𝑥-\naxis (if axis is not indicated in any\nway, only 0.1 p)\n0.2\nTwofold symmetry with respect to 𝑦-\naxis (if axis is not indicated in any\nway, only 0.1 p)\n0.2\nIndicating the boundary of the circu-\nlar region\n0.1\nBreaking points on the boundary\n(only rewarded if both inside and out-\nside streamlines are shown)\n0.8\nAlong the 𝑦-axis the direction of cur-\nrent density is +𝑥inside and −𝑥out-\nside (if axis is not indicated in any\nway, 0.0 p; if the direction is correct\nin only one rigion, 0.3 p; if there is a\nsign mistake only, 0.3 p)\n0.7\nStating that current density is homo-\ngeneous inside is not required in part\na)\n0.0\nTotal on part a)\n3.0\nPart b (∼5 pts)\nFrom here on, we make use of the uniqueness of the\nsolution to the correctly posed boundary conditions\nfor the Maxwell equations inside the plate. We need\nto satisfy the condition that current density is source-\nless everywhere, i.e.\n∮\n®𝑗× ®𝑑𝑙= 0,\n(38)\nwhere ®𝑗denotes the current density and integral is\ntaken over an arbitrary closed loop inside the plate.\nThe current density must satisfy the Ohm’s law in\ndifferential form,\n®𝑗= 𝜌−1( ®𝐸+ ®𝑣× ®𝐵),\n(39)\nwhere ®𝑣denotes the velocity of the plate; the elec-\ntric field caused by the accumulated charges ®𝐸must\nsatisfy the circulation theorem,\n∮\n®𝐸· ®𝑑𝑙= 0,\n(40)\nwhere integration loop can be arbitrary. To close the\nsystem of equations we need to satisfy, we integrate\nEq. 39 either over a closed loop entirely inside or en-\ntirely outside the circular region then we obtain zero,\nbecause for such loops\n∮\n®𝑣× ®𝐵· ®𝑑𝑙= 0. From this we\nconclude that for such integration loops,\n∮\n®𝑗· ®𝑑𝑙= 0.\n(41)\nNote that the electric field\n®𝐸pol of a polarised\ncylinder satisfies Eq. 40, but we must also satisfy\n\nTheoretical Solutions\nEqns. (38,39). We will look for such a solution in the\nform of a superposition\n®𝑗= 𝜌−1( ®𝐸pol + ®𝑣× ®𝐵).\n(42)\nFirst we need to find an expression for the field ®𝐸pol.\nTo that end, we can consider the electric field pro-\nduced by an infinite homogeneously charged cylin-\nder of radius 𝑅and volume charge density 𝑞. From\nGauss’s law, we can conclude that inside and outside\nthe cylinder the electric field is\n®𝐸+(®𝑟) =\n\n\n1\n2𝜀0\n𝑞®𝑟\nif 𝑟≤𝑅,\n1\n2𝜀0\n𝑞𝑅2\n𝑟2 ®𝑟\nif 𝑟> 𝑅.\nNow we can take another similar cylinder of charge\ndensity −𝑞, displaced from the first cylinder by a\nsmall displacement vector ®𝑠.\nWith the origin still\nat the centre of the positively charged cylinder, the\nelectric field of this negatively charged cylinder is\nwritten as −®𝐸+(®𝑟−®𝑠) (which works for both inside and\noutside). Note that in the overlapping area of the two\ncylinders, the charge density is zero.\nfig. 2\nWe consider the limit |®𝑠| →0 while keeping the\nproduct 𝑞®𝑠= −®𝑃constant, which represents the vol-\nume density of the dipole moments (i.e. the polarisa-\ntion), constant. In this case, the field inside can be\ncalculated as\n®𝐸inside = ®𝐸+(®𝑟) + ®𝐸−(®𝑟) = ®𝐸+(®𝑟) −®𝐸+(®𝑟−®𝑠) = −1\n2𝜀0\n®𝑃,\n(43)\nwhich is homogeneous.\nOutside, the field is given by\n®𝐸outside = ®𝐸+(®𝑟) −®𝐸+(®𝑟−®𝑠) =\n1\n2𝜀0\n𝑞𝑅2\n\u0012 ®𝑟\n𝑟2 −\n®𝑟−®𝑠\n|®𝑟−®𝑠|2\n\u0013\n.\nExpanding the second term in the bracket up to first\norder (|®𝑠| ≪|®𝑟|):\n®𝑟−®𝑠\n|®𝑟−®𝑠|2 ≈\n®𝑟−®𝑠\n𝑟2 −2®𝑟®𝑠≈®𝑟−®𝑠\n𝑟2\n\u0012\n1 + 2 ®𝑟®𝑠\n𝑟2\n\u0013\n.\nSubstituting this into the formula of ®𝐸outside and sim-\nplifying:\n®𝐸outside =\n1\n2𝜀0\n𝑅2 2®𝑟(®𝑟®𝑃) −𝑟2 ®𝑃\n𝑟4\n.\nThis is the field of an ideal two-dimensional electric\ndipole. From this general formula we can obtain an\nexpression for the field along the 𝑦axis:\n®𝐸outside = −1\n2𝜀0\n®𝑃\n\u0012𝑅\n𝑟\n\u00132\n.\n(44)\nThe normal component of this field exhibits discon-\ntinuity 𝜎/𝜀at the boundary of the cylinder given by\nthe surface charge density 𝜎, which can be found\nagain from the superposition of the two cylinders:\nthe non-overlapping region has the shape of a cres-\ncent moon of width 𝑠in the 𝑥direction; this means\nthat the width in the radial direction is 𝑡= 𝑠cos 𝜑,\nwhere 𝜑denotes the angle between the radius vector\nand the 𝑥−𝑎𝑥𝑖𝑠. Hence, we can find the surface charge\ndensity as 𝜎= 𝑞𝑡= 𝑃cos 𝜑. Due to Gauss’ law, the ra-\ndial electric field jumps by an amount given by the\nsurface charge density, {𝐸𝑟} = 𝜎/𝜀0. This corresponds\nto a jump in the magnitude of the current density\n{ 𝑗} = 𝜌−1𝜎/𝜀0 = 𝜌−1𝜎𝑃cos 𝜑\n(45)\nwhich must eliminate the discontinuity due to the\njump in the radial component of the Lorentz force\nterm in Eq. (42, equal to\n{𝜌−1(𝑣× 𝐵)𝑟} = −𝑣𝐵cos 𝜑.\n(46)\nThe cancellation occurs when ®𝑃= −®𝑒𝑥𝑣𝐵𝜀0. Putting all\nthe results together, we can conclude that inside the\ncylinder, the current density in the plate is homoge-\nneous and equal to\n®𝑗= 1\n2\n®𝑣× ®𝐵\n𝜚\n.\n(47)\nOutside the cylinder, along the 𝑦axis, ®𝐵= 0 so that\n®𝑗=\n®𝐸outside\n𝜚\n= −1\n2𝜀0\n®𝑃\n\u0012 𝑅\n𝑟\n\u00132\n= −1\n2\n®𝑣× ®𝐵\n𝜚\n\u0012 𝑅\n𝑟\n\u00132\n.\n(48)\nNow we can plot the graph:\nfig. 3\n\nTheoretical Solutions\nGrading scheme part b)\nPts\nRealizing that ®𝑗is driven by the sum\nof the term (®𝑣× ®𝐵)/𝜚and the electric\nfield (if only one term is considered,\n0 p)\n0.5\nWriting the boundary condition for ®𝑗𝑃\nand for ®𝑗(or equivalent)\n0.5\nGuessing\nthe\nsolution\nof\nthe\n2D\nboundary value problem (either with\nanalogy\nof\na\npolarized\ndielectric\ncylinder or with the superposition of\na 2D dipole field outside and a uni-\nform field inside)\n1.0\nCalculating the electric field of a 2D\ndipole along the symmetry axis\n1.0\nFinding the appropriate weight of\nthe dipole field (i.e. dipole moment)\nby matching boundary conditions\n0.5\nExpressing ®𝑗inside and outside cor-\nrectly\n0.5\nPlotting the graph (axis are labelled\ncorrectly, 0.1+0.1; sign changes at\nthe rim and function jumps,\n0.3,\nfunction is constant in region [−𝑅, 𝑅]\n0.2, if the area below the curve could\nadd up to zero 0.3)\n1.0\nTotal on part b)\n5.0\nPart c(∼2 pts)\nMethod 1: integrating the force density.\nOnly\nthe current inside the magnetic field contributes to\nthe force. The force acting on an infinitesimal vol-\nume element d𝑉of the metal slab is given by\nd ®𝐹= ®𝑗inside × ®𝐵d𝑉.\nSince ®𝑗inside and ®𝐵are uniform in the region of non\nzero 𝐵, and perpendicular, the integral simplifies to\n®𝐹= ®𝑗inside ®𝐵\n∫\nd𝑉= ®𝑗inside × ®𝐵𝑉= ®𝑗inside × ®𝐵𝜋𝑅2𝛿.\nUsing our previous result for the current density we\nget\n®𝐹= 𝜋𝑅2𝛿\n2𝜚(®𝑣× ®𝐵) × ®𝐵= −𝜋𝑅2𝛿\n2𝜚𝐵2®𝑣.\nThe direction of the force is opposite to the velocity\nof the plate, in agreement with physical intuition.\nGrading of part c) - Method 1\nPts\nExpressing the force acting on a cur-\nrent element\n0.5\nintegrating over the circular region\n1.0\nfinal result (it can be given only if\nprefactor is correct)\n0.5\nTotal on part c)\n2.0\nMethod 2: integrating the dissipated power.\nDue to energy conservation, the mechanical power\nprovided by the external force is dissipated in the\nplate in the form of Joule heat:\n𝐹𝑣= 𝑃dissipated .\nThe volume density of the dissipated power is 𝜚𝑗2, so\nthe total power of dissipation can be written as an\nintegral over the volume:\n𝑃dissipated =\n∫\nin\n𝜚𝑗2\ninside d𝑉+\n∫\nout\n𝜚𝑗2\noutside d𝑉.\nThe first integral simplifies due to the constant cur-\nrent density inside the circular region of radius 𝑅:\n∫\nin\n𝜚𝑗2\ninside d𝑉= 𝜚𝑗2\ninside𝑉= 1\n4𝜚𝑣2𝐵2 · 𝜋𝑅2𝛿.\nIn order to evaluate the second integral, let us calcu-\nlate 𝑗2\noutside first:\n𝑗2\noutside =\n1\n4𝜚2 𝑅4 |𝑟2®𝑣−2®𝑟(®𝑟®𝑣)|2\n𝑟8\n𝐵2 ,\nwhere the absolute value squared can be simplified\nas\n|𝑟2®𝑣−2®𝑟(®𝑟®𝑣)|2 = 𝑟4𝑣2 −4𝑟2(®𝑟®𝑣)(®𝑟®𝑣) + 4𝑟2(®𝑟®𝑣)(®𝑟®𝑣) = 𝑟4𝑣2\nso the quantity 𝑗2\noutside depends on the distance 𝑟only\n(and not on the polar angle):\n𝑗2\noutside =\n1\n4𝜚2 𝑅4 𝑣2)\n𝑟4 𝐵2 .\nNow the power dissipated outside the circular region\n(𝑟> 𝑅) can be written as:\n∫\nout\n𝜚𝑗2\noutside d𝑉=\n∞\n∫\n𝑅\n1\n4𝜚2 𝑅4 𝑣2\n𝑟4 𝐵2 · 2𝛿𝜋𝑟d𝑟\nLet us evaluate the integral:\n∫\nout\n𝜚𝑗2\noutside d𝑉= 𝑣2𝐵2𝜋𝑅4𝛿\n2𝜚\n∞\n∫\n𝑅\nd𝑟\n𝑟3 = 𝑣2𝐵2𝜋𝑅4𝛿\n2𝜚\n1\n2𝑅2 .\nIt is an interesting coincidence that the power dissi-\npated inside and outside is the same. Now the total\npower of dissipation is known and the force can be\ncalculated:\n𝐹=\n𝑃dissipated\n𝑣\n= 𝜋𝑅2𝛿\n2𝜚𝐵2𝑣.\nGrading of part c) - Method 2\nPts\nExpressing the force in terms of the\ndissipated power\n0.5\nintegrating over the circular region\n0.3\nintegrating over the outer region\n0.7\nfinal result (it can be given only if\nprefactor is correct)\n0.5\nTotal on part c)\n2.0\nAn incorrect method of obtaining the correct\nanswer. The correct solution described above can\nbe carried out with minor modifications when using\nthe reference frame of the plate, where the circular\nregion of the magnetic field moves with velocity −®𝑣.\n\nTheoretical Solutions\nThe only difference is that the Lorentz force 𝑒®𝑣× ®𝐵\nacting on the charge carriers in the cylinder frame\nis now replaced by the Coulomb force 𝑒®𝐸𝐵, where\n®𝐸𝐵= ®𝑣× ®𝐵is the electric field resulting now from the\nLorentz transformation.\nWhat we need to notice is that there is no electric\nfield outside of the cylinder (𝑟> 𝑅) at large distances\nin the 𝑧direction from the plate. Indeed, there are\nclearly no fields there (neither ®𝐵nor ®𝐸) in the cylin-\nder’s frame. Using the Lorentz transformation it is\nclear that no fields can emerge in our new frame.\nMeanwhile, outside the cylinder and inside the plate,\nthere is definitely an electric field driving the cur-\nrent flow as derived above.\nThe tangential-to-the-\nplate electric field cannot be discontinuous at the\nsurface because the electrostatic field (in the cylin-\nder’s frame) is potential. Hence, outside the cylinder\nand outside the plate, there is also an electric field\nin the neighbourhood of the plate, It is caused by the\ncharge density formed on and in the plate, the gen-\neration of which is described in the solution of Part\na).\nFrom large distances, however, these charges\nare seen as an electric dipole, whose field vanishes\ninversely proportional to the cubed distance.\nA tempting but incorrect approach is trying to de-\nscribe the motion of the cylinder in the plate’s frame\nas a discontinuous stepping motion of the cylinders:\nat the current position of the cylinder, the magnetic\nflux disappears and at the same time reappears at\na small distance away from its previous position.\nAccording to the Faradey’s law, the disappearing\nflux will produce circular clockwise fieldlines of ®𝐸,\nand the reappearing flux will produce slightly dis-\nplaced counterclockwise fieldlines. The correspond-\ning fields and their superposition ®𝐸𝑠(®𝑟) can be easily\ncalculated, see below. The result turns out to be ex-\nactly the same as the field ®𝐸𝑜(®𝑟) obtained above for\nthe field inside the plate. However, the equivalence\nof these fields is just a coincidence (there is a good\nreason for this coincidence: in both cases, the field\nis obtained as a superposition of the fields produced\nby two overlapping cylinders). Furthermore, there\nis a fundamental difference: in reality, the field ®𝐸𝑜(®𝑟)\nis only observed in the plate (at 𝑧≈0) and disap-\npears at 𝑧≫𝑅; meanwhile, in the stepping cylinder\nmodel, the field ®𝐸𝑠(®𝑟) remains the same regardless of\nthe value of 𝑧.\nThe reason why the stepping cylinder model gives\nan incorrect result — producing an electric field in\nthose places where there clearly is none — lies in\nthe theory of relativity. A continuously moving (not\nstepping) cylinder obtains a surface charge, because\nthe current density and the charge density together\nform a 4-vector.\nThere is a bound surface current\non the surface of the cylinder (creating the magnetic\nfield inside), and as the cylinder moves, the Lorentz\ntransformation tells us that there will now also be a\nsurface charge creating an electric field both inside\nand outside the cylinder.\nSo, with a moving cylin-\nder, the changing flux creates an electric field out-\nside which is cancelled out by the surface charges\non the cylinder. Inside the cylinder, these two fields\nadd up constructively.\nIn what follows, we analyse mathematically the\nmodel of stepping cylinders. By considering two al-\nmost overlapping circles with a short time interval\n𝜏between, it is clear that any flux change occurs on\nrim (see fig. 1). This changing flux gives rise to an in-\nduced electric field which makes the charge carriers\nmove inside the plate resulting electrical currents.\nfig. 1\nConsidering the red region in the figure as the ini-\ntial non-zero 𝐵field, and the green region as the non-\nzero 𝐵field after time 𝜏, the yellow overlapping re-\ngion corresponds to a non changing magnetic flux,\nwhile red on the right is decreasing, and green on\nthe left is increasing. The average rate of change of\n𝐵-field in the two regions is ±𝐵/𝜏, respectively.\nThe induced electric field can be found as a super-\nposition of the electric fields generated by the flux\nchange in the two overlapping circular regions. For\none circular region with increasing 𝐵-field in the +𝑧\ndirection, the magnitude of the electric field can be\nfound from Faraday’s law applied for a circular 𝐸-\nfield line:\n𝐸+(𝑟) · 2𝜋𝑟= dΦ\nd𝑡,\nwhere the rate of enclosed flux change is given by\ndΦ\nd𝑡=\n\n\n𝜋𝑟2 𝐵\n𝜏,\nif 𝑟≤𝑅,\n𝜋𝑅2 𝐵\n𝜏,\nif 𝑟> 𝑅.\nFrom here the modulus of the induced electric field\ncan be expressed. It is convenient to write the result\nin the vectorial form with the help of position vector\n®𝑟, unit vector ®𝑒𝑧and Lenz’s law:\n®𝐸+(®𝑟) =\n\n\n1\n2\n𝐵\n𝜏®𝑟× ®𝑒𝑧,\nif 𝑟≤𝑅,\n1\n2\n𝐵\n𝜏\n𝑅2\n𝑟2 ®𝑟× ®𝑒𝑧,\nif 𝑟> 𝑅.\nA similar formula gives the 𝐸-field generated by the\nregion of decreasing magnetic flux, we only need to\nchange the sign and replace ®𝑟with ®𝑟−®𝑣𝜏.\nfig. 2\n\nTheoretical Solutions\nNow take the superposition of the induced electric\nfields produced by the two overlapping circular re-\ngions. Between the two magnets (𝑟≤𝑅) we get\n®𝐸inside = ®𝐸+ + ®𝐸−= 1\n2\n𝐵\n𝜏®𝑟× ®𝑒𝑧−1\n2\n𝐵\n𝜏(®𝑟−®𝑣𝜏) × ®𝑒𝑧= 1\n2 ®𝑣× ®𝑒𝑧𝐵.\nUsing the differential form of Ohm’s law ®𝑗= ®𝐸/𝜚, we\ncan conclude that the current density in the metal\nplate in the region 𝑟≤𝑅is uniform,\n®𝑗inside = 1\n2𝜚®𝑣× ®𝐵,\nwhere we used that ®𝐵= 𝐵®𝑒𝑧.\nSimilarly, in the region 𝑟> 𝑅we get:\n®𝐸outside = ®𝐸+ + ®𝐸−= 1\n2\n𝐵\n𝜏𝑅2\n\u0014 ®𝑟\n𝑟2 −\n®𝑟−®𝑣𝜏\n|®𝑟−®𝑣𝜏|2\n\u0015\n× ®𝑒𝑧.\nExpanding the second term in the bracket up to first\norder (|®𝑣𝜏| ≪|®𝑟|):\n®𝑟−®𝑣𝜏\n|®𝑟−®𝑣𝜏|2 ≈\n®𝑟−®𝑣𝜏\n𝑟2 −2®𝑟®𝑣𝜏≈®𝑟−®𝑣𝜏\n𝑟2\n\u0012\n1 + 2 ®𝑟®𝑣𝜏\n𝑟2\n\u0013\n.\nSubstituting this into the formula of ®𝐸outside and sim-\nplifying:\n®𝐸outside = 1\n2 𝐵𝑅2 𝑟2®𝑣−2®𝑟(®𝑟®𝑣)\n𝑟4\n× ®𝑒𝑧.\nFinally, the current density in the region 𝑟> 𝑅is the\nfollowing\n®𝑗outside = 1\n2𝜚𝑅2 𝑟2®𝑣−2®𝑟(®𝑟®𝑣)\n𝑟4\n× ®𝐵\nGrading of incorrect approach\nPts\npart a) - same as the original marking\nscheme\n3.0\nIf everything is done correctly - 2.0 p\n2.0\npart c) - same as the original marking\nscheme\n2.0\nTotal for incorrect approach\n7.0\nNote no. 1. Although it was not asked in the problem, it\nis fascinating that the streamlines in the region 𝑟> 𝑅are\ncircles. To prove this statement, take a circle of radius 𝑎\nwith center located at vector ®𝑎such that ®𝑎®𝑝= 0 (see fig. 3).\nThe position vectors of the points located on this circle sat-\nisfy the equation\n|®𝑟−®𝑎|2 = 𝑎2 ,\nWhich can be rearranged in the form\n2®𝑎®𝑟−𝑟2 = 0\nWe will show that ®𝑗outside is tangent to such a circle, re-\ngardless of the radius 𝑎.\nfig. 3\nConsider the scalar product\n®𝑗outside(®𝑟−®𝑎) ∼\nh\n𝑟2 ®𝑝−2®𝑟(®𝑟®𝑝)\ni\n(®𝑟−®𝑎)\nOpening the brackets and using the equality ®𝑎®𝑝= 0 we get:\n®𝑗outside(®𝑟−®𝑎) ∼(2®𝑎®𝑟−𝑟2)(®𝑟®𝑝)\nwhich equals zero.\nNote no. 2: The skin effect. Finally we need to discuss\nthe applicability limits of the solution obtained above. We\nhave assumed that at each point on the plate, the current\ndensity is constant across the entire 𝑧-directional intersec-\ntion of the plate. This requires the skin depth to be much\ngreater than the thickness of the plate.\nThe skin effect\nemerges due to the fact that for resistive media, the evo-\nlution of the magnetic field can be described by a diffusion\nequation\n𝜕®𝐵\n𝜕𝑡= 𝐷d2 ®𝐵\nd𝑧2 ,\nwhere the diffusivity 𝐷= 𝜌/𝜇0. This means that for a very\nfast moving magnet, there is no time for the magnetic\nfield to penetrate into the plate. Since any current is sur-\nrounded by a magnetic field according to Ampère’s cir-\ncuital law, if there is no magnetic field, there can be no\ncurrent, either. Consequently, the current will flow only in\na narrow boundary layer of the plate. For a diffusive pro-\ncess, during a characteristic time 𝜏, the penetration depth\nis estimated as\n√\n𝐷𝜏. With 𝜏estimated as 𝑅/𝑣, we get the\ncondition\n𝜌𝑅≫𝜇0𝑣𝛿2\nwhich is well satisfied for any metallic plates with rea-\nsonable orders of magnitude (e.g.\n𝛿∼1 mm, 𝑅∼1 cm,\n𝑣∼1 m/s).\n","shared":true,"sourcePages":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14],"initialPage":10}},{"id":"eupho-2022-t1","importedOn":"2026-10-28","language":"en","sources":[{"url":"https://eupho.ee/wp-content/uploads/2022/05/EuPhO_2022_theory___English.pdf","kind":"statement"},{"url":"https://eupho.ee/wp-content/uploads/2022/05/EuPhO_2022_Solutions.pdf","kind":"solution"}],"statement":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/eupho-2022-statement/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/eupho-2022-statement/page-1.webp","width":982,"height":1389}],"text":"EuPhO-2022\nTheoretical Problems. Language: English\nT1: Floating cylinder (10 pts)\nA solid, uniform cylinder of height h = 10 cm and base\narea s = 100 cm2 floats in a cylindrical beaker of height\nH = 20 cm and inner bottom area S = 102 cm2 filled\nwith a liquid. The ratio between the density of the cylin-\nder and that of the liquid is γ = 0.70. The bottom of the\ncylinder is above the bottom of the beaker by a few cen-\ntimeters. The cylinder is oscillating vertically, so that its\naxis always coincides with that of the beaker. The ampli-\ntude of the liquid level oscillations is A = 1 mm.\nFind the period of the motion T . Neglect the viscosity of\nthe liquid.\nT2: Thermal oscillations (10 pts)\nA resistor is made of a material which undergoes a phase\ntransition so that its resistance takes one of the two values,\nR1 if its temperature is smaller than Tc, and R2 > R1 if\nthe temperature is larger than Tc.\nThis resistor is connected to a voltage source through\nan inductor of inductance L. It appears that if the applied\nvoltage V is between two critical values, V1 < V < V2,\nthe temperature of the resistor starts oscillating. Assume\nthat (i) the heat flux P from the resistor to the ambient\nmedium is given by P = α(T −T0), where α is a con-\nstant, T denotes the temperature of the resistor, and T0 is\nthe ambient temperature; (ii) the geometrical size of the\nresistor is so small that it will reach a thermal equilibrium\nmuch faster than the characteristic time L/R2.\n(a) (2 pts) Express V1 and V2 in terms of the other param-\neters defined above.\n(b) (6 pts) Assuming that V1 < V < V2, sketch qualita-\ntively how the temperature of the resistor T depends\non time t, and find the ratio (Tmax −T0)/(Tmin −T0),\nwhere Tmax and Tmin denote the maximal and mini-\nmal values of T , respectively.\n(c) (2 pts) Find the period of oscillations if V = √V1V2\nand R2 = 16R1.\nT3: Dipole in a magnetic field (10 pts)\nTwo small balls of mass m each with charges +q and −q\nrespectively, connected by a rigid massless rod of length d,\nform a dipole.\nThe dipole is parallel to plane XY and\nis placed in a uniform magnetic field⃗B perpendicular\nto XY .\nX\nY\nd\n−\n+q, m\n+\n−q, m⃗\nv0\nω0⃗\nB\nInitially, the dipole is aligned with the direction X and\nhas initial angular velocity ω0 in plane XY , as shown. Its\ncenter of mass is initially located at origin and given initial\nvelocity⃗v0 parallel to XY , as well.\nConsider three distinct scenarios (a, b, c-d):\n(a) (2 pts) Find ω0 and the direction of⃗v0, so that the\ncenter of mass will move with the constant velocity⃗\nv =⃗v0?\n(b) (3 pts) Given ω0, find such⃗v0 (direction and magni-\ntude), so that the center of mass will travel in a circle.\nFind the circle radius Rc and the coordinates xc, yc\nof its center. You don’t need to prove the uniqueness\nof the solution.\n(c) (4 pts) Given⃗v0 = 0, find the minimal ω0 = ωmin nec-\nessary for the dipole to reverse its orientation during\nthe motion.\n(d) (1 pt) If the dipole starts with⃗v0 = 0 and ω0 = ωmin\nfound in part (c), the trajectory of its center of mass\nhas an asymptote. Find the distance D from the ori-\ngin to the asymptote.\nUseful vector identity:⃗\na × (⃗b ×⃗c) =⃗b (⃗a ·⃗c) −⃗c (⃗a ·⃗b),\nwhere “×”and “·”denote vector product and scalar\nproduct respectively.\n","shared":true,"sourcePages":[1],"initialPage":1},"solution":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/eupho-2022-solution/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/eupho-2022-solution/page-1.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2022-solution/page-2.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2022-solution/page-3.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2022-solution/page-4.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2022-solution/page-5.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2022-solution/page-6.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2022-solution/page-7.webp","width":982,"height":1389}],"text":"EuPhO-2022\nTheoretical Problems - Solutions English\nGeneral guidelines for marking\n• Granularity for marks is 0.1 p.\n• A simple numerical error resulting from a typo is punished by\n0.2 p unless the grading scheme explicitly says otherwise.\n• Errors which cause dimensionally wrong results are punished\nby at least 50 % of the marks unless the grading scheme explic-\nitly says otherwise.\n• Propagating errors are not punished repeatedly unless they\neither lead to considerable simplifications or wrong results\nwhose validity can easily be checked later.\nT1: Floating cylinder\nSolution I: energetic approach\nDenote the density of the liquid by ϱ, so the density of the cylin-\nder is γϱ. In equilibrium (i.e. when the net force acting on the\ncylinder is zero) the immersed part of the cylinder has height\nγh.\nConsider the system in a moment when the cylinder is dis-\nplaced by distance x1 downward and moves down with veloc-\nity v1. As a result of the motion of cylinder the liquid level rises\nby some height x2, and the liquid flows in the gap between the\ncylinder and beaker with some velocity v2 upwards (see Fig. 1).\nFig. 1\nThe relation between the aforementioned displacements and ve-\nlocities are given by the continuity law:\nx1s = x2(S −s),\nv1s = v2(S −s) .\nIn the following we express the potential and kinetic energy of\nthe system. Compared to the equilibrium position the cylinder\nof mass γϱsh sunk by x1, while the potential energy change\ncaused by the redistribution of liquid can be imagined as the\ncenter of mass of liquid with mass ϱsx1 rises by distance γh +\nx1/2 + x2/2 . Taken the potential energy in the equilibrium\nstate to be zero, the potential energy in the state indicated in the\nright figure can be written as\nEpot = −γϱshgx1 + ϱsx1g\n\u0012\nγh + x1 + x2\n2\n\u0013\n.\nAfter opening the bracket the first two terms cancel each other:\nEpot = 1\n2ϱsgx1(x1 + x2) .\nAfter expressingx2 from continuity law and some simplification\nwe get a quadratic expression for the potential energy:\nEpot = 1\n2ϱsgx1\n\u0012\nx1 +\ns\nS −sx1\n\u0013\n= 1\n2ϱ sS\nS −sgx2\n1 .\nNow let us calculate the kinetic energy of the system. The con-\ntribution from the cylinder is straightforward, γϱshv2\n1/2, but\nthe motion of the liquid is more complicated.\nNote. We may notice that since s/(S −s) = 50, the speed v2 of\nthe liquid in the narrow gap is 50 times larger than the typical speed\nof the liquid below the cylinder (which can be estimated to be in the\nrange of v1). And while the mass of the liquid below the cylinder is\nmuch larger than the mass of liquid inside the gap (the ratio is ca. 25 if\nthe „few centimeters” in the problem text is taken to be 3.5 cm), the ki-\nnetic energy is proportional to the square of the velocity, so the kinetic\nenergy of the liquid inside the gap is roughly 100 times larger than the\nkinetic energy of the liquid below the cylinder.\nSince the kinetic energy of the liquid below the cylinder is\nnegligible, we can write the total kinetic energy of the system\nas:\nEkin = 1\n2γϱshv2\n1\n|\n{z\n}\ncylinder\n+ 1\n2ϱ(S −s) (γh + x1 + x2) v2\n2\n|\n{z\n}\nliquid\n.\nHere x1, x2 ≪γh, so we shall keep only the term containing\nγh in the second bracket:\nEkin = 1\n2γϱshv2\n1 + 1\n2ϱ(S −s)γhv2\n2\nExpressing v2 from continuity law gives the following:\nEkin = 1\n2γϱshv2\n1 + 1\n2ϱγh\ns2\nS −sv2\n1 = 1\n2ϱγh sS\nS −sv2\n1 .\nThe potential and kinetic energies can be written in the form\nEpot = 1\n2keff x2\n1 ,\nEkin = 1\n2meff v2\n1 ,\nwhere the effective spring constant and effective mass are given\nby\nkeff = ϱ sS\nS −sg ,\nmeff = ϱγh sS\nS −s .\nSo the oscillation is indeed harmonic, thus the angular fre-\nquency and the period are:\nω =\ns\nkeff\nmeff\n=\nr g\nγh,\nT = 2π\ns\nγh\ng = 0.53 s .\nNote. The static restoring force, acting on the cylinder is due to the\nchange (relative to the equilibrium position) of the hydrostatic pres-\nsure at its lower base:\nF = −sρg(x1 + x2) = −sS\nS −sρgx1.\nThis immediately gives effective stiffness of the system keff =\nsS\nS−sρg.\nAlternatively, one may wish to integrate\nR\nF dx1 to get the potential\nenergy\nEpot =\nsS\nS −s\nρg\n2 x2\n1.\n\nEuPhO-2022\nTheoretical Problems - Solutions English\nSolution II: dynamical approach\nWhen the cylinder is displaced from its equilibrium position\ndownwards by distance x1, the net restoring force (pointing up)\ncan be calculated as the sum of the weight of the cylinder and\nthe force from the difference of pressures at the top (p0) and bot-\ntom (p) of the cylinder. As a result of the net force, the cylinder\naccelerates upwards with a1, and at the same time, the liquid lo-\ncated in the gap between the cylinder and the wall of the beaker\naccelerates down with a2. The relation between the magnitudes\nof a1 and a2 is given by the continuity law:\nsa1 = (S −s)a2 .\nFig. 2\nIf the liquid in the gap was not accelerating, the pressure differ-\nence p −p0 would be equal to the hydrostatic pressure of the\nliquid column in the gap. Due to the acceleration of the liquid,\np −p0 can be expressed from Newton’s 2nd law applied for the\nliquid column of unit area located in the gap:\np0 −p + ϱg(γh + x1 + x2) = ϱ(γh + x1 + x2)a2 ,\nwhere we used the notations of Solution I, and the downward\ndirection was taken as positive.\nNewton’s 2nd law for the cylinder reads as\n(p −p0)s −γϱshg = γϱsha1 .\nAfter expressing p −p0 from the previous equation, and then\nsubstituting it here we get:\nϱg(γh+x1+x2)s−ϱ(γh+x1+x2)a2s−γϱshg = γϱsha1 .\nSince the amplitude of the liquid level is small, the terms con-\ntaining a2x1 and a2x2 can be neglected. After rearranging we\nget:\nϱgs(x1 + x2) = γϱsh(a1 + a2) .\nUsing the relations between the displacements and accelera-\ntions we finally get:\na1 = g\nγhx1 .\nTaking into account the opposite directions of x1 and a1, this\nis the dynamical condition of a simple harmonic motion with\nangular frequency and period\nω =\nr g\nγh ,\nT = 2π\ns\nγh\ng = 0.53 s .\nNote. In this solution we assumed that the pressure p is constant\nthroughout the bottom surface of the cylinder.\nThis assumption is\nequivalent with saying that the horizontal acceleration of the liquid\nbelow the cylinder at every point is much smaller than a2, which is\nreasonable.\nMarking scheme\nAll solutions should be graded according to only one marking scheme\n(either energetical or dynamical). If the student used both ideas, that\nmarking scheme should be used which results in a higher score.\nSolution I: energetic solution\npts\ni\nHeight of submerged part of cylinder in equilib-\nrium is γh.\n0.5\nii\nRealizing that the kinetic energy of water is impor-\ntant\n1.0\niii\nRealizing that the kinetic energy of liquid below the\ncylinder is negligible\n1.5\niv\nExpressing the kinetic energy of liquid inside the\ngap as a function of velocity of cylinder.\n2.5\nv\nPotential energy change of liquid as a function of\nthe small displacement of cylinder\n1.0\nvi\nPotential energy change (0.5 p) and kinetic energy\nchange of cylinder (0.5 p)\n1.0\nvii\nContinuity law either for displacements or veloci-\nties (only 0.5 p if the factor is S/(S −s))\n1.0\nviii\nExpressing ω from the formulas for Epot and Ekin\n(ω =\np\nkeff/meff or equivalent).\n1.0\nix\nT = 2π/ω\n0.3\nx\nCorrect substitution of values, final result\n0.2\nTotal number of points\n10.0\nSolution II: dynamical solution\npts\nI\nHeight of submerged part of cylinder in equilib-\nrium is γh\n0.5\nII\nRealizing that the pressure difference between top\nand bottom of the cylinder is not ϱg × height diff.\n1.0\nIII\nNeglecting the motion of water below the cylinder\nbut not on the sides\n1.5\nIV\nNewton’s 2nd law for liquid in the gap with nonzero\nacceleration. (0 p for p −p0 = ϱg × height diff.)\n2.5\nV\nNewton’s 2nd law for cylinder (still full mark if II\nwas not realized but p −p0 was used properly)\n1.0\nVI\nUsing the change in water level in Newton’s 2nd law\n1.0\nVII\nContinuity law either for displacements or acceler-\nations (only 0.5 p if the factor is S/(S −s))\n1.0\nVIII\nConcluding a linear relation between acceleration\nand displacement of cylinder\n0.5\nIX\nExpressing ω from the dynamical equations (ex-\npressing ω =\np\nkeff/meff correctly or equivalent).\n0.5\nX\nT = 2π/ω\n0.3\nXI\nCorrect substitution of values, final result\n0.2\nTotal number of points\n10.0\n\nEuPhO-2022\nTheoretical Problems - Solutions English\nT2: Thermal oscillations\nPart (a): Critical voltages\nThe power heating the resistor is Pel = V 2/Rj. The thermal\nequilibrium is reached when Pel = P = α(Teq −T0). To\navoid oscillations, the equilibrium temperature Teq must satisfy\nTeq < Tc if R = R1 and Teq > Tc if R = R2. Solving for V ,\nwe have\nV =\nq\nRjα(Teq −T0).\n(1)\nThe critical values therefore are\nV1 =\np\nR1α(Tc −T0)\nand\nV2 =\np\nR2α(Tc −T0).\n(2)\nPart (b): Temperature behaviour\nIn the oscillating regime, we have a time-dependent current\nI(t).\nThe power dissipated over the resistor is Pel(t)\n=\nR(t)I(t)2. By assumption (ii), we may assume that the ther-\nmal equilibrium is reached very fast, i.e. Pel(t) = P(t). The\ntemperature T(t) is therefore determined by the current via\nT(t) = T0 + R(t)I(t)2\nα\n.\n(3)\nIf the resistance has value R1, the current will increase, try-\ning to reach J1 = V /R1. The difference I(t) −V /R1 will\ndecay exponentially, with characteristic time L/R1. The phase\ntransition occurs once the critical current\nI1 =\ns\nα(Tc −T0)\nR1\nis reached. After the phase transition, the current will decrease,\napproaching the new equilibrium value J2 = V /R2. Again,\nI(t) −V /R2 will decay exponentially with characteristic time\nL/R2, until the critical current\nI2 =\ns\nα(Tc −T0)\nR2\nis reached. This behaviour is shown in Fig. 1.\nI1\nI2\nJ2\nJ1\nI\nt\nR\nR2\nR1\nt1\nt2\nFig. 1\nTogether with (3), we see that the temperature behaves like\nin Figure 2.\nTc\nT\nt\nR\nR2\nR1\nFig. 2\nThe maximum and minimum temperatures will be attained\njust after the phase transitions occur. We obtain that\nTmax −T0\nTmin −T0\n= R2I2\n1\nR1I2\n2\n= R2\n2\nR2\n1\n.\n(4)\nPart (c): Period of oscillations\nIf the phase transition occurs at t = 0, with the resistance\nchanging from Rj′ to Rj, the current is given by\nI(t) = V\nRj\n+\n\u0012\nIj′ −V\nRj\n\u0013\ne−Rjt/L\n(5)\nuntil the next phase transition occurs when I(tj) = Ij. Hence,\nthe period is\nt1+t2 = L\nR1\nln\n\u0012I2 −V /R1\nI1 −V /R1\n\u0013\n+ L\nR2\nln\n\u0012I1 −V /R2\nI2 −V /R2\n\u0013\n(6)\nInserting the relations R2\n= ηR1 and V\n= √V1V2\n=\nη1/4p\nR1α(Tc −T0), we obtain the period\nL\nR1\nln\n\u00127\n4\n\u0013\n+ L\nR2\nln (7) = L\nR1\n\u0012\nln\n\u00127\n4\n\u0013\n+ 1\n16\nln (7)\n\u0013\n≈0.68 L\nR1\n.\n(7)\n\nEuPhO-2022\nTheoretical Problems - Solutions English\nMarking scheme\nTask (a): Critical voltages\npts\na1\nFormula for the power dissipation Pel = V 2/Rj.\n0.5\na2\nRelating the power dissipation to the tempera-\nture of the resistor in oscillations-free stationary\nregime, Pel = P = α(Teq −T0)\n0.5\na3\nExpressing the voltage in terms of the temperature\nif the thermal equilibrium were to be reached, V =\np\nRjα(Teq −T0). Subtract 0.1 pts if V is not ex-\npressed explicitly.\n0.5\na4\nRealising that oscillations will not happen if V >\np\nR2α(Teq −T0) or V <\np\nR1α(Teq −T0). No\nmarks if only one inequality is obtained (but no\nsubtractions because of that in a3 - in most cases\nthose who got correct expression for one of the volt-\nages but has a wrong or missing expression for the\nother gets full marks for a1-a3, and 0 pts for a4).\n0.5\nTotal number of points for Task (a)\n2.0\nTask (b): Temperature behavior\npts\nb1\nRealising that the I −t curve is made of segments\nof exponents, joined without discontinuities. Par-\ntial credit of 0.5 pts if it is made of curved segments\nfor which it is not clear that these are exponents, or\nif these are growing exponents, but which are con-\nnected continuously with a discontinuous deriva-\ntive dI\ndt . No points if I(t) is discontinuous, or if only\none segment of an exponent is shown. Full marks\ncan be given if there is no I −t graph, but the T −t\ngraph is made of the segments of vanishing expo-\nnents, connected with temperature jumps in a cor-\nrect direction, and a partial credit of 0.5 pts if the\nsegments of the T −t are either growing exponents\nor curves of unclear shape, still connected so that it\nwould correspond to a continuous I(t)-curve with\na discontinuous derivative. Partial credit of 0.5 pts\nis given if there is no I −t-curve shown, but V −t\ncurve is shown to be made of decaying exponential\nsegments, connected with jumps\n1.0\nb2\nRealising that (i) one of these exponents is in a form\na1 −b1e−t/τ1 and (ii) the other one — in a form\na2 + b2e−t/τ2 where (iii) the a1 > a2 and (iv)\nτ1 > τ2. It is not necessary to write down these\ninequalities mathematically — it is enough it these\nare clear from a sketch. Inequality τ1 > τ2 does\nnot need to be written if expressions for τ1 and τ2\nare given. Full marks can be given if I −t graph\nis missing, but T −t graph is correct and has all\nthe features as described in b6. Full marks can be\nalso given if the correct exponential forms are doc-\numented not here, but in part c.\n0.3+\n0.3+\n0.3+\n0.1\nb3\nRealising that this exponential behaviour breaks\ndown once the critical temperature is reached. This\ndoes not need to be written specifically if the jumps\nin T −t graph happen at T = Tc. No marks are\ngiven if there is no clear discontinuity of T at Tc\nand/or if there are discontinuities of T(t) or dT\ndt at\nsome other values of T .\n1.0\nb4\nRelating the critical temperature to the correspond-\ning critical current Ij\n0.5\nb5\nRealising that the temperature curve T(t) is re-\nlated to I(t)-curve, T(t) = T0 + R(t)I(t)2\nα\n0.5\nb6\nDrawing a correct final sketch which has the fol-\nlowing features: exponential segments showing an\nexponential relaxation of T(t) in a right direction\nboth when R = R1 and when R = R2; jumps in a\nright direction each time when T reaches Tc (sub-\ntract 0.2 for each missing label on the axes and also\nif the temperature jumps do not occur at the same\nvalue of T ). No points are given if any of the listed\nfeatures is missing.\n1.0\nb7\nUsing the feature from the graph that the maximal\nand minimal temperatures are taken immediately\nafter a phase transition when I = I1 and I = I2\n0.5\nb8\nCorrect answer for the ratio of the maximal and\nminimal temperatures. Only 0.3 pts if the answer\nis not simplified.\n0.5\nTotal number of points for Task (b)\n6.0\nTask (c): Period of oscillations\npts\nc1\nExpressing the duration of each of the exponential\nsegments as tj =\nL\nRj ln ∆Ij,i\n∆Ij,f where ∆Ij,i and\n∆Ij,f denote the corresponding initial and final de-\npartures of the current from the equilibrium value\n(full marks to be given if the final answer is correct).\nSubtract 0.2 for each incorrect ∆Ij,i and ∆Ij,f ,\ni = 1, 2 (this means that if none of them is cor-\nrect, only 0.2 pts are given for c1). 60% of points if\ntj is related to ∆Ij,i and ∆Ij,f correctly, but not\nexpressed explicitly.\n0.5+\n0.5\nc2\nCorrect first and second terms in the final answer\n(40% of it if the answer is not simplified)\n0.5+\n0.5\nTotal number of points for Task (c)\n2.0\n\nEuPhO-2022\nTheoretical Problems - Solutions English\nT3: Dipole in a magnetic field\nPart (a): Uniform linear motion\nLorentz forces acting on the charges:⃗\nF+ = q⃗v+ ×⃗B = q(⃗v +⃗ω ×⃗r) ×⃗B,⃗\nF−= (−q)⃗v−×⃗B = (−q)(⃗v −⃗ω ×⃗r) ×⃗B,\nwhere⃗r is a vector from the center of mass to the position of the\npositive charge.\n−\n+⃗\nv\nω⃗\nv+ =⃗v +⃗ω ×⃗r⃗\nv−=⃗v −⃗ω ×⃗r⃗\nr\nAccording to Newton’s first law, the center-of-mass C of the\ndipole will move with constant velocity provided that the net\nforce:⃗\nF =⃗F+ +⃗F−= q(⃗v+ −⃗v−) ×⃗B,\n(8)\nacting on the dipole, is zero. Since⃗v+,⃗v−and⃗B are perpendic-\nular, we require⃗v+ =⃗v−. It means that dipole does not rotate:\nω = ω0 = 0.\nThe pure translation, however, is possible if the pair of forces⃗\nF+,⃗F−, has zero torque about C:⃗\nτ =⃗r ×⃗F+ −⃗r ×⃗F−= 2q⃗r × (⃗v ×⃗B) =\n2q\n\u0010⃗\nv(⃗r ·⃗B) −⃗B(⃗r ·⃗v)\n\u0011\n= −2q⃗B(⃗r ·⃗v).\n(9)\nWe conclude that scalar product is zero only when⃗v ⊥⃗r, i.e.\nthe initial velocity should be parallel to Y direction.\nIn summary, the dipole will move uniformly along Y if, and\nonly if,⃗v0∥Y and ω0 = 0.\nPart (b): Circular motion\nThe net force can be calculated as:⃗\nF =⃗F+ +⃗F−= 2q(⃗ω ×⃗r) ×⃗B =\n−2q\n\u0010⃗\nω(⃗B ·⃗r) −⃗r(⃗B ·⃗ω)\n\u0011\n= 2qBω⃗r = Bω⃗p,\n(10)\nwhere⃗p is a dipole moment (|⃗p| = qd = 2qr and the direction\naligns with⃗r).\nWhen C orbits a circle,⃗F acts as a centripetal force, i.e. it\npoints to the center of the circle. Since⃗F∥⃗p, the dipole is always\nin line with the center of the orbit. Therefore, the orbital angular\nvelocity of C is equal to the angular velocity of rotation of the\ndipole about C.\n−\n+⃗\nv⃗\nF\n(xc, yc)\nThe magnitude of the orbital velocity is:\nv0 = |ω0|Rc\nFrom Newton’s second law, and accounting that the total mass\nof the dipole is 2m:\n2mv2\n0\nRc\n= pBv0\nRc\n,\ni.e. the magnitude of velocity is:\nv0 = pB\n2m = qBd\n2m\nand the radius of the orbit is:\nRc = v0\n|ω0| =\nqBd\n2m|ω0|\nThe coordinates of the center of the circle are:\n(xc, yc) = (±Rc, 0)\nwhere the “+”sign corresponds to ω0 > 0, i.e.\ncounter-\nclockwise rotation, and the “−”sign —to clockwise rotation.\nIn either case, the initial velocity should point to the negative Y\ndirection:⃗\nv0 = −qdB\n2m ˆȷ.\nPart (c): Reversal of the dipole\nIn (10) we have shown that the net force:⃗\nF = 2q(⃗ω ×⃗r) ×⃗B = (⃗ω ×⃗p) ×⃗B.\nSince the dipole moment⃗p rotates with angular velocity⃗ω, its\ntime derivative:\nd⃗p\ndt =⃗ω ×⃗p.\nFrom Newton’s second law:\n2md⃗v\ndt =⃗F = d⃗p\ndt ×⃗B.\nBy integrating the equation, we arrive at an additional conserva-\ntion law in the system (conservation of the so called “generalized\nmomentum”):\n2m⃗v −⃗p ×⃗B = const\nThus, if⃗p has reversed its direction from⃗p0 to⃗p1 = −⃗p0,\nthen the velocity:⃗\nv1 =⃗v0 + (⃗p1 −⃗p0) ×⃗B\n2m\n= −⃗p0 ×⃗B\nm\n.\n(11)\n\nEuPhO-2022\nTheoretical Problems - Solutions English\nSince the magnetic field does not perform work on moving\nelectric charges, the kinetic energy of the dipole is conserved:\nI\n2ω2\n0 = I\n2ω2\n1 + 2m\n2 v2\n1,\nHere, I = 2 × m(d/2)2 = md2/2 is the moment of inertia\nof the dipole with respect to its center-of-mass. Since v1 doesn’t\ndepend on angular velocities, ω0 is minimal when ω1 = 0. Fi-\nnally,\nωmin = v1\nr\n2m\nI\n= p0B\nm\nr\n4\nd2 = 2qB\nm\nAlternatively,\nwe can introduce θ to be the angle between the\ndipole moment and the axis X (θ0 = 0) and rewrite the equa-\ntions of translational motion in coordinates using ω = ˙θ:\n˙vx = ˙θqBd\n2m\ncos θ,\n˙vy = ˙θqBd\n2m\nsin θ.\nBy integrating these equations, given zero initial velocity, we\nfind how velocity depends on θ:\nvx = qBd\n2m\nsin θ,\nvy = qBd\n2m (1 −cos θ).\nUsing the expression (9) for the torque, we can write the equa-\ntion of rotational motion as:\nI ¨θ = τ = −2qB(rxvx + ryvy) = −q2B2d2\n2m\nsin θ,\n¨θ + q2B2\nm2\nsin θ = 0,\n(12)\nThis is the equation of a mathematical pendulum of length L in\ngravitational field g = L(qB/m)2. And the equivalent ques-\ntion becomes what is the minimal push ˙θ0 required in the bot-\ntom position for the pendulum to reach the top position. Kinetic\nenergy of the pendulum K = 1\n2mL2 ˙θ2\n0 will be transfered to the\npotential energy U = 2mgL, from which we find:\nωmin = ˙θ0 =\nr\n4 g\nL = 2qB\nm .\nNote.\nDue to symmetry,\nboth clockwise and counter-\nclockwise initial rotation with absolute value of |ω0| will work.\nPart (d): Trajectory asymptote\nIf dipole’s trajectory has an asymptote, then its movement along\nthe asymptote is uniform. Indeed, if there is a linear motion with\nacceleration, the dipole⃗p should be always aligned with the di-\nrection of motion, thus, not rotating. and as we found in part (a),\nthe absence of rotation can only be maintained if⃗v = const and⃗\nv ⊥⃗p.\nThe uniform linear motion requires ω = 0, and this hap-\npens in the limit when the orientation is reversed⃗p1 = −⃗p0.\nAccording to (11), in the limit, the dipole is travelling with the\nspeed⃗v1 = p0Bˆȷ/m. Thus the asymptote is parallel to Y axis:\nx = D (for counter-clockwise initial rotation).\nX\nY\nv1\nv1\nD\nIf⃗R+ and⃗R−are absolute positions of the charges, we can\nwrite equation for the angular momentum around the origin\nLO:\nd⃗LO\ndt\n=⃗R+ × (q ˙⃗R+ ×⃗B) +⃗R−× (−q ˙⃗R−×⃗B) =\n−q⃗B\n\u0010⃗\nR+ · ˙⃗R+ −⃗R−· ˙⃗R−\n\u0011\n= −q⃗B\n2\nd\ndt\n\u0000R2\n+ −R2\n−\n\u0001\n.\nAfter integration, we find one more conservation law (conser-\nvation of the “generalized angular momentum”):⃗\nLO+q⃗B\n2\n\u0000R2\n+ −R2\n−\n\u0001\n=⃗LO+q⃗B\n2\n\u0010\n(⃗R+ +⃗R−) · (⃗R+ −⃗R−)\n\u0011\n=⃗LO +⃗B(⃗R ·⃗p) = const,\nwhere⃗R = 1\n2(⃗R+ +⃗R−) is the position of center of mass. We\nalso used the fact that q(⃗R+ −⃗R−) = 2q⃗r =⃗p.\nInitially, centre of mass coincides with origin (⃗R0 = 0):\nLO(0) = Iω0 = 2md2\n4 2qB\nm = qBd2.\n(13)\nAt asymptote, the dipole has reversed direction⃗p1 = −⃗p0 and\ncharges are travelling along parallel lines x = D ± r with the\nvelocity⃗v1:\nLO(∞)+B(⃗R1·⃗p1) = m(D−r)v1+m(D+r)v1−BDp0\n= 2mDp0B\nm −BDp0 = BDp0 = BDqd.\n(14)\nSince (13) equals (14), we conclude that D = d.\n\nEuPhO-2022\nTheoretical Problems - Solutions English\nWe can arrive to the same conclusion differently. Notice that\nwe are interested in the x coordinate of C at infinity:\nD = x∞=\nZ ∞\n0\nvx dt = qBd\n2m\nZ ∞\n0\nsin θ dt.\nFrom (12), we can express sin θ:\nZ ∞\n0\nsin θ dt = −m2\nq2B2\nZ ∞\n0\n¨θ dt =\n−m2\nq2B2 ( ˙θ1 −˙θ0) =\nm2\nq2B2 ωmin = 2m\nqB .\nFinally,\nD = qBd\n2m\n2m\nqB = d.\nNote. If initial rotation is clockwise (ω0 < 0), the asymptote\nhas an equation x = −D, but the distance to the origin remains\nthe same.\nMarking scheme\nPart (a): Uniform linear motion\npts\na1\nRationalizes that the net force on the dipole is zero\nif the two poles move with equal velocities; Just ar-\ngument v = const ⇒P⃗F = 0 is 0 pts.\n0.7\na2\nConcludes that ω0 = 0.\n0.3\na3\nUsing the argument of zero torque, concludes that\nthe velocity should be perpendicular to the dipole;\nJust argument ω = const = 0 ⇒⃗τ = 0 : 0.4 pts\n0.7\na4\nStates explicitly that⃗v0∥Y (or ⊥X).\n0.3\nTotal number of points for part (a)\n2.0\nPart (b): Circular motion\npts\nb1\nDerives expression for the magnitude of the net\nforce on the dipole in terms of ω AND states explic-\nitly that it is parallel to the dipole axis OR derives\none single vector expression.\n0.9\nb2\nRealizes (drawing or explicit statement) that⃗F and\nthe dipole axis point to the center of the orbit, and\nconcludes that ω0 is equal to the orbital angular ve-\nlocity.\n0.5\nb3\nWrites down Newton’s second law for the circular\nmotion.\n0.5\nb4\nMakes use of the relation v0 = |ω|Rc.\n0.2\nb5\nDerives expression for v0 and specifies its direction\n(drawing or statement) OR derives one single vec-\ntor expression for⃗v0; if direction is wrong or miss-\ning 0.2 pts\n0.3\nb6\nDerives explicitly Rc = qbD/(2m|ω0|). If | · | is\nomitted, still full points.\n0.3\nb7\nWrites down the coordinates of the center of the or-\nbit; 0.2 for correct xc (including sign), 0.1 for cor-\nrect yc; xc = qbD/(2mω0) is a correct answer\n0.3\nTotal number of points for part (b)\n3.0\nOnly one of the grading tables should be used for part (c), the one\nwhich results in a higher score.\nPart (c): Reversal of the dipole\npts\nc1\nBy integrating the equation(s) of motion derives a\n“generalized momentum”conservation law – a re-\nlationship between the linear momentum2m⃗v and\nthe dipole moment⃗p – in vector form OR for the\nCartesian components.\n1.5\nc2\nStates explicitly that the kinetic energy of the dipole\nconserves.\n0.3\nc3\nWrites down explicit expression for the kinetic en-\nergy in terms of angular velocity and linear velocity\nof the center of mass.\n0.5\nc4\nRealizes that ω0 is minimal when ω1 = 0 in the\nreversed position.\n0.2\nc5\nBy using the“generalized momentum”conserva-\ntion, derives explicit expression for the linear ve-\nlocity v1.\n0.5\nc6\nApplies the conservation of energy to find relation-\nship between v1 and ωmin\n0.8\nc7\nDerives the final expression for ωmin\n0.2\nTotal number of points for part (c)\n4.0\nAlternative approach: pendulum analogy\nPart (c): Reversal of the dipole\npts\nc1\nDerives the expression τ = −B(⃗p ·⃗v) for the\ntorque. Even if the derivation has been made in\nparts (a) or (b), the points should be assigned to\nTask (c); If term (⃗B ·⃗p) is not cancelled, still full\npoints\n0.5\nc2\nBy integrating the equations of motion, expresses\nvx and vy in terms of θ.\n1.5\nc3\nWrites down the equation of rotational motion in\nterms of sin θ.\n0.5\nc4\nStates that the angular dynamics of the dipole is\nequivalent to a large-amplitude oscillation of a\nmathematical pendulum.\n0.3\nc5\nRealizes that ω0 is minimal when ω1 = 0 in the\nreversed position.\n0.2\nc6\nApplies the conservation of energy to the ”equiva-\nlent pendulum”.\n0.8\nc7\nDerives the final expression for ωmin\n0.2\nTotal number of points for part (c)\n4.0\nPart (d): Trajectory asymptote\npts\nd1\nRationalizes that the asymptote is parallel to Y , i.e.\nx = ±D.\n0.1\nd2\nRationalizes that asymptotically the motion is lin-\near uniform\n0.2\nd3\nEither finds conservation law⃗LO +⃗B(⃗R ·⃗p) OR\nwrites x∞as integral of vx (with explicit expres-\nsion for vx) as a method to find D.\n0.3\nd4\nCorrectly computes generalized angular momen-\ntum at 0 and ∞OR uses sin θ ∝¨θ in integral.\n0.2\nd5\nConcludes that D = d.\n0.2\nTotal number of points for part (d)\n1.0\n","shared":true,"sourcePages":[1,2,3,4,5,6,7],"initialPage":1}},{"id":"eupho-2022-t2","importedOn":"2026-10-28","language":"en","sources":[{"url":"https://eupho.ee/wp-content/uploads/2022/05/EuPhO_2022_theory___English.pdf","kind":"statement"},{"url":"https://eupho.ee/wp-content/uploads/2022/05/EuPhO_2022_Solutions.pdf","kind":"solution"}],"statement":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/eupho-2022-statement/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/eupho-2022-statement/page-1.webp","width":982,"height":1389}],"text":"EuPhO-2022\nTheoretical Problems. Language: English\nT1: Floating cylinder (10 pts)\nA solid, uniform cylinder of height h = 10 cm and base\narea s = 100 cm2 floats in a cylindrical beaker of height\nH = 20 cm and inner bottom area S = 102 cm2 filled\nwith a liquid. The ratio between the density of the cylin-\nder and that of the liquid is γ = 0.70. The bottom of the\ncylinder is above the bottom of the beaker by a few cen-\ntimeters. The cylinder is oscillating vertically, so that its\naxis always coincides with that of the beaker. The ampli-\ntude of the liquid level oscillations is A = 1 mm.\nFind the period of the motion T . Neglect the viscosity of\nthe liquid.\nT2: Thermal oscillations (10 pts)\nA resistor is made of a material which undergoes a phase\ntransition so that its resistance takes one of the two values,\nR1 if its temperature is smaller than Tc, and R2 > R1 if\nthe temperature is larger than Tc.\nThis resistor is connected to a voltage source through\nan inductor of inductance L. It appears that if the applied\nvoltage V is between two critical values, V1 < V < V2,\nthe temperature of the resistor starts oscillating. Assume\nthat (i) the heat flux P from the resistor to the ambient\nmedium is given by P = α(T −T0), where α is a con-\nstant, T denotes the temperature of the resistor, and T0 is\nthe ambient temperature; (ii) the geometrical size of the\nresistor is so small that it will reach a thermal equilibrium\nmuch faster than the characteristic time L/R2.\n(a) (2 pts) Express V1 and V2 in terms of the other param-\neters defined above.\n(b) (6 pts) Assuming that V1 < V < V2, sketch qualita-\ntively how the temperature of the resistor T depends\non time t, and find the ratio (Tmax −T0)/(Tmin −T0),\nwhere Tmax and Tmin denote the maximal and mini-\nmal values of T , respectively.\n(c) (2 pts) Find the period of oscillations if V = √V1V2\nand R2 = 16R1.\nT3: Dipole in a magnetic field (10 pts)\nTwo small balls of mass m each with charges +q and −q\nrespectively, connected by a rigid massless rod of length d,\nform a dipole.\nThe dipole is parallel to plane XY and\nis placed in a uniform magnetic field⃗B perpendicular\nto XY .\nX\nY\nd\n−\n+q, m\n+\n−q, m⃗\nv0\nω0⃗\nB\nInitially, the dipole is aligned with the direction X and\nhas initial angular velocity ω0 in plane XY , as shown. Its\ncenter of mass is initially located at origin and given initial\nvelocity⃗v0 parallel to XY , as well.\nConsider three distinct scenarios (a, b, c-d):\n(a) (2 pts) Find ω0 and the direction of⃗v0, so that the\ncenter of mass will move with the constant velocity⃗\nv =⃗v0?\n(b) (3 pts) Given ω0, find such⃗v0 (direction and magni-\ntude), so that the center of mass will travel in a circle.\nFind the circle radius Rc and the coordinates xc, yc\nof its center. You don’t need to prove the uniqueness\nof the solution.\n(c) (4 pts) Given⃗v0 = 0, find the minimal ω0 = ωmin nec-\nessary for the dipole to reverse its orientation during\nthe motion.\n(d) (1 pt) If the dipole starts with⃗v0 = 0 and ω0 = ωmin\nfound in part (c), the trajectory of its center of mass\nhas an asymptote. Find the distance D from the ori-\ngin to the asymptote.\nUseful vector identity:⃗\na × (⃗b ×⃗c) =⃗b (⃗a ·⃗c) −⃗c (⃗a ·⃗b),\nwhere “×”and “·”denote vector product and scalar\nproduct respectively.\n","shared":true,"sourcePages":[1],"initialPage":1},"solution":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/eupho-2022-solution/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/eupho-2022-solution/page-1.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2022-solution/page-2.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2022-solution/page-3.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2022-solution/page-4.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2022-solution/page-5.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2022-solution/page-6.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2022-solution/page-7.webp","width":982,"height":1389}],"text":"EuPhO-2022\nTheoretical Problems - Solutions English\nGeneral guidelines for marking\n• Granularity for marks is 0.1 p.\n• A simple numerical error resulting from a typo is punished by\n0.2 p unless the grading scheme explicitly says otherwise.\n• Errors which cause dimensionally wrong results are punished\nby at least 50 % of the marks unless the grading scheme explic-\nitly says otherwise.\n• Propagating errors are not punished repeatedly unless they\neither lead to considerable simplifications or wrong results\nwhose validity can easily be checked later.\nT1: Floating cylinder\nSolution I: energetic approach\nDenote the density of the liquid by ϱ, so the density of the cylin-\nder is γϱ. In equilibrium (i.e. when the net force acting on the\ncylinder is zero) the immersed part of the cylinder has height\nγh.\nConsider the system in a moment when the cylinder is dis-\nplaced by distance x1 downward and moves down with veloc-\nity v1. As a result of the motion of cylinder the liquid level rises\nby some height x2, and the liquid flows in the gap between the\ncylinder and beaker with some velocity v2 upwards (see Fig. 1).\nFig. 1\nThe relation between the aforementioned displacements and ve-\nlocities are given by the continuity law:\nx1s = x2(S −s),\nv1s = v2(S −s) .\nIn the following we express the potential and kinetic energy of\nthe system. Compared to the equilibrium position the cylinder\nof mass γϱsh sunk by x1, while the potential energy change\ncaused by the redistribution of liquid can be imagined as the\ncenter of mass of liquid with mass ϱsx1 rises by distance γh +\nx1/2 + x2/2 . Taken the potential energy in the equilibrium\nstate to be zero, the potential energy in the state indicated in the\nright figure can be written as\nEpot = −γϱshgx1 + ϱsx1g\n\u0012\nγh + x1 + x2\n2\n\u0013\n.\nAfter opening the bracket the first two terms cancel each other:\nEpot = 1\n2ϱsgx1(x1 + x2) .\nAfter expressingx2 from continuity law and some simplification\nwe get a quadratic expression for the potential energy:\nEpot = 1\n2ϱsgx1\n\u0012\nx1 +\ns\nS −sx1\n\u0013\n= 1\n2ϱ sS\nS −sgx2\n1 .\nNow let us calculate the kinetic energy of the system. The con-\ntribution from the cylinder is straightforward, γϱshv2\n1/2, but\nthe motion of the liquid is more complicated.\nNote. We may notice that since s/(S −s) = 50, the speed v2 of\nthe liquid in the narrow gap is 50 times larger than the typical speed\nof the liquid below the cylinder (which can be estimated to be in the\nrange of v1). And while the mass of the liquid below the cylinder is\nmuch larger than the mass of liquid inside the gap (the ratio is ca. 25 if\nthe „few centimeters” in the problem text is taken to be 3.5 cm), the ki-\nnetic energy is proportional to the square of the velocity, so the kinetic\nenergy of the liquid inside the gap is roughly 100 times larger than the\nkinetic energy of the liquid below the cylinder.\nSince the kinetic energy of the liquid below the cylinder is\nnegligible, we can write the total kinetic energy of the system\nas:\nEkin = 1\n2γϱshv2\n1\n|\n{z\n}\ncylinder\n+ 1\n2ϱ(S −s) (γh + x1 + x2) v2\n2\n|\n{z\n}\nliquid\n.\nHere x1, x2 ≪γh, so we shall keep only the term containing\nγh in the second bracket:\nEkin = 1\n2γϱshv2\n1 + 1\n2ϱ(S −s)γhv2\n2\nExpressing v2 from continuity law gives the following:\nEkin = 1\n2γϱshv2\n1 + 1\n2ϱγh\ns2\nS −sv2\n1 = 1\n2ϱγh sS\nS −sv2\n1 .\nThe potential and kinetic energies can be written in the form\nEpot = 1\n2keff x2\n1 ,\nEkin = 1\n2meff v2\n1 ,\nwhere the effective spring constant and effective mass are given\nby\nkeff = ϱ sS\nS −sg ,\nmeff = ϱγh sS\nS −s .\nSo the oscillation is indeed harmonic, thus the angular fre-\nquency and the period are:\nω =\ns\nkeff\nmeff\n=\nr g\nγh,\nT = 2π\ns\nγh\ng = 0.53 s .\nNote. The static restoring force, acting on the cylinder is due to the\nchange (relative to the equilibrium position) of the hydrostatic pres-\nsure at its lower base:\nF = −sρg(x1 + x2) = −sS\nS −sρgx1.\nThis immediately gives effective stiffness of the system keff =\nsS\nS−sρg.\nAlternatively, one may wish to integrate\nR\nF dx1 to get the potential\nenergy\nEpot =\nsS\nS −s\nρg\n2 x2\n1.\n\nEuPhO-2022\nTheoretical Problems - Solutions English\nSolution II: dynamical approach\nWhen the cylinder is displaced from its equilibrium position\ndownwards by distance x1, the net restoring force (pointing up)\ncan be calculated as the sum of the weight of the cylinder and\nthe force from the difference of pressures at the top (p0) and bot-\ntom (p) of the cylinder. As a result of the net force, the cylinder\naccelerates upwards with a1, and at the same time, the liquid lo-\ncated in the gap between the cylinder and the wall of the beaker\naccelerates down with a2. The relation between the magnitudes\nof a1 and a2 is given by the continuity law:\nsa1 = (S −s)a2 .\nFig. 2\nIf the liquid in the gap was not accelerating, the pressure differ-\nence p −p0 would be equal to the hydrostatic pressure of the\nliquid column in the gap. Due to the acceleration of the liquid,\np −p0 can be expressed from Newton’s 2nd law applied for the\nliquid column of unit area located in the gap:\np0 −p + ϱg(γh + x1 + x2) = ϱ(γh + x1 + x2)a2 ,\nwhere we used the notations of Solution I, and the downward\ndirection was taken as positive.\nNewton’s 2nd law for the cylinder reads as\n(p −p0)s −γϱshg = γϱsha1 .\nAfter expressing p −p0 from the previous equation, and then\nsubstituting it here we get:\nϱg(γh+x1+x2)s−ϱ(γh+x1+x2)a2s−γϱshg = γϱsha1 .\nSince the amplitude of the liquid level is small, the terms con-\ntaining a2x1 and a2x2 can be neglected. After rearranging we\nget:\nϱgs(x1 + x2) = γϱsh(a1 + a2) .\nUsing the relations between the displacements and accelera-\ntions we finally get:\na1 = g\nγhx1 .\nTaking into account the opposite directions of x1 and a1, this\nis the dynamical condition of a simple harmonic motion with\nangular frequency and period\nω =\nr g\nγh ,\nT = 2π\ns\nγh\ng = 0.53 s .\nNote. In this solution we assumed that the pressure p is constant\nthroughout the bottom surface of the cylinder.\nThis assumption is\nequivalent with saying that the horizontal acceleration of the liquid\nbelow the cylinder at every point is much smaller than a2, which is\nreasonable.\nMarking scheme\nAll solutions should be graded according to only one marking scheme\n(either energetical or dynamical). If the student used both ideas, that\nmarking scheme should be used which results in a higher score.\nSolution I: energetic solution\npts\ni\nHeight of submerged part of cylinder in equilib-\nrium is γh.\n0.5\nii\nRealizing that the kinetic energy of water is impor-\ntant\n1.0\niii\nRealizing that the kinetic energy of liquid below the\ncylinder is negligible\n1.5\niv\nExpressing the kinetic energy of liquid inside the\ngap as a function of velocity of cylinder.\n2.5\nv\nPotential energy change of liquid as a function of\nthe small displacement of cylinder\n1.0\nvi\nPotential energy change (0.5 p) and kinetic energy\nchange of cylinder (0.5 p)\n1.0\nvii\nContinuity law either for displacements or veloci-\nties (only 0.5 p if the factor is S/(S −s))\n1.0\nviii\nExpressing ω from the formulas for Epot and Ekin\n(ω =\np\nkeff/meff or equivalent).\n1.0\nix\nT = 2π/ω\n0.3\nx\nCorrect substitution of values, final result\n0.2\nTotal number of points\n10.0\nSolution II: dynamical solution\npts\nI\nHeight of submerged part of cylinder in equilib-\nrium is γh\n0.5\nII\nRealizing that the pressure difference between top\nand bottom of the cylinder is not ϱg × height diff.\n1.0\nIII\nNeglecting the motion of water below the cylinder\nbut not on the sides\n1.5\nIV\nNewton’s 2nd law for liquid in the gap with nonzero\nacceleration. (0 p for p −p0 = ϱg × height diff.)\n2.5\nV\nNewton’s 2nd law for cylinder (still full mark if II\nwas not realized but p −p0 was used properly)\n1.0\nVI\nUsing the change in water level in Newton’s 2nd law\n1.0\nVII\nContinuity law either for displacements or acceler-\nations (only 0.5 p if the factor is S/(S −s))\n1.0\nVIII\nConcluding a linear relation between acceleration\nand displacement of cylinder\n0.5\nIX\nExpressing ω from the dynamical equations (ex-\npressing ω =\np\nkeff/meff correctly or equivalent).\n0.5\nX\nT = 2π/ω\n0.3\nXI\nCorrect substitution of values, final result\n0.2\nTotal number of points\n10.0\n\nEuPhO-2022\nTheoretical Problems - Solutions English\nT2: Thermal oscillations\nPart (a): Critical voltages\nThe power heating the resistor is Pel = V 2/Rj. The thermal\nequilibrium is reached when Pel = P = α(Teq −T0). To\navoid oscillations, the equilibrium temperature Teq must satisfy\nTeq < Tc if R = R1 and Teq > Tc if R = R2. Solving for V ,\nwe have\nV =\nq\nRjα(Teq −T0).\n(1)\nThe critical values therefore are\nV1 =\np\nR1α(Tc −T0)\nand\nV2 =\np\nR2α(Tc −T0).\n(2)\nPart (b): Temperature behaviour\nIn the oscillating regime, we have a time-dependent current\nI(t).\nThe power dissipated over the resistor is Pel(t)\n=\nR(t)I(t)2. By assumption (ii), we may assume that the ther-\nmal equilibrium is reached very fast, i.e. Pel(t) = P(t). The\ntemperature T(t) is therefore determined by the current via\nT(t) = T0 + R(t)I(t)2\nα\n.\n(3)\nIf the resistance has value R1, the current will increase, try-\ning to reach J1 = V /R1. The difference I(t) −V /R1 will\ndecay exponentially, with characteristic time L/R1. The phase\ntransition occurs once the critical current\nI1 =\ns\nα(Tc −T0)\nR1\nis reached. After the phase transition, the current will decrease,\napproaching the new equilibrium value J2 = V /R2. Again,\nI(t) −V /R2 will decay exponentially with characteristic time\nL/R2, until the critical current\nI2 =\ns\nα(Tc −T0)\nR2\nis reached. This behaviour is shown in Fig. 1.\nI1\nI2\nJ2\nJ1\nI\nt\nR\nR2\nR1\nt1\nt2\nFig. 1\nTogether with (3), we see that the temperature behaves like\nin Figure 2.\nTc\nT\nt\nR\nR2\nR1\nFig. 2\nThe maximum and minimum temperatures will be attained\njust after the phase transitions occur. We obtain that\nTmax −T0\nTmin −T0\n= R2I2\n1\nR1I2\n2\n= R2\n2\nR2\n1\n.\n(4)\nPart (c): Period of oscillations\nIf the phase transition occurs at t = 0, with the resistance\nchanging from Rj′ to Rj, the current is given by\nI(t) = V\nRj\n+\n\u0012\nIj′ −V\nRj\n\u0013\ne−Rjt/L\n(5)\nuntil the next phase transition occurs when I(tj) = Ij. Hence,\nthe period is\nt1+t2 = L\nR1\nln\n\u0012I2 −V /R1\nI1 −V /R1\n\u0013\n+ L\nR2\nln\n\u0012I1 −V /R2\nI2 −V /R2\n\u0013\n(6)\nInserting the relations R2\n= ηR1 and V\n= √V1V2\n=\nη1/4p\nR1α(Tc −T0), we obtain the period\nL\nR1\nln\n\u00127\n4\n\u0013\n+ L\nR2\nln (7) = L\nR1\n\u0012\nln\n\u00127\n4\n\u0013\n+ 1\n16\nln (7)\n\u0013\n≈0.68 L\nR1\n.\n(7)\n\nEuPhO-2022\nTheoretical Problems - Solutions English\nMarking scheme\nTask (a): Critical voltages\npts\na1\nFormula for the power dissipation Pel = V 2/Rj.\n0.5\na2\nRelating the power dissipation to the tempera-\nture of the resistor in oscillations-free stationary\nregime, Pel = P = α(Teq −T0)\n0.5\na3\nExpressing the voltage in terms of the temperature\nif the thermal equilibrium were to be reached, V =\np\nRjα(Teq −T0). Subtract 0.1 pts if V is not ex-\npressed explicitly.\n0.5\na4\nRealising that oscillations will not happen if V >\np\nR2α(Teq −T0) or V <\np\nR1α(Teq −T0). No\nmarks if only one inequality is obtained (but no\nsubtractions because of that in a3 - in most cases\nthose who got correct expression for one of the volt-\nages but has a wrong or missing expression for the\nother gets full marks for a1-a3, and 0 pts for a4).\n0.5\nTotal number of points for Task (a)\n2.0\nTask (b): Temperature behavior\npts\nb1\nRealising that the I −t curve is made of segments\nof exponents, joined without discontinuities. Par-\ntial credit of 0.5 pts if it is made of curved segments\nfor which it is not clear that these are exponents, or\nif these are growing exponents, but which are con-\nnected continuously with a discontinuous deriva-\ntive dI\ndt . No points if I(t) is discontinuous, or if only\none segment of an exponent is shown. Full marks\ncan be given if there is no I −t graph, but the T −t\ngraph is made of the segments of vanishing expo-\nnents, connected with temperature jumps in a cor-\nrect direction, and a partial credit of 0.5 pts if the\nsegments of the T −t are either growing exponents\nor curves of unclear shape, still connected so that it\nwould correspond to a continuous I(t)-curve with\na discontinuous derivative. Partial credit of 0.5 pts\nis given if there is no I −t-curve shown, but V −t\ncurve is shown to be made of decaying exponential\nsegments, connected with jumps\n1.0\nb2\nRealising that (i) one of these exponents is in a form\na1 −b1e−t/τ1 and (ii) the other one — in a form\na2 + b2e−t/τ2 where (iii) the a1 > a2 and (iv)\nτ1 > τ2. It is not necessary to write down these\ninequalities mathematically — it is enough it these\nare clear from a sketch. Inequality τ1 > τ2 does\nnot need to be written if expressions for τ1 and τ2\nare given. Full marks can be given if I −t graph\nis missing, but T −t graph is correct and has all\nthe features as described in b6. Full marks can be\nalso given if the correct exponential forms are doc-\numented not here, but in part c.\n0.3+\n0.3+\n0.3+\n0.1\nb3\nRealising that this exponential behaviour breaks\ndown once the critical temperature is reached. This\ndoes not need to be written specifically if the jumps\nin T −t graph happen at T = Tc. No marks are\ngiven if there is no clear discontinuity of T at Tc\nand/or if there are discontinuities of T(t) or dT\ndt at\nsome other values of T .\n1.0\nb4\nRelating the critical temperature to the correspond-\ning critical current Ij\n0.5\nb5\nRealising that the temperature curve T(t) is re-\nlated to I(t)-curve, T(t) = T0 + R(t)I(t)2\nα\n0.5\nb6\nDrawing a correct final sketch which has the fol-\nlowing features: exponential segments showing an\nexponential relaxation of T(t) in a right direction\nboth when R = R1 and when R = R2; jumps in a\nright direction each time when T reaches Tc (sub-\ntract 0.2 for each missing label on the axes and also\nif the temperature jumps do not occur at the same\nvalue of T ). No points are given if any of the listed\nfeatures is missing.\n1.0\nb7\nUsing the feature from the graph that the maximal\nand minimal temperatures are taken immediately\nafter a phase transition when I = I1 and I = I2\n0.5\nb8\nCorrect answer for the ratio of the maximal and\nminimal temperatures. Only 0.3 pts if the answer\nis not simplified.\n0.5\nTotal number of points for Task (b)\n6.0\nTask (c): Period of oscillations\npts\nc1\nExpressing the duration of each of the exponential\nsegments as tj =\nL\nRj ln ∆Ij,i\n∆Ij,f where ∆Ij,i and\n∆Ij,f denote the corresponding initial and final de-\npartures of the current from the equilibrium value\n(full marks to be given if the final answer is correct).\nSubtract 0.2 for each incorrect ∆Ij,i and ∆Ij,f ,\ni = 1, 2 (this means that if none of them is cor-\nrect, only 0.2 pts are given for c1). 60% of points if\ntj is related to ∆Ij,i and ∆Ij,f correctly, but not\nexpressed explicitly.\n0.5+\n0.5\nc2\nCorrect first and second terms in the final answer\n(40% of it if the answer is not simplified)\n0.5+\n0.5\nTotal number of points for Task (c)\n2.0\n\nEuPhO-2022\nTheoretical Problems - Solutions English\nT3: Dipole in a magnetic field\nPart (a): Uniform linear motion\nLorentz forces acting on the charges:⃗\nF+ = q⃗v+ ×⃗B = q(⃗v +⃗ω ×⃗r) ×⃗B,⃗\nF−= (−q)⃗v−×⃗B = (−q)(⃗v −⃗ω ×⃗r) ×⃗B,\nwhere⃗r is a vector from the center of mass to the position of the\npositive charge.\n−\n+⃗\nv\nω⃗\nv+ =⃗v +⃗ω ×⃗r⃗\nv−=⃗v −⃗ω ×⃗r⃗\nr\nAccording to Newton’s first law, the center-of-mass C of the\ndipole will move with constant velocity provided that the net\nforce:⃗\nF =⃗F+ +⃗F−= q(⃗v+ −⃗v−) ×⃗B,\n(8)\nacting on the dipole, is zero. Since⃗v+,⃗v−and⃗B are perpendic-\nular, we require⃗v+ =⃗v−. It means that dipole does not rotate:\nω = ω0 = 0.\nThe pure translation, however, is possible if the pair of forces⃗\nF+,⃗F−, has zero torque about C:⃗\nτ =⃗r ×⃗F+ −⃗r ×⃗F−= 2q⃗r × (⃗v ×⃗B) =\n2q\n\u0010⃗\nv(⃗r ·⃗B) −⃗B(⃗r ·⃗v)\n\u0011\n= −2q⃗B(⃗r ·⃗v).\n(9)\nWe conclude that scalar product is zero only when⃗v ⊥⃗r, i.e.\nthe initial velocity should be parallel to Y direction.\nIn summary, the dipole will move uniformly along Y if, and\nonly if,⃗v0∥Y and ω0 = 0.\nPart (b): Circular motion\nThe net force can be calculated as:⃗\nF =⃗F+ +⃗F−= 2q(⃗ω ×⃗r) ×⃗B =\n−2q\n\u0010⃗\nω(⃗B ·⃗r) −⃗r(⃗B ·⃗ω)\n\u0011\n= 2qBω⃗r = Bω⃗p,\n(10)\nwhere⃗p is a dipole moment (|⃗p| = qd = 2qr and the direction\naligns with⃗r).\nWhen C orbits a circle,⃗F acts as a centripetal force, i.e. it\npoints to the center of the circle. Since⃗F∥⃗p, the dipole is always\nin line with the center of the orbit. Therefore, the orbital angular\nvelocity of C is equal to the angular velocity of rotation of the\ndipole about C.\n−\n+⃗\nv⃗\nF\n(xc, yc)\nThe magnitude of the orbital velocity is:\nv0 = |ω0|Rc\nFrom Newton’s second law, and accounting that the total mass\nof the dipole is 2m:\n2mv2\n0\nRc\n= pBv0\nRc\n,\ni.e. the magnitude of velocity is:\nv0 = pB\n2m = qBd\n2m\nand the radius of the orbit is:\nRc = v0\n|ω0| =\nqBd\n2m|ω0|\nThe coordinates of the center of the circle are:\n(xc, yc) = (±Rc, 0)\nwhere the “+”sign corresponds to ω0 > 0, i.e.\ncounter-\nclockwise rotation, and the “−”sign —to clockwise rotation.\nIn either case, the initial velocity should point to the negative Y\ndirection:⃗\nv0 = −qdB\n2m ˆȷ.\nPart (c): Reversal of the dipole\nIn (10) we have shown that the net force:⃗\nF = 2q(⃗ω ×⃗r) ×⃗B = (⃗ω ×⃗p) ×⃗B.\nSince the dipole moment⃗p rotates with angular velocity⃗ω, its\ntime derivative:\nd⃗p\ndt =⃗ω ×⃗p.\nFrom Newton’s second law:\n2md⃗v\ndt =⃗F = d⃗p\ndt ×⃗B.\nBy integrating the equation, we arrive at an additional conserva-\ntion law in the system (conservation of the so called “generalized\nmomentum”):\n2m⃗v −⃗p ×⃗B = const\nThus, if⃗p has reversed its direction from⃗p0 to⃗p1 = −⃗p0,\nthen the velocity:⃗\nv1 =⃗v0 + (⃗p1 −⃗p0) ×⃗B\n2m\n= −⃗p0 ×⃗B\nm\n.\n(11)\n\nEuPhO-2022\nTheoretical Problems - Solutions English\nSince the magnetic field does not perform work on moving\nelectric charges, the kinetic energy of the dipole is conserved:\nI\n2ω2\n0 = I\n2ω2\n1 + 2m\n2 v2\n1,\nHere, I = 2 × m(d/2)2 = md2/2 is the moment of inertia\nof the dipole with respect to its center-of-mass. Since v1 doesn’t\ndepend on angular velocities, ω0 is minimal when ω1 = 0. Fi-\nnally,\nωmin = v1\nr\n2m\nI\n= p0B\nm\nr\n4\nd2 = 2qB\nm\nAlternatively,\nwe can introduce θ to be the angle between the\ndipole moment and the axis X (θ0 = 0) and rewrite the equa-\ntions of translational motion in coordinates using ω = ˙θ:\n˙vx = ˙θqBd\n2m\ncos θ,\n˙vy = ˙θqBd\n2m\nsin θ.\nBy integrating these equations, given zero initial velocity, we\nfind how velocity depends on θ:\nvx = qBd\n2m\nsin θ,\nvy = qBd\n2m (1 −cos θ).\nUsing the expression (9) for the torque, we can write the equa-\ntion of rotational motion as:\nI ¨θ = τ = −2qB(rxvx + ryvy) = −q2B2d2\n2m\nsin θ,\n¨θ + q2B2\nm2\nsin θ = 0,\n(12)\nThis is the equation of a mathematical pendulum of length L in\ngravitational field g = L(qB/m)2. And the equivalent ques-\ntion becomes what is the minimal push ˙θ0 required in the bot-\ntom position for the pendulum to reach the top position. Kinetic\nenergy of the pendulum K = 1\n2mL2 ˙θ2\n0 will be transfered to the\npotential energy U = 2mgL, from which we find:\nωmin = ˙θ0 =\nr\n4 g\nL = 2qB\nm .\nNote.\nDue to symmetry,\nboth clockwise and counter-\nclockwise initial rotation with absolute value of |ω0| will work.\nPart (d): Trajectory asymptote\nIf dipole’s trajectory has an asymptote, then its movement along\nthe asymptote is uniform. Indeed, if there is a linear motion with\nacceleration, the dipole⃗p should be always aligned with the di-\nrection of motion, thus, not rotating. and as we found in part (a),\nthe absence of rotation can only be maintained if⃗v = const and⃗\nv ⊥⃗p.\nThe uniform linear motion requires ω = 0, and this hap-\npens in the limit when the orientation is reversed⃗p1 = −⃗p0.\nAccording to (11), in the limit, the dipole is travelling with the\nspeed⃗v1 = p0Bˆȷ/m. Thus the asymptote is parallel to Y axis:\nx = D (for counter-clockwise initial rotation).\nX\nY\nv1\nv1\nD\nIf⃗R+ and⃗R−are absolute positions of the charges, we can\nwrite equation for the angular momentum around the origin\nLO:\nd⃗LO\ndt\n=⃗R+ × (q ˙⃗R+ ×⃗B) +⃗R−× (−q ˙⃗R−×⃗B) =\n−q⃗B\n\u0010⃗\nR+ · ˙⃗R+ −⃗R−· ˙⃗R−\n\u0011\n= −q⃗B\n2\nd\ndt\n\u0000R2\n+ −R2\n−\n\u0001\n.\nAfter integration, we find one more conservation law (conser-\nvation of the “generalized angular momentum”):⃗\nLO+q⃗B\n2\n\u0000R2\n+ −R2\n−\n\u0001\n=⃗LO+q⃗B\n2\n\u0010\n(⃗R+ +⃗R−) · (⃗R+ −⃗R−)\n\u0011\n=⃗LO +⃗B(⃗R ·⃗p) = const,\nwhere⃗R = 1\n2(⃗R+ +⃗R−) is the position of center of mass. We\nalso used the fact that q(⃗R+ −⃗R−) = 2q⃗r =⃗p.\nInitially, centre of mass coincides with origin (⃗R0 = 0):\nLO(0) = Iω0 = 2md2\n4 2qB\nm = qBd2.\n(13)\nAt asymptote, the dipole has reversed direction⃗p1 = −⃗p0 and\ncharges are travelling along parallel lines x = D ± r with the\nvelocity⃗v1:\nLO(∞)+B(⃗R1·⃗p1) = m(D−r)v1+m(D+r)v1−BDp0\n= 2mDp0B\nm −BDp0 = BDp0 = BDqd.\n(14)\nSince (13) equals (14), we conclude that D = d.\n\nEuPhO-2022\nTheoretical Problems - Solutions English\nWe can arrive to the same conclusion differently. Notice that\nwe are interested in the x coordinate of C at infinity:\nD = x∞=\nZ ∞\n0\nvx dt = qBd\n2m\nZ ∞\n0\nsin θ dt.\nFrom (12), we can express sin θ:\nZ ∞\n0\nsin θ dt = −m2\nq2B2\nZ ∞\n0\n¨θ dt =\n−m2\nq2B2 ( ˙θ1 −˙θ0) =\nm2\nq2B2 ωmin = 2m\nqB .\nFinally,\nD = qBd\n2m\n2m\nqB = d.\nNote. If initial rotation is clockwise (ω0 < 0), the asymptote\nhas an equation x = −D, but the distance to the origin remains\nthe same.\nMarking scheme\nPart (a): Uniform linear motion\npts\na1\nRationalizes that the net force on the dipole is zero\nif the two poles move with equal velocities; Just ar-\ngument v = const ⇒P⃗F = 0 is 0 pts.\n0.7\na2\nConcludes that ω0 = 0.\n0.3\na3\nUsing the argument of zero torque, concludes that\nthe velocity should be perpendicular to the dipole;\nJust argument ω = const = 0 ⇒⃗τ = 0 : 0.4 pts\n0.7\na4\nStates explicitly that⃗v0∥Y (or ⊥X).\n0.3\nTotal number of points for part (a)\n2.0\nPart (b): Circular motion\npts\nb1\nDerives expression for the magnitude of the net\nforce on the dipole in terms of ω AND states explic-\nitly that it is parallel to the dipole axis OR derives\none single vector expression.\n0.9\nb2\nRealizes (drawing or explicit statement) that⃗F and\nthe dipole axis point to the center of the orbit, and\nconcludes that ω0 is equal to the orbital angular ve-\nlocity.\n0.5\nb3\nWrites down Newton’s second law for the circular\nmotion.\n0.5\nb4\nMakes use of the relation v0 = |ω|Rc.\n0.2\nb5\nDerives expression for v0 and specifies its direction\n(drawing or statement) OR derives one single vec-\ntor expression for⃗v0; if direction is wrong or miss-\ning 0.2 pts\n0.3\nb6\nDerives explicitly Rc = qbD/(2m|ω0|). If | · | is\nomitted, still full points.\n0.3\nb7\nWrites down the coordinates of the center of the or-\nbit; 0.2 for correct xc (including sign), 0.1 for cor-\nrect yc; xc = qbD/(2mω0) is a correct answer\n0.3\nTotal number of points for part (b)\n3.0\nOnly one of the grading tables should be used for part (c), the one\nwhich results in a higher score.\nPart (c): Reversal of the dipole\npts\nc1\nBy integrating the equation(s) of motion derives a\n“generalized momentum”conservation law – a re-\nlationship between the linear momentum2m⃗v and\nthe dipole moment⃗p – in vector form OR for the\nCartesian components.\n1.5\nc2\nStates explicitly that the kinetic energy of the dipole\nconserves.\n0.3\nc3\nWrites down explicit expression for the kinetic en-\nergy in terms of angular velocity and linear velocity\nof the center of mass.\n0.5\nc4\nRealizes that ω0 is minimal when ω1 = 0 in the\nreversed position.\n0.2\nc5\nBy using the“generalized momentum”conserva-\ntion, derives explicit expression for the linear ve-\nlocity v1.\n0.5\nc6\nApplies the conservation of energy to find relation-\nship between v1 and ωmin\n0.8\nc7\nDerives the final expression for ωmin\n0.2\nTotal number of points for part (c)\n4.0\nAlternative approach: pendulum analogy\nPart (c): Reversal of the dipole\npts\nc1\nDerives the expression τ = −B(⃗p ·⃗v) for the\ntorque. Even if the derivation has been made in\nparts (a) or (b), the points should be assigned to\nTask (c); If term (⃗B ·⃗p) is not cancelled, still full\npoints\n0.5\nc2\nBy integrating the equations of motion, expresses\nvx and vy in terms of θ.\n1.5\nc3\nWrites down the equation of rotational motion in\nterms of sin θ.\n0.5\nc4\nStates that the angular dynamics of the dipole is\nequivalent to a large-amplitude oscillation of a\nmathematical pendulum.\n0.3\nc5\nRealizes that ω0 is minimal when ω1 = 0 in the\nreversed position.\n0.2\nc6\nApplies the conservation of energy to the ”equiva-\nlent pendulum”.\n0.8\nc7\nDerives the final expression for ωmin\n0.2\nTotal number of points for part (c)\n4.0\nPart (d): Trajectory asymptote\npts\nd1\nRationalizes that the asymptote is parallel to Y , i.e.\nx = ±D.\n0.1\nd2\nRationalizes that asymptotically the motion is lin-\near uniform\n0.2\nd3\nEither finds conservation law⃗LO +⃗B(⃗R ·⃗p) OR\nwrites x∞as integral of vx (with explicit expres-\nsion for vx) as a method to find D.\n0.3\nd4\nCorrectly computes generalized angular momen-\ntum at 0 and ∞OR uses sin θ ∝¨θ in integral.\n0.2\nd5\nConcludes that D = d.\n0.2\nTotal number of points for part (d)\n1.0\n","shared":true,"sourcePages":[1,2,3,4,5,6,7],"initialPage":3}},{"id":"eupho-2022-t3","importedOn":"2026-10-28","language":"en","sources":[{"url":"https://eupho.ee/wp-content/uploads/2022/05/EuPhO_2022_theory___English.pdf","kind":"statement"},{"url":"https://eupho.ee/wp-content/uploads/2022/05/EuPhO_2022_Solutions.pdf","kind":"solution"}],"statement":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/eupho-2022-statement/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/eupho-2022-statement/page-1.webp","width":982,"height":1389}],"text":"EuPhO-2022\nTheoretical Problems. Language: English\nT1: Floating cylinder (10 pts)\nA solid, uniform cylinder of height h = 10 cm and base\narea s = 100 cm2 floats in a cylindrical beaker of height\nH = 20 cm and inner bottom area S = 102 cm2 filled\nwith a liquid. The ratio between the density of the cylin-\nder and that of the liquid is γ = 0.70. The bottom of the\ncylinder is above the bottom of the beaker by a few cen-\ntimeters. The cylinder is oscillating vertically, so that its\naxis always coincides with that of the beaker. The ampli-\ntude of the liquid level oscillations is A = 1 mm.\nFind the period of the motion T . Neglect the viscosity of\nthe liquid.\nT2: Thermal oscillations (10 pts)\nA resistor is made of a material which undergoes a phase\ntransition so that its resistance takes one of the two values,\nR1 if its temperature is smaller than Tc, and R2 > R1 if\nthe temperature is larger than Tc.\nThis resistor is connected to a voltage source through\nan inductor of inductance L. It appears that if the applied\nvoltage V is between two critical values, V1 < V < V2,\nthe temperature of the resistor starts oscillating. Assume\nthat (i) the heat flux P from the resistor to the ambient\nmedium is given by P = α(T −T0), where α is a con-\nstant, T denotes the temperature of the resistor, and T0 is\nthe ambient temperature; (ii) the geometrical size of the\nresistor is so small that it will reach a thermal equilibrium\nmuch faster than the characteristic time L/R2.\n(a) (2 pts) Express V1 and V2 in terms of the other param-\neters defined above.\n(b) (6 pts) Assuming that V1 < V < V2, sketch qualita-\ntively how the temperature of the resistor T depends\non time t, and find the ratio (Tmax −T0)/(Tmin −T0),\nwhere Tmax and Tmin denote the maximal and mini-\nmal values of T , respectively.\n(c) (2 pts) Find the period of oscillations if V = √V1V2\nand R2 = 16R1.\nT3: Dipole in a magnetic field (10 pts)\nTwo small balls of mass m each with charges +q and −q\nrespectively, connected by a rigid massless rod of length d,\nform a dipole.\nThe dipole is parallel to plane XY and\nis placed in a uniform magnetic field⃗B perpendicular\nto XY .\nX\nY\nd\n−\n+q, m\n+\n−q, m⃗\nv0\nω0⃗\nB\nInitially, the dipole is aligned with the direction X and\nhas initial angular velocity ω0 in plane XY , as shown. Its\ncenter of mass is initially located at origin and given initial\nvelocity⃗v0 parallel to XY , as well.\nConsider three distinct scenarios (a, b, c-d):\n(a) (2 pts) Find ω0 and the direction of⃗v0, so that the\ncenter of mass will move with the constant velocity⃗\nv =⃗v0?\n(b) (3 pts) Given ω0, find such⃗v0 (direction and magni-\ntude), so that the center of mass will travel in a circle.\nFind the circle radius Rc and the coordinates xc, yc\nof its center. You don’t need to prove the uniqueness\nof the solution.\n(c) (4 pts) Given⃗v0 = 0, find the minimal ω0 = ωmin nec-\nessary for the dipole to reverse its orientation during\nthe motion.\n(d) (1 pt) If the dipole starts with⃗v0 = 0 and ω0 = ωmin\nfound in part (c), the trajectory of its center of mass\nhas an asymptote. Find the distance D from the ori-\ngin to the asymptote.\nUseful vector identity:⃗\na × (⃗b ×⃗c) =⃗b (⃗a ·⃗c) −⃗c (⃗a ·⃗b),\nwhere “×”and “·”denote vector product and scalar\nproduct respectively.\n","shared":true,"sourcePages":[1],"initialPage":1},"solution":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/eupho-2022-solution/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/eupho-2022-solution/page-1.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2022-solution/page-2.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2022-solution/page-3.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2022-solution/page-4.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2022-solution/page-5.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2022-solution/page-6.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2022-solution/page-7.webp","width":982,"height":1389}],"text":"EuPhO-2022\nTheoretical Problems - Solutions English\nGeneral guidelines for marking\n• Granularity for marks is 0.1 p.\n• A simple numerical error resulting from a typo is punished by\n0.2 p unless the grading scheme explicitly says otherwise.\n• Errors which cause dimensionally wrong results are punished\nby at least 50 % of the marks unless the grading scheme explic-\nitly says otherwise.\n• Propagating errors are not punished repeatedly unless they\neither lead to considerable simplifications or wrong results\nwhose validity can easily be checked later.\nT1: Floating cylinder\nSolution I: energetic approach\nDenote the density of the liquid by ϱ, so the density of the cylin-\nder is γϱ. In equilibrium (i.e. when the net force acting on the\ncylinder is zero) the immersed part of the cylinder has height\nγh.\nConsider the system in a moment when the cylinder is dis-\nplaced by distance x1 downward and moves down with veloc-\nity v1. As a result of the motion of cylinder the liquid level rises\nby some height x2, and the liquid flows in the gap between the\ncylinder and beaker with some velocity v2 upwards (see Fig. 1).\nFig. 1\nThe relation between the aforementioned displacements and ve-\nlocities are given by the continuity law:\nx1s = x2(S −s),\nv1s = v2(S −s) .\nIn the following we express the potential and kinetic energy of\nthe system. Compared to the equilibrium position the cylinder\nof mass γϱsh sunk by x1, while the potential energy change\ncaused by the redistribution of liquid can be imagined as the\ncenter of mass of liquid with mass ϱsx1 rises by distance γh +\nx1/2 + x2/2 . Taken the potential energy in the equilibrium\nstate to be zero, the potential energy in the state indicated in the\nright figure can be written as\nEpot = −γϱshgx1 + ϱsx1g\n\u0012\nγh + x1 + x2\n2\n\u0013\n.\nAfter opening the bracket the first two terms cancel each other:\nEpot = 1\n2ϱsgx1(x1 + x2) .\nAfter expressingx2 from continuity law and some simplification\nwe get a quadratic expression for the potential energy:\nEpot = 1\n2ϱsgx1\n\u0012\nx1 +\ns\nS −sx1\n\u0013\n= 1\n2ϱ sS\nS −sgx2\n1 .\nNow let us calculate the kinetic energy of the system. The con-\ntribution from the cylinder is straightforward, γϱshv2\n1/2, but\nthe motion of the liquid is more complicated.\nNote. We may notice that since s/(S −s) = 50, the speed v2 of\nthe liquid in the narrow gap is 50 times larger than the typical speed\nof the liquid below the cylinder (which can be estimated to be in the\nrange of v1). And while the mass of the liquid below the cylinder is\nmuch larger than the mass of liquid inside the gap (the ratio is ca. 25 if\nthe „few centimeters” in the problem text is taken to be 3.5 cm), the ki-\nnetic energy is proportional to the square of the velocity, so the kinetic\nenergy of the liquid inside the gap is roughly 100 times larger than the\nkinetic energy of the liquid below the cylinder.\nSince the kinetic energy of the liquid below the cylinder is\nnegligible, we can write the total kinetic energy of the system\nas:\nEkin = 1\n2γϱshv2\n1\n|\n{z\n}\ncylinder\n+ 1\n2ϱ(S −s) (γh + x1 + x2) v2\n2\n|\n{z\n}\nliquid\n.\nHere x1, x2 ≪γh, so we shall keep only the term containing\nγh in the second bracket:\nEkin = 1\n2γϱshv2\n1 + 1\n2ϱ(S −s)γhv2\n2\nExpressing v2 from continuity law gives the following:\nEkin = 1\n2γϱshv2\n1 + 1\n2ϱγh\ns2\nS −sv2\n1 = 1\n2ϱγh sS\nS −sv2\n1 .\nThe potential and kinetic energies can be written in the form\nEpot = 1\n2keff x2\n1 ,\nEkin = 1\n2meff v2\n1 ,\nwhere the effective spring constant and effective mass are given\nby\nkeff = ϱ sS\nS −sg ,\nmeff = ϱγh sS\nS −s .\nSo the oscillation is indeed harmonic, thus the angular fre-\nquency and the period are:\nω =\ns\nkeff\nmeff\n=\nr g\nγh,\nT = 2π\ns\nγh\ng = 0.53 s .\nNote. The static restoring force, acting on the cylinder is due to the\nchange (relative to the equilibrium position) of the hydrostatic pres-\nsure at its lower base:\nF = −sρg(x1 + x2) = −sS\nS −sρgx1.\nThis immediately gives effective stiffness of the system keff =\nsS\nS−sρg.\nAlternatively, one may wish to integrate\nR\nF dx1 to get the potential\nenergy\nEpot =\nsS\nS −s\nρg\n2 x2\n1.\n\nEuPhO-2022\nTheoretical Problems - Solutions English\nSolution II: dynamical approach\nWhen the cylinder is displaced from its equilibrium position\ndownwards by distance x1, the net restoring force (pointing up)\ncan be calculated as the sum of the weight of the cylinder and\nthe force from the difference of pressures at the top (p0) and bot-\ntom (p) of the cylinder. As a result of the net force, the cylinder\naccelerates upwards with a1, and at the same time, the liquid lo-\ncated in the gap between the cylinder and the wall of the beaker\naccelerates down with a2. The relation between the magnitudes\nof a1 and a2 is given by the continuity law:\nsa1 = (S −s)a2 .\nFig. 2\nIf the liquid in the gap was not accelerating, the pressure differ-\nence p −p0 would be equal to the hydrostatic pressure of the\nliquid column in the gap. Due to the acceleration of the liquid,\np −p0 can be expressed from Newton’s 2nd law applied for the\nliquid column of unit area located in the gap:\np0 −p + ϱg(γh + x1 + x2) = ϱ(γh + x1 + x2)a2 ,\nwhere we used the notations of Solution I, and the downward\ndirection was taken as positive.\nNewton’s 2nd law for the cylinder reads as\n(p −p0)s −γϱshg = γϱsha1 .\nAfter expressing p −p0 from the previous equation, and then\nsubstituting it here we get:\nϱg(γh+x1+x2)s−ϱ(γh+x1+x2)a2s−γϱshg = γϱsha1 .\nSince the amplitude of the liquid level is small, the terms con-\ntaining a2x1 and a2x2 can be neglected. After rearranging we\nget:\nϱgs(x1 + x2) = γϱsh(a1 + a2) .\nUsing the relations between the displacements and accelera-\ntions we finally get:\na1 = g\nγhx1 .\nTaking into account the opposite directions of x1 and a1, this\nis the dynamical condition of a simple harmonic motion with\nangular frequency and period\nω =\nr g\nγh ,\nT = 2π\ns\nγh\ng = 0.53 s .\nNote. In this solution we assumed that the pressure p is constant\nthroughout the bottom surface of the cylinder.\nThis assumption is\nequivalent with saying that the horizontal acceleration of the liquid\nbelow the cylinder at every point is much smaller than a2, which is\nreasonable.\nMarking scheme\nAll solutions should be graded according to only one marking scheme\n(either energetical or dynamical). If the student used both ideas, that\nmarking scheme should be used which results in a higher score.\nSolution I: energetic solution\npts\ni\nHeight of submerged part of cylinder in equilib-\nrium is γh.\n0.5\nii\nRealizing that the kinetic energy of water is impor-\ntant\n1.0\niii\nRealizing that the kinetic energy of liquid below the\ncylinder is negligible\n1.5\niv\nExpressing the kinetic energy of liquid inside the\ngap as a function of velocity of cylinder.\n2.5\nv\nPotential energy change of liquid as a function of\nthe small displacement of cylinder\n1.0\nvi\nPotential energy change (0.5 p) and kinetic energy\nchange of cylinder (0.5 p)\n1.0\nvii\nContinuity law either for displacements or veloci-\nties (only 0.5 p if the factor is S/(S −s))\n1.0\nviii\nExpressing ω from the formulas for Epot and Ekin\n(ω =\np\nkeff/meff or equivalent).\n1.0\nix\nT = 2π/ω\n0.3\nx\nCorrect substitution of values, final result\n0.2\nTotal number of points\n10.0\nSolution II: dynamical solution\npts\nI\nHeight of submerged part of cylinder in equilib-\nrium is γh\n0.5\nII\nRealizing that the pressure difference between top\nand bottom of the cylinder is not ϱg × height diff.\n1.0\nIII\nNeglecting the motion of water below the cylinder\nbut not on the sides\n1.5\nIV\nNewton’s 2nd law for liquid in the gap with nonzero\nacceleration. (0 p for p −p0 = ϱg × height diff.)\n2.5\nV\nNewton’s 2nd law for cylinder (still full mark if II\nwas not realized but p −p0 was used properly)\n1.0\nVI\nUsing the change in water level in Newton’s 2nd law\n1.0\nVII\nContinuity law either for displacements or acceler-\nations (only 0.5 p if the factor is S/(S −s))\n1.0\nVIII\nConcluding a linear relation between acceleration\nand displacement of cylinder\n0.5\nIX\nExpressing ω from the dynamical equations (ex-\npressing ω =\np\nkeff/meff correctly or equivalent).\n0.5\nX\nT = 2π/ω\n0.3\nXI\nCorrect substitution of values, final result\n0.2\nTotal number of points\n10.0\n\nEuPhO-2022\nTheoretical Problems - Solutions English\nT2: Thermal oscillations\nPart (a): Critical voltages\nThe power heating the resistor is Pel = V 2/Rj. The thermal\nequilibrium is reached when Pel = P = α(Teq −T0). To\navoid oscillations, the equilibrium temperature Teq must satisfy\nTeq < Tc if R = R1 and Teq > Tc if R = R2. Solving for V ,\nwe have\nV =\nq\nRjα(Teq −T0).\n(1)\nThe critical values therefore are\nV1 =\np\nR1α(Tc −T0)\nand\nV2 =\np\nR2α(Tc −T0).\n(2)\nPart (b): Temperature behaviour\nIn the oscillating regime, we have a time-dependent current\nI(t).\nThe power dissipated over the resistor is Pel(t)\n=\nR(t)I(t)2. By assumption (ii), we may assume that the ther-\nmal equilibrium is reached very fast, i.e. Pel(t) = P(t). The\ntemperature T(t) is therefore determined by the current via\nT(t) = T0 + R(t)I(t)2\nα\n.\n(3)\nIf the resistance has value R1, the current will increase, try-\ning to reach J1 = V /R1. The difference I(t) −V /R1 will\ndecay exponentially, with characteristic time L/R1. The phase\ntransition occurs once the critical current\nI1 =\ns\nα(Tc −T0)\nR1\nis reached. After the phase transition, the current will decrease,\napproaching the new equilibrium value J2 = V /R2. Again,\nI(t) −V /R2 will decay exponentially with characteristic time\nL/R2, until the critical current\nI2 =\ns\nα(Tc −T0)\nR2\nis reached. This behaviour is shown in Fig. 1.\nI1\nI2\nJ2\nJ1\nI\nt\nR\nR2\nR1\nt1\nt2\nFig. 1\nTogether with (3), we see that the temperature behaves like\nin Figure 2.\nTc\nT\nt\nR\nR2\nR1\nFig. 2\nThe maximum and minimum temperatures will be attained\njust after the phase transitions occur. We obtain that\nTmax −T0\nTmin −T0\n= R2I2\n1\nR1I2\n2\n= R2\n2\nR2\n1\n.\n(4)\nPart (c): Period of oscillations\nIf the phase transition occurs at t = 0, with the resistance\nchanging from Rj′ to Rj, the current is given by\nI(t) = V\nRj\n+\n\u0012\nIj′ −V\nRj\n\u0013\ne−Rjt/L\n(5)\nuntil the next phase transition occurs when I(tj) = Ij. Hence,\nthe period is\nt1+t2 = L\nR1\nln\n\u0012I2 −V /R1\nI1 −V /R1\n\u0013\n+ L\nR2\nln\n\u0012I1 −V /R2\nI2 −V /R2\n\u0013\n(6)\nInserting the relations R2\n= ηR1 and V\n= √V1V2\n=\nη1/4p\nR1α(Tc −T0), we obtain the period\nL\nR1\nln\n\u00127\n4\n\u0013\n+ L\nR2\nln (7) = L\nR1\n\u0012\nln\n\u00127\n4\n\u0013\n+ 1\n16\nln (7)\n\u0013\n≈0.68 L\nR1\n.\n(7)\n\nEuPhO-2022\nTheoretical Problems - Solutions English\nMarking scheme\nTask (a): Critical voltages\npts\na1\nFormula for the power dissipation Pel = V 2/Rj.\n0.5\na2\nRelating the power dissipation to the tempera-\nture of the resistor in oscillations-free stationary\nregime, Pel = P = α(Teq −T0)\n0.5\na3\nExpressing the voltage in terms of the temperature\nif the thermal equilibrium were to be reached, V =\np\nRjα(Teq −T0). Subtract 0.1 pts if V is not ex-\npressed explicitly.\n0.5\na4\nRealising that oscillations will not happen if V >\np\nR2α(Teq −T0) or V <\np\nR1α(Teq −T0). No\nmarks if only one inequality is obtained (but no\nsubtractions because of that in a3 - in most cases\nthose who got correct expression for one of the volt-\nages but has a wrong or missing expression for the\nother gets full marks for a1-a3, and 0 pts for a4).\n0.5\nTotal number of points for Task (a)\n2.0\nTask (b): Temperature behavior\npts\nb1\nRealising that the I −t curve is made of segments\nof exponents, joined without discontinuities. Par-\ntial credit of 0.5 pts if it is made of curved segments\nfor which it is not clear that these are exponents, or\nif these are growing exponents, but which are con-\nnected continuously with a discontinuous deriva-\ntive dI\ndt . No points if I(t) is discontinuous, or if only\none segment of an exponent is shown. Full marks\ncan be given if there is no I −t graph, but the T −t\ngraph is made of the segments of vanishing expo-\nnents, connected with temperature jumps in a cor-\nrect direction, and a partial credit of 0.5 pts if the\nsegments of the T −t are either growing exponents\nor curves of unclear shape, still connected so that it\nwould correspond to a continuous I(t)-curve with\na discontinuous derivative. Partial credit of 0.5 pts\nis given if there is no I −t-curve shown, but V −t\ncurve is shown to be made of decaying exponential\nsegments, connected with jumps\n1.0\nb2\nRealising that (i) one of these exponents is in a form\na1 −b1e−t/τ1 and (ii) the other one — in a form\na2 + b2e−t/τ2 where (iii) the a1 > a2 and (iv)\nτ1 > τ2. It is not necessary to write down these\ninequalities mathematically — it is enough it these\nare clear from a sketch. Inequality τ1 > τ2 does\nnot need to be written if expressions for τ1 and τ2\nare given. Full marks can be given if I −t graph\nis missing, but T −t graph is correct and has all\nthe features as described in b6. Full marks can be\nalso given if the correct exponential forms are doc-\numented not here, but in part c.\n0.3+\n0.3+\n0.3+\n0.1\nb3\nRealising that this exponential behaviour breaks\ndown once the critical temperature is reached. This\ndoes not need to be written specifically if the jumps\nin T −t graph happen at T = Tc. No marks are\ngiven if there is no clear discontinuity of T at Tc\nand/or if there are discontinuities of T(t) or dT\ndt at\nsome other values of T .\n1.0\nb4\nRelating the critical temperature to the correspond-\ning critical current Ij\n0.5\nb5\nRealising that the temperature curve T(t) is re-\nlated to I(t)-curve, T(t) = T0 + R(t)I(t)2\nα\n0.5\nb6\nDrawing a correct final sketch which has the fol-\nlowing features: exponential segments showing an\nexponential relaxation of T(t) in a right direction\nboth when R = R1 and when R = R2; jumps in a\nright direction each time when T reaches Tc (sub-\ntract 0.2 for each missing label on the axes and also\nif the temperature jumps do not occur at the same\nvalue of T ). No points are given if any of the listed\nfeatures is missing.\n1.0\nb7\nUsing the feature from the graph that the maximal\nand minimal temperatures are taken immediately\nafter a phase transition when I = I1 and I = I2\n0.5\nb8\nCorrect answer for the ratio of the maximal and\nminimal temperatures. Only 0.3 pts if the answer\nis not simplified.\n0.5\nTotal number of points for Task (b)\n6.0\nTask (c): Period of oscillations\npts\nc1\nExpressing the duration of each of the exponential\nsegments as tj =\nL\nRj ln ∆Ij,i\n∆Ij,f where ∆Ij,i and\n∆Ij,f denote the corresponding initial and final de-\npartures of the current from the equilibrium value\n(full marks to be given if the final answer is correct).\nSubtract 0.2 for each incorrect ∆Ij,i and ∆Ij,f ,\ni = 1, 2 (this means that if none of them is cor-\nrect, only 0.2 pts are given for c1). 60% of points if\ntj is related to ∆Ij,i and ∆Ij,f correctly, but not\nexpressed explicitly.\n0.5+\n0.5\nc2\nCorrect first and second terms in the final answer\n(40% of it if the answer is not simplified)\n0.5+\n0.5\nTotal number of points for Task (c)\n2.0\n\nEuPhO-2022\nTheoretical Problems - Solutions English\nT3: Dipole in a magnetic field\nPart (a): Uniform linear motion\nLorentz forces acting on the charges:⃗\nF+ = q⃗v+ ×⃗B = q(⃗v +⃗ω ×⃗r) ×⃗B,⃗\nF−= (−q)⃗v−×⃗B = (−q)(⃗v −⃗ω ×⃗r) ×⃗B,\nwhere⃗r is a vector from the center of mass to the position of the\npositive charge.\n−\n+⃗\nv\nω⃗\nv+ =⃗v +⃗ω ×⃗r⃗\nv−=⃗v −⃗ω ×⃗r⃗\nr\nAccording to Newton’s first law, the center-of-mass C of the\ndipole will move with constant velocity provided that the net\nforce:⃗\nF =⃗F+ +⃗F−= q(⃗v+ −⃗v−) ×⃗B,\n(8)\nacting on the dipole, is zero. Since⃗v+,⃗v−and⃗B are perpendic-\nular, we require⃗v+ =⃗v−. It means that dipole does not rotate:\nω = ω0 = 0.\nThe pure translation, however, is possible if the pair of forces⃗\nF+,⃗F−, has zero torque about C:⃗\nτ =⃗r ×⃗F+ −⃗r ×⃗F−= 2q⃗r × (⃗v ×⃗B) =\n2q\n\u0010⃗\nv(⃗r ·⃗B) −⃗B(⃗r ·⃗v)\n\u0011\n= −2q⃗B(⃗r ·⃗v).\n(9)\nWe conclude that scalar product is zero only when⃗v ⊥⃗r, i.e.\nthe initial velocity should be parallel to Y direction.\nIn summary, the dipole will move uniformly along Y if, and\nonly if,⃗v0∥Y and ω0 = 0.\nPart (b): Circular motion\nThe net force can be calculated as:⃗\nF =⃗F+ +⃗F−= 2q(⃗ω ×⃗r) ×⃗B =\n−2q\n\u0010⃗\nω(⃗B ·⃗r) −⃗r(⃗B ·⃗ω)\n\u0011\n= 2qBω⃗r = Bω⃗p,\n(10)\nwhere⃗p is a dipole moment (|⃗p| = qd = 2qr and the direction\naligns with⃗r).\nWhen C orbits a circle,⃗F acts as a centripetal force, i.e. it\npoints to the center of the circle. Since⃗F∥⃗p, the dipole is always\nin line with the center of the orbit. Therefore, the orbital angular\nvelocity of C is equal to the angular velocity of rotation of the\ndipole about C.\n−\n+⃗\nv⃗\nF\n(xc, yc)\nThe magnitude of the orbital velocity is:\nv0 = |ω0|Rc\nFrom Newton’s second law, and accounting that the total mass\nof the dipole is 2m:\n2mv2\n0\nRc\n= pBv0\nRc\n,\ni.e. the magnitude of velocity is:\nv0 = pB\n2m = qBd\n2m\nand the radius of the orbit is:\nRc = v0\n|ω0| =\nqBd\n2m|ω0|\nThe coordinates of the center of the circle are:\n(xc, yc) = (±Rc, 0)\nwhere the “+”sign corresponds to ω0 > 0, i.e.\ncounter-\nclockwise rotation, and the “−”sign —to clockwise rotation.\nIn either case, the initial velocity should point to the negative Y\ndirection:⃗\nv0 = −qdB\n2m ˆȷ.\nPart (c): Reversal of the dipole\nIn (10) we have shown that the net force:⃗\nF = 2q(⃗ω ×⃗r) ×⃗B = (⃗ω ×⃗p) ×⃗B.\nSince the dipole moment⃗p rotates with angular velocity⃗ω, its\ntime derivative:\nd⃗p\ndt =⃗ω ×⃗p.\nFrom Newton’s second law:\n2md⃗v\ndt =⃗F = d⃗p\ndt ×⃗B.\nBy integrating the equation, we arrive at an additional conserva-\ntion law in the system (conservation of the so called “generalized\nmomentum”):\n2m⃗v −⃗p ×⃗B = const\nThus, if⃗p has reversed its direction from⃗p0 to⃗p1 = −⃗p0,\nthen the velocity:⃗\nv1 =⃗v0 + (⃗p1 −⃗p0) ×⃗B\n2m\n= −⃗p0 ×⃗B\nm\n.\n(11)\n\nEuPhO-2022\nTheoretical Problems - Solutions English\nSince the magnetic field does not perform work on moving\nelectric charges, the kinetic energy of the dipole is conserved:\nI\n2ω2\n0 = I\n2ω2\n1 + 2m\n2 v2\n1,\nHere, I = 2 × m(d/2)2 = md2/2 is the moment of inertia\nof the dipole with respect to its center-of-mass. Since v1 doesn’t\ndepend on angular velocities, ω0 is minimal when ω1 = 0. Fi-\nnally,\nωmin = v1\nr\n2m\nI\n= p0B\nm\nr\n4\nd2 = 2qB\nm\nAlternatively,\nwe can introduce θ to be the angle between the\ndipole moment and the axis X (θ0 = 0) and rewrite the equa-\ntions of translational motion in coordinates using ω = ˙θ:\n˙vx = ˙θqBd\n2m\ncos θ,\n˙vy = ˙θqBd\n2m\nsin θ.\nBy integrating these equations, given zero initial velocity, we\nfind how velocity depends on θ:\nvx = qBd\n2m\nsin θ,\nvy = qBd\n2m (1 −cos θ).\nUsing the expression (9) for the torque, we can write the equa-\ntion of rotational motion as:\nI ¨θ = τ = −2qB(rxvx + ryvy) = −q2B2d2\n2m\nsin θ,\n¨θ + q2B2\nm2\nsin θ = 0,\n(12)\nThis is the equation of a mathematical pendulum of length L in\ngravitational field g = L(qB/m)2. And the equivalent ques-\ntion becomes what is the minimal push ˙θ0 required in the bot-\ntom position for the pendulum to reach the top position. Kinetic\nenergy of the pendulum K = 1\n2mL2 ˙θ2\n0 will be transfered to the\npotential energy U = 2mgL, from which we find:\nωmin = ˙θ0 =\nr\n4 g\nL = 2qB\nm .\nNote.\nDue to symmetry,\nboth clockwise and counter-\nclockwise initial rotation with absolute value of |ω0| will work.\nPart (d): Trajectory asymptote\nIf dipole’s trajectory has an asymptote, then its movement along\nthe asymptote is uniform. Indeed, if there is a linear motion with\nacceleration, the dipole⃗p should be always aligned with the di-\nrection of motion, thus, not rotating. and as we found in part (a),\nthe absence of rotation can only be maintained if⃗v = const and⃗\nv ⊥⃗p.\nThe uniform linear motion requires ω = 0, and this hap-\npens in the limit when the orientation is reversed⃗p1 = −⃗p0.\nAccording to (11), in the limit, the dipole is travelling with the\nspeed⃗v1 = p0Bˆȷ/m. Thus the asymptote is parallel to Y axis:\nx = D (for counter-clockwise initial rotation).\nX\nY\nv1\nv1\nD\nIf⃗R+ and⃗R−are absolute positions of the charges, we can\nwrite equation for the angular momentum around the origin\nLO:\nd⃗LO\ndt\n=⃗R+ × (q ˙⃗R+ ×⃗B) +⃗R−× (−q ˙⃗R−×⃗B) =\n−q⃗B\n\u0010⃗\nR+ · ˙⃗R+ −⃗R−· ˙⃗R−\n\u0011\n= −q⃗B\n2\nd\ndt\n\u0000R2\n+ −R2\n−\n\u0001\n.\nAfter integration, we find one more conservation law (conser-\nvation of the “generalized angular momentum”):⃗\nLO+q⃗B\n2\n\u0000R2\n+ −R2\n−\n\u0001\n=⃗LO+q⃗B\n2\n\u0010\n(⃗R+ +⃗R−) · (⃗R+ −⃗R−)\n\u0011\n=⃗LO +⃗B(⃗R ·⃗p) = const,\nwhere⃗R = 1\n2(⃗R+ +⃗R−) is the position of center of mass. We\nalso used the fact that q(⃗R+ −⃗R−) = 2q⃗r =⃗p.\nInitially, centre of mass coincides with origin (⃗R0 = 0):\nLO(0) = Iω0 = 2md2\n4 2qB\nm = qBd2.\n(13)\nAt asymptote, the dipole has reversed direction⃗p1 = −⃗p0 and\ncharges are travelling along parallel lines x = D ± r with the\nvelocity⃗v1:\nLO(∞)+B(⃗R1·⃗p1) = m(D−r)v1+m(D+r)v1−BDp0\n= 2mDp0B\nm −BDp0 = BDp0 = BDqd.\n(14)\nSince (13) equals (14), we conclude that D = d.\n\nEuPhO-2022\nTheoretical Problems - Solutions English\nWe can arrive to the same conclusion differently. Notice that\nwe are interested in the x coordinate of C at infinity:\nD = x∞=\nZ ∞\n0\nvx dt = qBd\n2m\nZ ∞\n0\nsin θ dt.\nFrom (12), we can express sin θ:\nZ ∞\n0\nsin θ dt = −m2\nq2B2\nZ ∞\n0\n¨θ dt =\n−m2\nq2B2 ( ˙θ1 −˙θ0) =\nm2\nq2B2 ωmin = 2m\nqB .\nFinally,\nD = qBd\n2m\n2m\nqB = d.\nNote. If initial rotation is clockwise (ω0 < 0), the asymptote\nhas an equation x = −D, but the distance to the origin remains\nthe same.\nMarking scheme\nPart (a): Uniform linear motion\npts\na1\nRationalizes that the net force on the dipole is zero\nif the two poles move with equal velocities; Just ar-\ngument v = const ⇒P⃗F = 0 is 0 pts.\n0.7\na2\nConcludes that ω0 = 0.\n0.3\na3\nUsing the argument of zero torque, concludes that\nthe velocity should be perpendicular to the dipole;\nJust argument ω = const = 0 ⇒⃗τ = 0 : 0.4 pts\n0.7\na4\nStates explicitly that⃗v0∥Y (or ⊥X).\n0.3\nTotal number of points for part (a)\n2.0\nPart (b): Circular motion\npts\nb1\nDerives expression for the magnitude of the net\nforce on the dipole in terms of ω AND states explic-\nitly that it is parallel to the dipole axis OR derives\none single vector expression.\n0.9\nb2\nRealizes (drawing or explicit statement) that⃗F and\nthe dipole axis point to the center of the orbit, and\nconcludes that ω0 is equal to the orbital angular ve-\nlocity.\n0.5\nb3\nWrites down Newton’s second law for the circular\nmotion.\n0.5\nb4\nMakes use of the relation v0 = |ω|Rc.\n0.2\nb5\nDerives expression for v0 and specifies its direction\n(drawing or statement) OR derives one single vec-\ntor expression for⃗v0; if direction is wrong or miss-\ning 0.2 pts\n0.3\nb6\nDerives explicitly Rc = qbD/(2m|ω0|). If | · | is\nomitted, still full points.\n0.3\nb7\nWrites down the coordinates of the center of the or-\nbit; 0.2 for correct xc (including sign), 0.1 for cor-\nrect yc; xc = qbD/(2mω0) is a correct answer\n0.3\nTotal number of points for part (b)\n3.0\nOnly one of the grading tables should be used for part (c), the one\nwhich results in a higher score.\nPart (c): Reversal of the dipole\npts\nc1\nBy integrating the equation(s) of motion derives a\n“generalized momentum”conservation law – a re-\nlationship between the linear momentum2m⃗v and\nthe dipole moment⃗p – in vector form OR for the\nCartesian components.\n1.5\nc2\nStates explicitly that the kinetic energy of the dipole\nconserves.\n0.3\nc3\nWrites down explicit expression for the kinetic en-\nergy in terms of angular velocity and linear velocity\nof the center of mass.\n0.5\nc4\nRealizes that ω0 is minimal when ω1 = 0 in the\nreversed position.\n0.2\nc5\nBy using the“generalized momentum”conserva-\ntion, derives explicit expression for the linear ve-\nlocity v1.\n0.5\nc6\nApplies the conservation of energy to find relation-\nship between v1 and ωmin\n0.8\nc7\nDerives the final expression for ωmin\n0.2\nTotal number of points for part (c)\n4.0\nAlternative approach: pendulum analogy\nPart (c): Reversal of the dipole\npts\nc1\nDerives the expression τ = −B(⃗p ·⃗v) for the\ntorque. Even if the derivation has been made in\nparts (a) or (b), the points should be assigned to\nTask (c); If term (⃗B ·⃗p) is not cancelled, still full\npoints\n0.5\nc2\nBy integrating the equations of motion, expresses\nvx and vy in terms of θ.\n1.5\nc3\nWrites down the equation of rotational motion in\nterms of sin θ.\n0.5\nc4\nStates that the angular dynamics of the dipole is\nequivalent to a large-amplitude oscillation of a\nmathematical pendulum.\n0.3\nc5\nRealizes that ω0 is minimal when ω1 = 0 in the\nreversed position.\n0.2\nc6\nApplies the conservation of energy to the ”equiva-\nlent pendulum”.\n0.8\nc7\nDerives the final expression for ωmin\n0.2\nTotal number of points for part (c)\n4.0\nPart (d): Trajectory asymptote\npts\nd1\nRationalizes that the asymptote is parallel to Y , i.e.\nx = ±D.\n0.1\nd2\nRationalizes that asymptotically the motion is lin-\near uniform\n0.2\nd3\nEither finds conservation law⃗LO +⃗B(⃗R ·⃗p) OR\nwrites x∞as integral of vx (with explicit expres-\nsion for vx) as a method to find D.\n0.3\nd4\nCorrectly computes generalized angular momen-\ntum at 0 and ∞OR uses sin θ ∝¨θ in integral.\n0.2\nd5\nConcludes that D = d.\n0.2\nTotal number of points for part (d)\n1.0\n","shared":true,"sourcePages":[1,2,3,4,5,6,7],"initialPage":5}},{"id":"eupho-2021-t1","importedOn":"2026-10-28","language":"en","sources":[{"url":"https://eupho.ee/wp-content/uploads/2021/06/EuPhO_2021-theory.pdf","kind":"statement"},{"url":"https://eupho.ee/wp-content/uploads/2021/06/EuPhO_2021_Solutions-2.pdf","kind":"solution"}],"statement":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/eupho-2021-statement/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/eupho-2021-statement/page-1.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2021-statement/page-2.webp","width":982,"height":1389}],"text":"EuPhO-2021\nTheoretical Problems. Language: English\nT1: A leak\nA hollow insulated cylinder of\nheight 2H and volume 2V is\nclosed from below by an insu-\nlating piston. The cylinder is\ndivided into two initially iden-\ntical chambers by an insulat-\ning diaphragm of mass m. The\ndiaphragm rests on a circular\nledge and a gasket between\nthem provides tight contact.\nBoth chambers are filled with\ngaseous helium at pressure p\nand temperature T. A force is\napplied to the piston, so that it\nmoves upwards slowly.\na. Find the volume of the lower chamber V0 when the\ngas starts to leak between the chambers.\nb. Find the temperature T1 in the upper chamber when\nthe piston touches the diaphragm.\nc. Find the temperature T2 in the lower chamber im-\nmediately before the piston touches the diaphragm.\nT2: Thread around a cylinder\nOne end of a thread is\ntied into a loop of length\nL\n>\n2πR, and a cylin-\nder of radius R\nis put\nthrough the loop. The coef-\nficient of friction between\nthe thread and the cylinder\nis µ.\nThe free end of the\nthread is being pulled par-\nallel to the axis of the cylin-\nder (as shown by arrow in\nthe photo) while keeping the cylinder at rest.\nIf the\nlength of the loop is longer than a critical value, L > L0,\nthe loop can slide along the cylinder without changing its\nshape, otherwise the friction “locks” it into a place and\nincreasing the pulling force would eventually just break\nthe thread. Find this critical value L0. The weight of the\nthread is to be neglected; the thread will not twist when\nbeing pulled.\nIt might be useful to know that\n2\n∫√\n1 + x2 dx = x\n√\n1 + x2 + arcsinh x ,\nwhere arcsinh x ≡ln\n(\nx +\n√\n1 + x2)\n.\nT3: Glass ball\np\nr\nb\n1\n1\n2\n2\nThe first photo here\nis taken with a dig-\nital\ncamera\nand\nshows a glass ball,\nbacklit with diffuse\ndichromatic\nlight\nwhich has only two\nnarrow\nspectral\nlines\n(red\n630 nm\nand violet 400 nm).\nThis\ndiffuse\nlight\ncomes\nfrom\nthe\nwhite floor (marked\nwith ‘1’ in the figure) and the white walls (marked with\n‘2’), both illuminated with violet and red LED lamps.\nThe sensor of the camera has only red, blue and green\nsensors so that violet light appears in the photo as blue.\nThe photo is taken from a distance much greater than\nthe radius of the ball. On the back side of the ball, a\nvery narrow opaque thread is glued to the glass surface,\nforming an arc of a great circle on the ball. In the photo,\nthe thread is obstructed by the ball and cannot be seen\ndirectly. However, hugely deformed images of a very\nshort segment of the thread are seen as blue (marked\nwith ‘b’) and red (‘r’) ellipses.\nThe letter ‘p’ indicates\npurple-coloured areas in the photo.\nIn the first photo, the centre of the ball is marked with\na cross, and the perimeter of the ball is traced with a\ndashed line. You can find a larger version of the first\nphoto on a separate sheet. You may take distance mea-\nsurements there. In the larger photo, the boundary be-\ntween the red and purple regions is also traced with a\ndashed line.\nThe\nsecond\nphoto\nis\ntaken while illuminating\nwith a white LED with\nthe\nball\nturned\nso\nthat\nthe thread can be seen\ndirectly.\na. Explain qualitatively us-\ning a ray diagram why a\nsegment of the thread is\nseen as a closed loop in\nthe first photo.\nb. Determine the coefficient of refraction nR for the red\nlight.\nc. Determine the difference of the coefficients of refrac-\ntion ∆n ≡nV −nR for the red and violet light (with\nnV denoting the coefficient of refraction for the violet\nlight).\n\n","shared":true,"sourcePages":[1,2],"initialPage":1},"solution":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/eupho-2021-solution/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/eupho-2021-solution/page-1.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2021-solution/page-2.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2021-solution/page-3.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2021-solution/page-4.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2021-solution/page-5.webp","width":982,"height":1389}],"text":"EuPhO-2021\nTheoretical Problems - Solutions English\nT1: A Leak\nLet p1, V1, T1 denote the (time dependent) pressure, vol-\nume, and temperature in the upper chamber, and p2, V2,\nT2 — those in the lower one. Note that V1 ≡V does not\nchange.\nConsider a parcel of volume v below the diaphragm\ncontaining n moles of helium. It is convenient to imag-\nine it bounded by two fictitious free thin massless pis-\ntons. During slow perturbations the parcel undergoes\nan adiabatic process. The pressure and the temperature\nfor the parcel are actually the pressure and the temper-\nature for entire lower chamber p2 and T2. The energy\nconservation for the parcel is\n0 = p2dv + d\n\u00123\n2nvRT2\n\u0013\n= 5\n2p2dv + 3\n2vdp2.\nThis gives\nv5p3\n2 = const,\n(1)\nT 5\n2 p−2\n2\n= const .\n(2)\nThe leak begins when the pressure below the di-\naphragm exceeds that in the upper chamber by ∆p ≡\np0 −p = mgH/V = px, where\nx = mgH\npV\n.\n(a., b., c.)\na. We may let v = V2 before that.\nV 5p3 = V 5\n0 (p + ∆p)3 = V 5\n0 p3(1 + x)3\nV0 = V (1 + x)−3/5\n(a.)\nb. The energy conservation for the whole system:\n0 = p1dV1 + d\n\u00123\n2n1RT1\n\u0013\n+ p2dV2 + d\n\u00123\n2n2RT2\n\u0013\n=\n5\n2 (p1dV1 + p2dV2) + 3\n2 (V1dp1 + V2dp2) =\n5\n2p2d(V + V2) + 3\n2(V + V2)dp2,\nsince the pressure above the diaphragm remains lower\nthan that below by the same margin ∆p during the later\nprocess and dV2 = d(V + V2). Similarly to (1), we get\n(V + V2)5p3\n2 = const .\nThe pressure p′\n2 in the lower chamber when the piston\ntouches the diaphragm is found from the equation\nV 5p′3\n2 = (V + V0)5p3\n0 = V 5\n\u0012\n1 +\n1\n(1 + x)3/5\n\u00135\np3(1 + x)3,\np′\n2 = p\n\u0010\n1 + (1 + x)3/5\u00115/3\n.\n(3)\nThe pressure in the upper chamber at this moment is\np′\n1 = p′\n2 −∆p = p\n\u0012\u0010\n1 + (1 + x)3/5\u00115/3\n−x\n\u0013\n.\nThe temperature in the upper chamber is found from the\nequations of state pV = nRT and p′V = (2n)RT ′\nT ′\n1 = T\n2\n\u0012\u0010\n1 + (1 + x)3/5\u00115/3\n−x\n\u0013\n.\n(b.)\nThe temperature and the pressure in the lower cham-\nber are related by (2). Substituting (3) we get\nT ′\n2 = T\n\u0012p′\n2\np\n\u00132/5\n= T\n\u0010\n1 + (1 + x)3/5\u00112/3\n.\n(c.)\nPreliminary grading scheme\na1\nIt’s stated (or written as a formula) that the\nprocess is adiabatic\n0.5\na2\nRelation between V and p is found in adiabaic\nprocess\n1.0\na3\nCondition on when the diaphragm leaks\n0.5\na4\nAnswer for V0\n1.0\nb1\nEnergy conservation for the whole system in\ndifferential form. If conservation law is writ-\nten only for one half but heat transfer is taken\ninto account: 0.5 pts.\n1.0\nb2\nInternal energy for a mono-atomic gas\n0.5\nb3\nUsage of V1 = const\n0.2\nb3\nUsage of p2 −p1 = const\n0.3\nb4\nRelation between V2 and p2\n1.0\nb5\nEquation to find p′\n2 (or T ′\n2) before the end\n1.0\nb6\nUsage of n′ = 2n\n0.5\nb7\nAnswer for T ′\n1\n0.5\nc1\nRelation between T ′\n1 and T ′\n2\n1.0\nc2\nAnswer for T ′\n2\n1.0\nArithmetic or typo errors gives half of point (rounded\nup to 0.1) for the item and is not considered as a mistake\nafterwards.\nT2: Thread on cylinder\nFig. 1 shows the cylinder and the loop from three differ-\nent angles; P denotes the pulled point of the loop, while\nO is the top point of the thread.\nFig. 1\nImagine that the side of the cylinder is cut along the\ngeneratrix AB passing through point P, and then the\nside (including the loop) is unfolded as shown in Fig. 2.\nIn this figure points A and A′, B and B′, P and P ′ are\n\nEuPhO-2021\nTheoretical Problems - Solutions English\nequivalent, respectively.\nLet us introduce a Cartesian\ncoordinate system on this unfolded plane so that point\nO is the origin, axis z is parallel with the axis of cylin-\nder and directed downwards, axis x is perpendicular to\nz (i.e. horizontal).\nFig. 2\nConsider the forces acting on a small piece of the\nthread (with horizontal projection ∆x) indicated with\nred line in both figures. These are the tensions at both\nends of the small piece exerted by neighbouring parts of\nthe thread, the normal force ∆N and the friction force\n∆f exerted by the cylinder. On the verge of slipping, the\ndirection of ∆f is parallel to the z-axis. Since the small\npiece of thread is in equilibrium, the x-component of the\ntension is the same everywhere:\nTx = const.\nThe normal force ∆N can be determined by looking\nat the top view of the loop in Fig. 1. The polar angle\ncorresponding to small piece of thread is ∆φ = ∆x/R, so\nthe force balance in the radial direction can be written\nas\n2Tx sin ∆φ\n2\n| {z }\n≈∆φ/2\n−∆N = 0\n−→\n∆N = Tx\n∆x\nR .\n(4)\nThe frictional force on the verge of slipping is given by\n∆f = µ∆N .\n(5)\nThus, the force balance on the small piece of thread in\nthe z direction (see Fig. 2):\nTx\ndz\ndx\n\f\f\f\f\nx+∆x\n−Tx\ndz\ndx\n\f\f\f\f\nx\n−∆f = 0 ,\n(6)\nwhere we expressed the z-component of the tension\nforces with Tx and the tangent dz/dx. Using the three\nequations above and taking the limit ∆x →0, we get the\ndifferential equation\nd2z\ndx2 = µ\nR ,\nwhere we used the fact that Tx̸ = 0. By direct integration\nand taking into account the boundary conditions z(0) = 0\nand z′(0) = 0 we get\nz(x) = µ\n2Rx2 ,\nso the shape of the thread on the unfolded side surface\n(Fig. 2) can be described by a parabola.\nThe thread needs to span over the entire cylinder, so\nits length can be calculated as\nL0 =\nZ πR\n−πR\np\ndx2 + dz2 = 2\nZ πR\n0\ns\n1 +\n\u0012 dz\ndx\n\u00132\ndx .\nSubstituting the z(x) function we get:\nL0 = 2\nZ πR\n0\nr\n1 +\n\u0010µx\nR\n\u00112\ndx =\n\u0012R\nµ\n\u0013\n2\nZ πµ\n0\np\n1 + ξ2 dξ ,\nwhere we introduced the notation ξ = µx/R. Using the\nintegral given in the text of the problem:\nL0 = πR\np\n1 + (πµ)2 + R\nµ arcsinh(πµ) .\nIf the length of the thread is shorter than the length\ncalculated here, then there is no solution satisfying the\nthread length constraint, i.e. the thread cannot slip.\nNote. In the limit µ →0 the loop slips even if L = 2πR, which\nshould be reproduced by our final formula. Using the relation\nfor the inverse hyperbolic function given in the problem text,\nthen expanding the logarithm in Taylor series in linear order\naround 0 we get:\narcsinh x ≡ln\n(\nx +\n√\n1 + x2\n)\n≈ln (x + 1) ≈x ,\nso for small values of µ we get\nL0 ≈πR + R\nµ (πµ) = 2πR .\nGrading scheme: T2\n2-i. A figure or figures reflecting the\ncorrect geometry such as: the loop\nis a non-planar curve in all figures\n(0.5 p), existence of exactly one cusp\n(0.5 p, if the „back” is hidden, 0 p).\n0.5 p + 0.5 p\n2-ii. Realizing that on the verge of\nslipping the frictional force is paral-\nlel with the axis of the cylinder for\nevery small piece of the thread and\n∆f = µ∆N.\n(If any of the two is\nmissing, then 0.2 p)\n0.5 p\n2-iii. Correct equation for the force\nbalance in z direction involving\nfrictional force or the load (which\nis pulling down the loop) and the z\ncomponents of the tension.\n0.5 p\n2-iv. Tx = const. + correct explana-\ntion based on the balance in x direc-\ntion. If the physics is incompatible\nwith the geometrical assumptions\n(e.g. planar curve for the loop and\nthe existence of a frictional force\nacting on small pieces), no points\nare given\n0.5 p + 1.5 p\n2-v.\nExpressing the normal force\n∆N acting on a small segment with\nTx and dx (or dϕ).\nIf the relation\nx = Rφ or dx = Rdφ is not used here\nor anywhere else, 1.5 p is given. If\nthe expression is wrong but ∆N is\nproportional to the curvature (1/R),\n1.0 p is given.\n2.0 p\n\nEuPhO-2021\nTheoretical Problems - Solutions English\n2-vi.\nDeriving the correct differ-\nential equation for z(x) (if the diff.\nequation is wrong due to any rea-\nson, 0 p)\n1.5 p\n2-vii. Solving the diff. equation for\nz(x) correctly (including boundary\nconditions). If only one integral is\nevaluated correctly, 0.3 p are given.\nFor stating only the boundary con-\nditions (both z(0) and z′(0)) 0.2 p.\n1.0 p\n2-viii. Writing down the length of\nthe thread in terms of an integral\nof z(x), i.e. writing down the length\nconstraint\n0.5 p\n2-ix.\nEvaluating the integral cor-\nrectly (factor mistake in calculation\n0.5 p, wrong units 0.2 p)\n1.0 p\nTotal T2:\n10.0 p\nGeneral guidelines for marking:\n• Granularity for marks is 0.1 p.\n• A simple numerical error resulting from a typo is pun-\nished by 0.2 p unless the grading scheme explicitly says\notherwise.\n• Errors which cause dimensionally wrong results are\npunished by at least 50 % of the marks unless the grad-\ning scheme explicitly says otherwise.\n• Propagating errors are not punished repeatedly un-\nless they either lead to considerable simplifications or\nwrong results whose validity can easily be checked\nlater.\nT3: Glass ball\nTo begin with, let us notice that if a ray coming from a\npoint P on the stripe is refracted at point Q at the surface\nof the ball towards a very distant point A (which denotes\nthe aperture of the camera lens), the ray will remain in\nthe plane PQO where O is the centre of the sphere. This\nmeans that those rays which arrive from P to A must\nlay in the plane POA, and the rays can be conveniently\ndepicted in the POA-plane.\nThe angle γ = γ(α) between vectors PO and QA is\ngiven by\nγ ≡2α −β\n(7)\nn sin α = sin β\n(8)\nand is a non-monotonous function of α which achieves\nits maximum γ0 by a certain α0. This means that for a\nfixed P and A, if̸\nOPA < γ0, there are two such angles\nα and, hence, two such positions Q1 and Q2 for the point\nQ that the ray PQA will reach the point A (here we have\nassumed that the point A is at a very big distance). So,\nwhen viewed from the point A, the image of the point P\nis split into two points Q1 and Q2. On the other hand, if̸\nOPA > γ0, rays from P cannot reach A, and such points\non the stripe cannot be seen in the photo. If̸\nOPA =\nγ0, the two images Q1 and Q2 merge into a single point\nbridging the two images of a piece of stripe into a closed\nloop.\nP\nQ\nA\nO\nQ\nNow it becomes clear that the place where images Q1\nand Q2 merge into a single image Q0 is the key to finding\nthe coefficient of refraction. Indeed, the point Q0 can be\nfound in the photo as the point where the blue ellipse\n(the images of a segment of the stripe in red light as the\nblue shadow is where the red light is missing) is touch-\ning a radius of the ball, see the figure below (we need to\nfind tangent point with the radius because we need to\nconsider plane QOA which projects into a line through\nthe ball’s centre). There is no difference between tak-\ning the tangent to the outer edge of the elliptical stripe\nand taking the tangent to the inner edge of it (point Q′\n0\nin the photo below). Then, sin β0 = n sin α0 can be deter-\nmined from the photo as the ratio of the lengths h and\nR, h/R ≈0.765, where h denotes the distance of the ball’s\ncentre O from the line Q0A, measurable in the photo as\nthe length OQ0 (when looking from the distant point A,\nwe can see only the perpendicular-to-OA component of\nthe segment OQ0, and R is the ball’s radius.\nSince we look for an extremum of γ, upon taking dif-\nferentials from Eqns. (7,8), we obtain\n2dα = dβ\nn cos αdα = cos βdβ\nfrom where\nn cos α = 2 cos β.\n(9)\nn =\nq\nsin2 β + 4 cos2 β =\nq\n4 −3 sin2 β ≈1.498 ≈1.50.\nIn order to find ∆n, we could find in a similar way nV\n(|OQ′′\n0| ≈0.755R, n ≈1.513 ≈1.51), but the result would\nhave a huge relative uncertainty as |OQ0| and |OQ′′\n0| have\nvery similar lengths. A much more precise result will\nbe obtained if we base our calculations on the segment\nlength |ST|, see the figure below. Q′′\n0 is where the blue\nrays have an extremum for γ while Q′\n0 and Q′′\n0 are two\nred rays originating from the same point on the stripe.\nFrom the photo we can measure |ST| ≈0.20R, hence we\ncan use the small parameter SQ′′\n0/R ≈0.10.\nRays from S, T, and Q′′\n0 arrive to the lens aperture, so\nall these rays (which originate from the same point P on\nthe stripe) have the same value of γ. So, we have a set of\nequations\nγ ≡2αR −βR = 2αV −βV\n(10)\nnV sin αV = sin βV\n(11)\n(nV −∆n) sin αR = sin βR\n(12)\nnV cos αV = 2 cos βV ,\n(13)\n\nEuPhO-2021\nTheoretical Problems - Solutions English\nand we would like to get an expression relating ∆n to\nsin βV 1 −sin βV 2, where the indices 1 and 2 relate to the\ntwo different solutions. Expressing αR = αV + δ we ob-\ntain from Eq. (10) that βR = βV + 2δ. Now, if we expand\nEq. (12) into Taylor series, neglect the smallest term with\n∆nδ, and keep in mind Eq. (11), we obtain\nnV δ cos αV −nV δ2 sin αV\n2\n−∆n sin αV = 2δ cos βV −2δ2 sin βV .\nHere the two linear-in-δ terms cancel out due to Eq. (13)\nso that with sin βV = nV sin αV we obtain\n∆n = 3nV δ2/2.\n(14)\nOn the other hand, |ST|/R = sin βR1 −sin βR2 ≈sin(βV +\n2δ) −sin(βV −2δ) = 4δ cos βV , hence\n∆n = 3nV\n2\n\u0012\n|ST|\n4R cos βV\n\u00132\n= 3nV\n32\n|ST|2\nR2 −h2 ≈0.0132 ≈0.013.\n(15)\nO\nQ0\nR\nh\nQ’0\nQ’’0\nS\nT\nGrading scheme\nA-i\n• Proving that we can see a loop because for a range\nof points on the thread, a single point of thread cre-\nates two images: 0.7 pts\n• The endpoints of that thread create one image\nforming thereby a closed loop: 0.3 pts\nElse if only the fact that rays coming to A must be in\nthe PQO plane is stated: 0.3 pts\nA-ii Drawing a ray diagram where we can see that two\nrays originating from a single point arrive both to\nthe lens while crossing the ball’s surface at different\npoints and following the Snell’s law: 1.0 pt\nElse if such idea is demonstrated by words or by a\nrough sketch (which does not obey Snell’s law): 0.5\npts\nB-i Relating angle β to the measurable distance h in the\nphoto (any point on the blue or red ellipse will earn\nthe mark): 1pt\nB-ii Measuring ratio of h to R: 0.5 pts\nB-iii The idea of using point Q0: 1 pt (using Q′\n0 will earn\nonly 0.5 pts as this corresponds to the violet light)\nB-iv Obtaining a correct expression of γ as a function of\nα (or equivalent calculations in different parametri-\nsation): 1 pt\nB-v Finding extremum and hence, the final expression\nof n as a function of β or h: 1pt.\nIf an incorrect\nexpression is obtained from reasonable physics be-\ncause of mistakes in algebraic manipulation: 0.5 pts\nB-vi If the numerical answer is correct within ±0.03 and\nis found using reasonable physics: 0.5 pts. Else if\nthe numerical answer is correct within ±0.1 and is\nfound using reasonable physics: 0.3 pts. No point if\nthe answer is guessed or is found using completely\nwrong or irrelevant physics.\nC-i The idea of using the width or length of the blue el-\nlipse: 1 pt (red ellipse cannot be used as we don’t\nknow if the center of the red ellipse corresponds to\nthe edge of the thread, or to a point at its middle)\nC-ii Obtaining Eq (14) or something equivalent based on\nconsidering neighbouring red and violet rays: 1 pt.\nIf an incorrect expression is obtained from reason-\nable physics because of mistakes in algebraic manip-\nulation: 0.5 pts\nC-iii Expressing ∆n correctly in terms of measurable\nquantities: 0.5 pts\nC-iv Finding numerical answer correct within ±0.003:\n0.5 pts. (0 pts if this answer is obtained without con-\nsidering the width or height of the blue ellipse.)\nSolution 2\nOne may alternatively prefer to consider a plane, per-\npendicular to the thread and containing the ball centre\nO and the camera A. This is the plane of symmetry for\nthe system and corresponds to the maximum width of\nthe ovals. The same arguments as in the first Solution\nlead to\nγ = β −2 arcsin sin β\nn\n= arcsin h\nR −2 arcsin h\nnR.\nFor n < 2 this function is not monotonous and may give\nthe same result for two different values of h (that is why\nthe mapping of an arc is a closed oval).\nTo get the refraction index for red we solve the equa-\ntion\narcsin h1\nR −2 arcsin h1\nnRR = arcsin h4\nR −2 arcsin h4\nnRR,\n\nEuPhO-2021\nTheoretical Problems - Solutions English\nwhich gives nR ≈1.51.\nOne could repeat the previous argument to find nV .\nOne could also compare the images of the same thread\nelements in different colours. This gives 4 equations\narcsin h1,4\nR −2 arcsin h1,4\nnRR = arcsin h2,3\nR −2 arcsin h2,3\nnV R,\nwhere h1,4 means we can replace it with the value of h1\nor h4. Similar rule applies for h2,3. From each equation,\nwe can solve for one value of nV and then take their av-\nerage. This results in nV −nR ≈0.0145.\nGrading scheme\nA-i\n• Proving that we can see a loop because for a range\nof points on the thread, a single point of thread cre-\nates two images: 0.7 pts\n• The endpoints of that thread create one image\nforming thereby a closed loop: 0.3 pts\nElse if only the fact that rays coming to A must be in\nthe PQO plane is stated: 0.3 pts\nA-ii Drawing a ray diagram where we can see that two\nrays originating from a single point arrive both to\nthe lens while crossing the ball’s surface at different\npoints and following the Snell’s law: 1.0 pt\nElse if such idea is demonstrated by words or by a\nrough sketch (which does not obey Snell’s law): 0.5\npts\nB-i Relating angle β to the measurable distance h in the\nphoto (any point on the blue or red ellipse will earn\nthe mark): 1pt\nB-ii Measuring ratio of h to R: 0.5 pts\nB-iii The idea of using points on the blue ellipse lying on\nthe same radius of the sphere: 1 pt\nB-iv Obtaining the correct equation to solve for nR nu-\nmerically: 2 pts. If an incorrect equation is obtained\nfrom reasonable physics because of mistakes in al-\ngebraic manipulation: 1 pt\nB-v If the numerical answer is correct within ±0.03 and\nis found using reasonable physics: 0.5 pts. Else if\nthe numerical answer is correct within ±0.1 and is\nfound using reasonable physics: 0.3 pts. No point if\nthe answer is guessed or is found using completely\nwrong or irrelevant physics.\nC-i The idea of using points on the red (or both) ellipse(s)\nlying on the same radius of the sphere: 1 pt\nC-ii Obtaining at least one correct equation to solve for\nnV numerically: 1.5 pts. If an incorrect equation is\nobtained from reasonable physics because of mis-\ntakes in algebraic manipulation: 1 pt\nC-iii Finding numerical answer correct within ±0.003:\n0.5 pts.\n","shared":true,"sourcePages":[1,2,3,4,5],"initialPage":1}},{"id":"eupho-2021-t3","importedOn":"2026-10-28","language":"en","sources":[{"url":"https://eupho.ee/wp-content/uploads/2021/06/EuPhO_2021-theory.pdf","kind":"statement"},{"url":"https://eupho.ee/wp-content/uploads/2021/06/EuPhO_2021_Solutions-2.pdf","kind":"solution"}],"statement":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/eupho-2021-statement/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/eupho-2021-statement/page-1.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2021-statement/page-2.webp","width":982,"height":1389}],"text":"EuPhO-2021\nTheoretical Problems. Language: English\nT1: A leak\nA hollow insulated cylinder of\nheight 2H and volume 2V is\nclosed from below by an insu-\nlating piston. The cylinder is\ndivided into two initially iden-\ntical chambers by an insulat-\ning diaphragm of mass m. The\ndiaphragm rests on a circular\nledge and a gasket between\nthem provides tight contact.\nBoth chambers are filled with\ngaseous helium at pressure p\nand temperature T. A force is\napplied to the piston, so that it\nmoves upwards slowly.\na. Find the volume of the lower chamber V0 when the\ngas starts to leak between the chambers.\nb. Find the temperature T1 in the upper chamber when\nthe piston touches the diaphragm.\nc. Find the temperature T2 in the lower chamber im-\nmediately before the piston touches the diaphragm.\nT2: Thread around a cylinder\nOne end of a thread is\ntied into a loop of length\nL\n>\n2πR, and a cylin-\nder of radius R\nis put\nthrough the loop. The coef-\nficient of friction between\nthe thread and the cylinder\nis µ.\nThe free end of the\nthread is being pulled par-\nallel to the axis of the cylin-\nder (as shown by arrow in\nthe photo) while keeping the cylinder at rest.\nIf the\nlength of the loop is longer than a critical value, L > L0,\nthe loop can slide along the cylinder without changing its\nshape, otherwise the friction “locks” it into a place and\nincreasing the pulling force would eventually just break\nthe thread. Find this critical value L0. The weight of the\nthread is to be neglected; the thread will not twist when\nbeing pulled.\nIt might be useful to know that\n2\n∫√\n1 + x2 dx = x\n√\n1 + x2 + arcsinh x ,\nwhere arcsinh x ≡ln\n(\nx +\n√\n1 + x2)\n.\nT3: Glass ball\np\nr\nb\n1\n1\n2\n2\nThe first photo here\nis taken with a dig-\nital\ncamera\nand\nshows a glass ball,\nbacklit with diffuse\ndichromatic\nlight\nwhich has only two\nnarrow\nspectral\nlines\n(red\n630 nm\nand violet 400 nm).\nThis\ndiffuse\nlight\ncomes\nfrom\nthe\nwhite floor (marked\nwith ‘1’ in the figure) and the white walls (marked with\n‘2’), both illuminated with violet and red LED lamps.\nThe sensor of the camera has only red, blue and green\nsensors so that violet light appears in the photo as blue.\nThe photo is taken from a distance much greater than\nthe radius of the ball. On the back side of the ball, a\nvery narrow opaque thread is glued to the glass surface,\nforming an arc of a great circle on the ball. In the photo,\nthe thread is obstructed by the ball and cannot be seen\ndirectly. However, hugely deformed images of a very\nshort segment of the thread are seen as blue (marked\nwith ‘b’) and red (‘r’) ellipses.\nThe letter ‘p’ indicates\npurple-coloured areas in the photo.\nIn the first photo, the centre of the ball is marked with\na cross, and the perimeter of the ball is traced with a\ndashed line. You can find a larger version of the first\nphoto on a separate sheet. You may take distance mea-\nsurements there. In the larger photo, the boundary be-\ntween the red and purple regions is also traced with a\ndashed line.\nThe\nsecond\nphoto\nis\ntaken while illuminating\nwith a white LED with\nthe\nball\nturned\nso\nthat\nthe thread can be seen\ndirectly.\na. Explain qualitatively us-\ning a ray diagram why a\nsegment of the thread is\nseen as a closed loop in\nthe first photo.\nb. Determine the coefficient of refraction nR for the red\nlight.\nc. Determine the difference of the coefficients of refrac-\ntion ∆n ≡nV −nR for the red and violet light (with\nnV denoting the coefficient of refraction for the violet\nlight).\n\n","shared":true,"sourcePages":[1,2],"initialPage":1},"solution":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/eupho-2021-solution/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/eupho-2021-solution/page-1.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2021-solution/page-2.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2021-solution/page-3.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2021-solution/page-4.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2021-solution/page-5.webp","width":982,"height":1389}],"text":"EuPhO-2021\nTheoretical Problems - Solutions English\nT1: A Leak\nLet p1, V1, T1 denote the (time dependent) pressure, vol-\nume, and temperature in the upper chamber, and p2, V2,\nT2 — those in the lower one. Note that V1 ≡V does not\nchange.\nConsider a parcel of volume v below the diaphragm\ncontaining n moles of helium. It is convenient to imag-\nine it bounded by two fictitious free thin massless pis-\ntons. During slow perturbations the parcel undergoes\nan adiabatic process. The pressure and the temperature\nfor the parcel are actually the pressure and the temper-\nature for entire lower chamber p2 and T2. The energy\nconservation for the parcel is\n0 = p2dv + d\n\u00123\n2nvRT2\n\u0013\n= 5\n2p2dv + 3\n2vdp2.\nThis gives\nv5p3\n2 = const,\n(1)\nT 5\n2 p−2\n2\n= const .\n(2)\nThe leak begins when the pressure below the di-\naphragm exceeds that in the upper chamber by ∆p ≡\np0 −p = mgH/V = px, where\nx = mgH\npV\n.\n(a., b., c.)\na. We may let v = V2 before that.\nV 5p3 = V 5\n0 (p + ∆p)3 = V 5\n0 p3(1 + x)3\nV0 = V (1 + x)−3/5\n(a.)\nb. The energy conservation for the whole system:\n0 = p1dV1 + d\n\u00123\n2n1RT1\n\u0013\n+ p2dV2 + d\n\u00123\n2n2RT2\n\u0013\n=\n5\n2 (p1dV1 + p2dV2) + 3\n2 (V1dp1 + V2dp2) =\n5\n2p2d(V + V2) + 3\n2(V + V2)dp2,\nsince the pressure above the diaphragm remains lower\nthan that below by the same margin ∆p during the later\nprocess and dV2 = d(V + V2). Similarly to (1), we get\n(V + V2)5p3\n2 = const .\nThe pressure p′\n2 in the lower chamber when the piston\ntouches the diaphragm is found from the equation\nV 5p′3\n2 = (V + V0)5p3\n0 = V 5\n\u0012\n1 +\n1\n(1 + x)3/5\n\u00135\np3(1 + x)3,\np′\n2 = p\n\u0010\n1 + (1 + x)3/5\u00115/3\n.\n(3)\nThe pressure in the upper chamber at this moment is\np′\n1 = p′\n2 −∆p = p\n\u0012\u0010\n1 + (1 + x)3/5\u00115/3\n−x\n\u0013\n.\nThe temperature in the upper chamber is found from the\nequations of state pV = nRT and p′V = (2n)RT ′\nT ′\n1 = T\n2\n\u0012\u0010\n1 + (1 + x)3/5\u00115/3\n−x\n\u0013\n.\n(b.)\nThe temperature and the pressure in the lower cham-\nber are related by (2). Substituting (3) we get\nT ′\n2 = T\n\u0012p′\n2\np\n\u00132/5\n= T\n\u0010\n1 + (1 + x)3/5\u00112/3\n.\n(c.)\nPreliminary grading scheme\na1\nIt’s stated (or written as a formula) that the\nprocess is adiabatic\n0.5\na2\nRelation between V and p is found in adiabaic\nprocess\n1.0\na3\nCondition on when the diaphragm leaks\n0.5\na4\nAnswer for V0\n1.0\nb1\nEnergy conservation for the whole system in\ndifferential form. If conservation law is writ-\nten only for one half but heat transfer is taken\ninto account: 0.5 pts.\n1.0\nb2\nInternal energy for a mono-atomic gas\n0.5\nb3\nUsage of V1 = const\n0.2\nb3\nUsage of p2 −p1 = const\n0.3\nb4\nRelation between V2 and p2\n1.0\nb5\nEquation to find p′\n2 (or T ′\n2) before the end\n1.0\nb6\nUsage of n′ = 2n\n0.5\nb7\nAnswer for T ′\n1\n0.5\nc1\nRelation between T ′\n1 and T ′\n2\n1.0\nc2\nAnswer for T ′\n2\n1.0\nArithmetic or typo errors gives half of point (rounded\nup to 0.1) for the item and is not considered as a mistake\nafterwards.\nT2: Thread on cylinder\nFig. 1 shows the cylinder and the loop from three differ-\nent angles; P denotes the pulled point of the loop, while\nO is the top point of the thread.\nFig. 1\nImagine that the side of the cylinder is cut along the\ngeneratrix AB passing through point P, and then the\nside (including the loop) is unfolded as shown in Fig. 2.\nIn this figure points A and A′, B and B′, P and P ′ are\n\nEuPhO-2021\nTheoretical Problems - Solutions English\nequivalent, respectively.\nLet us introduce a Cartesian\ncoordinate system on this unfolded plane so that point\nO is the origin, axis z is parallel with the axis of cylin-\nder and directed downwards, axis x is perpendicular to\nz (i.e. horizontal).\nFig. 2\nConsider the forces acting on a small piece of the\nthread (with horizontal projection ∆x) indicated with\nred line in both figures. These are the tensions at both\nends of the small piece exerted by neighbouring parts of\nthe thread, the normal force ∆N and the friction force\n∆f exerted by the cylinder. On the verge of slipping, the\ndirection of ∆f is parallel to the z-axis. Since the small\npiece of thread is in equilibrium, the x-component of the\ntension is the same everywhere:\nTx = const.\nThe normal force ∆N can be determined by looking\nat the top view of the loop in Fig. 1. The polar angle\ncorresponding to small piece of thread is ∆φ = ∆x/R, so\nthe force balance in the radial direction can be written\nas\n2Tx sin ∆φ\n2\n| {z }\n≈∆φ/2\n−∆N = 0\n−→\n∆N = Tx\n∆x\nR .\n(4)\nThe frictional force on the verge of slipping is given by\n∆f = µ∆N .\n(5)\nThus, the force balance on the small piece of thread in\nthe z direction (see Fig. 2):\nTx\ndz\ndx\n\f\f\f\f\nx+∆x\n−Tx\ndz\ndx\n\f\f\f\f\nx\n−∆f = 0 ,\n(6)\nwhere we expressed the z-component of the tension\nforces with Tx and the tangent dz/dx. Using the three\nequations above and taking the limit ∆x →0, we get the\ndifferential equation\nd2z\ndx2 = µ\nR ,\nwhere we used the fact that Tx̸ = 0. By direct integration\nand taking into account the boundary conditions z(0) = 0\nand z′(0) = 0 we get\nz(x) = µ\n2Rx2 ,\nso the shape of the thread on the unfolded side surface\n(Fig. 2) can be described by a parabola.\nThe thread needs to span over the entire cylinder, so\nits length can be calculated as\nL0 =\nZ πR\n−πR\np\ndx2 + dz2 = 2\nZ πR\n0\ns\n1 +\n\u0012 dz\ndx\n\u00132\ndx .\nSubstituting the z(x) function we get:\nL0 = 2\nZ πR\n0\nr\n1 +\n\u0010µx\nR\n\u00112\ndx =\n\u0012R\nµ\n\u0013\n2\nZ πµ\n0\np\n1 + ξ2 dξ ,\nwhere we introduced the notation ξ = µx/R. Using the\nintegral given in the text of the problem:\nL0 = πR\np\n1 + (πµ)2 + R\nµ arcsinh(πµ) .\nIf the length of the thread is shorter than the length\ncalculated here, then there is no solution satisfying the\nthread length constraint, i.e. the thread cannot slip.\nNote. In the limit µ →0 the loop slips even if L = 2πR, which\nshould be reproduced by our final formula. Using the relation\nfor the inverse hyperbolic function given in the problem text,\nthen expanding the logarithm in Taylor series in linear order\naround 0 we get:\narcsinh x ≡ln\n(\nx +\n√\n1 + x2\n)\n≈ln (x + 1) ≈x ,\nso for small values of µ we get\nL0 ≈πR + R\nµ (πµ) = 2πR .\nGrading scheme: T2\n2-i. A figure or figures reflecting the\ncorrect geometry such as: the loop\nis a non-planar curve in all figures\n(0.5 p), existence of exactly one cusp\n(0.5 p, if the „back” is hidden, 0 p).\n0.5 p + 0.5 p\n2-ii. Realizing that on the verge of\nslipping the frictional force is paral-\nlel with the axis of the cylinder for\nevery small piece of the thread and\n∆f = µ∆N.\n(If any of the two is\nmissing, then 0.2 p)\n0.5 p\n2-iii. Correct equation for the force\nbalance in z direction involving\nfrictional force or the load (which\nis pulling down the loop) and the z\ncomponents of the tension.\n0.5 p\n2-iv. Tx = const. + correct explana-\ntion based on the balance in x direc-\ntion. If the physics is incompatible\nwith the geometrical assumptions\n(e.g. planar curve for the loop and\nthe existence of a frictional force\nacting on small pieces), no points\nare given\n0.5 p + 1.5 p\n2-v.\nExpressing the normal force\n∆N acting on a small segment with\nTx and dx (or dϕ).\nIf the relation\nx = Rφ or dx = Rdφ is not used here\nor anywhere else, 1.5 p is given. If\nthe expression is wrong but ∆N is\nproportional to the curvature (1/R),\n1.0 p is given.\n2.0 p\n\nEuPhO-2021\nTheoretical Problems - Solutions English\n2-vi.\nDeriving the correct differ-\nential equation for z(x) (if the diff.\nequation is wrong due to any rea-\nson, 0 p)\n1.5 p\n2-vii. Solving the diff. equation for\nz(x) correctly (including boundary\nconditions). If only one integral is\nevaluated correctly, 0.3 p are given.\nFor stating only the boundary con-\nditions (both z(0) and z′(0)) 0.2 p.\n1.0 p\n2-viii. Writing down the length of\nthe thread in terms of an integral\nof z(x), i.e. writing down the length\nconstraint\n0.5 p\n2-ix.\nEvaluating the integral cor-\nrectly (factor mistake in calculation\n0.5 p, wrong units 0.2 p)\n1.0 p\nTotal T2:\n10.0 p\nGeneral guidelines for marking:\n• Granularity for marks is 0.1 p.\n• A simple numerical error resulting from a typo is pun-\nished by 0.2 p unless the grading scheme explicitly says\notherwise.\n• Errors which cause dimensionally wrong results are\npunished by at least 50 % of the marks unless the grad-\ning scheme explicitly says otherwise.\n• Propagating errors are not punished repeatedly un-\nless they either lead to considerable simplifications or\nwrong results whose validity can easily be checked\nlater.\nT3: Glass ball\nTo begin with, let us notice that if a ray coming from a\npoint P on the stripe is refracted at point Q at the surface\nof the ball towards a very distant point A (which denotes\nthe aperture of the camera lens), the ray will remain in\nthe plane PQO where O is the centre of the sphere. This\nmeans that those rays which arrive from P to A must\nlay in the plane POA, and the rays can be conveniently\ndepicted in the POA-plane.\nThe angle γ = γ(α) between vectors PO and QA is\ngiven by\nγ ≡2α −β\n(7)\nn sin α = sin β\n(8)\nand is a non-monotonous function of α which achieves\nits maximum γ0 by a certain α0. This means that for a\nfixed P and A, if̸\nOPA < γ0, there are two such angles\nα and, hence, two such positions Q1 and Q2 for the point\nQ that the ray PQA will reach the point A (here we have\nassumed that the point A is at a very big distance). So,\nwhen viewed from the point A, the image of the point P\nis split into two points Q1 and Q2. On the other hand, if̸\nOPA > γ0, rays from P cannot reach A, and such points\non the stripe cannot be seen in the photo. If̸\nOPA =\nγ0, the two images Q1 and Q2 merge into a single point\nbridging the two images of a piece of stripe into a closed\nloop.\nP\nQ\nA\nO\nQ\nNow it becomes clear that the place where images Q1\nand Q2 merge into a single image Q0 is the key to finding\nthe coefficient of refraction. Indeed, the point Q0 can be\nfound in the photo as the point where the blue ellipse\n(the images of a segment of the stripe in red light as the\nblue shadow is where the red light is missing) is touch-\ning a radius of the ball, see the figure below (we need to\nfind tangent point with the radius because we need to\nconsider plane QOA which projects into a line through\nthe ball’s centre). There is no difference between tak-\ning the tangent to the outer edge of the elliptical stripe\nand taking the tangent to the inner edge of it (point Q′\n0\nin the photo below). Then, sin β0 = n sin α0 can be deter-\nmined from the photo as the ratio of the lengths h and\nR, h/R ≈0.765, where h denotes the distance of the ball’s\ncentre O from the line Q0A, measurable in the photo as\nthe length OQ0 (when looking from the distant point A,\nwe can see only the perpendicular-to-OA component of\nthe segment OQ0, and R is the ball’s radius.\nSince we look for an extremum of γ, upon taking dif-\nferentials from Eqns. (7,8), we obtain\n2dα = dβ\nn cos αdα = cos βdβ\nfrom where\nn cos α = 2 cos β.\n(9)\nn =\nq\nsin2 β + 4 cos2 β =\nq\n4 −3 sin2 β ≈1.498 ≈1.50.\nIn order to find ∆n, we could find in a similar way nV\n(|OQ′′\n0| ≈0.755R, n ≈1.513 ≈1.51), but the result would\nhave a huge relative uncertainty as |OQ0| and |OQ′′\n0| have\nvery similar lengths. A much more precise result will\nbe obtained if we base our calculations on the segment\nlength |ST|, see the figure below. Q′′\n0 is where the blue\nrays have an extremum for γ while Q′\n0 and Q′′\n0 are two\nred rays originating from the same point on the stripe.\nFrom the photo we can measure |ST| ≈0.20R, hence we\ncan use the small parameter SQ′′\n0/R ≈0.10.\nRays from S, T, and Q′′\n0 arrive to the lens aperture, so\nall these rays (which originate from the same point P on\nthe stripe) have the same value of γ. So, we have a set of\nequations\nγ ≡2αR −βR = 2αV −βV\n(10)\nnV sin αV = sin βV\n(11)\n(nV −∆n) sin αR = sin βR\n(12)\nnV cos αV = 2 cos βV ,\n(13)\n\nEuPhO-2021\nTheoretical Problems - Solutions English\nand we would like to get an expression relating ∆n to\nsin βV 1 −sin βV 2, where the indices 1 and 2 relate to the\ntwo different solutions. Expressing αR = αV + δ we ob-\ntain from Eq. (10) that βR = βV + 2δ. Now, if we expand\nEq. (12) into Taylor series, neglect the smallest term with\n∆nδ, and keep in mind Eq. (11), we obtain\nnV δ cos αV −nV δ2 sin αV\n2\n−∆n sin αV = 2δ cos βV −2δ2 sin βV .\nHere the two linear-in-δ terms cancel out due to Eq. (13)\nso that with sin βV = nV sin αV we obtain\n∆n = 3nV δ2/2.\n(14)\nOn the other hand, |ST|/R = sin βR1 −sin βR2 ≈sin(βV +\n2δ) −sin(βV −2δ) = 4δ cos βV , hence\n∆n = 3nV\n2\n\u0012\n|ST|\n4R cos βV\n\u00132\n= 3nV\n32\n|ST|2\nR2 −h2 ≈0.0132 ≈0.013.\n(15)\nO\nQ0\nR\nh\nQ’0\nQ’’0\nS\nT\nGrading scheme\nA-i\n• Proving that we can see a loop because for a range\nof points on the thread, a single point of thread cre-\nates two images: 0.7 pts\n• The endpoints of that thread create one image\nforming thereby a closed loop: 0.3 pts\nElse if only the fact that rays coming to A must be in\nthe PQO plane is stated: 0.3 pts\nA-ii Drawing a ray diagram where we can see that two\nrays originating from a single point arrive both to\nthe lens while crossing the ball’s surface at different\npoints and following the Snell’s law: 1.0 pt\nElse if such idea is demonstrated by words or by a\nrough sketch (which does not obey Snell’s law): 0.5\npts\nB-i Relating angle β to the measurable distance h in the\nphoto (any point on the blue or red ellipse will earn\nthe mark): 1pt\nB-ii Measuring ratio of h to R: 0.5 pts\nB-iii The idea of using point Q0: 1 pt (using Q′\n0 will earn\nonly 0.5 pts as this corresponds to the violet light)\nB-iv Obtaining a correct expression of γ as a function of\nα (or equivalent calculations in different parametri-\nsation): 1 pt\nB-v Finding extremum and hence, the final expression\nof n as a function of β or h: 1pt.\nIf an incorrect\nexpression is obtained from reasonable physics be-\ncause of mistakes in algebraic manipulation: 0.5 pts\nB-vi If the numerical answer is correct within ±0.03 and\nis found using reasonable physics: 0.5 pts. Else if\nthe numerical answer is correct within ±0.1 and is\nfound using reasonable physics: 0.3 pts. No point if\nthe answer is guessed or is found using completely\nwrong or irrelevant physics.\nC-i The idea of using the width or length of the blue el-\nlipse: 1 pt (red ellipse cannot be used as we don’t\nknow if the center of the red ellipse corresponds to\nthe edge of the thread, or to a point at its middle)\nC-ii Obtaining Eq (14) or something equivalent based on\nconsidering neighbouring red and violet rays: 1 pt.\nIf an incorrect expression is obtained from reason-\nable physics because of mistakes in algebraic manip-\nulation: 0.5 pts\nC-iii Expressing ∆n correctly in terms of measurable\nquantities: 0.5 pts\nC-iv Finding numerical answer correct within ±0.003:\n0.5 pts. (0 pts if this answer is obtained without con-\nsidering the width or height of the blue ellipse.)\nSolution 2\nOne may alternatively prefer to consider a plane, per-\npendicular to the thread and containing the ball centre\nO and the camera A. This is the plane of symmetry for\nthe system and corresponds to the maximum width of\nthe ovals. The same arguments as in the first Solution\nlead to\nγ = β −2 arcsin sin β\nn\n= arcsin h\nR −2 arcsin h\nnR.\nFor n < 2 this function is not monotonous and may give\nthe same result for two different values of h (that is why\nthe mapping of an arc is a closed oval).\nTo get the refraction index for red we solve the equa-\ntion\narcsin h1\nR −2 arcsin h1\nnRR = arcsin h4\nR −2 arcsin h4\nnRR,\n\nEuPhO-2021\nTheoretical Problems - Solutions English\nwhich gives nR ≈1.51.\nOne could repeat the previous argument to find nV .\nOne could also compare the images of the same thread\nelements in different colours. This gives 4 equations\narcsin h1,4\nR −2 arcsin h1,4\nnRR = arcsin h2,3\nR −2 arcsin h2,3\nnV R,\nwhere h1,4 means we can replace it with the value of h1\nor h4. Similar rule applies for h2,3. From each equation,\nwe can solve for one value of nV and then take their av-\nerage. This results in nV −nR ≈0.0145.\nGrading scheme\nA-i\n• Proving that we can see a loop because for a range\nof points on the thread, a single point of thread cre-\nates two images: 0.7 pts\n• The endpoints of that thread create one image\nforming thereby a closed loop: 0.3 pts\nElse if only the fact that rays coming to A must be in\nthe PQO plane is stated: 0.3 pts\nA-ii Drawing a ray diagram where we can see that two\nrays originating from a single point arrive both to\nthe lens while crossing the ball’s surface at different\npoints and following the Snell’s law: 1.0 pt\nElse if such idea is demonstrated by words or by a\nrough sketch (which does not obey Snell’s law): 0.5\npts\nB-i Relating angle β to the measurable distance h in the\nphoto (any point on the blue or red ellipse will earn\nthe mark): 1pt\nB-ii Measuring ratio of h to R: 0.5 pts\nB-iii The idea of using points on the blue ellipse lying on\nthe same radius of the sphere: 1 pt\nB-iv Obtaining the correct equation to solve for nR nu-\nmerically: 2 pts. If an incorrect equation is obtained\nfrom reasonable physics because of mistakes in al-\ngebraic manipulation: 1 pt\nB-v If the numerical answer is correct within ±0.03 and\nis found using reasonable physics: 0.5 pts. Else if\nthe numerical answer is correct within ±0.1 and is\nfound using reasonable physics: 0.3 pts. No point if\nthe answer is guessed or is found using completely\nwrong or irrelevant physics.\nC-i The idea of using points on the red (or both) ellipse(s)\nlying on the same radius of the sphere: 1 pt\nC-ii Obtaining at least one correct equation to solve for\nnV numerically: 1.5 pts. If an incorrect equation is\nobtained from reasonable physics because of mis-\ntakes in algebraic manipulation: 1 pt\nC-iii Finding numerical answer correct within ±0.003:\n0.5 pts.\n","shared":true,"sourcePages":[1,2,3,4,5],"initialPage":3}},{"id":"eupho-2020-t1","importedOn":"2026-10-28","language":"en","sources":[{"url":"https://eupho.ee/wp-content/uploads/2020/07/EuPhO_2020_Theory.pdf","kind":"statement"},{"url":"https://eupho.ee/wp-content/uploads/2020/07/EuPhO20_Theory_Solutions-7.pdf","kind":"solution"}],"statement":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/eupho-2020-statement/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/eupho-2020-statement/page-1.webp","width":982,"height":1389}],"text":"EuPhO-2020 Online\nTheoretical Problems. Language: English\nT1: Solenoid and loop\nA closed circular loop of radius r consists of an ideal bat-\ntery of electromotive force E and a wire of resistance\nR. A long thin air-core solenoid is aligned with the axis\nof the loop (z-axis). Its length is ℓ≫r, cross-sectional\narea is A (\n√\nA ≪r), and the number of turns is N. The\nsolenoid is powered by a constant current I provided by\nan ideal current source. The directions of the currents\nin the solenoid and in the loop are the same (clockwise\nin the figure).\na. Find the force F1 acting on the solenoid when its\nhead O1 is positioned in the loop centre O. What is\nthe force F2 acting on the solenoid when its tail O2 is\nlocated in the centre of the loop?\nb. Suppose now, that the solenoid is moving slowly\nwith a constant velocity v along z-axis starting far\naway from the loop, going past its centre, and pro-\nceeding further to the right in positive z-direction.\nPlot the current J flowing in the loop as a function\nof time. Highlight important features and values on\nthe graph. The velocity v is so small that self induc-\ntance of the loop can be neglected.\nT2: Mechanical accelerator\nA massless thread makes N turns around statically fixed\ncylinder, as shown in the figure. Initially, the free (un-\nwound) ends of the thread are parallel to the axis X.\nThen, a heavy point-like object P is attached to one end\nof the thread while the other end is pulled with a con-\nstant velocity u along X. Find the maximum velocity at-\ntained by the heavy object.\nThe thread is inextendable and flexible. Suppose that\nthe turns of the thread are wound tightly to one another\nand are placed practically in the same plane, perpendic-\nular to the cylinder axis. Neglect any friction in the sys-\ntem. Do not consider the force of gravity.\nT3: Cat eyes\nYou may have noticed that in darkness, when a cat is\nwithin the light beam of a headlamp, its eyes appear very\nbright, see the photo below (left). This phenomenon can\nbe modelled by a lens setup, see the photo on right, and\nthe diagram beneath the photos.\nx\nsheet of paper\nlamp\nL\nh\nlens\nfocal\nplane\ncamera\nThe photo on right was taken by a digital single-lens\nreflex camera. The light intensity at the camera sensor\npixels marked by a red line (in the photo) is shown in the\ngraph below: the log base 10 of the light intensity (mea-\nsured as the number of photons caught by each pixel)\nis plotted against the x-coordinate, with the pixels’ side\nlength serving as the unit length.\n1.5\n2\n2.5\n3\n3.5\n4\n4.5\n0\n100\n200\n300\n400\n500\nx\nlog10I\nThe lens modelling cat eyes can be treated as an ideal\nthin lens of focal length f = 55 mm and diameter D =\n39 mm; however, you should keep in mind that the given\ngraph shows real measurement data, and the lens has\ncertain non-ideal features. Most importantly, partial re-\nflections of brightly lit areas from the lens surfaces may\ndecrease the contrast: dark areas seen through the lens\nappear less dark than they actually are; this effect can\nbe neglected for the camera lens, but not so for the lens\nserving as a model of a cat’s eye.\nBased on the given data, estimate (with the accuracy\nof ca 20%) the distance h between the axis of the cam-\nera and the axis of the lamp (which can be considered\nas a point source) if the distance of the camera from the\npaper sheet was L = 4.8 m.\n","shared":true,"sourcePages":[1],"initialPage":1},"solution":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/eupho-2020-solution/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/eupho-2020-solution/page-1.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2020-solution/page-2.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2020-solution/page-3.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2020-solution/page-4.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2020-solution/page-5.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2020-solution/page-6.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2020-solution/page-7.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2020-solution/page-8.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2020-solution/page-9.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2020-solution/page-10.webp","width":982,"height":1389}],"text":"EuPhO-2020 Online\nTheoretical Solutions. Language: English\nT1: Solenoid and loop\nPart a. Solution I. According to Newton’s third law, the\nforce acting on the solenoid is equal in magnitude, but\nopposite in direction to the force acting on the loop. The\nlatter can be obtained from Lorentz’s law by summation\nof infinitesimal forces⃗F = J∆⃗l ×⃗B acting on the indi-\nvidual loop elements ∆⃗l, where J = E/R is the current\nin the loop.\nSince the solenoid is long and thin, the magnetic field\nlines inside it are directed in +z direction, and escape\nonly from the immediate vicinity of its ends. The mag-\nnetic field outside the solenoid is vortex-free and source-\nfree. The same requirements are satisfied by the electric\nfield in empty space. Hence, the magnetic field outside\nthe solenoid can be well approximated by a field created\nby two magnetic poles: a North pole residing close to\npoint O1 and a South pole located near to O2. The flux\nΦ emerging from the North pole (and the flux entering\nthe South pole) is the same as the flux passing through\nthe solenoid’s cross-section:\nΦ = BinA = µ0\nNI\nℓA .\nWhen the endpoint O1 of the solenoid is placed in the\nloop centre O, the magnetic field of the other end (O2)\nnear the loop is negligible. The field created by the North\npole located at O1 is pointing radially outwards, and its\nmagnitude at the loop circumference is (from spherical\nsymmetry):\nB(r) =\nΦ\n4πr2 = µ0\n4π\nNIA\nℓr2 .\nNote. it is also correct to assume that the flux from the B-field\n(which carries a factor of 1/2 compared to the field above at the\nend of the solenoid is uniformly distributed over hemisphere.\nThe forces acting on all elements of the loop (and also\nthe net force) point in the −z direction, which can be\nexpected also from the same current directions (i.e. the\nloop and the solenoid attract each other). Hence, the re-\naction force acting on the solenoid points in the +z di-\nrection, and its magnitude is given by:\nF1 = E\nR · 2πr · µ0\n4π\nNIA\nℓr2\n= µ0NIAE\n2ℓRr\n.\nWhen the endpoint O2 is located at the centre of the\nloop, the magnetic field produced by the South pole ex-\nerts a force on the loop. Since this field is directed radi-\nally inward, the force acting on the solenoid is the same\nin magnitude, but opposite in direction (−z) as the force\ncalculated above:⃗\nF2 = −⃗F1 .\nGrading scheme: T1 part a., Solution I.\nusing Newton’s third law\n0.5 p\nidea of approximating the outer field\nwith magnetic poles 0.5 p, and justi-\nfication 0.5 p\n1.0 p\ncalculating the flux Φ emerging from\nthe magnetic pole (for a wrong fac-\ntor, 0.3 p)\n1.0 p\nexpressing the field B(r) of the mag-\nnetic pole\n1.0 p\nfinding the magnitude of force acting\non the loop from Lorentz’s force law\n1.0 p\ncorrect direction for⃗F1 0.5 p, and⃗F2\nantiparallel to⃗F1 0.5 p\n1.0 p\nTotal for part a.:\n5.5 p\nSolution II. In this solution the force acting on the\nsolenoid is calculated, as the force acting on the mag-\nnetic pole placed at the centre of the current-carrying\nloop. For this we need to find an expression for the mag-\nnetic pole strength (or magnetic charge) Qm, which is de-\nfined as the ratio of the force and the magnetic field.\nThe total dipole moment m of the solenoid is the prod-\nuct of the number of turns and the dipole moment IA of\neach turn:\nm = NIA .\nThis can be also expressed with the magnetic pole\nstrength and the distance of the poles: m = Qmℓ. From\nthis we arrive to the expression\nQm = NIA\nℓ\n= Φ\nµ0\nwhere Φ is the total flux emerging from the pole (see so-\nlution I).\nNote. The same result can be obtained from the analogy\nbetween electrostatic and magnetostatic fields. The Coulomb\nforce between two point charges ±Q can be derived from the\nprinciple of virtual work. The force is the derivative of the in-\nteraction part of the field energy with respect to the distance\nbetween the charges. The force between two magnetic charges\n±Qm can be also calculated this way. From the expressions of\nelectric and magnetic energy densities we can conclude the for-\nmula of the magnetic interaction force:\nwE = 1\n2ε0E2\n←→\nwB =\n1\n2µ0 B2 ,\nFE =\n1\n4πε0\nQ2\nr2\n←→\nFB = µ0\n4π\nQ2\nm\nr2 .\nAs it can be seen, the well-known formulae known in electro-\nstatics can be also used in magnetostatics with the substitutions\nε−1\n0\n←→µ0, E ←→B, Q ←→Qm. Carrying on this analogy the\nmagnetic pole strength can be figured out:\nQ = ε0Ψ\n←→\nQm = Φ\nµ0 = N\nℓIA ,\nwhere Ψ and Φ are the electric and magnetic flux for a closed\nsurface containing the electric and magnetic charge, respec-\ntively.\nWhen endpoint O1 of the solenoid is located at point\nO, a North pole resides at the centre of the loop. Here\nthe magnetic field created by the loop can be expressed\nfrom Biot–Savart-law:\nB(at center)\nloop\n= µ0J\n2r = µ0E\n2Rr ,\n\nEuPhO-2020 Online\nTheoretical Solutions. Language: English\npointing in the +z direction. So the magnitude of the\nforce acting on this end of the solenoid is:\nF1 = QmB(at center)\nloop\n= µ0ENIA\n2ℓRr\n,\nand it is directed to +z. When the endpoint O2 is located\nat the center of the loop, the force acting on the South\npole should be calculated, resulting a force of same mag-\nnitude, but opposite direction.\nGrading scheme: T1 part a., Solution II.\nidea of approximating the outer field\nwith magnetic poles 0.5 p, and justi-\nfication 0.5 p\n1.0 p\ncalculating\nthe\nmagnetic\npole\nstrength\nQm\n(for\ndimensionally\nwrong answer 0 p)\n1.0 p\njustification for calculation\n1.0 p\ncalculating the field of the current\nloop at its centre from Biot–Savart-\nlaw\n0.5 p\nfinding the magnitude of force acting\non the magnetic pole\n1.0 p\ncorrect direction for⃗F1 0.5 p, and⃗F2\nantiparallel to⃗F1 0.5 p\n1.0 p\nTotal for part a.:\n5.5 p\nSolution III. Some of the magnetic field lines created\nby the loop enter into the near end O1 of the solenoid;\nthis entering flux is given by\nΦin = B(at center)\nloop\nA = µ0J\n2r A = µ0EA\n2Rr .\nSince the end O2 is far from the loop, the flux created by\nthe loop escaping there is negligibly small. This means\nthat almost all the flux Φin escapes from the solenoid\nthrough its side.\nDenote the radial component of the magnetic field\nvector produced by the current-carrying loop at the\nperimeter of the ith turn of the solenoid by Bi.\nOnly\nthis component contributes to the net force acting on the\nsolenoid, as the axial component produces a radial force\nwhich is cancelled due to rotational symmetry. The axial\nforce acting on the ith turn of the solenoid is given by\nF1,i = 2\n√\nAπIBi ,\nwhere 2\n√\nAπ is the circumference of one turn, and the\nforce points in the +z direction. Summing up both sides\ngives the net force:\nF1 =\nX\ni\nFi =\nX\ni\n2\n√\nAπIBi\nTake out the factor I from the summation and insert 1\nwritten in the unusual way (ℓ/N) · (N/ℓ):\nF1 = I N\nℓ\nX\ni\n2\n√\nAπ ℓ\nN Bi .\nThe sum on the right hand side is the flux escaping\nthrough the side of the solenoid, which equals Φin, so the\nforce:\nF1 = I N\nℓΦin = µ0EANI\n2Rrℓ\n,\nwhich agrees with the previous solutions.\nGrading scheme: T1 part a., Solution III.\nB-field at the center of loop\n0.5 p\nexpressing force on one turn\n1.0 p\nrealizing that all the flux escapes\nthrough the sides of the solenoid\n0.5 p\nrelating the force to escaping flux\n1.5 p\nsummation and correct result\n1.0 p\ncorrect direction for⃗F1 0.5 p, and⃗F2\nantiparallel to⃗F1 0.5 p\n1.0 p\nTotal for part a.:\n5.5 p\nSolution IV. The force acting on a current loop of\nmagnetic moment⃗m placed in magnetic field⃗B is given\nby⃗∇(⃗m ·⃗B). Divide the solenoid into short circular coils\nof equal length ∆ℓ, then the magnetic moment of each\nshort coil is\n∆⃗m = IAN∆ℓ\nℓ⃗\nez ,\nwhere⃗ez denotes the unit vector in z-direction.\nThis\nmagnetic moment is parallel to the field⃗Bloop created\nby the large current-carrying loop, so the force acting on\neach short segment of the solenoid in z-direction can be\nwritten as:\n∆F1 = ∆mdBloop\ndz\n= IAN∆ℓ\nℓ\ndBloop\ndz\nThe total force on the solenoid can be determined from\nintegration of the force contributions along the solenoid:\nF1 =\nZ 0\n−ℓ\ndℓ∆F1\n∆ℓ= IAN\nℓ\n\u0000Bloop(0) −Bloop(−ℓ)\n\u0001\n.\nUsing the Biot–Savart-law we can compute the magnetic\nfield Bloop(z) of the current-carrying loop along the z-axis\nto\nBloop(z) = µ0E\n2R\nr2\n(z2 + r2)3/2 .\nThis expression for Bloop yields\nF1 = µ0EANIr2\n2Rℓ\n\u0012 1\nr3 −\n1\n(ℓ2 + r2)3/2\n\u0013\nℓ≫r\n≈µ0EANI\n2ℓRr\n,\nand F1 is directed to +z. From a similar calculation we\nget⃗F2 = −⃗F1.\nGrading scheme: T1 part a., Solution IV.\nidea of dividing the solenoid into\nshort segments of equal lengths\n1.0 p\ngiving the magnetic moment of a seg-\nment\n0.5 p\nexpressing the force on a segment by\na derivative of the magnetic field\n1.0 p\ncalculating the field of the current-\ncarrying loop from Biot–Savart-law\n(alternatively, arguing that only the\nfield at center of loop is important 0.5\np and calculating this field 0.5 p)\n1.0 p\nintegrating force contributions to\nfind total force on solenoid (max. 0.5\nif final expression still contains inte-\ngral)\n1.0 p\ncorrect direction for⃗F1 0.5 p, and⃗F2\nantiparallel to⃗F1 0.5 p\n1.0 p\nTotal for part a.:\n5.5 p\n\nEuPhO-2020 Online\nTheoretical Solutions. Language: English\nNote: Using the idea of dividing the solenoid into\nsmall segments other solutions are possible as well\n(e.g. considering small dipole contributions). In this case\nthe grading scheme of Solution IV should be adapted ac-\ncordingly. One recurring solution of this type is to di-\nvide the solenoid into small segments of length dz, com-\npute the B-field in z-direction effected by current-loop\nfrom Biot–Savart, use Gauss law to relate the radial B-\nflux through the segment to dB/dz. compute the force on\nthe segment using Lorentz forces and integrate the force\nover the length of the solenoid. In this case the marking\nscheme is adapted in the second aspect, awarding 0.5 p\nfor the idea of using Gauss law to find radial B-field\nSolution V. In this solution we relate the force acting\non the solenoid to the change in energy of the system.\nInvestigate the case when point O1 is located at O first.\nDue to the same current directions, the magnetic force⃗\nF1 acting on the solenoid points in direction +z. While\nkeeping the solenoid in equilibrium with external force\n−⃗F1, let it move by a small displacement δz in the posi-\ntive z direction. The work done by the external force is\nequal to the change in energy of the system:\n−⃗F1 · δ⃗z = −F1δz = δEtotal, .\nWe should be aware of the fact that the system is not\nclosed: there is also a battery and a current source in-\ncluded in the circuits. Hence, δEtotal contains the change\nin field energy and the change of energy of the power\nsources:\nδEtotal = δEfield + δEsources .\nSince the force does not depend on what kind of power\nsupplies we have, let us replace the battery with a cur-\nrent source providing constant current J = E/R.\nNow we find a relation between δEfield and δEsources\nThe energy stored in the field can be expressed as\nEfield = 1\n2L1I2 + 1\n2L2J2 + L12IJ ,\nwhere L1 is the inductance of the solenoid, L2 is that of\nthe loop and L12 is the mutual inductance of the system.\nUpon small displacement δz, only the last term changes,\nso\nδEfield = δL12 · IJ .\nThe small displacement results in a change of the flux\nenclosed by the loop and the solenoid. The flux created\nby the solenoid on the loop is L12I, and the flux created\nby the loop through the solenoid is L21J = L12J (here\nwe used the symmetry property of mutual inductance).\nDuring the short time δt of the displacement δz, the e.m.f.\ninduced in the loop (V loop\nind ) and the solenoid (V solenoid\nind\n) can\nbe expressed with Faraday’s law:\nV loop\nind\n= −δL12\nδt I ,\nV solenoid\nind\n= −δL12\nδt J .\nIn order to keep the current in the circuits constant, the\ncurrent sources need to provide an additional power, so\nthey give away extra energy (in addition to Joule heat).\nThis energy change of the sources is given by:\nδEsources =\n\u0010\nV loop\nind J + V solenoid\nind\nI\n\u0011\nδt .\nUsing the previous results we finally get:\nδEsources = −2δL12IJ = −2δEfield ,\nwhich means δEtotal\n=\n−δEfield, and hence F1δz\n=\nδEfield = δL12IJ.\nNote 1.\nNaively, one might think that we get the result\nδEtotal = δEfield if we imagine superconducting wires without\npower supplies. One can show with detailed calculation that\nin that case the currents in the loop and the coil change, as the\ntotal flux enclosed by a superconducting circuit must remain\nconstant. The correct physical justification of the appearing\nnegative sign is an important part of the solution.\nNow we calculate the change in mutual inductance\nδL12. The small displacement δz can be imagined as we\ntake a short segment from the tail O2 of the coil (con-\nsisting of Nδz/ℓturns) and move it to the head O1. As\na result, the flux produced by the loop on the solenoid\nincreases by\nδΦ12 = δL21J =\nµ0J\n2r\n|{z}\nB(at center)\nloop\nAN\nℓδz .\nFrom this we get:\nF1 = δL12IJ\nδz\n= µ0ENAI\n2ℓRr\n.\nIf the tail O2 of the solenoid is located at point O, the\ncoefficient of mutual inductance decreases upon small\ndisplacement, which results in⃗F2 = −⃗F1.\nNote 2. The field energy can be also calculated from the en-\nergy density integrated for the whole space. Instead of calcu-\nlating the total field energy, it is easier to find its change using\nthe same idea presented above, i.e. take a segment of length\nδz from the tail and move it to the head of the solenoid. As-\nsuming ℓ≫δz ≫\n√\nA, the field created by the solenoid inside\nthat segment is µ0NI/ℓ(because the field differs from this only\nat distance ∼\n√\nA from the ends). At the end we get the same\nresult for the change in field energy using the expression:\nδEfield =\n1\n2µ0\n\u0002\n(B(at centre)\nloop\n+ Bsol)2 −(B(at centre)\nloop\n)2 −B2\nsol\n\u0003\nAδz .\nNote 3. A third possibility is to calculate the potential en-\nergy change of the displaced few turns of the solenoid. The\nmagnetic moment of a segment of length δz is⃗m =⃗ezIANδz/ℓ,\nand its energy in external field is Epot = −⃗m⃗B. Important to\nhighlight that this potential energy already contains the factor\nof −1 discussed at the beginning of the solution, so the force\nacting on the solenoid can be expressed as\nF1 = −δEpot\nδz\n.\nThe external field is the superposition of the field⃗Bloop cre-\nated by the loop and the field⃗Bsol created by the coil (note that\nthis latter contains a factor of 1/2 compared to the field in the\nmiddle of the solenoid). Since⃗Bsol is the same at the two ends\nO1 and O2, the energy change is:\nδEpot = −⃗m⃗B(at center)\nloop\n−⃗m⃗Bloop(z = ℓ) .\nThe second term can be neglected, and we get\nδEpot = −IANδz\nℓ\nµ0E\n2Rr ,\n\nEuPhO-2020 Online\nTheoretical Solutions. Language: English\nwhich gives the same answer for F1 as the other ideas.\nGrading scheme: T1 part a., Solution V.\nEquating force to energy change in\nsystem\n0.5 p\nFormulating\nenergy\nequation\n(if\nsources are missing 0.2 p)\n0.5 p\nexpressing δEfield through contribu-\ntions from currents and an interac-\ntion term\n1.0 p\nderiving that δEsources = −2δEfield\n1.0 p\ncomputing the change in field energy\nand final result for force.\n1.5 p\ncorrect direction for⃗F1 0.5 p, and⃗F2\nantiparallel to⃗F1 0.5 p\n1.0 p\nTotal for part a.:\n5.5 p\nPart b. In order to plot a graph displaying the im-\nportant features, it is beneficial to make some calcula-\ntions. The problem text does not specify the zero point\nof time, so take t = 0 in the moment when the center of\nthe solenoid is located at point O. This means that at time\nt the head O1 of the solenoid is located at z1 = ℓ/2 + vt,\nwhile the tail O2 is located at z2 = −ℓ/2 + vt.\nThe current flowing in the loop at an arbitrary mo-\nment of time is given by\nJ(t) = E + Vind(t)\nR\n,\nwhere Vind(t) is the induced electromotive force in the\nloop as a function of time. Two different approaches can\nbe found below which give an analytical formula for this\ninduced e.m.f.\nSolution I. We may again approximate the magnetic\nfield outside the solenoid by a field created by two mag-\nnetic poles at z1 and z2, respectively. The resulting mag-\nnetic flux through the loop can be calculated by consid-\nering the solid angle the loop extends as seen from either\nof the poles. Using the total magnetic flux of the poles as\ncalculated in Solution I for part a. we get\nΦloop = µ0NIA\n2 ℓ\n(\nz1\np\nz2\n1 + r2 + 1 −\nz2\np\nz2\n2 + r2 −1\n)\n.\nUsing this result and ˙z1 = ˙z2 = v the induced e.m.f. can be\ncalculated with Faraday’s law Vind = −dΦloop/dt , which\ngives\nVind = −v µ0NIA\n2 ℓ\n\u001a\nr2\n(z2\n1 + r2)3/2 −\nr2\n(z2\n2 + r2)3/2\n\u001b\n.\nSolution II. The rate of change of flux produced by\nthe solenoid through the loop can be expressed in terms\nof the mutual inductance L12 of the solenoid with respect\nto the loop:\ndΦ12\ndt\n= d\ndt(L12I) = I dL12\ndt\n.\nUsing the symmetry property of mutual inductance\n(L12 = L21), instead of calculating ˙L12 let us find the\ntime derivative of L21, i.e. the mutual inductance of the\nloop with respect to the solenoid. For this, imagine that\nthe current in the loop is constant J0, and calculate the\nchange of flux produced by the loop through the solenoid\nduring a short amount of time dt! The small displace-\nment vdt of the solenoid can be considered as moving a\nshort segment of length vdt from the tail to the head. The\nchange in flux in this segment is given by\ndΦ21 = dL21J0 = vdtNA\nℓ\n\u0000Bloop(z1) −Bloop(z2)\n\u0001\n.\nUsing the formula for Bloop(z) obtained from Biot–\nSavart-law (see Solution IV for part a.) we get\ndL21\ndt\n= v NA\nℓ\nµ0\n2\n\u0014\nr2\n(z2\n1 + r2)3/2 −\nr2\n(z2\n2 + r2)3/2\n\u0015\n.\nFrom this the induced e.m.f. Vind = I ˙L12 = I ˙L21 can be\nexpressed:\nVind(t) = −dΦ21\ndt\n= −v µ0NIA\n2ℓ\n\u0014\nr2\n(z2\n1 + r2)3/2 −\nr2\n(z2\n2 + r2)3/2\n\u0015\nAlthough the analytical result gives the correct ex-\npression for the current flowing in the loop, the task in\npart b. was to plot the graph.\nThe graph should reflect the most important features\nof the function.\nFirst, Vind(t) is an odd function, i.e.\nVind(−t) = −Vind(t). For t < 0 the flux through the loop\nincreases meaning that Vind < 0 and J < E/R, while\nfor t > 0 the flux decreases, which results Vind > 0 and\nJ > E/R.\nIn different ranges of time, Vind(t) behaves very dif-\nferently.\nFor times t ≪−ℓ/(2v) and t ≫ℓ/(2v) the\nsolenoid is very far (approximately at distance vt) from\nthe current loop, and its field can be approximated by\ndipole field (proportional to v−3t−3). The time derivative\nof the field is proportional to the induced e.m.f. in the\nloop, so in this time range Vind(t) ∝t−4, and has very\nsmall value. The same result can be concluded from the\nTaylor expansion of the complete analytical formula for\nVind.\nWhen t ≈±ℓ/(2v) (with the accuracy of r/v) the effect\nof one pole of the solenoid can be neglected. The abso-\nlute value of the induced e.m.f. is maximal here:\n|Vind| = v µ0NIA\n2ℓr\n,\nso the maximal and minimal value of the current are\nJmin = E\nR −v µ0NIA\n2Rrℓ\n,\nJmax = E\nR + v µ0NIA\n2Rrℓ\n.\nAround the maximum Vind is a quadratic function of\ntime, as it can be proved with expanding the complete\nanalytical formula.\nWhen the centre of the solenoid is close to the cen-\ntre of the loop, i.e. |t| ≪ℓ/(2v), the flux barely changes,\nso Vind ≈0. A more careful analysis gives a very weak\nlinear dependence on time.\nThe statements above are summarized in the table\nbelow.\n\nEuPhO-2020 Online\nTheoretical Solutions. Language: English\ntime range\nVind(t)\nJ(t)\nt ≪−ℓ/(2v)\nsmall, ∝−1/t4\n≈E/R\nt ≈−ℓ/(2v)\nlarge, ∝−\n\u0000t +\nℓ\n2v\n\u00012\nJmin, dip\n|t| ≪ℓ/(2v)\nnegligible (∝t)\n≈E/R\nt ≈ℓ/(2v)\nlarge, ∝\n\u0000t −\nℓ\n2v\n\u00012\nJmax, peak\nt ≫ℓ/(2v)\nsmall, ∝1/t4\n≈E/R\n−ℓ\n2v\n0\nℓ\n2v\nE\nR −vµ0NIA\n2Rrℓ\nE\nR\nE\nR + vµ0NIA\n2Rrℓ\nℓ\nv\nr\nv\nt / a.u.\nJ / a.u.\nFigure 1: Qualitative graph of J as a function of time for\nℓ= 5r.\nGrading scheme: T1 part b.\nrelating J(t) to Vind or other suitable\nquantity (independent of result in a.)\n0.5 p\nthe J(t) graph is smooth everywhere\n(if graph does not capture whole do-\nmain including asymptotics, 0 p.)\n0.5 p\nJ(t) ≈E/R, except if t ≈±ℓ/(2v) (if\nJ(t) ≈E/R only asymptotically, 0.2\np)\n0.5 p\nJ(t) −E/R is clearly an odd function\n(computing analytical expression for\nJ and graph showing odd behavior is\nconsidered sufficient, if reasoning is\nmissing, 0.2 p)\n0.5 p\nJ(t) has a minimum first, then a max-\nimum ℓ/v time later (if reversed or\nthe time is incorrect, 0 p)\n1.0 p\nanalytical formula for Jmin and Jmax\n(either approximate or exact), if an-\nalytical expression is given but min-\nmax values are not determined 0.5\np are given for deriving the formula\nand realizing that min-max exist.\n1.0 p\nit is indicated that the duration of the\npeak and dip is in the range of r/v\n0.5 p\nif J(z) instead of J(t) is plotted or la-\nbels are missing on the axes 0.5 p are\ndeducted from part b. but only if 0.5\nor more marks are given to the ac-\ntual graph at all\n(-0.5 p)\nTotal for part b.:\n4.5 p\nIf no graph is drawn: max. 0.5 p for relating J(t) to Vind\nand 1.0 p for Jmin and Jmax (for a general formula with-\nout evaluation of min and max: 0.5 p) are given.\nIf B-field of the solenoid is assumed constant across loop\nor area for flux is taken to be A, 0 p are awarded for min\nand max.\nAdditional general guidelines for grading T1:\n• Grading should always follow one of the solutions de-\nscribed. If approaches for solutions are mixed the one\nresulting in the highest marks is considered.\n• Granularity for marks is 0.1 p.\n• A simple numerical error resulting from a typo is pun-\nished by 0.1 p unless the grading scheme explicitly says\notherwise.\n• Errors which cause dimensionally wrong results are\npunished by at least 50 % of the marks if dimensions\ncan easily be checked. In more complicated cases less\nmarks may be deducted.\n• Propagating errors are not punished repeatedly un-\nless they either lead to considerable simplifications or\nwrong results whose validity can easily be checked.\n• No marks are given for the directions of the forces in\na. if forces are physically incorrect (e.g. resulting force\nis calculated to zero) or if no forces are calculated.\n• If current I in solenoid is used as current in loop in-\nstead of E/R or vice versa in the calculation of the force\n0.5 p are substracted.\n• If only z-component of B-field (either from solenoid or\nloop) is determined and the force on the solenoid is de-\nrived from this using Lorentz-forces, marks are only\ngiven for ideas (max. 1.0 p.) and the use of the Biot–\nSavart law (max. 1.0 p)\nT2: Mechanical accelerator\nφ\nRelative to Earth\nlP\nP\nR\nr\nP\n\u0001v\nRotating system of reference\nQ\nFigure 2: Mechanical accelerator\nSolution I. Part 1: Thread in contact with the cylinder.\nThe velocity of the mass P can be decomposed into longi-\ntudinal component vl along the thread, and a transverse\ncomponent v⊥perpendicular to the thread:⃗\nv = vl⃗e1 + v⊥⃗e2\nwhere the unit vectors⃗e1 and⃗e2 are parallel and per-\npendicular to the thread, respectively (see Fig. 2). Since\nthe thread is inextensible, the longitudinal component is\nconstant: vl = −u, i.e.⃗\nv = −u⃗e1 + v⊥⃗e2\nThe acceleration of P is, respectively:⃗\na = d⃗v\ndt = −ud⃗e1\ndt + v⊥\nd⃗e2\ndt + dv⊥\ndt⃗e2\n\nEuPhO-2020 Online\nTheoretical Solutions. Language: English\nVectors⃗e1 and⃗e2 form a coordinate system, which ro-\ntates as a rigid object with an angular velocity:⃗\nω = dϕ\ndt⃗e3\nwhere⃗e3 =⃗e1 ×⃗e2 is a unit vector perpendicular to the\nplane of motion, i.e. along the cylinder axis, and ϕ is the\nangle between the thread and the X-axis. Therefore, the\ntime derivatives of the basis vectors are:\nd⃗e1\ndt =⃗ω ×⃗e1 = dϕ\ndt⃗e2\nand\nd⃗e2\ndt =⃗ω ×⃗e2 = −dϕ\ndt⃗e1\nIn this way, the acceleration of P can be represented in\nterms of the angular velocity:⃗\na = −v⊥\ndϕ\ndt⃗e1 +\n\u0012\n−udϕ\ndt + dv⊥\ndt\n\u0013⃗\ne2\nThe only force, acting on P, is the tension of the thread.\nTherefore, the component of the acceleration perpendic-\nular to the tread, i.e. along⃗e2, is null:\n−udϕ\ndt + dv⊥\ndt = 0\nAfter integration over time, we obtain a relationship be-\ntween the transverse velocity, acquired by P, and the an-\ngle of rotation of the thread:\nv⊥= uϕ\nThe end of the tread turns at a total angle of 2πN until\nthe tread detaches from the cylinder completely. There-\nfore, the transverse component of the velocity of P at the\nmoment of detachment is:\nv⊥= 2πNu\nand the magnitude of velocity:\nv =\nq\nv2\nl + v2\n⊥= u\np\n(2πN)2 + 1\nPart 2: Thread detached fom the cylinder.\nThis ex-\npression, however, still does not represent the maxi-\nmum velocity attained by P. In the frame of reference\nof the free end of the thread, the mass continues to ro-\ntate about the end of the thread. The velocity of P, rel-\native to Earth, reaches maximum in the moment when\nthe thread reaches right angle with X-axis, i.e. the trans-\nverse component of velocity of P aligns with⃗u:\nvmax = u(2πN + 1)\nSolution II. Part 1: Thread in contact with the cylin-\nder.\nConsider a point Q on the end of the thread be-\ning pulled that coincided with P at the moment when\nit touched the cylinder. Consider motion of the thread\nin a system of reference (SR), which rotates at angular\nspeed ω = u/R around the center of the cylinder. In that\nSR the part of the thread in contact with the cylinder is\nat rest and the point Q rotates around the cylinder with\nthe angular velocity ωQ = −ω (see the figure).\nSince the middle part of the thread is at rest, energy\nof the mass P is conserved. For the same reason, the ve-\nlocity vP of P is perpendicular to the thread. Therefore\nthe kinetic energy acquired by the mass in the rotating\nframe is equal to the decrease of its centrifugal potential\nenergy:\n1\n2mv2\nP = −1\n2mω2R2 + 1\n2mω2r2 = 1\n2mω2l2\nP\nwhere lP is the length of the unwound part of the thread\non the side of the mass P (see the figure). Therefore,\nthe mass P rotates around the fixture point of the thread\nwith a velocity:\nvP = u\nRlP\nand a constant angular velocity:\nωP = u\nR = ω.\nSince ωP = −ωQ, in the rotating SR the two ends of the\nthread will unwind symmetrically and the lengths of the\ntwo straight parts of the string will be equal at any mo-\nment of time. Therefore, at the moment of detachment:\nlP = 1\n2(2πRN) = πNR\nand the detachment velocity of P is, respectively:\nvP = πNu\nWhen transforming the velocity of P to the Earth’s SR,\nthe velocity⃗vP should be added to the rotational veloc-\nity⃗ω ×⃗r. It is easy to establish that the result for the\ntransverse component of P is:\nv⊥= 2vP = 2πNu\nPart 2: Thread detached from the cylinder. In that part\nwe proceed exactly as in Part 2 of the first solution.\nSolution III. Part 1: The thread in contact with the\ncylinder\nLike in Solution I we decompose the velocity into lon-\ngitudinal and transverse components, and come to the\nconclusion that the longitudinal component is vl\n=\n−u. Afterwards, the acceleration of P is expressed. In\nthis case, however, we consider the longitudinal (cen-\ntripetal) component of the acceleration:\nal = −v2\n⊥/l ≡−v⊥\ndϕ\ndt\nFrom the second Newton’s law we obtain the tension F\nof the thread:\nF = −mv⊥\ndϕ\ndt\nThe rate of change of the kinetic energy of the mass is\nequal to the power of the tension force:\ndEk\ndt\n= Fvl = +mv⊥\ndϕ\ndt u\nTaking into account that:\nEk = 1\n2m(u2 + v2\n⊥)\n\nEuPhO-2020 Online\nTheoretical Solutions. Language: English\nand taking the first derivative from that expression, we\nobtain: mv⊥dv⊥/dt = mv⊥dϕ/dtu, or:\ndv⊥\ndt = udϕ\ndt\nFrom that point on we proceed exactly as in the first so-\nlution.\nGrading scheme: T2 part 1, Solution I⃗\nv is decomposed into vl and v⊥\n1.0 p\nBy condition of inextensibility vl = −u\n1.0 p\nComponents of acceleration in terms of\ndϕ/dt\n2.0 p\nThe tension force is along the thread and\na⊥= 0\n1.0 p\nFinding dv⊥/dt = u · dϕ/dt\n1.0 p\nAt the moment of detachment v⊥= 2πNu\n1.0 p\nFinal v = u\np\n1 + (2πN)2\n1.0 p\nTotal for part 1:\n8.0 p\nGrading scheme: T2 part 1, Solution II\nIntroduction of rotational SR with angular\nvelocity ω = u/R\n0.5 p\nStates that the wound string is at rest\n0.5 p\nShowing that the energy of P is conserved\n1.0 p\nShowing that the centrifugal force has po-\ntential energy EP = −mω2r2/2\n1.0 p\nConservation of energy equation\n1.0 p\nProving that lP = lQ\n0.5 p\nFinding length lP = πNR at the moment of\nrelease\n0.5 p\nFinding vP = πNu at the moment of re-\nlease\n1.0 p\nRotational velocity of the non-inertial SR\nin point P⃗vrot =⃗ω ×⃗r\n0.5 p\nFinding vrot⊥= πNu\n0.5 p\nFinal velocity relative to Earth v⊥= 2πNu\n1 p\nTotal for part 1:\n8.0 p\nGrading scheme: T2 part 1, Solution III⃗\nv is decomposed into vl and v⊥\n1.0 p\nBy condition of inextensibility vl = −u\n1.0 p\nDeriving v⊥= ldϕ/dt\n0.5 p\nFinding longitudinal acceleration al\n=\nv2\n⊥/l\n0.5 p\nUsing Newton’s second law F = mal\n0.5 p\nWriting the kinetic energy Ek = m(u2 +\nv2\n⊥)/2\n0.5 p\nUsing the work-energy theorem dEk/dt =\nFu\n1.0 p\nDeriving dv⊥/dt = udϕ/dt\n1.0 p\nAt the moment of detachment v⊥= 2πNu\n1.0 p\nFinal v = u\np\n1 + (2πN)2\n1.0 p\nTotal for part 1:\n8.0 p\nGrading scheme: T2 part 2, both solutions\nPosition in which maximum speed is\nachieved\n1.0 p\nValue of vmax\n1.0 p\nTotal for part 2\n2.0 p\nT3: Cat eyes\nWhen you look at the photo of the lens and/or the graph\nprovided, four regions with different brightness levels\ncan be distinguished. The brightest region represents\nthe magnified image of the blur spot created by the lamp\nthrough the lens. The blur spot is created because the\ndistance from the lens to the white sheet beneath it is\nslightly larger than the focal distance; as we can see from\nthe graph, the blur spot is of almost constant brightness\n(a flat plateau at log10 I = 4.4), so we can say that the\nentire luminous flux falling from the lamp onto the lens\nis distributed evenly over the blur spot. Note that the\nblur spot has no sharp edges, though, as you would ex-\npect from in such case. This is because the image of this\nbright disc is situated between the lens and the camera,\nand is at a fairly big distance away from the plane which\nis sharp at the image sensor (as seen from the photo,\nthe camera is focused onto the lens). Because of that,\nthe enlarged image of the blur spot has blurred edges in\nthe photo (at the blurred edges, log10 I varies from 3.4 to\n4.4). The second-brightest region (with log10 I = 3.4) rep-\nresents the scattered light from the brightest region: in\nthat region, we are still looking through the lens, and see\nthe area next to the bright blur spot on the sheet. Ideally,\nits should be darker than the sheet seen in those places\nwhere it is not obstructed by the lens, because the lens\nis shading the light from the lamp. However, the glass\nelements of this big lens are non-ideal (and there are\nmany glass elements inside the lens!), so the light from\nthe lamp and the bright blur spot is scattered towards\nthe camera giving rise to an increased apparent bright-\nness. In the area where we see the blur spot, this light is\ninsignificant (much weaker than the light from the blur\nspot), but not so in this dark area: here, the scattered-\nfrom-the-glass-surfaces dominates heavily over the light\ncoming from the paper sheet. As a matter of fact, this\nfact could be used to improve the accuracy of the calcu-\nlations: we could subtract the contribution of the scat-\ntered light (103.4) from the total intensity of the light at\nthe brightest spot (104.4) to obtain the contribution com-\ning from the blur spot on the sheet. The darkest regions\n(with log10 I < 1.75) represent the interior black paint-\ning of the lens seen through the big front glass element\nof the lens, which absorbs most of the incident light, and\nthe region with x > 420 and log10 I = 1.95 represents the\nwhite sheet illuminated by the lamp. The ratio between\nthe measured light intensity of the brightest region and\nthat of the region with x > 420 can be utilized to find the\ndistance of the sheet (the blur spot) from the lens to the\npaper sheet d0, see below.\nFrom the data given in the problem text we know that\nL ≫f; from the photo of the lens, it is also clear that d0\nis of the same order of magnitude as f. Because of that,\nthe illuminance E (luminous flux per unit area) near the\nlens can be assumed to be the same as at the paper sheet,\nThe luminous flux per solid angle and unit area of a light-\nscattering (or radiating) surface is called the luminance\nL ; since all these directions under which the scattered\nlight enters the lens aperture are close to the surface nor-\nmal, we may assume the luminance of the paper sheet\nto be constant over all these directions. With the small\n\nEuPhO-2020 Online\nTheoretical Solutions. Language: English\nangle approximation, the light intensity I (illuminance,\nluminous flux Φ per unit area) at the camera sensor is\nproportional to L (see Explanation 1).\nThe luminance of the blur spot on the sheet LBS is 1/k\nlarger than the luminance Ls of the paper sheet, where\nk equals the ratio between the area of the bright dot (the\nblur spot) on the paper sheet and the area of the lens, be-\ncause all the light received by the lens is “compressed”\ninto the tiny blur spot.\nSmall angle approximation is also used to show that\nluminance of the image of the blur spot LI equals to\nthe luminance of the blur spot LBS (see Explanation\n2). Therefore, the light intensity at the sensor cells corre-\nsponding to the brightest area (where we see the image\nof the blur spot) II = Is/k, where Is stands for the in-\ntensity at the cells corresponding to unobscured paper\nsheet. So, from the graph, we can deduce the value of\nk, and knowing k we can calculate d0. Let the distance\nalong the axis between the image of the bright region\nthrough the lens and the lens itself be denoted as dS; ac-\ncording to the Newton’s lens formula, (dS −f)(d0 −f) =\nf 2. Hence,\ndS = f +\nf 2\nd0 −f =\nd0f\n(d0 −f)\ncan be also determined.\nHypothesize that d0 −f ≪f. Let us calculate the di-\nameter of the image of the blur spot\nDI = DBSdS\nd0\n= DBSf\nd0 −f ,\nwhere the diameter of the blur spot on the sheet\nDBS = D(d0 −f −s)\nf + s\n≈D(d0 −f −s)\nf\n,\nand s denotes the distance of the image of the point\nsource from the focal plane. Using Newton’s lens for-\nmula, s = f 2/(L −f −d0) ≈f 2/L, This leads us to\nDBS ≈D\n\u0012d0 −f\nf\n−f\nL\n\u0013\nand therefore\nDI ≈D\n\u0014\n1 −\nf 2\nL(d0 −f)\n\u0015\n.\nKeeping in mind that d0 −f = d0f\ndS ≈f 2\ndS , we obtain\nDI ≈D\n\u0012\n1 −dS\nL\n\u0013\n= D(L −dS)\nL\n.\nThis means that as seen from the position of the cam-\nera, the angular size of the image of the blur spot θBS =\nDI/(L −dS) equals to the angular size of the lens aper-\nture θL = D/L. This fact is easily confirmed from the\nphoto and is an important observation for two reasons.\nFirst, it means that based on the angular diameter of the\nimage of the blur spot on the photo, it is impossible to\nfigure out the distance d0 (and hence, dS). Second, it al-\nlows us to measure instead of the angular distance θ be-\ntween the centre of the lens and the centre of the image\nof the blur spot (as seen from the position of the camer-\naline), the respective distance between the edges of the\nrespective circles. Equality of these two angular sizes is\nalso easily seen from the geometric construction, see the\nfigure. Ineed, consider blue lines SAG and SBF which\narrive from the lamp S to the edges of the blur spot. Im-\nage of point F, denoted by J, is now easily found as the\nintersection point of the ray SBF with the ray FO (pass-\ning through the centre of the lens); image H of the other\nedge of the blur spot is found in the same way. From\nthis construction, it becomes clear that the angular size\nof the image of the blur spot and the lens, as seen from\nthe camera, are exactly equal, without any approxima-\ntion. Due to the smallness of the distance h, these angu-\nlar sizes remain almost constant when the observation\npoint is moved from S to C.\nGiven the images are approximately circular, the\narea ratio k equals (DBS/D)2, or\n±\n√\nk = 1\nf\n\u0012\nd0 −\nLf\nL −f\n\u0013\n= d0\nf −\nL\nL −f .\nIn the above equation, the ± sign represents the two\ncases where the paper sheet is behind or in front of the\nimage of the lamp. From the graph, the ratio between\nthe intensity of the brightest region and the dark region\nwith x > 420 is 104.4−1.95 ≈282, which equals 1/k. Then,\nd0/f can be found to be ±\n√\nk + 1 + f/L, which gives two\nsolutions d0/f ≈1.07 and d0/f ≈0.95.\nAccording to\nthe experimental settings given in the problem text, d0\nis greater than f, and thus we obtain d0/f ≈1.07 and\ndS ≈15.03f ≈83 cm. This also verifies the hypothesis\nthat d0 −f ≪f.\nThe centre of the image of the blur spot is positioned\nat the height h′ = h dS\nL above the direction to the centre\nof the lens (this expression from similarity of the trian-\ngles OQP and OCS) which means that θ = h′/(L −dS);\nmeanwhile, the angular diameter of the lens θL = D/L.\nTherefore,\nθ\nθL\n=\nhdS\nD(L −dS).\nThe ratio of the angular distances is easily measured\nfrom the figure as the ratio of the width dcr of the\ncrescent-shaped second-brightest region to the diameter\nof the lense’s aperture D′:\nh = dcr\nD′\nD(L −dS)\ndS\n.\nBased on the graph, dcr ≈90 pixels (midpoint of the\nblurry edge is around x ≈120 px, and the left edge of\nthe aperture (in the graph) is at x ≈30 px; the right edge\nof the lens aperture is at x ≈240 px corresponding to\nD′ = 210 px and yielding h ≈80 mm.\nRemark 1. In order to obtain the final answer with a\nreasonably good accuracy, it is not strictly speaking nec-\nessary to show that the apparent angular diameters of\nthe lens and of the image of the blur spot are equal. All\nthe other calculations remain the same, just one needs\nto match a circle with the circular segment of the visi-\nble edge of the blur spot, and measure directly h′, the\ndistance between the centre of the lens and the centre\nof the blur spot, together with the diameter of the lens\naperture D′ (see the small figure).\nRemark 2. The width of the crescent-shaped second-\nbrightest area can be also measured from the photo of\n\nEuPhO-2020 Online\nTheoretical Solutions. Language: English\nthe lens with the required accuracy; however, measur-\ning in pixels from the graph is more accurate.\nExplanation 1: Consider a small light source of lu-\nminance L and surface area S at a large distance ↕from\nthe camera. The illuminance (the luminous flux per unit\narea) at the position of the camera is proportional to ↕−2\nand so is the total luminous flux received by the whole\nsensor. Meanwhile, all this light energy is focused onto a\nsmall area S′ on the sensor — onto the image of the light\nsource, and this area is also proportional to ↕−2. There-\nfore, the illuminance I at the position of those sensor pix-\nels which are covered by the image is independent of the\ndistance ↕.\nExplanation 2: Consider a very narrow cone of light\nof solid angle ω, starting from a very small area S at\nthe blur spot in a direction close to the surface normal,\nand carrying a total luminous flux Φ. Since the cone is\nnarrow, this light beam is entirely caught by the lens at\ndistance d0, and focused onto the image of surface area\nS′ = S(dS/d0)2 at distance dS from the lens. The light rays\nof this beam traverse the focus and form another light\ncone of solid angle ω′ departing from the image. It is easy\nto see from similar triangles that ω/ω′ = (dS/d0)2. Then,\nthe luminance of the image LI = Φ/(S′ω′) = Φ/(Sω), i.e.\nequal to the luminance of the blur spot.\nh’\nD’\nO\nsheet\nblur spot\nfocal plane\nd0\nf\nL-d0\ndS\nS\nC\nA\nB\nQ\nimage of the\n    blur spot\nto the centre of the lens\nto the centre of the bright spot\nP\nL\nF\nG\nH\nJ\nh’\nRemark 3: After having derived Explanation 1 and\nExplanation 2 and calculated d0, the geometrical optics\naspect can also be tackled by considering the image of\nthe camera through the lens. The region bounded by the\ndarkest ring in the image represents the area on the pa-\nper sheet that is observable by the camera through the\nlens. This area can be approximated by a circular spot\nwith diameter d (represented by D′ in the graph) depend-\ning negligibly on the size of the lens of the camera. Given\nsmall angles and that the lamp and the camera have\nequal distances to the lens, the bright spot on the paper\nsheet also has a diameter of d, which means d = D\n√\nk.\nThe angular distance between the lamp and the cam-\nera as seen from the center of the lens is h/(L −d0), and\ntherefore, the distances between the two spots’ centers,\nand also thus their boundaries (represented by dcr in the\ngraph), on the paper sheet are d0h/(L −d0). We then ob-\ntain an equivalent equation to that above:\nd0h/(L −d0)\nD\n√\nk\n= dcr\nD′ ⇔h = dcr\nD′ D\n√\nk L −d0\nd0\n≈80 mm.\nIt should be noted that, compared to the original anal-\nysis, the deviation in this calculation caused by f/L (in\nfinding d0 and dS) on the final result reduces drastically\n(from approximately 20% down to approximately 1%).\nEven if d0 ≈f is assumed, the result is only deviated by\napproximately 7%.\n\nEuPhO-2020 Online\nTheoretical Solutions. Language: English\nGrading scheme: T3\nUnderstanding that the brightest spot is the magnified image of the blur spot through the lens (by\nexplicitly stated or shown in a diagram or implicitly assumed in a correct full solution). Otherwise,\na partial score of 1.0 p is given for understanding that the brightest spot is caused by light scattered\nfrom the blur spot. A partial score of 2.0 p is given for understanding that the brightest spot is\ncaused by light scattered from the blur spot and that the light passes once more through the lens\nbefore reaching the camera.\n2.5 p\nUnderstanding that the region on the graph with x > 420 represents the unobscured paper sheet (0.2\np). Finding the ratio 1/k of the intensities at the brightest area and at the unobscured paper sheet\n(or its reciprocal or its logarithm) from the graph (0.8 p). Subtract 0.2 p if the mistake in taking the\nreading for log10(I1/I2) is more than 0.05 but less than 0.1 and subtract 0.4 p if the mistake is bigger\nthan 0.1.\n1.0 p\nExpressing k correctly in terms of the ratio of the distances (either d0/f or dS/f or anything equiva-\nlent). Partial score of 2 p if initial expressions are correct, but final expression of a ratio of distances\nis not obtained. These 2 p are distributed in this way: 0.5 p for showing that I1/I2 equals the ratio\nof the luminances of the paper sheet and the image of the blur spot, 0.5 p for showing that the lumi-\nnance of the image of the blur spot equals the luminance of the blur spot itself; 0.4 p, 0.3 p, and 0.3\np for the thin lens equation, the expression of k in terms of the diameters and the expression of the\ndiameters in terms of the relevant distances, respectively. Subtract 0.5 p if the original direction is\nused and f/L is neglected as compared to\n√\nk (either in the initial set-up or during simplifications).\n2.5 p\nRelating correctly ratio of distances measurable either on the graph or on the photo to h. Partial\nscore of 1.5 p if initial expressions are correct, but the final expression for a ratio of distances is not\nobtained or is incorrect. These points are distributed as follows: 0.3 p for the thin lens equation\nfor the image of the blur spot (or for the image of the camera if alternative approach is used); 0.4\np for showing that θBS = θL; 0.4 p for a single relevant equation that relates h to other distances;\n0.4 p for a single relevant equation that relates a ratio of measurable distances to other distances in\nthe system. Partial score of 1.0 p if initial expressions are not correct, but a diagram is drawn which\nshows the measurable-from-the-figures distances, together with other related distances, in a correct\nway.\n2.0 p\nMeasuring these distances with a reasonable accuracy (only if the previous subscore is not 0). Partial\nscore of 0.5 p if a relative mistake made in the range of 20% to 30%, and 0.8 p if in the range of 10%\nto 20%\n1.0 p\nObtaining final answer with a reasonable accuracy. Partial score of 0.5 p if final formula is derived\nbut not calculated numerically. Subtract 0.5 p if calculation mistake is made and subtract 0.2 p for\nrounding the result more than by 10%\n1.0 p\n","shared":true,"sourcePages":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10],"initialPage":1}},{"id":"eupho-2020-t2","importedOn":"2026-10-28","language":"en","sources":[{"url":"https://eupho.ee/wp-content/uploads/2020/07/EuPhO_2020_Theory.pdf","kind":"statement"},{"url":"https://eupho.ee/wp-content/uploads/2020/07/EuPhO20_Theory_Solutions-7.pdf","kind":"solution"}],"statement":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/eupho-2020-statement/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/eupho-2020-statement/page-1.webp","width":982,"height":1389}],"text":"EuPhO-2020 Online\nTheoretical Problems. Language: English\nT1: Solenoid and loop\nA closed circular loop of radius r consists of an ideal bat-\ntery of electromotive force E and a wire of resistance\nR. A long thin air-core solenoid is aligned with the axis\nof the loop (z-axis). Its length is ℓ≫r, cross-sectional\narea is A (\n√\nA ≪r), and the number of turns is N. The\nsolenoid is powered by a constant current I provided by\nan ideal current source. The directions of the currents\nin the solenoid and in the loop are the same (clockwise\nin the figure).\na. Find the force F1 acting on the solenoid when its\nhead O1 is positioned in the loop centre O. What is\nthe force F2 acting on the solenoid when its tail O2 is\nlocated in the centre of the loop?\nb. Suppose now, that the solenoid is moving slowly\nwith a constant velocity v along z-axis starting far\naway from the loop, going past its centre, and pro-\nceeding further to the right in positive z-direction.\nPlot the current J flowing in the loop as a function\nof time. Highlight important features and values on\nthe graph. The velocity v is so small that self induc-\ntance of the loop can be neglected.\nT2: Mechanical accelerator\nA massless thread makes N turns around statically fixed\ncylinder, as shown in the figure. Initially, the free (un-\nwound) ends of the thread are parallel to the axis X.\nThen, a heavy point-like object P is attached to one end\nof the thread while the other end is pulled with a con-\nstant velocity u along X. Find the maximum velocity at-\ntained by the heavy object.\nThe thread is inextendable and flexible. Suppose that\nthe turns of the thread are wound tightly to one another\nand are placed practically in the same plane, perpendic-\nular to the cylinder axis. Neglect any friction in the sys-\ntem. Do not consider the force of gravity.\nT3: Cat eyes\nYou may have noticed that in darkness, when a cat is\nwithin the light beam of a headlamp, its eyes appear very\nbright, see the photo below (left). This phenomenon can\nbe modelled by a lens setup, see the photo on right, and\nthe diagram beneath the photos.\nx\nsheet of paper\nlamp\nL\nh\nlens\nfocal\nplane\ncamera\nThe photo on right was taken by a digital single-lens\nreflex camera. The light intensity at the camera sensor\npixels marked by a red line (in the photo) is shown in the\ngraph below: the log base 10 of the light intensity (mea-\nsured as the number of photons caught by each pixel)\nis plotted against the x-coordinate, with the pixels’ side\nlength serving as the unit length.\n1.5\n2\n2.5\n3\n3.5\n4\n4.5\n0\n100\n200\n300\n400\n500\nx\nlog10I\nThe lens modelling cat eyes can be treated as an ideal\nthin lens of focal length f = 55 mm and diameter D =\n39 mm; however, you should keep in mind that the given\ngraph shows real measurement data, and the lens has\ncertain non-ideal features. Most importantly, partial re-\nflections of brightly lit areas from the lens surfaces may\ndecrease the contrast: dark areas seen through the lens\nappear less dark than they actually are; this effect can\nbe neglected for the camera lens, but not so for the lens\nserving as a model of a cat’s eye.\nBased on the given data, estimate (with the accuracy\nof ca 20%) the distance h between the axis of the cam-\nera and the axis of the lamp (which can be considered\nas a point source) if the distance of the camera from the\npaper sheet was L = 4.8 m.\n","shared":true,"sourcePages":[1],"initialPage":1},"solution":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/eupho-2020-solution/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/eupho-2020-solution/page-1.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2020-solution/page-2.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2020-solution/page-3.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2020-solution/page-4.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2020-solution/page-5.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2020-solution/page-6.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2020-solution/page-7.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2020-solution/page-8.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2020-solution/page-9.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2020-solution/page-10.webp","width":982,"height":1389}],"text":"EuPhO-2020 Online\nTheoretical Solutions. Language: English\nT1: Solenoid and loop\nPart a. Solution I. According to Newton’s third law, the\nforce acting on the solenoid is equal in magnitude, but\nopposite in direction to the force acting on the loop. The\nlatter can be obtained from Lorentz’s law by summation\nof infinitesimal forces⃗F = J∆⃗l ×⃗B acting on the indi-\nvidual loop elements ∆⃗l, where J = E/R is the current\nin the loop.\nSince the solenoid is long and thin, the magnetic field\nlines inside it are directed in +z direction, and escape\nonly from the immediate vicinity of its ends. The mag-\nnetic field outside the solenoid is vortex-free and source-\nfree. The same requirements are satisfied by the electric\nfield in empty space. Hence, the magnetic field outside\nthe solenoid can be well approximated by a field created\nby two magnetic poles: a North pole residing close to\npoint O1 and a South pole located near to O2. The flux\nΦ emerging from the North pole (and the flux entering\nthe South pole) is the same as the flux passing through\nthe solenoid’s cross-section:\nΦ = BinA = µ0\nNI\nℓA .\nWhen the endpoint O1 of the solenoid is placed in the\nloop centre O, the magnetic field of the other end (O2)\nnear the loop is negligible. The field created by the North\npole located at O1 is pointing radially outwards, and its\nmagnitude at the loop circumference is (from spherical\nsymmetry):\nB(r) =\nΦ\n4πr2 = µ0\n4π\nNIA\nℓr2 .\nNote. it is also correct to assume that the flux from the B-field\n(which carries a factor of 1/2 compared to the field above at the\nend of the solenoid is uniformly distributed over hemisphere.\nThe forces acting on all elements of the loop (and also\nthe net force) point in the −z direction, which can be\nexpected also from the same current directions (i.e. the\nloop and the solenoid attract each other). Hence, the re-\naction force acting on the solenoid points in the +z di-\nrection, and its magnitude is given by:\nF1 = E\nR · 2πr · µ0\n4π\nNIA\nℓr2\n= µ0NIAE\n2ℓRr\n.\nWhen the endpoint O2 is located at the centre of the\nloop, the magnetic field produced by the South pole ex-\nerts a force on the loop. Since this field is directed radi-\nally inward, the force acting on the solenoid is the same\nin magnitude, but opposite in direction (−z) as the force\ncalculated above:⃗\nF2 = −⃗F1 .\nGrading scheme: T1 part a., Solution I.\nusing Newton’s third law\n0.5 p\nidea of approximating the outer field\nwith magnetic poles 0.5 p, and justi-\nfication 0.5 p\n1.0 p\ncalculating the flux Φ emerging from\nthe magnetic pole (for a wrong fac-\ntor, 0.3 p)\n1.0 p\nexpressing the field B(r) of the mag-\nnetic pole\n1.0 p\nfinding the magnitude of force acting\non the loop from Lorentz’s force law\n1.0 p\ncorrect direction for⃗F1 0.5 p, and⃗F2\nantiparallel to⃗F1 0.5 p\n1.0 p\nTotal for part a.:\n5.5 p\nSolution II. In this solution the force acting on the\nsolenoid is calculated, as the force acting on the mag-\nnetic pole placed at the centre of the current-carrying\nloop. For this we need to find an expression for the mag-\nnetic pole strength (or magnetic charge) Qm, which is de-\nfined as the ratio of the force and the magnetic field.\nThe total dipole moment m of the solenoid is the prod-\nuct of the number of turns and the dipole moment IA of\neach turn:\nm = NIA .\nThis can be also expressed with the magnetic pole\nstrength and the distance of the poles: m = Qmℓ. From\nthis we arrive to the expression\nQm = NIA\nℓ\n= Φ\nµ0\nwhere Φ is the total flux emerging from the pole (see so-\nlution I).\nNote. The same result can be obtained from the analogy\nbetween electrostatic and magnetostatic fields. The Coulomb\nforce between two point charges ±Q can be derived from the\nprinciple of virtual work. The force is the derivative of the in-\nteraction part of the field energy with respect to the distance\nbetween the charges. The force between two magnetic charges\n±Qm can be also calculated this way. From the expressions of\nelectric and magnetic energy densities we can conclude the for-\nmula of the magnetic interaction force:\nwE = 1\n2ε0E2\n←→\nwB =\n1\n2µ0 B2 ,\nFE =\n1\n4πε0\nQ2\nr2\n←→\nFB = µ0\n4π\nQ2\nm\nr2 .\nAs it can be seen, the well-known formulae known in electro-\nstatics can be also used in magnetostatics with the substitutions\nε−1\n0\n←→µ0, E ←→B, Q ←→Qm. Carrying on this analogy the\nmagnetic pole strength can be figured out:\nQ = ε0Ψ\n←→\nQm = Φ\nµ0 = N\nℓIA ,\nwhere Ψ and Φ are the electric and magnetic flux for a closed\nsurface containing the electric and magnetic charge, respec-\ntively.\nWhen endpoint O1 of the solenoid is located at point\nO, a North pole resides at the centre of the loop. Here\nthe magnetic field created by the loop can be expressed\nfrom Biot–Savart-law:\nB(at center)\nloop\n= µ0J\n2r = µ0E\n2Rr ,\n\nEuPhO-2020 Online\nTheoretical Solutions. Language: English\npointing in the +z direction. So the magnitude of the\nforce acting on this end of the solenoid is:\nF1 = QmB(at center)\nloop\n= µ0ENIA\n2ℓRr\n,\nand it is directed to +z. When the endpoint O2 is located\nat the center of the loop, the force acting on the South\npole should be calculated, resulting a force of same mag-\nnitude, but opposite direction.\nGrading scheme: T1 part a., Solution II.\nidea of approximating the outer field\nwith magnetic poles 0.5 p, and justi-\nfication 0.5 p\n1.0 p\ncalculating\nthe\nmagnetic\npole\nstrength\nQm\n(for\ndimensionally\nwrong answer 0 p)\n1.0 p\njustification for calculation\n1.0 p\ncalculating the field of the current\nloop at its centre from Biot–Savart-\nlaw\n0.5 p\nfinding the magnitude of force acting\non the magnetic pole\n1.0 p\ncorrect direction for⃗F1 0.5 p, and⃗F2\nantiparallel to⃗F1 0.5 p\n1.0 p\nTotal for part a.:\n5.5 p\nSolution III. Some of the magnetic field lines created\nby the loop enter into the near end O1 of the solenoid;\nthis entering flux is given by\nΦin = B(at center)\nloop\nA = µ0J\n2r A = µ0EA\n2Rr .\nSince the end O2 is far from the loop, the flux created by\nthe loop escaping there is negligibly small. This means\nthat almost all the flux Φin escapes from the solenoid\nthrough its side.\nDenote the radial component of the magnetic field\nvector produced by the current-carrying loop at the\nperimeter of the ith turn of the solenoid by Bi.\nOnly\nthis component contributes to the net force acting on the\nsolenoid, as the axial component produces a radial force\nwhich is cancelled due to rotational symmetry. The axial\nforce acting on the ith turn of the solenoid is given by\nF1,i = 2\n√\nAπIBi ,\nwhere 2\n√\nAπ is the circumference of one turn, and the\nforce points in the +z direction. Summing up both sides\ngives the net force:\nF1 =\nX\ni\nFi =\nX\ni\n2\n√\nAπIBi\nTake out the factor I from the summation and insert 1\nwritten in the unusual way (ℓ/N) · (N/ℓ):\nF1 = I N\nℓ\nX\ni\n2\n√\nAπ ℓ\nN Bi .\nThe sum on the right hand side is the flux escaping\nthrough the side of the solenoid, which equals Φin, so the\nforce:\nF1 = I N\nℓΦin = µ0EANI\n2Rrℓ\n,\nwhich agrees with the previous solutions.\nGrading scheme: T1 part a., Solution III.\nB-field at the center of loop\n0.5 p\nexpressing force on one turn\n1.0 p\nrealizing that all the flux escapes\nthrough the sides of the solenoid\n0.5 p\nrelating the force to escaping flux\n1.5 p\nsummation and correct result\n1.0 p\ncorrect direction for⃗F1 0.5 p, and⃗F2\nantiparallel to⃗F1 0.5 p\n1.0 p\nTotal for part a.:\n5.5 p\nSolution IV. The force acting on a current loop of\nmagnetic moment⃗m placed in magnetic field⃗B is given\nby⃗∇(⃗m ·⃗B). Divide the solenoid into short circular coils\nof equal length ∆ℓ, then the magnetic moment of each\nshort coil is\n∆⃗m = IAN∆ℓ\nℓ⃗\nez ,\nwhere⃗ez denotes the unit vector in z-direction.\nThis\nmagnetic moment is parallel to the field⃗Bloop created\nby the large current-carrying loop, so the force acting on\neach short segment of the solenoid in z-direction can be\nwritten as:\n∆F1 = ∆mdBloop\ndz\n= IAN∆ℓ\nℓ\ndBloop\ndz\nThe total force on the solenoid can be determined from\nintegration of the force contributions along the solenoid:\nF1 =\nZ 0\n−ℓ\ndℓ∆F1\n∆ℓ= IAN\nℓ\n\u0000Bloop(0) −Bloop(−ℓ)\n\u0001\n.\nUsing the Biot–Savart-law we can compute the magnetic\nfield Bloop(z) of the current-carrying loop along the z-axis\nto\nBloop(z) = µ0E\n2R\nr2\n(z2 + r2)3/2 .\nThis expression for Bloop yields\nF1 = µ0EANIr2\n2Rℓ\n\u0012 1\nr3 −\n1\n(ℓ2 + r2)3/2\n\u0013\nℓ≫r\n≈µ0EANI\n2ℓRr\n,\nand F1 is directed to +z. From a similar calculation we\nget⃗F2 = −⃗F1.\nGrading scheme: T1 part a., Solution IV.\nidea of dividing the solenoid into\nshort segments of equal lengths\n1.0 p\ngiving the magnetic moment of a seg-\nment\n0.5 p\nexpressing the force on a segment by\na derivative of the magnetic field\n1.0 p\ncalculating the field of the current-\ncarrying loop from Biot–Savart-law\n(alternatively, arguing that only the\nfield at center of loop is important 0.5\np and calculating this field 0.5 p)\n1.0 p\nintegrating force contributions to\nfind total force on solenoid (max. 0.5\nif final expression still contains inte-\ngral)\n1.0 p\ncorrect direction for⃗F1 0.5 p, and⃗F2\nantiparallel to⃗F1 0.5 p\n1.0 p\nTotal for part a.:\n5.5 p\n\nEuPhO-2020 Online\nTheoretical Solutions. Language: English\nNote: Using the idea of dividing the solenoid into\nsmall segments other solutions are possible as well\n(e.g. considering small dipole contributions). In this case\nthe grading scheme of Solution IV should be adapted ac-\ncordingly. One recurring solution of this type is to di-\nvide the solenoid into small segments of length dz, com-\npute the B-field in z-direction effected by current-loop\nfrom Biot–Savart, use Gauss law to relate the radial B-\nflux through the segment to dB/dz. compute the force on\nthe segment using Lorentz forces and integrate the force\nover the length of the solenoid. In this case the marking\nscheme is adapted in the second aspect, awarding 0.5 p\nfor the idea of using Gauss law to find radial B-field\nSolution V. In this solution we relate the force acting\non the solenoid to the change in energy of the system.\nInvestigate the case when point O1 is located at O first.\nDue to the same current directions, the magnetic force⃗\nF1 acting on the solenoid points in direction +z. While\nkeeping the solenoid in equilibrium with external force\n−⃗F1, let it move by a small displacement δz in the posi-\ntive z direction. The work done by the external force is\nequal to the change in energy of the system:\n−⃗F1 · δ⃗z = −F1δz = δEtotal, .\nWe should be aware of the fact that the system is not\nclosed: there is also a battery and a current source in-\ncluded in the circuits. Hence, δEtotal contains the change\nin field energy and the change of energy of the power\nsources:\nδEtotal = δEfield + δEsources .\nSince the force does not depend on what kind of power\nsupplies we have, let us replace the battery with a cur-\nrent source providing constant current J = E/R.\nNow we find a relation between δEfield and δEsources\nThe energy stored in the field can be expressed as\nEfield = 1\n2L1I2 + 1\n2L2J2 + L12IJ ,\nwhere L1 is the inductance of the solenoid, L2 is that of\nthe loop and L12 is the mutual inductance of the system.\nUpon small displacement δz, only the last term changes,\nso\nδEfield = δL12 · IJ .\nThe small displacement results in a change of the flux\nenclosed by the loop and the solenoid. The flux created\nby the solenoid on the loop is L12I, and the flux created\nby the loop through the solenoid is L21J = L12J (here\nwe used the symmetry property of mutual inductance).\nDuring the short time δt of the displacement δz, the e.m.f.\ninduced in the loop (V loop\nind ) and the solenoid (V solenoid\nind\n) can\nbe expressed with Faraday’s law:\nV loop\nind\n= −δL12\nδt I ,\nV solenoid\nind\n= −δL12\nδt J .\nIn order to keep the current in the circuits constant, the\ncurrent sources need to provide an additional power, so\nthey give away extra energy (in addition to Joule heat).\nThis energy change of the sources is given by:\nδEsources =\n\u0010\nV loop\nind J + V solenoid\nind\nI\n\u0011\nδt .\nUsing the previous results we finally get:\nδEsources = −2δL12IJ = −2δEfield ,\nwhich means δEtotal\n=\n−δEfield, and hence F1δz\n=\nδEfield = δL12IJ.\nNote 1.\nNaively, one might think that we get the result\nδEtotal = δEfield if we imagine superconducting wires without\npower supplies. One can show with detailed calculation that\nin that case the currents in the loop and the coil change, as the\ntotal flux enclosed by a superconducting circuit must remain\nconstant. The correct physical justification of the appearing\nnegative sign is an important part of the solution.\nNow we calculate the change in mutual inductance\nδL12. The small displacement δz can be imagined as we\ntake a short segment from the tail O2 of the coil (con-\nsisting of Nδz/ℓturns) and move it to the head O1. As\na result, the flux produced by the loop on the solenoid\nincreases by\nδΦ12 = δL21J =\nµ0J\n2r\n|{z}\nB(at center)\nloop\nAN\nℓδz .\nFrom this we get:\nF1 = δL12IJ\nδz\n= µ0ENAI\n2ℓRr\n.\nIf the tail O2 of the solenoid is located at point O, the\ncoefficient of mutual inductance decreases upon small\ndisplacement, which results in⃗F2 = −⃗F1.\nNote 2. The field energy can be also calculated from the en-\nergy density integrated for the whole space. Instead of calcu-\nlating the total field energy, it is easier to find its change using\nthe same idea presented above, i.e. take a segment of length\nδz from the tail and move it to the head of the solenoid. As-\nsuming ℓ≫δz ≫\n√\nA, the field created by the solenoid inside\nthat segment is µ0NI/ℓ(because the field differs from this only\nat distance ∼\n√\nA from the ends). At the end we get the same\nresult for the change in field energy using the expression:\nδEfield =\n1\n2µ0\n\u0002\n(B(at centre)\nloop\n+ Bsol)2 −(B(at centre)\nloop\n)2 −B2\nsol\n\u0003\nAδz .\nNote 3. A third possibility is to calculate the potential en-\nergy change of the displaced few turns of the solenoid. The\nmagnetic moment of a segment of length δz is⃗m =⃗ezIANδz/ℓ,\nand its energy in external field is Epot = −⃗m⃗B. Important to\nhighlight that this potential energy already contains the factor\nof −1 discussed at the beginning of the solution, so the force\nacting on the solenoid can be expressed as\nF1 = −δEpot\nδz\n.\nThe external field is the superposition of the field⃗Bloop cre-\nated by the loop and the field⃗Bsol created by the coil (note that\nthis latter contains a factor of 1/2 compared to the field in the\nmiddle of the solenoid). Since⃗Bsol is the same at the two ends\nO1 and O2, the energy change is:\nδEpot = −⃗m⃗B(at center)\nloop\n−⃗m⃗Bloop(z = ℓ) .\nThe second term can be neglected, and we get\nδEpot = −IANδz\nℓ\nµ0E\n2Rr ,\n\nEuPhO-2020 Online\nTheoretical Solutions. Language: English\nwhich gives the same answer for F1 as the other ideas.\nGrading scheme: T1 part a., Solution V.\nEquating force to energy change in\nsystem\n0.5 p\nFormulating\nenergy\nequation\n(if\nsources are missing 0.2 p)\n0.5 p\nexpressing δEfield through contribu-\ntions from currents and an interac-\ntion term\n1.0 p\nderiving that δEsources = −2δEfield\n1.0 p\ncomputing the change in field energy\nand final result for force.\n1.5 p\ncorrect direction for⃗F1 0.5 p, and⃗F2\nantiparallel to⃗F1 0.5 p\n1.0 p\nTotal for part a.:\n5.5 p\nPart b. In order to plot a graph displaying the im-\nportant features, it is beneficial to make some calcula-\ntions. The problem text does not specify the zero point\nof time, so take t = 0 in the moment when the center of\nthe solenoid is located at point O. This means that at time\nt the head O1 of the solenoid is located at z1 = ℓ/2 + vt,\nwhile the tail O2 is located at z2 = −ℓ/2 + vt.\nThe current flowing in the loop at an arbitrary mo-\nment of time is given by\nJ(t) = E + Vind(t)\nR\n,\nwhere Vind(t) is the induced electromotive force in the\nloop as a function of time. Two different approaches can\nbe found below which give an analytical formula for this\ninduced e.m.f.\nSolution I. We may again approximate the magnetic\nfield outside the solenoid by a field created by two mag-\nnetic poles at z1 and z2, respectively. The resulting mag-\nnetic flux through the loop can be calculated by consid-\nering the solid angle the loop extends as seen from either\nof the poles. Using the total magnetic flux of the poles as\ncalculated in Solution I for part a. we get\nΦloop = µ0NIA\n2 ℓ\n(\nz1\np\nz2\n1 + r2 + 1 −\nz2\np\nz2\n2 + r2 −1\n)\n.\nUsing this result and ˙z1 = ˙z2 = v the induced e.m.f. can be\ncalculated with Faraday’s law Vind = −dΦloop/dt , which\ngives\nVind = −v µ0NIA\n2 ℓ\n\u001a\nr2\n(z2\n1 + r2)3/2 −\nr2\n(z2\n2 + r2)3/2\n\u001b\n.\nSolution II. The rate of change of flux produced by\nthe solenoid through the loop can be expressed in terms\nof the mutual inductance L12 of the solenoid with respect\nto the loop:\ndΦ12\ndt\n= d\ndt(L12I) = I dL12\ndt\n.\nUsing the symmetry property of mutual inductance\n(L12 = L21), instead of calculating ˙L12 let us find the\ntime derivative of L21, i.e. the mutual inductance of the\nloop with respect to the solenoid. For this, imagine that\nthe current in the loop is constant J0, and calculate the\nchange of flux produced by the loop through the solenoid\nduring a short amount of time dt! The small displace-\nment vdt of the solenoid can be considered as moving a\nshort segment of length vdt from the tail to the head. The\nchange in flux in this segment is given by\ndΦ21 = dL21J0 = vdtNA\nℓ\n\u0000Bloop(z1) −Bloop(z2)\n\u0001\n.\nUsing the formula for Bloop(z) obtained from Biot–\nSavart-law (see Solution IV for part a.) we get\ndL21\ndt\n= v NA\nℓ\nµ0\n2\n\u0014\nr2\n(z2\n1 + r2)3/2 −\nr2\n(z2\n2 + r2)3/2\n\u0015\n.\nFrom this the induced e.m.f. Vind = I ˙L12 = I ˙L21 can be\nexpressed:\nVind(t) = −dΦ21\ndt\n= −v µ0NIA\n2ℓ\n\u0014\nr2\n(z2\n1 + r2)3/2 −\nr2\n(z2\n2 + r2)3/2\n\u0015\nAlthough the analytical result gives the correct ex-\npression for the current flowing in the loop, the task in\npart b. was to plot the graph.\nThe graph should reflect the most important features\nof the function.\nFirst, Vind(t) is an odd function, i.e.\nVind(−t) = −Vind(t). For t < 0 the flux through the loop\nincreases meaning that Vind < 0 and J < E/R, while\nfor t > 0 the flux decreases, which results Vind > 0 and\nJ > E/R.\nIn different ranges of time, Vind(t) behaves very dif-\nferently.\nFor times t ≪−ℓ/(2v) and t ≫ℓ/(2v) the\nsolenoid is very far (approximately at distance vt) from\nthe current loop, and its field can be approximated by\ndipole field (proportional to v−3t−3). The time derivative\nof the field is proportional to the induced e.m.f. in the\nloop, so in this time range Vind(t) ∝t−4, and has very\nsmall value. The same result can be concluded from the\nTaylor expansion of the complete analytical formula for\nVind.\nWhen t ≈±ℓ/(2v) (with the accuracy of r/v) the effect\nof one pole of the solenoid can be neglected. The abso-\nlute value of the induced e.m.f. is maximal here:\n|Vind| = v µ0NIA\n2ℓr\n,\nso the maximal and minimal value of the current are\nJmin = E\nR −v µ0NIA\n2Rrℓ\n,\nJmax = E\nR + v µ0NIA\n2Rrℓ\n.\nAround the maximum Vind is a quadratic function of\ntime, as it can be proved with expanding the complete\nanalytical formula.\nWhen the centre of the solenoid is close to the cen-\ntre of the loop, i.e. |t| ≪ℓ/(2v), the flux barely changes,\nso Vind ≈0. A more careful analysis gives a very weak\nlinear dependence on time.\nThe statements above are summarized in the table\nbelow.\n\nEuPhO-2020 Online\nTheoretical Solutions. Language: English\ntime range\nVind(t)\nJ(t)\nt ≪−ℓ/(2v)\nsmall, ∝−1/t4\n≈E/R\nt ≈−ℓ/(2v)\nlarge, ∝−\n\u0000t +\nℓ\n2v\n\u00012\nJmin, dip\n|t| ≪ℓ/(2v)\nnegligible (∝t)\n≈E/R\nt ≈ℓ/(2v)\nlarge, ∝\n\u0000t −\nℓ\n2v\n\u00012\nJmax, peak\nt ≫ℓ/(2v)\nsmall, ∝1/t4\n≈E/R\n−ℓ\n2v\n0\nℓ\n2v\nE\nR −vµ0NIA\n2Rrℓ\nE\nR\nE\nR + vµ0NIA\n2Rrℓ\nℓ\nv\nr\nv\nt / a.u.\nJ / a.u.\nFigure 1: Qualitative graph of J as a function of time for\nℓ= 5r.\nGrading scheme: T1 part b.\nrelating J(t) to Vind or other suitable\nquantity (independent of result in a.)\n0.5 p\nthe J(t) graph is smooth everywhere\n(if graph does not capture whole do-\nmain including asymptotics, 0 p.)\n0.5 p\nJ(t) ≈E/R, except if t ≈±ℓ/(2v) (if\nJ(t) ≈E/R only asymptotically, 0.2\np)\n0.5 p\nJ(t) −E/R is clearly an odd function\n(computing analytical expression for\nJ and graph showing odd behavior is\nconsidered sufficient, if reasoning is\nmissing, 0.2 p)\n0.5 p\nJ(t) has a minimum first, then a max-\nimum ℓ/v time later (if reversed or\nthe time is incorrect, 0 p)\n1.0 p\nanalytical formula for Jmin and Jmax\n(either approximate or exact), if an-\nalytical expression is given but min-\nmax values are not determined 0.5\np are given for deriving the formula\nand realizing that min-max exist.\n1.0 p\nit is indicated that the duration of the\npeak and dip is in the range of r/v\n0.5 p\nif J(z) instead of J(t) is plotted or la-\nbels are missing on the axes 0.5 p are\ndeducted from part b. but only if 0.5\nor more marks are given to the ac-\ntual graph at all\n(-0.5 p)\nTotal for part b.:\n4.5 p\nIf no graph is drawn: max. 0.5 p for relating J(t) to Vind\nand 1.0 p for Jmin and Jmax (for a general formula with-\nout evaluation of min and max: 0.5 p) are given.\nIf B-field of the solenoid is assumed constant across loop\nor area for flux is taken to be A, 0 p are awarded for min\nand max.\nAdditional general guidelines for grading T1:\n• Grading should always follow one of the solutions de-\nscribed. If approaches for solutions are mixed the one\nresulting in the highest marks is considered.\n• Granularity for marks is 0.1 p.\n• A simple numerical error resulting from a typo is pun-\nished by 0.1 p unless the grading scheme explicitly says\notherwise.\n• Errors which cause dimensionally wrong results are\npunished by at least 50 % of the marks if dimensions\ncan easily be checked. In more complicated cases less\nmarks may be deducted.\n• Propagating errors are not punished repeatedly un-\nless they either lead to considerable simplifications or\nwrong results whose validity can easily be checked.\n• No marks are given for the directions of the forces in\na. if forces are physically incorrect (e.g. resulting force\nis calculated to zero) or if no forces are calculated.\n• If current I in solenoid is used as current in loop in-\nstead of E/R or vice versa in the calculation of the force\n0.5 p are substracted.\n• If only z-component of B-field (either from solenoid or\nloop) is determined and the force on the solenoid is de-\nrived from this using Lorentz-forces, marks are only\ngiven for ideas (max. 1.0 p.) and the use of the Biot–\nSavart law (max. 1.0 p)\nT2: Mechanical accelerator\nφ\nRelative to Earth\nlP\nP\nR\nr\nP\n\u0001v\nRotating system of reference\nQ\nFigure 2: Mechanical accelerator\nSolution I. Part 1: Thread in contact with the cylinder.\nThe velocity of the mass P can be decomposed into longi-\ntudinal component vl along the thread, and a transverse\ncomponent v⊥perpendicular to the thread:⃗\nv = vl⃗e1 + v⊥⃗e2\nwhere the unit vectors⃗e1 and⃗e2 are parallel and per-\npendicular to the thread, respectively (see Fig. 2). Since\nthe thread is inextensible, the longitudinal component is\nconstant: vl = −u, i.e.⃗\nv = −u⃗e1 + v⊥⃗e2\nThe acceleration of P is, respectively:⃗\na = d⃗v\ndt = −ud⃗e1\ndt + v⊥\nd⃗e2\ndt + dv⊥\ndt⃗e2\n\nEuPhO-2020 Online\nTheoretical Solutions. Language: English\nVectors⃗e1 and⃗e2 form a coordinate system, which ro-\ntates as a rigid object with an angular velocity:⃗\nω = dϕ\ndt⃗e3\nwhere⃗e3 =⃗e1 ×⃗e2 is a unit vector perpendicular to the\nplane of motion, i.e. along the cylinder axis, and ϕ is the\nangle between the thread and the X-axis. Therefore, the\ntime derivatives of the basis vectors are:\nd⃗e1\ndt =⃗ω ×⃗e1 = dϕ\ndt⃗e2\nand\nd⃗e2\ndt =⃗ω ×⃗e2 = −dϕ\ndt⃗e1\nIn this way, the acceleration of P can be represented in\nterms of the angular velocity:⃗\na = −v⊥\ndϕ\ndt⃗e1 +\n\u0012\n−udϕ\ndt + dv⊥\ndt\n\u0013⃗\ne2\nThe only force, acting on P, is the tension of the thread.\nTherefore, the component of the acceleration perpendic-\nular to the tread, i.e. along⃗e2, is null:\n−udϕ\ndt + dv⊥\ndt = 0\nAfter integration over time, we obtain a relationship be-\ntween the transverse velocity, acquired by P, and the an-\ngle of rotation of the thread:\nv⊥= uϕ\nThe end of the tread turns at a total angle of 2πN until\nthe tread detaches from the cylinder completely. There-\nfore, the transverse component of the velocity of P at the\nmoment of detachment is:\nv⊥= 2πNu\nand the magnitude of velocity:\nv =\nq\nv2\nl + v2\n⊥= u\np\n(2πN)2 + 1\nPart 2: Thread detached fom the cylinder.\nThis ex-\npression, however, still does not represent the maxi-\nmum velocity attained by P. In the frame of reference\nof the free end of the thread, the mass continues to ro-\ntate about the end of the thread. The velocity of P, rel-\native to Earth, reaches maximum in the moment when\nthe thread reaches right angle with X-axis, i.e. the trans-\nverse component of velocity of P aligns with⃗u:\nvmax = u(2πN + 1)\nSolution II. Part 1: Thread in contact with the cylin-\nder.\nConsider a point Q on the end of the thread be-\ning pulled that coincided with P at the moment when\nit touched the cylinder. Consider motion of the thread\nin a system of reference (SR), which rotates at angular\nspeed ω = u/R around the center of the cylinder. In that\nSR the part of the thread in contact with the cylinder is\nat rest and the point Q rotates around the cylinder with\nthe angular velocity ωQ = −ω (see the figure).\nSince the middle part of the thread is at rest, energy\nof the mass P is conserved. For the same reason, the ve-\nlocity vP of P is perpendicular to the thread. Therefore\nthe kinetic energy acquired by the mass in the rotating\nframe is equal to the decrease of its centrifugal potential\nenergy:\n1\n2mv2\nP = −1\n2mω2R2 + 1\n2mω2r2 = 1\n2mω2l2\nP\nwhere lP is the length of the unwound part of the thread\non the side of the mass P (see the figure). Therefore,\nthe mass P rotates around the fixture point of the thread\nwith a velocity:\nvP = u\nRlP\nand a constant angular velocity:\nωP = u\nR = ω.\nSince ωP = −ωQ, in the rotating SR the two ends of the\nthread will unwind symmetrically and the lengths of the\ntwo straight parts of the string will be equal at any mo-\nment of time. Therefore, at the moment of detachment:\nlP = 1\n2(2πRN) = πNR\nand the detachment velocity of P is, respectively:\nvP = πNu\nWhen transforming the velocity of P to the Earth’s SR,\nthe velocity⃗vP should be added to the rotational veloc-\nity⃗ω ×⃗r. It is easy to establish that the result for the\ntransverse component of P is:\nv⊥= 2vP = 2πNu\nPart 2: Thread detached from the cylinder. In that part\nwe proceed exactly as in Part 2 of the first solution.\nSolution III. Part 1: The thread in contact with the\ncylinder\nLike in Solution I we decompose the velocity into lon-\ngitudinal and transverse components, and come to the\nconclusion that the longitudinal component is vl\n=\n−u. Afterwards, the acceleration of P is expressed. In\nthis case, however, we consider the longitudinal (cen-\ntripetal) component of the acceleration:\nal = −v2\n⊥/l ≡−v⊥\ndϕ\ndt\nFrom the second Newton’s law we obtain the tension F\nof the thread:\nF = −mv⊥\ndϕ\ndt\nThe rate of change of the kinetic energy of the mass is\nequal to the power of the tension force:\ndEk\ndt\n= Fvl = +mv⊥\ndϕ\ndt u\nTaking into account that:\nEk = 1\n2m(u2 + v2\n⊥)\n\nEuPhO-2020 Online\nTheoretical Solutions. Language: English\nand taking the first derivative from that expression, we\nobtain: mv⊥dv⊥/dt = mv⊥dϕ/dtu, or:\ndv⊥\ndt = udϕ\ndt\nFrom that point on we proceed exactly as in the first so-\nlution.\nGrading scheme: T2 part 1, Solution I⃗\nv is decomposed into vl and v⊥\n1.0 p\nBy condition of inextensibility vl = −u\n1.0 p\nComponents of acceleration in terms of\ndϕ/dt\n2.0 p\nThe tension force is along the thread and\na⊥= 0\n1.0 p\nFinding dv⊥/dt = u · dϕ/dt\n1.0 p\nAt the moment of detachment v⊥= 2πNu\n1.0 p\nFinal v = u\np\n1 + (2πN)2\n1.0 p\nTotal for part 1:\n8.0 p\nGrading scheme: T2 part 1, Solution II\nIntroduction of rotational SR with angular\nvelocity ω = u/R\n0.5 p\nStates that the wound string is at rest\n0.5 p\nShowing that the energy of P is conserved\n1.0 p\nShowing that the centrifugal force has po-\ntential energy EP = −mω2r2/2\n1.0 p\nConservation of energy equation\n1.0 p\nProving that lP = lQ\n0.5 p\nFinding length lP = πNR at the moment of\nrelease\n0.5 p\nFinding vP = πNu at the moment of re-\nlease\n1.0 p\nRotational velocity of the non-inertial SR\nin point P⃗vrot =⃗ω ×⃗r\n0.5 p\nFinding vrot⊥= πNu\n0.5 p\nFinal velocity relative to Earth v⊥= 2πNu\n1 p\nTotal for part 1:\n8.0 p\nGrading scheme: T2 part 1, Solution III⃗\nv is decomposed into vl and v⊥\n1.0 p\nBy condition of inextensibility vl = −u\n1.0 p\nDeriving v⊥= ldϕ/dt\n0.5 p\nFinding longitudinal acceleration al\n=\nv2\n⊥/l\n0.5 p\nUsing Newton’s second law F = mal\n0.5 p\nWriting the kinetic energy Ek = m(u2 +\nv2\n⊥)/2\n0.5 p\nUsing the work-energy theorem dEk/dt =\nFu\n1.0 p\nDeriving dv⊥/dt = udϕ/dt\n1.0 p\nAt the moment of detachment v⊥= 2πNu\n1.0 p\nFinal v = u\np\n1 + (2πN)2\n1.0 p\nTotal for part 1:\n8.0 p\nGrading scheme: T2 part 2, both solutions\nPosition in which maximum speed is\nachieved\n1.0 p\nValue of vmax\n1.0 p\nTotal for part 2\n2.0 p\nT3: Cat eyes\nWhen you look at the photo of the lens and/or the graph\nprovided, four regions with different brightness levels\ncan be distinguished. The brightest region represents\nthe magnified image of the blur spot created by the lamp\nthrough the lens. The blur spot is created because the\ndistance from the lens to the white sheet beneath it is\nslightly larger than the focal distance; as we can see from\nthe graph, the blur spot is of almost constant brightness\n(a flat plateau at log10 I = 4.4), so we can say that the\nentire luminous flux falling from the lamp onto the lens\nis distributed evenly over the blur spot. Note that the\nblur spot has no sharp edges, though, as you would ex-\npect from in such case. This is because the image of this\nbright disc is situated between the lens and the camera,\nand is at a fairly big distance away from the plane which\nis sharp at the image sensor (as seen from the photo,\nthe camera is focused onto the lens). Because of that,\nthe enlarged image of the blur spot has blurred edges in\nthe photo (at the blurred edges, log10 I varies from 3.4 to\n4.4). The second-brightest region (with log10 I = 3.4) rep-\nresents the scattered light from the brightest region: in\nthat region, we are still looking through the lens, and see\nthe area next to the bright blur spot on the sheet. Ideally,\nits should be darker than the sheet seen in those places\nwhere it is not obstructed by the lens, because the lens\nis shading the light from the lamp. However, the glass\nelements of this big lens are non-ideal (and there are\nmany glass elements inside the lens!), so the light from\nthe lamp and the bright blur spot is scattered towards\nthe camera giving rise to an increased apparent bright-\nness. In the area where we see the blur spot, this light is\ninsignificant (much weaker than the light from the blur\nspot), but not so in this dark area: here, the scattered-\nfrom-the-glass-surfaces dominates heavily over the light\ncoming from the paper sheet. As a matter of fact, this\nfact could be used to improve the accuracy of the calcu-\nlations: we could subtract the contribution of the scat-\ntered light (103.4) from the total intensity of the light at\nthe brightest spot (104.4) to obtain the contribution com-\ning from the blur spot on the sheet. The darkest regions\n(with log10 I < 1.75) represent the interior black paint-\ning of the lens seen through the big front glass element\nof the lens, which absorbs most of the incident light, and\nthe region with x > 420 and log10 I = 1.95 represents the\nwhite sheet illuminated by the lamp. The ratio between\nthe measured light intensity of the brightest region and\nthat of the region with x > 420 can be utilized to find the\ndistance of the sheet (the blur spot) from the lens to the\npaper sheet d0, see below.\nFrom the data given in the problem text we know that\nL ≫f; from the photo of the lens, it is also clear that d0\nis of the same order of magnitude as f. Because of that,\nthe illuminance E (luminous flux per unit area) near the\nlens can be assumed to be the same as at the paper sheet,\nThe luminous flux per solid angle and unit area of a light-\nscattering (or radiating) surface is called the luminance\nL ; since all these directions under which the scattered\nlight enters the lens aperture are close to the surface nor-\nmal, we may assume the luminance of the paper sheet\nto be constant over all these directions. With the small\n\nEuPhO-2020 Online\nTheoretical Solutions. Language: English\nangle approximation, the light intensity I (illuminance,\nluminous flux Φ per unit area) at the camera sensor is\nproportional to L (see Explanation 1).\nThe luminance of the blur spot on the sheet LBS is 1/k\nlarger than the luminance Ls of the paper sheet, where\nk equals the ratio between the area of the bright dot (the\nblur spot) on the paper sheet and the area of the lens, be-\ncause all the light received by the lens is “compressed”\ninto the tiny blur spot.\nSmall angle approximation is also used to show that\nluminance of the image of the blur spot LI equals to\nthe luminance of the blur spot LBS (see Explanation\n2). Therefore, the light intensity at the sensor cells corre-\nsponding to the brightest area (where we see the image\nof the blur spot) II = Is/k, where Is stands for the in-\ntensity at the cells corresponding to unobscured paper\nsheet. So, from the graph, we can deduce the value of\nk, and knowing k we can calculate d0. Let the distance\nalong the axis between the image of the bright region\nthrough the lens and the lens itself be denoted as dS; ac-\ncording to the Newton’s lens formula, (dS −f)(d0 −f) =\nf 2. Hence,\ndS = f +\nf 2\nd0 −f =\nd0f\n(d0 −f)\ncan be also determined.\nHypothesize that d0 −f ≪f. Let us calculate the di-\nameter of the image of the blur spot\nDI = DBSdS\nd0\n= DBSf\nd0 −f ,\nwhere the diameter of the blur spot on the sheet\nDBS = D(d0 −f −s)\nf + s\n≈D(d0 −f −s)\nf\n,\nand s denotes the distance of the image of the point\nsource from the focal plane. Using Newton’s lens for-\nmula, s = f 2/(L −f −d0) ≈f 2/L, This leads us to\nDBS ≈D\n\u0012d0 −f\nf\n−f\nL\n\u0013\nand therefore\nDI ≈D\n\u0014\n1 −\nf 2\nL(d0 −f)\n\u0015\n.\nKeeping in mind that d0 −f = d0f\ndS ≈f 2\ndS , we obtain\nDI ≈D\n\u0012\n1 −dS\nL\n\u0013\n= D(L −dS)\nL\n.\nThis means that as seen from the position of the cam-\nera, the angular size of the image of the blur spot θBS =\nDI/(L −dS) equals to the angular size of the lens aper-\nture θL = D/L. This fact is easily confirmed from the\nphoto and is an important observation for two reasons.\nFirst, it means that based on the angular diameter of the\nimage of the blur spot on the photo, it is impossible to\nfigure out the distance d0 (and hence, dS). Second, it al-\nlows us to measure instead of the angular distance θ be-\ntween the centre of the lens and the centre of the image\nof the blur spot (as seen from the position of the camer-\naline), the respective distance between the edges of the\nrespective circles. Equality of these two angular sizes is\nalso easily seen from the geometric construction, see the\nfigure. Ineed, consider blue lines SAG and SBF which\narrive from the lamp S to the edges of the blur spot. Im-\nage of point F, denoted by J, is now easily found as the\nintersection point of the ray SBF with the ray FO (pass-\ning through the centre of the lens); image H of the other\nedge of the blur spot is found in the same way. From\nthis construction, it becomes clear that the angular size\nof the image of the blur spot and the lens, as seen from\nthe camera, are exactly equal, without any approxima-\ntion. Due to the smallness of the distance h, these angu-\nlar sizes remain almost constant when the observation\npoint is moved from S to C.\nGiven the images are approximately circular, the\narea ratio k equals (DBS/D)2, or\n±\n√\nk = 1\nf\n\u0012\nd0 −\nLf\nL −f\n\u0013\n= d0\nf −\nL\nL −f .\nIn the above equation, the ± sign represents the two\ncases where the paper sheet is behind or in front of the\nimage of the lamp. From the graph, the ratio between\nthe intensity of the brightest region and the dark region\nwith x > 420 is 104.4−1.95 ≈282, which equals 1/k. Then,\nd0/f can be found to be ±\n√\nk + 1 + f/L, which gives two\nsolutions d0/f ≈1.07 and d0/f ≈0.95.\nAccording to\nthe experimental settings given in the problem text, d0\nis greater than f, and thus we obtain d0/f ≈1.07 and\ndS ≈15.03f ≈83 cm. This also verifies the hypothesis\nthat d0 −f ≪f.\nThe centre of the image of the blur spot is positioned\nat the height h′ = h dS\nL above the direction to the centre\nof the lens (this expression from similarity of the trian-\ngles OQP and OCS) which means that θ = h′/(L −dS);\nmeanwhile, the angular diameter of the lens θL = D/L.\nTherefore,\nθ\nθL\n=\nhdS\nD(L −dS).\nThe ratio of the angular distances is easily measured\nfrom the figure as the ratio of the width dcr of the\ncrescent-shaped second-brightest region to the diameter\nof the lense’s aperture D′:\nh = dcr\nD′\nD(L −dS)\ndS\n.\nBased on the graph, dcr ≈90 pixels (midpoint of the\nblurry edge is around x ≈120 px, and the left edge of\nthe aperture (in the graph) is at x ≈30 px; the right edge\nof the lens aperture is at x ≈240 px corresponding to\nD′ = 210 px and yielding h ≈80 mm.\nRemark 1. In order to obtain the final answer with a\nreasonably good accuracy, it is not strictly speaking nec-\nessary to show that the apparent angular diameters of\nthe lens and of the image of the blur spot are equal. All\nthe other calculations remain the same, just one needs\nto match a circle with the circular segment of the visi-\nble edge of the blur spot, and measure directly h′, the\ndistance between the centre of the lens and the centre\nof the blur spot, together with the diameter of the lens\naperture D′ (see the small figure).\nRemark 2. The width of the crescent-shaped second-\nbrightest area can be also measured from the photo of\n\nEuPhO-2020 Online\nTheoretical Solutions. Language: English\nthe lens with the required accuracy; however, measur-\ning in pixels from the graph is more accurate.\nExplanation 1: Consider a small light source of lu-\nminance L and surface area S at a large distance ↕from\nthe camera. The illuminance (the luminous flux per unit\narea) at the position of the camera is proportional to ↕−2\nand so is the total luminous flux received by the whole\nsensor. Meanwhile, all this light energy is focused onto a\nsmall area S′ on the sensor — onto the image of the light\nsource, and this area is also proportional to ↕−2. There-\nfore, the illuminance I at the position of those sensor pix-\nels which are covered by the image is independent of the\ndistance ↕.\nExplanation 2: Consider a very narrow cone of light\nof solid angle ω, starting from a very small area S at\nthe blur spot in a direction close to the surface normal,\nand carrying a total luminous flux Φ. Since the cone is\nnarrow, this light beam is entirely caught by the lens at\ndistance d0, and focused onto the image of surface area\nS′ = S(dS/d0)2 at distance dS from the lens. The light rays\nof this beam traverse the focus and form another light\ncone of solid angle ω′ departing from the image. It is easy\nto see from similar triangles that ω/ω′ = (dS/d0)2. Then,\nthe luminance of the image LI = Φ/(S′ω′) = Φ/(Sω), i.e.\nequal to the luminance of the blur spot.\nh’\nD’\nO\nsheet\nblur spot\nfocal plane\nd0\nf\nL-d0\ndS\nS\nC\nA\nB\nQ\nimage of the\n    blur spot\nto the centre of the lens\nto the centre of the bright spot\nP\nL\nF\nG\nH\nJ\nh’\nRemark 3: After having derived Explanation 1 and\nExplanation 2 and calculated d0, the geometrical optics\naspect can also be tackled by considering the image of\nthe camera through the lens. The region bounded by the\ndarkest ring in the image represents the area on the pa-\nper sheet that is observable by the camera through the\nlens. This area can be approximated by a circular spot\nwith diameter d (represented by D′ in the graph) depend-\ning negligibly on the size of the lens of the camera. Given\nsmall angles and that the lamp and the camera have\nequal distances to the lens, the bright spot on the paper\nsheet also has a diameter of d, which means d = D\n√\nk.\nThe angular distance between the lamp and the cam-\nera as seen from the center of the lens is h/(L −d0), and\ntherefore, the distances between the two spots’ centers,\nand also thus their boundaries (represented by dcr in the\ngraph), on the paper sheet are d0h/(L −d0). We then ob-\ntain an equivalent equation to that above:\nd0h/(L −d0)\nD\n√\nk\n= dcr\nD′ ⇔h = dcr\nD′ D\n√\nk L −d0\nd0\n≈80 mm.\nIt should be noted that, compared to the original anal-\nysis, the deviation in this calculation caused by f/L (in\nfinding d0 and dS) on the final result reduces drastically\n(from approximately 20% down to approximately 1%).\nEven if d0 ≈f is assumed, the result is only deviated by\napproximately 7%.\n\nEuPhO-2020 Online\nTheoretical Solutions. Language: English\nGrading scheme: T3\nUnderstanding that the brightest spot is the magnified image of the blur spot through the lens (by\nexplicitly stated or shown in a diagram or implicitly assumed in a correct full solution). Otherwise,\na partial score of 1.0 p is given for understanding that the brightest spot is caused by light scattered\nfrom the blur spot. A partial score of 2.0 p is given for understanding that the brightest spot is\ncaused by light scattered from the blur spot and that the light passes once more through the lens\nbefore reaching the camera.\n2.5 p\nUnderstanding that the region on the graph with x > 420 represents the unobscured paper sheet (0.2\np). Finding the ratio 1/k of the intensities at the brightest area and at the unobscured paper sheet\n(or its reciprocal or its logarithm) from the graph (0.8 p). Subtract 0.2 p if the mistake in taking the\nreading for log10(I1/I2) is more than 0.05 but less than 0.1 and subtract 0.4 p if the mistake is bigger\nthan 0.1.\n1.0 p\nExpressing k correctly in terms of the ratio of the distances (either d0/f or dS/f or anything equiva-\nlent). Partial score of 2 p if initial expressions are correct, but final expression of a ratio of distances\nis not obtained. These 2 p are distributed in this way: 0.5 p for showing that I1/I2 equals the ratio\nof the luminances of the paper sheet and the image of the blur spot, 0.5 p for showing that the lumi-\nnance of the image of the blur spot equals the luminance of the blur spot itself; 0.4 p, 0.3 p, and 0.3\np for the thin lens equation, the expression of k in terms of the diameters and the expression of the\ndiameters in terms of the relevant distances, respectively. Subtract 0.5 p if the original direction is\nused and f/L is neglected as compared to\n√\nk (either in the initial set-up or during simplifications).\n2.5 p\nRelating correctly ratio of distances measurable either on the graph or on the photo to h. Partial\nscore of 1.5 p if initial expressions are correct, but the final expression for a ratio of distances is not\nobtained or is incorrect. These points are distributed as follows: 0.3 p for the thin lens equation\nfor the image of the blur spot (or for the image of the camera if alternative approach is used); 0.4\np for showing that θBS = θL; 0.4 p for a single relevant equation that relates h to other distances;\n0.4 p for a single relevant equation that relates a ratio of measurable distances to other distances in\nthe system. Partial score of 1.0 p if initial expressions are not correct, but a diagram is drawn which\nshows the measurable-from-the-figures distances, together with other related distances, in a correct\nway.\n2.0 p\nMeasuring these distances with a reasonable accuracy (only if the previous subscore is not 0). Partial\nscore of 0.5 p if a relative mistake made in the range of 20% to 30%, and 0.8 p if in the range of 10%\nto 20%\n1.0 p\nObtaining final answer with a reasonable accuracy. Partial score of 0.5 p if final formula is derived\nbut not calculated numerically. Subtract 0.5 p if calculation mistake is made and subtract 0.2 p for\nrounding the result more than by 10%\n1.0 p\n","shared":true,"sourcePages":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10],"initialPage":5}},{"id":"eupho-2020-t3","importedOn":"2026-10-28","language":"en","sources":[{"url":"https://eupho.ee/wp-content/uploads/2020/07/EuPhO_2020_Theory.pdf","kind":"statement"},{"url":"https://eupho.ee/wp-content/uploads/2020/07/EuPhO20_Theory_Solutions-7.pdf","kind":"solution"}],"statement":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/eupho-2020-statement/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/eupho-2020-statement/page-1.webp","width":982,"height":1389}],"text":"EuPhO-2020 Online\nTheoretical Problems. Language: English\nT1: Solenoid and loop\nA closed circular loop of radius r consists of an ideal bat-\ntery of electromotive force E and a wire of resistance\nR. A long thin air-core solenoid is aligned with the axis\nof the loop (z-axis). Its length is ℓ≫r, cross-sectional\narea is A (\n√\nA ≪r), and the number of turns is N. The\nsolenoid is powered by a constant current I provided by\nan ideal current source. The directions of the currents\nin the solenoid and in the loop are the same (clockwise\nin the figure).\na. Find the force F1 acting on the solenoid when its\nhead O1 is positioned in the loop centre O. What is\nthe force F2 acting on the solenoid when its tail O2 is\nlocated in the centre of the loop?\nb. Suppose now, that the solenoid is moving slowly\nwith a constant velocity v along z-axis starting far\naway from the loop, going past its centre, and pro-\nceeding further to the right in positive z-direction.\nPlot the current J flowing in the loop as a function\nof time. Highlight important features and values on\nthe graph. The velocity v is so small that self induc-\ntance of the loop can be neglected.\nT2: Mechanical accelerator\nA massless thread makes N turns around statically fixed\ncylinder, as shown in the figure. Initially, the free (un-\nwound) ends of the thread are parallel to the axis X.\nThen, a heavy point-like object P is attached to one end\nof the thread while the other end is pulled with a con-\nstant velocity u along X. Find the maximum velocity at-\ntained by the heavy object.\nThe thread is inextendable and flexible. Suppose that\nthe turns of the thread are wound tightly to one another\nand are placed practically in the same plane, perpendic-\nular to the cylinder axis. Neglect any friction in the sys-\ntem. Do not consider the force of gravity.\nT3: Cat eyes\nYou may have noticed that in darkness, when a cat is\nwithin the light beam of a headlamp, its eyes appear very\nbright, see the photo below (left). This phenomenon can\nbe modelled by a lens setup, see the photo on right, and\nthe diagram beneath the photos.\nx\nsheet of paper\nlamp\nL\nh\nlens\nfocal\nplane\ncamera\nThe photo on right was taken by a digital single-lens\nreflex camera. The light intensity at the camera sensor\npixels marked by a red line (in the photo) is shown in the\ngraph below: the log base 10 of the light intensity (mea-\nsured as the number of photons caught by each pixel)\nis plotted against the x-coordinate, with the pixels’ side\nlength serving as the unit length.\n1.5\n2\n2.5\n3\n3.5\n4\n4.5\n0\n100\n200\n300\n400\n500\nx\nlog10I\nThe lens modelling cat eyes can be treated as an ideal\nthin lens of focal length f = 55 mm and diameter D =\n39 mm; however, you should keep in mind that the given\ngraph shows real measurement data, and the lens has\ncertain non-ideal features. Most importantly, partial re-\nflections of brightly lit areas from the lens surfaces may\ndecrease the contrast: dark areas seen through the lens\nappear less dark than they actually are; this effect can\nbe neglected for the camera lens, but not so for the lens\nserving as a model of a cat’s eye.\nBased on the given data, estimate (with the accuracy\nof ca 20%) the distance h between the axis of the cam-\nera and the axis of the lamp (which can be considered\nas a point source) if the distance of the camera from the\npaper sheet was L = 4.8 m.\n","shared":true,"sourcePages":[1],"initialPage":1},"solution":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/eupho-2020-solution/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/eupho-2020-solution/page-1.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2020-solution/page-2.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2020-solution/page-3.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2020-solution/page-4.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2020-solution/page-5.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2020-solution/page-6.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2020-solution/page-7.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2020-solution/page-8.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2020-solution/page-9.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2020-solution/page-10.webp","width":982,"height":1389}],"text":"EuPhO-2020 Online\nTheoretical Solutions. Language: English\nT1: Solenoid and loop\nPart a. Solution I. According to Newton’s third law, the\nforce acting on the solenoid is equal in magnitude, but\nopposite in direction to the force acting on the loop. The\nlatter can be obtained from Lorentz’s law by summation\nof infinitesimal forces⃗F = J∆⃗l ×⃗B acting on the indi-\nvidual loop elements ∆⃗l, where J = E/R is the current\nin the loop.\nSince the solenoid is long and thin, the magnetic field\nlines inside it are directed in +z direction, and escape\nonly from the immediate vicinity of its ends. The mag-\nnetic field outside the solenoid is vortex-free and source-\nfree. The same requirements are satisfied by the electric\nfield in empty space. Hence, the magnetic field outside\nthe solenoid can be well approximated by a field created\nby two magnetic poles: a North pole residing close to\npoint O1 and a South pole located near to O2. The flux\nΦ emerging from the North pole (and the flux entering\nthe South pole) is the same as the flux passing through\nthe solenoid’s cross-section:\nΦ = BinA = µ0\nNI\nℓA .\nWhen the endpoint O1 of the solenoid is placed in the\nloop centre O, the magnetic field of the other end (O2)\nnear the loop is negligible. The field created by the North\npole located at O1 is pointing radially outwards, and its\nmagnitude at the loop circumference is (from spherical\nsymmetry):\nB(r) =\nΦ\n4πr2 = µ0\n4π\nNIA\nℓr2 .\nNote. it is also correct to assume that the flux from the B-field\n(which carries a factor of 1/2 compared to the field above at the\nend of the solenoid is uniformly distributed over hemisphere.\nThe forces acting on all elements of the loop (and also\nthe net force) point in the −z direction, which can be\nexpected also from the same current directions (i.e. the\nloop and the solenoid attract each other). Hence, the re-\naction force acting on the solenoid points in the +z di-\nrection, and its magnitude is given by:\nF1 = E\nR · 2πr · µ0\n4π\nNIA\nℓr2\n= µ0NIAE\n2ℓRr\n.\nWhen the endpoint O2 is located at the centre of the\nloop, the magnetic field produced by the South pole ex-\nerts a force on the loop. Since this field is directed radi-\nally inward, the force acting on the solenoid is the same\nin magnitude, but opposite in direction (−z) as the force\ncalculated above:⃗\nF2 = −⃗F1 .\nGrading scheme: T1 part a., Solution I.\nusing Newton’s third law\n0.5 p\nidea of approximating the outer field\nwith magnetic poles 0.5 p, and justi-\nfication 0.5 p\n1.0 p\ncalculating the flux Φ emerging from\nthe magnetic pole (for a wrong fac-\ntor, 0.3 p)\n1.0 p\nexpressing the field B(r) of the mag-\nnetic pole\n1.0 p\nfinding the magnitude of force acting\non the loop from Lorentz’s force law\n1.0 p\ncorrect direction for⃗F1 0.5 p, and⃗F2\nantiparallel to⃗F1 0.5 p\n1.0 p\nTotal for part a.:\n5.5 p\nSolution II. In this solution the force acting on the\nsolenoid is calculated, as the force acting on the mag-\nnetic pole placed at the centre of the current-carrying\nloop. For this we need to find an expression for the mag-\nnetic pole strength (or magnetic charge) Qm, which is de-\nfined as the ratio of the force and the magnetic field.\nThe total dipole moment m of the solenoid is the prod-\nuct of the number of turns and the dipole moment IA of\neach turn:\nm = NIA .\nThis can be also expressed with the magnetic pole\nstrength and the distance of the poles: m = Qmℓ. From\nthis we arrive to the expression\nQm = NIA\nℓ\n= Φ\nµ0\nwhere Φ is the total flux emerging from the pole (see so-\nlution I).\nNote. The same result can be obtained from the analogy\nbetween electrostatic and magnetostatic fields. The Coulomb\nforce between two point charges ±Q can be derived from the\nprinciple of virtual work. The force is the derivative of the in-\nteraction part of the field energy with respect to the distance\nbetween the charges. The force between two magnetic charges\n±Qm can be also calculated this way. From the expressions of\nelectric and magnetic energy densities we can conclude the for-\nmula of the magnetic interaction force:\nwE = 1\n2ε0E2\n←→\nwB =\n1\n2µ0 B2 ,\nFE =\n1\n4πε0\nQ2\nr2\n←→\nFB = µ0\n4π\nQ2\nm\nr2 .\nAs it can be seen, the well-known formulae known in electro-\nstatics can be also used in magnetostatics with the substitutions\nε−1\n0\n←→µ0, E ←→B, Q ←→Qm. Carrying on this analogy the\nmagnetic pole strength can be figured out:\nQ = ε0Ψ\n←→\nQm = Φ\nµ0 = N\nℓIA ,\nwhere Ψ and Φ are the electric and magnetic flux for a closed\nsurface containing the electric and magnetic charge, respec-\ntively.\nWhen endpoint O1 of the solenoid is located at point\nO, a North pole resides at the centre of the loop. Here\nthe magnetic field created by the loop can be expressed\nfrom Biot–Savart-law:\nB(at center)\nloop\n= µ0J\n2r = µ0E\n2Rr ,\n\nEuPhO-2020 Online\nTheoretical Solutions. Language: English\npointing in the +z direction. So the magnitude of the\nforce acting on this end of the solenoid is:\nF1 = QmB(at center)\nloop\n= µ0ENIA\n2ℓRr\n,\nand it is directed to +z. When the endpoint O2 is located\nat the center of the loop, the force acting on the South\npole should be calculated, resulting a force of same mag-\nnitude, but opposite direction.\nGrading scheme: T1 part a., Solution II.\nidea of approximating the outer field\nwith magnetic poles 0.5 p, and justi-\nfication 0.5 p\n1.0 p\ncalculating\nthe\nmagnetic\npole\nstrength\nQm\n(for\ndimensionally\nwrong answer 0 p)\n1.0 p\njustification for calculation\n1.0 p\ncalculating the field of the current\nloop at its centre from Biot–Savart-\nlaw\n0.5 p\nfinding the magnitude of force acting\non the magnetic pole\n1.0 p\ncorrect direction for⃗F1 0.5 p, and⃗F2\nantiparallel to⃗F1 0.5 p\n1.0 p\nTotal for part a.:\n5.5 p\nSolution III. Some of the magnetic field lines created\nby the loop enter into the near end O1 of the solenoid;\nthis entering flux is given by\nΦin = B(at center)\nloop\nA = µ0J\n2r A = µ0EA\n2Rr .\nSince the end O2 is far from the loop, the flux created by\nthe loop escaping there is negligibly small. This means\nthat almost all the flux Φin escapes from the solenoid\nthrough its side.\nDenote the radial component of the magnetic field\nvector produced by the current-carrying loop at the\nperimeter of the ith turn of the solenoid by Bi.\nOnly\nthis component contributes to the net force acting on the\nsolenoid, as the axial component produces a radial force\nwhich is cancelled due to rotational symmetry. The axial\nforce acting on the ith turn of the solenoid is given by\nF1,i = 2\n√\nAπIBi ,\nwhere 2\n√\nAπ is the circumference of one turn, and the\nforce points in the +z direction. Summing up both sides\ngives the net force:\nF1 =\nX\ni\nFi =\nX\ni\n2\n√\nAπIBi\nTake out the factor I from the summation and insert 1\nwritten in the unusual way (ℓ/N) · (N/ℓ):\nF1 = I N\nℓ\nX\ni\n2\n√\nAπ ℓ\nN Bi .\nThe sum on the right hand side is the flux escaping\nthrough the side of the solenoid, which equals Φin, so the\nforce:\nF1 = I N\nℓΦin = µ0EANI\n2Rrℓ\n,\nwhich agrees with the previous solutions.\nGrading scheme: T1 part a., Solution III.\nB-field at the center of loop\n0.5 p\nexpressing force on one turn\n1.0 p\nrealizing that all the flux escapes\nthrough the sides of the solenoid\n0.5 p\nrelating the force to escaping flux\n1.5 p\nsummation and correct result\n1.0 p\ncorrect direction for⃗F1 0.5 p, and⃗F2\nantiparallel to⃗F1 0.5 p\n1.0 p\nTotal for part a.:\n5.5 p\nSolution IV. The force acting on a current loop of\nmagnetic moment⃗m placed in magnetic field⃗B is given\nby⃗∇(⃗m ·⃗B). Divide the solenoid into short circular coils\nof equal length ∆ℓ, then the magnetic moment of each\nshort coil is\n∆⃗m = IAN∆ℓ\nℓ⃗\nez ,\nwhere⃗ez denotes the unit vector in z-direction.\nThis\nmagnetic moment is parallel to the field⃗Bloop created\nby the large current-carrying loop, so the force acting on\neach short segment of the solenoid in z-direction can be\nwritten as:\n∆F1 = ∆mdBloop\ndz\n= IAN∆ℓ\nℓ\ndBloop\ndz\nThe total force on the solenoid can be determined from\nintegration of the force contributions along the solenoid:\nF1 =\nZ 0\n−ℓ\ndℓ∆F1\n∆ℓ= IAN\nℓ\n\u0000Bloop(0) −Bloop(−ℓ)\n\u0001\n.\nUsing the Biot–Savart-law we can compute the magnetic\nfield Bloop(z) of the current-carrying loop along the z-axis\nto\nBloop(z) = µ0E\n2R\nr2\n(z2 + r2)3/2 .\nThis expression for Bloop yields\nF1 = µ0EANIr2\n2Rℓ\n\u0012 1\nr3 −\n1\n(ℓ2 + r2)3/2\n\u0013\nℓ≫r\n≈µ0EANI\n2ℓRr\n,\nand F1 is directed to +z. From a similar calculation we\nget⃗F2 = −⃗F1.\nGrading scheme: T1 part a., Solution IV.\nidea of dividing the solenoid into\nshort segments of equal lengths\n1.0 p\ngiving the magnetic moment of a seg-\nment\n0.5 p\nexpressing the force on a segment by\na derivative of the magnetic field\n1.0 p\ncalculating the field of the current-\ncarrying loop from Biot–Savart-law\n(alternatively, arguing that only the\nfield at center of loop is important 0.5\np and calculating this field 0.5 p)\n1.0 p\nintegrating force contributions to\nfind total force on solenoid (max. 0.5\nif final expression still contains inte-\ngral)\n1.0 p\ncorrect direction for⃗F1 0.5 p, and⃗F2\nantiparallel to⃗F1 0.5 p\n1.0 p\nTotal for part a.:\n5.5 p\n\nEuPhO-2020 Online\nTheoretical Solutions. Language: English\nNote: Using the idea of dividing the solenoid into\nsmall segments other solutions are possible as well\n(e.g. considering small dipole contributions). In this case\nthe grading scheme of Solution IV should be adapted ac-\ncordingly. One recurring solution of this type is to di-\nvide the solenoid into small segments of length dz, com-\npute the B-field in z-direction effected by current-loop\nfrom Biot–Savart, use Gauss law to relate the radial B-\nflux through the segment to dB/dz. compute the force on\nthe segment using Lorentz forces and integrate the force\nover the length of the solenoid. In this case the marking\nscheme is adapted in the second aspect, awarding 0.5 p\nfor the idea of using Gauss law to find radial B-field\nSolution V. In this solution we relate the force acting\non the solenoid to the change in energy of the system.\nInvestigate the case when point O1 is located at O first.\nDue to the same current directions, the magnetic force⃗\nF1 acting on the solenoid points in direction +z. While\nkeeping the solenoid in equilibrium with external force\n−⃗F1, let it move by a small displacement δz in the posi-\ntive z direction. The work done by the external force is\nequal to the change in energy of the system:\n−⃗F1 · δ⃗z = −F1δz = δEtotal, .\nWe should be aware of the fact that the system is not\nclosed: there is also a battery and a current source in-\ncluded in the circuits. Hence, δEtotal contains the change\nin field energy and the change of energy of the power\nsources:\nδEtotal = δEfield + δEsources .\nSince the force does not depend on what kind of power\nsupplies we have, let us replace the battery with a cur-\nrent source providing constant current J = E/R.\nNow we find a relation between δEfield and δEsources\nThe energy stored in the field can be expressed as\nEfield = 1\n2L1I2 + 1\n2L2J2 + L12IJ ,\nwhere L1 is the inductance of the solenoid, L2 is that of\nthe loop and L12 is the mutual inductance of the system.\nUpon small displacement δz, only the last term changes,\nso\nδEfield = δL12 · IJ .\nThe small displacement results in a change of the flux\nenclosed by the loop and the solenoid. The flux created\nby the solenoid on the loop is L12I, and the flux created\nby the loop through the solenoid is L21J = L12J (here\nwe used the symmetry property of mutual inductance).\nDuring the short time δt of the displacement δz, the e.m.f.\ninduced in the loop (V loop\nind ) and the solenoid (V solenoid\nind\n) can\nbe expressed with Faraday’s law:\nV loop\nind\n= −δL12\nδt I ,\nV solenoid\nind\n= −δL12\nδt J .\nIn order to keep the current in the circuits constant, the\ncurrent sources need to provide an additional power, so\nthey give away extra energy (in addition to Joule heat).\nThis energy change of the sources is given by:\nδEsources =\n\u0010\nV loop\nind J + V solenoid\nind\nI\n\u0011\nδt .\nUsing the previous results we finally get:\nδEsources = −2δL12IJ = −2δEfield ,\nwhich means δEtotal\n=\n−δEfield, and hence F1δz\n=\nδEfield = δL12IJ.\nNote 1.\nNaively, one might think that we get the result\nδEtotal = δEfield if we imagine superconducting wires without\npower supplies. One can show with detailed calculation that\nin that case the currents in the loop and the coil change, as the\ntotal flux enclosed by a superconducting circuit must remain\nconstant. The correct physical justification of the appearing\nnegative sign is an important part of the solution.\nNow we calculate the change in mutual inductance\nδL12. The small displacement δz can be imagined as we\ntake a short segment from the tail O2 of the coil (con-\nsisting of Nδz/ℓturns) and move it to the head O1. As\na result, the flux produced by the loop on the solenoid\nincreases by\nδΦ12 = δL21J =\nµ0J\n2r\n|{z}\nB(at center)\nloop\nAN\nℓδz .\nFrom this we get:\nF1 = δL12IJ\nδz\n= µ0ENAI\n2ℓRr\n.\nIf the tail O2 of the solenoid is located at point O, the\ncoefficient of mutual inductance decreases upon small\ndisplacement, which results in⃗F2 = −⃗F1.\nNote 2. The field energy can be also calculated from the en-\nergy density integrated for the whole space. Instead of calcu-\nlating the total field energy, it is easier to find its change using\nthe same idea presented above, i.e. take a segment of length\nδz from the tail and move it to the head of the solenoid. As-\nsuming ℓ≫δz ≫\n√\nA, the field created by the solenoid inside\nthat segment is µ0NI/ℓ(because the field differs from this only\nat distance ∼\n√\nA from the ends). At the end we get the same\nresult for the change in field energy using the expression:\nδEfield =\n1\n2µ0\n\u0002\n(B(at centre)\nloop\n+ Bsol)2 −(B(at centre)\nloop\n)2 −B2\nsol\n\u0003\nAδz .\nNote 3. A third possibility is to calculate the potential en-\nergy change of the displaced few turns of the solenoid. The\nmagnetic moment of a segment of length δz is⃗m =⃗ezIANδz/ℓ,\nand its energy in external field is Epot = −⃗m⃗B. Important to\nhighlight that this potential energy already contains the factor\nof −1 discussed at the beginning of the solution, so the force\nacting on the solenoid can be expressed as\nF1 = −δEpot\nδz\n.\nThe external field is the superposition of the field⃗Bloop cre-\nated by the loop and the field⃗Bsol created by the coil (note that\nthis latter contains a factor of 1/2 compared to the field in the\nmiddle of the solenoid). Since⃗Bsol is the same at the two ends\nO1 and O2, the energy change is:\nδEpot = −⃗m⃗B(at center)\nloop\n−⃗m⃗Bloop(z = ℓ) .\nThe second term can be neglected, and we get\nδEpot = −IANδz\nℓ\nµ0E\n2Rr ,\n\nEuPhO-2020 Online\nTheoretical Solutions. Language: English\nwhich gives the same answer for F1 as the other ideas.\nGrading scheme: T1 part a., Solution V.\nEquating force to energy change in\nsystem\n0.5 p\nFormulating\nenergy\nequation\n(if\nsources are missing 0.2 p)\n0.5 p\nexpressing δEfield through contribu-\ntions from currents and an interac-\ntion term\n1.0 p\nderiving that δEsources = −2δEfield\n1.0 p\ncomputing the change in field energy\nand final result for force.\n1.5 p\ncorrect direction for⃗F1 0.5 p, and⃗F2\nantiparallel to⃗F1 0.5 p\n1.0 p\nTotal for part a.:\n5.5 p\nPart b. In order to plot a graph displaying the im-\nportant features, it is beneficial to make some calcula-\ntions. The problem text does not specify the zero point\nof time, so take t = 0 in the moment when the center of\nthe solenoid is located at point O. This means that at time\nt the head O1 of the solenoid is located at z1 = ℓ/2 + vt,\nwhile the tail O2 is located at z2 = −ℓ/2 + vt.\nThe current flowing in the loop at an arbitrary mo-\nment of time is given by\nJ(t) = E + Vind(t)\nR\n,\nwhere Vind(t) is the induced electromotive force in the\nloop as a function of time. Two different approaches can\nbe found below which give an analytical formula for this\ninduced e.m.f.\nSolution I. We may again approximate the magnetic\nfield outside the solenoid by a field created by two mag-\nnetic poles at z1 and z2, respectively. The resulting mag-\nnetic flux through the loop can be calculated by consid-\nering the solid angle the loop extends as seen from either\nof the poles. Using the total magnetic flux of the poles as\ncalculated in Solution I for part a. we get\nΦloop = µ0NIA\n2 ℓ\n(\nz1\np\nz2\n1 + r2 + 1 −\nz2\np\nz2\n2 + r2 −1\n)\n.\nUsing this result and ˙z1 = ˙z2 = v the induced e.m.f. can be\ncalculated with Faraday’s law Vind = −dΦloop/dt , which\ngives\nVind = −v µ0NIA\n2 ℓ\n\u001a\nr2\n(z2\n1 + r2)3/2 −\nr2\n(z2\n2 + r2)3/2\n\u001b\n.\nSolution II. The rate of change of flux produced by\nthe solenoid through the loop can be expressed in terms\nof the mutual inductance L12 of the solenoid with respect\nto the loop:\ndΦ12\ndt\n= d\ndt(L12I) = I dL12\ndt\n.\nUsing the symmetry property of mutual inductance\n(L12 = L21), instead of calculating ˙L12 let us find the\ntime derivative of L21, i.e. the mutual inductance of the\nloop with respect to the solenoid. For this, imagine that\nthe current in the loop is constant J0, and calculate the\nchange of flux produced by the loop through the solenoid\nduring a short amount of time dt! The small displace-\nment vdt of the solenoid can be considered as moving a\nshort segment of length vdt from the tail to the head. The\nchange in flux in this segment is given by\ndΦ21 = dL21J0 = vdtNA\nℓ\n\u0000Bloop(z1) −Bloop(z2)\n\u0001\n.\nUsing the formula for Bloop(z) obtained from Biot–\nSavart-law (see Solution IV for part a.) we get\ndL21\ndt\n= v NA\nℓ\nµ0\n2\n\u0014\nr2\n(z2\n1 + r2)3/2 −\nr2\n(z2\n2 + r2)3/2\n\u0015\n.\nFrom this the induced e.m.f. Vind = I ˙L12 = I ˙L21 can be\nexpressed:\nVind(t) = −dΦ21\ndt\n= −v µ0NIA\n2ℓ\n\u0014\nr2\n(z2\n1 + r2)3/2 −\nr2\n(z2\n2 + r2)3/2\n\u0015\nAlthough the analytical result gives the correct ex-\npression for the current flowing in the loop, the task in\npart b. was to plot the graph.\nThe graph should reflect the most important features\nof the function.\nFirst, Vind(t) is an odd function, i.e.\nVind(−t) = −Vind(t). For t < 0 the flux through the loop\nincreases meaning that Vind < 0 and J < E/R, while\nfor t > 0 the flux decreases, which results Vind > 0 and\nJ > E/R.\nIn different ranges of time, Vind(t) behaves very dif-\nferently.\nFor times t ≪−ℓ/(2v) and t ≫ℓ/(2v) the\nsolenoid is very far (approximately at distance vt) from\nthe current loop, and its field can be approximated by\ndipole field (proportional to v−3t−3). The time derivative\nof the field is proportional to the induced e.m.f. in the\nloop, so in this time range Vind(t) ∝t−4, and has very\nsmall value. The same result can be concluded from the\nTaylor expansion of the complete analytical formula for\nVind.\nWhen t ≈±ℓ/(2v) (with the accuracy of r/v) the effect\nof one pole of the solenoid can be neglected. The abso-\nlute value of the induced e.m.f. is maximal here:\n|Vind| = v µ0NIA\n2ℓr\n,\nso the maximal and minimal value of the current are\nJmin = E\nR −v µ0NIA\n2Rrℓ\n,\nJmax = E\nR + v µ0NIA\n2Rrℓ\n.\nAround the maximum Vind is a quadratic function of\ntime, as it can be proved with expanding the complete\nanalytical formula.\nWhen the centre of the solenoid is close to the cen-\ntre of the loop, i.e. |t| ≪ℓ/(2v), the flux barely changes,\nso Vind ≈0. A more careful analysis gives a very weak\nlinear dependence on time.\nThe statements above are summarized in the table\nbelow.\n\nEuPhO-2020 Online\nTheoretical Solutions. Language: English\ntime range\nVind(t)\nJ(t)\nt ≪−ℓ/(2v)\nsmall, ∝−1/t4\n≈E/R\nt ≈−ℓ/(2v)\nlarge, ∝−\n\u0000t +\nℓ\n2v\n\u00012\nJmin, dip\n|t| ≪ℓ/(2v)\nnegligible (∝t)\n≈E/R\nt ≈ℓ/(2v)\nlarge, ∝\n\u0000t −\nℓ\n2v\n\u00012\nJmax, peak\nt ≫ℓ/(2v)\nsmall, ∝1/t4\n≈E/R\n−ℓ\n2v\n0\nℓ\n2v\nE\nR −vµ0NIA\n2Rrℓ\nE\nR\nE\nR + vµ0NIA\n2Rrℓ\nℓ\nv\nr\nv\nt / a.u.\nJ / a.u.\nFigure 1: Qualitative graph of J as a function of time for\nℓ= 5r.\nGrading scheme: T1 part b.\nrelating J(t) to Vind or other suitable\nquantity (independent of result in a.)\n0.5 p\nthe J(t) graph is smooth everywhere\n(if graph does not capture whole do-\nmain including asymptotics, 0 p.)\n0.5 p\nJ(t) ≈E/R, except if t ≈±ℓ/(2v) (if\nJ(t) ≈E/R only asymptotically, 0.2\np)\n0.5 p\nJ(t) −E/R is clearly an odd function\n(computing analytical expression for\nJ and graph showing odd behavior is\nconsidered sufficient, if reasoning is\nmissing, 0.2 p)\n0.5 p\nJ(t) has a minimum first, then a max-\nimum ℓ/v time later (if reversed or\nthe time is incorrect, 0 p)\n1.0 p\nanalytical formula for Jmin and Jmax\n(either approximate or exact), if an-\nalytical expression is given but min-\nmax values are not determined 0.5\np are given for deriving the formula\nand realizing that min-max exist.\n1.0 p\nit is indicated that the duration of the\npeak and dip is in the range of r/v\n0.5 p\nif J(z) instead of J(t) is plotted or la-\nbels are missing on the axes 0.5 p are\ndeducted from part b. but only if 0.5\nor more marks are given to the ac-\ntual graph at all\n(-0.5 p)\nTotal for part b.:\n4.5 p\nIf no graph is drawn: max. 0.5 p for relating J(t) to Vind\nand 1.0 p for Jmin and Jmax (for a general formula with-\nout evaluation of min and max: 0.5 p) are given.\nIf B-field of the solenoid is assumed constant across loop\nor area for flux is taken to be A, 0 p are awarded for min\nand max.\nAdditional general guidelines for grading T1:\n• Grading should always follow one of the solutions de-\nscribed. If approaches for solutions are mixed the one\nresulting in the highest marks is considered.\n• Granularity for marks is 0.1 p.\n• A simple numerical error resulting from a typo is pun-\nished by 0.1 p unless the grading scheme explicitly says\notherwise.\n• Errors which cause dimensionally wrong results are\npunished by at least 50 % of the marks if dimensions\ncan easily be checked. In more complicated cases less\nmarks may be deducted.\n• Propagating errors are not punished repeatedly un-\nless they either lead to considerable simplifications or\nwrong results whose validity can easily be checked.\n• No marks are given for the directions of the forces in\na. if forces are physically incorrect (e.g. resulting force\nis calculated to zero) or if no forces are calculated.\n• If current I in solenoid is used as current in loop in-\nstead of E/R or vice versa in the calculation of the force\n0.5 p are substracted.\n• If only z-component of B-field (either from solenoid or\nloop) is determined and the force on the solenoid is de-\nrived from this using Lorentz-forces, marks are only\ngiven for ideas (max. 1.0 p.) and the use of the Biot–\nSavart law (max. 1.0 p)\nT2: Mechanical accelerator\nφ\nRelative to Earth\nlP\nP\nR\nr\nP\n\u0001v\nRotating system of reference\nQ\nFigure 2: Mechanical accelerator\nSolution I. Part 1: Thread in contact with the cylinder.\nThe velocity of the mass P can be decomposed into longi-\ntudinal component vl along the thread, and a transverse\ncomponent v⊥perpendicular to the thread:⃗\nv = vl⃗e1 + v⊥⃗e2\nwhere the unit vectors⃗e1 and⃗e2 are parallel and per-\npendicular to the thread, respectively (see Fig. 2). Since\nthe thread is inextensible, the longitudinal component is\nconstant: vl = −u, i.e.⃗\nv = −u⃗e1 + v⊥⃗e2\nThe acceleration of P is, respectively:⃗\na = d⃗v\ndt = −ud⃗e1\ndt + v⊥\nd⃗e2\ndt + dv⊥\ndt⃗e2\n\nEuPhO-2020 Online\nTheoretical Solutions. Language: English\nVectors⃗e1 and⃗e2 form a coordinate system, which ro-\ntates as a rigid object with an angular velocity:⃗\nω = dϕ\ndt⃗e3\nwhere⃗e3 =⃗e1 ×⃗e2 is a unit vector perpendicular to the\nplane of motion, i.e. along the cylinder axis, and ϕ is the\nangle between the thread and the X-axis. Therefore, the\ntime derivatives of the basis vectors are:\nd⃗e1\ndt =⃗ω ×⃗e1 = dϕ\ndt⃗e2\nand\nd⃗e2\ndt =⃗ω ×⃗e2 = −dϕ\ndt⃗e1\nIn this way, the acceleration of P can be represented in\nterms of the angular velocity:⃗\na = −v⊥\ndϕ\ndt⃗e1 +\n\u0012\n−udϕ\ndt + dv⊥\ndt\n\u0013⃗\ne2\nThe only force, acting on P, is the tension of the thread.\nTherefore, the component of the acceleration perpendic-\nular to the tread, i.e. along⃗e2, is null:\n−udϕ\ndt + dv⊥\ndt = 0\nAfter integration over time, we obtain a relationship be-\ntween the transverse velocity, acquired by P, and the an-\ngle of rotation of the thread:\nv⊥= uϕ\nThe end of the tread turns at a total angle of 2πN until\nthe tread detaches from the cylinder completely. There-\nfore, the transverse component of the velocity of P at the\nmoment of detachment is:\nv⊥= 2πNu\nand the magnitude of velocity:\nv =\nq\nv2\nl + v2\n⊥= u\np\n(2πN)2 + 1\nPart 2: Thread detached fom the cylinder.\nThis ex-\npression, however, still does not represent the maxi-\nmum velocity attained by P. In the frame of reference\nof the free end of the thread, the mass continues to ro-\ntate about the end of the thread. The velocity of P, rel-\native to Earth, reaches maximum in the moment when\nthe thread reaches right angle with X-axis, i.e. the trans-\nverse component of velocity of P aligns with⃗u:\nvmax = u(2πN + 1)\nSolution II. Part 1: Thread in contact with the cylin-\nder.\nConsider a point Q on the end of the thread be-\ning pulled that coincided with P at the moment when\nit touched the cylinder. Consider motion of the thread\nin a system of reference (SR), which rotates at angular\nspeed ω = u/R around the center of the cylinder. In that\nSR the part of the thread in contact with the cylinder is\nat rest and the point Q rotates around the cylinder with\nthe angular velocity ωQ = −ω (see the figure).\nSince the middle part of the thread is at rest, energy\nof the mass P is conserved. For the same reason, the ve-\nlocity vP of P is perpendicular to the thread. Therefore\nthe kinetic energy acquired by the mass in the rotating\nframe is equal to the decrease of its centrifugal potential\nenergy:\n1\n2mv2\nP = −1\n2mω2R2 + 1\n2mω2r2 = 1\n2mω2l2\nP\nwhere lP is the length of the unwound part of the thread\non the side of the mass P (see the figure). Therefore,\nthe mass P rotates around the fixture point of the thread\nwith a velocity:\nvP = u\nRlP\nand a constant angular velocity:\nωP = u\nR = ω.\nSince ωP = −ωQ, in the rotating SR the two ends of the\nthread will unwind symmetrically and the lengths of the\ntwo straight parts of the string will be equal at any mo-\nment of time. Therefore, at the moment of detachment:\nlP = 1\n2(2πRN) = πNR\nand the detachment velocity of P is, respectively:\nvP = πNu\nWhen transforming the velocity of P to the Earth’s SR,\nthe velocity⃗vP should be added to the rotational veloc-\nity⃗ω ×⃗r. It is easy to establish that the result for the\ntransverse component of P is:\nv⊥= 2vP = 2πNu\nPart 2: Thread detached from the cylinder. In that part\nwe proceed exactly as in Part 2 of the first solution.\nSolution III. Part 1: The thread in contact with the\ncylinder\nLike in Solution I we decompose the velocity into lon-\ngitudinal and transverse components, and come to the\nconclusion that the longitudinal component is vl\n=\n−u. Afterwards, the acceleration of P is expressed. In\nthis case, however, we consider the longitudinal (cen-\ntripetal) component of the acceleration:\nal = −v2\n⊥/l ≡−v⊥\ndϕ\ndt\nFrom the second Newton’s law we obtain the tension F\nof the thread:\nF = −mv⊥\ndϕ\ndt\nThe rate of change of the kinetic energy of the mass is\nequal to the power of the tension force:\ndEk\ndt\n= Fvl = +mv⊥\ndϕ\ndt u\nTaking into account that:\nEk = 1\n2m(u2 + v2\n⊥)\n\nEuPhO-2020 Online\nTheoretical Solutions. Language: English\nand taking the first derivative from that expression, we\nobtain: mv⊥dv⊥/dt = mv⊥dϕ/dtu, or:\ndv⊥\ndt = udϕ\ndt\nFrom that point on we proceed exactly as in the first so-\nlution.\nGrading scheme: T2 part 1, Solution I⃗\nv is decomposed into vl and v⊥\n1.0 p\nBy condition of inextensibility vl = −u\n1.0 p\nComponents of acceleration in terms of\ndϕ/dt\n2.0 p\nThe tension force is along the thread and\na⊥= 0\n1.0 p\nFinding dv⊥/dt = u · dϕ/dt\n1.0 p\nAt the moment of detachment v⊥= 2πNu\n1.0 p\nFinal v = u\np\n1 + (2πN)2\n1.0 p\nTotal for part 1:\n8.0 p\nGrading scheme: T2 part 1, Solution II\nIntroduction of rotational SR with angular\nvelocity ω = u/R\n0.5 p\nStates that the wound string is at rest\n0.5 p\nShowing that the energy of P is conserved\n1.0 p\nShowing that the centrifugal force has po-\ntential energy EP = −mω2r2/2\n1.0 p\nConservation of energy equation\n1.0 p\nProving that lP = lQ\n0.5 p\nFinding length lP = πNR at the moment of\nrelease\n0.5 p\nFinding vP = πNu at the moment of re-\nlease\n1.0 p\nRotational velocity of the non-inertial SR\nin point P⃗vrot =⃗ω ×⃗r\n0.5 p\nFinding vrot⊥= πNu\n0.5 p\nFinal velocity relative to Earth v⊥= 2πNu\n1 p\nTotal for part 1:\n8.0 p\nGrading scheme: T2 part 1, Solution III⃗\nv is decomposed into vl and v⊥\n1.0 p\nBy condition of inextensibility vl = −u\n1.0 p\nDeriving v⊥= ldϕ/dt\n0.5 p\nFinding longitudinal acceleration al\n=\nv2\n⊥/l\n0.5 p\nUsing Newton’s second law F = mal\n0.5 p\nWriting the kinetic energy Ek = m(u2 +\nv2\n⊥)/2\n0.5 p\nUsing the work-energy theorem dEk/dt =\nFu\n1.0 p\nDeriving dv⊥/dt = udϕ/dt\n1.0 p\nAt the moment of detachment v⊥= 2πNu\n1.0 p\nFinal v = u\np\n1 + (2πN)2\n1.0 p\nTotal for part 1:\n8.0 p\nGrading scheme: T2 part 2, both solutions\nPosition in which maximum speed is\nachieved\n1.0 p\nValue of vmax\n1.0 p\nTotal for part 2\n2.0 p\nT3: Cat eyes\nWhen you look at the photo of the lens and/or the graph\nprovided, four regions with different brightness levels\ncan be distinguished. The brightest region represents\nthe magnified image of the blur spot created by the lamp\nthrough the lens. The blur spot is created because the\ndistance from the lens to the white sheet beneath it is\nslightly larger than the focal distance; as we can see from\nthe graph, the blur spot is of almost constant brightness\n(a flat plateau at log10 I = 4.4), so we can say that the\nentire luminous flux falling from the lamp onto the lens\nis distributed evenly over the blur spot. Note that the\nblur spot has no sharp edges, though, as you would ex-\npect from in such case. This is because the image of this\nbright disc is situated between the lens and the camera,\nand is at a fairly big distance away from the plane which\nis sharp at the image sensor (as seen from the photo,\nthe camera is focused onto the lens). Because of that,\nthe enlarged image of the blur spot has blurred edges in\nthe photo (at the blurred edges, log10 I varies from 3.4 to\n4.4). The second-brightest region (with log10 I = 3.4) rep-\nresents the scattered light from the brightest region: in\nthat region, we are still looking through the lens, and see\nthe area next to the bright blur spot on the sheet. Ideally,\nits should be darker than the sheet seen in those places\nwhere it is not obstructed by the lens, because the lens\nis shading the light from the lamp. However, the glass\nelements of this big lens are non-ideal (and there are\nmany glass elements inside the lens!), so the light from\nthe lamp and the bright blur spot is scattered towards\nthe camera giving rise to an increased apparent bright-\nness. In the area where we see the blur spot, this light is\ninsignificant (much weaker than the light from the blur\nspot), but not so in this dark area: here, the scattered-\nfrom-the-glass-surfaces dominates heavily over the light\ncoming from the paper sheet. As a matter of fact, this\nfact could be used to improve the accuracy of the calcu-\nlations: we could subtract the contribution of the scat-\ntered light (103.4) from the total intensity of the light at\nthe brightest spot (104.4) to obtain the contribution com-\ning from the blur spot on the sheet. The darkest regions\n(with log10 I < 1.75) represent the interior black paint-\ning of the lens seen through the big front glass element\nof the lens, which absorbs most of the incident light, and\nthe region with x > 420 and log10 I = 1.95 represents the\nwhite sheet illuminated by the lamp. The ratio between\nthe measured light intensity of the brightest region and\nthat of the region with x > 420 can be utilized to find the\ndistance of the sheet (the blur spot) from the lens to the\npaper sheet d0, see below.\nFrom the data given in the problem text we know that\nL ≫f; from the photo of the lens, it is also clear that d0\nis of the same order of magnitude as f. Because of that,\nthe illuminance E (luminous flux per unit area) near the\nlens can be assumed to be the same as at the paper sheet,\nThe luminous flux per solid angle and unit area of a light-\nscattering (or radiating) surface is called the luminance\nL ; since all these directions under which the scattered\nlight enters the lens aperture are close to the surface nor-\nmal, we may assume the luminance of the paper sheet\nto be constant over all these directions. With the small\n\nEuPhO-2020 Online\nTheoretical Solutions. Language: English\nangle approximation, the light intensity I (illuminance,\nluminous flux Φ per unit area) at the camera sensor is\nproportional to L (see Explanation 1).\nThe luminance of the blur spot on the sheet LBS is 1/k\nlarger than the luminance Ls of the paper sheet, where\nk equals the ratio between the area of the bright dot (the\nblur spot) on the paper sheet and the area of the lens, be-\ncause all the light received by the lens is “compressed”\ninto the tiny blur spot.\nSmall angle approximation is also used to show that\nluminance of the image of the blur spot LI equals to\nthe luminance of the blur spot LBS (see Explanation\n2). Therefore, the light intensity at the sensor cells corre-\nsponding to the brightest area (where we see the image\nof the blur spot) II = Is/k, where Is stands for the in-\ntensity at the cells corresponding to unobscured paper\nsheet. So, from the graph, we can deduce the value of\nk, and knowing k we can calculate d0. Let the distance\nalong the axis between the image of the bright region\nthrough the lens and the lens itself be denoted as dS; ac-\ncording to the Newton’s lens formula, (dS −f)(d0 −f) =\nf 2. Hence,\ndS = f +\nf 2\nd0 −f =\nd0f\n(d0 −f)\ncan be also determined.\nHypothesize that d0 −f ≪f. Let us calculate the di-\nameter of the image of the blur spot\nDI = DBSdS\nd0\n= DBSf\nd0 −f ,\nwhere the diameter of the blur spot on the sheet\nDBS = D(d0 −f −s)\nf + s\n≈D(d0 −f −s)\nf\n,\nand s denotes the distance of the image of the point\nsource from the focal plane. Using Newton’s lens for-\nmula, s = f 2/(L −f −d0) ≈f 2/L, This leads us to\nDBS ≈D\n\u0012d0 −f\nf\n−f\nL\n\u0013\nand therefore\nDI ≈D\n\u0014\n1 −\nf 2\nL(d0 −f)\n\u0015\n.\nKeeping in mind that d0 −f = d0f\ndS ≈f 2\ndS , we obtain\nDI ≈D\n\u0012\n1 −dS\nL\n\u0013\n= D(L −dS)\nL\n.\nThis means that as seen from the position of the cam-\nera, the angular size of the image of the blur spot θBS =\nDI/(L −dS) equals to the angular size of the lens aper-\nture θL = D/L. This fact is easily confirmed from the\nphoto and is an important observation for two reasons.\nFirst, it means that based on the angular diameter of the\nimage of the blur spot on the photo, it is impossible to\nfigure out the distance d0 (and hence, dS). Second, it al-\nlows us to measure instead of the angular distance θ be-\ntween the centre of the lens and the centre of the image\nof the blur spot (as seen from the position of the camer-\naline), the respective distance between the edges of the\nrespective circles. Equality of these two angular sizes is\nalso easily seen from the geometric construction, see the\nfigure. Ineed, consider blue lines SAG and SBF which\narrive from the lamp S to the edges of the blur spot. Im-\nage of point F, denoted by J, is now easily found as the\nintersection point of the ray SBF with the ray FO (pass-\ning through the centre of the lens); image H of the other\nedge of the blur spot is found in the same way. From\nthis construction, it becomes clear that the angular size\nof the image of the blur spot and the lens, as seen from\nthe camera, are exactly equal, without any approxima-\ntion. Due to the smallness of the distance h, these angu-\nlar sizes remain almost constant when the observation\npoint is moved from S to C.\nGiven the images are approximately circular, the\narea ratio k equals (DBS/D)2, or\n±\n√\nk = 1\nf\n\u0012\nd0 −\nLf\nL −f\n\u0013\n= d0\nf −\nL\nL −f .\nIn the above equation, the ± sign represents the two\ncases where the paper sheet is behind or in front of the\nimage of the lamp. From the graph, the ratio between\nthe intensity of the brightest region and the dark region\nwith x > 420 is 104.4−1.95 ≈282, which equals 1/k. Then,\nd0/f can be found to be ±\n√\nk + 1 + f/L, which gives two\nsolutions d0/f ≈1.07 and d0/f ≈0.95.\nAccording to\nthe experimental settings given in the problem text, d0\nis greater than f, and thus we obtain d0/f ≈1.07 and\ndS ≈15.03f ≈83 cm. This also verifies the hypothesis\nthat d0 −f ≪f.\nThe centre of the image of the blur spot is positioned\nat the height h′ = h dS\nL above the direction to the centre\nof the lens (this expression from similarity of the trian-\ngles OQP and OCS) which means that θ = h′/(L −dS);\nmeanwhile, the angular diameter of the lens θL = D/L.\nTherefore,\nθ\nθL\n=\nhdS\nD(L −dS).\nThe ratio of the angular distances is easily measured\nfrom the figure as the ratio of the width dcr of the\ncrescent-shaped second-brightest region to the diameter\nof the lense’s aperture D′:\nh = dcr\nD′\nD(L −dS)\ndS\n.\nBased on the graph, dcr ≈90 pixels (midpoint of the\nblurry edge is around x ≈120 px, and the left edge of\nthe aperture (in the graph) is at x ≈30 px; the right edge\nof the lens aperture is at x ≈240 px corresponding to\nD′ = 210 px and yielding h ≈80 mm.\nRemark 1. In order to obtain the final answer with a\nreasonably good accuracy, it is not strictly speaking nec-\nessary to show that the apparent angular diameters of\nthe lens and of the image of the blur spot are equal. All\nthe other calculations remain the same, just one needs\nto match a circle with the circular segment of the visi-\nble edge of the blur spot, and measure directly h′, the\ndistance between the centre of the lens and the centre\nof the blur spot, together with the diameter of the lens\naperture D′ (see the small figure).\nRemark 2. The width of the crescent-shaped second-\nbrightest area can be also measured from the photo of\n\nEuPhO-2020 Online\nTheoretical Solutions. Language: English\nthe lens with the required accuracy; however, measur-\ning in pixels from the graph is more accurate.\nExplanation 1: Consider a small light source of lu-\nminance L and surface area S at a large distance ↕from\nthe camera. The illuminance (the luminous flux per unit\narea) at the position of the camera is proportional to ↕−2\nand so is the total luminous flux received by the whole\nsensor. Meanwhile, all this light energy is focused onto a\nsmall area S′ on the sensor — onto the image of the light\nsource, and this area is also proportional to ↕−2. There-\nfore, the illuminance I at the position of those sensor pix-\nels which are covered by the image is independent of the\ndistance ↕.\nExplanation 2: Consider a very narrow cone of light\nof solid angle ω, starting from a very small area S at\nthe blur spot in a direction close to the surface normal,\nand carrying a total luminous flux Φ. Since the cone is\nnarrow, this light beam is entirely caught by the lens at\ndistance d0, and focused onto the image of surface area\nS′ = S(dS/d0)2 at distance dS from the lens. The light rays\nof this beam traverse the focus and form another light\ncone of solid angle ω′ departing from the image. It is easy\nto see from similar triangles that ω/ω′ = (dS/d0)2. Then,\nthe luminance of the image LI = Φ/(S′ω′) = Φ/(Sω), i.e.\nequal to the luminance of the blur spot.\nh’\nD’\nO\nsheet\nblur spot\nfocal plane\nd0\nf\nL-d0\ndS\nS\nC\nA\nB\nQ\nimage of the\n    blur spot\nto the centre of the lens\nto the centre of the bright spot\nP\nL\nF\nG\nH\nJ\nh’\nRemark 3: After having derived Explanation 1 and\nExplanation 2 and calculated d0, the geometrical optics\naspect can also be tackled by considering the image of\nthe camera through the lens. The region bounded by the\ndarkest ring in the image represents the area on the pa-\nper sheet that is observable by the camera through the\nlens. This area can be approximated by a circular spot\nwith diameter d (represented by D′ in the graph) depend-\ning negligibly on the size of the lens of the camera. Given\nsmall angles and that the lamp and the camera have\nequal distances to the lens, the bright spot on the paper\nsheet also has a diameter of d, which means d = D\n√\nk.\nThe angular distance between the lamp and the cam-\nera as seen from the center of the lens is h/(L −d0), and\ntherefore, the distances between the two spots’ centers,\nand also thus their boundaries (represented by dcr in the\ngraph), on the paper sheet are d0h/(L −d0). We then ob-\ntain an equivalent equation to that above:\nd0h/(L −d0)\nD\n√\nk\n= dcr\nD′ ⇔h = dcr\nD′ D\n√\nk L −d0\nd0\n≈80 mm.\nIt should be noted that, compared to the original anal-\nysis, the deviation in this calculation caused by f/L (in\nfinding d0 and dS) on the final result reduces drastically\n(from approximately 20% down to approximately 1%).\nEven if d0 ≈f is assumed, the result is only deviated by\napproximately 7%.\n\nEuPhO-2020 Online\nTheoretical Solutions. Language: English\nGrading scheme: T3\nUnderstanding that the brightest spot is the magnified image of the blur spot through the lens (by\nexplicitly stated or shown in a diagram or implicitly assumed in a correct full solution). Otherwise,\na partial score of 1.0 p is given for understanding that the brightest spot is caused by light scattered\nfrom the blur spot. A partial score of 2.0 p is given for understanding that the brightest spot is\ncaused by light scattered from the blur spot and that the light passes once more through the lens\nbefore reaching the camera.\n2.5 p\nUnderstanding that the region on the graph with x > 420 represents the unobscured paper sheet (0.2\np). Finding the ratio 1/k of the intensities at the brightest area and at the unobscured paper sheet\n(or its reciprocal or its logarithm) from the graph (0.8 p). Subtract 0.2 p if the mistake in taking the\nreading for log10(I1/I2) is more than 0.05 but less than 0.1 and subtract 0.4 p if the mistake is bigger\nthan 0.1.\n1.0 p\nExpressing k correctly in terms of the ratio of the distances (either d0/f or dS/f or anything equiva-\nlent). Partial score of 2 p if initial expressions are correct, but final expression of a ratio of distances\nis not obtained. These 2 p are distributed in this way: 0.5 p for showing that I1/I2 equals the ratio\nof the luminances of the paper sheet and the image of the blur spot, 0.5 p for showing that the lumi-\nnance of the image of the blur spot equals the luminance of the blur spot itself; 0.4 p, 0.3 p, and 0.3\np for the thin lens equation, the expression of k in terms of the diameters and the expression of the\ndiameters in terms of the relevant distances, respectively. Subtract 0.5 p if the original direction is\nused and f/L is neglected as compared to\n√\nk (either in the initial set-up or during simplifications).\n2.5 p\nRelating correctly ratio of distances measurable either on the graph or on the photo to h. Partial\nscore of 1.5 p if initial expressions are correct, but the final expression for a ratio of distances is not\nobtained or is incorrect. These points are distributed as follows: 0.3 p for the thin lens equation\nfor the image of the blur spot (or for the image of the camera if alternative approach is used); 0.4\np for showing that θBS = θL; 0.4 p for a single relevant equation that relates h to other distances;\n0.4 p for a single relevant equation that relates a ratio of measurable distances to other distances in\nthe system. Partial score of 1.0 p if initial expressions are not correct, but a diagram is drawn which\nshows the measurable-from-the-figures distances, together with other related distances, in a correct\nway.\n2.0 p\nMeasuring these distances with a reasonable accuracy (only if the previous subscore is not 0). Partial\nscore of 0.5 p if a relative mistake made in the range of 20% to 30%, and 0.8 p if in the range of 10%\nto 20%\n1.0 p\nObtaining final answer with a reasonable accuracy. Partial score of 0.5 p if final formula is derived\nbut not calculated numerically. Subtract 0.5 p if calculation mistake is made and subtract 0.2 p for\nrounding the result more than by 10%\n1.0 p\n","shared":true,"sourcePages":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10],"initialPage":7}},{"id":"eupho-2019-t1","importedOn":"2026-10-28","language":"en","sources":[{"url":"https://eupho.ee/wp-content/uploads/2020/07/EuPhO_2019_theory_problems.pdf","kind":"statement"},{"url":"https://eupho.ee/wp-content/uploads/2020/07/EuPhO_2019_theory_solutions.pdf","kind":"solution"}],"statement":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/eupho-2019-statement/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/eupho-2019-statement/page-1.webp","width":982,"height":1389}],"text":"Theoretical Problems Text for Student: COM-A1\n1\nIce pellets\nAn interesting weather phenomenon can occur when\nthe temperature profile in the atmosphere shows an in-\nversion.\nThe solid blue line in figure 1 shows such a\ntemperature profile. The inversion occurs at heights be-\ntween 1 km and 2 km.\nUnder these conditions snow falling through the atmo-\nsphere (partially) melts in the warmer layer and (par-\ntially) freezes again before reaching the ground in the\nform of “ice pellets”.\n−4\n−2\n2\n4\n6\n8\n1\n2\n3\n4\nhA\nhB\nT / ◦C\nh / km\nFigure 1: Atmospheric temperature T vs. height h above\nthe ground.\nAssume that a small, spherical ice droplet almost com-\npletely melts while falling through the atmospheric layer\nbetween hA and hB where the temperature is above\nfreezing point.\na. Determine the mass fraction of the droplet that\nfreezes before reaching the ground.\nb. Find, as precisely as possible, the temperature of the\ndroplet at ground level if there were no inversion\nand the temperature profile followed the dashed\nline below a height of 2 km.\nNeglect evaporation, condensation and size changes of\nthe droplet. Assume that water and ice have very high\nthermal conductivity and that the density of the atmo-\nsphere is constant with height.\nUse cwater = 4.2 kJ kg−1 K−1 for the the specific heat of\nwater and cice = 2.1 kJ kg−1 K−1 for that of ice. The spe-\ncific latent heat for the melting of ice is L = 334 kJ kg−1.\n2\nMotion of a charged ball\nA solid, homogeneous spherical ball of mass m and ra-\ndius R is made of insulating material and has charge Q\ndistributed uniformly throughout its volume. The ball is\nplaced on a large horizontal surface, and set in rolling\nmotion without slipping in such a way that its center\nstarts to move with initial horizontal velocity v0. There\nis a uniform magnetic field (flux density) of magnitude\nB perpendicular to the surface. The coefficient of static\nfriction is large enough to prevent the ball from slipping\non the surface. The moment of inertia of the ball about\nan axis through its center is 2mR2/5.\nDescribe the motion of the center of the ball and the\nshape of its trajectory.\nHint: Depending on your approach you may use the\nfollowing identity:⃗\na × (⃗b ×⃗c) =⃗b (⃗a ·⃗c) −⃗c (⃗a ·⃗b)\nvalid for any three vectors⃗a,⃗b and⃗c.\n3\nWater hose\nA stream of water exits from the nozzle of a hose with a\nconstant unknown speed v. A child plays with the hose\nby rotating it randomly in a fixed vertical x-y plane. The\nnozzle is kept at x = y = 0 m, and the angle between\nthe nozzle’s axis and the horizon is never less than 45◦.\nAt each moment in time, the stream in the air has an ir-\nregular shape. The shape at one instant is shown in the\nfigure below.\nUsing this figure, determine the exit speed v if the free\nfall acceleration is g = 9.8 m/s2.\n0\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n10\n1\n2\n3\n4\n5\n11\nFigure 2: Shape of the water stream at a certain moment in time (larger version provided on separate sheet).\n","shared":true,"sourcePages":[1],"initialPage":1},"solution":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/eupho-2019-solution/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/eupho-2019-solution/page-1.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2019-solution/page-2.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2019-solution/page-3.webp","width":982,"height":1389}],"text":"Solutions to Theoretical Problems\n1\nIce pellets\na. With the given assumptions of constant droplet size\nand constant atmospheric density the drag force\nleads to a constant velocity v for the fall of the\ndroplet through the atmosphere.\nWe can assume that the droplet temperature Td\nabove hA follows the atmosphere temperature pro-\nfile (also see below) and remains constant and equal\nto T0 = 0 ◦C during the melting below that height.\nFor small temperature differences ∆T = T −Td the\nheat exchange rate is proportional to this difference\ndQ/dt = κ ∆T. The factor κ depends on the droplet\ngeometry and its velocity, as well as on the air den-\nsity. Since these are constant κ = const.\nIn the region between hA and hB the droplet is there-\nfore heated at a rate\ndQ = κ (T −T0) dt = −κ (T −T0) dh\nv ,\n(1)\nThe total heat transfer between hA and hB is\nQ = κ A\nv\n= m L ,\n(2)\nwhere A = 5.0 km ◦C is the area between the tem-\nperature curve and the height-axis in the region\nbetween heights hA and hB.\nThe right hand side\nequates the heat with the latent heat necessary to\ncompletely melt the ice droplet of mass m.\nIn the region below hB the liquid droplet partially\nfreezes again. During this process the temperature\nis again constant. The mass fraction η of liquid freez-\ning before reaching the ground can again be derived\nfrom the area A′ = 4.0 km ◦C between the curve and\nthe height-axis.\nQ′ = −κ A′\nv\n= −η m L ,\n(3)\nDividing (3) by (2) gives the mass fraction\nη = A′\nA = 4\n5 = 0.80 .\n(4)\nb. If the temperature profile follows the dashed line\nthe droplet will completely melt and the heat trans-\nferred from the atmosphere will heat it up. Since\nthe latent heat of melting is much bigger than the\nspecific heat of water times some degrees of tem-\nperature variation the temperature of the liquid\ndroplet will closely follow the temperature of the\natmosphere eventually. Its temperature at ground\nlevel should therefore be close to 8 ◦C.\nFor a better estimate let us introduce a new coor-\ndinate x whose origin is at the height, where the\ndroplet is completely molten (somewhat higher than\nhB), and which is oriented downwards.\nFor the\nchange in temperature of the droplet we then have\nm cwater\ndTd\ndt = m cwater v dTd\ndx = κ (T −Td) ,\n(5)\nwhere the temperature of the atmosphere is given\nby T(x) = T(x = 0) + 2.0 ◦C km−1 x =: T(x = 0) + b x.\nFor the difference ∆T = T −Td between the atmo-\nspheric temperature and the droplet temperature\nwe have:\nd∆T\ndx\n= b −dTd\ndx = b −\nκ\nm cwater v ∆T .\n(6)\nThis differential equation is solved by\n∆T = b x0 + const · exp(−x/x0) ,\n(7)\nwhere x0 = m cwater v/κ. From equation (2) we find\nthat m v\nκ\n=\nA\nL such that x0 =\ncwater\nL\nA ≈0.063 km.\nTherefore the exponential factor in the above equa-\ntion is negligible at ground level (the constant is\nclose to 4 ◦C) and we arrive at a temperature differ-\nence between the droplet temperature and the at-\nmospheric temperature at ground level of\n∆T ≈0.13 ◦C,\nand therefore\nTd ≈7.9 ◦C .\n(8)\nAnother phenomenon, which effectively shifts at-\nmosphere temperature as it is “felt” by the droplet\nis due to viscous dissipation. It can be estimated by\nequating the droplet potential energy loss rate mgv\nto thermal power carried away by the circumfluent\nair κ∆T ∗. This gives ∆T ∗∼mgv/κ = gA/L = 0.17 ◦C.\nIf both corrections were taken into account, then\nthe droplet temperature before hitting the ground\nwould again be Td ≈8.0 ◦C.\n2\nMotion of a charged ball\nThe forces acting on the ball are the static frictional\nforce⃗F, the gravitational force, the normal force, and the\nLorentz force⃗FL caused by the magnetic field. None of\nthese forces perform mechanical work on the ball, so the\ntotal kinetic energy of the ball is conserved. Due to the\ncondition of pure rolling, the speed of the center of the\nball v is proportional to the angular speed ω of the rolling\nmotion, i.e. the total kinetic energy can be expressed in\nterms of v2. As a result, the speed of the center of the\nball remains constant, but the direction of velocity may\nchange.\nThe net Lorentz force acting on the ball can be ex-\npressed with the help of the velocity of the center of the\nball⃗v :\n(1)⃗\nFL = Q⃗v ×⃗B,\nwhich can be proven by summing up the magnetic forces\nacting on the small pieces of the ball.\nProof 1. Let us denote the charge of the ith small piece by ∆Qi, the\nposition vector directed from the center of the ball to the small piece\nby⃗xi. The velocity of this small piece is given by⃗\nvi =⃗v +⃗ω ×⃗xi,\nso the net Lorentz force can be written as⃗\nFL =\n∑\ni\n∆Qi⃗vi ×⃗B =\n∑\ni\n∆Qi⃗v ×⃗B +\n∑\ni\n∆Qi (⃗ω ×⃗xi) ×⃗B.\nThe second sum gives zero, because terms containing⃗xi and −⃗xi can-\ncel each other pairwise. From the first sum⃗v ×⃗B can be taken out,\n\nSolutions to Theoretical Problems\nso at the end the net force is the same as the Lorentz force acting on a\npoint charge moving with the velocity of center of mass\nThe speed of the center of the ball does not change,\ni.e. the net force (which is horizontal) should be perpen-\ndicular to the velocity⃗v of the center. Since the Lorentz\nforce is always perpendicular to⃗v, so should be the static\nfrictional force⃗F, as well. The magnitude of⃗F cannot de-\npend on the position, only on the speed of the ball, so |⃗F|\nmust remain constant during the motion. As a result, the\nnet force (i.e. the acceleration of the center of the ball) is\nconstant in magnitude, so the ball’s center will perform\na uniform circular motion with speed |⃗v| = v0 (see the\nFigure).\nNow we can write down the equation of motion of the\nball. The acceleration of the center of mass is horizontal,\nwhich is caused by the static frictional force and the net\nLorentz force, so with the help of equation (1) Newton’s\n2nd law in the radial direction can be written as\n(2)\nQvB −F = mrΩ2,\nwhere r is the radius of the circular trajectory of the cen-\nter of mass and Ωis the angular speed of the circular\nmotion. We can obtain a relationship between the two\nangular speeds from the condition of pure rolling:\n(3)\nv0 = Rω = rΩ.\nThe magnetic field also exerts a net torque on the\ncharged ball. The torque is given by⃗\nτL = Q\n2m⃗L ×⃗B,\nwhere⃗L is the angular momentum of the ball with re-\nspect to the center.\nProof 2. As the ball rolls on the surface, moving charges form loop\ncurrents which represent a net magnetic moment. A small piece of\ncharge ∆Qi corresponds to current\nIi = |⃗ω|\n2π ∆Qi,\nso the contribution of this piece to the net magnetic moment⃗µ has mag-\nnitude Ii πx2\ni,⊥, where xi,⊥is the distance of the small piece from the\nrotation axis of the ball. The direction of the net magnetic moment is\nparallel with the vector⃗ω, and its magnitude can be written as the sum⃗\nµ = 1\n2⃗ω\n∑\ni\n∆Qi x2\ni,⊥.\nHere we don’t need to evaluate the sum (integral), if we use the analogy\nwith the moment of inertia:\n∑\ni\n∆mi x2\ni,⊥= 2\n5 mR2\n−→\n∑\ni\n∆Qi x2\ni,⊥= 2\n5 QR2 .\nSo the net magnetic torque acting on the ball (in the form of couples)\nis given by⃗\nτL =⃗µ ×⃗B = 1\n5 QR2⃗ω ×⃗B = Q\n2m⃗L ×⃗B .\nThe angular acceleration of the ball is caused by the\nfrictional torque and the magnetic torque. As it can be\nseen from the Figure, both torques have the same direc-\ntion, which is perpendicular to the ball’s angular veloc-\nity. As a result, the axis of rotation of the ball precesses\nin the horizontal plane. To satisfy the condition of pure\nrolling, the angular speed of the precession must be Ω.\nDuring precession the rate of change of the angular mo-\nmentum is given by |⃗L|Ω, so the equation of rotational\nmotion for the center of the ball is\n(4)\n1\n5QR2ωB\n|\n{z\n}\n|⃗τL|\n+RF = 2\n5mR2ω\n|\n{z\n}\n|⃗L|\nΩ.\nFrom equations (2), (3) and (4) the radius and the an-\ngular velocity of the circular motion can be expressed:\nr = 7\n6\nmv0\nQB\nand\nΩ= 6\n7\nQB\nm .\n3\nWater hose\nTo begin with, let us notice that the envelope of the\ntrajectories of balls thrown from the origin with the\nsame launching speed v at different launching angles is\na parabola (1 pt), and the focus of the parabola is the\nlaunching point (1 pt).\nThis fact can be proved as follows (the proof is not required from the\ncontestants). The trajectory of the ball can be expressed parametrically\nas x = v cos αt, y = v sin αt −1\n2 gt2. Upon eliminating t we obtain\ny = x tan α −\ng\n2v2 x2(1 + tan2 α).\nWe can consider this as an equation for finding the angle α to reach\nthe point (x, y):\ngx2 tan2 α −2v2x tan α + 2v2y + gx2 = 0.\nThe points at the envelope separate the points for which the solution to\nthis equation does exist from the points for which the solution does not\nexist, hence for the envelope points the discriminant of the equation\nmust be zero,\nv4x2 = gx2(2v2y + gx2)\n⇒\ny = v2\n2g −gx2\n2v2 .\nWhat we got is a parabola, and the position of the focus can be deduced\nfrom this formula. Alternatively, the position of the focus can be de-\nduced from the fact that light rays parallel to the axis of a parabola con-\nverge after reflection from the parabolic shape into its focus. Indeed,\nthe touching point of the envelope with a trajectory of a ball launched\nat α = 45◦must lie at y = 0 as this launching angle is known to provide\nthe longest flight distance. Hence, the envelope and the x-axis meet at\n45◦, so that a vertical beam hitting the envelope at y = 0 is reflected by\nthe envelope into a horizontal line. The focus must lie on that reflected\nbeam, i.e. at y = 0.\nThe parabolic trajectory of each water parcel must\ntouch the envelope (1 pts). Using the knowledge that the\nlaunching angles of the water parcels were never less\nthan 45◦, we conclude that the touching point must lie\nat y ≥0 (1 pt). This can be seen from the fact that a\nparcel launched at 45◦will meet the envelope at y = 0,\n\nSolutions to Theoretical Problems\nand increasing the launching angle will raise the touch-\ning point.\nThere are many ways of proving it more rigorously. For instance,\none can use the fact (proved below) that the launching velocity and\nthe tangent to the envelope at the point A where the trajectory and the\nenvelope meet are perpendicular to each other: with α + β = 90◦(β\ndenotes the angle between the tangent and the horizon) we conclude\nthat increasing α means decreasing β, hence raising A. To prove that\nα+β = 90◦, let a vertically up-directed beam be reflected from the tra-\njectory at A: it will go through the focus of the trajectory which means\nthat if we continue it through the focus and let it be reflected a second\ntime from the same trajectory, it will propagate vertically down. The\ntrajectory and the envelope are tangent at A, so the first reflection was\nalso a reflection from the envelope and the reflected beam must go\nthrough the focus of the envelope, i.e. the launching point O. Point O\nlies on the trajectory, so the second reflection point must be O. As a re-\nsult of the two reflections, the beam was diverted by 180◦which means\nthat the double sum of the incidence angles must have been 180◦, and\nhence 2α + 2β = 180◦.\nThe water parcels close to the origin are clearly yet to\nreach the envelope, and those parcels below the ground\nlevel have clearly passed the point where they touched\nthe envelope. Since the parcels form a continuous curve,\nthere must be at least one point P which is exactly at the\nenvelope 1 pts).\nThere are two ways of finding the position of the point\nP. The first approach is as follows. Notice that at P, the\nwater curve is tangent to the envelope (1 pt). Hence, ver-\ntical line drawn through P will be reflected by the water\ncurve so that it will go through the focus O (1 pt). So,\nwe need to find by trial and error such a point P on the\nupper segment of the water curve that the line OP and\na vertical line drawn through P will form equal angles\nwith the water curve at P (finding the position of P with\na reasonable accuracy: 1 pt), see the figure below.\nAlternatively, we can use the fact that for any point on\na parabola, its distance from the focus plus its distance\nfrom a horizontal line is constant. So, for an arbitrary\npoint Q = (x, y) on the envelope, y +\n√\nx2 + y2 = 2H,\nwhere H is a constant, and for any point beneath it, y +\n√\nx2 + y2 < 2H. Hence, among all the points at the water\ncurve, the point P has the largest value of y+\n√\nx2 + y2 (2\npts). We can evaluate y +\n√\nx2 + y2 for a series of points\nat the water curve and find the one with the largest value\n(finding the position of P with a reasonable accuracy: 1\npt).\n0\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n10\n1\n2\n3\n4\n5\n11\nP\nOnce we have found the point P, we can easily find\nthe height of the topmost point of the envelope due to\nthe equality y +\n√\nx2 + y2 = 2HP : for the topmost point,\nx = 0 so that its y-coordinate 2y = 2HP , hence y = HP ;\nThe topmost point of the envelope would be reached by\na water parcel launched vertically, so v2 = 2gHP , and\nv = √2gHP (1 pt). From the figure we can find 2HP =\n(3.3 +\n√\n10.82 + 3.32)m ≈14.6 m so that v ≈12 m/s (1 pt).\n","shared":true,"sourcePages":[1,2,3],"initialPage":1}},{"id":"eupho-2019-t2","importedOn":"2026-10-28","language":"en","sources":[{"url":"https://eupho.ee/wp-content/uploads/2020/07/EuPhO_2019_theory_problems.pdf","kind":"statement"},{"url":"https://eupho.ee/wp-content/uploads/2020/07/EuPhO_2019_theory_solutions.pdf","kind":"solution"}],"statement":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/eupho-2019-statement/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/eupho-2019-statement/page-1.webp","width":982,"height":1389}],"text":"Theoretical Problems Text for Student: COM-A1\n1\nIce pellets\nAn interesting weather phenomenon can occur when\nthe temperature profile in the atmosphere shows an in-\nversion.\nThe solid blue line in figure 1 shows such a\ntemperature profile. The inversion occurs at heights be-\ntween 1 km and 2 km.\nUnder these conditions snow falling through the atmo-\nsphere (partially) melts in the warmer layer and (par-\ntially) freezes again before reaching the ground in the\nform of “ice pellets”.\n−4\n−2\n2\n4\n6\n8\n1\n2\n3\n4\nhA\nhB\nT / ◦C\nh / km\nFigure 1: Atmospheric temperature T vs. height h above\nthe ground.\nAssume that a small, spherical ice droplet almost com-\npletely melts while falling through the atmospheric layer\nbetween hA and hB where the temperature is above\nfreezing point.\na. Determine the mass fraction of the droplet that\nfreezes before reaching the ground.\nb. Find, as precisely as possible, the temperature of the\ndroplet at ground level if there were no inversion\nand the temperature profile followed the dashed\nline below a height of 2 km.\nNeglect evaporation, condensation and size changes of\nthe droplet. Assume that water and ice have very high\nthermal conductivity and that the density of the atmo-\nsphere is constant with height.\nUse cwater = 4.2 kJ kg−1 K−1 for the the specific heat of\nwater and cice = 2.1 kJ kg−1 K−1 for that of ice. The spe-\ncific latent heat for the melting of ice is L = 334 kJ kg−1.\n2\nMotion of a charged ball\nA solid, homogeneous spherical ball of mass m and ra-\ndius R is made of insulating material and has charge Q\ndistributed uniformly throughout its volume. The ball is\nplaced on a large horizontal surface, and set in rolling\nmotion without slipping in such a way that its center\nstarts to move with initial horizontal velocity v0. There\nis a uniform magnetic field (flux density) of magnitude\nB perpendicular to the surface. The coefficient of static\nfriction is large enough to prevent the ball from slipping\non the surface. The moment of inertia of the ball about\nan axis through its center is 2mR2/5.\nDescribe the motion of the center of the ball and the\nshape of its trajectory.\nHint: Depending on your approach you may use the\nfollowing identity:⃗\na × (⃗b ×⃗c) =⃗b (⃗a ·⃗c) −⃗c (⃗a ·⃗b)\nvalid for any three vectors⃗a,⃗b and⃗c.\n3\nWater hose\nA stream of water exits from the nozzle of a hose with a\nconstant unknown speed v. A child plays with the hose\nby rotating it randomly in a fixed vertical x-y plane. The\nnozzle is kept at x = y = 0 m, and the angle between\nthe nozzle’s axis and the horizon is never less than 45◦.\nAt each moment in time, the stream in the air has an ir-\nregular shape. The shape at one instant is shown in the\nfigure below.\nUsing this figure, determine the exit speed v if the free\nfall acceleration is g = 9.8 m/s2.\n0\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n10\n1\n2\n3\n4\n5\n11\nFigure 2: Shape of the water stream at a certain moment in time (larger version provided on separate sheet).\n","shared":true,"sourcePages":[1],"initialPage":1},"solution":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/eupho-2019-solution/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/eupho-2019-solution/page-1.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2019-solution/page-2.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2019-solution/page-3.webp","width":982,"height":1389}],"text":"Solutions to Theoretical Problems\n1\nIce pellets\na. With the given assumptions of constant droplet size\nand constant atmospheric density the drag force\nleads to a constant velocity v for the fall of the\ndroplet through the atmosphere.\nWe can assume that the droplet temperature Td\nabove hA follows the atmosphere temperature pro-\nfile (also see below) and remains constant and equal\nto T0 = 0 ◦C during the melting below that height.\nFor small temperature differences ∆T = T −Td the\nheat exchange rate is proportional to this difference\ndQ/dt = κ ∆T. The factor κ depends on the droplet\ngeometry and its velocity, as well as on the air den-\nsity. Since these are constant κ = const.\nIn the region between hA and hB the droplet is there-\nfore heated at a rate\ndQ = κ (T −T0) dt = −κ (T −T0) dh\nv ,\n(1)\nThe total heat transfer between hA and hB is\nQ = κ A\nv\n= m L ,\n(2)\nwhere A = 5.0 km ◦C is the area between the tem-\nperature curve and the height-axis in the region\nbetween heights hA and hB.\nThe right hand side\nequates the heat with the latent heat necessary to\ncompletely melt the ice droplet of mass m.\nIn the region below hB the liquid droplet partially\nfreezes again. During this process the temperature\nis again constant. The mass fraction η of liquid freez-\ning before reaching the ground can again be derived\nfrom the area A′ = 4.0 km ◦C between the curve and\nthe height-axis.\nQ′ = −κ A′\nv\n= −η m L ,\n(3)\nDividing (3) by (2) gives the mass fraction\nη = A′\nA = 4\n5 = 0.80 .\n(4)\nb. If the temperature profile follows the dashed line\nthe droplet will completely melt and the heat trans-\nferred from the atmosphere will heat it up. Since\nthe latent heat of melting is much bigger than the\nspecific heat of water times some degrees of tem-\nperature variation the temperature of the liquid\ndroplet will closely follow the temperature of the\natmosphere eventually. Its temperature at ground\nlevel should therefore be close to 8 ◦C.\nFor a better estimate let us introduce a new coor-\ndinate x whose origin is at the height, where the\ndroplet is completely molten (somewhat higher than\nhB), and which is oriented downwards.\nFor the\nchange in temperature of the droplet we then have\nm cwater\ndTd\ndt = m cwater v dTd\ndx = κ (T −Td) ,\n(5)\nwhere the temperature of the atmosphere is given\nby T(x) = T(x = 0) + 2.0 ◦C km−1 x =: T(x = 0) + b x.\nFor the difference ∆T = T −Td between the atmo-\nspheric temperature and the droplet temperature\nwe have:\nd∆T\ndx\n= b −dTd\ndx = b −\nκ\nm cwater v ∆T .\n(6)\nThis differential equation is solved by\n∆T = b x0 + const · exp(−x/x0) ,\n(7)\nwhere x0 = m cwater v/κ. From equation (2) we find\nthat m v\nκ\n=\nA\nL such that x0 =\ncwater\nL\nA ≈0.063 km.\nTherefore the exponential factor in the above equa-\ntion is negligible at ground level (the constant is\nclose to 4 ◦C) and we arrive at a temperature differ-\nence between the droplet temperature and the at-\nmospheric temperature at ground level of\n∆T ≈0.13 ◦C,\nand therefore\nTd ≈7.9 ◦C .\n(8)\nAnother phenomenon, which effectively shifts at-\nmosphere temperature as it is “felt” by the droplet\nis due to viscous dissipation. It can be estimated by\nequating the droplet potential energy loss rate mgv\nto thermal power carried away by the circumfluent\nair κ∆T ∗. This gives ∆T ∗∼mgv/κ = gA/L = 0.17 ◦C.\nIf both corrections were taken into account, then\nthe droplet temperature before hitting the ground\nwould again be Td ≈8.0 ◦C.\n2\nMotion of a charged ball\nThe forces acting on the ball are the static frictional\nforce⃗F, the gravitational force, the normal force, and the\nLorentz force⃗FL caused by the magnetic field. None of\nthese forces perform mechanical work on the ball, so the\ntotal kinetic energy of the ball is conserved. Due to the\ncondition of pure rolling, the speed of the center of the\nball v is proportional to the angular speed ω of the rolling\nmotion, i.e. the total kinetic energy can be expressed in\nterms of v2. As a result, the speed of the center of the\nball remains constant, but the direction of velocity may\nchange.\nThe net Lorentz force acting on the ball can be ex-\npressed with the help of the velocity of the center of the\nball⃗v :\n(1)⃗\nFL = Q⃗v ×⃗B,\nwhich can be proven by summing up the magnetic forces\nacting on the small pieces of the ball.\nProof 1. Let us denote the charge of the ith small piece by ∆Qi, the\nposition vector directed from the center of the ball to the small piece\nby⃗xi. The velocity of this small piece is given by⃗\nvi =⃗v +⃗ω ×⃗xi,\nso the net Lorentz force can be written as⃗\nFL =\n∑\ni\n∆Qi⃗vi ×⃗B =\n∑\ni\n∆Qi⃗v ×⃗B +\n∑\ni\n∆Qi (⃗ω ×⃗xi) ×⃗B.\nThe second sum gives zero, because terms containing⃗xi and −⃗xi can-\ncel each other pairwise. From the first sum⃗v ×⃗B can be taken out,\n\nSolutions to Theoretical Problems\nso at the end the net force is the same as the Lorentz force acting on a\npoint charge moving with the velocity of center of mass\nThe speed of the center of the ball does not change,\ni.e. the net force (which is horizontal) should be perpen-\ndicular to the velocity⃗v of the center. Since the Lorentz\nforce is always perpendicular to⃗v, so should be the static\nfrictional force⃗F, as well. The magnitude of⃗F cannot de-\npend on the position, only on the speed of the ball, so |⃗F|\nmust remain constant during the motion. As a result, the\nnet force (i.e. the acceleration of the center of the ball) is\nconstant in magnitude, so the ball’s center will perform\na uniform circular motion with speed |⃗v| = v0 (see the\nFigure).\nNow we can write down the equation of motion of the\nball. The acceleration of the center of mass is horizontal,\nwhich is caused by the static frictional force and the net\nLorentz force, so with the help of equation (1) Newton’s\n2nd law in the radial direction can be written as\n(2)\nQvB −F = mrΩ2,\nwhere r is the radius of the circular trajectory of the cen-\nter of mass and Ωis the angular speed of the circular\nmotion. We can obtain a relationship between the two\nangular speeds from the condition of pure rolling:\n(3)\nv0 = Rω = rΩ.\nThe magnetic field also exerts a net torque on the\ncharged ball. The torque is given by⃗\nτL = Q\n2m⃗L ×⃗B,\nwhere⃗L is the angular momentum of the ball with re-\nspect to the center.\nProof 2. As the ball rolls on the surface, moving charges form loop\ncurrents which represent a net magnetic moment. A small piece of\ncharge ∆Qi corresponds to current\nIi = |⃗ω|\n2π ∆Qi,\nso the contribution of this piece to the net magnetic moment⃗µ has mag-\nnitude Ii πx2\ni,⊥, where xi,⊥is the distance of the small piece from the\nrotation axis of the ball. The direction of the net magnetic moment is\nparallel with the vector⃗ω, and its magnitude can be written as the sum⃗\nµ = 1\n2⃗ω\n∑\ni\n∆Qi x2\ni,⊥.\nHere we don’t need to evaluate the sum (integral), if we use the analogy\nwith the moment of inertia:\n∑\ni\n∆mi x2\ni,⊥= 2\n5 mR2\n−→\n∑\ni\n∆Qi x2\ni,⊥= 2\n5 QR2 .\nSo the net magnetic torque acting on the ball (in the form of couples)\nis given by⃗\nτL =⃗µ ×⃗B = 1\n5 QR2⃗ω ×⃗B = Q\n2m⃗L ×⃗B .\nThe angular acceleration of the ball is caused by the\nfrictional torque and the magnetic torque. As it can be\nseen from the Figure, both torques have the same direc-\ntion, which is perpendicular to the ball’s angular veloc-\nity. As a result, the axis of rotation of the ball precesses\nin the horizontal plane. To satisfy the condition of pure\nrolling, the angular speed of the precession must be Ω.\nDuring precession the rate of change of the angular mo-\nmentum is given by |⃗L|Ω, so the equation of rotational\nmotion for the center of the ball is\n(4)\n1\n5QR2ωB\n|\n{z\n}\n|⃗τL|\n+RF = 2\n5mR2ω\n|\n{z\n}\n|⃗L|\nΩ.\nFrom equations (2), (3) and (4) the radius and the an-\ngular velocity of the circular motion can be expressed:\nr = 7\n6\nmv0\nQB\nand\nΩ= 6\n7\nQB\nm .\n3\nWater hose\nTo begin with, let us notice that the envelope of the\ntrajectories of balls thrown from the origin with the\nsame launching speed v at different launching angles is\na parabola (1 pt), and the focus of the parabola is the\nlaunching point (1 pt).\nThis fact can be proved as follows (the proof is not required from the\ncontestants). The trajectory of the ball can be expressed parametrically\nas x = v cos αt, y = v sin αt −1\n2 gt2. Upon eliminating t we obtain\ny = x tan α −\ng\n2v2 x2(1 + tan2 α).\nWe can consider this as an equation for finding the angle α to reach\nthe point (x, y):\ngx2 tan2 α −2v2x tan α + 2v2y + gx2 = 0.\nThe points at the envelope separate the points for which the solution to\nthis equation does exist from the points for which the solution does not\nexist, hence for the envelope points the discriminant of the equation\nmust be zero,\nv4x2 = gx2(2v2y + gx2)\n⇒\ny = v2\n2g −gx2\n2v2 .\nWhat we got is a parabola, and the position of the focus can be deduced\nfrom this formula. Alternatively, the position of the focus can be de-\nduced from the fact that light rays parallel to the axis of a parabola con-\nverge after reflection from the parabolic shape into its focus. Indeed,\nthe touching point of the envelope with a trajectory of a ball launched\nat α = 45◦must lie at y = 0 as this launching angle is known to provide\nthe longest flight distance. Hence, the envelope and the x-axis meet at\n45◦, so that a vertical beam hitting the envelope at y = 0 is reflected by\nthe envelope into a horizontal line. The focus must lie on that reflected\nbeam, i.e. at y = 0.\nThe parabolic trajectory of each water parcel must\ntouch the envelope (1 pts). Using the knowledge that the\nlaunching angles of the water parcels were never less\nthan 45◦, we conclude that the touching point must lie\nat y ≥0 (1 pt). This can be seen from the fact that a\nparcel launched at 45◦will meet the envelope at y = 0,\n\nSolutions to Theoretical Problems\nand increasing the launching angle will raise the touch-\ning point.\nThere are many ways of proving it more rigorously. For instance,\none can use the fact (proved below) that the launching velocity and\nthe tangent to the envelope at the point A where the trajectory and the\nenvelope meet are perpendicular to each other: with α + β = 90◦(β\ndenotes the angle between the tangent and the horizon) we conclude\nthat increasing α means decreasing β, hence raising A. To prove that\nα+β = 90◦, let a vertically up-directed beam be reflected from the tra-\njectory at A: it will go through the focus of the trajectory which means\nthat if we continue it through the focus and let it be reflected a second\ntime from the same trajectory, it will propagate vertically down. The\ntrajectory and the envelope are tangent at A, so the first reflection was\nalso a reflection from the envelope and the reflected beam must go\nthrough the focus of the envelope, i.e. the launching point O. Point O\nlies on the trajectory, so the second reflection point must be O. As a re-\nsult of the two reflections, the beam was diverted by 180◦which means\nthat the double sum of the incidence angles must have been 180◦, and\nhence 2α + 2β = 180◦.\nThe water parcels close to the origin are clearly yet to\nreach the envelope, and those parcels below the ground\nlevel have clearly passed the point where they touched\nthe envelope. Since the parcels form a continuous curve,\nthere must be at least one point P which is exactly at the\nenvelope 1 pts).\nThere are two ways of finding the position of the point\nP. The first approach is as follows. Notice that at P, the\nwater curve is tangent to the envelope (1 pt). Hence, ver-\ntical line drawn through P will be reflected by the water\ncurve so that it will go through the focus O (1 pt). So,\nwe need to find by trial and error such a point P on the\nupper segment of the water curve that the line OP and\na vertical line drawn through P will form equal angles\nwith the water curve at P (finding the position of P with\na reasonable accuracy: 1 pt), see the figure below.\nAlternatively, we can use the fact that for any point on\na parabola, its distance from the focus plus its distance\nfrom a horizontal line is constant. So, for an arbitrary\npoint Q = (x, y) on the envelope, y +\n√\nx2 + y2 = 2H,\nwhere H is a constant, and for any point beneath it, y +\n√\nx2 + y2 < 2H. Hence, among all the points at the water\ncurve, the point P has the largest value of y+\n√\nx2 + y2 (2\npts). We can evaluate y +\n√\nx2 + y2 for a series of points\nat the water curve and find the one with the largest value\n(finding the position of P with a reasonable accuracy: 1\npt).\n0\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n10\n1\n2\n3\n4\n5\n11\nP\nOnce we have found the point P, we can easily find\nthe height of the topmost point of the envelope due to\nthe equality y +\n√\nx2 + y2 = 2HP : for the topmost point,\nx = 0 so that its y-coordinate 2y = 2HP , hence y = HP ;\nThe topmost point of the envelope would be reached by\na water parcel launched vertically, so v2 = 2gHP , and\nv = √2gHP (1 pt). From the figure we can find 2HP =\n(3.3 +\n√\n10.82 + 3.32)m ≈14.6 m so that v ≈12 m/s (1 pt).\n","shared":true,"sourcePages":[1,2,3],"initialPage":1}},{"id":"eupho-2019-t3","importedOn":"2026-10-28","language":"en","sources":[{"url":"https://eupho.ee/wp-content/uploads/2020/07/EuPhO_2019_theory_problems.pdf","kind":"statement"},{"url":"https://eupho.ee/wp-content/uploads/2020/07/EuPhO_2019_theory_solutions.pdf","kind":"solution"}],"statement":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/eupho-2019-statement/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/eupho-2019-statement/page-1.webp","width":982,"height":1389}],"text":"Theoretical Problems Text for Student: COM-A1\n1\nIce pellets\nAn interesting weather phenomenon can occur when\nthe temperature profile in the atmosphere shows an in-\nversion.\nThe solid blue line in figure 1 shows such a\ntemperature profile. The inversion occurs at heights be-\ntween 1 km and 2 km.\nUnder these conditions snow falling through the atmo-\nsphere (partially) melts in the warmer layer and (par-\ntially) freezes again before reaching the ground in the\nform of “ice pellets”.\n−4\n−2\n2\n4\n6\n8\n1\n2\n3\n4\nhA\nhB\nT / ◦C\nh / km\nFigure 1: Atmospheric temperature T vs. height h above\nthe ground.\nAssume that a small, spherical ice droplet almost com-\npletely melts while falling through the atmospheric layer\nbetween hA and hB where the temperature is above\nfreezing point.\na. Determine the mass fraction of the droplet that\nfreezes before reaching the ground.\nb. Find, as precisely as possible, the temperature of the\ndroplet at ground level if there were no inversion\nand the temperature profile followed the dashed\nline below a height of 2 km.\nNeglect evaporation, condensation and size changes of\nthe droplet. Assume that water and ice have very high\nthermal conductivity and that the density of the atmo-\nsphere is constant with height.\nUse cwater = 4.2 kJ kg−1 K−1 for the the specific heat of\nwater and cice = 2.1 kJ kg−1 K−1 for that of ice. The spe-\ncific latent heat for the melting of ice is L = 334 kJ kg−1.\n2\nMotion of a charged ball\nA solid, homogeneous spherical ball of mass m and ra-\ndius R is made of insulating material and has charge Q\ndistributed uniformly throughout its volume. The ball is\nplaced on a large horizontal surface, and set in rolling\nmotion without slipping in such a way that its center\nstarts to move with initial horizontal velocity v0. There\nis a uniform magnetic field (flux density) of magnitude\nB perpendicular to the surface. The coefficient of static\nfriction is large enough to prevent the ball from slipping\non the surface. The moment of inertia of the ball about\nan axis through its center is 2mR2/5.\nDescribe the motion of the center of the ball and the\nshape of its trajectory.\nHint: Depending on your approach you may use the\nfollowing identity:⃗\na × (⃗b ×⃗c) =⃗b (⃗a ·⃗c) −⃗c (⃗a ·⃗b)\nvalid for any three vectors⃗a,⃗b and⃗c.\n3\nWater hose\nA stream of water exits from the nozzle of a hose with a\nconstant unknown speed v. A child plays with the hose\nby rotating it randomly in a fixed vertical x-y plane. The\nnozzle is kept at x = y = 0 m, and the angle between\nthe nozzle’s axis and the horizon is never less than 45◦.\nAt each moment in time, the stream in the air has an ir-\nregular shape. The shape at one instant is shown in the\nfigure below.\nUsing this figure, determine the exit speed v if the free\nfall acceleration is g = 9.8 m/s2.\n0\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n10\n1\n2\n3\n4\n5\n11\nFigure 2: Shape of the water stream at a certain moment in time (larger version provided on separate sheet).\n","shared":true,"sourcePages":[1],"initialPage":1},"solution":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/eupho-2019-solution/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/eupho-2019-solution/page-1.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2019-solution/page-2.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2019-solution/page-3.webp","width":982,"height":1389}],"text":"Solutions to Theoretical Problems\n1\nIce pellets\na. With the given assumptions of constant droplet size\nand constant atmospheric density the drag force\nleads to a constant velocity v for the fall of the\ndroplet through the atmosphere.\nWe can assume that the droplet temperature Td\nabove hA follows the atmosphere temperature pro-\nfile (also see below) and remains constant and equal\nto T0 = 0 ◦C during the melting below that height.\nFor small temperature differences ∆T = T −Td the\nheat exchange rate is proportional to this difference\ndQ/dt = κ ∆T. The factor κ depends on the droplet\ngeometry and its velocity, as well as on the air den-\nsity. Since these are constant κ = const.\nIn the region between hA and hB the droplet is there-\nfore heated at a rate\ndQ = κ (T −T0) dt = −κ (T −T0) dh\nv ,\n(1)\nThe total heat transfer between hA and hB is\nQ = κ A\nv\n= m L ,\n(2)\nwhere A = 5.0 km ◦C is the area between the tem-\nperature curve and the height-axis in the region\nbetween heights hA and hB.\nThe right hand side\nequates the heat with the latent heat necessary to\ncompletely melt the ice droplet of mass m.\nIn the region below hB the liquid droplet partially\nfreezes again. During this process the temperature\nis again constant. The mass fraction η of liquid freez-\ning before reaching the ground can again be derived\nfrom the area A′ = 4.0 km ◦C between the curve and\nthe height-axis.\nQ′ = −κ A′\nv\n= −η m L ,\n(3)\nDividing (3) by (2) gives the mass fraction\nη = A′\nA = 4\n5 = 0.80 .\n(4)\nb. If the temperature profile follows the dashed line\nthe droplet will completely melt and the heat trans-\nferred from the atmosphere will heat it up. Since\nthe latent heat of melting is much bigger than the\nspecific heat of water times some degrees of tem-\nperature variation the temperature of the liquid\ndroplet will closely follow the temperature of the\natmosphere eventually. Its temperature at ground\nlevel should therefore be close to 8 ◦C.\nFor a better estimate let us introduce a new coor-\ndinate x whose origin is at the height, where the\ndroplet is completely molten (somewhat higher than\nhB), and which is oriented downwards.\nFor the\nchange in temperature of the droplet we then have\nm cwater\ndTd\ndt = m cwater v dTd\ndx = κ (T −Td) ,\n(5)\nwhere the temperature of the atmosphere is given\nby T(x) = T(x = 0) + 2.0 ◦C km−1 x =: T(x = 0) + b x.\nFor the difference ∆T = T −Td between the atmo-\nspheric temperature and the droplet temperature\nwe have:\nd∆T\ndx\n= b −dTd\ndx = b −\nκ\nm cwater v ∆T .\n(6)\nThis differential equation is solved by\n∆T = b x0 + const · exp(−x/x0) ,\n(7)\nwhere x0 = m cwater v/κ. From equation (2) we find\nthat m v\nκ\n=\nA\nL such that x0 =\ncwater\nL\nA ≈0.063 km.\nTherefore the exponential factor in the above equa-\ntion is negligible at ground level (the constant is\nclose to 4 ◦C) and we arrive at a temperature differ-\nence between the droplet temperature and the at-\nmospheric temperature at ground level of\n∆T ≈0.13 ◦C,\nand therefore\nTd ≈7.9 ◦C .\n(8)\nAnother phenomenon, which effectively shifts at-\nmosphere temperature as it is “felt” by the droplet\nis due to viscous dissipation. It can be estimated by\nequating the droplet potential energy loss rate mgv\nto thermal power carried away by the circumfluent\nair κ∆T ∗. This gives ∆T ∗∼mgv/κ = gA/L = 0.17 ◦C.\nIf both corrections were taken into account, then\nthe droplet temperature before hitting the ground\nwould again be Td ≈8.0 ◦C.\n2\nMotion of a charged ball\nThe forces acting on the ball are the static frictional\nforce⃗F, the gravitational force, the normal force, and the\nLorentz force⃗FL caused by the magnetic field. None of\nthese forces perform mechanical work on the ball, so the\ntotal kinetic energy of the ball is conserved. Due to the\ncondition of pure rolling, the speed of the center of the\nball v is proportional to the angular speed ω of the rolling\nmotion, i.e. the total kinetic energy can be expressed in\nterms of v2. As a result, the speed of the center of the\nball remains constant, but the direction of velocity may\nchange.\nThe net Lorentz force acting on the ball can be ex-\npressed with the help of the velocity of the center of the\nball⃗v :\n(1)⃗\nFL = Q⃗v ×⃗B,\nwhich can be proven by summing up the magnetic forces\nacting on the small pieces of the ball.\nProof 1. Let us denote the charge of the ith small piece by ∆Qi, the\nposition vector directed from the center of the ball to the small piece\nby⃗xi. The velocity of this small piece is given by⃗\nvi =⃗v +⃗ω ×⃗xi,\nso the net Lorentz force can be written as⃗\nFL =\n∑\ni\n∆Qi⃗vi ×⃗B =\n∑\ni\n∆Qi⃗v ×⃗B +\n∑\ni\n∆Qi (⃗ω ×⃗xi) ×⃗B.\nThe second sum gives zero, because terms containing⃗xi and −⃗xi can-\ncel each other pairwise. From the first sum⃗v ×⃗B can be taken out,\n\nSolutions to Theoretical Problems\nso at the end the net force is the same as the Lorentz force acting on a\npoint charge moving with the velocity of center of mass\nThe speed of the center of the ball does not change,\ni.e. the net force (which is horizontal) should be perpen-\ndicular to the velocity⃗v of the center. Since the Lorentz\nforce is always perpendicular to⃗v, so should be the static\nfrictional force⃗F, as well. The magnitude of⃗F cannot de-\npend on the position, only on the speed of the ball, so |⃗F|\nmust remain constant during the motion. As a result, the\nnet force (i.e. the acceleration of the center of the ball) is\nconstant in magnitude, so the ball’s center will perform\na uniform circular motion with speed |⃗v| = v0 (see the\nFigure).\nNow we can write down the equation of motion of the\nball. The acceleration of the center of mass is horizontal,\nwhich is caused by the static frictional force and the net\nLorentz force, so with the help of equation (1) Newton’s\n2nd law in the radial direction can be written as\n(2)\nQvB −F = mrΩ2,\nwhere r is the radius of the circular trajectory of the cen-\nter of mass and Ωis the angular speed of the circular\nmotion. We can obtain a relationship between the two\nangular speeds from the condition of pure rolling:\n(3)\nv0 = Rω = rΩ.\nThe magnetic field also exerts a net torque on the\ncharged ball. The torque is given by⃗\nτL = Q\n2m⃗L ×⃗B,\nwhere⃗L is the angular momentum of the ball with re-\nspect to the center.\nProof 2. As the ball rolls on the surface, moving charges form loop\ncurrents which represent a net magnetic moment. A small piece of\ncharge ∆Qi corresponds to current\nIi = |⃗ω|\n2π ∆Qi,\nso the contribution of this piece to the net magnetic moment⃗µ has mag-\nnitude Ii πx2\ni,⊥, where xi,⊥is the distance of the small piece from the\nrotation axis of the ball. The direction of the net magnetic moment is\nparallel with the vector⃗ω, and its magnitude can be written as the sum⃗\nµ = 1\n2⃗ω\n∑\ni\n∆Qi x2\ni,⊥.\nHere we don’t need to evaluate the sum (integral), if we use the analogy\nwith the moment of inertia:\n∑\ni\n∆mi x2\ni,⊥= 2\n5 mR2\n−→\n∑\ni\n∆Qi x2\ni,⊥= 2\n5 QR2 .\nSo the net magnetic torque acting on the ball (in the form of couples)\nis given by⃗\nτL =⃗µ ×⃗B = 1\n5 QR2⃗ω ×⃗B = Q\n2m⃗L ×⃗B .\nThe angular acceleration of the ball is caused by the\nfrictional torque and the magnetic torque. As it can be\nseen from the Figure, both torques have the same direc-\ntion, which is perpendicular to the ball’s angular veloc-\nity. As a result, the axis of rotation of the ball precesses\nin the horizontal plane. To satisfy the condition of pure\nrolling, the angular speed of the precession must be Ω.\nDuring precession the rate of change of the angular mo-\nmentum is given by |⃗L|Ω, so the equation of rotational\nmotion for the center of the ball is\n(4)\n1\n5QR2ωB\n|\n{z\n}\n|⃗τL|\n+RF = 2\n5mR2ω\n|\n{z\n}\n|⃗L|\nΩ.\nFrom equations (2), (3) and (4) the radius and the an-\ngular velocity of the circular motion can be expressed:\nr = 7\n6\nmv0\nQB\nand\nΩ= 6\n7\nQB\nm .\n3\nWater hose\nTo begin with, let us notice that the envelope of the\ntrajectories of balls thrown from the origin with the\nsame launching speed v at different launching angles is\na parabola (1 pt), and the focus of the parabola is the\nlaunching point (1 pt).\nThis fact can be proved as follows (the proof is not required from the\ncontestants). The trajectory of the ball can be expressed parametrically\nas x = v cos αt, y = v sin αt −1\n2 gt2. Upon eliminating t we obtain\ny = x tan α −\ng\n2v2 x2(1 + tan2 α).\nWe can consider this as an equation for finding the angle α to reach\nthe point (x, y):\ngx2 tan2 α −2v2x tan α + 2v2y + gx2 = 0.\nThe points at the envelope separate the points for which the solution to\nthis equation does exist from the points for which the solution does not\nexist, hence for the envelope points the discriminant of the equation\nmust be zero,\nv4x2 = gx2(2v2y + gx2)\n⇒\ny = v2\n2g −gx2\n2v2 .\nWhat we got is a parabola, and the position of the focus can be deduced\nfrom this formula. Alternatively, the position of the focus can be de-\nduced from the fact that light rays parallel to the axis of a parabola con-\nverge after reflection from the parabolic shape into its focus. Indeed,\nthe touching point of the envelope with a trajectory of a ball launched\nat α = 45◦must lie at y = 0 as this launching angle is known to provide\nthe longest flight distance. Hence, the envelope and the x-axis meet at\n45◦, so that a vertical beam hitting the envelope at y = 0 is reflected by\nthe envelope into a horizontal line. The focus must lie on that reflected\nbeam, i.e. at y = 0.\nThe parabolic trajectory of each water parcel must\ntouch the envelope (1 pts). Using the knowledge that the\nlaunching angles of the water parcels were never less\nthan 45◦, we conclude that the touching point must lie\nat y ≥0 (1 pt). This can be seen from the fact that a\nparcel launched at 45◦will meet the envelope at y = 0,\n\nSolutions to Theoretical Problems\nand increasing the launching angle will raise the touch-\ning point.\nThere are many ways of proving it more rigorously. For instance,\none can use the fact (proved below) that the launching velocity and\nthe tangent to the envelope at the point A where the trajectory and the\nenvelope meet are perpendicular to each other: with α + β = 90◦(β\ndenotes the angle between the tangent and the horizon) we conclude\nthat increasing α means decreasing β, hence raising A. To prove that\nα+β = 90◦, let a vertically up-directed beam be reflected from the tra-\njectory at A: it will go through the focus of the trajectory which means\nthat if we continue it through the focus and let it be reflected a second\ntime from the same trajectory, it will propagate vertically down. The\ntrajectory and the envelope are tangent at A, so the first reflection was\nalso a reflection from the envelope and the reflected beam must go\nthrough the focus of the envelope, i.e. the launching point O. Point O\nlies on the trajectory, so the second reflection point must be O. As a re-\nsult of the two reflections, the beam was diverted by 180◦which means\nthat the double sum of the incidence angles must have been 180◦, and\nhence 2α + 2β = 180◦.\nThe water parcels close to the origin are clearly yet to\nreach the envelope, and those parcels below the ground\nlevel have clearly passed the point where they touched\nthe envelope. Since the parcels form a continuous curve,\nthere must be at least one point P which is exactly at the\nenvelope 1 pts).\nThere are two ways of finding the position of the point\nP. The first approach is as follows. Notice that at P, the\nwater curve is tangent to the envelope (1 pt). Hence, ver-\ntical line drawn through P will be reflected by the water\ncurve so that it will go through the focus O (1 pt). So,\nwe need to find by trial and error such a point P on the\nupper segment of the water curve that the line OP and\na vertical line drawn through P will form equal angles\nwith the water curve at P (finding the position of P with\na reasonable accuracy: 1 pt), see the figure below.\nAlternatively, we can use the fact that for any point on\na parabola, its distance from the focus plus its distance\nfrom a horizontal line is constant. So, for an arbitrary\npoint Q = (x, y) on the envelope, y +\n√\nx2 + y2 = 2H,\nwhere H is a constant, and for any point beneath it, y +\n√\nx2 + y2 < 2H. Hence, among all the points at the water\ncurve, the point P has the largest value of y+\n√\nx2 + y2 (2\npts). We can evaluate y +\n√\nx2 + y2 for a series of points\nat the water curve and find the one with the largest value\n(finding the position of P with a reasonable accuracy: 1\npt).\n0\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n10\n1\n2\n3\n4\n5\n11\nP\nOnce we have found the point P, we can easily find\nthe height of the topmost point of the envelope due to\nthe equality y +\n√\nx2 + y2 = 2HP : for the topmost point,\nx = 0 so that its y-coordinate 2y = 2HP , hence y = HP ;\nThe topmost point of the envelope would be reached by\na water parcel launched vertically, so v2 = 2gHP , and\nv = √2gHP (1 pt). From the figure we can find 2HP =\n(3.3 +\n√\n10.82 + 3.32)m ≈14.6 m so that v ≈12 m/s (1 pt).\n","shared":true,"sourcePages":[1,2,3],"initialPage":2}},{"id":"eupho-2018-t1","importedOn":"2026-10-28","language":"en","sources":[{"url":"https://eupho.ee/wp-content/uploads/2020/07/eupho18-theory.pdf","kind":"statement"},{"url":"https://eupho.ee/wp-content/uploads/2020/07/eupho18-th-solution.pdf","kind":"solution"}],"statement":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/eupho-2018-statement/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/eupho-2018-statement/page-1.webp","width":982,"height":1389}],"text":"1\nThree balls\nThree small identical balls (denoted as A, B, and C) of mass\nm each are connected with two massless rods of length ℓso\nthat one of the rods connects the balls A and B, and the\nother rod connects the balls B and C. The connection at the\nball B is hinged, and the angle between the rods can change\neffortlessly. The system rests in weightlessness so that all the\nballs lie on one line. The ball A is given instantaneously a\nvelocity perpendicular to the rods.\nFind the minimal distance d between the balls A and C\nduring the subsequent motion of the system. Any friction is\nto be neglected.\n2\nSolenoid\nA solenoid of length ℓ= 20 cm is wound\naround a vertical, cylindrical test tube made\nof glass, filled with water.\nThe solenoid is\nthermally insulated from the water. The height\nof the water level is approximately 20 cm above\nthe upper end of the solenoid, the diameter of\nthe test tube is 1 cm, the number of turns of the\ncoil is N = 6000. The atmospheric pressure\nis p0 = 101 kPa, the temperature of water is\n293 K. Magnetic susceptibility of water is χ ≡\nµr −1 = −9.04 × 10−6. Vacuum permeability\nµ0 = 12.57 × 10−7 H/m.\nThe current in the solenoid is slowly increased until the\nwater starts boiling inside the coil. At which current strength\nwould this happen? Make reasonable approximations when\nneeded. Note that the required current strength might be\nslightly too large for the present technology.\n3\nStaircase\nThe equilibrium shape of bodies in zero-gravity is determined\nby the minimum of their surface energy. Thus, for example,\nthe equilibrium shape of a water droplet turns out to be\nspherical: the sphere has the smallest surface area among\nbodies of the same volume.\nAt low temperature, the equilibrium shape of crystals may\nhave flat facets. The parts of the crystal surface that have a\nsmall angle ϕ with the facet are in fact staircases of rare steps\non this facet. The height of such steps is equal to the period\nof the crystal lattice h.\nEquilibrium surface profile y(x) of a certain crystal and the\ncorresponding microscopic staircase are shown schematically\nin the figure, where n denotes the step number, counting from\nx = 0. The profile shape at x > 0 can be approximated as\ny(x) = −(x/λ)3/2h, where λ = 45 µm and h = 0.3 nm.\nA. Express the distance dn between two adjacent steps as a\nfunction of n for n ≫1.\nB. The interaction energy E of two steps depends on the\ndistance d between them as\nE(d) = µ dν,\nwhere µ is a constant. Assume that only adjacent steps\ninteract. Find the numerical value for the exponent ν.\n","shared":true,"sourcePages":[1],"initialPage":1},"solution":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/eupho-2018-solution/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/eupho-2018-solution/page-1.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2018-solution/page-2.webp","width":982,"height":1389}],"text":"EuPhO 2018, Moscow — Theory — Solutions\n1\nThree balls\nLet the ball A is given an initial velocity v along the axis Y ,\nwhich is perpendicular to the rod. The total momentum of\nthe system conserves, therefore the center-of-mass (CM) of\nthe system moves with a constant velocity:\nvCM = mv\n3m = v\n3\nalong Y . In what follows, we will work in the CM frame of\nreference, which is an inertial system of reference. Therefore, in\nthe CM frame the laws of conservation of energy, momentum,\nand the angular momentum hold true. The initial velocities\nof the three balls along Y are:\nvA = 2v\n3 ,\nvB = vC = −v\n3.\nCorrespondingly, the total kinetic energy of the balls is:\nE = mv2\n2\n\u00124\n9 + 1\n9 + 1\n9\n\u0013\n= mv2\n3\nand the total angular momentum with respect to the CM\nequals:\nL = m2v\n3 ℓ−mv\n3(−ℓ) = mvℓ.\nIn any moment the three balls form an isosceles triangle\nwith an angle 2ϕ at the top vertex. The distance between A\nand C is minimal when either ϕ = 0, or ˙ϕ = 0. For ϕ = 0,\nhowever, the laws of conservation are not consistent with the\nrigidity of the rods. Therefore, at the minimal distance ˙ϕ = 0,\nand in this particular instance the system behaves as a rigid\nbody whose moment of inertia with respect to the CM can be\nobtained through:\nI = L2\n2E = 3\n2ml2.\n(1)\nOn the other hand, the moment of inertia I could be found\nindependently from geometric considerations. Although, I\ncould be found using the distances from the balls to the CM\n(medicentre of a triangle), it is more convenient to use this\nrelatively unknown formula for the moment of inertia of a\ncollection of point masses with respect to CM:\nI =\nP\ni,j mimj(ri −rj)2\nP\ni mi\n.\nIn our case:\nI = m2\n3m\n\u0000AB2 + BC2 + AC2\u0001\n= m\n3\n\u00002ℓ2 + d2\u0001\n.\n(2)\nFrom (1) and (2), we obtain the minimal distance:\nd = ℓ\nr\n5\n2 ≈1.58 ℓ\n2\nSolenoid\nMagnetic field gives rise to magnetization of water molecules,\ni.e. each of the molecules becomes a magnetic dipole. Inhomo-\ngeneous magnetic field exerts a force to a magnetic dipole.\nWater molecules being diamagnetic are pushed away from the\nregion of stronger magnetic field. Water reaches a state with\nmechanical equilibrium where the magnetic force is balanced\nby a force due to pressure gradient. Hence, in mechanical\nequilibrium, regions with stronger magnetic field correspond\nto smaller pressures. When the current in the solenoid is\nincreased, the pressure differences grow, and at a certain\nmoment, a region will appear where the pressure is smaller\nthan the saturation pressure of the water vapour. This is the\nmoment when water starts boiling.\nTo begin with, let us discuss possible reasonable approxima-\ntions. First, we can neglect the water column pressure which is\nonly 2 to 4 percents of the atmospheric pressure. Second, the\nsaturation pressure of water vapour under normal conditions\nis also much smaller than the atmospheric one and therefore\ncan be neglected. Thus we can say that boiling starts when\nthe pressure drop due to magnetic field becomes equal to p0.\nSo, we need to relate the pressure difference caused by the\nmagnetic field to the magnetic field strength. Notice that if a\nregion with magnetic field B is filled with water, the magnetic\nfield energy density is B2/(2µrµ0); meanwhile, if there is no\nwater, the energy density is B2/(2µ0). So, we can ascribe the\nenergy density difference\n∆w = (µ−1\nr\n−1)B2/(2µ0)\nto the interaction of water and magnetic field. Next, consider\nthe following thought experiment. We push away a small\nvolume V of water from the neighbourhood of a point P in the\nwater where the magnetic field strength is B; the displaced\nwater fills in a narrow layer at the top of the water surface of\nequal volume. Assuming that the magnetic field is negligibly\nsmall at the top, by comparing the initial and final states,\nwe conclude that the total interaction energy is reduced by\nV (µ−1\nr\n−1)B2/(2µ0). When pushing away water from P we\nperform mechanical work pV , where p is the pressure at point\nP. At the upper surface of the water, the moving interface\nperforms mechanical work p0V so that the net mechanical\nwork performed by water during this process is V (p0 −p). Due\nto energy conservation law, V (µ−1\nr\n−1)B2/(2µ0) = V (p0 −p)\nso that\np0 = p + (µ−1\nr\n−1)B2/(2µ0).\nNote that the way how we derived this relationship is com-\npletely analogous to how the Bernoulli law is derived, and\nin fact, the obtained equality can be interpreted as a mod-\nified Bernoulli law for zero speed where the volume dens-\nity of potential energy in gravity field ρgh is replaced with\n(µ−1\nr\n−1)B2/(2µ0) — the energy density of magnetic in-\nteraction.\nThis equality can be simplified by noting that\nµ−1\nr\n−1 = −χ/µr ≈−χ so that\np0 −p = −χB2/(2µ0).\nAs discussed above, the boiling condition is p ≈0, hence\nB =\np\n−2µ0p0/χ.\nFinally, we apply the formula for magnetic field strength inside\na long solenoid B = µ0IN/ℓto find\nI = ℓ\nN\nr 2p0\n−χµ0\n= 4.4 kA.\n1\n\nEuPhO 2018, Moscow — Theory — Solutions\n3\nStaircase\nA\nSince n = −y/h = (x/λ)2/3, x(n) = n2/3λ. The distance\nbetween the steps is\ndn = x(n + 1) −x(n) ≈dx(n)\ndn\n= 2\n3 λ n−1/3 = n−1/3 · 30 µm.\nB\nEquilibrium energy value, being minimum, must be stable\nagainst small perturbations of the crystal shape. Allowed are\nperturbations which conserve the total volume of the crystal.\nIn other words a small horizontal displacement of one step\nmust be accompanied by an equal and opposite displacement\nof another step.\nThe energy change ϵn(δ) associated with a small horizontal\ndisplacement δ of the n-th step is\nϵn(δ) = µ\n\u0010\n(dn + δ)ν −dν\nn + (dn+1 −δ)ν −dν\nn+1\n\u0011\n≈\n≈µν\n\u0000dν−1\nn\n−dν−1\nn+1\n\u0001\nδ.\nIn order for ϵn(δ) + ϵm(−δ) to be zero for arbitrary n and m\nit is necessary to require that the factor in the parentheses\ndoes not depend on n:\ndν−1\nn\n−dν−1\nn+1 = const.\nSubstituting dn ∝n−1/3, we get1:\nn(1−ν)/3 −(n + 1)(1−ν)/3 ≈1 −ν\n3\nn(1−ν)/3−1 = const,\n1 −ν\n3\n−1 = 0 =⇒ν = −2.\nThe interaction energy corresponds to that of two dipoles in\n2D:\nE(d) ∝1\nd2 .\n1Trivial solutions ν = 0 and ν = 1 imply that the total energy within\ngiven constraints does not depend on the shape of the crystal.\n2\n","shared":true,"sourcePages":[1,2],"initialPage":1}},{"id":"eupho-2018-t2","importedOn":"2026-10-28","language":"en","sources":[{"url":"https://eupho.ee/wp-content/uploads/2020/07/eupho18-theory.pdf","kind":"statement"},{"url":"https://eupho.ee/wp-content/uploads/2020/07/eupho18-th-solution.pdf","kind":"solution"}],"statement":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/eupho-2018-statement/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/eupho-2018-statement/page-1.webp","width":982,"height":1389}],"text":"1\nThree balls\nThree small identical balls (denoted as A, B, and C) of mass\nm each are connected with two massless rods of length ℓso\nthat one of the rods connects the balls A and B, and the\nother rod connects the balls B and C. The connection at the\nball B is hinged, and the angle between the rods can change\neffortlessly. The system rests in weightlessness so that all the\nballs lie on one line. The ball A is given instantaneously a\nvelocity perpendicular to the rods.\nFind the minimal distance d between the balls A and C\nduring the subsequent motion of the system. Any friction is\nto be neglected.\n2\nSolenoid\nA solenoid of length ℓ= 20 cm is wound\naround a vertical, cylindrical test tube made\nof glass, filled with water.\nThe solenoid is\nthermally insulated from the water. The height\nof the water level is approximately 20 cm above\nthe upper end of the solenoid, the diameter of\nthe test tube is 1 cm, the number of turns of the\ncoil is N = 6000. The atmospheric pressure\nis p0 = 101 kPa, the temperature of water is\n293 K. Magnetic susceptibility of water is χ ≡\nµr −1 = −9.04 × 10−6. Vacuum permeability\nµ0 = 12.57 × 10−7 H/m.\nThe current in the solenoid is slowly increased until the\nwater starts boiling inside the coil. At which current strength\nwould this happen? Make reasonable approximations when\nneeded. Note that the required current strength might be\nslightly too large for the present technology.\n3\nStaircase\nThe equilibrium shape of bodies in zero-gravity is determined\nby the minimum of their surface energy. Thus, for example,\nthe equilibrium shape of a water droplet turns out to be\nspherical: the sphere has the smallest surface area among\nbodies of the same volume.\nAt low temperature, the equilibrium shape of crystals may\nhave flat facets. The parts of the crystal surface that have a\nsmall angle ϕ with the facet are in fact staircases of rare steps\non this facet. The height of such steps is equal to the period\nof the crystal lattice h.\nEquilibrium surface profile y(x) of a certain crystal and the\ncorresponding microscopic staircase are shown schematically\nin the figure, where n denotes the step number, counting from\nx = 0. The profile shape at x > 0 can be approximated as\ny(x) = −(x/λ)3/2h, where λ = 45 µm and h = 0.3 nm.\nA. Express the distance dn between two adjacent steps as a\nfunction of n for n ≫1.\nB. The interaction energy E of two steps depends on the\ndistance d between them as\nE(d) = µ dν,\nwhere µ is a constant. Assume that only adjacent steps\ninteract. Find the numerical value for the exponent ν.\n","shared":true,"sourcePages":[1],"initialPage":1},"solution":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/eupho-2018-solution/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/eupho-2018-solution/page-1.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2018-solution/page-2.webp","width":982,"height":1389}],"text":"EuPhO 2018, Moscow — Theory — Solutions\n1\nThree balls\nLet the ball A is given an initial velocity v along the axis Y ,\nwhich is perpendicular to the rod. The total momentum of\nthe system conserves, therefore the center-of-mass (CM) of\nthe system moves with a constant velocity:\nvCM = mv\n3m = v\n3\nalong Y . In what follows, we will work in the CM frame of\nreference, which is an inertial system of reference. Therefore, in\nthe CM frame the laws of conservation of energy, momentum,\nand the angular momentum hold true. The initial velocities\nof the three balls along Y are:\nvA = 2v\n3 ,\nvB = vC = −v\n3.\nCorrespondingly, the total kinetic energy of the balls is:\nE = mv2\n2\n\u00124\n9 + 1\n9 + 1\n9\n\u0013\n= mv2\n3\nand the total angular momentum with respect to the CM\nequals:\nL = m2v\n3 ℓ−mv\n3(−ℓ) = mvℓ.\nIn any moment the three balls form an isosceles triangle\nwith an angle 2ϕ at the top vertex. The distance between A\nand C is minimal when either ϕ = 0, or ˙ϕ = 0. For ϕ = 0,\nhowever, the laws of conservation are not consistent with the\nrigidity of the rods. Therefore, at the minimal distance ˙ϕ = 0,\nand in this particular instance the system behaves as a rigid\nbody whose moment of inertia with respect to the CM can be\nobtained through:\nI = L2\n2E = 3\n2ml2.\n(1)\nOn the other hand, the moment of inertia I could be found\nindependently from geometric considerations. Although, I\ncould be found using the distances from the balls to the CM\n(medicentre of a triangle), it is more convenient to use this\nrelatively unknown formula for the moment of inertia of a\ncollection of point masses with respect to CM:\nI =\nP\ni,j mimj(ri −rj)2\nP\ni mi\n.\nIn our case:\nI = m2\n3m\n\u0000AB2 + BC2 + AC2\u0001\n= m\n3\n\u00002ℓ2 + d2\u0001\n.\n(2)\nFrom (1) and (2), we obtain the minimal distance:\nd = ℓ\nr\n5\n2 ≈1.58 ℓ\n2\nSolenoid\nMagnetic field gives rise to magnetization of water molecules,\ni.e. each of the molecules becomes a magnetic dipole. Inhomo-\ngeneous magnetic field exerts a force to a magnetic dipole.\nWater molecules being diamagnetic are pushed away from the\nregion of stronger magnetic field. Water reaches a state with\nmechanical equilibrium where the magnetic force is balanced\nby a force due to pressure gradient. Hence, in mechanical\nequilibrium, regions with stronger magnetic field correspond\nto smaller pressures. When the current in the solenoid is\nincreased, the pressure differences grow, and at a certain\nmoment, a region will appear where the pressure is smaller\nthan the saturation pressure of the water vapour. This is the\nmoment when water starts boiling.\nTo begin with, let us discuss possible reasonable approxima-\ntions. First, we can neglect the water column pressure which is\nonly 2 to 4 percents of the atmospheric pressure. Second, the\nsaturation pressure of water vapour under normal conditions\nis also much smaller than the atmospheric one and therefore\ncan be neglected. Thus we can say that boiling starts when\nthe pressure drop due to magnetic field becomes equal to p0.\nSo, we need to relate the pressure difference caused by the\nmagnetic field to the magnetic field strength. Notice that if a\nregion with magnetic field B is filled with water, the magnetic\nfield energy density is B2/(2µrµ0); meanwhile, if there is no\nwater, the energy density is B2/(2µ0). So, we can ascribe the\nenergy density difference\n∆w = (µ−1\nr\n−1)B2/(2µ0)\nto the interaction of water and magnetic field. Next, consider\nthe following thought experiment. We push away a small\nvolume V of water from the neighbourhood of a point P in the\nwater where the magnetic field strength is B; the displaced\nwater fills in a narrow layer at the top of the water surface of\nequal volume. Assuming that the magnetic field is negligibly\nsmall at the top, by comparing the initial and final states,\nwe conclude that the total interaction energy is reduced by\nV (µ−1\nr\n−1)B2/(2µ0). When pushing away water from P we\nperform mechanical work pV , where p is the pressure at point\nP. At the upper surface of the water, the moving interface\nperforms mechanical work p0V so that the net mechanical\nwork performed by water during this process is V (p0 −p). Due\nto energy conservation law, V (µ−1\nr\n−1)B2/(2µ0) = V (p0 −p)\nso that\np0 = p + (µ−1\nr\n−1)B2/(2µ0).\nNote that the way how we derived this relationship is com-\npletely analogous to how the Bernoulli law is derived, and\nin fact, the obtained equality can be interpreted as a mod-\nified Bernoulli law for zero speed where the volume dens-\nity of potential energy in gravity field ρgh is replaced with\n(µ−1\nr\n−1)B2/(2µ0) — the energy density of magnetic in-\nteraction.\nThis equality can be simplified by noting that\nµ−1\nr\n−1 = −χ/µr ≈−χ so that\np0 −p = −χB2/(2µ0).\nAs discussed above, the boiling condition is p ≈0, hence\nB =\np\n−2µ0p0/χ.\nFinally, we apply the formula for magnetic field strength inside\na long solenoid B = µ0IN/ℓto find\nI = ℓ\nN\nr 2p0\n−χµ0\n= 4.4 kA.\n1\n\nEuPhO 2018, Moscow — Theory — Solutions\n3\nStaircase\nA\nSince n = −y/h = (x/λ)2/3, x(n) = n2/3λ. The distance\nbetween the steps is\ndn = x(n + 1) −x(n) ≈dx(n)\ndn\n= 2\n3 λ n−1/3 = n−1/3 · 30 µm.\nB\nEquilibrium energy value, being minimum, must be stable\nagainst small perturbations of the crystal shape. Allowed are\nperturbations which conserve the total volume of the crystal.\nIn other words a small horizontal displacement of one step\nmust be accompanied by an equal and opposite displacement\nof another step.\nThe energy change ϵn(δ) associated with a small horizontal\ndisplacement δ of the n-th step is\nϵn(δ) = µ\n\u0010\n(dn + δ)ν −dν\nn + (dn+1 −δ)ν −dν\nn+1\n\u0011\n≈\n≈µν\n\u0000dν−1\nn\n−dν−1\nn+1\n\u0001\nδ.\nIn order for ϵn(δ) + ϵm(−δ) to be zero for arbitrary n and m\nit is necessary to require that the factor in the parentheses\ndoes not depend on n:\ndν−1\nn\n−dν−1\nn+1 = const.\nSubstituting dn ∝n−1/3, we get1:\nn(1−ν)/3 −(n + 1)(1−ν)/3 ≈1 −ν\n3\nn(1−ν)/3−1 = const,\n1 −ν\n3\n−1 = 0 =⇒ν = −2.\nThe interaction energy corresponds to that of two dipoles in\n2D:\nE(d) ∝1\nd2 .\n1Trivial solutions ν = 0 and ν = 1 imply that the total energy within\ngiven constraints does not depend on the shape of the crystal.\n2\n","shared":true,"sourcePages":[1,2],"initialPage":1}},{"id":"eupho-2018-t3","importedOn":"2026-10-28","language":"en","sources":[{"url":"https://eupho.ee/wp-content/uploads/2020/07/eupho18-theory.pdf","kind":"statement"},{"url":"https://eupho.ee/wp-content/uploads/2020/07/eupho18-th-solution.pdf","kind":"solution"}],"statement":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/eupho-2018-statement/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/eupho-2018-statement/page-1.webp","width":982,"height":1389}],"text":"1\nThree balls\nThree small identical balls (denoted as A, B, and C) of mass\nm each are connected with two massless rods of length ℓso\nthat one of the rods connects the balls A and B, and the\nother rod connects the balls B and C. The connection at the\nball B is hinged, and the angle between the rods can change\neffortlessly. The system rests in weightlessness so that all the\nballs lie on one line. The ball A is given instantaneously a\nvelocity perpendicular to the rods.\nFind the minimal distance d between the balls A and C\nduring the subsequent motion of the system. Any friction is\nto be neglected.\n2\nSolenoid\nA solenoid of length ℓ= 20 cm is wound\naround a vertical, cylindrical test tube made\nof glass, filled with water.\nThe solenoid is\nthermally insulated from the water. The height\nof the water level is approximately 20 cm above\nthe upper end of the solenoid, the diameter of\nthe test tube is 1 cm, the number of turns of the\ncoil is N = 6000. The atmospheric pressure\nis p0 = 101 kPa, the temperature of water is\n293 K. Magnetic susceptibility of water is χ ≡\nµr −1 = −9.04 × 10−6. Vacuum permeability\nµ0 = 12.57 × 10−7 H/m.\nThe current in the solenoid is slowly increased until the\nwater starts boiling inside the coil. At which current strength\nwould this happen? Make reasonable approximations when\nneeded. Note that the required current strength might be\nslightly too large for the present technology.\n3\nStaircase\nThe equilibrium shape of bodies in zero-gravity is determined\nby the minimum of their surface energy. Thus, for example,\nthe equilibrium shape of a water droplet turns out to be\nspherical: the sphere has the smallest surface area among\nbodies of the same volume.\nAt low temperature, the equilibrium shape of crystals may\nhave flat facets. The parts of the crystal surface that have a\nsmall angle ϕ with the facet are in fact staircases of rare steps\non this facet. The height of such steps is equal to the period\nof the crystal lattice h.\nEquilibrium surface profile y(x) of a certain crystal and the\ncorresponding microscopic staircase are shown schematically\nin the figure, where n denotes the step number, counting from\nx = 0. The profile shape at x > 0 can be approximated as\ny(x) = −(x/λ)3/2h, where λ = 45 µm and h = 0.3 nm.\nA. Express the distance dn between two adjacent steps as a\nfunction of n for n ≫1.\nB. The interaction energy E of two steps depends on the\ndistance d between them as\nE(d) = µ dν,\nwhere µ is a constant. Assume that only adjacent steps\ninteract. Find the numerical value for the exponent ν.\n","shared":true,"sourcePages":[1],"initialPage":1},"solution":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/eupho-2018-solution/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/eupho-2018-solution/page-1.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2018-solution/page-2.webp","width":982,"height":1389}],"text":"EuPhO 2018, Moscow — Theory — Solutions\n1\nThree balls\nLet the ball A is given an initial velocity v along the axis Y ,\nwhich is perpendicular to the rod. The total momentum of\nthe system conserves, therefore the center-of-mass (CM) of\nthe system moves with a constant velocity:\nvCM = mv\n3m = v\n3\nalong Y . In what follows, we will work in the CM frame of\nreference, which is an inertial system of reference. Therefore, in\nthe CM frame the laws of conservation of energy, momentum,\nand the angular momentum hold true. The initial velocities\nof the three balls along Y are:\nvA = 2v\n3 ,\nvB = vC = −v\n3.\nCorrespondingly, the total kinetic energy of the balls is:\nE = mv2\n2\n\u00124\n9 + 1\n9 + 1\n9\n\u0013\n= mv2\n3\nand the total angular momentum with respect to the CM\nequals:\nL = m2v\n3 ℓ−mv\n3(−ℓ) = mvℓ.\nIn any moment the three balls form an isosceles triangle\nwith an angle 2ϕ at the top vertex. The distance between A\nand C is minimal when either ϕ = 0, or ˙ϕ = 0. For ϕ = 0,\nhowever, the laws of conservation are not consistent with the\nrigidity of the rods. Therefore, at the minimal distance ˙ϕ = 0,\nand in this particular instance the system behaves as a rigid\nbody whose moment of inertia with respect to the CM can be\nobtained through:\nI = L2\n2E = 3\n2ml2.\n(1)\nOn the other hand, the moment of inertia I could be found\nindependently from geometric considerations. Although, I\ncould be found using the distances from the balls to the CM\n(medicentre of a triangle), it is more convenient to use this\nrelatively unknown formula for the moment of inertia of a\ncollection of point masses with respect to CM:\nI =\nP\ni,j mimj(ri −rj)2\nP\ni mi\n.\nIn our case:\nI = m2\n3m\n\u0000AB2 + BC2 + AC2\u0001\n= m\n3\n\u00002ℓ2 + d2\u0001\n.\n(2)\nFrom (1) and (2), we obtain the minimal distance:\nd = ℓ\nr\n5\n2 ≈1.58 ℓ\n2\nSolenoid\nMagnetic field gives rise to magnetization of water molecules,\ni.e. each of the molecules becomes a magnetic dipole. Inhomo-\ngeneous magnetic field exerts a force to a magnetic dipole.\nWater molecules being diamagnetic are pushed away from the\nregion of stronger magnetic field. Water reaches a state with\nmechanical equilibrium where the magnetic force is balanced\nby a force due to pressure gradient. Hence, in mechanical\nequilibrium, regions with stronger magnetic field correspond\nto smaller pressures. When the current in the solenoid is\nincreased, the pressure differences grow, and at a certain\nmoment, a region will appear where the pressure is smaller\nthan the saturation pressure of the water vapour. This is the\nmoment when water starts boiling.\nTo begin with, let us discuss possible reasonable approxima-\ntions. First, we can neglect the water column pressure which is\nonly 2 to 4 percents of the atmospheric pressure. Second, the\nsaturation pressure of water vapour under normal conditions\nis also much smaller than the atmospheric one and therefore\ncan be neglected. Thus we can say that boiling starts when\nthe pressure drop due to magnetic field becomes equal to p0.\nSo, we need to relate the pressure difference caused by the\nmagnetic field to the magnetic field strength. Notice that if a\nregion with magnetic field B is filled with water, the magnetic\nfield energy density is B2/(2µrµ0); meanwhile, if there is no\nwater, the energy density is B2/(2µ0). So, we can ascribe the\nenergy density difference\n∆w = (µ−1\nr\n−1)B2/(2µ0)\nto the interaction of water and magnetic field. Next, consider\nthe following thought experiment. We push away a small\nvolume V of water from the neighbourhood of a point P in the\nwater where the magnetic field strength is B; the displaced\nwater fills in a narrow layer at the top of the water surface of\nequal volume. Assuming that the magnetic field is negligibly\nsmall at the top, by comparing the initial and final states,\nwe conclude that the total interaction energy is reduced by\nV (µ−1\nr\n−1)B2/(2µ0). When pushing away water from P we\nperform mechanical work pV , where p is the pressure at point\nP. At the upper surface of the water, the moving interface\nperforms mechanical work p0V so that the net mechanical\nwork performed by water during this process is V (p0 −p). Due\nto energy conservation law, V (µ−1\nr\n−1)B2/(2µ0) = V (p0 −p)\nso that\np0 = p + (µ−1\nr\n−1)B2/(2µ0).\nNote that the way how we derived this relationship is com-\npletely analogous to how the Bernoulli law is derived, and\nin fact, the obtained equality can be interpreted as a mod-\nified Bernoulli law for zero speed where the volume dens-\nity of potential energy in gravity field ρgh is replaced with\n(µ−1\nr\n−1)B2/(2µ0) — the energy density of magnetic in-\nteraction.\nThis equality can be simplified by noting that\nµ−1\nr\n−1 = −χ/µr ≈−χ so that\np0 −p = −χB2/(2µ0).\nAs discussed above, the boiling condition is p ≈0, hence\nB =\np\n−2µ0p0/χ.\nFinally, we apply the formula for magnetic field strength inside\na long solenoid B = µ0IN/ℓto find\nI = ℓ\nN\nr 2p0\n−χµ0\n= 4.4 kA.\n1\n\nEuPhO 2018, Moscow — Theory — Solutions\n3\nStaircase\nA\nSince n = −y/h = (x/λ)2/3, x(n) = n2/3λ. The distance\nbetween the steps is\ndn = x(n + 1) −x(n) ≈dx(n)\ndn\n= 2\n3 λ n−1/3 = n−1/3 · 30 µm.\nB\nEquilibrium energy value, being minimum, must be stable\nagainst small perturbations of the crystal shape. Allowed are\nperturbations which conserve the total volume of the crystal.\nIn other words a small horizontal displacement of one step\nmust be accompanied by an equal and opposite displacement\nof another step.\nThe energy change ϵn(δ) associated with a small horizontal\ndisplacement δ of the n-th step is\nϵn(δ) = µ\n\u0010\n(dn + δ)ν −dν\nn + (dn+1 −δ)ν −dν\nn+1\n\u0011\n≈\n≈µν\n\u0000dν−1\nn\n−dν−1\nn+1\n\u0001\nδ.\nIn order for ϵn(δ) + ϵm(−δ) to be zero for arbitrary n and m\nit is necessary to require that the factor in the parentheses\ndoes not depend on n:\ndν−1\nn\n−dν−1\nn+1 = const.\nSubstituting dn ∝n−1/3, we get1:\nn(1−ν)/3 −(n + 1)(1−ν)/3 ≈1 −ν\n3\nn(1−ν)/3−1 = const,\n1 −ν\n3\n−1 = 0 =⇒ν = −2.\nThe interaction energy corresponds to that of two dipoles in\n2D:\nE(d) ∝1\nd2 .\n1Trivial solutions ν = 0 and ν = 1 imply that the total energy within\ngiven constraints does not depend on the shape of the crystal.\n2\n","shared":true,"sourcePages":[1,2],"initialPage":2}},{"id":"eupho-2017-t1","importedOn":"2026-10-28","language":"en","sources":[{"url":"https://eupho.ee/wp-content/uploads/2020/07/EuPhO17_theory.pdf","kind":"statement"},{"url":"https://eupho.ee/wp-content/uploads/2020/07/EuPhO17_theory_solution_marking.pdf","kind":"solution"}],"statement":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/eupho-2017-statement/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/eupho-2017-statement/page-1.webp","width":982,"height":1389}],"text":"English version\n1\nOscillating rope\nA heavy uniform rope of length L is suspended vertically from\nthe ceiling.\nThe rope may oscillate around its equilibrium\nposition with different natural frequencies, which will be de-\nnoted by fi (i = 1, 2, . . .) in an ascending order. The figure\nbelow presents the shape of the rope in the first three nat-\nural vibrations, as obtained by a computer simulation. Note\nthat the horizontal and vertical scales in the figures are not\nequal. You may assume that the actual lateral displacement\nof the rope is much smaller than its length (small-amplitude\napproximation).\nFigure: Shapes of the oscillating rope for the first three nat-\nural vibrations (i = 1, 2, 3 from left to right)\nA) Develop a simplified model, which will allow you to\nestimate the frequency f1 of the first (fundamental) vibration\nof the rope. Hence, calculate approximately f1 for a rope of\nlength L = 1.0 m. Assume that g = 9.8 m/s2.\nB) Take necessary readings from the figure to estimate the\nfrequency ratio f1 : f2 : f3.\n2\nDisk in gas\nConsider a thin flat disk of mass M and face area S at tem-\nperature T1 resting initially in weightlessness in a gas of mass\ndensity ρ at temperature T0 (T1 = 1000T0). One of the faces\nof the disk is covered with a thermally insulating layer, the\nother face has a very good thermal contact with the surround-\ning gas: gas molecules of mass m obtain the temperature of\nthe disk during a single collision with the surface.\nEstimate the initial acceleration a0 and maximal speed\nvmax of the disk during its subsequent motion.\nAssume the heat capacity of the disk to be on the of order\nNkB, where N is the number of atoms in it, and kB is the\nBoltzmann constant, and molar masses of the gas and the\ndisk’s material to be of the same order. The mean free path\nlength of molecules is much larger than the size of the disk.\nNeglect any edge effects occuring at the edge of the disk.\n3\nSuperconducting mesh\nConsider a mesh made from a flat superconducting sheet by\ndrilling a dense grid of small holes into it. Initially the sheet\nis in a non-superconducting state, and a magnetic dipole of\ndipole moment m is at a distance a from the mesh pointing\nperpendicularly towards the mesh. Now the mesh is cooled\nso that it becomes superconducting. Next, the dipole is dis-\nplaced perpendicularly to the surface of the mesh so that its\nnew distance from the mesh is b. Find the force between the\nmesh and the dipole. The pitch of the grid of holes is much\nsmaller than both a and b, and the linear size of the sheet is\nmuch larger than both a and b.\n","shared":true,"sourcePages":[1],"initialPage":1},"solution":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/eupho-2017-solution/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/eupho-2017-solution/page-1.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2017-solution/page-2.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2017-solution/page-3.webp","width":982,"height":1389}],"text":"1\nOscillating rope\nA) It is evident from the figure that the curvature of the rope\nin the fundamental vibration is very small.\nIt infers for a\npossibility to model the fundamental vibration as a swinging\nof a rigid uniform rod of length L about a pivot point at its\nend. The moment of inertia of the rod is:\nI = mL2/3\nand the distance from the center-of-mass to the pivot point\nis:\nb = L/2\nTherefore, the frequency of the fundamental vibration is ap-\nproximated as:\nf1 = 1\n2π\n√\nmgb/I = 1\n2π\n√\n3g/2L ≈0.61 Hz\nCorrespondingly, the period of the fundamental vibration is:\nT1 = 2π\n√\nI/mgb = 2π\n√\n2L/3g ≈1.6 s\nB) Whatever model for estimating of f1 is being used, one\nmay deduce on the basis of dimensionality arguments that\nthe k-th natural frequency of the rope is:\nfk = ck\n√\ng/L\nwhere ck is a dimensionless numeric coefficient depending on\nthe consecutive mode number k only. Let A and B be the\nsuspension point and the free end of the rope respectively, and\nN be the node on the rope for the second natural vibration\n(see the figure).\nSince the node point is at rest (in the small-amplitude ap-\nproximation), the vibration of the part NB could be con-\nsidered as a fundamental vibration of a rope of length LNA\nabout a suspension point N. Therefore:\nf2(L) ≡f1(L −NA)\nHence one may write:\nf2(L)\nf1(L) = f1(L −NA)\nf1(L)\n=\n√\nL\nL −NA\nSince the absolute displacement is much smaller than the\nlength of the rope, the distances could be measured in a ver-\ntical direction, to the ceiling, instead along the rope. There-\nfore, by taking L = 1 m, and NA ≈0.8 m, we obtain:\nf2\nf1\n≈2.2\nSimilarly, the vibration of the part N1B in the third eigen-\nmode is equivalent to the second natural vibration of a rope\nof length L −N1A ≈0.4 m. In analogy to the first case:\nf3(L) ≡f2(L −N1A)\nand\nf2(L)\nf1(L) = f2(L −N1A)\nf2(L)\n=\n√\nL\nL −N1A ≈1.6\nTherefore:\nf3/f1 = f2/f1 × f3/f2 ≈3.5\nFinally:\nf1 : f2 : f3 ≈1 : 2.2 : 3.5\n2\nDisk in gas\nThe initial pressure on the thermal insulating layer is P0 =\nnkBT0, where n is number density of the gas. It originates\nfrom multiplying the flux j0 ∝vx0 and momentum that one\nmolecule transfers p0 = 2mvx0 (elastic collision), where vx0 is\nthe normal component of molecule’s velocity, and taking the\naverage (2v2\nx0 ∝T0). When applying the same idea to the\nsurface with good thermal contact, we find out that the flux\nremains the same, although the momentum increases:\np1 = m(vx0 + vx1) ≈mvx1,\nwhere vx1 is the normal velocity component of the molecule\nflying away from the disk. Thus for pressure P1:\nP1\nP0\n= vx0vx1\n2v2\nx0\n≈\n√T1T0\nT0\n,\nwhich is correct to some numerical coefficient of the order of\none.\nThe net force acting on the disk:\nF = (P1 −P0)S ≈SnkB\n√\nT0T1,\nand then the initial acceleration:\na0 ≈SnkB\nM\n√\nT0T1 = SρkB\nmM\n√\nT0T1.\n\nSince P1 ≫P0, the disk will accelerate until its speed be-\ncomes of the order of average gas molecules speed. After the\nvelocity v of the disc becomes on the order of v0 =\n√\nkT0/m,\nthe flux of molecules reaching the backside j(v) decays faster\nthan exponentially due to the nature of the molecular velocity\ndistribution in the ideal gas (for example, j(2v0) ≈10−3j0\nand j(3v0) ≈10−6j0). That leads to a proportional decrease\nin a propelling pressure P1. In order to compensate for an\ninitial bias\n√\nT1/T0 ≈30, it will take around a factor of one\non the velocity of the disk. Therefore the maximum velocity\nof the disk:\nvmax ≈v0 =\n√\nkBT0\nm\n.\nHere we assumed that the disk will not cool close to T0\nbefore it reaches the maximum velocity. Let us show it. The\nacceleration time is approximately:\nta ≈vmax\na0\n≈M√mkBT0\nSρkB\n√T0T1\n= M\nρS\n/√\nkBT1\nm\nSince the power of heat removal Pth is maximal at the be-\nginning (at zero velocity), we can upper-bound estimate the\ntime for the disk to cool as tc = Q/Pth, where Q is the total\nheat of the disk. The initial thermal power of heat removal\ncan be estimated as:\nPth ≈Sj0 × kBT1 ≈SnkB\n√\nT0T1\n√\nkBT1\nm\nand the total heat Q ≈NkBT1. Given M ≈Nm, we obtain:\ntc ≈\n(M/m)kBT1\nSnkBT1\n√\nkBT0/m\n= M\nρS\n/√\nkBT0\nm\nFinally, ta/tc ≈\n√\nT0/T1 ≪1, and indeed disk will not cool\nsignificantly before it reaches the velocity about v0.\nGrading scheme.\nIndented lines show partial points for\npartially correct solutions\nInitial acceleration (5 pts)\nP0 = nkT = j0 × ∆p0, ∆p0 = 2mvx0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 pts\nP ∝kT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 pts\n∆p1 = mvx1, P1 ≈nk√T0T1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 pts\nP1 = nkT1, no points for a0 further . . . . . . . . . . . 1 pts\nonly ∆p1 = mvx1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 pts\nAnswer for a0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 pts\nif some slight mistake . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.5 pts\nSpecial rule\nif ⟨vx0⟩=\n√\n3kBT/m (student doesn’t understand\nthe difference between velocity of the molecule and\nthe component of the velocity) . . . . . . . . . . . . −0.5 pts\nMaximal velocity (4 pts)\nP1 and P0 depend on the velocity of the disk, P1 drops signi-\nficantly if v ≈v0, thus vmax ≈v0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 pts\nP ′\n0 ≈ρv2, but P1 stays the same, thus vmax ≈\nv0\n√\nT1/T0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 pts\nStudent understands that at least some pressure de-\npends on the velocity of the disk. . . . . . . . . . . . . .1 pts\nThe velocity is maximal when disk cools to T0 0 pts\nJustification of slow cooling (1 pts)\nEstimation of times ta and tc given. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 pts\nStudent explicitly writes that T ′\n1 ≈T1 but doesn’t\nprove it. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0.5 pts\n3\nSuperconducting mesh\nThe most important physics to consider is that the magnetic\nflux through the superconducting mesh is effectively locally\nlocked in place.\nConsider this effect before anything else.\nOnce the mesh is cooled to the superconducting state the\nmagnetic field as a function of position on the mesh can-\nnot be varied, regardless of the change in location of the di-\npole.\nSince the magnetic field is effectively specified along\nthis superconducting plane, the problem reduces to a bound-\nary value problem that is traditionally solved by the method\nof images.\nFirst, consider what happens if the physical dipole is moved\nfar away from the mesh. An image dipole must be located\nthat fixes the magnetic field to be unchanged. This can be\ndone with an image dipole that is located a distance a behind\nthe mesh, and it must have the same orientation m. Now\nbring back the original dipole, placing it a distance b. It is\nnecessary to cancel out the field from this original, but now\ndisplaced, dipole with an opposite dipole −m placed behind\nthe mesh at a distance b.\nDouble check your work. If the original dipole is placed\nat the original location a, then there is no need for image\ncharges, and they should cancel out. Indeed, the two image\ndipoles will, as they have opposite orientations.\nThe force between the dipole and the image charges must\nbe determined. Though it might be possible to write down\nthese answers quickly, the derivation is shown below.\nConsider first that a magnetic dipole moment m can be\nthought of as a pair of magnetic monopoles of strength qm and\n−qm separated by a distance d such that m = qmd. Determine\nthe magnetic field strength a distance x ≫d away from the\ndipole:\nB = µ0\n4π\nqm\nx2 + µ0\n4π\n−qm\n(x + d)2 .\nIt should be clear that qm is at the origin and −qm is a dis-\ntance d farther away from the reference point x where the\nfield B is being determined. This expression is exact.\nThe second term can be subjected to a binomial expansion\nand then\nB ≈µ0\n4π\nqm\nx2 −µ0\n4π\nqm\nx2\n(\n1 −2d\nx\n)\n= µ0\n2π\nqmd\nx3\n= µ0\n2π\nm\nx3\nNow consider the magnetic force on a dipole at the location\nx in a non-uniform field B, which is given by\nF = −qmB(x) + qmB(x + d)\nwhich can be approximated by a Taylor expansion of B,\nF ≈−qmB(x) + qm\n(\nB(x) + d dB\ndx\n\f\f\f\f\nx\n)\n= qmd\n(\n−3µ0\n2π\nm\nx4\n)\n= −3µ0\n2π\nm2\nx4\nThe negative sign means that two parallel identical dipoles\nseparated by a distance x will attract.\nReturning to the problem, the physical dipole at b will be\nattracted to the image dipole at location −a and repelled\nfrom the image dipole at −b, so\nF = −3µ0\n2π\nm2\n(b + a)4 +3µ0\n2π\nm2\n(b + b)4 = 3µ0m2\n2π\n(\n1\n16b4 −\n1\n(a + b)4\n)\n,\nwhere a negative sign means that the physical dipole feels\nattraction toward the mesh.\n\nIt is entertaining to consider what happens if b is almost\nthe same as a, say b = a + δ. In this case,\nF = 3µ0m2\n2π\n(\n1\n16(a + δ)4 −\n1\n(2a + δ)4\n)\n,\nor\nF ≈3µ0m2\n2π\n1\n16a4\n((\n1 −4δ\na\n)\n−\n(\n1 −4δ/2\na\n))\n,\nwhich simplifies further into\nF ≈−3µ0m2\n16πa5 δ.\nNow to interpret. A negative force here is a force of attraction\ntoward the mesh. A positive δ is moving the physics dipole\naway from the mesh. As such, the force is a linear restoring\nforce, and slight disturbances to the physical dipole will result\nin simple harmonic oscillations about the original position.\nGrading scheme\n1.5 Recognition of nature of problem\n– Recognize flux trapping in superconductor (1.0 pt)\n– Recognize that flux trapping creates a boundary\nvalue problem (0.5 pt)\n4.0 Recognize that the boundary value problem requires two\nimage dipoles\n– First image dipole to create original B field on mesh\n(0.5 pt)\n– Correct location of first image dipole (0.5 pt)\n– Correct magnitude of first image dipole (0.5 pt)\n– Correct orientation of first image dipole (0.5 pt)\n– Second image dipole to cancel new B field on mesh\n(0.5 pt)\n– Correct location of second image dipole (0.5 pt)\n– Correct magnitude of first image dipole (0.5 pt)\n– Correct orientation of first image dipole (0.5 pt)\n2.0 Determine the force between two dipoles\n– Determine B field a distance from a dipole (1 pt)\n– Determine force on a dipole in a non-uniform B field\n(1 pt)\n2.5 Determine the force between the physical dipole and the\nmesh\n– Correct magnitude and direction of force from im-\nage dipole one (1 pt)\n– Correct magnitude and direction of force from im-\nage dipole two (1 pt)\n– Correct magnitude and direction of force (0.5 pt)\nSome notes:\n• Dimensionally correct expression with no shown work\nbut have wrong prefactor get zero marks\n• Dimensionally correct expression that show work but\nhave wrong prefactor caused from clear trivial math mis-\ntake get 1/2 marks.\n• Dimensionally correct expression that whow work but\nhave wrong prefactor caused from serious math mistake\nor any physics mistake get zero marks.\n• Dimensionally incorrect expression with no shown work\nget zero marks\n• Dimensionally incorrect answers that show work get zero\nmarks\n• Follow on errors that use dimensionally correct, but\nwrong, derived inputs are not penalized further.\n• Follow on errors that use dimensionally incorrect derived\ninputs are penalized half marks each time the input is\nused.\n• Writing a formula incorrectly without showing the deriv-\nation and using it as an input is not considered a follow\non error, but is instead a non-trivial error with a result\nof zero marks for that part.\n• Ambiguous locations, magnitudes, or orientations receive\nzero marks.\n• Correctly identifying the locations, magnitudes, or ori-\nentations of both of the two image dipoles without clearly\nspecifying why will receive full 1.5 points for recognizing\nthe nature of the problem.\n• Correctly identifying the locations, magnitudes, or ori-\nentations of only one of the image dipoles without clearly\nspecifying why will receive 0.5 points for recognizing the\nnature of the problem.\n","shared":true,"sourcePages":[1,2,3],"initialPage":1}},{"id":"eupho-2017-t2","importedOn":"2026-10-28","language":"en","sources":[{"url":"https://eupho.ee/wp-content/uploads/2020/07/EuPhO17_theory.pdf","kind":"statement"},{"url":"https://eupho.ee/wp-content/uploads/2020/07/EuPhO17_theory_solution_marking.pdf","kind":"solution"}],"statement":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/eupho-2017-statement/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/eupho-2017-statement/page-1.webp","width":982,"height":1389}],"text":"English version\n1\nOscillating rope\nA heavy uniform rope of length L is suspended vertically from\nthe ceiling.\nThe rope may oscillate around its equilibrium\nposition with different natural frequencies, which will be de-\nnoted by fi (i = 1, 2, . . .) in an ascending order. The figure\nbelow presents the shape of the rope in the first three nat-\nural vibrations, as obtained by a computer simulation. Note\nthat the horizontal and vertical scales in the figures are not\nequal. You may assume that the actual lateral displacement\nof the rope is much smaller than its length (small-amplitude\napproximation).\nFigure: Shapes of the oscillating rope for the first three nat-\nural vibrations (i = 1, 2, 3 from left to right)\nA) Develop a simplified model, which will allow you to\nestimate the frequency f1 of the first (fundamental) vibration\nof the rope. Hence, calculate approximately f1 for a rope of\nlength L = 1.0 m. Assume that g = 9.8 m/s2.\nB) Take necessary readings from the figure to estimate the\nfrequency ratio f1 : f2 : f3.\n2\nDisk in gas\nConsider a thin flat disk of mass M and face area S at tem-\nperature T1 resting initially in weightlessness in a gas of mass\ndensity ρ at temperature T0 (T1 = 1000T0). One of the faces\nof the disk is covered with a thermally insulating layer, the\nother face has a very good thermal contact with the surround-\ning gas: gas molecules of mass m obtain the temperature of\nthe disk during a single collision with the surface.\nEstimate the initial acceleration a0 and maximal speed\nvmax of the disk during its subsequent motion.\nAssume the heat capacity of the disk to be on the of order\nNkB, where N is the number of atoms in it, and kB is the\nBoltzmann constant, and molar masses of the gas and the\ndisk’s material to be of the same order. The mean free path\nlength of molecules is much larger than the size of the disk.\nNeglect any edge effects occuring at the edge of the disk.\n3\nSuperconducting mesh\nConsider a mesh made from a flat superconducting sheet by\ndrilling a dense grid of small holes into it. Initially the sheet\nis in a non-superconducting state, and a magnetic dipole of\ndipole moment m is at a distance a from the mesh pointing\nperpendicularly towards the mesh. Now the mesh is cooled\nso that it becomes superconducting. Next, the dipole is dis-\nplaced perpendicularly to the surface of the mesh so that its\nnew distance from the mesh is b. Find the force between the\nmesh and the dipole. The pitch of the grid of holes is much\nsmaller than both a and b, and the linear size of the sheet is\nmuch larger than both a and b.\n","shared":true,"sourcePages":[1],"initialPage":1},"solution":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/eupho-2017-solution/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/eupho-2017-solution/page-1.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2017-solution/page-2.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2017-solution/page-3.webp","width":982,"height":1389}],"text":"1\nOscillating rope\nA) It is evident from the figure that the curvature of the rope\nin the fundamental vibration is very small.\nIt infers for a\npossibility to model the fundamental vibration as a swinging\nof a rigid uniform rod of length L about a pivot point at its\nend. The moment of inertia of the rod is:\nI = mL2/3\nand the distance from the center-of-mass to the pivot point\nis:\nb = L/2\nTherefore, the frequency of the fundamental vibration is ap-\nproximated as:\nf1 = 1\n2π\n√\nmgb/I = 1\n2π\n√\n3g/2L ≈0.61 Hz\nCorrespondingly, the period of the fundamental vibration is:\nT1 = 2π\n√\nI/mgb = 2π\n√\n2L/3g ≈1.6 s\nB) Whatever model for estimating of f1 is being used, one\nmay deduce on the basis of dimensionality arguments that\nthe k-th natural frequency of the rope is:\nfk = ck\n√\ng/L\nwhere ck is a dimensionless numeric coefficient depending on\nthe consecutive mode number k only. Let A and B be the\nsuspension point and the free end of the rope respectively, and\nN be the node on the rope for the second natural vibration\n(see the figure).\nSince the node point is at rest (in the small-amplitude ap-\nproximation), the vibration of the part NB could be con-\nsidered as a fundamental vibration of a rope of length LNA\nabout a suspension point N. Therefore:\nf2(L) ≡f1(L −NA)\nHence one may write:\nf2(L)\nf1(L) = f1(L −NA)\nf1(L)\n=\n√\nL\nL −NA\nSince the absolute displacement is much smaller than the\nlength of the rope, the distances could be measured in a ver-\ntical direction, to the ceiling, instead along the rope. There-\nfore, by taking L = 1 m, and NA ≈0.8 m, we obtain:\nf2\nf1\n≈2.2\nSimilarly, the vibration of the part N1B in the third eigen-\nmode is equivalent to the second natural vibration of a rope\nof length L −N1A ≈0.4 m. In analogy to the first case:\nf3(L) ≡f2(L −N1A)\nand\nf2(L)\nf1(L) = f2(L −N1A)\nf2(L)\n=\n√\nL\nL −N1A ≈1.6\nTherefore:\nf3/f1 = f2/f1 × f3/f2 ≈3.5\nFinally:\nf1 : f2 : f3 ≈1 : 2.2 : 3.5\n2\nDisk in gas\nThe initial pressure on the thermal insulating layer is P0 =\nnkBT0, where n is number density of the gas. It originates\nfrom multiplying the flux j0 ∝vx0 and momentum that one\nmolecule transfers p0 = 2mvx0 (elastic collision), where vx0 is\nthe normal component of molecule’s velocity, and taking the\naverage (2v2\nx0 ∝T0). When applying the same idea to the\nsurface with good thermal contact, we find out that the flux\nremains the same, although the momentum increases:\np1 = m(vx0 + vx1) ≈mvx1,\nwhere vx1 is the normal velocity component of the molecule\nflying away from the disk. Thus for pressure P1:\nP1\nP0\n= vx0vx1\n2v2\nx0\n≈\n√T1T0\nT0\n,\nwhich is correct to some numerical coefficient of the order of\none.\nThe net force acting on the disk:\nF = (P1 −P0)S ≈SnkB\n√\nT0T1,\nand then the initial acceleration:\na0 ≈SnkB\nM\n√\nT0T1 = SρkB\nmM\n√\nT0T1.\n\nSince P1 ≫P0, the disk will accelerate until its speed be-\ncomes of the order of average gas molecules speed. After the\nvelocity v of the disc becomes on the order of v0 =\n√\nkT0/m,\nthe flux of molecules reaching the backside j(v) decays faster\nthan exponentially due to the nature of the molecular velocity\ndistribution in the ideal gas (for example, j(2v0) ≈10−3j0\nand j(3v0) ≈10−6j0). That leads to a proportional decrease\nin a propelling pressure P1. In order to compensate for an\ninitial bias\n√\nT1/T0 ≈30, it will take around a factor of one\non the velocity of the disk. Therefore the maximum velocity\nof the disk:\nvmax ≈v0 =\n√\nkBT0\nm\n.\nHere we assumed that the disk will not cool close to T0\nbefore it reaches the maximum velocity. Let us show it. The\nacceleration time is approximately:\nta ≈vmax\na0\n≈M√mkBT0\nSρkB\n√T0T1\n= M\nρS\n/√\nkBT1\nm\nSince the power of heat removal Pth is maximal at the be-\nginning (at zero velocity), we can upper-bound estimate the\ntime for the disk to cool as tc = Q/Pth, where Q is the total\nheat of the disk. The initial thermal power of heat removal\ncan be estimated as:\nPth ≈Sj0 × kBT1 ≈SnkB\n√\nT0T1\n√\nkBT1\nm\nand the total heat Q ≈NkBT1. Given M ≈Nm, we obtain:\ntc ≈\n(M/m)kBT1\nSnkBT1\n√\nkBT0/m\n= M\nρS\n/√\nkBT0\nm\nFinally, ta/tc ≈\n√\nT0/T1 ≪1, and indeed disk will not cool\nsignificantly before it reaches the velocity about v0.\nGrading scheme.\nIndented lines show partial points for\npartially correct solutions\nInitial acceleration (5 pts)\nP0 = nkT = j0 × ∆p0, ∆p0 = 2mvx0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 pts\nP ∝kT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 pts\n∆p1 = mvx1, P1 ≈nk√T0T1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 pts\nP1 = nkT1, no points for a0 further . . . . . . . . . . . 1 pts\nonly ∆p1 = mvx1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 pts\nAnswer for a0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 pts\nif some slight mistake . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.5 pts\nSpecial rule\nif ⟨vx0⟩=\n√\n3kBT/m (student doesn’t understand\nthe difference between velocity of the molecule and\nthe component of the velocity) . . . . . . . . . . . . −0.5 pts\nMaximal velocity (4 pts)\nP1 and P0 depend on the velocity of the disk, P1 drops signi-\nficantly if v ≈v0, thus vmax ≈v0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 pts\nP ′\n0 ≈ρv2, but P1 stays the same, thus vmax ≈\nv0\n√\nT1/T0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 pts\nStudent understands that at least some pressure de-\npends on the velocity of the disk. . . . . . . . . . . . . .1 pts\nThe velocity is maximal when disk cools to T0 0 pts\nJustification of slow cooling (1 pts)\nEstimation of times ta and tc given. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 pts\nStudent explicitly writes that T ′\n1 ≈T1 but doesn’t\nprove it. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0.5 pts\n3\nSuperconducting mesh\nThe most important physics to consider is that the magnetic\nflux through the superconducting mesh is effectively locally\nlocked in place.\nConsider this effect before anything else.\nOnce the mesh is cooled to the superconducting state the\nmagnetic field as a function of position on the mesh can-\nnot be varied, regardless of the change in location of the di-\npole.\nSince the magnetic field is effectively specified along\nthis superconducting plane, the problem reduces to a bound-\nary value problem that is traditionally solved by the method\nof images.\nFirst, consider what happens if the physical dipole is moved\nfar away from the mesh. An image dipole must be located\nthat fixes the magnetic field to be unchanged. This can be\ndone with an image dipole that is located a distance a behind\nthe mesh, and it must have the same orientation m. Now\nbring back the original dipole, placing it a distance b. It is\nnecessary to cancel out the field from this original, but now\ndisplaced, dipole with an opposite dipole −m placed behind\nthe mesh at a distance b.\nDouble check your work. If the original dipole is placed\nat the original location a, then there is no need for image\ncharges, and they should cancel out. Indeed, the two image\ndipoles will, as they have opposite orientations.\nThe force between the dipole and the image charges must\nbe determined. Though it might be possible to write down\nthese answers quickly, the derivation is shown below.\nConsider first that a magnetic dipole moment m can be\nthought of as a pair of magnetic monopoles of strength qm and\n−qm separated by a distance d such that m = qmd. Determine\nthe magnetic field strength a distance x ≫d away from the\ndipole:\nB = µ0\n4π\nqm\nx2 + µ0\n4π\n−qm\n(x + d)2 .\nIt should be clear that qm is at the origin and −qm is a dis-\ntance d farther away from the reference point x where the\nfield B is being determined. This expression is exact.\nThe second term can be subjected to a binomial expansion\nand then\nB ≈µ0\n4π\nqm\nx2 −µ0\n4π\nqm\nx2\n(\n1 −2d\nx\n)\n= µ0\n2π\nqmd\nx3\n= µ0\n2π\nm\nx3\nNow consider the magnetic force on a dipole at the location\nx in a non-uniform field B, which is given by\nF = −qmB(x) + qmB(x + d)\nwhich can be approximated by a Taylor expansion of B,\nF ≈−qmB(x) + qm\n(\nB(x) + d dB\ndx\n\f\f\f\f\nx\n)\n= qmd\n(\n−3µ0\n2π\nm\nx4\n)\n= −3µ0\n2π\nm2\nx4\nThe negative sign means that two parallel identical dipoles\nseparated by a distance x will attract.\nReturning to the problem, the physical dipole at b will be\nattracted to the image dipole at location −a and repelled\nfrom the image dipole at −b, so\nF = −3µ0\n2π\nm2\n(b + a)4 +3µ0\n2π\nm2\n(b + b)4 = 3µ0m2\n2π\n(\n1\n16b4 −\n1\n(a + b)4\n)\n,\nwhere a negative sign means that the physical dipole feels\nattraction toward the mesh.\n\nIt is entertaining to consider what happens if b is almost\nthe same as a, say b = a + δ. In this case,\nF = 3µ0m2\n2π\n(\n1\n16(a + δ)4 −\n1\n(2a + δ)4\n)\n,\nor\nF ≈3µ0m2\n2π\n1\n16a4\n((\n1 −4δ\na\n)\n−\n(\n1 −4δ/2\na\n))\n,\nwhich simplifies further into\nF ≈−3µ0m2\n16πa5 δ.\nNow to interpret. A negative force here is a force of attraction\ntoward the mesh. A positive δ is moving the physics dipole\naway from the mesh. As such, the force is a linear restoring\nforce, and slight disturbances to the physical dipole will result\nin simple harmonic oscillations about the original position.\nGrading scheme\n1.5 Recognition of nature of problem\n– Recognize flux trapping in superconductor (1.0 pt)\n– Recognize that flux trapping creates a boundary\nvalue problem (0.5 pt)\n4.0 Recognize that the boundary value problem requires two\nimage dipoles\n– First image dipole to create original B field on mesh\n(0.5 pt)\n– Correct location of first image dipole (0.5 pt)\n– Correct magnitude of first image dipole (0.5 pt)\n– Correct orientation of first image dipole (0.5 pt)\n– Second image dipole to cancel new B field on mesh\n(0.5 pt)\n– Correct location of second image dipole (0.5 pt)\n– Correct magnitude of first image dipole (0.5 pt)\n– Correct orientation of first image dipole (0.5 pt)\n2.0 Determine the force between two dipoles\n– Determine B field a distance from a dipole (1 pt)\n– Determine force on a dipole in a non-uniform B field\n(1 pt)\n2.5 Determine the force between the physical dipole and the\nmesh\n– Correct magnitude and direction of force from im-\nage dipole one (1 pt)\n– Correct magnitude and direction of force from im-\nage dipole two (1 pt)\n– Correct magnitude and direction of force (0.5 pt)\nSome notes:\n• Dimensionally correct expression with no shown work\nbut have wrong prefactor get zero marks\n• Dimensionally correct expression that show work but\nhave wrong prefactor caused from clear trivial math mis-\ntake get 1/2 marks.\n• Dimensionally correct expression that whow work but\nhave wrong prefactor caused from serious math mistake\nor any physics mistake get zero marks.\n• Dimensionally incorrect expression with no shown work\nget zero marks\n• Dimensionally incorrect answers that show work get zero\nmarks\n• Follow on errors that use dimensionally correct, but\nwrong, derived inputs are not penalized further.\n• Follow on errors that use dimensionally incorrect derived\ninputs are penalized half marks each time the input is\nused.\n• Writing a formula incorrectly without showing the deriv-\nation and using it as an input is not considered a follow\non error, but is instead a non-trivial error with a result\nof zero marks for that part.\n• Ambiguous locations, magnitudes, or orientations receive\nzero marks.\n• Correctly identifying the locations, magnitudes, or ori-\nentations of both of the two image dipoles without clearly\nspecifying why will receive full 1.5 points for recognizing\nthe nature of the problem.\n• Correctly identifying the locations, magnitudes, or ori-\nentations of only one of the image dipoles without clearly\nspecifying why will receive 0.5 points for recognizing the\nnature of the problem.\n","shared":true,"sourcePages":[1,2,3],"initialPage":1}},{"id":"eupho-2017-t3","importedOn":"2026-10-28","language":"en","sources":[{"url":"https://eupho.ee/wp-content/uploads/2020/07/EuPhO17_theory.pdf","kind":"statement"},{"url":"https://eupho.ee/wp-content/uploads/2020/07/EuPhO17_theory_solution_marking.pdf","kind":"solution"}],"statement":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/eupho-2017-statement/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/eupho-2017-statement/page-1.webp","width":982,"height":1389}],"text":"English version\n1\nOscillating rope\nA heavy uniform rope of length L is suspended vertically from\nthe ceiling.\nThe rope may oscillate around its equilibrium\nposition with different natural frequencies, which will be de-\nnoted by fi (i = 1, 2, . . .) in an ascending order. The figure\nbelow presents the shape of the rope in the first three nat-\nural vibrations, as obtained by a computer simulation. Note\nthat the horizontal and vertical scales in the figures are not\nequal. You may assume that the actual lateral displacement\nof the rope is much smaller than its length (small-amplitude\napproximation).\nFigure: Shapes of the oscillating rope for the first three nat-\nural vibrations (i = 1, 2, 3 from left to right)\nA) Develop a simplified model, which will allow you to\nestimate the frequency f1 of the first (fundamental) vibration\nof the rope. Hence, calculate approximately f1 for a rope of\nlength L = 1.0 m. Assume that g = 9.8 m/s2.\nB) Take necessary readings from the figure to estimate the\nfrequency ratio f1 : f2 : f3.\n2\nDisk in gas\nConsider a thin flat disk of mass M and face area S at tem-\nperature T1 resting initially in weightlessness in a gas of mass\ndensity ρ at temperature T0 (T1 = 1000T0). One of the faces\nof the disk is covered with a thermally insulating layer, the\nother face has a very good thermal contact with the surround-\ning gas: gas molecules of mass m obtain the temperature of\nthe disk during a single collision with the surface.\nEstimate the initial acceleration a0 and maximal speed\nvmax of the disk during its subsequent motion.\nAssume the heat capacity of the disk to be on the of order\nNkB, where N is the number of atoms in it, and kB is the\nBoltzmann constant, and molar masses of the gas and the\ndisk’s material to be of the same order. The mean free path\nlength of molecules is much larger than the size of the disk.\nNeglect any edge effects occuring at the edge of the disk.\n3\nSuperconducting mesh\nConsider a mesh made from a flat superconducting sheet by\ndrilling a dense grid of small holes into it. Initially the sheet\nis in a non-superconducting state, and a magnetic dipole of\ndipole moment m is at a distance a from the mesh pointing\nperpendicularly towards the mesh. Now the mesh is cooled\nso that it becomes superconducting. Next, the dipole is dis-\nplaced perpendicularly to the surface of the mesh so that its\nnew distance from the mesh is b. Find the force between the\nmesh and the dipole. The pitch of the grid of holes is much\nsmaller than both a and b, and the linear size of the sheet is\nmuch larger than both a and b.\n","shared":true,"sourcePages":[1],"initialPage":1},"solution":{"format":"pdf","pdf":"/corpus/documents/eupho-2017-solution/document.pdf","pages":[{"src":"/corpus/documents/eupho-2017-solution/page-1.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2017-solution/page-2.webp","width":982,"height":1389},{"src":"/corpus/documents/eupho-2017-solution/page-3.webp","width":982,"height":1389}],"text":"1\nOscillating rope\nA) It is evident from the figure that the curvature of the rope\nin the fundamental vibration is very small.\nIt infers for a\npossibility to model the fundamental vibration as a swinging\nof a rigid uniform rod of length L about a pivot point at its\nend. The moment of inertia of the rod is:\nI = mL2/3\nand the distance from the center-of-mass to the pivot point\nis:\nb = L/2\nTherefore, the frequency of the fundamental vibration is ap-\nproximated as:\nf1 = 1\n2π\n√\nmgb/I = 1\n2π\n√\n3g/2L ≈0.61 Hz\nCorrespondingly, the period of the fundamental vibration is:\nT1 = 2π\n√\nI/mgb = 2π\n√\n2L/3g ≈1.6 s\nB) Whatever model for estimating of f1 is being used, one\nmay deduce on the basis of dimensionality arguments that\nthe k-th natural frequency of the rope is:\nfk = ck\n√\ng/L\nwhere ck is a dimensionless numeric coefficient depending on\nthe consecutive mode number k only. Let A and B be the\nsuspension point and the free end of the rope respectively, and\nN be the node on the rope for the second natural vibration\n(see the figure).\nSince the node point is at rest (in the small-amplitude ap-\nproximation), the vibration of the part NB could be con-\nsidered as a fundamental vibration of a rope of length LNA\nabout a suspension point N. Therefore:\nf2(L) ≡f1(L −NA)\nHence one may write:\nf2(L)\nf1(L) = f1(L −NA)\nf1(L)\n=\n√\nL\nL −NA\nSince the absolute displacement is much smaller than the\nlength of the rope, the distances could be measured in a ver-\ntical direction, to the ceiling, instead along the rope. There-\nfore, by taking L = 1 m, and NA ≈0.8 m, we obtain:\nf2\nf1\n≈2.2\nSimilarly, the vibration of the part N1B in the third eigen-\nmode is equivalent to the second natural vibration of a rope\nof length L −N1A ≈0.4 m. In analogy to the first case:\nf3(L) ≡f2(L −N1A)\nand\nf2(L)\nf1(L) = f2(L −N1A)\nf2(L)\n=\n√\nL\nL −N1A ≈1.6\nTherefore:\nf3/f1 = f2/f1 × f3/f2 ≈3.5\nFinally:\nf1 : f2 : f3 ≈1 : 2.2 : 3.5\n2\nDisk in gas\nThe initial pressure on the thermal insulating layer is P0 =\nnkBT0, where n is number density of the gas. It originates\nfrom multiplying the flux j0 ∝vx0 and momentum that one\nmolecule transfers p0 = 2mvx0 (elastic collision), where vx0 is\nthe normal component of molecule’s velocity, and taking the\naverage (2v2\nx0 ∝T0). When applying the same idea to the\nsurface with good thermal contact, we find out that the flux\nremains the same, although the momentum increases:\np1 = m(vx0 + vx1) ≈mvx1,\nwhere vx1 is the normal velocity component of the molecule\nflying away from the disk. Thus for pressure P1:\nP1\nP0\n= vx0vx1\n2v2\nx0\n≈\n√T1T0\nT0\n,\nwhich is correct to some numerical coefficient of the order of\none.\nThe net force acting on the disk:\nF = (P1 −P0)S ≈SnkB\n√\nT0T1,\nand then the initial acceleration:\na0 ≈SnkB\nM\n√\nT0T1 = SρkB\nmM\n√\nT0T1.\n\nSince P1 ≫P0, the disk will accelerate until its speed be-\ncomes of the order of average gas molecules speed. After the\nvelocity v of the disc becomes on the order of v0 =\n√\nkT0/m,\nthe flux of molecules reaching the backside j(v) decays faster\nthan exponentially due to the nature of the molecular velocity\ndistribution in the ideal gas (for example, j(2v0) ≈10−3j0\nand j(3v0) ≈10−6j0). That leads to a proportional decrease\nin a propelling pressure P1. In order to compensate for an\ninitial bias\n√\nT1/T0 ≈30, it will take around a factor of one\non the velocity of the disk. Therefore the maximum velocity\nof the disk:\nvmax ≈v0 =\n√\nkBT0\nm\n.\nHere we assumed that the disk will not cool close to T0\nbefore it reaches the maximum velocity. Let us show it. The\nacceleration time is approximately:\nta ≈vmax\na0\n≈M√mkBT0\nSρkB\n√T0T1\n= M\nρS\n/√\nkBT1\nm\nSince the power of heat removal Pth is maximal at the be-\nginning (at zero velocity), we can upper-bound estimate the\ntime for the disk to cool as tc = Q/Pth, where Q is the total\nheat of the disk. The initial thermal power of heat removal\ncan be estimated as:\nPth ≈Sj0 × kBT1 ≈SnkB\n√\nT0T1\n√\nkBT1\nm\nand the total heat Q ≈NkBT1. Given M ≈Nm, we obtain:\ntc ≈\n(M/m)kBT1\nSnkBT1\n√\nkBT0/m\n= M\nρS\n/√\nkBT0\nm\nFinally, ta/tc ≈\n√\nT0/T1 ≪1, and indeed disk will not cool\nsignificantly before it reaches the velocity about v0.\nGrading scheme.\nIndented lines show partial points for\npartially correct solutions\nInitial acceleration (5 pts)\nP0 = nkT = j0 × ∆p0, ∆p0 = 2mvx0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 pts\nP ∝kT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 pts\n∆p1 = mvx1, P1 ≈nk√T0T1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 pts\nP1 = nkT1, no points for a0 further . . . . . . . . . . . 1 pts\nonly ∆p1 = mvx1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 pts\nAnswer for a0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 pts\nif some slight mistake . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.5 pts\nSpecial rule\nif ⟨vx0⟩=\n√\n3kBT/m (student doesn’t understand\nthe difference between velocity of the molecule and\nthe component of the velocity) . . . . . . . . . . . . −0.5 pts\nMaximal velocity (4 pts)\nP1 and P0 depend on the velocity of the disk, P1 drops signi-\nficantly if v ≈v0, thus vmax ≈v0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 pts\nP ′\n0 ≈ρv2, but P1 stays the same, thus vmax ≈\nv0\n√\nT1/T0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 pts\nStudent understands that at least some pressure de-\npends on the velocity of the disk. . . . . . . . . . . . . .1 pts\nThe velocity is maximal when disk cools to T0 0 pts\nJustification of slow cooling (1 pts)\nEstimation of times ta and tc given. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 pts\nStudent explicitly writes that T ′\n1 ≈T1 but doesn’t\nprove it. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0.5 pts\n3\nSuperconducting mesh\nThe most important physics to consider is that the magnetic\nflux through the superconducting mesh is effectively locally\nlocked in place.\nConsider this effect before anything else.\nOnce the mesh is cooled to the superconducting state the\nmagnetic field as a function of position on the mesh can-\nnot be varied, regardless of the change in location of the di-\npole.\nSince the magnetic field is effectively specified along\nthis superconducting plane, the problem reduces to a bound-\nary value problem that is traditionally solved by the method\nof images.\nFirst, consider what happens if the physical dipole is moved\nfar away from the mesh. An image dipole must be located\nthat fixes the magnetic field to be unchanged. This can be\ndone with an image dipole that is located a distance a behind\nthe mesh, and it must have the same orientation m. Now\nbring back the original dipole, placing it a distance b. It is\nnecessary to cancel out the field from this original, but now\ndisplaced, dipole with an opposite dipole −m placed behind\nthe mesh at a distance b.\nDouble check your work. If the original dipole is placed\nat the original location a, then there is no need for image\ncharges, and they should cancel out. Indeed, the two image\ndipoles will, as they have opposite orientations.\nThe force between the dipole and the image charges must\nbe determined. Though it might be possible to write down\nthese answers quickly, the derivation is shown below.\nConsider first that a magnetic dipole moment m can be\nthought of as a pair of magnetic monopoles of strength qm and\n−qm separated by a distance d such that m = qmd. Determine\nthe magnetic field strength a distance x ≫d away from the\ndipole:\nB = µ0\n4π\nqm\nx2 + µ0\n4π\n−qm\n(x + d)2 .\nIt should be clear that qm is at the origin and −qm is a dis-\ntance d farther away from the reference point x where the\nfield B is being determined. This expression is exact.\nThe second term can be subjected to a binomial expansion\nand then\nB ≈µ0\n4π\nqm\nx2 −µ0\n4π\nqm\nx2\n(\n1 −2d\nx\n)\n= µ0\n2π\nqmd\nx3\n= µ0\n2π\nm\nx3\nNow consider the magnetic force on a dipole at the location\nx in a non-uniform field B, which is given by\nF = −qmB(x) + qmB(x + d)\nwhich can be approximated by a Taylor expansion of B,\nF ≈−qmB(x) + qm\n(\nB(x) + d dB\ndx\n\f\f\f\f\nx\n)\n= qmd\n(\n−3µ0\n2π\nm\nx4\n)\n= −3µ0\n2π\nm2\nx4\nThe negative sign means that two parallel identical dipoles\nseparated by a distance x will attract.\nReturning to the problem, the physical dipole at b will be\nattracted to the image dipole at location −a and repelled\nfrom the image dipole at −b, so\nF = −3µ0\n2π\nm2\n(b + a)4 +3µ0\n2π\nm2\n(b + b)4 = 3µ0m2\n2π\n(\n1\n16b4 −\n1\n(a + b)4\n)\n,\nwhere a negative sign means that the physical dipole feels\nattraction toward the mesh.\n\nIt is entertaining to consider what happens if b is almost\nthe same as a, say b = a + δ. In this case,\nF = 3µ0m2\n2π\n(\n1\n16(a + δ)4 −\n1\n(2a + δ)4\n)\n,\nor\nF ≈3µ0m2\n2π\n1\n16a4\n((\n1 −4δ\na\n)\n−\n(\n1 −4δ/2\na\n))\n,\nwhich simplifies further into\nF ≈−3µ0m2\n16πa5 δ.\nNow to interpret. A negative force here is a force of attraction\ntoward the mesh. A positive δ is moving the physics dipole\naway from the mesh. As such, the force is a linear restoring\nforce, and slight disturbances to the physical dipole will result\nin simple harmonic oscillations about the original position.\nGrading scheme\n1.5 Recognition of nature of problem\n– Recognize flux trapping in superconductor (1.0 pt)\n– Recognize that flux trapping creates a boundary\nvalue problem (0.5 pt)\n4.0 Recognize that the boundary value problem requires two\nimage dipoles\n– First image dipole to create original B field on mesh\n(0.5 pt)\n– Correct location of first image dipole (0.5 pt)\n– Correct magnitude of first image dipole (0.5 pt)\n– Correct orientation of first image dipole (0.5 pt)\n– Second image dipole to cancel new B field on mesh\n(0.5 pt)\n– Correct location of second image dipole (0.5 pt)\n– Correct magnitude of first image dipole (0.5 pt)\n– Correct orientation of first image dipole (0.5 pt)\n2.0 Determine the force between two dipoles\n– Determine B field a distance from a dipole (1 pt)\n– Determine force on a dipole in a non-uniform B field\n(1 pt)\n2.5 Determine the force between the physical dipole and the\nmesh\n– Correct magnitude and direction of force from im-\nage dipole one (1 pt)\n– Correct magnitude and direction of force from im-\nage dipole two (1 pt)\n– Correct magnitude and direction of force (0.5 pt)\nSome notes:\n• Dimensionally correct expression with no shown work\nbut have wrong prefactor get zero marks\n• Dimensionally correct expression that show work but\nhave wrong prefactor caused from clear trivial math mis-\ntake get 1/2 marks.\n• Dimensionally correct expression that whow work but\nhave wrong prefactor caused from serious math mistake\nor any physics mistake get zero marks.\n• Dimensionally incorrect expression with no shown work\nget zero marks\n• Dimensionally incorrect answers that show work get zero\nmarks\n• Follow on errors that use dimensionally correct, but\nwrong, derived inputs are not penalized further.\n• Follow on errors that use dimensionally incorrect derived\ninputs are penalized half marks each time the input is\nused.\n• Writing a formula incorrectly without showing the deriv-\nation and using it as an input is not considered a follow\non error, but is instead a non-trivial error with a result\nof zero marks for that part.\n• Ambiguous locations, magnitudes, or orientations receive\nzero marks.\n• Correctly identifying the locations, magnitudes, or ori-\nentations of both of the two image dipoles without clearly\nspecifying why will receive full 1.5 points for recognizing\nthe nature of the problem.\n• Correctly identifying the locations, magnitudes, or ori-\nentations of only one of the image dipoles without clearly\nspecifying why will receive 0.5 points for recognizing the\nnature of the problem.\n","shared":true,"sourcePages":[1,2,3],"initialPage":2}}]}